Método de pontos interiores barreira logarítmica preditor-corretor especializado para o problema de regressão pela norma Lp.

Método de Pontos Interiores Barreira Logarítmia

Preditor-Corretor Espeializado para o Problema

de Regressão pela Norma Lp

1

D.R. CANTANE 2

, Departamento deBioestatístia, Instituto de Bioiênias, IBB,

UNESP - Univ. Estadual Paulista, Distrito de Rubião Júnior, s/n, 18618-970

Botuatu,SP,Brasil.

E.G. CONTHARTEZE 3

, A.R.L. OLIVEIRA 4

, Instituto de Matemátia,

Es-tatístiaeComputaçãoCientía,IMECC,UNICAMP-UniversidadeEstadualde

Campinas, Rua Sérgio Buarque de Holanda, 651,13083-859Cidade Universitária

"ZeferinoVaz",Distr. BarãoGeraldo,Campinas,SP, Brasil.

Resumo. Osmétodosdepontosinterioresbarreiralogarítmiaepreditor-orretor

sãoapliadosaoproblemaderegressãopelanorma

L

p

omalgumaspartiularidades

omoobjetivodeobterumaimplementaçãoeiente. Oproblemaderegressãotem

inúmeras apliações emdiversas áreas. A norma-

2

émuitopopular, entreoutros

motivos,porpermitirumasoluçãodireta. Porsuavez,anorma-

1

permitereduzir

oefeito depontosdisrepantesenquantoqueanorma-

∞

garanteproteção ontra opioraso. Anorma

−

p

permitepensarestasaraterístiasdediferentesformas, adaptandoométodoaoproblemaaserresolvido. Aimplementaçãodométodode

pontosinterioresdesenvolvidaéomparadaommétodosexistentes.

Palavras-have. Métodosdepontosinteriores,problemaderegressão,norma

L

p

.

1. Introdução

OmétodoIRLSiterativelyreweightedleast-squares[5℄foipormuitotempoaúnia

alternativaprátiaparaaresoluçãodoproblemaderegressãopelanorma

L

p

. Mais reentementeestemétodofoiaperfeiçoado,noquedizrespeitoarobustez,pormeio

da inlusão de uma busa linear [4℄. No mesmo trabalho, foi também proposto

um novo método que apresenta araterístias similares aos métodos de pontos

interiores. Este métodoapresentouresultadosomputaionaissuperioresaoIRLS.

Ambosmétodosapresentadosem[4℄têmumaimportantedesvantagem: abusa

linear é omputaionalmente ara. Os métodos de pontos interiores apliados a

1

AgradeimentosàFAPESP,CNPqeCAPES;Trabalho apresentado noCongressode

Mate-mátiaApliadaeComputaional-CMAC2011.

2

dantaneibb.unesp.br.

3

onthartezeyahoo.om.br.

4

esteproblemaobtémresultadosomputaionaissuperiores,repetindoodesempenho

obtidonaminimizaçãopelas normas

L

1

e

L

∞

em[8℄e[7℄,respetivamente. Em[1℄ e[6℄sãodesritososmétodosde pontosinterioresbarreiralogarítmia,

barreira logarítmia preditor orretor, primal dual barreira logarítmia e primal

dual barreira logarítmia preditor orretor para resolver problemas de regressão

pelanorma

L

p

,om

1

< p <

2

. EssesmétodosforamimplementadosemMATLAB e os resultados omputaionais omprovam que são mais eientes que o GNCS

em [1℄ e [6℄, um método de Newton globalizado que usa as ondições de folgas

omplementares.

Oobjetivodesse trabalhoéaperfeiçoareimplementar métodosdepontos

inte-riorespararesolverdemaneiraeienteproblemasdeotimizaçãonão-linear

min

x

∈ℜn

k

Ax

−

b

k

p

p

,

(1.1)

onde

A

∈ ℜ

m

×

n

é uma matriz deposto ompleto,

b

∈ ℜ

m

,

m > n

e

1

< p <

∞

. O sistema linear

Ax

=

b

pode ser inonsistente e a matriz A é uma matriz de Vandermondenoasopartiulardoproblemaderegressãopolinomial.

Apresentamosnestetrabalhoosmétodosbarreiralogarítmiaebarreira

logarít-miapreditororretor,desenvolvidos[1℄e[6℄,ommodiaçõesnospontosiniiais,

noálulodosresíduosedireções,omaintençãodereduzironúmerodeoperações

efazeromqueestesmétodossejamomputaionalmentemaiseientes. Osnovos

métodosimplementadossãoomparadosomosmétodosdesritosem[1℄e[6℄.

