JOÃO LUIZ MASCOLO
Doutor em Economia
pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas
UM ESTUDO ECONOMÉTRICO
DA PECUÁRIA DE CORTE
NO BRASIL
FGV - Instituto de Documentação Editora da Fundação Getulio Vargas
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!:·~i.IOmA
FUN~Â,ÃO mÚlIo nUAS
Mascolo, João Luiz.
Um estudo econométrico da pecuária de corte no Brasil. - Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas. 1980.
VIII. 100 p. : il.
-Originalmente apresentado como tese de Doutorado à Escola de Pós. Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas.
Bibliografia: p. 95-97.
1. Gado de corte - Aspectos econômicos - Brasil. I. Escola de Pós. Graduação em Economia. 11. TItulo.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar meus agradecimentos ao comitê de tese formado pelos Profes~res Paulo Rabello de Castro, presidente, José L. Carvalho, Marc Nerlove e Roberto Fendt Jr. pelo apoio, orientação e encorajamento ao longo da elaboração deste tra-balho.
Na parte metodológica muito me beneficiei de pesquisa anterior do Professor José L. Carvalho, de quem partiu a suges-tão para a realização deste estudo.
Sou grato também à Fundação Getulio Vargas, cujo suporte financeiro me permitiu passar o ano acadêmico de 1977-1978 na Northwestern University, Illinois, EUA, onde a maior parte deste trabalho foi desenvolvida.
SUMÁRIO
Agradecimentos V
1. Introdução 1
2. Algumas considerações sobre a pecuária de corte no Brasil 5 2.1 Estrutura de mercado e ação governamental 5
2.2 O ciclo da pecuária de corte 8 3. Os modelos dinâmicos 15
3.1 As fases da exploração da pecuária de corte no Brasil 15 3.2 O modelo completo 18
3.3 O modelo restrito 30
~ 4. Geração dos dados 45
I 4.1 Algumas tentativas anteriores 45
I 4.1.1 Conselho Nacional de Desenvolvimento da
Pecuária 45
4.1.2 Guilherme Leite da Silva Dias 50 4.2 Os dados para o modelo restrito 56 S. Resultados empíricos 65
5.1 Estoque de bois gordos mantido pelo pecuarista 68 5.2 Estoque de matrizes mantido pelo pecuarista 79 6. Resumo e conclusões 87
Anexo 90
1. INTRODUÇÃO
Um estudo econométrico tem, basicamente, uma das seguin-tes finalidades: seguin-testar empiricamente uma nova proposição teórica ou, no caso de uma teoria de aceitabilidade já comprovada, quantificar relações entre variáveis, cujo sentido de variação é determinado pela teoria, com o objetivo de, por exemplo, permitir a implementação de medidas de política econômica com um maior grau de certeza quanto à magnitude dos resultados .. O presente trabalho se enquadra no segundo caso. Por meio de uma abordagem dinâmica ao comportamento do pec'uarista de corte, admitindo que este maximiza os lucros ao longo de sua vida produtiva, procura-se avaliar empiricamente o efeito das expecta-tivas, entre outras variáveis, sobre seu processo decisório.
Tentativas têm sido feitas no sentido de explicar empirica-mente relações econômicas de caráter dinâmico. Como Nerlove I
adverte, no entanto, em muitos casos fenômenos dinân.icos têm sido tratados por meio de teorias estáticas, sendo o caráter dinâmico introduzido por estruturas de defasagens ad hoc gera-das através de modelos de ajustamento e expectativas estáticas.
Em trabalho realizado sobre a pecuária de corte dos EUA, José L. Carvalh02 desenvolveu, por meio das técnicas usadas na
I Nerlove. Marc. On lags in economic behavior. Report 7109 - Center for
Mathematical Studies in Business and Economics. Universidade de Chicago. Feb .• 1971.
2 Carvalho. José L. Production investment and expectations: a study of the
United States cattle industry. Tese doutoral não-publicada. apresentada à Univer-sidade de Chicago em setembro de 1972:
teoria da decisão e seguindo a abordagem metodológica sugerida por Arrow, Karlin e Scarfl, um modelo dinâmico com o objetivo de explicar decisões ao longo do tempo sobre produção e investi-mento no setor, utilizando a programação dinâmica para a obten-ção da soluobten-ção ótima. Os resultados obtidos neste estudo vieram comprovar a eficácia e a viabilidade de se explicar relações econômicas de caráter dinâmico mediante modelos realmente dinâmicos em sua estrutura.
Tomando a validade desta abordagem como um dado, proce-dimento semelhante foi adotado para o caso brasileiro, levando-se em conta as características da exploração da pecuária de corte no País. Foram construídos dois modelos ao nível de produtor individual, com base na hipótese de que este maximiza seus lucros ao longo do tempo. Supondo que não há diferenças de comportamento entre os pecuaristas, o estudo pode ser estendido ao nível do setor da pecuária de corte como um todo.
Qualquer trabalho empírico sobre pecuária no Brasil esbar-ra, no entanto, na carência de dados estatísticos para o setor. Deste modo, foi necessário, a partir dos poucos dados oficiais disponíveis e fazendo uso de trabalhos anteriores, gerar as séries necessárias às estimativas. A implicação imediata deste fato é que, como a teoria já se mostrou eficaz anteriormente, a estima-ção do modelo pode ser entendida ainda como um teste para as séries geradas.
No capítulo 2 procura-se dar uma visão global da pecuária de corte brasileira, discutindo-se alguns de seus principais problemas e dando-se ênfase especial ao fenômeno cíclico que vem caracteri-zando o setor há, pelo menos, cerca de duas décadas.
Os modelos dinâmicos baseados no comportamento do pe-cuarista a nível individual, cujo objetivo é maximizar seus lucros esperados ao longo da sua vida, são desenvolvidos no capítulo 3. O primeiro modelo leva em conta todo o conjunto de decisões que o pecuarista pode tomar em relação a seu rebanho, ou seja, o número de bois, novilhas e matrizes a vender para abate, e o número de novilhas que serão alocadas ao estoque reprodutor. Este modelo, no entanto, não pode ser usado para efeito de
JArrow, K. J.; Karlin, J. S. & Searl, H. Studies in the mathematical theory of inventory and production. Stanford, Stanford University Press, 1958.
estimativa. devido à total ausência de estatísticas a nível nacional sobre o abate de novilhas. Este fato pode ser creditado às restrições legais existentes no País ao abate desta categoria de animal. com o objetivo de acelerar o crescimento do rebanho. o que não impede. no entanto. que abates de novilhas se dêem de maneira clandestina.
Um segundo modelo foi então desenvolvido. considerando-se a hipótese de que todas as novilhas são automaticamente incorpo-radas ao estoque reprodutor. restringindo-se assim as decisões do pecuarista ao número de bois e matrizes a vender para abate em cada periodo.
No capítulo 4 serão construídos os dados necessários à esti-mativa do modelo restrito. bem como serão discutidas duas tenta-tivas anteriores de estimar a estrutura e evolução do rebanho bovino nacional feitas por Guilherme Leite da Silva Dias· e pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento da Pecuária - Condepe5 •
Uma vez que entre as variáveis independentes. a que se chega por meio da solução ótima d.o modelo dinâmico. aparecem vários preços esperados. é necessária uma teoria para explicar a formação destas expectativas. Em seu trabalho. José L. Carvalh06
mostrou que o uso de análise de séries de tempo. conforme desen-volvida por Box e Jenkins 7. gera estimativas de expectativas não
só equivalentes. salvo algumas restrições. à idéia de expectativas racionais sugeridas por Muth8
• o que lhes confere um
embasamen-to teórico como. também. do ponembasamen-to de vista empírico. represen-tam boas aproximações das séries observadas. Assim. será este o procedimento adotado no trabalho para gerar as séries de preços
4Dias. Guilherme L. S. Avaliação da política econômica para a pecuária de corte no Brasil. Tese de doutoramento apresentada à Universidade de São Paulo em 1972. _ _ o Notas sobre as estimativas do rebanho bovino. Estudos Econômicos. São Paulo. Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo. 2 (4): 129-41. 1972.
