VEHICLE DYNAMICS - LATERAL ANDRÉ DE SOUZA MENDES ARTICULATED VEHICLE MODEL

(1)

VEHICLE DYNAMICS - LATERAL

ANDRÉ DE SOUZA MENDES

ARTICULATED VEHICLE MODEL

São Bernardo do Campo 2016

(2)

O

Figura 1 – Single track bicycle model.

0.1 USANDO LAGRANGE

O modelo físico do carro é ilustrado na figura 1. A base {Oijk} é fixa no referencial inercial. A base {Ttxtytz} é solidária ao veículo. A base {Fexeyez} é solidária ao eixo

dian-teiro. O ponto T localiza o centro de massa do veículo. F e R localizam os eixos dianteiro e traseiro, respectivamente. O ponto O é a origem do sistema e se encontra fixo no referencial inercial. A distância a separa os pontos F e T e a distância b separa os pontos T e R. a As coordenadas generalizadas são dadas por

q1 = x (1a)

q2 = y (1b)

q3 = ψ, (1c)

onde x e y são as coordenadas longitudinais do centro de massa do carro nas direções horizontal e vertical, respectivamente. ψ é o ângulo de orientação absoluta do veículo.

O vetor posição do centro de massa em relação ao ponto O é

pT/O = xi + yj. (2)

Derivando a equação (2) em relação ao tempo temos

(3)

A energia cinética do sistema é T = 1 2mTvT· vT+ 1 2IT ˙ ψ2. (4) Ou ainda, T = 1 2mT ˙x2+ ˙y2+1 2IT ˙ ψ2. (5)

A velocidade no eixo dianteiro é dada por

vF = vT+ r ∧ rF/T, (6)

onde rF/Té o vetor posição do ponto F em relação ao ponto T. Logo,

vF =

˙x − a ˙ψ sin ψi +y + a ˙˙ ψ cos ψj. (7) A velocidade no eixo traseiro é

vR = vT+ r ∧ rR/T, (8)

onde rR/T é o vetor posição do ponto R em relação ao ponto T. Logo,

vR =

˙x + b ˙ψ sin ψi +y − b ˙˙ ψ cos ψj (9) Utilizando as equações (7) e (9), os ângulos de deriva podem ser escritos como

αF = arctan ˙ y + a ˙ψ cos ψ ˙x − a ˙ψ sin ψ ! − (δ + ψ) (10a) αR = arctan ˙ y − b ˙ψ cos ψ ˙x + b ˙ψ sin ψ ! − ψ (10b)

A força do eixo dianteiro é dadas por

FF = Fx,Fex+ Fy,Fex, (11)

que pode ser escrita como

(4)

A força no eixo traseiro é

FR = Fx,Rtx+ Fy,Rty (13)

ou

F_R = [Fx,Rcos ψ − Fy,Rsin ψ] i + [Fx,Rsin ψ + Fy,Rcos ψ] j. (14)

As forças generalizadas são

Qk= p X j=1 Fj· ∂pj ∂qk (15) No modelo Q1 = FF· ∂pF/O ∂q1 + FR · ∂pR/O ∂q1 (16a) Q2 = FF· ∂pF/O ∂q2 + FR · ∂pR/O ∂q2 (16b) Q3 = FF· ∂pF/O ∂q3 + FR· ∂pR/O ∂q3 , (16c) onde ∂pF/O ∂q1 = ∂pF/O ∂x = i (17a) ∂pF/O ∂q2 = ∂pF/O ∂y = j (17b) ∂pF/O ∂q3 = ∂pF/O

∂ψ = −a sin ψi + a cos ψj (17c)

e ∂pR/O ∂q1 = ∂pR/O ∂x = i (18a) ∂pR/O ∂q2 = ∂pR/O ∂y = j (18b) ∂pR/O ∂q3 = ∂pR/O

(5)

Substituindo as equações (12), (14), (17) e (18) nas equações (16) temos

Q1 = Fx,Fcos (ψ + δ) + Fx,Rcos ψ − Fy,Fsin (ψ + δ) − Fy,Rsin ψ (19a)

Q2 = Fx,Fsin (ψ + δ) + Fx,Rsin ψ + Fy,Fcos (ψ + δ) + Fy,Rcos ψ (19b)

