Os Li mi tes do Sen ti do no Ensi no da Ma te má ti ca
Ma ria da Con ce i ção Fer re i ra Fon se ca
Uni ver si da de Fe de ral de Mi nas Ge ra isRe su mo
Em Os Li mi tes do Sen ti do (1995), Edu ar do Gu i ma rães ana li sa os es for ços de se res ga tar a ques tão da sig ni fi ca ção nos es tu dos lin güís ti cos como ges tos de in clu ir, no seu ob je to, ele -men tos que Sa us su re de li be ra da -men te ex clu iu: o su je i to, o mun do e a his tó ria.
Já no ar ti go As pos si bi li da des de ino va ção no en si no–apren -di za gem da ma te má ti ca ele men tar, Ma nu e la Da vid (1995) faz um apa nha do das ten dên ci as do en si no de Ma te má ti ca que lhe pa re cem mais ex pres si vas, no Bra sil, ob ser van do que to das elas, na bus ca de um sen ti do, ultrapassam os con te ú dos ma te -má ti cos.
Nes te tra ba lho, pa ro di an do o tex to de Gu i ma rães, to ma re mos tais ten dên ci as atu a is do en si no da Ma te má ti ca (a re so lu ção de pro ble mas, a mo de la gem, o cons tru ti vis mo, a et no ma te
-má ti ca e o que Da vid cha ma de um en si no com pro me ti do
com as trans for ma ções so ci a is), visando iden ti fi car ne las esse mo vi men to de bus ca de um sen ti do para o en si nar mate -má ti ca, por meio da re-inclusão da que les mes mos ele men tos ex clu í dos por Sa us su re da Lin güís ti ca, e ne gli gen ci a dos por abor da gens mais tra di ci o na is da ma te má ti ca es co lar.
A aná li se procura apon tar como essa bus ca de sen ti do no ensino da ma te má ti ca tri lha um per cur so aná lo go ao que Guimarães iden ti fi ca nos es tu dos da lin gua gem: o es for ço de re-incluir na abor da gem da ma te má ti ca es co lar aqui lo que dela foi tra di ci o nal men te ex clu í do: o ob je to, o su je i to e a his tó ria.
Pa la vras-chave:
Ma te má ti ca – Edu ca ção Ma te má ti ca – Sen ti do – Se mân ti ca.
Cor res pon dên cia para: UFMG – Fa cul da de de Edu ca ção Dep to. Mé to dos e Téc ni cas de Ensi no
The Li mits Of Me a ning In The Te a ching Of
Mat he ma tics
Ma ria da Con ce i ção Fer re i ra Fon se ca
Uni ver si da de Fe de ral de Mi nas Ge ra isAbstract
In The Limits of Meaning (Os Limites do Sentido, 1995),
Eduardo Guimarães analyzes the efforts to rescue the issue of meaning in linguistic studies as a movement to include in their object elements that Saussure had deliberately excluded: the subject, the world and the history.
In the paper The possibilities for innovation in the
teaching-learning of elementary mathematics (As
possibilidades de inovação no ensino-aprendizagem da
matemática elementar, 1995), Manuela David collects what
she considered to be the most expressive trends in the current teaching of mathematics in Brazil, remarking that all of them, seeking for a meaning, go beyond the mathematical contents. In the present work we paraphrase Guimarães’ text, and take such current trends in the teaching of mathematics (problem solving, modeling, constructivism, ethnomathematics, and what David refers as a teaching committed to social change) trying to identify in them the search for a meaning for the teaching of mathematics. This is done through the re-inclusion of those same elements that were excluded from Linguistics by Sausurre, and neglected by more traditional approaches to school mathematics. What the analysis tries to point out is how the search for meaning in the teaching of mathematics takes a path analogous to that identified by Guimarães in studies of language: the effort to re-include in the approach to school mathematics those elements traditionally excluded: the object, the subject and the history.
Key words
Mat he ma tics – Mat he ma tics Edu ca ti on – Me a ning – Se man tics.
Cor res pon den ce:
UFMG – Fa cul da de de Edu ca ção Dep to. Mé to dos e Téc ni cas de Ensi no
Este tex to se com por ta como uma pa ró dia. To mei a me lo dia de Edu ar do Gu i ma rães, em Os Li mi tes do Sen ti do, e ten tei adap tar meus ver sos, per cor ren do a tri lha dos es for ços para res ga tar a ques tão da sig ni fi ca ção não nos es tu dos lin güís ti cos, como o faz Gu i ma rães, mas no en si no da mate má ti ca. Tais es for ços são aqui en ten di dos, tal como no tra ba lho de Gu i ma rães, como ges tos de in clu ir no ob je to (não da Lin -güís ti ca, mas do ensi no da mate má ti ca) o su je i -to, o mun do e a his tó ria.
De fato, para Gu i ma rães, “a se mân ti ca, a par tir do cor te sa us su ri a no, vem li dan do com os li mi tes do ob je to aí cons ti tu í do. A se mân ti ca tem pro cu ra do, sem pre, li dar com três ex clu -sões sa us su ri a nas: a do su je i to, a do ob je to, a da his tó ria” (1995, p.11). Na his tó ria do en si no da Ma te má ti ca, po de mos ob ser var, da mes ma for ma, um mo vi men to que bus ca a re-inclusão des ses mes mos ele men tos, ne gli gen ci a dos por uma abor da gem tra di ci o nal da mate má ti ca es co lar, que pre ten dia ser pos sí vel e de se já vel tra -tá-la sem os con si de rar.
Nes te tra ba lho, pre ten do de sen vol ver a idéia de que, como nas se mân ti cas lin güís ti cas, ao pro cu rar re to mar a no ção de sen ti do ou sig -ni fi ca ção (e, aqui, as pre o cu pa ções vol tam-se para o em pre go do sig no numa de ter mi na da si -tu a ção de dis cur so, para sua a-tu a li za ção num uni ver so dis cur si vo), as pro pos tas para o en si no de mate má ti ca sem pre a con si de ram “como uma re la ção en vol ven do al gum dos ele men tos des ta tri pla ex clu são” (ibid., p.11).
Na bus ca do sen ti do
Se gun do Gu i ma rães, o es for ço de cons ti -tu ir o cam po da se mân ti ca, no nos so sé cu lo, está li ga do aos di ver sos ca mi nhos de um per cur -so que tra ba lha as ex clu sões de Sa us su re no Cur so de Lin güís ti ca Ge ral (1970). Em seu ar ti go As pos si bi li da des de ino va ção no en si no–apren -di za gem da ma te má ti ca ele men tar, Ma nu e la Da -vid (1995) faz um apa nha do das ten dên ci as do en si no de Ma te má ti ca que lhe pa re cem mais ex
-pres si vas, no mo men to, no Bra sil, ob ser van do que to das elas “bus cam um sen ti do para o en si nar Ma te má ti ca em algo que não é o con te ú -do ma te má ti co em si mes mo, mas vai além dele” (p.58). O que nos sa aná li se pre ten de apon tar é como esta bus ca, iden ti fi ca da em cada uma das ten dên ci as ana li sa das por Da vid (a re so lu ção de pro ble mas, a mo de la gem, o cons tru ti vis mo, a et no ma te má ti ca, e o que ela cha mou de um en si no com pro me ti do com as trans for ma ções so ci a is), tri lha um per cur so aná lo go ao que Gu i ma rães iden ti fi ca nos es tu -dos da lin gua gem: o es for ço de re-incluir na abor da gem da ma te má ti ca es co lar aqui lo que dela foi tra di ci o nal men te ex clu í do: o ob je to, o su je i to e a his tó ria.
algumas dé ca das mais tar de iria es ta be le cer-se na edu ca ção ma te má ti ca –, podemos iden ti fi car a mes ma pre o cu pa ção com o seu sig ni fi ca -do e sua dimensão his tó ri ca. Ali, nós a ve re mos, de fato, por tar-se como um “or ga nis mo vivo, im preg na do de con di ção hu ma na, com as suas for ças e as suas fra que zas e su bor di na do às gran des ne ces si da des do homem na sua luta pelo en ten di men to e pela li ber ta ção” (p.XIII). Todo o seu tra ba lho procura, pois, tra tá-la como um “gran de capítulo da vida hu ma na social” (ibid., ibi dem).
