Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares Degeneradas
Departamento de Matem´atica
Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes para uma Classe de
Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares Degeneradas
Nota¸c˜oes . . . iv
Resumo . . . v
Abstract . . . v
1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Problemas de minimiza¸c˜ao . . . 2
1.2 Multiplicidade via gˆenero . . . 5
1.3 Perturba¸c˜oes n˜ao autˆonomas . . . 6
2 Problemas de Minimiza¸c˜ao com Singularidades 8 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 8
2.2 Formula¸c˜ao variacional . . . 9
2.3 Seq¨uˆencias minimizantes para S(a, b, λ) . . . 9
2.4 Conclus˜ao das demonstra¸c˜oes dos teoremas . . . 24
3 Multiplicidade de Solu¸c˜oes 28 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 28
3.2 Lemas Auxiliares . . . 28
3.3 Propriedades de Compacidade do Funcional . . . 32
3.4 Multiplicidade de solu¸c˜oes: caso 1< r < p . . . 40
3.5 Multiplicidade de solu¸c˜oes: caso p < r < p∗ . . . . 44
4 Problemas com Perturba¸c˜oes n˜ao Autˆonomas 47 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 47
4.2 A existˆencia da primeira solu¸c˜ao . . . 47
4.3 A existˆencia da segunda solu¸c˜ao . . . 54
A Apˆendice 63 A.1 Desigualdades . . . 63
A.2 Convergˆencia em Espa¸cos de Medidas . . . 63
A.3 Lema de Brezis-Lieb . . . 63
A.4 Lema de Deforma¸c˜ao . . . 64
A.5 Gˆenero e suas propriedades . . . 64
A.6 Operador de superposi¸c˜ao . . . 64
A.7 Princ´ıpio Variacional de Ekeland . . . 65
A.8 Teorema do Passo da Montanha sem a condi¸c˜ao (P S)c . . . 65
Bibliografia 66
Agradecimentos
Acima de tudo agrade¸co a Deus. Em seguida agrade¸co aos meus orientadores, Prof. Paulo C´esar Carri˜ao e Prof. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki, por me aceitarem como aluno de doutorado e me conduzirem com seguran¸ca, determina¸c˜ao e paciˆencia durante todo o meu curso.
Aos professores, funcion´arios e colegas do Departamento de Matem´atica da UFMG agrade¸co pela dedica¸c˜ao, apoio e incentivo. Em particular, agrade¸co aos professores M´arcio Gomes Soares, Gast˜ao de Almeida Braga e Fernando Figueiredo de Oliveira Filho pelos excelentes trabalhos na coordena¸c˜ao do Colegiado de P´os-Gradua¸c˜ao, assessorados pelo profissionalismo e pelo trabalho competente de Sandra Fonseca Rocha.
Agrade¸co ao prof. Djairo Guedes de Figueiredo pela aten¸c˜ao com que leu este trabalho e pelos conselhos e observa¸c˜oes pertinentes. Agrade¸co igualmente ao prof. Jos´e Valdo Abreu Gon¸calves pelo interesse que mostrou pelo trabalho e ao prof. Marcos da Silva Montenegro pelas sugest˜oes concretas e pelas corre¸c˜oes. A todos eles agrade¸co pelas cr´ıticas, pelo encorajamento e pelas sugest˜oes para trabalhos futuros.
Rossana Ribeiro Ten´orio merece um agradecimento especial, tanto pela ajuda inestim´avel na pesquisa bibliogr´afica quanto pelo apoio incondicional, do in´ıcio ao fim.
Nota¸
c˜
oes
≡ igualdade por defini¸c˜ao
≪ ´e muito menor do que
h·,·ie produto escalar usual de RN
h·,·i produto de dualidade
R+ conjunto dos n´umeros reais positivos
B(x, ρ) bola aberta centrada em x e com raio ρ
S(x, ρ) esfera centrada em xe com raio ρ
p′ ≡ p
p−1 expoente conjugado de p
p∗ ≡ Np
N −p expoente cr´ıtico de Sobolev
q=q(a, b)≡ Np
N −p(a+ 1−b) expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev ∆pu(x)≡div
|∇u(x)|p−2∇u(x)
operador p-laplaciano
X∗ espa¸co dual do espa¸co X
C∞
0 (RN) espa¸co das fun¸c˜oes de classe C∞ e suporte compacto em RN Lp
a(RN) espa¸co Lp com peso|x|−a
M(RN) espa¸co de medidas limitadas e positivas em RN
D(RN) espa¸co de distribui¸c˜oes
D1,p
a (RN) fecho de C0∞(RN) na normak · k
un→u convergˆencia forte (em norma)
un⇀ u convergˆencia fraca
|u|p ≡ hZ
RN
|u(x)|pdxi1/p norma no espa¸co Lp(RN) kuk ≡h
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p norma do espa¸co D1a,p(RN)
Γ(z)≡ Z ∞
0
tz−1e−tdt fun¸c˜ao gama
Resumo
Neste trabalho consideramos algumas variantes da classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas emRN da forma
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) em que x ∈ RN, 1 < p ≤ N −1, q = q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)], α, β e λ s˜ao parˆametros,
0< a <(N −p)/p, a≤b≤a+ 1, d, r∈R,k ∈Lq/(q−r)
r(d−b) (RN) ef ∈ L
q b(RN)
∗
. Procuramos solu¸c˜oes para o problema (P) no espa¸co de Sobolev D1,p
a (RN), definido como o
completamento do espa¸coC∞
0 (RN) em rela¸c˜ao `a norma definida por
kuk ≡h Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p
e demonstramos vers˜oes de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade para obtermos resultados de existˆencia e de multiplicidade de solu¸c˜oes.
Abstract
In this work we consider some variants of a degenerate quasilinear elliptic differential equation onRN of the following form
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) where x ∈ RN, 1 < p ≤ N −1, q = q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)], α, β and λ are parameters,
0< a <(N −p)/p, a≤b≤a+ 1, d, r∈R,k ∈Lq/(q−r)
r(d−b) (RN) and f ∈ L
q b(RN)
∗
. We look for solutions of the problem (P) in the Sobolev space D1,p
a (RN) which is defined as the
completion of the space C∞
0 (RN) with respect to the norm defined by
kuk ≡h Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p
Introdu¸
c˜
ao
Neste trabalho consideramos problemas de existˆencia e de multiplicidade de solu¸c˜oes n˜ao triviais para uma classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas emRN da forma
−div
A(x,∇u)∇u
=g(x, u) x∈RN,
em que A ´e uma fun¸c˜ao ilimitada, n˜ao negativa e que se anula em alguns pontos de RN. Mais
especificamente, tratamos de algumas variantes dessa classe de equa¸c˜oes, a saber,
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) em que x ∈ RN, 1 < p ≤ N −1, q = q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)], α, β e λ s˜ao parˆametros,
0< a <(N −p)/p, a≤b ≤a+ 1, d, r∈ R,k ∈Lq/(q−r)
r(d−b) (RN) e f ∈ L
q b(RN)
∗
, que ´e o espa¸co dual de
Lqb(RN)≡nu:RN →R|x|−buq
q = Z
RN
|x|−bq|u(x)|qdx <∞o.
Equa¸c˜oes dessa forma surgem em problemas de existˆencia de solu¸c˜oes estacion´arias para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger anisotr´opica (Dautray e Lions [31], Wang e Willem [67]), em teoria de fluidos n˜ao newtonianos, no estudo de fluidos pseudopl´asticos (diBenedetto [34]), em glaciologia, em problemas de fluxo atrav´es de meios porosos (Cˆırstea, Montreanu e R˘adulescu [29]), em modelos dinˆamicos para gal´axias (Badiale e Tarantello [8]), em teoria cl´assica de aproxima¸c˜oes da mecˆanica estat´ıstica, em ´optica n˜ao linear e na propaga¸c˜ao de laser, em problemas de ondas estacion´arias em equa¸c˜oes n˜ao lineares do tipo de Klein-Gordon ou de Schr¨odinger (Berestycki e Lions [11]) e em v´arios outros modelos.
Procuramos solu¸c˜oes para o problema (P) no espa¸co de Sobolev D1,p
a (RN), definido como o
completamento do espa¸coC∞
0 (RN) em rela¸c˜ao `a norma definida por
kuk ≡h Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p.
O ponto de partida para a abordagem variacional desses problemas ´e a conhecida desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] que garante, para 1< p≤N−1,q=q(a, b)≡Np/[N−p(a+1−b)], 0< a <(N −p)/p ea ≤b≤a+ 1, a existˆencia de uma constante positiva C tal que
hZ
RN
|x|−bq|u(x)|qdxip/q ≤C
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx para toda fun¸c˜ao u ∈ D1,p
a (RN). Esta desigualdade generaliza as desigualdades de Sobolev (p= 2,
a= 0 e b= 0) e de Hardy (p= 2, a= 0 e b = 1).
