Precisão de simulações para solução de modelos estocásticos

(1)

PONTIF´ICIA UNIVERSIDADE CAT ´

OLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE INFORM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

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ENCIA DA COMPUTAC

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PRECIS ˜

AO DE SIMULAC

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AO

DE MODELOS ESTOC ´

ASTICOS

DIONE TASCHETTO

Dissertação de Mestrado apresentada como requi-sito para obtenção do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computação pelo Programa de Pós-graduação da Faculdade de Informática. Area de concentração:´ Ciência da Computação.

Orientador: Paulo Henrique Lemelle Fernandes

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

T197p Taschetto, Dione

Precisão de simulações para solução de modelos estocásticos / Dione Taschetto. – Porto Alegre, 2010.

91 p.

Diss. (Mestrado) – Fac. de Informática, PUCRS.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique Lemelle Fernandes.

1. Informática. 2. Redes de Autômatos Estocásticos. 3. Avaliação de Desempenho (Informática). 4. Simulação e Modelagem em Computadores. I. Fernandes, Paulo Henrique Lemelle. II. Título.

CDD 003.3

Ficha Catalográfica elaborada pelo

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“A journey of a thousand miles begins with a single step.”

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(9)

Agradecimentos

A Deus, por tudo.

`

A minha fam´ılia por toda dedicação durante estes dois anos de apoio e confiança, muito obrigado.

Ao meu orientador, Professor Dr. Paulo Fernandes, pelas importantes considerações que contribu´ıram para a realização deste trabalho.

Aos professores e pesquisadores Nicolas Maillard, Fernando Lu´ıs Dotti e Afonso Sales por terem aceitado o convite para compor a banca de defesa de mestrado.

A todos os colegas do PEG e do PALEOPROSPEC pelo companheirismo, especialmente `a Thais Webber por ter sido meu brac¸o direito em todas as etapas do mestrado e ao Ricardo Czekster pelas dicas com Perl e LaTeX.

Aos meus grandes amigos Gabriel Pedebos e Paulo J´unior Pivetta pelo apoio e a amizade, e `a Rita Berardi pelas dicas e pelo incentivo.

Ao pessoal do LAD, principalmente ao Antônio Lima e ao Elder Bernardi por terem me auxiliado na configuração e na manutenção das máquinas.

Aos demais colegas, professores e funcionários do programa de pós-graduação, obrigado pela atenção, pela paciência e pelas sugestões.

`

A CAPES, pelo apoio financeiro e `a PUCRS pela oportunidade.

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(11)

PRECIS ˜

AO DE SIMULAC

¸ ˜

OES PARA SOLUC

¸ ˜

AO DE MODELOS

ESTOC ´

ASTICOS

RESUMO

Através de formalismos Markovianos é poss´ıvel modelar diversos sistemas e resolvê-los através de soluç ões computacionais espec´ıficas possibilitando prever ou avaliar seus padrões de comportamento. O formalismo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) permite descrever modelos Markovianos de forma compacta e mo-dular. Além disso, é utilizado para obter ´ındices de desempenho de sistemas através de soluç ões numéricas iterativas que se baseiam em um descritor e um vetor cujo tamanho é igual ao espaço de estados do modelo. Dependendo do tamanho do modelo esta operação torna-se computacionalmente onerosa e muitas vezes im-praticável. Um método alternativo para calcular ´ındices a partir de um modelo é a simulação, principalmente porque ela simplesmente exige a definição de um gerador de números pseudo-aleatórios e funç ões de transição entre estados que permitem a criação de uma trajetória. O processo de amostragem pode ser diferente para cada técnica estabelecendo algumas regras para coleta de amostras para posterior análise estat´ıstica. As técnicas de simulação, normalmente requerem muitas amostras para calcular ´ındices de desempenho estatisticamente relevantes. Este trabalho proporciona comparaç ões da precisão dos resultados de alguns modelos Markovianos obtidos a partir da execução de diferentes técnicas de simulação. Além disso, propõe uma maneira distinta de simular modelos Markovianos usando um método baseado em estat´ısticaBootstrap para minimizar o efeito de escolha das amostras. A eficácia do método proposto, denominadoBootstrap simulation, é comparado com re-sultados da solução numérica para um conjunto de exemplos descritos por meio do formalismo de modelagem SAN.

(12)

(13)

ACCURACY OF SIMULATION FOR STOCHASTIC MODELS

SOLUTION

ABSTRACT

The use of Markovian formalisms make possible the use and the computational solution of several systems enabling the prediction and evaluation of their behavior standards. The Stochastic Automata Networks (SAN) formalism provides a compact and modular description for Markovian models. Moreover, SAN is suitable to derive performance indices for systems analysis and interpretation using iterative numerical solutions based on a descriptor and a state space sized probability vector. Depending on the size of the model this operation is computationally onerous and sometimes impracticable. An alternative method to compute indices from a model is simulation, mainly because it simply requires the definition of a pseudorandom generator and transi-tion functransi-tions for states that enable the creatransi-tion of a trajectory. The sampling process can be different for each technique, establishing some rules to collect samples for further statistical analysis. Simulation techniques of-ten demand lots of samples in order to calculate statistically relevant performance indices. This work provides comparisons with accuracy of results from some Markovian models which were obtained from the execution of different simulation techniques. It also proposes a different way to simulate Markovian models by using a Bootstrap-based statistical method to minimize the effect of sample choices. The effectiveness of the pro-posed method, calledBootstrap simulation, is compared to the numerical solution results for a set of examples described using SAN modeling formalism.

(14)

(15)

Lista de Figuras

2.1 Cadeia de Markov . . . 30

2.2 Modelo SAN com eventos locais, sincronizantes, taxas e probabilidades funcionais. . 32

2.3 Sistema ASP modelado em Filas de Espera . . . 34

2.4 Alternate Service Pattern- ASP . . . 35

2.5 First Available Server- FAS . . . 36

2.6 Resource Sharing- RS . . . 37

3.1 Trajet´oria da t´ecnicaForward Simulation. . . 43

3.2 Trajet´orias da t´ecnicaBackward Coupling Simulation . . . 45

4.1 Média dos erros relativos da simulação . . . 49

4.2 Média dos erros relativos entre os resultados das simulações. . . 50

4.4 Intervalos de confianc¸a . . . 54

4.5 Erro relativo variando o tamanho da trajet´oria da t´ecnicaForward Simulation . . . . 56

4.6 Distribuic¸˜ao do erro relativo. . . 58

4.7 Speedupe tempos de processamento para o modelo RS . . . 61

4.8 Tempos de execução das técnicas de simulação para o modelo ASP . . . 62

4.9 Tempos de execução das técnicas de simulação para o modelo FAS . . . 63

4.10 Tempos de execução das técnicas de simulação para o modelo RS . . . 64

5.1 T´ecnicaBootstrap . . . 66

5.2 Simulac¸˜aoBootstrap . . . 67

5.3 Média dos erros relativos da simulação . . . 70

5.6 Erro Relativo variando o n´umero debootstrappara o modelo ASP . . . 74

5.7 Erro Relativo variando o n´umero debootstrappara o modelo FAS . . . 75

(16)

(17)

Lista de Tabelas

2.1 Matriz de Taxas de Transic¸˜ao . . . 30

2.2 Gerador InfinitesimalQ . . . 31

3.1 Matriz de Probabilidades . . . 41

5.1 Probabilidade de20ou mais tiragens obterem o mesmo valor . . . 68

(18)

(19)

19

Lista de Algoritmos

3.1 Representação do algoritmo para a técnicaForward Simulation . . . 43

3.2 Representação do algoritmo para a técnicaBackward Coupling Simulation . . . 44

3.3 Representação do algoritmo para a técnicaPermanence Time Simulation. . . 46

(20)

(21)

Lista de Siglas

SAN Stochastic Automata Networks GSPN Generalized Stochastic Petri Nets

PEPA Performance Evaluation Process Algebra PSS Product State Space

RSS Reachable State Space ASP Alternate Service Pattern FAS First Available Server

(22)

(23)

