Representação ternária em algoritmos evolutivos para a obtenção de autômatos celulares binários

(1)

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE PROGRAMA DE

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Mateus Interciso

REPRESENTAC

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ARIA EM ALGORITMOS EVOLUTIVOS

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Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

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Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Presbite-riana Mackenzie como parte dos requisitos para a obtenção do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica, na área de concentração em Engenharia da Computação.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Paulo Balbi de Oliveira

(3)

I61r Interciso, Mateus.

Representação ternária em algoritmos evolutivos para a obtenção de autômatos celulares binários/ Mateus Interciso. – 2011.

61 f. : il. ; 30 cm.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2011.

Bibliografia: f. 46S47.

1. Autômato celular. 2. Algoritmos genéticos. 3. Tarefa da

classificação da densidade. 4. Problema da paridade. 5. Representação ternária. I. Título.

(4)

(5)

Na sobrevivência dos indiv´ıduos e raças favorecidas, durante a luta constante e recorrente pela existência, vemos uma forma poderosa e incessante de seleção.

(6)

A busca por regras de autômatos celulares que efetuem corretamente uma determinada tarefa pode ser imposs´ıvel de ser efetuada manualmente, dado o enorme tamanho dos espaços de busca usualmente envolvidos. Uma forma para conseguir encontrar boas regras para a execução do problema em questão tem sido a utilização de algoritmos genéticos (AGs) para evoluir uma população inicialmente aleatória, até o objetivo desejado; nesses AGs cada indiv´ıduo é normal-mente representado como uma regra de transição candidata. Em problemas formulados para resolução por um autômato celular binário, uma alteração recentemente estudada na literatura para a representação dos indiv´ıduos foi a utilização detemplates (moldes) com a presença de um s´ımbolo extra, capaz de representar os demais s´ımbolos. Tal esquema de “representação ternária” é utilizada no presente trabalho, visando avaliar seu efeito no processo de busca re-alizado por AGs. O estudo é feito para duas tarefas clássicas de autômatos celulares unidi-mensionais binários, a tarefa de classificação da densidade e o problema da paridade, ambas tradicionais no contexto da utilização de AGs para encontrar regras de transição com alta per-formance. Ao comparar os resultados de AGs originais encontrados na literatura com suas versões implementadas com representação ternária, mostra-se que a representação ternária é capaz de melhorar a qualidade dos resultados. Em particular, analisam-se condições em que o uso da representação ternária se mostra mais efetivo, bem como apontam-se efeitos de alguns aspectos de implementação. Poss´ıveis trabalhos futuros pertinentes ao estudo são discutidos ao final.

Palavras-chave:Autômatos celulares, algoritmos genéticos, tarefa da classificação da densidade, problema da paridade, representação ternária.

(7)

ABSTRACT

The search for cellular automata (CAs) rules capable of executing a determined task can be impossible to be achieve manually, given the huge size of the search space usually involved. A method for being able to find rules capable of executing the task at hand has been the usage of genetic algorithms (GAs) to evolve an initially random population, until the desired objective; each individual of those GAs are usually represented by a candidate transition rule. In problems formulated for the resolution by a binary cellular automaton, a recently used modification on the representation of the individuals was the usage of templates with the presence of an extra symbol, capable of representing every other valid symbol. Such schema of “ternary represen-tation” is used on the present work, aiming for it’s net effect on the search process on the GAs. This study is made for two classical tasks of binary unidimensional cellular automata, the den-sity classification task and the parity problem, both traditional in the context of using GAs for searching transition rules with high performance. By comparing the results of the original GAs and their versions implemented with the ternary representation, it’s shown that the ternary rep-resentation is able to improve the quality of the results. Particularly, it is analized the condition in which the usage of the ternary representation presents to be more effective, as well as some effects of the actual implementation. Possible future works are presented at the end.

Keywords:Cellular automata, genectic algorithms, density classification task, parity problem, ternary representation.

(8)

2.1 Cruzamento de ponto ´unico. . . p. 7

3.1 Demonstrac¸˜ao visual de um AC . . . p. 11

3.2 Regra 40 . . . p. 12

3.3 Regra 84 . . . p. 12

3.4 Regra 30 . . . p. 13

3.5 Regra 110 . . . p. 14

3.6 Regra 90 . . . p. 14

3.7 CI utilizada. . . p. 17

3.8 100 iterac¸˜oes da melhor regra encontrada em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008]. . . p. 17

3.9 300 execuc¸˜oes distintas do CMD. . . p. 20

3.10 Detalhamento das regras do CMD. . . p. 21

3.11 300 execuc¸˜oes distintas do MCH. . . p. 23

3.12 Detalhamento das regras do MCH. . . p. 24

3.13 300 execuc¸˜oes distintas do OOO. . . p. 26

3.14 Detalhamento das regras do OOO. . . p. 27

3.15 Gr´afico comparativo com os AGs. . . p. 28

3.16 Execuc¸˜oes para o PP utilizando MCH e CMD. . . p. 31

3.17 Detalhamento dos resultados obtidos para o PP. . . p. 32

4.1 Execuções utilizando a representação ternária do CMD. . . p. 35

4.2 Execuções utilizando a representação ternária do MCH. . . p. 36

4.3 Execuções utilizando a representação ternária do OOO. . . p. 37

4.4 Execuções do MCH para o PP e representação ternária. . . p. 39

(9)

4.6 Detalhamento dos resultados do MCH com representação ternária para o PP. . p. 41

(10)

3.1 Representações de regras de transição. . . p. 10

3.2 LUT da regra 110. . . p. 15

3.3 Regra 110 utilizando moldes. . . p. 16

3.4 Contagem das regras encontradas pelos AGs estudados. . . p. 28

3.5 Diferenc¸a entre os AGs utilizados. . . p. 28

4.1 Tempo de execuc¸˜ao total de cada AG para a DCT. . . p. 34

4.2 Contagem das regras encontradas para orientação única. . . p. 38

(11)

Lista de S´ımbolos

lTamanho de uma cadeia . . . p. 5

PConjunto de indiv´ıduos em uma populac¸˜ao . . . p. 5

iIndiv´ıduo de uma populac¸˜ao . . . p. 5

f Grau de adaptac¸˜ao de um indiv´ıduo . . . p. 5

GQuantidade de gerac¸˜oes de um AG . . . p. 5

gGeração de um algoritmo genético . . . p. 6

pPonto de cruzamento . . . p. 6

mQuantidade de bits a sofrerem mutac¸˜ao . . . p. 7

pmProbabilidade de mutac¸˜ao . . . p. 7

EQuantidade de melhores indiv´ıduos a serem mantidos na próxima geração . . . p. 8

#Representac¸˜ao de todos os s´ımbolos poss´ıveis em um indiv´ıduo . . . p. 8

ΣConjunto de poss´ıveis estados de um autômato celular . . . p. 9 δ Regra de transição de um autômato celular . . . p. 9

ηVizinhanc¸a de uma c´elula . . . p. 9

rRaio da vizinhanc¸a de uma c´elula . . . p. 9

T Quantidade máxima de iterações de um autômato celular . . . p. 16

ρQuantidade de 1s sobre 0s . . . p. 16

LTamanho de um reticulado . . . p. 16

IConfigurações Iniciais criadas comρ escolhido de uma distribuição uniforme . . . p. 18

pcProbabilidade de cruzamento entre dois indiv´ıduos de um algoritmo gen´etico . . . p. 18

BConfigurações Iniciais criadas comρ escolhido de uma distribuição binomial . . . p. 18

F Aptid˜ao do melhor indiv´ıduo de um algoritmo gen´etico . . . p. 18

(12)

p#Probabilidade de um bit ser # . . . p. 33

uAlgoritmo utilizando orientação única . . . p. 33

(13)

Lista de Abreviaturas

ACs Autˆomatos celulares . . . p. 1

AGs Algoritmos gen´eticos . . . p. 1

LUT Tabela de transições de um autômato celular . . . p. 9

ECA Autˆomatos Celulares Elementares . . . p. 9

CI Configurac¸˜ao Inicial de um reticulado . . . p. 10

DCT Tarefa da Classificac¸˜ao da Densidade . . . p. 16

GKL Regra criada manualmente por Gacs, Kurdyumov e Levin . . . p. 17

MCH Algoritmo presente em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994] . . . p. 18

