Uma nova abordagem da distribuição beta logística

(1)

Instituto de Ciênias Exatas - ICEx

Departamento de Estatístia

Uma nova abordagem da distribuição beta logístia

Sérgio Luiz de Oliveira

Orientadora: Profa. Lourdes C. Contreras Montenegro

(2)

ManifestoosmeusagradeimentosàminhaesposaMáriapeloapoioepaiênia

emtodos osmomentos, sobretudo nas minhas deisõespessoais eprossionais.

ÀminhamãeMariaApareidapeloinentivoeajudaemtodososmomentos.

À Prof

a

.Dr

a

Lourdes Coral Montenegro pelo omprometimento, inentivo,

paiênia, por todos os ensinamentos passados e porter me dado aoportunidade de

trabalharmosjuntos.

Ao professor Fredy Castellares Cáeres pelos onheimentos transmitidos e

as valiosas sugestõesneste estudo.

Aos professores e funionários do Departamento de Estatístia da UFMG

pela oportunidadee por teremontribuídona minha formação.

Aos meus olegas e amigos da Pós-Graduação em Estatístia, em espeial,

Spener, Angélia, Cleide, Ronaldo e Luís por toda força e apoio nos momentos

difíeis.

(3)

1 Introdução 11

1.1 Preliminares . . . 13

1.1.1 Distribuiçãologístia . . . 14

1.1.2 Classe de distribuiçõesbeta generalizada . . . 15

2 Distribuição beta logístia 17 2.1 Denição dadistribuição beta logístia . . . 17

2.2 Caraterístias dadistribuição beta logístia . . . 22

2.2.1 Função geradora de momentos . . . 22

2.2.2 Momentos . . . 23

2.2.3 Esperança . . . 24

2.2.4 Moda . . . 24

(4)

2.2.6 Estatístias de ordem . . . 26

2.2.7 Entropia de Shanon. . . 28

2.2.8 Entropia de Rényi . . . 29

2.2.9 Entropia de Kullbak-Leibler . . . 29

2.2.10 Momentos-L . . . 31

2.2.11 Desvio médioem relaçãoà média . . . 31

2.2.12 Desvio médioem relaçãoà mediana . . . 33

2.2.13 Curva de Lorenz . . . 33

2.2.14 Curva de Bonferroni . . . 36

2.3 Caraterização dabeta logístia . . . 36

2.3.1 Caraterístias da beta logístia . . . 36

2.3.2 Relação eonvergênia para outras distribuições . . . 37

3 Inferênia 39 3.1 Inferênia . . . 39

4 Simulação e apliação 44 4.1 Estudode simulação . . . 44

(5)

(6)

Neste trabalho é proposta uma nova abordagem da distribuição beta logístia

pertenenteàlassededistribuiçõesbetageneralizada.Estadistribuiçãojáseenontra

naliteraturaeé denominadade distribuiçãologístiageneralizadado tipo

IV

. Para essa nova abordagem, foi realizado o estudo da função densidade de probabilidade,

funçãode distribuiçãoaumuladaefunçãode riso. Apresentaremosexpressõespara

as prinipaispropriedades desta distribuição,taisomo, momentos, função geradora

de momentos, medidas de tendênia entral e função densidade de probabilidade

das estatístias de ordem, entre outros. O estimador de máxima verossimilhança

é proposto para estimar os parâmetros desta distribuição e a matriz de informação

esperada é alulada. Para ilustrar a apliação da distribuição beta logístia

uti-lizamos dois onjuntos de dados reais, mostrando que ela é mais exível que outras

distribuiçõesexistentes na literatura.

(7)

This work proposes a new approah to the beta logisti distribution belonging

tothelass ofgeneralizedbetadistributions. This distributionisknown inliterature

and is alled the generalized logisti distribution of typeIV. Forthis new approah,

the study wasonduted ofthe probabilitydensity funtion,umulativedistribution

funtion and hazard funtion. We present expressions for the moments, moment

generating funtion, measures of entral tendeny, probability density funtion of

order statistis, average deviations, entropies, and Lorenz and Bonferroni urves.

The estimator of maximum likelihood is proposed to estimate the parameters this

distribution and the expeted information matrix is alulated. To illustrate the

appliation of the beta logisti distribution we used two real data sets showing that

(8)

1.1 Gráos da f.d.p. (1.1) e f.d.a. (1.3) da distribuição Lo para alguns

valores dos parâmetros

µ

e

σ

. . . 15

2.1 Gráosdafunçãode densidadede probabilidadedadistribuiçãoBLo

para algunsvalores dos parâmetros

µ

,

σ

,

a

e

b

. . . 19

2.2 GráosdafunçãodedistribuiçãoaumuladadadistribuiçãoBLopara

algunsvalores dos parâmetros

µ

,

σ

,

a

e

b

. . . 20

2.3 Gráos da função de riso da distribuição BLo para alguns valores

dos parâmetros

µ

,

σ

,

a

e

b

. . . 21

4.1 Gráoda função densidade dadistribuição BLo . . . 45

4.2 Funçãode densidade estimadapara dados de élula de âner . . . . 47

4.3 GráosQQ das distribuições(a)BLo,(b)Lo, ()BN e (d)BGL . . . . 48

4.4 Gráo da função empíria e das funções de distribuição aumulada

das distribuiçõesBLo, Lo, BNe BGL. . . 50

(9)

4.6 GráoQQ das distribuições(a)BLo,(b)Lo, ()BN, (d)BW e(e)BGL 55

4.7 Gráo função empíria e função de distribuição aumulada das

(10)

