departamento de física teórica e experimental
programa de pós-graduação em física
SIMETRIA DE INVARIÂNCIA DE ESCALA
DISCRETA, LOG-PERIODICIDADE E
SINGULARIDADES EM TEMPO FINITO
CYNTIA VANESSA HENRIQUE BEZERRA DE SANTANA
SIMETRIA DE INVARIÂNCIA DE ESCALA
DISCRETA, LOG-PERIODICIDADE E
SINGULARIDADES EM TEMPO FINITO
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica
e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de mes-tre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi Mohan
Natal, 1º de março de 2013
Agradeço ao professor Gandhi pela contribuição neste trabalho e por sempre inspirar motivação para minha vida profissional e pessoal.
Agradeço também aos amigos que estiveram comigo ao longo desta jornada (e desde antes deste trabalho) Aline, Gislene, Samuraí, Tiago, Thiago Rafael, Thiago Crisóstomo, Tiago César, André, Amanda e Gabrielle, por terem contribuído direta ou indiretamente para o meu sucesso profissional e pessoal.
Agradeço à minha família, Grace e Luís, por me apoiarem sempre que foi/é preciso.
Finalmente, ao professor Luciano, pelo apoio desde minha graduação, e ao CNPq, pelo apoio financeiro concedido.
Venho apresentar uma revisão e análise do tema de simetria de invariância de escala discreta. O assunto vem sendo estudado nas últimas décadas, pois é uma propriedade matemática que se descobriu estar presente em diversos sistemas: físicos, econômicos, sociais etc. Primeira-mente, é feita uma revisão dos conceitos de simetria de invariância de escala, de singularidades e de log-periodicidade, mostrando como tais conceitos se relacionam. Venho também discutir a relevância prática destes, como em casos de previsão de terremotos violentos e de previsão de quebras em mercados financeiros. Finalmente, apresento os resultados de uma análise preliminar de dados da bolsa de valores BOVESPA, no contexto da crise financeira global de 2008.
I present a review and analysis of discrete scale invariance symmetry. The topic has been studied in the recent decades because it is a mathematical property that was found to be present in diverse systems: physical, economic, social etc. First, I review the concepts of scale invariance symmetry, of singularities and of log-periodicity, showing how these concepts inter-relate. I also discuss their practical relevance, such as for prediction of violent earthquakes and for prediction of financial markets crashes. Finally, I present the results of a preliminary analysis of data from the BOVESPA stock exchange, in the context of the global financial crisis of 2008.
Agradecimentos iii
Resumo iv
Abstract v
1 Introdução 1
2 Simetria e as leis da Física 3
2.1 Conservação dos observáveis físicos . . . 3
2.2 Teorema de Noether . . . 5
2.3 Simetria de invariância de escala . . . 9
2.4 Fractais e leis de potência . . . 11
3 Invariância de escala discreta 24 3.1 Comparação com invariância de escala contínua . . . 24
3.2 Expoentes de escala reais e complexos . . . 25
3.3 Log-periodicidade . . . 27
4 Singularidades em Matemática e Física 31 4.1 Tipos de singularidade . . . 31
4.4 Pontos críticos como singularidades . . . 36
4.5 Criticalidade auto-organizada . . . 37
4.6 Criticalidade em terremotos, rupturas e quebras de bolsas . . . 39
5 Precursores log-periódicos em fenômenos críticos 42 5.1 Precursores log-periódicos em fratura . . . 42
5.2 Precursores log-periódicos em terremotos . . . 44
5.3 Precursores log-periódicos em partos . . . 44
5.4 A dificuldade de estimar o tempo crítico . . . 45
6 Resultados 47 6.1 Quebra na bolsa de valores BOVESPA em 2008 . . . 47
6.2 Análise dos dados . . . 48
7 Conclusão 52 7.1 Conclusão e discussão . . . 52
7.2 Perspectivas . . . 53
Referências 56
2.1 Emmy Noether . . . 5
2.2 Conjunto de Mandelbrot . . . 13
2.3 Conjunto de Cantor . . . 14
2.4 Fractal construído com DLA . . . 15
2.5 Uma árvore . . . 16
2.6 Uma rede aluvial . . . 17
2.7 Broccoli Romanesco . . . 18
2.8 Uma descarga elétrica . . . 19
2.9 Gráfico da lei de potência f(x) = x−1,5 . . . 21
2.10 Gráfico da lei de potência f(x) = x−1,5 em escala logarítmica . . . 22
3.1 Gráfico da função log-periódica f(x) = cos(30 ln(10−x)). . . 28
3.2 Gráfico da função log-periódica f(y) = cos(30y), em quey= ln(10−x). . . . 29
4.1 Gráfico da função f(t) =t2 . . . . 34
4.2 Gráfico da função f(t) = (4−t)−1,2 . . . 36
5.1 Gráfico da energia versus pressão em rupturas . . . 43
6.1 Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo . . . 48
6.2 Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo e os ajustes correspondentes 50
2.1 Simetrias e conservações. . . 5
6.1 Parâmetros de ajustes para a função (6.1) e para a função (6.2) . . . 49
Introdução
Fenômenos que carregam consigo grande poder de destruição sempre costumam cha-mar a atenção das pessoas ao redor do mundo, justamente pelo poder que eles têm de afetar drasticamente a vida das pessoas. Exemplos são os terremotos de grande magnitude (e, se for o caso, os tsunamis decorrentes, como o que aconteceu no Japão em 2011, que matou mais de 15 mil pessoas1
), as crises financeiras (como a crise mundial de 2008, que levou à falência empresas americanas2
), dentre outros fenômenos cooperativos e globais.
Tais desastres surgem de sistemas que possuem uma natureza complexa, pois a evo-lução destes sistemas ao longo do tempo não é passível de explicação satisfatória, quando somente se analisa seus constituintes isoladamente. O comportamento coletivo coerente que aparece quando estes fenômenos críticos se instalam é algo misterioso, no sentido de que não se sabe até que ponto pode chegar a uma catástrofe, uma vez que ela foi iniciada.
Contudo, parece válido tentar entender estes sistemas aparentemente imprevisíveis, pois entender seus mecanismos subjacentes e poder fazer predições, por mais difícil que sejam, podem ajudar a minimizar os danos provocados pelos eventos catastróficos. De fato, isto já vem sendo feito nas últimas décadas, por cientistas em todo o mundo. Áreas de estudo da Física como Transições de Fase e Sistemas Complexos, desde suas concepções, têm contribuído para uma melhor compreensão destes eventos críticos.
Mais especificamente, é crescente o número de trabalhos que retratam eventos
ca-1
http://veja.abril.com.br/tema/tsunami-no-japao
2
http://topicos.estadao.com.br/crise-2008
tastróficos como pontos críticos ou pontos singulares de funções que, teoricamente, regem a dinâmica de sistemas, como uma rede de falhas geológicas ou como o mercado financeiro, dentre outros sistemas complexos. Na vizinhança dos pontos críticos, estes sistemas apresen-tam estruturas auto-semelhantes ou estruturas auto-afins, o que evidencia a maneira peculiar como seus constituintes se organizam. Este tipo de organização, por sua vez, elucida propri-edades matemáticas interessantes, como a simetria de invariância de escala, que em termos coloquiais, significa que o sistema parece o mesmo independente da distância que se olha para ele.
Reunindo todos os conceitos mencionados acima e também outros, vários cientistas criaram modelos para simular a dinâmica destes eventos críticos. Alguns deles afirmam que os fenômenos catastróficos não só podem ser explicados razoavelmente como também previstos, sendo D. Sornette o mais ativo desta vertente (ver referência [1]). E, embora vários estudiosos estejam trabalhando no sentido de verificar tal afirmação, ainda não há um resultado consensual sobre sua veracidade.
Simetria e as leis da Física
Este capítulo trata de simetria e de invariância de propriedades de sistemas físicos. Primeiramente, será feita uma breve revisão das relações, descobertas até então, entre si-metria e conservação de quantidades físicas, os chamados princípios de conservação. Em seguida, será visto que estas relações são decorrentes do Teorema de Noether, um teorema que afirma que uma simetria sempre está associada a uma quantidade conservada. Um caso especial de simetria será tratado na seção subsequente, a simetria de invariância de escala, que carrega consigo conceitos próprios, como auto-semelhança e auto-afinidade, que serão devidamente discutidos. Por fim, serão analisados os objetos fractais, que apresentam a si-metria de invariância de escala; será feita uma breve explanação sobre suas formas e sobre as relações matemáticas que os definem.
