UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE CENTRO DETECNOLOGIA
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA E DACOMPUTAÇÃO
Estudo do Efeito de Substratos Metamateriais
em Parâmetros de Antenas de Microfita
Vitor Fernandes de Barros
Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Telecomunicações) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.
Barros, Vitor Fernandes de.
Estudo do Efeito de Substratos Metamateriais em Parâmetros de Antenas de Microfita / Vitor Fernandes de Barros - Natal, RN, 2012
80 f. : il.
Orientador: Sandro Gonçalves da Silva
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Cen-tro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.
1. Antenas de microfita - Dissertação. 2. Metamateriais - Dissertação. 3. Geometria fractal - Dissertação. 4. SRR - Dissertação. 5. Anisotropia - Disser-tação. I. Silva, Sandro Gonçalves da. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.
Estudo do Efeito de Substratos Metamateriais
em Parâmetros de Antenas de Microfita
Vitor Fernandes de Barros
Dissertação de Mestrado aprovada em 3 de fevereiro de 2012 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (orientador) . . . DCO/UFRN
Prof. Dr. Cláudio Rodrigues Muniz da Silva . . . DCO/UFRN
ProfaDraMaria Rosa M. L. Albuquerque . . . Examinadora Externa/UFRN
Prof. Dr. José de Ribamar Silva Oliveira . . . Examinador Externo/IFRN
Agradecimentos
A Deus, que iluminou meus pensamentos.
Agradeço ao professor Sandro pela amizade sincera e pela orientação em cada passo desse trabalho.
Aos colegas Cavalcante, Edwin e Gilmara, pelas críticas e sugestões.
À minha família e à minha noiva Geirly, pelo apoio durante esta jornada.
As antenas de microfita são objeto de estudo em diversos campos de pesquisa devido a suas inúmeras vantagens. A obtenção, em 1999, de uma nova classe de materiais, cha-mados metamateriais - normalmente compostos por elementos metálicos imersos em um meio dielétrico, tem atraído a atenção da comunidade científica, graças às suas propri-edades eletromagnéticas e, principalmente, pela capacidade de utilização em estruturas planares, tais como a microfita, sem interferir em sua geometria tradicional. O objetivo desse trabalho é analisar os efeitos do uso de substratos metamateriais uni e bidimensionais em antenas de microfita, com diferentes configurações de anéis de ressonância -SRR - na camada dielétrica. A geometria fractal é aplicada a esses anéis, na busca de se verificar um comportamento multibanda e de se reduzir a frequência de ressonância das antenas. Os resultados são, então, obtidos com o software comercial Ansoft HFSS,
usado para a análise do comportamento eletromagnético das antenas, por meio do Mé-todo dos Elementos Finitos (FEM). Para tanto, nessa dissertação, é previamente realizado um estudo bibliográfico sobre a geometria fractal e seu processo gerador. Este trabalho apresenta também uma análise sobre as antenas de microfita, com ênfase à abordagem de diferentes tipos de substratos, evidenciando seu comportamento anisotrópico elétrico e magnético. É realizada, ainda, uma abordagem sobre os metamateriais e suas proprie-dades singulares.
Abstract
Microstrip antennas are subject matter in several research fields due to its numerous advantages. The discovery, at 1999, of a new class of materials called metamaterials -usually composed of metallic elements immersed in a dielectric medium, have attracted the attention of the scientific community, due to its electromagnetic properties, especially the ability to use in planar structures, such as microstrip, without interfering with their tra-ditional geometry. The aim of this paper is to analyze the effects of one and bidimensional metamaterial substrates in microstrip antennas, with different configurations of resonance rings, SRR, in the dielectric layer. Fractal geometry is applied to these rings, in seeking to verify a multiband behavior and to reduce the resonance frequency of the antennas. The results are then given by commercial softwareAnsoft HFSS, used for precise analysis
of the electromagnetic behavior of antennas by Finite Element Method (FEM). To reach it, this essay will first perform a literature study on fractal geometry and its generative process. This paper also presents an analysis of microstrip antennas, with emphasis on addressing different types of substrates as part of its electric and magnetic anisotropic behavior. It’s performed too an approach on metamaterials and their unique properties.
Sumário i
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas vii
Lista de Acrônimos, Símbolos e Siglas viii
1 Introdução 1
1.1 Organização do texto . . . 2
2 Geometria Fractal 4 2.1 Introdução . . . 4
2.2 Propriedades dos fractais . . . 6
2.2.1 Auto-similaridade e complexidade infinita . . . 7
2.2.2 Dimensão fractal . . . 8
2.3 Geração por método IFS . . . 9
2.4 Geração por método L . . . 9
2.5 Outras características e aplicações . . . 10
3 Antenas de Microfita 12 3.1 Introdução . . . 12
3.2 Estrutura das antenas de microfita . . . 13
3.2.1 Patch . . . 13
3.2.2 Plano de terra . . . 17
3.3 Mecanismo de radiação . . . 17
3.4 Métodos de alimentação . . . 18
3.4.1 Alimentação por linha de alta impedância . . . 19
3.4.2 Alimentação por cabo coaxial (ponta de prova) . . . 20
3.4.3 Alimentação por acoplamento por abertura . . . 20
3.4.4 Alimentação por acoplamento por proximidade . . . 21
3.5 Métodos de análise de antenas de microfita . . . 22
4 Substrato 24 4.1 Introdução . . . 24
4.2 Propriedades dos substratos . . . 25
4.2.1 Permeabilidade magnética relativa (µr) . . . 25
4.2.2 Permissividade elétrica relativa (εr) . . . 26
4.3 Efeitos eletromagnéticos . . . 27
4.3.1 Ondas de superfície . . . 27
4.3.2 Modo quase-TEM . . . 28
4.3.3 Reflexão total interna . . . 29
4.3.3.1 Ondas evanescentes . . . 30
4.3.4 Anisotropia . . . 33
4.4 Classificação dos materiais segundoεeµ . . . 35
5 Metamateriais 37 5.1 Introdução . . . 37
5.2 Fundamentos eletromagnéticos . . . 39
5.2.1 Comportamento bianisotrópico . . . 39
5.2.2 Noções de reciprocidade e não-reciprocidade . . . 40
5.2.3 Noções de dispersão espacial . . . 41
5.2.4 Meios efetivamente contínuos . . . 41
5.3 Histórico estrutural . . . 41
5.3.1 Dielétricos artificiais . . . 41
5.3.2 Materiais magnéticos artificiais — SRR . . . 42
5.3.3 Meios de permissividade ou permeabilidade negativa . . . 43
5.3.4 Materiais magneto-dielétricos artificiais . . . 44
5.4 Propriedades dos metamateriais . . . 45
5.4.1 Propagação de Ondas em meio LH . . . 46
5.4.2 Velocidade de grupo e de fase . . . 50
5.4.3 Índice de refração negativo . . . 53
6 Modelagem e Análise dos Resultados 56 6.1 Introdução . . . 56
6.2 Projeto das antenas . . . 57
6.2.1 SRR em espiral quadrada . . . 57
7 Conclusões 73
Lista de Figuras
2.1 Formação do floco de neve de Koch. . . 4
2.2 Conjunto de Mandelbrot. . . 5
2.3 Exemplos de antenas fractais. . . 5
2.4 Modelos de fractais. (a) planar. (b) tridimensional. . . 6
2.5 Classificação dos fractais. (a) geométrico. (b) aleatório. . . 6
2.6 Níveis de iteração do floco de neve de Koch. . . 7
2.7 Aplicações de fractais. (a) diagnóstico de patogenias. (b) fibras ópticas. . 11
3.1 Estrutura padrão de uma antena de microfita. . . 13
3.2 Formas comuns depatch. . . 14
3.3 Arranjos de antenas de microfita. (a) arranjo Franklin. (b) arranjo 6x6 retangular. (c) arranjo circular. . . 15
3.4 Mudança no padrão de radiação devido à formação de arranjo. . . 16
3.5 Diagramas de radiação. (a) arranjobroadside. (b) arranjoend-fire. . . 16
3.6 Comportamento das grandezas elétricas ao longo dopatch. . . 18
3.7 Visualização dos campos de borda. . . 18
3.8 Alimentação por linha de alta impedância. (a) uso deinset. (b) transfor-mador deλ/4. (c) vista lateral das antenas. . . 19
