Controle na fronteira para um sistema de equações de ondas

(1)

Universidade Estadual Paulista

Câmpus de São José do Rio Preto

Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

CONTROLE NA FRONTEIRA

PARA UM SISTEMA DE

EQUAC

¸ ˜

OES DE ONDAS

Juliano de Andrade

Orientador: Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio

Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de Biociˆencias,

Le-trase Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual Paulista,

campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto, como parte dos

requisi-tospara a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica

(2)

JULIANO DE ANDRADE

Controle na Fronteira Para um Sistema de Equa¸c˜

oes de Ondas

Disserta¸cão apresentada para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, área de Análise, junto ao Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Es-tadual Paulista, ”Julio de Mesquita Filho”, Campus São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio Professor Adjunto

Orientador

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Prof. Dr Juan Amadeo Soriano Palomino Professor Associado Doutor

UEM - Universidade Estadual de Maring´a

Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos Professor Adjunto

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

(3)

Andrade, Juliano de.

Controle na fronteira para um sistema de equações de ondas / Juliano de Andrade. – São José do Rio Preto: [s.n.], 2010.

43 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Adalberto Spezamiglio

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Análise matemática. 2. Equações diferenciais parciais. 3. Equação de onda. 4. Espaço de Sobolev. I. Spezamiglio, Adalberto. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

CDU – 517.95

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE Campus de São José do Rio Preto - UNESP

(4)

A minha amada esposa, Lucineide aos meus pais, Dauro e Margarida e aos meus queridos irm˜aos, Celso, Mauricio, Maria Cristina e Regiane

(5)

Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a Deus, pela oportunidade e for¸ca para realiza¸c˜ao deste tra-balho, pois sem ele nada eu teria feito.

Agrade¸co também ao professor Dr. Adalberto Spezamiglio, pela orienta¸cão e por compartilhar conosco parte de seu conhecimento matemático.

Aos meus pais que me ajudaram em todos os momentos da minha vida, que me ensinaram, instruiram e formaram o car´ater do homem que sou hoje.

Quero agradecer em especial a minha esposa Lucineide Keime Nakayama de Andrade, que eu admiro muito pela inteligência e capacidade, e que me apoiou e insentivou a minha vinda para o mestrado aqui na Unesp de São José do Rio Preto.

Aos professores da Unesp de São José do Rio Preto, que colaboraram em minha forma¸cão acadêmica.

`

A Capes e ao CNPq pelo apoio financeiro.

Aos professores Alagacone Sri Ranga e Maria Gorete Carreira Andrade da

Unesp de São José do Rio Preto pelo incentivo, e aos professores Marcelo Escudeiro Hernandes e Ryuichi Fukuoka da UEM que me incentivaram a fazer o mestrado aqui nesta institui¸cão, ao professor Doherty Andrade que me orientou em projetos de pesquisas na gradua¸cão pela UEM.

(6)

Resumo

Um problema de controle exato na fronteira para um sistema de equa¸cões de ondas acopladas é considerado em um retângulo do plano. Obtém-se controle de quadrado integrável para estados iniciais de energia finita.

(7)

Abstract

We are concerned with a problem of exact boundary controllability for a coupled sistem of wave equations in a rectangle of the plane. We obtain square integrable control for initial state with finite energy.

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Norma de uma Transforma¸c˜ao Linear

e o Teorema de Neumann . . . 3

1.2 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . 4

1.2.1 No¸c˜ao de Derivada Fraca . . . 4

1.2.2 Os Espa¸cos Lp_{(Ω) . . . .} ₇

1.2.3 Espa¸cos de Sobolev . . . 8

1.3 Extens˜oes e Tra¸cos em Espa¸cos de Sobolev . . . 10

2 Decaimento de energia 16 2.1 O Problema de Valor Inicial e Fronteira . . . 20

3 O Problema de controle 24 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 24

3.2 Formula¸c˜ao do Problema . . . 30

3.3 Teorema Principal . . . 31

(9)

Introdu¸c˜

ao

Sejam R _⊂ R2 _{um retângulo aberto com fronteira denotada por} _∂R _e _Hm_{(R) o} espa¸co de Sobolev das fun¸cões de L2_{(R) com derivadas distribucionais até a ordem}

m em L2_{(R), m}_∈_N _.

Neste trabalho dedicamos a mostrar a existˆencia de um tempo T >0 e fun¸c˜oes

controles f, g em L2_(∂R_×_{[0, T}_]), _{tais que para qualquer (u0, u1, v0, v1)} _{∈ H}_{(R) =} H1_(R)_×_L2_(R)_×_H1_(R)_×_L2_(R),_{a solu¸c˜ao do problema}

          

utt−∆u+α(u−v) = 0 em R×]0, T[

vtt−∆v+α(v −u) = 0 em R×]0, T[

u=f, v =g em ∂R_×[0, T]

u(_·,0) =u0, ut(·,0) = u1 em R

v(_·,0) = v0, vt(·,0) = v1 em R

(1)

satisfaz

u(_·, T) = ut(·, T) = v(·, T) = vt(·, T) = 0 em R

Como se pode ver em [13], a interpreta¸c˜ao f´ısica ´e dada por um sistema de duas

membranas retangulares paralelas conectadas por uma camada el´astica de Winkler

sem massa e linear. ´E suposto que as membranas sejam finas, homogˆeneas e

per-feitamente elástica e têm espessura constante. As membranas são uniformemente

apertadas adequadamente por tens˜ao constante na fronteira e s˜ao submetidas

ar-bitrariamente por distribui¸c˜oes de cargas cont´ınuas. Se o sistema ´e submetido a

pequenas vibra¸c˜oes devemos achar fun¸c˜oes controles sobre a fronteira tal que num

determinado tempo T >0, as vibra¸c˜oes param completamente.

(10)

organiza¸c˜ao deste trabalho ´e a seguinte:

No cap´ıtulo 1 apresentamos resultados preliminares necess´arios ao desenvolvimento

do estudo feito ([1],[4],[5],[6],[16],[17]). No cap´ıtulo 2 foram postos os principais

resultados a serem usados no cap´ıtulo 3, que s˜ao teoremas sobre decaimento local de

energia para equa¸c˜oes do tipo wtt−∆w+λw = 0,ondeλ≥0.Usamos aqui a teoria

do cap´ıtulo 1 para esses teoremas, que foram tiradas de ([2],[3],[4],[15]). No cap´ıtulo

3 foi trabalhado o problema (1) apenas para uma equa¸c˜ao na se¸c˜ao 3.1, onde os

principais resultados usados foram dados no cap´ıtulo 2, formulamos nosso problema

na se¸cão 3.2 e por fim o teorema principal na se¸cão 3.3, e cuja demonstra¸cão é feita

(11)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentaremos alguns resultados que ser˜ao usados no

desenvolvi-mento do nosso trabalho. Por serem resultados familiares, colocaremos apenas os

seus enunciados, deixando a cargo do leitor interessado a busca de suas

demons-tra¸c˜oes.

1.1 Norma de uma Transforma¸c˜

ao Linear

e o Teorema de Neumann

Sejam W eV espa¸cos vetoriais sobre um mesmo corpoK₌R _ou C_. _Sejam _{k · k}_W e_{k · k}V normas emW e V respectivamente. Uma transforma¸c˜ao linearT :W →V

´e limitada se, e somente se, existe uma constante C >0 tal que

kT w_kV≤C kwkW,

para todo w_∈W.

