Medida de uma codificação de estímulos sonoros por potenciais pós-sinápticos e potenciais de campo local usando teoria da informação

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Instituto do C´erebro

Curso de Mestrado em Neurociˆencias

Disserta¸c˜

ao de Mestrado

Medida de uma Codifica¸c˜ao de Est´ımulos Sonoros por Potenciais

P´os-Sin´apticos e Potenciais de Campo Local Usando Teoria da

Informa¸c˜ao

Mestranda

Juliana Martins de Assis

Orientador

Adriano Bretanha Lopes Tort, Dr.

(2)

Juliana Martins de Assis

Medida de uma Codifica¸c˜ao de Est´ımulos Sonoros por Potenciais

P´os-Sin´apticos e Potenciais de Campo Local Usando Teoria da

Informa¸c˜ao

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Neurociências da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte como pré-requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Neurociências.

´

Area de concentra¸c˜ao: Neurociˆencias.

Linha de pesquisa: processamento de sinais aplicado `as Neurociˆencias.

Dr. Adriano Bretanha Lopes Tort (Orientador)

(3)

Juliana Martins de Assis

Medida de uma Codifica¸c˜

ao de Est´ımulos Sonoros por

Potenciais P´

os-Sin´

apticos e Potenciais de Campo Local Usando

Teoria da Informa¸c˜

ao

Apresentada em 3 de Julho de 2014

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Jean Faber Ferreira de Abreu

Instituto de Ciência e Tecnologia - Engenharia Biomédica Universidade Federal de São Paulo

Profa

. Dra

. Kerstin Erika Schmidt Instituto do C´erebro

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Prof. Dr. Adriano Bretanha Lopes Tort Instituto do C´erebro

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

(4)

Resumo

O processo de codifica¸cão é um aspecto fundamental do funcionamento cerebral. A transforma¸cão de est´ımulos sensoriais em respostas neurofisiológicas tem sido objeto de estudo em diversas áreas da Neurociência. Um dos modos mais utilizados para medir a eficiência de um código neural é pelo uso de medidas advindas da Teoria da Informa¸cão,

como a informa¸c˜ao m´utua. Utilizando estas ferramentas, estudos recentes mostraram

que no c´ortex auditivo tanto registros de potenciais de campo local (LFPs - local field

potentials) quanto os tempos de disparos de potenciais de a¸c˜ao codificam informa¸c˜ao

sobre est´ımulos sonoros. Todavia, não há estudos aplicando ferramentas da Teoria da Informa¸cão para investigar a eficiência de códigos que utilizem potenciais pós-sinápticos

(PSPs - postsynaptics potentials), isoladamente e em conjunto com an´alises de LFPs.

Estes sinais estão relacionados visto que os LFPs são em parte constru´ıdos pela a¸cão

conjunta de vários PSPs. A presente disserta¸cão reporta medidas de informa¸cão mútua

entre respostas de PSPs e LFPs obtidas no córtex auditivo primário de ratos anestesiados e est´ımulos sonoros de frequências distintas. Nossos resultados mostram que respostas de PSPs possuem informa¸cão sobre est´ımulos sonoros, em n´ıveis comparáveis e mesmo maiores que as respostas de LFPs. Também encontramos que PSPs e LFPs codificam informa¸cão sonora independentemente, uma vez que a análise conjunta destes sinais não mostrou sinergia nem redundância.

Palavras-chave. Codifica¸cão, Potencial Pós-sináptico, Potencial de Campo Local,

(5)

Abstract

Coding process is a fundamental aspect of cerebral functioning. The sensory stimuli transformation in neurophysiological responses has been a research theme in several areas of Neuroscience. One of the most used ways to measure a neural code efficiency is by the use of Information Theory measures, such as mutual information. Using these tools, recent studies show that in the auditory cortex both local field potentials (LFPs) and action potential spiking times code information about sound stimuli. However, there are no studies applying Information Theory tools to investigate the efficiency of codes that use postsynaptics potentials (PSPs), alone and associated with LFP analysis. These signals are related in the sense that LFPs are partly created by joint action of several PSPs. The present dissertation reports information measures between PSP and LFP responses obtained in the primary auditory cortex of anaesthetized rats and auditory stimuli of distinct frequencies. Our results show that PSP responses hold information about sound stimuli in comparable levels and even greater than LFP responses. We have also found that PSPs and LFPs code sound information independently, since the joint analysis of these signals did neither show synergy nor redundancy.

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co em primeiro lugar aos meus pais, Aida Maria e Francisco Marcos, pelo apoio incondicional, não só durante o Mestrado como nas fases que lhe precedem, sem as quais não haveria chegado até aqui. Agrade¸co também aos meus irmãos, Juana Tereza e Joa-quim Marcos, que mesmo à distância tem sido muito efetivos em me motivar. Agrade¸co aos meus tios Gotardo, Evanceli, e às primas Gabi e Carol, que tão bem me acolheram em Natal, por um bom tempo. Meu agradecimento sincero também a toda a turma da Capoeira Brasil pelas excelentes vivências neste tempo de Mestrado (axé!).

Agrade¸co também a todos os colegas e funcionários do Instituto do Cérebro, que me receberam muito bem e com os quais estabeleci v´ınculos amistosos. Agrade¸co especial-mente a Rodrigo Pavão pelas ideias sobre aplica¸cão de Teoria da Informa¸cão, a Bryan Souza e a V´ıtor Santos, pela ajuda em alguns programas, como também a Camile Côrrea, Kelly Sores e tantos outros pelo companheirismo. Agrade¸co a Ana Maria, que desde o come¸co apontou para a possibilidade de fazer o mestrado no Instituto. Agrade¸co enfim, e não menos importantemente, ao professor Adriano Tort, pela paciência com que me conduziu neste trabalho e por sua confian¸ca em mim.

(7)

Ep´ıgrafe

“carne alma

forma conte´udo

(8)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Potenciais P´os-Sin´apticos . . . 2

1.2 Potenciais de Campo Local . . . 4

1.3 C´ortex Auditivo . . . 5

1.4 Objetivos . . . 7

1.5 Estrutura do Trabalho . . . 7

2 Coleta dos dados 8 3 Conceitos de Teoria da Informa¸cão 10 4 Métodos de corre¸cão de viés 15 4.1 MétodoShuffling . . . 17

4.2 M´etodoPanzeri-Treves (PT) . . . 17

4.3 Método da extrapola¸cão quadrática (QE) . . . 18

4.4 Simula¸c˜oes comparativas entre os m´etodos . . . 19

5 An´alise dos dados 21 5.1 Suaviza¸c˜ao das curvas . . . 21

5.2 Retirada de Amostras Discrepantes . . . 23

5.3 N´umero de Amostras N˜ao Discrepantes . . . 24

5.4 Obten¸c˜ao de Amplitudes e Latˆencias . . . 29

6 Resultados 30 6.1 Caracteriza¸c˜ao das amplitudes e latˆencias de PSPs e LFPs . . . 30

6.2 An´alise separada da informa¸c˜ao sensorial por PSPs ou LFPs . . . 39

6.3 Compara¸c˜ao entre informa¸c˜oes sensoriais por PSPs e por LFPs . . . 43

6.4 Codifica¸c˜oes conjuntas de PSPs e LFPs . . . 45

6.5 Influˆencia da anestesia nas codifica¸c˜oes . . . 46

7 Conclusão e Considera¸cões Finais 49 7.1 Conclusões . . . 49

7.2 Considera¸c˜oes finais . . . 50

A Tabela de anestesia por c´elula 57

B Observa¸c˜ao dos Registros 58

(9)

Lista de Figuras

1.1 Esquema ilustrativo de sinapse excitat´oria ionotr´opica . . . 3

1.2 Exemplo de PSP . . . 4

1.3 Exemplo de LFP . . . 5

1.4 N´ucleos de retransmiss˜ao do sistema auditivo . . . 6

2.1 Exemplo de aparelho de registro . . . 9

3.1 Diagrama para entropia . . . 12

4.1 Exemplo de emprego do estimador naive . . . 16

4.2 Exemplo de extrapola¸cão quadrática para estima¸cão de entropia . . . 19

4.3 Compara¸cão entre os métodos de corre¸cão de viés . . . 20

5.1 Exemplos de registros . . . 22

5.2 Filtragem de registros . . . 23

5.3 Sinais discrepantes . . . 24

5.4 N´umero de amostras de PSPs . . . 25

5.5 N´umeros de amostras de LFPs . . . 26

5.6 N´umeros de amostras de PSPs e LFPs . . . 27

5.7 Erro percentual m´edio e n´umero de amostras . . . 28

5.8 Obten¸c˜ao de amplitudes e latˆencias . . . 29

6.1 Exemplos de curvas de caracteriza¸c˜ao de aamplitudes . . . 31

6.2 Curvas de caracteriza¸cão de amplitudes normalizadas para todas as células 32 6.3 Distribui¸cão de est´ımulos de maior amplitude . . . 33

