Centro de Ciênias Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemátia
Mestrado Prossional em Matemátia em Rede Naional - PROFMAT
Frações Contínuas - um estudo
sobre boas aproximações.
†
por
Rafael Tavares Silva Bezerra
sob orientação do
Prof. Dr. Carlos Boker Neto
TrabalhodeConlusãodeCurso
apresen-tadoaoCorpoDoentedoMestrado
Pro-ssionalemMatemátia emRede
Naio-nal- PROFMAT -CCEN -UFPB, omo
requisito parial para obtenção do título
deMestre em Matemátia.
Fevereiro/2016
João Pessoa -PB
†
B574f Bezerra, Rafael Tavares Silva.
Frações contínuas: um estudo sobre boas aproximações /
Rafael Tavares Silva Bezerra.- João Pessoa, 2016.
71f.
Orientador: Carlos Bocker Neto
Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN
1. Matemática. 2. Frações contínuas. 3. Números
racionais. 4. Números irracionais. 5. Resolução de problemas.
Primeiramente, gostaria de agradeer a Deus, pois, sem ele não estaria vivendo
essemomento,porter meguiadopelosmelhoresaminhos, omtantasidasevindas
aJoão Pessoa e a Bayeux. Por meoneder onheimento,oragem, determinação
epaiênia.
Agradeço a minha esposa Daniele Apareida por medar inentivo, apoio,
om-preensão pelas noitesde estudoe viagenssemanais. Porompartilharjuntoamim,
osmomentos de alegrias eos de angustias.
Aos meus pais, José Carlos e Ely Duarte, e minha irmã Juliana Tavares, que
sempreme apoiaram nos estudos, dando apoiomoral e onheimentos valiosos que
pudeutilizar durante minhavida aadêmia.
Momento de agradeer a todos os meus grandes amigos, que foram de grande
valia para minha onstrução ognitiva e pessoal, que serão eternamente lembrados
nessa dissertação emminhasmemórias.
Em espeial gostaria de agradeer a Ítalo Gusmão, Sebastião Alves e Franiso
Nogueira,que sempre estiveram ao meu lado nos momentos aadêmios e não
aa-dêmiostambém. AFabianoCastro, CarlosJr,LinolnPereiraeFrankWerlly,por
seremtambémompanheirosde repouso.
Semesqueerlaro,dosgrandesprofessores mestresedoutoresquezeramparte
de minha formação: Gilmar Correia, Lizandro Challapa, Carlos Boker, Bruno
Ri-beiro, EduardoGonçalves, Napoleon Caro, SérgioSouza, LenimarNunes e
Alexan-dre Simas.
Gostariade agradeeraomeuorientadorProfessorDr. CarlosBokerNeto, pela
Dediado aos meus familiares, meu pai
José Carlos, minha mãe Ely, minha
irmã Juliana, mas prinipalmente
a minha esposa Daniele, que esteve
O estudo das frações ontínuas terá iniio om alguns fatos histórios, visando
uma melhorompreensão do tema. Traremos adenição de frações ontínuas para
umertonúmero
α
real,apresentandoadeniçãoparaα
raionaleparaα
irraional.A disussão será entrada em resultados importantes para o álulo de reduzidas
e boas aproximações de números irraionais, visando também a determinação do
erro entre a reduzida e o número irraional. Traremos um estudo sobre as frações
ontínuasperiódias,omenfaseaoteoremade Langrange,querelaionaumafração
ontínua periódia e uma equação do segundo grau. Finalizando om enfoque na
resolução de problemas,omo oálulo de frações ontínuas de númerosirraionais
daforma
√
a
2
+
b
,assim omoaprovadairraionalidadede
e
através doálulodesua fração ontínua.
Palavras-have: FraçõesContínuas; Números Raionais;Números Irraionais;
The study ofontinued frations will startwith some historialfats,aiming at
a better understanding of the subjet. We will bring the denition of ontinued
frations for a number
α
real, with the denition forα
rational andα
irrational.The disussion will fous on meaning results for the alulation of redued and
good approximations of irrational numbers, also aimed at determining the error
betweenthereduedandtheirrationalnumber. Wewillbringastudyoftheperiodi
ontinued frations, with emphasis on Lagrange theorem, whih relates a periodi
ontinued fration and a quadrati equation. Finishing with a fous on problem
solving, as the alulation of ontinued frations of irrational numbers of the form
√
a
2
+
b
, aswell asproof of the irrationality of
e
by alulating its ontinued.1 Denindo Frações Contínuas 2
1.1 Fatos Histórios sobre FraçõesContínuas . . . 2
1.2 Algoritmo daDivisão de Eulides . . . 6
1.3 Denição de FraçãoContínuade Números Reais . . . 6
1.4 Interpretação Geométriado Desenvolvimentoem FraçõesContínuas 7
1.4.1 Caso Raional . . . 7
1.4.2 Caso Irraional . . . 9
2 Boas Aproximações de Números Reais por Frações Contínuas 11
2.1 Teoremas e Proposições. . . 11
2.2 Reduzidas e Boas Aproximações . . . 21
2.3 Boas Aproximaçõessão Reduzidas. . . 25
3 Frações Contínuas Periódias 27
3.1 Irraionais Quadrátios . . . 27
3.2 Teorema de Lagrange . . . 30
3.3 A equação de Pell . . . 35
4 Resolvendo Problemas 40
Notações Gerais
• 6
=
diferente.•
e
= 2
,
718281828
· · ·
número de Euler (número irraional).•
π
= 3
,
14159
· · ·
númeropi(razãoentre oomprimentode uma irunferêniaeseu diâmetro).