5 Conselho Nacional de Desenvolvimento da Pecuária - Condepe. Pecuária
bovina - bases para um programa de desenvolvimento. oul. 1974. 6Carvalho. José L. op. cit .. capo 4. 5 e 6.
7 Box. G. E. P. & Jenkins. G. M. Times series analysis. forecasting and control. São
Francisco. Holden-Day. 1970.
8Muth. J. F. Rational expectations and the theory of price movements.
Econome-trica. 39: 315-35. jul.. 1961.
esperados. No anexo este procedimento é adotado, assim como o modelo utilizado, o qual foi formulado por Paulo Rabello de Castro e Roque Femandez9 •
No capítulo 5 o modelo restrito é então estimado com base nos dados gerados no capítulo 4. Como o modelo foi desenvolvido para o pecuarista a nível individual e os dados referem-se à pecuária de corte como um todo, toma-se necessária a hipótese de que as funções de comportamento ótimo, obtidas no capítulo 3, não variam de um criador para outro. Os problemas resultantes da agregação são discutidos, bem como os resultados das estima-tivas e os problemas econométricos encontrados. As conclusões do estudo são apresentadas no capítulo 6.
9 Castro. Paulo R. de & Fernandez. Roque. Conjectures and evidences on the behavior of the Brazilian beef cattle market. 1956-1974. Trabalho apresentado no Latin American Workshop. Universidade de Chicago. a 30 de maio de 1975. mimeogr.
2. ALGUMAS CONSIDERAÇOES SOBRE A PECUÁRIA DE CORTE NO BRASIL
o
objetivo deste capítulo é oferecer, ainda que de forma sucinta, uma visão global da pecuária de corte no País.Serão apresentadas inicialmente as principais características estruturais do mercado, bem como alguns aspectos da ação governamental no setor. Em seguida será abordado o caráter cíclico que vem se verificando na oferta de animais para abate, há já algum tempo.
2.1. Estrutura de mercado e açio governamental
Pode-se subdividir a exploração da pecuária de corte em três fases distintas: produção, processamento e distribuição.
Na produção identificam-se três tipos de criadores. O primei-ro é o que possui o estoque repprimei-rodutor e 'se dedica à pprimei-rodução de crias. Em seguida, vem o criador que compra essas crias e as mantém durante a fase de recria, geralmente um ano, para vendê-las ao pecuarista que irá então se responsabilizar pela engorda, ou seja, preparar os animais com o objetivo de vendê-los para abate. Devido ao grande número de elementos no mercado e à incapacidade de cada um de afetar o preço, este sétor pode ser considerado competitivo.
A etapa seguinte, a do processamento, é representada pelos frigoríficos, aos quais pode-se atribuir também a distribuição do produto no atacado. Trata-se de uma estrutura cartelizada, agin-do os frigoríficos como oligopsonistas em relação aos produtores e como oligopolistas em relação aos varejistas.
indispensável aos altos investimentos necessários à instalação de uma firma no setor. Aqueles que conseguem ter acesso ao crédito superestimam, de uma maneira geral, a capacidade de suas plan-tas. Desta forma, embora correndo o risco de ter capacidade ociosa durante alguns períodos, o empresário tem condições de aumentar a produção, evitando a entrada de novos elementos no mercado. Existe ainda o aspecto relacionado à política de esto-ques reguladores, que será examinada mais adiante.
Quanto aos varejistas, podem ser considerados como toma-dores de preços. Observa-se uma crescente penetração dos super-mercados no setor, fazendo com que os açougues busquem urna maior diversificação de produtos, tais corno carnes de aves e de suínos, e que pode vir a transformar o setor em não-competitivo .
.
Em resumo, pode-se dizer que os setores da produção e da distribuição no varejo são competitivos,ao passo que o setor inter-mediário é altamente concentrado e com grande poder de influen-ciar o mercado.Em 1971, o Governo colocou em ação a política de estoques reguladores com o objetivo de tornar mais estáveis a oferta e o preço da carne ao' longo do ano. O sistema de alimentação do gado baseia-se fundamentalmente nos pastos naturais, os quais, por sua vez, estão condicionados a fatores climáticos. No período das chuvas, de outubro a maio, a alimentação é farta, ganhando o gado condições de abate. Na estação seca o custo de manter o peso dos animais é maior e a oferta de carne diminui, levando a uma alta em seu preço.
Para conseguir seu intento, o Governo poderia agir sobre a produção, estimulando a manutenção do peso dos animais na estação seca, mediante uma complementação alimentar, ou sobre o setor intermediário, por meio de um aumento da capacidade instalada dos frigoríficos, o que viria permitir um maior número de abates durante a estação das chuvas e o armazenamento do excedente para distribuição na estação seca. A alternativa escolhi-da foi a segunescolhi-da.
Dentre as críticas feitas à escolha, destaca-se o trabalho de Guilherme L. S. Dias, o qual, numa análise custo-benefício, mostra que o custo da alternativa escolhida é maior do que os
custos de deixar o gado perder o peso ganho ou de mantê-lo à base de suplementação alimentar 1. na estação seca.
Além da conseqüência imediata de desincentivar investimen-tos na tecnologia de alimentação do gado por outros meios como
á
alimentação de entressafra (pastos artificiais, forragem), o programa teve outros efeitos importantes. Nos primeiros anos, principalmente, crédito subsidiado era concedido às companhias para que estas adquirissem e abatessem estoques na estação chuvosa, os quais seriam distribuídos na estação seca, de acordo com o cronograma governamental. O montante de crédito, por sua vez, varia de acordo com a capacidade instalada da firma, havendo assim um incentivo para que esta superestime sua capa-cidade. Outro aspecto menos óbvio é que, com esta capacidade ociosa, a firma pode aumentar rapidamente a produção ao se sentir ameaçada por novos competidores.Como o controle governamental sobre a ação dos frigoríficos não é muito severo, estes passaram a fazer uso de poderes de oligopólio em suas relações com os distribuidores varejistas. Por outro lado, em suas transações com os criadores, a tendência é adiar as compras de animais para os meses finais da estação chuvosa, pagando assim um preço menor, devido à grande oferta acumulada.
No que tange ao objetivo de estabilização dos preços, o plano preocupou-se apenas com parte do problema, ou seja, as flutua-ções sazonais. Outros fatores igualmente importantes precisam ser levados em consideração, como o crecimento mais rápido da demanda que o da oferta, responsável pela tendência ascendente da série de preços reais do boi gordo. Programas visando maior dinamização da produção e maior precocidade nas idades de abate e primeira parição seriam de grande valia no sentido de fazer com que a oferta acompanhasse mais de perto os desloca-mentos de d~anda.
Um outro aspecto até então negligenciado, apesar de sua extrema importância, é o componente cíclico da série de preços, que será abordado em seguida.