2.1
Conservação dos observáveis físicos
Nas Ciências Naturais, os conceitos mais marcantes e norteadores que existem são aqueles relacionados à conservação de alguma quantidade, pois o conhecimento sobre as quantidades que são invariantes em processos físicos auxilia no estudo da dinâmica desses processos. A descoberta e compreensão dessas situações onde há conservação de alguma quantidade física é fundamental inclusive para definir propriedades e variáveis, que parecem intuitivas, como aconteceu com o conceito de calor, que até o século XIX não tinha definição
tão consistente e só ficou melhor definido à medida que estudos foram feitos a cerca da conservação do que hoje se chama energia.
As leis de conservação, também conhecidas como princípios de conservação, defi-nem sob quais circunstâncias certa quantidade se conserva. Algumas das leis de conservação conhecidas até os dias atuais são: conservação da energia, conservação do momento linear, conservação do momento angular e conservação da carga, dentre outras. A seguir são enun-ciadas algumas dessas leis de conservação:
• conservação do momento linear: “O momento total de um sistema isolado de partículas é constante: P~ =P
~
pi =p~1+p~2+p~3+· · ·=const.”([2], p. 86), em que p~i é o momento
linear de cada partícula e P~ o momento linear total do sistema;
• conservação do momento angular: “Se nenhum torque externo atua no sistema de par-tículas, o momento angular permanece constante.”([3], 18-4);
• conservação da carga elétrica: “Em qualquer processo que ocorra no universo, a quan-tidade total de carga elétrica deve permanecer constante.”([2], p. 582);
• conservação da energia1
: “Quando a força é conservativa2
, a energia totalE da partícula permanece constante”([2], p. 142), tal que E =Ec +Ep, (Ec é energia cinética e Ep é
energia potencial), e de maneira mais geral: “a soma da energia cinética com a energia potencial interna, ou energia própria, de um sistema de partículas isolado permanece constante em relação a um observador inercial”([2], p. 277).
Além das leis de conservação descritas acima, também existem aquelas que surgiram somente após o advento da Mecânica Quântica; podem ser chamadas de leis de conservação quanto-mecânicas. Um exemplo é a lei de conservação da paridade, que está relacionada à invariância da paridade diante de uma reversão de todas as coordenadas no espaço (a paridade pode ser par ou ímpar; se após a reversão a função de onda permanecer com o mesmo sinal, a paridade é par, senão, é ímpar). As leis de conservação já conhecidas antes da Mecânica Quântica também têm suas equivalências nessa área; por exemplo, a conservação da carga elétrica está relacionada a uma mudança de fase na função de onda das partículas.
1
Vale ressaltar que este enunciado se refere ao contexto da Mecânica Clássica, no qual existe a conservação da energia mecânica. Já no contexto relativísitco a conservação da energia torna-se conservação da massa-energia.
2
O que é notável, e comum às leis de conservação, é que a conservação de uma quantidade sempre está relacionada a uma transformação simétrica de outra variável. No caso da conservação da energia, não importa qual transformação energética ocorra num sistema isolado, isto é, não importa se aconteceu transformação de um tipo de energia em outro tipo em um determinado instante ou em outro instante posterior ou anterior, a energia total medida em cada instante é a mesma. A seguir, uma tabela resumindo a relação entre algumas simetrias e leis de conservação.
Tabela 2.1: Simetrias e conservações.
Operações de simetria Quantidade conservada Translação no espaço Momento linear
Rotação por um ângulo fixo Momento angular Translação no tempo Energia
Reversão de coordenadas no espaço Paridade
2.2
Teorema de Noether
O Teorema de Noether, bastante celebrado entre os físicos, tem seu nome em home-nagem à matemática alemã Emmy Noether (1882 - 1935, foto na figura 2.1). Dada a grande relevância deste teorema para a Física e para a Matemática, cabe aqui devida apresentação de sua autora, como segue abaixo.
Emmy Noether era filha do notório matemático, e professor da Universidade de Erlangen (Alemanha), Max Noether (1844 - 1921), que atualmente costuma ser conhecido como o “pai de Emmy Noether”, dada a grande contribuição que ela deu à Matemática. Porém antes disso, Emmy Noether, em sua adolescência, estudou línguas (Alemão, Francês e Inglês), Aritmética e piano, e mais tarde adquiriu certificados para lecionar Francês e Inglês nas escolas para garotas, mas ela escolheu, por fim, estudar Matemática (em 1900).
Contudo, por causa das convenções sociais vigentes que minavam o estudo das Ci-ências por parte das mulheres naquele época, Emmy Noether só pôde começar seus estudos em universidade como ouvinte; somente após alguns anos, em 1904, que pôde se matricular, na Universidade de Erlangen (após ter sido aceita na Universidade de Göttingen, em 1903). Conseguiu obter seu doutorado em 1907, mas não pôde lecionar em universidades alemãs; ela continuou sua pesquisa por si própria e cuidou de seu pai. A partir daí, Emmy Noether publicou vários trabalhos que a tornaram bastante conhecida no meio acadêmico; tornou-se membro de sociedades de matemáticos e lecionou, em 1913, em Viena. Mesmo assim, ainda não era permitido oficialmente mulheres serem professoras nas universidades alemãs; em 1915 retornou a Göttingen, e enquanto os matemáticos e professores David Hilbert (1862 - 1943) e Felix Klein (1849 - 1925) intercediam para que ela pudesse lecionar na Universidade de Göttingen, ela trabalhou por alguns semestres sem ser remunerada assumindo as turmas que estavam sob a supervisão de David Hilbert; nessa época, ela publicou seu trabalho mais conhecido, o que contém o Teorema de Noether. Após esse trabalho, Emmy Noether se dedi-cou à Álgebra, e deu contribuições significativas à área atualmente conhecida como Álgebra Abstrata ou Álgebra Moderna.
após uma cirurgia de retirada de um tumor uterino (Informações disponíveis em [4] e [6]).
Como citado anteriormente, em 1918, Emmy Noether publicou um artigo no qual provou dois teoremas, por um dos quais ela obteve grande reconhecimento, especialmente por parte dos físicos. Neste artigo, “Invariante Variationsprobleme” (Nachrichten von der Köni-gliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 235-257, 1918), Noether, utilizando Cálculo Variacional e o formalismo de Teoria de Grupos, demonstra que se a integralI, que
os físicos reconhecem como a integral da ação3 é invariante sob transformações infinitesimais
dos parâmetros de um grupo, existe uma quantidade que permanece constante, isto é, se conserva. De fato, Noether afirmou isso de maneira mais geral (e não no formalismo da Mecânica Lagrangeana):
Se a integral I é invariante com respeito a um Gρ, então ρ combinações
independen-tes das expressões de Lagrange se tornam divergências — e disso, reciprocamente, a
invariância de I com respeito a Gse segue. O teorema vale inclusive no caso limite de
infinitos parâmetros.([5], p. 188)
Noether também provou nesse artigo uma afirmação de Hilbert sobre “a conexão da falha das leis de conservação da energia adequada à ‘relatividade geral’ ” ([5], p. 201).
Em termos da Mecânica Lagrangeana, o teorema de Noether pode ser expressado da maneira a seguir4
. Seja S a integral da ação de um sistema. Supondo que essa integral
é invariante quando o sistema passa pelas seguintes transformações infinitesimais nas suas coordenadas generalizadas
t→t′
=t+ǫX(q(t), t) (2.1)
qi(t)→q
′
i(t
′
) = qi(t) +ǫΨi(q(t), t) (2.2)
em queX eΨi são funções reais conhecidas eǫum parâmetro infinitesimal arbitrário
5
, então
∆S = 0. Seja S′ a integral da ação após as transformações acima. Então:
Z t′2
t′1
L(q′
, dq′
/dt′
, t′
)dt′
−
Z t2
t1
L(q,q, t˙ )dt = 0 (2.3)
Reescrevendo a açãoS′ em função das coordenadas não-transformadas, isto é, em função de
3 S =Rt2
t1 L(q,q, t˙ )dt, em queL(q,q, t˙ )é a lagrangeana do sistema considerado.
