As Equa~oes de Hamilton sem Transforma~ao
de Legendre
HamiltonEquations dispensingwithLegendreTransformation
G.F. LealFerreira
guilhermif.s.usp.br
Institutode Fsia deS~ao Carlos,USP
CP 369,13560-970, S~aoCarlos, SP
Reebidoem10dejaneirode2001. Aeitoem05defevereirode2001
Maxwell, preparando sua abordagem din^amia ao Eletromagnetismo (Treatise, Vol. II,Part IV,
Cap.VI)alana,noaptuloanterior,asequa~oesdeHamiltonpelometododasimpuls~oes,queele
atribuiaThomsoneTait. Oestadodemovimentodosistemae dadoemtermosdasoordenadas
generalizadase dos seusmomentos, estes sendovistos omoresultado deimpuls~oes
onveniente-menteapliadas a partirdorepouso e daongura~aoatual dosistema. Estaabordagem ebem
maisfsiadoqueabemrapidabaseadanatransforma~aodeLegendreepermiteverasequa~oesde
Hamiltonomopresrevendo asmudanastemporaisentreasgrandezasdeposi~aoedemomento
-entendidasomoimpulsosdas foras apliadas -en~aoomoemLagrange emque so grandezas
assoiadasasmassas,posi~aoeveloidade,apareem.
Maxwell, preparing his dynamial approah to the Eletromagnetism (Treatise, Vol. II, Parte
IV, Cap.VI), reahes inthe previous hapter the Hamilton equations by the impulsive method,
attributedbyhimtoThompsonandTait. Thestateofmotionofthesystemisgivenintermsofthe
generalizedoordinates andtheirmomenta,theseseen asaresultofimpulsiveforesonveniently
appliedfromrest and from the atualonguration ofthe system. This approahis muhmore
physialthantheoneprovidedbytheveryrapidonethroughLegendretransformationandhasthe
meritofallowing ustoseethe Hamiltonequationsas presribingthemutualhangesofpositions
and momenta - let them be understood as impulses of the applied fores - while in Lagrange's
methoddealsonlywithquantitiesassoiatedtothemasses,positionandveloities.
I Introdu~ao
Apassagemdaformula~aodeLagrangeadeHamilton
e,nosdiasdehoje,realizadaatravesdetransforma~oes
deLegendre. Dalagrangeana,expressaemtermos das
posi~oes q
i
e suasveloidadesq_
i
, onstroi-se afun~ao
H, ontendo a mesma informa~ao, mas expressa em
fun~ao dosq
i
edos p
i
, denidos omo L=q_
i .
E um
aminhorapido,masquediilmenteonseguedar
on-teudofsioaosmomentosp
i
easpropriasequa~oesde
Hamiltonqueresultamdatransforma~ao. Maxwell,no
seu Treatise [1℄, preparando sua Dynamial Theory of
Eletromagnetism,queapareenoaptulo6 Æ
daParte
IV do Vol. II, apresenta tratamento, que atribui a
ThomsoneTait,emqueaenergiainetia,iniialmente
expressaemtermosdosq
i eq_
i
,eagoraexpressaem
ter-mosdosq
i ep
i
,estessendodenidos omoos
momen-tosresultantesdeimpuls~oesrealizadasapartirdeada
ongura~aoq,dorepousoaoestadoatualdosistema,
omasveloidadesq_
i .
Eoquereproduzimosaseguir,
om pouas modia~oes e alguns omentarios
adii-onais. De passagem menionamos que em sua teoria
din^amia osiruitos eletrios emintera~aos~ao
onsi-deradosomoumsistema desritoporoordenadasde
posi~ao e suas veloidades, enquanto asorrentes s~ao
desritas porveloidades`eletrias'ujas posi~oes s~ao
ignoraveis.
