Espalhamento altamente inelástico elétron próton em cromodinâmica quântica

r ililil iltil ililt llililxlililJl[flffilil ltilt illll ililt til

ill

ËSPÂLf-|AIijItllT0 ALTitl'i[NT'r: II'{F-LASTIt0 EL[TRü|'ü PRûTûN Ëi'l

CRÛIÏOÐI NAI1I CA OUÂt'lTI CA

D i ssertação cie l4estrado apresentðda ao I nst i tuto de Físíca da Universidade de São pauìo

hnms Euerruio Imnnssnr¡y Cnnruplno

Depto cie f:ís ica Matemãt ica tisP

Þ \

Ao prof. Josi _{f Frenkel pela orientação e estímulo ã real ização}

des te t raba I ho.

À FAPESP pelo apoio fi nancei ro

hre present a detai led analysis of, the f i rst orcler QtD

corrections to the electron*proton deep i nelastic scatteri ng ¡ n the leading logarithm approximation. Cal culaticrns have treen performeci ín tlre Feynman gauge and in a general axial gauge. We have shown explicitll, that the result is gauge ir,dependent and free from infrared divergencies.

Re s umo

Apresentamos uma anãl i se detal hada das corregões de primei ra ordem em QCD para o espalhamento al tamente i nelÄstico elétron-próton nê aproximação clo logaritmo domi nante. 0s cál cu-los foram feitos no gauge de Feynman e em um gauge axial geral. -Mostramos expl icitamente que o resul tado independe de gauçJe e

l. lntrodução

2. Ëspaì hamento Al tamente I nel ãsti co

2

3 2

2

2

Notâção..

Cál cul o da seção de Tensor had rôn i co _" . . Seção de choque em

choque. . .

1

4

'4

5 9 \2

14

20

z5

30

4¡

45

49

60

6Z

66

6B

6g 2"4

Apênd i

ce

5 Apêndice 6

Apêndice 7 Apêndice

I

lntegrais úteîs

/ln)

Cãlculo de

_.

T\

uu

cãtcuto de

T(24)

uu t3a)

Cãlcuìo de T\' uu

14A)

Cálculo de

T'

uu

termos de h/

_r

e

vz

3" Amplitude Compton I'rontal e sua relação com \^/ì e I./2... 4. Modelo a partons

5. Teori as de gauge

6. Correções de orden ₉₂ para VZ

2

7. Cálcuio

de F2 em o rdem g

B. I ndependôncía de gauge

9. Divergências lnfravermelhas.. 10. Conclusões....

Apêndi ce l: Convenções..

Apêndi ce 2: Regras de Feynman para qED _{e parê QCD} Apêndice 3

Apênclîce l+: Demonstração das propriedades dc tensor

ha-drônico..

em regulari zação dimensional ₇₁ 72

77

78

90

9It

95 /\pânclice ll: Auto Eirer"elia do Qr¡ark

Apênci ice lZ

0 motivo principal do grande interesse näs experie'ncias de Éìspalhamento lépton hãdron 6 qre conhecemos, pelo nlenos em

ordem maís baixa, a forma das interações fraca e eletromagnó.tica dos léptons _{" 0s} resul tados experi menta i s podem _{então ser} usados

para obterrnos informações sobre a estrutura dos hádrons.

lremos estudar o espalhamento elótron próton. Neste

pro-cesso a interação dorninante é a eletromagnética. O eletron

espa-I hado ser'\,e parâ produzi r um fóton tipo espaço que consegue

son-dar a estrutura do próton de umâ manei _{ra bastante clara.} No espl

lhamento elãstico o fðton interage com o material do próton de

uma manei ra coerente e aval ia sua forma méd¡a. No espalhamento al tamente inelãstico a interação e incoerente e o fóton, a gros-so modo, avalia a configuração instantânea do próton.

Em ordem mai s baixa na constante de estrutura fi na a anrplitude para este último processo é representada pelo ciiagrama

da f ig. I .

e elron

e lrtlron

folon

hJd,o ns Prolun

Processcrs <le

um fóton vi rtual não åssoci¿das

anrplitrrde

o rcl e.m ma i s e l evada onde

serão consïderacJ os. As

hê troca dr: m¿: is de amplitudes ê eles

)

c'i- enr rcìação ä r-ep re s È n tarrì co r reções

consicler;rda na fig.I .

dc ordenl

0 módulo âo quadracl<¡ da ampl it-ude, quelndo hã troca de um

único fóton virtual, pode ser expresso como ê contração cle um tell sor purailcnte leptônico com um tensor puramente hadrônico. Éxplo-rando as propriedades de covariância cJo tensor hadrônico podemos

e.screvê-lo em termos de f unções escal ares por transf ormações de Loren.r,\d,

" VJ" (funções cle estrutura). Estes resultactos, ês-s im como a expressão da seção de choque em f unção de W,

" Wr , sãcl apresentados no item 2. No _{itern 3 mostra-se a relação} entre o tensor hadrônico e a parte inlaginãria da ampl itucie Compton f ron

tal. Esta relação serã usada juntamente com o modelo quark-¡:årton

do próton para o cãlculo de W* . Completo a introdução teórica

com uma breve expos _{ição sobre o} m<¡deìo a pártons e teorias de gau ge nos itens 4 e 5.

Neste trabalho calculei a forma assintótica de

lvr

atra-vés ða parte imaginária da ampl i tude Compton frontal usando Cromo

dinâmica _{Quântica (qCo). n} QCD é a teoria de gauge não abeì iana

que descreve as interações fortes. Seus campos f undanrentais são os quarks e os gl uons vetori a i s. A i nteração entre os quarks é

medÎada pelos gluons que são em muitos aspectos semelhantes aos fó-tons. 0s cálcuìos foram feitos até ordem qZ no gauge cle Feynman

u

e num gauge axi al geral . A vantagem de se traba I har em gauges

axiais é que neles podemos _{nos esquecer dos "ghostsrr( partÍculas} não fÍsicas que precisamos introduzi r para quan tizar a teoria) pois

eles se desacoplam completamente dos outros setores da teoria. 0s diagramas de ordem q2 envolvern a enìissão e absorção de um gluon

t¡i rtual e são êpreserrtados no i tem 6 onde tamb6m di scut-c¡ äs apro ximaç.ões usadas. As passagens Ì ntermediårias podem ser encont.rê das nos apêndi ces. No i tem _{7 as contribuições dos várîos diagra} mas são somadas e rnostro expl i ci tamente c¡ue o resul tado i

ndepen-de ndepen-de gauge. No modelo ã pártons mais simples, onde os pãrtons

são completanir:nte _{livres, o "scaling"} (rrcrja o item 4) das fun-ções de estrutura é exato. A i nteração entre os quarks. e. os qlucxrs

leva ã quebra do "scal ing". Esta quebra se manifesta pelo apare

cimento de termos do tipo loq(qt/rn') (uuj* o item 6) e é obscr

tt

vada experimentalmente. 0 fato de aparecerem apenas logaritmos e não polinômios ou outras funções ainda nrais divergentes de _1'/*' é a expressão da propriedade de I iberdade assintótica da QCD. Uma

das razões de confiança na QCD é que ela é a única teoria assin

toti camente I i vre (a aì tas energias a constante de acoplamento

vai a zero e os quarks tendem a se tornar livres).

Como os g'l uons têm nrassa zero as integrais de Feynman

para pequenos momentos apresentam di vergências (¿¡ _{vergônci as i}

n-fravermelhas). Para que possamos apl icar teoria de perturbação

2.

ESPALHAMINTO ALTAHENTE I NELAsT I ÜO

2.1 N0TAÇÃ0

Fig.

2

Fr

K ₀

r

?

P

N4

me

K (k')

À (À')

"r ( P')

o

L,

massa do próton

massa do elétron

momento inicial (final) _{do elétron} polarização inicial (final) _{do elétron}

momento inicîal (final) do(s) próton (hádrons) polarização inicial do próton

todas as variáveis, exceto o momento, que caracterizam o hadrônîco final

=

_P'-r

=

-Þ1

(lro-kJ)

no taboratório

ângulo de espalhamento do no laboratório

estado

P1

I

v

a

K-kr

lépton

tas

Por

çao

Es tuda remos col i sões onde as

ordens de grandeza maiores do que

diante colocaremos _{üe= 0} O erro

energias envolvidas são mui a massa do elétron. Daqui

associado a esta

aproxínla-é negligÍvel.

