A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA (Mestrado)

(1)

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜

ao da Onda Com

Potencial

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VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜

ao da Onda Com

Potencial

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti

(3)

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus, por me conceder muita sa´ude, for¸ca e paciˆencia durante o per´ıdo do mestrado.

As dificuldades encontradas nesse per´ıodo serviram como um guia para o caminho do conhecimento e neste caminho pude encontrar diversas pessoas que me auxiliaram nos momentos em que mais precisei. Agrade¸co a minha fam´ılia pelo apoio dado em todos os momentos, desde os primeiros ensinamentos dados pela minha mãe e por meu avô até as calorosas discussões com meu Tio Wagner, levarei isso para sempre. Em especial, agrade¸co à minha namorada, Ju, pela confian¸ca depositada em mim, pelos diversos momentos de alegria que passamos juntos. Agrade¸co aos colegas da Pós-Gradua¸cão pelos diversos momentos que pudemos estudar juntos, os quais sempre renderam frut´ıferas discussões.

´

E dif´ıcil expressar com poucas palavras a gratidão que tenho ao Professor Dr. Mar-celo, pelas diversas horas dedicadas a orienta¸cões e seminários, pela sua paciência, dedica¸cão, disposi¸cão e destreza para contribuir com sua experiência ao longo da minha forma¸cão. Agrade¸co pelas diversas discussões que tivemos durante o cafézinho da tarde, sem as quais, hoje eu não poderia vislumbrar a beleza e o desenvolvimento da Análise Matemática.

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(6)

Resumo

Neste trabalho, estudamos a controlabilidade exata pela fronteira e interna da equa¸c˜ao

utt−∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[,

onde Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira∂Ω = Γ de classeC2 _e_q _∈_L∞_{(Ω). Os resultados}

s˜ao obtidos utilizando o m´etodo H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), o qual foi introduzido por Jacques Louis Lions.

(7)

In this work, we study the exact controllability by the boundary and internal of the equation

utt−∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[,

where Ω is a bounded domain with boundary∂Ω = Γ of classC2 _e_q_∈_L∞_{(Ω). The results are}

obtained using the H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), which was introduced by Jacques Louis Lions.

(8)

Sum ´ario

Introduc˜ao 3

1 Resultados Preliminares 5

1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . 5

1.2 Os Espa¸cos Lp_{(Ω) . . . .} ₇

1.3 Espa¸cos de Sobolev . . . 8

1.4 Topologias Fraca e Fraca _∗ . . . 12

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais . . . 13

1.6 Tra¸co em L2(0, T;Hm_{(Ω)) e} _H−1_{(0, T}_;_Hm_{(Ω)) . . . .} ₁₆

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares . . . 21

2 Controle Exato da Equa¸cão da Onda Com Potencial 27 2.1 Alguns Resultados Sobre Existência e Unicidade da Equa¸cão da Onda com Potencial . . . 28

2.2 Desigualdades Direta e Inversa . . . 41

(9)

2.5 O M´etodo H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) . . . 88

3 Controlabilidade Exata Interna 100

3.1 O M´etodo H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) . . . 101

Referˆencias Bibliogr´aficas 127

(10)

Introduc¸ ˜ao

Este trabalho aborda de forma rigorosa o controle exato pela fronteira e interno

da equa¸c˜ao _

               

∂2_u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[, u=v em Γ_×]0, T[,

u(0) =u0, ∂u

∂t(0) =u

1 _{em Ω,}

onde Ω é um dom´ınio limitado do Rn _{com fronteira de classe} _C2 _e _q _∈ _L∞_{(Ω) uma fun¸cão} não negativa.

Seguimos de perto o roteiro sugerido em [8] para obter os ingredientes necessários para realizar a controlabilidade exata pela fronteira. A fim de expor de uma forma clara tais resultados, seguimos também o roteiro dado em [10], o qual é um dos trabalhos precursores na Teoria de Controle.

Ao empregar o método dos multiplicadores para deduzir a identidade fundamental para obten¸cão das chamadas desigualdades direta e inversa, vemos que algumas restri¸cões são impostas sobre a fun¸cãoq_∈L∞(Ω), a saber, ficamos limitados a uma certa ”pequenez”deste termo. Entretanto, pode-se contornar este problema utilizando-se o conceito de Sequências de Riesz, o leitor interessado poderá consultar [8] para mais detalhes.

(11)

o problema de controlabilidade exata pela fronteira é resolvido através de Estimativas de Carleman, para detalhes, o leitor poderá consultar [17]. Utilizando um pric´ıpio de continua¸cão ´

unica provado em [18], Zuazua provou em [22], a controlabilidade exata interna quando q_∈L∞_{(0, T}_;_L∞_(Ω)).

Vejamos como este trabalho está organizado. No Cap´ıtulo 1, fixaremos algumas nota¸cões e enunciaremos, sem demonstra¸cões, resultados clássicos da Teoria de Análise Fun-cional e Espa¸cos de Sobolev. Uma aten¸cão especial deve ser dada a Se¸cão 1.6, sob o t´ıtulo ”Tra¸co emL2(0, T;Hm_{(Ω)) e} _H−1_{(0, T}_;_Hm_{(Ω))”. Nela, são enunciados diversos resultados,}

extra´ıdos pricipalmente de [15], que possibilitam caracterizar de forma genu´ına a derivada normal, ∂u

∂ν, da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao utt − ∆u +qu = 0, sujeita a dados u

0 _∈ _H1 0(Ω) e

u1 _∈L2(Ω). Também utilizamos estes resultado para mostrar que a solu¸cão por transposi¸cão é genu´ına. Na se¸cão 1.7, fazemos um breve resumo da teoria de Semigrupos Lineares, os quais são extra´ıdos, em sua maioria, de [2].

No Cap´ıtulo 2, come¸camos formulando o problema de controlabilidade exata pela fronteira. A se¸cão 2.1, como o próprio t´ıtulo já diz, é dedicada a demonstrar alguns Teoremas de Existência e Unicidade de Solu¸cões para a Equa¸cão da Onda com Potencial, sujeito a dados mais e menos regulares. Em seguida, na se¸cão 2.2 provamos a identidade fundamental para obten¸cão das Desigualdades Direta e Inversa, provando tais desigualdades em seguida. As se¸cões 2.3 e 2.4 são voltadas ao estudo da Equa¸cão da Onda com Potencial com Condi¸cão de Fronteira Não-Homogênea. Nelas, definimos e provamos a existência e unicidade de solu¸cão por transposi¸cão, bem como regularidade e genuidade. O Cap´ıtulo 2 finaliza com a se¸cão 2.5, na qual é provado a controlabilidade exata do problema, pela fronteira.

(12)

Cap´ıtulo

1

Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo enunciaremos alguns resultados que serão usados no desenvolvi-mento do nosso trabalho. No entanto, por serem resultados usuais, omitiremos suas demons-tra¸cões, as quais podem ser encontradas em nossas referências.

1.1 Distribui¸c˜

oes e Espa¸cos Funcionais

No estudo de problemas descritos pelas equa¸cões diferenciais parciais cujos dados iniciais não são regulares o suficiente para possu´ırem derivada no sentido clássico, faz-se necessária a introdu¸cão de um novo conceito de derivada.

Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes: 1o_{) Espa¸co das fun¸c˜oes testes}

Dadosα= (α1, α2, . . . , αn)∈Nnex= (x1, x2, . . . , xn)∈Rn, representaremos por

Dα _{o operador deriva¸c˜ao de ordem} _α _{definido por}

Dα = ∂

|α|

∂x1α1∂x2α2. . . ∂xnαn

,

onde _|α_|=

n

X

i=1

αi. Se α= (0,0, . . . ,0), define-se Dαu=u.

Seja Ω um aberto do Rn_{. Denotaremos por} _C∞

0 (Ω) o conjunto das fun¸c˜oes ϕ :

(13)

suporte compacto, onde suporte ϕ ´e o fecho do conjunto _{x _∈ Ω;ϕ(x) ₆= 0_} em Ω, ou seja, supp(ϕ) =_{x_∈Ω;ϕ(x)₆= 0_}Ω.

Dizemos que uma sequˆencia _{ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para zero, e denotamos

ϕν →0, se, e somente se, existe um subconjunto compactoK de Ω, tal que:

i) supp(ϕν)⊂K para todoν ∈N;

ii) Dα_ϕ

ν →0 uniformemente sobreK para todo α ∈Nn.