A transforma¸cão linear T é limitada se, e somente se, T é cont´ınua (ver [8]). Se

T ´e limitada, a norma de T ´e definida por

(12)

que ´e equivalente a

kT _k= sup

kwkW=1

kT w_kV= sup w6=0

kT w _kV

kw_kW

.

Um espa¸co vetorial normado completo ´e chamado de espa¸co de Banach. Se a norma

de um espa¸co de Banach é proveniente de um produto interno então esse espa¸co é

chamado de espa¸co de Hilbert.

Seja T : W _→ W uma transforma¸cão linear e n _∈ N_. _{Denotamos por} _Tn _a composi¸cão com n fatores T _◦T _◦..._◦T. SeT é limitada então Tn_{é limitada e vale}

kTn_k≤kT _kn.

Seja I : W _→ W o operador identidade. O teorema a seguir, devido a Neumann [17], estabelece uma condi¸c˜ao para a invertibilidade de I₋T.

Teorema 1.1. Sejam W um espa¸co de Banach e T :W _→W uma transforma¸c˜ao linear limitada. Se

kT _k<1

ent˜ao I₋T admite inversa e vale

(I₋T)−1 =

∞

X

n=0

Tn, T0 =I.

Demonstra¸c˜ao: [17]

1.2 Distribui¸c˜

oes e Espa¸cos Funcionais

1.2.1 No¸c˜

ao de Derivada Fraca

No estudo de problemas descritos pelas equa¸c˜oes diferenciais parciais cujos dados

iniciais não são regulares o suficiente para possuirem derivada no sentido clássico,

(13)

Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes:

1o_{) Espa¸co das fun¸c˜oes testes.}

Dados α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, representaremos

por Dα _{o operador deriva¸c˜ao de ordem} _α _{definido por}

Dα = ∂

|α|

∂x1α1∂x2α2. . . ∂x

nαn

,

onde _|α_|=

n

X

i=1

αi. Se α= (0,0, . . . ,0), define-seDαu=u.

Seja Ω um aberto em Rn_{. Denotaremos por} _C∞

0 (Ω) o conjunto das fun¸cões ϕ : Ω _→R _{que são infinitamente diferenciáveis em Ω e que têm suporte compacto,} onde o suporte de ϕ é o fecho do conjunto _{x _∈ Ω;ϕ(x) ₆= 0_} em Ω, ou seja, supp(ϕ) = _{x_∈Ω;ϕ(x)₆= 0_}Ω.

Dizemos que uma sequˆencia _{ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para zero, e denotamos ϕν →0, se e somente se existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que:

i) supp(ϕν)⊂ K,∀ν ∈N;

ii) Dα_ϕ

ν →0 uniformemente sobre K,∀α ∈Nn.

Dizemos que uma sequˆencia _{ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para ϕ ∈ C0∞(Ω) quando a sequˆencia _{ϕν −ϕ} converge para zero no sentido acima definido.

O espa¸co C∞

0 (Ω), munido dessa no¸cão de convergência, é denominado espa¸co das fun¸cões testes, denotado por _D(Ω).

2o_{) Distribui¸c˜ao sobre um aberto Ω}_⊂_Rn_.

Uma distribui¸cão em Ω é uma forma linear T :_D(Ω)_→K _{cont´ınua, isto é;}

i) T ´e linear

(14)

O conjunto de todas as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e um espa¸co vetorial, o qual

representa-se por _D′(Ω), chamado espa¸co das distribui¸cões sobre Ω, munido da seguinte no¸cão de convergência: seja (Tν) uma sucessão em D

′

(Ω) e T _{∈ D}′(Ω). Dizemos que Tν → T em D

′

(Ω) se a sequˆencia num´erica _{hTν, ϕi} converge para

hT, ϕ_i em R_, _∀ _ϕ_{∈ D}_(Ω). 3o_{) Denotaremos por} _Lp

loc(Ω), 1 ≤ p < +∞ o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes

u: Ω_→R_{tais que}

(

Z

K|

u_|p)1p <+∞, sobre cada compacto _K de Ω.

Uma sucess˜ao _{uν} de fun¸c˜oes em Lp_loc(Ω) converge para zero em Lp_loc(Ω) se

lim

ν→+∞(

Z

K|

uν|p)

1

p = 0, para todo compactoK de Ω.

Seja _{uν} uma sucess˜ao de fun¸c˜oes de Lploc(Ω) e u ∈L p

loc(Ω). Dizemos que {uν}

converge para u em Lp_loc(Ω) se _{(uν −u)} converge para zero em Lp_loc(Ω).

De posse dessas defini¸c˜oes estamos aptos a entender um novo conceito de derivada.

S. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸c˜ao global de derivada a qual

denominou-se derivada fraca, cuja constru¸cão dar-se-á a seguir. Quando Ω é um

aberto limitado define-se Cm_{(Ω) como:}

Cm_{(Ω) =}_{_f ₌_g _|

Ω;g ∈Cm(Rn) e Dαf ´e limitado em Ω, |α| ≤m}. Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do Rn_{, cuja fronteira} _∂_{Ω ´e regular.}

Suponhamos queu, v _∈C1_(Ω)._Se_u_ou_v _{se anula sobre}_{∂Ω, da integra¸c˜ao por partes} obtemos,

Z

Ω u ∂v

∂xk

dx=₋

Z

Ω v ∂u

∂xk

dx.

A express˜ao anterior motivou a derivada fraca dada por Sobolev: Uma fun¸c˜ao

u _∈ L1

loc(Ω) é derivável no sentido fraco num aberto Ω, quando existe uma fun¸cão

v _∈L1

loc(Ω) tal que

Z

Ω

u(x)∂ϕ(x) ∂xk

dx=₋

Z

Ω

(15)

para todaϕ _{∈ D}(Ω). A fun¸cão v é a derivada fraca de uem rela¸cão a xk, denotada

por ∂u ∂xk

.

Embora tal conceito de derivada tenha sido um marco na evolu¸c˜ao do conceito

de solu¸cão de uma equa¸cão diferencial, ela apresenta uma grave imperfei¸cão no fato

que nem toda fun¸c˜ao de L1

loc(Ω) possui derivada nesse sentido. No intuito de sanar

esse tipo de problema, Laurent Schwartz, em meados de 1945, introduziu a no¸c˜ao

de derivada no sentido das distribui¸c˜oes, a qual generaliza a no¸c˜ao de derivada

formulada por Sobolev, como segue:

Sejam T uma distribui¸cão sobre Ω e α _∈ Nn_{. A derivada de ordem} _α _de _T_{, no} sentido das distribui¸cões, é definida por:

hDαT, ϕ_i= (₋1)|α|_hT, Dαϕ_i; _∀ϕ _{∈ D}(Ω).

Verifica-se que Dα_T _´e _ainda _uma _{distribui¸c˜ao} _e _que _o _operador

Dα _:_D′

(Ω)_{→ D}′(Ω), tal que a cada T associa Dα_T_{, ´e linear e cont´ınuo.}

Seja u _∈ L1

loc(Ω) uma fun¸c˜ao que possui derivada fraca

∂u ∂xk

e seja Tu a

dis-tribui¸c˜ao definida por _hTu, ϕi=

R

Ωu(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ∈ D(Ω).Temos

hDαTu, ϕi=−hTu, Dαϕi

que se reduz a

Z

Ω

u(x)∂ϕ(x) ∂xk

dx=₋

Z

Ω ∂u(x)

∂xk

ϕ(x)dx.