1 Dias. Guilhenne L. S. op. cit.
2.2 O ciclo da pecuária de corte
A pecuária de corte nacional vem experimentando, pelo menos ao longo do período em que as estatísticas disponíveis permitem um acompanhamento, um fenômeno cíclico de impor-tância crucial, podendo ser considerado como o aspecto mais relevante do setor, por suas implicações sobre o complexo pecuá-rio como um todo, bem como sobre os setores dele dependentes.
Baseado numa série de preços reais do boi gordo, recebidos por pecuaristas de São Paulo, o Grupo de Informação Agrícola dividiu esses dados em quatro ciclos, sendo três deles completos, em forma de tabela (1) e de gráfico (1), reproduzidos a seguirl.
Tabela 1
Médias anuais do preço real do boi gordo recebido por pecuaristas de São Paulo (Em Crl/arroba, equivalentes a março de 1977)a
lI! 211
CicIob CrS/@ CicIo crS/@ 1958 99.6 1959 109,5 1960 152,5 1954 114.2 1961 160,0 1955 126.IA 1962 163.IA 1956 116.9 1963 148.4 1957 98.9B 1964 130,4B
Média
114.0 Média
54-57 58-64 137.9 Fonte: IEA/SEC - Ag. São Paulo. Elaboração: GIA.
Convenções: A = limite de alta do cicIo. 311 CicIo 1965 1966 1967 1968 1969 Média 65-69
B = limite de baixa do ciclo.
41! crS/@ CicIo
1970 1971 1972 132,4 1973 183,4A 1974 149.5 1975 133,2 1976 122.6B 1977 Média 144.2 70-77
a Ajustado pela média anual do IGP (Co!. 2). Conjuntura Econômica.
b Ciclo incompleto pela falta de dados anteriores a 1954.
crS/@ 150,4 171,1 184,7 241,2 251.4Á 211.7 185.2 179.7B 1%,09
Obs.: A média para o penodo janeiro-maio de 1978 foi de CrS 200,6/@.
lPecuária de corte: reflexões sobre o futuro. ARroana(l'sis. GIA-IBRE-FGV, J (10): 2-8. maio. 1977.
Figura 1
Médias anuais do preço real do boi gordo. conforme dados da tabela 1
crS/@
240
200
160
120
,
80
10 ciclo 20 ciclo 30 ciclo 40 ciclo
57 64 69
Elaboraçlo: GIA.
\
Anos
77
Como bem de capital. o preço de uma matriz depende do valor esperado para seu produto, ou seja, o boi gordo. Assim, se ao observar a tendência declinante do preço do boi gordo o pecuarista projeta esta tendência para o futuro, o valor presente das matrizes cai, não havendo estímulo à sua manutenção. Um maior número de animais é então vendido para abate, aumentan-do a oferta e reforçanaumentan-do a tendência aumentan-do ciclo. Convém lembrar, no entanto. que o abate de vacas e bezerros em um período é substituto de um abate futuro de bois. Desta forma, um período de queda nos preços do boi gordo. caracterizado por uma elevada matança de matrizes e animais jovens. provocará dentro de algum tempo uma escassez de bois gordos que, por sua vez, irá reverter a tendência declinante do ciclo.
À medida que os preços começam a subir e os pecuaristas extrapolam este aumento para o futuro. passa a haver uma maior retenção de matrizes e crias. reduzindo a oferta e elevando ainda mais os preços. Por outro lado, esta maior retenção é complemen-tar a uma maior oferta futura de bois gordos, a qual levará a uma queda no preço dos mesmos. dando início a uma nova fase descendente.
As amplitudes horizontáis ou duração dos ciclos, bem como as amplitudes verticais, que são as distâncias entre os limites de alta e de baixa. variam de um ciclo para outro. Variáveis econô-micas e fatores climáticos e zootécnicos são responsáveis pelas diferentes amplitudes dos ciclos. Efeitos aleatórios à parte, a duração esperada para cada ciclo é de sete anos, ou seja, o período decorrente do nascimento de uma fêmea até seu primeiro parto (quatro anos). mais o tempo necessário para que sua primeira cria ganhe condições de abate (três anos). Este período, excessivamente longo, poderia ser reduzido por meio de um programa de incentivo a uma maior precocidade do rebanho, amenizando assim os problemas dos pecuaristas, nas fases de queda do preço, e dos consumidores, nas fases ascendentes.
Outras evidências do ciclo são apresentadas a seguir, ainda com base no trabalho do GIA3. A tabela 2 mostra que no período 1970-1974 o novilhão. que é o macho ainda sem condições ideais de abate. está valorizado em relação ao boi gordo. Este período
J Dados extrai dos das tabelas I e lI-A de AgTOGlUllysis. GIA-IBRE-FGV. I (lO): 17-18. maio. 1977.
coincide com a fase ascendente do quarto ciclo. Se os pecuaristas projetam esta tendência para o futuro, é natural que um ágio igual ao valor presente da diferença entre o preço esperado e o preço atual do boi gordo seja cobrado pelo novilhão. A partir de 1975. já então na fase descendente do ciclo, quando as expectati-vas são de que os preços futuros do boi gordo serão menores. o novilhão sofre um deságio em relação ao animal pronto para o abate.
Ano 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 Jan. 1977 Fev. 1977 Mar.1977 Abr.1977
Tabela 2
Preço relativo novilhão/boi gordo em Minas Gerais. 1968-abril 1977
Preço relativo novilhio/boi gordo 1.01
0.98 1.01 1,10 1.04 1.07 1.15 1.06 0.98 0.79 0.77 0.83 0.89
Fonte: Epamig - citado pela Fundação João Pinheiro. Elaboração: GIA.
Os dados da tabela 3 dão outra indicação do ciclo. Nas fases descendentes. qu~ndo o valor presente das matrizes diminui. a relação percentual entre abates de vacas e de bois é bastante elevada. caindo substancialmente por ocasião da reversão do ciclo. quando os preços esperados para suas crias voltam a se elevar.
11
Tabela 3
Relação percentual entre abates de vacas e de bois, sob controle do Sindicato da Indústria do Frio
de São Paulo, 1967 - lQ trimestre de 1977
Ano
1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 111 trimestre 1977
Abates de vacas
---(%)
Abates de bois
9.58 9.50 12.66 13.42 6.26 3.98 4.35 4.97 10.59 29.94 35.03
Fonte: Sindicato da Indústria do Frio do Estado de São Paulo. Elaboração: GIA.
seu preço volta a se elevar, Esta relação fica clara a partir do exame da figura 2',
220 200 180 160 140 120 .Figura 2
Preços médios anuais do boi gordo e do leite em termos reais, para São Paulo, 1960-1977
CrI'O·
CrI'I00I"
- - preço do leite - - - - preço do boi gordo
·
·
• I I \ \ \ A \ \ Ciclo I \,
\,
,
,
\ "J
V
•
.
\ Ciclo 11 \ \ \ \lo,
,
,
"~
,
,
,
,
I I I I,
Ciclo 111 \,
\, ,
'"
'-AP
,
,
60 1>1 1>2 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
• Preços constantes de dez. 71> - Def\ator IGP col. 2 Elaboraçlo: Grupo de Informaçlo Agricola. A = alta global
AP = alta parcial
Anos
4 Leite: benevolência. balbúrdia e abuso. Agroanalysis. GIA-IBRE-FGV, I (16):
2-15. seI. 1977.