OOO Algoritmo presente em [OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001] . . . p. 18

(14)

1 Introduc¸ ˜ao p. 1

1.1 Motivac¸˜ao . . . p. 2

2 Algoritmos gen´eticos p. 5

2.1 Operadores Gen´eticos . . . p. 6

2.1.1 Selec¸˜ao . . . p. 6

2.1.2 Cruzamento . . . p. 6

2.1.3 Mutac¸˜ao . . . p. 7

2.2 A nova populac¸˜ao . . . p. 7

2.3 Representação ternária e moldes . . . p. 8

3 Autˆomatos Celulares p. 9

3.1 Utilizando moldes e a representação ternária em ACs . . . p. 15

3.2 A tarefa da classificac¸˜ao da densidade . . . p. 16

3.2.1 CMD . . . p. 19

3.2.2 MCH . . . p. 21

3.2.3 OOO . . . p. 25

3.2.4 Resultados . . . p. 27

3.3 O Problema da Paridade . . . p. 29

3.3.1 Resultados . . . p. 29

4 Alterac¸˜ao nos AGs p. 33

4.1 Resultados para a DCT . . . p. 34

4.2 Resultados para o PP . . . p. 38

(15)

(16)

1 Introduc¸˜ao

Autˆomatos celulares (ACs) foram inicialmente propostos por John Von Neumann, ao

estu-dar máquinas com caracter´ısticas de auto-replicação. ACs são máquinas descentralizadas,

ca-pazes de apresentar um poder computacional equivalente a uma M´aquina de Turing [SARKAR,

2000; WOLFRAM, 2002]. Uma das caracter´ısticas de um AC ´e a alta complexidade que ele

pode alcançar utilizando simples regras de transição, como é demonstrado e estudado por

Wol-fram [2002]; outra caracter´ıstica estudada em [HOLLAND, 1992], ´e a capacidade de

auto-organização de um AC, que a partir de um cenário inicialmente caótico, consegue evoluir

du-rante o tempo para um cen´ario organizado.

Algumas tarefas que são triviais para uma computação centralizada, se tornam

extrema-mente complexas em sistemas descentralizados como ACs, pois cada agente deve resolver

localmente um problema de escopo global. O estudo em computac¸˜ao via ACs pode trazer

benef´ıcios em melhor utilização de memória, processamento paralelo, criptografia, modelagem

de sistemas f´ısicos, entre outras ´areas. Como cada AC necessita resolver apenas um pequeno

problema local e n˜ao o problema global como um todo, esse estudo tamb´em pode otimizar essas

tarefas com uma margem de sucesso significativa [WOLFRAM, 2002].

Cada AC segue uma simples regra de transição local, onde o grande problema, é

justa-mente encontrar a regra correta para efetuar a computação desejada, devido à enorme

quanti-dade de regras poss´ıveis [CENEK; MITCHELL, 2009]. Uma forma de obtenc¸˜ao dessas regras

é a utilização de algoritmos evolutivos (como por exemplo algoritmos genéticos, AGs), que

se-jam capazes de evoluir uma população inicialmente aleatória de regras, para encontrar aquela

que melhor execute a tarefa dada [CENEK; MITCHELL, 2009]. Um dos grandes problemas

desses algoritmos, ´e justamente o tempo necess´ario para se encontrar o melhor indiv´ıduo. Em

[HOLLAND, 1996] é utilizada a noção de moldes como uma forma de representação genérica

(17)

pro-2

cessamento, ao possibilitar o AG de “escolher” qual a melhor soluc¸˜ao para o problema dado

entre um conjunto de moldes [HOLLAND, 1992, 1996].

A representação de ACs para os problemas estudados é uma representação binária, ou seja,

cada bit da regra de transic¸˜ao pode estar contido em dois poss´ıveis estados. Ao adicionarmos a

noc¸˜ao de moldes utilizamos um terceiro estado, capaz de representar qualquer um dos estados

poss´ıveis do AC; a isso é chamado de representação ternária. A representação do AC é efetuada

por um conjunto de moldes e uma orientação, capazes de representar uma regra binária.

´

E objetivo desse trabalho, verificar os ganhos na utilização da representação ternária, para

a busca de regras bin´arias de ACs capazes de executar algumas tarefas cl´assicas de ACs.

1.1 Motivac¸˜ao

Para que um AC efetue corretamente a tarefa dada, ´e necess´ario encontrar uma regra de

transição capaz de executar a tarefa em questão. A quantidade poss´ıvel de regras, possui um

tamanho exponencial com relação à vizinhança do AC, resultando muitas vezes em um espaço

de busca onde ´e invi´avel efetuar uma busca manual [STONE; BULL, 2009]. Uma forma de se

efetuar uma busca nesse enorme espaço de regras é a utilização de algoritmos evolutivos, que

partem de uma população de regras candidatas aleatórias e, baseando-se em teorias evolutivas,

são efetuadas recombinações e alterações nessa população; de forma a buscar as melhores regras

poss´ıveis para um determinado problema [CENEK; MITCHELL, 2009].

Em [HOLLAND, 1999] foi estudado como seria poss´ıvel atingir um regime dinˆamico

or-denado, tendo-se inicialmente apenas um comportamento dinâmico caótico. Dentre as várias

formas estudadas por Holland tamb´em foram apresentados autˆomatos celulares e algoritmos

gen´eticos; nesse estudo os AGs constituem de um grupo de indiv´ıduos, gerados inicialmente

de forma aleat´oria, onde cada indiv´ıduo ´e representado por cadeias de cromossomos utilizando

uma representação binária. Esses indiv´ıduos passam por recombinações e alterações como

seleção, cruzamento e mutação [HOLLAND, 1992].

Como as regras de ACs com apenas dois estados poss´ıveis s˜ao bin´arias, essa abordagem

evolutiva pode ser utilizada de forma simples e direta para buscar a melhor regra capaz de

efetuar uma computac¸˜ao espec´ıfica [CENEK; MITCHELL, 2009]. Ao utilizar essa abordagem,

(18)

de forma aleatória, e cada indiv´ıduo é testado para saber qual o seu grau de aptidão para o

prob-lema dado. Um conjunto com os indiv´ıduos que possu´ırem melhor aptidão, é então utilizado

para efetuar o cruzamento e a mutação gerando uma nova população; é poss´ıvel ainda manter

os indiv´ıduos mais aptos para o determinado problema, inalterados na próxima geração como

uma forma de elitismo [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS, 2002; MITCHELL; HRABER;

CRUTCHFIELD, 1993; CENEK; MITCHELL, 2009; STONE; BULL, 2009].

Em [STONE; BULL, 2009] foi utilizada a id´eia dos moldes, que apesar de serem

comu-mente utilizados nos sistemas classificadores de aprendizagem por m´aquina, como por

exem-plo em [HOLLAND, 1996] e [HOLLAND, 1992], sua utilizac¸˜ao em AGs para encontrar

re-gras de ACs ´e uma id´eia relativamente nova. No trabalho apresentado em [STONE; BULL,

2009], utilizam-se os moldes para introduzir a noção de “memória” para o AG apresentado em

[CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS, 2002], porém pouco se estuda sobre a utilização dos

moldes e qual o ganho do AG ao utilizar essa forma de representac¸˜ao.

Neste trabalho foram escolhidos os algoritmos apresentado em [OLIVEIRA; OLIVEIRA;

OMAR, 2001], [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS, 2002] e [MITCHELL; CRUTCHFIELD;

HRABER, 1994] como base para estudar os ganhos encontrados ao utilizar os moldes, como

foram propostos em [STONE; BULL, 2009] para efetuar duas tarefas cl´assicas de ACs: a

tarefa da classificac¸˜ao da densidade (density classification task, DCT) e o problema da paridade

(parity problem, PP). Essas tarefas procuram respectivamente, classificar se uma determinada

configuração binária inicial possui mais células em estado 1 do que em estado 0, ou se possui

um n´umero par ou ´ımpar de c´elulas no estado 1.

