The polictical economy informed lobbies

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tl+ h+λθhv(ql) +λθlv( h)−C(ql+ h) ≥ th+ h+λθhv(qh) +λθlv( h)−C(qh+qh- /)

th+ h+λθhv(qh) +λθhv( h)−C(qh+ h) ≥ ξhh - /

t_l+ h+λθhv(ql) +λθlv( h)−C(ql+ h) ≥ ξhl -?/

th+ h+λθhv(qh) +λθhv( h)−C(qh+ h) ≥ tl+ l+λθhv(ql) +λθhv( l)−C(ql+ l)-G/

tl+ h+λθhv(ql) +λθlv( h)−C(ql+ h) ≥ th+ l+λθhv(qh) +λθlv( l)−C(qh+ l)->/

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q ,q V = z[θhv(qh) (1 +λ) + h−C(qh+ h) +λv( h)−ξhh] -:/

+ (1−z) θhv(ql) (1 +λ) +λv( h)−C(ql+ h) +C(qh+ h)−C(qh+ h)−ξhh+ h

8

max

q ,q V = z θ l

lv(qh) (1 +λ)−C(qh+ l) +λθhv( l) + l−ξhl - /

+ (1−z) θlv(ql) (1 +λ) +λθhv( l)−C(ql+ l) +C(qh+ l)−C(qh+ l) + l−ξhl

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• ql:

θhv

′

(ql) (1 +λ) =C

′

(ql+ h) - /

• qh8

θhv′(qh) (1 +λ) =C

′

(qh+ h) +

(1−z)

z C

′

(qh+ h)−C

′

(qh+ h) - /

• ql8

ql:θlv′(ql) (1 +λ) =C′(ql+ l) - I/

• qh8

θlv′(qh) (1 +λ) =C′(qh+ l) +

(1−z)

z C

′

(qh+ l)−C′(qh+ l) - /

0 - / - I/ %

% 5 - / - / 3 + %% 5 qh ≥qh

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q ,q V = z[θhv(qh) (1 +λ) + h−C(qh+ h) +λv( h)−ξhh] - /

+ (1−z) θhv(ql) (1 +λ)−C(ql+ h) +λθl(v( h)−v( l))

−λθhv( h)−C(qh+ h) +C(qh+ l) + h+ h− l−ξhh

2 2 3 % ql 3 - /5 2 2 3 %

qh 8

θh(1 +λ)v′(qh) =C′(qh+ h) +

1−z

z C

′

(qh+ h)−C′(qh+ l) = 0 - ?/

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z[θhv(qh)−th] + (1−z) [θhv(ql)−tl] ≥ z[θhv(qh)−th] + (1−z) [θhv(ql)−tl]- >/

$ λ = ˆλ λ ≤ λˆ

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q ,q ,t ,t V =z[θhv(qh)−th] + (1−z) [θhv(ql)−tl] - :/

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z[θlv(qh)−th] + (1−z) [θlv(ql)−tl] =z[θlv(qh)−th] + (1−z) [θlv(ql)−tl]

% 2 7 3 8

z[−∆θv(qh) +θhv(qh)−th] + (1−z) [−∆θv(ql) +θhv(ql)−tl] = z[θlv(qh)−th] + - /

+ (1−z) [θlv(ql)−tl]

# + - :/ 3 2 8

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q ,q V =z[∆θv(qh)−θlv(qh) +th] + (1−z) [∆θv(ql)−θlv(ql) +tl] - /

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3 3 3 3 5 3 + 3 2

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0 = z[θlv(qh) +λθhv(qh)−C(qh+ h)−ξhh+ h+λθhv( h)] +

(1−z) [θlv(ql) +λθhv(ql)−C(qh+ h) +C(qh+ h)−C(ql+ h)−ξhh+ h+λθhv( h)]

−z[θlv(qh)−th]−(1−z) [θlv(ql)−tl]

3 $ % qh= Ψ (ql, h, l) %

2 2 8

∂Ψ ∂ql =−

(1−z) [θlv′(ql) +λθhv′(ql)−C′(ql+ h)]

z[θlv′(qh) +λθhv(qh)−C′(qh+ h)] + (1−z) [C′(qh+ h)−C′(qh+ h)]