•
φ
= 1
,
61803
· · ·
número phi (número de ouro, proporçãoáurea).•
XIX
= 19
número em algarismoromano.•
√
2
raiz quadrada de 2.• ∼
=
aproximadamente.•
a
+
b
2
a
+b
2
a
+b
2
a
+...representação da fração ontínuade
√
a
2
+
b
.
•
a
+
b
2
a
+
b
2
a
+
b
2
a
+
..
.
representação da fração ontínua de
√
a
2
+
b
.
•
a
+
K
∞
i
=1
b
2
a
representação de fração ontínuade
√
a
2
+
b
.
•
[
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
, a
m]
representação de uma fração ontínuasimples nita.•
[
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
]
representação de uma fração ontínuasimples nita.•
tg
(
x
)
tangente dex
.•
arctg
(
x
)
aro tangentedex
.• ⌊
α
⌋
parte inteiradeα
.•
N
onjuntodos números naturais.•
Z
onjuntodos números inteiros.•
R
\
Q
onjunto dos números reais sem os números raionais (númerosirraio-nais).
• ∈
pertene.•
mdc
(
p, q
)
mínimo múltiploomum entre osnúmerosp
eq
.• ∀
para todoEste trabalhovisa a ompreensãodos teoremas e a resolução de problemas sob
asfraçõesontínuas. Estetema ébastanteimportanteeutilizadoemdiversasáreas
damatemátia. Porexemplopodemosresolveraequação
x
2
−
2
x
−
1 = 0
om
x
6
= 0
,de uma maneiranão onvenional,enontrandouma fração ontínuaomo solução.
x
2
= 2
x
+ 1
⇒
x
= 2 +
1
x
⇒
x
= 2 +
1
2 +
1
x
⇒
x
= 2 +
1
2 +
1
2 +
..
.
Observe quenesseaso,temos queasoluçãodessa equaçãofoiexpressaporuma
fração ontínua simples, pois os numeradores são iguais a 1, e também temos uma
fração ontínua innita, veremos posteriormente que isso india que o valorde
x
éirraional. Notaremostambémquese
x
forraionalteríamosquesuafraçãoontínuaserianita, queserá provado omo auxiliodoalgoritmodadivisãode Eulides. Os
Gregos utilizavam essa ideia para omparar frações, pois eles sempre trabalhavam
om fraçõesunitárias,ujo o numerador é1. Como porexemplo:
289
135
= 2 +
19
135
= 2 +
1
135
19
= 2 +
1
7 +
2
19
= 2 +
1
7 +
19
1
2
= 2 +
1
7 +
1
9 +
1
2
Ouso das fraçõesontinuas revoluionou o álulodas asas deimaisde
núme-ros irraionais, através das suas onvergentes, ver proposição 2.1. Como exemplo
temos
√
2 = 1
,
41421
· · ·
,π
= 3
,
14159
· · ·
,e
= 2
,
71828
· · ·
e oφ
= 1
,
61803
· · ·
.Com o uso das frações ontínuas de
π
, através de suas onvergentes, foipossí-vel determinar aproximações muito boas, omo por exemplo:
22
7
= 3
,
14285
· · ·
e
333
106
= 3
,
14150
· · ·
. Noteque333
106
< π <
22
7
, essa propriedade será abordada natransformouesse assuntonoentrodas atenções. Essa mudançaoorreupara todos
osmatemátios, a partirdo séulo
XIX
, que, segundo [10℄ foi onsiderada aidadedourada das frações ontínuas.
Paraumamelhorompreensãodoonteúdo,organizamososeguintetrabalhoem
quatro apítulos.
No apítulo 1 será abordada o ontexto histório e as denições sobre frações
ontínuas, através do algoritmo de Eulides para divisão, para o aso de números
raionaise também para os números irraionais. Apresentaremos também uma
in-terpretaçãogeométria das frações ontínuas.
Já oapítulo 2será destinado aos teoremas eproposições, inluindoas
proprie-dadesdas onvergentes, fatorimportantenesseestudo,auniidadedarepresentação
em fração ontínuade númerosirraionais, o teoremade Hurwitze Markov.
No apítulo 3, será abordado o tema frações ontínuas periódias, que tem a
mesmaideia de dízima periódia, omo exemplo, onúmero
√
2 = [1
,
1
,
2]
, onde1
,
2
éaparteperiódiadafração ontínuade
√
2
. Estudaremosoteoremade Lagrange,querelaiona asraízes irraionaisde uma equação om uma fração ontínua
perió-dia, estudaremosa equação de Pell.