4
Para uma abordagem mais abrangente da demonstração acima, consultar a referência [7]. 5
q(t), t e suas derivadas, tem-se:
Z t2
t1
L(q+ǫΨ,q˙+ǫξ, t+ǫX)(1 +ǫX˙)dt′
−
Z t2
t1
L(q,q, t˙ )dt= 0 (2.4) com ξi = ˙Ψi −q˙iX˙. Após expandir em série de Taylor a lagrangeana com as coordenadas
transformadas e escrevert′ em função de
t como variável de integração, excluindo os termos de ordem maior do que 1 emǫ, tem-se que
n X i=1 Ψi ∂L ∂qi
+ ( ˙Ψi−q˙iX˙)
∂L ∂q˙i
+LX˙ + ∂L
∂tX = 0 (2.5)
que utilizando a equação de Lagrange e as propriedades da função energia h6 torna-se
d dt n X i=1 Ψi ∂L ∂q˙i −
hX
= 0 (2.6)
Com isso, a quantidade que é conservada sob as transformações (2.1) e (2.2) é:
n
X
i=1
∂L ∂q˙i
( ˙qiX−Ψ˙i)−LX = constante (2.7)
O teorema de Noether também é válido quando a integral da ação é quase-invariante, isto é, quando a variação da integral da ação é uma integral de uma derivada total de uma função das coordenadasq e t, G=G(q, t); neste caso, a quantidade conservada é:
n
X
i=1
∂L ∂q˙i
( ˙qiX−Ψ˙i)−LX+G= constante (2.8)
Para a Física, a principal implicação desse teorema é: sempre que a lagrangeana de um sistema for invariante sob transformação de uma coordenada, uma quantidade física é conservada. Dependendo da coordenada generalizada que é transformada e não altera a lagrangeana, certa lei de conservação surge. Por exemplo, se a lagrangeana não depende ex-plicitamente da coordenada generalizadaq (chamada de cíclica) eq sofre uma transformação
a lagrangeana não é alterada e a quantidade conservada sob a transformação é o momento
6 h= n P i=1 ˙ qi ∂L ∂q˙i −
conjugado p; se a lagrangeana é invariante por um deslocamento no tempo, a energia é
conservada.
Em suma, todas as leis de conservação que foram observadas empiricamente ao longo da história da ciência até a publicação do artigo de Noether podem ser obtidas através do teorema de Noether. Desde então, esse teorema é utilizado como “guia” para a descoberta de novas quantidades que se conservam.
O teorema de Noether mostra que a simetria das equações de Lagrange resulta na conservação de uma variável física, como exemplificado na seção anterior: uma simetria no espaço resulta na conservação do momento linear, uma simetria temporal resulta na conservação da energia, uma simetria rotacional resulta na conservação do momento angular, e assim por diante.
2.3
Simetria de invariância de escala
De acordo com o teorema de Noether exposto anteriormente, sempre que houver uma simetria, isto é, sempre que alguma quantidade ou equação for invariante quando ocorre uma transformação sobre ela, espera-se que outro parâmetro seja conservado. Um outro interes-sante tipo de simetria, e que será mais explorada neste trabalho, é a simetria de invariância de escala, que no entanto não está relacionado ao teorema de Noether7, pois a integral da ação
dos sistemas físicos não permanece invariante quando se faz uma transformação de escala, isto é, quando se muda a dimensão das variáveis físicas.
Escala é uma palavra com diferentes significados, mas o significado mais usual em Ciências Naturais e Matemática é aquele relacionado a quantidade de tempo e de espaço: é uma razão entre um tamanho típico (de um objeto, ou de um evento) e outro tamanho qualquer. Por exemplo, uma escala de um mapa geográfico é a razão entre uma distância (centímetro, milímetro etc.) no desenho e o seu correspondente tamanho na realidade. Por-tanto, uma transformação de escala consiste em alterar o valor dessa razão entre tamanhos; numa equação, quando se multiplica uma variável por uma fração, diz-se que houve uma transformação de escala dessa variável. Nesse contexto, “falando sobre um objeto (material
7
ou matemático), invariância de escala se refere à sua invariância sobre mudanças de escalas de observação” ([8], p. 148), ou seja, um objeto ou evento que sofre uma transformação de escala é invariante de escala se ele se parece o mesmo depois de transformado.
O objeto invariante de escala pode ser uma equação, uma quantidade física etc. A invariância de escala também pode se referir a objetos geométricos chamados fractais (que serão mais detalhados na seção seguinte) e a funções analíticas, como a Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) ou a função de correlação. Para objetos materiais e objetos fractais, o que se conserva sob uma transformação de escala, isto é, quando são observados por diferentes escalas, é a forma do objeto. Uma quantidade, para ser conservada quando passa por uma transformação de escala, que pode ser vista como uma mudança de unidade de medida, deve ser adimensional, isto é, não deve possuir uma unidade de medida que a defina. Com isso, as equações da Física, para serem invariantes de escala, deveriam ser adimensionais, mas isso não acontece.
A característica mais perceptível em fractais é a de que, se se tomar uma parte do fractal e aumentá-la até o tamanho do fractal, as duas estruturas, parte e o todo, se tornam indistinguíveis. Esta característica, de se parecer o mesmo sob todas as escalas, é chamada de auto-semelhança ou auto-similaridade. Pode acontecer de o fractal não ser auto-similar, mas ser auto-afim. Uma transformação afim é aquela que mapeia pontos de uma figura em outro espaço através de uma função afim, ou seja, através de uma função com a formaP’=AP+B,
em que A é a matriz de transformação dos pontos (x, y, z) em (x′
, y′
, z′
), B é uma matriz coluna de coeficientes lineares eP’ é o ponto Pdepois de transformado. São transformações afins: translação, rotação, escalamento (mudança de escala), cisalhamento e espelhamento ([11]). O que se chama auto-afinidade é um escalamento, em que a matriz de transformação tem elementos diferentes para transformar x e y em x′ e
y′ (no caso bidimensional) e após
essa transformação o conjunto de pontos parece inalterado (no caso da auto-similaridade, os elementos da matriz de transformação são iguais para transformar x e y). A expressão matemática para auto-afinidade é:
h(x)≃b−α
h(bx) (2.9)
em queα (ou H, em alguns textos) é o chamado expoente de Hölder ou expoente auto-afim ([12], p. 47). Isso significa que reescalando a coordenada x por um fator b (x → bx), para que o fractal seja idêntico à sua versão não reescalada, a coordenaday (que é h(x)) tem que
2.4
Fractais e leis de potência
Como mencionado anteriormente, existem objetos matemáticos que se comportam da mesma maneira sob diversas escalas de observação, isto é, têm simetria de invariância de escala. Tais objetos são chamados fractais. A origem do uso desse termo data de 1975 quando o matemático (polonês e) francês Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)8
descreveu tais objetos no ensaio chamado “Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension”9
Dimension". Um fractal é um objeto cuja relação entre sua massa (aqui definida como quantidade de espaço que o fractal ocupa) e seu tamanho linear10é definida por uma dimensão não necessariamente
inteira, conhecida como dimensão fractal. A título de comparação, objetos regulares, os quais são bem definidos utilizando a geometria euclidiana (fractais não o são), são retas, retângulos, cubos (e quaisquer objetos materiais com essas formas e com densidade uniforme), e têm a relação entre sua massa (no caso de retas, a massa é o comprimento; para retângulos, é a área; para cubos, é o volume) e tamanho linear determinada por uma dimensão inteira (dimensão no sentido mais comumente entendido, dimensão euclidiana). Por exemplo, um cubo de açúcar tem uma massa (neste caso, massa no sentido físico) m que é proporcional ao tamanho da sua aresta l (o que se chama tamanho linear) elevado à potência 3, isto é:
m(l) ∼ l3, em que o 3 é justamente o valor da dimensão desse objeto, que é de chamada
dimensão topológica.
O termo “dimensão” não tem sempre o mesmo significado em Física e em Matemática; na verdade, há vários conceitos de dimensão em Matemática. Em Física (e no senso comum), dimensão é a quantidade mínima de coordenadas necessárias para descrever um ponto de um objeto. Já em Matemática, a definição de dimensão depende do espaço que se considera; o conceito de dimensão aparece em diversas áreas da Matemática: Teoria de Grupos, Teoria de Conjuntos etc. Porém, há uma definição de dimensão que é conveniente para caracterizar objetos fractais: a dimensão de Hausdorff.
A dimensão de Hausdorff é um número real não-negativo que está associado a espaços métricos (nos quais a noção de distância é definida); é uma generalização de dimensão nos
8
Mais informações em: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mandelbrot. html(acessado em 04/09/2012).