6.4 Exemplos de curvas de latˆencias . . . 34

6.5 Curvas normalizadas para todas as c´elulas (latˆencias) . . . 35

6.6 Distribui¸c˜ao de est´ımulos de menor latˆencia . . . 36

6.7 Scatter plots de médias de amplitudes e latências de PSPs, e médias de amplitudes e latências de LFPs e correla¸cões de Pearson. . . 37

6.8 Scatter plots de médias de amplitudes de PSPs e latências de LFPs, e médias de latências de PSPs e amplitudes LFPs de cada célula e correla¸cões de Pearson. . . 38

6.9 Scatter plotsde médias de amplitudes de PSPs e LFPs e latências de PSPs e LFPs de cada célula e correla¸cões de Pearson. . . 39

6.10 Compara¸cão entre informa¸cão de amplitudes e latências . . . 40

6.11 Compara¸cão entre informa¸cão através de amplitudes ou latências, conjunta ou isoladamente . . . 41

(10)

6.14 Compara¸c˜ao entre informa¸c˜ao conjunta de PSPs e de LFPs . . . 45

6.15 Independˆencia entre registros de PSP e LFP . . . 46

6.16 Influˆencia da anestesia na informa¸c˜ao . . . 48

B.1 PSPs de c´elulas 1 e 2 . . . 59

B.17 PSPs da c´elulas 33 e LFPs da c´elula 1 . . . 75

B.18 LFPs das c´elulas 2 e 3 . . . 76

B.19 LFPs de c´elulas 4 e 5 . . . 77

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

A ideia vigente em Neurociências é de que o cérebro é um órgão de grande capacidade computacional, que constrói as experiências sensórias, regula pensamentos, emo¸cões e atitudes [1]. No entanto, não se sabe ao certo como essa computa¸cão é realizada e diversos experimentos têm sido feitos na busca por poss´ıveis codifica¸cões e decodifica¸cões. O termo codifica¸cão é atribu´ıdo ao processo de transforma¸cão de est´ımulos sensórios em respostas neurais, observáveis experimentalmente. Já a decodifica¸cão consiste em utilizar as mesmas respostas neurais para reconstruir qual foi o est´ımulo apresentado ou qual atividade motora ou comportamental a ser feita pelo animal [2].

A busca por codifica¸cões neurais tem sido feita nos córtices sensoriais de animais e humanos, tais quais o visual, o auditivo e o somatosensorial [3] [4] [5] [6]. O método mais comum de se estudar o processamento sensorial da informa¸cão pelo cérebro é através da estimula¸cão repetida, através dos sinais f´ısicos apropriados, do receptor sensorial; e o subsequente estudo da área cortical implicada [7]. O estudo da área cortical implicada geralmente consiste na análise das respostas neurais registradas eletrofisiologicamente, as

quais podem ser invasivas (an´alise por spikes, por exemplo) ou n˜ao (registros

eletroence-falogr´aficos - EEGs).

Os potenciais de a¸c˜ao, spikes ou “disparos”, s˜ao os sinais mais utilizados na pesquisa

por c´odigos neurais, sendo os elementos constituintes em c´odigos temporais ou por taxa

[8]. Os códigos por taxa contam o número despikes em várias amostras ou em um

inter-valo de tempo e fazem uma média de sua ocorrência, ao passo que os códigos temporais

observam a rela¸c˜ao precisa de tempo entre spikes individuais em neurˆonios distribu´ıdos

[9].

Medidas de associa¸cão entre variáveis ambientais e neurofisiológicas podem ser fei-tas para compreender quais sinais neurofisiológicos, ou quais de seus aspectos, possuem maior relevância para a codifica¸cão interna. Como geralmente se observa grande vari-abilidade nas respostas neurofisiológicas e nas variáveis externas às quais os seres vivos

estão submetidos, são usadas medidas como correla¸cão e informa¸cão mútua, adequadas

no tratamento de variáveis aleatórias [10]. Esta última apresenta a vantagem de capturar

dependências não lineares entre as variáveis aleatórias, o que não é verdadeiro para a correla¸cão de Pearson.

´

(12)

1.1 Potenciais P´

os-Sin´

apticos

Os neurônios são células que geralmente apresentam uma diferen¸ca de potencial negativa em sua membrana, em rela¸cão ao meio extracelular, chamada de potencial de repouso. Esse fato se deve essencialmente à presen¸ca de canais que permitem a entrada e a sa´ıda de ´ıons da célula de maneira diferenciada e devido às diferentes concentra¸cões desses ´ıons nos meios intra e extracelulares.

´

E bem estabelecido em Neurociências que a principal forma de comunica¸cão entre neurônios é a sinapse (há pesquisas, porém, de outras formas poss´ıveis [11]). A sinapse pode ser elétrica ou qu´ımica. As sinapses elétricas são mais rápidas, por possu´ırem pouco ou nenhum espa¸co entre os neurônios envolvidos, estão presentes no hipotálamo, no cerebelo e no córtex cerebral, permitindo atividades de sincroniza¸cão da respira¸cão, por exemplo. Por sua vez, a sinapse qu´ımica apresenta uma fenda sináptica através da qual a sinaliza¸cão qu´ımica é feita, sendo mais lenta e representando a maioria das sinapses.

No caso da sinapse qu´ımica, o neurônio pré-sináptico passa por um potencial de a¸cão,

ou spike, que nos terminais sin´apticos causa a entrada de c´alcio (Ca++

(13)

Figura 1.1: Esquema ilustrativo de sinapse excitatória ionotrópica, isto é, que aumenta o potencial de membrana do neurônio pós-sináptico, por meio dos neurotrans-missores que alteram a conforma¸cão proteica de canal ligante-dependente, permitindo a

entrada de ´ıons positivos (Na+, neste caso). Fonte:

http://www.culturamix.com/cultura-/sinapse-artificial

Essas mudan¸cas na célula pós-sináptica em rela¸cão ao potencial de repouso, devido

às sinapses, são chamadas de potenciais pós-sinápticos (PSPs, postsynaptic potentials),

podendo ser excitatórios ou inibitórios (despolariza¸cões ou hiperpolariza¸cões, respectiva-mente), dependendo do potencial de reversão do receptor pós-sináptico, o qual depende

do número de canais permeáveis aos ´ıons e da concentra¸cão destes nos meios intra e

extracelulares. Em receptores ionotrópicos, os PSPs excitatórios podem ser gerados pela entrada dos ´ıons de sódio (Na+

) e os PSPs inibit´orios podem ser gerados pela entrada de ´ıons de cloro (Cl−

) nas células, por exemplo. Há contudo, o caso de células ciliares no ouvido interno, que transformam os sinais mecânicos do som em sinais elétricos

neuro-nais, e para as quais o meio extracelular ´e mais abundante em pot´assio (K+_{) - sendo este}

elemento o responsável pela despolariza¸cão da membrana (diferentemente dos casos em que há influxo de Na+).

Caso ocorram PSPs excitatórios, o potencial da membrana ficará temporariamente mais positivo em rela¸cão ao que era. Se a despolariza¸cão atingir um valor de voltagem chamado de limiar de disparo, o neurônio passa por uma fase de transmissão, ao longo da célula, de um sinal elétrico, o já citado potencial de a¸cão (spike). Há, contudo, casos de neurônios que disparam potencial de a¸cão após uma hiperpolariza¸cão, dependendo da dinâmica de sua membrana [12].

´

E sabido que o número de entradas sinápticas recebidas por cada neurônio no sistema

(14)

sim-plesmente de PSP. Além disso, covém ressaltar que os registros utilizados neste trabalho têm dura¸cão de 150ms, come¸cando 15ms antes da apresenta¸cão do est´ımulo sonoro, e têm amplitude normalizada segundo estes primeiros 15ms (veja cap´ıtulo 2).

0 0.05 0.1 0.15

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tempo (s)

Potencial na membrana (unidades normalizadas)

PSP

Figura 1.2: Exemplo de PSP na membrana de um neurˆonio do c´ortex auditivo de um

rato anestesiado sujeito a est´ımulo sonoro dos 15 aos 40ms (linha vermelha).

1.2 Potenciais de Campo Local

Potenciais de campo local (LFPs - Local Field Potentials) são registros eletrofisiológicos obtidos invasivamente no cérebro de animais sob experimento ou de pessoas sob

proce-dimentos cirúrgicos, por meio de eletrodos. Os LFPs são os sinais elétricos registrados,

amplificados e filtrados a baixas frequˆencias (por exemplo,<500 Hz).