Neste

limite llKl=ko

llr)l

= Ko)

2

1=

-

_9'

2

0

ft-R))t-

¿ki('

tl ko K"t stn? of

I

)

62

_/

*tt

No te

são negat-ivos

V e

G? q Lle

rìo

sao neqativcls. Eles sao

laboratório"

esc¿rlares e

referencial do

A métrica utilìzada é a pseudo-Euclidîana:

IP

Temos

_lr'"

:

-ilì

2

-

(F+l)2= -M2+ )Y

-

0l

M concluimosque tr--0)¿/1v>O

eque

f

'=

lf t-+.

put

2 1

r"

.

como Q',

1t)<0

!021

(

lDel

" flt)

As s i m

0

<t¡)

(

I

t0= I espalhamento elástico

0 < ul <

I

espal hamento i nel ãsti co

A do espal hamento a ì tamente [J=

? 2 CALCULO DA SECÃO DE CHOQUE

/q

reg r ao

ineìástico

é

fixo.

ca rac te

ri

zada

por

grandes

_1'

e llvl

e

-1'/zv

. Não conhecemos o vértÌ ce hadrôn i co que apa rece no d i agra

ma da fig.2. Esse problema po16m pode ser cotttornado. Vamos

pri-rnei ramente calcular a ampl itude para o espalhamento elãstico de

um próton punti forme. Usando as re9!'as de l-eynman do apêndi ce 2

podenros esc reve r:

') lt* u

tux)

ez

i

_"

tlp'r')

/,.

rrt¡¡o)

(:o

_{)*; 6}

(f'*K'-y-r)f

Icrr'r

f¡

r')

P

lr)

trr

vh)

?_ _l'e

entao

I

Se L

tste resultado

teração eletromagnðt i ca

por fótons. 0 fator i

s i np I esmen te exp res s a

é uma interação er'ìtre

garante a hemiticidade da corrente. o I'ato de

correntes

gue a

rn-mediacia

A ge ne ra ì i zação

ra e Llrn estado final com

I

natural de _i\

vãrios hádrons

pa ra um p rõ ton

é dad¿ por

com es trutu

mome n to

[ s',]

'

A

=

(Bn)t

,

6qtf'*k,-f-K)

i

f,(rtr'¡')/¡

ulrkÀ) _

s?_ 1lp't'l

Jr

(o)

l¡¡o)

1'- iu

Calculemos _{agora a probabilidade de transição f para} o

sistema passar clo estado inicial com um elétron e um prõton para

o estado f ir¡al com um _{elétron e vários hádrons. Ëla é obtida} cal

cul ando-se

r

lAl'

e somando-se sobre todos os valores do

final do elétron e sobre todos os valores do momento total dos ha

drons.

F I

àt

p,

(rn

)s

_L

6'

( _pt+Y'-

_F-r)l

t

_{I F I}

'

þn)3 zp,'

ã lrrh')

)n,. u

(,rr\ e'

1V'

c'l

I¡

(o) I _¡¡

o)

1'-

te

Podemos dar uma i nterpretação heurísti ca pa ra o

Ir'rÍr+k'

-l-k)

]t=

5q(o) 5'(f,*1.'-r-r)

8'(f'*lr'-p^K)f

t t yt+ r'- y -t)t

Is'' (lr+r,'-l-k)l'=

J\x

(ru )u

tlÏ

L -> ot¡

T. à oo

î'Iy'+¡i¡-rr)

I

L?

T-(a n

)r

2'í

0 te rmo

rînlento e

confinado.

babilidade

rîzada e suporemos

modo devemos somar

êssociacio acl ton,pn _T

associ ado êo voT une t

zn 5 (o)

þ-rr)3 ó?lo)

es ta

e s tá

de duração

3

on de e I e

do expe.

es tã

A quantidade observável ó a seçËo de choque e não a pro de transição. Calcularemos a seção de choque despola

que apenâs o elétron fi nal é detetadc¡. Desse

sobre todos os estados hadrônicos f ina¡'s.

Se-çoe s de choq ue des se t i po _são chamadas i ncl us i vas ,

6

'lg\, '/rT ã

,orobab i I i clade de rrans ição por unidade de tempo)

(fluxo incidente) (número _{<le partÍculas} no _{a! r,o)}

' Vamos calcular C

te caso fl uxo i nci dente =

no referencial do laboratõrio.

Nes-por unidade

dade. Com a

de volume que incidem sobre o

normal i zação adotado pa ra os

de

etétrons

incidenres

ê

2Ko (z¡i)l5t/o¡

₌

<ffÀl

lk\>

_.

_þ,¡)t

6'tr¡

fu

.

onde

f

ê o número de elétrons

alvo e 'lÍ sua

veloci-es tados (apêndÍ ce I ) ;o

a dens i dade procurada é

n ume ro

-"rtã

associado ao volume

Ll r

poFtanto

lko .

Temos

ainda

f =

lrrl

/k"

=(r

'h*+,r

C

r

z2

x-Í

¿

fl uxo i nc i den te

de partÍculas no alvo é

r

ltKl

0 nume ro

{

_¡pol

po)

ty"

(z',)? 63(o\

rì4þn)1

Sllô)

(laUoratórîo)

7t

\Àl

2

Jn 6to)

t

lro

n

u

(rn

)t

5i(o)

d'rk'

I

.2

(rn)u

['(f'rr'-f-r,)

If

lj

\

P:

î

z

ÀÀl

(rn)' I ko' _{2M elk}

lrl'

$=

-sLo

dro'dlI'

|

_{_d_}

r¡4

1¡il(l

1, (tn17 Tk"t 2

t¿

I

u

trr'¡,)]nf

ur(tr)lo

I

[ltrrÀ')]av _u(lrr),)l

_(r',/l-)

X

X

(lpol

l,l

¿o)

ll/c')

(

_ip'u'J

Julo)

tpo)

Na nlétrica pseudo-Eucl _{idiana ao calcuìarnros o conjugado}

de uma componente de unì tensor devemos rnuì tipr icá-lo por (- l) ì1

onde Yl é o número de índices 4 que a componente possui. [-embran

do este fato é fácil ver que

A corrente eletromagnãtica J

[

u (tr'r') _{)tÍ, u}

_ltr¡)l

i"=

_-

[

il(kÀ)

)j, u(ri'l')l

f é hermitiana assirn

J

r

t

Jr

r C' )_

Z

I

u rr*l; [,' u lrr'l.') d, urt^') ln¡ u ur _{U] X}

^

Ål ,J1 tlr'

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_Í

_Jig,

(:rr)q _$'(

f,ntt-. p-r)

{pol

tr' ¿o) I

p'e')(

lf'r'l

Jrlol

l¡¡n¡

þ,r¡3 t y,|

r_

zz

)- 68'

Øp^, =

z

I

u f

u,l)/r,

rr(k'À')

î

0r,À') _Xy

_urmr)l

Defi no

-J_ 2 Àrr

Qru

= 2_

I ntroduzimos também o tensor hadrôn i co

A=

-+

Tr

_J

_r-;f

))i

_tifr'ld,,

_]

₌

_[rn

_r'u

*

ki.. Xt,

-

5¡,

k,K'

I

Usando a fórmula para soma _{sobre polarização e as} propriedades das

matrizes ff (apêndice f) obremos

[/Vnr,

'=

I

Z-

Z

'Jct'

I

¿*:

(:ä/u [q(¡r't

Ft-¡-k)<Prl

Jrto¡

l¡¡'6'')(r'r'l

Jvto)l

po)

þn¡' ty''

eT_

_J

jt,r'

*N,

Wp

1'

8'i)'

tio'

I

¡M lltkl

eq

I("

J

ti,t2llÈl

_1,

p4ttr,)