Dizemos que uma sequˆencia _{ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para ϕ ∈C0∞(Ω) quando a

sequˆencia_{ϕν−ϕ} converge para zero no sentido acima definido.

O espa¸coC∞

0 (Ω), munido desta no¸cão de convergência, é denominado espa¸co das

fun¸c˜oes testes, e denotado por _D(Ω).

2o_{) Distribui¸c˜ao sobre um aberto Ω}_⊂_Rn

Definimos como distribui¸cão sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua em _D(Ω). O conjunto de todas as distribui¸cões sobre Ω é um espa¸co vetorial, o qual representa-se por D′

(Ω), chamado espa¸co das distribui¸cões sobre Ω, munido da seguinte no¸cão de convergência: Seja (Tν) uma sucessão emD

′

(Ω) eT _{∈ D}′(Ω). Diremos queTν →T emD

′

(Ω) se a sequˆencia num´erica_{hTν, ϕi}converge para hT, ϕi em R, para todo ϕ ∈ D(Ω).

3o) Denotaremos por L1_loc(Ω) o espa¸co das (classes de) fun¸cõesu: Ω_→K _{tais que} |u_|é integrável no sentido de Lebesgue sobre cada compactoK de Ω.

De posse destas defini¸cões estamos aptos a entender este novo conceito de derivada. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸cão global de derivada a qual denominou-se derivada fraca, cuja constru¸cão dar-se-á a seguir:

Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do Rn_{, cuja fronteira Γ ´e regular.}

Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = Ω_∪Γ. Se u ou v se anula sobre Γ, obtemos do Lema de Gauss que

Z

Ω

u ∂v ∂xk

dx=₋

Z

Ω

v ∂u ∂xk

(14)

1.2 Os Espa¸cosLp_(Ω) ₇

Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α _∈ Nn_{. A derivada de ordem} _α _de _T_{, no}

sentido das distribui¸c˜oes, ´e definida por:

hDαT, ϕ_i= (₋1)|α|_h_{T, D}α_ϕ

i;_∀ϕ_{∈ D}(Ω).

Verifica-se que DαT ´e ainda uma distribui¸c˜ao e que o operador Dα : _D′

(Ω) _→ D′

(Ω), tal que a cadaT associa-se DαT, ´e linear e cont´ınuo.

1.2 Os Espa¸cos

L

p

(Ω)

Seja Ω um aberto do Rn_{. Representaremos por} _Lp_{(Ω), 1}

≤ p _≤ +_∞, o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸cões definidas em Ω com valores emK _{tais que} _|_u_|p _{é integrável}

no sentido de Lebesgue em Ω.

O espa¸co Lp_{(Ω) munido da norma}

ku_kLp_(Ω)=

Z

Ω|

u(x)_|p_dx

1

p

, para 1_≤p <+_∞

e

ku_kL∞ = sup

x∈Ω

ess_|u(x)_|, para p= +_∞, ´e um espa¸co de Banach.

No caso p= 2, L2(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

Teorema 1.1 (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue) - Seja (uν)ν∈N

uma sequência de fun¸cões integráveis num aberto Ω _⊂ Rn_{, convergente quase sempre para}

uma fun¸c˜ao u. Se existir uma fun¸c˜ao u0 ∈ L1(Ω) tal que |uν| ≤ u0 quase sempre, para todo

ν_∈N _então_u _{é integrável e tem-se}

Z

Ω

u= lim

ν→∞

Z

Ω

uν.

(15)

Proposi¸c˜ao 1.2 (Desigualdade de H¨older) - Sejam u_∈Lp_(Ω)_e _v

∈Lq_(Ω) _com ₁

≤p_≤ ∞ e 1

p+ 1

q = 1. Ent˜ao uv ∈L

1_(Ω) _{e temos a desigualdade}

Z

Ω|

uv_{| ≤ k}u_kLp_(Ω)kvk_Lq_(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Ver [14].

Observa¸cão : EmL2(Ω) a Desigualdade de Hölder é conhecida como Desigual-dade de Cauchy-Schwarz.

Proposi¸c˜ao 1.3 (Desigualdade de Minkowski) - Se u, v_∈Lp_(Ω) _ent˜ao

ku+v_kLp_(Ω)≤ kuk_Lp_(Ω)+kvk_Lp_(Ω),

onde 1_≤p < _∞.

Al´em dos resultados acima, temos que:

(i) Lp_{(Ω) ´e reflexivo para todo 1}_{< p <}₊_∞_;

(ii) Lp_{(Ω) ´e separ´avel para todo 1}

≤p <+_∞;

(iii) _D(Ω) tem imers˜ao cont´ınua e densa em Lp_{(Ω) para todo 1} _≤_{p <} ₊_∞_.

1.3 Espa¸cos de Sobolev

(16)

1.3 Espa¸cos de Sobolev 9

O espa¸co Wm,p_{(Ω) munido da norma}

ku_km,p =

 X

|α|≤m

Z

Ω|

Dαu_|pdx

 

1

p

, para 1_≤p < _∞, e

ku_km,∞ =

X

|α|≤m

sup

x∈Ω

ess_|Dαu(x)_|, parap=_∞, ´e um espa¸co de Banach.

Representa-se Wm,2_{(Ω) =} _Hm_{(Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja, os}

espa¸cosHm_{(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert.}

Sabemos que C₀∞(Ω) é denso em Lp_{(Ω), mas não é verdade que} _C∞

0 (Ω) ´e denso

em Wm,p_{(Ω) para} _m _≥ _{1. Motivados por isto definimos o espa¸co} _Wm,p

0 (Ω) como sendo o

fecho de C₀∞(Ω) em Wm,p_{(Ω), isto ´e,}

C∞

0 (Ω)

Wm,p(Ω)

=W₀m,p(Ω).

Teorema 1.4 (Desigualdade de Poincar´e): Seja Ω _⊂ Rn _{aberto e limitado. Suponha}

queu_∈W₀1,p(Ω) para algum 1_≤p < n. Ent˜ao temos a estimativa

ku_kLp_(Ω) ≤ckDuk_Lq_(Ω)

para cada q _∈[1, p∗_]_{. A constante} _{c >}₀ _{depende somente de} _{p, q, n} _e _|_Ω_| _e _p∗ _{´e o conjugado}

de Sobolev de p e ´e dado por p∗ = np n−p

Defini¸c˜ao 1.5 Seja Ω um subconjunto aberto e conexo do Rn _{e consideremos} _Γ_{a fronteira}

de Ω. Dizemos que Γ ´e de classe Cm _{se para cada} _x

∈ Γ existem Ux vizinhan¸ca de x no Rn

e um difeomorfismo de classe Cm

ϕx :Ux →Q, (1.3.1)

onde Q=_{(x′_{, x}

n)∈Rn×R; 0< xi <1, i= 1,2, . . . , n−1 e −1< xn<1}, tal que

(17)

ϕx(Ux∩∁ Ω) =Q− =Q∩Rn−, (1.3.3)

e

ϕx(Ux∩Γ) = Σ0 ={(x′, xn)∈Q;xn= 0}. (1.3.4)

Estamos considerando Rn

+ = {(x1, . . . , xn);xn > 0} e Rn− = {(x1, . . . , xn);xn < 0}. Se

Ux e Uy são vizinhan¸cas cuja interse¸cão é não vazia então, existe um difeomorfismo, com

determinante positivo,

J :ϕx(Ux∩Uy)→ϕy(Ux∩Uy), (1.3.5)

tal que

J(ϕx(z)) =ϕy(z), para cada z ∈Ux∩Uy. (1.3.6)

Sendo Ω limitado, sua fronteira Γ é um subconjunto compacto doRn _{e portanto, existirá um} número finito de vizinhan¸cas U1, . . . , Uk e difeomorfismos ϕj :Uj →Q, com j = 1,2, . . . , k,

verificando as condi¸c˜oes (1.3.2)-(1.3.6) acima.

Defini¸cão 1.6 Um subconjuntoΩnão vazio, aberto, conexo e limitado doRn_{é dito bem regular}

se Γ =∂Ω for de classe C∞.