Há o consenso de que os sinais de LFP apontem a atividade de uma popula¸cão de neurônios, sendo gerados por oscila¸cões lentas em suas membranas, as quais podem ser os potenciais pós-sinápticos ou altera¸cões na membrana neuronal que ocorrem após um

spike[14]. Devido à contribui¸cão da atividade s´ıncrona de vários neurônios sobre o sinal

de LFP, a pergunta de quantos neurônios estão contribuindo não é de fácil resposta e costuma-se referir ao espa¸co cortical que gerou o sinal. Essa região varia em fun¸cão da morfologia dos neurônios, de sua distribui¸cão sináptica e da correla¸cão da atividade sináptica entre eles, perpassando valores de poucas centenas de micrômetros (µm) a vários mil´ımetros (mm) [15]. Outros fatores que influenciam o registro do LFP são o próprio instrumento de medi¸cão, o eletrodo, e suas caracter´ısticas, tais quais sua impedância, o material de que é feito, sua geometria e superf´ıcie de contato.

(15)

de 150ms, come¸cando 15ms antes da apresenta¸c˜ao do est´ımulo sonoro, e tˆem amplitude normalizada segundo estes primeiros 15ms.

0 0.05 0.1 0.15

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

Tempo (ms) LFP

Potencial na membrana (unidades normalizadas)

Figura 1.3: Exemplo de LFPobtido no c´ortex auditivo de um rato anestesiado sujeito

a est´ımulo sonoro dos 15 aos 40ms (linha vermelha).

1.3 C´

ortex Auditivo

No sistema auditivo, a codifica¸cão de est´ımulos sonoros é facilitada desde a cóclea, o órgão sensitivo responsável pela audi¸cão, por meio de células ciliadas. Estas células estão organizadas tonotopicamente, i.e., estas células transdutoras estão separadas segundo a frequência sonora a que respondem mais intensamente, e essa divisão é mantida até o córtex. O nervo auditivo estabelece a liga¸cão entre as células ciliadas e o núcleo coclear,

o qual emite proje¸c˜oes para outros n´ucleos no tronco cerebral, a saber: complexo olivar

(16)

Cérebro

Córtex Auditivo Primário

NGM

Mesencéfalo Rostral

Mesencéfalo Caudal

Junção Mesencéfalo Pons

Núcleo Coclear Dorsal Posteroventral Anteroventral Oliva Superior Núcleo do Lemnisco Lateral

Colículo Inferior

Medula Rostral

Nervo Auditivo Cóclea

Figura 1.4: N´ucleos de retransmiss˜ao do sistema auditivo. Esquema simplificado,

da cóclea ao córtex auditivo primário (retirado da referência [13]).

Estudos recentes investigaram medidas de dependˆencia entre est´ımulos e spikes no

c´ortex auditivo. Foi mostrado que a latˆencia das respostas despikes e a contagem de

spi-kes codificam est´ımulos sonoros [16]. Contudo, ainda não foi feita a análise da codifica¸cão de est´ımulos auditivos por meio de PSPs e de como esta se compara com a codifica¸cão realizada pelos LFPs. Como se acredita que o LFP seja resultado da a¸cão coletiva de vários neurônios em uma vizinhan¸ca, é razoável ponderar se a dependência de LFPs a est´ımulos sonoros é maior que a dos sinais individuais de PSPs. A análise de LFPs e

PSPs através da informa¸cão mútua, uma medida de dependência, aplicada a diferentes

(17)

1.4 Objetivos

A presente disserta¸cão propõe-se a estudar registros intra (PSP) e extra (LFP) celulares do córtex auditivo de ratos anestesiados enquanto sujeitos a est´ımulos sonoros, a fim de quantificar a informa¸cão mútua entre estes est´ımulos e as respostas destes dois tipos de sinais. Além disso, verificar-se-á se os sinais individuais de neurônios (PSPs) e os de conjunto de neurônios (LFPs) possuem rela¸cões de sinergia ou redundância. Para ambos os sinais, serão utilizados aspectos das respostas como amplitude e latência.

1.5 Estrutura do Trabalho

O cap´ıtulo 2 descreve a obten¸cão dos registros utilizados, enquanto o cap´ıtulo 3 apresenta uma abordagem resumida dos conceitos de Teoria da Informa¸cão que serão relevantes na análise dos registros. Por sua vez, o cap´ıtulo 4 explora algumas técnicas para retirada de viés nas estimativas feitas com os conceitos do cap´ıtulo 3. O cap´ıtulo 5 apresenta o tratamento feito com os registros para realizar estimativas. Finalmente, os resultados

obtidos nas estima¸cões de informa¸cão mútua entre est´ımulos sonoros e PSPs/LFPs, além

(18)

Cap´ıtulo 2

Coleta dos dados

O banco de dados deste projeto foi obtido através da estimula¸cão do córtex auditivo de ratos anestesiados por meio da apresenta¸cão de 32 tons breves (25ms) de mesma amplitude (65dB) e frequências distintas separadas logaritmicamente, apresentados em ordem fixa, pseudoaleatória, a uma taxa de dois por segundo e provenientes de mesma localiza¸cão espacial (6cm à direita do animal). As frequências dos tons eram puras, variando de 2kHz a 46731Hz, sabe-se que neste intervalo as frequências são aud´ıveis para ratos (a referência [21] traz o intervalo aud´ıvel de 500Hz a 64kHz a 60dB, para ratos). Os registros foram

feitos emCold Spring Harbor Laboratory, em Nova York, E.U.A., de acordo com National

Institutes of Health guidelines e aprovadas pelo Cold Spring Harbor Laboratory Animal

Care and Use Committee. Esses dados estão à disposi¸cão no site http://crcns.org/ [22],

o qual foi elaborado para compartilhar dados de alta qualidade e valor cient´ıfico em Neurociências, a fim de facilitar pesquisas na neurociência computacional. Os dados são uma contribui¸cão de Michael DeWeese, da Universidade de Califórnia, Berkeley, atuando no laboratório de Anthony Zador.

A descri¸cão detalhada dos procedimentos adotados para aquisi¸cão é dada na referência

[17]. De maneira resumida, os registros foram obtidos porpatch clamp in vivode 33 c´elulas

do córtex auditivo primário de ratos, em regiões diferentes deste córtex, de maneira a in-cluir diferentes regiões de seu mapa tonotópico, e em cerca de 17 animais (DeWeese, comunica¸cão pessoal). O bloqueador de canal de sódio rápido, QX-314, também capaz de bloquear outras condutâncias evocadas, foi adicionado à solu¸cão intracelular para evi-tar potenciais de a¸cão. Dos 33 registros, 29 apresentam também registros extracelulares de LFPs, obtidos por outro eletrodo separado a uma distância aproximada de 0,5mm da célula clampeada (a Figura 2.1 mostra um exemplo de aparelho para registro simultâneo

de PSP porpatch clampe de LFP por eletrodo,in vivo). Os registros foram feitos

continu-amente, sendo depois separados em matrizes de dura¸cão de 150ms, come¸cando 15ms antes da apresenta¸cão do est´ımulo - estas matrizes foram os registros utilizados neste trabalho. A anestesia utilizada foi pentobarbital (65mg/kg) em 16 dos registros, sendo que em 3 destes também foi usado diazepam (5mg/kg). Nos demais 17 registros foi utilizado ure-tano (1,5g/kg), após cirurgia feita com ketamina (60mg/kg) e medetomedina (0,5mg/kg). A lista de células numeradas e separadas de acordo com a droga utilizada para registro encontra-se na tabela A.1, anexo A. Após se encontrarem profundamente anestesiados, os animais foram colocados em uma conten¸cão naso-orbital que mantinha as orelhas livres. Anestésico local foi aplicado ao escalpo e uma craniotomia e durotomia 1x2mm foi feita

sobre o c´ortex auditivo esquerdo. A temperatura dos animais foi mantida a 37◦

C atrav´es

(19)

Figura 2.1: Exemplo de aparelho de registro simultˆaneo de PSP por patch clamp e

de LFP por eletrodo, in vivo (imagem retirada da referˆencia [23]).

(20)

Cap´ıtulo 3

Conceitos de Teoria da Informa¸c˜

ao

A Teoria da Informa¸cão é uma ciência relativamente recente se comparada com as demais

ciˆencias, foi estabelecida com a publica¸c˜ao do artigoA Mathematical Theory of

Commu-nication(“Uma Teoria Matem´atica da Comunica¸c˜ao”), de Claude Shannon, em 1948 [18].

O artigo procurou fixar medidas de comunica¸cão que seriam - e são - importantes para resolver problemas de engenharia. Aspectos semânticos das mensagens foram ignorados em favor de outros aspectos, como por exemplo, de que um s´ımbolo enviado pelo emissor na mensagem seja o mesmo captado pelo receptor.