9
Em 1977 esse ensaio foi republicado em inglês e deu origem ao livro “The Fractal Geometry of Nature” publicado em 1982, que é um dos trabalhos mais conhecidos de Mandelbrot.
10
espaços vetoriais reais. Isto significa que objetos regulares têm dimensão de Hausdorff inteira e objetos irregulares são aqueles cuja dimensão de Hausdorrf é fracionária. Portanto, a dimensão fractal mencionada anteriormente é a dimensão de Hausdorff.
No que concerne a dimensão, o que diferencia um objeto regular de um objeto fractal é que a dimensão fractal é um número fracionário (mas também pode assumir valores inteiros) enquanto que a dimensão topológica é necessariamente um número inteiro. Portanto, para um fractal, pode-se escrever:
M(L) = ALdf (2.10)
em que M(L) é a massa do objeto fractal,L é o tamanho linear e df é a dimensão fractal.
Figura 2.2: Conjunto de Mandelbrot, disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/ Mandelbrot_set(acessado em 04/09/2012). É um conjunto de números complexos C,
cons-truído iterativamente com o mapeamento Zn+1 = Zn2 +C, com Z0 = 0. O contorno desse
Figura 2.6: Foto de satélite da rede aluvial, no sudeste da Jordânia, disponível em: http: //butdoesitfloat.com/ (acessado em 04/09/2012). Parece uma estrutura fractal,
Figura 2.8: Uma descarga elétrica no céu, formando um fractal aleatório. Disponível em:
Para calcular a dimensão fractal de tais objetos fractais (de acordo com [10], p. 532) utiliza-se uma definição baseada em contagem de caixas. Tomando-se uma curva de tamanho unitário e dividindo-a em N segmentos de tamanho l, tem-se N = 1/l; à medida que l decresce, N aumenta linearmente. De maneira similar, tomando-se um quadrado de
área unitária e dividindo-o em N sub-quadrados de lado l, tem-se N = 1/l2. Então, de
maneira geral, N = 1/lD, em que D é a dimensão fractal do objeto e N o número de caixas
necessárias para cobrir o fractal. Portanto, a dimensão fractal é dada por:
D= lnN
ln(1/l) (2.11)
Como exemplo, a dimensão fractal do Conjunto de Cantor (figura 2.8) pode ser calculada da seguinte maneira. Este fractal é construído dividindo um intervalo unitário em três intervalos iguais, de tamanhol cada, e retirando o central. Então, sobram 2 segmentos
de tamanho1/l cada. Faz-se o mesmo procedimento para cada um dos intervalos restantes;
na segunda iteração (n = 2, na figura 2.8), tem-se 4 segmentos com tamanho 1/9 cada. Na
n-ésima iteração, o número de segmentos (e caixas necessárias para cobri-los)N(l)é2n, cada
qual com tamanho l = (1/3)n. Reescrevendo (2.10) e utilizando os valores acima, no limite
den→ ∞:
D= lnN(l)
ln(1/l) →D=−
lnN(l)
lnl (2.12)
D=− ln 2 ln(1/3) =
ln 2
ln 3 (2.13)
A função (2.9) é um tipo de função conhecida como Lei de Potência (ver exemplos nas figuras 2.9 e 2.10). Este termo, lei de potência, se refere às funções que são soluções de equações do tipo (ver [12], p. 47)
f(λx) =λpf(x) (2.14)
x→λx, para um dado termo constante λp. Portanto, a forma de uma lei de potência é
f(x) = Cxp (2.15)
pois obedece a equação funcional (2.14 )(substituindoxporλxna equação (2.15) que resulta
na equação( 2.14)).
Figura 2.9: Uma lei de potência,f(x) =x−1,5. Observa-se que quanto menores os valores de
Figura 2.10: A mesma lei de potência da figura anterior, mas com os eixos em escala loga-rítmica.
No contexto de fractais, o expoente p é chamado expoente de escala; por exemplo,
na relação da massa do fractal com seu tamanho linear, a dimensão fractaldf é o expoente
de escala. Esses expoentes podem ser calculados utilizando o formalismo de Grupo de Re-normalização; este surgiu, inicialmente, no contexto de Teoria Quântica de Campos (década de 1950) e depois foi usado no contexto de Fenômenos Críticos (década de 1970).
de ser reescalado (renormalizado) o sistema parecer o mesmo de antes, diz-se que o sistema é invariante de escala (que é o caso dos fractais).
A importância do Grupo de Renormalização deve-se ao fato de que realizando-se sucessivas transformações de escala pode-se chegar a um ponto fixo (ponto crítico). Este é um ponto no qual um parâmetro independente assume um valor específico que faz com que o sistema se apresente o mesmo sob todas as escalas de observação, não importando quantas transformações são feitas sobre ele a partir de então. Quando isso acontece, as quantidades dependentes deste parâmetro divergem; este comportamento é típico de fenômenos críticos, sistemas sob alguma transição de fase. Um exemplo simples e famoso de sistemas que são analisados com o formalismo de Grupo de Renormalização são sistemas magnéticos (em que a temperatura de Curie é o ponto crítico).
Invariância de escala discreta
3.1
Comparação com invariância de escala contínua
Invariância de escala, como visto anteriormente, é uma característica marcante de fractais e, no geral, “significa reproduzir a si mesmo em diferentes escalas de tempo ou espaço” ([14]). Em particular, esse tipo de comportamento de um objeto, sistema, ou parâmetro, é chamado de invariância de escala contínua. Por exemplo, um sistema com invariância de escala contínua é uma esfera (ou qualquer objeto com simetria esférica), na qual uma mudança contínua em qualquer de suas coordenadas angulares, uma rotação infinitesimal, não altera as propriedades físicas do sistema, ele se parece o mesmo antes e depois da rotação.
A invariância de escala contínua de uma função arbitrária (ou um observável), sob a transformação de um parâmetro (de controle)x para x′
=λx, é representada matematica-mente pela relação
f(x) =µf(x′
)→f(x) =µf(λx) (3.1)
cuja solução é dada por uma lei de potência, que tem forma
f(x) = Cxα (3.2)
eα é suposto ser um número real e λ pode assumir qualquer valor real.
Já invariância de escala discreta é uma restrição à invariância de escala contínua, pois neste caso, o sistema, ou observável, é invariante de escala (obedece à equação (3.1)) somente
para determinados valores de λ (e µ), que formam um conjunto de valores λ1, λ2, λ3, ... que
podem ser escritos comoλp =λp, em queλé chamada razão de escala fundamental. Exemplos
de objetos invariantes de escala discreta são alguns fractais, como o Conjunto de Cantor (figura 2.3), que somente é auto-similar quando observado por uma resolução (inverso de escala) com valor que é uma potência de 3, isto é, só é invariante de escala quando λp = 3p,
e3 é razão de escala fundamental para este objeto.
No Conjunto de Cantor, a dimensão fractal é dada pela equação
D= lim
λ→0
lnNλ(n)
lnλ (3.3)
em queλé o fator de aumento (ver equação (2.11)), que neste cálculo pode assumir qualquer valor real. Porém, para valores deλentre3p e3p+1,N
λ(n)não muda (só há um salto no valor
deNλ, de 2p para 2p+1, exatamente quando o fator de aumento é 3p+1) e consequentemente
o valor da dimensão fractal diminui. O valor de D = 0,63 só ocorre para valores de λ que
sejam potências de3. Na próxima seção este comportamento será melhor descrito.
A invariância de escala discreta, que é uma quebra parcial da simetria de invariância de escala contínua, aparece em diversas situações. Didier Sornette ([8], p. 160) cita algumas destas situações: hierarquia geométrica embutida, auto-funções da transformada de Laplace, turbulência etc.