Sum´ario

Lista de Figuras 15

Lista de Tabelas 17

Lista de Algoritmos 19

Lista de Abreviaturas 21

1 Introduc¸ ˜ao

25

1.1 Justificativa . . . 26

1.2 Objetivos . . . 27

1.3 Estrutura do Volume . . . 28

2 Formalismos Markovianos

29

2.1 Cadeias de Markov . . . 29

2.2 Redes de Autˆomatos Estoc´asticos . . . 32

2.2.1 Eventos Locais e Eventos Sincronizantes . . . 33

2.2.2 Taxas Funcionais e Probabilidades Funcionais . . . 33

2.2.3 Modelos . . . 34

3 Simulac¸ ˜ao

39

3.1 Vari´aveis Aleat´orias . . . 39

3.1.1 Distribuic¸˜ao Uniforme . . . 40

3.2 Função de Transição . . . 41

3.3 Técnicas de Simulação . . . 42

3.3.1 Forward Simulation. . . 42

(24)

4 Testes Realizados e Resultados Obtidos

47

4.1 Erro Relativo Variando o Número de Amostras . . . 48 4.2 Intervalos de Confiança . . . 53 4.3 Tamanho da Trajetória da Técnica Forward Simulation . . . 55 4.4 Distribuição do Erro Relativo . . . 57 4.5 Tempos de Processamento . . . 57

5 T´ecnica Proposta

65

5.1 Bootstrap Simulation . . . 66 5.2 Resultados Obtidos . . . 69 5.2.1 Erro Relativo da TécnicaBootstrap Simulation . . . 69 5.2.2 Variação do Número deBootstraps . . . 73 5.2.3 Tempos de Processamento . . . 73

6 Conclus˜ao

79

6.1 Contribuic¸˜ao . . . 80 6.2 Trabalhos Futuros . . . 80

Referˆencias Bibliogr´aficas

83

A Arquivos Fontes da Ferramenta PEPS

87

(25)

25

Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Ao analisar um sistema é poss´ıvel utilizar formalismos que facilitam sua representação permitindo descrevê-lo de forma a evidenciar as diferentes configurações que ele pode apresentar. Os formalis-mos são comumente utilizados na modelagem de sistemas computacionais, sistemas industriais ou sistemas que envolvam fenômenos da natureza. A modelagem por formalismos permite a aplicação de soluções computacionais para resolvê-los e possibilita sua análise a partir dos resultados obtidos. Esta análise permite avaliar seus padrões de comportamento prevendo eventos ou cenários de maior ou menor probabilidade de ocorrência.

Dentre as soluções utilizadas para a resolução de sistemas através de formalismos, destacam-se principalmente os métodos anal´ıticos e a simulação. Os métodos anal´ıticos consistem, normal-mente, no emprego de métodos matemáticos iterativos, como o Método da Potência [9, 37], o Método de Arnoldi [5] e o Método GMRES (Generalized minimal residual method) [34]. Estes métodos constituem-se, basicamente, na multiplicação de um vetor por uma matriz, denominada matriz de taxas de transição (escala de tempo cont´ınua) ou matriz de probabilidades de transição (escala de tempo discreta). A solução estacionária (vetor resultante), do processo iterativo, irá conter as proba-bilidades de permanência em cada estado do sistema modelado. A obtenção da matriz, utilizada neste processo, se dá a partir de um grafo ou autômato que representa o sistema como um conjunto finito de estados poss´ıveis e transições entre estes estados. Os estados correspondem às configurações do sistema e as transições identificam as mudanças poss´ıveis de um estado para outro. Estas transições são rotuladas por eventos que, em escala de tempo cont´ınuo, apresentam as taxas ou frequências em que as mesmas ocorrem [37]. Esta matriz de transição de estados é derivada de um grafo também denominado Cadeia de Markov.

(26)

Au-26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO

tomata Networks (SAN)[19, 31, 32],Generalized Stochastic Petri Nets (GSPN)[2, 16] ePerfomance Evaluation Process Algebra (PEPA)[22, 23]. Estes formalismos apresentam soluções numéricas mais eficientes em memória, para grandes modelos, do que as Cadeias de Markov.

Outra solução bastante utilizada na resolução de sistemas é a simulação. Esta solução, geralmente baseia-se na geração de números aleatórios que atuam nas decisões de comportamento e na interação entre os componentes do sistema analisado. No entanto, a simulação consiste em aproximações, sendo necessário executá-la por um tempo suficientemente grande para que ela se aproxime da solução obtida com os métodos iterativos.

Na simulação, além de uma matriz de transição, trabalha-se com uma função de transição que define a ocorrência dos eventos através de uma análise nas taxas discretizadas [38] de cada linha da matriz. Esta discretização corresponde à conversão dessas taxas em probabilidades e constitui o vetor, também de probabilidades, a partir da coleta de amostras obtidas através de trajetórias disparadas no modelo.

A escolha da solução mais adequada em uma determinada situação deve considerar critérios como a disponibilidade de tempo, recursos computacionais existentes e o n´ıvel de precisão requerido nos resultados.

1.1 Justificativa

Embora as soluções anal´ıticas apresentem precisão nos resultados, as mesmas deparam-se com limitações que estão ligadas, principalmente, no que diz respeito ao armazenamento da matriz de transição e dos vetores utilizados no processo iterativo. A utilização do formalismo SAN se sobressai às Cadeias de Markov por apresentar uma forma de representação compacta em memória, permitindo assim modelar sistemas com maior número de configurações (estados). Além disso, no que diz res-peito a SAN algumas técnicas para otimizar a resolução de modelos têm sido aprimoradas com a finalidade de acelerar a convergência na resolução dos métodos iterativos. Neste contexto pode ser mencionada a soluçãoSplit[14], a qual adota primitivas de álgebra tensorial bastante eficientes, com-binadas com técnicas de armazenamento para matrizes esparsas. No entanto, conforme diminui o n´ıvel de abstração da realidade modelada exigindo que ainda mais estados sejam representados, au-menta a carga computacional aplicada às ferraau-mentas numéricas que resolvem este formalismo. Este fato faz com que a resolução do mesmo também alcance os limites computacionais.

Quando se deseja resolver modelos com um número de estados que ultrapassam a capacidade atual de resolução dos métodos iterativos, destaca-se então a simulação. A simulação apresenta-se como uma alternativa viável por possibilitar a exploração de métodos e técnicas de armazenamento em memória de forma menos complexa que nos métodos iterativos. Com isso, torna-se poss´ıvel a resolução de modelos com um número de estados ainda maior.

(27)

1.2. OBJETIVOS 27

resultados da simulação ainda são desconhecidos até o momento.

Uma análise minuciosa em relação aos resultados de diferentes técnicas de simulação pode evi-denciar particularidades ainda não questionadas e apontar caracter´ısticas espec´ıficas sobre o compor-tamento de cada uma delas. Além disso, os resultados obtidos por simulações podem ser comparados com os resultados obtidos por métodos iterativos, para um modelo equivalente, o que possibilita demonstrar o erro de cada uma das técnicas. Dentre as técnicas de simulação conhecidas para a resolução de formalismos Markovianos estão aForward Simulation[21], aBackward Coupling Simu-lation[21, 33] e a simulação tradicional [3], chamada neste trabalho dePermanence Time Simulation.

1.2 Objetivos

O objetivo geral deste trabalho é evidenciar quantitativamente de forma comparativa a precisão dos resultados observados para alguns modelos Markovianos ao aplicar diferentes técnicas de simula-ção. Esta comparação visa auxiliar na escolha da melhor técnica a ser adotada, dentre as que serão analisadas, sendo elas: a)Forward Simulation;b)Backward Coupling Simulation; ec)Permanence Time Simulation. Além disso, será realizado um estudo no método Bootstrap[18] a fim de propor a adaptação do mesmo como uma nova técnica de simulação visando a obtenção de resultados mais precisos considerando também os tempos de processamento de cada técnica.