Logo, Dα_T

u coincide neste caso com a derivada fraca

∂u ∂xk

definida anteriormente.

Veremos (proposi¸c˜ao 1.3) queTu ´e definida univocamente para toda u∈L1loc(Ω).

1.2.2 Os Espa¸cos

L

p

_(Ω)

(16)

ku_kLp(Ω)= (

Z

Ω|

u(x)_|pdx)1p.

Teorema 1.2. (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue) - Seja

{uν}ν∈N uma sequência de fun¸cões integráveis num aberto Ω ⊂ Rn, convergente

quase sempre para uma fun¸c˜ao u. Se existe uma fun¸c˜aou0 _∈L1_(Ω) _{tal que}_|_u

ν| ≤u0

quase sempre, _∀ν _∈N_, _então _u_{é integrável e tem-se}

Z

Ω

u= lim

ν→+∞

Z

Ω uν.

Demonstra¸c˜ao: Ver [9].

Proposi¸c˜ao 1.3. (Lema de Du Bois Raymond)- Seja u_∈L1

loc(Ω), e seja Tu a

distribui¸c˜ao definida por _hTu, ϕi=R_Ωu(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω). Ent˜ao Tu = 0 se, e

somente se, u= 0 quase sempre em Ω.

Dessa proposi¸c˜ao tem-se queTu fica univocamente determinada poru∈L1loc(Ω),

isto ´e, se u, v_∈L1

loc(Ω), ent˜aoTu =Tv se, e somente se,u=v quase sempre em Ω.

Proposi¸c˜ao 1.4. Seja _{uν}ν∈N ⊂ Lp_loc(Ω), 1 ≤ p < +∞. Se u_ν → u em Lp_loc(Ω).

Ent˜ao uν →u em D

′ (Ω).

1.2.3 Espa¸cos de Sobolev

Seja Ω um aberto doRn_{, 1}_≤_{p <}₊_∞_e_m _∈_N_{. Se}_u_∈_Lp_{(Ω) sabemos que}_u_possui

derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸cões, mas não é verdade, em

geral, que Dα_u _{seja uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de} _Lp_{(Ω). Quando}

Dα_u _{´e definida por uma fun¸c˜ao de} _Lp_{(Ω) define-se um novo espa¸co denominado}

(17)

u_∈Lp(Ω), tais que para todo_|α_{| ≤}m,Dαupertence aLp(Ω), sendoDαua derivada no sentido das distribui¸c˜oes.

O espa¸co Wm,p_{(Ω) munido da norma}

ku_km,p =

 X

|α|≤m

Z

Ω|

Dαu_|pdx

 

1

p ,

´e um espa¸co de Banach (ver [12]).

Representa-se Wm,2_{(Ω) =}_Hm_{(Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja, os}

espa¸cos Hm_{(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert.}

´

E sabido que C∞

0 (Ω) é denso em Lp(Ω), mas não é verdade que C0∞(Ω) é denso emWm,p_{(Ω) para}_m _≥_{1. Motivado por essa razão define-se o espa¸co}_Wm,p

0 (Ω) como sendo o fecho de C∞

0 (Ω) em Wm,p(Ω), isto ´e,

C∞

0 (Ω)

Wm,p_(Ω)

=W₀m,p(Ω).

E tamb´em define-se o subespa¸co Hm

0 (Ω) de Hm(Ω) como sendo o fecho de C0∞(Ω) em Hm_(Ω),_{isto ´e,}

H₀m(Ω) =C∞

0 (Ω)

Hm_(Ω) ,

ou seja, W₀m,2(Ω) =Hm

0 (Ω).

Proposi¸c˜ao 1.5. Seja_{K ⊂}Rn_{um conjunto compacto e}_Ω_{um aberto tal que} _{K ⊂}_Ω.

Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao θ_∈C∞

0 (Rn) tal que

  

θ _≡1 em _K

0_≤θ _≤1 em Rn supp(θ)_⊂Ω

(1.1)

Demonstra¸c˜ao: Ver [3]

Proposi¸c˜ao 1.6. Dado θ_∈C∞

0 (Ω), seja o operador

β :H1(Ω)_→H₀1(Ω)

u_7→β(u) =θu.

(18)

Demonstra¸c˜ao: Ver [4]

1.3 Extens˜

oes e Tra¸cos em Espa¸cos de Sobolev

Seja Ω um aberto deRn_{e seja}_F_{(Ω) um espa¸co vetorial normado cujos elementos s˜ao}

fun¸cões reais definidas em Ω.Um operador extensão paraF(Ω) é uma transforma¸cão

linear limitada

E :F(Ω)_→F(Rn₎

tal que (Ef)_|Ω=f para todo f _∈F(Ω). A limita¸c˜ao ´e expressa por:

kEf _kF(Rn₎≤C kf k_F(Ω),

para toda f _∈F(Ω) e alguma constante C >0.

Um exemplo de operador extensão é aquele que estende as fun¸cões de Lp_{(Ω) para}

Rn _{como sendo nulas no complementar de Ω.}_{Neste caso temos:}

kEf _kLp₍Rn₎=kf k_Lp_(Ω),

para toda f _∈Lp_(Ω).

Lema 1.7. Seja R =]a, b[_×]c, d[ um retˆangulo em R2 _e _u _∈ _H1_(R) _{uma fun¸c˜ao.}

Seja u∗ _{definida em} _Re _{=]a, b[}_×_]2c₋_{d, d[} _por

u∗(x, y) =

u(x, y) se c < y < d

u(x,2c₋y) se 2c₋d < y < c (1.2)

Ent˜ao u∗ _∈_H1₍_R)e _e

ku∗ _k_H1₍_R_e₎≤2kuk_H1₍_R₎ .

Demonstra¸c˜ao: ver [3]

(19)

Se Ω _⊂ Rn_, _{usaremos a nota¸c˜ao Ω}_ε _{para designar a vizinha¸ca aberta de Ω definida} por

Ωε= Ω +B(0, ε)

onde B(0, ε) ´e a bola aberta de centro na origem e raio ε >0.

O teorema a seguir dá uma extensão para as fun¸cões de H1_{(R) com}_R _{=]a, b[}_×_{]c, d[.}

Teorema 1.8. Seja R =]a, b[_×]c, d[, e ε > 0. Existe um operador extens˜ao E de

H1_(R) _em _H1₍_R2₎ _{tal que}

suppEu_⊂Rε

para todo u_∈H1_(R)

Demonstra¸c˜ao: Refletindo o retˆangulo em torno de y = ce usando o lema (1.7),

estende-se as fun¸cões de H1_{(R) para ]a, b[}_×_]2c₋ _{d, d[.} _{Usando o mesmo lema e} reflexões consecutivas em torno dos demais lados deRobtém-se extensões de funcões

deH1_{(R) para o retângulo}_R_e _=]2a₋_b,_3b₋_2a[_×_]2c₋_d,_3d₋_2c[._{Desta forma} constrói-se uma transforma¸cão linear limitada

e :H1(R)_→H1(R)e

tal que

eu_|R=u,

keu_k_H1₍_Re₎≤C kuk_H1₍_R₎

para todo u _∈ H1_{(R) e alguma constante} _{C >} _0. _Seja _{δ >} _{0 tal que} _R

δ ⊂ Re e

Rδ ⊂ Rε. A proposi¸cão (1.5) nos dá uma fun¸cão θ ∈C0∞(R2) tal que θ = 1 em R,e (em particular θ = 1 emR) e supp θ _⊂Rδ. Para cadau∈H1(R), θeu∈H1(R2) e

supp θeu_⊂Rε.