2.3 TENSC'ìR IJADRÔNI CO

lilro

=

I

>Z

')sü'

-dlr'*

(rn)\ 6qt (,,-y-1) <Fol 'I*

/o)l¡¡'r')( ll'r'lÍ,lo)l¡¡o)

(:u¡3 r¡"'

pode ser escrit.r da segui nte for

5

J',

e

'

(

_l'''f

_-1t

*

I

k -F

A função

ma

5"(

_r'-r-l

)

sulF

-p

-ù

(ln)u

Rlém dísso

<71r,

_u)

)y,>

<?l

e -i?x _T

ilt

"i,l''p)rcr

I Jr ro) lf,

)

l' (o) e _r

à

<flJf¿o)

lf')=

e-,(f''[,)x

<fl

Trtr)

lF,)

\,\/

Podemos en têo rees c reve r

¡

U

como

-

lttu

(p,1) =

LZz

pn) Jf Ull¡yt¿,'><p';'lIr{o)

l,¡r)

{"tn

2or,

=LL

J.î

dqx

Usando a relação de completeza para os estadc¡s finaÌs (rpêndice l)

obtemos

W_l¡,

Vamos

rentes. lsto é

agora exprlmr r

poss Ível porque (p,

1)

f

,*r

(pol

Trtr)Trto)t¡po)

e-il*

Nf,

como

o

comutador

entre

duas cor

t¡

l/^

_{t¿ r}

_Z

¿

E

,

f

_t

J'r

ltpol

tr, to)

_Jr

{t)

I

_po>

e-'lx

[

¡*,

<]po)

lvto)ll,'r,'>

<p'¿'lrr (x)l

¡yo) e-'1

ú{ I t tT

tc-(--; ,J _T,'

ot

Existem mesons e léptons

gia menor do que a massa do

com massa menor do que a do

i

J

(ip ol fu i,,¡ l¡¡'rî'¡4P't'l Jf lo) l1¡o

)

J c

-=J>.u.

st(,

'

I

J:¿-

(rn )r tpo' únlu 3"

(f-fL1)

o1olly¿o)l y¡tE']1¡t'e'lJ¡ro)

lpo)=

0

0 termo se anula pois

flf.-1,-FJ)

é sempre nulo. No

re-ferencial

do

_{laboratório I}

_"-1.

_{- f.'}

₌

0 (=) _{p,'= M-}

1o

.

!o)0

( porque

transfere

energia para o prõton)*pr'aM

ter

um estado bariônico final com ener

fo fío

-

ko) e o elétron

não podemos

Por outro lado

nucleon.

nucleon mas po r

bãrion

conservação do numero

es tado

fi

na I .

hariôni co deve haver pelo menos um no

Propriedades do tensor hadronico (npênd i

ce

4)

(a)

Pos i t i vi dade: se

rio

*,

+

então para um

4-vetor

_nf

arbitrã

e o fato

de que Wfu é um

ten-consegue-se expri mi

r

W

_f^,

em

r

n

W*

Yre

|O

Jp é

uma

corrente conservada

i.e. se á¡J¡=0

então

(b)

se

ir

VJ¡,

=

Wf'In

--0

(c)

Crossing

Wr,

(¡,1)

= -W,

Usando essas

so r sob t ra ns fo rmações

termos de duas funções

¡

(r,-1

)

propriedades

de Lorentz

{f

\¡tt¡i,J deperrrir: de _{¡, e I}

possivel que se pode consl.ruir com

A fornra do ter,"s.ûr

esse-s 4-vÊ.rtoFes ó a segtiInLe:

su1 o escalares e po¡"taT't to cfer,,em depenci e-r o

m;¡ i s gu rer I

V'i¡u

=

_{frf,,4+pr1'ß+}

Tfu(.

+

IrloD

+ 5f,,f

As

funções

pen;¡

s

dos

(

f'=

*'Et

6

þ, propriedade (b) g¿ìrante gue fi, ß, ".. uË

egcil'l *res guc podcmos f crmar cotTt

L¡nìü cÇjt'iStantc).

í'1=v

e

l'*1

_q-2

I

ft"

lV¡v'0

s-þ

ir

)

(¿)

+

CTt

₌

O

+Di'+lî=0

Åu

f')

r?y

Av

CN

+ß

+D

Temos apenês tres

Poclemos exprimir B,C e D em

(

t r,¡- (3)l

v/f+

(¿) -Úl) ₎ lvr u _v

[dr

w,

h,r

ldyr (1,1')

1

(

l,T)

(f,rl

(1', u)

C)

1

?=

o

a+.

_Ë=

₀

(\)

(¿{J

i ndepenclentes

deAeE

1

eq uaçoes

te rmos

I

t

lr

þrr)(r

ft

(ft f)

r-

r_

92

Ir^(f,ùu

(tr',-þ+F)

t

k¡'rt)

Defi no

d_

4¡ ¡4

r

(qir)

4'tr 14

I

Itn

-

_Ë

t'/{t,-t

T)rrïþ1

Ìv, {riu)

-f"-Ë)

¿rrrûr _Ii/,{1

{vl',

A simetria de crossing (propriedade (c)) r¡arante c{r'e

u)

2.4

1

sËçÃo DE cHoQUE Efi FUNÇÃo DE \Üt

"

Wr-l¡Jf t ut i I i zando os resul tados ac í ma .

,

r

{

t-'

_Ë,'i,") {0,

-¡r" _r,}r't -{5,' -

H';

ur,J u n r,i

{,un, !ü¡,

=

9.[ ],n k! + ]r]- ]Ç

-5r,

h¡o'l

ru¡,, l''/¡,' =

Ial culemos Lo)

e

lEoR,t set','ê¡7

I

Jl,lr

Usando

I

=

k-K

I

klt=l(?:O

chegamos a

8t

l'l

_Ii

t

_{þ,k)(¡,r')-} eJ¡

flr,r')-¿'lor')+

,r¿'fr.ir'{fÉ

i,l

r ' I' Ti

-t m'

r

I

I

t

k,K'+

t&4

1'

ton e que creve r :

7_

r,R

=

Lemhrando que estamos no referencíal de repouso do

colocamos yH¿=0 ₌₎ llkl = ko e ¡¡çtl=116r podemos

..k

_M

_;

F.kt= ro¡ M k.K'

=

-

2Fo ko' etv,'Ù¡,

¡ì a exp res s ao pa rä

¡: r,5

-

e5-"n'Á k"'jstl w

l^t

Substi tuimos esse resuì tado

encontrada no i tem 3.

&7

_t

'dr

' øs'o/t

_{

w,

+

a

t-^T|)/r) r¿/, _}

f

d

Wt,

=

I6'ií

14 lr' k"

cotaþ/¿ _{u,1,

) z Ir^

?

p-

ll.Jn

+

(v,y)J

é a cons tante de es trutura fi na

"'r/'l Í

2

d ko'

dc

Lj

IC

serr'?,/,

.2 &=

A seção

uma

partÍcula

de dada por

de choque despolari zada para o espalhamento de

Åc

d -çI

d-z

tt

No lirnite

e essa expressäo se

estrutura

(r-

_f",rntøl2)

(¡,tott

1929) 1K,'p? s,rr'b/t

lWl/Yo =

velocidade

uìtrarelativÍstico,

reduz ao fator que

que é c¡ nosso

multiplica as

caso, (l

funções de

da

W (u _,

ì

,

)

't ?

lûnn ₀

) dro'dn

Para

que. Conforme

simples ent¡:e

men to Compton

?

W,{1t,

u)l

determinar ìfllr não trabalharemos com a

mos t ra remos no i tem seg u i n te exi s te

a ampl i tude frontal despolarizada parâ

e o tensor hadrônico.

seçôo de cho_ uma relação

espalha-3. A¡lPLITUI)E CfJMPTON FRONTAL Ë SUA REL.AÇÃO COM WI

" \l/"

No espalhanlento frontal os estados inicial e final são

iguais. Consideremos primeiramente um próton puntifornle. E:m

or-dem mais baixa o espslhamento Compton ð representado pelo diagrtr

ma abaixo

Êól"i' f+1

Q,E 9,å

f.llon

¡,J1,''

f'î

'Jhn

_lt,

c

Fig.3

Da expansão perturbati va da matriz 5

s

z

l¡l= I

oo

z

n=l

i

-0ù

dtx,

d t¡r

t. ¡nt

l'")]

+

+

n!