II Os momentos omo
im-puls~oes
Sejam as equa~oes de Lagrange para as oordenadas
generalizadasidosistema
d
dt T
L
q_
i T
L
q =Q
i
(1)
emqueaenergiainetiaT,esritaomoT
L
,signia
q
i eq_
i . Q
i
eaforageneralizadaorrespondente a
o-ordenada q
i
edadaemtermos dasforas ~
F
j
apliadas
as j partulasdosistema,omposi~ao~r
j ,omo Q i = X ~ F j ~r j q i : (2)
Quandoforevidenteaquendieosomatorioserefere,
ele n~aoseraexibido.
A energia inetia e, em geral, uma fun~ao
quadratiadasveloidades
T L = 1 2 X a i;j (q)q_
i _ q
j
; (3)
em queosoeientesa
i;j
s~ao fun~oesdasposi~oesq's
esatisfazemarela~aoa
i;j (q)=a
j;i
(q):Dadauma
on-gura~aodo sistema, isto e, dadasasoordenadas q
i ,
qualquerestadodemovimentodomesmo,isto e,
qual-quer onjunto de valores de veloidades q_
i
, pode ser
alanado atravesde determinadas impuls~oes
(impul-sosinstant^aneos)[2℄) ~
I
j
apliadasaspartulasapartir
dorepouso,naquelaongura~ao. Osvaloresdeq_
i
a-raterizam, paraadaongura~aoq
i
,umonjunto de
impuls~oes, que levariam o sistema do repouso aquele
estado de movimento. Consideremos as impuls~oes ~
I
j
perpetradasnotempot,oumelhor,entre t et
+ , ~ I j = Z t+ t ~ F j dt: (4)
IntegrandonotempoaEq.(1)etendoemontaaEq.(4)
temos T L q_ i = X j ~ I j ~r j q i + X j a i;j (q) q i Z t + t _ q i _ q j
dt: (5)
V^e-se que aontribui~ao da integralse anula porque,
por exemplo, q_
i
dt = dq
i
= 0 e a varia~ao maxima
dasveloidades,q_
j
,enita. Ent~ao,os T
L =q_
i
adqui-rem valores espeos p
i
, os momentos,
independen-tes agorada representa~aoiniiallagrangeana. Temos
ent~ao p i = X ~ I j ~r j q i = X a i;j (q)q_
j
: (6)
Paraum dadoestadodosistema,q
i , q_
i
, oempregodo
2 o
.
edo3 o
.
termodaigualdadeaimapoderiaserusado
parasealularumonjuntodeimpuls~oesquelevariao
sistemaasveloidadesdesejadas,masn~aoneessitamos
delasparadeterminarosp
i
,dadospelo1 o . e3 o . termoda
Eq.(6). Portanto, oonjunto dosp
i
podem serusados
alternativamenteaosq_
i
eaEq.(6)indiaomofaz^e-lo,
istoe,invertendo-aom
_ q i = X b i;j p j om b i;j =b j;i : (7)
Embora as impuls~oes tenham sido usadaspara
ara-terizar siamente os momentos p
i
, e possam ser
usa-das livremente emdedu~oes(veja,porexemplo, a
ob-os momentos podem agora ser usados omo variaveis
ontnuasnotempo. Asubstitui~aodosq_
i pelosp
j om
aEq.(7)naEq.(3)forneeriaaenergiainetiaT
H em
queelaeexpressaem termosdosq
i ep
i
. Note-seque
T
H
,emvezdeexpressar-sesoatravesdegrandezas
as-soiadasaspartulasq
i eq_
i
,usaasvariaveisp
i
assoia-dasasforas,ouaosseusimpulsoseasequa~oesde
Ha-miltonv~aodizeromosed~aoasmudanasreproas.
III Obten~ao da rela~ao
T
H =p
i = q_
i
, preursora de
H=p
i = q_
i
Com a representa~ao T
H
, estados om os mesmos q
i
masomvariadosp
i
podemservistosomoresultantes
deaplia~oesdeimpuls~oesdemagnitudesdiferentes. Se
apartirdamesma ongura~aodoisonjuntos de
im-puls~oes,p
i ep
i +dp
i
,s~aoapliadosapartirdorepouso,
adiferena deenergiainetiaalanadaelaramente
dadapor dT= X T H p i dp i : (8)
jaqueasposi~oesn~aomudam. VamosmostrarquedT
tambempodeseraluladoomo
dT = X _ q i dp i (9)
e, ent~ao, onluiremos das Eqs.(8) e (9) que q_
i = T H =p i .