Os algoritmos base utilizados s˜ao AGs extremamente simples, por´em capazes de encontrar

regras que efetuem a DCT e o PP com sucesso parcial; tendo sido amplamente estudado por

Mitchell, entre outros, em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994], [MITCHELL;

HRABER; CRUTCHFIELD, 1993], [CRUTCHFIELD; MITCHELL, 1995], [CRUTCHFIELD;

MITCHELL; DAS, 2002], [STONE; BULL, 2009] e [OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001].

Devido à simplicidade do AG escolhido, a adaptação para a utilização dos moldes é simples

e permite focar o trabalho nos ganhos ao se utilizar moldes para as tarefas escolhidas.

At-ualmente a melhor regra para a DCT possui uma eficácia de≈88.985%, para configurações

iniciais (CIs) geradas utilizando-se uma distribuic¸˜ao binomial para definir a quantidade de 1s

(19)

4

´e desconhecido, por´em o mesmo AG apresentado em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008] encontrou

caracter´ısticas interessantes sobre o PP.

O trabalho ´e dividido da seguinte forma: no Cap´ıtulo 2 ´e apresentado o funcionamento dos

algoritmos genéticos e os moldes; no Cap´ıtulo 3 são apresentados os autômatos celulares, a

tarefa da classificação da densidade e o problema da paridade, assim como as soluções tomadas

como base para a evolução genética dessas tarefas e, é apresentada a forma como foi feita a

utilização da representação ternária nos indiv´ıduos; no Cap´ıtulo 4 são mostradas as alterações

nos AGs base, e os resultados obtidos para as duas tarefas estudadas; e finalmente no Cap´ıtulo

(20)

2 Algoritmos gen´eticos

Algoritmos genéticos (AGs) são algoritmos de busca baseados em abstrações dos

mecanis-mos de evolução biológica, onde uma população de soluções candidatas a um problema dado,

por meio de operadores genéticos como cruzamento (crossover), mutação e seleção, são

ca-pazes de evoluir durante uma quantidade de gerac¸˜oes, com o intuito de encontrar a melhor

forma de se resolver um determinado problema [CENEK; MITCHELL, 2009]. Historicamente

AGs datam da década de 50, porém foi apenas a partir da década de 70 com maior poder

com-putacional e a metodologia apresentada por Holland [1975] entre outros trabalhos na ´area, que

eles começaram a ser utilizados na prática para resolver problemas reais [B ÄCK; HAMMEL;

SCHWEFEL, 1997].

Como AGs são fortemente inspirados na genética, cada indiv´ıduo da população é

con-siderado, analogamente à genética, a um “cromossomo” representando uma poss´ıvel solução

candidata ao problema dado. Normalmente esse cromossomo ´e representado por uma cadeia

binária de caracteres de tamanho l (a0a1a2a3...an...an+1an+2an+3...al−1), com 0 <n<l. A metodologia básica de um AG (conforme descrita em [HOLLAND, 1996]) é a seguinte:

1. É gerada uma população inicialP;

2. Cada indiv´ıduo ida população é avaliado para o problema em questão, a partir do qual

é gerado um valor f para cada indiv´ıduo (fitness, ou aptidão) que representa o quão bem

adaptado ele se encontra para o problema dado;

3. São aplicados operadores genéticos (como seleção, cruzamento e mutação) nos indiv´ıduos

da população, de forma a ocorrer uma recombinação das melhores soluções encontradas

até o momento e com isso uma nova população;

(21)

6

5. Quando terminar todas as gerações g, o indiv´ıduoi com melhor aptidão é o melhor

in-div´ıduo encontrado pelo AG.

2.1 Operadores Gen´eticos

Aqui são brevemente apresentados e descritos, os operadores genéticos mais comuns (seleção,

cruzamento e mutação). Esses operadores, são responsáveis por criar uma nova população

para efetuar uma busca, com o intuito de encontrar as melhores soluc¸˜oes capazes de resolver o

problema desejado. Uma vez esses operadores tendo sido executados, teremos a populac¸˜ao da

próxima geração (Pg+1).

2.1.1 Selec¸ ˜ao

Para que uma recombinação dos indiv´ıduos da população possa ser efetuada, é necessário

escolher dentre toda a população, quais i indiv´ıduos da população g estão aptos a serem

es-colhidos para sofrerem a ação dos operadores genéticos. Normalmente essa seleção é feita de

forma aleatória, onde cada indiv´ıduo possui uma probabilidade proporcional à sua aptidão f de

ser selecionado. Dessa forma, são escolhidos pares de indiv´ıduos da populaçãoPg com alto

f, e o cruzamento ´e aplicado nesses pares, seguido de outros operadores, como por exemplo a

mutac¸˜ao [HOLLAND, 1992].

2.1.2 Cruzamento

O operador genético de cruzamento, é o operador responsável pela recombinação das soluções

encontradas at´e o momento, com o objetivo de encontrar boas estruturas que n˜ao foram geradas

inicialmente. Esse operador, é baseado na forma em que ocorre a recombinação dos genes na

genética a partir de uma reprodução sexuada. A utilização de uma reprodução sexuada no lugar

de uma reprodução assexuada, onde não ocorre o cruzamento entre dois indiv´ıduos, garante

maior variedade no novo indiv´ıduo.

O cruzamento pode ser feito de diversas formas, a mais comum ´e o cruzamento de ponto

´unico. Esse tipo de cruzamento funciona escolhendo um pontopaleat´orio (0<p<l), para cada

conjunto de pares de estruturas previamente escolhidas; a esses pares ´e dado o nome de “pais”. ´

(22)

de “filhos”, com uma sequˆencia de bits de um pai at´e o bit que se encontra no ponto p−1

escolhido, e uma sequˆencia de bits do ponto pat´e o bit l−1 do outro pai; como demonstrado

na Figura 2.1. Esse tipo de cruzamento ´e o mais comumente utilizado, pois ´e simples e garante

a exploração de várias estruturas candidatas à solução [HOLLAND, 1992].

a0a1...ap...ap+1ap+2...al−1

b0b1...bp...bp+1bp+2...bl−1

a0a1...ap...bp+1bp+2...bl−1

b0b1...bp...ap+1ap+2...al−1

p

Figura 2.1: Cruzamento de ponto ´unico.

2.1.3 Mutac¸˜ao

Uma forma de introduzir maior aleatoriedade na escolha dos indiv´ıduos da próxima geração,

sem perder bons indiv´ıduos, é a utilização do operador genético da mutação. Esse operador é

um dos mais simples poss´ıveis, e funciona alterando um n´umerom de bits em cada estrutura

selecionada, para um outro valor (no caso bin´ario, para o complemento do valor atual).

Esse n´umeromcostuma ser um valor muito pequeno, pois caso contr´ario estar´ıamos apenas

escolhendo novas estruturas de forma completamente aleat´oria, e qualquer estrutura que consiga

resolver o problema dado de forma eficiente, poderia ser perdida; mantendo-se m pequeno

garante-se que bons indiv´ıduos n˜ao ser˜ao perdidos [HOLLAND, 1992].

Selecionando-se corretamente o valor dem´e poss´ıvel garantir que bons indiv´ıduos que n˜ao

foram testados, apareçam em geraç ões futuras para serem avaliados [HOLLAND, 1992].

A forma mais comum de mutação, é a utilização de uma probabilidade pmmuito pequena

(pm≈1%), essa probabilidade ´e aplicada em cada bit da estrutura em que se deseja efetuar a

mutação; utilizando-se um valor correto depmpode-se garantir que≈mbits serão alterados na

estrutura [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS, 2002].

2.2 A nova populac¸˜ao

Após a aplicação dos operadores genéticos, é necessário inserir os novos indiv´ıduos na

população da próxima geração (Pg+1). Existem duas maneiras principais de efetuar essa inserção, de forma elitista e de forma não elitista [HOLLAND, 1992; CRUTCHFIELD; MITCHELL,

(23)

8

A forma elitista simplesmente seleciona um númeroEdos melhores indiv´ıduos da população

Pg(aqueles com maior f), e os mantém sem nenhuma alteração para a próxima população;

to-dos os outrosPg−Eindiv´ıduos s˜ao descartados e recriados aplicando-se os operadores gen´eticos

apenasa partir deE [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994].