3.2
Expoentes de escala reais e complexos
Considerando que um observável é invariante de escala contínua, encontra-se o valor do expoenteαque garante esta invariância de escala através da substituição da solução (3.2) na equação (3.1):
Cxα =µCλαxα (3.4)
1 =µλα (3.5)
ln
1
µ
= lnλα (3.6)
α=−lnµ
Uma generalização para a relação de escala (3.1) é considerar o expoente de escala da lei de potência (3.2) como sendo um número complexo, em vez de um número real. Assim, usando a fórmula de Euler (eiθ = cosθ+isinθ) e fazendo α=β+iω, tem-se:
f(x) =Cxβ+iω (3.8)
f(x) =Celn(x)β+iω (3.9)
f(x) =Ce(β+iω) lnx =Ceβlnxeiωlnx (3.10)
f(x) =Ceβlnx[cos(ωlnx) +isin(ωlnx)] (3.11)
f(x) =Cxβ[cos(ωlnx) +isin(ωlnx)] (3.12)
em queCxβcos(ωlnx)é a parte real exβsin(ωlnx)é a parte imaginária desta lei de potência,
ou seja, a lei de potência se tornou uma função oscilante no logaritmo dex. Reescrevendo a condição (3.5) para invariância de escala,
µλα =e2πni (3.13)
comn sendo um número inteiro, obtém-se uma expressão para o expoente de escala análoga à obtida em (3.7):
lnλα = ln
e2πni
µ
(3.14)
αlnλ= 2πni−lnµ (3.15)
αn=−
lnµ
lnλ +
2πn
lnλi (3.16)
De acordo com o exposto acima, observa-se que, a partir da generalização do expo-ente de escala assumindo um valor complexo, a invariância de escala, expressada por (3.1), é restringida para apenas algumas transformações do parâmetrox (a relação (3.1) só é
obe-decida para os valores de α que são aqueles dados por (3.16)), ou, de maneira equivalente, a
invariância de escala discreta resulta no expoente imaginário da lei de potência (3.2). Para
n= 0, o valor de αn, em (3.16), recai no valor deα, em (3.7), no caso da invariância de escala
Desta maneira, para o Conjunto de Cantor, a dimensão fractal é dada por
Dn =D+
2πn
ln 3i (3.17)
comD= ln 2/ln 3. Esta dimensão complexa descreve não somente o comportamento do
frac-tal em uma dada resolução3p (ver seção anterior), mas também em resoluções intermediárias
(λ 6= 3).
3.3
Log-periodicidade
A expressão para a invariância de escala, contínua ou discreta, não é alterada se em vez do parâmetro x, a lei de potência tem o argumento xc−x (ou x−xc), em que xc é um
valor constante (uma singularidade, como será visto no próximo capítulo). Desta maneira, utilizando o expoente de escala corrigido (equação (3.16)) na lei de potência que descreve a invariância de escala, com a substituição x→xc−x:
f(xc−x) = C(xc −x)
−lnµ
lnλ(xc−x)
2πn
lnλi (3.18)
f(xc−x) = C(xc −x)
−lnµ
lnλe
2πn
lnλiln(xc−x) (3.19)
De fato,f(xc −x)é uma soma das funções correspondentes a cada valor de n, então:
f(xc −x) =C(xc−x)
−lnµ
lnλ
∞
X
n=−∞
e2lnπnλiln(xc−x) (3.20)
Expandindo em série de Fourier de funções pares
f(xc−x) = C(xc −x)
−lnµ
lnλ " 1 + ∞ X n=1
ancos
2πn
lnλ ln(xc −x)
#
(3.21)
Nesta última expressão, costuma-se aproximarf(xc−x)até o primeiro termo do somatório,
que já fornece uma boa descrição dos sistemas que apresentam simetria de invariância de escala discreta. Os termos maiores correspondem a dimensões de ordem maior. Porém, essa expressão é utilizada de forma mais geral, como:
em que β=−lnµ lnλ,ω =
2π
lnλ e A1, B1 e C1 são constantes.
De acordo com o que foi descrito até agora, percebe-se que uma simetria de invari-ância de escala contínua é bem descrita por uma lei de potência, ao passo que uma simetria de invariância de escala discreta corresponde não a uma lei de potência pura, mas a uma lei de potência que é modulada por uma função periódica, mais precisamente, um cosseno de um logaritmo; esse tipo de função é chamada log-periódica (ver figuras 3.1 e 3.2).
Este tipo de comportamento, log-periódico, exibe características interessantes, como a existência de uma razão de escala preferencial, λ, que indica que o sistema ou objeto que apresenta tal comportamento tem um tamanho de escala característico (tamanhos de escala característicos: λ1,λ2, ...), diferentemente de um comportamento do tipo lei de potência, no
qual não existe nenhum tamanho de escala característico para os objetos descritos por tal lei.
Singularidades em Matemática e Física
4.1
Tipos de singularidade
Singularidade também é, como dimensão, uma palavra com vários significados, cada qual pertinente a um contexto específico. Neste trabalho a definição de singularidade será dada como é apresentada na Física e na Matemática1
.
No contexto de Análise Real, singularidade tem o mesmo significado que descontinui-dade. Nesse contexto, “os pontos onde uma função f : I → R não é contínua são chamados pontos de descontinuidade. Costuma-se dizer que a função tem uma descontinuidade em tal ponto.”([16], p. 60). As descontinuidades podem ser:
• descontinuidade de 1ª espécie:
descontinuidade de salto: ocorre quando os limites à direita e à esquerda da função existem, mas são diferentes;
descontinuidade removível: “Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade removível em x=cse limx→c existe masf(c)6= limx→c ou porquef(c) é indefinida ou
o valor de f(c) difere do valor do limite.”([17], p. 157); 1
Na Matemática, singularidade é definida em várias áreas de estudo, como em Análise Real, Análise Complexa, Teoria de Singularidade etc.
Exemplo: a função
f(x) = 1,para x >0 =−1,para x <0
tem uma descontinuidade de 1ª espécie em x= 0.
• descontinuidade de 2ª espécie: quando a função tem uma descontinuidade que não do tipo descontinuidade de 1ª espécie. Exemplo: a função f(x) = 1/x tem uma
descontinuidade de 2ª espécie em x= 0.
Em Análise Complexa, também existe mais de um tipo de singularidade, que se parecem com as definições dadas acima. Uma singularidade ocorre quando uma função (de variável complexa) f(z) deixa de ser analítica; o ponto onde isso ocorre é chamado ponto
singular e a função é dita possuir uma singularidade. Assim, um ponto singular pode ser classificado das maneiras a seguir:
• Pontos singulares isolados: “O ponto z = z0 é chamado um ponto singular isolado de
f(z)se pudermos achar δ >0 tal que o círculo|z−z0|=δ não engloba nenhum outro
ponto singular além de z0. Se tal δ não puder ser encontrado, chamamos z0 de uma
singularidade não-isolada.” ([18], p. 248);
• Pólos: “Se pudermos encontrar um inteiro positivo n tal que limz→z0(z −z0)
nf(z) =
A 6= 0, então z = z0 é chamado um pólo de ordem n. Se n = 1, z0 é chamado um
pólo simples. Como exemplo, f(z) = 1/(z−2) tem um pólo simples em z = 2. Mas
f(z) = 1/(z−2)3 tem um pólo de ordem 3 em z = 2.” ([18], p. 248);
• Ponto de ramificação: “Uma função tem um ponto de ramificação em z0 se, circulando
z0 e retornando ao ponto inicial, a função não retorna ao valor inicial. Assim, a função
tem múltiplos valores. Um exemplo éf(z) =√z, que tem um ponto de ramificação em z = 0.” ([18], p. 248);
• Singularidades removíveis: “O ponto singularz0é chamado uma singularidade removível
de f(z) se o limz→z0f(z) existe. Por exemplo, o ponto singular em z = 0 na função
f(z) = sin(z)/z é uma singularidade removível, já que limz→0sin(z)/z = 1.” ([18], p.
• Singularidades essenciais: “Uma função tem uma singularidade essencial num ponto
z0 se ela tem pólos de ordem arbitrariamente alta que não podem ser eliminados por
multiplicação por (z−z0)n, para qualquer escolha de n finito. Um exemplo é a função
f(z) =e1/(z−2), que tem uma singularidade essencial em
z = 2.” ([18], p. 248);
• Singularidades no infinito: “A singularidade def(z)emz =∞é do mesmo tipo daquela de f(1/w) em w= 0. Por exemplo, f(z) =z2 tem um pólo de ordem 2 em z =∞, já
que f(1/w) = w−2 tem um pólo de ordem
2 em w= 0.” ([18], p. 248).
As definições para singularidade, que foram dadas acima, são relacionadas a funções, mas também pode haver singularidades em equações diferenciais. Além disso, existem as singularidades espontâneas ousingularidades móveis, que aparecem nas soluções de equações diferenciais não-lineares. São chamadas singularidades móveis, pois mudam de localização (se movem no plano complexo) à medida que mudam as condições iniciais e/ou condições de contorno do problema. Tais singularidades não ocorrem em equações diferenciais lineares.