Uma das quantidades definidas na Teoria da Informa¸c˜ao ´e a entropia de um sinal

X, que pode ser denotada por H(X) (equa¸c˜ao 3.1). A entropia referida ao longo desta

disserta¸cão é chamada de entropia de Shannon. O sinalX pode ser uma variável aleatória

(v.a.) discreta de distribui¸c˜ao de probabilidade p(X). A entropia ´e uma medida da

incerteza de X, ou de qu˜ao dif´ıcil ´e prever seu resultado. Para v.a.s discretas, a entropia

é máxima quando sua distribui¸cão é uniforme nosN valores queX pode assumir e dada

pela equa¸c˜ao 3.2. Equivalentemente, se X tiver maior chance de resultar em um valor

espec´ıfico em rela¸cão aos demais, sua incerteza será menor. Fórmula da entropia para variáveis discretas:

H(X) =−

N X

i=1

p(xi) log2p(xi). (3.1)

Entropia para vari´aveis discretas uniformes (m´axima entropia):

H(X) = −

N X

i=1

p(xi) log2p(xi)

= −

N X

i=1

1

N log2

1 N

= −log2

1 N

= log2N. (3.2)

Quando expressa pelo logaritmo na base 2, como na equa¸c˜ao 3.1, a medida de entropia

é dada embits e no intervalo{H(X), H(X) + 1}se encontra o m´ınimo número médio de

perguntas bin´arias necess´arias para se saber o valor de X.

Quando a v.a. X n˜ao pode assumir um determinado valor nunca, ou seja, p(X =

xk) = 0, há a conven¸cão adotada de que 0 log20 = 0 no somatório da equa¸cão 3.1, que é

(21)

O conceito de entropia pode ser extendido para pares de v.a.s, denominando-se entro-pia conjunta (equa¸cão 3.3), e também para entroentro-pias condicionadas ao conhecimento de outra(s) v.a.(s) (equa¸cão 3.4). A entropia conjunta mede a incerteza de v.a.s quando ob-servadas conjuntamente, já a entropia condicionada mede como o conhecimento de uma v.a. influencia a incerteza de outra.

H(X, Y) = −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi, yj) (3.3)

H(X|Y) = −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi|yj) (3.4)

A entropia conjunta pode ser escrita como:

H(X, Y) = −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi, yj)

= −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(yj|xi)p(xi)

= −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi)− N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(yj|xi)

= −

N X

i=1

p(xi) log2p(xi)− N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(yj|xi)

= H(X) +H(Y|X) (3.5)

Assim, fica demonstrado que a entropia conjunta pode ser escrita por H(X, Y) =

H(X) +H(Y|X), a qual significa que a entropia conjunta de duas v.a.s ´e a soma da

entropia de uma delas e da entropia da outra condicionada `a primeira. Observe que, caso

o conhecimento da v.a. X nada acrescente para a determina¸c˜ao de Y, ou seja, caso as

vari´aveis X e Y sejam independentes, H(Y|X) = H(Y) e a incerteza conjunta ser´a a

soma das incertezas individuais. Contudo, em geral o condicionamento reduz a entropia (e a entropia conjunta ´e menor ou igual `a soma das entropias individuais).

A medida que utiliza conceitos mostrados até aqui e que é a mais utilizada na aplica¸cão de Teoria da Informa¸cão às Neurociências é a informa¸cão mútua. De maneira mais geral,

a informa¸cão mútua é uma medida semelhante a uma métrica, que indica o quanto duas

ou mais v.a.s são dependentes ou não (equa¸cão 3.6) e sabe-se que é uma medida de dependência mais geral que a correla¸cão de Pearson, que indica apenas dependências

lineares [19]. Mais precisamente, a informa¸c˜ao m´utua mede o quanto conhecer uma v.a.

(22)

I(X;Y) = N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2

p(xi, yj) p(xi)p(yj)

(3.6)

= −

N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi) + N X

i=1

N X

j=1

p(xi, yj) log2p(xi|yj)

I(X;Y) = H(X)−H(X|Y) (3.7)

A Figura 3.1 ilustra as rela¸c˜oes existentes entre entropia, entropia conjunta, entropia

condicionada e informa¸cão mútua para duas variáveis (X e Y).

Figura 3.1: Diagrama para entropia. Esquema para os conceitos de entropia, entropia

conjunta, entropia condicionada e informa¸c˜ao m´utua.

Uma das propriedades da entropia é nunca ser negativa, o que vale também para entropia condicionada [20]. Desse modo é poss´ıvel escrever:

I(X;Y) = H(X)−H(X|Y)

I(X;Y) ≤ H(X) (3.8)

I(X;Y) = H(Y)−H(Y|X)

I(X;Y) ≤ H(Y) (3.9)

Das inequa¸c˜oes 3.8 e 3.9, pode-se escrever:

I(X;Y)≤min(H(X), H(Y)), (3.10)

A qual significa que a informa¸cão mútua é limitada superiormente pelas entropias das

(23)

A informa¸cão mútua, assim como a entropia, também pode ser condicionada, conforme definida na equa¸cão 3.11.

I(X;Y|Z) = H(X|Z)−H(X|Y, Z)

= X

x∈χ X

y∈Υ

X

z∈ζ

p(x, y, z) log2

p(x, y|z)

p(x|z)p(y|z) (3.11)

A entropia conjunta e a informa¸cão mútua podem ser extendidas para várias variáveis, segundo as regras da cadeia para entropia e informa¸cão, equa¸cões 3.12 e 3.13, respectiva-mente.

Regra da cadeia para entropia:

H(X1, ..., Xn) =

n X

i=1

H(Xi|Xi−1, ..., X1). (3.12)

Regra da cadeia para informa¸c˜ao:

I(X1, ..., Xn;Y) =

n X

i=1

I(Xi;Y|Xi−1, ..., X1). (3.13)

Além dos conceitos de entropia e informa¸cão mútua, outra defini¸cão muito utilizada

em Neurociências e que utiliza os conceitos já abordados é a de sinergia (equa¸cão 3.14).

Syn(X;Y1, Y2) =I(X;Y1, Y2)−(I(X;Y1) +I(X;Y2)), (3.14)

Quando resulta em valor positivo, diz-se que h´a sinergia entre as v.a.s envolvidas, ou

que as v.a.sY1 eY2 agem sinergicamente fornecendo informa¸c˜ao sobre a v.a. X, de modo

que conjuntamente s˜ao mais informativas que quando analisadas individualmente. Por

outro lado, se o valor de Syn for negativo, ´e poss´ıvel afirmar que ocorre a situa¸c˜ao de

redundˆancia, e as v.a.s Y1 e Y2 trazem informa¸c˜oes similares sobre X.

Finalmente, outro conceito esclarecedor que a Teoria da Informa¸c˜ao traz ´e a

desigual-dade de processamento de dados. Para entendˆe-lo, definir-se-´a um processo de Markov,

denotado por X →Y →Z, para o qual pode-se escrever:

p(x, y, z) = p(x)p(y|x)p(z|y). (3.15)

A equa¸c˜ao 3.15 indica que em uma cadeia de Markov, a distribui¸c˜ao de probabilidade

da v.a. Z depende apenas deY, assim como a distribui¸c˜ao de probabilidade deY depende

apenas deX. Além disso, é poss´ıvel mostrar que as variáveisX eZ são condicionalmente

independentes em Y (p(x, z|y) =p(x|y)p(z|y)) [20].

A desigualdade de processamento de dados ´e o teorema que afirma que, se X →

Y → Z, ent˜ao I(X;Y) ≥ I(X;Z). ´E poss´ıvel intuir que o processamento de registros

eletrofisiológicos dependa apenas da distribui¸cão de probabilidade dos próprios registros e que no córtex auditivo tais registros estejam condicionados aos est´ımulos sonoros. A desigualdade de processamento de dados é importante em Neurociências porque mostra

que quaisquer processamentos ou estat´ısticas obtidas de registros associados `a v.a. X

poderão informar no máximo tanto quanto os próprios registros informariam. Em outras palavras, todas as manipula¸cões que podem ser feitas com os registros podem apenas

(24)

Dessa maneira, as ferramentas da Teoria da Informa¸c˜ao abrem possibilidades de pes-quisa na busca por codifica¸c˜oes cerebrais que traduzam o ambiente externo, em especial

as que produzam os maiores valores de informa¸cão mútua entre est´ımulos sensórios e

(25)

Cap´ıtulo 4

M´

etodos de corre¸c˜

ao de vi´

es

Conforme visto no cap´ıtulo 3, equa¸cões 3.1 e 3.6, para calcular a entropia ou informa¸cão mútua entre variáveis aleatórias, é necessário conhecer primeiro sua distribui¸cão de pro-babilidade. Contudo, geralmente esta distribui¸cão e/ou seus parâmetros não são conhe-cidos, da´ı a necessidade de amostras. Se X1, X2, . . . XN é uma amostra na variável X

e θ é um parâmetro desconhecido da sua distribui¸cão de probabilidade, por exemplo a

média, uma fun¸cão g(X1, X2, . . . , XN) para estimar θ é chamada de estimador; o valor ˆ

θ =g(x1, x2, . . . , xN) obtido para uma amostra poss´ıvel ´e chamado de estimativa.