No período 1970-1973. estimulados pelos preços crescentes e por um mercado externo promissor. os pecuaristas buscavam, mediallte empréstimos. obter os recursos necessários aos investi-mentos em sua então lucrativa atividade, sendo prontamente atendidos pelo Governo. que procurava. por sua vez, controlar o aumento no preço da carne. Vários órgãos de apoio foram criados como Proterra. Pronap. Condepe. PDPL. etc. Estes empréstimos, no entanto. tiveram um efeito pró-cíclico pois. uma vez aumenta-da a liquideI dos pecuaristas. houve um maior estímulo à reten-ção e LOnseqüentemente à alta de preços.
Na fase descendente do ciclo nenhuma medida importante foi tomada a respeito. havendo inclusive suspensão dos créditos de imestimento no período 1975-1977. uma vez que os pecuaris-tas ainda tentavam pagar as dívidas contraídas na fase da bo-nança.
Em 1977 foi então criado o Programa Nacional de Desenvol-vimento da Pecuária - Propec, o qual foi reativado em 1978, quando se prometeram recursos da ordem de Cr$ 4,5 bilhões. É evidente o caráter pró-cíclico do Propec, cuja época mais oportu-na de lançamento teria sido a fase descendente do quarto ciclo, fkando o alerta de que, caso suas aplicações não sejam cuida-dosamente planejadas. poderão vir reforçar a previsível escassez de carne na fase ascendente do ciclo que ora se inicia.
3. OS MODELOS DINÂMICOS
Neste capítulo serão desenvolvidos dois modelos dinâmicos de maximização do lucro ao longo do tempo. por meio dos quais se procurará aproximar o comportamento do pecuarista de corte no Brasil.
No item 3.1 será dada uma visão geral das fases da explora-ção da pecuária de corte brasileira. Em 3.2 será desenvolvido um modelo completo. levando-se em conta todos os aspectos discuti-dos em 3.1. Será construída uma função lucro e. com base na hipóh:se de que o pecuarista busca maximizar estes lucros ao longo de sua vida. que será medida em anos, proceder-se-á, mediante o uso da técnica de programação dinâmica, à determi-nação de seu comportamento ótimo, ou seja, aquele que lhe permite alcançar seu objetivo de maximização. No item 3.3 será levada em consideração a restrição legal ao abate de novilhas no Brasil e' um modelo restrito será então desenvolvido.
3.1 As fases da exploração da pecuária de corte no Brasil Com o intuito de dar uma idéia geral do problema. foi elabo-rado o diagrama de fluxo (figura 3). com base no qual serão expostos os aspectos principais.
O fluxo começa no estoque reprodutor ou de capital, que compreende as vacas, os touros e novilhas com mais de três anos de idade. Por novilha entende-se a fêmea que ainda não teve sua primeira cria. Não haverá preocupação maior com os touros. que serão considerados uma proporção fixa em relação ao número de fêmeas em idade de fecundação. De acordo com os censos agríco-las de 1950 e de 1960 e com o censo agropecuário de 1970. esta relação. no Brasil. manteve-se estável por volta de 5% no período
---
1949-1970. Assim. chamando de A()/1 os animais nascidos em 1/ e
de Kno estoque de capital no início do período 11 tem-se:
(1)
onde À
<
1Desta forma. a decisão do pecuarista restringe-se ao número de fêmeas a manter no estoque reprodutor.
Fatores como a mortalidade e a incerteza quanto ao número de animais a produzir causada por modificações nas condições de mercado justificariam a manutenção por parte do pecuarista de um número de fêmeas superior ao número desejado de crias. A fase de cria estende-se até cerca de um ano de idade. É a fase em que os animais são vacinados. marcados e os machos não desti-nados à reprodução são castrados.
A seguir vem a fase de recria. É uma fase que não exige muitos cuidados do criador. devido ao sistema extensivo de criação predominante no País. No período das chuvas, quando os pastos tornam-se melhores. os animais apresentam um certo crescimento e ganho de peso mas, como no resto do ano. de uma maneira geral. não é feita uma complementação alimentar. o gado perde parte do peso obtido e apresenta uma descontinuidade no crescimento. com sérias conseqüências sobre a eficiência re-produtiva e a idade mínima de abate.
Esta fase estende-se até os dois anos de idade. após o que os novilhos castrados são encaminhados à engorda. que é a fase de preparação destes animais para o abate. Será formulada a hipó-tese de que esta terceira fase tenha também a duração de um ano, embora. na realidade. ela não chegue a durar tanto. O objetivo desta hipótese é simplificar o tratamento analítico. pois assim o animal estaria numa fase específica a cada ano no período compreendido entre seu nascimento e os três anos de idade. Quando estes animais atingem este ponto abrem-se ao pecuarista duas alternativas: vendê-los no período para abate como bois gordos ou mantê-los no estoque de engorda para venda futura.
Quanto às fêmeas, finda a fase de recria. são incorporadas ao estoque de engorda, onde permanecerão por mais um período até completarem três anos de idade. quando o pecuarista terá três
llPI,,'ik ... : a) n~lldê-las para ahate no período: b) in(\orporá-Ias ao C\t\lqUC de capital: d mantê-Ias no estoque de engorda. Aquelas incorporada\ ao estoque de capital terão então sua primeira cria por mlta dos quatro anos de idade. As variações no estoque de capital são. pois. as novilhas incorporadas (investimento bruto) e a\ matrizes vendidas para abate. que serão consideradas como depreciação do estoque.
Hú duas hipóteses implícitas no que foi exposto. A primeira é a de que. como o criador não vende animais com menos de três anos. os vitelos abatidos são oriundos dos rebanhos leiteiros e mistos. A segunda é a de que não há transações entre criadores -uma vez que 110 agregado as mesmas se cancelam - nem importação de animais. Cada pecuarista é responsável pela pro-dução de seu rebanho. bem como pela manutenção do mesmo até a venda.
3.2 O modelo completo
Conforme já mencionado. a unidade de tempo adotada é o ano civil. contado em ordem crescente a partir do último período de permallêneia do pecuarista em atiyidade.
De acordo com a descrição feita no item anterior, num determinado período de tempo 1/ o pecuarista possui basicamente
três categorias de animais em termos de faixa etária. Em primeiro lugar as crias. que são os animais com menos de um ano de idade e que serão representados por A on' Supondo que os
nasci-mentos ocorram no princípio de cada ano, esta categoria incluirá apenas os animais nascidos no próprio período. Embora, por hipótese. estes animais não possam ser vendidos. eles possuem um valor associado ao preço esperado para eles três períodos à frente. descontado para 1/. Estes valores serão representados por
I' on para os machos e t on para as fêmeas.
Em segundo lugar estão os animais na fase de recria. que são aqueles entre um e dois anos de idade em 1/. A In' Como está sendo considerada a hipótese de que os vitelos abatidos provêm dos rebanhos leiteiros e mistos e. formulando as hipóteses adicio-nais de que a taxa de mortalidade é a mesma para machos e fêmeas de mesma idade e que a relação entre machos e fêmeas
nascidos num determinado período é igual a um, pode-se dizer que a razão entre machos e fêmeas com idade entre um e dois anos num dado período 1/ também é igual a um. Os animais da
fase de recria também, por hipótese, não podem ser vendidos, mas possuem valores associados aos preços esperados para eles quando tiverem condições de entrar no mercado. Estes valores serão representados por ~'In para os machos e t In paTa as fêmeas.
A terceira categoria é constituída de machos e fêmeas entre dois e três anos de idade. A'1n . Pelos motivos já expostos, a razão entre estes animais é também igual a um e os valores atribuíveis a eles serão representados por v'1n e t'1n • respectivamente.