3.9 Alimentação por ponta de prova. . . 20
3.10 Alimentação por acoplamento por abertura. . . 21
3.11 Alimentação por acoplamento por proximidade. . . 21
4.1 Estrutura de uma antena com superstrato. . . 25
4.2 Microfita e campos propagantes. . . 28
4.3 Representação e exemplo da reflexão interna total. . . 29
4.4 Representação da lei de Snell. . . 30
4.5 Ondas evanescentes. (a) representação em uma interface metal-dielétrico. (b) comparação entre uma onda refratada (acima) e uma onda evanescente (abaixo). . . 31
4.6 Tipos de anisotropia. . . 34
5.1 Modelos de células unitárias. . . 38 5.2 Geometrias de anéis de ressonância. . . 43 5.3 Rede metálica filamentar usada no desenvolvimento dos plasmas artificiais. 43 5.4 Junção magneto-dielétrica para a composição de um metamaterial. . . 45 5.5 Propagaçãobackward. . . 49
5.6 Formas de refração. . . 53 5.7 Representação dos vetores de Poynting e dos vetores da constante de
pro-pagação para um meio ordinário (1) e um meio LH (2). . . 54
6.1 Modelo de célula unitária e estrutura empilhada. . . 57 6.2 Comparativo fornecido por Mookiah sobre a perda de retorno com a
vari-ação em frequência entre uma antena com substrato convencional de FR-4 e uma antena com substrato metamaterial. . . 58 6.3 Célula unitária com SRR em espiral quadrada. . . 58 6.4 Modelo de antena de microfita de substrato metamaterial com SRR em
espiral quadrada. . . 59 6.5 Modelo de antena de microfita convencional com substrato de FR-4. . . . 60 6.6 Comparativo da perda de retorno entre antena de substrato FR-4 e de
me-tamaterial com SRR em espiral quadrada. . . 61 6.7 Comparativo de ganho entre as antenas de substrato metamaterial com
SRR em espiral quadrada e de substrato convencional de FR-4. (a) plano de elevação. (b) plano azimutal. . . 62 6.8 Vista frontal da antena metamaterial com SRR em espiral quadrada e
fi-lamento metálico reforçando a permissividade negativa do material. . . . 63 6.9 Antena metamaterial com dois substratos diferentes (FR-4 e ar). . . 64 6.10 Comportamento da perda de retorno para uma antena metamaterial com
substrato de camadas de ar e FR-4 alternadas (dDi=dAr=0.5 mm). . . . 64
6.11 Comportamento da perda de retorno para uma antena metamaterial com substrato de camadas de ar e FR-4 alternadas (dT =1 mm;dDi variável). . 65
6.12 Vista frontal de antena metamaterial com SRR em formato de espiras duplas invertidas. . . 66 6.13 Representação de antena de substrato metamaterial com SRR em espiras
duplas invertidas. . . 66 6.14 Estrutura de antena metamaterial de SRR com espiras duplas invertidas
6.15 Comportamento da perda de retorno para antena metamaterial com SRR em espiras duplas invertidas de padrões 3-3-3 e 3-2-3. . . 67 6.16 Vista frontal de antena com SRR fractal. . . 68 6.17 Antena metamaterial com SRR fractal. . . 68 6.18 Antena metamaterial com SRR fractal em arranjo bidimensional do tipo
2x3. . . 69 6.19 Antena metamaterial com SRR fractal em arranjo bidimensional do tipo
3x3. . . 69 6.20 Comportamento da perda de retorno para antenas metamateriais com SRR
fractal em distribuições uni e bidimensionais. . . 70 6.21 Antena metamaterial com SRR fractal e plano de terra truncado. . . 70 6.22 Efeito do truncamento do plano de terra no comportamento da perda de
retorno para antena metamaterial com SRR fractal. . . 71 6.23 Antena metamaterial com SRR fractal e plano de terra inclinado. . . 71 6.24 Efeito da inclinação do plano de terra no comportamento da perda de
4.1 Materiais e respectivosεr . . . 27
5.1 Classificação dos materiais e número de parâmetros necessários para sua caracterização. . . 40
6.1 Dimensões da célula unitária usada para antena com SRR em espiral qua-drada. . . 59 6.2 Dimensões das antenas convencional e metamaterial. . . 60 6.3 Comparativo de área e volume entre antena de substrato FR-4 e de
subs-trato metamaterial. . . 60
Lista de Acrônimos, Símbolos e Siglas
χe susceptibilidade elétrica
χm susceptibilidade magnética
∆L extensão devido aos campos de borda
εo permissividade elétrica no vácuo
εr permissividade elétrica relativa
εre f permissividade elétrica efetiva
λ comprimento de onda no meio
λo comprimento de onda no espaço livre
µo permeabilidade magnética no vácuo
µr permeabilidade magnética relativa ∇·~A divergente de~A
∇ψ gradiente deψ
∇×~A rotacional de~A
∇2ψ laplaciano deψ
ω frequência angular
a representação tensorial dea
φ ângulo azimutal
τ espessura dopatch
θ ângulo de elevação
υ velocidade da onda no meio
υo velocidade da luz (c)
~B densidade de fluxo magnético ~
D densidade de fluxo elétrico
~
E campo elétrico
~
H campo magnético
~Pe vetor de polarização elétrica ~Pm vetor de polarização magnética
~r vetor posição
~S vetor de Poynting
a∗ conjugado dea
axx componente do tensorana direçãox
f frequência da onda fr frequência de ressonância
j constante imaginária k número de onda L comprimento dopatch
Le f comprimento efetivo dopatch
n número de cópias do fractal ni índice de refração no meioi
t altura do substrato
Ud densidade média de energia em um meio dispersivo
Und densidade média de energia em um meio não-dispersivo
vg velocidade de grupo
vp velocidade de fase
W largura dopatch
D dimensão fractal
CAD ferramenta de suporte computacional
CRLH compostos que englobam características LH e RH
DNG materiais duplamente negativos
FDTD Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
IFS Sistema Iterativo de Funções
LH meio cuja tríade vetorial é dada pela regra da mão esquerda
NIM materiais de índice negativo
PTFE composto químicopolitetrafluoroetileno
RH meio cuja tríade vetorial é dada pela regra da mão direita
SRR anel de ressonância
TEM Modo Transversal Eletromagnético
TLM Método da Linha de Transmissão
Introdução
Décadas após o surgimento das antenas de microfita [1, 2] e, posteriormente, do pro-cesso de fractalização [3–5], a comunidade científica observa agora, no século XXI, o desenvolvimento de um novo tipo de substrato para a composição de estruturas plana-res, denominado metamaterial [6–8]. Trata-se de compostos heterogêneos, formando um arranjo ordenado de metais e dielétricos, sendo que este resultado gera propriedades singulares, quando comparados àqueles encontrados na natureza.
Essas características apresentadas pelos metamateriais foram inicialmente propostas pelo físico russo Victor Veselago, em 1968 [6, 7]. Consistiam em propriedades ópticas até então jamais observadas, tais como índice de refração negativo [6, 8]. Além disso, esses novos materiais têm duas vantagens em potencial: assim como a técnica de frac-talização, eles podem ser construídos dentro das antenas de microfita, gerando um fator de miniaturização ainda maior [9]; eles também, devido a seus parâmetros negativos de permissividade elétrica e permeabilidade magnética [10], permitem que a luz se curve ao atingir um material e seja capaz de reconstruir sua trajetória após atravessá-lo, como se fosse um meio invisível [11, 12].
Para se obter tais propriedades foram necessárias tecnologias antecessoras, tais como a microfita e seus arranjos, que forneceram a base do comportamento de ondas eletro-magnéticas por meio do estudo de estruturas dielétricas e metálicas, com um grau de organização previamente definido.
A modelagem desses dispositivos de microfita é dada através de métodos aproximados e de onda completa no domínio da frequência, como o MoM - Método dos Momentos, ou por meio de métodos no domínio do tempo e da frequência, tais como o FDTD - Finite Difference Time Domain [13] e o TLMM - Transmission Line Matrix Method [14]. Estes são os mais abordados contemporaneamente, devido ao seu grande poder de precisão na análise dessas estruturas.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2
células metamateriais em antenas de microfita com patch retangular do tipo inset-fed.