Gu i ma rães cha ma a aten ção, ain da, para uma ou tra ques tão que lhe pa re ce in te res san te ob ser var em Bréal: a sub je ti vi da de da lin gua -gem. Re por tan do-se ao ca pí tu lo do Ensa io de Se mân ti ca de Bréal, cujo nome é jus ta men te “O Ele men to Sub je ti vo”, Gu i ma rães cha ma aten ção para as for mas pró pri as que a lín gua tem para ex pres sar o ele men to sub je ti vo. Na mate má ti ca, tam bém po de re mos iden ti fi car a “mar ca, e mais que isso, (...) o des do bra men to da per so na li da de hu ma na” (Gu i ma rães, 1995, p.16), quan do al guém re sol ve um pro ble ma, tece uma de mons -tra ção ou com põe uma te o ria, es ta be le cen do de fi ni ções e axi o mas. Tam bém aqui se pode di zer que o su je i to in ter vém no dra ma que é a Ma -te má ti ca, à ma ne i ra como fa ze mos nos so nhos “quan do so mos ao mes mo tem po es pec ta dor in -te res sa do e au tor dos acon -te ci men tos” (Bréal, 1897, p.143), sen do essa in ter ven ção o as pec to sub je ti vo da ma te má ti ca.
Esse as pec to sub je ti vo da ma te má ti ca, como na lin gua gem, está li ga do à von ta de e é fun da men tal para com pre en dê-la. Nes sa li nha, de ve-se con si de rá-la, como a lin gua gem, fe i ta de sig nos, ou seja, “seu ca rá ter fun da men tal é sim bó li co e não na tu ral” (Gu i ma rães, 1995, p.17).
O cor te sa us su re a no e a sig ni fi ca ção
Entre tan to, a ma ne i ra como a ma te má ti -ca é ge ral men te vis ta apro xi ma-a mu i to me nos
da abor da gem se mân ti ca de Bréal do que da con cep ção de lín gua to ma da por Sa us su re.
Em seu Cur so de Lin güís ti ca Ge ral
(1916), Sa us su re cons ti tui a lín gua como ob -je to da lin güís ti ca, de i xan do para a fala o in -di vi du al, o sub je ti vo e tudo o que, se gun do ele, diz res pe i to à von ta de e à in te li gên cia. O ca rá ter de fi ni dor para a lín gua está nas suas re la ções in ter nas, ou seja, “a lín gua é cons ti tu í da de sig nos e es tes se de fi nem pe las re la -ções que têm en tre si, sem re cur so a nada que seja ex te ri or” (Gu i ma rães, 1995, p.19).
Para Gu i ma rães, “o cor te sa us su re a no é a ‘cul mi nân cia’ bem su ce di da te o ri ca men te de uma his tó ria de ex clu são do mun do, do su je i to, por tra tar a lin gua gem como um per cur
-so só in ter no: a lin gua gem ex pres sa o
pen sa men to” (ibid., ibidem). Gu i ma rães es ta -be le ce, as sim, uma re la ção en tre a abor da gem de Sa us su re e um prin cí pio de PortRoyal, se -gun do o qual se vai das idéi as aos ob je tos, reunindo vá ri as idéi as em uma idéia de com -pre en são su pe ri or e de me nor ex ten são. Tal prin cí pio abre o ca mi nho para a ex clu são do mun do nas re la ções de sig ni fi ca ção.
No caso da ma te má ti ca, es pe ci al men te a par tir do fi nal do sé cu lo XIX, o que é con si -de ra do pro pri a men te ma te má ti ca tem sido vis to, com fre qüên cia cada vez ma i or, como in de pen den te do mun do da ex pe riên cia. “Cla -ro que a in de pen dên cia que hoje se apre goa não tem mais al gu mas das ca rac te rís ti cas da pre ten di da por Pla tão. Tra ta-se, ago ra, de algo mais su til, mais re fi na do, em que o tra ba lho do ma te má ti co os ci la en tre o de des ve -la dor de se gre dos de um har mô ni co mun do dado a pri o ri e o de cri a dor mes mo des te pró -prio uni ver so” (Ma cha do, 1987, p.49).
ambicioso pro gra ma prá ti co de Hil bert, que ca -rac te ri zou o For ma lis mo. Os re fle xos des ses pro pó si tos se fa rão sen tir, es pe ci al men te, no pe río do que se tem ca rac te ri za do como do Mo vi men to da Ma te má ti ca Mo der na, mas é pos sí -vel, ain da hoje, iden ti fi car seus tra ços em pu bli ca ções de cu nho di dá ti co, pro gra mas de en si no e prá ti cas pe da gó gi cas que ob ser va mos ou que são des cri tas na li te ra tu ra.
Para Sa us su re, a sig ni fi ca ção não é uma re la ção de re pre sen ta ção de um sig no re la ti va -men te ao mun do, aos ob je tos. A sig ni fi ca ção não é, de for ma al gu ma, a re la ção com ob je tos fora da lín gua; pelo con trá rio, a ques tão da sig ni fi ca ção está pos ta como uma ques tão das re la ções in ter nas ao sis te ma. O sig ni fi ca do de um sig no é o que os ou tros sig ni fi ca dos não são.
Uma de fi ni ção em mate má ti ca, da mes ma for ma, não se pre o cu pa em ser, me lhor di zen -do, evi ta ser um elo en tre um ter mo ma te má ti -co e um ob je to em pí ri -co. To me mos, por exem plo, a de fi ni ção de con ti nu i da de de Ca -uchy-Weierstrass.1
Gran de par te dos li vros di -dá ti cos e pro pos tas cur ri cu la res apre sen tam-na como su pe ri or, por que “mais pre ci sa” do que ou tras no ções que se uti li zam de re cur sos mais in tu i ti vos.2
Mas tal de fi ni ção, ain da que (su pos ta men te) mais pre ci sa, não quer apre sen -tar-se como uma for ma li za ção para ex pres sar a no ção in tu i ti va de con ti nu i da de de uma fun -ção, mas é uma de fi ni ção que dis tin gue den tre as fun ções aque las que são con tí nu as da que las que não o são. E se con se gue in clu ir en tre as fun ções con tí nu as aque les ca sos pró xi mos da no ção in tu i ti va, in clu i rá tam bém aque les que, mu i to dis tan tes da no ção em pí ri ca de con ti nu i da de, para o fun ci o na men to do sis te ma con -vém que se jam con si de ra dos como fun ções con tí nu as e ex clui os de ma is!