Proposi¸c˜ao 1.7 Seja Ω_⊂Rn _{um conjunto aberto e limitado de classe} _C1_{. Temos:}

i) Se u_∈H1_(Ω)_e_v _∈_W1,+∞_(Ω)_{, ent˜ao} _uv _∈_H1_(Ω)_e ∂

∂xi

(uv) = ∂u ∂xi

v+u∂v ∂xi

emL2_(Ω)_.

ii) Se u_∈H1_(Ω) _ent˜ao _u2 _∈_W1,1_(Ω) _e ∂

∂xi

u2 _{= 2u}∂u

∂xi

em L1_(Ω)_.

iii) Se u_∈H1

0(Ω) e v ∈W1,+∞(Ω) ent˜ao

Z

Ω

v ∂ ∂xi

(u2)dx=₋

Z

Ω

∂v ∂xi

u2dx.

iv) Se Ω´e um aberto gen´erico, u_∈H1

0(Ω) e v ∈W1,+∞(Ω), ent˜ao uv ∈H01(Ω) e

∂ ∂xi

(uv) = ∂u ∂xi

v+u∂v ∂xi

em L2(Ω).

(18)

1.3 Espa¸cos de Sobolev 11

Teorema 1.8 (Teorema de Rellich Kondrachov): Seja Ω um subconjunto aberto limi-tado do Rn_{, de classe} _C1 _e ₁_≤_p_{≤ ∞}_{. Ent˜ao:}

Se p < n ent˜ao W1,p(Ω)֒_→c _Lq_(Ω), _∀_q_∈_{[1, p}∗₎_{, onde} 1

p∗ =

1 p −

1 n,

Se p=n ent˜ao W1,p_(Ω)_֒_→c _Lq_(Ω),

∀q_∈[1,+_∞), Se p > n ent˜ao W1,p(Ω)֒_→c _C(Ω)_.

Nota¸c˜ao: ֒_→c _{indica imers˜ao compacta.}

Lema 1.9 Seja Ω um dom´ınio limitado do Rn _{com fronteira} _Γ _{de classe} _Cm_{. Ent˜ao, existe}

um campo de vetores h= (hk)1≤k≤n∈[Cm−1(Ω)]n que verifica,

h(x) =ν(x), para cada x_∈Γ,

onde ν ´e a normal exterior e m _∈N _{´e tal que} _m_≥₁_.

Teorema 1.10 (Teorema de Aubin-Lions) : Sejam B0, B, B1 trˆes espa¸cos de Banach

tais que B0 ֒→c B ֒→B1, onde B0 e B1 s˜ao reflexivos. Definamos

W =

v;v _∈Lp0_{(0, T}_;_B

0), v′ =

dv dt ∈L

p1_{(0, T}_;_B

1)

,

onde 1< p0, p1 <∞, e consideremos W munido da norma

kv_kLp₀_(0,T_;B

0)+kv

′

kLp₁_(0,T_;B

1),

o que o torna um espa¸co de Banach. Então, a imersão de W em Lp0_{(0, T}_;_B₎_{é compacta.}

Lema 1.11 Sejam H e V espa¸cos de Banach, tais que H ֒_→ V. Se u _∈ L1(0, T;H) e

u′ _∈L1(0, T;V) ent˜ao u_∈C([0, T];V).

(19)

1.4 Topologias Fraca e Fraca

_∗

Nesta se¸c˜ao enunciaremos resultados importantes acerca das topologias fraca e fraca-_∗ que ser˜ao utilizados ao longo de todo o trabalho.

Defini¸c˜ao 1.12 Seja E um espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E′₎ _sobre _E _{´e a}

topologia menos fina sobreE que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes f _∈E′_.

Seja (xn)n∈Numa sequˆencia de E a qual converge parax emE na topologia fraca

σ(E, E′). Utilizamos, neste caso, a seguinte nota¸c˜ao:

xn⇀ xemE.

Proposi¸cão 1.13 Seja (xn)n∈N uma sequência em E, então:

(i) xn⇀ x em E se, e somente se, hf, xni → hf, xi, ∀f ∈E′.

(ii) Se xn →x em E, ent˜ao xn ⇀ xem E.

(iii) Se xn⇀ x em E, ent˜ao kxnkE ´e limitada e kxkE ≤liminfkxnkE.

(iv) Se xn⇀ x em E e fn →f em E′, ent˜ao hfn, xni → hf, xi.

SejaE um espa¸co de Banach e sejax_∈E fixo. Definamos Jx :E′ →R por

hJx, fi=hf, xi.

As aplica¸c˜oes Jx s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto Jx ∈E′′, ∀x∈E.

Definamos, agora, J :E _→E′′ tal que J(x) =Jx.

Defini¸cão 1.14 A topologia fraca _∗, também designada por σ(E′_{, E)}_{, é a topologia menos}

fina sobre E′ _{que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes} _J

(20)

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais 13

Proposi¸cão 1.15 Seja (fn)n∈N uma sequência em E′, então:

(i) fn ⇀∗ f em E′ se, e somente se, hfn, xi → hf, xi, ∀x∈E.

(ii) Se fn→f em E′, ent˜ao fn ⇀ f em E′.

(iii) Se fn ⇀ f em E′, ent˜ao fn ⇀∗ f em E′.

Lema 1.16 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (xn)n∈N uma sequˆencia limitada em

E, ent˜ao existe uma subsequˆencia (xnk)k∈N de (xn)n∈N e x∈E, tal que

xnk ⇀ xfracamente emE.

Lema 1.17 Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (fn)n∈N uma sequˆencia limitada em

E′_{, ent˜ao existe uma subsequˆencia} _(f

nk)k∈N e f ∈E

′_{, tal que}

fnk ⇀

∗ _f _em_E′_.

1.5 Espa¸cos Funcionais `

a Valores Vetoriais

Nesta se¸cão iremos determinar os espa¸cos em que são levados em conta as variáveis temporal e espacial, o qual é necessário para dar sentido a problemas de evolu¸cão.

Para cada t _∈ [0, T] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x_7→ u(x, t) como um elemento do espa¸co X. Denotaremos este elemento comou(t)_∈X com valores no espa¸co X.

(21)

O espa¸co Lp_{(a, b;}_{X), 1}

≤ p < +_∞, consiste das fun¸cões (classes) mensuráveis sobre [a, b] com imagem emX, ou seja, as fun¸cões u: (a, b)_→X tais que

ku_kLp_(a,b;X₎:=

Z b

a

ku(t)_kp_Xdt

1

p

<_∞.

O espa¸co L∞_{(a, b;}_{X) consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com}

imagem em X, as fun¸c˜oes u: (a, b)_→ X limitadas quase sempre em (a, b). A norma neste espa¸co ´e dada por

ku_kL∞_(a,b;X₎:= supessku(t)k_X.

O espa¸co Cm_{(a, b;}_X), _m _{= 0,}_{1, . . . ,} _{consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas} _u _:

[a, b]_→X que possuem derivadas cont´ınuas at´e a ordemm sobre [a, b]. A norma ´e dada por

ku_k:=

m

X

i=0

max

t∈[a,b]|u (i)_(t)

|.

Vejamos algumas propriedades desses espa¸cos, as quais podem ser encontradas em [20].

Proposi¸c˜ao 1.18 Sejam m = 0,1, . . . , e 1_≤p < +_∞, X e Y espa¸cos de Banach. (a) Cm_{(a, b;}_X) _{´e um espa¸co de Banach sobre} _K_.

(b) Lp_{(a, b;}_X)_, ₁_≤_{p <}₊_∞ _e _L∞_{(a, b;}_X)_{, s˜ao espa¸cos de Banach sobre} _K_.

(c) O conjunto de todas as fun¸c˜oes escada ´e denso em Lp_{(a, b;}_X)_.

(d) C(a, b;X) ´e denso em Lp_{(a, b;}_X) _{e a imers˜ao} _{C(a, b;}_X)_֒

→Lp_{(a, b;}_X) _{´e cont´ınua.}

(e) Se X é um espa¸co de Hilbert com produto escalar(_·,_·)X, então L2(a, b;X)é também um

espa¸co de Hilbert com produto escalar

(u, v)L2_(a,b;X) :=

Z b

a

(u(t), v(t))Xdt.

(f )Lp_{(a, b;}_X)_{é separável, se} _X _{for separável e} ₁_≤_{p <} ₊_∞_.