Também será realizada uma investigação sobre o efeito da fractalização dos anéis compo-nentes das células unitárias da estrutura metamaterial - SRR.
1.1 Organização do texto
Esta dissertação está dividida em 7 capítulos. Inicialmente é dada uma revisão bi-bliográfica de toda a teoria necessária para a compreensão das estruturas metamateriais desejadas. A seguir, é apresentada uma análise dos resultados obtidos com diversas con-figurações de substratos metamateriais para antenas de microfita.
O Capítulo 2 apresenta um breve estudo bibliográfico sobre a geometria fractal, tra-çando uma linha temporal de sua evolução e evidenciando suas principais propriedades. Aborda também os métodos de geração fractal e justifica seu uso em estruturas de micro-fita, baseando-se em suas vantagens em relação às antenas convencionais.
O Capítulo 3 faz referência às antenas de microfita, apresentando sua estrutura-padrão e algumas de suas características fundamentais. Descreve, também, os métodos de ali-mentação e análise/síntese mais usados por essas antenas. Destaca, ainda, a ampla gama de aplicações para essas estruturas.
O Capítulo 4 envolve o estudo do substrato, uma das camadas existentes nas antenas de microfita. Revela como diferentes tipos de substratos afetam os parâmetros funda-mentais das antenas. Apresenta, assim, uma classificação dos materiais, baseada em dois parâmetros importantes: os valores de permissividade elétrica e permeabilidade magné-tica.
O Capítulo 5 trata do estudo dos metamateriais, desde sua descoberta às suas promis-soras aplicações no campo científico. Apoiado em suas propriedades singulares, explica como essa classe de materiais é capaz de alterar o comportamento eletromagnético dos campos, resultando em efeitos até então não observados pelos pesquisadores. Analisa também o papel dos SRR nas células unitárias do substrato da antena, como ferramenta de manipulação dos parâmetros dielétricos do material.
No Capítulo 6, diferentes modelos de células e de SRR são testados computacional-mente, averiguando seus efeitos nos parâmetros de resposta da antena, tais como perda de retorno, frequências de ressonância e largura de banda. São apresentados, também, resul-tados do uso de camadas metamateriais uni e bidimensionais. Avalia-se, ainda, o efeito do uso de fractais de primeira ordem, aplicados no contorno dos anéis de ressonância.
Capítulo 2
Geometria Fractal
Este capítulo aborda o estudo da geometria fractal, apresentando um breve histórico de seu desenvolvimento. Revela também os processos de geração mais utilizados e traça uma análise das principais características dos fractais, identificando diversas aplicações no cotidiano.
2.1 Introdução
O termo fractal tem raízes no termo latino fractus do verbo frangere, que significa
quebrar, fracionar [15]. Eles foram inicialmente observados em 1904, pelo matemático sueco Helge Von Koch, ao descrever uma figura semelhante a um floco de neve, chamada curva de Koch (Figura 2.1).
Figura 2.1: Formação do floco de neve de Koch.
Figura 2.2: Conjunto de Mandelbrot.
Seu uso em antenas foi visto pela primeira vez em trabalhos publicados por Puente e Cohen, entre os anos de 1988 e 1995 [17]. Nessa época, os cientistas já detinham certa experiência com estruturas planares e com as chamadas antenas de microfita. Ao associar os fractais a essas antenas, eles descobriram uma série de vantagens sobre os modelos convencionais, tais como [18]:
• Maior fator de miniaturização;
• Melhor aproveitamento da superfície da antena.
A Figura 2.3 exemplifica o uso da geometria fractal em antenas de microfita.
CAPÍTULO 2. GEOMETRIA FRACTAL 6
2.2 Propriedades dos fractais
Atualmente, existe uma variedade infinita de curvas fractais; desde objetos planos, tais como o fractal de Koch e o Triângulo de Sierpinski (Figura 2.4(a)), a estruturas tridi-mensionais complexas, como a Esponja de Menger (Figura 2.4(b)).
(a) (b)
Figura 2.4: Modelos de fractais. (a) planar. (b) tridimensional.
Há, ainda, uma classificação maior, que divide os fractais em dois grupos: os geomé-tricos e os aleatórios. O primeiro grupo é composto por aqueles que se repetem continua-mente, seguindo um modelo padrão; enquanto o segundo diz respeito àqueles construídos por meio computacional. A Figura 2.5(a) apresenta um exemplo de fractal geométrico e a Figura 2.5(b) ilustra um modelo aleatório.
(a) (b)
Independentemente de seu formato, eles apresentam três propriedades básicas [19]:
• Auto-similaridade;
• Complexidade infinita;
• Dimensão fractal.
2.2.1 Auto-similaridade e complexidade infinita
A auto-similaridade explica que cada trecho da estrutura pode ser visualizado como uma réplica, em escala menor, do fractal. Ela pode ser exata ou estatística. No pri-meiro, o fractal é gerado a partir de reproduções exatas de si mesmo; no caso estatístico, comumente usado para as formas da natureza, essa cópia apresenta um certo nível de aleatoriedade na determinação de seus pontos.
A complexidade infinita, por sua vez, indica que o processo de escalonamento do frac-tal pode ser aplicado, teoricamente, infinitas vezes, para a obtenção de estruturas cada vez menores. Obviamente, essa redução fica limitada na prática, de acordo com a tecnologia disponível. A Figura 2.6 fornece uma idéia da dificuldade de se trabalhar com geometrias de elevado nível de iteração.
CAPÍTULO 2. GEOMETRIA FRACTAL 8
2.2.2 Dimensão fractal
A dimensão fractal se refere ao fato de suas dimensões nem sempre serem números inteiros. Ainda que definida majoritariamente em termos de sua dimensão de Hausdorff-Besicovitch, há uma série de outras dimensões aplicáveis a fractais, tais como: euclidiana, topológica, de cobertura e auto-similar.
Para a dimensão euclidiana os objetos considerados são conjuntos de pontos imersos no espaço euclidiano. Assim, por exemplo, o ponto tem dimensão 0, a curva dimensão 1, a superfície dimensão 2 e, finalmente, uma região do espaço dimensão 3.
A dimensão topológica é comumente associada à dimensão de cobertura e para o es-paço euclidianoRnessa dimensão valen. Para uma distinção entre a dimensão topológica
e a dimensão de Hausdorff, considere a curva de Koch, mostrada na Figura 2.6.
Na primeira iteração tem-se apenas um segmento de reta cujo comprimento sejal. No
nível de iteração seguinte, o segmento é dividido em três partes iguais (cada uma coml/3 de comprimento) e o segmento central é retirado, sendo substituído por dois segmentos de comprimentol/3. Assim, a figura passa a ter 4 segmentos de comprimento idêntico, e um comprimento efetivo de 4l/3.
No próximo passo, cada um dos trechos anteriores é dividido em três partes iguais de comprimento l/9 e a parte central é novamente dividida em duas outras de mesmo
comprimento, gerando agora um comprimento efetivo de(4l/3)2=16l/9.
Pode-se perceber que para n iterações, o comprimento total da curva é de(4l/3)n. Se
n tende ao infinito, o comprimento também. Isso gera um fenômeno estranho. Mesmo
com pontos de início e fim bem delimitados, a curva possui um comprimento infinito, e também uma área nula. Considerando, ainda, que uma curva convencional tem um padrão de medidaL, de comprimento, e que uma superfície possui um padrão de medida L2, representando área, é fácil perceber que o padrão de medida para a curva de Koch é
um número fracionário, que não atende a nenhum dos dois padrões.
Na situação acima, os expoentes inteiros dos padrões de medida representam a di-mensão topológica do objeto avaliado. O expoente usado para a obtenção da curva de Koch é um númeroquebradoe corresponde ao valor da chamada dimensão de
Hausdorff-Besicovitch ou fractal, dada por
D= log(n)
log
1
s
(2.1)
O comportamento acima pode ser generalizado de forma que para um objeto ser con-siderado um fractal é necessário que sua dimensão de Hausdorff-Besicovitch seja superior à sua dimensão topológica. Essa afirmação é válida, mesmo que a dimensão fractal seja um número inteiro. Assim, para a Curva de Koch, sua dimensão topológica é
D= log(4)
log ll
3
! =1,2619 (>1)
portanto, a curva de Koch pode ser considerada um fractal.