Ma cha do (1987) lem bra que, para um for ma lis ta es tri to como Curry (cf. Kör ner, 1974, p.105), a ma te má ti ca é “a ciên cia dos sis te mas for ma is”, sis te mas es ses não in ter pre ta dos, con si de ra dos sim ples men te como um jogo em
que as pe ças não têm sig ni fi ca do pró prio ou cujo sig ni fi ca do não tem in te res se para o ma -te má ti co-jogador. O de sen vol vi men to das geometrias não-euclidianas é um exem plo já clás si co para cor ro bo rar esta con cep ção de ma te má ti ca. A ma ne i ra as sép ti ca pela qua is mu i tos pro fes so res, li vros di dá ti cos e pro pos tas de en si no ain da tra tam a mate má ti ca es -co lar, por sua vez, é um in di ca dor crí ti -co des sa in fluên cia ain da for te no ensi no da mate má ti ca.
Ou tros ca mi nhos
Se o cor te sa us su rea no ex clui o re fe ren te, o mun do, o su je i to e a his tó ria, a se mân ti -ca do nos so sé cu lo vem pro cu ran do re por es tes as pec tos no seu ob je to. Essa é a tese cen tral de Gu i ma rães (1995) para quem “o cor te sa us su ri a no ex clui e dá o qua dro de per -ti nên cia para o ex clu í do” (p.20). Pas sa rei, ago ra, a acom pa nhar as tri lhas que, se gun do Gu i ma rães, fo ram aber tas na ten ta ti va de se in clu ir o mun do, o su je i to e a his tó ria nos es -tu dos da lin gua gem, bus can do iden ti fi car, de mi nha par te, as ini ci a ti vas para a in clu são des ses mes mos itens no en si no da mate má ti -ca, ou ain da, na ma te má ti ca que é en si na da.
1. Di ze mos que a fun ção f é con tí nua em um nú me ro a se, e so -men te se, as se guin tes con di ções fo rem sa tis fe i tas:
(i) exis te f(a); (ii) lim ( ) ( )
x→af x =f a, onde li mi te é de fi ni do como
Seja uma fun ção de fi ni da em todo nú me ro de al gum in ter va lo aber to I, con ten do a, ex ce to pos si vel men te no pró prio nú me ro a. O li mi te de f(x) quan do x se apro xi ma de a é L, que pode ser es cri to como
lim ( )
x→af x =L, se para qual quer ε > 0, mes mo pe que no, exis tir um δ > 0, tal que f x( )− < εL sem pre que
0< − <x a δ.
Fon te: tra du ção de Le it hold, L. (1968) The Cal cu lus with analy tic ge o metry. Har per&Row, Pu blis hers, Inc.
O sen ti do e o mun do
As se mân ti cas de ins pi ra ção ló gi ca con si -de ram como pró prio da sig ni fi ca ção aqui lo que me ti cu lo sa men te Sa us su re ex clu iu da lín gua, por não os con si de rar um re tra to do real: o mun do, os ob je tos. Para Sa us su re, os sig nos não são eti que tas de ob je tos, são o que são pe -las re la ções, de na tu re za se mi o ló gi ca, que têm uns com os ou tros, ou seja, pelo va lor que os cons ti tui no sis te ma. As se mân ti cas for ma is, no en tan to, vão jus ta men te co lo car a ques tão do sen ti do como uma re la ção com o mun do, com os ob je tos. Ou seja, são se mân ti cas que con si de ram que o sen ti do de um enun ci a do lin güís -ti co é o que ele re pre sen ta do mun do, dos ob je tos, de um es ta do de co i sas. Nes sa li nha, a de fi ni ção de ver da de é de ci si va para a for mu la -ção de como cons ti tu ir a se mân ti ca. A ver da de é de fi ni da como “um acor do (uma cor res pon -dên cia) en tre o que é dito e a re a li da de”, ou seja, a ver da de “é uma cor res pon dên cia en tre uma cons tru ção lin güís ti ca (a ora ção) e a re a li -da de (um es ta do de co i sas)”(Gu i ma rães, 1995, p.24).Con se qüen te men te, a ques tão da men ti -ra como “não di zer a ver da de” (di zer algo que não cor res pon de aos fa tos) tor na-se tam bém fun da men tal para o pla no teó ri co me to do ló gi -co da se mân ti ca. “A se mân ti ca ve ri ta ti va tem na exis tên cia da men ti ra um de seus lu ga res de fun da ção. Exor ci zar a men ti ra do cam po da ciên cia apre sen tase como o lu gar de cons ti tu i -ção das con di ções da se mân ti ca for mal” (ibid., p.25).
Em di ver sas ten ta ti vas de se res ga tar a ques tão da sig ni fi ca ção como ele men to fun da men tal no en si no da ma te má ti ca, po dese tam -bém iden ti fi car, sob di ver sos ma ti zes, um mo vi men to de res ta be le ci men to da re la ção en tre a ex pres são ma te má ti ca e o ob je to (ou fe nô -me no) do mun do que se ria por ela ex pres so. A mate má ti ca, aí, terá re le vân cia na con di ção de ser ca paz de ex pres sar (e apre sen tar pre vi sões ou so lu ções para) si tu a ções re a is ou re a li zá ve is. Na sala de aula, a abor da gem de ve rá pri vi le gi ar
te o ri as de apli ca bi li da de ime di a ta e a ve ri fi ca -ção das as ser ções será fe i ta por meio de sua ade qua ção e abran gên cia, ao des cre ver fe nô -me nos e pre di zê-los.
Den tre as ten dên ci as atu a is do en si no da ma te má ti ca ana li sa das por Da vid, po de -mos re co nhe cer na Re so lu ção de Pro ble mas, quan do se pri vi le gi am pro ble mas do co ti di a -no, mas de modo mais ex plí ci to, na Mo de la
-gem, al ter na ti vas que bus cam “tor nar o
en si no da mate má ti ca mais sig ni fi ca ti vo para quem apren de, na me di da em que par te do re alvivido dos edu can dos para ní veis mais for -ma is e abs tra tos” (Mon te i ro, 1991, p.110).
De fato, a uti li za ção do mé to do da Mo de la gem no en si no da ma te má ti ca su põe o tra -ta men to de um pro ble ma a par tir de da dos ex pe ri men ta is ou em pí ri cos que aju dem na com pre en são do pro ble ma, na ela bo ra ção, es -co lha ou adap ta ção do mo de lo, e na de ci são so bre sua va li da de. O pro ces so se de sen vol ve se le ci o nan do as va riá ve is es sen ci a is cujo com -por ta men to será in ves ti ga do, o que per mi te uma pri me i ra for mu la ção em lin gua gem na tu ral do pro ble ma ou da si tu a ção real. A mon ta -gem do mo de lo ma te má ti co con sis te em subs ti tu ir a lin gua gem na tu ral por uma lin gua gem ma te má ti ca, que po de rá ser mais ou me -nos com ple xa, e ne ces si tar re pe ti dos ajus tes, con for me a na tu re za do pro ble ma, mas, prin ci -pal men te, de acor do com o ní vel de exi gên cia de con for mi da de com a “re a li da de” co bra da da re so lu ção do pro ble ma. (cf. Mon te i ro, 1991)
(Da vid, 1995, p.63). O sa ber ma te má ti co e o fa -zer ma te má ti co, que a es co la pas sa a ve i cu lar, es ta rão, por tan to, sem pre as so ci a dos com “o pro ces so de cons tru ção de um mo de lo abs tra to des cri ti vo de al gum sis te ma con cre to” (Gaz -zet ta, 1989, p.26, gri fo nos so).