2.1 Valores esperados e modapara alguns valores dos parâmetros da

dis-tribuiçãoBLo. . . 25

4.1 EMVs (errospadrão) dos parâmetrosdas distribuiçõesBLo, Lo,BNe

BGL para dados élulaanerígenas . . . 46

4.2 Estatístias AIC, BIC, CAICe HQC das distribuiçõesBLo, Lo, BNe

BGL para dados élulade âner . . . 47

4.3 EMVs (erros padrão) dos parâmetros das distribuiçõesBLo, Lo, BN,

BW e BGL para dados de bra de vidro. . . 51

4.4 Estatístias AIC, BIC, CAIC e HQC das distribuições BLo, Lo, BN,

(11)

Introdução

O modelo logístio surgiu iniialmente para modelar estudos demográos por

Verhulst. Reed e Berkson hegarama hamá-la de modelo de Verhulst, uma

home-nagem aoseu preursor. Outros autores apliaramadistribuição logístiapara

esti-mar o resimento dapopulação humana,porexemplo, Shultz (1930).

Generalizações da distribuição logístia surgiram iniialmente om Perks

(1932),quepropsumadistribuiçãoqueinluitodasasgeneralizaçõesdadistribuição

logístia onheidas omo Tipos

I, II, III

e

IV

. A distribuição logístia genera-lizada tipo

I

tem reebido onsiderávelatenção omrespeito às araterizações, tais omoosmomentoseestatístiasdeordem. Adistribuiçãodotipo

II

inluivárias pro-priedades dadistribuiçãodotipo

I

;porexemplo,seX éumavariávelaleatória(v.a.) om distribuição logístia generalizada do tipo

I

, então, -X é uma v.a. que segue a distribuição generalizada logístia do tipo

II

. A distribuição logístia generalizada dotipo

III

ésimétriaeextremamenteútilomoaproximaçãoaoutrasdistribuições simétrias, omo por exemplo, a distribuição t de Student. A distribuição logístia

(12)

omo asos espeiais.

Prentie(1975)propsumanovafamíliadedistribuições,queinluialgumas

distribuições importantes omo asos espeiais, tais omo as distribuições, normal,

logístia,valorextremo e logístiageneralizada. Distribuições de probabilidadeom

suportenosreais positivosinluemasdistribuiçõesexponenial,log-normal,Weibull,

gama, gama generalizada,log-logístio,qui-quadrado,

t

e

F

.

MDonald e Xu (1995) apresentam uma lasse de distribuições beta om

ino parâmetros que inlui as distribuições beta generalizada e gama generalizada.

Estas distribuições inluem mais de trinta distribuições omo asos espeiais. A

distribuição beta generalizada gera a distribuição beta generalizada exponenial, o

qualinlui formas generalizadasdas distribuiçõeslogístia,exponenial,Gompertz e

Gumbel ea distribuiçãonormal omo aso espeial.

Eugene et al. (2002) desenvolveram tambémum método de generalizar

dis-tribuições, introduzindo a lasse beta generalizada (beta-G) de distribuições. Eles

apresentaram a distribuiçãobeta normala partir daapliaçãoentre asdistribuições

beta enormal. Umavantagemdadistribuiçãobeta normalemrelaçãoàdistribuição

normal, é que ela pode assumir a forma unimodal ou bimodal. Esta lasse de

dis-tribuiçõesgeneralizaumadistribuiçãopadrãoadiionandodoisparâmetrosdeforma.

Por isso, a forma generalizada proporiona maior exibilidadena análise dos dados

observados. Váriostrabalhos surgiramna literaturanesta mesma linha de pesquisa.

Estes trabalhos introduzem uma nova distribuição da lasse beta-G, deduzindo

al-gumas propriedades que araterizam a distribuição e propõemuma apliaçãopara

o modelo. Neste sentido, itamos algumas distribuições, tais omo, beta Gumbel

(13)

Weibull (Cordeiro et al, 2010) e beta logístia generalizada (Morais et al., 2010),

entre outros.

Neste ontexto, o objetivo deste trabalho é propor uma nova abordagem

da distribuição beta logístia, pertenente à lasse de distribuições beta

generali-zada. Determinamosexpressõesmatemátiaspara as propriedadesquearaterizam

a distribuição. Estudamos a teoria de inferênia para a distribuição. Ainda,

deter-minamosexpressõespara osestimadoresde máximaverossimilhançados parâmetros

da distribuição e para veriar a exibilidade da distribuição beta logístia,

desen-volvemos uma apliaçãoom dois onjuntos de dadosreais, omparando om outras

distribuições.

Esta dissertação está dividida em ino apítulos e ontém dois anexos. No

Capítulo2 apresentamos a distribuiçãobeta logístiaexplorando suas propriedades.

NoCapítulo3desenvolvemosateoriade inferêniadadistribuiçãoBLo. NoCapítulo

4um estudode simulaçãoérealizadoeapresentamos duasapliaçõesdadistribuição

beta logístia. Finalmente,onsiderações naissão apresentadas noCapítulo5.

1.1 Preliminares

(14)

1.1.1 Distribuição logístia

A função de densidadede probabilidade(f.d.p.) dadistribuição logístiade

parâme-tros

µ

e

σ

, denotada porLo

(

µ, σ

)

, édada por

f

(

x

) =

e

−

(x

−

s

µ)

s

[1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

2

,

x, µ

∈ ℜ

, s >

0 ,

(1.1)

emque

s

=

σ

√

3 π

e

σ >

0

.