Para nalizaro trabalho, teremosum apítulodestinado a resolução de
proble-mas,sobreatransformaçãode númerosraionaiseirraionaisemfraçõesontínuas,
assim omo a generalização de algumas raízes, omo
√
a
2
+ 1
. Também teremos
a demonstração, não trivial, da fração ontínua do número
e
= 2
,
71828
· · ·
.As-sim omo, apliações prátias, das aproximações de números irraionais dadas por
Denindo Frações Contínuas
Este apítuloserá dediado a apresentação história e denição de frações
on-tínuas, formando uma base para o andamento oerente e progressivo da leitura,
visando uma melhorompreensão sobreo onteúdo viveniadoneste trabalho.
1.1 Fatos Histórios sobre Frações Contínuas
A origem exata da primeira utilização de frações ontínuas é impreisa, mas
é possível armar que a sua utilização não é reente. Já que, foram enontrados
relatos de sua utilização há pelo menos 2000 anos. Este ampo da Matemátia
é bastante agradável e trás uma nova ferramenta para representação de números
reais, possibilitandofailmenteidentiar seum determinadonúmero é raionalou
irraional, que será visto mais a diante neste apítulo. Conforme Nasimento [5℄
(2013,p. 39- 41),matemátiosomooindianoAryabhata(476-550) utilizaramesse
onheimento para resolver equações diofantinas, porém sem utilizar de métodos
gerais para resolve-las, apenas utilizando-se delas em situações espeías. Assim
omo, Rafael Bombelli (1526-1572), que não se dediou ao estudo aprofundado do
tema,porém,em seu ano de morte mostrou uma aproximação de
√
13
, dada por:√
13
∼
= 3 +
4
6 +
4
6
=
18
5
.
Observe que
√
13
∼
= 3
,
60555
e18
bastanterazoável.
Outro matemátio que obteve aproximaçõesde raízes por meio de frações
on-tínuas foi Cataldi(1548-1626) que, em1613, obteve uma fração ontínua para
√
18
e foi onsiderado o desobridor das frações ontínuas. Porém, infelizmente, assim
omoBombellinão prosseguiu om seus estudos.
√
18 = 4 +
2
8 +
2
8 +
2
8 +
2
8 +
..
.
Que é um aso espeial dafórmula
√
a
2
+
b
=
a
+
b
2
a
+
b
2
a
+
b
2
a
+
..
.
.
Que será demonstrada, no apítulo 4, sendo utilizada também na resolução de
exeríios.
Observeque estaformade esreveréapenasuma dasutilizadasemdiversos
tra-balhos,omooutrosexemplos,noasoinnitotemos:
√
a
2
+
b
=
a
+
b
2
a
+b
2
a
+b
2
a
+ ...,
também temos
√
a
2
+
b
=
a
+
K
∞
i
=1
b
2
a
. No aso de frações ontínuas simples
aindapodemos esrever
[
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
]
.Conforme[6℄(p. 5-7),onome"fraçãoontínua" foiintroduzidopelaprimeiravez
porJohn Wallis (1616-1703), emseu livro "Opera Mathematia"(1695), onde
tam-bémexpliouomoalularon-ésimoonvergenteedesobriualgumaspropriedades
desuas propriedades. Foiatravésde seu livroArithmetia Innitorium"(1655),que
as frações ontínuas se transformaram em um ampo de estudo, quando ele
apre-sentou aseguinteidentidade
4
π
=
3
×
3
×
5
×
5
×
7
×
7
×
9
× · · ·
Uma desoberta importante para o número
π
= 3
,
14159
· · ·
foi feita por LordBrounker (1620-1684),o presidente daRoyal Soiety of London, transformando a
identidade de Wallis em
4
π
= 1 +
1
2
2 +
2
2
2 +
3
2
2 +
4
2
2 +
5
2
2 +
..
.
= 1 +
1
2
2
+3
2
2
+4
2
2
+5
2
2
+ ....
Christiaan Huygens (1629-1695) foi o primeiro a utilizar as frações ontínuas
para resolver problemas prátios. Seu trabalho era voltado na onstrução de um
planetário meânio. A utilizaçãodas onvergentes de uma fração ontínua
permi-tiu enontrar as melhoresaproximações raionais para o número orreto de dentes
de uma oroa dentada.
Sóa partir dos estudos de Leonard Euler (1707-1783), Johan Heinrih Lambert
(1728-1777) e Joseph Louis Lagrange (1736-1813) om frações ontínuas que esse
ampo omeçou aganhar o devido destaque.
O trabalho "De Frationlous Continious"(1737) esrito por Euler mostrou que
todo número raional pode ser expresso omo fração ontínua simples e mostrou
umaexpansãoemfraçõesontínuas donúmero
e
, queserádemonstradanoapítulo4deste trabalho.
e
= 2 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
1 +
1
4 +
1
1 +
..
.
.
Mostrando assimque,
e
ee
2
onúmero
e
, foi generalizadoem 1766,porJ.H. Lambert, que mostrouquee
x
−
1
e
x
+ 1
=
1
2
x
+
1
6
x
+
1
10
x
+
1
14
x
+
.
.
.
.