Assim sendo, associado ao problema (P) temos o funcional de Euler-LagrangeI :Da1,p(RN)→R
dado por
I(u) ≡ 1
p
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx+ λ p
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx
−α
q
Z
RN
|x|−bq|u(x)|qdx−β
r
Z
RN
|x|−drk(x)|u(x)|rdx
− Z
RN
f(x)u(x) dx,
que fica bem definido para os parˆametros e fun¸c˜oes nos intervalos e espa¸cos j´a mencionados.
Usando o produto de dualidade, definimos uma solu¸c˜ao fraca para o problema (P) como sendo um ponto cr´ıtico do funcionalI, ou seja, como uma fun¸c˜aou∈ D1,p
a (RN) tal que
0 = hI′(u), φi =
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|p−2∇u(x)∇φ(x) dx+λ
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|p−2u(x)φ(x) dx
−α
Z
RN
|x|−bq|u(x)|q−2u(x)φ(x) dx−β
Z
RN
|x|−drk(x)|u(x)|r−2u(x)φ(x) dx
− Z
RN
f(x)φ(x) dx
para toda fun¸c˜aoφ ∈ D1,p a (RN).
Tecnicamente existem s´erias dificuldades para se demonstrar a existˆencia de solu¸c˜oes, pois os m´etodos usuais do C´alculo das Varia¸c˜oes n˜ao se aplicam diretamente. A primeira dificuldade est´a relacionada ao espa¸co D1,p
a (RN) que n˜ao ´e um espa¸co de Hilbert quando p 6= 2. Al´em disso, a
equa¸c˜ao diferencial envolve o expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev, trazendo a quest˜ao da ausˆencia de compacidade na imers˜aoD1,p
a (RN)֒→L q
b(RN). Isto, por sua vez, ocasiona que as seq¨uˆencias de
Palais-Smale, em geral, n˜ao possuem subseq¨uˆencias convergentes. Mais detalhadamente, denominamos por seq¨uˆencia de Palais-Smale para o funcional I no n´ıvel c∈R (ou simplesmente, seq¨uˆencia de
Palais-Smale) a uma seq¨uˆencia (un)⊂ Da1,p(RN) tal que
lim
n→∞I(un) =c e nlim→∞kI ′(u
n)k(D1,p
a (RN))∗ = 0. (1.1)
Se toda seq¨uˆencia de Palais-Smale para o funcionalI no n´ıvelcpossui subseq¨uˆencia convergente, dizemos que o funcional I satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. A ausˆencia de compacidade
significa que n˜ao podemos garantir que o funcional I satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c sem
hip´oteses adicionais. Tais dificuldades s˜ao comuns e parecem inerentes a uma classe de problemas que s˜ao invariantes sob a a¸c˜ao de algum grupo de transforma¸c˜oes. Assim, ap´os o trabalho pioneiro de Br´ezis e Nirenberg [17], v´arios pesquisadores tˆem se dedicado nos ´ultimos anos a estudar varian-tes do problema (P), entre os quais citamos Lions [53, 54], Berestycki e Lions [11], Bianchi, Cha-browski e Szulkin [12], Ben-Naoum, Troestler e Willem [10], Ambrosetti, Garcia e Peral [7], Guedda e V´eron [46], Tolksdorf [65], Wang e Willem [67], Catrina e Wang [26], Garcia e Peral [39, 40, 41, 42], Noussair, Swanson e Yang [56], Alves [3], Alves, Gon¸calves e Santos [5], Huang [47], Ghoussoub e Yuan [43], Chen e Li [27], Tarantello [64], Cao e Zhou [22], Cao e Chabrowski [23], Cao, Li e Zhou [24], Caldiroli e Musina [20], R˘adulescu e Smets [59], entre outros.
O problema (P) na forma radial foi tratado inicialmente por Cl´ement, de Figueiredo e Mitidieri em [30] que provaram, por exemplo, o resultado de Br´ezis e Nirenberg [17] para este operador na forma radial. Para extens˜oes nessa linha citamos os trabalhos de de Figueiredo, Gon¸calves e Miyagaki [33], Gon¸calves e Melo [45] e tamb´em Abreu [1].
Nesta monografia estudamos trˆes variantes do problema (P). Os problemas tratados e os resul-tados principais est˜ao descritos nas pr´oximas se¸c˜oes; as demonstra¸c˜oes dos teoremas aparecem nos cap´ıtulos seguintes.
1.1
Problemas de minimiza¸
c˜
ao
Nesta se¸c˜ao tratamos da existˆencia de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes el´ıpticas quase lineares degeneradas em RN da forma
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
O problema (1.2) corresponde ao problema (P) com os valores particulares α = 1, β = 0, λ = 0 e f = 0.
Este problema possui formula¸c˜ao variacional para os parˆametros nos intervalos determinados; especificamente, podemos formular o seguinte problema de minimiza¸c˜ao com v´ınculo.
Seja o funcional E(a, b) :D1,p
a (RN)→R definido por
E(a, b)≡ Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx
hZ
RN
|x|−bq|u(x)|qdxip/q .
Definimos as melhores constantes para imers˜oes de Sobolev, D1,p
a (RN)֒→L q
b(RN), por
S(a, b)≡ inf
u∈D1a,p(RN)
u6≡0
E(a, b). (1.3)
Usando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] podemos garantir que S(a, b) ´e uma constante positiva.
Nosso principal interesse ´e, portanto, a compacidade de seq¨uˆencias minimizantes. O primeiro resultado ´e apresentado a seguir. Para enunci´a-lo usamos a nota¸c˜ao: dada a fun¸c˜ao v(x), definimos vt(x)≡tkv(tx), em que k≡[N −(a+ 1)p]/p.
Teorema 1.1. Sejam p≤N−1, 0≤a <(N −p)/p, a≤b < a+ 1 e q=q(a, b)≡Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja (un)⊂ Da1,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b), isto ´e,
|x|−bun
q= 1 e
|x|−a∇un p
p →S(a, b).
Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia(tn)⊂[0,∞)tal que(untn)⊂ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente.
Em particular, existe um m´ınimou∈ D1,p
a (RN) paraS(a, b).
Lions em [54] e Lieb em [49] demonstraram a existˆencia de um m´ınimo paraS(a, b) no casop= 2, a = 0 e 0 < b < 1. Chou e Chu em [28] demonstraram a existˆencia de um m´ınimo para S(a, b) no caso p = 2 e a ≤ b < a+ 1. Por outro lado, ambos demonstraram que n˜ao existe m´ınimo no caso p = 2 e b = a+ 1. Wang e Willem em [67] estudaram o caso p = 2, N ≥ 3, 0 ≤ a ≤ (N −2)/2, a ≤ b ≤ a+ 1 e q = q(a, b) = 2N/[N −2(a+ 1−b)] e resolveram completamente o problema de compacidade das seq¨uˆencias minimizantes paraS(a, b). Demonstraram que seq¨uˆencias minimizantes s˜ao relativamente compactas, a menos de homotetia, quando p = 2, a ≤ b < a+ 1 e a+b > 0. O casoa =b depende de uma estimativa sutil, pois para esses valores temos q= 2∗ = 2N/(N−2), que ´e o expoente cr´ıtico de Sobolev e ent˜ao existe dupla invariˆancia por homotetia. O m´etodo utilizado apresenta uma avalia¸c˜ao quantitativa da n˜ao compacidade das seq¨uˆencias minimizantes e depende apenas da compacidade fraca das seq¨uˆencias limitadas em conjuntos com medidas limitadas.
Nosso resultado generaliza a abordagem de Wang e Willem em [67]. Especificamente, estudamos um caso mais geral para o expoente p e tratamos o problema atrav´es de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade. Conforme mencionamos no par´agrafo anterior, Wang e Willem em [67] obtiveram uma estimativa precisa para a n˜ao compacidade das seq¨uˆencias minimizantes. No nosso caso, para p 6= 2 obtivemos apenas uma desigualdade (Lema 2.6) e segundo Smets [61, Exemplo 2.3] n˜ao h´a igualdade. Entretanto, mesmo com esta estimativa mais fraca ´e poss´ıvel demonstrar a compacidade relativa das seq¨uˆencias minimizantes.
A seguir consideramos uma perturba¸c˜ao do problema com um termo homogˆeneo. Mais precisa-mente, tratamos da existˆencia de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes el´ıpticas quase lineares degeneradas em RN da forma
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
O problema (1.4) corresponde ao problema (P) com os valores particulares α= 1, β = 0 e f = 0. Este problema possui formula¸c˜ao variacional para os parˆametros nos intervalos determinados; especificamente, podemos formular o seguinte problema de minimiza¸c˜ao com v´ınculo.
Seja o funcional E(a, b, λ) :D1,p
a (RN)→R definido por
E(a, b, λ)≡ Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx
hZ
RN
|x|−bq|u(x)|qdxip/q
e consideremos o seguinte problema de minimiza¸c˜ao:
S(a, b, λ)≡ inf
u∈D1a,p(RN)
u6≡0
E(a, b, λ). (1.5)
Usando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] podemos garantir queS(a, b, λ) ´e uma constante positiva.