- /

+ 2 2 + 2 % & 0 - /

+ - / 7 + 7 3 + +5

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2 5 % + % % % 3 7 3

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3 % 2 & 0 3 % 5 3 3

1 7 3 &

3 3 Ψ - / 4 1 ql8

(1−z) ∆θv′ (ql) +

∂Ψ ∂ql

z∆θv′

(Ψ (ql)) = 0 - I/

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2 % + % % ql + % 2 &

5 3 % 2 2 2 qh + 3 D 2 + +E

% + 3 2 2 + 2 & 0

5 3 8

(1−z) ∆θv′′ (ql) +

∂2Ψ ∂2_q

l

z∆θv′

(Ψ (ql)) +

∂Ψ ∂ql

z∆θv′′

(Ψ (ql))≤0

" ∂ Ψ

∂ q + 2 7 2 D% 7 E & 0 4%

8

−(1−z) ∆θv′′ (ql)−

∂2Ψ ∂2_q

l

z∆θv′

(Ψ (ql))≥

∂Ψ ∂ql

z∆θv′′

(Ψ (ql))

0 3 &

" 3 - I/ 7 7 3

D% E 7 7 & " 7 3 5

2 2 3 + 2 5 2 2 % 2 %

3 7 3 7

-- I/ /& = 5 7 4 5

3 4 3 7 2 D% E 7 &

0 3 2 $ $4 % - 7 / 3 + % 3 %

% 2 & 0 $ 8

∂ ∂ _h

∂Ψ ∂q_l =−

−C′′

(ql+ h) −C′′(qh+ h) Γ

2

3

Γ = (1−z) θlv

′

(ql) +λθhv

′

(ql)−C

′

(ql+ h)

=z θlv′(qh) +λθhv(qh)−C′(qh+ h) + (1−z) C′(qh+ h)−C′(qh+ h)

2 2 + 2 7 2 2 2 - D%

7 E/& + + - I/ 8

(1−z) z

v′ (ql)

v′_{(Ψ (q}

l))

=−∂Ψ

∂ql

3 2 8

' %

% 2 ∂Ψ

∂q <0 & & =

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3 pi % + n5 θ % C 3 3

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3 + &

2 7 . 8

U =x0+u x1, x2, ..., xN

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5 ; (95 % + + & 2 + $

$ 5 % % + % $ 5 %

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r(p) % 5 3 p 2 % & " (9 %

2 ; 2 + 2 8

r(p,θ_{) =}

i

pi−pi∗ di(p)− 1

Nθ

i_{y p}i _{- /}

3 di(p) + i5pi∗ % +

i yi _{% + i π}′_=y&

2 4% 8

V =E+s(p)

3 E 7 + 5 8

s(p) =u d1, d2, ..., dN −

i

pidi(p) - ?/

3 $ + % 8

Vi=li+θiπ pi −Ci pi +αiN[r(p,θ_{) +}s(p)] - G/

3 Ci pi + 2 % & αi % %

2 + i& $ . . 3

i&

Wi =li+θiπ pi +αiN[r(p,θ_{) +s(p)]}

% 8

G= ΣiCi pi +W(p,θ) - >/

% + $4 &

3 8

W(p,θ_{) =}

i

Wi(p,θ_{) =}

i

li+

i

θiπ pi +N[r(p,θ_{) +s(p)]}

5 % 2 6 3 &

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& + ; 3 3 + 3 + $

2 2 2 & 2 2 r+s 8

∂(r+s)

∂p1 = d

1_(p)− 1

Nθy p

1 _{+ p}1_−p1∗ ∂d1

∂p1 +

∂d2 ∂p1 −

1 Nθ

1 _y1 ′

p1 +

∂u ∂x1

∂d1 ∂p1 +

∂u ∂x2

∂d2 ∂p1 −

∂d1 ∂p1p

1₋∂d2

∂p1p

2_−d1_(p).