2

Å ri

00

f

oo

n

L lt. J _n

T-*

[

L,n¡b,)

a.

n

f

-ã)

oo

I

-ob

d'r,{

T

*

[ J¡ (xr ),., J, (xn

_I

I

_{^ |. dr}

(x,)

/l/ lx. j]

o termo relevante para o processo descri to na fi g. Jp rr)

d{r

i

F{r)

tr

trr¡

Ir't

T*[trrrr¡

t,4)l

rnlfryr,)

¡l,¿r)]

0 elemento de matri z procurado é

JE

5z -¿2 2

po jtr _I s,J r¡a _1¡F) cf {¡

f

,'t

< rpul

t*

tr

rrþ0

tvry)l

l¡¡o)<1e

lr

r/jytù

0

operador

T'

nem senrpre

e

cov¿ìt'iante. Dados

dois

ope-radorer,t(r) e ßlo) ,. [/]fr),fito¡l contiver terrïos

cle Schwinger

(l)

(e.g.

derivadas de funções

it )

untão T{it(r) _ßfo)! não

é

covariante.

A

covariância

á resrabetecida adicionando-se

- T

lr[ttx) ßLa)

_!

u,

rermo

I(r)

(seagulì)

.

'f

t

jnl¡)

ßlo)

_l="f

_{nrxtBroti

+

'i

ß)

se

o

somutador dos ci

ois

operadores não

contiver

ternlos

de

Schvri nger

f

(xl ₌

_t

"

Tx=T

No,caso do modelo

quark-parton

T (t) é un

nú-/¡/ r\

mero'c" e

não

contribui

para

a

parre

conexa de <lPdlTn4.h)

Jvlg)lpo)

Para a parte conexa, que é a que consideraremos daqui por diante,

Tx- T No que se segue colocêremos Tx= T- e f ica

subentendi-do que trabalharemos sempre com a parte conexa das ampl i tudes.0s

resul tados extraÍdos de gráficos como o da Fig.3 através das re-gras.de Feynman são covariantes e não precisamos nos preocupar

com e.ìes. Esta discussão serve apenas como justificativa para

as man i pu I ações que faremos I ogo aba i xo .

A generaìização da fórmula anterior

estrutura tem a nìesma forma:

para um proton cotÌt

(

l¡'o

ï!l

s')

¡¡o

1r)

-ez

J

¿rrrnä

.'nolr

lr

0.) Tyry)

l¡rù.Trrlr

Âr a) Avzy)11¡r)

-g( ,)tt

)

¿

2

Usamos T Af

te rmo ó o p ropa gado r

ra o diagrama da fig

'J

rn,ol

r,lrâ)

I,

tfl)¡yr><llrl r rlr,

Ø

/rvf): l1¡r)

) ', fiylt)Autl)

:

r

DF¡v

0-g)

de Feynman para o fóton e

3.

&) Ì\t t

. 0

segundo

contri

br.¡i

p"'

nao

Usando a expansao

concl uïmos que

de

AyW)

"*

ondas

planas

(npêndice

l)

e )

.It,

ì

I ,{r ftJ

Ariy)r

l1r>

tr\,r)

Eu ¿11 r

)

it

'9

tx-Y)

^^

(

po

_{I T}

,Ir

{r)

J,,ry) I

pc)

onde

ìt é

um

4-vetor qualquer.

Em

particular para u= -l

(

_tpol

T

J¡{r)

r,, ly)

llf

) =

(

p"lT

J,, (r -'¡) T,, ¿o) I

lpo)

(polyiì

s,Ì

IFo

lti)

= -c ¿

!

a,x

o*l

.

vî

tT r¡r,-y)Ju/o)!,i"11

l;¡lfi!ù,lr,,

,,

Usando esses dois resultados a amplitr.¡de pode ser escrita como

þ-rossui invariâncía

transla-cional isso quer dizer que

O termo

corn

e'1n1 dã uma contr i bui _ção i dênti

ca ao

ter-mo com ,-t1T

(tr

u _I

T

Jf (r) Jr _ty)

lp'

)

x {

pl

_T,

_tr

_Í-l)

Jv

_tu)l

r)

€y

8v

_i

passasem

_T

,l

¡rtr)

f¡l-1)f

=

-|-{

Jf

f-t)

Jrto) _}

usamos na última

,/

-e'/t

_{\ J^l}

d,,1 <tpolT _{,.

_\)h

to)lpo) tyfiÐ t,4tv)

(c'fl

r

r'"t

(a't

I

î-

r¡

11)rv t,r) l)l') r," Ëu <P _I

T

Jrto) trv l-'l)l¡r) r* tv = (lP ) T J' to)

lf

( ₁₎ ¡yltt.

)

5.

_¡¡o1tl)

=-Q¿

_f

Ju,

¿*^1 <pût T J¡ f 1l Jylo) !pn) É¡ (1¡r ) tugtil

l''\

<lPo 1E I

nesta

a

C omo

varlave

toda a dependância em

I diverge. Mas como já

. tttão hã nada es pec i a I

Fig.

4

tt foi eliminada a integral

associamot

_Id'l

. Como se sabe d îscut imos

r 4 í'¡l

ò ru/

þutq 6((o) neste

um elemento de matriz S

Pi

9i

pode ser coìocado sob a forma

ot+

þr)q

í8'(ft+'t¡-f;-1;)

F

No caso do espalhamenro

frontal

fi=fr

rJí=if

e po rtan to apa rece

þn)*i

5q(o) e

tensor

spins.

com a

f¡.

(i¡r)

tv (1¡

r)

o

espalhamen

ão do segun

as duas

a mp I i tucle Comp

(pulrrls,

_lrl"ï:)

5'l(o )

T

¿

-¡ I

T _frr

(pol

f

f¡,

(r)

Jy (o) lno

)

relacionar a amplitude para

Estanlos querendo

to 0ompton fron ta I com o

do havîa

grandezas

to ¡r

uma méd i a sob re

T

J arr e 1

rY

--

L

vamos trabalhar

hadrônico. Na definiç

Pa ra pode r compa ra r

sorna sobre spins da

(po

Jrr I

F'

I

1¡'

1¡r)

ën)u, l'fo)

e?

Tf

,

ey (1¡s)

tr

(1lr)

¿

C

f

¡*n

e-iv

(ro)

TîrHIrto))¡yo>

(t

P) I

rv

-

Îp,

l4,y)

+

dlx

ð'tx d

t

Mos t remos a go ra q ue

Irvr

T¡v

=

Wfl

z

C

i

)

e-'lÍ

<pclü {x,)

trû¡rb)+

0

(-x,)

_lrlo)

_T¡u)}po)

I

ûtxo) tem

a

seguí nte representaçao i ntegral :

ttt'¡

=

+ i

9Tf t F¿e

0 contorno de integração

rior (¡nferior) para Xo

J,r

e tÍ

Xo

Í -¿ë

õ um cÍrculo no semi-plano complexo supe

positivo (negativo)

Tp

ft,r)

I

Jlt

1[

iJ

e

-r'1x

,i(10+T )xo

Í

-

te

i(o +'r) xo

lyallrtrtl,b)lpo)

lVrl [y

lt) J,,10) lJp

r)

IL

),IT T

Ilv

År

i'ltx

e -æ

Na

primeira

integral

1'

f -

¿(-fa zemos

a

mudança I

Qo

-I

e

na segunda -Í

de

váriavel

T

(t, _r)

I

2T

+

_I

7n

dlJ

1o'

¿ o

r

î

t

Jv¡ I

JIx d

-tfl*

lprl

lytt)J,b) l¡po)

r

7o t(o

c

usamos o

se-sob

trans

ao

fó-Tru de

l)

It

1o

'' lt

"'

a-,Tlx u

i

To' xo

(

po I

f¡

rr)