2. O problema de regressão pela norma

L

p

O problema de regressão (1.1), quando

p

= 1

e

p

=

∞

, pode ser formulado por programaçãolineareos métodosde pontos interioresapliados aesses problemas

permitemaexploraçãodaestruturamatriialdoproblemadeformamuitoeiente.

A norma-2 permite soluçãodireta. A norma

L

p

, om

1

< p <

∞

é estritamente onvexa. O problema (1.1) possui formulação onvexa e portanto é garantida a

existêniademínimoglobal. Oproblemaderegressãopodeserreesritoomo

min

k

r

k

p

_p

s.a

Ax

+

r

=

b.

(2.1)

Denindo

r

=

u

−

v

,om

u

≥

0

e

v

≥

0

min

φ

(

u, v

) =

m

X

i

=1

(

u

i

+

v

i

)

p

s.a

Ax

+

u

−

v

−

b

= 0

(

u, v

)

≥

0

.

(2.2)

Observequeminimizar

k

r

k

p

p

=

m

X

i

=1

|

u

i

−

v

i

|

p

éequivalenteaminimizar

φ

(

u, v

) =

m

X

i

=1

que, dado

r

i

semprepodemos esrevê-lo omo

u

i

−

v

i

de formaque

u

i

v

i

= 0

, por exemplo,se

r

i

<

0

,bastafazer

u

i

= 0

e

v

i

=

−

r

i

,poroutrolado,se

r

i

≥

0

,podemos

fazer

u

i

=

r

i

e

v

i

= 0

,assimteremos

k

r

k

p

p

=

m

X

i

=1

|

u

i

−

v

i

|

p

=

m

X

i

=1

(

u

i

+

v

i

)

p

.

3. Modiação nos métodos dos pontos interiores

apliados ao problema de regressão pela norma

L

p

Osmétodosdepontosinterioresdesenvolvidosem[1℄: barreiralogarítimiae

bar-reiralogarítimiapreditororretorforammodiados. Asmodiaçõesforamfeitas

nopontoiniial,inserindooparâmetro

σ

nosvetores

u

e

v

enoálulodosresíduos

R

1

e

R

2

, quenão eramonsideradosanteriormente. Essas modiçõesforam

reali-zadasnointuitode reduzironúmerodeoperaçõesneessáriasporiteração. Além

disso, os métodos também foram implementados nalinguagem C, e não somente

emMatlab,omoem[1℄,omoobjetivodeobtermaioreiêniaomputaional.

3.1. Método barreira logarítmia

Ométododesritoaseguirfoidesenvolvidoem[1℄. Nesseaso,asalteraçõesforam

realizadas no ponto iniial. Considerando o problema (2.2), a função objetivoé

denotada em termosde

u

e

v

por

φ

(

u, v

) =

n

X

i

=1

(

u

i

+

v

i

)

p

, o gradiente

∇

φ

(

u, v

)

é

denotadopor

g

=

g

u

g

v

,

onde

g

u

i

=

g

v

i

=

p

(

u

i

+

v

i

)

p

−

1

e

∇

2

_φ

₌

∇

g

u

∇

g

v

,

onde

G

=

∇

g

u

ij

=

∇

g

v

ij

=







p

(

p

−

1)

(

u

i

+

v

i

)

2

−

p

,

se

i

=

j

,

0

,

se

i

6

=

j

éumamatrizdiagonal.

UtilizandooMétodoBarreiraLogarítmia[3℄,temos

min

n

X

i

=1

(

u

i

+

v

i

)

p

−

µ

n

X

i

=1

ln (

u

i

)

−

µ

n

X

i

=1

ln (

v

i

)

sa

Ax

+

u

−

v

−

b

= 0

,

onde

µ >

0

éoparâmetrobarreira

(

µ

→

0)

. ALagrangeanaédadapor

L

=

n

X

i

=1

(

u

i

+

v

i

)

p

−

µ

n

X

i

=1

ln (

u

i

)

−

µ

n

X

i

=1

ln (

v

i

) +

y

t

(

Ax

+

u

−

v

−

b

)

,

onde

y

éomultipliadordeLagrange.

Apliandoas ondiçõesdeotimalidade[9℄,obtemos

∇

L

|{z}

J

(

x,y,u,v

)

=









A

t

_y

Ax

+

u

−

v

−

b

g

−

µU

−

1

_e

₊

_y

g

−

µV

−

1

_e

₋

_y

onde

U

e

V

sãomatrizesdiagonaisujoselementosnãonulossão

u

e

v

, respetiva-mentee

e

= (1

,

1

, . . . ,

1)

t

. Osistema(3.1)podeserreesritoomo

∇

L

|{z}

J

(

x,y,u,v

)

=









A

t

_y

Ax

+

u

−

v

−

b

U

(

g

+

y

)

V

(

g

−

y

)









=









0

0

µe

µe









.