Esta função de densidade de probabilidadeda distribuição Loé onsiderada

mais geral, porque ela inlui a distribuição logístia padrão Lo(0,1). O termo

s

é utilizadoapenas para simpliaras notações dadistribuição Lo.

Uma outra formaalternativapara a f.d.p. pode ser esrita omo

f

(

x

) =

1

4 s

sech

2

x

₋

µ

2 s

.

(1.2)

Por onsequênia da equação (1.2), a função de distribuição aumulada (f.d.a.) da

distribuição logístiaé denotada por

F

(

x

) =

1 1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

,

(1.3)

aqui,tambémpodemos estabeleer de uma outra formaaf.d.a., dadapor

F

(

x

) =

1

2 1 + tanh

x

₋

µ

2 s

.

Para as equações (1.2) e (1.3), a função de riso da distribuição Lo pode ser

esrita omo

h

(

x

) =

1 s

h

1 +

e

−

(x

−

s

µ)

i

.

A Figura1.1apresentaosgráosdafunçãodensidade de probabilidadeefunção

(15)

−5

0

5

10

15

20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20 x

f(x)

µ = 1,σ =2.5

µ = 2,σ =2.5

µ = 2.5,σ =2

µ = 1.5,σ =2

µ = 5,σ =2.5

−5

0

5

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 x

F(x)

µ = 1,σ =1.5

µ = 1,σ =1

µ = 2,σ =1.5

µ = 5,σ =1

µ = 7,σ =1

Figura 1.1: Gráos da f.d.p. (1.1) e f.d.a. (1.3) da distribuição Lo para alguns

µ

e

σ

Asprinipaispropriedadesquearaterizamadistribuiçãologístiasão

apre-sentadas noApêndieA.

1.1.2 Classe de distribuições beta generalizada

A lasse de distribuiçõesbeta generalizada é apliadaem análise de dados om

distribuição assimétria que não podem ser bem ajustados pelas distribuições

exis-tentes naliteratura(Eugeneetal,2002). Assim, estalasse dedistribuiçõespode ser

denida da seguinte forma:

Sejam

Z

e

Y

duas variáveis aleatórias (v.a.), em que

Z

∼

Beta

(

a, b

)

e

Y

om função de distribuição aumulada

G

(

y

)

, hamada de distribuição primitiva. A apliação

X

=

G

−

1 Y

(

z

)

produz

X

seguindo a função de densidade de probabilidade dadistribuição beta generalizadaom expressão

f

(

x

;

α, β, γ

) =

g

(

y

)

B

(

α, β

)

[

G

(

y

)]

α

−

1

_[1

₋

_G

₍

_y

_)]

β

−

1

_,

(16)

em que

B

(

α, β

)

é a função beta,

g

(

y

)

é a f.d.p. de

G

(

y

)

e

γ

são os parâmetros da distribuição primitivada v.a.

Y

A f.d.a. dadistribuição beta generalizada pode ser esrita omo

F

(

x

;

α, β, γ

) =

BGy

(

α, β

)

B

(

α, β

)

,

(1.5)

emque

BG(y)

(

α, β

)

é denominadafunção beta inompletae é dada por

BG(y)

(

α, β

) =

G(y)

Z

0

t

α

−

1

₍₁

−

t

)

β

−

1

_dt.

Quando

α

=

β

= 1

a função de distribuição aumulada da distribuição beta generalizada oinideom a f.d.a.

G

(

y

)

da distribuiçãoprimitiva.

(17)

Distribuição beta logístia

Nesteapítuloépropostaumadistribuiçãoomquatroparâmetros,denotadapor

distribuiçãobetalogístia(BLo). Apresentamosafunçãodensidadedeprobabilidade

(f.d.p.),funçãodedistribuiçãoaumulada(f.d.a.),funçãoderiso,funçãogeradorade

momentos(f.g.m.),momentos,média,moda,mediana,estatístiadeordem,entropia,

momentos-L, desvios médios em relaçãoà média e à mediana e asurvas de Lorenz

e Bonferroni.

2.1 Denição da distribuição beta logístia

Sejam

Z

e

Y

duas variáveis aleatórias (v.a.),

Z

∼

Beta

(

a, b

)

e

Y

∼

Lo

(

µ, σ

)

. Como formade ombinar asduas variáveis, denimos

X

omo

X

=

s

log

z

1 ₋

z

+

µ.

em que

s

=

σ

√

3

(18)

Utilizando a equação (1.4), a função densidade de probabilidade da

dis-tribuiçãobeta logístiapode ser esrita omo

f

(

x

) =

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

a+b

.

(2.1)

A funçãode distribuiçãoaumuladadadistribuiçãoBLoéobtidaapartirda

equação (1.5), istoé,

FX

(

x

) =

b

−

1

X

n=0

dn

1 1 +

e

−

(x

−

s

µ)

a+n

,

(2.2)

emque

dn

=

b

−

1 n

(

−

1)

n

B(a,b)(a+n)

, n

≥

0 .

Das equações (2.1) e (2.2), a função de riso da distribuição BLo pode ser

esrita omo

h

(

x

) =

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

s

h

1 +

e

−

(x

−

s

µ)

i

a+b







B

(

a, b

)

−

1 1+e

−

(x

−

µ)

s

R

0

t

a

−

1

₍₁

₋

_t

₎

b

−

1

_dt







.

As Figuras 2.1, 2.2 e 2.3 apresentam os gráos das funções densidade de

probabilidade, função de distribuição aumulada e da função de riso para alguns

µ, σ, a e b

.