J,,lolll,u)

lo _Io-tÊ

pârte imaginária de Tf,

I

5 11''-1,)

J

J'T Fara calcular a

gui nte resul tado

P

+irr

( e significa valor

princi-paì)

e''1*

1

_1rol f _n

g

,fy /o) l¡¡a

)

I

0-I

]o-te 0

1

I'

frn

um modo

Tlu=I

ì/17

Tr'(1

'¡)

t/t

z

f

z

+

_It

Jqx

Con fo rme discutimos quando vimos o tensor hadrônico a

é nula e a primeira corresponde ã ¿efinição de

Í

{''1'

1

tpo

)

rr lo) Jr

tr)

! ¡pø)

It,t

)

Ja

segunda integral

-W¡u .

fv

A amplitude para espalhamento Compton é ¡nvariante transformações de gauge. 0u seja el a fî ca i nal terade sob a formação €y -ì €p + _îf onde If 6 o momento assoc i ado

ton. Pa ra que i sso ocorra é necessãri o que

1r

Trt

Tr lu ô t

Jml

(1,y)

= tV_¡v

t/

A propriedade acima garante que podemos decompor

exatamente anãlogo ao que f i zemos para Wf,

(rr

_-\) )

I¿

tr)

( _?, -

þ1,)

q

rú

rz(¡',u)

-

6r,

-

ry)

unr't

A reìação

irnT¡v= I,V¡u

implica

h/;

Ïft, é ¿eterminado através dos diagramas de Feynman pg

ra o espalhanlento Compton frontal. A p;lrtir dele podemos

calcu-lar T" e consequent(-)mente W, usando o seguinte s istema de

e-quações:

(f,t)

Irn

T;

Tr .v

_{J w¿ M Tru}

₌

)

_Í

_æ

tt

[1',

I

₎

lor

Pr

1r -,vl

tz

g'

qÍ

_MT2

-

lA7 tj

nM T,

¡2Í

M Tl Tl^1,

kl'

I

t

l'4'

¿'

1'

2 ¿

-Mz _-J-¿

1'

hr

4r

MTl

t

¡4t

tm

14'

:-)

¿f ir _{M Tz}

-

M?- _r,z

lrr

₊

1'

ûz

.]-4ut2

3

2

2

L+ _{/L) I

M

J

?

-l

Vlq ( - Ml''

¿t

\

t rl

w!

¡4',

T

l^ t'

no esP9

(- [4

z z J

0'

z

t

I

lÅ

Para.fazer a expansão acÌma usêmos

lha¡nento al tarnente ineìãstico bem

o

f

ato

de que Nl'¡..¡

<'I

como

0 <urr< I

I

wlit

4¡v

h/,

¿w

I

_I

_e

4. MODËLO A PARTONS

para efetîvamente calcularmo, Wt é necess,ãrio supor um

modelo para o próton. 0 comportamento experimetrtaì das funções

de estrutura Wi nê região do espalhamento altamente

inelásti-uma pista sobre a estrutura do núcìeon. Nesså região

são funções das variáveis ,l'e V passam a depender co nos dã

os

W;

que

apenas da ra zao [,,rr = - ₁₂

/lv

Qualquer modelo

composto de consti tui ntes

base do modelo a pãrtot'ìs,

tes do núcleon.

videm

{tr l/lÐ øa r uJ I i{o

i:r

tr

)

l=, (u)

que cons i dere o núcleon como um estado

puntiformes prediz oscalÎng. Esta ãt a

nome dado por Feynman aos consti tui

n-são praticamente livres no

do ponto de vista dinâmico

Supomos uma energia finita

que a medida que o tempo

entre si o momento do nucìeon e

Podemos também ol ha r os pártons

Wr (1t,

', )

-Ë

\,V, (1i v )

Essa propriedade é conhecida como _{"scaling" de} Bjorken.

. Uma característica importante deste modelo é o uso do referencial no qual o próton tem momento infÌnito (RMl). Neste

referencial o núcleon tenì uma estrutura simples e podemos fazer

al gumas aproximações. 0 RMI e muito bem aproximado pelo

refererr-cîal do centro de nassa (nCl''l) no caso do espalhamento altamente

inelãstïco.

Cons i de ramos o próton como urna caixa de pãrtons que

d¡-RMI

no

de

refe renci aì de repouso do proton.

passa eles mudäm seus momentos, são crÎados ou destruídos, etc,

enì tempos f iuÌtos. Quando, porém, o momento _{P do próton} começa

a aumentar esses tempos são dilatados por efeitos relativísticos.

Quanto mais aumenta _{P mais} devaqar as coisas mudam até que final mente os pártorrs passam a se comportar como se não _-i nteragi ssem.

Além dísso a dìmensão I inear do próton na direção do mot,imer'¡to experímenta uma forte contração de Lorentz. 'Nessas condições o

lépton é espalhado înstantaneêmente e incoerentemente por um dos

pãrtons que consti tuem o núcl eon.

ú-*) p

r0lon

Pì

oo

xP

eldCron

Fig.

5

. Para se poder apl icar teoria de perturbação de uma manei

ra cons i s tente as pa rtícul as reagentes e os produtos da reação de

vem ser assintoticamente livres. A hipótese de que os pártons no

RMI se comportam como partÍculas livres se encarrega disto. Co

mo o lépton é espalhado por um único pãrton puntiforme o problema

se reduz, numa primeira aproxinlação, ao cãlculo de lVt Para o

es-palhamento entre duas partÍculas puntiformes. Tendo este resul ta

do somamos sob re todas as poss ¡ b ¡ I ¡ dades .

P hJci ro ns

1

Usamos

as seguintes

de

estrutura

no modelo a

hi póteses para determi narmos as fun-pårtons:

o próton estã num estaclo de N pá rtons I ivres

(a) _{Quando llt'"} rr$

com probabilidade

Pa ra

f't¡l

) (

ã"

N

Prru) )

(U)

O momenro

longitudinal, do

i,-ésimo

pãrton

é R-- {,'lP

com

distri

buição de

probabtlidade

fr'{Zi)

.

Além clisso

a distribuição

de mo

mento transverso

ë

suposta I

imitada.

Como _ìP-Ð

_"o

_p,l"

* r;

pl'

( pl õ

todo

o 4-vetor

momento

do i-ésimo pãrton pr=tÎ;+¡¡il

õ

uma

boa ap roxi mação.

(") A massa dos pãrtons arìtes e depois da col isão é pequena.

(d) 0 momento transversal do

nor do que (gtl!t, o momento

párton antes da colisão

transverso transferi do

êt muito

me-pela coì isão.

as seçoes

ton e cada

de

calcular a seção de choque somamos incoerentemente

choque correspondentes ao espalhamento entre o

lép-dos N pártons para cada configuração possível. Ts.

um

mos entao

W,

dr;

Wr' N ){ì )

P¿+ 1

\',v)

(f,tt,xt)

f

N

z

i=t

z

N

Pt ¡¡)

I

I

o

t

(

Vamos determinar Wrt usanclo a técnica desenvoìvida no

item 6. AssumÌremos que os pártons tem spi n | /2 e os i delrtif ica

remos com os quarks. Como já discutimos devemos calcular Tfv pa

ra o espal hamento Compton do quark Punti forme.

ltl

'n

fdlon 1'Y

F.i lt,n

f"''n

guor k

P;=

''ft

l,,c

rluutk

Como es tamos s upon cl o a sempre _{desprezá-la face u 1'} e

fili ₌ 0 no propagador do quark.

elementãr carregada pelo quark

massa Ytti do quarl< pequena

l:Yl . Al énr d isso poclemc,s

Chamando _T; a fração da

ob temos pâ ra a ämp I i tude :

po deimos

colocar

cärga

A (rn

)*i

6nlo)

\l

,',-,

F

r^ ¿lp,r ) Yr

_I

-r(

+ Ï'y u (¡¡o )

t,

ktr) e ' Çrr )

ez

fr

r)tr

2

.L (-, _{)1 ) )'u er{ll}

t)

8,(lt)

þ;+ _1)'- ie

¿-t (to _)*

ì

_[{l,r)

Jr^

){¡

Fr 7

T,

r

ú"*q

) -¿É

t

T¡t

*) 2 r'{

)il,

(¡;

ri

_)'-

ie

T

I

En

9'ry{

Try

ìr?