Ele também desenvolveu, no ano de 1768, frações ontínuas para as funções
log
(1 +
x
)
,arctg
(
x
)
etg
(
x
)
. Como exemplo:tg
(
x
) =
1
1
x
−
1
3
x
−
1
5
x
−
1
7
x
−
.
.
.
.
Usando essas expressões para mostrarque
e
x
e
tg
(
x
)
são irraionaissex
forra-ional.
Parte do trabalho realizado por Lagrange será disutido nesta dissertação no
Capítulo 3, mostrando que os números quadrátios irraionaissão dados por uma
fração ontínuaperiódia.
Os matemátios do séulo XIX que se destaaram pelo trabalho prestado a
esse tema foram Karl Jaobi (1804-51), Oskar Perron (1880-1975), Charles
He-mite(1822-1901),Karl FriedrihGauss (1777-1855),Augustin Cauhy(1789-1857)
eThomas Stieltjes (1856-94),elevando oonheimento iniiadoporWallis.
Embora, o tema fraçõesontínuas tenha demorado bastante tempopara ser
ex-plorado,rapidamenteseobteve resultadosrelevantes, queimpulsionaramvárias
ou-tras áreas,omo porexemplo: algoritmospara omputação,resoluções de equações
1.2 Algoritmo da Divisão de Eulides
Dados
m, n
númerosnaturaisomn
6
= 0
. Existem dois úniosinteirosq
er
taisque
n
=
mq
+
r
, om0
≤
r < m
. Esse algoritmo riado por Eulides no ano de300 a.. será útil para adenição epara o alulode frações ontínuas de números
raionais. Veja o Exemplo 4.1.
1.3 Denição de Fração Contínua de Números Reais
Denição 1.1 Dado um número real
α
, denotaremos por⌊
α
⌋
a parte inteira deα
,queé denida omo o maior inteiro menor ou igual a
α
. Por exemplo, temos⌊
4
,
3
⌋
= 4;
⌊−
5
,
3
⌋
=
−
6;
⌊
3
⌋
= 3;
⌊
e
⌋
= 2
Seja
x
6
= 0
um número real, deniremos afração ontínuadex
, de forma reursiva,daseguinte maneira
α
0
=
x, a
m
=
⌊
α
m
⌋
e, se
α
m
∈
/
Z
,
α
m
+1
=
1
α
m
−
a
m
para todo
m
∈
N
Se, para algum
m
∈
N
,α
m
=
a
m
temosx
=
α
0
= [
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m]
def
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
.
.
+
1
a
m
Nesse aso dizemos que a fração ontínua é nita, mais adiante veremos que esse
aso está ligadoom o fatode que
x
ser um número raional. Se para todonúmerom
natural,α
m
6
=
a
m
, dizemos que a fração ontínua é innita, ou seja,x
é umnúmeroirraional.
x
=
α
0
= [
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
]
def
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
.
No apítulo2 veremos que esse limite está bemdenido eé igual a x.
1.4 Interpretação Geométria do Desenvolvimento
em Frações Contínuas
1.4.1 Caso Raional
Considere
x
umnúmeroraional,entãoexistemnúmerosp
eq
inteirosomq
6
= 0
,tais que
x
=
q
p
, onsidere sem pera de generalidade quemdc
(
p, q
) = 1
, pois asoontrário, se
mdc
(
p, q
) =
k
, então existem númerosa
eb
inteiros, taisquep
=
ak
eq
=
bk
, nesse aso utilizaríamosos númerosa, b
ommdc
(
a, b
) = 1
.Consideremosumretânguloomlados
p
eq
,ondep
eq
númerosinteirospositivosom
p < q
,queremosenontraronúmeromáximodequadradosdeladop
quepossamseronstruídos sobreo ladode omprimento
q
,essa quantidadeserá hamadadea
0
eserá a parte inteira dafração
x
=
α
0
=
q
p
, ouseja,a
0
=
⌊
x
⌋
.Figura1.1: Representação Geométria daFormaRaional
Temos que
Dividindoa equaçãoa ima por
p
temosx
=
q
p
=
a
0
p
p
+
α
1
p
⇒
q
p
=
a
0
+
α
1
p
.
(1.2)Da gura 1.1temos tambémque
p
=
a
1
α
1
+
α
2
,
0
≤
α
2
< α
1
.
(1.3)Substituindo(1.3) em (1.2) temos
x
=
a
0
+
α
1
a
1
α
1
+
α
2
.
(1.4)Em(1.4) observe que
α
1
a
1
α
1
+
α
2
=
a
1
1
α
1
+
α
2
α
1
=
1
a
1
+
α
2
α
1
.
fazendo adevida substituição, temos
x
=
a
0
+
1
a
1
+
α
2
α
1
.
(1.5)Observemos em (1.5) que
a
1
signia a quantidade máxima de quadrados omlado
α
1
quepodem ser onstruídos sobre o lado de omprimentop
.Da gura 1.1podemosobservar que
α
1
=
a
2
α
2
+
α
3
,
0
≤
α
3
< α
2
.
(1.6)Substituindo(1.6) em (1.5),temos
x
=
a
0
+
1
a
1
+
α
2
a
2
α
2
+
α
3
.
