A expressão para a invariância de escala, contínua ou discreta, não é alterada se em vez do parâmetro x, a lei de potência tem o argumento xc− x (ou x − xc), em que xc é um
valor constante (uma singularidade, como será visto no próximo capítulo). Desta maneira, utilizando o expoente de escala corrigido (equação (3.16)) na lei de potência que descreve a invariância de escala, com a substituição x → xc− x:
f (xc− x) = C(xc − x) −lnµ lnλ(xc− x) 2πn lnλi (3.18) f (xc− x) = C(xc − x) −lnµ lnλe 2πn lnλi ln(xc−x) (3.19)
De fato, f(xc − x) é uma soma das funções correspondentes a cada valor de n, então:
f (xc − x) = C(xc− x) −lnµ lnλ ∞ X n=−∞ e2πnlnλi ln(xc−x) (3.20)
Expandindo em série de Fourier de funções pares f (xc− x) = C(xc − x) −lnµ lnλ " 1 + ∞ X n=1 ancos 2πn ln λ ln(xc − x) # (3.21) Nesta última expressão, costuma-se aproximar f(xc− x) até o primeiro termo do somatório,
que já fornece uma boa descrição dos sistemas que apresentam simetria de invariância de escala discreta. Os termos maiores correspondem a dimensões de ordem maior. Porém, essa expressão é utilizada de forma mais geral, como:
em que β = −ln µ ln λ, ω =
2π
ln λ e A1, B1 e C1 são constantes.
De acordo com o que foi descrito até agora, percebe-se que uma simetria de invari- ância de escala contínua é bem descrita por uma lei de potência, ao passo que uma simetria de invariância de escala discreta corresponde não a uma lei de potência pura, mas a uma lei de potência que é modulada por uma função periódica, mais precisamente, um cosseno de um logaritmo; esse tipo de função é chamada log-periódica (ver figuras 3.1 e 3.2).
Este tipo de comportamento, log-periódico, exibe características interessantes, como a existência de uma razão de escala preferencial, λ, que indica que o sistema ou objeto que apresenta tal comportamento tem um tamanho de escala característico (tamanhos de escala característicos: λ1, λ2, ...), diferentemente de um comportamento do tipo lei de potência, no
qual não existe nenhum tamanho de escala característico para os objetos descritos por tal lei.
Desde 1992 ([15]), quando o geofísico francês Didier Sornette (1957-) propôs e estudou um modelo para rupturas mecânicas, e posteriormente encontrou que a relação entre energia de emissões acústicas em um tanque de pressão de foguetes e o estresse mecânico sobre estes era bem representado pela teoria log-periódica, esta lei de potência com log-periodicidade (equação (3.22)), tem sido bastante utilizada em análise de dados, especialmente análise de séries temporais, por causa da sua capacidade de predição. Sornette, com esse tipo de ajuste dos dados, conseguiu “prever” o tempo de ruptura dos tanques de pressão. Outros exemplos de utilização desse ajuste log-periódico são na predição de terremotos de grande magnitude, predição de quebra de bolsas de valores, dinâmica da população mundial, dinâmica dos índices econômicos, dinâmica em turbulência, dentre outros (ver referência [1]).
Singularidades em Matemática e Física
4.1
Tipos de singularidade
Singularidade também é, como dimensão, uma palavra com vários significados, cada qual pertinente a um contexto específico. Neste trabalho a definição de singularidade será dada como é apresentada na Física e na Matemática1
.
No contexto de Análise Real, singularidade tem o mesmo significado que descontinui- dade. Nesse contexto, “os pontos onde uma função f : I → R não é contínua são chamados pontos de descontinuidade. Costuma-se dizer que a função tem uma descontinuidade em tal ponto.”([16], p. 60). As descontinuidades podem ser:
• descontinuidade de 1ª espécie:
descontinuidade de salto: ocorre quando os limites à direita e à esquerda da função existem, mas são diferentes;
descontinuidade removível: “Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade removível em x = c se limx→c existe mas f(c) 6= limx→c ou porque f(c) é indefinida ou o valor de f(c) difere do valor do limite.”([17], p. 157);
1
Na Matemática, singularidade é definida em várias áreas de estudo, como em Análise Real, Análise Complexa, Teoria de Singularidade etc.
Exemplo: a função
f (x) = 1, para x > 0 = −1, para x < 0 tem uma descontinuidade de 1ª espécie em x = 0.
• descontinuidade de 2ª espécie: quando a função tem uma descontinuidade que não do tipo descontinuidade de 1ª espécie. Exemplo: a função f(x) = 1/x tem uma descontinuidade de 2ª espécie em x = 0.
Em Análise Complexa, também existe mais de um tipo de singularidade, que se parecem com as definições dadas acima. Uma singularidade ocorre quando uma função (de variável complexa) f(z) deixa de ser analítica; o ponto onde isso ocorre é chamado ponto singular e a função é dita possuir uma singularidade. Assim, um ponto singular pode ser classificado das maneiras a seguir:
• Pontos singulares isolados: “O ponto z = z0 é chamado um ponto singular isolado de
f (z) se pudermos achar δ > 0 tal que o círculo |z − z0| = δ não engloba nenhum outro
ponto singular além de z0. Se tal δ não puder ser encontrado, chamamos z0 de uma
singularidade não-isolada.” ([18], p. 248);
• Pólos: “Se pudermos encontrar um inteiro positivo n tal que limz→z0(z − z0)
nf (z) =
A 6= 0, então z = z0 é chamado um pólo de ordem n. Se n = 1, z0 é chamado um
pólo simples. Como exemplo, f(z) = 1/(z − 2) tem um pólo simples em z = 2. Mas f (z) = 1/(z − 2)3 tem um pólo de ordem 3 em z = 2.” ([18], p. 248);
• Ponto de ramificação: “Uma função tem um ponto de ramificação em z0 se, circulando
z0 e retornando ao ponto inicial, a função não retorna ao valor inicial. Assim, a função
tem múltiplos valores. Um exemplo é f(z) = √z, que tem um ponto de ramificação em z = 0.” ([18], p. 248);
• Singularidades removíveis: “O ponto singular z0é chamado uma singularidade removível
de f(z) se o limz→z0f (z) existe. Por exemplo, o ponto singular em z = 0 na função
f (z) = sin(z)/z é uma singularidade removível, já que limz→0sin(z)/z = 1.” ([18], p.