Novamente nosso interesse principal ´e a compacidade de seq¨uˆencias minimizantes paraS(a, b, λ). O segundo resultado ´e apresentado a seguir.
Teorema 1.2. Sob as hip´oteses do Teorema 1.1 e considerando −S(a, a+ 1) < λ < 0, existe um m´ınimo u∈ D1,p
a (RN) paraS(a, b, λ).
Lions em [53] demonstrou a existˆencia de um m´ınimo no caso p = 2, a = 0, b = 0 e −S(0,1)< λ <0, enquanto Wang e Willem em [67] consideraram os casos p = 2, N ≥ 3, 0 ≤ a ≤ (N −2)/2, a≤b < a+ 1 e −S(a, a+ 1)< λ <0.
Nosso resultado generaliza os resultados de Wang e Willem [67] para um expoente p mais geral. Vale lembrar que o resultado n˜ao decorre diretamente do casop= 2 dada a inexistˆencia de igualdade para uma estimativa da n˜ao compacidade de seq¨uˆencias minimizantes para S(a, b, λ).
Podemos tamb´em garantir a existˆencia de um m´ınimo para S(a, b, λ) com λ positivo e com hip´oteses adicionais.
Teorema 1.3. Sejam p ≤N −1, 0≤ a < (N −p)/p e q =q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja
(un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b, λ), isto ´e,
|x|−bun
q = 1 e
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p
p →S(a, b, λ).
Suponhamos que sejam v´alidas uma das duas condi¸c˜oes a seguir.
1. a < b < a+ 1 e 0< λ, ou 2. 0< a=b e 0< λ≪1.
Ent˜ao existe seq¨uˆencia (tn)⊂[0,∞) tal que(untn)∈ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente. Em
particular, existe uma fun¸c˜ao u∈ D1,p
a (RN) que atinge S(a, b, λ).
A demonstra¸c˜ao desse resultado segue, em linhas gerais, as mesmas id´eias do Teorema 1.2. Para a= 0, b= 0 eλ >0, temosS(0,0, λ) =S, que ´e a melhor constante para imers˜oes de Sobolev; nesse caso, n˜ao existe fun¸c˜aou∈ D1,p
a (RN) que atinge S(0,0, λ).
Como observa¸c˜ao final para esta se¸c˜ao, mencionamos a positividade das solu¸c˜oes. Tanto para S(a, b) quanto paraS(a, b, λ), as solu¸c˜oes de estado estacion´ario s˜ao positivas em RN e diferenci´aveis
1.2
Multiplicidade via gˆ
enero
Consideremos agora o problema (P) com os valores particulares λ= 0 e f = 0, isto ´e,
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u x∈RN. (1.6)
Trata-se de uma classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas com termos de concavidade e de convexidade em quep≤N−1, q=q(a, b)≡Np/[N−p(a+ 1−b)],a≤(N−p)/p, a≤b < a+ 1, α eβ s˜ao parˆametros, d∈R, 1< r < p ek ∈Lq/(q−r)
r(d−b) (R
N).
Nosso objetivo ´e usar m´etodos variacionais para demonstrar a existˆencia de uma infinidade de solu¸c˜oes para o problema (1.6). Novamente usamos a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Niren-berg [19] para obter uma formula¸c˜ao variacional do problema. A principal dificuldade para se de-monstrar a existˆencia de uma multiplicidade de solu¸c˜oes ´e a ausˆencia de compacidade da imers˜ao
D1,p
a (RN) ֒→ L q
b(RN). Como conseq¨uˆencia, o funcional I : Da1,p(RN) → R associado ao problema
n˜ao satisfaz, em geral, a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Isto representa, quando se usa m´etodos
variacionais, s´erias dificuldades na procura dos pontos cr´ıticos do funcionalI.
Conforme j´a mencionamos, a existˆencia de solu¸c˜oes n˜ao triviais para esta classe de problemas tem sido extensivamente estudada depois do trabalho de Br´ezis e Nirenberg [17], que estudaram o caso p = 2, a = 0, b = 0, d = 0 e k(x)≡ 1. Ainda nesse caso, mas envolvendo n˜ao linearidades do tipo cˆoncavo-convexo mencionamos o artigo de Ambrosetti, Br´ezis e Cerami [6] para problemas em dom´ınios limitados e Bartch e Willem [9] e Tshinanga [66] para problemas desse tipo em dom´ınios ilimitados. (Veja tamb´em Miyagaki [55] e Willem [68].)
Para p 6= 2, a = 0, b = 0, d = 0, k(x) ≡ 1 e p < q < p∗ citamos Garcia e Peral [42], Cao e Li [21], Egnell [36], Guedda e V´eron [46], e Peral [57] e suas referˆencias, que trataram o problema em dom´ınios limitados. Em dom´ınios ilimitados mencionamos, entre outros, os artigos de Ben-Naoum, Troestler e Willem [10] e de Noussair, Swanson e Yang [56].
Ghoussoub e Yuan em [43] estudaram os casos a = 0, d = 0, k(x) ≡ 1 em dom´ınios limitados. Huang em [47] e Chen e Li em [27] trataram o problema em dom´ınios ilimitados ou emRN nos casos
p6= 2, a= 0, b= 0 e p < r < p∗.
Nosso primeiro resultado de multiplicidade de solu¸c˜oes ´e o seguinte.
Teorema 1.4. Sejam p < r < p∗, 1 < p = q (isto ´e, b = a+ 1) e a < (N −p)/p. Suponhamos que a medida de Lebesgue do conjunto {x ∈RN|k(x)> 0} seja positiva. Ent˜ao para todo 0< α <
S(a, a+ 1)e para todo β >0, o problema (1.6) tem infinitas solu¸c˜oes cujas energias correspondentes s˜ao ilimitadas.
Para demonstrar esse teorema seguimos novamente as linhas gerais de Garcia e Peral [42], Hu-ang [47] e Chen e Li [27]. Tamb´em usamos um resultado de Rabinowitz [58, Teorema 9.12].
Para p 6= 2 e 1 < q < p citamos Garcia e Peral [42], no caso a = 0, b = 0, d = 0, e Huang [47] e Chen e Li [27] no caso a = 0 e b = 0, para problemas de multiplicidade de solu¸c˜oes envolvendo o operadorp-laplaciano e com expoente cr´ıtico de Sobolev.
Nosso pr´oximo resultado tamb´em trata do caso 0< a <(N−p)/pe, portanto, com singularidade no operador, em que generalizamos resultados de multiplicidade de solu¸c˜oes devidos a Chen e Li [27] bem como os teoremas de Garcia e Peral [42] e Huang [47].
Teorema 1.5. Sejam 1< r < p, 1< p < N, q =q(a, b) =Np/[N−p(a+ 1−b)] e a <(N−p)/p. Suponhamos que a medida de Lebesgue do conjunto {x∈RN|k(x)>0} seja positiva. Ent˜ao
2. Para todo β > 0, existe A > 0 tal que, se 0 < α < A, ent˜ao o problema (1.6) tem uma sequˆencia de solu¸c˜oes (un)⊂ D1a,p(RN) tal que I(un)<0 e limn→∞I(un) = 0.
A principal dificuldade ´e estabelecer um lema de concentra¸c˜ao de compacidade (Lema 3.2). Nova-mente obtemos desigualdades estritas se n˜ao houver hip´oteses adicionais sobre a convergˆencia pontual da seq¨uˆencia dos gradientes; entretanto, mesmo sem obter um resultado t˜ao forte ´e poss´ıvel demons-trar que vale a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Como no caso anterior, estas dificuldades surgem
devido `a ausˆencia de compacidade para as imers˜oes de Sobolev. Conforme os trabalhos citados, demonstramos a multiplicidade de solu¸c˜oes para o problema (1.6) estudando o gˆenero de conjuntos apropriadamente definidos.
1.3
Perturba¸
c˜
oes n˜
ao autˆ
onomas
Dada uma fun¸c˜ao f ∈ (Lqb(RN))∗, mostramos a existˆencia de duas solu¸c˜oes n˜ao triviais para o
problema com uma perturba¸c˜ao n˜ao autˆonoma
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
=|x|−bq|u|q−2u+f(x) x∈RN. (1.7)
O problema (1.7) corresponde ao problema (P) comλ = 0, α= 1 e β = 0.
Observamos que para a = 0, b = 0, q = 2N/(N −2) e f = 0, o problema em geral n˜ao tem solu¸c˜ao em dom´ınios estrelados e limitados, conforme resultado devido a Pohozaev. Entretanto, para a = 0, b = 0 e f 6≡ 0 o problema (1.7) sempre tem solu¸c˜ao em dom´ınios limitados, conforme resultado de Br´ezis e Nirenberg [18]. Tarantello em [64] estendeu os resultados de Br´ezis e Nirenberg em [18], obtendo um resultado de existˆencia de duas solu¸c˜oes positivas para o problema (1.7) ainda em dom´ınios limitados.