Quando a média que o estimador assume é diferente do verdadeiro valor do parâmetro, isto é, Eg(X1, X2, . . . , XN) 6= θ, diz-se que o estimador é enviesado, tendencioso ou viciado [24]. O desenvolvimento da equa¸cão 4.1 traz o viés pela componente |θ−E(ˆθ)|, na desigualdade 4.3:

erro(θ) = |θ−θˆ| (4.1)

= |θ−E(ˆθ) +E(ˆθ)−θˆ| (4.2)

≤ |θ−E(ˆθ)|+|E(ˆθ)−θˆ| (4.3)

O estimador de probabilidade utilizado neste trabalho computa as frequências rela-tivas dos valores que a variável assume. No caso da distribui¸cão conjunta das variáveis

X e Y, conta-se o n´umero de vezes que o par (X = x, Y = y) ocorreu e divide-se pelo

tamanho da amostra (ˆp(x, y) = n(x, y)/N). Este estimador ´e o de m´axima

verossimi-lhan¸ca para as probabilidades, o que significa que ele traz estimativas de probabilidade que maximizam a fun¸cão de verossimilhan¸ca [25]. Quando a estima¸cão de informa¸cão é feita usando probabilidades obtidas segundo o estimador de máxima verossimilhan¸ca,

chama-se o estimador de informa¸c˜ao deplug-in ounaive.

A Figura 4.1, adaptada da referência [29], ilustra o caso em que dois neurônios hi-potéticos apresentam probabilidades de respostas (de um a dez) quando são apresentados a dois est´ımulos diferentes. O primeiro neurônio não apresenta nenhuma informa¸cão so-bre qual est´ımulo foi apresentado, possuindo a mesma probabilidade de emitir qualquer uma das respostas, seja qual for o est´ımulo. O segundo neurônio apresenta probabilidades

diferentes para as respostas, condicionadas ao est´ımulo. As estimativas naive de

proba-bilidade s˜ao mostradas pelas linhas cinzas. Os histogramas mais `a direita mostram 5000

estimativas para informa¸cão mútua entre est´ımulos e respostas para os dois neurônios,

(26)

de informa¸cão mútua. Para ambos neurônios, o viés é reduzido quando a amostra é de maior tamanho (isto é, no caso do tamanho amostral 100).

Neurônio não informativo

Estímulo 1 Estímulo 2

Neurônio informativo

Estímulo 1 Estímulo 2

P

robabilidade

20 amostr

as

100 a

most

ras

0.1

0.1 0.3

0.3

Respostas Respostas 1 5 10 1 5 10

1 5 10

1 5 10 0 0.2 0.5

0 0.2 0.5 0.1

0.5 0.1

Informação Respostas Respostas

P

robabilidade

20 amostr

as

100 a

most

ras

0.1 0.1 0.3 0.3

1 5 10 1 5 10

Informação 0.1

0.2 0.1

0.5 0.66 1 0.5 0.66 1

Figura 4.1: Exemplo de emprego do estimador naive. Nos gr´aficos do lado

es-querdo, as probabilidades verdadeiras para cada uma das dez respostas à apresenta¸cão do est´ımulo 1 ou 2 são indicadas pela curva preta. Exemplos obtidos para as estima-tivas de probabilidades são mostrados nas curvas cinzas. No lado direito, frequências de estimativas de informa¸cão mútua utilizando o estimador naive, para 5000 simula¸cões.

O valor verdadeiro de informa¸cão mútua para os dois neurônios é indicado pela linha

tracejada. Para os dois neurˆonios, no painel superior as amostras possuem tamanho 20; no painel inferior, tamanho 100. Figura adaptada da referˆencia [29].

A estima¸cão de entropia e de informa¸cão mútua usando o estimadornaiveé enviesada

e algumas aproxima¸cões de viés foram desenvolvidas quando se está em regime assintótico de amostragem [26]. O regime assintótico pode ser descrito, de maneira informal, como um regime em que há muitas amostras em rela¸cão às respostas poss´ıveis que as amostras

podem resultar. De maneira mais formal, sejam r a vari´avel aleat´oria que associa um

valor `a resposta neurofisiol´ogica e s a que associa um valor ao est´ımulo apresentado,

temos que NsP(r|s)≫1. P(r|s) representa a probabilidade condicionada de registrar-se

a resposta r dado ter sido s o est´ımulo apresentado, Ns ´e o n´umero de amostras em

resposta à apresenta¸cão do est´ımulo s. As expressões aproximadas de viés para este caso são:

vies[H(R)] = −1

2Nln 2( ¯R−1)

vies[H(R|S)] = −1

2Nln 2

X

s

( ¯Rs−1)

vies[I(R;S)] = 1

2Nln 2

"

X

s

( ¯Rs−1)−( ¯R−1) #

(4.4)

Nessas expressões, N é o número total de amostras, ¯R é o número de respostas

que apresentam probabilidade não nula de ocorrência e ¯Rs é o número de respostas

condicionadas à apresenta¸cão de uma entrada s que apresentam probabilidade não nula

(27)

Apesar de não apresentarem valores exatos para o viés e serem derivadas para situa¸cões quase ideais de regime assintótico, as expressões em 4.4 permitem algum esclarecimento sobre o comportamento do viés conforme as amostras aumentam. Percebe-se, por

exem-plo, que quando o número de amostras é constante, o viés da informa¸cão mútua aumenta

quando há mais valores poss´ıveis para as respostas neurofisiológicas. Esta é uma situa¸cão muito frequente em neurociências, pois os dados neurofisiológicos costumam formar um amplo espa¸co de respostas, em particular os referentes a códigos temporais. Para estes, o

universo de respostas poss´ıveis cresce exponencialmente com o n´umero debins, ou janelas

de tempo, que são registradas - se cada bin registrar 0 ou 1 spike, o número de respostas poss´ıveis será 2L _(L _{o n´}_{umero de} _bins_).

Felizmente, diante do exposto, há métodos para a corre¸cão do viés na estima¸cão

de entropia e informa¸cão mútua. Alguns dos mais utilizados e retratados a seguir são:

Shuffling, método de Panzeri-Treves e extrapola¸cão quadrática (QE - Quadratic

Extra-polation).

4.1 M´

etodo

Shuffling

O métodoshufflingé utilizado apenas para estima¸cão de informa¸cão mútua e consiste em

parear as vari´aveis aleat´orias s de est´ımulo e r de resposta aleatoriamente, encontrando

um valor de informa¸c˜ao m´utua que seria supostamente nulo, uma vez que as poss´ıveis

correla¸cões entre as duas variáveis estariam sendo destru´ıdas. Esse procedimento é repe-tido várias vezes e a média dos valores obrepe-tidos,Ishuf f led(S;R), é subtra´ıda da estimativa

naive [27].

Itrue(S;R) =Inaive(S;R)−Ishuf f led(S;R) (4.5)

O método apresenta, no entanto, algumas restri¸cões quanto a sua utiliza¸cão em di-ferentes tipos de discretiza¸cão e só pode ser usado quando as seguintes condi¸cões são atendidas:

1. Distribui¸cão de probabilidade estimada para variáveis aleatórias discretas ou

sim-plesmente discretizadas (métodos que utilizem convolu¸cão com fun¸cões kernel não

devem usar este m´etodo para retirada de vi´es);

2. Nenhum par (s, r) pode apresentar probabilidade nula de ocorrência (caso contrário haverá superestima¸cão de viés).

4.2 M´

etodo

Panzeri-Treves

(PT)

Panzeri e Treves encontraram que a média da diferen¸ca entre a informa¸cão mútua

ver-dadeira e a estimativa naive, para todas as combina¸c˜oes de amostras de tamanho N, ´e

dada por uma série infinita. Além disso, verificaram que se o primeiro termo dessa série, C1, for suficientemente menor que um, ele é uma estimativa de viés poss´ıvel [27].

C1 =

1

2Nln 2(S−1)( ¯R−1) (4.6)

(28)

a frequência relativa de uma resposta depende apenas da probabilidade subjacente de ocorrência desta, independentemente da ocorrência das demais.

A equa¸cão 4.6 é a mesma em 4.4, só que considera que todas as respostasr poss´ıveis

ocorrem para cada um dos est´ımulos s ( ¯Rs = ¯R), como ´e desenvolvido abaixo.

1

2Nln 2

"

X

s

( ¯Rs−1)−( ¯R−1) #

= 1

2Nln 2

"

X

s

( ¯R−1)−( ¯R−1) #

= 1

2Nln 2[S( ¯R−1)−( ¯R−1)]

= 1

2Nln 2[(S−1)( ¯R−1)]

= C1

Essa suposi¸cão, contudo, é uma superestima¸cão do viés quando há de fato respostas que não ocorrem para um determinado est´ımulo. Por outro lado, a contagem simples de ocorrência de respostas aos est´ımulos pode subestimar o verdadeiro valor do viés, haja visto que as amostras podem ter sido insuficientes para refletir toda a sua variabilidade. Dessa forma, o método PT consiste em empregar a teoria de Bayes, que utiliza pro-babilidades condicionadas, para estimar os valores de ¯R e ¯Rs, aplicando-os na equa¸cão

4.4 para estimar o viés. Uma vez estimado, o viés é subtra´ıdo da estimativa naive de

informa¸c˜ao m´utua [28].