Paraisto,vamosalularprimeiroaenergiainetia
omuniada nas impuls~oes que levam do repouso aos
momentos p
i
atraves do trabalho W realizado. Este
vale W = Z t+ t X j ~ F j X i ~r j q i dt= Z t+ t X j ~ F j X i ~r j q i _ q i dt (10)
quepodemosesreveromo
W = X i;j Z t+ t _ q i ~ F j ~r j q i dt= X i;j ~ I j ~r j q i _ q i ; (11) emque _ q i
eamediadasveloidadesduranteoimpulso
eque noasopresenteeametade daveloidade nal
_ q
i
. PelaEq.(11)aenergiainetiaeent~ao
T =W = 1 2 X p i _ q i ; (12)
express~ao que, em vista das raz~oes ja apresentadas, e
valida em geral, isto e, para qualquer tipo de
movi-mento. Agora,dasEqs.(6)e(7),podemosonluirque,
emvistadasimetriadosoeientesa
i;j eb
i;j ,temos
X
pdq_ = X
_
Retornandoasimpuls~oesp
i ep
i +dp
i
,nasquaisas
ve-loidadespassamde q_
i aq_
i +dq_
i
, tira-sedas Eqs.(12)
e(13)que
dT = X
_ q
i dp
i
; (14)
queomparadaaEq.(8)levaa
T
H
p
i =q_
i
; (15)
que,pratiamente,eumadasEqua~oesdeHamilton.
IV Obten~ao da outra equa~ao
de Hamilton, H=q
i
= p_
i
Seguindo [1℄, lembra-se primeiro que dp = pdt_ e que
dq=qdt_ eusandoaEq.(15)temosque
T
H
p
i dp
i =q_
i _ p
i dt=p_
i dq
i
: (16)
Como
dT =dT
H =
X
T
H
p
i dp
i +
T
H
q
i dq
i
; (17)
seguedaEq.(16)que
dT =dT
H =
X
_ p
i +
T
H
q
i
dq
i
: (18)
Supondoqueosistemasejaonservativoeque,assim,o
trabalhoelementardasforasdW
seexpressaatraves
deumaenergiapotenialU(q),
dW
=
X
U(q)
q
i dq
i
; (19)
podemosigualardT adW
,Eq.(19),eobter
dT
H
=dT =dW
=
X
U(q)
q dq
i
= X
_ p
i +
T
H
q
i
dq
i
; (20)
esendoosdq
i
independentes
H(q;p)
q
i =
(T
H +U)
q
i
= p_
i
(21)
em quesedeniu ahamiltonianaH(q;p); reonheida
omoaenergiatotaldosistema. Comoopotenialn~ao
depende das veloidades, aEq.(15) pode serreesrita
omo
H(q;p)
p_
i =q_
i
(22)
queeaoutraequa~aodeHamilton.
V Conlus~oes
EstamosagoraonvenidosdequenaMe^aniade
Ha-milton, asforas, atravesde seus impulsos,tornam-se
atores prinipais en~ao merooadjuvantesomo nade
Lagrange. Sabemostambemqueomovimentoontnuo
de um sistema pode ser estudado omo riado do
re-pouso,naongura~aoatual,porimpuls~oes,forneendo
ummeioalternativodeabordagem.
Agradeimentos
O autor agradee a bolsa de produtividade ao
CNPq.
Referenes
[1℄ J.ClerkMaxwell, Atreatise onEletriityand
Magne-tism, Vol.2, DoverPubli., NovaYork,1954, ParteIV,
Cap.V.
[2℄ S. W. MCuskey, An Introdution to Advaned