(3.2)

UsandoométododeNewton[9℄,hegamosa









0

A

t

₀

₀

A

0

I

−

I

0

U

diag

(

g

+

y

) +

U G

U G

0

−

V

V G

diag

(

g

−

y

) +

V G

















dx

dy

du

dv









=









r

1

r

2

r

3

r

4









,

(3.3) onde

r

1

=

−

A

t

y,

r

2

=

−

Ax

−

u

+

v

+

b,

r

3

=

−

U

(

g

+

y

) +

µe,

r

4

=

−

V

(

g

−

y

) +

µe.

Resolvendo osistema,obtemos asdireções

dx, dy, du

e

dv

. Pormeio de elimi-naçãodevariáveis,osistemasereduza

r

=

r

1

+

A

t

(

D

2

)

−

1

{

D

1

r

2

+ (

D

u

+

U G

)

r

4

−

(

D

v

+

V G

)

r

3

}

,

dx

=

A

t

(

D

2

)

−

1

D

1

A

−

1

r,

dy

=

(

D

2

)

−

1

{

D

1

(

Adx

−

r

2

)

−

(

D

u

+

U G

)

r

4

+ (

D

v

+

V G

)

r

3

}

,

dv

=

(

D

1

)

−

1

[

D

u

(

r

4

+

V dy

)

−

V Gr

3

+

V U Gdy

]

,

du

=

(

D

u

)

−

1

₍

_r

3

−

U dy

−

U Gdv

)

,

onde

D

u

=

[

diag

(

g

+

y

) +

U G

]

,

D

v

=

[

diag

(

g

−

y

) +

V G

]

,

D

1

=

[

D

u

diag

(

g

−

y

) +

diag

(

g

+

y

)

V G

]

,

D

2

=

[

V

(

D

u

+

U G

) +

U

(

D

v

+

V G

)]

.

Caluladasasdireções,otamanhodopasso

α

édenido deformaamanter as variáveis

u

e

v

estritamente positivas

α

= min

τ

min

du

i

<

0

−

u

i

du

i

, τ

min

dv

i

<

0

−

v

i

dv

i

,

1

,

onde

τ

= 0

,

99995

.

Conheendoasdireçõeseotamanho dopasso,aatualizaçãodasvariáveisedo

parâmetrobarreirasãodadospor:

x

k

+1

₌

_x

k

₊

_α

k

_dx

k

_{, y}

k

+1

₌

_y

k

₊

_α

k

_dy

k

_,

u

k

+1

=

u

k

+

α

k

du

k

, v

k

+1

=

v

k

+

α

k

dv

k

, µ

k

+1

=

µ

k

Osritériosde onvergênia sãobaseadosnasondiçõesdeotimalidade(3.1)e

nadiferençadosvaloresde

N

atualedaiteraçãoanterior

N

k

=

∇

L

k

(1 +

k

x

k

_k

₊

_k

_u

k

_k

₊

_k

_v

k

_k

₊

_k

_y

k

_k

₎₍₂

_m

₎

≤

ǫ,

N

k

+1

−

N

k

≤

ǫ

1

.

Oponto iniialéaluladobaseadonasidéiasdesenvolvidasem [2℄, om

modi-açõesnosvetores

u

e

v

x

0

= (

A

t

A

)

−

1

A

t

b,

r

0

=

b

−

Ax

0

,

y

0

=

κr

0

k

r

0

_k∞

,

r

0

i

+

σ,

se

r

0

i

≥

0

,

σ,

asoontrário,

σ,

se

r

0

i

≥

0

,

σ

−

r

0

i

,

asoontrário,

onde

0

< σ

≤

1

.

Em[2℄

u

e

v

não estãodenidos,no entanto, estaesolhafoipropostaem Oli-veira,NasimentoeLyra[8℄parasatisfazerarelação

u

0

₊

_v

0

₌

_|

_σr

0

_|

. Estabeleemos

κ

= 0

,

975

.

3.2. Método Preditor-Corretor

Este método, desenvolvido também em [6℄, é apresentado om modiações no

álulodosresíduos

R

1

e

R

2

,alémdopontoiniial. Considereosistemadeequações (3.3). Nométodopreditor-orretor,iniialmente onsidera-seadireçãoam, onde

oparâmetrobarreira

µ

= 0

. Assim,preisa-seresolverosistema









0

A

t

₀

₀

A

0

I

−

I

0

U

diag

(

g

+

y

) +

U G

U G

0

−

V

V G

diag

(

g

−

y

) +

V G

















¯

dx

¯

dy

¯

du

¯

dv









=









¯

r

1

¯

r

2

¯

r

3

¯

r

4









,

(3.4) onde

¯

r

1

=

−

A

t

y,

¯

r

2

=

−

Ax

−

u

+

v

+

b,

¯

r

3

=

−

U

(

g

+

y

)

,

¯

r

4

=

−

V

(

g

−

y

)

.