Q3 = Fx,Fa sin δ + Fy,Fa cos δ − Fy,Rb. (19c)

A formulação de Lagrange é dada por

d dt ∂T ∂ ˙qk ! − ∂T ∂qk = Qk. (20)

Para as três coordenadas generalizadas do sistema

∂T ∂q1 = ∂T ∂x = 0 (21a) ∂T ∂q2 = ∂T ∂y = 0 (21b) ∂T ∂q3 = ∂T ∂ψ = 0, (21c) ∂T ∂ ˙q1 = ∂T ∂ ˙x = mT ˙x (22a) ∂T ∂ ˙q2 = ∂T ∂ ˙y = mTy˙ (22b) ∂T ∂ ˙q3 = ∂T ∂ ˙ψ = IT ˙ ψ, (22c) d dt ∂T ∂ ˙q1 ! = d dt ∂T ∂ ˙x ! = mTx¨ (23a) d dt ∂T ∂ ˙q2 ! = d dt ∂T ∂ ˙y ! = mTy¨ (23b) d dt ∂T ∂ ˙q3 ! = d dt ∂T ∂ ˙ψ ! = ITψ.¨ (23c)

Substituindo (23) e (21) em (20) temos as equações de movimento

mTx = F¨ x,Fcos (ψ + δ) + Fx,Rcos ψ − Fy,Fsin (ψ + δ) − Fy,Rsin ψ (24a)

(6)

ITψ = F¨ x,Fa sin δ + Fy,Fa cos δ − Fy,Rb, (24c)

ou seja,

¨

x = Fx,Fcos (ψ + δ) + Fx,Rcos ψ − Fy,Fsin (ψ + δ) − Fy,Rsin ψ mT

(25a)

¨

y = Fx,Fsin (ψ + δ) + Fx,Rsin ψ + Fy,Fcos (ψ + δ) + Fy,Rcos ψ mT

(25b) ¨

ψ = Fx,Fa sin δ + Fy,Fa cos δ − Fy,Rb IT

. (25c)

Os vetores de estado podem ser escolhidos como

z1 = x (26a) z2 = y (26b) z3 = ψ (26c) z4 = ˙x (26d) z5 = ˙y (26e) z6 = ˙ψ (26f)

Logo, as equações de estado são

˙z1 = z4 (27a)

˙z2 = z5 (27b)

˙z3 = z6 (27c)

˙z4 =

Fx,Fcos (z3+ δ) + Fx,Rcos z3− Fy,Fsin (z3+ δ) − Fy,Rsin z3

mT

(27d)

˙z5 =

Fx,Fsin (z3+ δ) + Fx,Rsin z3+ Fy,Fcos (z3+ δ) + Fy,Rcos z3

mT

(27e)

˙z6 =

Fx,Fa sin δ + Fy,Fa cos δ − Fy,Rb

IT

(27f) Com os ângulos de deriva, a partir das equações (10a) e (10b),

αF = arctan _z 5+ az6cos z3 z4− az6sin z3 − (δ + z3) (28)

(7)

αR = arctan

z5− bz6cos z3

z4+ bz6sin z3 !

− z3 (29)

0.2 SUBSTITUIÇÃO DOS ESTADOS

Em muitas ocasiões é conveniente fazer a substituição dos estados ˙x e ˙y por vTe αT. A

relação entre estes pares de estados é

˙x = vTcos (ψ + αT) (30a)

˙

y = vTsin (ψ + αT) . (30b)

Derivando em relação ao tempo a equação (30) temos

¨ x = ˙vTcos (ψ + αT) − vT ˙ ψ + ˙αT sin (ψ + αT) (31a) ¨ y = ˙vTsin (ψ + αT) + vT ˙ ψ + ˙αT cos (ψ + αT) . (31b)

Substituindo as equações (31) nas equações (25)

˙vTcos (ψ + αT)−vT ˙ ψ + ˙αT sin (ψ + αT) =

Fx,Fcos (ψ + δ) + Fx,Rcos ψ − Fy,Fsin (ψ + δ) − Fy,Rsin ψ

mT (32a) ˙vTsin (ψ + αT)+vT ˙ ψ + ˙αT cos (ψ + αT) =

Fx,Fsin (ψ + δ) + Fx,Rsin ψ + Fy,Fcos (ψ + δ) + Fy,Rcos ψ

mT

(32b) ¨

. (32c)