Ba se a das em seu con cei to de ver da de, as se mân ti cas ve ri ta ti vas con si de ram o sen ti do de uma pa la vra como sua con tri bu i ção para as con di ções de ver da de de uma sen ten ça. Ou seja, o que uma pa la vra sig ni fi ca é o que ela traz para as con di ções de ver da de da sen ten ça. E o sen ti do de uma sen ten ça não é sua re fe rên -cia a um ob je to ou con jun to de ob je tos, é o con jun to de con di ções nas qua is a sen ten ça se faz ver da de i ra (cf. Gu i ma rães, 1995).
A dis tin ção en tre sen ti do e re fe rên cia, com a qual Fre ge (1892) de com põe a no ção de con te ú do, teve gran de in fluên cia nos es tu dos so bre a sig ni fi ca ção. Para Fre ge, é pre ci so dis -tin guir o modo pelo qual uma ex pres são (um nome pró prio) de sig na algo (seu sen ti do) do ob je to de sig na do (sua re fe rên cia). É pre ci so dis tin guir, tam bém, o que Fre ge cha ma de re pre sen ta ção, por um lado, do sen ti do e da re fe -rên cia, por ou tro. “A re pre sen ta ção de um ob je to para al guém é de ca rá ter sub je ti vo, psi -co ló gi -co, e não in te res sa para o pon to de vis ta de Fre ge, en quan to o sen ti do e a re fe rên cia são ob je ti vos: a re fe rên cia é um ob je to per cep tí vel e o sen ti do é o modo de apre sen tar um ob je to en quan to a ser vi ço, de modo igual, da que les que fa lam uma lín gua dada” (Gu i ma rães, 1995, p.27).
Para uma boa par te dos edu ca do res ma te má ti cos que ado tam a Mo de la gem como pro -pos ta de en si no, a re a li da de con cre ta “é con ce i tu a da como sen do to dos os fa tos ou da dos to ma dos em si mes mos, além de toda a per -cep ção que os in di ví du os in se ri dos nes ta re a li da de têm des tes fa tos” (Mon te i ro, 1991, p.117). Po de mos to mar esta con cep ção dos “fa tos ou da dos to ma dos em si mes mos” como uma apro xi ma ção do que Fre ge cha mou de re -fe ren te. Pro pos tas mais es tri tas de mo de la gem
ma te má ti ca res trin gi rão as “per cep ções dos in di ví du os” àque las que po de ri am ter, de for ma so ci al men te re co nhe ci da, uma con tri bu i -ção re le van te para a com pre en são do dado e, fu tu ra men te, na ela bo ra ção do mo de lo, ou seja, as so ci am-nas à idéia fre gui a na de sen ti -do. Há au to res, en tre tan to, que ad mi tem o ca -rá ter sub je ti vo das “per cep ções” (o que nos le va ria a iden ti fi cá-las com a re pre sen ta ção de Fre ge) e abrem, as sim, um cam po para a in clu são de um ou tro dos “ex clu í dos de Sa us su -re”: o su je i to.
O su je i to e o sen ti do
Se Sa us su re pro cu ra ex clu ir do ob je to da lin güís ti ca os as pec tos que se re fe rem à in ter fe rên cia do su je i to, são vá ri os os se man ti -cis tas que bus ca rão re-incluí-los, e di ver sos os ca mi nhos que to ma rão para fa zê-lo. Tais ca mi nhos pro cu ra rão tra tar a ques tão da sig -ni fi ca ção con si de ran do o sen ti do como ação en tre su je i tos, ou como in ten ção do su je i to, ou ain da, numa for mu la ção mais lin güís ti ca, como uma re la ção do su je i to com a lín gua. Nas ten dên ci as da edu ca ção ma te má ti ca as si na la das por Da vid, ten ta re mos uma apro xi -ma ção com as abor da gens que tri lha ram os dois pri me i ros ca mi nhos, ou seja, pro cu ra re -mos iden ti fi car aque las que bus cam o sen ti do como ação en tre su je i tos e como in ten ção do su je i to.
O sen ti do e a ação
utilizado no in te ri or dos es tu dos da sig ni fi ca ção na lin güís ti ca. “Se ar le co lo ca como hi pó te -se bá si ca de -seu Spe ech Acts que ‘fa lar uma lín gua é ado tar uma for ma de com por ta men to re gi da por re gras’ (Se ar le, apud Gu i ma rães, 1995, p.40).
As re gras que re gem o com por ta men to ado ta do quan do se fala são re gras cha ma das cons ti tu ti vas, e não ape nas re gras nor ma ti vas. As re gras nor ma ti vas são as que re gem cer tos fa tos cuja exis tên cia não de pen de lo gi ca men te das re gras. Mas as re gras cons ti tu ti vas cons ti tu em e di ri gem atos cuja exis tên cia de pen de lo -gi ca men te de las, ou seja, elas são a pró pria con di ção de cer tos atos. São as re gras que dão a eles exis tên cia e va lor. Os atos de lin gua gem são, nes te sen ti do, ins ti tu í dos pe las re gras e de las in se pa rá ve is. “Não se pode fa lar de atos de lin gua gem sem se con si de rar que eles só exis tem por que há cer tas re gras que lhes dão exis tên cia. Nes te sen ti do, os atos de lin gua gem são ins ti tu ci o na is, são uma ins ti tu i ção re gi da por re gras, sen do es tas cons ti tu ti vas” (Gu i ma -rães, 1995, p.42).
Aqui, ten ta ría mos en sa i ar uma apro xi ma -ção com as abor da gens da li nha cons tru ti vis ta no en si no da Ma te má ti ca. O Cons tru ti vis mo, como pro pos ta pe da gó gi ca, é uma ten ta ti va de ir além das vi sões em pi ris ta e ra ci o na lis ta da apren di za gem. Nem em pi ris mo (pri o ri zação do ob je to, os fa tos iso la dos da ex pe riên cia), nem ra ci o na lis mo (ên fa se no su je i to e na ra zão). Para o Cons tru ti vis mo, “a re la ção en tre su je i to e ob je to (ou me lhor, ‘ob ser vá vel’) é uma re la -ção di a lé ti ca: não exis te ‘ob ser vá vel’ puro, isto é, sem ter sido alvo de uma in ter pre ta ção; des -de o iní cio, todo ‘ob ser vá vel’ está car re ga do -de ‘sig ni fi ca ção’, ou ‘te o ri za ção’, e o co nhe ci men -to vai pro gre din do por re for mu la ções e reconstruções dos ob ser vá ve is, que vão-se apro xi man do pro gres si va men te do ob je to” (Da vid, 1995, p.62).