Para efeito de decisão por parte do pecuarista, há também três categorias de animais: o estoque de capital em 1/. Kn' e os estoques de machos e fêmeas na engorda no período, os quáis serão representados por Mn e Fn. As decisões do pecuarista no período" são então: o número de vacas que ele irá retirar do estoque de capital, Dn. e vender para abate pelo preço de mercado qn; o número de bois que irá vender. Bn, pelo preço de mercado, Pn. para o mesmo fim; o número de novilhas do estoque Fn que ele venderá para abate. Cn • pelo preço c n e o número de novilhas que ele irá incorporar ao estoque de capital. ou seja. o investimento bruto no período, In.
Como. por hipótese. o pecuarista busca maximizar seus lucros ao longo de sua vida, ele tomará as decisões mencionadas procurando atingir este objetivo.
Será considerado ainda que os pecuaristas são competitivos na produção e na demanda.
Com base na discussão anterior, seja então a seguinte a função lucro que o pecuarista irá maximizar. sujeito a certas restrições. supondo constantes os custos unitários:
L (Dn. Bn. C n . In.IKn. M n . Fn. A 211' 11) = q'l • Dn
+
Pn • Bn+
I I
+
Cn • C"+
(I'on+
lon) ( - Aon)+
(I' In+
I In) ( - A In)+
2 2
I a 2 b
+
(v '1n+
1'2n) ("2
A'1n ) -"2
(K n - D n+
In) -2"
(K n-_ B )2 _ ~ " 2
Mn - 1 • F,,-J' A2n-l' n-l)} (2) ollde:
L (Dn , Bn' Cn, In 1Kn' Mn, =
Fn, Ao" n)
valor presente esperado dos lu-cros, n períodos antes do pecua-rista deixar a atividade, condi-cionado aos estoques Kn, Mn,
Fn e A 0,;
I (\' In
+
I In) (T
A In )I (\'0,
+
Im) ("'2 Ao,)~(Kn-Dn+ln)2
~ 2 (Kn - Dn) 2
~
(Mn -Bn+
1-
Am)2d 2
2" (Mn - B,I)
receita total I ;
valor presente dos animais nas-cidos em n;
valor presente dos animais nasci-dos em "
+
1;=
valor presente dos animais nasci-dos em n+
2;custo de manutenção dos ani-mais do estoque de capital; custo pelo envelhecimento do es-toque de capital;
custo de manutenção dos machos no estoque de engorda;
=
custo pelo envelhecimento do es-toque de engorda de machos; custo de manutenção das fê-meas no estoque de engorda;e I
2-2"(F,I-III-CII+2"A
m)
-I
~2"(FII -1'1 - (n)2
~ (AolI)2
"
T(A 1,.)2
"
custo pelo envelhecimento do es-toque de engorda de fêmeas; custo de manutenção dos animais nascidos em ,,;
= custo de manutenção dos animais nascidos no período anterior, ou seja, 11
+
1;= fator de desconto de um período;
1 Deveria ser considerado o preço porarroba.e não por animal. Supondo constan·
En {L (Un_1.Bn_l,Cn-t.ln-1
Kn-l, Mn-I. &-1. A21/-I.
n-l)}
=
valoresperado em 1/ do lucro noperíodo seguinte. 11-1;
En = operador de expectativas no
pe-ríodo 1/.
Pelo fato da função ser quadrática em seus argumentos, fica assegurada a existência de um único máximo. bem como ficam automaticamente satisfeitas as condições de segunda ordem.
Deve-se observar que não foram subtraídos dos estoques que o pecuarista irá manter os animais que morrerão no período. Isto significa que está sendo considerada a hipótese de que a mortali-dade ocorre no fim do período e que o pecuarista, por conseguin-te, incorrerá no custo de manter estes animais. Importante notar que. para o pecuarista. a mortalidade está sendo considerada como um dado, não sendo passível de decisão.
As decisões têm lugar no início do período. de modo que podemos subtrair D n do estoque de capital e B n e C n dos estoques de engorda, bem como transferir a parcela In de F n para Kn·
Foram considerados diferentes custos de manutenção para os animais de cria, recria e dos estoques de capital e engorda, em virtude das características totalmente distintas de cada uma destas fases da exploração da pecuária de corte. Diferentes custos pelo envelhecimento foram também considerados para os estoques de capital e engorda. O principal componente desta parcela é a queda no valor de venda, ceteris paribus. de um animal mais velho. Ela representa também o custo adicional de se manter o animal por mais um período, pois animais mais velhos apresen-tam uma maior probabilidade de morte. Existe ainda um outro importante aspecto de custo referente ao estoque de capital, que esta parcela tenta captar; trata-se da diferente produtividade de fêmeas de idades distintas. Assim, se uma matriz de sete anos for substituída por uma novilha de três, embora em termos numéri-cos o estoque não seja alterado, os custos e benefícios esperados
não são os mesmos, apesar da hipótese de que Aon = À K n'
A função deve ser maximizada, levando-se em conta as seguintes restrições:
K" = (K"+1 - D ,,+1) (1 - Y",.+I)
+
1,,+1 (1 - Y~+I)1
M" = (M"+1 -B"+1 )(1 _yb,,+t) +(TAm +1) .(1-yl:,,+.>
F,,=(F,,+I- In +l,-C,,+l)(I-Y!+I)+(
~Am+l)
•.(1-yl:,,+I)
Atn =(Ao,,+l)(1-Y~+I)=(ÀK,,+t). (1~y~+t>
Am = (Atn+l) (1 - Y~+1 )
(3) onde:
Y~+1
Y~+l
d
Y n+l
taxa de mortalidade de matrizes no período n + 1; taxa de mortalidade de fêmeas com idade entre três e quatro anos no período,,+ 1 e de machos com mais de três anos no mesmo período;
taxa de mortalidade de animais com idade entre dois e três anos no período" + 1;
taxa de mortalidade de animais com idade entre zero e um ano no período" + 1;
taxa de mortalidade de animais com idade 'entre um e dois anos no período" + 1.
A técnica a ser utilizada para a maximização da função lucro será a programação dinâmica. Trata-se de um processo recursivo que consiste em se encontrar a solução ótima para cada período a partir do último. ou seja. em termos deste estudo, desde o último período em que o pecuarista permanecer em atividade. Obtida a solução para este período, ela é utilizada para a obtenção da so-lução do período imediatamente anterior, e assim sucessivamen-te. tantas vezes qu·antas forem necessárias para a determinação da solução geral. que será aquela que passar a se repetir a partir de um dado período.1
'Uma apresentação simples e prática desta técnica está em Howard. Ronald A. Dynamic programming. Management Science. 12: 317-48. jan. 1966.
o
prohlema da maximização foi resolvido considerando-se a hipótese de que o pecuarista conhece com certeza os preços futuros. Esta hipótese. no entanto. não prejudica a solução, uma \'Cz que as condições para a equivalência de certeza de um período sào satisfeitas. O conceito de equivalência de certeza de um período foi desenvolvido por TheiP e Simon4 e será resumidoa seguir.
Seja uma função W(x. y)
=
a'x+
by
+
~
(x'Ax+
y'By + + x'Cy+
y'Cx) sujeita à restrição:Y=Rx+s
sendo x um vetor de instrumentos e y um vetor de variáveis não-controladas. Sejam x ey reais e a. b. A. B e C formados por valo-res constantes. Como x e y possuem componentes estocásticos, de-ve-se maximizar o valor esperado de W (x. y).