(19)

−5

0

5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 µ

= 2,

σ

=2

x

f(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−30

−20

−10

0

10

20

30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08 µ

= 2,

σ

=10

x

f(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−20

−10

0

10

20

30

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08 µ

= 5,

σ

=10

x

f(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−2

0

2

4

6

8

10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 µ

= 5,

σ

=2

x

f(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

Figura 2.1: Gráos da função de densidade de probabilidade da distribuição BLo

(20)

−4

−2

0

2

4

6

8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 µ

= 2,

σ

=2

x

F(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−30

−20

−10

0

10

20

30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 µ

= 2,

σ

=10

x

F(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

0

2

4

6

8

10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 µ

= 5,

σ

=2

x

F(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−20

−10

0

10

20

30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 µ

= 5,

σ

=10

x

F(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

Figura 2.2: Gráos da função de distribuição aumulada da distribuição BLo para

(21)

−2

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4 µ

= 2,

σ

=2

x

h(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−20

−10

0

10

20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8 µ

= 2,

σ

=10

x

h(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

0

2

4

6

8

10

12

0

1

2

3

4 µ

= 5,

σ

=2

x

h(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

−10

0

10

20

30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8 µ

= 5,

σ

=10

x

h(x)

a=1,b=1

a=1,b=2

a=2,b=1

a=1,b=5

a=2,b=5

Figura 2.3: Gráos da função de riso da distribuição BLo para alguns valores dos

(22)

2.2 Caraterístias da distribuição beta logístia

Nesta seção desenvolvemos expressões formais para função geradora de momentos,

momentos, esperança, média, moda, mediana, estatístia de ordem, entropias de

Renyi,ShanoneKullbak,momentosL,foramtambémdesenvolvidos desviosmédios

emrelação amédia e amediana. Finalmente, as urvas de Lorenz e Bonferroni.

2.2.1 Função geradora de momentos

A função de geração de momentos é utilizadapara determinaros momentosde

uma distribuição de probabilidade.

Utilizando a função de densidade de probabilidade da distribuição BLo,

equação (2.1), obtemosa função geradora de momentos(f.g.m.), dadapor

M

(

t

) =

∞

Z

−∞

e

tx

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

₎

a+b

dx.

Substituindo

v

=

x

−

µ

s

, temos

M

(

t

) =

e

tµ

B

(

a, b

)

∞

Z

−∞

e

−

(1

−

ts)v

1 1 +

e

−

v

a+b

dv,

fazendo

m

=

1 1+e

−

v

, obtemos

M

(

t

) =

e

tµ

B

(

a, b

)

1

Z

0

m

(ts+a

−

1)

₍₁

−

m

)

(b

−

ts

−

1)

_dm

=

e

tµ

B

(

a, b

)

B

(

ts

+

a, b

−

ts

)

=

e

tµ

B

(

a, b

)

Γ(

ts

+

a

)Γ(

b

₋

ts

)

Γ(

a

+

b

)

,

(2.3)

(23)

2.2.2 Momentos

Osmomentosde umadistribuição deprobabilidadesão importantespara

deter-minaralgumasaraterístiasfundamentais,omoporexemplo,esperança,variânia,

assimetriae urtose.

A partir dadenição do

n

-ésimo momentoda distribuiçãobeta-G, podemos failmente obter o

n

-ésimo momento da distribuição BLo após uma mudança de variáveis.

O

n

-ésimo momento dadistribuição beta-G pode ser esrito omo

τn

=

∞

Z

−∞

x

n

g

(

x

)

B

(

a, b

)

G

(

x

)

a

−

1

_[1

₋

_G

₍

_x

_)]

b

−

1

_dx.

(2.4)

Fazendo

G

(

x

) =

u

,obtemos

x

=

G

−

1

₍

_u

₎

, istoé,

x

=

s

log

u

1 ₋

u

+

µ

=

G

−

1

₍

_u

₎

_.

Apliandoesta relaçãona equação(2.4), temos

τn

=

1

Z

0

[

G

−

1

₍

_u

_)]

n

1 B

(

a, b

)

u

a

−

1

₍₁

₋

_u

₎

b

−

1

_du

=

1

Z

0

s

log

u

1 ₋

µ

+

µ

n

1 B

(

a, b

)

u

a

−

1

₍₁

−

u

)

b

−

1

_du

=

n

X

k=0

n

k

s

k

µ

n

−

k

1

Z

0

[(log

u

₋

log(1

₋

u

)]

k

1 B

(

a, b

)

u

a

−

1

₍₁

₋

_u

₎

b

−

1

_du

=

n

X

k=0

k

X

v=0

n

k

v

s

k

µ

n

−

k

(

₋

1)

v

1

Z

0

(log

u

)

k

−

v

[log(1

₋

u

)]

v

1 B

(

a, b

)

u

a

−

1

₍₁

−

u

)

b

−

1

_du.

(2.5)

Usando a relação

1

Z

0

(log

x

)

(k

−

v)

_[log(1

₋

_x

_)]

v

_x

β

−

1

₍₁

₋

_x

₎

α

−

1

_dx

₌

∂

k

(24)

em(2.5), o

n

-ésimo momentoda distribuiçãoBLo pode ser esrito omo

τ

=

n

X

k=0

k

X

v=0

n

k

v

s

k

µ

n

−

k

(

−

1)

v

B

(

a, b

)

∂

k

B

(

a, b

)

∂a

k

−

v

_∂b

v

.

2.2.3 Esperança

A esperança da distribuição BLo pode ser failmente enontrada a partir da

função geradora de momentos, alulando oprimeiro momento.