2.3 Geração por método IFS
O método do Sistema Iterativo de Funções (IFS -Iterative Function System),
desen-volvido pelo matemático inglês Michael Barnsley, usa uma série de transformações afins para a geração de fractais.
A partir de uma forma geradora, dada por uma função de mapeamento, e de um sis-tema de retroalimentação, no qual a saída anterior passa a ser a nova entrada, o sissis-tema IFS produz o contorno fractal, desenvolvendo, para isso, quatro transformações matemá-ticas: contração, reflexão, rotação e translação [15].
Considerando, por exemplo, uma transformação afimt:R2→R2ela pode ser descrita
em forma matricial como
t(x,y) = a11 a12
a21 a22 !
+ br
bt
!
(2.2)
em quea11,a12,a21 ea22 são escalares ebr ebt são os parâmetros relativos à rotação e à
translação, respectivamente.
2.4 Geração por método L
CAPÍTULO 2. GEOMETRIA FRACTAL 10
Assim, um conjunto básico de instruções poderia ser dado por:
• Segmentos de reta representados por letras do alfabeto;
• Um incremento positivo do ângulo, dado por (+), indica um movimento no sentido horário;
• Um incremento negativo do ângulo, dado por (-), indica um movimento no sentido anti-horário.
2.5 Outras características e aplicações
Conforme já observado na Figura 2.6, o uso de fractais é uma técnica que permite o aumento do comprimento elétrico da estrutura, mantendo-se o comprimento físico cons-tante. Dada a equação
υ=λf (2.3)
tem-se então uma redução na frequência de ressonância da antena. Essa característica é um dos atrativos da geometria fractal, pois consiste em um meio de miniaturizar as antenas para operações em baixas frequências. Devido também à propriedade da auto-similaridade, é comum a existência de diversos pontos de ressonância à medida que o nível de iterações da estrutura aumenta, proporcionando, assim, um comportamento mul-tibanda [18].
No que diz respeito às aplicações, os fractais estão sendo empregados nas mais varia-das áreas do conhecimento, tais como: economia, medicina, engenharias e biologia.
Na medicina, a dimensão fractal é bastante utilizada como método de diagnóstico quantitativo de diversas patologias, dentre elas o câncer, vide Figura 2.7(a). Evidências sugerem que os tumores cancerosos apresentam dimensão fractal superior à de tecidos normais.
Nas engenharias, seu uso em guias de onda de fibras ópticas (Figura 2.7(b)) tem sido um sucesso, gerando baixos índices de distorção. No ramo de antenas planares, a utili-zação de antenas de microfita compatchfractal desempenha um papel fundamental nas
(a)
(b)
Capítulo 3
Antenas de Microfita
O objetivo deste capítulo é revisar a teoria básica acerca das antenas de microfita. A estrutura-padrão dessas antenas é descrita e são apresentados alguns modelos de ge-ometria do patche os principais tipos de alimentação existentes. O processo de síntese
das antenas de microfita também é investigado, baseando-se na formulação matemática proposta por Hammerstad.
3.1 Introdução
As antenas de microfita foram inicialmente propostas por Deschamps, em 1953, du-rante o III Simpósio sobre Antenas, patrocinado pela Força Aérea Americana [1]. A seguir, houve uma série de trabalhos descrevendo aspectos importantes do seu compor-tamento [20–22], dentre eles, o artigo de Munson [23], sobre foguetes e mísseis, de-monstrando a praticidade dessas antenas. Em 1977, Lo et al [24] publicou a primeira
análise matemática de uma ampla variedade depatchesde microfita. No final da década
de 70, tais antenas se difundiram por diversos sistemas de comunicação e, desde então, tem havido um interesse crescente por novos meios de utilizá-las.
Essas estruturas apresentam algumas características importantes, tais como [25, 26]:
• baixo custo; • leveza;
• tamanho reduzido;
• adaptabilidade a superfícies curvas;
• largura de banda estreita;
• baixa eficiência de radiação;
• compatibilidade com circuitos integrados;
Os aspectos anteriores não devem ser subentendidos como eventuais vantagens ou desvantagens, uma vez que essa capacidade de definição é reservada apenas às aplicações desejadas.
3.2 Estrutura das antenas de microfita
Em termos estruturais, essas antenas são essencialmente compostas por um elemento radiador —patch, assentado sobre um substrato dielétrico que, por sua vez, contém outro
plano metálico em sua face inferior — o plano de terra. A Figura 3.1 fornece uma visão convencional desse modelo.
Figura 3.1: Estrutura padrão de uma antena de microfita.
A seguir, o patch e o plano de terra serão descritos, expondo suas finalidades e
in-fluência no desempenho da antena. Quanto ao substrato, será feito por ora apenas uma breve introdução, cabendo à sua análise um espaço próprio, no próximo capítulo dessa dissertação.
3.2.1
Patch
O patch é uma lâmina metálica normalmente condutora, embora haja situações em
que esse metal atue como supercondutor [27]. O metal normalmente utilizado em sua composição é o cobre mas, em aplicações como ondas milimétricas, utiliza-se ouro, de-vido à sua maior condutividade elétrica [28]. Ele é considerado o elemento irradiador das antenas de microfita e, de acordo com a Figura 3.1, possui uma espessuraτ, muito
CAPÍTULO 3. ANTENAS DE MICROFITA 14
Quanto à sua forma, ela influencia na distribuição de corrente e, consequentemente, no perfil do campo da superfície da antena. Assim, o patch pode apresentar formato
geométrico regular ou irregular, como no caso dos fractais, mas é comum trabalhar com as formas regulares — retangular e circular, devido à sua maior facilidade de análise. Na Figura 3.2 são apresentados alguns modelos depatch.
Figura 3.2: Formas comuns depatch.
Além disso, esses elementos podem ser combinados entre si, compondo novas estru-turas, conhecidas como arranjos de microfita (Figura 3.3) [25]. Por meio deles, pode-se aumentar a largura de banda da antena [25, 29] e, principalmente, atribuir-lhe caracterís-ticas de diretividade impossíveis de se alcançar com um único elemento [23]. A Figura 3.4 ilustra claramente essa situação.
Cada arranjo é capaz de compor diversos diagramas de radiação, baseando-se no espa-çamento entre seus elementos, em sua quantidade e no modo com que são distribuídos na antena. Ajustando esses parâmetros, pode-se obter duas formas principais de irradiação:
broadside (Figura 3.5(a)) e end-fire (Figura 3.5(b)) [27]. No primeiro caso, os
compo-nentes são dispostos de forma que a irradiação ocorra perpendicularmente ao plano da antena. No segundo, o objetivo é que isso aconteça em uma direção tangencial.
Nesse sentido, opatchnormalmente é projetado para assumir um comportamento bro-adsidemas, devido à baixa eficiência das antenas de microfita, grande parte da potência
(a)
(b)
(c)
CAPÍTULO 3. ANTENAS DE MICROFITA 16
Figura 3.4: Mudança no padrão de radiação devido à formação de arranjo.
(a) (b)
3.2.2 Plano de terra
De modo semelhante aopatch, também é composto por uma fita metálica, situada na
face inferior do substrato da antena. Ele tem uma função refletora, evitando a formação de um lóbulo traseiro mais forte, além de servir como um mecanismo deaterramento— de
onde tem esse nome. O plano de terra é muitas vezes teoricamente definido como infitito, para facilidade de cálculo. Na prática, usa-se um plano um pouco maior do que os limites do substrato para simular essa característica.
Modificações nesse elemento têm dado bons resultados. O plano de terra truncado é uma técnica capaz de abrir a banda das antenas [25]. Contudo, ao fazer isso, ele insere mais descontinuidades na microfita, acarretando o aumento das ondas superficiais. Uma possibilidade mais vantajosa de abertura da banda é a inclinação do plano de terra, que têm-se mostrado eficiente, dada sua capacidade de se adaptar a novos ângulos de inclinação sem a necessidade de reprojetar a antena (ou filtro) [30, 31].