Em Física, singularidades são definidas, principalmente, no contexto de Relatividade Geral:
• Singularidade gravitacional: “Tem sido demonstrado que, sob condições razoavelmente gerais, um objeto suficientemente maciço em colapso irá sofrer colapso gravitacional contínuo, resultando na formação de uma singularidade gravitacional. A densidade de energia da matéria que colapsa, assim como a curvatura do espaço-tempo, espera-se que divirjam nessa singularidade.” ([19], p. 221);
• Singularidade nua: “A singularidade pode ou não ser visível a um observador distante. Se a singularidade é invisível a um observador distante, dizemos que a estrela terminou como um corpo negro. Se ela é visível, dizemos que a estrela terminou como uma singularidade nua.” ([19], p. 222).
Há também outros usos do termo singularidade na Física, como as singularidades do campo eletromagnético, que ocorrem quando os campos elétrico e/ou magnético divergem ou são indefinidos em alguns pontos ao se resolver as equações de Maxwell.
4.2
Singularidades em tempo infinito
Quando se considera uma função cuja variável independente é o tempo, pode ocorrer o que se chama de singularidade em tempo infinito. Isto significa que a função (f(t)) assume um valor singular quando o tempo (variávelt) assume um valor infinito. Exemplos de funções que apresentam tal singularidade são: f(t) = t2 (ver figura 4.1), f(t) = t, polinômios em
geral etc.
Este tipo de singularidade é mais fácil de lidar do que o tipo que será visto na seção seguinte (singularidade em tempo finito), pois se certas condições iniciais levam a uma sin-gularidade em t =∞, pequenas mudanças nestas condições ainda levam ao comportamento singular no mesmo tempo, isto é, emt=∞, o que não ocorre no caso de a singularidade ser em tempo finito.
Figura 4.1: Gráfico da funçãof(t) =t2. À medida que ttende ao infinito, a função também
4.3
Singularidades em tempo finito
Uma singularidade em tempo finito é aquela que pode ocorrer em funções que têm o tempo como parâmetro independente. A diferença neste caso, com relação à singularidade em tempo infinito, é que a funçãof(t)diverge para o infinito em um tempo finito, isto é, em um valor definido para o tempo (valor que não infinito).
Funções que exibem esse comportamento singular são, por exemplo, as que têm a forma de uma lei de potência, f(t) = t−α. Para observar mais claramente tal fato, faz-se a
substituição da variáveltparat0−t, de maneira a singularidade aparece emt=t0, à medida
quetassume valores crescentes; então a função fica: f(t) = (t0−t)−α (ver exemplo na figura
4.2).
Diferentemente da singularidade em tempo infinito, a singularidade em tempo finito não é um “fenômeno estável”, no sentido de que se as condições iniciais do problema forem modificadas minimamente, as singularidades aparecerão ainda em um tempo finito, mas em tempo diferente do tempot0 que apareciam.
Figura 4.2: Gráfico da função f(t) = (4−t)−1,2. À medida que
t tende ao valor 4, a função
tende ao infinito. O valort= 4 é valor do tempo críticotc. Se a função tivesse somentet em
vez de(tc −t), a singularidade aparecia em t= 0.
4.4
Pontos críticos como singularidades
divergente para este valor de temperatura.
Em tais situações de transições de fase térmicas e de fenômenos críticos, as relações matemáticas que melhor descrevem o comportamento dos sistemas são as leis de potência, que têm, muitas vezes, como parâmetro independente a temperatura, e são da formaf(x)∼ (T −Tc)λ ou f(x) ∼ (ǫ)λ (ǫ = (T −Tc)/Tc é um parâmetro adimensional) em que Tc é a
temperatura crítica (onde ocorre a singularidade da variável física) ef(x) pode ser qualquer
função de variável que dependa da temperatura, como pressão e magnetização.
O comportamento singular desses observáveis físicos são caracterizados pelos expo-entes críticos; estes são os expoexpo-entes das leis de potência, a exemplo doλnas funções acima, e têm um valor específico para cada tipo de fenômeno. Têm-se mostrado que tais expoentes sejam universais, isto é, não dependam de particularidades do sistema considerado, e sim da dimensionalidade do sistema, além de depender também do alcance das interações e do hamiltoniano do sistema.
Em suma, as singularidades que aparecem nas funções que descrevem sistemas físicos são os pontos críticos desses sistemas. Sempre que estiver em um ponto singular, o sistema estará num estado crítico; em qualquer outro ponto ordinário, o sistema é dito estar em equilíbrio (considerando-se que este somente passa por transformações quase estáticas).
4.5
Criticalidade auto-organizada
Um contexto diferente do contexto anterior se apresenta quando se trata de Critica-lidade Auto-organizada.
Após o estudo sobre fractais ficar em evidência, principalmente através dos trabalho de Mandelbrot, e levando-se em conta problemas em aberto, como o ruído “1/f”, que é um
sinal cuja potência varia inversamente com a frequência do sinal, a questão imediata que se levantou foi: “De onde vem tal comportamento complexo?” (ou alguma outra questão neste mesmo sentido, de investigar a origem de tais fenômenos).
Uma tentativa de explicar a origem desses fenômenos complexos, em especial, o ruído 1/f, foi feita em um trabalho publicado em 1987 por Per Bak, Chao Tang e Kurt
este comportamento é atingido. De acordo com este trabalho([20]), a criticalidade auto-organizada surge em sistemas dinâmicos que têm muitos graus de liberdade espaciais; estes sistemas, depois de um longo tempo de evolução, naturalmente se tornam estruturas críticas auto-organizadas de estados quase estáveis.
Os autores exemplificam este processo com um modelo de sistema de pêndulos amor-tecidos conectados entre si por uma mola. Em um sistema unidimensional, uma perturbação aplicada em um pêndulo irá se propagar pelos seus vizinhos de maneira que quando a per-turbação passa por cada pêndulo este volta para um estado minimamente estável, e após a perturbação cessar (a energia dissipar), o sistema estará num estado minimamente estável. Em um sistema em duas dimensões, a situação muda completamente, pois uma perturbação aplicada em um pêndulo é amplificada pelos mais de dois vizinhos que este tem, que são per-turbados e se tornam instáveis. Então, a perturbação se propaga e dá origem a mais estados mais do que minimamente estáveis nos pêndulos, que por sua vez, atrapalham a propagação do ruído (perturbação), até que a propagação cessa. A partir de então, o sistema se torna estável, isto é, “quando a rede de estados minimamente estáveis for quebrada ao nível tal que o sinal ruído não pode ser comunicado através de distâncias infinitas.”([20], p. 382). O ponto onde isso ocorre, é um ponto crítico, pois neste não há escala de tamanho típica, o sistema se torna uma estrutura invariante de escala de estados minimamente estáveis2.
Porém, vale ressaltar que esta criticalidade é fundamentalmente diferente daquela presente em sistemas que apresentam transição de fase. Em relação a estes últimos, é suposto estar em equilíbrio e é levado a atingir um ponto crítico através do ajuste de um parâmetro como a tempetura. Já em relação aos sistemas que apresentam criticalidade auto-organizada (SOC, de Self-Organized Criticality), o ponto crítico não é atingido a partir do equilíbrio, pelo contrário, a dinâmica de tais sistemas está fora de equilíbrio e as propriedades deste atrator (ponto crítico) são insensíveis a qualquer parâmetro do modelo, ou seja, este ponto não é alcançado através de ajuste de parâmetro nenhum.
Um exemplo físico ilustrativo da criticalidade auto-organizada é da pilha de areia. Se uma pilha de areia tem grãos de areia caindo em seu topo, ela irá adquirir uma inclinação muito grande, uma inclinação crítica (que é uma situação de não-equilíbrio), e consequente-mente irá colapsar (que é quando ocorre uma avalanche) até que a inclinação média atinja um valor crítico, que é quando o sistema se torna quase estável novamente, com relação a pe-quenas perturbações3
. Tem-se, neste modelo, que o tamanho das avalanches e sua frequência
2
Os autores mostram isso através simulações numéricas com autômatos celulares. 3
se relacionam através de uma lei de potência.