% $ +8

∂(r+s) ∂p1 =−

1 Nθ

1_{y p}1 _{+ p}1_−p1∗ ∂d1

∂p1 +

∂d2 ∂p1 −

1 Nθ

1 _y1 ′

p1 <0. - :/

(9 r s 8

s(p) = Σu (d (p))−Σd (p)p

r(p,θ_{) = p −p}∗ _{d (p)−} 1

Nθ y p

2 2 % 3 % % % % &

+ 2 ∂d ∂p + ∂d ∂p − 1 Nθ

1 _y1 ′

p1 + 2 &

2 2 8

∂2(r+s)

∂p1_∂p2 = p1−p1

∗ ∂2d1 ∂p1_∂p2 +

∂2d2 ∂p1_∂p2 +

∂2u ∂2_x1

∂d1 ∂p1

∂d1 ∂p2 +

∂2u ∂2_x2

∂d2 ∂p2

∂d2 ∂p1 +

+ ∂

2_d1

∂p1_∂p2

∂u ∂x1 −p

1 ₊ ∂2d2

∂p1_∂p2

∂u ∂x2 −p

2 _.

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2 % & + 3 .

% ; + 2 & 6 3 % 2 +

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∂p ∂p % 2 & % %

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% 2 I&

"

% + % 8

max

p E[V] =E l+θhπ(ph.)−C(ph.) +Nα(r+s) ph., p

2

.h, p,θ

< 8

C(ph) + ( h) +aW(ph, h, p,θ) ≥ C(pl) + ( h) +aW(pl, h, p,θ) -I /

C(pl) + ( h) +aW(pl, h, p,θ) ≥ C(ph) + ( h) +aW(ph, h, p,θ) -I /

C(ph) + ( h) +aW(ph, h, p,θ) ≥ ξhh -I /

C(pl) + ( h) +aW(Pl, h, p,θ) ≥ ξhl -II/

C(ph) + ( h) +aW(ph, h, p,θ) ≥ C(pl) + ( l) +aW (pl, l, p,θ) -I /

C(pl) + ( h) +aW(pl, h, p,θ) ≥ C(ph) + ( l) +aW(ph, l, p,θ) -I /

3 p 2 % 3 N& $ 3 2

% 5 % % 5 3

+ 2 % & % % 3 4 3 +

2 &

0 $ 3 3 + 7 5 $ 5

3 -I / -I 6/ <

&

ph ≥ pl, ph0 pl ≤ ph, pl pl ≥ ph,

( ' ) / 1

ph≥pl ) # pl≥ph ≥ph

pl ≥ pl ≥ ph ph ≥pl, ( ) )

) #

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I& 2 4 % + 2

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" + -I / -II/ +5 $ + %

% 8

• ph

θh₁π′(ph) (1 +a) +N(α1+a) (r+s)′(ph, h, p,θ) = 0 -I?/

• pl

0=θ h₁π′

(p_l) (1 +a) +N(α+a) (r+s)′(p_l, _h,p,θ_{) +} -IG/

+ z

(1−z)aN (r+s) ′

(p_l, _h,p,θ₎₋₍r+s)′

(p_l, _h,p,θ₎

• ph

θl₁π′

(ph) (1 +a) +N(α1+a) (r+s)′(ph, l, p,θ) = 0 -I>/

• pl8

0 = θl₁π′

(pl) (1 +a) +N(α+a) (r+s)

′

(pl, l, p,θ) + -I:/

+ z

(1−z)aN (r+s) ′

(pl, l, p,θ)−(r+s)

′

(pl, l, p,θ)

0 = θlπ′(pl) (1 +a) +N(α+a) (r+s)

′

(pl, l, p) + - /

+ z

1−z N a(r+s) ′

(pl, l, p,θ)−Na(r+s)

′

(pl, h, p,θ)

% + 4 .

& 0 3 5 3 4% + &

" 2% 3 & / %

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$ % & ph 3 3 $ &

A ,A 5 (95 %

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3 2 8 + % % 7 ;

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+ 5 + & # 3 D C %E 3

% pl $ & $ % 8

• ph8

0 = θ_hπ′

(p_h) (1 +a) +N(r+s)′(p_h, _h, p,θ_{) (}α₁+a) + - / 1−z

z Na (r+s) ′

(ph, h, p,θ)−(r+s)

′

(ph, h, p,θ) .