R˘adulescu e Smets em [59] trataram o caso singular, 0< a <2,b = 0 ep= 2, em dom´ınios cˆonicos ilimitados apresentando um tipo diferente de n˜ao compacidade, conforme observado por Caldiroli e Musina em [20].
Antes de enunciar nosso resultado, apresentamos uma nota¸c˜ao. Seja K+ o cone positivo do espa¸co dual Lqb(RN)
∗
, formado pelas fun¸c˜oes f ∈ Lqb(RN)∗
tais que
Z
RN
f(x)u(x) dx≥0
para toda fun¸c˜aou∈ D1,p
a (RN) tal queu(x)≥0 q.t.p. em RN. Enunciamos a seguir o nosso teorema. Teorema 1.6. Suponhamos que 0≤a <(N−p)/pea≤b < a+ 1. Ent˜ao para cada fun¸c˜ao g ∈K+, existe um n´umero real ε0 >0 tal que, para todo 0 < ε≤ε0, o problema (1.7) com f = εg tem pelo menos duas solu¸c˜oes n˜ao negativas.
No nosso caso tratamos um problema envolvendo o expoente p, n˜ao necessariamente p = 2, e consideramos o problema (1.7) com singularidade tanto no operador quanto na n˜ao linearidade, ou seja, supomos 0 ≤ a < (N −p)/p e 0 ≤ b < a + 1. Combinamos o princ´ıpio de minimiza¸c˜ao juntamente com o Teorema do Passo da Montanha para provar a existˆencia de duas solu¸c˜oes para o problema (1.7). A principal dificuldade ´e demonstrar que, para perturba¸c˜oes f ∈ Lqb(RN)∗,
podemos produzir dois valores cr´ıticos para o funcional I associado ao problema, mesmo com uma poss´ıvel falha da condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Para demonstrarmos a existˆencia de uma solu¸c˜ao
Problemas de Minimiza¸
c˜
ao com
Singularidades
2.1
Introdu¸
c˜
ao
Neste cap´ıtulo consideramos a existˆencia de solu¸c˜oes n˜ao triviais para os problemas (1.2) e (1.4), a saber,
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
=|x|−bq|u|q−2u x∈RN
e
−div
|x|−ap|∇u|p−2∇u
+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=|x|−bq|u|q−2u x∈RN.
Para demonstrar a existˆencia de solu¸c˜ao para esses problemas (enunciadas nos Teoremas 1.1, 1.2 e 1.3 e reapresentadas a seguir), devemos mostrar que existe um m´ınimo para os multiplicadores de Lagrange S(a, b) e S(a, b, λ), definidos por (1.3) e (1.5), respectivamente. Entretanto, como S(a, b) = S(a, b,0), basta tratar da existˆencia de um m´ınimo para S(a, b, λ), pois o Teorema 1.1 ´e um caso particular do Teorema 1.2.
Na se¸c˜ao 2.2 enunciamos o Teorema de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, que garante a formula¸c˜ao variacional para esses problemas. Na se¸c˜ao 2.3 mostramos que os problemas s˜ao invariantes por ho-motetia. Em seguida, usando uma fun¸c˜ao apropriada mostramos que, nos intervalos indicados para os parˆametros, os multiplicadores de Lagrange s˜ao estritamente menores do que a constante S para a imers˜ao de SobolevD01,p(RN)֒→Lp
∗
(RN). Demonstramos tamb´em que seq¨uˆencias fracamente
con-vergentes emD1,p
a (RN) convergem fortemente em L p
loc(RN) e usamos esse resultado para demonstrar uma vers˜ao de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade. Isto permite demonstrar os teoremas na se¸c˜ao 2.4.
Teorema 1.1. Sejamp≤N−1,0≤a <(N−p)/p,a≤b < a+1eq=q(a, b)≡Np/[N−p(a+1−b)]. Seja (un)⊂ Da1,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b), isto ´e,
|x|−bun
q= 1 e
|x|−a∇un p
p →S(a, b).
Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia(tn)⊂[0,∞)tal que(untn)⊂ Da1,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente.
Em particular, existe um m´ınimou∈ D1,p
a (RN) paraS(a, b).
Teorema 1.2. Sob as hip´oteses do Teorema 1.1 e considerando −S(a, a+ 1) < λ < 0, existe um m´ınimo u∈ D1,p
a (RN) paraS(a, b, λ).
Teorema 1.3. Sejam p ≤N −1, 0≤ a <(N −p)/p e q = q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja
(un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b, λ), isto ´e,
|x|−bun
q = 1 e
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p
p →S(a, b, λ).
Suponhamos que sejam v´alidas uma das duas condi¸c˜oes a seguir.
1. a < b < a+ 1 e 0< λ, ou 2. 0< a=b e 0< λ≪1.
Ent˜ao existe seq¨uˆencia (tn)⊂[0,∞) tal que(untn)∈ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente. Em
particular, existe uma fun¸c˜ao u∈ D1,p
a (RN) que atinge S(a, b, λ).
2.2
Formula¸
c˜
ao variacional
Come¸camos enunciando o conhecido Teorema de Caffarelli, Kohn e Nirenberg; para a demons-tra¸c˜ao, citamos a referˆencia [19]. (Veja tamb´em Catrina e Wang [26].)
Teorema 2.1. Existe uma constante positiva C tal que para toda fun¸c˜ao u ∈ C∞
0 (RN) vale a
desi-gualdade
|x|−bu
q ≤C
|x|−a|∇u| p
se, e somente se,
a≤ b≤a+ 1 e q =q(a, b) = Np
N −p+p(b−a).
Al´em disso, em todo conjunto compacto no espa¸co de parˆametros no qual valem as condi¸c˜oes acima, a constante C ´e limitada.
O Teorema 2.1 garante a formula¸c˜ao variacional para os problemas (1.2) e (1.4). Assim, procu-ramos m´ınimos para os multiplicadores de Lagrange S(a, b) e S(a, b, λ). Antes, por´em, escrevemos duas importantes desigualdades que ser˜ao ´uteis nas se¸c˜oes seguintes e que seguem imediatamente das defini¸c˜oes (1.3) e (1.5): para toda fun¸c˜aou∈ D1,p
a (RN), valem as desigualdades hZ
RN
|x|−bq|u(x)|qdxip/q ≤ 1
S(a, b)
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx (2.1)
e
hZ
RN
|x|−bq|u(x)|qdxip/q ≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ
Z
RN
|x|−p(a+1)|u(x)|pdxi. (2.2)
2.3
Seq¨
uˆ
encias minimizantes para
S
(
a, b, λ
)
Para provar queS(a, b, λ) ´e atingido, consideramos uma seq¨uˆencia minimizante arbitr´aria (un)⊂ D1,p
a (RN) tal que
|x|−bun
q = 1 e
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p
p → S(a, b, λ).
Passando a uma subseq¨uˆencia, ainda denotada por (un), podemos supor que existeu∈ Da1,p(RN) tal
que
un⇀ u fracamente em D1a,p(RN).
Isto se justifica porque a seq¨uˆencia (un)⊂ D1a,p(RN) ´e limitada, j´a que
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p p
converge paraS(a, b, λ). Como toda seq¨uˆencia limitada possui subseq¨uˆencia fracamente convergente, obtemos a existˆencia de u∈ D1,p
a (RN). Al´em disso, temos
|x|−a∇u p p+λ
|x|−(a+1)u p
p ≤lim infn→∞
|x|−a∇un p p +λ
|x|−(a+1)un p
p →S(a, b, λ)
pois a norma ´e fracamente semicont´ınua inferiormente. (Veja Lieb e Loss [50, Teorema 2.11].) A fun¸c˜ao u ∈ D1,p
a (RN) ser´a um m´ınimo para S(a, b, λ) desde que |x|−bu
q = 1; entretanto, por
ora temos apenas |x|−bu
q ≤1.
Agora enunciamos o seguinte resultado sobre a homotetia de uma fun¸c˜ao no espa¸co D1,p a (RN). Proposi¸c˜ao 2.2. Sejam v ∈ D1,p
a (RN) e t ∈ R+. Definimos a homotetia por vt(x) ≡ tkv(tx), em
1.
|x|−a∇vt p p +λ
|x|−(a+1)vt p p =
|x|−a∇v p p+λ
|x|−(a+1)v p p.
2.
|x|−bvt
q =
|x|−bv q.
Demonstrac¸˜ao. Para verificar a igualdade 1 usamos a defini¸c˜ao de vt(x) e obtemos ∇vt(x) =
tk+1∇v(tx). Fazendo a substitui¸c˜ao x=z/t e dx=t−Ndz, resulta
|x|−a∇vt(x) p p =
Z
RN
|x|−aptp(k+1)|∇v(tx)|p dx
=
Z
RN
|z|−aptp(k+1)+ap−N|∇v(z)|pdz. Analogamente, temos
|x|−(a+1)vt p p = Z RN
|x|−(a+1)ptpk|v(tx)|pdx =
Z
RN
|z|−(a+1)ptpk+(a+1)p−N|v(z)|pdx.