Resolvendoosistema (3.4),obtém-seasdireçõesdopassopreditor

¯

dx

= (

A

t

_DA

₎

−

1

_¯

_r,

¯

dy

=

D

[ ¯

r

2

−

A

dx

¯

−

D

u

−

1

r

¯

3

+ (

D

v

−

V U G

2

D

−

u

1

)

−

1

₍

_I

₊

_D

−

1

u

U G

)( ¯

r

4

−

D

−

u

1

V G

r

¯

3

)]

,

¯

dv

= (

D

v

−

V U G

2

D

−

u

1

)

−

1

_{[ ¯}

_r

4

+

V

dy

¯

+

D

−

u

1

(

−

V G

r

¯

3

+

V U G

dy

¯

)]

,

¯

du

=

D

−

1

u

( ¯

r

3

−

U

dy

¯

−

U G

dv

¯

)

,

onde

D

u

=

[

diag

(

g

+

y

) +

U G

]

,

D

v

=

[

diag

(

g

−

y

) +

V G

]

,

D

=

[

−

D

−

1

u

U

−

(

D

v

−

V U G

2

D

u

−

1

)

−

1

_V

₍

_I

₊

_D

−

1

u

U G

)

2

]

−

1

_,

¯

r

=

−

r

¯

1

−

A

t

D

[ ¯

r

2

−

D

u

−

1

r

¯

3

+ (

D

v

−

V U G

2

D

−

u

1

)

−

1

₍

_I

₊

_D

−

1

Paraalularosnovosresíduos,deve-sesubstituir

x

por

x

+

dx

,

y

por

y

+

dy

,

u

por

u

+

du

e

v

por

v

+

dv

nosistemadeequações(3.2)eompará-loaosistemade equações(3.3). As diferençasenontradas,

R

1

e

R

2

dadosabaixo, sãoosresíduos. Oprimeirosistemadeequaçõesdosistema(3.2)édadopor

A

t

(

y

+

dy

) = 0

⇒

A

t

dy

=

−

A

t

y.

Comparando om o sistema (3.3), vemos que não existe resíduo. O segundo

sistemadeequaçõesdosistema (3.2)édadopor

A

(

x

+

dx

) +

u

+

du

−

v

−

dv

−

b

= 0

⇒

Adx

+

du

−

dv

=

b

−

Ax

−

u

+

v.

Comparandoomosistema (3.3),vemosquenessesistema também nãoexiste

resíduo. Otereirosistemadeequaçõesdosistema (3.2)édadopor

(

U

+

dU

)(˜

g

+

y

+

dy

) =

µe,

onde

˜

g

i

=

p

(

u

i

+

du

i

+

v

i

+

dv

i

)

p

−

1

, assim

g

˜

= ˜

g

i

,

i

= 1

,

2

, ..., m

. Entretanto,

p

(

u

i

+

du

i

+

v

i

+

dv

i

)

p

−

1

poderesultaremumnúmeroimaginário,paraorrigiresse

problemadevemosfazer

˜

g

i

=

p

(

u

i

+

βdu

i

+

v

i

+

βdv

i

)

p

−

1

,onde

β

édaforma

β

= min

(

τ

min

(

d

_ui

+

d

_vi

)

<

0

−

(

u

i

+

v

i

)

(

d

u

i

+

d

v

i

)

!

,

1

)

,onde

τ

=0,99995. (3.5)

Combasenostestesomputaionais,

g

˜

i

nãoafetaaonvergêniadestemétodo. Nessesistema deequações,temosoresíduo

R

1

= ((

U

+

dU

)(˜

g

+

y

+

dy

)

−

µe

)

−

(

U dy

+

diag

(

g

)

du

+

diag

(

y

)

du

+

U Gdu

+

U Gdv

+

U g

+

U y

−

µe

)

⇒

R

1

= (

U

+

dU

)˜

g

+

dU dy

−

dU g

−

U Gdu

−

U Gdv

−

U g.

Oquartosistemadeequaçõesdosistema(3.2)édadopor

(

V

+

dV

)(˜

g

−

y

−

dy

) =

µe,

onde

g

˜

=

p

(

u

+

βdu

+

v

+

βdv

)

p

−

1

e

β

éaluladoomoem(3.5). Nessesistemade equações,temosoresíduo

R

2

= ((

V

+

dV

)(˜

g

−

y

−

dy

)

−

µe

)

−

(

−

V dy

+

V Gdu

+

diag

(

g

−

y

)

dv

+

V Gdv

+

V g

−

V y

−

µe

)

⇒

R

2

= (

V

+

dV

)˜

g

−

dV dy

−

V Gdu

−

dV g

−

V Gdv

−

V g.