• pl8

0 =θhπ′(pl) (1 +a) +N(r+s)

′

(pl, h, p,θ) - /

• ph8

0 = θlπ′(ph) (1 +a) +N(r+s)

′

(ph, l, p,θ) - I/

1−z

z N a[(r+s) (ph, l, p,θ)−(r+s) (ph, l, p,θ)].

• pl8

0 =θlπ′(pl) (1 +a) +N(r+s)

′

(pl, l, p,θ) - /

• ph ≤pl 5 - / 2 % 8

0 = θhπ′(ph) (1 +a) +N(r+s)

′

(ph, h, p,θ) (α1+a) + - /

1−z

z Na (r+s) ′

(ph, h, p,θ)−(r+s)

′

(ph, l, p,θ) .

# I5 4 7 +

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3 3 3 + + ; + 2 &

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3 2 (9 3 ; % .

% 4% % & # + - :/ -IG/5 + pi = τipi∗₅

pi∗ = 18

0 = θ_hy(τ_l) (1 +a) +N α1+a M τi_l, τj_h + (τ_hl−1)M′

(θ_h)−di +

+ z

1−zNa τ

i

l−1 M

′

τi_l, τj_h − τi_l−1 M′

τi_l, τj_h .

3 M(p,θ_{) =} ∂d

∂p + ∂d ∂p −

1

Nθ i_(y)′

pi _{5 + +8}

τi_l−1 = θhy τ

i

l 1−αi

− αi₊ a

(1−z) M

′ _τi l, τ

j h +a

z

1−zM

′ _τi l, τ

j h

8

τi_l−1 = 1−α

i

αi₊ a

(1−z) +a

z

1−z

M′₍τ ,τ ₎

−M′₍τ ,τ ₎

)i hl

ei_hl

2 8

τi_l−1 = 1−α

i

αi₊ a

(1−z) +a

z

1−z

M(τ ,τ ) M(τ ,τ ) e e )i hl ei hl

3 )i

hl= θ y

M(τ ,τ ) e i hl =

−(M (τ ,τ ))′

M(τ ,τ ) & " τl 3 2 8

τi_hh−1 = θhy τ

i

hh 1−αi

−(αi_+a)M′ _τi h, τ

j h

8

τi_hh−1 = 1−α

i

(αi_+a)

)i_hh ei_hh

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8 % 6 % & " %

7 3 % & 3 %

4% ;5 + 2 % 2 - % /& " 4 % 5 + % &

E τi_.−1 =z θhy τ

i

h 1−αi

−(αi_+a)M′ _τi h, τ

j h

+(1−z) θhy τ

i

l 1−αi

− αi₊ a

(1−z) M

′ _τi l, τ

j h +a

z

1−zM

′ _τi l, τ

8 + % ;

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K ?L # A 5 &5 - :: /5 D' F + "+ E&< >&

-/

3 % % 8

max

q ,q ,t ,t E[V] =E[θlv(ql.)−tl.] - ?/

< 8

th+ l+λθlv(qh) +λθhv( l)−C(qh+ l) ≥ tl+ l+λθlv(ql) +λθhv( l)−C(ql+ l) -I6/

tl+ l+λθlv(ql) +λθlv( l)−C(ql+ l) ≥ th+ l+λθlv(qh) +λθlv( l)−C(qh+ l)- 6/

th+ l+λθlv(qh) +λθhv( l)−C(qh+ l) ≥ ξlh - 6/

t_l+ l+λθlv(ql) +λθlv( l)−C(ql+ l) ≥ ξll -?6/

th+ l+λθlv(qh) +λθhv( l)−C(qh+ l) ≥ tl+ h+λθlv(ql) +λθhv( h)−C(ql+ h)-G6/

tl+ l+λθlv(ql) +λθlv( l)−C(ql+ l) ≥ th+ h+λθlv(qh) +λθlv( h)−C(qh+ h->6/)