Pela escolha da constantek, os expoentes detnas integrais acima valem zero, isto ´e,p(k+1)+ap−N = 0 e tamb´em pk+ (a+ 1)p−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos
|x|−a∇vt(x)|pp+λ
|x|−(a+1)vt p p = Z RN
|z|−ap|∇v(z)|pdz+λ
Z
RN
|z|−(a+1)ptpk+(a+1)p−N|v(z)|pdx = |z|−a∇v(z)
p p+λ
|z|−(a+1)v(z) p p
e a igualdade 1 fica demonstrada.
Para verificar a igualdade 2 usamos novamente a defini¸c˜ao da homotetia e obtemos
|x|−bvt(x) q q = Z RN
|x|−bqtqk|v(tx)|q dx
=
Z
RN
|z|−bqtqk+qb−N|v(z)|qdz,
em que usamos a mesma substitui¸c˜ao. O expoente de t na igualdade acima tamb´em vale zero, isto ´e, qk+qb−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos
|x|−bvt(x) q q = Z RN
|z|−qb|v(z)|qdz =
|z|−bv(z) q q,
o que conclui a demonstra¸c˜ao da igualdade 2 e da proposi¸c˜ao. ✷
As propriedades 1 e 2 da Proposi¸c˜ao 2.2 garantem que o problema de encontrar minimizantes para S(a, b, λ) ´e invariante por homotetia. O pr´oximo passo consiste em provar que a seq¨uˆencia (un) ⊂ D1a,p(RN) ´e relativamente compacta a menos de homotetia. Antes, por´em, precisamos de
alguns resultados preliminares. ´
E fato conhecido que para p= 2 a fun¸c˜ao u(x)≡
1 +|x|2−(N−2)/2
assume o n´umero
S =S(0,0,0) =
Z
RN
|∇u(x)|2 dx
hZ
RN
|u(x)|2∗ dxi2/2
∗,
que ´e a melhor constante de Sobolev para a imers˜ao D10,2(RN) ֒→ L2∗(RN) (veja Talenti [63]). No
lema a seguir trabalhamos com a fun¸c˜aou(x) =
1 +|x|p/(p−1)−(N−p)/p
Lema 2.3. Seja a∈R tal que 0≤a <(N−p)/p. Definimos a fun¸c˜ao g :0,(N −p)/p →R por
g(a)≡S(a, a) =
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|p dx hZ
RN
|x|−ap∗
|u(x)|p∗
dxip/p
∗, (2.3)
em que u(x)≡
1 +|x|p/(p−1)−(N−p)/p
. Ent˜ao g′(a)<0 para a∈ 0,(N−p)/p
e g′(0+) = 0.
Demonstrac¸˜ao. Reescrevendo a fun¸c˜aou(x) como
u(x)≡[1 +|x|p/(p−1)]−(N−p)/p=h1 +
N X
j=1
x2jp/2(p−1)i−(N−p)/p
temos
∂u ∂xj
(x) =p−N p−1
xj
1 +|x|p/(p−1)−N/p
|x|(2−p)/(p−1)
e, portanto,
|∇u(x)|p =N −p p−1
p |x|p/(p−1)
[1 +|x|p/(p−1)]N.
Para avaliarg(a), consideramos inicialmente o integrando do numerador de (2.3), que ´e
|x|−ap|∇u(x)|p =|x|−ap
N −p p−1
p
|x|p/(p−1) [1 +|x|p/(p−1)]N.
Definindo
f1(t)≡t−ap
N −p p−1
p
tp/(p−1) [1 +tp/(p−1)]N,
temos |x|−ap|∇u(x)|p =f1(|x|). Com isso, Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|p dx = Z ∞
0
ωf1(r)rN−1dr =
Z ∞
0 ω
N −p p−1
p
r−ap rp/(p−1)
1 +rp/(p−1)Nr
N−1dr
= ω
N −p p−1
pZ ∞
0
r−ap+p/(p−1)+N−1
1 +rp/(p−1)−N
dr
em que r=|x| eω ´e o volume da esfera unit´aria SN−1.
Quanto ao integrando do denominador de (2.3), temos
|x|−ap∗|u(x)|p∗ =|x|−ap∗
1 +|x|p/(p−1)−N
.
Definindo
f2(t)≡t−ap∗
1 +tp/(p−1)−N
, temos |x|−ap∗
|u(x)|p∗
=f2(|x|). Assim,
Z
RN
|x|−ap∗|u(x)|p∗ dx =
Z ∞
0
ωf2(r)rN−1dr =
Z ∞
0
ωr−ap∗
1 +rp/(p−1)−N
rN−1dr
= ω
Z ∞
0
r−ap∗+N−1
1 +rp/(p−1)−N
Dessa forma, resulta que
g(a) = ω
N −p p−1
pZ ∞
0
r−ap+p/(p−1)+N−1
1 +rp/(p−1)−N
dr
h
ω
Z ∞
0
r−ap∗+N−1
1 +rp/(p−1)−N
drip/p
∗
Efetuando a mudan¸ca de vari´aveisrp/(p−1) =s, isto ´e,r=s(p−1)/p edr= [(p−1)/p]s−1/pds, obtemos
g(a) =
ωN −p p−1
pp−1
p
Z ∞
0
[1 +s]−Ns−a(p−1)+N(p−1)/p ds
h
ωp−1 p
ip/p∗
hZ ∞
0
[1 +s]−Ns−1−ap∗(p−1)/p+N(p−1)/pdsip/p
∗ (2.4)
Agora usamos a f´ormula
Z ∞
0
[1 +s]−(x+y)sx−1ds = Γ(x) Γ(y) Γ(x+y)
para reescrever a fun¸c˜ao g(a), em que Γ(x) denota a conhecida fun¸c˜ao gama. Para a integral do numerador de (2.4) fazemosx= 1 + [(p−1)(N −ap)]/pe y=−1 + [N +ap(p−1)]/p. Assim,
Z ∞
0
[1 +s]−Ns−a(p−1)+N(p−1)/pds=
Γ(p−1)(N −ap)
p + 1
ΓN+ap(p−1)
p −1
Γ(N) . (2.5)
Quanto `a integral no denominador de (2.4) fazemosx= (p−1)(N−ap∗)/pey= [N+ap∗(p−1)]/p. Dessa forma,
Z ∞
0
(1 +s)−Ns−1−ap∗(p−1)/p+N(p−1)/p
ds =
Γ(p−1)(N −ap ∗)
p
ΓN+ap
∗(p−1)
p
Γ(N) . (2.6)
Substituindo as igualdades (2.5) e (2.6) em (2.4), obtemos
g(a) =
ωN −p p−1
pp−1
p
hΓ
(p−1)(N −ap)
p + 1
ΓN+ap(p−1)
p −1
Γ(N)
i
h
ωp−1 p
ip/p∗hΓ
(p−1)(N −ap∗)
p
ΓN +ap
∗(p−1)
p
Γ(N)
ip/p∗
Usando as rela¸c˜oes Γ(z+ 1) =zΓ(z) e Γ(z−1) = (z−1)−1Γ(z), obtemos
g(a) = hωp−1 p
ip/NN −p
p−1
p
Γ(N)−p/N (p−1)(N −ap)
N −(a+ 1)p+ap2
×
ΓN(p−1)
p −a(p−1)
h
ΓN(p−1)
p −
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N
ΓN
p +a(p−1)
h
ΓN
p +
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N
= hωp−1 p
ip/N
Γ(N)−p/N
ΓN
p +a(p−1)
h
ΓN
p +
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N
×N −p
p−1
ph (N −ap)(p−1)
N−(a+ 1)p+ap2
i Γ
N(p−1)
p −a(p−1)
h
ΓN(p−1)
p −
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N
Definindo as fun¸c˜oes
h1(a) ≡ hωp−1 p
ip/N
Γ(N)−p/N
ΓN
p +a(p−1)
h
ΓN
p +
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N,
h2(a) ≡ N −p
p−1
ph (N −ap)(p−1)
N −(a+ 1)p+ap2
i
,
h3(a) ≡
ΓN(p−1)
p −a(p−1)
h
ΓN(p−1)
p −
Na(p−1) N −p
i(N−p)/N,
resulta que
g(a) =h1(a)h2(a)h3(a)
Usando a proposi¸c˜ao seguinte obtemosg′(a)<0 paraa ∈ 0,(N −p)/p
e g′(0+) = 0. ✷
Proposi¸c˜ao 2.4. Sejam h1, h2, h3 :
0,(N − p)/p) → R as fun¸c˜oes definidas acima. Ent˜ao s˜ao
v´alidas as seguintes afirmativas:
1. h′
1(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p
e h′
1(0+) = 0.
2. h′
2(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p
e h′
2(0+) = 0.