As técnicas de simulação serão analisadas comparando seus resultados com os da solução iterativa, obtida através do Método da Potência [9, 37] utilizando sistemas modelados com o formalismo SAN, equivalentes em ambas as abordagens. Para resolvê-los e obter o vetor de probabilidades com os resultados, desenvolveu-se um simulador que realiza trajetórias no estado global destes sistemas, o qual corresponde ao estado da Cadeia de Markov correspondente à SAN. Vale destacar que isso pode ser realizado porque toda SAN possui uma Cadeia de Markov subjacente [37]. Como o objetivo é observar o impacto da simulação em relação à precisão dos resultados, acredita-se que o formato esparso de representação dos modelos seja independente do formalismo. Logo, optou-se por realizar a simulação desta forma, pela praticidade de tratar um Gerador Infinitesimal1 _{de uma Cadeia de}

Markov, do que tratar um Descritor Markoviano [37] de SAN, o qual é composto por várias matrizes de transição de menor dimensão, porém com operadores tensoriais.

O foco das comparações e análises que serão realizadas neste trabalho será em relação ao vetor de probabilidades resultante ao aplicar as técnicas de simulação. A partir dele, a precisão será avaliada analisando o erro relativo entre o resultado obtido com a simulação e o resultado da solução iterativa.

Para identificar particularidades que possam causar discrepâncias nos resultados, de forma a acar-retar perda de precisão, pretende-se observar outros pontos, como a relevância no tamanho da tra-jetória e na quantidade de amostras envolvidas no processo de simulação. Para obter os resultados em tempo hábil foi utilizada também a paralelização na implementação das técnicas de simulação.

(28)

28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO

Como propósito da paralelização, deseja-se reduzir o tempo de processamento na tentativa de obter resultados mais precisos, uma vez que, normalmente, uma das desvantagens da simulação comparado às soluções iterativas é o tempo despendido até atingir uma aproximação da solução estacionária2.

1.3 Estrutura do Volume

Para a satisfação dos objetivos apontados é necessário o entendimento sobre os seguintes assun-tos: Formalismos Markovianos, abordados no Cap´ıtulo 2, onde é descrito o formalismo de Cadeias de Markov e de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN), ilustrando suas respectivas representações e os modelos utilizados neste trabalho; Simulação, abordado no Cap´ıtulo 3, onde são tratados as-suntos sobre o processo de simulação e as diferentes técnicas utilizadas para a resolução de modelos Markovianos.

No Cap´ıtulo 4 são descritos os testes e os resultados obtidos com as técnicas de simulação co-nhecidas. Em seguida, no Cap´ıtulo 5 é apresentada a nova técnica de simulação baseada no método Bootstrap e os respectivos resultados obtidos com ela. Por fim, no Cap´ıtulo 6 são apresentadas a conclusão, a contribuição e os trabalhos futuros referentes a esta dissertação.

2_{A solução estacionária do método iterativo pode ser obtida subtraindo os resultados do vetor da solução atual com os}

(29)

29

Cap´ıtulo 2

Formalismos Markovianos

Formalismos Markovianos são constantemente utilizados na modelagem de diversos sistemas [8, 10, 13, 17, 29, 35, 41]. O emprego destes formalismos unidos a soluções computacionais baseadas em métodos matemáticos para sua resolução, apresentam-se como boas práticas para avaliar o desem-penho de sistemas e analisar seus padrões de comportamento. A seguir são apresentados os forma-lismos de Cadeias de Markov e de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN), demonstrando suas respectivas formas de representação.

2.1 Cadeias de Markov

Cadeias de Markov é um formalismo matemático utilizado para a modelagem de sistemas pro-posto pelo matemático russo Andrei Andreyevich Markov em 1906 [37]. Através deste forma-lismo o funcionamento dos sistemas pode ser descrito através de um conjunto de estados poss´ıveis e de transições entre estes estados. As transições são modeladas por um processo estocástico1 _de

tempo cont´ınuo ou discreto, os quais são definidos por distribuições de probabilidade exponenciais ou geométricas respectivamente. Este trabalho irá tratar apenas sistemas de tempo cont´ınuo, porém com estados discretos.

Em um sistema com espaço de estados discreto, as variáveis que compõem seu estado mudam de valor instantaneamente. Neste caso, podem ser mencionados os nodos de um grafo, sendo que é poss´ıvel apenas estar em um ou em outro estado (nodo) do grafo, não havendo um estado inter-mediário.

Para facilitar a compreensão da representação de um sistema modelado através do formalismo de Cadeias de Markov é ilustrada uma cadeia na Figura 2.1. Os nodos da figura representam os estados

S ={00,01,02,10,11,12}do sistema e as setas correspondem às transições entre um estado e outro. Estas setas são rotuladas por taxas (µ0,µ1,µ2,. . .,µ5), que são definidas por valores que determinam

a frequência do disparo das transições.

(30)

30 CAP´ITULO 2. FORMALISMOS MARKOVIANOS

00

11

01 02

12 10

µ4 µ4

µ4

µ0

µ5

µ5 µ5

µ1

µ2

µ3π1

µ3π2

Figura 2.1: Cadeia de Markov

A Cadeia de Markov apresentada na Figura 2.1 pode também ser representada através de uma matriz, denominada Matriz de Taxas de Transição, conforme pode ser observado na Tabela 2.1. As taxas, na matriz, são distribu´ıdas de forma que cada linha i e colunaj indicam a taxa de transição de um estado para outro (representado entre parênteses) na Cadeia de Markov, sendo a dimensão da matriz igual ao número de estados do modelo, ou seja|S|. Na resolução deste formalismo é necessário que esta matriz de transição seja um Gerador Infinitesimal [37] de forma que a soma de cada linhai

da matriz seja igual azero. Para realizar este ajuste, adiciona-se à diagonal principal, o complemento da soma de todos os elementos não diagonais de cada linha, resultando então no Gerador Infinitesimal

Qda Tabela 2.2.

Tabela 2.1: Matriz de Taxas de Transic¸˜ao

j

0(00) 1(01) 2(02) 3(10) 4(11) 5(12)

i

0(00) 0 0 0 µ4 0 0

1(01) 0 0 µ1 0 µ4 0

2(02) µ3π1 µ3π2 0 0 0 µ4

3(10) µ5 µ0 0 0 0 0

4(11) 0 µ5 0 0 0 µ2

5(12) 0 0 µ5 µ3π1 µ3π2 0

Feito isso, têm-se um sistema de equações, de forma que πQ = 0, onde deseja-se encontrar o vetorπ(não confundir o vetorπcom as probabilidadesπ1 eπ2multiplicadas pela taxaµ3da matriz).

(31)

2.1. CADEIAS DE MARKOV 31

Tabela 2.2: Gerador InfinitesimalQ

Q=



      

−(µ4) 0 0 µ4 0 0

0 −(µ1+µ4) µ1 0 µ4 0

µ3π1 µ3π2 −(µ3π1+µ3π2+µ4) 0 0 µ4

µ5 µ0 0 −(µ5+µ0) 0 0

0 µ5 0 0 −(µ5+µ2) µ2

0 0 µ5 µ3π1 µ3π2 −(µ5+µ3π1+µ3π2) 

      

que este método possa ser aplicado, é necessário primeiramente transformar o Gerador Infinitesimal

Q em uma matriz chamada Matriz de Probabilidades de Transição ou Matriz Estocástica P (uma vez que a solução também corresponde a um vetor de probabilidades). Feito isso, não podem haver valores negativos na matriz e a soma de todos os elementos de cada linha devem ser iguais a um. Este processo corresponde à discretização da matrizQ[38] que pode ser realizada dividindo toda a matriz pelo seu maior elementoΛmaxem módulo, e somando a ela uma matriz identidadeIde mesma dimensão, conforme a equação 2.1.

P =I+ 1

|Λmax|

Q (2.1)

O método da potência consiste, basicamente, em sucessivas multiplicações de um vetor qualquer por uma matriz, de forma iterativa. Em Cadeias de Markov esta matriz corresponde à matriz de probabilidades de transiçãoP, sendo que no final do processo iterativo resulta-se em um novo vetor

π, de forma queπP =π, sendo a dimensão deπ igual ao número de estados do modelo. Este vetor resultante conterá as probabilidades de permanência em cada estado sendo ele a solução estacionária que, neste caso, baseia-se em um critério de parada que pode ser um erro aceitável, resultante da diferença dos vetores entre duas iterações. A expressão a seguir ilustra o processo iterativo, sendo

π(n)_{a solução estacionária:}

π(1) ₌_π(0)_P

π(2) ₌_π(1)_P

π(3) ₌_π(2)_P

... π(n) ₌_π(n−1)P

(32)

2.2 Redes de Autˆomatos Estoc´asticos

Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) é um formalismo baseado em Cadeias de Markov, pro-posto por Plateau em 1985 [31]. Consiste em uma forma modular de descrever sistemas complexos com grandes espaços de estados a serem modelados. Para isso necessitam da resolução de modelos matemáticos robustos, que utilizam a álgebra tensorial ou de Kronecker [4, 15] como forma de ar-mazenamento compacto. Desta forma, este formalismo consegue manter o mesmo poder de solução obtido com a utilização de Cadeias de Markov, propondo para tal um novo formato de armazenamento que reduz o problema da explosão do espaço de estados [32, 37].