/

% 3 % 8

max

p EV1 =E l+θlπ(pl.)−Cl.(pl.) +N α(r+s) pl., p

2

.l, p,θ

< 8

C(ph) + ( l) +aW(ph, l, p,θ) ≥ C(pl) + ( l) +aW(pl, l, p,θ) -I 6/

C(p_l) + ( l) +aW(pl, l, p,θ) ≥ C(ph) + ( l) +aW(ph, l, p,θ) -I 6/

C(p_h) + ( l) +aW(ph, l, p,θ) ≥ ξlh -I 6/

C(pl) + ( l) +aW(pl, l, p,θ) ≥ ξll -II6/

C(ph) + ( l) +aW(ph, l, p,θ) ≥ C(pl) + ( h) +aW(pl, h, p,θ) -I 6/

C(pl) + ( l) +aW(pl, l, p,θ) ≥ C(ph) + ( h) +aW(ph, h, p,θ) -I 6/

( ( 0 + $ + q_jr θ - /& 8

∂qr_j ∂θ =−

λv′ (q).

θλv′′_(q)−C′′_(qi_+qj₎ >0

3 2 8

∂ r_j ∂qr j

=− C

′′ (.)

θλv′′_(.)−C′′_(.) <0

5 θ3 ; + 6 2 3 + 3 8

∂Ur

∂θ =λv(q) + θλv ′

(q)−C′

(.) λv′ (q)∂q

r j

∂θ + θλv ′

(q)−C′ (.) ∂

r j

∂q_jr

+ 6 4 1 5 3 + 7 1 & 8

∂Ur

∂θ =λv(q)

+ 6 2 3 + + % + v(q)>0&

( ( " % % 2 4 3 2 & g(.)

+ 2 4 5 8

g(x+ ∆)−g(x) - G/

. + x5 $4 % 2 ∆& 0 2 -I6/ &

tl−th≤λθl(v(qh)−v(ql))−C(qh+ql) +C(ql+ql)

" - 6/ 3 38

tl−th≥λθl(v(qh)−v(ql)) +C(ql+ql)−C(qh+ql)

9 8

C(ql+ql)−C(ql+ql)≥C(qh+ql)−C(qh+ql)

0 % 5 2 4 C(.) ql≥qh& + +8

C(ql+ql)−C(qh+ql)≥C(ql+ql)−C(qh+ql)

0 % ql≥ql& , -I/ 3 2 8

tl−th ≤λθh(v(qh)−v(ql)) +C(ql+ h)−C(qh+ h)

, - / 3 2 8

tl−th ≥λθh(v(qh)−v(ql)) +C(ql+ h)−C(qh+ h)

% 8

C(ql+ h)−C(qh+ h)≥C(ql+ h)−C(qh+ h)

0 % qh ≥qh& + +8

C(ql+ h)−C(ql+ h)≥C(qh+ h)−C(qh+ h)

0 % ql ≥ qh& $ 3 + 2

+ 3 5 - ?/5 + -I6/ + + -G6/

- 6/ ->6/& - 6/ ->6/5 3 2 8

l− h≥θlλ(v( h)−v( l)) +C(qh+ l)−C(qh+ h)

= - 6/ %% % % 3 2 8

l− h ≥θlλ(v( h)−v( l)) +C( l+ql)−C( l+qh)

# - G/5 - 6/ % ->6/5 ql≥qh& -I6/ -G6/ 8

l− h ≥θhλ(v( h)−v( l)) +C(ql+ l)−C(ql+ h)

" -I/ %% 6 % 5 3 2 8

l− h≤θhλ(v( h)−v( l)) +C( l+qh)−C( h+qh)

3 7 3 2 8

C( l+qh)−C( h+qh)≥C(ql+ l)−C(ql+ h)

9 5 -I6/ 3 + -G6/ 2 qh ≥ ql& , -I/ +

2 -G/ 3 8

l− h ≤θhλ(v( h)−v( l)) +C(ql+ l)−C(ql+ h)

= -I/ %% % 5 3 2 8

l− h≤θhλ(v( h)−v( l)) +C(ql+ h)−C(qh+ h)

0 2 5 -I/ % -G/ 3 2 & , - / + ->/

3 8

l− h≤θlλ(v( h)−v( l)) +C(qh+ l)−C(qh+ h)

" - 6/ 3 2 8

l− h ≥θlλ(v( h)−v( l)) +C(ql+ l)−C(qh+ l)

# - / 3 + 2 ->/ qh≥ql&

( ( - I/5 % ql 5 7 5

$ & ( 2 ql5 - / 3 $ . % b(.)5 3 + 2 2

qh 2 ql& # v(.) C(.) C35 ; & " ql≥

ql5C(.) 2 4 v(.) 2 5b(ql) +& " v′(0) =∞

3 4 % 2 qh 2 ,A 5 4 ql b(ql) = 05

limq →∞b(ql) = 0& 0 2 b(0) = max_h ∈ & , - / 3 $

d(qh) 2 % % b(ql) & " + C(.)