(1.7)Observe que
α
2
a
2
α
2
+
α
3
em(1.7) é equivalente a
1
a
2
α
2
+
α
3
α
2
=
1
a
2
+
α
3
α
2
.
Substituindoem (1.7) temosa seguinte relação
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
α
3
α
2
Como
p
eq
são números inteiros, temos pelo algoritmo de Eulides, que paraalgumnúmero
m
natural, teremosqueα
m
−
1
=
a
m
α
m
.Chegando aseguinteonlusão
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
.
.
+
α
m
a
m
α
m
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
.
.
+
1
a
m
.
(1.9)1.4.2 Caso Irraional
Suponhaagora que
x
seja um número irraional,então podemos denirsuafra-çãoontínuadaformasemelhanteaoasoanteriorde,onde
x
éumnúmeroraional.Vamos onsiderar desta vez um retângulo ujo os lados medem omprimentos
1 e
x
(veja a gura 1.2). Determinaremos quantos quadrados, de lado unitário, deformaa enontrarmos o maior número possível, a essa quantidade hamaremos de
a
0
(parteinteira dex
), simboliamentetemosa
0
=
⌊
x
⌋
.Figura 1.2: Representação Geométria daForma Irraional
Temos que
Notena gura1.2 que
1 =
a
1
α
1
+
α
2
,
0
≤
α
2
< α
1
.
(1.11)Noteque podemossubstituir (1.11) em(1.10) sem alterar a equação
x
=
α
0
=
a
0
+
α
1
a
1
α
1
+
α
2
.
(1.12)Observequeem(1.12)temos
α
1
a
1
α
1
+
α
2
queéequivalentea
1
a
1
α
1
+
α
2
α
1
=
1
a
1
+
α
2
α
1
.
Substituindoem (1.12)temos
x
=
α
0
=
a
0
+
1
a
1
+
α
2
α
1
.
(1.13)Novamente nagura 1.2obtemosque
α
1
=
a
2
α
2
+
α
3
,
0
≤
α
3
< α
2
.
(1.14)Substituindo(1.14) em(1.13) obtemos
x
=
α
0
=
a
0
+
1
a
1
+
α
2
a
2
α
2
+
α
3
.
(1.15)Calulando oinverso de
α
2
a
2
α
2
+
α
3
obtemos
1
a
2
α
2
+
α
3
α
2
=
1
a
2
+
α
3
α
2
.
Substituindotemos
x
=
α
0
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
α
3
α
2
.
(1.16)Nesteasotemosque
x
nãoéumnúmeroraional,logoteremosparatodonúmerom
natural queα
m
−
1
6
=
a
m
α
m
, dessa forma o proesso dado anteriormente pode serepetir innitamente. Assim, temos:
x
=
a
0
+
1
a
1
+
1
a
2
+
1
a
3
+
.
.
.
Boas Aproximações de Números
Reais por Frações Contínuas
Seja
x
um númeroirraional,podemosentão fazeraseguintepergunta: será queexiste algum número
y
irraional,talque,y
∼
=
x
? Se sim, omo enontrar taly
? Aresposta daprimeirapergunta ésim. Aresposta dasegunda seráapresentada neste
apítulo através de teoremas, proposições e orolários que possibilitam o álulo
dessas aproximaçõesraionais.
2.1 Teoremas e Proposições
Proposição 2.1 Dada uma sequênia (nita ou innita)
t
0
, t
1
, t
2
,
· · · ∈
R
tal quet
k
>
0
, para todok
≥
1
, denimos as sequênias(
x
m
)
e(
y
m
)
porx
0
=
t
0
,y
0
= 1
,x
1
=
t
0
t
1
+ 1
,y
1
=
t
1
,x
m
+2
=
t
m
+2
x
m
+1
+
x
m
,y
m
+2
=
t
m
+2
y
m
+1
+
y
m
para todom
≥
0
.Temos então
[
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
n] =
t
0
+
1
t
1
+
1
t
2
+
. ..
+
1
t
n
=
x
m
y
m
Além disso,
x
m
+1
y
m
−
x
n
y
m
+1
= (
−
1)
m
,∀
m
≥
0
.Demonstração: Vamos provar porindução sobre
m
, para oasom
= 0
, temos[
t
0
] =
t
0
1
=
x
0
y
0
(2.1)
Agora, mostraremosque valepara
m
= 1
,[
t
0
;
t
1
] =
t
0
+
1
t
1
=
t
0
t
1
+ 1
t
1
=
x
1
y
1
.
(2.2)Mostraremos quevalepara
m
= 2
,[
t
0
;
t
1
, t
2
] =
t
0
+
1
t
1
+
1
t
2
=
t
0
+
1
t
1
t
2
+ 1
t
2
=
t
0
+
t
2
t
1
t
2
+ 1
=
t
0
t
1
t
2
+
t
0
+
t
2
t
1
t
2
+ 1
=
t
2
(
t
0
t
1
+ 1) +
t
0
t
1
t
2
+ 1
=
t
2
x
1
+
t
0
t
1
t
2
+ 1
=
x
2
y
2
.