Reescrevendo e simplificando temos

˙vT=

Fx,Fcos (αT− δ) + Fx,Rcos αT+ Fy,Fsin (αT− δ) + Fy,Rsin αT

mT

(33a)

˙

αT =

−Fx,Fsin (αT− δ) − Fx,Rsin αT+ Fy,Fcos (αT− δ) + Fy,Rcos αT− mTv ˙ψ

mTvT

(33b) ¨

(8)

E os ângulos de deriva passam a ser αF = arctan vTsin (ψ + αT) + a ˙ψ cos ψ vTcos (ψ + αT) − a ˙ψ sin ψ ! − (δ + ψ) (34a) αR = arctan vTsin (ψ + αT) − b ˙ψ cos ψ vTcos (ψ + αT) + b ˙ψ sin ψ ! − ψ (34b)

Simplificando, temos que

αF = arctan vTsin αT+ a ˙ψ vTcos αT ! − δ (35a) αR = arctan vTsin αT− b ˙ψ vTcos αT ! (35b) Portanto, os estados passam a ser

x1 = x (36a) x2 = y (36b) x3 = ψ (36c) x4 = vT (36d) x5 = αT (36e) x6 = ˙ψ. (36f)

O vetor de estados pode ser escrito como

x =                  x1 x2 x3 x4 x5 x6                  =                  x y ψ vT αT ˙ ψ                  (37) e as equações de estado ˙x1 = x4cos (x3+ x5) (38a) ˙x2 = x4sin (x3+ x5) (38b)

(9)

˙x3 = x6 (38c)

˙x4 =

Fx,Fcos (x5− δ) + Fx,Rcos x5+ Fy,Fsin (x5− δ) + Fy,Rsin x5

mT

(38d)

˙x5 =

−Fx,Fsin (x5− δ) − Fx,Rsin x5+ Fy,Fcos (x5− δ) + Fy,Rcos αT− mTx4x6

mTx4

(38e)

˙x6 =

Fx,Fa sin δ + Fy,Fa cos δ − Fy,Rb

IT

(38f)

0.3 LINEARIZAÇÃO

As equações não lineares em (38) podem ser escritas como

˙x = f (x, u) , (39)

onde o vetor de estados é

x =                  x1 x2 x3 x4 x5 x6                  . (40) e o vetor de entradas é u =              δ Fx,F Fx,R Fy,F Fy,R              . (41) A função vetorial f é

(10)

f =                  f1 f2 f3 f4 f5 f6                  =                  ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4 ˙x5 ˙x6                  , (42)

A linearização deste sistema pode ser feita para um veículo se movimentando em linha reta com uma determinada velocidade v > 0. Neste caso, os estados no ponto de operação são dados por

x1,op = xop=? (43a)

x2,op = yop=? (43b)

x3,op = ψop= 0 (43c)

x4,op = vT,op = vT,0 (43d)

x5,op = αT,op = 0 (43e)

x6,op = ˙ψop= 0, (43f)

OBS: Os estados x e y não influenciam a dinâmica do sistema. Vetor do ponto de operação dos estados é

xop=                  x1,op x2,op x3,op x4,op x5,op x6,op                  . (44)

O ponto de operação das entradas é

δop= 0 (45a)

(11)

Fx,R,op = 0 (45c)

Fy,F,op= 0 (45d)

Fy,R,op = 0. (45e)

O vetor do ponto de operação das entradas é

uop =              δop Fx,F,op Fx,R,op Fy,F,op Fy,R,op              . (46)