Para Pi a get, re fe rên cia bá si ca das pro pos tas cons tru ti vis tas no en si no da Ma te má ti -ca, “a re la ção da ma te má ti ca com a re a li da de
não pode se fun dar no su je i to pen san te (aprioris mo) nem no ob je to pen sa do (em pi ris
-mo), mas numa pro fun da in te ra ção en tre o
su je i to e o ob je to” (Ma cha do, 1987, p.42) – o que, de res to, não tem nada de mu i to ori gi nal. Para Ma cha do (1987), a ori gi na li da de de Piaget con sis te em si tu ar a in te ra ção su je i -to–ob je to no in te ri or do su je i to, mo ti vo pelo qual ele ele ge a Psi co lo gia Ge né ti ca como ins -tru men to fun da men tal para as ex pli ci ta ções des ta in te ra ção.
Pi a get pre ten de que, em sua ori gem, “as ope ra ções ló gi comatemáticas pro ce dam di -re ta men te das ações mais ge ra is que po de mos exer cer so bre ob je tos ou gru pos de ob je tos” (Ma cha do,1987, p.43). Essas ações con sis tem em es ta be le cer cor res pon dên ci as (con tar), re -u nir, as so ci ar, dis so ci ar, or de nar etc. Assim, se gun do Pi a get, a gê ne se das ope ra ções ló gi comatemáticas “deve ser bus ca da nes te as -pec to de ati vi da de co or de na do ra das ações fí si cas mais ele men ta res” (ibid., ibidem).
ne ga ção das con di ções im pos tas pela re a li da de ex pe ri men tal” (ibid., ibidem).
Assim, se aqui ar ris ca mos esta apro xi ma -ção das abor da gens cons tru ti vis tas no en si no da ma te má ti ca com o tra ta men to da lin gua gem como ação que se pa u ta em re gras cons ti tu ti -vas, gos ta ría mos, pois, de atri bu ir com mais par ci mô nia a de no mi na ção de “cons tru ti vis ta” para pro pos tas pe da gó gi cas de ma te má ti ca, em vez de ca rim bar com tal selo qua is quer ati vi da -des que tão-somente trans for mam os afa ze res dis cen tes na sala de aula em mo men tos de di -ver são, sem a pre o cu pa ção de pro pi ci ar um aces so ao apren di za do, numa ação não ape nas or de na da por re gras, mas cons ti tu í da por elas.
Po de mos to mar aqui como exem plo de uma abor da gem cons tru ti vis ta o tra ba lho so bre o en si no do sis te ma de nu me ra ção con du zi do por Dé lia Ler ner e Pa trí cia Sa dovsky, com a co la bo ra ção de Su zan Wol man (cf. Ler ner e Sa -dovsky, In Par ra e Saiz, 1996). Ali, pro põe-se re i te ra da men te um per cur so que vai “do uso à re fle xão e da re fle xão à bus ca da re gu la ri da de” (p.116). As au to ras des ta cam o pa pel da ação e da fun ci o na li da de na com po si ção de uma si tu -a ção de s-a fi -a do r-a que con fi r-a sig ni fi c-a do à apren di za gem e ao apren di do:
usar nu me ra ção es cri ta – quan do al guém está ten tan do apro pri ar-se dela – tor na pos sí vel que apa re çam, em um con tex to ple no de sig ni fi ca do, pro ble mas que po de rão atu ar como mo tor para des ven dar a or ga ni za ção do sis te ma.
A bus ca de so lu ções le va rá a es ta be le cer no vas re la ções, a re fle tir so bre as res pos tas pos sí ve is e os pro ce di men tos que con du zi ram a elas, a ar gu -men tar a fa vor ou con tra as di fe ren tes pro pos tas, a va li dar de ter mi na dos co nhe ci men tos e a re je i -tar ou tros. No de cor rer des te pro ces so, co me çam a sur gir as re gu la ri da des do sis te ma (Ler ner e Sadovsky, 1996, p.116-117).
Nes te mo men to, é na per cep ção e na aná li se das re gu la ri da des que a ên fa se é co lo -ca da:
As re gu la ri da des apa re cem ou como jus ti fi ca ção das res pos tas e dos pro ce di men tos uti li za -dos pe las cri an ças – ao me nos para al gu mas de las – ou como des co ber tas que é ne ces sá rio pro pi ci ar para tor nar pos sí vel a ge ne ra li za ção de de ter mi na dos pro ce di men tos ou a ela bo ra -ção de ou tros mais eco nô mi cos.
A aná li se das re gu la ri da des da nu me ra ção es cri -ta é – como to dos sa be mos – uma fon te in subs ti tu í vel de pro gres so na com pre en são das leis do sis te ma por par te das cri an ças.
da fra gi li da de e das in co e rên ci as de suas hi pó te ses ini ci a is e es ta be le cen do no vas co or de na -ções em seu pen sa men to, até atin gir a ló gi ca do adul to” (Ran gel, 1989, p.62).
O sen ti do e a in ten ção
Qu an do se re me te o sen ti do à in ten ção de quem fala, de i xa-se de con si de rá-lo como a re la ção com o mun do, como se fa zia na po si ção ló gi ca, mas pas sase a to málo como a in ten -ção do lo cu tor de di zer algo a al guém. Se esta “bre cha” con ce di da ao psi co lo gis mo na lin -güís ti ca pa re ceu ab so lu ta men te ina de qua da a Sa us su re, ma i or re sis tên cia ha ve ria de en con -trar ao pre ten der cons ti tu ir como ele men to fun da men tal para a ques tão da sig ni fi ca ção em ma te má ti ca a in ten ção do su je i to. A “in de pen dên cia do mun do em pí ri co” e a “obe diên cia ex -clu si va a suas leis pró pri as” são ain da vis tas por mu i tos (al guns como ca ri ca tu ra, ou tros como ide al) como “ca rac te rís ti cas” da ma te má ti ca que su pos ta men te ga ran ti ri am a sua pre ten sa “pu re za”. Tan to me nor será, as sim, o es pa ço aber to para a in ter ven ção de um su je i to cons ci -en te de suas in t-en ções e que qui ses se e fos se ca paz de ex pres sá-las no seu fa zer ma te má ti co. Isso po de ria “con ta mi nar” com as pe cu li a ri da -des de sua per so na li da de e in ten ci o na li da de a pro du ção ma te má ti ca.
Fica, as sim, di fí cil ad mi tir que na mate -má ti ca se pos sa ter um sen ti do não na tu ral, como o es ta be le ci do por Gri ce em Me a ning (1957), ins ti tu í do por uma in ten ção tal que se dá a co nhe cer por si mes ma. Se se as su me a pos si bi li da de des te sen ti do não na tu ral, a ques -tão pas sa a ser a de sa ber como as in ten ções se dão a co nhe cer ao ou vin te, uma vez que as pa -la vras, as fra ses não di zem uma só e úni ca co i sa em to das as si tu a ções em que são usa das. E, para enun ci a dos e pro ce di men tos ma te má ti -cos, po de ría mos iden ti fi car a in ten ção de quem “faz” mate má ti ca, bus can do ma ni fes tar-se para um ou tro de quem se es pe ra que com pre -en da o s-en ti do des se seu fa zer? E a par tir do que se co nhe ce ria tal in ten ção?