(22)

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais 15

Lembremos que seU eV são dois espa¸cos vetoriais topológicos, temos que_L(U, V) denota o espa¸co das fun¸cões lineares e cont´ınuas de U em V.

Seguindo a nota¸cão de [11], o espa¸co das distribui¸cões sobre (a, b) com imagem em X, será denotado por

D′(a, b;X).

Logo, _D′_{(a, b;}_{X) =} _L₍_D_{(a, b);}_{X), ou seja, ´e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes}

lineares e limitadas de_D(a, b) emX. Temos a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia em_D′_{(a, b;}_X).

Seja S _{∈ D}′(a, b;X), logo S :_D(a, b) _7→ X ´e linear e se θµ → θ em D(a, b) ent˜ao hS, θµi →

hS, θ_i em X. Diremos queSν → S em D′(a, b;X) se hSν, θi → hS, θi em X, para todo θ ∈

D(a, b). Cada elemento desse conjunto ´e uma distribui¸c˜ao sobre (a, b) com valores no espa¸co de Banach X.

A derivada dS

dt para S ∈ D

′_{(a, b;}_{X), ´e definida com um ´}_{unico elemento deste}

espa¸co a qual satisfaz

_dS

dt, ϕ

=₋

S,dϕ dt

∀ϕ_{∈ D}(a, b).

A fun¸c˜ao S_7→ dS

dt ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de D

′_{(a, b;}_{X) sobre ele mesmo.}

Agora, sef _∈L2(a, b;X), definimos ˜f _{∈ D}′(a, b;X) por

hf , ϕ˜ _i=

Z b a

f(t)ϕ(t)dt _∀ϕ _{∈ D}(a, b)

a fun¸cão f _7→ f˜de L2(a, b;X) _{→ D}′_{(a, b;}_{X) é linear e cont´ınua, e ainda é injetora e desta}

forma identificamos ˜f com f e obtemos

L2(a, b;X)֒_{→ D}′(a, b;X).

O espa¸co L1_loc(a, b;X) é o espa¸co das fun¸cõesu tal que para todo compacto K _⊂ (a, b),uχK pertence à L

1_{(a, b;}_{X), onde} _χ

(23)

1.6 Tra¸co em

L

2

(0

, T

;

H

m

(Ω))

e

H

−1

(0

, T

;

H

m

(Ω))

O objetivo desta se¸cão é o de apresentar alguns Teoremas de Tra¸co ”não usuais”e resultados técnicos que serão de grande utilidade no decorrer da resolu¸cão do problema considerado.

No que segue, X representar´a um espa¸co de Hilbert munido do produto interno (_·,_·)X. Definimos,

H1(0, T;X) = _{u;u_∈L2(0, T, X) e u′ _∈L2(0, T;X)_}, (1.6.1) que munido do produto interno

(u, v)H1_(0,T_;X) =

Z T 0

(u(t), v(t))Xdt+

Z T 0

(u′(t), v′(t))Xdt,∀u, v ∈H1(0, T;X), (1.6.2)

´e um espa¸co de Hilbert.

A derivada u′ _{´e entendida como a derivada de} _u _{no sentido das distribui¸c˜oes}

vetoriais_D′_{(0, T}_;_{X). Observemos que se}_u_∈_H1_{(0, T}_;_{X), existe uma fun¸c˜ao}_u_∈_C0_{(0, T}_;_X)

tal que u=u q.s. em ]0, T[ e

u(t)₋u(0) =

Z T 0

u′(ξ)dξ. (1.6.3)

Nesse sentido, diremos queu_∈C0_{(0, T}_;_X).

Sendo _D(0, T;X) um e.v.t. localmente convexo, constitu´ıdo das fun¸c˜oes ϕ _∈ C₀∞(0, T;, X), munido da topologia do limite indutivo, definimos

H₀1(0, T;X) = _D(0, T;X)H

1_(0,T_;X₎

, (1.6.4)

que pode ainda ser caracterizado por

H₀1(0, T;X) =_{u_∈H1(0, T;X);u(0) =u(T) = 0_}. (1.6.5) Não é dif´ıcil constatar, em virtude de (1.6.3) e da caracteriza¸cão dada em (1.6.4), que em H₀1(0, T;X) as topologias de _ku_kH1_(0,T;X) e ku′k_L2_(0,T_;X₎ são equivalentes, o que nos permite

considerar em H₀1(0, T;X) a seguinte topologia, equivalente `a dada em (1.6.2)

(24)

1.6 Tra¸co emL2_{(0, T}_;_Hm_{(Ω)) e} _H−1_{(0, T}_;_Hm_(Ω)) ₁₇

Identificando-se o espa¸co L2(0, T;X) com o seu dual via Teorema de Repre-senta¸c˜ao de Riesz, temos a seguinte cadeia

D(0, T;X)֒_→H₀1(0, T;X)֒_→L2(0, T;X)֒_→H−1(0, T;X)֒_{→ D}′(0, T;X), (1.6.7)

onde ”֒_→”designa a imers˜ao cont´ınua e densa de um espa¸co no seguinte e H−1(0, T;X) designa o dual topol´ogico de H₀1(0, T;X).

Proposi¸cão 1.19 Seja u _∈L2(0, T;X). Então existe um único f _∈H−1(0, T;X) que veri-fica

hf, θξ_i= (_hu′, θ_i, ξ)X, ∀θ∈ D(0, T), ∀ξ∈X.

Isso nos permite identificar u′ com f. Al´em disso, a aplica¸c˜ao

u_7→u′, (1.6.8)

´e linear e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15]. ´

E conhecido a existˆencia de uma aplica¸c˜ao tra¸co

γ :Hm(Ω) _→

m_Y−1 j=0

Hm−j−12(Γ), (1.6.9)

linear, cont´ınua, sobrejetora, com n´ucleoHm

0 (Ω) e que admite uma inversa `a direita tamb´em

linear e cont´ınua.

Definamos a aplica¸c˜ao γ : L2_{(0, T}_;_Hm_(Ω))

→ L2_{0, T}_;Qm−1

j=0 Hm−j−

1 2(Γ)

u _7→ γu, (1.6.10)

dada por (γu)(t) = γ(u(t)), onde γ(u(t)) é a aplica¸cão γ dada em (1.6.9) aplicada em u(t) _∈ Hm_{(Ω). Denotamos as aplica¸cões (1.6.9) e (1.6.10) com o mesmo s´ımbolo para não}

(25)

sobrejetora, com n´ucleoL2(0, T;Hm

0 (Ω)), que admite uma inversa `a direitaτlinear e cont´ınua,

isto ´e,

τ :L2 0, T;

m_Y−1 j=0

Hm−j−12(Γ)

!

7→L2(0, T;Hm(Ω)), γ(τ(η)) = η. (1.6.11)

De forma an´aloga podemos definir

e

γ : H₀1(0, T;Hm_(Ω)) _→ _H1 0

0, T;Qm_j=0−1Hm−j−12(Γ)

u _7→ _eγu, (1.6.12)

dada por (_eγu)(t) = γ(u(t)) e que tem as mesmas propriedades da aplica¸c˜ao (1.6.10).

Proposi¸c˜ao 1.20 Seja u_∈L2(0, T;Hm_(Ω)) _com _u′ _∈_L2_{(0, T}_;_Hm_(Ω))_{, ent˜ao} _γu′ _{= (γu)}′_.

Seja _K = L2(0, T;Hm_(Ω)) _× _L2_{(0, T}_;_Hm_{(Ω)) e} _M _{o subespa¸co fechado de} _K

constitu´ıdo dos vetores_{α, β_} tais que

(α, v)L2_(0,T_;Hm_(Ω))+ (β, v′)_L2_(0,T_;Hm_(Ω))= 0,

para todov _∈H₀1(0, T;Hm_{(Ω)). Ent˜ao, a aplica¸c˜ao}

H−1_{(0, T}_;_Hm_(Ω))

→ M⊥

f _{7→ {}φ0_f, ψ_f0_} (1.6.13)

onde _{φ0_f, ψ0_f_{} ∈ E}f ´e tal que kfk = k{φ0f, ψf0}k e Ef = {{φf, ψf} ∈ K; (φf, v) + (ψf, v′)

=_hf, v_i;_∀v _∈H₀1(Ω)_}, isto ´e, o conjunto dos_{φf, ψf} ∈ Ktais quef =φf−ψf′. A aplica¸c˜ao

definida em (1.6.13) ´e uma isometria linear sobrejetora.