4.3 M´

etodo da extrapola¸c˜

ao quadr´

atica (QE)

O método da extrapola¸cão quadrática, utilizado para estima¸cão de entropia e informa¸cão

mútua, consiste em dividir o conjunto de amostras em parti¸cões aleatórias com 1/2 e

1/4 do tamanho populacional original. Para estes subgrupos, s˜ao estimadas a

entro-pia ou informa¸cão mútua, segundo o método naive, sendo feita em seguida a média

dos dois e quatro valores estimados. Os pares (N, Inaive1(S;R)), (N/2, Inaive2(S;R)) e

(N/4, Inaive4(S;R)) são usados de forma a ajustar os parâmetros Itrue, a e b da curva descrita nas equa¸cões 4.7, 4.8 e 4.9 abaixo:

Inaive1(S;R) = Itrue(S;R) + a

N +

b

N2 (4.7)

(N/2) +

b

(N/2)2 (4.8)

(N/4) +

b

(N/4)2 (4.9)

O valor encontrado para o parâmetro Itrue(S;R) é a aproxima¸cão da informa¸cão

m´utua, corrigida. A Figura 4.2 ilustra um ajuste feito de estima¸c˜ao QE para entropia de

(29)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1.78

1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9 1.92 1.94 1.96

Inverso da fração de dados

Entr

opia em bits

Figura 4.2: Exemplo do método QE para estima¸cão de entropia, para distribui¸cão

homogˆenea e R = 4. As circunferˆencias azuis indicam estimativas de entropia

conside-rando a amostra inteiramente (abscissa 1) e consideconside-rando as médias de estimativas usando parti¸cões da amostra (abscissas 2 e 4). O asterisco azul indica a estimativa QE. O valor teórico de entropia é 2 bits.

4.4 Simula¸c˜

oes comparativas entre os m´

etodos

Diante dos diversos métodos explicados, surge a dúvida sobre qual método de corre¸cão

de vi´es ´e mais eficiente para os dados deste trabalho, no sentido de apresentar

estimati-vas mais confiáveis e próximas dos valores verdadeiros de entropia e informa¸cão mútua.

Para encontrar o método a ser utilizado com os dados experimentais, foram realizadas simula¸cões e estimativas com pares de variáveis aleatórias cujas verdadeiras informa¸cões

m´utuas eram conhecidas. Foi utilizado o pacote para o software Matlab apresentado em

[30].

Para gerar conjuntos de dados, considerou-se o resultado obtido na referˆencia [31], segundo a qual a libera¸c˜ao de ves´ıculas de neurotransmissores em sinapses, quando os

PSPs são relativamente pequenos, seguem uma distribui¸cão dePoisson. Esta distribui¸cão

pode ser obtida por uma distribui¸c˜ao binomial, mantendo o produto de seus parˆametros

N p equivalente `a taxa λ da Poisson (al´em disso, N → ∞ e p → 0). Desta forma, em

nosso modelo hipotético geramos uma variável aleatóriaS, uniforme no conjunto discreto

{1,2, . . . ,32}, assim como ´e uniforme a distribui¸c˜ao dos est´ımulos sonoros apresentados

aos ratos cujos registros foram utilizados neste trabalho. A vari´avel S determinou o

parâmetro p de uma distribui¸cão binomial da variável R de parâmetros N = 3 e p(s)

(p(s)∈ {1/33,2/32, . . . ,32/33}). As estimativas obtidas de informa¸c˜ao m´utua entreS e

R pelos diferentes m´etodos apresentados nas se¸c˜oes acima, bem como estimativas naive,

(30)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

5 10 15 20

Naive

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

5 10 15

20 QE

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

5 10 15

20 PT

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

5 10 15 20

Shuf

Bits Bits

Naive QE PT Shuf

0 0.05

0.1 0.15 0.2 0.25

RMSE

(A) (B)

(C) (D)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

RMSE

Naive QE PT Shuf

0.55 0.6 0.65 0.7 0

5 10 15

Naive

0.55 0.6 0.65 0.7 0

5 10 15 20

QE

0.55 0.6 0.65 0.7 0

5 10 15

PT

0.55 0.6 0.65 0.7 0

5 10 15

Shuf

Bits Bits

Figura 4.3: Compara¸cão entre os métodos de corre¸cão de viés.(A, C):

Histo-gramas de estimativas de informa¸cão mútua entre a variável R, de distribui¸cão

bino-mial, quando condicionada a uma realiza¸cão da variável S, de distribui¸cão uniforme.

Parˆametros da binomial: N = 3 e p ∈ {1/33, 2/33, . . . ,32/33}. Valor verdadeiro

in-dicado pela linha vermelha. M´edia das estimativas na linha tracejada verde. (B, D):

Raiz do erro médio quadrático (RMSE) para os 4 métodos testados: naive; QE -

extra-pola¸c˜ao quadr´atica; PT - Panzeri Treves; Shuf - Shuffling, para as estimativas em (A,

C), respectivamente. Tamanhos amostrais em (A, B): 320; em (C, D): 720.

Observando os gráficos da Figuras 4.3, percebe-se que os desempenhos dos diferentes métodos nas condi¸cões referidas foram semelhantes. A raiz do erro médio quadrático

(RMSE -root mean squared error) foi a medida usada para avalia¸c˜ao de qu˜ao distantes do

valor verdadeiro estavam as estimativas feitas. Observando mais atentamente os gr´aficos

das sub figuras (B, D), ´e poss´ıvel notar que nos casos de tamanho amostral N = 720 os

valores de RMSE são menores. Essa conclusão já era esperada, uma vez que quando a amostra é maior, os valores estimados de probabilidades são mais próximos dos reais e o

viés é diminu´ıdo (veja N no denominador das equa¸cões 4.4). O método PT apresentou

(31)

Cap´ıtulo 5

An´

alise dos dados

Este cap´ıtulo apresenta a análise feita sobre os registros eletrofisiológicos a fim de estimar a informa¸cão mútua entre eles e os est´ımulos sonoros. A análise seguiu os seguintes passos:

• Suaviza¸c˜ao das curvas;

• Retirada de amostras discrepantes;

• Verifica¸cão de número de amostras não discrepantes;

• Obten¸c˜ao de amplitudes e latˆencias.

5.1 Suaviza¸c˜

ao das curvas

(32)

−10 0 10 2000 −5 0 5 2214 −5 0 5 10 2451 0 5 10 2713 −10 −5 0 5 3003 −10 0 10 20 3325 −20 −10 0 10 3681 0 5 10 15 4074 −10 0 10 4510 0 5 10 4993 −5 0 5 10 15 5527 −5 0 5 10 6119 −5 0 5 10 15 6773 0 10 20 30 7498 0 10 20 8300 0 10 20 30 9188 −20 0 20 40 10172 −10 0 10 20 30 11260 −10 0 10 12465 −5 0 5 10 15 13799 −20 0 20 15275 −30 −20 −10 0 10 16909 −5 0 5 10 18719 0 10 20 20722 −5 0 5 10 15 22939 −5 0 5 10 25393 −10 0 10 20 30 28110 −10 0 10 20 31118 −5 0 5 10 15 34448 −20 −10 0 10 38134 −10 0 10 20 30 42214 −10 0 10 46731

0 150

tempo (ms) Hz P ot encial (a) PSPs −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 2000 −0.4 −0.2 0 0.2 2214 −0.4 −0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 2451 −0.2 0 0.2 2713 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 3003 −0.4 −0.2 0 0.2 3325 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 3681 −0.2 0 0.2 4074 −0.2 0 0.2 0.4 4510 −0.1 0 0.1 0.2 4993 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 5527 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 6119 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 6773 −1 −0.5 0 7498 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 8300 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 9188 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 10172 −1 −0.5 0 11260 −0.4 −0.2 0 0.2 12465 −1 −0.5 0 13799 −1 −0.5 0 0.5 15275 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 16909 −0.1 0 0.1 18719 −0.4 −0.2 0 0.2 20722 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 22939 −0.2 −0.1 0 0.1 25393 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 28110 −0.6 −0.4 −0.2 0 31118 −0.4 −0.2 0 34448 −0.5 0 0.5 38134 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 42214 −1 −0.5 0 46731

0 150 tempo (ms) Hz P ot encial (b) LFPs

Figura 5.1: Exemplos de registros. Registros da c´elula 13 (030201md03b), separados

pela frequência do est´ımulo sonoro. Tra¸cados médios de PSPs, nas curvas azuis, e de LFPs nas curvas pretas - feitos na vizinhan¸ca da célula (ver cap´ıtulo 2). As curvas em cinza mostram todos os registros para cada uma das 32 frequências de est´ımulo (indicada no topo de cada minigráfico). O potencial elétrico é dado em rela¸cão ao baseline (potencial médio nos 15 ms anteriores à apresenta¸cão do est´ımulo). O tra¸co vermelho indica o per´ıodo de apresenta¸cão do est´ımulo.