Derivandoa equação (2.3) emrelação a

t

, temos

d M

(

t

)

dt

=

µ

+

s

Γ

′

(

ts

+

a

)

Γ(

ts

+

a

)

−

s

Γ

′

(

b

₋

ts

)

Γ(

b

₋

ts

)

,

(2.6)

e tomando

t

= 0

na equação (2.6),obtemos aesperança dadistribuição BLo

E

(

X

) =

µ

+

s

[Ψ(

a

)

₋

Ψ(

b

)]

,

emque

Ψ(

· )

denota afunção digama.

2.2.4 Moda

Uma medida de tendênia entral, hamada moda, é o valor ou valores mais

frequentes em uma distribuição de frequênia. A moda é obtida pela maximização

dologaritmoda f.d.p. daequação (2.1), istoé,

∂

log

f

(

x

)

∂x

=

−

b

s

−

(

a

+

b

)

1 1 +

e

−

(x

−

s

µ)

e

−

(x

−

s

µ)

−

1 _s

.

Derivando a expressãoaima e igualandoa0, temos

−

b

_s

+

(

a

+

b

)

s

"

e

−

(x

−

_s

µ)

1 +

e

−

(x

−

s

µ)

#

(25)

Assim, desenvolvendo a equaçãoanterior, obtemos

e

−

(x

−

s

µ)

=

b

a

,

logo,

˜

Xmo

=

µ

+

s

(log

a

₋

log

b

)

.

emque

Xmo

˜

é a modadadistribuição BLo.

NaTabela2.1apresentamosvaloresparaaesperançaemodadadistribuiçãobeta

logístiapara alguns valores dos parâmetros

µ

,

σ

,

a

e

b

.

Tabela 2.1: Valores esperados e moda para alguns valores dos parâmetros da

dis-tribuiçãoBLo.

Parâmetros E(X) Mo

µ

σ

a b

2 2 1 1 2 2

1 2 3 1 2,654 3,197

2 1 3 1 2,827 3,100

0,1 10 1 4 -7,543 -10,008

10 0,4 1 4 9,694 9,600

1 2 10 0,4 1,710 2,061

3 1 0,1 40 1,679 -0,110

(26)

2.2.5 Mediana

A medianade uma distribuiçãoontínua édenida omo

P

(

X

_≤

v

) =

P

(

X

_≥

v

) =

v

Z

−∞

f

(

x

)

dx

=

1

2 .

Podemos mostrar que a distribuição BLo não têm forma fehada para a mediana,

istoé, aequação

v

Z

−∞

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

s

µ)

]

a+b

dx

=

1

2

não pode ser resolvida analitiamente.

Fazendo amudança de variáveis

t

=

x

−

µ

s

,obtemos

v

−

µ

s

Z

−∞

e

−

bt

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

=

1

2 .

Substituindo

m

=

1 1+e

−

t

, temos

1 1+e

−

(

v

−

µ

s

)

Z

0

m

a

−

1

₍₁

−

m

)

b

−

1

_dm

₌

1

2 .

A soluçãodesta equaçãonão linear resultanovalordamedianada distribuiçãobeta

logístia.

2.2.6 Estatístias de ordem

Estatístias de ordem são onsideradas de fundamental importânia na estatístia.

(27)

Considerando uma amostra aleatóriade tamanho

n

de uma distribuição de probabilidade ontínua, a expressão da função densidade da

k

-ésima estatístia de ordem

Xk:n

é dada por

fk:n

(

x

) =

f

(

x

)

B

(

k, n

₋

k

+ 1)

F

(

x

)

k

−

1

₍₁

₋

_F

₍

_x

₎₎

n

−

k

_,

para

k

= 1

, ..., n

. Expandindo embinmio de Newton, temos

fk:n

(

x

) =

f

(

x

)

B

(

k, n

₋

k

+ 1)

n

−

k

X

m=0

n

₋

k

m

(

₋

1)

m

F

(

x

)

m+k

−

1

_.

(2.7)

Substituindoa equação (2.2) em(2.7), obtemos

fk:n

(

x

) =

f

(

x

)

B

(

k, n

₋

k

+ 1)

n

−

k

X

m=0

n

₋

k

m

(

₋

1)

m

"

_b

₋

₁

X

t=0

dtG

(

x

)

t+a

#

m+k

−

1

.

(2.8)

Utilizando a identidade

P

∞

k=0

dkx

k

n

=

P

∞

k=0

ck,nx

k

(Gradshteyn e Ryzhik, 2000)

onde

c

0,n

=

d

n

0

e ck,n

= (

kd

0

)

−

1 k

X

l=0

(

nl

₋

k

+

l

)

dlck

₋

l,n,

naequação (2.8), temos

fk:n

(

x

) =

f

(

x

)

B

(

k, n

₋

k

+ 1)

n

−

k

X

m=0

n

₋

k

m

(

₋

1)

m

∞

X

t=0

ct+a,m+k

₋

1

G

(

x

)

t+a

,

(2.9)

emque

ct+a,m+k

₋

1

= [

d

0

(

t

+

a

)]

−

1 t+a

X

l=0

[(

m

+

k

₋

1)

l

₋

(

t

+

a

) +

l

]

dlct+a

₋

l,m+k

−

1

.

Substituindoaf.d.p. eaf.d.a. da distribuiçãoLodadas pelas equações (1.1)e (1.3),

respetivamente, em (2.9) temos

fk:n

(

x

) =

1 B

(

k, n

₋

k

+ 1)

n

−

k

X

m=0

n

₋

k

m

(

₋

1)

m

_[

_e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

h

1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

i

a+b

×

∞

X

t=0

ct+a,m+k

₋

1

1 1 +

e

−

(x

−

s

µ)

t+a

.