3. h′
3(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p
e h′
3(0+) = 0.
Demonstrac¸˜ao. Na demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao usaremos a fun¸c˜ao Γ′(z)
Γ(z) =−γ− 1 z + ∞ X k=1 1 k − 1 k+z
(2.7)
definida paraz 6= 0,−1,−2, . . . e que ´e estritamente crescente emz ∈(0,+∞). Na express˜ao (2.7), γ =−Γ′(1)>0 denota a constante de Euler-Mascheroni.
h′1(a) = hωp−1 p
ip/N
Γ(N)−p/N
(p−1)ΓN
p +a(p−1)
h
ΓN
p +
Na(p−1) N−p
i− N−pp ×
Γ′N
p +a(p−1)
ΓN
p +a(p−1)
−
Γ′N
p +
Na(p−1) N −p
ΓN
p +
Na(p−1) N −p
. (2.8)
Claramente N/p+a(p−1)< N/p+Na(p−1)/(N −p) e, pelo crescimento de Γ′(z)/Γ(z), o termo entre chaves na express˜ao (2.8) ´e negativo; como os outros fatores da derivada deh1(a) s˜ao positivos, resulta que h′
1(a) < 0 para a ∈ 0,(N −p)/p
. Al´em disso, temos h′
1(0+) = 0 e isto conclui a demonstra¸c˜ao da afirmativa 1.
A derivada de h2(a) vale
h′2(a) =−N −p
p−1
p p2(p−1)(N −1)
N −(a+ 1)p+ap22
e, portanto, h′
2(a) < 0 para a ∈
0,(N −p)/p
. Tamb´em temos h′
2(0+) = 0 e a afirmativa 2 fica demonstrada.
Para verificar a afirmativa 3, calculamos a derivada deh3(a) e obtemos
h′3(a) = −(p−1)ΓN(p−1)
p −a(p−1)
h
ΓN(p−1)
p −
Na(p−1) N−p
i− Np−p ×
Γ′N(p−1)
p −a(p−1)
ΓN(p−1)
p −a(p−1)
−
Γ′N(p−1)
p −
Na(p−1) N −p
ΓN(p−1)
p −
Na(p−1) N −p
(2.9)
ComoN(p−1)/p−a(p−1)> N(p−1)/p−aN(p−1)/(N−p) e pelo crescimento de Γ′(z)/Γ(z), o termo entre chaves na express˜ao (2.9) ´e positivo; como o produto dos outros fatores ´e negativo, resulta que h′
3(a)< 0 para a ∈ 0,(N −p)/p
. Al´em disso temos h′
3(0+) = 0. Isto conclui a demonstra¸c˜ao
da afirmativa 3 e da proposi¸c˜ao. ✷
A seguir enunciamos um lema que ser´a ´util na demonstra¸c˜ao do lema de concentra¸c˜ao de compacidade.
Lema 2.5. Sejam N ≥p+ 1 e 0≤a <(N −p)/p. Se un⇀ u fracamente em Da1,p(RN), ent˜ao |x|−aun→ |x|−au em Lploc(RN).
Demonstrac¸˜ao. DadoR ∈R+, temos
Z
B(0,R)
|x|−ap|u(x)|pdx =
Z
B(0,R)
|x|p|x|−(a+1)p|u(x)|pdx
≤ Rp
Z
B(0,R)
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx. (2.10)
Fazendob =a+ 1, obtemos q(a, a+ 1) =p; substituindo estes valores na desigualdade (2.1), resulta
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx≤ 1
S(a, a+ 1)
Z
RN
Substituindo a ´ultima desigualdade em (2.10), obtemos
Z
B(0,R)
|x|−ap|u(x)|pdx ≤ Rp Z
B(0,R)
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx
≤ Rp Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx
≤ R
p
S(a, a+ 1)
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx.
Podemos supor que un ⇀0 fracamente em Da1,p(RN); caso contr´ario, trabalhamos com a seq¨uˆencia
(vn)⊂ Da1,p(RN) definida por vn ≡un−u e usamos o lema de Br´ezis-Lieb (Lema A.4) comfn =vn.
Pela desigualdade precedente, para todo n´umero real ε >0, existe um raio ρ ∈ R+ suficientemente
pequeno tal que vale a desigualdade
Z
B(0,ρ)
|x|−ap|un(x)|pdx≤ε. (2.11)
para todon ∈N. De fato, como un⇀0 fracamente em D1,p
a (RN), ent˜ao a seq¨uˆencia (un) ´e limitada
em D1,p
a (RN) e existe uma constante M ∈R+ tal que kuk ≡h
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p≤M.
Assim, escolhendo ρ∈R+ de forma que
ρp < S(a, a+ 1)
Mp ε,
obtemos Z
B(0,ρ)
|x|−ap|∇u(x)|pdx ≤ ρ p
S(a, a+ 1)
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx
≤ ρ
pMp
S(a, a+ 1) < ε,
que ´e a desigualdade (2.11). O Teorema de Rellich implica que |x|−au
n → 0 em Lploc RN\B(0, ρ)
. Especificamente, para cada subconjunto K ⊂ RN aberto, relativamente compacto, n˜ao contendo a
origem e com fronteira regular, temos as inclus˜oes compactas
D1a,p(K)֒→Lq(K)֒→L1(K). Ou seja, se|x|−au
n ⇀|x|−aufracamente emDa1,p(K), ent˜ao|x|−aun → |x|−aufortemente emLq(K),
o que por sua vez implica em |x|−ap|u
n|p → |x|−apup fortemente em L1(K). Isto conclui a
demons-tra¸c˜ao do lema. ✷
No lema seguinte, denotamos por M(RN) o espa¸co de medidas limitadas e positivas emRN.
Lema 2.6. Sejam N ≥p+ 1, 0≤a < (N −p)/p, a ≤b ≤a+ 1, −S(a, a+ 1)< λ e q =q(a, b)≡
Np/[N−p(a+ 1−b)]. Seja uma seq¨uˆencia(un)⊂ D1a,p(RN)tal que valem as seguintes convergˆencias:
1. un⇀ u fracamente em D1a,p(RN).
2. |x|−a∇(un−u) p
+λ|x|−(a+1)(un−u) p
⇀ γ fracamente em M(RN).
3.
|x|−b(u n−u)
q
4. un→u q.t.p. em RN.
Definimos tamb´em as medidas de concentra¸c˜ao no infinito
ν∞ ≡ lim
R→∞lim supn→∞
Z
|x|≥R
|x|−bq|un(x)|q dx,
γ∞ ≡ lim
R→∞lim supn→∞
hZ
|x|≥R
|x|−ap|∇u(x)|p dx+λ
Z
|x|≥R
|x|−(a+1)p|un(x)|p dx i
.
Ent˜ao
kνkp/q ≤ [S(a, b, λ)]−1kγk, (2.12)
ν∞p/q ≤ [S(a, b, λ)]−1γ∞ (2.13)
lim sup
n→∞
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p p ≥
|x|−a∇u p p+λ
|x|−(a+1)u p
p+kγk+γ∞, (2.14)
lim sup
n→∞
|x|−bun q q =
|x|−bu
q
q+kνk+ν∞. (2.15)
Al´em disso, para u(x) ≡0, se b < a+ 1 e kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk, ent˜ao as medidas ν e γ est˜ao
concentradas em um ´unico ponto.
Demonstrac¸˜ao. Suponhamos inicialmente que u≡ 0. Escolhendo h∈ D(RN) temos que (hun)⊂
D1,p
a (RN) e, pela defini¸c˜ao deS(a, b, λ), resulta que hZ
RN
|x|−bq|(hu
n)(x)|qdx ip/q
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i
para todo n ∈ N. Como un ⇀ u fracamente em D1,p
a (RN), o Lema 2.5 implica que |x|−aun → |x|−au≡0 em Lp
loc(RN), isto ´e,
Z
Ω
|x|−ap|un(x)|pdx→ Z
Ω
|x|−ap|u(x)|pdx≡0
para cada subconjunto aberto e limitado Ω⊂RN. Usando a desigualdade (5) da Proposi¸c˜ao A.1, a
saber,
|a+b|p
≤ε(1 +ε)|a|p+C(ε, p)|b|p,
v´alida para 0< p <∞e ε >0, temos que
Z
RN
|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx
≤(1 +ε)
Z
RN
|x|−ap|h(x)∇un(x)|pdx+C(ε, p) Z
RN
|x|−ap|un(x)∇h(x)|pdx.
Substituindo esta desigualdade em (2.2), obtemos
hZ
RN
|x|−bq|(hu
n)(x)|qdx ip/q
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|h(x)∇un(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i
+ C(ε, p) S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|u
n(x)∇h(x)|pdx+
ε S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|h(x)∇u
Para o lado esquerdo da desigualdade (2.16) temos
lim
n→∞
hZ
RN
|x|−bq|(hun)(x)|qdx ip/q
=h
Z
RN
|h(x)|qdνip/q.