A(1)

e2

0 0

1 2 1

A(2)

e3(π2)

e1

e3(π1)

e1

e5 e4

Tipo Evento Taxa syn e1 µ0 loc e2 f loc e3 µ3 loc e4 µ4 loc e5 µ5

f= [((stA(1)_{== 0)}_∗_µ

1+ (stA(1)== 1)∗µ2)]

Figura 2.2: Modelo SAN com eventos locais, sincronizantes, taxas funcionais e probabilidades fun-cionais

Este formalismo é composto por no m´ınimo dois ou mais autômatos, sendo que cada um deles é definido na forma de um grafo constitu´ıdo de um conjunto finito de estados e transições entre estes estados, conforme pode ser observado na Figura 2.2, sendo os estados do sistema representados pelos nodos. O estado em que um autômato qualquer se encontra é chamado de estado local, enquanto que o conjunto de estados que todos os autômatos se encontram é denominado estado global, o qual corresponde ao estado na Cadeia de Markov equivalente ao modelo em estudo. Isto é poss´ıvel, pois toda SAN pode ser representada por uma Cadeia de Markov, a qual consiste em um único autômato estocástico [37].

A Cadeia de Markov subjacente ao modelo da Figura 2.2 é a da Figura 2.1, apresentada anteri-ormente. Essa equivalência é feita pelas combinações de estados poss´ıveis entre os autômatoA(1) _e

A(2) _{da SAN. Para entendˆe-la considere o estado local do autˆomato}_A(1)_{igual a}₀_{e o estado local do}

autˆomatoA(2) _{igual a} ₁_{, neste caso, o estado global na Cadeia de Markov da Figura 2.1 ´e o estado}

01. Sendo assim, o espaço de estados é calculado pelo produto cartesiano da dimensão de todos os autômatos de uma SAN, definido como espaço de estados produto (product state space- PSS). No caso do modelo da Figura 2.2 o PSS é2×3 = 6.

(33)

2.2. REDES DE AUT ˆOMATOS ESTOC ´ASTICOS 33

da Potência [9, 37], o Método de Arnoldi [5] e o Método GMRES (Generalized minimal residual method) [34]. Uma das funcionalidades providas por esta ferramenta é a utilização de uma função de atingibilidade2. Esta função representa quais estados globais da SAN são ating´ıveis durante o com-portamento do sistema modelado e constitui então o chamado espaço de estados ating´ıvel (reachable state space - RSS) do modelo. No caso do exemplo mencionado (Figura 2.2), todos os estados são ating´ıveis, no entanto se algum deles não o fosse, o espaço de estados seria menor do que6.

Além do PSS e do RSS, o formalismo SAN, ao contrário de Cadeias de Markov, apresenta como uma de suas principais caracter´ısticas a possibilidade de dividir um sistema complexo em subsistemas que interagem ocasionalmente. Esta interação ocorre através de eventos sincronizantes ou até mesmo através de taxas funcionais [11]. Estes eventos são os responsáveis por disparar as transições entre os estados de um autômato e são descritos com mais detalhes a seguir.

2.2.1 Eventos Locais e Eventos Sincronizantes

Para que possam ocorrer transições entre os estados de um autômato é necessário que existam eventos associados a estas transições. Eventos locais caracterizam-se por alterar o estado de apenas um autômato do modelo, possibilitando com que os autômatos tenham comportamentos paralelos. Sendo assim, um evento local não interfere no estado dos demais. Os eventos locais podem ser observados no autômato da Figura 2.2 sendo estes representados pore2,e3,e4ee5.

Um evento sincronizante é caracterizado por alterar o estado de dois ou mais autômatos de forma simultânea. Sua ocorrência se dá em todos os autômatos envolvidos estabelecendo assim um sin-cronismo entre eles[20]. Na Figura 2.2 este evento é representado pore1, onde pode ser notada sua

presenc¸a em ambos os autˆomatos.

A seguir serão apresentados alguns conceitos referentes às taxas funcionais que também estabele-cem relação entre os diferentes autômatos de um modelo.

2.2.2 Taxas Funcionais e Probabilidades Funcionais

A utilização de taxas funcionais e/ou probabilidades funcionais é outra forma de representar interações entre os autômatos de uma SAN sem alterar o estado de todos os autômatos envolvidos. Taxas funcionais podem ser definidas por funções que refletem a avaliação dos estados atuais do mo-delo. Na Figura 2.2 o evento e2 do autômato A(2) apresenta uma taxa funcional sobre o autômato

A(1)_{, definida pela função}_f_{, descrita abaixo da figura. Neste caso, de acordo com a função}_f_{, a taxa}

do eventoe2 depende do estado que o autˆomatoA(1) encontra-se, ou seja, a taxa do evento e2 ser´a

igual aµ1 caso o estado do autˆomatoA(1)estiver em0ou igual aµ2 caso estiver no estado1.

No autômatoA(2)_{, pode-se também observar probabilidades para diferentes transições do evento}

e3. Essas probabilidades representadas por π1 e π2 definem a probabilidade de escolha, ou seja,

(34)

quando da ocorrência do evento e3, o autômatoA(2) estando no estado 2 irá para o estado 0 com

probabilidadeπ1 ou para o estado1com probabilidadeπ2, consequentemente,π1+π2 deve ser igual

a1. Tanto a taxa de ocorrência como a probabilidade de escolha podem ser definidas como valores constantes ou valores funcionais. Quando as taxas ou probabilidades são definidas como valores funcionais, estas são então ditas taxas funcionais ou probabilidades funcionais respectivamente.

Em resumo, a utilização de funções para definir taxas ou probabilidades permite associar a um mesmo evento diferentes valores. Assim sendo, as mesmas são expressas por funções que levam em consideração os estados atuais dos autômatos de um modelo variando, desta forma, seu valor conforme os estados em que se encontram os autômatos envolvidos na função [20].

2.2.3 Modelos

Nesta seção são exibidos alguns sistemas modelados com o formalismo SAN, os quais são uti-lizados para a realização dos testes deste trabalho.

Alternate Service Pattern- ASP

Padrão de Serviço Alternado (Alternate Service Pattern - ASP) é um sistema modelado com o formalismo de Redes de Filas de Espera [9] e consiste em uma rede aberta em que alguns servidores apresentam mais de um padrão de atendimento. A Figura 2.3 mostra um sistema ASP com quatro filas:F1,F2,F3eF4; cada qual com capacidade finitaK1,K2,K3 eK4 respectivamente.

F1

F2

F3 F4

loss

µ31

µ32

...

µ3P

λ2

λ1

µ1

µ2

µ4

Figura 2.3: Sistema ASP modelado em Filas de Espera

A taxa de chegada nas filasF1eF2 s˜aoλ1eλ2, respectivamente. A filaF1atende a uma taxaµ1e

faz roteamento de seus clientes para a filaF3, caso ela possa recebˆe-los. Esse ´e o chamado

comporta-mento bloqueante, visto que o cliente não deixaF1 seF3 não puder recebê-lo. O atendimento na fila

F2 acontece a uma taxa µ2, devendo o cliente ser roteado para a filaF3, caso esta tenha capacidade

para recebˆe-lo. Caso F3 n˜ao possa receber o cliente vindo de F2, este deixa o sistema, sendo isso

chamadocomportamento de perda, representado na Figura 2.3 pela flecha indicada porloss.

A filaF3 atende cada cliente segundo um dosP padrões de serviço que comporta, cujas taxas são

(35)

esse mais um caso de roteamento com comportamento bloqueante. Por fim, os clientes de F4 s˜ao

atendidos segundo a taxaµ4e deixam o sistema.