(28)

2.2.7 Entropia de Shanon

O oneito de entropia de Shannon (Shannon, 1948) vem do ampo da Teoria da

Informação. Elamede ograu de inerteza queexiste emum sistema termodinâmio

emevolução.

A entropia de Shanon édenida omo

h

[

f

] =

∞

Z

−∞

f

(

x

) log

f

(

x

)

dx.

(2.10)

Substituindoa f.d.p. da BLo, equação(2.1), em (2.10)obtemos

h

[

f

] =

∞

Z

−∞

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

a+b

log

(

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

a+b

)

dx.

Fazendo

t

=

x

−

µ

s

,temos

h

[

f

] =

∞

Z

−∞

(

e

−

t

₎

b

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

log

(

e

−

t

₎

b

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

=

∞

Z

−∞

−

bt

e

−

bt

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

₋

∞

Z

−∞

log

B

(

a, b

)

e

−

bt

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

−

∞

Z

−∞

log

s

e

−

bt

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

−

(

a

+

b

)

∞

Z

−∞

log

(1 +

e

−

t

)

e

−

bt

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

=

₋

bEBLo

(

T

)

₋

log

B

(

a, b

)

₋

log (

s

)

₋

(

a

+

b

)

EBLo

[log (1 +

e

−

T

)]

=

₋

log [

sB

(

a, b

)]

₋

bs

[Ψ(

a

)

₋

Ψ(

b

)] + (

a

+

b

)[Ψ(

a

+

b

)

₋

Ψ(

a

)]

,

(29)

2.2.8 Entropia de Rényi

A entropia de Rényi (Rényi, 1961) éuma generalização daentropia Shannon.

A entropia de Rényi de ordem

γ

de uma distribuição ontínua é denida omo

r

[

f

] =

1

1 ₋

γ

log





∞

Z

−∞

f

γ

(

x

)

dx





,

(2.11)

emque

γ >

0

e

γ

6 = 1

.

Substituindo aequação (2.1) na equação(2.11), obtemosque

r

[

f

] =

1

1 ₋

γ

log

∞

Z

−∞











h

e

−

(x

−

s

µ)

i

b

B

(

a, b

)

s

h

1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

i

a+b











γ

dx.

Fazendo

t

=

x

−

µ

s

,temos

r

[

f

] =

1

1 ₋

γ

log





1 B

γ

₍

_{a, b}

₎

_s

γ

−

1 ∞

Z

−∞

e

−

btγ

(1 +

e

−

t

₎

γ(a+b)

dt





.

Substituindo

m

=

1 1+e

−

t

, obtemos

r

[

f

] =

1

1 ₋

γ

log





1 B

γ

₍

_{a, b}

₎

_s

γ

−

1

Z

0

m

aγ

−

1

₍₁

−

m

)

bγ

−

1

_dm





=

1

1 ₋

γ

log

1 B

γ

₍

_{a, b}

₎

_s

γ

−

1

B

(

aγ, bγ

)

=

1

1 ₋

γ

[log

B

(

aγ, bγ

)

−

γ log B

(

a, b

)

−

(

γ

−

1)

log s

]

.

2.2.9 Entropia de Kullbak-Leibler

Nateoriadeprobabilidadeaentropiade Kullbak-Leibleréumamedidadadiferença

das funções densidade

f

e

g

denida por

I

[

F, G

] =

∞

Z

−∞

log

f

(

x

)

(30)

emque

I

[

F, G

]

≥

0

.

Considerando

f

(

x

)

af.d.p. dadistribuiçãoBLoe

g

(

x

)

af.d.p. dadistribuiçãoLo, substituindo asequações(2.1) e (1.1) em(2.12), obtemos

I

[

F, G

] =

∞

Z

−∞

log

(

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

s

µ)

]

a+b

"

s

(1 +

e

−

(x

−

s

µ)

)

2

e

−

(x

−

s

µ)

#)

×

[

e

−

(x

−

s

µ)

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

a+b

dx

=

∞

Z

−∞

log

(

[

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

b

−

1

B

(

a, b

)[1 +

e

−

(x

−

s

µ)

]

a+b

−

2

)

[

e

−

(x

−

_s

µ)

_]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

s

µ)

]

a+b

dx

=

∞

Z

−∞

(

b

₋

1)(

x

₋

µ

)

s

"

e

−

b

(x

−

_s

µ)

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

(x

−

s

µ)

)

a+b

#

dx

−

log

B

(

a, b

)

₋

∞

Z

−∞

(

a

+

b

₋

2) log [1 +

e

−

(x

−

s

µ)

]

×

"

e

−

b

(x

−

_s

µ)

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

(x

−

s

µ)

)

a+b

#

dx.