A expansão da série de Taylor truncada nos termos de primeira ordem é dada por

flin(x, u) = f (xop, uop) + ∇f (xop, uop)    x − xop u − uop   . (47) onde f (xop, uop) =                  vT,0 0 0 0 0 0                  , (48) ∇f =                  ∂f1 ∂x ∂f1 ∂y ∂f1 ∂ψ ∂f1 ∂v ∂f1 ∂αT ∂f1 ∂ ˙ψ ∂f1 ∂δ ∂f1 ∂Fx,F ∂f1 ∂Fx,R ∂f1 Fy,F ∂f1 ∂Fy,R ∂f2 ∂x ∂f2 ∂y ∂f2 ∂ψ ∂f2 ∂v ∂f2 ∂αT ∂f2 ∂ ˙ψ ∂f2 ∂δ ∂f2 ∂Fx,F ∂f2 ∂Fx,R ∂f2 Fy,F ∂f2 ∂Fy,R ∂f3 ∂x ∂f3 ∂y ∂f3 ∂ψ ∂f3 ∂v ∂f3 ∂αT ∂f3 ∂ ˙ψ ∂f3 ∂δ ∂f3 ∂Fx,F ∂f3 ∂Fx,R ∂f3 Fy,F ∂f3 ∂Fy,R ∂f4 ∂x ∂f4 ∂y ∂f4 ∂ψ ∂f4 ∂v ∂f4 ∂αT ∂f4 ∂ ˙ψ ∂f4 ∂δ ∂f4 ∂Fx,F ∂f4 ∂Fx,R ∂f4 Fy,F ∂f4 ∂Fy,R ∂f5 ∂x ∂f5 ∂y ∂f5 ∂ψ ∂f5 ∂v ∂f5 ∂αT ∂f5 ∂ ˙ψ ∂f5 ∂δ ∂f5 ∂Fx,F ∂f5 ∂Fx,R ∂f5 Fy,F ∂f5 ∂Fy,R ∂f6 ∂x ∂f6 ∂y ∂f6 ∂ψ ∂f6 ∂v ∂f6 ∂αT ∂f6 ∂ ˙ψ ∂f6 ∂δ ∂f6 ∂Fx,F ∂f6 ∂Fx,R ∂f6 Fy,F ∂f6 ∂Fy,R                  . (49)

(12)

∇f (xop, uop) =                  0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 vT,0 0 vT,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 mT 1 mT 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 _m 1 TvT,0 1 mTvT,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a IT − b IT                  (50)

Substituindo as equações (48) e (50) em (47) o sistema linearizado é

f1,lin = ˙x = vT (51a) f2,lin= ˙y = vT,0(ψ + αT) (51b) f3,lin = ˙ψ = ˙ψ (51c) f4,lin= ˙vT = Fx,F+ Fx,R mT (51d) f5,lin= ˙αT = Fy,F+ Fy,R mTvT,0 − ˙ψ (51e) f6,lin= ¨ψ = aFy,F− bFy,R IT (51f) É importante notar que se as forças longitudinais do pneu, Fx,F e Fx,R, forem iguais a

zero o estado vT é constante.

0.4 INCLUINDO PNEU LINEAR

Linearizando o valor do dos ângulos de deriva em (35) no mesmo ponto de operação temos αF,lin= αT+ a vT,0 ˙ ψ − δ (52a) αF,lin = αT− b vT,0 ˙ ψ. (52b)

Supondo uma lei de força linear para os pneu temos

Fy,F= −KFαF = −KFαT−

aKF

vT,0

˙

(13)

Fy,R= −KRαR = −KRαT+

bKR

vT,0

˙

ψ (53b)

Substituir as equações (53) nas equações linearizadas em (51) temos

f1,lin = ˙x = vT (54a) f2,lin= ˙y = vT,0(ψ + αT) (54b) f3,lin = ˙ψ = ˙ψ (54c) f4,lin= ˙vT = Fx,F+ Fx,R mT (54d) f5,lin = ˙αT = − KF+ KR mTvT,0 αT− mTvT,0+aKF_v−bK_T,0 R mTvT,0 ˙ ψ + KF mTvT,0 δ (54e) f6,lin= ¨ψ = − aKF− bKR IT αT− a2_K F+ b2KR ITvT,0 ˙ ψ + aKF IT δ (54f) Na forma matricial ˙x = Ax + Bˆu (55) Ou ainda                  ˙x ˙ y ˙ ψ ˙vT ˙ αT ¨ ψ                  =                  0 0 0 1 0 0 0 0 vT,0 0 vT,0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −KF+KR mTvT,0 − mTvT,0+aKF−bKR_vT,0 mTvT,0 0 0 0 0 −aKF−bKR IT − a2_K F+b2KR ITvT,0                                   x y ψ vT αT ˙ ψ                  +                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 mT 1 mT KF mTvT,0 0 0 aKF IT 0 0                        δ Fx,F Fx,R       (56)

(14)