(33)

Exemplos dos efeitos obtidos est˜ao ilustrados na Figura 5.2.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

−5 0 5 10

potencial (unidades normalizadas)

0.05 0.1 0.15

tempo (s)

0.05 0.1 0.15

tempo (s)

PSP LFP

Figura 5.2: Filtragem de registros. Sinais de PSP (`a esquerda) e LFP (`a direita), com

e sem a passagem por filtro passa-baixas a 300 Hz (curvas preta e azul, respectivamente). Exemplos da célula 13 (030201md03b) em resposta ao est´ımulo sonoro de 5527Hz. O potencial elétrico, para cada sinal, é normalizado em rela¸cão ao baseline (potencial médio nos primeiros 15 ms, anteriores à apresenta¸cão do est´ımulo, indicada pelo tra¸co vermelho).

5.2 Retirada de Amostras Discrepantes

O segundo passo na análise foi a exclusão de registros eletrofisiológicos discrepantes. O critério utilizado foi o mesmo da referência [17], observando-se o quanto o formato do tra¸cado se distancia do formato médio de tra¸cados em uma dada célula e para um mesmo est´ımulo, já filtrados. A análise é feita da seguinte forma: cada sinal é visto como um vetor e sua proje¸cão é feita sobre o sinal médio:

proj~v~u=

~u.~v ~v.~v

~v. (5.1)

Na equa¸cão 5.1, ~u é o vetor de uma resposta, e~v é o vetor da resposta média. Os

vetores s˜ao considerados em apenas 100ms, come¸cando 15ms antes da apresenta¸c˜ao do

est´ımulo. Em seguida, a raiz do erro m´edio quadr´atico (rmse - root mean squared error)

entre a resposta média e a proje¸cão é calculada. Caso o escalar multiplicando o vetor~v

seja negativo ou o rmse calculado esteja acima de 0,35 vezes a distância do m´ınimo ao pico da resposta média para cada tom, o sinal é considerado discrepante e é exclu´ıdo das demais etapas de análise.

(34)

curva azul e exclu´ıdas, na curva vinho. Nota-se que os formatos das curvas azul e preta s˜ao similares, ao passo que a curva vinho mostra-se distante da m´edia.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−1 0 1 2 3 4 5

tempo (s)

potencial (unidades normalizadas)

PSPs

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

tempo (s) LFPs

Figura 5.3: Sinais discrepantes. M´edia dos sinais satisfat´orios, em azul, e discrepantes,

em vinho, segundo critério sugerido na referência [17]. Curvas em preto são a média dos sinais de PSP (à esquerda) e LFP (à direita) já filtrados a 300 Hz. Exemplos da célula 13 (030201md03b) em resposta ao est´ımulo sonoro de 38134Hz. Apresenta¸cão do est´ımulo indicada pelo tra¸co vermelho.

5.3 N´

umero de Amostras N˜

ao Discrepantes

O passo seguinte na análise foi a verifica¸cão do número de amostras não discrepantes, pois

um número muito reduzido de amostras não permite estimativas coerentes de informa¸cão

m´utua, mesmo aplicando uma corre¸c˜ao como PT, a escolhida no cap´ıtulo 4. As Figuras

5.4 e 5.5 indicam para cada c´elula e est´ımulo o n´umero de amostras restantes. Na Figura

5.6 estão apresentados o número de registros simultâneos não discrepantes de PSPs e

LFPs. No anexo C, as tabelas C.1, C.2 e C.3 mostram detalhadamente, para cada

c´elula e est´ımulo, o n´umero de amostras restantes expressas nas Figuras 5.4, 5.5 e 5.6,

(35)

0 20 40 60

Célula 1

0 10 20 30 40

Célula 2

0 20 40 60 80

Célula 3

0 20 40

Célula 4

0 5 10

Célula 5

0 5 10

Célula 6

0 5 10 15 20 25

Célula 7

0 10 20

Célula 8

0 10 20 30

Célula 9

0 5 10 15 20

Célula 10

0 5 10 15 20 25

Célula 11

0 10 20

Célula 12

0 10 20 30 40

Número

d

e

Amostra

s Célula 13

0 5 10 15 20

Célula 14

0 5 10 15

Célula 15

0 5 10 15 20

Célula 16

0 10 20 30 40

Célula 17

0 20 40 60 80

Célula 18

0 5 10 15 20

0 10 20 30 40

0 10 20 30

0 10 20 30 40 50

0 10 20 30

0 5 10

0 10 20 30 40

0 20 40

0 5 10 15 20

0 5 10 15

0 10 20 30

0 5 10

Estímulos

0 5 10 15

Número

d

e

Amostra

s

Número

d

e

Amostra

s

Númer

o d

e

Amostra

s

Númer

o d

e

Amostra

s

Númer

o d

e

Amostra

s Célula 19 Célula 20

Célula 25 Célula 26 Célula 27 Célula 28 Célula 29 Célula 30 Célula 21 Célula 22 Célula 23 Célula 24

Célula 31 Célula 32 Célula 33

Estímulos Estímulos

Estímulos Estímulos Estímulos

Figura 5.4: Número de amostras de PSPs. Os gráficos mostram o número de

(36)

0 20 40 60

Célula 1

0 10 20 30 40

Célula 2

0 20 40 60 80

Célula 3

0 20 40

Célula 4

0 5 10

Célula 5

0 5 10

Célula 6

0 5 10 15 20 25

Célula 7

0 10 20

Célula 8

0 10 20 30

Célula 9

0 5 10 15 20

Célula 10

0 5 10 15 20 25

Célula 11

0 10 20

Célula 12

0 10 20 30 40

Célula 13

0 5 10 15 20

Célula 14

0 5 10 15

Célula 15

0 5 10 15 20

Célula 16

0 10 20 30 40

Célula 17

0 20 40 60 80

Célula 18

0 5 10 15 20

Célula 19

0 10 20 30 40

Célula 20

0 10 20 30

Célula 21

0 10 20 30 40 50

Célula 22

0 10 20 30

Célula 23

0 5 10

Célula 24

0 10 20 30 40

Célula 25

0 10 20 30 40

Célula 26

0 20 40

Célula 27

0 5 10 15 20

Célula 28

0 5 10 15

Célula 29

Número

d

e

Amostras

Número

d

e

Amostras

Número

d

e

Amostras

Númer

o

d

e

Amostra

s

Númer

o

d

e

Amostra

s

Númer

o

d

e

Amostra

s

Estímulos

Estímulos Estímulos

Estímulos

Figura 5.5: Números de amostras de LFPs. Os gráficos mostram o número de

(37)

0 20 40

Célula 16

0 20 40

Célula 17

0 20 40

Célula 18

0 20 40

Célula 19

0 20 40

Célula 20

0 20 40

Célula 21

0 20 40

Célula 22

0 20 40

Célula 23

0 20 40

Célula 24

0 20 40

Célula 25

0 20 40

Nú

mero d

e Amostras

Célula 26

0 20 40

Célula 27

0 20 40

Célula 28

0 20 40

Célula 29

Nú

mero d

e Amostras

Nú

mero d

e Amostras

Estímulos Estímulos Estímulos Estímulos

0 20 40

Célula 11

0 20 40

Célula 12

0 20 40

Célula 13

0 20 40

Célula 14

0 20 40

Célula 15

Número de Amostras

Célula 1 Célula 2 Célula 3 Célula 4 Célula 5

Célula 6 Célula 7 Célula 8 Célula 9 Célula 10

Estímulos

Figura 5.6: Números de amostras de PSPs e LFPs. O número de amostras não

discrepantes, para cada um dos 32 est´ımulos (frequências) apresentados, para as 29 células com registros simultâneos de PSPs e de LFPs.

A fim de investigar o número de amostras necessárias para estimativas próximas

do valor verdadeiro de informa¸cão, realizaram-se simula¸cões as quais consideraram as distribui¸cões emp´ıricas (naive) de probabilidade de amplitudes de PSPs da célula 13. As amplitudess foram obtidas após a realiza¸cão do processo da se¸cão 5.2 e foram discretizadas

em classes igualmente populosas (R = 4 ou R = 16 classes). Pares de est´ımulos e

respostas foram gerados, em que os est´ımulos foram repetidos aproximadamente o mesmo

(38)

10 20 30 40 50 60 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Ns

Erro percentual

(a) R_{= 4}

10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Ns

Erro percentual

(b) R_{= 16}

Figura 5.7: Erro percentual médio e número de amostras. Erro percentual médio

obtido nas 100 estimativas feitas com simula¸cões em fun¸cão do número de amostras por

est´ımulo (Ns), e cálculo dos desvios padrões dos erros, indicadas nas linhas vermelhas. Si-mula¸cões feitas considerando como modelo a distribui¸cão emp´ırica (naive) de amplitudes de PSPs da célula 13, condicionadas aos est´ımulos.

geradas segundo a distribui¸c˜ao naive de probabilidade condicionada das respostas aos

est´ımulos. Observando o número Ns médio de amostras por est´ımulo de cada célula,

variou-se o tamanho amostral nas simula¸cões, indo de Ns m´ınimo até Ns máximo entre

as células com registros de PSP. As simula¸cões foram feitas 100 vezes para cada valor de Ns, computando-se estimativas de informa¸cão mútua, com a corre¸cão PT, e calculando-se o erro percentual médio para as 100 estimativas em seguida. Os resultados obtidos estão expressos na Figura 5.7.