Para a primeira parcela do lado direito da desigualdade (2.16) temos
lim
n→∞ 1 S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|h(x)|p|∇u(x)|pdx+λ
Z
RN
|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i
= 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|h(x)|pdγi.
Para a segunda parcela temos
lim
n→∞
C(ε, p) S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|un(x)|p|∇h(x)|pdx= 0
e para a terceira parcela temos
lim
n→∞ ε S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|h(x)|p|∇un(x)|pdx=εK,
em que K ∈R+ ´e uma constante. Dessa forma,
hZ
RN
|h(x)|qdνip/q ≤ 1
S(a, b, λ)
Z
RN
|h(x)|pdγ +εK (2.17)
e como a fun¸c˜ao h ∈ D(RN) ´e arbitr´aria e tem medida finita, bem como ε > 0 ´e arbitr´ario, a
desigualdade (2.17) implica que
kνkp/q ≤ 1
S(a, b, λ)kγk
e isto demonstra a desigualdade (2.12).
Para demonstrar a desigualdade (2.13) usamos a seguinte fun¸c˜ao corte. Dado R > 1, seja ψR ∈
C∞(RN) uma fun¸c˜ao tal que ψ
R(x) ≡ 1 para |x| > R+ 1, ψR(x) ≡ 0 para |x| < R e ainda
0 ≤ ψR(x) ≤ 1 para todo x ∈ RN. Usando a desigualdade novamente a desigualdade (5) da
Proposi¸c˜ao A.1 e a defini¸c˜ao de S(a, b, λ), temos
hZ
RN
|x|−bq|(ψRun)(x)|qdx ip/q
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|∇(ψRun)(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(ψRun)(x)|pdx i
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(ψun)(x)|pdx i
+ C(ε, p) S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|un(x)∇ψR(x)|pdx+
ε S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx.(2.18)
O Lema 2.5 implica que
|x|−au
lim sup
n→∞
hZ
RN
|x|−bq|(ψRun)(x)|qdx ip/q
≤lim sup
n→∞
1 S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|ψ
R(x)∇un(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(ψ
Run)(x)|pdx i
+ lim sup
n→∞
C(ε, p) S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|un(x)|p|∇ψR(x)|pdx
+ lim sup
n→∞
ε S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx (2.19)
Por outro lado, temos
Z
|x|>R+1
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R+1
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx
≤ Z
RN
|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx (2.20) ≤
Z
|x|>R
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx. (2.21)
Usando a defini¸c˜ao de γ∞ e as desigualdades (2.20) e (2.21) resulta
γ∞ = lim
R→∞lim supn→∞
hZ
|x|>R+1
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R+1
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i
≤ lim
R→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx i
≤ lim
R→∞lim supn→∞
hZ
|x|>R
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i
= γ∞.
Isto significa que valem as igualdades nas express˜oes acima, ou seja,
γ∞= lim
R→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx i
. (2.22)
Analogamente, temos
Z
|x|>R+1
|x|−bq|un(x)|qdx ≤ Z
RN
|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx (2.23)
≤ Z
|x|>R
|x|−bq|un(x)|qdx. (2.24)
Usando a defini¸c˜ao de ν∞ e as desigualdades (2.23) e (2.24), resulta
ν∞ = lim
R→∞lim supn→∞
Z
|x|>R+1
|x|−bq|un(x)|qdx ≤ lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx ≤ lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
|x|−bq|u
n(x)|qdx
Novamente temos que valem as igualdades nas express˜oes acima, ou seja,
ν∞= lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
|x|−bq|un|qψRq dx. (2.25) Da desigualdade (2.19) e das express˜oes (2.22) e (2.25), obtemos
ν∞p/q = lim
R→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx ip/q
≤ lim
R→∞lim supn→∞ 1 S(a, b, λ)
hZ
RN
|x|−ap|ψ
R(x)∇un(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(ψ
Run)(x)|pdx i
+ lim
R→∞lim supn→∞
C(ε, p) S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|un(x)∇ψR(x)|pdx
+ lim
R→∞lim supn→∞ ε S(a, b, λ)
Z
RN
|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx
= 1
S(a, b, λ)γ∞+εK,
em que K ∈R+ ´e uma constante. Como ε >0 ´e arbitr´ario, temos
ν∞p/q ≤ 1
S(a, b, λ)γ∞,
que ´e a desigualdade (2.13).
Suponhamos agora que u(x) ≡ 0 e que b = a+ 1. Se vale a igualdade na express˜ao (2.12), isto ´e, se kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk, ent˜ao a desigualdade (2.17) bem como a desigualdade de H¨older implicam, para h∈ D(RN), que
hZ
RN
|h(x)|qdνip/q ≤ 1
S(a, b, λ)
Z
RN
|h(x)|pdγ
≤ 1
S(a, b, λ)
hZ
RN
|h(x)|qdγip/qkγk(q−p)/q. Deduzimos, portanto, que
ν =
S(a, b, λ)−q/p
kγk(q−p)/pγ. (2.26)
De fato, suponhamos que n˜ao seja v´alida a igualdade (2.26). Ent˜ao existe um subconjunto aberto Ω⊂RN tal que vale a desigualdade estrita
ν(Ω)< 1
S(a, b, λ)q/pkγk
(q−p)/pγ(Ω).
Portanto,
kνk = |hν,1i|=
Z
Ω dν+
Z
RN\Ω
dν
<
Z
Ω
1
S(a, b, λ)q/pkγk
(q−p)/pdγ+ Z
RN\Ω
1
S(a, b, λ)q/pkγk
(q−p)/pdγ
=
Z
RN
1
S(a, b, λ)q/pkγk
(q−p)/pdγ
= 1
S(a, b, λ)q/pkγk
e, consequentemente, vale tamb´em a desigualdade estrita
kνkp/q < 1
S(a, b, λ)kγk,
o que ´e uma contradi¸c˜ao com kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk. Seja agorah∈ D(RN). Usando a igualdade
γ = [S(a, b, λ)]q/pkγk(p−q)/pν, que ´e conseq¨uˆencia imediata de (2.26), obtemos
hZ
RN
|h(x)|qdνip/q kγk (q−p)/p
S(a, b, λ)(q−p)/p ≤ Z
RN
|h(x)|pdν
Como por hip´otese kνkp/q = 1
S(a, b, λ)kµk, resulta que
kµk(q−p)/p
S(a, b, λ)(q−p)/p =kνk
(q−p)/q;
portanto,
hZ
RN
|h(x)|qdνip/qkνk(q−p)/q ≤ Z
RN
|h(x)|pdν
para toda fun¸c˜aoh∈ D(RN). Tamb´em para cada subconjunto aberto Ω⊂RN vale a desigualdade
ν(Ω)p/qkνk(q−p)/q ≤ν(Ω). Portanto,
ν(Ω)p/qν(RN)(q−p)/q ≤ν(Ω),
Como o subconjunto aberto Ω ⊂ RN ´e arbitr´ario, esta ´ultima desigualdade significa que ν(Ω) = 0
ou [ν(Ω)]p/qν(RN)(q−p)/q ≤ ν(Ω), isto ´e, ν(Ω) = ν(RN). Em outros termos, a medida ν ´e zero ou
´e total e, portanto, est´a concentrada em um ´unico ponto. Consequentemente, a medida γ tamb´em est´a concentrada em um ´unico ponto.
Consideramos agora o caso geral, em que possivelmenteu6≡0; neste caso, definimos vn≡un−u,
e ent˜aovn⇀0 fracamente emDa1,p(RN). Usando o lema de Brezis-Lieb (Lema A.4) aplicado a uma
fun¸c˜ao n˜ao negativa h∈ D(RN), temos que
Z
RN
h(x)|x|−bq|u(x)|qdx= lim
n→∞
hZ
RN
h(x)|x|−bq|un(x)|qdx− Z
RN
h(x)|x|−bq|vn(x)|qdx i
.
De fato,
lim
n→∞
hZ
RN
|un(x)|qdx− Z
RN
|un(x)−u(x)|qdx i
=
Z
RN
|u(x)|qdx, e, portanto, ap´os multiplica¸c˜ao dos integrandos acima pela fun¸c˜aoh(x)|x|−bq, resulta
lim
n→∞
hZ
RN
h(x)|x|−bq|un(x)|qdx− Z
RN
h(x)|x|−bq|vn(x)|qdx i
=
Z
RN
h(x)|x|−bq|u(x)|qdx; assim, obtemos
Com estas convergˆencias fracas no espa¸co M(RN), a desigualdade (2.12) no caso geral segue da
correspondente desigualdade para a seq¨uˆencia (vn)⊂ Da1,p(RN).