2 45 b(.) d(.) +5 2 ; 5

+ 2 ++& 0 3 limq_→ d−′(ql) =∞> b(0) 5

∃q_lmax∈ ;d−₁

(qmax_l ) = 0 5ql → ∞ ⇒b(ql)⇒0& # 5

4 ql d−1(q_l∗) = b(q_l∗)5 3 7 3 &

0 2 4 2 q∗

l, q

∗

h + 4 5

- / 3 3 4 2 qh % 2 qh5 2 ,A & " - /

% qh qh < qh +

qh& ; 3 - / ->/5

3 2 ql & # 3 4 + &

( ( 0 λ= 05 + 8

z[θlv(qh)−C(qh+ h) + h] + (1−z) [θlv(ql)−C(ql+ h) +C(qh+ h)−C(qh+ h) + h]

- >/

% % 3 7 5 3 2 3 %

+ 2 5 % % 3 2 +

5 % 7 qh ql h l

3 2 + % + + & +

3 3 + % % % 6 % % 5 % % 3 2

% + 5 3 ; 3 - >/ 8

z[θ_lv(q_h)−C(q_h+ l) + l] + (1−z) [θlv(ql)−C(ql+ l) +C(qh+ l)−C(qh+ l) + l]

= + 2 % .

5 3 % % % 2 % & 2

+ % % % 5 + 8

z[θhv(qh)−C(qh+ l) + l] + (1−z) [θhv(ql)−C(ql+ l) +C(qh+ l)−C(qh+ l) + l]

- :/

3 + 5 % % 3 7 5 3 3

% + ; 5 3 3 % % % 6 & # 5

% % 3 ; 3 - :/ 8

z[θhv(qh)−C(qh+ h) + h] + (1−z) [θhv(ql)−C(q +q ) +C(qh+ h)−C(qh+ h) + h]

= + & 9 5 λ= 0 - G/

- >/ 3 & λ > 05 3 % % % 3 5

+ ; 3 % 2 2 % 3 % % +

% 3 +8

Λ1 = z[θlv(qh)−C(qh+ l) + l] + (1−z) [θlv(ql)−C(ql+ l) +C(qh+ l)−C(qh+ l) + l]−- /

−z[θlv(qh)−C(qh+ h) + h] + (1−z) [θlv(ql)−C(ql+ h) +C(qh+ h)−C(qh+ h) + h]

; 2 % % % 6 8

Λ2=zλθl(v(qh)−v(qh)) + (1−z)λθl(v(ql)−v(ql)) +ξhh−ξhl+λθh(v( l)−v( h))

" 3 λ= 0 3 2 Λ1 >05 7 + λ,

8 ∂Λ

∂λ <0& 2 2 Λ2 + λ& 4

2 8

Λ1 = Λ2

5 + 2 2 3 2 $ % & # %%

+ % +5 8

z[θhv(qh)−th] + (1−z) [θhv(ql)−tl] =z[θhv(qh)−th] + (1−z) [θhv(ql)−tl]

3 8

θh{z[v(qh)−v(qh)] + (1−z) [v(ql)−v(ql)]}=z(th−th) + (1−z) (tl−tl)

= θ_h > θ_l5 3 2 8

θh{z[v(qh)−v(qh)] + (1−z) [v(ql)−v(ql)]}> θl{z[v(qh)−v(qh)] + (1−z) [v(ql)−v(ql)]}

% 8

z[θlv(qh)−θlv(qh)] + (1−z) [θlv(ql)−θlv(ql)]< z[thh−tlh] + (1−z) [thl−tll] - /

0 %

z[θlv(qh)−tlh] + (1−z) [θlv(ql)−tll]> z[θlv(qh)−thh] + (1−z) [θlv(ql)−thl]