No ponto crítico, sistemas criticamente auto-organizados têm clusters4 de todos os
tamanhos, o que significa que perturbações locais se propagam em todas as escalas de tama-nho, fazendo com que os tempos de vida destas perturbações também flutuem em todas as escalas de tempo. Portanto, neste ponto, as flutuações temporais e outros observáveis físicos se comportam de acordo com funções do tipo lei de potência, que descrevem apropriadamente sistemas sem escala preferencial.
No artigo que deu origem à definição de criticalidade auto-organizada, os autores ainda sugerem que “A ‘Física dos fractais’ poderia ser aquela que eles estão nos estados minimamente estáveis originados de processos dinâmicos que param precisamente no ponto crítico.” ([20], p. 382).
4.6
Criticalidade em terremotos, rupturas e quebras de
bolsas
Após a descoberta do (possível) mecanismo natural de auto-organização crítica, a SOC, surgiram inúmeras possíveis explicações para fenômenos complexos cujas origens são difíceis de determinar, como quebras de bolsas de valores, que se valeram desta premissa de criticalidade auto-organizada. Dentre os fenômenos estudados sob esta óptica, a seguir serão relatados três exemplos: terremotos, rupturas e quebras de bolsas de valores.
Uma das possíveis aplicações da SOC foi reconhecida pelos criadores da própria teo-ria, que publicaram trabalhos subsequentes ao da criação da SOC nos quais argumentam que terremotos são consequência da auto-organização crítica da crosta terrestre. Como consta em [21], supondo-se que terremotos surgem devido a deslizamentos da crosta terrestre ao longo de falhas geológicas, a crosta, sujeita à pressão devido ao movimento das placas tectônicas, pode ser vista como um sistema dissipativo e espacialmente “infinito” (com muitos graus de liberdade). Nesse sistema, o estado crítico seria aquele em que uma força local na crosta pode provocar, ou não (há um valor mínimo de força que provoca deslocamento), um deslocamento que se propaga na vizinhança; sempre que houver deslocamento, essa atividade é uma ava-lanche e caracteriza um terremoto (à medida que a pressão aumenta, as avaava-lanches se tornam
4
maiores, e os terremotos também). Nestas avalanches aparecem as características invariantes de escala pertinentes a terremotos, como a lei de Gutenberg-Richter5
e a estrutura fractal de falhas por onde se propagam os terremotos. Uma consequência disto, que os autores frisam neste trabalho, é que terremotos de grande magnitude são intrinsecamente imprevisíveis, já que o mecanismo que gera um pequeno terremoto é o mesmo que gera um grande terremoto.
Apesar da aparente adequação da SOC à explicação da dinâmica de terremotos, há opiniões divergentes sobre o tema. Alguns cientistas, como Sornette ([22]), alegam que terremotos são fenômenos críticos, como os tratados na Mecânica Estatística, por causa da constatação de que um fenômeno de ruptura é um fenômeno crítico, por exemplo. Outro fato que sugere este ponto de vista é o aumento do número de terremotos com magnitudes intermediárias que é observado sempre antes do acontecimento de um terremoto de grande magnitude, tal qual como ocorre em fenômenos na Física Estatística, como, por exemplo, o aumento do comprimento de correlação em um sistema próximo a um ponto crítico. Desta maneira, diferentemente do ponto de vista da SOC, terremotos são fenômenos passíveis de previsibilidade; o aumento da sismicidade (como um ajuste de parâmetro) leva à ocorrência de terrremotos enormes.
Como mencionado anteriormente, um fenômeno de ruptura, como propagação de rachaduras ou deslizamento ao longo de falhas, pode ser explicado como um fenômeno crítico. Portanto, rupturas obedecem a leis de potência, que são a distribuição de magnitude das rachaduras, a distribuição de magnitudes de terremotos, a distribuição de tempo de espera (tempo que leva de uma fratura, rachadura, terremoto, até a seguinte ocorrer), a distribuição espacial (estrutura fractal), dentre outras quantidades pertinentes.
Expoentes de escala, relativos a fenômenos críticos, são ditos universais, mas observa-se ([23]) que tais expoentes dependem sim das especificidades do sistema considerado, tendo seu valor alterado em algumas situações, como é observado próximo à ruptura, quando os expoentes decrescem de valor. Este decréscimo próximo a rupturas pode servir como um precursor para eventos de grande porte.
Por fim, um último exemplo, no qual algum tipo de criticalidade está presente, é o de mercado de ações ou mercado financeiro. O mercado financeiro frequentemente é marcado por períodos das chamadas crises financeiras, nas quais os índices de bolsas de valores têm seus valores mais baixos, evidenciando a desvalorização das ações na bolsa de valores. No
5
contexto da Física, estes períodos de crise costumam ser considerados períodos críticos e, portanto, existem inúmeras tentativas de entender esta dinâmica utilizando as ferramentas da Mecânica Estatística e também dos formalismos da área de Sistemas Complexos.
Através da análise dos dados correspondentes às flutuações dos valores de índices, como feito em [24], pode-se reconhecer comportamentos do tipo lei de potência em quanti-dades como o tamanho das avalanches (queda dos índices), dentre outras, o que pode sugerir que o mercado de ações esteja em um estado criticamente auto-organizado, em que os cons-tituintes (os acionistas) se organizam de acordo com as informações que recebem de maneira a vender ou comprar ações levando o sistema, eventualmente, a uma situação crítica (na qual grande parte dos acionistas decidem vender suas ações baseados no comportamento de “vizinhos” levando a uma grande queda nos preços das ações).
Contudo, no modelo simples de SOC, o tempo laminar (ou tempo de espera entre avalanches) tem distribuição exponencial, e não em lei de potência (como surge no contexto do mercado de ações (ver [24])), o que significa que o agente externo (no caso da pilha de areia, a areia) atua aleatoriamente (a areia cai aleatoriamente em qualquer lugar da pilha). A distribuição em lei de potência deste tempo laminar sugere correlações temporais entre as avalanches (queda de preços de ações) que não podem ser explicadas com a SOC, mas as demais características deste modelo (estruturas livres de escala) parecem descrever razoavelmente o mercado de ações; então poderia-se utilizar um modelo de SOC modificado, para levar em conta tais correlações.
Outra abordagem para este problema é através da analogia com fenômenos de tur-bulência hidrodinâmica, utilizando o modelo de turtur-bulência em cascata, porém este modelo não condiz com a invariância de escala encontrada no regime crítico, como mostrado em [25].
Precursores log-periódicos em fenômenos
críticos
5.1
Precursores log-periódicos em fratura
O fenômeno de ruptura é um fenômeno bastante presente no cotidiano e também bastante estudado, mesmo assim, ainda não há total consenso sobre o mecanismo subjacente a este evento. Contudo, resultados significativos foram obtidos do estudo sobre ruptura de materiais. Por exemplo, sabe-se1 atualmente que quanto mais heterogêneo o material for,
mais sinais precursores da ruptura ele apresenta. Também se observa que as rupturas nestes materiais heterogêneos se formam através de um processo de fusão de micro-rachaduras (micro-fendas). A fusão de micro-rachaduras num material heterogêneo que venha a se romper, é formada de acordo com a carga (peso) a que este material está submetido; esta pode ir crescendo de valor com o passar do tempo ou ser constante ao longo do tempo. Com o passar do tempo, esta tensão sobre o material é crítica e este se rompe.
De acordo com Sornette ([26]), e verificado por outros cientistas, as emissões acústicas do material, que são as ondas mecâncias provocadas pelo movimento brusco de sistemas sob tensão, ou, de maneira geral, a energia elástica emitida pelo material quando este está sob tensão, é função do tempo-até-a-ruptura (time-to-failure) e obedece a uma lei de potência com correções log-periódicas.
1
Na referência [26] há uma revisão geral sobre o tema.
De fato, tais correções log-periódicas denotam a aceleração da taxa de emissão acús-tica. Em [26], Sornette mostra que próximo ao (suposto) regime crítico, no qual ocorre a ruptura do material2
, o melhor ajuste para as emissões acústicas é o de uma função que exibe log-periodicidade, que dá conta de descrever a aceleração da emissão acústica à medida que o valor da pressão exercida sobre o material aumenta até o valor da pressão-até-a-ruptura (pressão crítica), como pode ser visto na figura 5.1. Depois de feito os ajustes, foi feita predi-ção para o tempo em que ocorreu a ruptura através dos valores da pressão crítica, calculados com os ajustes dos dados. Comparando-se com os valores reais, que foram medidos no expe-rimento, o ajuste log-periódico forneceu valores próximos aos valores reais do tempo crítico (quando a ruptura ocorreu), mostrando, assim, o poder preditivo desta abordagem. Assim, o fato de a taxa de emissão acústica em materiais heterogêneos susceptíveis a rupturas crescer aceleradamente próximo às rupturas pode ser percebido como um precursor de ruptura.