Já na forma não elitista, escolhem-se aleatoriamente indiv´ıduos da população a serem

sub-stitu´ıdos pelos novos indiv´ıduos; a escolha dos indiv´ıduos a serem alterados pode ser

influen-ciada pelo f de cada indiv´ıduo, dando maior chance de substituic¸˜ao a indiv´ıduos com menor

f, ou seja, a escolha pode se comportar como sendo o oposto da escolha para os indiv´ıduos

selecionados para sofrerem a ação dos operadores genéticos [HOLLAND, 1996].

2.3 Representação ternária e moldes

Em [HOLLAND, 1975] é definida a noção de “templates” (moldes), onde um indiv´ıduo

´e representado por um conjunto de moldes, e cada molde representa uma parte do indiv´ıduo.

Tamb´em ´e definido um s´ımbolo especial chamado de “don’t care”, esse s´ımbolo (representado

por #) é utilizado para representar todos os s´ımbolos poss´ıveis, minimizando a representação

do indiv´ıduo. Como estamos trabalhando com uma representação binária, ao adicionarmos esse

terceiro s´ımbolo temos a representação ternária.

Como exemplo, podemos ter o indiv´ıduo representado pelos moldes “11001#0010” e “001#

01#101”, considerando que o indiv´ıduo possui uma representação binária e estamos utilizando

3 s´ımbolos#, esses dois moldes s˜ao capazes de representar 23=8 indiv´ıduos diferentes, ou seja:

11001000100010010101, 11001000100010011101, 11001000100011010101, 110010001000

11011101, 11001100100010010101, 11001100100010011101, 11001100100011010101, e

fi-nalmente, 11001100100011011101.

Esse tipo de estrutura possui dois benef´ıcios principais: (i) permite maior generalizac¸˜ao do

algoritmo evolutivo, possibilitando a exploração de novas soluções que poderiam demorar muito

a aparecer apenas via os operadores gen´eticos e, (ii) ajuda a evitar que o algoritmo evolutivo

fique estagnado em uma solução localmente ótima, porém não globalmente ótima [HOLLAND,

1992]. O ganho em memória também é muito importante, no exemplo anterior, conseguimos

(24)

3 Autˆomatos Celulares

Autˆomatos celulares (ACs) foram primeiramente propostos por Von Neumann na d´ecada

de 40, e estão entre os mais antigos modelos de computação natural. Von Neumann propôs

os ACs com o objetivo de projetar um sistema artificial capaz de auto-reprodução, porém com

caracter´ısticas de computação universal (ou seja, capazes de emular uma Máquina de Turing).

Eles foram primeiramente definidos em um reticulado de tamanho finito, onde cada c´elula ´e um

autˆomato finito interconectado com as c´elulas vizinhas [KARI, 2005].

Cada célula possui um conjuntoΣde estados poss´ıveis, e a troca de um estado para o outro é dada por uma regraδ de transição que, dada uma vizinhança η de células em um raio r, a

c´elula transita para um dos estados deΣ[CRUTCHFIELD; MITCHELL, 1995].

Normalmente s˜ao utilizados reticulados de 1, 2 ou 3 dimens˜oes, os quais podem se

com-portar como a ideia original (reticulado de tamanho finito), ou trabalhar de forma toroidal, onde

os lados extremos do reticulado se juntam. Em [WOLFRAM, 2002] foi mostrado que mesmo

simples ACs (1 dimensão,Σ=2 er=1) são capazes de apresentar computabilidade universal. As regras de um AC seguem uma simples tabela de transição, criada de acordo com as

poss´ıveis vizinhanc¸as de cada c´elula (Lookup table, LUT de agora em diante). Para o AC

mais simples poss´ıvel (1 dimensão,Σ=2 er=1), temosl(η) =3 (onde a vizinhança é dada pela célula central, e as células imediatamente a direita e a esquerda), e o tamanho l de δ

(a quantidade de transições poss´ıveis) é dado porl(δ) =Σl(η)₌_{8, resultando em}_Σl(δ)₌₂₅₆ diferentes regras de transição [CRUTCHFIELD; MITCHELL, 1995]; a esse pequeno número de

regras denomina-se Autˆomatos Celulares Elementares (Elementary Cellular Automata, ECA).

Wolfram nomeia as regrasδ pela representac¸˜ao decimal da sa´ıda da LUT, iniciando sempre

pela vizinhanc¸a com a totalidade de 1s (do lado esquerdo) para a vizinhanc¸a com a totalidade

de 0s no lado direito; por exemplo, para a regraδ=30 temos a LUT apresentada na Tabela 3.1a

(25)

10

a regraδ =30. Esse tipo de representação, é aceito como a representação e nomeação padrão

para os ACs [WOLFRAM, 2002].

Existem outras representac¸˜oes poss´ıveis, como por exemplo a utilizada por Mitchell,

Crutch-field e Hraber [1994] e CrutchCrutch-field, Mitchell e Das [2002], onde a LUT demonstrada na Tabela 3.1b,

´e dada pela vizinhanc¸aη com a totalidade de 0s (do lado direito), para a com a totalidade de 1s

(do lado esquerdo), e a nomeação da regra é dada pela representação hexadecimal da sa´ıda da

LUT, que neste caso seria a regraδ =78h.

η transic¸˜ao 111 0 110 0 101 0 100 1 011 1 010 1 001 1 000 0

(a)δ =30

η transic¸˜ao 000 0 001 1 010 1 011 1 100 1 101 0 110 0 111 0

(b)δ =78h

Tabela 3.1: Representações de regras de transição.

No presente trabalho será utilizada a representação definida por Wolfram, para definir todos

os ACs. Para demonstrar visualmente ACs binários, são utilizadas células brancas para

repre-sentar o estado 0 e, c´elulas pretas para o estado 1. Como estamos trabalhando com ACs em 1

dimensão, cada linha do reticulado representa uma iteração completa do AC, partindo de uma

configuração inicial (CI) do reticulado. A Figura 3.1 demonstra a representação descrita, onde

a Figura 3.1a apresenta a demonstrac¸˜ao visual da CI “0000100000”, e a Figura 3.1b demonstra

10 iterações da regraδ =30 para a CI apresentada na Figura 3.1a. Esse tipo de representação

é considerada a representação padrão para ACs binários e unidimensionais, e será utilizada

(26)

(a) Exemplo de demonstrac¸˜ao visual

da CI 0000100000.

(b) Exemplo de demonstrac¸˜ao visual

de um AC iterado 10 vezes, a partir

da CI apresentada na Figura 3.1a.

Figura 3.1: Demonstração visual da iteração da regraδ =30 durante 10 iterações, partindo da CI 0000100000.

Como demonstrativo da utilização computacional dos ACs, em [WOLFRAM, 2002] é

demonstrada sua complexidade e utilização prática em um profundo estudo, onde foi dado

in-teresse particular aos ECAs, pois eles s˜ao capazes de apresentar padr˜oes temporais complexos

(iterações da regraδ por um determinado número de iterações a partir de CI), apesar de serem

muito simples; alguns ECAs conseguem até mesmo apresentar caracter´ısticas de computação

universal [WOLFRAM, 2002].

Em [WOLFRAM, 1984] foram definidas 4 classes de ACs, da mais simples (classe 1)

para a mais complexa (classe 4). A classe 1 apresenta sempre ACs de padr˜oes simples, e

praticamente todas as diferentes CIs levam para o mesmo estado final; a classe 2 apresenta

padr˜oes com diversos estados finais, por´em sempre com pequenas estruturas capazes de se

manterem durante as iterac¸˜oes; a classe 3 apresenta grande complexidade e, aparentemente

possui um padrão temporal aleatório; já a última classe, a classe 4, apresenta caracter´ısticas de

estruturas organizadas, com longos transientes e o aparecimento de estruturas, que s˜ao capazes

de se propagar durante a execução do AC. ACs com computabilidade universal têm ocorrido

tipicamente nessa ´ultima classe.

A Figura 3.2a apresenta a regra 40, um AC de classe 1. Esse AC em particular sempre ir´a

terminar suas iterações em uma configuração homogênea de 0s, independente se a CI é apenas

a c´elula central no estado 1 e todas as outras no estado 0 (Figura 3.2b) ou uma CI com uma

(27)

12

1 È 0

(a)δ=40 (retirado de [MEDIA, 2010]).