Esse mesmo sistema pode ser modelado usando o formalismo SAN. Para exemplificar, suponha a SAN da Figura 2.4, com quatro autômatos deK estados cada, mais um autômato deP estados. O PSS para este modelo é igual a(K+ 1)4_×_P_{, sendo o mesmo igual ao RSS.}

e13 e13 A(1) e1 e1 ... A(2) e2 e2 ... e23 e23 A(3) e13 e23 e13 e23 ... A(4) ... e4 e4 e23 e34(1) e34(2) e34(1) e34(2) e34(1) e34(2) e34(1) e34(2) ... ... ... ... A(5)

e34(1)(π11)

...

e34(i)(πii)

e34(1)(π12)

e34(2)(π21)

e34(i)(πii−1) e34(i−1)(πi−1i) 0(4)

0(3) 0(2)

0(1)

P1(5)

Pi(5)

Ki(4)

Ki(3)

Ki(2)

Ki(1)

Tipo Evento Taxa loc e1 λ1

loc e2 λ2

syn e13 µ1

syn e23 µ2

syn e34(1) µ31

syn e34(2) µ32

... ...

loc e4 µ4

Figura 2.4:Alternate Service Pattern- ASP

Agora analisamos mais atentamente a Figura 2.4 para entender como a representac¸˜ao desse sis-tema ASP modelado em SAN realmente funciona. As filasF1,F2,F3eF4passam a ser representadas

pelos autˆomatos A(1)_, _A(2)_, _A(3) _e _A(4)_{, respectivamente, cada um deles com capacidade} _K_{. Um}

quinto autômato, identificado porA(5)_{, é usado para representar o padrão de serviço de} _F

3 que,

se-gundo a figura, possui P estados, ou seja, P padrões de serviço com que a fila, representada pelo autômatoA3_{, atende seus clientes.}

Os eventos de chegada nos autˆomatosA(1) _e_A(2) _{s˜ao representados pelos eventos}_e

1ee2,

respec-tivamente, enquanto que o eventoe4 representa a sa´ıda do autˆomatoA(4) para o exterior, sendo estes

eventos locais.

Os eventos indicados com ´ındice duplo s˜ao os eventos sincronizantes, como ´e o caso do evento

e13, que corresponde à sa´ıda do autômatoA(1) para o autômatoA(3). O eventoe23pode corresponder

a duas situações: a) o estado do autômatoA(3) _{é diferente daquele correspondente à sua capacidade}

máxima, acontecendo então o roteamento do cliente do autômato A(2) _{para o autômato} _A(3)_{; b) o}

estado do autômato A(3) _{é aquele de capacidade máxima, indicando que o cliente sai de}_A(2) _direto

para o exterior, caracterizando comportamento de perda, representado peloloopno último estado do autômatoA(3)_{. Esse}_loop_{significa que o cliente saiu de}_A(2) _{mas não foi roteado para}_A(3)_{, por isso}

A(3) _{mant´em seu estado.}

Os eventos restantes,e34(1),e34(2),. . .,e34(i)representam o roteamento de um cliente do autˆomato

A(3) _{para o autômato}_A(4)_{, de acordo com os padrões de serviço}_P

(36)

First Available Server- FAS

O modeloFirst Available Server(FAS) analisa a disponibilidade deN servidores, conforme pode ser notado no modelo SAN da Figura 2.5. Cada servidor (de ´ındicei, ondei∈[1..N]) ´e representado por um autˆomatoA(i)_{, composto por dois estados:}_I(i)₍_idle_{/dispon´ıvel) e}_B(i) ₍_busy_{/ocupado). Neste}

exemplo os pacotes chegam nos servidores desde que pelo menos um deles não esteja ocupado. Este modelo pode ser visto como um quadro de análise de diferentes filas onde cada pacote na fila pode avançar para o primeiro servidor dispon´ıvel. Sendo assim o pacote chega primeiro no servidor1, se este não está dispon´ıvel o pacote tenta o servidor2, se este também não estiver dispon´ıvel o pacote tenta o servidor3e assim sucessivamente até o servidorN.

Os eventos sincronizantes deste modelo são eai (i = 2. . . N) que representam a ocupação dos servidores. Os eventos locais são: ea1 (chegada do pacotes) e eri (para tornar os servidores dispon´ıveis). Todos os eventos apresentam taxas constantes. O PSS do modelo é formado por 2N estados, sendo o PSS também igual ao RSS.

A

(i)

eri eai

A

(N)

erN eaN

ea1

A

(1)

er1 . . .

ea2..eaN

. . .

B(1) _B(i) _B(N)

eai+1..eaN

I(1) _I(i) _I(N) Type Event Rate_loc _ea

1 λ

loc er1 µ

syn ea2 λ

loc er2 µ

... ... ...

syn eaN λ

loc erN µ

Figura 2.5: First Available Server- FAS

Resource Sharing- RS

O modelo da Figura 2.6 apresenta um exemplo clássico, que representa um sistema de compar-tilhamento de recursos, sendoR o número de recursos eP o número de processos. Cada processo é representado por um autômato A(i) ₍_i _{= 1}_{. . . P}₎_{composto por dois estados:} _S(i) _{(em repouso) e}

U(i) _{(em uso). Os recurso s˜ao representados pelo autˆomato}_A(P+1) _{e tem}_R_{+ 1}_{estados indicando o}

n´umero de recursos em uso.

Este modelo apresenta apenas eventos sincronizantes, visto que os eventos eai representam a aquisição de um recurso com taxa constanteλie os eventoserirepresentam a liberação de um recurso com taxa constanteµi. O PSS deste modelo é formado por2P ×(R+ 1)estados globais, porém ao contrário dos demais modelos nem todos os seus estados são ating´ıveis.

(37)

... ...

...

ea1

eaP erP

er1

ea1

eaP

ea1

eaP

ea1

eaP

erP

er1

erP

er1

erP

er1

ea1 er1 eaP erP

A

(1)

A

(P)

A

(P+1)

s(1)

u(1)

s(P)

u(P)

0(P+1)

1(P+1)

R(P+1)

R-1(P+1)

Tipo Evento Taxa Evento Taxa

syn

ea

1

λ

1

er

1

µ

1

syn

ea

2

λ

2

er

2

µ

2

syn

ea

3

λ

3

er

3

µ

3

... ... ... ...

syn

ea

P

λ

P

er

P

µ

P

Figura 2.6:Resource Sharing- RS

(38)

(39)

39

Cap´ıtulo 3

Simulac¸˜ao

Segundo Shannon [36] a simulação consiste em um processo de elaboração de um modelo de um sistema real (ou hipotético) e a condução de experimentos com a finalidade de entender o com-portamento de um sistema ou avaliar sua operação. Para Law e Kelton [26], simulação corresponde a uma gama variada de métodos e aplicações que reproduzem o comportamento de sistemas reais, usualmente utilizando-se de ferramentas computacionais.

Através da simulação é poss´ıvel manipular os componentes que constituem modelos Markovianos, para então encontrar o vetor de probabilidades, resultante da resolução dos mesmos. Como este vetor consiste em aproximações da solução iterativa, o tempo de simulação deve ser grande o suficiente para que os resultados possam convergir em uma solução próxima da estacionária, após uma série de execuções ou coletas de amostras. Isto é necessário, pois um dos grandes problemas da simulação é a precisão dos resultados, uma vez que a mesma consiste na tiragem de números pseudo-aleatórios para definição de variáveis, regidas por distribuições de probabilidades, conforme descrito a seguir.

3.1 Vari´aveis Aleat´orias

Modelos estocásticos apresentam variáveis aleatórias para definir as taxas de transição entre os estados que os compõem. Praticamente todos os sistemas apresentam determinada fonte de aleato-riedade, como o tempo entre chegadas, tempos de serviço, tempo entre a ocorrência de uma falha, etc.

