RESSALVA
Atendendo solicitação do autor, o texto
completo desta tese será
Universidade Estadual Paulista
Cˆampus de S˜ao Jos´e do Rio PretoInstituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas
Ruikson Sillas de Oliveira Nunes
Comportamento Assint´
otico e Controlabilidade
Exata para a Equa¸
c˜
ao de Klein-Gordon
Ruikson Sillas de Oliveira Nunes
Comportamento Assint´
otico e Controlabilidade
Exata para a Equa¸
c˜
ao de Klein-Gordon
Tese apresentada como parte dos requisitos para a
obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica, junto
ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, ´Area
de Concentra¸c˜ao- An´alise Aplicada, do Instituto de
Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade
Estadual Paulista, “J´ulio de Mesquita Filho”, Cˆampus S˜ao Jos´e do Rio Preto.
Orientador: Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos
Ruikson Sillas de Oliveira Nunes
Comportamento Assint´
otico e Controlabilidade
Exata para a Equa¸
c˜
ao de Klein-Gordon
Tese apresentada como parte dos requisitos para a
obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica, junto
ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, ´Area
de Concentra¸c˜ao- An´alise Aplicada, do Instituto de
Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas da Universidade
Estadual Paulista, “J´ulio de Mesquita Filho”, Cˆampus S˜ao Jos´e do Rio Preto.
Banca Examinadora
Waldemar Donizete Bastos
Professor Livre Docente - UNESP - Rio Preto Orientador
Dimitar Kolev Dimitrov
Professor Titular - UNESP - Rio Preto
Juliana Concei¸c˜ao Precioso Pereira
Professora Doutora - UNESP - Rio Preto
Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki
Professor Titular - UFJF- Juiz de Fora
Juan Amadeo Soriano Palomino
Professor Doutor - UEM- Maring´a
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus por ter me dado a oportunidade de concluir mais uma etapa em minha forma¸c˜ao acadˆemica.
Tamb´em agrade¸co imensamente ao professor Waldemar Donizete Bastos por sua dedicada orienta¸c˜ao e por sua paciˆencia diante de minhas limita¸c˜oes.
Deixo aqui os meus agradecimentos a minha fam´ılia, em especial a minha m˜ae (Marta) e minha esposa (Daniela) que sempre me apoiaram nesta caminhada.
Agrade¸co `a banca examinadora: Waldemar Donizete Bastos, Dimitar Kolev Dimitrov, Juliana Concei¸c˜ao Precioso Pereira, Hol´ımpio Hiroshi Miyagaki, Juan Amadeo Soriano Palomino, pela dedica¸c˜ao em avaliar este trabalho.
Aos professores do Departamento de Matem´atica do Ibilce que direto ou indiretamente contribu´ıram em minha forma¸c˜ao, em especial agrade¸co ao professor Cl´audio Aguinaldo Buzzi por ter me acolhido no in´ıcio de minhas atividades no Ibilce.
Aos amigos de caminhada na p´os-gradua¸c˜ao, em especial Oyran(o chifr˜ao), Rodiak e Eduardo. Ao meus amigos Domingos(Bullon) e Tiago por suas divertidas companhia.
`
“A vida n˜ao entrega nada ao mortal se n˜ao em troca de grandes esfor¸cos.”
Resumo
Neste trabalho resolvemos o problema de controlabilidade exata na fronteira para a equa¸c˜ao linear de Klein-Gordon em dom´ınios limitados Ω de RN, N ≥2, com fronteira suave por partes e sem cuspides. Para dados iniciais em H1(Ω)×L2(Ω) obtemos controle do tipo Neuman, de quadrado integr´avel, atuando em toda a fronteira do dom´ınio em tempo pr´oximo ao diˆametro de Ω.
Inicialmente provamos que a energia da solu¸c˜ao do problema de Cauchy para a referida equa¸c˜ao decai localmente numa taxa polinomial. Em seguida, estendendo a solu¸c˜ao do problema de Cauchy para tempo complexo provamos que o operador solu¸c˜ao associado ao problema de Cauchy ´e anal´ıtico num setor adequado do plano complexo. Utilizando o decaimento de energia, a analitidade do operador solu¸c˜ao e argumentos introduzidos por D. L. Russell e J. Lagnese nos anos setenta do s´eculo passado obtemos o resultado desejado.
Abstract
In this work we solve the problem of exact controllability on the boundary for the
linear Klein-Gordon equation in limited domains Ω of RN, N ≥2, with piecewise smooth
boundary without cusps. For initial data inH1(Ω)×L2(Ω) we get square integrable control
of Neuman type, acting on the entire boundary, in a time near the diameter of Ω.
Initially we prove that the energy of the solution of the Cauchy problem for this equation
locally decays at a polynomial rate. Then extending the solution of the Cauchy problem
for complex time we prove that the solution operator associated with the Cauchy problem
is analytic in a suitable sector of the complex plane. Using the local decay of energy,
the analiticity of the solution operator and arguments introduced by D. L. Russell and J.