-+

q3

ßnY

_{,yri -0?-ìe}

?

-4t d)(,

t)

)

2 ₍

I

- _^?.'

Qff

)(;

_I

u,

-')

:

( r .1. )

z

¿

2

Mlr

o?M j;

(

_o

_te

muda de sinal porque )v<'o)

Í 2\) _t(i

_-u

+ tê

.¿

1

T?

' t4

5

(x;-,

)

2

<r,

_llf

r,

_¡¡)

=

do quark de modo que

que

_l:T^

_ff,

=

_$

(

M

t

(t, -u: ₎

qÍd

g{ Se

adota-antiga

di-Wz;

W a

,, _x

v

Cos tuma-se norma I i za r os es tados lsso ga ran te

f ó rmu I a

de fo rma consÌstente com a de Rutherford.

mos esta normal i zação a nova ampl i tude vai ser i gual a

<rPl

ll)

vidida por f"¿

Substituîndc¡ esse resultado nâ expressãc, para Wr

obte-mos

N

W.t1?ru)=

_t

l?(ñ)¿l

M x; rq

it

₅ lr; -,^r)

f

₎

(-\) ₎

I

\du

o

N

4

L=l

=,rrä

N

((,t)

_I

t

M

(

¿

ñ, Xr

I

2

f

fv tr¡)

Fr

tr¡)

L

Wr tr{N )

antecipa'ou

(u/*)t'U (q',,')

no

r imí

te

g1 t,'i

+

*

s l,lJ _{fixo é função apenas de t^, Quando} consideramos apenas a aI

pl i tude para espalhamento Compton frontal em ordem mais baixa o

"scaling" ó exato. Ao calcularmos correções de ordem mais alta,

I igadas ã emissão e absorção de um gluon vi rtual, observamos a

quebra do "scal ing" com o aparecimento _{de termos do tipo lrq +^}

./ _/n2

Antes de calcularmos as correçoes vamos falar

5 TË.0ÈiIAS DË GiIUGE

flistoricamente a Lagrangeana de QED foi obt¡da ê pa¡'ti r

da Lagrangeana I ivre para partïcul as de sç:in l,rZ usanc¡o-se o pr ¡l

cipio de correspondência" Como na teoria näo relativíst¡ca _j para

se obter o termo de interação subst-ïtui-se ¿f por df .- re flt nâ

Lagranqiana lìvre (acopìamento _{minimal). Para garantIr a}

d¡nâmi-ca desse novo campo

Af

äcrescenta-se

o

ternro

-/{

F¡o

F¡tt..

rSua

forma ê ïgual å ¿o termo correspondente no eletromagnetismo

cìás-sico" A teoria resultante, corno o anãlogo clãssl'co, é invariante

sob tränsformações de gauge.

Podemos também, pêrtindo da ìagrangeana I ivre de Dirac

{-"

=

-+tt)

(itr.t*+y,/r)

*b)

obter a

ria.

. Ê. fácil

-gauge

9 I obaì

ie

Ësta sÏmetria

mostra

arbitrária

ideve ser

gue a fase de igual, porém,

mensurãvel e portan to

os pontos do espaço) _"

Lagrangeana de QCD explorando apenas as simetrias da teo

ver

que

_{f,. e invariante}

sob

a

transformação de

*ß)¡e

tft¡

( _{9rl¡ -+}

tl't\

_{+ io} 4

Q)

para transformações inf in i tes inra is)

$ =

constante

LP _{não é}

todos

em

S upon ha

teori a invariante que

sob

quisëssemos

ampliar

a simetria tornando

a

t ra n s fo rmações de ga uge I oca i s :

Vtù

*Ì

e;o(¿) Qtu) _{t¿¡.ì função}

_arbìtrãria

_de

_x

Dessa forma poderÍamos f i xar a fase I oca I mente, numa

as dimer¡sões do nosso experimento, sem nos referirmos

reg r ao com

distâncias.

Para esse segundo tipo de transformação, porãm,

Ð,u

vtr)

-*->

,ietx)

dr

* + '

.ibtx)

Para restaurar a invariância devemos nos

lsso é feito substîtuindo-se a derivada

rivada covariante Df

def

inida

como:

Dp

=

c)¡

_{- ie}

Ap

onde A¡ se transforma como

Y

@

dr

au)

I ívrar do

usual ol

segundo termo.

pela chamada de

f como o camPo

F-ste últ¡

r

, t¡

I

Ul

*-)

Aytu) +

t

à¡,

0g-)

(transforrnação

_{infinitesimal)}

e

Com isso

f"

-à

f

_,

= +ì"n

)t

gaug" Af .

precisamos

dinâmica de

+Le

Para que possamos in

introduzir o termo

Å*9l,rp

( llr

Jr P

-q

(xrdr+*)f

+

ie Ar

Ll,tnr,+

I

J-t é învariante sob transformações de gauge locais e contám o

campo de

do fóton

mo

mo de c ia de

massa para o

ga uge . Conr

dã

terpretar

A

-t/l F*

I _¡u

^

flt.. Note que ¡rão podemos acrescentar unl

ter-fóto

^ (-1, w? At A) sem quebrar a

invariân-isso obtemos finalmente a Lagrangeana de qED

'/,t

fru

f,,,

t"_EM

Esta maneïra de ver a eletrodinâmica quântica apesar de

parecer muito art¡ficiosa é bastante poclerosa. No caso das întera

ções fortes e fracas não temos um anãìogo clássico para servir de

guia na determinação da Lagrangeana de interação. É interessênte

averiguar se um procedîmento análogo ao que nos levou ã Lagrangel

na de QED,não levaria a uma teoria para essas interações. Hoje, a

evidência experímental apoia esta hipótese.

nao

lo. Este vai depender da escolh.c dos cêmpos elementares e do 1;rg

po de s imetria que f izerrnos. Fei ta esta escol ha recaîmos no

se-guinte problema:

Tem-se unì conjunto de

de Lagrangeana I ivre

campos

drirr)

,

!-"

14,,;{z)

,

dr

Q

lr...rfl e,urra

que descreve

invariå'ncia de

campos

_ç;

tx)

L L

I

) densidacle

a dinâmica

(x

cio sistema. Uma simetria interna é uma

J

_o

sob

o

grupo

G de transformações

que

:rtuà

nos

da seguÎnte forma:

'to) -l

(Þ

L

é

N o de

l,

.,.,

n

ùirr)

-r-

i

0^ (T")

ì

4r¡

ul

(forma

!¡rf i n i tes imal )

i

û

₌

,l""'N

geradores de G ¡

N

=

I

para u(l)

SU(3),

etc

e. a dimensão da álgebra de

que

é o

grupo de QED,

3

para numero

Lie associada.

SU(2), 8 para

To

são as matrizes

da representação

de

ô' pe r

tencem.

Po r

um

isodubleto

To=

f"/Z (mätrizes

de (T*);

₌

-'

e,;l ,

erc

nal ao qual os

os

_4ri

formam

G

no espaço

exemplo

se

G

n

dimen-cio

=

5Ull)

_"

Paul i) se

0"

matriciaì

säo

o9 campos f or¡nam um i sovetor

N

parâmetros i

nfinites

imais

e

constantes.

Podemos escrever a trans formêçao dos campos sob fo rma

I dr'

Uma transformação de gauge finita pode ser vista

urna sucessão de trarìsformações de gauge infinitesimaÌs

$

rrt

-"1 tfw

h iô"T^

Ör')

_->

(x"io"To)0rtl

4

L

como

4L

*

i

0^T"

h

f,

r'l

e cþ r^t

VìàGð

de

umã

de

grupos

QED ê U(l) que tem

dimensão). No caso

um gerador e estes

de L i e

conìo gerador

maîs geral

não comutam

unidu¿"'I

(1=t

em

simetrïa

possui mais

abeì

ianos).