(20)

Um outro tipo de extens˜ao que consideraremos ´e o seguinte:

SejaXum espa¸co vetorial normado,Y um espa¸co de Banach eD_⊂Xsubespa¸co vetorial de X.

Proposi¸cão 1.9. Seja uma aplica¸cão linear T : D _→ Y. Se T é limitada então existe uma única transforma¸cão linear limitada Tb definida em todo D, que estende

T e _kT _k=_kTb_k.

EmR2_,_{as fun¸c˜oes de}_H1_{(Ω) nem sempre s˜ao cont´ınuas sobre o fecho de Ω,}_como

mostra o exemplo a seguir.

Seja Ω◦ o disco aberto do R2 dˆe centro na origem e raio R <1.Isto equivale a dizer

que

Ω◦ ={(x1, x2)∈R2;x12+x22 < R}, 0< R <1. A fun¸c˜ao

v(x) = (log(_p 1 x2

1+x22

))k, (x1, x2)₆= (0,0) pertence a H1_(Ω

◦) para 0 < k < 1₂. De fato, considerando-se coordenadas polares,

encontra-se:

k v _k2

L2_(Ω◦)=

Z

Ω◦

v2_(x)dx ₌

Z

Ω◦

(log(_p 1 x2

1+x22

))2k_dx ₌

Z 2π

0

Z R

0

(log(1 r))

2k_rdrdθ ₌

2π

Z R

0

(log1 r)

2k_{rdr <}

∞,

e

kgrad v _k2_L2_(Ω◦)=

Z

Ω◦

(log(p 1

x2 1+x22

))2k−2 k 2

x2 1+x22

dx=

Z 2π

0

Z R

0 k2 r2(log(

1 r))

2k−2_rdrdθ₌

2πk2

Z R

0

(log1 r)

2k−2dr r <∞.

Isto prova que v _∈H1_(Ω

◦). Entretanto, v n˜ao ´e cont´ınua porque possui uma

(21)

Em virtude desse exemplo, é necessário fazer uma análise mais cuidadosa com o

ob-jetivo de dar uma defini¸cão precisa do que se entende por restri¸cão de v à fronteira

∂Ω de Ω. De modo vago, a t´ecnica usada consiste no prolongamento ao fecho de

certas formas lineares. Faremos no caso em que Ω ´e um semi-espa¸co.

Se Ω é um aberto, representa-se por_D(Ω) a restri¸cão a Ω das fun¸cõesv _{∈ D}(Rn_). Indica-se com Rn

+ o semiespa¸co:

Rn

+ ={x= (x′, xn)∈Rn;xn >0},

sendo x′ _{= (x1, x2, ..., x}

n−1.) Representa-se por Γ a variedade linear de Rn definida

por:

Γ =_{x= (x′,0);x′ _∈Rn−1_}_.

Lema 1.10. _D(Rn

+) ´e denso em H1(Rn+).

Demonstra¸c˜ao: ver [11].

De posse do lema (1.10), define-se no caso particular Ω = Rn

+ o que se entende por tra¸co de uma fun¸c˜aov deH1₍_Rn

+) sobre Γ.De fato, dadav ∈ D(Rn+).faz sentido falar em sua restri¸c˜ao a Γ, que identifica-se ao Rn−1_. _{Considere a restri¸c˜ao}

γ :_D(Rn

+)→ D(Rn−1) definida por

γv(x′_{, x}

n) =v(x′,0).

A etapa seguinte ´e estenderγcomo uma aplica¸c˜ao deH1₍_Rn

+) no espa¸coL2(Rn−1). Sendo γ uma aplica¸c˜ao linear de _D(Rn

+) emL2(Γ), para estendê-la ao fecho é sufi-ciente demonstrar que ela é limitada, o que será feito a seguir:

Seja v _{∈ D}(Rn

+). Tem-se:

v(x′,0)2 =₋

Z ∞

0 ∂ ∂xn

(22)

≤2

Z ∞

0 k

v(x′, xn)kk

∂ ∂xn

v(x′, xn)kdxn ≤

≤2(

Z ∞

0 k

v(x′, xn)k2 dxn)1/2(

Z ∞

0 k ∂ ∂xn

v(x′, xn)k2)1/2 ≤

≤

Z ∞

0 k

v(x′, xn)k2 dxn+

Z ∞

0 k ∂ ∂xn

v(x′, xn)k2 .

Integrando ambos os membros sobre o Rn−1_, _obtemos:

Z

Rn−1 k

v(x′_,₀₎_k2 _dx′ _≤

Z

Rn−1

(

Z ∞

0 k

v(x′_{, x}

n)k2 dxn)dx′+

+

Z

Rn−1

(

Z ∞

0 k ∂ ∂xn

v(x′, xn)k2 dxn)dx′ ≤

Z

Rn

+

kv(x′, xn)k2 dx+ Σnν=1

Z

Rn

+

k _∂x∂

ν

v(x)_k2 dx.

Dessa desigualdade resulta

kγv_kL2_(Γ)≤kv k_H1₍Rn

+),

isto ´e, a aplica¸c˜ao

γ :_D(Rn₊₎_→_L2_(Γ)

´e linear cont´ınua. Portanto, γ admite uma extens˜ao, representada por γ0, tal que

γ0 :H1(Rn

+)→L2(Γ).

A aplica¸c˜ao linear cont´ınua γ0 denomina-se tra¸co sobre Γ.

Assim, olha-se γ0 como uma generaliza¸cão da opera¸cão de restri¸cão de uma fun¸cão

regular em Rn

+ `a variedade Γ =Rn−1.

Com base na demonstra¸c˜ao acima temos provado o teorema seguinte.

Teorema 1.11. Existe um operador linear limitado

γ0 :H1(Rn

(23)

tal que γ0v =v _|Γ para todov ∈C∞(Rn+) e

kγ0u_kL2₍Rn−1₎≤kuk_H1₍Rn

+),

para todo u_∈H1₍_Rn

(24)

Cap´ıtulo 2

Decaimento de energia

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar teoremas sobre decaimento local de energia

para equa¸c˜oes do tipo wtt − ∆w+ λw = 0, onde λ ≥ 0, que s˜ao os principais

resultados a serem utilizados no cap´ıtulo 3, e cujas demonstra¸cões não serão feitas

aqui. O interessado nas demonstra¸c˜oes pode ver em [2].