Figura 5.1: Gráfico da energia liberada em um experimento de ruptura versus pressão apli-cada sobre o material e seu respectivo ajuste log-periódico. Disponível em: [26], p. 169.
2
5.2
Precursores log-periódicos em terremotos
A ocorrência de terremotos está associada a ocorrência de rupturas; terremotos acon-tecem ao longo de falhas, que são fraturas. Portanto, muitos resultados advindos das pesqui-sas sobre rupturas em materiais heterogêneos podem ser aplicados no contexto de terremotos.
Neste sentido, de acordo com [27], os terremotos de grande magnitude são pontos críticos que se distinguem dos demais terremotos de magnitude baixa ou intermediária. Es-tes grandes terremotos ocorrem à medida que os terremotos de tamanho intermediário vão crescendo em número e crescendo também em intensidade.
Há diversos modelos (listados em [27]) nos quais é observado o aumento acelerado da atividade sísmica próximo a um grande terremoto, cuja explicação não é conhecida, mas há diversas hipóteses diferentes subjacentes aos modelos que tentam explicar tal fato. Também é constatado nestes modelos o aumento da magnitude dos terremotos, além da frequência, próximo ao terremoto crítico.
Supondo que os maiores terremotos são correlacionados, espacialmente e temporal-mente, pode-se esperar que sejam previsíveis. De fato, o aumento na taxa de sismicidade com o estresse na crosta terrestre ou com o tempo é bem capturado por um ajuste do tipo lei de potência com correções log-periódicas, quando se analisa dados sobre terremotos. Portanto, a taxa acelerada da sismicidade antes de um grande terremoto pode ser interpretada como um sinal precursor deste grande evento.
5.3
Precursores log-periódicos em partos
O que acontece próximo à hora do parto é que o número de contrações na mãe aumenta significativamente em quantidade e em intensidade. Isto é como se, agora, o sistema mãe-feto se comportasse como um sistema coerente, que tem respostas similares aos estímulos externos, de maneira a expulsar o feto do útero quando este está maduro.
Foi observado que a taxa da amplitude da atividade uterina global coerente aumenta com o parâmetro de maturação (que representa as várias variáveis bioquímicas e fisiológicas). Antes da hora do parto, esta amplitudeA é, em média, zero, enquanto o valor do parâmetro
de maturaçãoµcresce. À medida que µse aproxima de um valor críticoµc, indicando a
pro-ximidade da hora do parto, a amplitude da atividade uterina aumenta, e tal comportamento é suposto seguir uma lei de potência. Então, o aumento da atividade uterina próximo ao tempo crítico (hora do parto) é um sinal precursor para identificar a hora do nascimento do feto.
Sinais de log-periodicidade também aparecem em fenômenos como quebra de bolsa de valores, cujos precursores são a aceleração da oscilação dos preços (ou dos índices nos mercados de ações), como explicado em [29]. Também já foi identificado o comportamento log-periódico em dinâmica superdifusiva (em [30]) e em calor específico de sistemas em baixas temperaturas (em [31]), por exemplo, dentre outros.
5.4
A dificuldade de estimar o tempo crítico
Através dos casos relatados anteriormente, pode se dizer que o modelo log-periódico, explicado na seção 3.3, obteve sucesso em explicar certos fenômenos catastróficos difíceis de lidar. Contudo, sua utilização para a previsão destes grandes eventos críticos é seriamente contestada por diversos cientistas.
O problema encontrado, que é inerente ao modelo log-periódico, durante a utilização deste para ajustar curvas aos dados é a minimização da soma do resíduos quadrados. Esta minimização garante o melhor ajuste possível aos dados, mas no caso log-periódico, o qual se trata de uma função não-linear, não é trivial encontrar o mínimo global da função, pois esta função tem inúmeros mínimos locais.
melhor o caráter log-periódico dos dados e melhorar a capacidade de previsão dos eventos críticos, pois ruído atrapalha na estimação de parâmetros do modelo. Outros trabalhos utilizam métodos não-paramétricos para melhor estimar o valor do tempo críticotc(no caso de
séries temporais), como em feito em [32], e também em [33], que utiliza a chamada
derivada-(H, q)e a transformada de Hilbert para a análise de séries financeiras que apresentaram crise
Resultados
6.1
Quebra na bolsa de valores BOVESPA em 2008
No ano de 2008, uma crise deflagrada em setembro de 2008 no mercado financeiro dos Estados Unidos da América abalou os demais países do mundo, levando as bolsas de valores destes países ao mais baixo patamar de valorização. No Brasil, esta queda nos valores das ações pôde ser percebida através da queda do índice BOVESPA (Bolsa de Valores de São Paulo), o IBOVESPA, que atingiu seu menor valor desde 27/10/20051
, 29.435 pontos.
A evolução do IBOVESPA durante este período é mostrada no gráfico a seguir (figura 6.1). De acordo com este gráfico, o maior valor atingido pelo índice entre 2006 e 2010 foi em 20/05/2008, 73.517 pontos, e o valor mínimo foi alcançado cinco meses após, em 27/10/2008, 29.435 pontos.
1
http://noticias.r7.com/economia/noticias/veja-os-piores-momentos-da-bolsa-durante-a-crise-20091027. html
Figura 6.1: Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo, de 06/10/2006 a 27/10/2010. Dados disponíveis em: http://br.financas.yahoo.com/q?s=^bvsp.
6.2
Análise dos dados
O período que é analisado neste trabalho é justamente o período apresentado an-teriormente, com os valores diários (valores de fechamento da bolsa nos dias úteis) do índice BOVESPA entre o dia 06/10/2006 e o dia 27/10/2010. Foram coletados no site
http://br.financas.yahoo.com/q?s=^bvsp 1.000 valores do índice BOVESPA
correspon-dentes aos 1.000 dias (úteis para o mercado) compreendidos no período entre 06/10/2006 e 27/10/2010.
primeira função utilizada foif(tc−t) =A+B(tc−t)β+C(tc−t)βcos(ωln(tc−t) +φ)(como
na equação (3.22)), mas esta não forneceu um bom ajuste aos dados. Já a segunda função, que é uma aproximação até a segunda ordem da série (3.21), captura um comportamento log-periódico nos dados do índice BOVESPA; esta função é:
f(tc−t) = A+B(tc−t)β +C(tc−t)βcos(ωln(tc−t) +φ1)
+D(tc−t)βcos(2ωln(tc−t) +φ2) (6.1)
Também é utilizada a função abaixo, que é a mesma da equação (6.1) mas com o argumento sendot−tc:
f(t−tc) = A+B(t−tc)β +C(t−tc)βcos(ωln(t−tc) +φ1)
+D(t−tc)βcos(2ωln(t−tc) +φ2) (6.2)
Mais adiante é mostrado o gráfico (figura 6.2) com os melhores ajustes de curvas para os dados do IBOVESPA, utilizando a função (6.1) e a função (6.2). O primeiro ajuste, em verde, foi feito utilizando os pontos no intervalo det= 334(data: 22/2/2008) até t= 506
(data: 27/10/2008), e o segundo ajuste foi feito com pontos de t = 507 (data: 28/10/2008) até t= 993 (data: 18/10/2010). O programa utilizado para fazer os gráficos foi o OriginPro
8 e este forneceu os ajustes, mostrados na tabela 6.1, para a região antes da quebra da bolsa (três primeiras colunas) e para a região depois da quebra da bolsa (três últimas colunas).
Tabela 6.1: Parâmetros de ajustes para a função (6.1) e para a função (6.2), respectivamente, da esquerda para a direita.
Parâmetros Valores Erros padrão A 29211,20 3848,98 B 5180,86 2168,60 C -832,75 237,71
D -150,88 82,63
β 0,41 0,07
ω 7,02 0,14
φ1 21,00 0,64
φ2 30,84 1,48
tc 506 0
Parâmetros Valores Erros padrão A 30573,44 853,80
B 586,27 120,68
C 99,93 17,00
D -20,09 6,47
β 0,71 0,03
ω 7,30 0,08
φ1 21,82 0,46
φ2 24,37 0,95