Para

a matriz

grupo de

o

( qrupos nao

t

r^,

Tol

_t

ab.

l.

f

abc{"t, _{e a cönstante de estrutura do} gruPc, e é completamenf:e anti

simétrica.

Assim como f izemos em QËD conseguimos ampliar a

sime-tria (i.e. tornar a Lagrangeana invariante sob tritnsformações de

gauge locais) substituindo a de¡'ivada usual ðF por uma derivada

h - hl

cÕvariante D¡, . Esta possui N câmPos de gauge /{f , uffi para

ca-da dimensão da ãlgebra de Lie" Para que _Possamos ¡nterpretar os

^ q

-^Tn.rc, f Íc i cnc cl evemos acrescentar o tÈrmo -lq Ffî

Á¡ como campos fÍs i cos devemos acrescentar o termo

invariante sob transformações de gêuge locai s.

Dr"

^a

tP

-Ar

-t

(sob transformações inf in itesimais)

âr

Acredîta-se

teoria de

hoje que

as

i nterações

fortes

sejam descri

a

Cromodinâmîca QuântÌca

(Oco¡.

A

axial seral tnnnti=O) é

dacla Por

q.

AË -

ï

oro"+

f

abc

t'

ní

tas por uma

Lag rangeana de QC0 num

gauge:

gauge

n,i-

å"

A;

*

_ä f

"t'

l! lÏ

(Jr

l¡v

_I

(âr

_Ai-arAÉ

rfll

I=

-vtø+rnr)V+

tlf,i,+;T*f,

I-C{ l^

Nesta teor¡a os

os

gluons

vetoriais

de

gluons. 0

gruPo

dice e

subescrito

campos elementêres são os quarks

0s quarks i nteragem através da

a.bc

(t)

e

sU(N)X

Su[3)c

.(o

Ín-a simetriÍn-a

de

cor é tor

lq

n,l ni

\'

'/t

( _{/i )}

I

3ro,,t a

I

2

ì1

f

r

( _A t r()ca

de

simetria

da QCo é

nada uma simetria local. Nesta teoria existenr ltj

S , C , etc), cada um deles podendo ter 3 cores.

os fóton s têm mas sa ze ro e têm ca rg a zero _, podem

ga r cor. Um qua rl< ao emi t i r um g I uon pode mucla r

I gl uons que fazem todas as trans ições poss ivei s

res.

quarl<s ( ut o

d

,

0s gluons

corÌìo

entretanto

carre de cor. Existem

entre as trôs

co

devido ã sîmetria de A quant i zação das teorÎ

as

de gauge

compl

icada.

É necessãrio acrescentar

?yz

(n¡ A¡i

₎₂

no nosso caso)

e

que

gauge e

o ga uge

um termo pa ra

torna poss Ível

f i xa r

calcq

lar o propagador

cionamos também

pl a compl etamente

dos Áf . Para que a FÍsica não seja aiterada adi-(

d-ghost. Este termo ern gauges axials se desaco='

6.

coRRËçõES DE oRDtM

q:

PARA \¡lf t

(a)

^zz,

12

t Itl

(yn

é

a

massa do quark)

(U) Colocaremos þl _{= O nos} propagadores do quark. Como o propê

gador tem a forma

(;,K+þ1

)

/Ir',-,,^'

Usa reÍros :

aparentemente estamos

dade soma remos sob re

um traço de matrizes

têm apenâs um YYì têm

to nulos.

(f)

usaremos o I evan

tes

podem

des p reza ndo \l

r

os

r

spins

do

.

Será f ác i I

ímpa r

ver

que os

de matri zes te rnìo s de

quarl< e no

o rdenr tYl

nume¡-ado¡'

trla real î

aparecerã

te rmos c.l [J{e

con-¡tr e sao

portan-um n ume ro

(c) Para

i n c i de n te

cia em 7q

()'-ì

_r;

(¿) Vamos

(e.g. a )

de cor.

(e) Estaremos ínteressados em termos

(aproxímação do logaritmo dominante)

nos em relação a ele.

não sobrecarregar a notação co I oca remos o momento do quark

{ A clependên

substituição

defi ni do

I ncl I Ces

à0{.) t

pi=

_P

(pi=

x;f

)

e a

carsa

do quark v¡i=

" n|, pode ser recuperada fazendo-se a

e mul ti pl i cando o resul _{tado fi nal po, \:}

considerar o espalharnento de um quark de tìpo

Assim lut¡¡a)l"l =

[ab

u1¡tr)

atb

_=,tr213

são

do

ripo

tr7(1'/r,

),f

e desp reza rerros te rmos peque

método de regularização dimer¡sional. As fórmulas re

ser encontradas no apôndi ce 5.

no5

absorvidos em p¿lranretros da

so trabalho nos lîmitaremos

As co r reço es tadas

peios

di agramas

teor í

a

como m,àssa,

carga, etc.

No

a subtraîr os põlc,r .¿c--

no ponto

N-q

C lo3 iù

m" 1<

_f

_{'.. I'}

de gl uons que devemos cal cul ar

da Fi _s.7

sao rep resen

,

\

C _E

Fig.

7

Usemos as regras de Feynman para QCD (npêndi ce 2)

D I AGRAMA A

ì I

F D

ß A

6

-k

@,¡¡ 1

tr)

-k

P+

l/)

P

,nK

(y,b,a ₎

þn)qi

[1lo)

,'l'

("(,nl

þ'u'a)

IS:

3

qh,c,å

r

¿\K

(zn;q i

Iurnn)lbc

ty

X

,{f

l.

l.+fußL-'f

r"

(o)r,

fut¡yùf

,h

&þ-

€rQ¡r)t,

mos sob

soma sob

permitir

Note que tiramos a rnédia sobl"e as cores iniciaìs e

soma-as cores f inais (veja o faror

l/S

_T

do quark.

ob

u(po)

va i

) Essa

nos

c.ores mais o fato de que

fatorar completamente os

Iu

ilpa)lo5 = c\

terntos de cor.

6o)ni

b'rfo)

ez 7-r

I

TA TA

T'

/qk î.

(

I

\4

f t + *À\ v lt, )

lç-ò'';o

3 (zn¡\ t

L(f,+1)'-,'e

lI

t¡,¡-¡1'-ie I

€,"\ls)

_t,

t1

r

)

0 f ator de. cor

dos os gráficos e será por dTante.

T,

[rAT^)

_l3

e o mesmo para

to-intermediários daqui

=L

L

omitido nos cãl,culos

(A) 0btemos

para T

yv

T_l'u1l}) ,¿

r

,l'lk ( +

þnt\,

tQrl)'-'el

lQ+1-K)?'

_'cl

(p-k)'-icl

Irz-ie1

T,^ Y¡t

1-N,R

-k)

Yr

I

P.

P

4

_[rn

-x)r

P^P {eP

n,k

fop /ì¿ k +n k,¿

it' k

5otf

lv*

fg

Np

nakn +

nn

k¿

-'Ï--+æ

Yl¿t

f

2

-Y¿

')

t)"r

L

d ytd

nao

,)

dn _t,

n,k

Trabal hanros como se N fosse Lrm número e

Após ca I cul a rmos todas as

um operador.

te rmos que

integrais colocamos todoE os

de _{N e aplicaros N a eles.}

T

_]lr(nl C

dqrÏr

i

)tt, + ) _{I'n +}

-

K)f

'K) _V^

(rn1Y i

dqtr

il+;

Tr

_l-

_fi

tu

_U

rø)

,(

t{

+4-x.)

(,

L{þ,41-(

[

( _J,-1

)'- t, I

[(r,

+1-rr)'-i'l

[(þ-n )'-

i,]

[r'-;e I

I

{pr",l'-;.J

I

_Q

rt-¡

)'-'nl

_[

(p-r

_i 1,ol

Ir'-¡,-]

rr k

I

L(f,"n

)''i(

lþ^l)'-

i.

l

T

1'

fl'f

dql

Tr

['fuf

+

lÑr

t -É) -K) {c

þrl*i I

tyrl)'-it1t

tytl-tr)'-ie

_l

_Q-n)'-in]

_lk,-,,

_l

ìr,K

As duas últirnas integrais podem ser simplificadas

utiìi-zando-se

{

2

r

Pa ra pode rmos ap I î ca r

precisamos antes mul tipl icå-la

T

r

2 no denomi nador)

esta propriedade na rilt

e di.yidí-ta por _Ft= -tnt

ma i ntegral

(fal ta um

(tl

t\v

r,J

+r'

cJ't tr

clqf

oltk

lr

_|

ø în ( ø

+q)l^

( d +4- K) Yt,

q- {()

tr','

I

þn)I i _L *T

-rti-io

_]

_l(1, K

)'-iu]

[

f'-i*

.]

