Existência de múltiplas soluções para classes de problemas elípticos com função peso mudando de sinal em domínios ilimitados

(1)

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

Existˆ

encia de m´

ultiplas solu¸

c˜

oes para classes

de problemas el´ıpticos com fun¸

c˜

ao peso

mudando de sinal em dom´ınios ilimitados

M´

arcio Lu´ıs Miotto

S˜ao Carlos - SP

(2)

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

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encia de m´

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oes para classes

de problemas el´ıpticos com fun¸

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ao peso

mudando de sinal em dom´ınios ilimitados

M´

arcio Lu´ıs Miotto

Orientador: Prof. Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki

Tese apresentada ao Programa de

Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFSCar

como parte dos requisitos para a obten¸c˜ao

do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica.

S˜ao Carlos - SP

(3)

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária/UFSCar

M669em

Miotto, Márcio Luís.

Existência de múltiplas soluções para classes de

problemas elípticos com função peso mudando de sinal em domínios ilimitados / Márcio Luís Miotto. -- São Carlos : UFSCar, 2009.

106 f.

Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2009.

1. P-laplaciano. 2. Domínios ilimitados. 3. Multiplicidade de soluções. 4. Expoentes críticos. 5. Não linearidades concâvo convexas. I. Título.

(4)

i""Umpio

Hiroshi Miyagaki

, DMA- UFV

<~~

Prbf. Dr. José RuidivãI Soares

--DM

-

UFSCar

~

Prof. Dr. Cezar Issao Kondo

DM

-

UFSCar

o

N~~

Prof.Dr.

Paulo César Carrião

UFMG

(5)

Aos meus pais Anselmo e Lourdes,

(6)

A Deus, que em Sua infinita bondade permitiu que mais esta etapa

da minha vida fosse conclu´ıda.

Aos meus pais, por todo amor, educa¸c˜ao, incentivo, compreens˜ao,

for¸ca, ... por seus exemplos. Esta meta foi atingida gra¸cas aos seus esfor¸cos.

`

A minha esposa Ta´ısa, pelo amor, as alegrias, companhia, apoio,

tolerância, paciência e por sua inigualável dedica¸cão.

Ao professor Ol´ımpio, pela orienta¸c˜ao, amizade e o conv´ıvio prazeroso

durante a elabora¸c˜ao deste trabalho.

Aos meus irm˜aos, Eder e Anderson pela incentivo, aux´ılio for¸ca,

paciˆencia.

A todos os meus familiares. Em especial, ao “nono” Jos´e e a

“nona” Teon´esta, pelo incentivo e toda a bondade. Ao Luiz e a Neiva Rita

pela confian¸ca, os exemplos e incentivos.

Aos professores da banca examinadora e seus suplentes pelas corre¸c˜oes

e sugest˜oes para a finaliza¸c˜ao deste trabalho.

Aos meus professores da UFSCar, em especial aos que ser˜ao sempre

lembrados por dar o melhor de si.

Ao professor Xavier da UFPR, pelas oportunidades, por sua enorme

aten¸c˜ao e incentivo.

Aos amigos da UFSCar pela agrad´avel convivˆencia e por estarem

sem-pre prontos para auxiliar-me. Aos amigos da UNICAMP e UFV pela acolhida

e troca de experiˆencias.

(7)

“ No final tudo d´a certo. Se n˜ao deu certo,

(8)

O objetivo deste trabalho é apresentar condi¸cões suficientes para a existência e

multiplicidade de solu¸c˜oes para uma classe de problemas el´ıpticos com fun¸c˜ao

peso mudando de sinal em dom´ınios ilimitados, utilizando para isso argumentos

variacionais. Especificamente, no caso semilinear utilizamos argumentos de

minimiza¸c˜ao sobre a variedade de Nehari. Para o caso quase linear, tanto para

o caso escalar bem como para o sistema, utilizamos argumentos de minimiza¸c˜ao

e uma variante do Teorema do passo da montanha sem a condi¸c˜ao de

(9)

The aim of this work is to give some sufficient conditions for the existence and

multiplicity of the solutions for a class of elliptic problems with sign-changing

weight function in unbounded domains, using for this variational techniques.

Specifically, in the semilinear case we use the minimization arguments on the

Nehari manifold. For the quasilinear case, as in the scalar case as in the

system, we use the minimization arguments and a variant of the mountain

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 Problema semilinear com n˜ao linearidade subcr´ıtica em um

cilindro infinito 4

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 4

1.2 Resultados preliminares . . . 7

1.3 Existˆencia de uma solu¸c˜ao . . . 21

1.4 Segunda solu¸c˜ao . . . 23

2 Problema quase linear com n˜ao linearidade cr´ıtica em RN 35 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 35

2.3 Existˆencia de uma solu¸c˜ao . . . 46

2.4 Existˆencia da segunda solu¸c˜ao . . . 48

3 Sistema quase linear com n˜ao linearidade cr´ıtica em RN ₅₅ 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 55

3.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1 . . . 63

3.4 Existˆencia da segunda solu¸c˜ao . . . 64

A Apˆendice 75 A.1 Algumas desigualdades . . . 75

A.2 Resultados abstratos . . . 77

(11)

A.3 Operadores diferenci´aveis . . . 83

A.4 Algumas estimativas . . . 88

A.5 Regularidade de solu¸c˜oes fracas . . . 92

(12)

Neste trabalho, obtemos condi¸cões para a existência de múltiplas

so-lu¸c˜oes (fracas) n˜ao negativas, para problemas da forma

(P)

 



−∆pu+a|u|p−1 = λf(x)|u|q−1+h(x)|u|r−1, em Ω

u = 0, sobre ∂Ω,

onde

−∆pu=₋div _|∇u_|p−2 ∇u

=₋

N

X

i=1 ∂ ∂xi

|∇u_|p−2∂u ∂xi

,

´e o operador p₋Laplaciano, Ω _⊆ RN _{´e um dom´ınio ilimitado com fronteira}

suave, as fun¸cõesa, f, h: Ω_→R_{sejam mensuráveis, com}_a_e_h_{não negativas,}

mas a fun¸cãof pode mudar de sinal,λ >0 é um parâmetro real positivo e os

expoentes satisfazem

2_≤p_≤N e 1< q < p < r_≤p∗.

Estabelecemos ainda condi¸c˜oes sobre a fun¸c˜ao pesof, bem como para

os valores de p e q, para obter resultados de existˆencia e multiplicidade de

solu¸c˜oes (fracas), da seguinte classe de sistema el´ıptico quase linear com

cresci-mento cr´ıtico

(S)

    

   

−∆pu = p1f(x)|u|p1−1|v|q1+β|u|β−1|v|γ, em RN −∆qv = q1f(x)_|u_|p1_|_v_|q1−1₊_γ_|_u_|β_|_v_|γ−1_, _em _RN

0u∈ D1,p₍_RN₎_, ₀_v _{∈ D}1,q₍_RN₎_,

onde a dimens˜ao, bem como os expoentes, satisfazem

1≤p1, q1, p1 p +

q1

q <1, 2≤p≤q < min{p

∗_{, N}_}_, β

p∗ +

γ q∗ = 1.

(13)

O estudo de problemas que envolvem o operadorp₋Laplaciano

deve-se ao fato que este operador el´ıptico aparece em v´arios problemas da F´ısica

e Mecˆanica, tais como: Glaciologia, Climatologia e Fluidos n˜ao-Newtonianos.

Por exemplo, no estudo da sensitividade de um modelo estacion´ario n˜ao

li-near que aparece na climatologia com rela¸c˜ao a constante solar (veja D´ıas,

Hern´andes e Tello [40] e suas referˆencias).

Pelo fato de considerarmos o problema (P) sobre dom´ınios ilimitados,

surgem algumas dificuldades para encontrarmos solu¸c˜oes para o mesmo, devido

a falta de compacidade das imersões de Sobolev e da verifica¸cão da condi¸cão

de Palais-Smale para os funcionais associados ao problema (P). Tecnicamente,

o sistema (S) se comporta, em um certo sentido, da mesma forma que o

pro-blema (P). Mas ´e evidente que existem dificuldades adicionais decorrentes da

a¸cão mútua das variáveis u e v nas não linearidades _|u_|β−1_|_v_|γ _e _|_u_|β_|_v_|γ−1_.

Al´em disso, como este sistema envolve expoente cr´ıtico de Sobolev, aparece

novamente a quest˜ao da falta de compacidade, bem como a verifica¸c˜ao da

condi¸c˜ao de Palais-Smale para o funcional associado ao sistema (S).

Por estas particularidades, durante as últimas décadas inúmeros

tra-balhos tratam de variantes do problema (P), bem como do sistema (S). Por

exemplo, se p _≥ 2 e Ω ´e limitado, podemos citar [1, 10, 22, 23, 24, 34, 36,

38, 51, 62], bem como suas referˆencias. Para o caso em que p ≥ 2 e Ω ´e um

dom´ınio ilimitado, mencionamos dentre outros [5, 9, 11, 15, 28, 41, 50, 61, 65]

al´em de suas referˆencias e as demais que se encontram no final deste trabalho.