Lagnese in the seventies we obtain the desired result.
Keywords: Linear Klein-Gordon Equation, Exact Boundary Control, Local
Introdu¸
c˜
ao
Nos ´ultimos quarenta anos tem havido um grande avan¸co no estudo de controle para equa¸c˜oes diferˆenciais hiperb´olicas (veja [3], [4], [5], [12], [16], [18], [22], [24], [25]). Diversas no¸c˜oes de controle s˜ao encontradas na literatura, como por exemplo, controle aproximado, controle exato, controle interno, controle na fronteira, etc.
Neste trabalho estudamos o problema de controle exato na fronteira para equa¸c˜ao linear de Klein-Gordon, ∂∂t2u2 −∆u+c2u= 0, em Ω×R, onde Ω ´e um dom´ınio suave por
partes de RN, com N ≥2.
O problema de controle exato na fronteira para a equa¸c˜ao acima consiste em encontrar um tempo T > 0 e uma maneira adequada de atuar na fronteira do dom´ınio, de modo que o estado inicial do sistema (u(.,0),∂u∂t(.,0)) seja conduzido a um estado final (u(., T),∂u∂t(., T)) desejado. Em muitos casos, o estado final desejado ´e o de repouso, isto ´e, u(., T) = ∂u∂t(., T) = 0.
O problema acima tem sido estudado por diversos autores. Em [3] e [25] os autores utilizaram o HUM-(Hilbert Uniqueness Method) descrito em [18], mostrando que em dom´ınios suaves de RN o estado final nulo ´e obtido a partir de um tempo maior ou igual
ao diˆametro do dom´ınio. Em [25] a for¸ca de controle atuante ´e do tipo Neumann e em [3] ´e do tipo Dirichlet.
A maioria dos trabalhos que lidam com o problema de controlabilidade exata na fronteira consideram os dom´ınios suaves. Em [12], Grisvard estudou o problema de controle exato na fronteira para a equa¸c˜ao da onda em pol´ıgonos e poli´edros. Este parece ser o primeiro trabalho sobre controle em dom´ınios n˜ao suaves. Nesse trabalho nota-se a grande dificuldade em utilizar o HUM para dom´ınios n˜ao suave, mesmo tendo o dom´ınio
11
uma simples geometria.
Por outro lado, em [4], os autores estudaram o problema de controle exato na fronteira para equa¸c˜ao da onda em dom´ınios planos suave por partes utilizando o m´etodo de controlabilidade introduzido por D. L. Russell [24] na primeira metade dos anos 70. A aplica¸c˜ao do m´etodo de Russell requer do sistema em quest˜ao linearidade, reversibilidade em rela¸c˜ao ao tempo, decaimento local da energia e uma teoria de tra¸co adequada. Por isso o m´etodo de Russell ´e mais limitado que o HUM. No entanto, o m´etodo de Russell ´e mais facilmente aplicado em casos de dom´ınios n˜ao suave.
Neste trabalho estudamos o problema de controle para a equa¸c˜ao de Klein-Gordon
∂2
u
∂t2 −∆u+c
2u= 0 com dados iniciais em H1(Ω)×L2(Ω), onde Ω ´e um dom´ınio limitado
com fronteira suave por partes e sem c´uspides em RN, com N ≥ 2. Aqui Hm, (m =
0,1,2,· · ·) denota o espa¸co de Sobolev usual. A verifica¸c˜ao de que a energia da solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao decai localmente ´e a primeira contribui¸c˜ao deste trabalho ([22], [23]).
No cap´ıtulo 2, obtemos a f´ormula expl´ıcita da solu¸c˜aou do problema de Cauchy
∂2
∂t2u−∆u+c
2u= 0 em RN ×R (1)
u(.,0) =u0 em RN (2)
∂u
∂t(.,0) =u1 em R
N, (3)
onde u0, u1 ∈C0∞(U) e U ´e um dom´ınio limitado de RN.
A representa¸c˜ao da solu¸c˜aou muda com a paridade deN. No caso em queN ´e ´ımpar a f´ormula de uenvolve as fun¸c˜oes de Bessel de primeira esp´ecie J0 e J1. Quando N ´e par
a representa¸c˜ao deu envolve as fun¸c˜oes seno e cosseno. No cap´ıtulo 3, usando resultados cl´assicos sobre o comportamento assint´otico das fun¸c˜oes de Bessel ([11], [28]), mostramos que a solu¸c˜ao u do problema (1)−(3) satisfaz, para α∈NN, |α| ≤1, a desigualdade
∂|α|
(∂x∂t)αu(x, t)
2 ≤ K tN
u02H1(U)+u12L2(U)
, (4)
para todo x ∈ U, t > 0 suficientemente grande e alguma constante K > 0 que n˜ao depende dos dados iniciais. Como consequˆencia da estimativa (4) obtemos
u(., t)2H1
(U)+
∂u ∂t(., t)
2 L2 (U)≤ K tN
u02H1
(U)+u12L2
(U)
12
v´alida para tsuficientemente grande e solu¸c˜aoude (1)-(3) com dados iniciais com energia finita. A estimativa (4) estende um resultado obtido por L. H¨ormander [13], pois fazendo uso da an´alise de Fourier ele mostrou a estimativa
|u(x, t)| ≤C |t|−N/2
|α|+j≤(N+3)/2
∂|α| (∂y)αuj(y)
dy, (6)
para |t| suficientemente grande e uma constante C >0 que n˜ao depende de uj, j = 0,1. Aqui usamos a nota¸c˜ao (∂y)α =∂yαN
N ...∂y α1
1 , α= (α1,· · · , αN).