(b) Evoluc¸˜ao da regra 40 durante 25

iterac¸˜oes com a CI possuindo apenas a

c´elula central no estado 1.

(c) Evoluc¸˜ao da regra 40 durante 25

iterações com CI possuindo células

aleat´orias no estado 1.

Figura 3.2: Regra 40 como definida por Wolfram [2002] e iterada durante 25 iterac¸˜oes.

A Figura 3.3a por sua vez, é a demonstração da regra 84, um AC que se encontra na classe

2. Pode ser visto que, tanto para uma simples CI com apenas a c´elula central no estado 1

(Figura 3.3b) e uma CI com uma quantidade aleat´oria de c´elulas no estado 1 (Figura 3.3c),

esse AC leva a diferentes configurações finais, porém o seu comportamento durante as iterações

continua aparentemente s´ımples.

1 È 0

Por sua vez, a Figura 3.4a apresenta a regra 30, um AC que se encontra na classe 3. ACs

(28)

a célula central no estado 1 (Figura 3.4b), quanto para CIs com várias células no estado 1

(Figura 3.4c).

1 È 0

(b) Evoluc¸˜ao da regraδ =30 durante 25

A regra 110 demonstrada na Figura 3.5a, é uma das regras com caracter´ısticas de computação

universal; a utilização dessa regra para esse fim depende de sua CI. É poss´ıvel perceber que o

comportamento dela para uma CI simples, apenas a c´elula central da CI no estado 1, (Figura 3.5b)

possui um padrão de evolução temporal aparentemente aleatório, porém as estruturas que

apare-cem tendem a se tornar um padr˜ao; o mesmo pode ser percebido em uma CI mais complexa,

com v´arias c´elulas no estado 1, (Figura 3.5c); essa regra se encontra na classe 4.

J´a na Figura 3.6a vemos a regra 90, apresentando um comportamento muito mais

comu-mente encontrado em ECAs, a criação de um padrão que se repete após um certo número de

iterações. É poss´ıvel perceber que para uma CI simples (Figura 3.6b) ela apresenta um padrão

bem definido. Essa regra em particular consegue “construir” o famoso triˆangulo de Sierpinsky,

porém a partir de uma CI mais complexa (Figura 3.6c) não mais se observa a construção do

triângulo de Sierpinsky, mas apenas um padrão de evolução temporal aleatório; essa regra é

(29)

14

1 È 0

(a)δ =90 (retirado de Media [2010]).

Figura 3.6: Regra 90 como definida em Wolfram [2002] e iterada durante 25 iterac¸˜oes.

Esses diferentes tipos de comportamento s˜ao o que motivaram Wolfram e muitos outros,

a estudarem a complexidade capaz de ser gerada via ACs, em diferentes trabalhos, como por

exemplo em [HOLLAND, 1999] onde são estudadas várias formas de computação natural,

ca-pazes de encontrar ordem a partir de um estado inicialmente aleat´orio, entre as quais, redes

neurais artificiais, algoritmos genéticos e autômatos celulares. É esse tipo de complexidade

que permite a utilização de ACs para resolver alguns problemas e efetuar simulações,

princi-palmente simulac¸˜oes f´ısicas, onde (por exemplo) o comportamento de gases chegou inclusive a

(30)

3.1 Utilizando moldes e a representação ternária em ACs

Para utilizarmos a representação ternária (como foi definida no Cap´ıtulo 2.3) para auxiliar

no processo de busca via AGs, ´e necess´ario criar uma estrutura diferente para definir as regras

de ACs. Essa estrutura ´e composta de um conjunto de moldes, onde cada molde representa uma

poss´ıvel vizinhança η, com a poss´ıvel utilização do s´ımbolo #, e a transição referente a esse

conjunto de moldes; essa transição é conhecida como a orientação de um conjunto de moldes. A

orientação é o estado para o qual uma das células da vizinhança (normalmente a célula central),

ir´a transitar caso algum molde do conjunto de moldes seja encontrado nos reticulados iterados

da CI, caso nenhum molde seja encontrado, a mesma c´elula ir´a transitar para o complemento

da orientação definida; todos os moldes de uma mesma estrutura possuem a mesma orientação

[STONE; BULL, 2009].

Como exemplo vamos transformar a regra 110 para esse tipo de estrutura. A LUT dessa

regra ´e mostrada na Tabela 3.2a e a estrutura que representa essa LUT, utilizando apenas a

vizinhançaη que possui transição para o estado 1 é mostrada na Tabela 3.2b.

η transic¸˜ao 111 0 110 1 101 1 100 0 011 1 010 1 001 1 000 0

(a) LUT da regra 110.

η transic¸˜ao 110 1 101 1 011 1 010 1 001 1

(b) estrutura que repre-senta a regra 110 com transic¸˜ao 1.

Tabela 3.2: LUT da regra 110, completa e apenas utilizando a transic¸˜ao para o estado 1.

´

E poss´ıvel perceber que ao utilizar esse tipo de estrutura economizamos na mem´oria

uti-lizada para representar a regra, pois estamos apenas buscando pelas vizinhanc¸as que possuem

uma transição para o estado 1, caso nenhuma vizinhança seja encontrada, sua transição é

con-siderada como sendo para o estado 0 [STONE; BULL, 2009].

Ao adicionarmos o s´ımbolo # podemos minimizar ainda mais a quantidade de moldes, pois

´e poss´ıvel “transformar” os moldes 011 e 010 em apenas um molde 01#[STONE; BULL, 2009];

(31)

16

η transic¸˜ao

110 1

101 1

01# 1

001 1

Tabela 3.3: Regra 110 utilizando moldes e o s´ımbolo #.

´

E poss´ıvel perceber um maior ganho ao se utilizar essa representac¸˜ao, quando trabalhamos

com ACs de raio maior do que 1. Como exemplo, para ACs der=3, temosl(δ) =27=128, ou

seja, 128 vizinhanc¸as distintas e um espac¸o total de 2128regras diferentes. Se utilizarmos uma

m´edia de 8.8 moldes por estrutura, e 2 s´ımbolos # por molde (como foi feito em [STONE;

BULL, 2009]), assumindo que não exista repetição entre os moldes de uma mesma

estru-tura, é poss´ıvel representar em média 36 vizinhanças por estrutura; utilizando esses parâmetros

diminu´ımos aproximadamente 28% na quantidade necess´aria dos moldes de uma estrutura,

rep-resentada com todas as vizinhanças e sem a utilização do s´ımbolo #.

3.2 A tarefa da classificac¸˜ao da densidade

A tarefa da classificação da densidade (Density classification task, DCT), é uma tarefa

clássica em ACs. A DCT consiste em encontrar um AC binário (Σ=2) que, após ser iterado por atéT iterações em qualquer CI, encontre uma configuração homogênea onde todas as células

se encontrem no estado 1, caso a CI possua mais 1s do que 0s (a quantidade de 1s sobre 0s, a

densidade de 1s em um reticulado, é chamada deρ), ou uma configuração uniforme de 0s caso

contr´ario. Usualmente, esse teste ´e feito em um reticulado unidimensional, de tamanhoL´ımpar

(normalmenteL=149), e ACs bin´arios comr=3, totalizando 2128diferentes regras poss´ıveis,

um espac¸o muito grande para efetuar uma busca exaustiva.

Apesar de ser uma tarefa simples para sistemas centralizados, essa tarefa se torna

extrema-mente complexa em sistemas descentralizados como ACs, pois o AC deve ser capaz de tomar

uma decisão local que reflita uma condição global da qual ele não sabe o estado [OLIVEIRA;

OLIVEIRA; BORTOT, 2006]; foi provado em [LAND; BELEW, 1995] que n˜ao existe um ´unico

AC capaz de executar a DCT com sucesso para todas as CIs.

