Common agency with informed principals

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θ

θ

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β+ 2

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bIE(θi) =θi−(1−F(θi)) θ

θ

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θ

θ

dx

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t

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t

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1−F(θ1)

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θ

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q(θi, θ−i)) + q(θi, θ−i) ≥ q(θ′i, θ−i) q( ) 0

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∂ˆθi

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1−F( )

f( ) C

′′_(q(ˆθ

i, ))−

∂p

∂q(q(ˆθi, ), )

∂q ∂θi

(ˆθi, )

∂q ∂θ−i

(ˆθi, )

−E 1−F( ) f( ) (C

′_(q(ˆθ

i, ))−p(q(ˆθi, ), ))

∂2_q

∂θi∂θ−i

(ˆθi, )

−p(q(ˆθi, θ),ˆθi)

∂q ∂θi

(ˆθi, θ)−

∂t ∂θi

(q(ˆθi, θ),ˆθi). 9 <

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′_(q(ˆθ

i, ))−p(q(ˆθi, ), ))

∂2q ∂θi∂θ−i

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∂q ∂θi

(ˆθi, )

θ

θ

−E 1−F( ) f( )

∂q ∂θi

(ˆθi, )

∂q ∂θ−i

(ˆθi, ) C′′(q(ˆθi, ))−

∂p

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(q(ˆθi, ), )

+E C′(q(ˆθi, ))−p(q(ˆθi, ), )

=−p(q(ˆθi, θ),ˆθi)

∂q ∂θi

(ˆθi, θ)

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(ˆθi, )

∂q ∂θ−i

(ˆθi, ) +

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(ˆθi, )

∂p ∂θi

(q(ˆθi, ), )

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∂q ∂θi

(ˆθi, θ) +

∂t ∂θi

(q(ˆθi, θ),ˆθi) = 0

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∂t ∂θi

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∂Φ

∂ˆθi

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∂q ∂θi

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1−F( )

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∂2Φ

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θ

ˆ θ

∂Φ

∂ˆθi

(x, θi)−

∂Φ

∂ˆθi

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θ

ˆ θ

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˜ θ

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1

1−F(θ)

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θ

θ

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θ

θ

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θ β+ 1

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θ

θ

(1−F(x))dx

θ

θ

α(x)f(x)dx= 1−F(θ)− f(θ)

1−F(θ)

θ

θ

(1−F(x))dx.

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1−F(θ)

θ

θ

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θ

θ

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%

1−α˜(θ) = ˙bIE(θ) =f(θ)

θ

θ

dx

1−F(x).

˜

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θ

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f(θ)(1−F(θ))

f(θ)

θ

θ

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1−F(x).

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f(θ)(1−F(θ))

f(θ) >−f(θ)

α(θ)≥2(1−A(θ))>0

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4+25 ? I

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q(ˆθi, ) q(ˆθi, θi, ε) E[ ] (

E θ−i ε f(θ−i)h(ε))

( " I

Φ(ˆθi, θi) = E θiq(ˆθi, )−

1−F( )

f( ) C

′_(q(ˆθ

i, ))−p(q(ˆθi, ), )

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(ˆθi, )

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+ 9 <

( ε &

εI

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∂ˆθ (θi, θi) = 0 '

∂ Φ

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f( )

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∂θ−i

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- " P−i p−i(q, )" . q

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G−i(|q)

P−i q ) : " Pi

0 q

I

pi(q, θi)∈arg max

p (θi−pi)(1−G−i(C

′_(q)−p

i|q)).

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Pi) *

9 q<G(|q) 7( ' )

+ 7 ' 0 * "

θ∗(q) I

• θ ≥θ∗(q)"p(q, θ) =p(q)G

• θ ≤θ∗(q)"p(q, θ) =p(q) (< p(q)))

" p( )" p( ) θ∗( ) .

* ) : θ∗(q) 9

<" 7 ' * 9

< )

- ' * " q

piI

G(C′(q)−pi|q) = 0 pi > C′(q)−p(q)

G(C′(q)−pi|q) = F(θ∗(q)) C′(q)−p(q)≤pi ≤C′(q)−p(q)

G(C′(q)−pi|q) = 1 pi ≤C′(q)−p(q)

7 9 < q 9 <

1−F(θ∗(q)) )

- * q θi Pi" PiF 0

p(q) = C′(q)−p(q)

θi−C′(q) +p(q)≥ max

C′₍q)−p(q)≤p≤C′₍q)−p(q)(θi−pi)(1−F(θ

∗_{(q))) 9 $<}

= (θi−C′(q) +p(q))(1−F(θ∗(q))).

+ θi [θ∗(q), θ] * '

* )

' * "

I

p(q) +p(q) =C′(q), 9 !<

θi =θ∗(q) 9 $< * " ) )" 9 C<

θ∗(q)F(θ∗(q)) = p(q)(2−F(θ∗(q))−C′(q)(1−F(θ∗(q))). 9 A<

- q C′₂(q) ≤p(q)≤θ" 9 A< 7 * θ∗(q) [θ, θ]) "

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p(q) p(q)≥ C′₂(q))

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p(q) P1 0 p(q)" q ) θ2 ≤θ∗(q)< θ1

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θ1 =θ2 =θ∗(q)) K 9 A< p(q)≥ C

′_(q)

2 2θ

∗_(q)≥C′_(q))

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