Paraf _∈H−1(0, T;Hm_{(Ω)) definimos} _e_γf _{na forma:}

heγf, w_i=

Z T 0

(γφ0f, w)Qm−₁

j=0 H

m−j−1

2(Γ)dt+

Z T 0

(γψf0, w′)Qm−₁

j=0 H

m−j−1

2(Γ)dt, (1.6.14)

para todow_∈H₀10, T;Q_j=0m−1Hm−j−1 2(Γ)

, que ´e linear e cont´ınua. Assim, temos estabelecido uma aplica¸c˜ao

e

γ : H−1(0, T;Hm_(Ω)) _→ _H−1_{0, T}_;Qm−1

j=0 Hm−j−

1 2(Γ)

f _7→ _eγf, (1.6.15)

(26)

1.6 Tra¸co emL2_{(0, T}_;_Hm_{(Ω)) e} _H−1_{(0, T}_;_Hm_(Ω)) ₁₉

Proposi¸c˜ao 1.21 Se u_∈L2(0, T;Hm_(Ω)) _ent˜ao,

γu_|

H1 0(0,T;

Qm−1

j=0 H

m−j−1

2_(Γ)) =eγu.

Proposi¸c˜ao 1.22 Se u_∈L2_{(0, T}_;_Hm_(Ω)) _ent˜ao,

e

γu′ = (γu)′.

Teorema 1.23 A aplica¸cão tra¸co (1.6.15) é sobrejetora, seu núcleo é H−1(0, T;Hm 0 (Ω)) e

admite uma inversa `a direita τ_e: H−1(0, T;Qm_j=0−1Hm−j−1₂_(Γ)) _→ _H−1_{(0, T}_;_Hm_(Ω)) _{linear e}

cont´ınua.

Teorema 1.24 Sejam 1 _≤ p < n e q = np_n₋−_pp então, existe uma única aplica¸cão linear cont´ınua γ_e0 :W1,p(Ω)→Lp(Γ) tal que γe0 =u

Γ para cada u∈C

∞_(Ω)_{. Além disso, é válida}

a f´ormula de Gauss, a saber,

Z

Ω

u∂v ∂xi

dx=₋

Z

Ω

∂u ∂xi

vdx+

Z

Γ

uγ0vνidΓ,∀v ∈W1,p(Ω). (1.6.16)

Teorema 1.25 Sejap_≥nentão, para todoq_≥1existe uma única aplica¸cão linear cont´ınua,

e

γ0 :W1,p(Ω)→Lq(Γ), tal que eγ0u=

Γ para toda u∈C

∞_(Ω)_.

(27)

Lema 1.26 Seja Ω_⊂ Rn _{aberto limitado de classe} _C2 _{e consideremos} _ϕ

∈H2(Ω)_∩H₀1(Ω). Ent˜ao

γ0

∂ϕ ∂xi

=νiγ1(ϕ),

ondeγ0 :H1(Ω)→H

1

2(Γ)eγ₁ :H2(Ω) →H 1

2(Γ)s˜ao as aplica¸c˜oes tra¸co e tra¸co da derivada normal usuais.

Seja Ω aberto limitado de classeC1 _{e consideremos}

γ0 :H1(Ω)→H

1

2(Γ) e eγ₀ :W1,1(Ω)→L1(Γ)

onde γ0 é a aplica¸cão tra¸co usual e eγ0 é a aplica¸cão tra¸co aludida no Teorema 1.24. Ora, do

fato que

γ0ϕ=eγ0ϕ, para cada ϕ ∈C1(Ω),

e ainda comoH1(Ω) _⊂W1,1(Ω) eC1(Ω) é denso emH1(Ω) resulta que as aplica¸cões coincidem em H1(Ω). Além disso,

e

γ0(uv) =eγ0uγe0v, para cada u, v ∈H1(Ω).

Em particular,

e

γ0(u2) = (eγ0u)2 = (γ0u)2, para cada u∈H1(Ω). (1.6.17)

Do exposto acima, temos o seguinte resultado

Corol´ario 1.27 Seja Ω _⊂ Rn _{aberto limitado de classe} _C2 _{e consideremos} _ϕ _∈ _H1 0(Ω)∩

H2(Ω). Ent˜ao,

e

γ0(|∇ϕ|2) = (γ1(ϕ))2 em Γ.

(28)

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares 21

1.7 Uma Breve Revis˜

ao Sobre Semigrupos Lineares

Relembraremos alguns conceitos e resultados provenientes da teoria geral de se-migrupos lineares. Iniciaremos com várias defini¸cões gerais e, em seguida, enunciaremos os resultados que nos interessam ao longo desta disserta¸cão. Nesta se¸cão, (X,_{|| · ||}X) sempre

mencionar´a um espa¸co de Banach, (H,_{|| · ||}H,(·,·)H) um espa¸co de Hilbert e (L(X, X),|| · ||)

o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos emX.Mais detalhes podem ser encontrados em [6], [13], [16] e [21].

Defini¸cão 1.28 Um operador linear não limitado em X é um par (D, A), onde D é um subespa¸co de X e A é uma aplica¸cão linear D _→ X. Se sup_{kAx_k;x _∈ D e _kx_{k ≤} 1_} < +_∞, dizemos que A é limitado. Se sup_{kAx_k;x _∈D e _kx_{k ≤}1_}= +_∞, dizemos que A é ilimitado.

Defini¸c˜ao 1.29 Seja (D, A) um operador linear n˜ao limitado em X. O dom´ınioD(A)de A

´e o conjunto

D(A) =D,

a imagem R(A) de A ´e o conjunto

R(A) =A(D)

e o gr´afico G(A) de A ´e o conjunto

G(A) =_{(x, f)_∈X_×X;x_∈D e f =Ax_}.

Observa¸cão 1.30 Quando não houver risco de confusão, um operador linear não limitado em X será chamado operador linear emX ou somente operador de X.

(29)

kx+λAx_{k ≥ k}x_k,

para cada x_∈D(A) e cada λ >0.

Defini¸cão 1.32 Um operador Aem X é m-acretivo se as seguintes propriedades são válidas:

i) A ´e acretivo;

ii) para cada λ >0 e cada f _∈X, existe x_∈D(A) tal que x+λAx =f.

Lema 1.33 Se A é um operador m-acretivo em X, então para cada λ > 0 e cada f _∈ X, existe uma única solu¸cão, da equa¸cão

x+λAx=f.

Proposi¸cão 1.34 Se A é um operador acretivo em X, então as seguintes propriedades são equivalentes:

i) A ´e m-acretivo;

ii) existe λ0 > 0 tal que, para cada f ∈ X, existe uma solu¸c˜ao x ∈ D(A) da equa¸c˜ao

x+λ0Ax =f.

Observa¸cão 1.35 SejaAum operador acretivo emX. A fim de verificar queAé m-acretivo temos, em princ´ıpio, que resolver a equa¸cão x+λAx=f, para cada f _∈X e todo λ >0. A Proposi¸cão 1.34 nos diz que devemos resolver a equa¸cão para cadaf _∈X e algum λ >0.

(30)

Lema 1.36 Se A ´e um operador linear em H as seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

i) A ´e acretivo;

ii) (Ax, x)_≥0, para cada x_∈D(A).

Corolário 1.37 Se A é um operador m-acretivo em H, então D(A)é denso em X.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2]

Antes de prosseguirmos, recordemos a defini¸c˜ao do operador adjunto.

Seja X um espa¸co de Banach e A : D(A) _⊂ X _→ X um operador linear. Definindo-se

D(A∗) = _{u∗ _∈X′; existe v∗ _∈X′ que verifica _hu∗, Au_i=_hv∗, u_i para cada u_∈D(A)_}.

´

E bem sabido que se D(A) é denso em X então, cada u∗ corresponde um único v∗, o que nos permite definir o adjunto de A pondo-se

A∗ _: _D(A∗₎_⊂_X′ _→ _X′

u∗ _7→ v∗

Observe que A∗ ´e claramente linear.