Assumindo que u0, u1 ∈C0∞(U), em que U ´e um dom´ınio limitado segue:
|u(x, t)|2 ≤ K
tN
u02Hm
(U)+u12Hm−1
(U)
, (7)
para |t| suficientemente grande e todo inteiro m ≥ N+3
2 ≥2 contrastando com (4), onde
m = 1 .
A estimativa (7), para m = 1 e N = 1,2,3 j´a ´e conhecida a algum tempo (veja [19], [20] ) e at´e onde sabemos, a literatura n˜ao disp˜oe de uma estimativa como (4) para todos as dimens˜oes N, como temos feito aqui.
Sejau a solu¸c˜ao do problema (1)-(3), onde os dados iniciais s˜ao extens˜oes nulas fora de U, de pares tomados em H01(U)×L2(U). Considere o operador
ST :H01(U)×L2(U)−→H01(RN)×L2(RN),
definido por ST(u(.,0),∂u∂t(.,0)) = (u(., T),∂u∂t(., T)). Seja R o operador restri¸c˜ao ao
conjunto U. Da estimativa (5) segue
RST(u(.,0),∂u∂t(.,0))2H1(U)×L2(U) =ST(u(.,0)|U,
∂u
∂t(.,0)|U) 2
H1(U)×L2(U)
≤ TKN′(u(.,0),
∂u
∂t(.,0))2H1 0(U)×L
2(U).
(8)
A desigualdade (8) mostra que, para valores de T suficientemente grande, RST ´e uma contra¸c˜ao. Este fato ´e importante no estudo da controlabilidade para a equa¸c˜ao de Klein-Gordon.
13
uma fam´ılia de operadores lineares compactos {Sζ}ζ∈Σ0, em que Σ0 ´e o setor do plano
complexo dado por
Σ0 ={ζ =T0+z, |arg(z)| ≤
π
4}
Este resultado ´e provado no Teorema 4.2.1 do cap´ıtulo 4. Tal resultado tem uma importante aplica¸c˜ao na obten¸c˜ao do controle exato na fronteira em tempo pr´oximo ao valor ´otimo para equa¸c˜ao linear de Klein-Gordon.
Por fim, o cap´ıtulo 5 ´e dedicado efetivamente ao estudo do problema de controle anteriormente mencionado. O m´etodo de controlabilidade de Russell nos mostra que o problema de controle em quest˜ao ´e equivalente a resolver uma equa¸c˜ao da forma
(I−KT)(w0, w1) = (u0, u1). (9)
nas vari´aveis (w0, w1) ∈ H1(Ω) ×L2(Ω), onde (u0, u1) ∈ H1(Ω) ×L2(Ω) s˜ao os dados iniciais do problema de controle original. O operadorKT, obtido a partir de ST, ´e linear,
limitado, compacto e al´em disso satisfaz
KT(w0, w1)2H1 0(Ω)×L
2(Ω)≤
Const.
TN (w0, w1) 2
H1(Ω)×L2(Ω), para T > T0.
Assim, para um T suficientemente grande garantimos que o operador KT ´e contra¸c˜ao e portanto, resolve-se (9). Resolver (9) significa encontrar extens˜ao dos dados iniciais para o espa¸co todo, de forma que a solu¸c˜ao do problema de Cauchy se anule juntamente com sua derivada em rela¸c˜ao a t, sobre o dom´ınio Ω. Para concluir a controlabilidade restringe-se essa solu¸c˜ao ao cilindro Ω×[0, T] e usa-se um teorema adequado de tra¸co para obter o controle `a partir do tra¸co da solu¸c˜ao do problema de Cauchy em∂Ω×[0, T]. Aqui usamos um teorema de tra¸co para a derivada normal, devido a D. Tataru [26].
O tempo de controle obtido no Teorema 5.2.1 n˜ao ´e ´otimo. Ainda no cap´ıtulo 5 mostramos que podemos controlar a equa¸c˜ao de Klein-Gordon em qualquer instante maior que o valor do diˆametro de Ω. Este resultado ´e provado no Teorema 5.3.1. Usando o fato de que a fam´ılia de operadores lineares e compactos {ST}T≥T0, acima definidos,
se estende analiticamente a uma fam´ılia de operadores lineares limitados e compactos
{Sζ}ζ∈Σ0, garantimos que a fam´ılia de operadores lineares limitados e compactos{KT}T≥T0
14