Fazendo amudança de variáveis

t

=

x

−

µ

s

,obtemos

I

[

F, G

] =

₋

(

b

₋

1)

∞

Z

−∞

t

e

−

bt

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

t

₎

a+b

sdt

−

log

B

(

a, b

)

−

(

a

+

b

₋

2)

∞

Z

−∞

log (1 +

e

−

t

₎

e

−

bt

B

(

a, b

)

s

(1 +

e

−

t

₎

a+b

sdt

=

₋

(

b

₋

1)

EBLo

(

T

)

₋

log

B

(

a, b

)

₋

(

a

+

b

₋

2)

EBLo

(log(1 +

e

−

T

))

=

₋

log

B

(

a, b

)

₋

(

b

₋

1)

_{

µ

+

s

[Ψ(

a

)

₋

Ψ(

b

)]

_}

+ (

a

+

b

₋

2)[Ψ(

a

+

b

)

₋

Ψ(

a

)]

,

(31)

2.2.10 Momentos-L

Osmomentos-Lsãoestatístiasusadaspararesumiraformadeumadistribuição

de probabilidade. Elessão análogos aos momentos onvenionais, mas são denidos

omoombinaçõeslinearesdas estatístias de ordem. Elessão denidos porHosking

(1990) omo

λr+1

=

r

(

r

+ 1)

−

1 r

X

k=1

(

₋

1)

k

E

(

X

(r+1

−

k;r+1)

)

para

r

= 1

, ...

Os quatro primeirosmomentos-L de uma distribuiçãode probabilidadesão

λ

1

=

E

(

X

1:1

)

,

λ

2

=

1

2

E

(

X

2:2

−

X

1:2

)

,

λ

3

=

1

3

E

(

X

3:3

−

2 X

2:3

+

X

1:3

)

e

λ

4

=

1 ₄

E

(

X

4:4

−

3 X

3:4

+ 3

X

2:4

−

X

1:4

)

.

A partir das expansões dos momentos das estatístias de ordem dadas

anterior-mente,podemosobterexpansõesparaosmomentos-LdadistribuiçãoBLoomo

om-binaçõeslinearesponderadasdas esperanças deestatístias de ordemdadistribuição

beta logístia.

2.2.11 Desvio médio em relação à média

O desvio médio emrelaçãoao valoresperado de uma distribuição é dadopor

δ1

=

∞

Z

−∞

(32)

Desenvolvendo a integral daexpressão aima temos

δ1

=

µ

Z

−∞

(

µ

₋

x

)

f

(

x

)

dx

+

∞

Z

µ

(

x

₋

µ

)

f

(

x

)

dx

= 2

µ

Z

−∞

(

µ

₋

x

)

f

(

x

)

dx

= 2

µF

(

µ

)

₋

2

µ

Z

−∞

xf

(

x

)

dx.

(2.13)

Substituindoa f.d.p. da distribuiçãoBLo, equação (2.1), em(2.13), obtemos

δ

1

=

µ

Z

−∞

x

[

e

−

(x

−

µ)

s

]

b

B

(

a, b

)

s

[1 +

e

−

(x

−

µ)

s

]

a+b

dx.

Fazendo

t

=

x

−

µ

s

temos

δ

1

=

0

Z

−∞

(

µ

+

st

)

(

e

−

t

₎

b

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt

=

µF

(0) +

s

0

Z

−∞

t

(

e

−

t

₎

b

B

(

a, b

)(1 +

e

−

t

₎

a+b

dt.

Substituindo

m

=

1 1+e

−

t

, obtemos

δ

1

=

s

B

(

a, b

)







1

2

Z

0

log

m

(1

₋

m

)

b

−

1

_m

a

−

1

_dm

₊

1

2

Z

0

log (1

₋

m

)(1

₋

m

)

b

−

1

_m

a

−

1

_dm







.

Portanto,

δ1

= 2

µF

(

µ

)

₋

2 µF

(0)

+2

(

log 0

,

5 _×

s

B

(

a, b

)

"

_b

₋

₁

X

j=0

b

₋

1 j

(

₋

1)

j

1 (

a

+

j

)2

a+j

#)

+2

(

log 0

,

5 _×

s

B

(

a, b

)

"

_b

₋

₁

X

j=0

a+j

−

1

X

k=0

b

₋

1 j

a

+

j

₋

1 k

1 (

k

+ 1)2

k+1

1

2 −

1 (

k

+ 1)

#)

(33)

2.2.12 Desvio médio em relação à mediana

Odesvio médioem relaçãoa medianade uma distribuição é dado por

δ

2

=

∞

Z

−∞

|

x

₋

M

_|

f

(

x

)

dx.

Desenvolvendo a integral daexpressão aima, obtemos

δ

2

=

M

Z

−∞

(

M

₋

x

)

f

(

x

)

dx

+

∞

Z

M

(

x

₋

M

)

f

(

x

)

dx

= 2

M

Z

−∞

M f

(

x

)

dx

₋

2

∞

Z

M

xf

(

x

)

dx

+

E

(

x

)

₋

M

= 2

M F

(

M

) +

E

(

x

)

₋

M

₋

2

∞

Z

M

xf

(

x

)

dx.

Deformaanálogaaodesviomédioemrelaçãoàmédia,podemosonluirqueodesvio

médio em relaçãoà medianada distribuiçãobeta logístiaé expresso por

δ

2

= 2

M F

(

M

) +

E

(

x

)

−

M

−

2 µF

M

₋

µ

s

+2

(

s

B

(

a, b

)

log

1 1 +

e

−

(M

−

_s

µ)

"

b

−

1

X

j=0

b

₋

1 j

(

₋

1)

j

1 a

+

j

1 1 +

e

−

(M

−

_s

µ)

a+j

#)

+2











b

−

1

X

j=0

a+j

−

1

X

k=0

b

₋

1 j

a

+

j

₋

1 k

1 +

e

−

(M

−

s

µ)

−

(k+1)

(

k

+ 1)

log

1 1 +

e

−

(M

−

s

µ)

−

1 (

k

+ 1)











.