R é uma matriz triangular inferior e s é composta por
variá-veis estocáticas com uma distribuição conjunta tal que a distri-buição de um subvetor de s, St é independente de xt ' sendo as
variâncias de s finitas.
Diz Theil com base nestas hipóteses que se a estratégia i, que maximiza o valor esperado de W (x. y). existe e é única, tem, entre outras. a seguinte propriedade:
a decisão de i no primeiro período é idêntica ao subvetor de de-cisões que. no primeiro período. maximiza W (x, y) sujeita à restrição:
Y=Rx+s
quando s é substituído por seu valor esperado.
J Theil. H. Optimal dedsion rules for /lf)\'ernment and industry. Amsterdam.
North Holland Publishing. \%4. capo 4.
4 Simon. H. A. Dynamic pmgramming under unL'ertainty with a quadratic
erite-rion function. Econometrica. 24: 78-81. jan. 1956.
Assim, o conceito de equivalência de certeza de um período permite que se substituam variáveis aleatórias por suas médias esperadas, não havendo necessidade de serem considerados outros momentos das distribuições destas variáveis aleatórias,
A prova formal de que a solução satisfaz as condições de equivalência de certeza não será desenvolvida, uma vez que já foi feita para função semelhantes,
Em seu último período de permanência em athridade, n = 0, o pecuarista irá se desfazer de todos os animais, logo:
Bo = Mo,Do = Ko. Co = Foe/o = O.
Como o pecuarista não vende animais com menos de três anos. evidentemente ele não poderá ter animais com menos do que essa idade em 11 = O. o que significa dizer que o último
período em que ele irá usar seu estoque de capital para fins de reprodução. bem como fará investimentos neste estoque, será
1/
+
4. de modo a ter nascimentos em 11+
3.Assim em 11 =
°
tem-se6 :Ko = Do = K I - DI
Mo = Bo = MI - BI
+
1
A21Fo = Co = FI - CI
+
J..A21 2Ao = O
A \O O
A20 = O
lo :.:..:
O
'Carvalho. José L. op. cit. p. 57.63.
(4)
6 :'lo .. dai, a,à" da 'óolu,ào de lucro máximo nào serào l'orisideradas nas restrições.
I'''LI deilo de ,iml'lifi,a~'àn, a\ taxas de mortalidade. uma ,'ez que estas nào .del.IIH a rorma linal da ,"lu,ão,
De acordo com as n::.trkões anteriores. quando /I O a
função lucro irá resumir-se a:
L (Do. Bo. Co IKo.Mo. Fo.O)
= qoKo
+
PoMo+
coFo· (5)Esta é a própria receita total do período. uma vez que o pecuarista não irá manter animais para períodos futuros.
No penúltimo período. /I = 1. não haverá nascimento de
crias. isto é. A OI
=
Á K I=
O pois A \O = O. nem investimento no estoque de capital. As restrições para este período são:AQl = O
AlI
=
OA21 =AJ2 = A-KJ
/1 = O (6)
Deve-se observar que. como A 20 O. tem-se A 11
O
e A02 = O.Usando as expressões de Ko. Mo e Fo de (4) a função lucro para /I = 1 será:
+('1 • CI
+
(\'21+
'21) (_1_ A2I> - .!!.(KI _ Dl)2 _2 2
h . 2 (' 1 2 d 2
-2"(J( \ -D\) -2"(MI -B\ +"""2A2I) -2"(MI -BI )
-(' I I"
- J (FI - CI
+
2
An)2 - -'- (FI - Cl)2+
"El {qo- . ,2
(KI - / ) \ ) +pO(MI -B\
+
-I
A 21)+
co
(FI - C l+-i
(7)
Deri\'ando a expressão (7) parcialmente em relação a DI.
B I e C I. que são as decisões que o pecuarista pode tomar no pe_ ríodo com o intuito de maximizar o lucro. e igualando estas deri-,"adas a zero tem-se:
iJ L(. .. \ .... l)
iJDI
iJ L ( ... / .... 1) iJBl
iJ L ( ... 1 .... 1)
iJC 1
I
=
P I+
c (M 1 - B I+ 2'
A 21)+
d (M 1 _- Bl) - " E I (PO)
=
O=
c I+
e (F I - C I+
1-
A 21)+
f
(F I-- C I ) -- f I EI(co) =0 Explicitando-se DI. B I e C I vem:
D1 =
u+h
q
+
K I - _1_ fi EI (qo)I a+h
p 1
+
M I+..!..
A -. _1_K 3 - ' _1_" E I (P o)2 c+d c+d
Bl= c+d
q
+
F I+
..!..
i _1_ K 1 - _1_ " E I (co)2 e+f e+f
(8)
C1=
e+!
As condições de segunda ordem são automaticamente satis-feitas pelo fato da função ser quadrática nos argumentos.
No antepenúltimo período de permanência do pecuarísta em atividade. 11 = 2. também não haverá nascimento de crias. isto é.
A02
=
O pois AlI=
O e A 20=
O. nem investimento bruto. As restrições neste período são:K2=K)-D) M2=M)-B) F2=F)-C)
A02 = O
A12 = Ao) =ÀK)
A 2 2 = A I) = À K 4
12 = O (9)
Procedendo-se à maximização de acordo com a técnica já descrita. encontra-se a seguinte solução para 11 = 2:
1 1 À 1 ]
B2 = c +d P2 +M2
+ -
- - K 4 - - . - - aE2(PI)2 c +-d c+d
1 1 1 1
C2 = - - q
+
F2+ -
À - - K4 - - - " E2(q)e+f 2 e+f e+f
(lO)
Ao escrever a função lucro para 11 = 3 e obter a solução de
lucro máximo para este período. observa-se que esta é idêntica à que foi obtida para 11 = 2. a menos dos subscrítos. Assim. para
estes três períodos tem-se:
D -= _1_ q -
+
K- _ _ 1 __ a E-(qi-l)I a+b I I a+b I
B; = __ l_p;
+
M;+
...L À _ _ c _ K;+2 ___ I_aE;(p;_I)c+d 2 c+d c+d
1 1 À e 1
C- = - - c-
+
F-+ -
- - K - + 2 _--aE-(C-_I)I e+f I I 2 e+f I e+f I I
para i
=
1.2 e 3. (11)Esta igualdade de soluções. no entanto. deve-se às caracte-rísticas específicas da exploração da pecuária de corte no País. illtroduzidas no processo de maximização por meio das restrições. Em nenhum dos períodos mencionados a venda de matrizes e lIovilhas irá afetar o nascimento de crias no período seguinte. uma vez que A 00
=
A O 1 ;= A O 2=
O. bem como não são feitos illvestimentos no' estoque de capital. Há ainda um outro aspecto que deve ser menciollado: na medida em que não se leva em cOllsideração O' papel desempenhado por estes animais narepro-dução. lIão se capta a inter-relação com os mesmos e suas crias futuras. Observa-se em (11) que a oferta de matrizes e novilhas para abate depende apenas de seus preços atuais e um período à frellte. o que seria de se esperar apenas para a oferta de bois gordos. que não desempenham papel reprodutivo algum.
Prosseguindo então com o processo de maximização. consta-ta-se que as soluções para os períodos quatro e cinco são idênti-cas a menos dos subscritos. o que significa que a solução geral foi ellcontrada. Derivando-se a função lucro parcialmente em relação a cada uma das variáveis de decisão do pecuarista. Dn. In C n e Bn. encontra-se o seguinte sistema:
A -b _ q n 1 E ( ) _ A.