Observa¸cão 1.38 Se A é m-acretivo em H então, D(A)é denso em H e portanto, A∗ está bem definido.

Defini¸cão 1.39 Um operadorAem X com dom´ınio denso é dito simétrico (respectivamente, anti-simétrico) se G(A) _⊂ G(A∗₎ _{(respectivamente,} _G(A) _⊂ _G(₋_A∗₎_{). Um operador} _A _em

(31)

Lema 1.40 Se A ´e um operador m-acretivo em H, as seguintes propriedades s˜ao equivalen-tes:

i) A ´e anti-adjunto;

ii) (Ax, x) = 0, para cada x_∈D(A); iii) ₋A ´e m-acretivo.

Defini¸c˜ao 1.41 Uma fam´ılia _{S(t)_}_t_≥₀ de operadores lineares e limitados definida sobre um espa¸co de Banach X ´e chamada de semigrupo de classe C0 quando

(i) S(0) =I :X _→X (Operador Identidade em X);

(ii) S(t+s) = S(t)S(s), para cada t, s _≥0;

(iii) a aplica¸c˜ao t_7→S(t)x ´e cont´ınua em [0,+_∞)_→X, para cada x_∈X.

Defini¸c˜ao 1.42 Um operador _A ´e chamado de gerador infinitesimal de um semigrupo

{S(t)_}_t_≥₀ quando _A ´e definido como

D(_A) =

x_∈X lim

t→0+

S(t)x₋x

t existe

e para cada x_∈D(_A) temos

Ax= lim

t→0+

S(t)x₋x

t .

As vezes, diz-se tamb´em que o semigrupo S(t)´e gerado por _A .

Defini¸c˜ao 1.43 Um semigrupo _{S(t)_}_t_≥₀ ´e chamado de uniformemente limitado se existe uma constante M _≥1 tal que

||S(t)_{|| ≤}M, _∀ t_≥0.

(32)

Defini¸c˜ao 1.45 Uma fam´ılia _{S(t)_}_t_∈R de operadores lineares e limitados definida sobre um

espa¸co de Banach X ´e chamada de grupo de operadores lineares limitados ou (grupo de isometrias) quando

(i) S(0) =I :X _→X (Operador Identidade em X);

(ii) S(t+s) = S(t)S(s), para cada t, s _∈R_;

(iii) a aplica¸c˜ao t_7→S(t)x ´e cont´ınua em R_→_X_{, para cada} _x_∈_X_; (iv) _kS(t)x_k=_kx_k, para cada t_∈R _{e para cada} _x_∈_X_.

Observa¸cão 1.46 De forma análoga, define-se o gerador infinitesimal de um grupo de iso-metrias. É fácil ver que se _−A é o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, então,

a restri¸cão de _−A a R₊ _{é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸cões.}

Teorema 1.47 (Stone) Um operador linear _A de um espa¸co de Hilbert H ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias se, e somente se, _A∗ ₌_−A_.

Como é bem conhecido, a teoria geral de semigrupos nos permite estudar proble-mas de valor inicial para equa¸cões de evolu¸cão abstratas do tipo

( _∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 t≥0, u(0) =x,

(1.7.18)

onde _A ´e um operador linear com dom´ınio D(_A) _⊂ X, sendo X um espa¸co de Banach (ou Hilbert).

Teorema 1.48 Seja _−A o gerador infinitesimal de um semigrupo _{S(t)_}t≥0 de classe C0.

Então, para cada x_∈D(_A), u(t) =S(t)x é a única solu¸cão do problema

( _∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 para cada t ∈R

+_,

u(0) =x.

(33)

Teorema 1.49 Seja_−Ao gerador infinitesimal de um grupo de isometrias_{S(t)_}t∈R. Ent˜ao,

para cada x_∈D(_A), u(t) = S(t)x é a única solu¸cão do problema

( _∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 para cada t∈R, u(0) = x.

Al´em disso, u_∈C(R_;_D(_A₎₎_∩_C1₍R_;_X)_.

Teorema 1.50 Seja _−A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, T > 0,

x_∈D(_A), f _∈L1(0, T;D(_A)) e seja u: [0, T]_→X definida por

u(t) = S(t)x+

Z t 0

S(t₋s)f(s)ds, (1.7.19)

onde (S(t))t≥0 é o semigrupo gerado por A. Então, u∈C(0, T;D(A))∩W1,1(0, T;X) e é a

´

unica solu¸c˜ao do problema

    

∂u

∂t(t) +Au(t) = f(t), para quase todo t∈[0, T], u(0) = x.

(1.7.20)

Demonstra¸c˜ao: Ver [2]

Teorema 1.51 Seja _−A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, T > 0,

f _∈C(0, T;D(_A))e seja udefinido como em (1.7.19). Então,u_∈C(0, T;D(_A)) e é a única solu¸cão do problema

    

∂u

∂t(t) +Au(t) = f(t), para todo t∈[0, T], u(0) = x.

(1.7.21)

Al´em disso, u_∈C(0, T;D(_A))_∩C1(0, T;X).

(34)

Cap´ıtulo

2

Controle Exato da Equac¸ ˜ao da Onda

Com Potencial

No decorrer deste Cap´ıtulo, todos os espa¸cos envolvidos serão sobre o corpo dos número reais. Seja Ω um subconjunto aberto, limitado e conexo do Rn_{, com fronteira Γ,} T >0 um número arbitrário, porém fixado e Q o cilindro Ω_×]0, T[ cuja fronteira lateral Σ é dada por Γ_×]0, T[. EmQ, consideremos a equa¸cão da onda com potencial com condi¸cão de fronteira não homogênea do tipo Dirichlet

                

∂2y

∂t2 −∆y+q(x)y= 0 em Q, y =v em Σ,

y(x,0) = y0(x),

∂y

∂t(x,0) = y1(x) em Ω,

(2.0.1)

onde _{y0, y1} são dados iniciais, q ∈ L∞(Ω) é uma fun¸cão não negativa e v é a variável de

controle, isto ´e, atuamos sobre o sistema (2.0.1) atrav´es da fronteira Σ.

O problema de controlabilidade exata para o sistema (2.0.1) consiste do seguinte ”Encontrar T0 > 0 e um espa¸co de Hilbert H, convenientes, de modo que para

todo_{y0, y1} ∈H exista um controlev tal que a solu¸c˜ao y de (2.0.1) satisfa¸ca a condi¸c˜ao

y(x, T) = ∂y

(35)

para algumT > T0”. Se isso ´e poss´ıvel, dizemos que o sistema ´e exatamente controlado a

par-tir do instanteT0.

Do exposto acima formulamos o problema de controlabilidade exata no caso em quev age sobre todo o bordo Σ. Uma questão essencial é a controlabilidade exata do sistema sob a a¸cão de um controle atuando em uma parte do bordo, isto porque é interessante a controlabilidade exata de sistema com um m´ınimo de a¸cão sobre sua fronteira. Consideremos, então, uma parte aberta e não vazia Σ0 = Γ0×]0, T[ de Σ e o novo sistema em questão

                        

∂2y

∂t2 −∆y+q(x)y= 0 em Q,

y =

  

v em Σ0

, 0 em Σ_\Σ0

y(x,0) = y0(x),

∂y

∂t(x,0) = y1(x) em Ω.

(2.0.3)

Analogamente, o problema ´e o seguinte

”EncontrarT0 >0 e um espa¸co de HilbertHde modo que para todo par{y0, y1} ∈

H exista um controle v definido sobre Σ0 tal que se y é solu¸cão de (2.0.3) então as seguintes

condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas,

y(x, T) = ∂y

∂t(x, T) = 0, para algumT > T0”.

Utilizaremos na resolu¸c˜ao do problema acima um m´etodo desenvolvido por J. L. Lions denominado H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) .