(2.3)Mostraremos agoraque vale para
m
= 3
,[
t
0
;
t
1
, t
2
, t
3
] =
t
0
+
1
t
1
+
1
t
2
+
1
t
3
=
t
0
+
1
t
1
+
1
t
2
t
3
+ 1
t
3
=
t
0
+
1
t
1
+
t
3
t
2
t
3
+ 1
=
t
0
+
1
t
1
t
2
t
3
+
t
1
+
t
3
t
2
t
3
+ 1
=
t
0
+
t
2
t
3
+ 1
t
1
t
2
t
3
+
t
1
+
t
3
=
t
0
t
1
t
2
t
3
+
t
0
t
1
+
t
0
t
3
+
t
2
t
3
+ 1
t
1
t
2
t
3
+
t
1
+
t
3
=
t
3
(
t
0
t
1
t
2
+
t
0
+
t
2
) +
t
0
t
1
+ 1
t
3
(
t
1
t
2
+ 1) +
t
1
=
t
3
(
t
2
(
t
0
t
1
+ 1) +
t
0
) +
t
0
t
1
+ 1
t
3
(
t
1
t
2
+ 1) +
t
1
=
t
3
(
t
2
x
1
+
t
0
) +
x
1
t
3
y
2
+
y
1
=
t
3
x
2
+
x
1
t
3
y
2
+
y
1
=
x
3
y
3
Suponha agoraque valha para um
m
+ 2
. Vamos mostrarque valeparam
+ 3
.Primeiro, observe que, para a fração ontínua
[
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
m
+2
]
temos quex
m
+2
=
t
m
+2
x
m
+1
+
x
m
ey
m
+2
=
t
m
+2
y
m
+1
+
y
m
, valepara um determinadom
+ 2
.Segundo, temos que
[
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
m
+2
, t
m
+3
] = [
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
m
+2
+
1
t
m
+3
]
, poispodemos onsiderar o último termo da igualdade, do lado esquerdo, sendo a soma
doseu penúltimo elementoaoinverso do últimodo ladodireito, dessa formaolado
direitoda igualdade possui omesmo número de elementosde
[
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
m
+2
]
.Assim, temos que
[
t
0
;
t
1
, t
2
,
· · ·
, t
m
+2
+
1
t
m
+3
]
será dada por(
t
m
+2
+
1
t
m
+3
)
x
m
+1
+
x
m
(
t
m
+2
+
1
t
m
+3
)
y
m
+1
+
y
m
=
t
m
+2
x
m
+1
+
1
t
m
+3
x
m
+1
+
x
m
t
m
+2
y
m
+1
+
1
t
m
+3
y
m
+1
+
y
m
=
t
m
+2
t
m
+3
x
m
+1
+
x
m
+1
+
t
m
+3
x
m
t
m
+3
t
m
+2
t
m
+3
y
m
+1
+
y
m
+1
+
t
m
+3
y
m
t
m
+3
=
t
m
+2
t
m
+3
x
m
+1
+
x
m
+1
+
t
m
+3
x
m
t
m
+2
t
m
+3
y
m
+1
+
y
m
+1
+
t
m
+3
y
m
=
t
m
+3
(
t
m
+2
x
m
+1
+
x
m) +
x
m
+1
t
m
+3
(
t
m
+2
y
m
+1
+
y
m) +
y
m
+1
=
t
m
+3
x
m
+2
+
x
m
+1
t
m
+3
y
m
+2
+
y
m
+1
=
x
m
+3
y
m
+3
.
(2.5)Mostraremos agora asegunda parte,porindução.
Queremos mostrarque
x
m
+1
y
m
−
x
m
y
m
+1
= (
−
1)
m
, para todo
m
≥
0
.Vamos mostrarque valepara o aso
m
= 0
, temosquex
1
y
0
−
x
0
y
1
= (
t
0
t
1
+ 1)
−
t
0
t
1
= 1 = (
−
1)
0
.
Suponhamos que valha para algum valorde
m
,entãoMostremosagora quevalepara o aso
m
+ 1
,x
m
+2
y
m
+1
−
x
m
+1
y
m
+2
= (
t
m
+2
x
m
+1
+
x
m)
y
m
+1
−
(
t
m
+2
y
m
+1
+
y
m)
x
m
+1
=
t
m
+2
x
m
+1
y
m
+1
+
x
m
y
m
+1
−
t
m
+2
x
m
+1
y
m
+1
−
y
m
x
m
+1
=
−
(
x
m
+1
y
m
−
x
m
y
m
+1
) =
−
(
−
1)
m
= (
−
1)
m
+1
.