Para t0 _∈ R _sejam _w(_·_{, t0) :} R2 _→ _R _e _w

t(·, t0) : R2 → R as fun¸c˜oes que a cada

x_∈R2 _associam _{w(x, t0) e} _w_t_{(x, t0) respectivamente.}

Defini¸c˜ao 2.1. Sejam u_∈H1₍_R2_{), v}_∈_L2₍_R2_{), t0} _∈_R _e _λ_≥_0. _{Uma fun¸c˜ao} w_∈H1

loc(R2×R) ´e solu¸c˜ao com energia finita do problema de Cauchy generalizado

  

wtt−∆w+λw= 0 em R2×R

w(x, t0) =u(x) em R2

wt(x, t0) = v(x) em R2

(2.1)

se existe uma sequˆencia _{wν}∞ν=1 ⊂C∞(R2×R) tal que

i) lim

ν→∞wν =w em H

1

loc(R2×R),

ii) (wν)tt−∆wν +λwν = 0 em R2×R, para todo ν = 1,2, ...,

iii)lim

ν→∞wν(·, t0) = u em H

1₍_R2_),

iv)lim

ν→∞

∂

∂twν(·, t0) =v em L 2₍_R2_),

Observamos que o problema de Cauchy (2.1) tem uma ´unica solu¸c˜ao com energia

finita w_∈H1

(25)

Lema 2.2. Seja Ω _⊂ R2 _{um dom´ınio limitado e} _Ω_δ _{uma vizinhan¸ca aberta de} _Ω.

Sejam f, g _∈ C∞

0 (R2) fun¸c˜oes com suportes compactos em Ωδ e u ∈C∞(R2 ×R) a

solu¸c˜ao do problema de Cauchy 

 

utt−∆u+λu= 0 em R2 ×R

u(x,0) = f(x) em R2

ut(x,0) =g(x) em R2

(2.2)

com λ_≥0.

Para cada T0 > diam(Ωδ), existe K1 =K1(λ, T0,Ωδ)>0 tal que para cada

multi-´ındice α= (α1, α2, α3)_∈N3_, _com _|_α_|₌_α1₊_α2₊_α3 _≤_1, _tem-se

| ∂

|α|

∂(x, t)αu(x, t)| ≤

K1

t {kf kH1(Ωδ)+kg kL2(Ωδ)}

para todo x_∈Ωδ e t > T0.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2] ou [4].

Corol´ario 2.3. Nas mesmas hip´oteses de lema (2.2) vale a seguinte estimativa:

kut(·, t)k2L2_(Ωδ)+ku(·, t)k2_H1_(Ωδ) ≤

K t2(kgk

2

L2_(Ωδ₎+kfk2_H1_(Ωδ))

onde K >0.

Demonstra¸c˜ao: Usando o lema (2.2) temos

| ∂

|α|

∂(x, t)αu(x, t)|

2

≤ K

2 1

t2 {kf kH1(Ωδ)+kg kL2(Ωδ)} 2 ₌

K2 1

t2 {kf k 2

H1_(Ωδ) +kg k2_L2_(Ωδ)+2kfk_H1_(Ωδ)kgk_L2_(Ωδ)}

≤ 2K

2 1

t2 {kf k 2

H1_(Ωδ) +kg k2_L2_(Ωδ)}.

Chamando 2K2

1 =K′ obtemos

| ∂

|α|

∂(x, t)αu(x, t)|

2

≤ K

′

t2 {kf k 2

H1_(Ωδ) +kg k2_L2_(Ωδ)}

comK′ _>_0._{Agora, escrevendo as quatros desigualdades para todos os multi-´ındices}

(26)

kux1k

2₊

kux2k

2₊

kutk2+kuk2 ≤4

K′

t2 {kf k 2

H1_(Ωδ) +kg k2_L2_(Ωδ)}.

Integrando esta última desigualdade em rela¸cão a xem Ωδ obtém-se

kut(·, t)k2L2_(Ωδ)+ku(·, t)k2_H1_(Ωδ) ≤4|Ω_δ|

K′

t2 (kgk 2

L2_(Ωδ)+kfk2_H1_(Ωδ₎)

e chamando 4_|Ωδ|K′ =K temos o desejado.

Lema 2.4. SejamΩ_⊂R2 _{um dom´ınio limitado,} _λ_≥₀_e _Ω

δ uma vizinhan¸ca aberta

de Ω. Sejam (v0,_e v1)_e _∈ H1₍_R2₎_×_L2₍_R2₎ _{fun¸c˜oes com suportes compactos em} _Ω

δ.

Para cadaT0 > diam(Ωδ)existe uma constante K =K(λ, T0,Ωδ)>0,independente

de (v0,_e v1),_e tal que a solu¸c˜ao _ev _∈H1

loc(R2×R) do problema de cauchy

  

e

vtt−∆ev+λev = 0 em R2×R

e

v(x,0) = v0(x)_e em R2

e

vt(x,0) =v1(x)e em R2

(2.3)

satisfaz

kvet(·, t)k2L2_(Ωδ)+kev(·, t)k2_H1_(Ωδ) ≤

K t2(kve1k

2

L2_(Ωδ)+kve₀k2_H1_(Ωδ)) (2.4)

para cada x_∈Ωδ e t > T0.

Demonstra¸cão: Como Ω é um dom´ınio limitado e os suportes de v0_e e v1_e estão contidos em Ωδ, temosv0e ∈H01(Ωδ) e v1e ∈L2(Ωδ).

Pelo fato de C∞

0 (Ωδ) ser denso em H01(Ωδ) e L2(Ωδ),existem sequˆencias

{ven0}n∈N⊂C₀∞(Ω_δ), {ve_n1}_n_∈N⊂C₀∞(Ω_δ)

tais que

limv_en0 =v0e em H1(Ωδ) (2.5)

e

(27)

Para cada n podemos olhar v_en0 even1 definidas em todo R2 (nulos fora de Ωδ ).

Portanto para cada n temos v_en0,ven1 ∈ C0∞(R2), ambas com suporte no dom´ınio limitado Ωδ.

A sequˆencia _{v_en}n∈N⊂C∞(R2×R) de solu¸c˜oes dos problemas de Cauchy

  

(v_en)tt−∆ven+λven = 0 em R2 ×R

e

vn(x,0) = ven0(x) em R2

(v_en)t(x,0) = ven1(x) em R2

(2.7)

converge para a solu¸c˜ao _ev do problema de Cauchy

  

e

vtt−∆ev+λev = 0 em R2×R

e

v(x,0) = v0(x)_e em R2

e

vt(x,0) =v1(x)e em R2

(2.8)

em H1

loc(R2×R) (ver demonstra¸c˜ao em [4]). E

lim

n→∞ven(·, t) =ev(·, t) em H

1₍_R2₎ _(2.9)

lim

n→∞(ven)t(·, t) = (ev)t(·, t) em L

2₍_R2_), _(2.10)

para todo t_∈R _{(ver [4]).}

Agora, aplicando o corol´ario (2.3) a v_en temos

k(v_en)t(·, t)k2L2_(Ωδ)+kve_n(·, t)k2_H1_(Ωδ) ≤

K t2(kven

1

k2L2_(Ωδ)+kve_n

0

k2H1_(Ωδ₎)

para todo n_∈N _e_{t > T0.}

Passando o limite quando n _{→ ∞} nesta ´ultima desigualdade e usando (2.5), (2.6), (2.9) e (2.10) obtemos (2.4).