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆ

encia e Unicidade da

Equa¸c˜

ao da Onda com Potencial

(36)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 29

por Γ_×]0, T[. Nesta se¸cão, estaremos vamos mostrar a existência e unicidade de solu¸cão do

problema _

               

∂2_u

∂t2 −∆u+q(x)u=f em Q, u= 0 em Σ,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 _{em Ω.}

(2.1.1)

Defini¸cão 2.1 A energia associada a equa¸cão (2.1.1) é definida por

E(t) = 1 2

Z

Ω|∇

u(x, t)_|2+q(x)_|u(x, t)_|2+_|ut(x, t)|2dx, t∈R. (2.1.2)

Lema 2.2 Seja Ωum dom´ınio limitado de classe C2 e q_∈L∞(Ω) uma fun¸cão não negativa. A aplica¸cão

((_·,_·)) : H₀1(Ω)_×H₀1(Ω) _−→ R

(u, v) _7→ (_∇u,_∇v)L2_(Ω)+ (√qu,√qv)_L2_(Ω) define um produto interno em H₀1(Ω). Al´em disso, a norma _{k · k}V = ((·,·))

1

2 ´e equivalente `a

usual em H₀1(Ω).

Demonstra¸cão: Para cada u, v, w _∈ H₀1(Ω) e α, β _∈ R_{, as seguintes condi¸cões são} facil-mente verificadas

i) ((αu+βv, w)) =α((u, w)) +β((v, w)), ii) ((u, αv+βw)) =α((u, v)) +β((v, w)), iii) ((u, u))_≥0,

iv) u= 0 _⇔((u, u)) = 0.

Isto prova que ((_·,_·)) : H1

0(Ω)×H01(Ω) → R define um produto interno sobre H01(Ω). Pela

desigualdade de Poincar´e,

Z

Ω|∇

u(x)_|2dx _≤

Z

Ω|∇

u(x)_|2+_|pq(x)u(x)_|2dx_≤(1 +C_kq_k∞)

Z

Ω|∇

(37)

o que prova a equivalˆencias das normas

ku_kH1 0(Ω) =

Z

Ω|∇

u(x)_|2dx

1 2

e _ku_kV =

Z

Ω|∇

u(x)_|2+_|pq(x)u(x)_|2dx

1 2

.

Lema 2.3 Seja Ω um dom´ınio limitado de classe C2. Para cada f _∈ H−1(Ω) existe uma ´

unica solu¸c˜ao,u_∈H₀1(Ω), da equa¸c˜ao

−∆u+q(x)u=f em H−1(Ω), (2.1.3)

onde q_∈L∞_(Ω) _{é uma fun¸cão não negativa. Além disso,}

kf_kH−1_(Ω) =kuk_V. (2.1.4)

Demonstra¸c˜ao: Defina a(_·,_·) : H1

0(Ω)×H01(Ω) −→ R

(u, v) _7→ (_∇u,_∇v)L2_(Ω)+ (√qu,√qv)_L2_(Ω)

Note que a(_·,_·) é bilinear. Temos também que a(_·,_·) é cont´ınua, pois

|a(u, v)_|=_|((u, v))_{| ≤ k}u_kVkvkV, para cada u, v ∈H01(Ω).

Por fim,

|a(u, u)_|=_ku_k2_V para cada u_∈H₀1(Ω), o que mostra quea(_·,_·) ´e coerciva.

Pelo Teorema de Lax-Milgram, para cada f _∈ H−1(Ω), existe uma ´unica u _∈ H₀1(Ω), tal que

a(u, v) = _hf, v_iH−1_(Ω)H1

0(Ω), para cada v ∈H

1 0(Ω).

Donde,

Z

Ω∇

u(x)_∇v(x) +pq(x)u(x)pq(x)v(x)dx=_hf, v_i, para cada v _{∈ D}(Ω). (2.1.5) Portanto,

(38)

Comof _∈H−1(Ω) e qu_∈L2(Ω), temos que₋∆u_∈H−1(Ω), o que implica que

−∆u+qu=f em H−1(Ω).

Segue de (2.1.5) que

|hf, v_{i| ≤ k}u_kVkvkV, para cada v ∈H01(Ω),

o que nos diz que

kf_kH−1_(Ω) ≤ kuk_V. (2.1.6)

Tomandov =u em (2.1.5), temos

ku_k2V ≤ kfkH−1_(Ω)kuk_V.

Ent˜ao, para u₆= 0, tem-se

ku_kV ≤ kfkH−1_(Ω). (2.1.7)

Para o caso u = 0, isto ´e trivial. Combinando (2.1.6) e (2.1.7), obtemos que _ku_kV =

kf_kH−1_(Ω).

Observa¸c˜ao 2.4 Algumas aplica¸c˜oes simples do Lema 2.3:

i) Segue do Lema 2.3 que o operador ₋∆ +qI define uma isometria de H₀1 em H−1(Ω). ii) Segue de (2.1.4) que podemos definir um produto interno em H−1(Ω) dado por

(u, v)H−1_(Ω) = (((−∆ +qI)−1u,(−∆ +qI)−1v)).

Seja_H=H₀1(Ω)_×L2(Ω). Defina o operador _A em _H por

D(_A) = H₀1(Ω)_∩H2(Ω)_×H₀1(Ω),

A(u, v) = (₋v,₋∆u+qu), para cada (u, v)_∈D(_A). (2.1.8)

(39)

Demonstra¸c˜ao: Seja U _∈D(_A) e escrevaU = (u, v). Ent˜ao, pelo Teorema de Green (_AU, U)H = ((−v,−∆u+qu),(u, v))H1

0(Ω)×L2(Ω)

= ((₋v, u))H₀1(Ω)+ (−∆u+qu, v)L2_(Ω)

= ₋

Z

Ω∇

v_{· ∇}u+√qv√qudx

+

Z

Ω

(₋∆u+qu)vdx =

Z

Ω

(∆uv₋quv)dx

Z

Ω

(₋∆u+qu)vdx = 0.

Logo, _A´e acretivo.

Vamos verificar agora que_A ´e m-acretivo. DadoF = (f, g)_{∈ H}, a equa¸c˜ao

U +_AU =F, ´e equivalente a

(u, v) + (₋v,₋∆u+qu) = (f, g). Ou ainda,

u₋v =f em H₀1(Ω),

−∆u+v+qu =g em L2(Ω). (2.1.9) O sistema (2.1.9) ´e equivalente a

−∆u+ (1 +q)u=f+g,

v =u₋f. (2.1.10)

Pelo Lema 2.3, existe uma ´unicau_∈H₀1(Ω) resolvendo a primeira equa¸c˜ao de (2.1.10). Como f+g _∈L2_{(Ω), vem que}

−∆u=f+g₋(1 +q)u_∈L2(Ω)

e, assim,u_∈H2(Ω). Agora, v dada pela segunda equa¸c˜ao de (2.1.10) pertence aH₀1(Ω). Do Lema 1.40, segue que_A ´e anti-adjunto.

Seja_X =L2(Ω)_×H−1(Ω). Defina o operador _B em _X por

D(_B) = H₀1(Ω)_×L2(Ω),

B(u, v) = (₋v,₋∆u+qu), para cada (u, v)_∈D(_B). (2.1.11)

(40)

Demonstra¸cão: SejaU = (u, v)_∈D(_B). Sejaw_∈H₀1(Ω) a única solu¸cão de₋∆w+qw=v em H−1_{(Ω) dada pelo Lema 2.3. Então,}

(_BU, U)X = ((−v,−∆u+qu),(u, v))X

= (₋v, u)L2_(Ω)+ (−∆u+qu, v)_H−1_(Ω)

= (₋v, u)L2_(Ω)+ ((u,(−∆ +Iq)−1v))

= (₋v, u)L2_(Ω)+ ((u, w))

= (₋v, u)L2_(Ω)+

Z

Ω∇

u_{· ∇}w+√qu√qwdx = (₋v, u)L2_(Ω)+h−∆w+qw, ui_H−1_(Ω),H1

0(Ω)

= (₋v, u)L2_(Ω)+hv, ui_H−₁

(Ω),H1 0(Ω)

= 0.

Vamos verificar agora que_B ´e m-acretivo. DadoF = (f, g)_∈X, a equa¸c˜ao

U +_BU =F,

´e equivalente a

(u, v) + (₋v,₋∆u+qu) = (f, g). Ou ainda,

u₋v =f,

−∆u+v+qu=g. (2.1.12)

O sistema (2.1.12) ´e equivalente a

−∆u+ (1 +q)u=f+g,

v =u₋f. (2.1.13)

Pelo Lema 2.3, existe uma ´unica u _∈ H1

0(Ω) satisfazendo a primeira equa¸c˜ao de (2.1.13).