# 5 3 % & = + + 3 3 %

+5 + &

( ( " ∂Ψ

∂q + h % + ,A

+ 2 % 5 h + 5 %

+ ql - v′ 3

Ψ + ql/5 & = 3 + h

5 + 3 % 2 ql 2 7 &

A h 1 % 2 ql 2 ,A &

" ,A 3 % + 5 % 2

3 2 $4 % % 7 4 &

( ( , -I / 3 2 8

aW(ph, h, p,θ)−aW(pl, h, p,θ)≥C1(pl)−C1(ph) - /

" -I / 3 2 8

C1(pl)−C1(ph)≥aW(ph, h, p,θ)−aW (pl, h, p,θ) - I/

+ % 8

aW(p_h, _h, p,θ₎₋aW(p_l, _h, p,θ_)≥aW(p_h, _h, p,θ₎₋aW(p_l, _h, p,θ₎ - /

A 2 8

(r+s) (p_h, _h, p,θ₎₋₍r+s) (p_l, _h, p,θ_)≥(r+s) (p_h, _h, p,θ₎₋₍r+s) (p_l, _h, p,θ₎

+ +5 3 2 8

aW(p_l, _h, p,θ₎₋aW(p_l, _h, p,θ_)≥aW(p_h, _h, p,θ₎₋aW(p_h, _h, p,θ₎

% p_l≤p_h + p_h≤p_h& , -I 6/ 3 2 8

C₁(p_h)−C₁(p_l)≥aW(p_l, _l, p,θ₎₋aW(p_h, _l, p,θ₎ - /

" -I 6/ 3 2 8

aW(p_l, _l, p,θ₎₋aW (p_h, _l, p,θ_)≥C₁(p_h)−C₁(p_l) - ?/

+ % 8

aW(p_l, _l, p,θ₎₋aW(p_h, _l, p,θ_)≥aW(p_l, _l, p,θ₎₋aW (p_h, _l, p,θ₎

" + +8

aW(p_l, _l, p,θ₎₋aW(p_l, _l, p,θ_)≥aW(p_h, _l, p,θ₎₋aW (p_h, _l, p,θ₎ - G/

0 % p_l ≤ p_h + p_l ≥ p_l& , -I / + 2 -I / 3

+ $ + + &5 5 3

8

C2( h)−C2( l)≥aW(pl, l, p,θ)−aW(pl, h, p,θ)

+ - I/ % 5 3 2 8

aW(ph, h, p,θ)−aW (ph, l, p,θ)≥aW (pl, l, p,θ)−aW(pl, h, p,θ) - >/

0 3 2 + ph≤pl& , -I / + 2 -I / 3 5

+8

C2( h)−C2( l)≥aW(ph, l, p,θ)−aW(ph, h, p,θ) - :/

= 3 - / 3 2 2 & , -I 6/ +

2 -I 6/ 3 2 8

aW(pl, l, p,θ)−aW(pl, h, p,θ)≥C2( h)−C2( l) -? /

= 3 2 2 - I/& , -I 6/ + 2

-I 6/ 3 2 8

aW(ph, l, p,θ)−aW(ph, h, p,θ)≥C2( h)−C2( l) -? /

+ 3 - / 3 % 8

aW(ph, l, p,θ)−aW(ph, h, p,θ)≥aW (pl, l, p,θ)−aW(pl, h, p,θ) -? /

% ph≤pl&

( ( " # + $ -I?/5 -I:/

2 + 2 pl& = -IG/ % pl& # + 2 7 ph 3

$ % % b(ph) -I>/ pl ph& ,

-I>/ 3 $ % % d(pl) ph 2 pl& 3 3

2 $ $4 % 3 % & ( 2 (r+s)′ +

pj 5 % % +5 3

% ; & # %% ph → ∞ 3 %%

+ 3 % 3 % ;

; %% 5 % 5 4 %%

b(ph) =pl& % %% 1 % % +

1 5 3 b(ph) 3 5 % 1

+ 2 - /& + 2 d(pl)& 3

1 ; 7 5 2 % 2

% 2 3 %% + % 7 1 5

7 - /&