Devido `a enorme quantidade de regras poss´ıveis para executar a DCT (2128 poss´ıveis

(32)

execute a DCT com uma alta taxa de acertos, essa ´e uma tarefa comumente utilizada para

estudar a utilização de AGs para encontrar, de forma automática, boas regras que sejam

ca-pazes de executar a DCT com uma boa margem de sucesso [CRUTCHFIELD; MITCHELL;

DAS, 2002]. A melhor regra atualmente, ´e reportada em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008] e possui

eficácia de 88.985% para 500.000 CIs comρ escolhido de forma aleatório em uma distribuição

binomial; escolherρ a partir de uma distribuic¸˜ao binomial torna as CIs muito mais complexas

para serem avaliada pelo AC. Um exemplo de sua iteração é ilustrada na Figura 3.8 para uma

CI de teste comL=149 eρ=55.7947%. A mesma CI (ilustrada na Figura 3.7) ´e utilizada nas

demais ilustrações das iterações dos ACs encontrados pelos diferentes AGs implementados. O

AC encontrado em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008] foi capaz de encontrar a classificac¸˜ao correta

(ρT =100%) após aproximadamente 100 iterações.

Outra forma de se encontrar regras para a DCT, é a sua criação manual. Das regras

cri-adas manualmente, a regra GKL (nomeada pelos nomes de seus autores, Gacs, Kurdyumov

e Levin) proposta em [GACS; KURDYUMOV; LEVIN, 1978], ´e considerada a melhor regra

criada manualmente para a DCT. Aparentemente, essa regra possui uma estrat´egia capaz de

minimizar o erro conforme se aumenta a quantidade máxima de iterações (T) [MITCHELL;

CRUTCHFIELD; HRABER, 1994]. Em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994] foi

estudado o motivo que um AG simples, n˜ao ´e capaz de encontrar a regra GKL de forma

au-tom´atica, mesmo ele sendo criado com esse objetivo.

Figura 3.7: CI utilizada para demonstrativo das regras encontradas pelos diversos AGs utiliza-dos,ρ =55.7047%.

(33)

18

Neste trabalho foram estudados 3 AGs para encontrar boas regras para a DCT, os

algo-ritmos definidos em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994] (que ser´a chamado de

MCH), uma simples modificac¸˜ao do mesmo em [OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001] (que

ser´a chamado de OOO), e outro algoritmo definido em [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS,

2002] (que ser´a chamado de CMD). Apesar de semelhantes, esses AGs apresentam pequenas

diferenc¸as capazes de influenciar no resultado final.

Todos os AGs estudados partem do mesmo AG:

1. Gera-se uma populaçãoPaleatória, onde cada indiv´ıduoi é um AC capazes de executar

a DCT;

2. Para cada geraçãogdo AG até a geração finalG:

(a) São geradas I CIs aleatórias, utilizando-se uma distribuição uniforme para o valor ρ;

(b) Cada indiv´ıduo da populaçãoPg, é executado para todas asICIs por um máximo de

T iterações e, a quantidade de classificações corretas do AC é a aptidão (“fitness”) f

do AC. Nenhum crédito é dado a classificações incompletas (que não conseguiram

chegar a um estado homogˆeneo de 1 ou 0);

(c) A elite E de ACs com melhor f é copiada sem alteração para a próxima população

Pg+1;

(d) o restante da populaçãoPg+1−E é gerada utilizando-se:

i. Cruzamento com pc probabilidade de ocorrer, com pais sempre oriundos da

eliteE e;

ii. É efetuada mutação nos filhos resultantes do cruzamento, com probabilidade

pmpor bit;

3. São geradas B CIs aleatórias, utilizando-se uma distribuição binomial para o valor ρ,

resultando em um teste mais complexo para os ACs gerados pelo algoritmo; e

4. O indiv´ıduo dePGcom maior f é executado em até no máximoT vezes para todas asB

CIs, a quantidade de classificações corretas é a aptidão final (F) do indiv´ıduo.

´

E importante frisar, que todos os AGs criam os indiv´ıduos da populac¸˜ao inicial (P0)

(34)

no tempo de execução do AG, além da qualidade das soluções não ser afetada por esse tipo de

distribuição inicial [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994]. Esse fato também foi

observado no presente trabalho.

Todos os AGs foram executados em um cluster possuindo 14 n´os, dentre eles 6 com 4

n´ucleos AMD Opteron de 2GHz e 8 com 2 n´ucleos AMD Opteron de 1.4 GHz. A forma de

paralelismo escolhida para a execuc¸˜ao dos testes, foi utilizar OpenMPI para distribuir as threads

no cluster, onde cada thread é responsável por uma execução completa do AG.

3.2.1 CMD

Em [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS, 2002], foram estudadas as estrat´egias dos ACs

encontrados por um simples AG para a tarefa da DCT, e como essas estrat´egias se comportavam

para CIs de tamanho L=149, L= 499 e L=999. O AG apresentado utiliza os seguintes

parˆametros: P=100, I =100, T =2∗L, B=104, E =20, G=100, pc =100% e pm =

1.1516%.

Esse AG é capaz de evoluir três tipos diferentes de estratégias para a execução da DCT:

• Default: Estrat´egias do tipo default s˜ao muito boas em resolver CIs com ρ <50% ou

ρ>50%, mas s˜ao incapazes de resolver CIs para ambos os casos. Esse tipo de estrat´egia

apresenta efic´acia de≈50% para qualquer tamanhoL.

• Block-expanding: Esse tipo de estratégia consegue “expandir”a vizinhança de cada célula,

de forma que as células vizinhas efetuem sua expansão levando em conta não apenas sua

própria vizinhança, mas também a vizinhança de outras células. Essa estratégia costuma

levar a efic´acias de≈60%, por´em ao aumentar o tamanhoL, esse valor diminui.

• Particle: Esse tipo de estratégia é a responsável por apresentar os ACs com melhor

eficácia (acima de 70%), porém também são as mais dif´ıceis de se encontrar. ACs que

em-pregam esse tipo de estratégia são capazes de “transmitir” a densidade da vizinhança de

cada c´elula para as c´elulas adjacentes e, dessa forma, muitas vezes efetuar corretamente

a DCT. Essas estratégias são as que melhor mantém a eficácia para tamanhos maiores de

L.

(35)

20

independentes. ´E poss´ıvel perceber as 3 faixas, que caracterizam as estrat´egias apresentadas

anteriormente. Das 300 execuc¸˜oes, 120 possuem performance abaixo de 60%, 175 entre 60.01%

e 70%, e apenas 4 possuem performance maior que 70.01%.

As Figuras 3.10a e 3.10b, mostram respectivamente 100 iterac¸˜oes da melhor e da pior regra

encontrada pelo CMD para a CI apresentada na Figura 3.7. J´a as Figuras 3.10c e 3.10d, mostram

o f do melhor indiv´ıduoPg encontrado em cada gerac¸˜aogdo AG, respectivamente para a pior

e a melhor regra encontrada entre as 300 execuc¸˜oes distintas do AG.

O tempo total de execuc¸˜ao do AG para encontrar as 300 regras apresentadas foi de 8 horas

e 45 minutos.

(36)

335 946 353 665 655 739 599 279 694 834 806 851 712

(a) 100 iterac¸˜oes da pior regra encontrada

uti-lizando o CMD.

1 622 592 825 149 487 511 997 191 488 012 273

(b) 100 iterac¸˜oes da melhor regra encontrada

uti-lizando o CMD.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

Evolução da regra 335946353665655739599279694834806851712

(c) f da pior regra encontrada em cada gerac¸˜ao

do AG.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

(d)fda melhor regra encontrada em cada gerac¸˜ao

do AG.

Figura 3.10: Detalhamento das regras do CMD.

3.2.2 MCH

Em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994], foi estudado um dos AGs mais

sim-ples poss´ıveis para encontrar boas regras para a DCT. L´a estudou-se como o AG conseguia

evoluir boas regras, o motivo do AG n˜ao encontrar regras com alta performance todas as vezes,

e o motivo pelo qual esse simples AG n˜ao ´e capaz de encontrar regras superiores ou equivalentes

`a regra GKL, cujo desempenho ´e da ordem de 80% [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER,

1994].

O AG possui as seguintes alterac¸˜oes:

• AsI CIs s˜ao geradas utilizando-seexatamente 50% de CIs comρ <50% e 50% com

ρ>50%;

(37)

22

de Poisson de m´edia 320 e;

• A mutação é feita emexatamentembits de cada AC resultante do cruzamento. O valor

pmpode ser inferido a partir dem.