DII - - - - I n - Kn
+---- - "
n qn-l - ti En.A A A 2A
• (I'On-1
+
tOn-1) _ ~ ,,2 En (v 1n -2+
t1n-2)-2A
cÀ 3 ) eA )
_.::::...:c=-- " E (p - " 3 En (C 3
-2 (e+j) n '1-3 2(e+j) n
A. dA.
- - tl3 E n(v 2n-3
+
t 2n-3) - _-=--.e_2A 2 (c+d)
D.
4a En (cn-4) 2 (e+j)
-Dn(A-b)
+
In(A-b+e+j)+
Cn(e+j) = Kn(/J.-b) ++Fn(e+j)
+
e-+
ÀK n+2+
uEn(q n-l) - "En(cn-l )+
+ ;
uEn(V<WI_1 +t<WI-I)+ ;
a2En(Vln_2 +t 1n - 2 )++
---="-c12 ,,3 EIl(p n-3)+ -'--'-'--
e Á ,,3 En(c n-3) +2(c+d) 2 (e+j)
+
..!.,,3
En. (V2n-3+
t2n-3)+
dÁ2 ' 2 (c+d)
+
f
Á u 4 En (cn-4) 2 (e+j)1
In(e+j)
+
Cn(e+f) = cn+
(e+f) Fn+
e - Á Kn + 2 -2Bn =_I_Pn +Mn
+
~ Á _c_K n+2--I-u En(Pn-l)c+d 2 c+d c+d
onde:
â = a
+
b+
g Á<1+
hÁ u 2+
_-,-cd:c..-2_À_2_+ _c,-2_Á2d _ _ +4(c+d)2 4(c+d)2
+
e[2
À 2+
_e_
2:..,.'f..:;:Á_2_ 4 (e+
f)2 4 (e+
/)2(12)
A última equação referente aos bois gordos é independente das demais referentes às fêmeas. uma vez que os primeiros não podem ser usados para reprodução.
Resolvendo o sistema dado para as três primeiras equações e repetindo a última temos a solução geral do problema:
1
Dn = Kn
+
li (qn - c n )1 li
In = li qn - b(li-b) Cn +-l-"En(qn_l) li-b + 2 (li-b) Á
H En •
• (Vo.._l )
+
10..-1)+
Á ,,2En(vln_2-t-lln_2)+2 (li-b)
+
cÁ ,,3En(Pn-3) + eÁ ,,3En(c n_J) +2 (c+d) (li-b) 2 (e+j) (li-b)
+ Á ,,3E n (1'2n_31+1 2n-3)+ Á ,,4En.
2 (li-b) 2(c+d)(li-b)
o (p,,-4)
+ __
~[,-,",-1 _ _ 2 (e+j) (A-b)C" = F"
+ - - +
[ 1
Aj
c"+
- 1 - -1 e K ,,+2 - - - uEn •1
e+[ b (A-b) 2 e+[ e+[
'(c,,-t> _1.q " _ _ 1_ a E,,(q,,-t> - --'_"E,,(V(M_l
+
b A-b 2 (A-b)
+
I(M-l) _ _ _ 1_" 2E,,("In_2+
11,,_2) _ cl2 (A-b) 2(c+d) (A-b)
o"3E,, (P,,-3)- e1 1r,3E"(c"_3) _ _ _ 1_,,3. 2 (e+j) (A-b) 2 (A-b)
o E,,(v 211-3
+
1211-3) _ d 1 Ir 4En(P,,-4)-2(c+d) (A-b)
f 1 tr 4 E,,(c,,-4)
He+j) (4-b)
1 1 1 1
B" = M" +--P"
+
-2 À --K"+2 ___ ,,, E,,(P,,_I)c+d c+d c+d
(13)
(13) As equações da solução geral (13) podem ser estimadas sepa-radamente aplicando-se mínimos quadrados simples a cada uma delas. No entanto, as decisões a que se referem as três primeiras equações não são independentes, sendo de se esperar, portanto, que haja uma certa correlação entre os resíduos destas equações. Neste caso, a eficiência dos coeficientes estimados pode ser au-mentada mediante o emprego de técnicas de estimação conjunta, uma vez que as variáveis independentes diferem de uma equação para outra 7.
3.3 O modelo restrito
Na formulação do modelo apresentado admitiu-se a possibili-dade do pecuarista vender para abate algumas das novilhas de três anos de idade. sem levar em conta as restrições legais
7 Zellner. A. An Efficient method of estimating seemingly unrelated regressions
and test for aggregation bias. Joumal o[ lhe American Statistical Association, 58: J4X-óB. June. 1%2.
existentes no País ao abate de animal desta categoria, com a conseqüente falta de dados estatísticos a respeito. Dispõe-se ape-nas de séries de abate de bois, vacas e vitelos, embora muitas novilhas sejam abatidas clandestinamente.
Desta maneira, a aplicação do modelo anterior toma-se inviável, sendo necessária a elaboração de um novo modelo em que seja formulada a hipótese de que todas as novilhas ao completarem três anos são incorporadas ao t:slol,fue de capital, só podendo ser vendidas para abate após terem tido sua primeira cria, já então como vacas, a partir da idade de quatro anos .
. d
A figura 4 representa o novo fluxo do rebanho. Deve-se observar que onde antes abriam-se ao pecuarista as alternativàs de. uma vez a fêmea tendo completado três anos, mantê-la no estoque de engorda. incorporá-la ao estoque de capital ou vendê-la para abate. agora só lhe resta a opção de juntá-vendê-la ao estoque reprodutor. Desta forma. neste modelo, as variáveis de decisão para o pecuarista são o número de bois e matrizes que ele irá vender para abate no princípio do período 11. B" e D", os quais
ele retirará dos estoques M" e KII' respectivamente.
Feitas estas modificações e mantidas as demais hipóteses do item anterior a nova função lucro seria:
L(D", Bn/K", M", AJn, A2n, 11) = q" oD"
+
p" oB" +I
+
(v On+
Io") (
"2
Ao")
+
(I' I"+
I 1")cf
A I")+
(v 2n+
1 1
12n)
('2
A2n)+
13" ("TA3")--;(K"-D"+~
AJn)2_~(K"-D")2-2
c 1 2 d e
-T(M"-Bn
+
2'
A 2n ) - "2(M" -Bn}2 - "2(Ao
"}2-- "i
(A In)2 -~( ~
A2n}2+
a En {L(Dn-l. B"-I, K"_I •M n-I. A3" - I , A 2n-1 • /I-1)}
onde:
(14)
L(Dn' Bn JKín' M", A Jn, A àt /I) = valor presente esperado dos lucros. 11 períodos antes do
pecuarista deixar a atividade. condicionado aos estoques K", Mn, AJn e A2n;
'I" o D"
+
Pn o B" = receita total:(I'!}, +/!},)( +AOn) = valor presente dos animaisnascidosemn:
(V In + / In)
(-2-
A In) = valor presente dos animais nascidos 2 em 11+
1;(1'2"
+
12,,)(2...
A 2n) = valor presente dos animais nascidos2
em 11 +2;
tJ,.
<+A3,.)