Lema 2.5. Seja Ω_⊂R2 _{um dom´ınio limitado,}_λ_≥₀_e_Ω_δ _{uma vizinhan¸ca aberta de} Ω. Sejam (v0,_e v1)_e _∈H1(R2₎_×_L2₍R2₎ _{fun¸c˜oes com suportes compactos em} _Ω_δ_. _Para

(28)

(v0_e,v1),_e tal que a solu¸c˜ao _ev _∈H_loc1 (R2_×R₎ _{do problema de cauchy generalizado}

  

e

vtt−∆ve+λve= 0 em R2×R

e

v(x, T) =v0(x)_e em R2

e

vt(x, T) =v1(x)e em R2

(2.11)

satisfaz

kvet(·,0)k2L2_(Ωδ₎+kev(·,0)k2_H1_(Ωδ) ≤

K T2(kve1k

2

L2_(Ωδ₎+kve₀k2_H1_(Ωδ)) (*)

para cada x_∈Ωδ e T > T0.

Demonstra¸c˜ao: Seja Ve _∈H1

loc(R2×R) a solu¸c˜ao do problema de Cauchy

    

e

Vtt−∆Ve +λVe = 0 em R2×R

e

V(x,0) = v_e0(x) em R2

e

Vt(x,0) =−ve1(x) em R2.

(2.12)

Fazemos τ =T ₋t e observamos que

e

V(_·, T ₋t) =_ev(_·, t),

e

Vτ(·, T −t) = −evt(·, t).

Agora, usando o lema (2.4) obtemos a seguinte estimativa:

kvet(·, t)k2L2_(Ωδ)+kve(·, t)k2_H1_(Ωδ) ≤

K

(T ₋t)2(kv1ek 2

L2_(Ωδ)+kv0ek2_H1_(Ωδ)),

sempre que T ₋t > T0.

Pelo fato de T > T0,fazendo t=0 segue (*).

2.1 O Problema de Valor Inicial e Fronteira

Defini¸c˜ao 2.6. Seja Ω_⊂R2 _{um dom´ınio limitado com fronteira}_∂_{Ω, λ}_≥₀_e _{T >}₀

(29)

      

wtt−∆w+λw= 0 em Ω×]0, T[

w(x,0) =u(x) em Ω

wt(x,0) =v(x) em Ω

w(x, t) =h(x, t) em ∂Ω_×[0, T]

(2.13)

se existe uma sequˆencia_{wν}∞ν=1 ⊂C∞(Ω×[0, T])satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

i) lim

ν→∞wν =w em H

1_(Ω

×]0, T[)

ii) (wν)tt−∆wν +λwν = 0 em Ω×]0, T[, ν = 1,2, ...,

iii)lim

ν→∞wν(·,0) =u em H

1_(Ω),

iv)lim

ν→∞

∂

∂twν(·,0) = v em L 2_(Ω),

v)lim

ν→∞wν =h em L

2_(∂Ω

×[0, T]).

Se Ω _⊂ R2 _{é um retângulo aberto, chamando Ω =} _R _então _R_×_{]0, T}_{[ é um} pa-ralelep´ıpedo cujo a base éRe superf´ıcie lateral é∂R_×[0, T].Cada face de∂R_×[0, T] pode ser identificada com um retângulo e portanto um dom´ınio de R2_._{Uma fun¸cão}

h está em L2_(R_×_{]0, T}_{[) se} _h _{restrita a cada uma das faces de} _∂R_×_{[0, T}_{] é fun¸cão} de quadrado integrável no correspondente retângulo.

Proposi¸cão 2.7. Dado um retângulo R _⊂ R2 _e _λ _≥ _0, _sejam _f _∈ _H1_(R) _e _g _∈ L2_(R) _{fun¸cões dadas. Seja} _w_e_∈_H1

loc(R2 ×R) a solu¸c˜ao do problema de Cauchy

  

e

wtt−∆we+λwe= 0 em R2×R

e

w(x,0) =fe em R2

e

wt(x,0) =eg em R2

(2.14)

ondefe_∈H1₍_R2₎_e _g_e_∈_L2₍_R2₎_{s˜ao exten¸c˜oes de}_f _e_g _{respectivamente, com suportes}

em alguma vizinhan¸ca Rδ de R.

Seja fW a restri¸c˜ao de w_e ao paralelep´ıpedo R_×]0, T[ onde T >0.

Ent˜ao:

(30)

b) Denotando por eh o tra¸co de Wf em ∂R_×[0, T], fW satisfaz o problema de valor incial e fronteira

        

f

Wtt−∆Wf+λWf= 0 em R×]0, T[

f

W(x,0) =f em R

f

Wt(x,0) =g em R

f

W(x, t) =eh em ∂R_×[0, T].

(2.15)

Demonstra¸c˜ao: a) Seja ϕ _∈ C∞

0 (R2×R) uma fun¸cão tal que ϕ ≡ 1 em alguma vizinha¸ca aberta de R _×[0, T]. Em particular, ϕ _≡ 1 numa vizinha¸ca aberta de ∂R_×[0, T]. A fun¸cão ϕw_e está em H1₍_R2 _×_R_{) e coincide com} _Wf _em _R _×_{[0, T}_]. Assim, o tra¸co de ϕw_e em ∂R_×[0, T] será o tra¸co de fW a´ı. Para ver que ϕw_e tem tra¸co de quadrado integrável em ∂R_×[0, T], fixemos uma face Γ0 de ∂R_×[0, T] e provemos que ϕw_e tem tal tra¸co em Γ0. Seja Π o plano que contém Γ0 e seja P o semiespa¸co que contém R_×[0, T]. Podemos identificar P com R3

+. A restri¸cão de ϕw_eaPé vista como uma fun¸cão de H1₍_R3

+). Logo, pelo teorema (1.11), segue que ϕw_e tem tra¸co de quadrado integr´avel em Π, e portanto o mesmo vale em Γ0, uma vez que Γ0 ⊂Π.

Pelo fato de podermos fazer isso em cada uma das faces, segue que ϕw_e tem tra¸co em L2_(∂R_×_{[0, T}_]). _Assim_Wf _{tem tra¸co em} _L2_(∂R_×_{[0, T}_]).

Sejaeh o tra¸co de fW em ∂R_×[0, T].Ent˜ao, para toda sequˆencia _{ψν}∞ν=1 ⊂ C∞_(R_×_{[0, T}_{]) com}

lim

ν→∞ψν =W em Hf

1_(R

×]0, T[),

tem-se

lim

ν→∞ψν|∂R×[0,T]=eh em L

2_(∂R

×[0, T]).

(31)

(2.1) fornece

lim

ν→∞wν =w em He

1_(R

×]0, T[).

ComoWfé a restri¸cão de w_eaR_×]0, T[,temos então a condi¸cão i) da defini¸cão (2.6) satisteita.

Como (wν)tt − ∆wν +λwν = 0 em R2 ×R para todo ν, o mesmo valer´a em

R_×]0, T[. Portanto vale a condi¸cão ii) da defini¸cão (2.6). As condi¸cões iii) e iv) da defini¸cão (2.6) seguem imediatamente das respectivas condi¸cões na defini¸cão (2.1),

tomando-se t0 = 0,e f, g em vez de u, v.

Seja agora ψν = ϕwν, onde ϕ foi definida em a). Como ϕ ≡ 1 em R×[0, T]

temos:

lim

ν→∞ψν = limν→∞wν =we=W em Hf

1_(R

×]0, T[).

Logo

lim

ν→∞ϕwν|∂R×[0,T]=eh em L

2_(∂R

×[0, T]).

Como ϕ _≡ 1 numa vizinhan¸ca aberta de ∂R_×[0, T], o ´ultimo limite pode ser escrito assim:

lim

ν→∞wν |∂R×[0,T]=eh em L

2_(∂R

×[0, T]).