Os parˆametros utilizados foram: P=100, I=100,B=104,E=20,G=100, pc=80%,

m=2 (o equivalente a pm=1.5625%) eL=149. Os resultados de 300 execuc¸˜oes distintas do

AG, podem ser vistos na Figura 3.11, e as 100 iterac¸˜oes da pior e da melhor regra encontradas

pelo AG, podem ser vistas respectivamente, nas Figuras 3.12a e 3.12b; o f dos melhores

in-div´ıduos de cada geraçãogdo AG, nas execuções responsáveis por encontrar a pior e a melhor

regra s˜ao mostrados nas Figuras 3.12c e 3.12d respectivamente.

Ambas as regras conseguiram executar a DCT para a CI com sucesso, por´em a regra de pior

performance se encontra na classificac¸˜ao “default”de [CRUTCHFIELD; MITCHELL; DAS,

2002], o que significa que ela consegue executar a classificac¸˜ao de forma correta, apenas para

CIs com ρ >50%. A evolução do f durante o AG, da melhor regra, está de acordo com o

trabalho original, onde é poss´ıvel verificar as diferentes “épocas”do AG (cada época é

carac-terizada por um salto no f dos ACs encontrados) [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER,

(38)

(39)

24

340 282 160 439 462 956 348 565 670 998 868 812 008

uti-lizando o MCH.

333 552 500 509 258 600 421 908 018 833 288 856 200

uti-lizando o MCH.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

do AG.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

do AG.

Figura 3.12: Detalhamento das regras do MCH.

O tempo total de execução para as 300 execuções distintas do AG foi de 3 horas e 26

minutos. Dessas 300 execuções, 17 estão abaixo de 60% de performance, 204 entre 60.01% e

70% e 79 regras acima de 70.01%.

´

E importante apontar que das alterações apresentadas, a mais significativa é a utilização de

um número aleatório com distribuição de Poisson para a quantidade de iterações de cada AC,

pois isso diminui a possibilidade de se encontrar regras com ciclo duplo, isto ´e, ACs com a

caracter´ıstica de comportamento c´ıclico de per´ıodo 2 que, portanto, n˜ao convergem para um

único estado homogêneo; a propósito, este é o caso da melhor regra encontrada pelo CMD,

conforme ilustrado na Figura 3.10b.

Tamb´em foi demonstrado em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994] que

(40)

3.2.3 OOO

Em [OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001], foram estudadas as caracter´ısticas intr´ınsecas

dos ACs encontrados pelo MCH; como por exemplo o ρ de cada regra e a sensitividade `a

vizinhança, dentre outros parâmetros. Em nossas execuções não estamos estudando esses

parˆametros, apenas os resultados do AG utilizado.

Os parˆametros do AG utilizados foram: P=100,I=100,B=104,E=20,G=100, pc=

80%, pm=2% e L=149. Diferentemente do AG original, a forma de mutac¸˜ao utilizada em

[OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001] é feita com probabilidadepmem cada bit, a utilização

de pm =2% garante m≈2. A quantidade de iterações de cada AC também é dada por um

número variável de vezes [OLIVEIRA; OLIVEIRA; OMAR, 2001]; porém a distribuição de

probabilidade, utilizada para se encontrar o número para definir o tempo total de iterações de

cada AC, não é especificada no artigo original. Dessa forma, aqui também utiliza-se a mesma

distribuição do MCH (distribuição de Poisson), com média 298.

A eficácia da melhor regra encontrada em 300 execuções distintas pode ser vista na Figura 3.13,

e 100 iterac¸˜oes da pior e melhor regras encontradas pelo AG podem ser vistas nas Figuras 3.14a

e 3.14b, respectivamente. O f das melhores regras encontrados, em cada geraçãognas execuções

respons´aveis por encontrar a pior e melhor regra do AG, s˜ao mostrados nas Figuras 3.14c e

3.14d respectivamente. O tempo total de execuc¸˜ao do AG para encontrar as 300 regras foi de

3 horas e 44 minutos; dessas 300 execuc¸˜oes, 39 possuem performance menor que 60%, 220

(41)

26

(42)

277 910 614 967 827 334 053 006 880 536 310 901 760

uti-lizando o OOO.

338 516 985 978 337 537 125 333 578 344 457 831 424

uti-lizando o OOO.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

do AG.

0 20 40 60 80 100Geração 0 20 40 60 80 100 Fitness

do AG.

Figura 3.14: Detalhamento das regras do OOO.

3.2.4 Resultados

Na Figura 3.15, temos a plotagem do resultado de 300 execuções distintas dos AGs. É

poss´ıvel perceber que os melhores resultados est˜ao no OOO e MCH, esses AGs apresentam uma

faixa de performance m´edia entre 65% e 70%, e poucos resultados abaixo de 50%. Por sua vez o

CMD apresenta piores resultados, com uma m´edia de aproximadamente 60% e v´arios resultados

entre 35% e 50%. Na Tabela 3.4 podemos ver uma contagem dos resultados para algumas faixas

de performance espec´ıficas, fica claro por essa tabela que os melhores AGs realmente s˜ao OOO

e MCH, uma vez que eles s˜ao extremamente parecidos fica dif´ıcil especificar qual AG ´e o

melhor de todos. A Tabela 3.5 por sua vez, mostra as diferenc¸as entre os parˆametros nos AGs

(43)

28

Figura 3.15: Gráfico comparativo com os 3 AGs em 300 execuções distintas, sem a utilização da representação ternária.

fi(%) OOO MCH CMD

≤50 33 16 60

(50,60] 6 1 61

(60,70] 220 204 175

(70,80] 40 79 4

>80 1 0 0

Tabela 3.4: Contagem das regras encontradas pelos 3 AGs estudados.

AG P E pc pm m L B T

CMD 100 20 100% 1.1516% ≈2 149 104 298

MCH 100 20 80% 1.5626% 2 149 104 ≈320

OOO 100 20 80% 2% ≈2 149 104 ≈298

(44)

3.3 O Problema da Paridade

O Problema da Paridade (PP) é muito parecido com a DCT, e também é considerado um

teste padr˜ao para algoritmos evolutivos. Ele consiste em encontrar uma regraδ, que consiga

em no máximoT iterações encontrar um estado homogêneo de 0s caso a quantidade de 1s na

CI seja par, ou 1s caso a quantidade seja ´ımpar; para qualquer CI. De acordo com [LEE; XU;

CHAU, 2001] este problema ´e considerado muito mais complexo de ser resolvido do que a

DCT, pois basta trocar um bit em qualquer iteração para alterar a sa´ıda final desejada, porém

em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008] o oposto ´e provado.

O mesmo algoritmo utilizado em [WOLZ; OLIVEIRA, 2008] para a DCT, foi utilizado

para o PP. Foram encontrados ´otimos resultados para CIs de tamanho ´ımpar e CIs de tamanho

primo, porém para CIs de tamanho par o mesmo não é verdade. Boas regras encontradas para

CIs pequenas de tamanho par, n˜ao conseguem resolver CIs maiores, apresentando resultados

muito pequenos (≤ 52%). O motivo dessas caracter´ısticas ainda ´e uma quest˜ao em aberto

[WOLZ; OLIVEIRA, 2008].

Para verificar se a representação ternária é capaz de auxiliar no processo evolutivo para o

PP, foram escolhidos dois dos AGs utilizados para a DCT onde a única alteração feita foi a

função que calcula a adaptação da regra (fitness). O cálculo da adaptação considera apenas

CIs que, caso apresentem um número par de 1s, após no máximoT iterações do AC encontre

um reticulado homogêneo de células no estado 0, ou 1 caso a CI tenha um número ´ımpar de

1s; todas as outras caracter´ısticas dos AGs permanecem inalteradas. Os AGs escolhidos foram

MCH e CMD; OOO n˜ao foi escolhido devido a sua enorme similaridade com MCH.