Agora,v dada pela segunda equa¸c˜ao de (2.1.13) pertence aL2_{(Ω). Do Lema 1.40, segue que}

B´e anti-adjunto.

Teorema 2.7 Sejam u0 _∈ _H1

(41)

negativa. Ent˜ao o problema

                

∂2_u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×R, u= 0 em Γ_×R_,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 _em _Ω,

admite uma ´unica solu¸c˜ao u na classe

C(R_;_H1

0(Ω)∩H2(Ω))∩C1(R;H01(Ω))∩C2(R;L2(Ω)). (2.1.14)

Al´em disso, para cada t_∈R_{, a seguinte identidade ´e verificada}

E(t) = E(0), para cada t _∈R_. _(2.1.15)

Demonstra¸c˜ao: Seja _H=H1

0(Ω)×L2(Ω). Defina o operador A em H por

D(_A) =H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω),

A(u, v) = (₋v,₋∆u+qu), para cada (u, v)_∈D(_A).

Pela Proposi¸cão 2.5 _A é anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, _−A é o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias _{S(t)_}t∈R.

Pelo Teorema 1.49, para cada U0 = (u0, u1) ∈ D(A), existe uma ´unica fun¸c˜ao

U(_·) = S(_·)U0 :R→ H, solu¸c˜ao do problema

( _∂U

∂t(t) +AU(t) = 0 para cada t∈R, U(0) =U0.

Al´em disso, U _∈C(R_;_D(_A₎₎_∩_C1₍R_;_H_). Pondo, U(t) = (u(t), v(t)), temos ∂U

∂t (t) +AU(t) =

∂u ∂t(t),

∂v ∂t(t)

+ (₋v(t),₋∆u(t) +qu(t)) = 0. (2.1.16)

De (2.1.16), conclu´ımos quev = ∂u ∂t e

∂2u

∂t2(t)−∆u(t) +qu(t) = 0, para cada t∈R.

ComoU _∈C(R_;_D(_A₎₎_∩_C1₍R_;_H_{), vem que}

(42)

Donde conclu´ımos que, u_∈C(R_;_H1

0(Ω)∩H2(Ω))∩C1(R;H01(Ω))∩C2(R;L2(Ω)).

Comou_∈C1₍_R_;_H1

0(Ω)) segue queγu(t) = 0, para cadat ∈R, ondeγ :H1(Ω)→

H12(Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual.

Considerando sobre H₀1(Ω) a norma induzida pelo produto interno ((_·,_·)) e uti-lizando o fato que _−A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, dado t _∈ R_, temos

kS(t)U0kH₀1(Ω)×L2_(Ω) = kU₀k_H1

0(Ω)×L2(Ω),

k(u(t), ut(t))kH1

0(Ω)×L2(Ω) = k(u

0_{, u}1₎

kH1

0(Ω)×L2(Ω),

k(u(t), ut(t))k2H1

0(Ω)×L2(Ω) = k(u

0_{, u}1₎

k2H1

0(Ω)×L2(Ω),

ku(t)_k2_H1

0 +kut(t)k

2

L2_(Ω = ku0k2_H1 0 +ku

1

k2L2_(Ω,

Z

Ω|∇

u(x, t)_|2+q(x)_|u(x)_|2+_|ut(x, t)|2dx =

Z

Ω|∇

u0(x)_|2+q(x)_|u0(x)_|2 +_|u1(x)_|2dx, 1

2

Z

Ω|∇

u(x, t)_|2+q(x)_|u(x)_|2+_|ut(x, t)|2dx =

1 2

Z

Ω|∇

u0(x)_|2+q(x)_|u0(x)_|2+_|u1(x)_|2dx, E(t) = E(0),

como quer´ıamos demonstrar.

Teorema 2.8 Sejam u0 _∈ _H1

0(Ω), u1 ∈ L2(Ω) e q ∈ L∞(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O

problema _

               

∂2_u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×R, u= 0 em Γ_×R_,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 _em _Ω,

C(R_;_H1

0(Ω))∩C1(R;L2(Ω))∩C2(R;H−1(Ω)). (2.1.17)

Al´em disso, para cada t_∈R_{, a seguinte identidade ´e verificada,}

(43)

Demonstra¸c˜ao: Seja _X =L2(Ω)_×H−1(Ω). Defina o operador _B em _X por

D(_B) =H1

0(Ω)×L2(Ω),

B(u, v) = (₋v,₋∆u+qu), para cada (u, v)_∈D(_B).

Pela Proposi¸cão 2.5 _B é anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, _−B é o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias _{S(t)_}t∈R.

Pelo Teorema 1.49, para cada U0 = (u0, u1) ∈ D(B), existe uma ´unica fun¸c˜ao

U(_·) = S(_·)U0 :R→ H, solu¸c˜ao do problema

( _∂U

∂t(t) +BU(t) = 0 para cada t∈R, U(0) =U0.

Al´em disso, U _∈C(R_;_D(_B₎₎_∩_C1₍R_;_X). Pondo, U(t) = (u(t), v(t)), temos ∂U

∂t (t) +BU(t) =

∂u ∂t(t),

∂v ∂t(t)

+ (₋v(t),₋∆u(t) +qu(t)) = 0. (2.1.19)

De (2.1.19), conclu´ımos quev = ∂u ∂t e

∂2u

∂t2(t)−∆u(t) +qu(t) = 0, para cada t∈R.

ComoU _∈C(R_;_D(_B₎₎_∩_C1₍_R_;_{X), vem que}

(u, ut)∈C(R;H01(Ω)×L2(Ω))∩C1(R;L2(Ω)×H−1(Ω)).

Donde conclu´ımos que,

u_∈C(R_;_H1

0(Ω))∩C1(R;L2(Ω))∩C2(R;H−1(Ω)).

Comou_∈C(R_;_H1

0(Ω)) segue queγu(t) = 0, para cada t∈R, onde γ :H1(Ω)→

H12(Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual.

Para verificar a identidade (2.1.18), notemos inicialmente que kS(t)U0kH1

0(Ω)×L2(Ω) = kS(t)U0kL2(Ω)×H

−1_(Ω)+kBS(t)U₀k_L2_(Ω)_×_H−1_(Ω)

= _kS(t)U0kL2_(Ω)_×_H−1_(Ω)+kS(t)BU₀k_L2_(Ω)_×_H−1_(Ω)

= _kU0kL2_(Ω)_×_H−1_(Ω)+kBU₀k_L2_(Ω)_×_H−1_(Ω)

(44)

onde, nas igualdades acima, utilizamos o fato que_−B´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias. Munindo H1

0(Ω) da norma induzida pelo produto interno ((·,·)), segue a

identidade desejada em (2.1.18).

Teorema 2.9 Sejam T > 0, u0 _∈ H₀1(Ω) _∩ H2(Ω), u1 _∈ _H1

0(Ω), f ∈ L1(0, T;H01(Ω)) e

q_∈L∞(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O problema

                

∂2_u

∂t2 −∆u+q(x)u=f em Ω×]0, T[, u= 0 em Γ_×]0, T[,

u(0) =u0_,∂u

∂t(0) =u

1 _em _Ω,

(2.1.20)

C(0, T;H₀1(Ω)_∩H2(Ω))_∩C1(0, T;H₀1(Ω)) e utt ∈L1(0, T;L2(Ω)). (2.1.21)

Al´em disso, para cada t_∈R_{, as seguintes desigualdades s˜ao verificadas}

E(t) _≤ 2(E(0) +_kf_k2_L1_(0,T_;L2_(Ω))), (2.1.22)

ES(t) _≤ 2(ES_{(0) +}

kf_k2_L1_(0,T_;H1

0(Ω))), (2.1.23)

onde ES(t) = 1 2

Z

Ω|

∆u(x, t)_|2+_|∇ut(x, t)|2+|

p

q(x)ut(x, t)|2dx.

Demonstra¸c˜ao: O problema (2.1.20) pode ser reescrito como

( _∂U

∂t(t) +AU(t) =g(t) para quase todo t∈]0, T[, U(0) =U0,

(2.1.24)

onde _A:D(_A)_{→ H}=H1

0(Ω)×L2(Ω) ´e o operador definido por

D(_A) = H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω),

A(u, v) = (₋v,₋∆u+qu), para cada (u, v)_∈D(_A) e

g : [0, T] _−→ H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω)