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Existência e Multiplicidade de Soluções para uma Classe de Equações Elíticas quase lineares degeneradas

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Academic year: 2017

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(1)

Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares Degeneradas

(2)

Departamento de Matem´atica

Existˆencia e Multiplicidade de Solu¸c˜oes para uma Classe de

Equa¸c˜oes El´ıpticas Quase Lineares Degeneradas

(3)
(4)

Nota¸c˜oes . . . iv

Resumo . . . v

Abstract . . . v

1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Problemas de minimiza¸c˜ao . . . 2

1.2 Multiplicidade via gˆenero . . . 5

1.3 Perturba¸c˜oes n˜ao autˆonomas . . . 6

2 Problemas de Minimiza¸c˜ao com Singularidades 8 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 8

2.2 Formula¸c˜ao variacional . . . 9

2.3 Seq¨uˆencias minimizantes para S(a, b, λ) . . . 9

2.4 Conclus˜ao das demonstra¸c˜oes dos teoremas . . . 24

3 Multiplicidade de Solu¸c˜oes 28 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 28

3.2 Lemas Auxiliares . . . 28

3.3 Propriedades de Compacidade do Funcional . . . 32

3.4 Multiplicidade de solu¸c˜oes: caso 1< r < p . . . 40

3.5 Multiplicidade de solu¸c˜oes: caso p < r < p∗ . . . . 44

4 Problemas com Perturba¸c˜oes n˜ao Autˆonomas 47 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 47

4.2 A existˆencia da primeira solu¸c˜ao . . . 47

4.3 A existˆencia da segunda solu¸c˜ao . . . 54

A Apˆendice 63 A.1 Desigualdades . . . 63

A.2 Convergˆencia em Espa¸cos de Medidas . . . 63

A.3 Lema de Brezis-Lieb . . . 63

A.4 Lema de Deforma¸c˜ao . . . 64

A.5 Gˆenero e suas propriedades . . . 64

A.6 Operador de superposi¸c˜ao . . . 64

A.7 Princ´ıpio Variacional de Ekeland . . . 65

A.8 Teorema do Passo da Montanha sem a condi¸c˜ao (P S)c . . . 65

Bibliografia 66

(5)

Agradecimentos

Acima de tudo agrade¸co a Deus. Em seguida agrade¸co aos meus orientadores, Prof. Paulo C´esar Carri˜ao e Prof. Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki, por me aceitarem como aluno de doutorado e me conduzirem com seguran¸ca, determina¸c˜ao e paciˆencia durante todo o meu curso.

Aos professores, funcion´arios e colegas do Departamento de Matem´atica da UFMG agrade¸co pela dedica¸c˜ao, apoio e incentivo. Em particular, agrade¸co aos professores M´arcio Gomes Soares, Gast˜ao de Almeida Braga e Fernando Figueiredo de Oliveira Filho pelos excelentes trabalhos na coordena¸c˜ao do Colegiado de P´os-Gradua¸c˜ao, assessorados pelo profissionalismo e pelo trabalho competente de Sandra Fonseca Rocha.

Agrade¸co ao prof. Djairo Guedes de Figueiredo pela aten¸c˜ao com que leu este trabalho e pelos conselhos e observa¸c˜oes pertinentes. Agrade¸co igualmente ao prof. Jos´e Valdo Abreu Gon¸calves pelo interesse que mostrou pelo trabalho e ao prof. Marcos da Silva Montenegro pelas sugest˜oes concretas e pelas corre¸c˜oes. A todos eles agrade¸co pelas cr´ıticas, pelo encorajamento e pelas sugest˜oes para trabalhos futuros.

Rossana Ribeiro Ten´orio merece um agradecimento especial, tanto pela ajuda inestim´avel na pesquisa bibliogr´afica quanto pelo apoio incondicional, do in´ıcio ao fim.

(6)

Nota¸

oes

≡ igualdade por defini¸c˜ao

≪ ´e muito menor do que

h·,·ie produto escalar usual de RN

h·,·i produto de dualidade

R+ conjunto dos n´umeros reais positivos

B(x, ρ) bola aberta centrada em x e com raio ρ

S(x, ρ) esfera centrada em xe com raio ρ

p′ p

p−1 expoente conjugado de p

p∗ Np

N −p expoente cr´ıtico de Sobolev

q=q(a, b)≡ Np

N −p(a+ 1−b) expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev ∆pu(x)≡div

|∇u(x)|p−2u(x)

operador p-laplaciano

X∗ espa¸co dual do espa¸co X

C∞

0 (RN) espa¸co das fun¸c˜oes de classe C∞ e suporte compacto em RN Lp

a(RN) espa¸co Lp com peso|x|−a

M(RN) espa¸co de medidas limitadas e positivas em RN

D(RN) espa¸co de distribui¸c˜oes

D1,p

a (RN) fecho de C0∞(RN) na normak · k

un→u convergˆencia forte (em norma)

un⇀ u convergˆencia fraca

|u|p ≡ hZ

RN

|u(x)|pdxi1/p norma no espa¸co Lp(RN) kuk ≡h

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p norma do espa¸co D1a,p(RN)

Γ(z)≡ Z ∞

0

tz−1e−tdt fun¸c˜ao gama

(7)

Resumo

Neste trabalho consideramos algumas variantes da classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas emRN da forma

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) em que x ∈ RN, 1 < p N 1, q = q(a, b) Np/[N p(a+ 1b)], α, β e λ s˜ao parˆametros,

0< a <(N −p)/p, a≤b≤a+ 1, d, r∈R,k Lq/(q−r)

r(d−b) (RN) ef ∈ L

q b(RN)

. Procuramos solu¸c˜oes para o problema (P) no espa¸co de Sobolev D1,p

a (RN), definido como o

completamento do espa¸coC∞

0 (RN) em rela¸c˜ao `a norma definida por

kuk ≡h Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p

e demonstramos vers˜oes de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade para obtermos resultados de existˆencia e de multiplicidade de solu¸c˜oes.

Abstract

In this work we consider some variants of a degenerate quasilinear elliptic differential equation onRN of the following form

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) where x ∈ RN, 1 < p N 1, q = q(a, b) Np/[N p(a+ 1b)], α, β and λ are parameters,

0< a <(N −p)/p, a≤b≤a+ 1, d, r∈R,k Lq/(q−r)

r(d−b) (RN) and f ∈ L

q b(RN)

. We look for solutions of the problem (P) in the Sobolev space D1,p

a (RN) which is defined as the

completion of the space C∞

0 (RN) with respect to the norm defined by

kuk ≡h Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p

(8)

Introdu¸

ao

Neste trabalho consideramos problemas de existˆencia e de multiplicidade de solu¸c˜oes n˜ao triviais para uma classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas emRN da forma

−div

A(x,∇u)∇u

=g(x, u) x∈RN,

em que A ´e uma fun¸c˜ao ilimitada, n˜ao negativa e que se anula em alguns pontos de RN. Mais

especificamente, tratamos de algumas variantes dessa classe de equa¸c˜oes, a saber,

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u+f(x), (P) em que x ∈ RN, 1 < p N 1, q = q(a, b) Np/[N p(a+ 1b)], α, β e λ s˜ao parˆametros,

0< a <(N −p)/p, a≤b ≤a+ 1, d, r∈ R,k Lq/(q−r)

r(d−b) (RN) e f ∈ L

q b(RN)

, que ´e o espa¸co dual de

Lqb(RN)nu:RN R|x|−buq

q = Z

RN

|x|−bq|u(x)|qdx <∞o.

Equa¸c˜oes dessa forma surgem em problemas de existˆencia de solu¸c˜oes estacion´arias para a equa¸c˜ao de Schr¨odinger anisotr´opica (Dautray e Lions [31], Wang e Willem [67]), em teoria de fluidos n˜ao newtonianos, no estudo de fluidos pseudopl´asticos (diBenedetto [34]), em glaciologia, em problemas de fluxo atrav´es de meios porosos (Cˆırstea, Montreanu e R˘adulescu [29]), em modelos dinˆamicos para gal´axias (Badiale e Tarantello [8]), em teoria cl´assica de aproxima¸c˜oes da mecˆanica estat´ıstica, em ´optica n˜ao linear e na propaga¸c˜ao de laser, em problemas de ondas estacion´arias em equa¸c˜oes n˜ao lineares do tipo de Klein-Gordon ou de Schr¨odinger (Berestycki e Lions [11]) e em v´arios outros modelos.

Procuramos solu¸c˜oes para o problema (P) no espa¸co de Sobolev D1,p

a (RN), definido como o

completamento do espa¸coC∞

0 (RN) em rela¸c˜ao `a norma definida por

kuk ≡h Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/p.

O ponto de partida para a abordagem variacional desses problemas ´e a conhecida desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] que garante, para 1< p≤N−1,q=q(a, b)≡Np/[N−p(a+1−b)], 0< a <(N −p)/p ea ≤b≤a+ 1, a existˆencia de uma constante positiva C tal que

hZ

RN

|x|−bq|u(x)|qdxip/q ≤C

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx para toda fun¸c˜ao u ∈ D1,p

a (RN). Esta desigualdade generaliza as desigualdades de Sobolev (p= 2,

a= 0 e b= 0) e de Hardy (p= 2, a= 0 e b = 1).

Assim sendo, associado ao problema (P) temos o funcional de Euler-LagrangeI :Da1,p(RN)→R

dado por

I(u) ≡ 1

p

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx+ λ p

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx

−α

q

Z

RN

|x|−bq|u(x)|qdx−β

r

Z

RN

|x|−drk(x)|u(x)|rdx

− Z

RN

f(x)u(x) dx,

(9)

que fica bem definido para os parˆametros e fun¸c˜oes nos intervalos e espa¸cos j´a mencionados.

Usando o produto de dualidade, definimos uma solu¸c˜ao fraca para o problema (P) como sendo um ponto cr´ıtico do funcionalI, ou seja, como uma fun¸c˜aou∈ D1,p

a (RN) tal que

0 = hI′(u), φi =

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|p−2∇u(x)∇φ(x) dx+λ

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|p−2u(x)φ(x) dx

−α

Z

RN

|x|−bq|u(x)|q−2u(x)φ(x) dx−β

Z

RN

|x|−drk(x)|u(x)|r−2u(x)φ(x) dx

− Z

RN

f(x)φ(x) dx

para toda fun¸c˜aoφ ∈ D1,p a (RN).

Tecnicamente existem s´erias dificuldades para se demonstrar a existˆencia de solu¸c˜oes, pois os m´etodos usuais do C´alculo das Varia¸c˜oes n˜ao se aplicam diretamente. A primeira dificuldade est´a relacionada ao espa¸co D1,p

a (RN) que n˜ao ´e um espa¸co de Hilbert quando p 6= 2. Al´em disso, a

equa¸c˜ao diferencial envolve o expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev, trazendo a quest˜ao da ausˆencia de compacidade na imers˜aoD1,p

a (RN)֒→L q

b(RN). Isto, por sua vez, ocasiona que as seq¨uˆencias de

Palais-Smale, em geral, n˜ao possuem subseq¨uˆencias convergentes. Mais detalhadamente, denominamos por seq¨uˆencia de Palais-Smale para o funcional I no n´ıvel c∈R (ou simplesmente, seq¨uˆencia de

Palais-Smale) a uma seq¨uˆencia (un)⊂ Da1,p(RN) tal que

lim

n→∞I(un) =c e nlim→∞kI ′(u

n)k(D1,p

a (RN))∗ = 0. (1.1)

Se toda seq¨uˆencia de Palais-Smale para o funcionalI no n´ıvelcpossui subseq¨uˆencia convergente, dizemos que o funcional I satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. A ausˆencia de compacidade

significa que n˜ao podemos garantir que o funcional I satisfaz a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c sem

hip´oteses adicionais. Tais dificuldades s˜ao comuns e parecem inerentes a uma classe de problemas que s˜ao invariantes sob a a¸c˜ao de algum grupo de transforma¸c˜oes. Assim, ap´os o trabalho pioneiro de Br´ezis e Nirenberg [17], v´arios pesquisadores tˆem se dedicado nos ´ultimos anos a estudar varian-tes do problema (P), entre os quais citamos Lions [53, 54], Berestycki e Lions [11], Bianchi, Cha-browski e Szulkin [12], Ben-Naoum, Troestler e Willem [10], Ambrosetti, Garcia e Peral [7], Guedda e V´eron [46], Tolksdorf [65], Wang e Willem [67], Catrina e Wang [26], Garcia e Peral [39, 40, 41, 42], Noussair, Swanson e Yang [56], Alves [3], Alves, Gon¸calves e Santos [5], Huang [47], Ghoussoub e Yuan [43], Chen e Li [27], Tarantello [64], Cao e Zhou [22], Cao e Chabrowski [23], Cao, Li e Zhou [24], Caldiroli e Musina [20], R˘adulescu e Smets [59], entre outros.

O problema (P) na forma radial foi tratado inicialmente por Cl´ement, de Figueiredo e Mitidieri em [30] que provaram, por exemplo, o resultado de Br´ezis e Nirenberg [17] para este operador na forma radial. Para extens˜oes nessa linha citamos os trabalhos de de Figueiredo, Gon¸calves e Miyagaki [33], Gon¸calves e Melo [45] e tamb´em Abreu [1].

Nesta monografia estudamos trˆes variantes do problema (P). Os problemas tratados e os resul-tados principais est˜ao descritos nas pr´oximas se¸c˜oes; as demonstra¸c˜oes dos teoremas aparecem nos cap´ıtulos seguintes.

1.1

Problemas de minimiza¸

ao

Nesta se¸c˜ao tratamos da existˆencia de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes el´ıpticas quase lineares degeneradas em RN da forma

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

(10)

O problema (1.2) corresponde ao problema (P) com os valores particulares α = 1, β = 0, λ = 0 e f = 0.

Este problema possui formula¸c˜ao variacional para os parˆametros nos intervalos determinados; especificamente, podemos formular o seguinte problema de minimiza¸c˜ao com v´ınculo.

Seja o funcional E(a, b) :D1,p

a (RN)→R definido por

E(a, b)≡ Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx

hZ

RN

|x|−bq|u(x)|qdxip/q .

Definimos as melhores constantes para imers˜oes de Sobolev, D1,p

a (RN)֒→L q

b(RN), por

S(a, b)≡ inf

u∈D1a,p(RN)

u6≡0

E(a, b). (1.3)

Usando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] podemos garantir que S(a, b) ´e uma constante positiva.

Nosso principal interesse ´e, portanto, a compacidade de seq¨uˆencias minimizantes. O primeiro resultado ´e apresentado a seguir. Para enunci´a-lo usamos a nota¸c˜ao: dada a fun¸c˜ao v(x), definimos vt(x)tkv(tx), em que k[N (a+ 1)p]/p.

Teorema 1.1. Sejam p≤N−1, 0≤a <(N −p)/p, a≤b < a+ 1 e q=q(a, b)≡Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja (un)⊂ Da1,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b), isto ´e,

|x|−bun

q= 1 e

|x|−a∇un p

p →S(a, b).

Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia(tn)⊂[0,∞)tal que(untn)⊂ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente.

Em particular, existe um m´ınimou∈ D1,p

a (RN) paraS(a, b).

Lions em [54] e Lieb em [49] demonstraram a existˆencia de um m´ınimo paraS(a, b) no casop= 2, a = 0 e 0 < b < 1. Chou e Chu em [28] demonstraram a existˆencia de um m´ınimo para S(a, b) no caso p = 2 e a ≤ b < a+ 1. Por outro lado, ambos demonstraram que n˜ao existe m´ınimo no caso p = 2 e b = a+ 1. Wang e Willem em [67] estudaram o caso p = 2, N ≥ 3, 0 ≤ a ≤ (N −2)/2, a ≤ b ≤ a+ 1 e q = q(a, b) = 2N/[N −2(a+ 1−b)] e resolveram completamente o problema de compacidade das seq¨uˆencias minimizantes paraS(a, b). Demonstraram que seq¨uˆencias minimizantes s˜ao relativamente compactas, a menos de homotetia, quando p = 2, a ≤ b < a+ 1 e a+b > 0. O casoa =b depende de uma estimativa sutil, pois para esses valores temos q= 2∗ = 2N/(N2), que ´e o expoente cr´ıtico de Sobolev e ent˜ao existe dupla invariˆancia por homotetia. O m´etodo utilizado apresenta uma avalia¸c˜ao quantitativa da n˜ao compacidade das seq¨uˆencias minimizantes e depende apenas da compacidade fraca das seq¨uˆencias limitadas em conjuntos com medidas limitadas.

Nosso resultado generaliza a abordagem de Wang e Willem em [67]. Especificamente, estudamos um caso mais geral para o expoente p e tratamos o problema atrav´es de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade. Conforme mencionamos no par´agrafo anterior, Wang e Willem em [67] obtiveram uma estimativa precisa para a n˜ao compacidade das seq¨uˆencias minimizantes. No nosso caso, para p 6= 2 obtivemos apenas uma desigualdade (Lema 2.6) e segundo Smets [61, Exemplo 2.3] n˜ao h´a igualdade. Entretanto, mesmo com esta estimativa mais fraca ´e poss´ıvel demonstrar a compacidade relativa das seq¨uˆencias minimizantes.

A seguir consideramos uma perturba¸c˜ao do problema com um termo homogˆeneo. Mais precisa-mente, tratamos da existˆencia de solu¸c˜oes positivas para equa¸c˜oes el´ıpticas quase lineares degeneradas em RN da forma

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

(11)

O problema (1.4) corresponde ao problema (P) com os valores particulares α= 1, β = 0 e f = 0. Este problema possui formula¸c˜ao variacional para os parˆametros nos intervalos determinados; especificamente, podemos formular o seguinte problema de minimiza¸c˜ao com v´ınculo.

Seja o funcional E(a, b, λ) :D1,p

a (RN)→R definido por

E(a, b, λ)≡ Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx

hZ

RN

|x|−bq|u(x)|qdxip/q

e consideremos o seguinte problema de minimiza¸c˜ao:

S(a, b, λ)≡ inf

u∈D1a,p(RN)

u6≡0

E(a, b, λ). (1.5)

Usando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg [19] podemos garantir queS(a, b, λ) ´e uma constante positiva.

Novamente nosso interesse principal ´e a compacidade de seq¨uˆencias minimizantes paraS(a, b, λ). O segundo resultado ´e apresentado a seguir.

Teorema 1.2. Sob as hip´oteses do Teorema 1.1 e considerando −S(a, a+ 1) < λ < 0, existe um m´ınimo u∈ D1,p

a (RN) paraS(a, b, λ).

Lions em [53] demonstrou a existˆencia de um m´ınimo no caso p = 2, a = 0, b = 0 e −S(0,1)< λ <0, enquanto Wang e Willem em [67] consideraram os casos p = 2, N ≥ 3, 0 ≤ a ≤ (N −2)/2, a≤b < a+ 1 e −S(a, a+ 1)< λ <0.

Nosso resultado generaliza os resultados de Wang e Willem [67] para um expoente p mais geral. Vale lembrar que o resultado n˜ao decorre diretamente do casop= 2 dada a inexistˆencia de igualdade para uma estimativa da n˜ao compacidade de seq¨uˆencias minimizantes para S(a, b, λ).

Podemos tamb´em garantir a existˆencia de um m´ınimo para S(a, b, λ) com λ positivo e com hip´oteses adicionais.

Teorema 1.3. Sejam p ≤N −1, 0≤ a < (N −p)/p e q =q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja

(un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b, λ), isto ´e,

|x|−bun

q = 1 e

|x|−a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p

p →S(a, b, λ).

Suponhamos que sejam v´alidas uma das duas condi¸c˜oes a seguir.

1. a < b < a+ 1 e 0< λ, ou 2. 0< a=b e 0< λ≪1.

Ent˜ao existe seq¨uˆencia (tn)⊂[0,∞) tal que(untn)∈ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente. Em

particular, existe uma fun¸c˜ao u∈ D1,p

a (RN) que atinge S(a, b, λ).

A demonstra¸c˜ao desse resultado segue, em linhas gerais, as mesmas id´eias do Teorema 1.2. Para a= 0, b= 0 eλ >0, temosS(0,0, λ) =S, que ´e a melhor constante para imers˜oes de Sobolev; nesse caso, n˜ao existe fun¸c˜aou∈ D1,p

a (RN) que atinge S(0,0, λ).

Como observa¸c˜ao final para esta se¸c˜ao, mencionamos a positividade das solu¸c˜oes. Tanto para S(a, b) quanto paraS(a, b, λ), as solu¸c˜oes de estado estacion´ario s˜ao positivas em RN e diferenci´aveis

(12)

1.2

Multiplicidade via gˆ

enero

Consideremos agora o problema (P) com os valores particulares λ= 0 e f = 0, isto ´e,

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

=α|x|−bq|u|q−2u+β|x|−drk(x)|u|r−2u x∈RN. (1.6)

Trata-se de uma classe de equa¸c˜oes diferenciais el´ıpticas quase lineares degeneradas com termos de concavidade e de convexidade em quep≤N−1, q=q(a, b)≡Np/[N−p(a+ 1−b)],a≤(N−p)/p, a≤b < a+ 1, α eβ s˜ao parˆametros, d∈R, 1< r < p ek Lq/(q−r)

r(d−b) (R

N).

Nosso objetivo ´e usar m´etodos variacionais para demonstrar a existˆencia de uma infinidade de solu¸c˜oes para o problema (1.6). Novamente usamos a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Niren-berg [19] para obter uma formula¸c˜ao variacional do problema. A principal dificuldade para se de-monstrar a existˆencia de uma multiplicidade de solu¸c˜oes ´e a ausˆencia de compacidade da imers˜ao

D1,p

a (RN) ֒→ L q

b(RN). Como conseq¨uˆencia, o funcional I : Da1,p(RN) → R associado ao problema

n˜ao satisfaz, em geral, a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Isto representa, quando se usa m´etodos

variacionais, s´erias dificuldades na procura dos pontos cr´ıticos do funcionalI.

Conforme j´a mencionamos, a existˆencia de solu¸c˜oes n˜ao triviais para esta classe de problemas tem sido extensivamente estudada depois do trabalho de Br´ezis e Nirenberg [17], que estudaram o caso p = 2, a = 0, b = 0, d = 0 e k(x)≡ 1. Ainda nesse caso, mas envolvendo n˜ao linearidades do tipo cˆoncavo-convexo mencionamos o artigo de Ambrosetti, Br´ezis e Cerami [6] para problemas em dom´ınios limitados e Bartch e Willem [9] e Tshinanga [66] para problemas desse tipo em dom´ınios ilimitados. (Veja tamb´em Miyagaki [55] e Willem [68].)

Para p 6= 2, a = 0, b = 0, d = 0, k(x) ≡ 1 e p < q < p∗ citamos Garcia e Peral [42], Cao e Li [21], Egnell [36], Guedda e V´eron [46], e Peral [57] e suas referˆencias, que trataram o problema em dom´ınios limitados. Em dom´ınios ilimitados mencionamos, entre outros, os artigos de Ben-Naoum, Troestler e Willem [10] e de Noussair, Swanson e Yang [56].

Ghoussoub e Yuan em [43] estudaram os casos a = 0, d = 0, k(x) ≡ 1 em dom´ınios limitados. Huang em [47] e Chen e Li em [27] trataram o problema em dom´ınios ilimitados ou emRN nos casos

p6= 2, a= 0, b= 0 e p < r < p∗.

Nosso primeiro resultado de multiplicidade de solu¸c˜oes ´e o seguinte.

Teorema 1.4. Sejam p < r < p∗, 1 < p = q (isto ´e, b = a+ 1) e a < (N −p)/p. Suponhamos que a medida de Lebesgue do conjunto {x ∈RN|k(x)> 0} seja positiva. Ent˜ao para todo 0< α <

S(a, a+ 1)e para todo β >0, o problema (1.6) tem infinitas solu¸c˜oes cujas energias correspondentes s˜ao ilimitadas.

Para demonstrar esse teorema seguimos novamente as linhas gerais de Garcia e Peral [42], Hu-ang [47] e Chen e Li [27]. Tamb´em usamos um resultado de Rabinowitz [58, Teorema 9.12].

Para p 6= 2 e 1 < q < p citamos Garcia e Peral [42], no caso a = 0, b = 0, d = 0, e Huang [47] e Chen e Li [27] no caso a = 0 e b = 0, para problemas de multiplicidade de solu¸c˜oes envolvendo o operadorp-laplaciano e com expoente cr´ıtico de Sobolev.

Nosso pr´oximo resultado tamb´em trata do caso 0< a <(N−p)/pe, portanto, com singularidade no operador, em que generalizamos resultados de multiplicidade de solu¸c˜oes devidos a Chen e Li [27] bem como os teoremas de Garcia e Peral [42] e Huang [47].

Teorema 1.5. Sejam 1< r < p, 1< p < N, q =q(a, b) =Np/[N−p(a+ 1−b)] e a <(N−p)/p. Suponhamos que a medida de Lebesgue do conjunto {x∈RN|k(x)>0} seja positiva. Ent˜ao

(13)

2. Para todo β > 0, existe A > 0 tal que, se 0 < α < A, ent˜ao o problema (1.6) tem uma sequˆencia de solu¸c˜oes (un)⊂ D1a,p(RN) tal que I(un)<0 e limn→∞I(un) = 0.

A principal dificuldade ´e estabelecer um lema de concentra¸c˜ao de compacidade (Lema 3.2). Nova-mente obtemos desigualdades estritas se n˜ao houver hip´oteses adicionais sobre a convergˆencia pontual da seq¨uˆencia dos gradientes; entretanto, mesmo sem obter um resultado t˜ao forte ´e poss´ıvel demons-trar que vale a condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Como no caso anterior, estas dificuldades surgem

devido `a ausˆencia de compacidade para as imers˜oes de Sobolev. Conforme os trabalhos citados, demonstramos a multiplicidade de solu¸c˜oes para o problema (1.6) estudando o gˆenero de conjuntos apropriadamente definidos.

1.3

Perturba¸

oes n˜

ao autˆ

onomas

Dada uma fun¸c˜ao f ∈ (Lqb(RN)), mostramos a existˆencia de duas solu¸c˜oes n˜ao triviais para o

problema com uma perturba¸c˜ao n˜ao autˆonoma

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

=|x|−bq|u|q−2u+f(x) x∈RN. (1.7)

O problema (1.7) corresponde ao problema (P) comλ = 0, α= 1 e β = 0.

Observamos que para a = 0, b = 0, q = 2N/(N −2) e f = 0, o problema em geral n˜ao tem solu¸c˜ao em dom´ınios estrelados e limitados, conforme resultado devido a Pohozaev. Entretanto, para a = 0, b = 0 e f 6≡ 0 o problema (1.7) sempre tem solu¸c˜ao em dom´ınios limitados, conforme resultado de Br´ezis e Nirenberg [18]. Tarantello em [64] estendeu os resultados de Br´ezis e Nirenberg em [18], obtendo um resultado de existˆencia de duas solu¸c˜oes positivas para o problema (1.7) ainda em dom´ınios limitados.

R˘adulescu e Smets em [59] trataram o caso singular, 0< a <2,b = 0 ep= 2, em dom´ınios cˆonicos ilimitados apresentando um tipo diferente de n˜ao compacidade, conforme observado por Caldiroli e Musina em [20].

Antes de enunciar nosso resultado, apresentamos uma nota¸c˜ao. Seja K+ o cone positivo do espa¸co dual Lqb(RN)

, formado pelas fun¸c˜oes f ∈ Lqb(RN)

tais que

Z

RN

f(x)u(x) dx≥0

para toda fun¸c˜aou∈ D1,p

a (RN) tal queu(x)≥0 q.t.p. em RN. Enunciamos a seguir o nosso teorema. Teorema 1.6. Suponhamos que 0≤a <(N−p)/pea≤b < a+ 1. Ent˜ao para cada fun¸c˜ao g ∈K+, existe um n´umero real ε0 >0 tal que, para todo 0 < ε≤ε0, o problema (1.7) com f = εg tem pelo menos duas solu¸c˜oes n˜ao negativas.

No nosso caso tratamos um problema envolvendo o expoente p, n˜ao necessariamente p = 2, e consideramos o problema (1.7) com singularidade tanto no operador quanto na n˜ao linearidade, ou seja, supomos 0 ≤ a < (N −p)/p e 0 ≤ b < a + 1. Combinamos o princ´ıpio de minimiza¸c˜ao juntamente com o Teorema do Passo da Montanha para provar a existˆencia de duas solu¸c˜oes para o problema (1.7). A principal dificuldade ´e demonstrar que, para perturba¸c˜oes f ∈ Lqb(RN),

podemos produzir dois valores cr´ıticos para o funcional I associado ao problema, mesmo com uma poss´ıvel falha da condi¸c˜ao de Palais-Smale (P S)c. Para demonstrarmos a existˆencia de uma solu¸c˜ao

(14)
(15)

Problemas de Minimiza¸

ao com

Singularidades

2.1

Introdu¸

ao

Neste cap´ıtulo consideramos a existˆencia de solu¸c˜oes n˜ao triviais para os problemas (1.2) e (1.4), a saber,

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

=|x|−bq|u|q−2u x∈RN

e

−div

|x|−ap|∇u|p−2∇u

+λ|x|−(a+1)p|u|p−2u=|x|−bq|u|q−2u x∈RN.

Para demonstrar a existˆencia de solu¸c˜ao para esses problemas (enunciadas nos Teoremas 1.1, 1.2 e 1.3 e reapresentadas a seguir), devemos mostrar que existe um m´ınimo para os multiplicadores de Lagrange S(a, b) e S(a, b, λ), definidos por (1.3) e (1.5), respectivamente. Entretanto, como S(a, b) = S(a, b,0), basta tratar da existˆencia de um m´ınimo para S(a, b, λ), pois o Teorema 1.1 ´e um caso particular do Teorema 1.2.

Na se¸c˜ao 2.2 enunciamos o Teorema de Caffarelli, Kohn e Nirenberg, que garante a formula¸c˜ao variacional para esses problemas. Na se¸c˜ao 2.3 mostramos que os problemas s˜ao invariantes por ho-motetia. Em seguida, usando uma fun¸c˜ao apropriada mostramos que, nos intervalos indicados para os parˆametros, os multiplicadores de Lagrange s˜ao estritamente menores do que a constante S para a imers˜ao de SobolevD01,p(RN)֒→Lp

(RN). Demonstramos tamb´em que seq¨uˆencias fracamente

con-vergentes emD1,p

a (RN) convergem fortemente em L p

loc(RN) e usamos esse resultado para demonstrar uma vers˜ao de um lema de concentra¸c˜ao de compacidade. Isto permite demonstrar os teoremas na se¸c˜ao 2.4.

Teorema 1.1. Sejamp≤N−1,0≤a <(N−p)/p,a≤b < a+1eq=q(a, b)≡Np/[N−p(a+1−b)]. Seja (un)⊂ Da1,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b), isto ´e,

|x|−bun

q= 1 e

|x|−a∇un p

p →S(a, b).

Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia(tn)⊂[0,∞)tal que(untn)⊂ Da1,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente.

Em particular, existe um m´ınimou∈ D1,p

a (RN) paraS(a, b).

Teorema 1.2. Sob as hip´oteses do Teorema 1.1 e considerando −S(a, a+ 1) < λ < 0, existe um m´ınimo u∈ D1,p

a (RN) paraS(a, b, λ).

Teorema 1.3. Sejam p ≤N −1, 0≤ a <(N −p)/p e q = q(a, b) ≡ Np/[N −p(a+ 1−b)]. Seja

(un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante para S(a, b, λ), isto ´e,

|x|−bun

q = 1 e

|x|−a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p

p →S(a, b, λ).

Suponhamos que sejam v´alidas uma das duas condi¸c˜oes a seguir.

1. a < b < a+ 1 e 0< λ, ou 2. 0< a=b e 0< λ≪1.

Ent˜ao existe seq¨uˆencia (tn)⊂[0,∞) tal que(untn)∈ D1a,p(RN) cont´em subseq¨uˆencia convergente. Em

particular, existe uma fun¸c˜ao u∈ D1,p

a (RN) que atinge S(a, b, λ).

(16)

2.2

Formula¸

ao variacional

Come¸camos enunciando o conhecido Teorema de Caffarelli, Kohn e Nirenberg; para a demons-tra¸c˜ao, citamos a referˆencia [19]. (Veja tamb´em Catrina e Wang [26].)

Teorema 2.1. Existe uma constante positiva C tal que para toda fun¸c˜ao u ∈ C∞

0 (RN) vale a

desi-gualdade

|x|−bu

q ≤C

|x|−a|∇u| p

se, e somente se,

a≤ b≤a+ 1 e q =q(a, b) = Np

N −p+p(b−a).

Al´em disso, em todo conjunto compacto no espa¸co de parˆametros no qual valem as condi¸c˜oes acima, a constante C ´e limitada.

O Teorema 2.1 garante a formula¸c˜ao variacional para os problemas (1.2) e (1.4). Assim, procu-ramos m´ınimos para os multiplicadores de Lagrange S(a, b) e S(a, b, λ). Antes, por´em, escrevemos duas importantes desigualdades que ser˜ao ´uteis nas se¸c˜oes seguintes e que seguem imediatamente das defini¸c˜oes (1.3) e (1.5): para toda fun¸c˜aou∈ D1,p

a (RN), valem as desigualdades hZ

RN

|x|−bq|u(x)|qdxip/q 1

S(a, b)

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx (2.1)

e

hZ

RN

|x|−bq|u(x)|qdxip/q ≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ

Z

RN

|x|−p(a+1)|u(x)|pdxi. (2.2)

2.3

Seq¨

encias minimizantes para

S

(

a, b, λ

)

Para provar queS(a, b, λ) ´e atingido, consideramos uma seq¨uˆencia minimizante arbitr´aria (un)⊂ D1,p

a (RN) tal que

|x|−bun

q = 1 e

|x|−a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p

p → S(a, b, λ).

Passando a uma subseq¨uˆencia, ainda denotada por (un), podemos supor que existeu∈ Da1,p(RN) tal

que

un⇀ u fracamente em D1a,p(RN).

Isto se justifica porque a seq¨uˆencia (un)⊂ D1a,p(RN) ´e limitada, j´a que

|x|−a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p p

converge paraS(a, b, λ). Como toda seq¨uˆencia limitada possui subseq¨uˆencia fracamente convergente, obtemos a existˆencia de u∈ D1,p

a (RN). Al´em disso, temos

|x|−a∇u p p+λ

|x|−(a+1)u p

p ≤lim infn→∞

|x|−a∇un p p +λ

|x|−(a+1)un p

p →S(a, b, λ)

pois a norma ´e fracamente semicont´ınua inferiormente. (Veja Lieb e Loss [50, Teorema 2.11].) A fun¸c˜ao u ∈ D1,p

a (RN) ser´a um m´ınimo para S(a, b, λ) desde que |x|−bu

q = 1; entretanto, por

ora temos apenas |x|−bu

q ≤1.

Agora enunciamos o seguinte resultado sobre a homotetia de uma fun¸c˜ao no espa¸co D1,p a (RN). Proposi¸c˜ao 2.2. Sejam v ∈ D1,p

a (RN) e t ∈ R+. Definimos a homotetia por vt(x) ≡ tkv(tx), em

(17)

1.

|x|−avt p p +λ

|x|−(a+1)vt p p =

|x|−av p p+λ

|x|−(a+1)v p p.

2.

|x|−bvt

q =

|x|−bv q.

Demonstrac¸˜ao. Para verificar a igualdade 1 usamos a defini¸c˜ao de vt(x) e obtemos vt(x) =

tk+1v(tx). Fazendo a substitui¸c˜ao x=z/t e dx=t−Ndz, resulta

|x|−avt(x) p p =

Z

RN

|x|−aptp(k+1)|∇v(tx)|p dx

=

Z

RN

|z|−aptp(k+1)+ap−N|∇v(z)|pdz. Analogamente, temos

|x|−(a+1)vt p p = Z RN

|x|−(a+1)ptpk|v(tx)|pdx =

Z

RN

|z|−(a+1)ptpk+(a+1)p−N|v(z)|pdx.

Pela escolha da constantek, os expoentes detnas integrais acima valem zero, isto ´e,p(k+1)+ap−N = 0 e tamb´em pk+ (a+ 1)p−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos

|x|−a∇vt(x)|pp

|x|−(a+1)vt p p = Z RN

|z|−ap|∇v(z)|pdz+λ

Z

RN

|z|−(a+1)ptpk+(a+1)p−N|v(z)|pdx = |z|−a∇v(z)

p p+λ

|z|−(a+1)v(z) p p

e a igualdade 1 fica demonstrada.

Para verificar a igualdade 2 usamos novamente a defini¸c˜ao da homotetia e obtemos

|x|−bvt(x) q q = Z RN

|x|−bqtqk|v(tx)|q dx

=

Z

RN

|z|−bqtqk+qb−N|v(z)|qdz,

em que usamos a mesma substitui¸c˜ao. O expoente de t na igualdade acima tamb´em vale zero, isto ´e, qk+qb−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos

|x|−bvt(x) q q = Z RN

|z|−qb|v(z)|qdz =

|z|−bv(z) q q,

o que conclui a demonstra¸c˜ao da igualdade 2 e da proposi¸c˜ao. ✷

As propriedades 1 e 2 da Proposi¸c˜ao 2.2 garantem que o problema de encontrar minimizantes para S(a, b, λ) ´e invariante por homotetia. O pr´oximo passo consiste em provar que a seq¨uˆencia (un) ⊂ D1a,p(RN) ´e relativamente compacta a menos de homotetia. Antes, por´em, precisamos de

alguns resultados preliminares. ´

E fato conhecido que para p= 2 a fun¸c˜ao u(x)≡

1 +|x|2−(N−2)/2

assume o n´umero

S =S(0,0,0) =

Z

RN

|∇u(x)|2 dx

hZ

RN

|u(x)|2∗ dxi2/2

∗,

que ´e a melhor constante de Sobolev para a imers˜ao D10,2(RN) ֒ L2∗(RN) (veja Talenti [63]). No

lema a seguir trabalhamos com a fun¸c˜aou(x) =

1 +|x|p/(p−1)−(N−p)/p

(18)

Lema 2.3. Seja a∈R tal que 0a <(Np)/p. Definimos a fun¸c˜ao g :0,(N p)/p R por

g(a)≡S(a, a) =

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|p dx hZ

RN

|x|−ap∗

|u(x)|p∗

dxip/p

∗, (2.3)

em que u(x)≡

1 +|x|p/(p−1)−(N−p)/p

. Ent˜ao g′(a)<0 para a 0,(Np)/p

e g′(0+) = 0.

Demonstrac¸˜ao. Reescrevendo a fun¸c˜aou(x) como

u(x)≡[1 +|x|p/(p−1)]−(N−p)/p=h1 +

N X

j=1

x2jp/2(p−1)i−(N−p)/p

temos

∂u ∂xj

(x) =p−N p−1

xj

1 +|x|p/(p−1)−N/p

|x|(2−p)/(p−1)

e, portanto,

|∇u(x)|p =N −p p−1

p |x|p/(p−1)

[1 +|x|p/(p−1)]N.

Para avaliarg(a), consideramos inicialmente o integrando do numerador de (2.3), que ´e

|x|−ap|∇u(x)|p =|x|−ap

N −p p−1

p

|x|p/(p−1) [1 +|x|p/(p−1)]N.

Definindo

f1(t)≡t−ap

N −p p−1

p

tp/(p−1) [1 +tp/(p−1)]N,

temos |x|−ap|∇u(x)|p =f1(|x|). Com isso, Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|p dx = Z ∞

0

ωf1(r)rN−1dr =

Z ∞

0 ω

N −p p−1

p

r−ap rp/(p−1)

1 +rp/(p−1)Nr

N−1dr

= ω

N −p p−1

pZ ∞

0

r−ap+p/(p−1)+N−1

1 +rp/(p−1)−N

dr

em que r=|x| eω ´e o volume da esfera unit´aria SN−1.

Quanto ao integrando do denominador de (2.3), temos

|x|−ap∗|u(x)|p∗ =|x|−ap∗

1 +|x|p/(p−1)−N

.

Definindo

f2(t)≡t−ap∗

1 +tp/(p−1)−N

, temos |x|−ap∗

|u(x)|p∗

=f2(|x|). Assim,

Z

RN

|x|−ap∗|u(x)|p∗ dx =

Z ∞

0

ωf2(r)rN−1dr =

Z ∞

0

ωr−ap∗

1 +rp/(p−1)−N

rN−1dr

= ω

Z ∞

0

r−ap∗+N−1

1 +rp/(p−1)−N

(19)

Dessa forma, resulta que

g(a) = ω

N −p p−1

pZ ∞

0

r−ap+p/(p−1)+N−1

1 +rp/(p−1)−N

dr

h

ω

Z ∞

0

r−ap∗+N−1

1 +rp/(p−1)−N

drip/p

Efetuando a mudan¸ca de vari´aveisrp/(p−1) =s, isto ´e,r=s(p−1)/p edr= [(p−1)/p]s−1/pds, obtemos

g(a) =

ωN −p p−1

pp1

p

Z ∞

0

[1 +s]−Ns−a(p−1)+N(p−1)/p ds

h

ωp−1 p

ip/p∗

hZ ∞

0

[1 +s]−Ns−1−ap∗(p−1)/p+N(p−1)/pdsip/p

∗ (2.4)

Agora usamos a f´ormula

Z ∞

0

[1 +s]−(x+y)sx−1ds = Γ(x) Γ(y) Γ(x+y)

para reescrever a fun¸c˜ao g(a), em que Γ(x) denota a conhecida fun¸c˜ao gama. Para a integral do numerador de (2.4) fazemosx= 1 + [(p−1)(N −ap)]/pe y=−1 + [N +ap(p−1)]/p. Assim,

Z ∞

0

[1 +s]−Ns−a(p−1)+N(p−1)/pds=

Γ(p−1)(N −ap)

p + 1

ΓN+ap(p−1)

p −1

Γ(N) . (2.5)

Quanto `a integral no denominador de (2.4) fazemosx= (p−1)(N−ap∗)/pey= [N+ap(p1)]/p. Dessa forma,

Z ∞

0

(1 +s)−Ns−1−ap∗(p−1)/p+N(p−1)/p

ds =

Γ(p−1)(N −ap ∗)

p

ΓN+ap

(p1)

p

Γ(N) . (2.6)

Substituindo as igualdades (2.5) e (2.6) em (2.4), obtemos

g(a) =

ωN −p p−1

pp1

p

(p−1)(N −ap)

p + 1

ΓN+ap(p−1)

p −1

Γ(N)

i

h

ωp−1 p

ip/p∗hΓ

(p−1)(N −ap∗)

p

ΓN +ap

(p1)

p

Γ(N)

ip/p∗

(20)

Usando as rela¸c˜oes Γ(z+ 1) =zΓ(z) e Γ(z−1) = (z−1)−1Γ(z), obtemos

g(a) = hωp−1 p

ip/NN −p

p−1

p

Γ(N)−p/N (p−1)(N −ap)

N −(a+ 1)p+ap2

×

ΓN(p−1)

p −a(p−1)

h

ΓN(p−1)

p −

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N

ΓN

p +a(p−1)

h

ΓN

p +

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N

= hωp−1 p

ip/N

Γ(N)−p/N

ΓN

p +a(p−1)

h

ΓN

p +

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N

×N −p

p−1

ph (N −ap)(p−1)

N−(a+ 1)p+ap2

i Γ

N(p−1)

p −a(p−1)

h

ΓN(p−1)

p −

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N

Definindo as fun¸c˜oes

h1(a) ≡ hωp−1 p

ip/N

Γ(N)−p/N

ΓN

p +a(p−1)

h

ΓN

p +

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N,

h2(a) ≡ N −p

p−1

ph (N −ap)(p−1)

N −(a+ 1)p+ap2

i

,

h3(a) ≡

ΓN(p−1)

p −a(p−1)

h

ΓN(p−1)

p −

Na(p−1) N −p

i(N−p)/N,

resulta que

g(a) =h1(a)h2(a)h3(a)

Usando a proposi¸c˜ao seguinte obtemosg′(a)<0 paraa 0,(N p)/p

e g′(0+) = 0.

Proposi¸c˜ao 2.4. Sejam h1, h2, h3 :

0,(N − p)/p) → R as fun¸c˜oes definidas acima. Ent˜ao s˜ao

v´alidas as seguintes afirmativas:

1. h′

1(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p

e h′

1(0+) = 0.

2. h′

2(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p

e h′

2(0+) = 0.

3. h′

3(a)<0 para a∈ 0,(N −p)/p

e h′

3(0+) = 0.

Demonstrac¸˜ao. Na demonstra¸c˜ao dessa proposi¸c˜ao usaremos a fun¸c˜ao Γ′(z)

Γ(z) =−γ− 1 z + ∞ X k=1 1 k − 1 k+z

(2.7)

definida paraz 6= 0,−1,−2, . . . e que ´e estritamente crescente emz ∈(0,+∞). Na express˜ao (2.7), γ =−Γ′(1)>0 denota a constante de Euler-Mascheroni.

(21)

h′1(a) = hωp−1 p

ip/N

Γ(N)−p/N

(p−1)ΓN

p +a(p−1)

h

ΓN

p +

Na(p−1) N−p

i− N−pp ×       

Γ′N

p +a(p−1)

ΓN

p +a(p−1)

Γ′N

p +

Na(p−1) N −p

ΓN

p +

Na(p−1) N −p

       . (2.8)

Claramente N/p+a(p−1)< N/p+Na(p−1)/(N −p) e, pelo crescimento de Γ′(z)/Γ(z), o termo entre chaves na express˜ao (2.8) ´e negativo; como os outros fatores da derivada deh1(a) s˜ao positivos, resulta que h′

1(a) < 0 para a ∈ 0,(N −p)/p

. Al´em disso, temos h′

1(0+) = 0 e isto conclui a demonstra¸c˜ao da afirmativa 1.

A derivada de h2(a) vale

h′2(a) =−N −p

p−1

p p2(p1)(N 1)

N −(a+ 1)p+ap22

e, portanto, h′

2(a) < 0 para a ∈

0,(N −p)/p

. Tamb´em temos h′

2(0+) = 0 e a afirmativa 2 fica demonstrada.

Para verificar a afirmativa 3, calculamos a derivada deh3(a) e obtemos

h′3(a) = −(p−1)ΓN(p−1)

p −a(p−1)

h

ΓN(p−1)

p −

Na(p−1) N−p

i− Np−p ×       

Γ′N(p−1)

p −a(p−1)

ΓN(p−1)

p −a(p−1)

Γ′N(p−1)

p −

Na(p−1) N −p

ΓN(p−1)

p −

Na(p−1) N −p

       (2.9)

ComoN(p−1)/p−a(p−1)> N(p−1)/p−aN(p−1)/(N−p) e pelo crescimento de Γ′(z)/Γ(z), o termo entre chaves na express˜ao (2.9) ´e positivo; como o produto dos outros fatores ´e negativo, resulta que h′

3(a)< 0 para a ∈ 0,(N −p)/p

. Al´em disso temos h′

3(0+) = 0. Isto conclui a demonstra¸c˜ao

da afirmativa 3 e da proposi¸c˜ao. ✷

A seguir enunciamos um lema que ser´a ´util na demonstra¸c˜ao do lema de concentra¸c˜ao de compacidade.

Lema 2.5. Sejam N ≥p+ 1 e 0≤a <(N −p)/p. Se un⇀ u fracamente em Da1,p(RN), ent˜ao |x|−aun→ |x|−au em Lploc(RN).

Demonstrac¸˜ao. DadoR ∈R+, temos

Z

B(0,R)

|x|−ap|u(x)|pdx =

Z

B(0,R)

|x|p|x|−(a+1)p|u(x)|pdx

≤ Rp

Z

B(0,R)

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx. (2.10)

Fazendob =a+ 1, obtemos q(a, a+ 1) =p; substituindo estes valores na desigualdade (2.1), resulta

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx 1

S(a, a+ 1)

Z

RN

(22)

Substituindo a ´ultima desigualdade em (2.10), obtemos

Z

B(0,R)

|x|−ap|u(x)|pdx ≤ Rp Z

B(0,R)

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx

≤ Rp Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx

≤ R

p

S(a, a+ 1)

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx.

Podemos supor que un ⇀0 fracamente em Da1,p(RN); caso contr´ario, trabalhamos com a seq¨uˆencia

(vn)⊂ Da1,p(RN) definida por vn ≡un−u e usamos o lema de Br´ezis-Lieb (Lema A.4) comfn =vn.

Pela desigualdade precedente, para todo n´umero real ε >0, existe um raio ρ ∈ R+ suficientemente

pequeno tal que vale a desigualdade

Z

B(0,ρ)

|x|−ap|un(x)|pdx≤ε. (2.11)

para todon ∈N. De fato, como un0 fracamente em D1,p

a (RN), ent˜ao a seq¨uˆencia (un) ´e limitada

em D1,p

a (RN) e existe uma constante M ∈R+ tal que kuk ≡h

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdxi1/pM.

Assim, escolhendo ρ∈R+ de forma que

ρp < S(a, a+ 1)

Mp ε,

obtemos Z

B(0,ρ)

|x|−ap|∇u(x)|pdx ≤ ρ p

S(a, a+ 1)

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx

≤ ρ

pMp

S(a, a+ 1) < ε,

que ´e a desigualdade (2.11). O Teorema de Rellich implica que |x|−au

n → 0 em Lploc RN\B(0, ρ)

. Especificamente, para cada subconjunto K ⊂ RN aberto, relativamente compacto, n˜ao contendo a

origem e com fronteira regular, temos as inclus˜oes compactas

D1a,p(K)֒→Lq(K)֒→L1(K). Ou seja, se|x|−au

n ⇀|x|−aufracamente emDa1,p(K), ent˜ao|x|−aun → |x|−aufortemente emLq(K),

o que por sua vez implica em |x|−ap|u

n|p → |x|−apup fortemente em L1(K). Isto conclui a

demons-tra¸c˜ao do lema. ✷

No lema seguinte, denotamos por M(RN) o espa¸co de medidas limitadas e positivas emRN.

Lema 2.6. Sejam N ≥p+ 1, 0≤a < (N −p)/p, a ≤b ≤a+ 1, −S(a, a+ 1)< λ e q =q(a, b)≡

Np/[N−p(a+ 1−b)]. Seja uma seq¨uˆencia(un)⊂ D1a,p(RN)tal que valem as seguintes convergˆencias:

1. un⇀ u fracamente em D1a,p(RN).

2. |x|−a∇(un−u) p

+λ|x|−(a+1)(un−u) p

⇀ γ fracamente em M(RN).

3.

|x|−b(u n−u)

q

(23)

4. un→u q.t.p. em RN.

Definimos tamb´em as medidas de concentra¸c˜ao no infinito

ν∞ ≡ lim

R→∞lim supn→∞

Z

|x|≥R

|x|−bq|un(x)|q dx,

γ∞ ≡ lim

R→∞lim supn→∞

hZ

|x|≥R

|x|−ap|∇u(x)|p dx+λ

Z

|x|≥R

|x|−(a+1)p|un(x)|p dx i

.

Ent˜ao

kνkp/q ≤ [S(a, b, λ)]−1kγk, (2.12)

νp/q ≤ [S(a, b, λ)]−1γ∞ (2.13)

lim sup

n→∞

|x|−a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p p ≥

|x|−a∇u p p+λ

|x|−(a+1)u p

p+kγk+γ∞, (2.14)

lim sup

n→∞

|x|−bun q q =

|x|−bu

q

q+kνk+ν∞. (2.15)

Al´em disso, para u(x) ≡0, se b < a+ 1 e kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk, ent˜ao as medidas ν e γ est˜ao

concentradas em um ´unico ponto.

Demonstrac¸˜ao. Suponhamos inicialmente que u≡ 0. Escolhendo h∈ D(RN) temos que (hun)

D1,p

a (RN) e, pela defini¸c˜ao deS(a, b, λ), resulta que hZ

RN

|x|−bq|(hu

n)(x)|qdx ip/q

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i

para todo n ∈ N. Como un ⇀ u fracamente em D1,p

a (RN), o Lema 2.5 implica que |x|−aun → |x|−au0 em Lp

loc(RN), isto ´e,

Z

|x|−ap|un(x)|pdx→ Z

|x|−ap|u(x)|pdx≡0

para cada subconjunto aberto e limitado Ω⊂RN. Usando a desigualdade (5) da Proposi¸c˜ao A.1, a

saber,

|a+b|p

≤ε(1 +ε)|a|p+C(ε, p)|b|p,

v´alida para 0< p <∞e ε >0, temos que

Z

RN

|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx

≤(1 +ε)

Z

RN

|x|−ap|h(x)∇un(x)|pdx+C(ε, p) Z

RN

|x|−ap|un(x)∇h(x)|pdx.

Substituindo esta desigualdade em (2.2), obtemos

hZ

RN

|x|−bq|(hu

n)(x)|qdx ip/q

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|∇(hun)(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|h(x)∇un(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i

+ C(ε, p) S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|u

n(x)∇h(x)|pdx+

ε S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|h(x)u

(24)

Para o lado esquerdo da desigualdade (2.16) temos

lim

n→∞

hZ

RN

|x|−bq|(hun)(x)|qdx ip/q

=h

Z

RN

|h(x)|qdνip/q.

Para a primeira parcela do lado direito da desigualdade (2.16) temos

lim

n→∞ 1 S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|h(x)|p|∇u(x)|pdx+λ

Z

RN

|x|−(a+1)p|(hun)(x)|pdx i

= 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|h(x)|pdγi.

Para a segunda parcela temos

lim

n→∞

C(ε, p) S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|un(x)|p|∇h(x)|pdx= 0

e para a terceira parcela temos

lim

n→∞ ε S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|h(x)|p|∇un(x)|pdx=εK,

em que K ∈R+ ´e uma constante. Dessa forma,

hZ

RN

|h(x)|qdνip/q ≤ 1

S(a, b, λ)

Z

RN

|h(x)|pdγ +εK (2.17)

e como a fun¸c˜ao h ∈ D(RN) ´e arbitr´aria e tem medida finita, bem como ε > 0 ´e arbitr´ario, a

desigualdade (2.17) implica que

kνkp/q ≤ 1

S(a, b, λ)kγk

e isto demonstra a desigualdade (2.12).

Para demonstrar a desigualdade (2.13) usamos a seguinte fun¸c˜ao corte. Dado R > 1, seja ψR ∈

C∞(RN) uma fun¸c˜ao tal que ψ

R(x) ≡ 1 para |x| > R+ 1, ψR(x) ≡ 0 para |x| < R e ainda

0 ≤ ψR(x) ≤ 1 para todo x ∈ RN. Usando a desigualdade novamente a desigualdade (5) da

Proposi¸c˜ao A.1 e a defini¸c˜ao de S(a, b, λ), temos

hZ

RN

|x|−bq|(ψRun)(x)|qdx ip/q

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|∇(ψRun)(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(ψRun)(x)|pdx i

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(ψun)(x)|pdx i

+ C(ε, p) S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|un(x)∇ψR(x)|pdx+

ε S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx.(2.18)

O Lema 2.5 implica que

|x|−au

(25)

lim sup

n→∞

hZ

RN

|x|−bq|(ψRun)(x)|qdx ip/q

≤lim sup

n→∞

1 S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|ψ

R(x)∇un(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|

Run)(x)|pdx i

+ lim sup

n→∞

C(ε, p) S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|un(x)|p|∇ψR(x)|pdx

+ lim sup

n→∞

ε S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx (2.19)

Por outro lado, temos

Z

|x|>R+1

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R+1

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx

≤ Z

RN

|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx (2.20) ≤

Z

|x|>R

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx. (2.21)

Usando a defini¸c˜ao de γ∞ e as desigualdades (2.20) e (2.21) resulta

γ∞ = lim

R→∞lim supn→∞

hZ

|x|>R+1

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R+1

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i

≤ lim

R→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx i

≤ lim

R→∞lim supn→∞

hZ

|x|>R

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i

= γ∞.

Isto significa que valem as igualdades nas express˜oes acima, ou seja,

γ∞= lim

R→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|p[ψR(x)]pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|p[ψR(x)]pdx i

. (2.22)

Analogamente, temos

Z

|x|>R+1

|x|−bq|un(x)|qdx ≤ Z

RN

|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx (2.23)

≤ Z

|x|>R

|x|−bq|un(x)|qdx. (2.24)

Usando a defini¸c˜ao de ν∞ e as desigualdades (2.23) e (2.24), resulta

ν∞ = lim

R→∞lim supn→∞

Z

|x|>R+1

|x|−bq|un(x)|qdx ≤ lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx ≤ lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

|x|−bq|u

n(x)|qdx

(26)

Novamente temos que valem as igualdades nas express˜oes acima, ou seja,

ν∞= lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

|x|−bq|un|qψRq dx. (2.25) Da desigualdade (2.19) e das express˜oes (2.22) e (2.25), obtemos

νp/q = lim

R→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−bq|un(x)|q[ψR(x)]qdx ip/q

≤ lim

R→∞lim supn→∞ 1 S(a, b, λ)

hZ

RN

|x|−ap|ψ

R(x)∇un(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|

Run)(x)|pdx i

+ lim

R→∞lim supn→∞

C(ε, p) S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|un(x)∇ψR(x)|pdx

+ lim

R→∞lim supn→∞ ε S(a, b, λ)

Z

RN

|x|−ap|ψR(x)∇un(x)|pdx

= 1

S(a, b, λ)γ∞+εK,

em que K ∈R+ ´e uma constante. Como ε >0 ´e arbitr´ario, temos

νp/q ≤ 1

S(a, b, λ)γ∞,

que ´e a desigualdade (2.13).

Suponhamos agora que u(x) ≡ 0 e que b = a+ 1. Se vale a igualdade na express˜ao (2.12), isto ´e, se kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk, ent˜ao a desigualdade (2.17) bem como a desigualdade de H¨older implicam, para h∈ D(RN), que

hZ

RN

|h(x)|qdνip/q ≤ 1

S(a, b, λ)

Z

RN

|h(x)|pdγ

≤ 1

S(a, b, λ)

hZ

RN

|h(x)|qdγip/qkγk(q−p)/q. Deduzimos, portanto, que

ν =

S(a, b, λ)−q/p

kγk(q−p)/pγ. (2.26)

De fato, suponhamos que n˜ao seja v´alida a igualdade (2.26). Ent˜ao existe um subconjunto aberto Ω⊂RN tal que vale a desigualdade estrita

ν(Ω)< 1

S(a, b, λ)q/pkγk

(q−p)/pγ(Ω).

Portanto,

kνk = |hν,1i|=

Z

Ω dν+

Z

RN\Ω

<

Z

1

S(a, b, λ)q/pkγk

(q−p)/p+ Z

RN\Ω

1

S(a, b, λ)q/pkγk

(q−p)/p

=

Z

RN

1

S(a, b, λ)q/pkγk

(q−p)/p

= 1

S(a, b, λ)q/pkγk

(27)

e, consequentemente, vale tamb´em a desigualdade estrita

kνkp/q < 1

S(a, b, λ)kγk,

o que ´e uma contradi¸c˜ao com kνkp/q = [S(a, b, λ)]−1kγk. Seja agorah∈ D(RN). Usando a igualdade

γ = [S(a, b, λ)]q/pkγk(p−q)/pν, que ´e conseq¨uˆencia imediata de (2.26), obtemos

hZ

RN

|h(x)|qdνip/q kγk (q−p)/p

S(a, b, λ)(q−p)/p ≤ Z

RN

|h(x)|pdν

Como por hip´otese kνkp/q = 1

S(a, b, λ)kµk, resulta que

kµk(q−p)/p

S(a, b, λ)(q−p)/p =kνk

(q−p)/q;

portanto,

hZ

RN

|h(x)|qdνip/qkνk(q−p)/q ≤ Z

RN

|h(x)|pdν

para toda fun¸c˜aoh∈ D(RN). Tamb´em para cada subconjunto aberto ΩRN vale a desigualdade

ν(Ω)p/qkνk(q−p)/q ≤ν(Ω). Portanto,

ν(Ω)p/qν(RN)(q−p)/q ν(Ω),

Como o subconjunto aberto Ω ⊂ RN ´e arbitr´ario, esta ´ultima desigualdade significa que ν(Ω) = 0

ou [ν(Ω)]p/qν(RN)(q−p)/q ν(Ω), isto ´e, ν(Ω) = ν(RN). Em outros termos, a medida ν ´e zero ou

´e total e, portanto, est´a concentrada em um ´unico ponto. Consequentemente, a medida γ tamb´em est´a concentrada em um ´unico ponto.

Consideramos agora o caso geral, em que possivelmenteu6≡0; neste caso, definimos vn≡un−u,

e ent˜aovn⇀0 fracamente emDa1,p(RN). Usando o lema de Brezis-Lieb (Lema A.4) aplicado a uma

fun¸c˜ao n˜ao negativa h∈ D(RN), temos que

Z

RN

h(x)|x|−bq|u(x)|qdx= lim

n→∞

hZ

RN

h(x)|x|−bq|un(x)|qdx− Z

RN

h(x)|x|−bq|vn(x)|qdx i

.

De fato,

lim

n→∞

hZ

RN

|un(x)|qdx− Z

RN

|un(x)−u(x)|qdx i

=

Z

RN

|u(x)|qdx, e, portanto, ap´os multiplica¸c˜ao dos integrandos acima pela fun¸c˜aoh(x)|x|−bq, resulta

lim

n→∞

hZ

RN

h(x)|x|−bq|un(x)|qdx− Z

RN

h(x)|x|−bq|vn(x)|qdx i

=

Z

RN

h(x)|x|−bq|u(x)|qdx; assim, obtemos

(28)

Com estas convergˆencias fracas no espa¸co M(RN), a desigualdade (2.12) no caso geral segue da

correspondente desigualdade para a seq¨uˆencia (vn)⊂ Da1,p(RN).

Prosseguindo, temos

Z

|x|>R

|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx

− Z

|x|>R

|x|−ap|∇u

n(x)|pdx−λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|u

n(x)|pdx = Z

|x|>R

|x|−ap|∇(un−u)(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|(un−u)(x)|pdx

− Z

|x|>R

|x|−ap|∇un(x)|pdx−λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx

≤εh

Z

|x|>R

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i

+C(ε, p)h

Z

|x|>R

|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ

Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|u(x)|pdxi

em que usamos a desigualdade (4) da Proposi¸c˜ao A.1, a saber,

|a+b|p− |a|p

≤ε|a|p+C(ε, p)|b|p,

v´alida para 0< p <∞e ε >0. Dessa forma,

lim sup n→∞

Z

|x|>R

|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx

−lim sup

n→∞

Z

|x|>R

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx

≤εK +o(1)

pois

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx e

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdx s˜ao integr´aveis e a seq¨uˆencia (un)⊂ Da1,p(RN) ´e

limitada. Assim, calculando o limite quandoR → ∞obtemos

Rlim→∞lim sup n→∞

hZ

|x|>R

|x|−ap|∇vn(x)|pdx+λ Z

|x|>R

|x|−(a+1)p|vn(x)|pdx i

−γ∞

≤εK.

Usando o lema de Br´ezis-Lieb (Lema A.4), temos

Z

|x|>R

|x|−bq|u(x)|qdx= lim

n→∞

hZ

|x|>R

|x|−bq|un(x)|qdx− Z

|x|>R

|x|−bq|vn(x)|qdx i

,

e, portanto,

lim

R→∞lim supn→∞

Z

|x|>R

|x|−bq|vn(x)|qdx

= lim

R→∞lim supn→∞

hZ

|x|>R

|x|−bq|un(x)|qdx− Z

|x|>R

|x|−bq|u(x)|qdxi =ν∞,

pois

Z

|x|>R

(29)

Como ν ´e uma medida finita, o conjunto

D≡ {x∈RN|ν({x})>0}

´e no m´aximo enumer´avel. Sejaψj ∈C0∞ B(rj, x)

uma fun¸c˜ao positiva tal queψj(x) = 1 = supRNψj,

em que rj →0 quando j → ∞.

Dado x∈D, e usando uma vez mais a desigualdade (4) da Proposi¸c˜ao A.1, obtemos

γ({x}) = lim

j→∞γ(ψj)

= lim

j→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−ap|ψj(x)∇(un−u)(x)|pdx

+λR

RN|x|−(a+1)p|[ψj(un−u)](x)|pdx i

= lim

j→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇[ψj(un−u)](x)|pdx

+λR

RN|x|−(a+1)p|[ψj(un−u)](x)|pdx i

≥ S(a, b, λ)h lim

j→∞lim supn→∞

Z

RN

|x|−bq|[ψj(un−u)](x)|qdx i

= S(a, b, λ)[ν({x})]p/q.

Suponhamos que

|x|−a∇un p

|x|−(a+1)un p

⇀γ˜ fracamente em M(RN)

para alguma medida finita e positiva ˜γ ∈ M(RN). Dada uma fun¸c˜ao hC

0 (RN), temos

Z

RN

|x|−ap|∇(un−u)(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|(un−u)(x)|pdx −

Z

RN

|x|−ap|∇un(x)|pdx−λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx

≤εh

Z

RN

|x|−ap|∇u

n(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|u

n(x)|pdx i

+C(ε, p)h

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|pdx+λ

Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pdxi.

Assim,

γ({x}) = ˜γ({x}) x∈D.

Como a aplica¸c˜aov 7→ Z

RN

h(x)|x|−ap|v(x)|pdx´e convexa em Lp(RN) parahC

0 (RN) positiva, resulta que essa aplica¸c˜ao tamb´em ´e fracamente seq¨uencialmente semicont´ınua inferiormente. Por-tanto, ˜γ ≥ |x|−ap|∇u(x)|p. E usando a ortogonalidade de |x|−ap|∇u(x)|p com as medidas de Dirac,

obtemos

˜

γ ≥ |x|−ap|∇u(x)|p+kγk. Dessa forma,

lim sup

n→∞

Z

RN

|x|−ap|∇un(x)|p

(1−ψR(x)) dx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|p

(1−ψR(x)) dx ≥

Z

RN

|x|−ap|∇u(x)|p

(1−ψR(x)) dx+λ Z

RN

(30)

Logo,

lim sup

n→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|pdx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|pdx i

≥lim sup

n→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|pψR(x) dx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|pψR(x) dx i

+ lim

n→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|p[1−ψR(x)] dx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|p[1−ψR(x)] dx i

= lim sup

n→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇un(x)|pψR(x) dx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|un(x)|pψR(x) dx i

+ ˜γ[1−ψR(x)]

= lim

R→∞lim supn→∞

hZ

RN

|x|−ap|∇u(x)|pψR(x) dx+λ Z

RN

|x|−(a+1)p|u(x)|pψR(x) dx i

+ lim

R→∞γ˜(1−ψR(x)) =γ∞+kγ˜k

≤γ∞+|x|−ap|∇u|p+λ|x|−(a+1)p|u|p+kγk. Disso resulta que

lim sup

n→∞

|x|−a∇un p p +λ

|x|−(a+1)un p p ≥

|x|−a∇u p p +λ

|x|−(a+1)u p

p+kγk+γ∞

e a desigualdade (2.14) fica demonstrada.

Para todo n´umero real R >1, temos

lim sup

n→∞

Z

RN

|x|−bq|un(x)|qdx

= lim sup

n→∞

hZ

RN

ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|un(x)|qdx i

= lim sup

n→∞

hZ

RN

ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|(vn+u)(x)|qdx i

= lim sup

n→∞

Z

RN

ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ lim sup n→∞

Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|vn(x)|qdx

+Clim sup

n→∞

Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|u(x)|qdx.

FazendoR → ∞, obtemos, pelo Teorema de Lebesgue,

lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

|x|−bq|un|qdx = lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

ψR|x|−bq|un(x)|qdx+ lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|vn(x)|qdx

+ lim

R→∞lim supn→∞

Z

RN

(1−ψR)|x|−bq|u(x)|qdx

=ν∞+

Z

RN

dν+

Z

RN

|x|−bq|u(x)|qdx =ν∞+kνk+|x|−b|u(x)|

q q Portanto, lim sup n→∞

|x|−b|un| q

q =ν∞+kνk+

|x|−b|u| q q,

(31)

2.4

Conclus˜

ao das demonstra¸

oes dos teoremas

Demonstrac¸˜ao dos Teoremas 1.1 e 1.2. Seja (un)⊂ D1a,p(RN) uma seq¨uˆencia minimizante

para S(a, b, λ). Para todo n´umeron ∈N, existe um n´umerotnR+ tal que

Z

B(0,tn)

|x|−bq|un(x)|qdx=

1 2.

De fato, por hip´otese

Z

RN

|x|−bq|u

n(x)|qdx= 1

para todo n ∈N; logo, existe alguma bola aberta, centrada na origem de RN e com raio ρ =tn, na

qual a integral vale exatamente 1/2. Definimos a dilata¸c˜ao vn ≡utnn, isto ´e,

vn(x) =utnn(x)≡tn[N−p(a+1)]/pun(tnx).

Por hip´otese e usando a Proposi¸c˜ao 2.2, temos

|x|−bvn

q =

|x|−bun

q = 1

e

|x|a∇vn p p+λ

|x|−(a+1)vn p p =

|x|a∇un p p+λ

|x|−(a+1)un p

p →S(a, b, λ)

quando n→ ∞. Al´em disso,

Z

B(0,1)

|x|−bq|vn(x)|qdx = Z

B(0,1)

|x|−bqtn[N−p(a+1)]/p|un(tnx)| q

dx

=

Z

B(0,1)

|x|−bqtq[N−p(a+1)]/p

n |un(tnx)|qdx

=

Z

B(0,tn)

|z|−bqtnq[N−p(a+1)]/ptnbqt−nN|un(z)|qdz,

em que usamos a substitui¸c˜ao x =z/tn e dx = t−nNdz. O expoente de tn na express˜ao acima vale

zero, isto ´e, q[N −p(a+ 1)]/p+bq−N = 0. Prosseguindo os c´alculos, obtemos

Z

B(0,1)

|x|−bq|vn(x)|qdx= Z

B(0,tn)

|z|−bq|un(z)|qdz =

1

2. (2.29)

Como a seq¨uˆencia (vn)⊂ D1a,p(RN) ´e limitada, podemos extrair uma subseq¨uˆencia, ainda denotada

da mesma forma, e supor que existe uma fun¸c˜ao v ∈ D1,p

a (RN) tal que s˜ao v´alidas as seguintes

convergˆencias:

1. vn ⇀ v fracamente em Da1,p(RN).

2.

|x|−a∇(vn−v)

⇀ γ fracamente em M(RN).

3. |x|−b(vn−v)

⇀ ν fracamente em M(RN).

4. vn →v q.t.p. em RN.

De fato, pela limita¸c˜ao da seq¨uˆencia (vn) no espa¸co reflexivo Da1,p(RN), obtemos uma subseq¨uˆencia

(ainda denotada da mesma forma), tal que vale a convergˆencia fraca do item 1; passando a uma subseq¨uˆencia, obtemos a convergˆencia fraca do item 2 no espa¸co M(RN) das medidas limitadas

e positivas em RN; pela inclus˜ao cont´ınua, resulta, novamente ap´os passagem a subseq¨uˆencia, na

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