Gri ce in se re aí a sua ló gi ca da con ver sa ção, que tan tos des do bra men tos teve no cam -po da cha ma da aná li se con ver sa ci o nal. Para Gri ce, a ló gi ca da con ver sa ção está vin cu la da ao prin cí pio de co o pe ra ção, que diz: “Faça sua con tri bu i ção con ver sa ci o nal tal como é re que ri da, no mo men to em que ocor re, pelo pro pó si to ou di re ção do in ter câm bio con ver -sa ci o nal em que você está en ga ja do” (Gri ce, apud Gu i ma rães, 1995, p.32). No in te ri or deste prin cí pio fun ci o na um con jun to de regras que Gri ce cha ma de Má xi mas con ver -sa ci o na is. É con si de ran do que a con ver -sa ção é re gi da pelo Prin cí pio de Co o pe ra ção e pe las Má xi masCon ver sa ci o na is que o ou vin te faz seu ra ci o cí nio para in ter pre tar o sen ti do, numa si tu a ção dada.
O tex to de Ca ra ça (1951) tam bém su ge re que a in ter pre ta ção do sig ni fi ca do do pro -ces so e do pro du to do fa zer ma te má ti co deva re me ter-se a prin cí pi os se gun do os qua is o co nhe ci men to ma te má ti co se de sen vol ve. Sob a ló gi ca de tais prin cí pi os é que se con se gui rá cap tu rar o sen ti do do edi fí cio e das es tra té gi as da mate má ti ca, ao se re co nhe cer nas es co -lhas ali as su mi das o res pe i to a es ses prin cí pi os. Se ri am eles: o prin cí pio da ex ten -são, o prin cí pio da eco no mia e a ne ga ção da ne ga ção (cf. p.26-38). E, tor ná-los ex plí ci tos para os alu nos pode ser um re cur so im por tan -te para a com pre en são da ma -te má ti ca, mes mo da ma te má ti ca es co lar.
Esse exer cí cio de con fe rir sen ti do à ma te má ti ca que se en si na e que se apren de a par tir de uma ló gi ca que su põe um es for ço de co o pe ra ção, re le vân cia, eco no mia, ex ten são etc. leva a con si -de rar a exis tên cia -de um sen ti do li te ral, que, dada uma si tu a ção par ti cu lar, e ten do em vis ta tais prin cí pi os, leva ao sen ti do na si tu a ção es -pe cí fi ca. Isso nos le va ria a es ta be le cer uma “prag má ti ca” da mate má ti ca que co lo cas se em pa u ta a re la ção do usuá rio ou do pro du tor de mate má ti ca com a mate má ti ca, con si de ran do que é essa re la ção que cons ti tui o sen ti do do que se faz ou se usa de mate má ti ca, ao mes mo tem po em que co lo ca para den tro das pre o cu -pa ções so bre a sig ni fi ca ção a si tu a ção em que se faz ou/e se usa ma te má ti ca.
O cam po que Gu i ma rães ca rac te ri za como o da prag má ti ca – e que ele dis tin gue dos es tu dos da enun ci a ção –, pro cu ra re por na sig -ni fi ca ção a ques tão do su je i to. Este su je i to apa re ce na con cep ção in ten ci o na lis ta como um su je i to psi co ló gi co. “A en tra da des te su je i to traz para a con si de ra ção do sen ti do um su je i to in di vi du al que fala em si tu a ções par ti cu la res. E é esta re la ção que cons ti tui o sen ti do que se co mu ni ca” (Gu i ma rães, p.33).
Con si de rar, do mes mo je i to, uma abor da gem prag má ti ca da ma te má ti ca le vanos a ad -mi tir, tam bém nela, uma ca te go ria como a de si tu a ção que se ria o mun do re cor ta do por sua re la ção com o in di ví duo que faz e/ou usa mate -má ti ca no mo men to e no lu gar em que ele a faz e/ou uti li za. Re a pa re ce, en tão, o mun do das co i sas como exis ten te, que dá à ma te má ti ca o que ela sig ni fi ca. Assim, o sen ti do aqui tam bém não é uma re la ção in trín se ca à mate má ti ca, mas uma re la ção en tre o mun do das co i sas re -cor ta do por sua re la ção com um su je i to que sub sis te se pa ra da men te da ma te má ti ca.
Entre tan to, isso nos obri ga a ba ter de fren te com uma das ca rac te ri za ções da ma te -má ti ca mais cris ta li za das: a da sua ob je ti vi da de e in de pen dên cia das si tu a ções par ti cu la res. Pa re cenos, no en tan to, que ad mi tir a sub je ti vi -da de de um fa zer ma te má ti co que se sub me te
aos su je i tos e si tu a ções fa ci li ta a com pre en são da es tru tu ra ção de cer tas te o ri as, das res -tri ções de cer tas de fi ni ções e das op ções de cer tas li nhas de ar gu men ta ção ou do in ves ti men to ou a omis são nas es pe cu la ções em tor -no de al guns con ce i tos cuja fer ti li da de e o ris co pro vêm jus ta men te da pos si bi li da de de se ad mi ti rem como po lis sê mi cos. Isso po de ria ha bi li tar o apren diz a fa zer suas pró pri as in ves ti das e a con si de rar a re le vân cia da ma te -má ti ca como mais uma pos si bi li da de de ex pres são de sua sub je ti vi da de.
Hoje em dia, mu i tos es tu dos vêmse de -sen vol ven do, con si de ran do a in fluên cia das in ten ções (e das ca rac te rís ti cas) do su je i to ou da co mu ni da de na ex pres são e mes mo nos re sul ta dos da pro du ção ma te má ti ca. Esses es tu -dos pro cu ram com pre en der a ló gi ca pró pria dos pro ce di men tos ma te má ti cos ado ta dos por um in di ví duo ou uma co mu ni da de como ma ni fes ta ção de suas pre o cu pa ções, que se re ve lam nas ên fa ses e nas omis sões, nas es co -lhas de cri té ri os, pro ce di men tos, ou no ta ções, ou na ad mis são ou se le ção dos con ce i tos bá si cos ou do de se nho da ma lha de suas de ri va -ções.
A pers pec ti va que Gel sa Knij nik (1996) de no mi na “Abor da gem Etno ma te má ti ca” pode ser vis ta como uma pro pos ta para o en si no da Ma te má ti ca que pro cu ra res ga tar a in ten ci o -na li da de do su je i to ma ni fes ta da em seu fa zer ma te má ti co, ao se pre o cu par com que a mo ti -va ção seja ge ra da por uma si tu a ção-problema por ele se le ci o na da, com a va lo ri za ção e o encorajamento às ma ni fes ta ções das idéi as e opi niões de to dos e com o ques ti o na men to de uma vi são um tan to “ma ni que ís ta” do cer -to/er ra do da ma te má ti ca (es co lar).
relação do su je i to ou da co mu ni da de que faz ou usa ma te má ti ca como de fi ni do ra de sua for -ma, bem como de seu ob je to.
Esses es tu dos in ves ti gam tais pro ces sos em “gru pos cul tu ra is iden ti fi cá ve is, como, por exem plo, so ci e da des na ci o na is-tribais, gru pos sin di ca is e pro fis si o na is, cri an ças de uma cer ta fa i xa etá ria etc.”, e in clu em “me mó ria cul tu ral, có di gos, sím bo los, mi tos e até ma ne i ras es pe cí -fi cas de ra ci o ci nar e in fe rir” (D’Ambrósio, 1993, p.9). Co lo can do no cen tro da dis cus são os as pec tos cul tu ra is, pes qui sas e pro pos tas pe da -gó gi cas nes ta li nha, “re la ti vi zam” as pre ten sas uni ver sa li da de e ne u tra li da de da ma te má ti ca, e exi bem sua in ten ci o na li da de e sus ce ti bi li da de às in fluên ci as das cir cuns tân ci as e das ca rac te rís ti cas dos su je i tos que a pro du zem ou dela fa -zem uso.