No Cap´ıtulo 1, consideramos um caso particular do problema (P),

onde p = 2, Ω ´e um cilindro infinito de RN _com _N _≥ _{2 e a n˜ao}

lineari-dade em r possui crescimento subcr´ıtico, ou seja r < 2∗_{, onde 2}∗ ₌ 2N N₋2 se N ≥ 3 e 2∗ ₌ _∞ _se _N _{= 2. Supondo que} _a _≡ _{1 e que as fun¸c˜oes} _f _e _h

satisfazem condi¸c˜oes apropriadas, mais precisamente, as hip´oteses (Hf) e (Hh)

(veja p´agina 6), mostramos atrav´es de argumentos variacionais sobre a

(14)

λf seja suficientemente pequena.

No Cap´ıtulo 2, para λ >0 suficientemente pequeno, provamos a

exis-tˆencia de ao menos duas solu¸c˜oes para o problema (P), considerando o caso

em que Ω é todo o espa¸coRN_,_a_≡₀_{, h}_≡_1,_p_∈_[2_{, N}_{) é qualquer e a fun¸cão}_f

satisfaz a condi¸c˜ao (Hf) (veja p´agina 36). Para obter tal resultado utilizamos

t´ecnicas de minimiza¸c˜ao e uma variante do Teorema do passo da montanha.

Ressaltamos que para aplicar tal vers˜ao de teorema h´a a necessidade de obter

estimativas “precisas” dos n´ıveis de energia do funcional associado ao

pro-blema (P). Para tanto, fez-se necess´ario provar que as solu¸c˜oes tenham certa

regularidade, condi¸c˜ao esta que juntamente com algumas propriedades de uma

classe de fun¸c˜oes “especiais”, nos oferecem estimativas razo´aveis do n´ıveis de

energia do funcional associado ao problema (P).

No Cap´ıtulo 3, atrav´es de argumentos de minimiza¸c˜ao, garantimos

ini-cialmente que o sistema (S) admite ao menos uma solu¸c˜ao, desde que a fun¸c˜ao

pesof possua norma suficientemente pequena e satisfa¸ca a condi¸c˜ao (Hf) (veja

página 56). Para o casop=q, através de uma versão do Teorema do passo da

montanha, obtemos que o sistema (S) admite ao menos duas solu¸c˜oes desde

que f satisfa¸ca condi¸c˜oes apropriadas (veja Teorema 3.2). Para garantir a

existˆencia da segunda solu¸c˜ao, da mesma forma que no cap´ıtulo precedente,

fez-se necess´ario obter algumas estimativas dos n´ıveis de energia do funcional

associado ao sistema (S). Contudo, neste caso n˜ao foi poss´ıvel obter os

resul-tados de regularidade das solu¸c˜oes, obtidos no Cap´ıtulo 2. Contornamos tal

dificuldade obtendo uma estimativa uniforme em f dos n´ıveis de energia do

funcional associado ao sistema (S).

Conclu´ımos o trabalho com um Apˆendice, no qual listamos algumas

desigualdades, resultados de regularidade, bem como alguns resultados gerais,

(15)

Problema semilinear com n˜

ao

linearidade subcr´ıtica em um

cilindro infinito

1.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos, atrav´es de m´etodos variacionais, a

exis-tência de múltiplas solu¸cões (fracas) não negativas para uma classe de equa¸cões

el´ıpticas semilineares da forma

(Pλ,f, h)

 



−∆u+u = λf(x)_|u_|q₋1₊_h₍_x₎_|_u_|r₋1_, _em _T

u = 0, sobre ∂T,

onde as fun¸c˜oes peso f, h:T_→R _{satisfazem determinadas condi¸c˜oes,}

(HT) T= Ω′×R, com Ω′ ⊂RN−1, N ≥2, um dom´ınio suave e limitado,

λ um parˆametro real positivo e os expoentes satisfazem a seguinte rela¸c˜ao,

(Hexp) 1< q <2< r <2∗, (2∗ = 2N

N ₋2 se N ≥3, 2

∗ ₌_∞_se _N _{= 2)}_.

Equa¸cões el´ıpticas semilineares com não linearidades do tipo côncavo e

convexas, como acima, sobre dom´ınios limitados foram amplamente estudadas.

(16)

Ambrosetti, Br´ezis e Cerami em [10] estudaram o problema

 



−∆u = λ_|u_|q−1 ₊_|_u_|r−1_, _em _Ω

(1.1)

onde Ω ´e um dom´ınio suave e limitado de RN_, _λ _{um parˆametro real positivo}

e 1 < q < 2 < r _≤ 2∗_{. Eles garantiram, utilizando o m´etodo de sub e}

super solu¸c˜ao, a existˆencia de λ0 > 0 de modo que o problema (1.1) possui

ao menos duas solu¸c˜oes positivas se λ_∈(0, λ0), possui ao menos uma solu¸c˜ao

positiva se λ = λ0 e n˜ao admite solu¸c˜ao positiva se λ > λ0. Posteriormente,

tanto Adimurthi, Pacella e Yadava [2], quanto Damascelli, Grossi e Pacella

[32] bem como Tang em [67] provaram, no caso em que Ω =B(0,1), ou seja,

Ω é a bola unitária de RN_{, que existem exatamente duas solu¸cões positivas}

para o problema (1.1) se λ ∈ (0, λ0) e uma solu¸c˜ao positiva para λ = λ0.

Citamos tamb´em o trabalho de Brown e Zhang [24], no qual usando argumentos

variacionais sobre a variedade de Nehari, obtiveram resultados de existˆencia e

não existência, bem como multiplicidade de solu¸cões positivas para o problema

 



−∆u = λf(x)u+h(x)_|u_|r₋2_u, _em _Ω

onde Ω ´e um dom´ınio suave e limitado de RN_{, N} _≥_{3, o expoente 2}_{< r <} ₂∗

e as fun¸c˜oes peso f, h: Ω → R _{sejam suaves e podem mudar de sinal. Para}

mais trabalhos relacionados, cujo dom´ınio ´e limitado citamos [1, 12, 17, 25, 27,

29, 35, 36, 45] al´em de [58] e suas referˆencias.

Hsu em [50], considera o problema (Pλ,f, h) sob as condi¸c˜oes

N _≥3, f _≡0, h_≥0, com lim

|x_|→∞h(x) =h∞ >0,

e existem constantes positivasC0, δ e R0 de modo que

h(x′, xN)_≥h_∞+C0e−δ|xN|, para |xN| ≥R0, ∀x′ ∈Ω′.

Utilizando argumentos variacionais, ele prova que o problema (Pλ,f, h) admite

(17)

varia-cionais, estudou o problema (Pλ,f, h) supondo que

f é uma fun¸cão não negativa que pertence a L2−2q(_T),

h_∈C(T) ´e estritamente positiva, com lim

|xN|→∞

h(x) = 1, _∀x′ _∈Ω′,

e existem constantes δ >0 e C0 ∈(0,1) tais que

h(x′, xN)_≥1₋C0e−2√1+θ1+δ|xN|_, _∀₍_x′_{, xN}₎_∈_T_,

onde θ1 ´e o primeiro autovalor de ₋∆ em Ω′ _{com a condi¸c˜ao de fronteira}

identicamente nula. Sob tais condi¸c˜oes obteve a existˆencia de λ0 >0, tal que

o problema (Pλ,f, h) admite ao menos duas solu¸c˜oes positivas paraλ _∈(0, λ0).

Para outros resultados relacionados em dom´ınios ilimitados, mas com os pesos

n˜ao mudando de sinal, mencionamos [16, 26, 30, 47, 48, 69], bem como suas

referˆencias.

Consideremos que f, h : T _→ R _{sejam fun¸c˜oes mensur´aveis e que}

satisfa¸cam as seguintes condi¸c˜oes:

(Hf) f ∈L1

.

=Lγγ−q(_T), para alguma constante real γ ∈(q,2∗],

f+ 6≡0 e f−∈L∞(T) possui suporte compacto em T.

(Hh)

h_∈L∞₍_T_{) ´e n˜ao negativa, com} _h₍_x₎_>_{0 se} _f₍_x₎_>₀_,

lim_|xN|→∞h(x′, xN) = 1, ∀x′ ∈Ω′ e existe C0 >0 onde

h(x′_{, xN}₎_≥₁₋_C0e−2√1+θ1|xN|, ∀(x′, xN)∈_T.

A seguir enunciamos o resultado principal deste cap´ıtulo, o qual

es-tende os resultados de existˆencia e multiplicidade acima citados,

principal-mente os de [75].