Nopassoorretor,pode-seimporumvalorparaoparâmetrobarreira

µ

eresolver osistema









0

A

t

₀

₀

A

0

I

−

I

0

U

diag

(

g

+

y

) +

U G

U G

0

−

V

V G

diag

(

g

−

y

) +

V G

















ˆ

dx

ˆ

dy

ˆ

du

ˆ

dv









=









ˆ

r

1

ˆ

r

2

ˆ

r

3

ˆ

r

4



onde

ˆ

r

1

=

−

A

t

y,

ˆ

r

2

=

−

Ax

−

u

+

v

+

b,

ˆ

r

3

=

−

U

(

g

+

y

) +

µe

−

R

1

,

ˆ

r

4

=

−

V

(

g

−

y

) +

µe

−

R

2

,

R

1

= (

U

+ ¯

dU

)˜

g

+ ¯

dU

dy

¯

−

dU g

¯

−

U G

du

¯

−

U G

dv

¯

−

U g,

R

2

= (

V

+ ¯

dV

)˜

g

−

dV dy

¯

−

V G

du

¯

−

dV g

¯

−

V G

dv

¯

−

V g.

˜

g

=

p

(

u

+

βdu

+

v

+

βdv

)

p

−

1

_,

β

= min

(

τ

min

(

d

¯

_ui

+ ¯

d

_vi

₎

<

0

−

(

u

_¯

i

+

v

i

)

d

u

i

+ ¯

d

v

i

!

,

1

)

,

onde

τ

= 0

.

9995

.

Obtém-seasdireçõesorretoras

ˆ

dx

=

A

t

₍

_D

2

)

−

1

D

1

A

−

1

ˆ

r,

ˆ

dy

=

(

D

2

)

−

1

n

D

1

A

dx

ˆ

−

r

ˆ

2

−

(

D

u

+

U G

) ˆ

r

4

+ (

D

v

+

V G

) ˆ

r

3

o

,

ˆ

dv

=

(

D

1

)

−

1

h

D

u

ˆ

r

4

+

V

dy

ˆ

−

V G

r

ˆ

3

+

V U G

dy

ˆ

i

,

ˆ

du

=

(

D

u

)

−

1

( ˆ

r

3

−

U

dy

ˆ

−

U G

dv

ˆ

)

,

onde

D

u

=

[

diag

(

g

+

y

) +

U G

]

,

D

v

=

[

diag

(

g

−

y

) +

V G

]

,

D

1

=

[

D

u

diag

(

g

−

y

) +

diag

(

g

+

y

)

V G

]

,

D

2

=

[

V

(

D

u

+

U G

) +

U

(

D

v

+

V G

)]

,

ˆ

r

=

r

ˆ

1

+

A

t

(

D

2

)

−

1

{

D

1

r

ˆ

2

+ (

D

u

+

U G

) ˆ

r

4

−

(

D

v

+

V G

) ˆ

r

3

}

.

Otamanho do passo, a atualização dasvariáveis,o parâmetrobarreira, o

ri-tério de onvergênia e o ponto iniial são alulados omo no método barreira

logarítmia.

4. Experimentos omputaionais

Aseguir,enontram-seosresultadosomputaionaisemMatlabomparandoessas

modiaçõesomosresultadosobtidosem[1℄e[6℄. Ostestesomputaionaisforam

feitosnoMatlabR2009a,sistemaomputaionalLinux,memória4GB,proessador

Intel(R)Core(TM)2. Paratodososproblemasfoisupostoquemodeloderegressão

adotadoéaaproximaçãodospontos porumpolinmiodegrau um(umareta).

Utiliza-se as seguintes notações nas Tabelas a seguir: BL - Método Barreira

Logarítmia; BL (antigo) - Método Barreira Logarítmia existente [1℄; BLPC

-MétodoBarreiraLogarítmiaPreditor-Corretor;BLPC(antigo)-MétodoBarreira

LogarítmiaPreditor-Corretorexistente [1℄.

4.1. Problema de grande porte

Esseproblema, desritoem [1℄ e[6℄, ompreende valoresdejuros diáriosaolongo

intervalo

[0

,

1]

e assim, temos que a matriz de Vandermonde possui

m

= 10958

linhas. Utiliza-se

µ

= 0

,

001

,

τ

= 0

,

99995

,

β

= 10

,

ǫ

= 10

−

10

,

ǫ

1

= 10

−

8

, onde

ǫ

e

ǫ

1

sãodoritériodeonvergênia,e

σ

= 10

−

1

.

Pode-se observar nas Tabelas 1 e 2 que o número de iterações foi reduzido.