Nes sa pers pec ti va, mes mo a mate má ti ca cha ma da aca dê mi ca é vis ta como “jus ta men te uma en tre ou tras ma te má ti cas. A ma te má ti ca pro du zi da na aca de mia é tam bém ‘et no’ por -que é tam bém pro du zi da em um con tex to – a aca de mia – com seus pró pri os va lo res, ri tu a is e có di gos es pe ci a is que tam bém pos su em as ou -tras (etno)ma te má ti cas” (Bor ba, 1992, p.135). Assim, em bo ra cons ci en te de que os alu nos es pe ram apro pri arse dos con ce i tos ou pro -ce di men tos des ta ma te má ti ca aca dê mi ca, pro pos tos como ob je ti vos do pro ces so de en si -no, a “Abor da gem Etno ma te má ti ca” de Knij nik, en tre tan to, avan ça em al guns pon tos cru ci a is, como na dis cus são do cri té rio de se le ção dos con te ú dos (no caso, sua re le vân cia no co ti di a no da luta pela so bre vi vên cia) e, prin ci pal men -te, no tra ta men to que con fe re aos sa be res po pu la res: não se bus ca ali usar “os sa be res po -pu la res uni ca men te como ‘ma te ri al in te lec tu
-al’, pon te a par tir da qual os sa be res
aca dê mi cos se ri am apren di dos”. Se gun do Gel sa Knij nik, o pro ces so pe da gó gi co é “ori en ta do em um du plo sen ti do”: por um lado, há, in du bi ta vel men te, “o pro pó si to de en si nar a ma te -má ti ca aca dê mi ca, so ci al men te le gi ti ma da, cujo do mí nio os pró pri os gru pos su bor di na dos
co lo cam como con di ção para que pos sam par ti ci par da vida so ci al, cul tu ral e eco nô mi ca de modo me nos des van ta jo so”; por ou tro lado, a Ma te má ti ca po pu lar não é con si de ra da “me ra men te como fol clo re, algo que me re ce ser res ga ta do para que ‘o povo se sin ta va lo ri -za do’”, em bo ra esta ope ra ção pos sa pro du zir tal efe i to. As prá ti cas ma te má ti cas po pu la res são “in ter pre ta das e de co di fi ca das, ten do em vis ta a apre en são de sua co e rên cia in ter na e de sua es tre i ta co ne xão com o mun do prá ti -co”, o que as ha bi li ta a con ti nu a rem sen do uti li za das em si tu a ções que o alu no sa be rá jul gar ade qua das (Knij nik, 1996, p.62).
Há, ain da, um pon to cen tral do pro ces -so pe da gó gi co que Knij nik des ta ca em seu tra ba lho: os sa be res aca dê mi cos e po pu la res não de vem ser tra ta dos de modo di co tô mi co. Suas re la ções de vem ser per ma nen te men te exa mi na das, ten do como pa râ me tro de aná li -se as re la ções de po der en vol vi das no uso de cada um des tes sa be res. Esta ques tão é tra ta -da de ma ne i ra cu i -da do sa e lú ci -da pela au to ra, a par tir da pro ble ma ti za ção da ver ten te da edu ca ção mate má ti ca à qual seu tra ba lho está vin cu la do, a Etno ma te má ti ca, e que nos re -me te à in clu são na abor da gem da ma te má ti ca es co lar de mais um dos “ex clu í dos” de Saussure: a his tó ria.
O sen ti do e a his tó ria
na me di da em que se con si de ra que o sen ti do deve ser “tra ta do como dis cur si vo e de fi ni do a par tir do acon te ci men to enun ci a ti vo” (ibid., ibi dem). Des ta for ma, é pre ci so mo bi li zar con ce i tos como dis cur so, enun ci a ção, su je i to, po -si ção do su je i to, para que se pos sa cons tru ir a no ção de sen ti do.
Gu i ma rães abre um diá lo go com a aná li se do dis cur so, to man do de Pê che ux e Orlan di o con cei to de dis cur so: “o dis cur so é efe i to de sen ti do en tre lo cu to res” (Orlan di, 1992, p.20); é o lu gar de con ta to en tre lín gua e ide o lo gia. Con si de ra, ain da, como cru ci al o con cei to de in ter dis cur so. O in ter dis cur so é a re la ção de um dis cur so com ou tros dis cur sos. Esta re la ção não se dá a par tir de dis cur sos em pi ri ca men te par ti -cu la ri za dos, mas são as pró pri as re la ções en tre dis cur sos que dão a par ti cu la ri da de que cons ti tui todo o dis cur so. Para Orlan di (1992), “o in -ter dis cur so é o con jun to do di zí vel, his tó ri ca e lin güis ti ca men te de fi ni do. (...) Ele se apre sen ta como sé ri es de for mu la ções dis tin tas e dis per -sas que for mam em seu con jun to o do mí nio da me mó ria” (p.89-90).
Para Gu i ma rães, a re la ção de in ter dis cur -si vi da de mo bi li za ines ca pa vel men te a re la ção en tre tex tos di fe ren tes, ou seja, a in ter tex tu a li da de. E é jus ta men te aí que se dá o lu gar da his -to ri ci da de es pe cí fi ca da enun ci a ção: “a enun ci a ção de um tex to se re la ci o na com a enun ci a ção de ou tros tex tos efe ti va men te re a li -za dos, al te ran do-os, re pe tin do-os, omi tin do-os, in ter pre tan do-os” (Gu i ma rães, 1995, p.68). E é por isso que Gu i ma rães afir ma que “pela in ter dis cur si vi da de e sua ne ces sá ria in ter tex tu a li da -de, o sen ti do não é for mal, mas tem uma ma te ri a li da de, tem his to ri ci da de” (ibid., ibi dem). Para um es tu do se mân ti co, Gu i ma rães res sal ta, ain da, que a re la ção de fun ci o na men -to da lín gua é com o in ter dis cur so e não com a si tu a ção. “É isto que dá a his to ri ci da de da lín -gua. A his to ri ci da de de sua re la ti va au to no mia” (ibid., p.69). Não é, pois, um lo cu tor que co lo ca a lín gua em fun ci o na men to. “A lín gua fun ci o -na -na me di da em que um in di ví duo ocu pa uma
po si ção de su je i to no acon te ci men to, e isto, por si só, põe a lín gua em fun ci o na men to por afe tála pelo in ter dis cur so, pro du zin do sen ti -dos” (ibid., ibi dem).
A lín gua, en tão, está ex pos ta ao in ter -dis cur so. O que há de si tu a ção na enun ci a ção é o que o ocu par uma po si ção de su je i to es ta -be le cer e re cor tar. Este re cor te já é sen ti do, não é mun do.
A enun ci a ção é, des te modo, um acon -te ci men to de lin gua gem per pas sa do pelo in -ter dis cur so, que se dá como es pa ço de me mó ria no acon te ci men to. É um acon te ci -men to que se dá por que a lín gua fun ci o na ao ser afe ta da pelo in ter dis cur so. É, por tan to, quan do o in di ví duo se en con tra in ter pe la do como su je i to e se vê como iden ti da de que a lín gua se põe em fun ci o na men to.