Prosseguindo, temos
Z
|x|>R
|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx
− Z
|x|>R
|x|−ap|∇u
n(x)|pdx−λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|u
n(x)|pdx = Z
|x|>R
|x|−ap|∇(un−u)(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|(un−u)(x)|pdx
− Z
|x|>R
|x|−ap|∇un(x)|pdx−λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx
≤εh
Z
|x|>R
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i
+C(ε, p)h
Z
|x|>R
|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ
Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|u(x)|pdxi
em que usamos a desigualdade (4) da Proposi¸c˜ao A.1, a saber,
|a+b|p− |a|p
≤ε|a|p+C(ε, p)|b|p,
v´alida para 0< p <∞e ε >0. Dessa forma,
lim sup n→∞
Z
|x|>R
|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx
−lim sup
n→∞
Z
|x|>R
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx
≤εK +o(1)
pois
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx e
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdx s˜ao integr´aveis e a seq¨uˆencia (un)⊂ Da1,p(RN) ´e
limitada. Assim, calculando o limite quandoR → ∞obtemos
Rlim→∞lim sup n→∞
hZ
|x|>R
|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z
|x|>R
|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx i
−γ∞
≤εK.
Usando o lema de Br´ezis-Lieb (Lema A.4), temos
Z
|x|>R
|x|−bq|u(x)|qdx= lim
n→∞
hZ
|x|>R
|x|−bq|un(x)|qdx− Z
|x|>R
|x|−bq|vn(x)|qdx i
,
e, portanto,
lim
R→∞lim supn→∞
Z
|x|>R
|x|−bq|vn(x)|qdx
= lim
R→∞lim supn→∞
hZ
|x|>R
|x|−bq|un(x)|qdx− Z
|x|>R
|x|−bq|u(x)|qdxi =ν∞,
pois
Z
|x|>R
Como ν ´e uma medida finita, o conjunto
D≡ {x∈RN|ν({x})>0}
´e no m´aximo enumer´avel. Sejaψj ∈C0∞ B(rj, x)
uma fun¸c˜ao positiva tal queψj(x) = 1 = supRNψj,
em que rj →0 quando j → ∞.
Dado x∈D, e usando uma vez mais a desigualdade (4) da Proposi¸c˜ao A.1, obtemos
γ({x}) = lim
j→∞γ(ψj)
= lim
j→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−ap|ψj(x)∇(un−u)(x)|pdx
+λR
RN|x|−(a+1)p|[ψj(un−u)](x)|pdx i
= lim
j→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇[ψj(un−u)](x)|pdx
+λR
RN|x|−(a+1)p|[ψj(un−u)](x)|pdx i
≥ S(a, b, λ)h lim
j→∞lim supn→∞
Z
RN
|x|−bq|[ψj(un−u)](x)|qdx i
= S(a, b, λ)[ν({x})]p/q.
Suponhamos que
|x|−a∇un p
+λ
|x|−(a+1)un p
⇀γ˜ fracamente em M(RN)
para alguma medida finita e positiva ˜γ ∈ M(RN). Dada uma fun¸c˜ao h∈C∞
0 (RN), temos
Z
RN
|x|−ap|∇(un−u)(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|(un−u)(x)|pdx −
Z
RN
|x|−ap|∇un(x)|pdx−λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx
≤εh
Z
RN
|x|−ap|∇u
n(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|u
n(x)|pdx i
+C(ε, p)h
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ
Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pdxi.
Assim,
γ({x}) = ˜γ({x}) x∈D.
Como a aplica¸c˜aov 7→ Z
RN
h(x)|x|−ap|v(x)|pdx´e convexa em Lp(RN) parah∈C∞
0 (RN) positiva, resulta que essa aplica¸c˜ao tamb´em ´e fracamente seq¨uencialmente semicont´ınua inferiormente. Por-tanto, ˜γ ≥ |x|−ap|∇u(x)|p. E usando a ortogonalidade de |x|−ap|∇u(x)|p com as medidas de Dirac,
obtemos
˜
γ ≥ |x|−ap|∇u(x)|p+kγk. Dessa forma,
lim sup
n→∞
Z
RN
|x|−ap|∇un(x)|p
(1−ψR(x)) dx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|p
(1−ψR(x)) dx ≥
Z
RN
|x|−ap|∇u(x)|p
(1−ψR(x)) dx+λ Z
RN
Logo,
lim sup
n→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i
≥lim sup
n→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|pψR(x) dx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|pψR(x) dx i
+ lim
n→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|p[1−ψR(x)] dx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|p[1−ψR(x)] dx i
= lim sup
n→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇un(x)|pψR(x) dx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|un(x)|pψR(x) dx i
+ ˜γ[1−ψR(x)]
= lim
R→∞lim supn→∞
hZ
RN
|x|−ap|∇u(x)|pψR(x) dx+λ Z
RN
|x|−(a+1)p|u(x)|pψR(x) dx i
+ lim
R→∞γ˜(1−ψR(x)) =γ∞+kγ˜k
≤γ∞+|x|−ap|∇u|p+λ|x|−(a+1)p|u|p+kγk. Disso resulta que
lim sup
n→∞
|x|−a∇un p p +λ
|x|−(a+1)un p p ≥
|x|−a∇u p p +λ
|x|−(a+1)u p
p+kγk+γ∞
e a desigualdade (2.14) fica demonstrada.
Para todo n´umero real R >1, temos
lim sup
n→∞
Z
RN
|x|−bq|un(x)|qdx
= lim sup
n→∞
hZ
RN
ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|un(x)|qdx i
= lim sup
n→∞
hZ
RN
ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|(vn+u)(x)|qdx i
= lim sup
n→∞
Z
RN
ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ lim sup n→∞
Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|vn(x)|qdx
+Clim sup
n→∞
Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|u(x)|qdx.
FazendoR → ∞, obtemos, pelo Teorema de Lebesgue,
lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
|x|−bq|un|qdx = lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|vn(x)|qdx
+ lim
R→∞lim supn→∞
Z
RN
(1−ψR)|x|−bq|u(x)|qdx
=ν∞+
Z
RN
dν+
Z
RN
|x|−bq|u(x)|qdx =ν∞+kνk+|x|−b|u(x)|
q q Portanto, lim sup n→∞
|x|−b|un| q
q =ν∞+kνk+
|x|−b|u| q q,
2.4
Conclus˜
ao das demonstra¸
c˜
oes dos teoremas
Demonstrac¸˜ao dos Teoremas 1.1 e 1.2. Seja (un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante
para S(a, b, λ). Para todo n´umeron ∈N, existe um n´umerotn∈R+ tal que
Z
B(0,tn)
|x|−bq|un(x)|qdx=
1 2.
De fato, por hip´otese
Z
RN
|x|−bq|u
n(x)|qdx= 1
para todo n ∈N; logo, existe alguma bola aberta, centrada na origem de RN e com raio ρ =tn, na
qual a integral vale exatamente 1/2. Definimos a dilata¸c˜ao vn ≡utnn, isto ´e,
vn(x) =utnn(x)≡tn[N−p(a+1)]/pun(tnx).
Por hip´otese e usando a Proposi¸c˜ao 2.2, temos
|x|−bvn
q =
|x|−bun
q = 1
e
|x|−a∇vn p p+λ
|x|−(a+1)vn p p =
|x|−a∇un p p+λ
|x|−(a+1)un p
p →S(a, b, λ)
quando n→ ∞. Al´em disso,
Z
B(0,1)
|x|−bq|vn(x)|qdx = Z
B(0,1)
|x|−bqtn[N−p(a+1)]/p|un(tnx)| q
dx
=
Z
B(0,1)
|x|−bqtq[N−p(a+1)]/p
n |un(tnx)|qdx
=
Z
B(0,tn)
|z|−bqtnq[N−p(a+1)]/ptnbqt−nN|un(z)|qdz,
em que usamos a substitui¸c˜ao x =z/tn e dx = t−nNdz. O expoente de tn na express˜ao acima vale
zero, isto ´e, q[N −p(a+ 1)]/p+bq−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos
Z
B(0,1)
|x|−bq|vn(x)|qdx= Z
B(0,tn)
|z|−bq|un(z)|qdz =
1
2. (2.29)
Como a seq¨uˆencia (vn)⊂ D1a,p(RN) ´e limitada, podemos extrair uma subseq¨uˆencia, ainda denotada
da mesma forma, e supor que existe uma fun¸c˜ao v ∈ D1,p
a (RN) tal que s˜ao v´alidas as seguintes
convergˆencias:
1. vn ⇀ v fracamente em Da1,p(RN).
2.
|x|−a∇(vn−v)
⇀ γ fracamente em M(RN).
3. |x|−b(vn−v)
⇀ ν fracamente em M(RN).
4. vn →v q.t.p. em RN.
De fato, pela limita¸c˜ao da seq¨uˆencia (vn) no espa¸co reflexivo Da1,p(RN), obtemos uma subseq¨uˆencia
(ainda denotada da mesma forma), tal que vale a convergˆencia fraca do item 1; passando a uma subseq¨uˆencia, obtemos a convergˆencia fraca do item 2 no espa¸co M(RN) das medidas limitadas
e positivas em RN; pela inclus˜ao cont´ınua, resulta, novamente ap´os passagem a subseq¨uˆencia, na