A partir de agora,
x
= [
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
]
será onsiderado um número real, ep
m
q
m
m
∈
N
dada por
p
m
q
m
= [
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m]
será a sequênia de reduzidas dafração ontínuade
x
.Corolário 2.1 As sequênias
(
p
m)
e(
q
m)
satisfazem as reorrêniasp
m
+2
=
a
m
+2
p
m
+1
+
p
m
eq
m
+2
=
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m
para todom
≥
0
omp
0
=
a
0
,q
0
= 1
,p
1
=
a
0
a
1
+ 1
,q
1
=
a
1
.Além disso,
p
m
+1
q
m
−
p
m
q
m
+1
= (
−
1)
m
para todo
m
≥
0
.Demonstração: As sequênias
(
p
m)
e(
q
m)
denidas pelas reorrênias aimasatisfazem,pela proposição 2.1, as igualdades
p
m
q
m
= [
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
, a
m]
ep
m
+1
q
m
−
p
m
q
m
+1
= (
−
1)
m
,
∀
m
≥
0
.Como
p
m
+1
q
m
−
p
m
q
m
+1
= (
−
1)
m
, para todo
m
∈
N
, temos que(
p
m)
e(
q
m
)
dados pela reorrênia a ima são primo entre si. Além disso, também segue da
reorrêniaque
q
m
>
0
, para todom
≥
0
.Corolário 2.2 Temos, para todo m
∈
N
,x
=
α
m
p
m
−
1
+
p
m
−
2
α
m
q
m
−
1
+
q
m
−
2
e
α
m
=
p
m
−
2
−
q
m
−
2
x
q
m
−
1
x
−
p
m
−
1
Demonstração: Primeiroobserveque
x
podeseresritoomo[
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
, a
m
−
1
, α
m]
,pelaproposição 2.1podemos esrever
x
=
α
m
p
m
−
1
+
p
m
−
2
α
m
q
m
−
1
+
q
m
−
2
.
Para demonstrar a segunda equação, temos que
(
α
m
q
m
−
1
+
q
m
−
2
)
x
=
α
m
p
m
−
1
+
p
m
−
2
α
m
q
m
−
1
x
+
q
m
−
2
x
=
α
m
p
m
−
1
+
p
m
−
2
α
m
q
m
−
1
x
−
α
m
p
m
−
1
=
−
q
m
−
2
x
+
p
m
−
2
α
m(
q
m
−
1
x
−
p
m
−
1
) =
p
m
−
2
−
q
m
−
2
x
α
m
=
p
m
−
2
−
q
m
−
2
x
q
m
−
1
x
−
p
m
−
1
.
Proposição 2.2 Temos
x
−
p
m
q
m
=
(
−
1)
m
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
m
2
,
onde
β
m
+1
=
q
m
−
1
q
m
= [0;
a
m
, a
m
−
1
, a
m
−
2
,
· · ·
, a
1
]
.
Em partiular,
1
(
a
m
+1
+ 2)
q
m
2
<
x
−
p
m
q
m
=
1
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
n
2
<
1
a
m
+1
q
m
2
.
Demonstração: Primeiroobserve que
α
m
+1
se dápeloorolário2.2 e segue pelaproposição 2.1 que
β
m
+1
=
q
m
−
1
q
m
=
q
m
−
1
a
m
q
m
−
1
+
q
m
−
2
=
1
a
m
+
q
m
−
2
q
m
−
1
, de forma
Notepeloorolário2.2que
x
=
α
m
+1
p
m
+
p
m
−
1
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
x
−
p
m
q
m
=
α
m
+1
p
m
+
p
m
−
1
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
−
p
m
q
m
=
(
α
m
+1
p
m
+
p
m
−
1
)
q
m
−
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
p
m
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
=
α
m
+1
p
m
q
m
+
p
m
−
1
q
m
−
α
m
+1
q
m
p
m
−
p
m
q
m
−
1
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
=
p
m
−
1
q
m
−
q
m
−
1
p
m
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
=
−
(
p
m
q
m
−
1
−
p
m
−
1
q
m)
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
.
Pelo orolário2.1temos
x
−
p
m
q
m
=
−
(
−
1)
m
−
1
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
=
(
−
1)
m
(
α
m
+1
q
m
+
q
m
−
1
)
q
m
=
(
−
1)
m
(
α
m
+1
+
q
m
−
1
q
m
)
q
2
m
=
(
−
1)
m
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
m
2
.
Empartiular, observe que
x
−
p
m
q
m
=
1
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
m
2
,
e omo
⌊
α
m
+1
⌋
=
a
m
+1
e0
< β
m
+1
<
1
, pois,β
m
+1
= [0;
a
m
, a
m
−
1
, a
m
−
2
,
· · ·
, a
1
]
,além disso note que,
a
m
+1
< α
m
+1
< a
m
+1
+ 1
, assim temos quea
m
+1
< α
m
+1
+
β
m
+1
< a
m
+1
+ 2
,omoq
m
>
0
,podemosmultipliarporq
2
m
semalterar adesigual-dade, obtendo
a
m
+1
q
2
m
<
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
m
2
<
(
a
m
+1
+ 2)
q
m
2
. Temos desta últimadesigualdadeque
1
(
a
m
+1
+ 2)
q
2
m
<
1
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
m
2
<
1
a
m
+1
q
2
m
Observação 2.1 Segue imediatamente desta proposição que
lim
m
→∞
p
m
q
m
=
x,
pois
limm
→∞
q
m
= +
∞
, tendo que(
q
m)
é estritamente resente, assim faz sentidoesrever
x
= [
a
0
;
a
1
, a
2
,
· · ·
]
, ou seja,x
é irraional.Corolário 2.3 (Teorema de Dirihlet) Para todo
α
irraional, a desigualdadeα
−
p
q
<
1
q
2
possui innitas soluçõesp
q
.Demonstração: Segue imediatamentedaproposiçãoanterior, pois
α
m
+1
≥
1
.