(40)

40 CAPÍTULO 3. SIMULAÇ ÃO

A distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. Por exemplo, no lançamento de um dado cada face tem a mesma probabilidade de ocorrência que é dada por 1₆. Como os valores das distribuições de probabilidades são também probabilidades, e como as variáveis aleatórias devem assumir um de seus valores, têm-se duas regras a seguir que se aplicam a qualquer distribuição de probabilidade:

1. a soma de todos os valores de uma distribuic¸˜ao de probabilidade deve ser igual a1, desta forma tem-se:P

V(x) = 1, ondexabrange todos os valores poss´ıveis;

2. a probabilidade de ocorrˆencia de um evento deve ser maior ou igual azeroe menor ou igual a

1, ou seja,0≤V(x)≤1para todo valor dex.

No exemplo do lançamento de um dado, como todas as faces têm a mesma probabilidade de ocorrência, que é 1₆, ao somá-las obtemos o valor1, que corresponde à primeira regra citada anterior-mente. O valor 1₆ é maior do quezeroe menor do que1, assim satisfaz também a segunda regra.

Para gerar a variável aleatória no processo de simulação utiliza-se a distribuição de probabilidade uniforme, descrita a seguir.

3.1.1 Distribuic¸˜ao Uniforme

A distribuição uniforme é uma distribuição cuja faixa de valores aleatórios estão entre duas variáveisaeb. Sua função densidade de probabilidade é constante dentro de um intervalo de valores da variável aleatóriax. Cada um dos poss´ıveis valores quexpode assumir seguindo esta distribuição tem a mesma probabilidade de ocorrer. Sua função de densidade é:

f(x) =

( 1

b−a sea ≤x ≤b;

0 caso contr´ario.

e sua distribuição de probabilidade é dada por:

F(x) =

  

 

0 sex < a;

x−a

b−a sea≤x≤b;

1 seb < x.

(41)

3.2. FUNÇ ÃO DE TRANSIÇ ÃO 41

3.2 Função de Transição

Neste trabalho, o vetor de probabilidades será obtido simulando o espaço de estados global de uma SAN, o qual corresponde ao estado na Cadeia de Markov que ela representa. Além disso, vale ressaltar que apenas o espaço de estados ating´ıvel (RSS) dos modelos são considerados no processo de simulação, o que reduz consideravelmente o número de estados em determinados mo-delos, como por exemplo o modelo RS, descrito na Seção 2.2.3. Assume-se então, um conjunto

S = {s0, s1, s2, ..., sk}, o qual corresponde aos estados do modelo (sendo k = |RSS|), a matrizP composta pelas probabilidades de transição do mesmo e um gerador de números aleatóriosU(0..1)

[21]. Este gerador é necessário, pois, a transição entre os estados na simulação, ocorre através de uma função de transiçãoφ(si, U), a qual se baseia na tiragem (sorteio) de um valor uniformemente distribu´ıdo entre0e1. O retorno da funçãoφconsiste no intervalo que se apresenta a variável resul-tante do gerador de números aleatórios. Esta variável irá indicar a transição para o próximo estado da Cadeia de Markov durante a simulação, sendosi o estado corrente. A função de transição é definida pela expressão 3.1 a seguir e mostra como são realizadas estas transições entre os estados.

φ(si, U) =

                                  

s0 paraU ∈[0, Pi0)

s1 paraU ∈[Pi0, Pi0+Pi1) ..

. ...

sj paraU ∈

"j−1

X

l=0

Pil, j X l=0 Pil ! .. . ...

sr paraU ∈

"r−1

X

l=0

Pir,1

#

(3.1)

Para exemplificar a aplicação desta expressão considere a matriz de probabilidades da Tabela 3.1.

Tabela 3.1: Matriz de Probabilidades

P =

i/j 0 1 2

0 0,10 0,65 0,25 1 0,25 0,55 0,20 2 0,30 0,25 0,45

A função de transição irá definir para qual estado si, para i = {0,1,2}, ocorrerá a transição de acordo com o intervalo indicado nas expressões 3.2, 3.3 e 3.4.

φ(s0, U) =   

 

s₀ paraU ∈[0,0,10)

s1 paraU ∈[0,10,(0,10 + 0,65))

s2 paraU ∈[(0,10 + 0,65),1]

(42)

φ(s1, U) =   

 

s0 paraU ∈[0,0,25)

s1 paraU ∈[0,25,(0,25 + 0,55))

s2 paraU ∈[(0,25 + 0,55),1]

(3.3)

φ(s2, U) =   

 

s0 paraU ∈[0,0,30)

s1 paraU ∈[0,30,(0,30 + 0,25))

s2 paraU ∈[(0,30 + 0,25),1]

(3.4)

Tendo como base a expressão 3.4 e assumindo a variável aleatória retornada da função U igual a

0,40, a transição ocorrerá do estados2para o estados1. Isto acontece pois a mesmo encontra-se entre

o intervalo0,30e0,55 (0,30 + 0,25)indicado na express˜ao.

3.3 Técnicas de Simulação

Definida a função de transição, três técnicas de simulação são empregadas neste trabalho para a resolução de modelos. Dentre elas estão aForward Simulation, aBackward Coupling Simulatione a Permanence Time Simulation. Estas técnicas são descritas a seguir.

3.3.1 Forward Simulation

Nesta técnica de simulação é considerado um estado inicial arbitrário e em seguida são disparadas transições entre os estados do modelo por uma quantidade de vezes pré-estabelecida, de forma a re-alizar uma trajetória na Cadeia de Markov [21]. O tamanho ideal desta trajetória ainda é desconhecido, pois pode variar dependendo da cardinalidade do espaço de estados, que corresponde a dimensão das matrizes de transição. Entretanto esta trajetória deve ser grande o suficiente para que todos os estados da Cadeia de Markov sejam atingidos. Após várias transições, o estado final da trajetória é coletado como uma amostra da simulação. A quantidade ideal de amostras a serem coletadas é um valor ainda desconhecido, no entanto quanto maior esse número melhor tende a ser a precisão dos resultados.

(43)

3.3. T ÉCNICAS DE SIMULAÇ ÃO 43

Nas simulações realizadas neste trabalho, o estado inicial foi definido arbitrariamente como 0, conforme pode ser observado na linha 3 do Algoritmo 3.1 e o tamanho da trajetória foi fixado, também arbitrariamente, em 10.000 transições. Ao final da trajetória a amostra é então coletada e contabilizada, conforme visto na linha8do algoritmo.

Terminada a simulação, o vetor de probabilidades é então calculado dividindo o número de amos-tras coletadas em cada um dosiestados do modelo pelo quantidade total de amostras.

Figura 3.1: Trajet´oria da t´ecnicaForward Simulation

Algorithm 3.1:Representação do algoritmo para a técnicaForward Simulation

1: π←0{inicializa todas as posic¸oes do vetor de probabilidades π˜ }

2: whilecriterio de parada´ {numero pr´ ´e−def inido de amostras}do 3: i←0{escolha de um estado inicial}

4: whilecriterio de parada´ {numero pr´ e´−def inido de passos/transic¸oes˜ }do 5: δ←U(0..1){gerac¸ao de um n˜ umero al´ eat´ orio entre´ 0e1}

6: si ←φ(si, δ){f unc¸ao que def ine a pr˜ oxima transi´ c¸ao˜ }

7: end while

8: π[si] =π[si] + 1{contabiliza amostra gerada}

9: end while 10: return π

3.3.2 Backward Coupling Simulation

(44)

tempozerode simulação. Isso ocorre, pois as mesmas são disparadas ”do passado”, observando os estados predecessores, ou seja, os estados que trouxeram ao estado atual. Esta técnica destaca-se também, por permitir a coleta de amostras perfeitamente distribu´ıdas de acordo com a distribuição estacionária do processo Markoviano, não produzindo amostras tendenciosas. A Figura 3.2 ilustra este processo, apresentando as trajetórias disparadas a partir de cada estado, no passado, parando no tempo−5de simulação.

O eixo horizontal, de cada sub-figura, representa o tempo que corresponde ao número de transições necessárias até que todos os estados (eixo vertical) se encontrem no tempozero. As linhas cont´ınuas apresentam as trajetórias que levam ao mesmo estado, enquanto as linhas pontilhadas correspondem às trajetórias que não se encontram no mesmo estado. O Algoritmo 3.2, ajuda a compreender este pro-cesso, sendo o vetorωda linha9o responsável por armazenar o estado referente a transição de cada trajetória. Quando este vetor armazenar transições para o mesmo estado em todas as suas posições, o mesmo será então a amostra a ser coletada, conforme a linha13do algoritmo.