Tal como se co lo ca a ques tão da lin gua -gem nes ta pers pec ti va, o sen ti do cons ti tui-se pelo fato de a lín gua fun ci o nar por ser afe ta da pelo in ter dis cur so. O sen ti do de um enun ci a do co me ça, en tão, a ser de fi ni do como os efe i tos de sua enun ci a ção. Ou seja, “são os efe i tos do in ter dis cur so cons ti tu í do pelo fun ci o na men to da lín gua no acon te ci men to” (ibid., p.70). Assim, o sen ti do não é efe i to da cir cuns tân cia enun ci a ti va, nem é só me mó ria. “O sen ti do são efe i tos da me mó ria e do pre sen te no acon te ci -men to: po si ções de su je i to, cru za -men to de dis cur sos no acon te ci men to” (ibid., ibidem).
Assim, aqui lo que Fre ge ex clu iu do sen ti do e da re fe rên cia (de i xan doo para a re pre -sen ta ção), por não po der ser vis to como -sen do di re ta men te afir ma do pela sen ten ça, é in clu í do no sen ti do. “Inclu í do como mo dos de pre -sen ça da ex te ri o ri da de no -sen ti do do enun ci a do na enun ci a ção” (ibid., p.71).
-as a ati vi da des téc ni c-as. Tais exi gên ci -as se re por ta vam ao fun ci o na men to in ter no da ma -te má ti ca iden ti fi ca do com o es ta be le ci men to de re gras e pro ce di men tos téc ni cos, com a ela -bo ra ção e a obe diên cia aos al go rit mos, com a des tre za e a cor re ção no uso e ma ni pu la ção de ter mos e si na is. A mate má ti ca era, pois, con si -de ra da tan to me lhor quan to mais “-de pu ra da” das in fluên ci as do mun do real e da fa li bi li da de e sub je ti vi da de hu ma nas.
A crí ti ca a essa abor da gem trou xe à ba i la as pre o cu pa ções com a com pre en são e o sig ni fi ca do, aqui en ten di do como o res ta be le ci men -to de sua re la ção com o mun do, a iden ti fi ca ção do re fe ren te e a apre en são do sen ti do numa abor da gem pró xi ma à de Fre ge. Essa com pre en -são do que se ria as pec to se mân ti co da matemá -ti ca do mi nou a cena es co lar, mar ca da men te, a par tir da dé ca da de 1960 e é, ain da hoje, a tô ni ca de mu i tos tra ba lhos so bre o en si no de ma te -má ti ca e a pre o cu pa ção de cla ra da (mas nem sem pre as su mi da) dos au to res da ma i o ria dos li vros di dá ti cos na pra ça, e da ma i o ria das prá -ti cas re la ta das pe los pro fes so res de ma te má -ti ca nas opor tu ni da des que têm de re fle tir e fa lar so bre o seu fa zer pe da gó gi co.
No en tan to, o pa pel na cons tru ção da ci da da nia que se tem bus ca do con fe rir à edu ca -ção pede hoje um cu i da do cres cen te com o as pec to só cio-cultural da abor da gem ma te má ti ca e com sua di men são his tó ri ca. Tor -na-se cada vez mais evi den te a ne ces si da de de con tex tu a li zar o co nhe ci men to ma te má ti co a ser trans mi ti do, bus car as suas ori gens, acom pa nhar a sua evo lu ção, ex pli ci tar a sua fi na li -da de ou o seu pa pel na in ter pre ta ção e na trans for ma ção da re a li da de do alu no. É cla ro que não se quer ne gar a im por tân cia da com pre en são, nem tam pou co des pre zar a aqui si -ção de téc ni cas, mas bus ca-se am pli ar a re per cus são que o apren di za do da que le co nhe ci men to, in clu si ve nos seus as pec tos sin tá -ti co e se mân -ti co, pos sa ter na vida so ci al, nas op ções, na pro du ção e nos pro je tos da que le que o apren de (cf. Duarte, 1986).
Re ve la-se, as sim, uma pre o cu pa ção com a re la ção do co nhe ci men to com o am bi en te, o lu gar his tó ri co da apren di za gem e, por isso, quer-se bus car as mo ti va ções que le vam à sua pro du ção e evo lu ção, as in fluên ci as só -cio-culturais e his tó ri cas que de ter mi nam suas for mas de ex pres são, suas es co lhas e omis sões e os an se i os, as ne ces si da des ou as pos si bi li da -des que jus ti fi cam o seu apren di za do.
Pas sa-se, en tão, a con si de rar e va lo ri zar a ma te má ti ca como ele men to da cul tu ra hu -ma na e, por isso, de di car-se a ela um es pa ço pró prio na edu ca ção es co lar, cu i dan do para que os ca mi nhos evo lu ti vos de seu de sen vol -vi men to na tu ral te nham lu gar de des ta que no cur rí cu lo, cri an do con di ções para que o alu no per ce ba, ex pe ri men te, com pre en da e con si ga, en tão, trans por com de sen vol tu ra cada rup tu -ra his tó ri ca ou des vio de cur so im por tan te nes sa evo lu ção, por que iden ti fi ca dos com a evo lu ção de seu pró prio pen sa men to. Hsi ang
e Hsi ang (1994) ci tam como exem plo as tran
si ções da Arit mé ti ca para Álge bra, da Ge o me -tria Expe ri men tal para a Ge o me -tria De du ti va, da Ge o me tria De du ti va para a Ge o me tria Ana -lí ti ca e da Ma te má ti ca de quan ti da des fi xas para a Ma te má ti ca de quan ti da des va riá ve is. Mais do que isso, essa pos tu ra em re la -ção à mate má ti ca e ao seu en si no ha bi li ta o alu no a as su mir-se como su je i to do seu fa zer ma te má ti co, ao co lo car em fun ci o na men to esse “ins tru men to que nos aju da a ex pli car, a com pre en der, a ana li sar nos sa prá ti ca so ci al, e nos aju da a pro por al te ra ções para essa prá ti -ca” (Da vid, 1995, p.59), por que imer so em nos sa vida so ci al e cul tu ral, im preg na do da con di ção hu ma na, e im pul si o na do por nos sos an se i os e nos sas pos si bi li da des.
Con clu são
Nes te tra ba lho, pro cu rei acom pa nhar o per cur so que Edu ar do Gu i ma rães des cre ve para os es tu dos lin güís ti cos em sua bus ca de abor -dar a ques tão da sig ni fi ca ção e do sen ti do, apos tan do na hi pó te se de um per cur so aná lo go na tra je tó ria de al gu mas das al ter na ti vas atu a is para o en si no da Ma te má ti ca.
Ape sar de vis lum brar a fer ti li da de da
idéia, sin to – e o le i tor tam bém sen ti rá – que há li mi ta ções para de sen vol vê-la, quer pela fal ta de uma ma i or in ti mi da de com os es tu dos lin güís ti cos, quer pela di fi cul da de de uma ca -rac te ri za ção mais es pe cí fi ca das abor da gens para o en si no da Ma te má ti ca (cf. Da vid, 1995, p.65), quer, ain da, pe las res tri ções a que es ta re mos, de qual quer ma ne i ra, fa tal men te su je i -tos no es ta be le ci men to de qual quer ana lo gia, que dirá, de uma pa ró dia.
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