Um fator interessante e observ´avel na Figura 5.7 foi a diminui¸c˜ao do erro percentual

m´edio e do desvio padr˜ao do erro conforme Ns cresce. Em particular, observa-se que

para o caso de poucas amostras, tanto o erro quanto seu desvio padr˜ao s˜ao menores

quando a resposta ´e discretizada em R = 4. Teoricamente, quando h´a muitas amostras,

a discretiza¸c˜ao em mais classes ´e mais interessante, retratando melhor a resposta e, por

conseguinte, o est´ımulo, pois o limite imposto pela entropia da vari´avel R ´e aumentado.

Na prática, o observado nas simula¸cões foi que quando há mais amostras, nem o erro percentual médio nem o desvio padrão dos erros percentuais diminu´ıram muito.

Por-tanto, sabendo da necessidade de escolher um ´unico n´umero para representar as repostas

eletrofisiol´ogicas e comparar estimativas, optou-se por manterR = 4, haja visto que para

as c´elulas menos amostradas este n´umero causa menores erros e desvios e, para as mais

amostradas, apesar do n´umero ser conservador, o desempenho foi similar ao casoR = 16.

Além disso, para o caso de estimativas de informa¸cão conjunta, a discretiza¸cão de cada

resposta em 16 n´ıveis traria uma resposta conjunta que poderia atingir 16×16 = 256

valo-res, enquanto a informa¸cão conjunta da resposta discretizada em 4 n´ıveis atinge o máximo de apenas 16 valores poss´ıveis, causando menor viés (veja o numerador na equa¸cão de aproxima¸cão de viés, equa¸cão 4.4, cap´ıtulo 4).

Ainda observando-se a Figura 5.7, agora para o caso R= 4 em particular, percebe-se

que o erro percentual m´edio ´e menor que 10% para Ns≥8, que constitui um valor baixo

de erro. Dessa forma, optou-se por excluir da an´alise as c´elulas que apresentaram Ns

(39)

respectivamente). A célula 9 (022301md01) também foi exclu´ıda da análise, por não apresentar quaiquer amostras para um dos est´ımulos, de maneira que das 29 células com registros simultâneos de PSPs e LFPs, 25 foram mantidas para cálculo de informa¸cão considerando os dois tipos de registros. Todas as células são utilizadas, no entanto, quando se trata de estimar informa¸cão utilizando apenas PSPs ou apenas LFPs.

5.4 Obten¸c˜

ao de Amplitudes e Latˆ

encias

O passo seguinte na an´alise foi a retirada de aspectos dos registros a fim de computar

a informa¸cão mútua entre est´ımulos e respostas eletrofisiológicas. Esta etapa reduz os

valores poss´ıveis de respostas, reduzindo um sinal no tempo para apenas um ou dois escalares. Os escalares escolhidos foram a amplitude, computada como a diferen¸ca entre os valores máximo e m´ınimo do sinal, e a latência, computada como a dura¸cão temporal da apresenta¸cão do est´ımulo ao máximo do sinal, no caso de PSPs, ou ao m´ınimo do sinal, no caso de LFPs. A Figura 5.8 ilustra esses parâmetros, o intervalo para sua obten¸cão foi de 85ms (nos registros, desde a apresenta¸cão do est´ımulo em 15ms até 100ms).

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−5 0 5 10 15 20 25 30 35

Potencial (unidades normalizadas)

Tempo (s)

PSP

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−

−0.25

−

−0.15 −0.1 −0.05

0 0.05

0.3 0.2

Tempo (s)

LFP

Figura 5.8: Obten¸cão de amplitudes e latências retiradas de registros da célula 12

(030201md01b) durante o est´ımulo de 3003Hz (latˆencia em azul e amplitude em verme-lho).

´

(40)

Cap´ıtulo 6

Resultados

Neste cap´ıtulo computamos a informa¸cão dos dados já tratados com os métodos dos cap´ıtulos 4 e 5. Para cada célula, optou-se por realizar uma discretiza¸cão simples das amplitudes ou latências das respostas de PSP/LFP em 4 classes equipovoadas. A ideia foi comparar as estimativas obtidas de registros de natureza distinta, em particular PSPs e LFPs, em seus diferentes aspectos, i.e., amplitudes e latências, e ver quais são mais in-formativas sobre os est´ımulos sonoros. Ainda verificaram-se poss´ıveis rela¸cões de sinergia ou redundância.

6.1 Caracteriza¸c˜

ao das amplitudes e latˆ

encias de PSPs

e LFPs

Antes de estimar a informa¸cão mútua em si, realizamos um estudo de caracteriza¸cão

(41)

8 9 10 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 PSP

Frequência (ln Hz)

Amplitude Média

8 9 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Frequência (ln Hz) LFP

A B

Figura 6.1: Exemplos de curvas de caracteriza¸c˜ao de amplitudes, c´elula 13. Barras

indicam amplitudes médias, de PSPs (A) ou LFPs (B), encontradas para cada frequência de est´ımulo (cujo logaritmo natural está indicado no eixo horizontal).

(42)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

17 16

11 21

24

1 2 3

4 19

22

18

23 27

28

8 5 6

7

9 10 13

14 15

C

élula

A

mplitude M

édia Nor

malizada por C

élula

26 20 31

33

25

12

29

32 30

2000 H z

3003 H z

4993 H z

8300 H z

13799 H

z 22939 H

z 38134 H

z

PSP

A

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

17 20 26 29 16 25 11 21 24 1 2 3

4 19 12 22 18 23 27 28

8 5 6 7 9 10 13 14 15

C

élula

A

mplitude M

édia Nor

malizada por C

élula

2000 H

z 3003 H

z 4993 H

z 8300 H

z 13799 H

z 22939 H

z 38134 H

z Frequência

B

LFP

Figura 6.2: Curvas normalizadas para todas as c´elulas (amplitudes). Para cada

célula, a amplitude média da resposta de PSP/LFP foi normalizada pela amplitude máxima. A ordem das células foi rearranjada de acordo com o est´ımulo de maior resposta.

De posse dos resultados de para quais est´ımulos, na m´edia, as c´elulas apresentam

mai-ores amplitudes, foi poss´ıvel construir histogramas que contam o n´umero c´elulas segundo

sua frequência de amplitude máxima (Figura 6.3). É interessante ressaltar, no entanto,

(43)

20000 10000 46731 1

2 3

20000 10000 46731

1 2 3 4 5 6 7 8

Frequência

Número de células

Frequência PSP

A

LFP

B

Figura 6.3: Distribui¸c˜ao de est´ımulos de maior amplitude. Os gr´aficos mostram

histogramas indicando o n´umero de c´elulas cujo PSP/LFP teve maior amplitude para a

frequˆencia indicada no eixo horizontal (em escala logar´ıtmica).

(44)

8 9 10 0

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Frequência (ln Hz)

Latência Média (s)

8 9 10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Frequência (ln Hz)

PSP LFP

A B

Figura 6.4: Exemplos de curvas de latências, célula 13. Barras indicam latências

(45)

2000 H z

300 3 H

z 499

3 H z

830 0 H

z 13799

Hz

22939 H z

38134 H

z Frequência

17

16

11 21

24

1 2 3

4 19

22 18 23

27

28 8

5 6

7 9

10

13 14 15 26

20 25

12 29

C

élula

B LFP

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

L

a

tência M

édia Nor

malizada por C

élula

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

L

a

tência M

édia Nor

malizada por C

élula

PSP A

2000 H z

300 3 H

z 499

3 H z

830 0 H

z 13799

Hz

22939 H z

38134 H

z 17

16 11

21 24

1 2 3

4 19 22

18 23

27 28

8 5 6

7 9

10

13 14 15

C

élula

26

20 31

33 25 12

29

32 30

Figura 6.5: Curvas normalizadas para todas as c´elulas (latˆencias). Para cada

célula, a latência média da resposta de PSP/LFP foi normalizada pela latência máxima. A ordem das células foi rearranjada de acordo com o est´ımulo de menor latência.

Tamb´em para o caso de latˆencias foi poss´ıvel construir histogramas que contam o

número células segundo sua frequência de latência m´ınima (Figura 6.6). Observa-se que