2.2.13 Curva de Lorenz

A urva de Lorenz é um gráo utilizado para representar a distribuição relativa

de uma variável em um domínio determinado. O domínio pode ser o onjunto de

(34)

aumulada de pessoas noeixodas absissas eaperentagem aumuladade rendano

eixo das ordenadas. Ela foi desenvolvida pelo eonomista Max O. Lorenz em 1905

para representar a distribuição de renda.

Cada ponto da urva é lido omo perentagem umulativa das pessoas. A urva

parte daorigem(0,0) e terminanoponto(100,100). Se a rendaestivesse distribuída

de forma perfeitamente equitativa, a urva oinidiriaom a linha de 45 graus que

passa pela origem(por exemplo,30% da populaçãoreebe 30% da renda).

Para umavariávelaleatória

X

om função inversada funçãodistribuição aumu-lada dada por

F

−

1

₍

_X

₎

(ou função de quantis de X). A urva de Lorenz é denida

por

L

(

p

) =

1 µ

p

Z

0

F

−

1

₍

_x

₎

_dx,

(2.14)

emque

µ

=

E

(

X

)

.

A inversa da função beta inompleta,

I

−

1 z

(

a, b

)

, pode ser enontrada no sítio http://funtions.wolfram.om/06.23.06.0004.01.

I

−

1 z

(

a, b

) =

t

+

b

₋

1 a

+ 1

t

2

₊

(

b

−

1)(

a

2

+ 3

ab

−

a

+ 5

b

−

4 2(

a

+ 1)

2

₍

_a

_{+ 2)}

t

3

+

(

b

₋

1)[

a

4

+ (6

b

₋

1)

a

3

+ (

b

+ 2)(8

b

₋

5)

a

2

3(

a

+ 1)

3

₍

_a

_{+ 2)(}

_a

_{+ 3)]}

+

(

b

₋

1)[(33

b

2

₋

₃₀

_b

_{+ 4)}

_a

₊

_b

₍₃₁

_b

₋

_{47) + 18]}

3(

a

+ 1)

3

₍

_a

_{+ 2)(}

_a

_{+ 3)}

t

4

+

O

(

z

5 a

)

,

emque

t

= [

az B

(

a, b

)]

1

(35)

Podemos reesrever

I

−

1 z

(

a, b

)

omo

I

−

1 z

(

a, b

) = [

az B

(

a, b

)]

1 a

+

b

₋

1 a

+ 1

[

az B

(

a, b

)]

2 a

+

(

b

₋

1)(

a

2

+ 3

ab

₋

a

+ 5

b

₋

4 2(

a

+ 1)

2

₍

_a

_{+ 2)}

[

az B

(

a, b

)]

3 a

+

...

=

z

1 a

[

az B

(

a, b

)]

1 a

+

z

2 a

[

az B

(

a, b

)]

2 a

+

z

3 a

[

az B

(

a, b

)]

3 a

+

...

=

d

1

z

1 a

+

d

2

z

2 a

+

d

3

z

3 a

+

...

=

∞

X

j=1

djz

a

j

,

emque

dj

=

cj

[

a B

(

a, b

)]

j

a

,

j

= 1

,

2 ,

3 , ...

e

cj

=

(b

−

1)

(a+1)

j

₋

1

Para a distribuição BLo, a função inversa da função distribuição aumulada é

dada por

F

−

1

₍

_x

_{) =}

_I

−

1

1 1+e

−

(x

−

µ)

s

(

a, b

) =

∞

X

j=1

dj

1 1 +

e

−

(x

−

s

µ)

_a

j

.

(2.15)

Apliandoa equação (2.15) em(2.14),obtemos

L

(

p

) =

1 µ

p

Z

0 ∞

X

j=1

dj

1 1 +

e

−

(x

−

_s

µ)

j

_a

dx.

Substituindo

u

=

1 1+e

−

(x

−

s

µ)

,

temos

L

(

p

) =

1 µ

∞

X

j=1

dj

1+e

−

(p

−

µ)

s

Z

1+e

µ

s

u

a

j

s

u

(1

₋

u

)

du

=

s

µ

∞

X

j=1

dj

1+e

−

(p

−

µ)

s

Z

1+e

µ

s

∞

X

k=1

u

k+

j

a

−

1

du

Desenvolvendo aintegralaima,aexpressãodaurvade Lorenzdadistribuiçãobeta

logístiaé dada por

L

(

p

) =

s

µ

∞

X

j=1

∞

X

k=1

dj

h

1 +

e

−

(p

−

s

µ)

i

k+

j

_a

−

1 +

e

µ

s

k+

j

a

(36)

2.2.14 Curva de Bonferroni

Embora dopontodevistaformalaurvadeBonferroni representeadesigualdadeem

um formaequivalenteàurvade Lorenz,ainformaçãoqueproduzemédiferente. Os

valoresde

L

(

p

)

daurvadeLorenzsão fraçõesdarendatotal, enquantoosvaloresde

Q

(

p

)

, da urva de Bonferroni, referem-se osníveis de rendimento relativos. A urva de Bonferronié denida por

Q

(

p

) =

1 pµ

p

Z

0

F

−

1

₍

_x

₎

_dx,

A urva de Bonferroni da distribuição BLo é análoga à urva de Lorenz.

Por-tanto,

Q

(

p

) =

s

pµ

∞

X

j=1

∞

X

k=1

dj

h

1 +

e

−

(p

−

s

µ)

i

k+

j

_a

−

1 +

e

µ

s

k+

j

a

k

+

_a

j

.

2.3 Caraterização da beta logístia

Nesta seção apresentamos algumas araterístias e relações da distribuição beta

logístiaomoutrasdistribuiçõesexistentes naliteratura, quepoderãoser úteispara