Teorema 1.1 [55, Teorema 1.1] Suponhamos que as condi¸c˜oes (HT), (Hexp),

(Hf) e (Hh) sejam satisfeitas. Ent˜ao existe uma constante positiva Λ =

Λ(q, p,_kh_kL∞, γ) tal que se 0 < λkfk_L₁ < Λ o problema (Pλ,f, h) possui ao

(18)

Sob nossas hip´oteses, algumas estimativas para obter sequˆencias (P S),

que foram exploradas em [75] n˜ao podem mais ser aplicadas. Para

contornar-mos tais dificuldades, estabelececontornar-mos novas estimativas mais “refinadas”, uma

vez que a fun¸c˜ao pesof pode admitir mudan¸ca de sinal ehpode ser

identica-mente nula em uma regi˜ao limitada deT.

1.2 Resultados preliminares

Consideremos o espa¸coH =H1

0(T) munido com a norma kukH = (< u, u >)

1 2 ₌

Z

T

|∇u|2₊_|_u_|2_dx

1₂

.

e a nossa nota¸c˜ao para a norma do espa¸co de LebesgueLs₍_T_{), para} _s_∈_[1_,_∞₎

como sendo

kukLs =

Z

T

|u(x)|s dx

1_s

.

Neste cap´ıtulo, para cada l _∈ [1,2∗_{] consideremos o seguinte problema de}

maximiza¸c˜ao

Sl = sup

u∈H\{0}

ku_kLl

kukH

.

Como iremos demonstrar o Teorema 1.1 usando argumentos

varia-cionais, consideremos ent˜ao o funcional Iλ : H _→ R_{, associado ao problema}

(Pλ,f, h), onde para cada u_∈H

Iλ(u) = 1 2kuk

2 H −

λ q

Z

T

f|u|q

dx−1 r

Z

T

h|u|r

dx. (1.2)

´

E f´acil verificar (veja Lema A.8) que o funcionalIλ ´e de classeC1_{com derivada}

I′

λ(u) em cadau∈H dada por

< Iλ′(u), ϕ >=

Z

T

∇u∇ϕ+uϕ dx−λ

Z

T

f|u|q₋2_{uϕ dx}₋

Z

T

h|u|r₋2_{uϕ dx,} _(1.3)

para cada ϕ_∈H.

Temos que os pontos cr´ıticos do funcionalIλ s˜ao exatamente as

(19)

inferiormente sobre o espa¸coH consideremos, para cada λ >0, a variedade de

Nehari associada a (Pλ,f, h),

Nλ ={u∈H\{0}:< Iλ′(u), u >= 0}.

Ressaltamos que qualquer solu¸cão não trivial de (Pλ,f, h) pertence aNλ. Além

disso, pela defini¸c˜ao da variedade de Nehari e a rela¸c˜ao (1.3), temos queu_∈Nλ

se, e somente se,

kukH 6= 0 e kuk2H −λ

Z

T

f|u|q dx−

Z

T

h|u|r

dx= 0. (1.4)

Decorre das condi¸c˜oes (Hf) e (Hexp), da defini¸c˜ao deSγ e da

desigual-dade de H¨older que, para todou_∈H

λ Z T

f_|u_|q_dx

≤

λ_kf_kL1S

q

γku_kq_H. (1.5)

Temos o seguinte resultado a respeito do comportamento do funcional

Iλ sobre a variedade de NehariNλ:

Lema 1.1 Suponhamos que as condi¸c˜oes(HT), (Hexp), (Hf)e(Hh) sejam

vá-lidas. Então para cada λ > 0, o funcional Iλ é coercivo e limitado

inferior-mente sobre Nλ.

Demonstra¸c˜ao: Sejam λ >0 eu_∈Nλ quaisquer. Segue das rela¸c˜oes (1.4)

e (1.5) que

Iλ(u) = 1 2kuk

2 H − 1 q Z T

f_|u_|q_dx − 1_r

Z

T

h_|u_|r_dx

= 1 2 − 1 r

ku_k2_H ₋

1 q − 1 r λ Z T

f_|u_|q_dx

≥ 1 2 − 1 r

ku_k2_H ₋

1 q − 1 r

λ_kf_kL1S

q γku_kq_H.

Como q <2 < r, segue que o funcionalIλ ´e coercivo e limitado inferiormente

sobre Nλ.

Devido ao funcional Iλ ser limitado inferiormente sobre Nλ,

conside-remos para cada λ >0,

αλ = inf

u∈Nλ{

(20)

Consideremos ainda, para cada λ >0, a fun¸c˜ao ψλ :H _→R _{definida por}

ψλ(u) =< Iλ′(u), u >=kuk2H −λ

Z

T

f|u|q dx−

Z

T

h|u|r dx.

´

E f´acil verificar queψλ ´e de classe C1 _{(veja Lema A.8) e para cada} _u_∈_H

< ψ′λ(u), u >= 2kuk2H −qλ

Z

T

f|u|q dx−r

Z

T

h|u|r dx.

Al´em disso, para cada u_∈Nλ, devido a rela¸c˜ao (1.4), obtemos que

< ψ′λ(u), u > = (2−q)kuk2H −(r−q)

Z

T

h|u|r

dx, (1.6)

= (2₋r)_ku_k2_H ₋(q₋r)λ

Z

T

f_|u_|q_dx. _(1.7)

Da mesma forma que Tarantello [68], dividimos a variedade de Nehari Nλ,

convenientemente em trˆes conjuntos, a saber,

N_λ+ =_{u_∈Nλ :< ψλ′(u), u >>0},

N0

λ ={u∈Nλ :< ψλ′(u), u >= 0},

N_λ− =_{u_∈Nλ :< ψλ′(u), u ><0}.

Temos pela rela¸c˜ao (1.7) e pela hip´otese (Hexp) que R

Tf|u|

q_{dx >}_{0, para cada}

u_∈N_λ+, donde segue pela hip´otese (Hh) que

Z

T

h_|u_|rdx >0, (1.8)

para todo u_∈ N+

λ. Agora, pela defini¸c˜ao de Sr e pela hip´otese (Hexp), temos

para todou_∈N_λ− que

Z

T

h|u|r

dx ≤ khkL∞₍_T)kuk_Lr₍_T₎

≤ C˜−1kukr

H, (1.9)

onde ˜C = (_kh_kL∞₍_T₎S_rr)−1. Ent˜ao, para cadau∈N_λ−, segue das rela¸c˜oes (1.6),

(1.9) e da hip´otese (Hexp) que

Z

T

h_|u_|r_{dx >}₀_, _(1.10)

˜

C

2₋q r−q

_r₋1₂

(21)

O resultado a seguir nos oferece uma condi¸c˜ao para que os m´ınimos

locais do funcionalIλ sobre Nλ sejam pontos cr´ıticos de Iλ.

Lema 1.2 Suponha que u0 ´e um m´ınimo local do funcional Iλ restrito a

va-riedade de Nehari Nλ e que u0 _6∈N0

λ, ent˜ao Iλ′(u0) = 0 em H∗.

Demonstra¸c˜ao: Pelo fato de u0 ser m´ınimo local de Iλ sobre Nλ, existe

uma vizinhan¸ca U deu0 em H, de modo que

Iλ(u0) = min

u∈U∩Nλ

Iλ(u),

ou, pela defini¸c˜ao deψλ

Iλ(u0) = min

u∈U\{0}

ψλ(u)=0

Iλ(u).

Segue ent˜ao, pela teoria de multiplicadores de Lagrange, que existeρ_∈R_{, tal}

queI′

λ(u0) = ρψλ′(u0). Ent˜ao, como u0 ∈Nλ, por defini¸c˜ao temos que

0 =< I_λ′(u0), u0 >=ρ < ψ′_λ(u0), u0 > .

Como u0 _6∈ N0

λ, segue da defini¸c˜ao de Nλ0 que ρ = 0 e consequentemente I′

λ(u0) = 0 emH∗.

Motivados pelo resultado acima, iremos obter uma condi¸c˜ao para que

tenhamos N0 λ =∅.

Lema 1.3 Suponhamos que as condi¸c˜oes(HT), (Hexp),(Hf)e (Hh)sejam

sa-tisfeitas. Ent˜ao existe uma constante Λ = Λ(q, r,_kh_kL∞₍_T₎, γ) > 0, de modo

que N0

λ =∅ se

0< λkfkL1 <Λ.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos por absurdo que existe uma sequˆencia (λn)_⊂

(0,_∞), onde λn _→ 0 quando n _{→ ∞} e N0

λn 6=∅ para qualquer n ∈ N. Para

cada u∈N0

λ, obtemos pelas rela¸c˜oes (1.4), (1.6) e (1.7) que

0<_ku_k2 H =

r₋q

2−q

Z

T

(22)

0< λ

Z

T

f|u|q

dx= r−2 2−q

Z

T

h|u|r

dx. (1.13)

Segue das rela¸c˜oes (1.5), (1.12) e (1.13), que para cada u_∈N0 λ

kukH ≤

r−q r₋2

₂₋1_q

S

q

2−q

γ (λkfkL1) 1

2−q. (1.14)

Seja Zh =

u_∈H :

Z

T

h_|u_|r_dx_{= 0}

. Para cada λ > 0, definimos a fun¸c˜ao

Fλ :H\Zh →R _por

Fλ(u) =k

ku_kr H

R

Th|u|

r_dx

_r₋2₂

−λ

Z

T

f|u|q dx,

comk =k(q, r) =r₋2 2−q

2−q r₋q

_r₋r₂

. Decorre da rela¸c˜ao (1.12) queFλ est´a bem

definida sobre N0

λ, para todo λ >0. Ainda, por (1.12), (1.13) e pela defini¸c˜ao

dek(q, r) segue que

Fλn(u) = 0, (1.15)

para cada u ∈ N0

λn e todo n ∈ N. Agora para cada λ > 0, se u ∈ N

0

λ, pelas

rela¸c˜oes (1.5), (1.9) e (1.14), temos que

Fλ(u) ≥ kC˜r−22 −λkfk_L 1S

q γkukqH

= Sq

γku_kq_H(λ_kf_kL1)

−q

2−q

h

kC˜r−22S−q

γ (λkfkL1)

q

2−qkuk−q

H −(λkfkL1) 2 2−q

i

≥ Sq

γku_kq_H(λ_kf_kL1)

−q

2−q

h

C1₋(λ_kf_kL1) 2 2−q

i

, (1.16)

onde C1 =k(q, r) ˜C

2

r−2S

−2q

2−q

γ q₂

q

2−q

r₋2 r₋q

₂₋q_q

.

Pelo fato de λn _→ 0 quando n _{→ ∞}, existe n _∈ N _{de forma que}

0 < λnkfkL1 < C 2−q

2

1 . Ent˜ao por Nλ0n 6= ∅, segue da rela¸c˜ao (1.16) que

Fλn(u) > 0 para cada u ∈ N

0

λn, o que contradiz a rela¸c˜ao (1.15). Logo n˜ao

existe (λn)_⊂ (0,_∞) com N0

λn 6=∅ e λn → 0 quando n → ∞. Portanto existe

˜

λ >0 tal queN0

λ 6=∅ se 0< λkfkL1 <˜λ.

Para algumas estimativas futuras necessitamos de certas constantes,

a saber,

C2 =k(q, r)Sγ−qC˜

2−q r−2,

C3 =k(q, r)2−1Sγ−qC˜

2−q r−2

r₋2 2−q

_r₋q₂

(23)

C4 = 4q−2Sγ−qC˜

2−q r−2

r−2

r₋q

2−q r₋q

2_r−₋q₂

.

Considerando

0<Λ = Λ(q, r,_kh_kL∞₍_T), γ)<min{λ, C˜

2−q

2

1 , C2, C3, C4}, (1.17)

temos que a demonstra¸c˜ao est´a conclu´ıda.

Segue-se ent˜ao pelo Lema 1.2 que se 0< λkfkL1 <Λ e u ∈Nλ ´e um

m´ınimo local do funcional Iλ restrito a Nλ, entãoué uma solu¸cão de (Pλ,f, h).

Portanto, nosso intuito ser´a encontrar m´ınimos locais do funcional Iλ sobre a

variedade de Nehari Nλ. Consideremos ent˜ao para cadaλ >0, os valores

α+_λ = inf

u_∈N_λ+{

Iλ(u)_} e α−_λ = inf

u_∈N_λ−{

Iλ(u)_}.

Segue das defini¸c˜oes deN_λ+ eN_λ− e do Lema 1.1 queα+_λ, α−_λ ∈R_{. Recordando}

que

Zh =

u_∈H :

Z

T

h_|u_|r_dx_{= 0}

,

consideremos para cadau_∈H_\Zh a seguinte constante positiva

tmax =tmax(u) =

2−q r₋q

kuk2 H

R

Th|u|

r_dx

_r₋1₂

.

Temos os seguintes resultados a respeito dos conjuntosN_λ+ eN_λ− e dos

valores deα_λ+ e α−_λ:

Lema 1.4 Suponhamos que as condi¸c˜oes(HT), (Hexp), (Hf)e(Hh) sejam

v´a-lidas. Ent˜ao para quaisquer λ_∈(0,Λ_kf_k−_L₁1) e u_∈H_\Zh temos i) se λR

Tf|u|

q_dx _≤ ₀_{, existe um ´}_unico _t₋₍_u_{) =} _t₋ _{> tmax}_{, de modo que}

t−_u_∈_N−

λ e

Iλ(t−u) = sup

t_≥0

Iλ(tu)>0.

ii) se λR

Tf|u|

q_{dx >} ₀_{, ent˜ao existem ´}_unicos ₀ _{< t}+₍_u_{) =} _t+ _{< tmax} _e

tmax < t−₌_t−₍_u₎_{, tais que} _t+_u_∈_N+

λ, t−u∈Nλ− e ainda

Iλ(t+u) = inf

0≤t_≤tmax

Iλ(tu)<0,

Iλ(t−u) = sup

t≥tmax

(24)

iii) N_λ−=nu∈H\Zh :t−₍_u_{) =} 1

kukHt − u

kukH

= 1o.

iv) existe uma bije¸c˜ao cont´ınua entre U = {u∈H\Zh :kukH = 1} e Nλ−.

Em particular, t− _{´e uma fun¸c˜ao cont´ınua sobre} _H_\_Zh_.

Al´em disso, temos que αλ =α_λ+<0< α_λ−.

Demonstra¸c˜ao: Sejam λ e u tais que λ ∈ (0,Λkfk−1

L1) e u ∈ H\Zh .

Considere a fun¸c˜ao s: (0,∞)→R_{, definida por}

s(t) =t2−q

ku_k2H −tr−q

Z

T

h_|u_|r_dx.

Note que s ∈ C∞₍₀_,_∞_{) e pela defini¸c˜ao de} _tmax_{, obtemos que} _s′₍_t₎ _> _{0 se}

t _∈(0, tmax), s′₍_tmax_{) = 0 e} _s′₍_t₎_<_{0 se} _t _∈ ₍_tmax,_∞_{). Observemos ainda por}

(1.4) que tu _∈ Nλ se, e somente se, s(t) = λR

Tf|u|

q_dx. _{Considere tamb´em a}

fun¸c˜ao m : (0,∞) →R_{, definida por} _m₍_t_{) =}_Iλ₍_tu_{). Note que} _m_∈ _C∞₍₀_,_∞₎

em′₍_t_{) = 0 se, e somente se,} _tu_∈_Nλ_.

Suponhamos inicialmente que λR

Tf|u|

q_dx

≤ 0. Como s(tmax) > 0,

s(t) → −∞ quando t → ∞ e por s ser uma fun¸c˜ao estritamente decrescente

em (tmax,_∞), temos que existe ´unica constante t−₍_u_{) =} _t− _{> tmax}_{, tal que}

s(t−_{) =}_λR

Tf|u|

q_dx_{, ou seja,} _t₋_u ∈Nλ.

Comot−_u_∈_Nλ_{, segue da rela¸c˜ao (1}_._{6) e do fato de} _s′₍_t−₎_<_{0 que}

< ψ_λ′(t−u), t−u > = (2₋q)(t−)2_ku_k2_H ₋(r₋q)(t−)r−q

Z

T

h_|u_|r_dx

= (t−)q+1s′(t−)<0,

donde obtemos que t−_u _∈ _N−

λ. Agora sendo t = t− o ´unico ponto cr´ıtico da

fun¸cão m e m(t) → −∞ quando t → ∞, temos que t− _{é máximo global da}

fun¸c˜aom. Ainda, comom(t−₎_>_{0, temos que}_Iλ₍_t−_u_{) = sup}

t≥0

Iλ(tu)>0, o que

conclui o item i).

Agora supomos queλR

Tf|u|

q_{dx >}_{0. Segue da defini¸c˜ao de} _tmax _{e da}

rela¸c˜ao (1.9) que

s(tmax) = t2maxk−q uk2 H −t

r₋q max

Z

T

h|u|r dx

≥

˜

C

2₋q r−q

2_r−₋q₂

kukqH −C˜

2−q r−2

2₋q r−q

r_r−₋q₂

(25)

Pela hip´otese (Hexp) a desigualdade acima e as defini¸c˜oes dek(q, r) eC2 temos

s(tmax) _≥ k(q, r) ˜Cr2−−q2kukq

H

≥ ΛSq γku_kq_H

> λ_kf_kL1S

q γku_kq_H

≥ λ

Z

T

f|u|q dx,

onde a última desigualdade segue de (1.5). Então devido às propriedades da

fun¸c˜ao s, temos que existem ´unicos t+ ₌_t+₍_u₎ _{< tmax} _{< t}−₍_u_{) =} _t−_{, tais que}

s(t±_{) =}_λR

Tf|u|

q_dx_{. Segue da rela¸c˜ao (1}_._{6), pois} _t_±_u

∈Nλ, que

< ψλ′(t±u), t±u > = (2−q)(t±)2kuk2H −(r−q)(t±) r₋q

Z

T

h_|u_|rdx

= (t±)q+1s′(t±),

e pors′₍_t+₎_>_{0 e}_s′₍_t−₎_<_{0 temos que}_t+_u_∈_N+

λ et−u∈Nλ−. Pode-se mostrar

facilmente que m′₍_t₎ _<_{0 se} _t _∈ ₍₀_{, t}+₎_∪₍_t−_,_∞_{) e} _m′₍_t₎_> _{0 se} _t _∈₍_t+_{, t}−_{) e}

ainda quem(t+₎_<₀_{< m}₍_t−_{). Portanto}

Iλ(t+u) = inf

0≤t_≤tmax

Iλ(tu)<0 e Iλ(t−u) = sup

t≥tmax

Iλ(tu)>0,

o que conclui o item ii).

Considere u _∈ N_λ− qualquer. Segue da rela¸c˜ao (1.10) que u _∈ H_\Zh

e, considerando w= u

kukH, obtemos pelos items acima que existe ´unico t −₍_w₎

tal quet−₍_w₎_w_∈_N−

λ, ou seja, t−

u

ku_kH

u

ku_kH ∈N −

λ . Ent˜ao pela unicidade de t−₍_u_{), segue que}

1

ku_kH t−

u ku_kH

=t−(u) = 1,

poisu∈N_λ−. Portanto

N_λ−⊂

u∈H\Zh :t−(u) = 1

ku_kH t−

u ku_kH

= 1

.

Reciprocamente, se u _∈ H_\Zh ´e tal que 1

ku_kHt − u

ku_kH

= t−₍_u_{) = 1, ent˜ao}

novamente pela unicidade do valor det−₍_u_{), temos que} _u_∈_N−

λ , o que conclui

(26)

Para cadau_∈U definimos Gu : (0,_∞)_×U _→R_por

Gu(t, w) =ψλ(tw) =< Iλ′(tw), tw > .

Pelo fato de t−₍_u₎_u_∈_N−

λ , segue que

Gu(t−(u), u) =< Iλ′(t−(u)u), t−(u)u >= 0,

e, pela regra da cadeia, temos que

∂Gu ∂t (t

−₍_u₎_{, u}_{) = [}_t−₍_u_)]−1 _{< ψ}′

λ(t−(u)u), t−(u)u >< 0.

Ent˜ao pelo Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita (veja Teorema A.1), temos que existe

uma vizinhan¸ca Wu de u sobre U e uma ´unica fun¸c˜ao Tu : Wu → (0,∞)

cont´ınua, tal queGu(Tu(w), w) = 0 para todow_∈Wu, em particular temos que

Tu(u) = t−₍_u_{). Como} _u _∈_U _{´e qualquer, temos que a fun¸c˜ao} _T _: _U _→ ₍₀_,_∞₎

dada por T(u) = t−₍_u_{) ´e cont´ınua e injetora. Sendo} _T− _: _U _→ _N−

λ onde T−₍_u_{) =}_t−₍_u₎_u_{, temos que}_T− _{´e cont´ınua e injetora. Para cada}_u_∈_N−

λ , pelo

item iii), segue que T−₍_w_{) =} _u _onde _w ₌ u

ku_kH, o que mostra que T

− _{´e uma}

fun¸c˜ao sobrejetora. Pelo fato det−_{ser cont´ınua sobre o conjunto} _U _{segue, por}

uma composi¸cão de fun¸cões cont´ınuas, que t− _{é uma fun¸cão cont´ınua sobre}

H_\Zh.

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao resta mostrar que α+_λ < 0 < α_λ−.

Temos pela condi¸c˜ao (Hf) que f+ 6≡ 0 e f− possui suporte compacto sobre

T. Consideremos uma fun¸c˜ao u _∈ C∞

c (RN), onde supp(u)∩supp(f−) = ∅

e R

Tf|u|

q_{dx >} _{0. Segue pela condi¸c˜ao (}_Hh_{) que} R

Th|u|

r_{dx >} _{0, ou seja,}

u_∈H_\Zh. Pelo item ii) temos queα+_λ _≤Iλ(t+₍_u₎_u₎_<_0.

Agora, iremos mostrar que α−_λ > 0. Decorre da condi¸c˜ao (Hh) e das

rela¸c˜oes (1.4) e (1.5) que para cada u∈N_λ−

Iλ(u) =

1 2−

1

r

kuk2 H −

1

q −

1

r

λ

Z

T

f|u|q dx

≥

r₋2 2r

kuk2 H −

r₋q qr

λkfkL1S

q γkukqH

> kukqH

r₋2 2r

kuk2H−q−

r₋q qr

SγqΛ

(27)

onde a ´ultima desigualdade segue do fato que 0 < λ_kf_kL1 < Λ. Ent˜ao pelas

rela¸c˜oes (1.11), (1.17) e as defini¸c˜oes de k(q, r) e C3, para cada u∈N_λ− temos

Iλ(u) > Sq γ

˜

C

2₋q r−q

_r₋q₂

r₋q qr

"

k(q, r)S−q γ C˜

2−q r−2

r₋2 2−q

_r₋q₂

−Λ

#

> Sq γ

˜

C

2₋q r−q

_r₋q₂

r₋q qr

C3

= c >0,

donde segue pela defini¸c˜ao de α−_λ que α−_λ ≥c >0, o que conclui a

demonstra-¸c˜ao.

Na sequˆencia introduzimos algumas terminologias.

Defini¸c˜ao 1.1 Dadosc_∈R_e ₍_un₎_⊂_H _{uma sequˆencia que satisfaz} _Iλ₍_un₎_→

c e I′

λ(un) → 0, quando n → ∞. Então (un) é chamada de sequência (P S)c para o funcional Iλ. Dizemos ainda que c ∈ R _{é um n´ıvel} ₍_{P S}₎ _{para o}

fun-cionalIλ se toda sequˆencia (P S)c para o funcionalIλ admite subsequˆencia que

converge na topologia forte.

A seguir iremos obter uma condi¸c˜ao que garante a existˆencia de

se-quˆencias (P S)αλ e (P S)α−_λ para o funcionalIλ sobreNλ eN −

λ respectivamente:

sa-tisfeitas e que 0< λ_kf_kL1 <Λ. Ent˜ao

i) existe (un)_⊂Nλ sequˆencia (P S)αλ para o funcional Iλ.

ii) existe (un)⊂N_λ− sequˆencia (P S)_α−

λ para o funcional Iλ.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos primeiramente o item i). Pelo Princ´ıpio

variacional de Ekeland (veja Teorema A.2), obtemos uma sequˆencia (un)⊂Nλ,

de modo que

Iλ(un)< αλ+ 1

n, (1.18)

Iλ(un)< Iλ(w) + 1

(28)

para cada n _∈N _e _w_∈_Nλ_{. Devido `a rela¸c˜ao (1}_._{18) e ao fato do funcional} _Iλ

ser coercivo sobre Nλ (Lema 1.1), temos que (un) ´e uma sequˆencia limitada

em H. Agora como αλ <0, temos que existe n0 ∈N onde 2≤ −n0αλ. Ent˜ao

para todon _≥n0, segue pela rela¸c˜ao (1.18) que

Iλ(un) =

r₋2 2r

kunk2 H −

r₋q qr

λ

Z

T

f|un|q

dx < αλ

2 <0.

Como 0< λ_kf_kL1 <Λ, pelas rela¸c˜oes (Hexp), (1.5) e as desigualdades acima,

podemos supor sem perda de generalidade, que para todo n∈N _temos

− αλ

2SγqΛ

qr r−q

1_q

≤ kun_kH ≤

Sq γ

2

q

r₋q r−2

Λ

₂₋1_q

. (1.20)

Agora iremos mostrar que _kI′

λ(un)kH∗ → 0 quando n → ∞, para

tanto, necessitamos do seguinte resultado:

Afirma¸c˜ao 1.1 Sob as condi¸c˜oes do Lema 1.5 temos, para cada u _∈ Nλ

(respect. N_λ−) que existem 0 < ε = ε(u) < kukH

2 e η : B(0, ε) ⊂ H → ( 1 2,2) diferenci´avel, tal que η(0) = 1, η(w)(u−w) ∈ Nλ (respect. Nλ−) para todo

w_∈B(0, ε). Al´em disso, para cada z _∈H, temos que

< η′(0), z >=

−2R

T∇u∇z+uz dx+qλ

R

Tf|u|

q₋2_{uz dx}₊_rR

Th|u|

r₋2_{uz dx}

(2₋q)_ku_k2

H −(r−q)

R

Th|u|

r_dx . (1.21)

Assumimos a Afirma¸c˜ao 1.1 por um instante. Sejam u ∈ H\{0} e

n _∈ N _{quaisquer. Aplicando a Afirma¸c˜ao 1}_._{1 para} _un _∈ _Nλ_{, obtemos uma}

fun¸c˜ao ηn : B(0, εn) _⊂ H _→ (1₂,2) diferenci´avel, onde 0 < εn < kunk

2 , com ηn(0) = 1 eηn(w)(un−w)∈Nλ para todo w∈B(0, εn). Consideremos ainda

0 < ρ < εn qualquer e vρ = ηn(wρ)(un₋wρ) onde wρ = _k_uρu_k

H. Pelo fato de

vρ _∈Nλ, por (1.19) segue que

Iλ(vρ)₋Iλ(un)_{≥ −}1

nkvρ−unkH,

e ent˜ao pelo Teorema do valor m´edio, obtemos que

hI_λ′(un), vρ₋un_i+o(_kvρ₋un_kH)≥ −

1

(29)

Pela defini¸c˜ao de vρ e a rela¸c˜ao acima obtemos que

−1

nkvρ−unkH ≤ +o(kvρ−unkH)−ρ

Iλ′(un), u ku_kH

+ [ηn(wρ)−1]hIλ′(un), un−wρi

= +o(_kvρ₋un_kH)−ρ

Iλ′(un), u ku_kH

+ [ηn(wρ)₋1]_hI_λ′(un)₋I_λ′(vρ), un₋wρ_i.

Logo, para todo 0< ρ < εn temos que

I_λ′(un), u kukH

≤ [ηn(wρ)−1] ρ hI

′

λ(un)−Iλ′(vρ), un−wρi

+kvρ−unkH

nρ +o(kvρ−unkH).

Como lim

ρ→0+

|ηn(wρ)−1| ρ ≤ kη

′

n(0)k, a sequˆencia (un) ´e limitada, o funcional I′

λ ´e de classe C1 e vρ → un quando ρ→0+, temos que existe uma constante C >0, independente de n, que satisfaz

Iλ′(un), u ku_kH

≤ C

n(1 +kη

′

n(0)k). (1.22)

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao do item i), pela rela¸c˜ao acima, basta mostrar

que_kη′

n(0)k´e limitada para todo n ∈N. Pelas rela¸c˜oes (1.20) e (1.21), temos

que existe C >0, independente de n∈N_{, tal que para todo} _w_∈_H

|< η_n′(0), w >_{| ≤}C kwkH (2−q)kunk2_H −(r−q)

R

Th|un|

r_dx

.

Ent˜ao para mostrarmos que kη′

n(0)k ´e limitada para todo n ∈N, ´e suficiente

mostrar que existec >0 tal que

(2₋q)_kun_k2H −(r−q)

Z

T

h_|un_|r_dx

> c. (1.23)

Suponha por contradi¸cão que não existe c > 0 que satisfa¸ca a rela¸cão (1.23).

Ent˜ao existe uma subsequˆencia, a qual denotamos simplesmente por (un), onde

(2₋q)_kun_k2H −(r−q)

Z

T

(30)

Devido `a rela¸c˜ao (1.20) podemos assumir, sem perda de generalidade, que

(un)⊂H\Zh. Pelo fato de (un)⊂Nλ segue das rela¸c˜oes (1.4) e (1.24) que

λ

Z

T

f_|un_|q_dx ₌

r₋2

r−q

kun_k2_H +o(1). (1.25)

Considerando a fun¸c˜ao Fλ : H_\Zh _→ R _{definida na demonstra¸c˜ao do Lema}

1.3, segue das rela¸c˜oes (1.24) e (1.25) que

Fλ(un) =

r₋2 2−q

2₋q r−q

_r₋r₂

kun_kr H

R

Th|un|rdx

_r₋2₂

−λ

Z

T

f|un|q

dx =o(1).

(1.26)

Mas, como (un) ⊂ Nλ, de modo semelhante a rela¸c˜ao (1.16), combinando as

rela¸c˜oes (1.5), (1.9) e (1.20) com a defini¸c˜ao de C1 e por 0 < λkfkL1 < Λ,

segue que

Fλ(un)≥ −αλ

2

qr r₋q

Λ2−−2q

C1−Λ2−2q

+o(1).

Agora pela rela¸c˜ao (1.17), temos que C1 > Λ2−2q e por αλ < 0 e a condi¸c˜ao

(Hexp) ser satisfeita, obtemos que existem ε >0 e n0 _∈N_{tal que}

Fλ(un)> ε,

para todo n _≥ n0, o que contradiz a rela¸c˜ao (1.26). Assim, temos que existe

c > 0 de modo que a rela¸c˜ao (1.23) ´e satisfeita. Portanto existe C > 0 onde

kη′

n(0)k ≤ C, para todo n ∈ N e ent˜ao pela rela¸c˜ao (1.22), obtemos que I′

λ(un) =o(1) sobreH∗. Pelo fato de (un)⊂Nλ, temos queIλ(un)≥αλ e pela

rela¸cão (1.18) segue que Iλ(un) → αλ. Portanto (un) ⊂ Nλ é uma sequência

(P S)αλ para o funcional Iλ.

Demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao 1.1: Considere u∈ Nλ qualquer.

Defini-mos a fun¸c˜ao F :R+_×_H _→R_por

F(η, w) = ψλ(η(u₋w)) = _hIλ′ (η(u−w)), η(u−w)i

= η2_ku₋w_k2H −ηqλ

Z

T

f_|u₋w_|q_dx −ηr

Z

T

(31)

Temos que F(1,0) = 0 e ∂

∂ηF(1,0) =< ψ′λ(u), u >6= 0, pois pelo fato de

0 < λkfkL1 < Λ e pelo Lema 1.3 temos que u 6∈ N

0

λ. Segue do Teorema da

fun¸c˜ao impl´ıcita (Teorema A.1) que existem ε > 0 onde ε = ε(u) < kukH

2 e η :B(0, ε)_⊂ H _→ (1

2,2) diferenci´avel, tal queη(0) = 1, F(η(w), w) = 0 para

cada w ∈ B(0, ε), ou seja, η(w)(u−w) ∈ Nλ, para todo w ∈ B(0, ε). Ainda

pelo Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita temos que < η′₍₀₎_{, z >}₌ ₋

∂F(1,0) ∂w ·z ∂F(1,0)

∂η

, para

todoz _∈H, ou seja, a igualdade (1.21) ´e satisfeita.

Consideremos agora o caso em que u _∈ N_λ−. Decorre da inclus˜ao

N_λ− ⊂ Nλ, que existem 0 < ε = ε(u) < kukH

2 e η : B(0, ε) ⊂ H → ( 1 2,2)

diferenci´avel, tal queη(0) = 1,η(w)(u₋w)_∈Nλ,para todow_∈B(0, ε) a vale

a rela¸c˜ao (1.21). Suponhamos por absurdo que n˜ao existe 0<ε < ε˜ de modo

que, η(w)(u−w)∈ N_λ−, para todo w ∈ B(0,ε˜). Ent˜ao existe uma sequˆencia

(wn)_⊂B(0, ε), onde _kwn_kH →0 quando n→ ∞evn=. η(wn)(u−wn)6∈Nλ−.

Agora como 0< λ_kf_kL1 < Λ, pelo Lema 1.3 obtemos que (vn)⊂ N

+

λ . Ent˜ao

pelas rela¸c˜oes (1.5), (1.7) e tamb´em por 0< λkfkL1 <Λ, segue que

0 < < ψ′

λ(vn), vn >

≤ kvnkqHS q

γ(r−q)



Λ−

r−2

r₋q

kvnkH S

q

2−q

γ

!2−q .

Segue do fato de 0< ε < kukH

2 e das defini¸c˜oes deηne vn que para todon∈N

1

4kukH ≤ kvnkH ≤ 3 2kukH.

Pelas desigualdades acima, as rela¸c˜oes (1.11), (1.17) e a defini¸c˜ao deC4, temos

0 <

3 2

q

ku_kq_HSq

γ(r−q)

Λ₋

r₋2

r₋q

ku_k2_H−q Sγq42−q

≤ kukqH(2Sγ) q

(r−q)

"

Λ−

r−2

r₋q C˜

2−q r₋q

2_r−₋q₂

4q−2Sγ−q

#

≤ kukqH(2Sγ) q

(r−q) [Λ−C4]≤0,

para todo n _∈ N_{, o que é uma contradi¸cão. Então existe 0} _< _{ε < ε}_˜ _{tal que}

(32)

Afirma¸cão 1.1. A demonstra¸cão do item ii) do Lema 1.5 é semelhante à do

item i).

1.3 Existˆ

encia de uma solu¸

c˜

ao

Primeiramente iremos obter uma solu¸c˜ao u+_λ do problema (Pλ,f, h),

satisfazendo u+_λ _∈N_λ+.

Proposi¸c˜ao 1.1 Suponhamos que as condi¸c˜oes (HT), (Hexp), (Hf) e (Hh)

se-jam satisfeitas e que 0< λ_kf_kL1 <Λ. Ent˜ao existe u

+ λ ∈N

+

λ, de modo que

i) Iλ(u+_λ) =αλ =α+_λ <0.

ii) u+_λ ´e solu¸c˜ao do problema (Pλ,f, h), com u+_λ 0 em T. iii) ku+_λkH →0 quando λ→0.

Demonstra¸c˜ao: Segue do Lema 1.5 i), que existe (un) ⊂ Nλ sequˆencia

(P S)αλ para o funcional Iλ. Decorre do Lema 1.1 que a sequˆencia (un) ´e

limitada sobre H. Ent˜ao, do fato de H ser reflexivo e das imers˜oes compactas

de Sobolev, passando a uma subsequˆencia se necess´ario, podemos supor que

existe uλ ∈ H tal que un ⇀ uλ fracamente em H e un → uλ fortemente em

Ls

loc(T) para s∈(1,2∗) e un →uλ qtp em T. Temos ainda queIλ′(uλ) = 0.

Segue da defini¸c˜ao de Sγ que k|un|q_k L

γ

q₍_T₎ ≤ S

q

γkunkqH, para todo

n∈ N_{. Como a sequência (}_un_{) é limitada em}_H_{, segue que (}_|_un_|q₎_⊂_Lγq(_T) é

uma sequˆencia limitada. Ainda por _|un_|q _{→ |}_uλ_|q _{qtp em} _T_{, segue pelo Lema} A.2 que |un|q_⇀_|_uλ_|q _{fracamente em} _Lγq(_T). Como f ∈L1 = (L

γ

q(_T))∗, segue

que

Z

T

f_|un_|q_dx₌

Z

T

f_|uλ_|q_dx₊_o₍₁₎_. _(1.27)

Suponha por contradi¸cão que uλ _≡ 0, então pela rela¸cão acima temos que

R

Tf|un|

q_dx₌_o_{(1). Logo, como} _I_′

λ(un) = o(1) em H∗, temos que

o(1) =< I′

λ(un), un>=kunk2H −

Z

T

(33)

Pelo Lema 1.4, segue que αλ <0, ent˜ao consideremos n0 _∈N _{tal que} 1 r k

unk2 H −

Z

T

h|un|r dx +1 q λ Z T

f|un|q

<−αλ

4 ,

Iλ(un)< αλ

2 ,

para todon _≥n0. Logo para cada n _≥n0, pelas desigualdades acima temos

1 2 − 1 r

kun_k2

H =Iλ(un) + λ q

Z

T

f_|un_|q_dx₊ 1 r

Z

T

h_|un_|r_dx −1

rkunk 2 H <0,

o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois 2< r. Portantouλ _6≡0 e comoI′

λ(uλ) = 0 segue

queuλ ∈Nλ e, em particular,Iλ(uλ)≥αλ.

Agora iremos mostrar que, a menos de subsequˆencia, un _→ uλ

forte-mente em H. Suponha por contradi¸c˜ao que _kuλ_kH < lim inf

n→∞ kunkH. Ent˜ao

como (un)⊂Nλ euλ ∈Nλ, pelas rela¸c˜oes (1.4) e (1.27) temos que

αλ _≤ Iλ(uλ)

= 1 2 − 1 r

kuλ_k2_H ₋

1 q − 1 r λ Z T

f_|uλ_|q_dx

< lim inf

n_→∞ 1 2− 1 r

kun_k2_H ₋

1 q − 1 r λ Z T

f_|un_|q_dx

= lim inf

n_→∞ Iλ(un) =αλ,

o que é uma contradi¸cão. Então pelo LemaA.4, a menos de uma subsequência,

un → uλ fortemente em H. Note que uλ ∈ N_λ+, pois uλ ∈ Nλ e por Iλ ser

cont´ınuo,Iλ(uλ) =αλ =α_λ+< α−_λ. Considerandou+_λ =_|uλ_|, temos queu+_λ 0 pois uλ _∈ H_\{0_}. Se u _∈ N_λ+, segue das rela¸c˜oes (1.4) e (1.6) que _|u_{| ∈} N_λ+.

Logo poru+_λ ∈N_λ+eIλ(u_λ+) =Iλ(uλ) =αλobtemos queu+_λ ∈Nλ ´e um m´ınimo

local do funcional Iλ sobre Nλ. Segue pelo Lema 1.2, que u+_λ ´e uma solu¸c˜ao

do problema (Pλ,f, h).

Agora pelas rela¸c˜oes (1.5) e (1.7), temos que existe uma constante

C >0, independente de λ, tal que

ku+_λkH ≤C(λkfkL1) 1 2−q,

(34)

1.4 Segunda solu¸

c˜

ao

Com o objetivo de obter uma segunda solu¸c˜ao para (Pλ,f, h), iremos

explorar as propriedades da sequˆencia (P S)_α−

λ do funcionalIλ sobreN −

λ .

Con-sideremos ξ ∈ C∞_([0_,_∞_{)) onde 0} _≤ _ξ _≤ _{1 e} _ξ₍_t_{) = 0 para} _t _∈ _[0_,_{1] e ainda}

ξ(t) = 1 se t ∈[2,∞). Definimos para cada n ∈ N_{a fun¸c˜ao} _ξn _:RN _→_[0_,_1],

onde para cada x_∈RN

ξn(x) =ξ

2|x| n

.

Definimos ainda os funcionaisI0,1, I0, h :H →Rpor

I0,1(u) = 1 2kuk

2 H −

1

r

Z

T|

u_|r_dx,

I0, h(u) = 1 2kuk

2 H −

1

r

Z

T

h_|u_|r_dx.

´

E f´acil verificar queI0, h eI0,1 s˜ao de classeC1 (veja Lema A.8).

Con-sideremos ainda ˜ψ :H _→R _{definida por}

˜

ψ(u) = kuk2 H −

Z

T

|u|r dx.

Sendo

α0,1 = inf

u∈H\{0}

˜

ψ(u)=0

I0,1(u),

afirmamos que tal número é positivo. De fato, pelas imersões de Sobolev,

existeC >0 de forma que

Z

T|

u_|rdx_≤C_ku_krH,

para todou∈H. Ent˜ao se u∈H\{0} e ˜ψ(u) = 0, pela desigualdade acima

ku_k2H =

Z

T

|u_|r_dx

≤C_ku_kr H,

donde segue que

1

C

_r₋2₂

(35)

Logo pela rela¸c˜ao acima temos

I0,1(u) = 1 2kuk

2 H −

1

r

Z

T

|u_|r_dx₌

1 2−

1

r

ku_k2_H _≥

1 2−

1

r

1

C

_r₋2₂

para todau_∈H_\{0_} onde ˜ψ(u) = 0, donde segue que α0,1 >0.

Temos ent˜ao o seguinte resultado:

ve-rificadas. Sejam (un) _⊂ H uma sequˆencia (P S)σ para o funcional Iλ onde

un ⇀0 fracamente em H e wn =ξnun. Ent˜ao existe uma subsequˆencia (un),

tal que

i) _kun₋wn_kH =o(1),

ii) R

Th|un|

r_dx₌R

Th|wn|

r_dx₊_o_{(1) =}R

T|wn|

r_dx₊_o₍₁₎_,

iii) _kwn_k2 H =

R

T|wn|

r_dx₊_o₍₁₎_,

iv) I0,1(wn) = I0, h(wn) +o(1) =σ+o(1).

Al´em disso, se existe c > 0, onde _kun_kH ≥ c para n suficientemente grande,

ent˜ao σ_≥α0,1.

Demonstra¸c˜ao: Pelo fato de un ⇀ 0 fracamente em H, temos que existe

uma subsequˆencia, denotada simplesmente por (un), tal queun→0 emLl loc(T)

para 1 _≤l < 2∗ _e _un _→ _{0 qtp em} _T_{. Como} _un _⇀_{0 fracamente em} _H _temos,

para cada s _≥ 0, que ξs

nun ⇀ 0 fracamente em H. Ent˜ao para cada s ≥ 0,

pelo LemaA.2 segue que

Z

T

f|un|q

dx=o(1) =

Z

T

f ξn|s un|q

dx. (1.28)

SendoTn ={(x′, xN)∈T:|xN| ≤n} temos, a menos de subsequˆencia que

Z

Tn

|un|s

dx=o(1), (1.29)

para todo 1_≤s <2∗_{. Agora pela defini¸c˜ao de} _ξn _e_wn_{, segue que}

< un, wn >=

Z

T

ξn(_|∇un_|2₊_u2 n)dx+

Z

T

(36)

Para todo s > 0, temos que existe Cs > 0, tal que _|∇ξ_{n| ≤}s Cs

n, para todo n∈N_{. Então pela desigualdade de Hölder como (}_un_{) é limitada, obtemos que}

Z

T

un_∇un_∇ξs

ndx=o(1), (1.30)

para todos >0. Logo temos que

< un, wn>=

Z

T

ξn |∇un|2₊_u2 n

dx+o(1). (1.31)

Do mesmo modo, podemos concluir que

kwnk2 H =

Z

T

ξ2n |∇un|2+u2n

dx+o(1). (1.32)

Agora como (un) ´e limitada em H, segue que (ξs

nun) ´e limitada em H para

cada s_≥0. Logo porI′

λ(un) = o(1), para temos para cada s ≥0 que

o(1) = < I′

λ(un), ξ s nun >

=

Z

T

∇un∇(ξnsun) +ξ s

nu2ndx−λ

Z

T

f ξn|s un|q dx−

Z

T

hξn|s u|r dx.

Ent˜ao pela igualdade acima e (1.28), (1.30), segue, para qualquer s _≥0, que

Z

T

ξns |∇un|2+u2n

dx=

Z

T

hξn|s un|r

dx+o(1). (1.33)

Pela condi¸c˜ao (Hh), mais precisamente, pelo fato de lim

|xN|→∞

h(x′, xN)_→1 para

todox′ _∈_Ω′ _{e pela rela¸c˜ao (1}_._{29), temos para todo} _{s >}_{0 que}

Z

T

h|un|r dx=

Z

T

hξn|s un|r

dx+o(1) =

Z

T

ξn|s un|r

dx+o(1). (1.34)

Segue das rela¸c˜oes (1.31) e (1.33) que

2< un, wn>= 2

Z

T

ξn |∇un|2₊_u2 n

dx+o(1) = 2

Z

T

hξn|un|r

dx+o(1).

Ent˜ao pelas rela¸c˜oes (1.32), (1.33), (1.34) e a igualdade acima, temos

2< un, wn> =

Z

T

h_|un_|rdx+

Z

T

hξ_n|2 un_|rdx+o(1)

= _kun_k2 H +

Z

T

ξ2

n |∇un|2+u2n

dx+o(1)

= kunk2

(37)

o que demonstra o item i). O item ii) segue da rela¸c˜ao (1.34) para s=r. Pelas

rela¸c˜oes (1.32), (1.33) e (1.34), temos que

kwnk2 H =

Z

T

|wn|r

dx+o(1),

o que demonstra o item iii). O item iv) segue das rela¸c˜oes (1.28) e (1.34), pois

I0,1(wn) = 1 2kwnk

2 H −

1

r

Z

T

h_|wn_|r_dx₊_o₍₁₎

= I0, h(wn) +o(1)

= Iλ(un) +o(1)

= σ+o(1).

Se existe c > 0 tal que kunkH ≥ c, para n suficientemente grande,

ent˜ao pelo item i) e o fato de (un) ser limitada em H, existem n0 _∈ N _e

M >0, de modo que

c

2 ≤ kwnkH ≤M,

se n ≥ n0. Pelo item iii), a defini¸c˜ao de Sr e pelas desigualdades acima,

podemos considerar, sem perda de generalidade que

c2

4 ≤

Z

T|

wn_|r_dx ≤Sr

rMr,

para todo n _∈ N_{. Denotando} _tn ₌

kwn_k2 H

R

T|wn|

r_dx

r−12

, facilmente verifica-se

que existem constantes positivas c1 e c2, onde c1 ≤ tn ≤c2, para todo n∈ N_.

Segue da defini¸c˜ao de (tn) que

ktnwn_k2_H =

Z

T

|tnwn_|r_dx.

Agora pelo fato de c2

4 ≤

R

T|wn|

r_dx _{segue, pelo item iii), que} _tn _→ _{1 quando}

n→ ∞. Ent˜ao pela defini¸c˜ao de α0,1 e por R

T|wn|

r_dx _{ser limitada, temos que}

α0,1 ≤I0,1(tnwn) =t2nI0,1(wn)− t2

n r t

r₋2 n −1

Z

T

|wn|r

dx=I0,1(wn) +o(1),

donde segue pelo item iv) queσ ≥α0,1.

A seguir iremos dar uma descri¸c˜ao detalhada das sequˆencias (P S) do

(38)

sa-tisfeitas e ainda que 0 < λkfkL1 <Λ. Se (un) ∈Nλ− ´e uma sequˆencia (P S)σ para o funcional Iλ onde

σ < αλ+α0,1,

ent˜ao (un) possui uma subsequˆencia convergente.

Demonstra¸c˜ao: Segue do Lema 1.1 e pelo fato do espa¸co H ser reflexivo,

que existem uma subsequˆencia, denotada simplesmente por (un), eu0 _∈H tal

queun ⇀ u0 fracamente em H.

Suponhamos por contradi¸c˜ao queu0 ≡0. Decorre da rela¸c˜ao (1.11) e

por (un) _⊂ N_λ− que existe c > 0 tal que _kun_kH ≥ c para todo n ∈ N. Ent˜ao

pelo Lema 1.6, obtemos que

σ_≥α0,1,

o que ´e um absurdo, poisσ < αλ+α0,1 e pelo Lema 1.4 temosαλ <0. Temos

ainda queI′

λ(u0) = 0, donde segue queu0 ∈NλeIλ(u0)≥αλ. Para cadan∈N

consideremos ˜wn = un−u0. Temos que Iλ′( ˜wn) = o(1) em H∗. Pelo fato de

( ˜wn) ser uma sequˆencia limitada emH e o funcionalIλ ser cont´ınuo, passando

a uma subsequˆencia se necess´ario, podemos assumir que Iλ( ˜wn) = ρ+o(1)

para algum ρ∈ R_{. Logo ( ˜}_wn_{) ´e uma sequˆencia (}_{P S}₎_ρ _{do funcional} _Iλ_{, a qual}

satisfaz ˜wn ⇀ 0 fracamente em H. Sendo wn = ξnwn˜ , segue pelo Lema 1.6,

passando a uma subsequˆencia se necess´ario, que

kwn˜ −wnk2

H =o(1) e I0,1(wn) = ρ+o(1).

Seja 0< ε < αλ +α0,1 ₋σ. Ent˜ao por Iλ ser cont´ınuo, pela defini¸c˜ao de ˜wn e

pela rela¸c˜ao acima, temos que existen0 _∈N_{tal que}

αλ +α0,1−ε > Iλ(un−wn˜ +wn) =Iλ(u0+wn),

para todon_≥n0. Pelo fato de ˜wn⇀0 fracamente em H, segue do LemaA.3

e do Lema A.2 que

(39)

onde a ´ultima desigualdade segue do Lema 1.6 iv) e do fato que Iλ(u0) _≥αλ.

Ent˜ao pelas rela¸c˜oes acima e o fato deε >0, obtemos

α0,1 > lim

n_→∞I0,1(wn) = ρ. (1.35)

Afirmamos que (wn) admite uma subsequˆencia que converge fortemente a 0

em H. Caso contr´ario existe c >0 tal que_kwn_kH ≥c, para n suficientemente

grande, donde segue pelo Lema 1.6 que α0,1 _≤ ρ, o que contradiz a rela¸c˜ao

(1.35). Portanto (wn) admite uma subsequˆencia que converge fortemente a 0

em H, que resulta, passando a uma subsequˆencia, ˜wn _→0 fortemente em H,

ou seja, a sequˆencia (un) possui uma subsequˆencia que converge fortemente a

u0 em H.

Com o objetivo de mostrar queα−_λ < αλ+α0,1, para 0< λ_kf_kL1 <Λ,

iremos utilizar alguns resultados auxiliares. Argumentando como em Lien,

Tzeng e Wang [53, Teorema 4.8], temos que existew0 ∈Hsolu¸c˜ao do problema

(P0,0,1), tal que

I0,1(w0) =α0,1 e w0 >0 em T,

em particular, _kw0_k2 H =

R

T|w0|

r_dx_{. Agora do mesmo modo que Chen, Chen e}

Wang [31, Proposi¸c˜ao 1], temos que para 0< ε < 1 +θ1, existem constantes

Ci,ε >0, i= 1,2, de modo que

C1,εφ1(x′)e−√1+θ1+ε|xN|_≤_w0₍_x′_{, xN}₎_≤_C2,εφ1₍_x′₎_e−√1+θ1−ε|xN|_, _(1.36)

para todo (x′, xN)∈T, ondeθ1´e o primeiro autovalor do problema de Dirichlet

−∆ em Ω′ _e _φ1 _{´e a autofun¸c˜ao positiva associada ao autovalor}_θ1_.

Munidos de tais informa¸c˜oes temos o seguinte resultado crucial para

o nosso trabalho.

Lema 1.8 Suponhamos que as condi¸c˜oes (HT), (Hexp), (Hf) e (Hh) sejam

verificadas e que 0< λ_kf_kL1 <Λ, ent˜ao