Logo a condi¸cão v) da defini¸cão (2.6) está satisfeita.

(32)

Cap´ıtulo 3

O Problema de controle

3.1 Introdu¸c˜

ao

O objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar o problema de controle exato na fronteira para

um sistema de equa¸c˜oes de ondas num retˆangulo aberto R _⊂ R2_. _{Em nosso estudo} usaremos a teoria exposta nos cap´ıtulos anteriores para exibir os detalhes da

demons-tra¸c˜ao do teorema principal deste trabalho.

Teorema 3.1. Sejam um retˆangulo aberto R _⊂ R2 _{com fronteira denotada} _∂R _e λ _≥ 0. Existe T > 0 tal que, para cada u _∈ H1_{(R), v} _∈ _L2_(R) _{dados, existe} h_∈L2_(∂R_×_{[0, T}_]) _{de modo que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial e fronteira}

      

wtt−∆w+λw= 0 em R×]0, T[

w(x,0) =u(x) em R

wt(x,0) =v(x) em R

w(x, t) = h(x, t) em ∂R_×[0, T]

(3.1)

satisfaz a condi¸c˜ao

w(_·, T) = wt(·, T) = 0 em R

Demonstra¸c˜ao: Sejam δ > 0 e Rδ = R +B(0, δ) uma vizinha¸ca aberta de R.

Suponhamos que existam extens˜oes _eue _ev deu e v respectivamente tais que

e

u_∈H1(R2_), _e_v _∈_L2₍R2_),

(33)

e que a solu¸c˜ao do do problema de Cauchy

  

ytt−∆y+λy= 0 em R2×R

y(_·,0) =u_e em R2

yt(·,0) =ev em R2

(3.2)

satisfaz a condi¸c˜ao

y(_·, T) =yt(·, T) = 0 em R.

Chamando dewa restri¸c˜ao dey ao paralelep´ıpedoR_×]0, T[,da proposi¸c˜ao (2.7) segue que w tem tra¸co h sobre ∂R_×[0, T] com h _∈ L2_(∂R_×_{[0, T}_{]) e satisfaz o} teorema. Logo, para provarmos o teorema, basta acharmosT >0 tal que cada par de

dados iniciais (u, v)_∈H1_(R)_×_L2_{(R) possui uma exten¸c˜ao (}_e_u,_e_v₎_∈_H1₍_R2₎_×_L2₍_R2₎ com a propriedade de que a solu¸c˜aoydo problema de Cauchy (3.2) tenha seus dados

identicamente nulos no instante T.

Do teorema (1.8) do cap´ıtulo 1 segue que existe um operador extens˜ao

E :H1(R)_×L2(R)_→H1(R2₎_×_L2₍R2₎

(f, g)_7→(f ,e_eg) linear, que satisfaz

suppf , suppe _eg _⊂Rδ

e

kfe_k2_H1₍R2₎=kfek2_H1₍_R_δ)≤C kf k2_H1₍_R₎

keg _k2

L2₍R2₎=keg k2_L2₍_R_δ)=kg k2_L2₍_R₎

para alguma constante C > 0. Desta forma, E ´e linear e limitado. Sejam (f, g) _∈ H1_(R)_×_L2_{(R) e (}_{f ,}_e_e_{g) =} _{E(f, g) e seja} _w_e_∈_H1

loc(R2×R) a solu¸c˜ao do problema de

(34)

  

e

wtt−∆we+λwe= 0 em R2×R

e

w(x,0) =fe em R2

e

wt(x,0) =eg em R2.

(3.3)

Agora, para T0 > diam(Rδ) e T > T0, definimos o operador linear

ST :H01(Rδ)×L2(Rδ)→H1(R2)×L2(R2)

(f ,e_eg)_7→(w(_e _·, T),w_et(·, T))

onde w_e´e a solu¸c˜ao de (3.3).

Sabemos que ST ´e limitado. Observe que

(w(_e _·, T),w_et(·, T)) = ST(f ,e eg) =STE(f, g). (3.4)

Pelo lema (2.4) temos

kw(e _·, T)_k2_H1₍_R_δ) +kwe_t(·, T)k2_L2₍_R_δ)≤

K

T2{kfek 2

H1₍_R_δ)+keg k2_L2₍_R_δ)} (3.5)

para todo T > T0.

Seja ϕ _∈ C∞

0 (R2) com ϕ ≡ 1 em R e suppϕ ⊂ Rδ. Consideremos agora o

problema de Cauchy retr´ogrado

  

ztt−∆z+λz = 0 em R2×R

z(_·, T) =ϕ(x)w(x, T_e ) em R2 zt(·, T) = ϕ(x)wet(x, T) em R2

(3.6)

cuja solu¸c˜ao z est´a em H1

loc(R2×R).

Consideremos y_∈H1

loc(R2×R) a solu¸c˜ao do problema de Cauchy

  

ytt−∆y+λy= 0 em R2×R

y(_·,0) =fe(x)₋z(x,0) em R2 yt(·,0) =eg(x)−zt(x,0) em R2.

(35)

Observe que w_e₋z satisfaz (3.7). De fato: usando (3.3) e (3.6) temos (w_e₋z)tt−∆(we−z) +λ(we−z) =

= (w_ett−∆we+λw)e −(ztt−∆z+λz) = 0

e

(w_e₋z)(x,0) = (w(x,_e 0)₋z(x,0)) =fe(x)₋z(x,0), (w_e₋z)t(x,0) = (wet(x,0)−zt(x,0)) =eg(x)−zt(x,0).

Logo, y=w_e₋z e

y(x, T) = w(x, T_e )₋z(x, T) = (1₋ϕ(x))w(x, T_e ),

yt(x, T) = (1−ϕ(x))wet(x, T).

Como ϕ_≡1 em R temos

y(_·, T) =yt(·, T) = 0 em R.

Assim, a restri¸c˜aoy ao paralelep´ıpedoR_×]0, T[ resolver´a o problema de controle se T, f eg forem escolhidos de tal forma que

e

f₋z(_·,0) ´e uma estens˜ao de u

e

g₋zt(·,0) ´e uma estens˜ao de v

ao plano.

Seja S∗

T o operador linear definido por

S_T∗ :H₀1(Rδ)×L2(Rδ)→H1(R2)×L2(R2)

(z(_·, T), zt(·, T))→(z(·,0), zt(·,0))

onde z ´e a solu¸c˜ao de (3.6). S∗

T ´e limitado, logo

(z(_·,0), zt(·,0)) =ST∗(z(·, T), zt(·, T)) =ST∗(ϕ(·)w(e ·, T), ϕ(·)wet(·, T))

(36)

=ST∗[ϕ(·)ST(f ,ege)]

=S_T∗[ϕ(_·)STE(f, g)]

= (S_T∗ϕSTE)(f, g).

Denotando por X a restri¸c˜ao de (S∗

TϕSTE) a R, a condi¸c˜ao

f₋z(_·,0)_|R=u e f −zt(·,0)|R=v

pode ser escrita na forma

[I₋(XS_T∗ϕSTE)](f, g) = (u, v)

onde I denota o operador identidade.

Seja KT =XST∗ϕSTE. Assim,

KT :H1(R)×L2(R)→H1(R)×L2(R)

´e um operador linear limitado e

(z(_·,0), zt(·,0)) =KT(f, g) em R.