Na Tabela 1 o tempo omputaional também foi reduzido, porém na Tabela 2 o

tempoomputaionalpiorou,poisanovaformadeenontrarosresíduosnométodo

barreiralogarítmiapreditor-orretorexigemaisálulosqueaformaantiga.

4.2. Função osseno

Esseproblemaontém

20001

pontos. Asegundaolunadamatriz

A

éformadapor elementosnointervalo[0,2

π

℄,ovetor

b

onsistenoossenodessesvalores. Utiliza-se

µ

= 0

,

001

,

τ

= 0

,

99995

,

β

= 10

,

ǫ

= 10

−

10

,

ǫ

1

= 10

−

8

,onde

ǫ

e

ǫ

1

sãousadospara averiaçãodoritériodeonvergênia,e

σ

= 10

−

10

.

AnalisandoasTabelas 3e4perebe-seuma reduçãono número deiteraçõese

no tempo omputaional namaioria dos asos, ovalor da função objetivonão se

alterou.

4.3. Função logaritmo

Esseproblemaontém

15

milpontos,osvaloresdasegundaolunade

A

sãoobtidos dividindo-seointervalo

[1

,

4]

em

15

mil. Ovetor

b

éovalordologaritmoneperiano do valororrespondente à segundaoluna de

A

. Obtém-se amatriz

A

15000

×

2

e o vetor

b

. Utiliza-se

µ

= 0

,

001

,

τ

= 0

,

99995

,

β

= 10

,

ǫ

= 10

−

10

,

ǫ

1

= 10

−

8

,onde

ǫ

e

ǫ

1

sãousadosparaaveriaçãodoritériodeonvergênia,e

σ

= 10

−

2

.

Na Tabela 5 observa-se que para

p

= 1

,

1

o número de iterações aumentou, mas ovalorda funçãoobjetivoreduziu. NasTabelas 5e6onúmero deiterações

diminuiuemaproximadamente

28%

dosasos,noentanto,otempoomputaional

foireduzidonamaiorpartedeles.

4.4. Função seno

Osvaloresdasegundaolunade

A

sãoobtidosdividindo-seointervalo

[

−

2

,

2]

em

40

mileovetor

b

éovalordosenohiperbóliodovalororrespondentenasegunda

oluna de

A

. Utiliza-se

µ

= 0

,

001

,

τ

= 0

,

99995

,

β

= 10

,

ǫ

= 10

−

10

,

ǫ

1

= 10

−

8

,

onde

ǫ

e

ǫ

1

sãodoritériodeonvergênia,e

σ

= 10

−

1

.

NaTabela7pode-seobservarqueonúmerodeiteraçõeseotempoomputaional

foram reduzidos à medida que o valor de

p

aumenta. Na Tabela 8 o número de iterações e o tempo omputaional diminuiram na maioria dos asos e a função

objetivofoiligeiramentemaiorempouosasos.

Com um ritério de parada mais rígido, os dois métodos tendem a obter um

5. Conlusões

Nesse trabalho, os métodos de pontos interiores já existentes são aperfeiçoados.

Modia-seaformadealularopontoiniial,asdireçõeseosresíduosdos

méto-dos. Comoonsequênia,onúmerodeiteraçõeseovalordafunçãoobjetivoforam

reduzidosnamaioriadosasos. Testesomputaionaisforamrealizadospara

om-provar quepode-seesolher

σ

,queéusadonoálulodopontoiniial,de formaa diminuiraindamaisovalordafunçãoobjetivo.

Com as modiações no álulo dos resíduos, o tempo por iteração aumenta

ligeiramente,poisanovaformadealulá-losémaistrabalhosaqueaformaantiga,

porémonsegue-sediminuir onúmerodeiteraçõesnométodobarreiralogarítmia

preditor-orretor.

O problema (2.2) possui mínimo global, assim a solução ótima é únia. Ao

alterar o ponto iniial, ovalor da função objetivo é menor e, onsequentemente,

maispróximodasoluçãoótima global.

Anovaformulaçãoobtidaatravésdasmodiaçõesparaosmétodosdepontos

interiorestraz melhorastanto nostestesomputaionais emMATLAB quanto na

implementaçãoeientenalinguagemC.Naimplementaçãoeiente,aproveitamos

aestruturamatriialdosmétodosparaeonomizarmemória,issoépossívelporque

muitosvaloresdeixamdeserarmazenados. Comisso,aomplexidade

omputaio-naléreduzidaepodemosresolverproblemasdemaiorportedeformaeiente. Em

partiular, não éneessário armazenar nenhuma matriz durante a soluçãode um

problema.