3.3 Mecanismo de radiação
O mecanismo de radiação das antenas de microfita está intimamente relacionado a um fenômeno conhecido comocampos de borda. Esse é um efeito eletromagnético que
re-sulta no desvio do ponto de ressonância, simulando uma antena de comprimento superior ao seu valor físico real.
Considere a visão lateral de uma antena de microfita compatchquadrado, alimentada
por ponta de prova. Suas extremidades representam descontinuidades na microfita e po-dem ser vistas como pontos de circuito aberto; assim, a impedância nas bordas dopatch
tende ao infinito (na prática, são valores da ordem de 300Ω) e a corrente é aproximada-mente nula. Logo, considerando o elemento radiador com um comprimento igual aλ/2,
a distribuição das grandezas elétricas é a representada na Figura 3.6.
Pode-se, então, inferir que tensão e corrente estão defasadas. Há um valor máximo de tensão, por exemplo, no início do patch e um respectivo máximo negativo em sua
outra extremidade. No centro essa tensão é nula, assim como seu campo elétrico. Por essa razão, empatchescomuns como retangulares ou circulares, a alimentação da antena,
quando por ponta de prova, jamais deve ser colocada em seu centro radiante.
Assim, esse comportamento leva à formação do campo elétrico com o efeito de borda, mostrado na Figura 3.7.
Os campos próximos à superfície do patch estão todos alinhados em uma mesma
CAPÍTULO 3. ANTENAS DE MICROFITA 18
Figura 3.6: Comportamento das grandezas elétricas ao longo dopatch.
Figura 3.7: Visualização dos campos de borda.
semelhante ocorre com a corrente; entretanto, há uma corrente igual de direção oposta, circulando pelo plano de terra, que cancela a radiação.
3.4 Métodos de alimentação
A seleção do método de alimentação leva em conta certos objetivos, tais como:
• assegurar a qualidade da transferência de potência entre a antena e o alimentador, ou seja, do casamento de impedâncias;
• minimizar o nível de radiação espúria, bem como seus efeitos no diagrama de
Diversas configurações podem ser usadas para alimentar as antenas de microfita. As quatro principais são [25]:
• linha de alta impedância [28, 32];
• por cabo coaxial (ponta de prova) [26, 33];
• acoplamento por abertura [26, 34];
• acoplamento por proximidade [26, 35].
3.4.1 Alimentação por linha de alta impedância
A linha de alta impedância consiste em uma fita condutora metálica, geralmente com uma largura muito menor do que a dopatch. Trata-se de um método de fácil fabricação e
de casamento simples, por meio do uso deinset [25] ou do transformador de λ/4 [36]. Entretanto, dada a conexão física entre a fonte e a antena, surgem níveis elevados de radiação espúria, limitando a largura de banda. Outro problema a ser considerado são as ondas de superfície, inerentes ao substrato, que reduzem a eficiência da antena. A Figura 3.8 exemplifica esse modelo de alimentação.
(a) (b)
(c)
Figura 3.8: Alimentação por linha de alta impedância. (a) uso deinset. (b) transformador
CAPÍTULO 3. ANTENAS DE MICROFITA 20
3.4.2 Alimentação por cabo coaxial (ponta de prova)
Na alimentação por cabo coaxial, o vivo da ponta de prova atravessa o substrato e é conectado ao elemento radiador, enquanto que o conector externo é fixado ao plano de terra. Esse esquema está representado na Figura 3.9.
Essa alimentação tem a vantagem de simplicidade de projeto, através do posiciona-mento do ponto de alimentação para o ajuste do nível da impedância de entrada. Por outro lado, tem largura de banda estreita, semelhante ao primeiro caso, e para a construção de arranjos exige um grande número de junções de solda, o que torna sua fabricação difícil e compromete seu desempenho. Para substratos mais espessos, pontas de prova mais largas são necessárias. Isso constitui um problema, pois gera um aumento na radiação espúria e na potência das ondas de superfície.
Figura 3.9: Alimentação por ponta de prova.
3.4.3 Alimentação por acoplamento por abertura
Os métodos anteriores usam uma conexão direta, física, entre as estruturas, gerando modos de ordens superiores, os quais produzem radiação de polarização cruzada. Para suplantar esse problema, adotaram-se técnicas de alimentação indireta, como o uso do acoplamento.
No acoplamento por abertura (Figura 3.10) são basicamente usados três substratos, dois deles separados por um plano de terra. Na face inferior do substrato intermediário há uma linha de microfita, cuja energia se acopla aopatchpor meio de uma fenda existente
um baixo εr. Já o substrato inferior possui um plano de terra em sua base, que serve
apenas para auxiliar no confinamento de energia do sistema. O isolamento entre a fonte e o radiador minimiza a radiação espúria e garante pureza de polarização. As desvantagens desse método são sua estreita largura de banda e difícil fabricação.
Figura 3.10: Alimentação por acoplamento por abertura.
3.4.4 Alimentação por acoplamento por proximidade
Essa técnica assemelha-se à do acoplamento por abertura; contudo, não existe uma fenda no plano de terra. A linha de microfita é inserida entre dois substratos e acopla-se aopatch, situado na face superior da estrutura, atravessando, assim, um dos substratos.
Dentre os quatro métodos aqui descritos, o de acoplamento por proximidade (Figura 3.11) apresenta a maior largura de banda, aliada a uma modelagem simples e a uma baixa radiação espúria [25]. Sua grande dificuldade está na montagem da estrutura.
CAPÍTULO 3. ANTENAS DE MICROFITA 22
3.5 Métodos de análise de antenas de microfita
A análise das antenas é um processo imprescindível, uma vez que permite a compre-ensão de seus princípios operacionais, sendo útil na modificação de projetos já existentes e na configuração de novas antenas. Além disso, é uma ferramenta-chave para a verificação de vantagens e limitações desses sistemas, por meio de estudos específicos.
Existem diversos métodos para a análise de antenas de microfita. De um modo geral, eles podem ser classificados em dois grandes grupos: os métodos aproximados, usando expressões empíricas e simplificações, e os de onda completa, baseados nas equações inte-grais de Sommerfeld e com análises detalhadas no domínio do tempo e/ou da frequência. Os principais representantes dos métodos aproximados são: o modelo da Linha de Transmissão (TLM -Transmission Line Method) [25] e o modelo da Cavidade. Dentre
os de onda completa é necessário fazer ainda uma subdivisão: operando no aspecto tem-poral existe o método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo — FDTD [37];no domínio da frequência, estão inclusos o dos Potenciais Vetoriais de Hertz [25], o método da Imitância [38] e o Método dos Elementos Finitos (adotado pelo HFSS). Há ainda a variante tridimensional do TLM — o TLMM, que opera em ambos os domínios.
A seleção do método de análise envolve muitas variáveis, dentre elas:
• tipo de estrutura estudado;
• parâmetros de resposta desejados; • nível de precisão exigido;
• disponibilidade de tempo;
• capacidade de processamento computacional;
• escolha do domínio de análise: temporal ou frequencial;
• faixa de frequências desejada (no domínio espectral).
Quando a faixa de operação está bem definida, é possível usar os métodos aproxima-dos. Em estruturas mais simples, comopatchesretangulares, a análise pode ser feita tanto
por métodos aproximados, como o da Linha de Transmissão, quanto por onda completa, como o FDTD. Em objetos mais complexos, os modelos de onda completa são os mais aconselhados. Eles requerem que o substrato e o plano de terra tenham dimensões infi-nitas, logo, têm maior precisão quando as dimensões dos elementos equivalem a vários comprimentos de onda [26]. Além disso, por traçar o comportamento do campo eletro-magnético em cada ponto da estrutura, exigem processamento pesado e disponibilidade de tempo.
com substrato convencional, enquanto que uma ferramenta CAD será responsável pelo suporte à análise de onda completa da estrutura com camada metamaterial.
Assim, para a elaboração do projeto TLM, deve-se usar o seguinte roteiro [25], base-ado na formulação matemática de Hammerstad:
1. A largura W do elemento radiador é dada pela equação
W = 1
2fr√µoεo
r
2
εr+1
= υo
2fr
r
2
εr+1
(3.1)
2. Determina-se a constante dielétrica efetiva da antena, usando
εre f =εr+1
2 +
εr−1
2
1+12h
W
−1/2
(3.2)
3. Uma vez calculado W, determina-se a extensão de comprimento gerada pelos cam-pos de borda. Ela é calculada como
∆L
h =0.412
(εre f+0.3)
W
h +0.264
(εre f−0.258)
W h +0.8
(3.3)
4. O verdadeiro comprimento L da antena é, então, dado pela equação
L= 1
2frpεre f√µoεo−
2∆L (3.4)
5. O comprimento efetivo da antena é finalmente obtido por
Le f =L+2∆L (3.5)
6. A frequência de ressonância para o modo dominanteT M010 pode ser dada por (fr)010=
υ0
Capítulo 4
Substrato
Este capítulo aborda alguns aspectos a respeito do substrato das antenas de microfita, identificando os principais dielétricos existentes e diferentes configurações de substratos. Analisa também aguns efeitos eletromagnéticos frequentes nessa estrutura e traça uma classificação dos materiais, segundo seus parâmetros de permissividade elétrica e perme-abilidade magnética.
4.1 Introdução
Conforme mencionado no Capítulo 3, o substrato é um dos componentes fundamen-tais das antenas de microfita.
Ele normalmente é encontrado como uma camada entre o patche o plano de terra,
entretanto às vezes pode ser substituído por uma camada de ar (antena com substrato suspenso). Existem, também, estudos sobre o uso de várias camadas de substrato em uma mesma antena de microfita (antenas de multicamadas).
Em determinadas aplicações, o patch é coberto por tinta ou por uma camada extra,
para sua proteção contra a exposição ao ambiente [26]. Isso também pode ser feito para a obtenção de ganhos mais elevados (Figura 4.1) [39]. Nesses casos, esse novo elemento é chamado superstrato e, assim como o substrato, passa a interferir no desempenho da antena.
Dada essa combinação de elementos metálicos com materiais dielétricos, é estabele-cido um comportamento não-homogêneo, responsável pelo surgimento de alguns fenô-menos eletromagnéticos importantes, como por exemplo:
• propagação em modo quase-TEM (Transversal Eletromagnético);
Figura 4.1: Estrutura de uma antena com superstrato.
4.2 Propriedades dos substratos
Diversos materiais podem ser utilizados como substratos dielétricos nos projetos de antenas de microfita. A seleção deles não depende apenas de suas propriedades mecânicas e térmicas, como também e mais importante ainda, do tipo de comportamento eletromag-nético que se deseja obter. Nesse sentido, existem dois critérios importantes a se avaliar em um material: seus valores relativos de permeabilidade magnética e permissividade elétrica.
4.2.1 Permeabilidade magnética relativa (
µ
r)
A permeabilidade magnética é o quanto um material é capaz de dar suporte à formação de um campo magnético em seu interior. Em outras palavras, é o grau de magnetização que um material adquire em resposta à exposição a um campo magnético aplicado [40]. Ela é representada pela letra grega µ e costuma ser citada com seu valor relativo, dado
pela razão entre seu valor total e a permeabilidade magnética do vácuo, conhecida como
µo=4π×10−7H/m. Assim, a permeabilidade relativa é dada por
µr=
µ µo
(4.1)
Seus valores são desprezíveis na maioria dos materiais encontrados na natureza. As-sim, meios diamagnéticos (µr<1) e paramagnéticos (comµr ligeiramente superior a 1)
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 26
mesmo na ausência de fontes magnéticas externas.
Além desses, são considerados atualmente também os materiais ferrimagnéticos, tais como a ferrita, possuindo propriedades semelhantes às dos ferromagnéticos, à exceção de que seus íons não são completamente alinhados e, portanto, nem todos contribuem para o crescimento da resposta magnética. Tais meios têm atraído a atenção da comuni-dade científica por serem capazes de apresentar naturalmente valores de permeabilicomuni-dade negativos, sob certas faixas de operação.
4.2.2 Permissividade elétrica relativa (
ε
r)
A permissividade relativa também é conhecida como constante dielétrica relativa e seu símbolo éεr. Ela representa o quanto um material é capaz de armazenar energia ou linhas de fluxo elétrico, ou seja, é a relação entre a quantidade de energia armazenada em um material e a contida no vácuo. Em termos matemáticos, ela pode ser representada como
εr= ε
εo (4.2)
ondeεo=8,854×10−12F/m é a permissividade elétrica do vácuo.
Para os projetos de antenas, costuma-se trabalhar com uma faixa com valores de 2.2≤
εr≤12.
A Tabela 4.1 indica os valores de constante dielétrica relativa de alguns materiais conhecidos.
Substratos finos com valores elevados de constante dielétrica são desejáveis em circui-tos de microondas, pois ocupam menos espaço e garantem um melhor confinamento dos campos, minimizando radiação e acoplamentos indesejáveis. Por outro lado, têm perdas maiores e uma largura de banda mais estreita [25].
Já os substratos espessos e de menorεr são os mais adequados para antenas de bom
desempenho, pois permitem uma maior eficiência, maior largura de banda e campos mais soltos, facilitando sua propagação no espaço, ao custo de elementos de maiores dimensões [25].
Os materiais com εr intermediário, tais como a fibra de vidro, o PTFE, a alumina e o Duroid, constituem bons substratos dielétricos, sendo muito usados na fabricação de antenas, isoladamente ou mistos.
energia. Assim, quanto maior a capacidade de armazenamento, ou seja, εr, maior é a
quantidade de energia perdida. A espessura do substrato também interfere no desempenho da antena, introduzindo as denominadas ondas de superfície na estrutura.
Tabela 4.1: Materiais e respectivosεr
Materiais εr
Água do mar 81 (20oC)
Alumina 9,7-10,3
Ar 1,0006
Duroid 5870 2,33
Fibra de vidro 4,4
Papel 3,85
PTFE 2,1
Vácuo 1
4.3 Efeitos eletromagnéticos
O substrato dielétrico desempenha um papel fundamental em diversos fenômenos ele-tromagnéticos associados às antenas de microfita. Dentre os mais importantes estão a presença de ondas de superfície e de ondas evanescentes, o comportamento quase-TEM da antena, e os diferentes casos de anisotropia relativos aos materiais usados na composi-ção do substrato.
4.3.1 Ondas de superfície
As ondas de superfície surgem nas antenas de microfita sempre que o substrato apre-senta uma constante dielétricaεr>1. Elas são responsáveis por fortalecer o acoplamento entre os elementos de um arranjo e são normalmente lançadas no substrato com um ân-gulo de elevaçãoθ tal que π/2≤θ≤sen−1(1/√εr) [26]. Incidindo no plano de terra
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 28
que a onda atinge as bordas da antena de tal modo que são difratadas e geram radiação. Elas são caracterizadas também por apresentar uma atenuação na direção transversal ao plano da antena e por se espalhar em descontinuidades da microfita, tais como o plano de terra truncado, extraindo grande parte da energia da antena e prejudicando sua eficiência. Nesse sentido, embora seja impossível eliminá-las totalmente, algumas técnicas, como o uso de cavidades [25] e a opção por substratos de baixas perdas, têm reduzido seus efeitos, mantendo uma boa resposta da antena.
4.3.2 Modo quase-TEM
Por serem estruturas não-homogêneas, as antenas de microfita são incapazes de pro-pagar ondas no modo TEM puro. Para entender esse processo, considere a Figura 4.2, representando uma antena de microfita e os campos propagantes.
Figura 4.2: Microfita e campos propagantes.
A ausência da camada dielétrica em uma antena de microfita permite imaginar a estru-tura como uma linha bifilar, constituída de duas fitas condutoras planas, com largura W, separadas entre si por uma distância 2d. Esse raciocínio é válido, uma vez que o plano de
terra pode ser removido usando a Teoria das Imagens [36]. Assim, obtém-se uma linha de transmissão simples no modo TEM, com velocidade de propagação igual à do vácuo.
preenche o espaço acima da fita, dificulta a análise da linha de microfita, uma vez que há simultaneamente linhas de campo contidas na região dielétrica homogênea e na camada de ar sobre o substrato. Por essa razão, as antenas de microfita não suportam o modo TEM, dado o descasamento de fase na interface entre os dois dielétricos [36].
4.3.3 Reflexão total interna
A reflexão total interna é um fenômeno óptico que surge quando um feixe de luz atinge a interface entre dois meios com um ângulo superior a um determinado valor crítico, em relação à normal da superfície. É necessário também que o índice de refração do segundo meio seja menor que o do primeiro. Quando essas duas condições acontecem simultaneamente, a luz torna-se incapaz de atravessar essa interface e a onda incidente é totalmente refletida, conforme mostrado na Figura 4.3.
Figura 4.3: Representação e exemplo da reflexão interna total.
Para a determinação desse ângulo crítico, é necessário usar a Lei de Snell, ilustrada na Figura 4.4.
Matematicamente, ela é representada por:
n1sen(θi) =n2sen(θt) (4.3)
Isolandosen(θi)na equação (4.3), tem-se então:
sen(θi) =n2
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 30
Para o caso de ângulo crítico, θt =90o, logosen(θt) =1 e a equação (4.4) pode ser
reescrita como:
sen(θi) =n2
n1 (4.5)
O ângulo crítico, então, é dado por:
θc=arcsen
n2
n1
(4.6)
Figura 4.4: Representação da lei de Snell.
Assim, para um ânguloθ>θc, haverá reflexão interna total. Caso contrário, parte da onda será refratada e parte refletida. A reflexão total interna é responsável pelo surgimento de outro fenômeno bem conhecido associado aos substratos: as ondas evanescentes.
4.3.3.1 Ondas evanescentes
As ondas evanescentes são ondas de campo próximo que apresentam um decaimento exponencial em sua intensidade à medida que se afastam da interface eletromagnética na qual foram geradas.
Esse fenômeno surge devido ao efeito da reflexão total interna na transição da onda entre dois meios, e têm maior intensidade em uma faixa de distância de atéλ/3 a partir da superfície onde foi gerado [41]. Matematicamente, as ondas evanescentes são caracteri-zadas por um vetor de onda com uma ou mais componentes vetoriais imaginárias. Assim, de acordo com a Figura 4.4, o vetor de onda~kt pode ser dado por [41]:
~kt=ktsen(θt)xˆ+ktcos(θt)zˆ (4.7)
(a)
(b)
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 32
Isolandosen(θt)na equação (4.3), tem-se:
sen(θt) =
n1
n2sen(θi)
(4.8)
Paran1>n2, entãosen(θt)>1. Logo, o cosseno desse ângulo é complexo e é dado
por:
cos(θt) =
q
1−sen(θt) = j
q
sen2(θt)−1 (4.9) O campo elétrico da onda plana transmitida no caso da Figura 4.3 tem a seguinte forma:
~Et =~Eoe−j
~kt~re−jωt
(4.10)
Substituindo as equações (4.7) e (4.9) em (4.10):
~
Et =~Eoe−j
~kt~re−jωt
=~Eoe j(
~kt~r−ωt)
=~Eoe j[xktsen(θt) +zktcos(θt)−ωt]
=~Eoe
j[xktsen(θt) +zktj
q
sen2(θt)−1−ωt] (4.11)
Após algumas manipulações matemáticas, a equação (4.11) se reduz a
~
Et =~Eo
e−az
h
e j(bx−ωt)
i
(4.12)
onde
a= ω
υo
q
(n1sen(θi)2)−n22 (4.13)
e
b= ωn1
υo sen(θi) (4.14)
Essa onda caracteriza-se por uma propagação na direçãoxe por uma atenuação
expo-nencial na direçãoz. Apesar de haver um campo no segundo meio, pode ser demonstrado
direção normal à superfície é não-nula, mas seu valor médio no tempo é nulo, diferen-temente do que ocorre com as outras componentes desse vetor. Dessa forma, as ondas evanescentes asseguram a continuidade das Equações de Maxwell nas superfícies de con-torno.
4.3.4 Anisotropia
Quando o campo eletromagnético se propaga em um material dielétrico, o campo elétrico aplicado ~E causa a polarização dos átomos e moléculas do material, gerando
momentos de dipolo elétrico que tendem a aumentar o fluxo de deslocamento ~D [36].
Esse efeito é representado pelo vetor de polarização elétrica~Pe. De modo semelhante,
o campo magnético~H também pode induzir uma polarização no material, dada por seu
vetor de polarização magnética~Pm. Assim,
~D=εo~E+~Pe (4.15) ~B=µo(~H+~Pm) (4.16)
e os respectivos vetores de polarização são dados por
~Pe=εoχe~E (4.17) ~Pm=χm~H (4.18)
ondeχeeχmsão os valores de susceptibilidade elétrica e magnética, respectivamente.
Até este ponto, os substratos foram tratados como meios isotrópicos, possuindo as mesmas propriedades em todas as direções. Entretanto, essa é uma abordagem ideal e não pode ser considerada na prática, logo, as propriedades dos materais variam de acordo com a direção analisada. Esse fenômeno é conhecido como anisotropia e, em termos técnicos, representa a situação na qual os vetores de polarização não estão alinhados com seus respectivos campos. Assim, em vez de um parâmetro desse material ser identificado por uma constante, ele assume a forma de um tensor, com diversos valores. Genericamente, isso é representado como:
a=
axx axy axz
ayx ayy ayz
azx azy azz
(4.19)
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 34
Apenas para efeito de comparação visual, um material isotrópico poderia ser dado, em sua forma tensorial, por:
a=
a 0 0
0 a 0
0 0 a
(4.20)
A anisotropia pode ocorrer de diversas formas no material dielétrico, como mostrado na Figura 4.6.
Figura 4.6: Tipos de anisotropia.
No caso anisotrópico uniaxial uma simplificação é feita, ao se igualar os valores de duas direções, isto é, xx=yy6=zz ou xx6=yy=zz ou xx=zz6=yy. A equação (4.21)
representa o caso em queaé igual nas direções x e y. a=
axx 0 0
0 axx 0
0 0 azz
(4.21)
No modelo biaxial cada direção tem seu próprio valor, ou seja, xx6=yy6=zz. Esse
caso é demonstrado na equação (4.22), usando o mesmo parâmetro citado anteriormente.
a=
axx 0 0
0 ayy 0
0 0 azz
(4.22)
A anisotropia elétrica ocorre quando o material possui diferentes valores de permis-sividade elétrica para cada uma das direções cartesianas. Esse é o caso mais comum, englobando a maior parte dos materiais naturais.
ε=
εxx 0 0
0 εyy 0 0 0 εzz
(4.23)
A anisotropia magnética está vinculada à existência de valores diferentes para a per-meabilidade magnética do meio e ocorre em uma classe específica de materiais, chamados ferrimagnéticos.
µ=
µxx 0 0
0 µyy 0
0 0 µzz
(4.24)
Já a existência de um padrão anisotrópico a nível elétrico(ε)e magnético(µ)ocorre
apenas para uma classe bem específica de materiais recentes e artificiais, denominados metamateriais, discutidos mais adiante nesse trabalho.
4.4 Classificação dos materiais segundo
ε
e
µ
Além do comportamento anisotrópico, outros fatores têm influência na classificação dos materiais. Os valores de permissividade e permeabilidade, por exemplo, constituem uma forma bem organizada de incluir todos os compostos existentes, inclusive aqueles não-naturais, como os metamateriais. Essa divisão é baseada na positividade (ou negati-vidade) desses parâmetros. Assim, a Figura 4.7 representa a divisão dos materiais segundo esses dados [42].
Os materiais convencionais apresentam tanto permissividade quanto permeabilidade positivos e são chamados meios RH, por comporem uma tríade vetorial, pela regra da mão direita, entre os sentidos dos campos elétrico (~E) e magnético (~H) e a direção de
propagação equivalente.
CAPÍTULO 4. SUBSTRATO 36
em faixas específicas de frequência.
Finalmente, o quarto grupo é formado pelos metamateriais, compostos artificiais e que apresentam tanto permissividade quanto permeabilidade negativas, levando a um ín-dice de refração também negativo. Esses materiais são conhecidos como meios LH ( left-handed) e apresentam um tipo especial de propagação de ondas, denominado propagação backward. Tais materiais serão o objeto de estudo do próximo capítulo.
Metamateriais
Este capítulo faz uma análise resumida dos metamateriais, analisando suas principais propriedades e seu comportamento eletromagnético singular. A importância dos SRR é demonstrada na elaboração de compostos magneto-dielétricos e possíveis aplicações para esses novos materiais são discutidas.
5.1 Introdução
Os metamateriais, conforme já mencionado na introdução dessa dissertação, são ma-teriais artificiais, construídos em laboratório. Apesar disso, sua estrutura é formada por elementos convencionais (metais e dielétricos) encontrados na natureza. Nesse sentido, o metamaterial pode ser compreendido como o próximo nível de organização da matéria, daí seu prefixo gregometa, representando “além de” [12].
Esses elementos são inseridos em pequenos blocos de construção, conhecidos como células unitárias (Figura 5.1), dispostos em arranjos uni, bi e tridimensionais. Aliado à variedade de formas que eles podem assumir, existe uma diversidade de comportamentos eletromagnéticos correspondentes.
CAPÍTULO 5. METAMATERIAIS 38
Figura 5.1: Modelos de células unitárias.
O grande aspecto responsável por tamanho interesse nos metamateriais é o seu índice de refração negativo, o que representa um grande passo em direção à compreensão de mecanismos de invisibilidade e à realização de microscópios de super-resolução [44]. Isso possibilita o uso de metamateriais em diferentes áreas do conhecimento, tais como tecnologias de informação e comunicação, defesa e segurança aérea, medicina, teleco-municações, e energia e desenvolvimento. De um modo mais geral, as aplicações dos metamateriais podem ser agrupadas em três grandes categorias: guiadas, ondas-radiadas e aplicações de ondas refratadas [45].
Atualmente, a fabricação de metamateriais, em sua maioria, ainda é um procedimento que exige tecnologias de ponta, como por exemplo a litografia por feixe de elétrons. Essas técnicas, além de caras e demandarem muito tempo, não apresentam bons resultados para áreas largas e arranjos tridimensionais. Nesse sentido, o potencial da nanotecnologia e da ciência dos materiais têm oferecido uma alternativa promissora [44].
Além do índice de refração, metamateriais apresentam outras propriedades (eletro-magnéticas) importantes, discutidas em seção posterior. Elas inclusive influenciam a forma como eles são conhecidos, como:
• meios NIM (negative index metamaterials);
• materiais DNG (double negative materials);
5.2 Fundamentos eletromagnéticos
Para o estudo dos metamateriais é necessário inicialmente analisar alguns fundamen-tos eletromagnéticos importantes, tais como: comportamento bianisotrópico, noções de reciprocidade e de dispersão espacial e o conceito de meios contínuos. Todos eles estão de certo modo correlacionados e influenciam a forma como os metamateriais podem ser compreendidos e analisados.
5.2.1 Comportamento bianisotrópico
No capítulo anterior foi visto que os materiais naturais são, na prática, meios anisotró-picos, isto é, possuem diferentes valores de permissividade e/ou permeabilidade de acordo com a direção de análise. Dessa forma, seus parâmetros ε eµ não podem ser descritos
apenas em termos de um escalar, é necessária uma representação tensorial.
Os metamateriais também são, frequentemente, materiais anisotrópicos. Entretanto, é comum observar também nesses materiais uma relação linear entre os quatro vetores dos campos eletromagnéticos, compondo um fenômeno conhecido como bianisotropia [44]. Para materiais comuns, as relações constitutivas são dadas pelas equações (4.15) e (4.16). No caso da bianistropia,
~D=ε~E+ξH~ (5.1)
~B=ζ~E+µ~H (5.2)
onde εe µ são os já conhecidos tensores de permissividade e permeabilidade,
respecti-vamente, e os tensoresξeζrepresentam o acoplamento eletromagnético. Das equações (5.1) e (5.2), pode-se perceber que para uma descrição eletromagnética completa, em função de sua constituição, são necessários 36 parâmetros, dado que cada tensor é res-ponsável pela inclusão de 9 variáveis.
Esse comportamento complexo ocorre quando o campo magnético gera uma polari-zação elétrica no meio ou quando uma excitação elétrica força uma forte resposta mag-nética. Existem ainda meios nos quais não há uma direção específica de polarização, contudo, eles apresentam acoplamento eletromagnético. Tais materiais são conhecidos como bi-isotrópicos.
CAPÍTULO 5. METAMATERIAIS 40
Tabela 5.1: Classificação dos materiais e número de parâmetros necessários para sua caracterização.
Independente da direção Dependente da direção
Sem acoplamento
Isotrópico Anisotrópico
Núm. Param. Descritores Núm. Param. Descritores
2 ε,µ 18 ε,µ
Com acoplamento
Bi-isotrópico Bianisotrópico Núm. Param. Descritores Núm. Param. Descritores
4 ε,µ,ζ,ξ 36 ε,µ,ζ,ξ
5.2.2 Noções de reciprocidade e não-reciprocidade
A noção de reciprocidade varia de acordo com o tipo de tecnologia usado. Para pro-pagação de ondas de rádio, por exemplo, a reciprocidade significa um comportamento invariável naperformancedo sistema quando a posição do transmissor e do receptor são
trocadas. O exemplo mais comum de reciprocidade é o teorema de Lorentz, o qual es-tabelece que a relação entre uma corrente oscilante e seu campo elétrico resultante não varia se os pontos de aplicação da corrente e de medição do campo são trocados.
De modo geral, a reciprocidade está, então, relacionada à existência ou não de simetria em uma inversão temporal [44]. Os materiais podem ser divididos em dois grandes grupos, segundo a presença, ou não, desse parâmetro: meios recíprocos e não-recíprocos, respectivamente. Apenas para efeito de observação, em um meio recíproco, as condições para os parâmetros de um material bianisotrópico são [46]:
ε=εT (5.3a)
µ=µT (5.3b)
ξ=−ζT (5.3c)
5.2.3 Noções de dispersão espacial
A dispersão espacial é o nome do efeito baseado na não-localidade da resposta ele-tromagnética nos materiais. Ela expressa que a polarização do meio em um determinado ponto do espaço é influenciada pelo que ocorre nos pontos vizinhos. Existem basicamente duas ordens de dispersão espacial. A primeira leva à chiralidade (vetores de polarização rotacionados), enquanto que a segunda conduz exatamente à origem do comportamento magnético [44, 47].
5.2.4 Meios efetivamente contínuos
Os materiais apenas são considerados efetivamente contínuos quando o tamanho de seus elementos (células unitárias, por exemplo) é muito menor do que o comprimento de onda. Quando isso acontece a teoria de fraca dispersão espacial se aplica e, com isso, os efeitos locais predominam e os efeitos não-locais podem ser descritos em termos dos co-eficientes bianisotrópicos e do parâmetro de permeabilidade efetiva [44]. A modelagem do meio complexo pode ser feita, então, pela homogeneização das equações de Maxwell para a obtenção das propriedades do material.
5.3 Histórico estrutural
A criação efetiva dos metamateriais não aconteceu por acaso. Foi necessária uma série de descobertas científicas, ao longo das décadas, para possibilitar a obtenção desses meios, daí a significativa diferença de tempo entre sua descoberta e a primeira estrutura metamaterial construída. Essa seção busca, de forma resumida, revelar essa trajetória, abordando a criação dos meios dielétrico, magnético e plasma artificiais e de como uma propriedade ou aspecto de cada um deles foi usada para a composição dos metamateriais.
5.3.1 Dielétricos artificiais
Os dielétricos artificiais surgiram como meio de substituir os materiais usados nas lentes dielétricas pesadas, de alta permissividade, por meios menores e mais leves [42]. Trata-se de arranjos tridimensionais, metálicos ou mesmo dielétricos, dispostos em gra-des, semelhantes às paredes cristalinas dos materiais dielétricos convencionais. Além