= valor presente das fêmeas nascidas em n+3;~
(K,. - D,.+
~
A 3n ) 2 = custo de manutenção dos animaisb 2 do estoque de capital;
2"
(K,. - D,.) 2=
custo pelo envelhecimento do estoque de capital;~
(M,. - B,.+
+
A 211) 2 = custo de manutenção dos machosna engorda;
.!{ (M,. - B,.)2 = custo pelo envelhecimento do estoque de
2 machos na engorda;
~ (Ao,.) 2 = custo de manutenção dos animais nascidos em n;
{ (A 1,. ) 2
=
custo de manutenção dos animais nascidos no pe-ríodo anterior, ou seja, n+
1; .1-
(+
A 211 ) 2 = custo de manutenção das fêmeas nascidas em11 +2;
a = fator de desconto de um período;
E,.{L(D ,.-1, B ,.-1
IK
,.-1, M ,.-1, AJ,. -1, A 211-1 ,1I-1)}=
= valor esperado em 11 do lucro no período seguinte,
n-l;
E,. = operador de expectativas no período n.
. Deve-se observar que as fêmeas que completam três anos no período estão sendo' representadas por
+
A 3n pois, embora os machos de mesma idade j~ possam ser vendidos para abate, A 3n significa todos os animais que completam três anos em li, ou seja,inclui os machos nascidos em 11
+
3 e que porventura venham a servendidos no período.
A função deve ser maximizada levando-se em conta as se-guintes restrições:
K,. = (K"+1 - D,.+I) (1 - Y:+l)
+
(+
A3,.+ 1)(1 - y b )
,.+1
. b 1
M,. = (M ,. +t - B,. + 1 ) (I - y ,. + 1 )
+ (
"2
A 2 ,. + 1 )c (1 - Y ,.+1 )
A DI = (A In
+
I ) (1 - y : +1 ) (15) onde as taxas de mortalidade têm os mesmos significados do item anterior.No seu último período em atividade, n = O, o pecuarista irá se desfazer de todos os animais, logo Bo
=
Mo e Do=
KO'Por outro lado, o pecuarista, por hipótese, não vende machos com menos de três anos e fêmeas com menos de quatro anos. Como não é possível prever o sexo do animal a priori. o último ano em que o pecuarista irá usar seu estoque de capital para fins de produção será em li
=
5, de modo a ter nascimentos em n=
4(A04) tendo, por conseguinte, em n = O, animais com, no mínimo. quatro anos de idade. Desta forma, em n = O as restrições são:
(K /I 1 b
Ko
=
Do=
I - DI)(1 - y 1)+
(2"
A3I> (1 - Y I )Mo
=
B O=
(M 1 - B 1) (1 _ Y b)I
AOO = O
AIO = O
(16)
De acordo com as restrições mencionadas, quando n = O a função lucro Irá resumir-se a:
L (Do. BoIKo. Mo. O) = qo. Do
+
poBo= qcl(o+
poMo(17) Como o pecuarista não irá manter animais para períodos futuros, esta é a própria receita total do período.
Para o penúltimo periodo. 11
=
1. tem-se:Kl = (K2 - D2) (1 - y Q)
+
(2.
A32) (1 _ y b)2 2 2
b 1 c
M1 = (M 2 - B2) (1 - y 2)
+ (
2"
A22) (1 - y 2)AOl = O All = O
A31 = A22 (1- y c
2) = A-K4 (1- Y d) 4 3 2 (1 _ y e) (1 _ y c)
(18) Usando-se as expressões de K O e Mo de (16) a função lucro para n = I será:
L (Dl. Bl Ki> Ml. A31. A2t • 1) = ql D l
+
PIB l+
+
t31 ( l A31)-~(K
1 - Dl+
1-A31)2 - b2 (K 1 -Dl)2-2 2 2
- .E....(M 1 - B 1)2 - .É...(M 1 - B 1) 2
+
a E { q O [ (K 1 - Dl)2 2
(1-yQ)
+
(-21 A31)(I-yb)+
PO(MI-Bl) o(1_yh)]}1 1 1
(19) Derivando-se (19) parcialmente em relação a Dl e a B 1. as decisões que o pecuarista pode tomar. tem-se:
aL(. .. / .... I) =
+
(K - D +..!...A )+
a
D I ql a I I 2 31Igualando estas derivadas a zero têm-se as condições de pri-meira ordem do processo de maximização:
1 d e
(a+b)DI = qI
+
(a+b)KI+
2"ÀK4(1-Y 4)(1-Y 3)·• (l_ye) - (l-yQ)nE1 (qO)
2 1
b
(c+d)B1 = Pl
+
(c+d)M1 - (1-y )trEl(PO)1 (20)
A solução deste sistema triangular nos dá o comportamento do pecuarista no período n = 1. Resolvendo (20) teremos, então:
o -
y ~)(a+b)
a EI(qO)
0-
yb)BI = _1_ PI
+
MI _ 1c+d c+d (21)
As condições de segunda ordem são satisfeitas automatica-mente, uma vez que a função é quadrática em seus argumentos.
Para 11
=
2 também não haverá nascimento de crias, A 02 = O. visto que A 11 = A 20 = O. As restrições neste período são:A02 = O
A 12 = O
d e d ( e)
A22=A04(1-Y )(1-y )=K 4 (1-y ) 1-y 4 3 4 3
d e c _ ( d).
A32 = Aos O - Y ) (1 - y ) (1 - y ) - K5 1 - Y S
3 4 3
• O - y ~) (1 - y ~)
36
Maximizando-se de acordo com a técnica descrita, é a se-guinte a solução para 1/ = 2:
a
a+b
1
c+d
c
c+d
(23)
Ao serem obtidas as soluções de lucro máximo para os perío-dos"
=
3 e 1/=
4, estas coincidem com a solução encontrada para 1/ = 2, a menos dos subscritos. Generalizando a solução para estestrês períodos tem-se:
\
D· = 1 b)q. +K, +-21 A(1-yd ) (1-y~ ) (1 - y ~
, (0+ , ,+3 ,+2 ,+1
a (l-'Yf)
• Kj +3 -- nEj(qj_1 )
(o + b) (o + b)
Bj -- - - -1 pj
+
Mi+
-2 1 A(1-y. d e ) 2) (l-Y j+l - -Cc+d ,+ c+d
(1-'Y~)
Kj+l. _ L a Ej(pj_1 )
(c+d) (24)
para i=2, 3 e 4.
Esta. no entanto, não pode ser considerada a solução geral, pelo menos no que tange à equação referente à oferta de matrizes para abate. Em nenhum dos períodos mencionados a venda de vacas irá afetar os nascimentos no período seguinte, o que signifi-ca que o papel destes animais como estoque de signifi-capital não foi captado, tornando-os. para efeito da solução, idênticos aos bois,
daI o fato de ambas as equações apresentarem apenas uma relação entre as quantidades ofertadas, oS preços atuais e um período à frente.
Levando adiante o processo de maximização, observa-se que as soluções para os períodos cinco e seis são idênticas, a menos dos subscritos. Generalizando as soluções encontradas para estes períodos. tem-se:
d}.(1 - "y~)(1 -"y~ I){I-"y~
2.0. (a + b) aÀ(I - "Y~){ I -"y~ I)(I-"y~
2.0. (a + b)
2~ (a + b)
.(I-"Y~-~a'En (qn-')
2){1-"y~ 3)
2){1-"y~ 3)
(I-"y~){I-"Y~-I)
2.0.
a4En (Pn4)
a4En (qn4)
-Bn =
~dPn
+ M n +~À(I-"Y~+2)(I-"Y~+I)_c_Kn+2
_ (I-"y*>c+ 2 c+d (c+d)
aEn (Pn-I) (25)
onde:
ccf2 (I -)'~ _ 2)2 +
4(c + d)2
+ c2d (1
-)'~
_ 2)2 + g (1 _)'e 2)2 +-4-(-OO_+b2-b-)2- (l
-)'~
_ 2)2 •4(c+d)2 4"