Pode-seonluir queasmodiaçõesrealizadas nosmétodosBL eBLPC

pos-suemmelhordesempenhoomputaionalemomparaçãoaosresultadosobtidosem

[1℄e[6℄,porémseoproblemaonvergirempouasiteraçõeseoobjetivofordiminuir

otempoomputaional,oBLPC(antigo)émaisindiado,poisaformadealular

osresíduosémaissimples.

O método BLPC é mais indiado quando temos problemas de grande porte,

poistemuma onvergêniamaisrápidaereduzonúmerodeiterações,entretanto,

quandoos problemasonvergemem pouasiterações,ousodométodoBLémais

indiado, pois os álulos envolvidossão mais simples e onseguimos assim uma

reduçãodotempoomputaional.

Abstrat. Thelogaritmi barrierand preditor-orretorinteriorpoint methods

areappliedtothe

L

p

normttingproblemexploitingthematrixstrutureinorder

toobtainaneientimplementation.Thettingproblemhasnumerous

appliati-onsinvariousareas. The

2

-normisverypopular,amongotherreasons,forallowing

adiretsolution. The

1

-normallowstheredutionoftheeetofoutlierswhilethe

∞

-norm provides protetion against the worstase. The

p

-norm allows to think these harateristis indierent ways adaptingthe methodto theproblem to be

solved. The interior point methodimplementationto be developed is ompared

withexistingmethods.

Keywords. Interiorpointmethods,ttingproblems,

L

Referênias

[1℄ D.R. Cantane, Métodos de Pontos Interiores Apliadosao Problema de

Re-gressãopelaNorma

L

p

,dissertaçãodemestradoICMC-USP,SãoCarlos,2004.

[2℄ T.F. Coleman, Y. Li, A globally and quadratially onvergent ane saling

methodforlinear

l

1

problems,Math.Programming, 56(1992),189-222.

[3℄ A.S. El-Bakry, R.A. Tapia, T. Tsuhiya, Y. Zhang, On the formulation and

the theory of the Newton interior-point method for nonlinear programming,

JournalofOptimization TheoryandAppliations, 89(1996),507-541.

[4℄ Y. Li,A globally onvergentmethod for

l

p

problems, SIAM J. Optimization, 3(1993),609-629.

[5℄ G.Merle,H.Späth,Computationalexperienewithdisrete

l

p

approximation, Computing,12(1974),315-321.

[6℄ A.R.L.Oliveira,D.R.Cantane,Métodosdepontosinterioresapliadosao

pro-blemade regressãopelanormaLp, TEMA.Tendênias em Matemátia

Apli-adaeComputaional,52004,p.281-291.

[7℄ A.R.L.Oliveira,C.Lyra,Interiorpointmethodsforthepolynomial

L

∞

tting problems,InternaionalTransationsinOperational Researh,11(2004),

309-322.

[8℄ A.R.L.Oliveira,M.A.Nasimento,C.Lyra,Eientimplementationand

ben-hmarkofinteriorpointmethodsforthepolynomial

L

1

ttingproblems, Sta-tistis&DataAnalysis,35(2000),119-135.

[9℄ S.J.Wright,Primal-DualInterior-PointMethods,SIAMPubliations,SIAM

Tabela1: ProblemadeJuros-BarreiraLogarítmia.

BL BL(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 25 0,2035 2,4550e+04 4 0,2581 2,6040e+04

1,2 19 0,2000 2,8274e+04 24 0,2855 2,8274e+04

1,3 13 0,1445 3,2781e+04 19 0,2320 3,2781e+04

1,4 10 0,1159 3,8243e+04 16 0,2006 3,8243e+04

1,5 9 0,0982 4,4881e+04 14 0,1838 4,4881e+04

1,6 8 0,0973 5,2952e+04 13 0,1539 5,2952e+04

1,7 8 0,0955 6,2775e+04 12 0,1577 6,2775e+04

1,8 8 0,0950 7,4734e+04 11 0,1554 7,4734e+04

1,9 7 0,0814 8,9311e+04 9 0,1335 8,9311e+04

Tabela2: ProblemadeJuros-BarreiraLogarítmiaPreditor-Corretor.

BLPC BLPC(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 4 0,2311 2,4705e+04 6 0,1325 2,6040e+04

1,2 7 0,3770 2,8274e+04 26 0,3702 2,8274e+04

1,3 7 0,3729 3,2781e+04 19 0,2819 3,2781e+04

1,4 6 0,3233 3,8243e+04 14 0,2136 3,8243e+04

1,5 5 0,2617 4,4881e+04 12 0,1832 4,4881e+04

1,6 5 0,2925 5,2952e+04 10 0,1607 5,2952e+04

1,7 4 0,2269 6,2775e+04 9 0,1495 6,2775e+04

1,8 4 0,2276 7,4734e+04 9 0,1584 7,4734e+04

1,9 4 0,1922 8,9311e+04 9 0,1514 8,9311e+04

Tabela3: FunçãoCosseno-BarreiraLogarítmia.