Proposição 2.3 Para todo
k
≥
0
, temosp
2
k
q
2
k
≤
p
2
k
+2
q
2
k
+2
≤
x
≤
p
2
k
+3
q
2
k
+3
≤
p
2
k
+1
q
2
k
+1
Demonstração: Observe quea proposiçãoaima indiaque
x
é maiorque todasasreduzidaspares (onvergentes pares)e
x
émenorquetodas asreduzidas ímpares(onvergentes ímpares). Primeiro vamos mostrar que as reduzidas pares formam
uma sequênia resente
p
0
q
0
≤
p
2
q
2
≤
p
4
q
4
≤
p
6
q
6
≤ · · ·
, enquanto as reduzidas
ím-pares formam uma sequênia deresente
p
1
q
1
≥
p
3
q
3
≥
p
5
q
5
≥
p
7
q
7
≥ · · ·
. Considere
p
m
+2
q
m
+2
−
p
m
q
m
=
a
m
+2
p
m
+1
+
p
m
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m
−
p
m
q
m
=
(
a
m
+2
p
m
+1
+
p
m)
q
m
−
(
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m)
p
m
(
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m)
q
m
=
a
m
+2
p
m
+1
q
m
+
p
m
q
m
−
a
m
+2
q
m
+1
p
m
−
q
m
p
m
(
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m)
q
m
=
a
m
+2
p
m
+1
q
m
−
a
m
+2
q
m
+1
p
m
(
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m)
q
m
=
a
m
+2
(
p
m
+1
q
m
−
q
m
+1
p
m)
(
a
m
+2
q
m
+1
+
q
m)
q
m
.
Pelo orolário2.1temos
p
m
+2
q
m
+2
−
p
m
q
m
=
a
m
+2
(
−
1)
m
q
m
+2
q
m
.
(2.6)A igualdade (2.6) nos diz que
p
m
+2
q
m
+2
−
p
m
q
m
≥
0
sem
forpar ep
m
+2
q
m
+2
−
p
m
q
m
≤
0
sem
for ímpar.Logo,
p
m
+2
q
m
+2
≥
p
m
q
m
se
m
= 2
k
paratodok
≥
0
ep
m
+2
q
m
+2
≤
p
m
q
m
se
m
= 2
k
+1
∀
k
≥
0
.Pela proposição 2.2temos que
x
−
p
m
q
m
=
(
−
1)
m
(
α
m
+1
+
β
m
+1
)
q
n
2
.
Destaigualdadetemos que
x
−
p
m
q
m
≥
0
sem
= 2
k
paratodok
≥
0
ex
−
p
m
q
m
≤
0
se
m
= 2
k
+ 1
para todok
≥
0
.Logo
x
≥
p
m
q
m
se
m
= 2
k
para todok
≥
0
ex
≤
p
m
+2
q
m
+2
se
m
= 2
k
+ 1
para todok
≥
0
.Podemosonluir que
p
2
k
q
2
k
≤
p
2
k
+2
q
2
k
+2
≤
x
≤
p
2
k
+3
q
2
k
+3
≤
p
2
k
+1
q
2
k
+1
Proposição 2.4 Sejam
a
0
, a
1
,
· · ·
, a
m
inteiros oma
k
>
0
, para todok
≥
1
, e sejap
k
q
k
k
≥
0
a sequênia de reduzidas da fração ontínua
[
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m]
. Entãoo onjunto dos números reais uja representação por frações ontínuas omeça om
a
0
, a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m
é o intervaloI
(
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m) =
p
m
q
m
[
{
[
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m
, α
]
, α >
1
}
=
p
m
q
m
,
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
se m é par
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
,
p
m
q
m
se m é ímpar
.
Além disso, a função
G
: (1
,
+
∞
)
→
I
(
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m)
dada porG
(
α
) =
[
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m
, α
]
é monótona, sendo resente paran
ímpar e deresentepara
n
par.Demonstração: Peloorolário2.2 eproposição 2.2temos,
G
(
α
) = [
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m
, α
] =
αp
m
+
p
m
−
1
αq
m
+
q
m
−
1
=
p
m
q
m
+
(
−
1)
m
(
αq
m
+
q
m
−
1
)
q
m
,
logo
G
é resente sem
for ímpar e deresente sem
forpar.Observe que
G
(1) =
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
eque
lim
α
→
+
∞G
(
α
) =
p
m
q
m
, então
G
((1
,
+
∞
)) =
p
m
q
m
,
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
se mé par
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
,
p
m
q
m
se mé ímpar
.
Assim, temos,
I
(
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m) =
p
m
q
m
[
{
[
a
0
;
a
1
, a
2
, a
3
,
· · ·
, a
m
, α
]
, α >
1
}
=
p
m
q
m
[
G
((1
,
+
∞
))
=
p
m
q
m
,
p
m
+
p
m
−
1
q
m
+
q
m
−
1
se mé par