Algorithm 3.2:Representação do algoritmo para a técnicaBackward Coupling Simulation

2: whilecriterio de parada´ {numero pr´ ´e−def inido de amostras}do 3: for alls0, s1, s2, ..., si {si s˜ao todos os estados do modelo}do

4: ̟[si]←i{inicializando trajet´orias em todos os estados no vetor auxiliar ̟}

5: repeat

6: for alls0, s1, s2, ..., si{sisao todos os estados do modelo˜ }do

7: ω[si]←i{inicializando trajet´orias em todos os estados no vetor ω}

8: δ←U(0..1){gerac¸ao de um n˜ umero al´ eat´ orio entre´ 0e1}

9: ω[si]←̟[φ(si, δ)]{f unc¸ao que def ine as transi˜ c¸oes de todos os estados˜ }

10: for alls0, s1, s2, ..., sido

11: ̟[si]←ω[si]{salvando os estados de cada trajetoria no vetor auxiliar´ }

12: untilcriterio de parada´ {todas as trajetorias se encontram em um´ unico estado´ } 13: π[ω[s0]] =π[ω[sa]] + 1{amostra gerada}

14: end while 15: return π

3.3.3 Permanence Time Simulation

Esta técnica, ao contrário das anteriores, consiste apenas na execução de uma única trajetória. Nela, as amostras de estados são coletadas após cada transição, sendo assim é contabilizada a quan-tidade de vezes que um estado é visitado na Cadeia de Markov. Observando a Figura 3.1, o número de transições para o estado1ocorre duas vezes, enquanto que para o estado2ocorre apenas uma vez, por exemplo.

(45)

3.3. T ÉCNICAS DE SIMULAÇ ÃO 45

(a) Tempo -1 (b) Tempo -2

(c) Tempo -3 (d) Tempo -4

(e) Tempo -5

Figura 3.2: Trajetórias da técnicaBackward Coupling Simulationencontrando-se no tempo0após5

(46)

facilita essa análise, sendo que na linha6do algoritmo, o estado visitado é incrementado na posição correspondente no vetorπ, após cada transição, da linha5. Cada estado visitado, corresponde então a uma amostra da simulação.

Algorithm 3.3:Representação do algoritmo para a técnicaPermanence Time Simulation

2: i←0{escolha de um estado inicial}

3: whilecriterio de parada´ {numero pr´ é−def inido de passos/transiçoes˜ }do 4: δ ←U(0..1){geraçao de um n˜ umero al´ éatorio entre´ 0e1}

5: si ←φ(si, δ){f unção que def ine a proxima transi´ ção}

6: π[si] =π[si] + 1{estado visitado incrementado na posic¸˜ao correspondente de π}

7: end while

(47)

47

Cap´ıtulo 4

Testes Realizados e Resultados Obtidos

Para avaliar a precisão da simulação, desenvolveu-se um simulador para as três técnicas men-cionadas na Seção 3.3. O simulador recebe como entrada uma matriz de transição e armazena em um arquivo de sa´ıda o vetor de probabilidades resultante. Esta matriz de transição corresponde à Cadeia de Markov equivalente aos modelos SAN apresentados na Seção 2.2.3. Neste trabalho, para o modelo ASP foi utilizadoK = 2 eP = 2, ou seja, fila com capacidade de dois clientes e dois padrões de serviço, resultando em um PSS e RSS de(2 + 1)4_×_{2 = 162}_{estados. Para o modelo FAS foi utilizado}

o n´umero de servidores N igual a 9, o que resulta em um PSS e RSS de 29 _{= 512} _{estados. Para o}

modelo RS utilizou-se10processosP e5recursosR, sendo seu PSS igual a210_×_{(5 + 1) = 6}_.₁₄₄_e

o RSS igual a638.

Assim como a obtenção do RSS, as conversões dos modelos SAN em Cadeias de Markov foram realizadas utilizando a ferramenta PEPS, cujos arquivos de entrada de cada modelo podem ser obser-vados no Anexo A. Esta ferramenta disponibiliza a matriz equivalente em um formato HBF ( Harwell-Boeing Format) [37], o qual armazena apenas os valores não nulos com seus respectivos ´ındices na matriz. Este formato é utilizado para reduzir o tamanho do arquivo gerado, já que normalmente a matriz de transição é bastante esparsa, sendo desnecessário armazenar valores nulos.

Além da matriz de transição obtida a partir dos modelos descritos anteriormente é passado ao simulador, como argumento, o número de amostras desejadas e a técnica de simulação a ser utilizada. Após a execução é gerado um arquivo de sa´ıda contendo o vetor de probabilidades de permanência em cada estado do modelo.

(48)

48 CAP´ITULO 4. TESTES REALIZADOS E RESULTADOS OBTIDOS

4.1 Erro Relativo Variando o N ´umero de Amostras

Este teste varia a quantidade de amostras coletadas ao aplicar cada técnica de simulação, e pos-teriormente compara seus resultados com os resultados obtidos com o Método da Potência, para os modelos ASP, FAS e RS, já descritos.

De posse desses resultados foi calculado o erro relativo de cada uma das probabilidades contidas no vetorπ(_is)resultante da simulação, com a respectiva probabilidade do vetorπ_i(a)do método iterativo (Método da Potência), as quais correspondem a probabilidade de permanência em cada estado do modelo. O erro relativoγi foi então calculado de acordo com a equação 4.1, sendoicada um desses estados.

γi =

π(_ia)−π(_is) π_i(a)

(4.1)

Feito isso, foi efetuada a média aritmética x˜ entre todos estes erros relativos (γi) conforme a expressão 4.2 (sendo x˜×100 o erro percentual) e destacado também o erro relativo máximo γmax entre eles.

˜

x= γ1+γ2+γi+· · ·+γn

n = 1 n n X i=1

γi (4.2)

Esta operação foi feita com o resultado de todas as técnicas de simulação implementadas e foi repetida com os três modelos SAN mencionados (ASP, FAS e RS). Os resultados são apresentados nas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3, sendo que o eixoxde cada gráfico corresponde a quantidade de amostras coletadas em cada execução e o eixoy o erro relativo. A linha pontilhada representa o erro relativo máximo dentre os estados e as barras correspondem ao erro relativo médio entre eles.

Note que conforme aumenta o número de amostras (eixo x) coletadas na resolução dos mode-los, diminui o erro relativo médio e máximo dos resultados da simulação, praticamente em todas as técnicas apresentadas. Quanto à precisão das mesmas, pode-se dizer que apresentam melhor eficiência a partir dos resultados com10.000.000 (1e+ 07) de amostras. Isso pode ser notado uma vez que o erro relativo percentual do modelo ASP, considerando todas as técnicas, varia entre 0,79% (técnica Forward Simulation) e 1,10% (técnicaPermanence Time Simulation), enquanto que o erro relativo máximo varia entre6,4% (técnicaForward Simulation) e10,3% (técnicaPermanence Time Simula-tion).

Um comportamento importante a ser destacado neste modelo é que as técnicas de simulação Backward,ForwardePermanence Timeapresentam pouca redução do erro para resultados com mais de10.000.000(1e+ 07) de amostras, ou seja, a redução da média do erro relativo é praticamente nula quando a ordem de grandeza das amostras coletadas aumenta mais do que isso.