3.3.1 Resultados

As Figuras 3.16a e 3.16b, apresentam os resultados de 300 execuc¸˜oes distintas para o MCH

e CMD aplicado no PP, respectivamente. ´E poss´ıvel verificar que esses AGs n˜ao apresentam

bons resultados para o PP, sendo poss´ıvel inclusive afirmar que MCH apresenta resultados

pi-ores, pois est˜ao na faixa entre 45% e 50%, enquanto os resultados do CMD est˜ao na faixa de

50%. Esses resultados indicam que, tanto CMD quanto MCH est˜ao encontrando ACs altamente

especializados em CIs com um número par de 1soucom um número ´ımpar de 1s, porém nunca

(45)

30

n´umero par e um n´umero ´ımpar de 1s, que a melhor regra encontrada classificou corretamente,

para MCH e CMD respectivamente; o único AG que teve execuções capazes de encontrar ambos

os casos, foi o CMD. Essa caracter´ıstica ´e encontrada em regras de comportamento dinˆamico

classificado como “nulo”; em que a regra não é capaz de efetuar uma computação e leva

rap-idamente a um estado homogˆeneo [LI; PACKARD, 1990], o mesmo comportamento de ACs

(46)

(a) 300 execuc¸˜oes distintas do MCH para o PP.

(b) 300 execuc¸˜oes distintas do CMD para o PP.

(47)

32

(a) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas do MCH para o PP.

(b) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas do CMD para o PP.

(48)

4 Alterac¸˜ao nos AGs

Para alterar os AGs foi preciso se atentar a 3 detalhes principais: (i) a criação da população

inicial, (ii) a utilização dos operadores genéticos, e (iii) a tradução de um conjunto de moldes

para uma regra binária de AC. Essas três alterações permaneceram em todos os AGs testados e

´e baseada de acordo com [STONE; BULL, 2009].

Para se manterρ na população inicial de forma uniforme, para cada indiv´ıduo da população

Pé escolhido um númeromd em uma distribuição uniforme (0<md<MDmax),md é a

quan-tidade de moldes que esse indiv´ıduo possuir´a; al´em disso, cada bit do molde possui uma

prob-abilidadep#de ser um s´ımbolo #, essa probabilidade ´e um n´umero escolhido para garantir que

≈2 bits por molde sejam o s´ımbolo #. Criando os indiv´ıduos dessa forma, ´e poss´ıvel garantir

o mesmo comportamento dos outros AGs para a populac¸˜ao inicial, ou seja, ao efetuarmos a

tradução dos moldes para uma regra binária, encontramosρ ≈50% nos indiv´ıduos com maior

F entre a populac¸˜ao [STONE; BULL, 2009]. Em nossos estudos utilizamosMDmax=9,

inspi-rados no trabalho original em [STONE; BULL, 2009].

Foram testadas duas formas diferentes de orientações, a orientação única e a orientação

dupla, demonstradas respectivamente, pelos subscritos u e d na nomenclatura dos AGs. Na

orientação única,todos os indiv´ıduos são criados com a mesma orientação; em nossos testes

fixamos para a orientação 1, porém poderia ter sido feita analogamente para a orientação 0.

já na orientação dupla utilizada em [STONE; BULL, 2009], os indiv´ıduos recebem de forma

aleatória uma orientação inicial, 1 ou 0, e permanecem com a mesma até o final do AG.

O cruzamento ´e efetuado de acordo com [STONE; BULL, 2009]: caso md >0 nos dois

pais selecionados, é escolhido 1 molde de cada pai para serem trocados. Já a mutação pode

ser efetuada em cada bit de cada molde, o bit selecionado para sofrer a mutação, terá 50% de

(49)

34

O processo de traduc¸˜ao de um conjunto de moldes, para uma regra binomial, funciona

criando-se inicialmente uma LUT com a orientac¸˜ao de cada η poss´ıvel para o complemento

da orientação encontrada no indiv´ıduo, busca-se então nessa LUT as vizinhançasη

represen-tadas por cada molde, para essas vizinhanças atribui-se a orientação original; o resultado dessas

orientações é a regra binomial equivalente. Apesar de esse processo ser simples, ele é executado

apenas no final dos algoritmos, pois dessa forma ´e poss´ıvel explorar os ganhos de performance

e memória que a utilização desses moldes nos traz.

Para a execução dos AGs, e validação dos resultados comparados aos resultados dos AGs

originais, os mesmos parâmetros foram mantidos, assim como a criação das CIs.

4.1 Resultados para a DCT

Os resultados de 300 execuções distintas do CMD, MCH e OOO com a representação

ternária e ambas orientações, podem ser vistos nas Figuras 4.1a e 4.1b para o CMD, 4.2a e

4.2b para o MCH, e 4.3a e 4.3b para o OOO, respectivamente para as orientações única e dupla.

Já nas Figuras 4.1c, 4.2c e 4.3c é poss´ıvel perceber as diferenças entre os resultados com e sem

a representação ternária para os mesmos AGs. O tempo de execução total de cada AG pode ser

visto na Tabela 4.1.

Orientac¸˜ao/AG CMD MCH OOO

Orientação única 2 horas e 1 minuto 6 horas e 9 minutos 4 horas e 36 minutos

Orientac¸˜ao dupla 4 horas e 50 minutos 4 horas e 26 minutos 2 horas e 58 minutos

(50)

(a) 300 execuções distintas doCMDu. (b) 300 execuções distintas doCMDd.

(c) Comparativo do CMD com e sem a utilização da representação ternária.

(51)

36

(a) 300 execuções distintas doMCHu. (b) 300 execuções distintas doMCHd.

(c) Comparativo do MCH com e sem a utilização da representação ternária.

(52)

(a) 300 execuções distintas doOOOu. (b) 300 execuções distintas doOOOd.

(c) Comparativo do OOO com e sem a utilização da representação ternária.

Figura 4.3: Execuções utilizando a representação ternária do OOO.

Nas Tabelas 4.2 e 4.3, ´e poss´ıvel ver os resultados quantificados nas mesmas faixas de

performances apresentadas anteriormente na Tabela 3.4, para os AGs com orientação única

e dupla respectivamente. É poss´ıvel verificar claramente que a representação única traz os

melhores resultados para todos os AGs; sendo que de todos os AGs testados, MCHu tem o

melhor resultado encontrado.

´

(53)

38

6971337806416870490831360 (a nomenclatura das regras é efetuada de acordo com a representação

decimal da LUT, conforme explicado no Cap´ıtulo 3) ´eexatamentea regra GKL, regra essa que

o AG original apresentado em [MITCHELL; CRUTCHFIELD; HRABER, 1994] tenta

encon-trar, porém não é capaz. Com a utilização da representação ternária e orientação única, isso foi

poss´ıvel.

fi(%) OOOu MCHu CMDu

≤50 94 3 129

(50,60] 17 0 32

(60,70] 163 273 134

(70,80] 23 19 3

>80 3 5 2

Tabela 4.2: Contagem das regras encontradas pelos 3 AGs estudados com a representação ternária o orientação única.

fi(%) OOOd MCHd CMDd

≤50 179 153 184

(50,60] 16 19 15

(60,70] 98 127 97

(70,80] 5 1 4

>80 2 0 0

Tabela 4.3: Contagem das regras encontradas pelos 3 AGs estudados com a representação ternária o orientação dupla.

4.2 Resultados para o PP

As Figuras 4.4a, 4.4b, 4.5a e 4.5b, mostram os resultados para MCHu, MCHd, CMDu,

CMDd respectivamente para o PP. Por sua vez, as Figuras 4.6a, 4.6b, 4.7a e 4.7b, mostram a

quantidade de classificações corretas para CIs com um número ´ımpar e par de 1s, paraMCHu,

(54)

(a) 300 execuc¸˜oes distintas doMCHupara o PP.

(b) 300 execuc¸˜oes distintas doMCHdpara o PP.

(55)

40

(a) 300 execuc¸˜oes distintas doCMDupara o PP.

(b) 300 execuc¸˜oes distintas doCMDdpara o PP.

(56)

(a) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas doMCHupara o PP.

(b) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas doMCHdpara o PP.

(57)

42

(a) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas doCMDupara o PP.

(b) Detalhamento de 300 execuc¸˜oes distintas doCMDdpara o PP.

(58)

´

E poss´ıvel verificar, que apesar da representação ternária não apresentar um ganho na

performance final dos AGs para o PP, algumas das regras encontradas com a utilizac¸˜ao da

representação ternária, são capazes de identificar CIs tanto com um número par e quanto com

um número ´ımpar de 1s. Essas regras já não pertencem mais à classe de regras “nulas”, pois

elas são capazes de efetuar uma computação um pouco mais complexa [LI; PACKARD, 1990].