Q* qr'-, c

I

[(n

d{l( 1r

t (: n )\i

-K)ñl

Yt { ₎ (

k'-i*

h,K

?

T.

ll

_v,

(d+4-K)v,

_U-x)

Nl

+

3

r

T'It,

Lû41

N

(/+y-tr)lt17

énrri

iat-1-r)'-

,iliçu¡1i'f¡

¡

-ieþt

(ro,tl;

_t(p*1

_)1;rl[(,r

T - r.

i'-

t;

I

t

r;-,tl

J tr, l< (¿A)

Ti,

+

It e¡

T.,"

+

(qn )

--(a

_{rfr +}

n

I

.r.

A integral desprezada:

Jqk

T¡ t

Í,(

_)Ní(

-l(,)V

-k

? YY)

2 I

I +

n,K

1)

)

lIr'-ie

þtl\

i _{I.(r,+1)'-, e}

_1f0+.i

_{- lc )L;u}

_I

_t(f

_r)'-;c

é

claramente de ordem m'/Q,

Pa

ra

de te rm i na

r

\,\ia (r _{n ) (.14}

)

I¡n

T

precisamos câlcuìar

forarn calculadas em de ta I he. nos rfì)

}'fl

j'T

As

integrais

apênd i ces 6

¡,..,I*l

T

rl

rr

7, 8 e 9

respectivamente

ivn

T

å: 217

{

5{r -ur)

[

.r-C

t)

T

(r¡r _l

rr

+

I

u lo

2Í

l-r,

d

Ìn¿

-a?

-J-- "00c1 l.l

oå

[,]

-tr

¿r2

T,

q ()

du

,{

I -D(

I _{

fi¿

0q rl

fn _T

(¡n I

l,r

As

intesraîs

_lrn

ïl(iA)

h*) I rn T¡.¡ e

do t i

po

loq

_1'

/^'

J

(nl WI

A contribuição

do

diagrama A para W¿

é

nao fo rnecem te rmos

d,¿ C T

l- o¿

I

?-> oo

w 3 t t -,.0)

i¡'

loo <i?

JÃ,

t

L

I

0

ú

I

o

d +

Desprezamos loâ h4z

frente

6.2 D I AG RAI'14 B

t

-K)

_{)Y ?"}

I

P+

ct

_{pl

¡)

P

Tt

-K)

Y,

(

PÌg- Ì<

1 (v)

j

l.\

A\ _\

\ \

p-)c

(*)

l"

T

(n)

rv t ? cl( k

ir+;

[þ

-

rl'

- t

el

_i (f _r

1- k)'-

;n]

lb

t

t

( (

t

J ,/

l

I

r'-

¡e]

usando

Ïr

I ú,

dade

cÍcl ica

do

traço Tr

-(al_ 1^[Rt _\

ver

que lf¡ = l¡f

=>

tribuem i gualmente para

úr, ,,, úrn1 T, _[

_6,,

,,,

ú,

.nl

= Tr

f

6,

,,,

prcrprie

fáci I

lt,J

ea

lüd^,,,,ú

wft)

_

Wjnr

6rn

dr,l

á

i .e. os doi s diagrarTìas con

(vl

P-k

(Ê) \,V

6.t

D I AGRAMA C

I

P+ 1- lr

K

1

P-k

(*)

lc)

ffu =

₃

k)

.l

p

2 rv

+

2 ₍ cl'ìk

(:¡t;

'i"r

,) *À<) þ't (

t

-ñ,) {

l,a¿ \.?g I I i ! ! I i ! È I I t f i l ( )

-fr,) Innl

ß,.

n,k I fr - * )'- íe

ì

[þ

o1'tr )'" ie

]t¡¡,

rt)2-iel

It,'-iul

t'

1'

l

J

¿4r

Tr

_f

I

Yr

ty-,+t){,

t¡rrrr-x)

tn¡,

((-k,)Y^ ]

þr ln,

f

þ-

r

)'- it

I

lfþ *i- o _l¡-

i*'l

ltf

-nj'-;,1

d't(

T,

_I

K))"

(

-/i

₎

_)a¡ (

+

-x

)r

-¿l-Ikeiel

-X),ú

_J

_K)

_;{rl

(

I

dtY T. I

&t

-Kl

I",

( +

(zn _)Ii

ón)1i

f. _Q^r)"-iu

I

_[k

*j-k11

;e

_ì

_ttf

_{-r)'- i¿]}

_[r'-¡u

_n,k

5 /\J'

(

I

tf

-r)'-ie

_I

_[(fnl-],)

I

I q,

-r

)'-.,

_I

_I k z- r.c:

De modo anáìogo ao que fi zemos para

por as duas ültimas integraÌs

(cl

pocl emos decom

-n

Trl

Ir'-

¡u

I

T ?

clqi

Tr il,, ( -Kl Y, ( +

-x)

Í

3

?

d'{k

T

r

_ln

+

^rr)

I

N

l

(rri¡qi tú,-*

)'-i¿J

_fç*

_fnl'-;u7l/-r

)'-i¿

(entIi

_lQ+1-K\'-i.]

_I

_(p-r

_)'-iol

_tr,

?-

_ie

_]

_n.f

J

( X

t'

-.t- d

Tl( lr

F

-x)

I

1

+0

( +

-x/

| _þ-07"-;e

I

[

rc'- ie ln,lr

T

T _¡,,

3c

r'l

T

+o

(^7ru

)

t(

¡r

2C

Usando

de cÍclica do traço

tribuição para'W¿

-hc¡ t'l -(r<)

lFf

-rFr

integrais já

T,

_[

ú, dr.,,

4,nl

=

T,

_I

drr,.. d,"

/,,]

ea proprieda

3r\

ïtr

é

f áci I

das duas

ver que

úl timas

A

portanto.

úcl

ïm

T¡,p

+

u)'a

es tá calculada no aPôndice ì0

Jrvr

1

_rr

(rc )

F

Il-t,^:)

l'J

a ^.c

-r

fvì

[t"nÍ'lrr'1fïil

':

--,ft

I

"

(

2 91Ì

OT

t'/

fll r,r) I

\

I

I

w

qrY

6.4 D I AGRAMA D

.jqk

î.

t

)'y (

cl'{l( T,

t

P+l

Y,

r

I Ix'-i*]

-x)

il'

I

'- ,c-l

I

i< _'- ie q

q

q^) (/)

f'

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,f

I

t

k

r

P-|( ¿)

P

T

(nl

¡r + ))' )nB

(

-Í)

v,,\

("

(en)qi

_i(l,ntl'-te

_IL'p?-ie

ì

_Ifp-ù'-iu

? ( ) t

l

t

fr

I

I

?

J'rk

T

,

,1,

(i'r)qi

_lþrl

)?-rc-ì

tf '-ic|[(r-*)

+ ₎

I

(/

-tr) N

I

(rn)q;

_{¡û,*1),-¡r}

_l

P'iq;

_I

_r¡*1)?-iÉ

_I

[. _0,-* )'-

it

]

[

¡rz- r'r 1

n'k

+ I

1

J'I

I(

_{T'. ðu} ( 1

)r

N '-,'r,

I

It<1ie

ly

h, l(

I

*l'

r Yt ( + ) ì'

lÙ(

-x))

¿\lr

Gn

l'i

_[(f

't)'-irlf(l

¡)1ie fK'-'u

,Ñ

n,k

ilu(

+ )

I

3

dur

T

n.k

1,zn)Yi

_[

(f,* q ¡'- r'e ₁ rú

I

I

V'-ie

t

2