BL BL(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 2 0,0549 1,2355e+004 11 0,2111 1,2355e+004

1,2 3 0,0699 1,2011e+004 12 0,2202 1,2011e+004

1,3 3 0,0714 1,1693e+004 8 0,1721 1,1693e+004

1,4 3 0,0769 1,1399e+004 6 0,1389 1,1399e+004

1,5 4 0,0092 1,1125e+004 6 0,1381 1,1125e+004

1,6 5 0,0999 1,0869e+004 6 0,1419 1,0869e+004

1,7 6 0,1163 1,0630e+004 6 0,1395 1,0630e+004

1,8 6 0,1132 1,0406e+004 5 0,1214 1,0406e+004

Tabela4: FunçãoCosseno-BarreiraLogarítmiaPreditor-Corretor.

BLPC BLPC(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 2 0,1044 1,2355e+004 2 0,1020 1,2355e+004

1,2 4 0,1780 1,2011e+004 13 0,3024 1,2011e+004

1,3 3 0,1438 1,693e+004 10 0,2450 1,1693e+004

1,4 3 0,1436 1,1399e+004 8 0,2114 1,1399e+004

1,5 3 0,1332 1,1125e+004 7 0,1960 1,1125e+004

1,6 4 0,1748 1,0869e+004 6 0,1687 1,0869e+004

1,7 4 0,1720 1,0630e+004 6 0,1748 1,0630e+004

1,8 5 0,2152 1,0406e+004 6 0,1702 1,0406e+004

1,9 6 0,2422 1,0195e+004 6 0,1748 1,0195e+004

Tabela5: Função Logaritmo-BarreiraLogarítmia.

BL BL(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 15 0,1655 607,9389 2 0,0510 635,1600

1,2 2 0,0382 483,1952 3 0,0612 485,3428

1,3 2 0,0381 372,2146 2 0,0511 372,4476

1,4 2 0,0383 287,5839 2 0,0507 287,4594

1,5 2 0,0389 222,8549 2 0,0501 222,6275

1,6 2 0,0381 173,2170 2 0,0507 173,0235

1,7 3 0,0491 135,0870 2 0,0522 134,9931

1,8 2 0,0378 105,6851 2 0,0510 105,9290

1,9 2 0,0377 83,0445 6 0,0929 83,9296

Tabela6: Função Logaritmo-BarreiraLogarítmiaPreditor-Corretor.

BLPC BLPC(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 1 0,0558 632,6171 1 0,0586 635,4659

1,2 2 0,0731 484,8184 3 0,0773 486,5972

1,3 3 0,0970 372,9440 3 0,0771 372,5131

1,4 2 0,0740 287,5702 3 0,0784 287,5263

1,5 3 0,0895 222,7532 2 0,0653 222,6095

1,6 2 0,0734 173,1270 2 0,0652 172,9877

1,7 2 0,0732 135,0390 2 0,0654 134,9850

1,8 2 0,0751 105,7751 2 0,0653 105,9557

Tabela7: SenoHiperbólio-BarreiraLogarítmia.

BL BL(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 5 0,2037 7,4691e+003 1 0,1233 7,4721e+003

1,2 5 0,2098 6,5534e+003 1 0,1201 6,5561e+003

1,3 5 0,2068 5,7622e+003 1 0,1203 5,7673e+003

1,4 2 0,1151 5,0782e+003 5 0,2502 5,0635e+003

1,5 2 0,1159 4,4674e+003 4 0,2149 4,4664e+003

1,6 3 0,1465 3,9556e+003 7 0,3151 3,9568e+003

1,7 3 0,1453 3,5238e+003 5 0,2478 3,5253e+003

1,8 5 0,2089 3,1472e+003 6 0,2799 3,1471e+003

1,9 7 0,2629 2,8141e+003 8 0,3382 2,8141e+003

Tabela8: SenoHiperbólio-BarreiraLogarítmiaPreditor-Corretor.

BLPC BLPC(antigo)

p it tempo Fo it tempo Fo

1,1 2 0,2289 7,4725e+003 1 0,1640 7,4721e+003

1,2 2 0,2202 6,5565e+003 1 0,1571 6,5561e+003

1,3 2 0,2156 5,7681e+003 17 0,7589 5,6138e+003

1,4 2 0,2178 5,0873e+003 3 0,2321 5,0691e+003

1,5 2 0,2056 4,4953e+003 10 0,5064 4,4339e+003

1,6 2 0,2239 3,9709e+003 4 0,2705 3,9632e+003

1,7 4 0,3671 3,6159e+003 10 0,4992 3,5244e+003

1,8 6 0,5069 3,1489e+003 6 0,5109 3,1489e+003