• Singularidades essenciais: “Uma função tem uma singularidade essencial num ponto z0 se ela tem pólos de ordem arbitrariamente alta que não podem ser eliminados por
multiplicação por (z − z0)n, para qualquer escolha de n finito. Um exemplo é a função
f (z) = e1/(z−2), que tem uma singularidade essencial em z = 2.” ([18], p. 248);
• Singularidades no infinito: “A singularidade de f(z) em z = ∞ é do mesmo tipo daquela de f(1/w) em w = 0. Por exemplo, f(z) = z2 tem um pólo de ordem 2 em z = ∞, já
que f(1/w) = w−2 tem um pólo de ordem 2 em w = 0.” ([18], p. 248).
As definições para singularidade, que foram dadas acima, são relacionadas a funções, mas também pode haver singularidades em equações diferenciais. Além disso, existem as singularidades espontâneas ou singularidades móveis, que aparecem nas soluções de equações diferenciais não-lineares. São chamadas singularidades móveis, pois mudam de localização (se movem no plano complexo) à medida que mudam as condições iniciais e/ou condições de contorno do problema. Tais singularidades não ocorrem em equações diferenciais lineares.
Em Física, singularidades são definidas, principalmente, no contexto de Relatividade Geral:
• Singularidade gravitacional: “Tem sido demonstrado que, sob condições razoavelmente gerais, um objeto suficientemente maciço em colapso irá sofrer colapso gravitacional contínuo, resultando na formação de uma singularidade gravitacional. A densidade de energia da matéria que colapsa, assim como a curvatura do espaço-tempo, espera-se que divirjam nessa singularidade.” ([19], p. 221);
• Singularidade nua: “A singularidade pode ou não ser visível a um observador distante. Se a singularidade é invisível a um observador distante, dizemos que a estrela terminou como um corpo negro. Se ela é visível, dizemos que a estrela terminou como uma singularidade nua.” ([19], p. 222).
Há também outros usos do termo singularidade na Física, como as singularidades do campo eletromagnético, que ocorrem quando os campos elétrico e/ou magnético divergem ou são indefinidos em alguns pontos ao se resolver as equações de Maxwell.
Resumindo, singularidade em Matemática ou em Física sempre está associada à noção de indefinição do valor de algum parâmetro, que tende a divergir no ponto singular.
4.2
Singularidades em tempo infinito
Quando se considera uma função cuja variável independente é o tempo, pode ocorrer o que se chama de singularidade em tempo infinito. Isto significa que a função (f(t)) assume um valor singular quando o tempo (variável t) assume um valor infinito. Exemplos de funções que apresentam tal singularidade são: f(t) = t2 (ver figura 4.1), f(t) = t, polinômios em
geral etc.
Este tipo de singularidade é mais fácil de lidar do que o tipo que será visto na seção seguinte (singularidade em tempo finito), pois se certas condições iniciais levam a uma sin- gularidade em t = ∞, pequenas mudanças nestas condições ainda levam ao comportamento singular no mesmo tempo, isto é, em t = ∞, o que não ocorre no caso de a singularidade ser em tempo finito.
Figura 4.1: Gráfico da função f(t) = t2. À medida que t tende ao infinito, a função também
4.3
Singularidades em tempo finito
Uma singularidade em tempo finito é aquela que pode ocorrer em funções que têm o tempo como parâmetro independente. A diferença neste caso, com relação à singularidade em tempo infinito, é que a função f(t) diverge para o infinito em um tempo finito, isto é, em um valor definido para o tempo (valor que não infinito).
Funções que exibem esse comportamento singular são, por exemplo, as que têm a forma de uma lei de potência, f(t) = t−α. Para observar mais claramente tal fato, faz-se a
substituição da variável t para t0− t, de maneira a singularidade aparece em t = t0, à medida
que t assume valores crescentes; então a função fica: f(t) = (t0− t)−α (ver exemplo na figura
4.2).
Diferentemente da singularidade em tempo infinito, a singularidade em tempo finito não é um “fenômeno estável”, no sentido de que se as condições iniciais do problema forem modificadas minimamente, as singularidades aparecerão ainda em um tempo finito, mas em tempo diferente do tempo t0 que apareciam.
Este tipo de singularidades costuma aparecer em soluções de equações diferenciais ordinárias não-lineares e de equações diferenciais parciais. Exemplos de situações em que aparecem singularidades espontâneas em tempo finito são: nas equações de Euler para fluidos não-viscosos, na moeda girante (disco de Euler), nas equações da Relatividade Geral sobre a formação de buracos negros, dentre outras.
Figura 4.2: Gráfico da função f(t) = (4 − t)−1,2. À medida que t tende ao valor 4, a função
tende ao infinito. O valor t = 4 é valor do tempo crítico tc. Se a função tivesse somente t em
vez de (tc − t), a singularidade aparecia em t = 0.