(49)

pro-4.1. ERRO RELATIVO VARIANDO O N ´UMERO DE AMOSTRAS 49 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras Forward Simulation − Modelo ASP

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.1613

0.0505 0.0174

0.0079 _0.0063 _0.0062 1.0000

0.3814 0.1255

0.0648 0.0789 0.0831

(a) Forward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Backward Coupling Simulation − Modelo ASP

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.1866

0.0526 0.0181

0.0089 _0.0075 _0.0074 1.2910

0.2862 0.1147

0.0668 _0.0488 _0.0522

(b) Backward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Permanence Time Simulation − Modelo ASP

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.3740 0.1017 0.0285 0.0110 0.0069 0.0061 14.9475 2.5496 0.1438 _0.1034 0.0840 0.0805

(c) Permanence Time

(50)

50 CAP´ITULO 4. TESTES REALIZADOS E RESULTADOS OBTIDOS 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras Forward Simulation − Modelo FAS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 1.5330 0.9056 0.2769 0.0967 0.0455 0.0379 52.4735 9.2008 1.7860 0.6074 0.2618 0.1491 (a) Forward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Backward Coupling Simulation − Modelo FAS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 1.4945 0.9176 0.2995 0.1059 0.0494 0.0410 47.2950 11.0172 2.3051 0.8220 0.2830 0.1768 (b) Backward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Permanence Time Simulation − Modelo FAS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 1.2876 _0.9986 0.4214 0.1552 0.0582 0.0383 50.0041 21.7341 3.6133 1.6371 0.2895 0.1809

(c) Permanence Time

(51)

4.1. ERRO RELATIVO VARIANDO O N ´UMERO DE AMOSTRAS 51 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras Forward Simulation − Modelo RS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.2422 0.0752 0.0244 0.0079 0.0025 0.0008 1.3856 0.3632 0.1204 0.0367 0.0135 0.0043 (a) Forward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Backward Coupling Simulation − Modelo RS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.2491 0.0763 0.0247 0.0080 0.0025 0.0011 1.3856 0.3802 0.1156 0.0349 0.0133 0.0046 (b) Backward 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09 1e+10

Erro

Amostras

Permanence Time Simulation − Modelo RS

ERRO MÉDIO ERRO MÁXIMO 0.3151 0.1063 0.0325 0.0110 0.0033 0.0010 2.4080 0.6529 0.1604 0.0466 0.0135 0.0065

(c) Permanence Time

(52)

52 CAP´ITULO 4. TESTES REALIZADOS E RESULTADOS OBTIDOS

cessamento que normalmente é despendido, visto que para algumas técnicas esse tempo pode ser bastante grande e a redução do erro pouco significativa. Os tempos de processamento das técnicas de simulação serão apresentados e discutidos na Seção 4.5.

Já para o segundo modelo analisado (FAS) pode ser observado um comportamento equilibrado em relação a todas as técnicas aplicadas. No entanto os erros relativos médios e máximos do modelo FAS são maiores que no modelo ASP, isso pode ser justificado, pois o RSS do modelo FAS é de512

estados, contra 162 do modelo ASP. Acredita-se que devido a esta diferença no número de estados seria necessário uma quantidade maior de amostras do modelo FAS para atingir a mesma precisão obtida com o modelo ASP.

Com relação ao modelo RS, mesmo este apresentando um RSS ligeiramente maior que o do modelo FAS, de636estados (contra512), o mesmo apresenta erros relativos médios e máximos bem menores. Um dos poss´ıveis motivos que podem ter acarretado neste resultado é a influência das taxas de transição que os compõe. Neste sentido, a ocorrência de eventos raros, ou com probabilidades muito baixas de ocorrência, pode ser a causa de discrepâncias mais acentuadas nos resultados de alguns modelos. A simulação de modelos com eventos de ocorrência rara é um tema de pesquisa em aberto, com poucos trabalhos relacionados [24]. No entanto, mesmo esta caracter´ıstica tendo relevância nos resultados, a análise da mesma será proposta como um estudo futuro, sendo que não foram realizados experimentos que avaliem esta propriedade no momento.

Uma caracter´ıstica bastante importante que não pode deixar de ser mencionada é a precisão da técnicaBackward Coupling Simulation. Esta técnica de simulação é considerada uma das mais pre-cisas, por coletar amostras mais perfeitamente distribu´ıdas. Porém, os resultados mostraram que a mesma apresenta ganhos pouco significativos comparada com as demais, onde em praticamente to-dos os casos apresenta erro relativo médio maior que a técnicaForward Simulation, com exceção do primeiro ponto (1,5330 contra 1,4945) do gráfico do modelo FAS (Figura 4.2) e do quinto ponto (ambos com erro médio igual a0,0025) do gráfico do modelo RS (Figura 4.3). Vale lembrar que esta última necessita a escolha de um estado inicial e a definição do tamanho da trajetória, ao contrário da Backward Coupling Simulation. Além disso, se compararmos o consumo de memória, a técnica Back-ward Coupling Simulationnecessita armazenar trajetórias partidas de todos os estados do modelo, fato

que acarreta um consumo elevado, quando comparada com as outras duas. Alguns estudos recentes vêm sendo realizados para reduzir esse consumo de memória e acelerar a coleta das amostras através de propriedades de monotonicidade, conforme visto em Vincent [39]. Porém, essa propriedade só é aplicada para uma determinada classe de modelos, através de técnicas não triviais.

(53)

4.2. INTERVALOS DE CONFIANC¸ A 53

4.2 Intervalos de Confianc¸a

O Intervalo de confiança [9] é utilizado para verificar a variação de cada execução da simulação, de forma a observar o quanto o resultado de uma execução difere de outro. Em outras palavras, o intervalo de confiança dá a margem de erro da simulação, necessitando para isso a realização de várias execuções.

A variação entre os resultados ocorre, pois na simulação as variáveis que disparam as transições entre um estado e outro são variáveis aleatórias definidas por distribuições de probabilidades, con-forme visto na Seção 3.1. Computacionalmente, estas variáveis são definidas por funções que re-cebem como parâmetro uma semente, que corresponde a um determinado valor real passado como parâmetro para a função. O uso de diferentes sementes faz com que haja variações entre um resul-tado e outro da simulação, pois serve como ponto inicial para a geração das variáveis aleatórias. Por este motivo, estas variáveis são na verdade chamadas de pseudoaleatórias [26], visto que não são totalmente aleatórias, justamente por serem geradas através de uma função, pelo computador.

Para mostrar este comportamento, foram realizadas 50execuções dos modelos ASP, FAS e RS, utilizando a técnicaPermanence Time Simulation. Feito isso, foi calculado o intervalo de confiança de95%para cada estado em todos os modelos. Em cada execução foi passado como parâmetro uma semente diferente ao gerador de números aleatórios e a média aritmética dos intervalos obtidos são apresentados nos gráfico da Figura 4.4.

O eixoxdos gráficos apresenta a quantidade de amostras coletadas em cada uma das50execuções da simulação, ou seja, 50 execuções com 10.000 amostras, 50execuções com 100.000 amostras e assim por diante, para cada modelo. O eixo y mostra a variação do erro médio relativo entre as execuções, onde nota-se a significativa redução do mesmo à medida que a quantidade de amostras aumenta no eixox, principalmente para o modelo FAS. Constata-se com isso que a média dos inter-valos de confiança realizada entre os estados de cada modelo, torna-se mais precisa, conforme essas amostras aumentam, visto que um intervalo de confiança menor corresponde a pouca variação entre os resultados de diferentes execuções. Este fato aumenta a credibilidade das simulações conforme aumenta o número de amostras coletadas uma vez que a semente utilizada no gerador de números aleatórios passa a influenciar cada vez menos no resultado.

Como a mesma quantidade de amostras foi coletada para as demais técnicas, acredita-se que a variação apresentada nos gráficos anteriores seja a mesma para todas elas, não sendo necessário repe-tir o teste para cada uma novamente. Além disso, isso seria inviável neste momento, visto que as técnicas Backward Coupling Simulation e Forward Simulationapresentam um tempo de processa-mento significativamente superior à técnicaPermanence Time Simulation, conforme será apresentado na Seção 4.5.

(54)

54 CAP´ITULO 4. TESTES REALIZADOS E RESULTADOS OBTIDOS −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

Variação do erro médio relativo

Amostras

Intervalos de Confiança para Permanece Time Simulation

Intervalos de Confiança

−0.093293 −0.030462 −0.009661 −0.003086 −0.000965 −0.000306 0.093293

0.030462 0.009661 0.003086 0.000965 0.000306

(a) ASP com K = 2 e P = 2

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

Amostras

Intervalos de Confiança −1.0094

−0.5105

−0.1599

−0.0511 −0.0161 −0.0051 1.0094

0.5105

0.1599

0.0511 _0.0161 _0.0051

(b) FAS com N = 9

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

Amostras

Intervalos de Confiança −0.113550 −0.035756

−0.011362 −0.003568 −0.001123 −0.000357 0.113550

0.035756 0.011362 0.003568 0.001123 0.000357

(c) RS com P = 10 e R = 5