Para concluirmos a demonstra¸c˜ao devemos provar que existe T >0 tal que para

todo (u, v)_∈H1_(R)_×_L2_(R),_{a equa¸c˜ao}

(I₋KT)(f, g) = (u, v) (3.8)

tem solu¸cão (f, g) _∈ H1_(R)_×_L2_(R). _{Para isso provaremos que tomando} _{T >} ₀ suficientemente grande, o operador KT é uma contra¸cão. Pelo teorema (1.1) do

cap´ıtulo 1 teremos queI₋KT é invert´ıvel e assim existirá tal solu¸cão para a equa¸cão

(3.8).

Agora utilizaremos as estimativas de decaimento local de energia obtidas no

(37)

Seja T > T0 e w_e _∈ H_loc1 (R2 _×R_{) a solu¸c˜ao do problema de Cauchy (3.3). Do} lema (2.4) temos

kw(e _·, T)_k2_H1₍_R_δ) +kwe_t(·, T)k2_L2₍_R_δ)≤

K T2[kfek

2

H1₍_R_δ)+keg k2_L2₍_R

δ)]

≤(C+ 1)K T2[kf k

2

H1₍_R₎ +kg k2_L2₍_R₎]. (3.9)

Como _k KT k2H1₍_R₎_×_L2₍_R₎=k z(·,0) k2_H1₍_R₎ + k z_t(·,0) k2_L2₍_R₎, usando o lema (2.5)

para a solu¸c˜ao z do problema (3.6) temos

kKT(f, g)k2H1₍_R₎_×_L2₍_R₎≤kz(·,0)k2_H1₍_R_δ)+kz_t(·,0)k2_L2₍_R_δ)

≤ K

T2[kz(·, T)k 2

H1₍_R_δ)+kz_t(·, T)k2_L2₍_R_δ)]

= K

T2[kϕ(·)w(e ·, T)k 2

H1₍_R

δ)+kϕ(·)wet(·, T)k 2

L2₍_R

δ)]

≤Γ(ϕ)K

T2[kw(e ·, T)k 2

H1₍_R_δ) +kwe_t(·, T)k2_L2₍_R_δ)]

onde Γ(ϕ) ´e uma constante que depende dos valores m´aximos deϕ e suas derivadas

em Rδ.Usando a desiqualdade (3.9) conclu´ımos

kKT(f, g)k2H1(R)×L2(R)≤

(1 +C)Γ(ϕ)K2 T4 [kf k

2

H1₍_R₎ +kg k2_L2₍_R₎],

ou seja,

kKT(f, g)k2H1(R)×L2(R)≤

ζ2 T4[kf k

2

H1₍_R₎ +kg k2_L2₍_R₎] (3.10)

para todo (f, g)_∈H1_(R)_×_L2_(R), _onde _ζ ₌_Kp_{(1 +}_C)Γ(ϕ). De (3.10) segue que

kKT k= sup

(f,g)∈H1₍_R₎_×_L2₍_R_),f6 =0,g6=0

kKT(f, g)kH1(R)×L2(R)

k(f, g)_kH1₍_R₎_×_L2₍_R₎ ≤

ζ T2.

Assim, para T >√ζ, tem-se _kKT k<1. Escolhendo T > T0 e T >√ζ temos o

(38)

3.2 Formula¸c˜

ao do Problema

O modelo mecânico do sistema de vibra¸cões em considera¸cão é composto de duas

membranas retangulares paralelas conectadas por uma camada el´astica de Winkler

sem massa e linear. É suposto que as membranas são finas, homogêneas e

per-feitamente elásticas e têm espessura constante. As membranas são uniformemente

apertadas adequadamente por tens˜ao constante na fronteira e s˜ao submetidas

arbi-trariamente por distribui¸c˜oes de cargas cont´ınuas.

As equa¸c˜oes diferenciais que regem as vibra¸c˜oes transversais do sistema de duas

membranas tˆem a seguinte forma:

m1w1¨ ₋N1∆w1+k(w1₋w2) = f1,

m2w2¨ ₋N2∆w2+k(w2₋w1) = f2, (3.11) onde wi = wi(x, y, t) ´e o deslocamento transversal da membrana, fi = fi(x, y, t) ´e

a distribui¸c˜ao de cargas, (x, y) e t s˜ao pares ordenados e o tempo respectivamente;

k é o módulo da rigidez de uma camada elástica de Winkler, mi é a massa, Ni é a

constante de tens˜ao uniforme por unidade de comprimento,

˙ wi =

∂wi

∂t ,∆wi = ∂2_w

i

∂x2 + ∂2_w

i

∂y2 i= 1,2.

Este problema ´e trabalhado por Oniszczuk [13] e [14]. O teorema principal do

(39)

3.3 Teorema Principal

Nota¸c˜ao:_H(R) =H1_(R)_×_L2_(R)_×_H1_(R)_×_L2_(R)

Teorema 3.2. Sejam um retˆangulo aberto R _⊂ R2 _{com fronteira denotada} _∂R _e λ _≥ 0. Existe T > 0 tal que para todos (u0, u1, v0, v1) _{∈ H}(R) existe controles

f, g _∈L2_(∂R_×_{[0, T}_]) _{de modo que a solu¸c˜ao de}

          

utt−∆u+λ(u−v) = 0 em R×]0, T[

vtt−∆v+λ(v−u) = 0 em R×]0, T[

u=f, v =g em ∂R_×[0, T]

u(_·,0) =u0, ut(·,0) = u1 em R

v(_·,0) = v0, vt(·,0) = v1 em R

(3.12)

satisfaz a condi¸c˜ao final

u(_·, T) = ut(·, T) = v(·, T) = vt(·, T) = 0 em R

Demonstra¸c˜ao: Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis z = u+v e w = u₋v, temos u= z+w

2 ev = z₋w

2 ,que substituindo na equa¸c˜ao (3.12) nos d˜ao

  

(z+w

2 )tt−∆( z+w

2 ) +λ( z+w

2 −

z₋w 2 ) = 0 (z−w

2 )tt−∆( z₋w

2 ) +λ( z₋w

2 −

z+w 2 ) = 0. Assim,

(z+w)tt−∆(z+w) +λ[(z+w)−(z−w)] = 0

(z₋w)tt−∆(z−w) +λ[(z−w)−(z+w)] = 0.

Logo,

ztt−∆z+ (wtt−∆w+ 2λw) = 0

ztt−∆z−(wtt−∆w+ 2λw) = 0, (3.13)

e como

wtt−∆w+ 2λw= (u−v)tt−∆(u−v) + 2λ(u−v)

=utt−vtt−∆u+ ∆v+λ(u−v)−λ(v−u)

= [utt−∆u+λ(u−v)]−[vtt−∆v+ (v−u)] = 0,

substituindo em (3.13) obtemos

ztt−∆z = 0

(40)

De (3.14) e (3.12) devemos encontrar T >0 e controles F, G_∈L2(∂R_×[0, T]) tais que _      

ztt−∆z = 0 em R×]0, T[

z(_·,0) =u0+v0, em R zt(·,0) =u1+v1 em R

z =F em ∂R_×[0, T]

(3.15) e       

wtt−∆w+ 2λw= 0 em R×]0, T[

w(_·,0) = u0₋v0, em R wt(·,0) =u1 −v1 em R

w=G em ∂R_×[0, T]

(3.16)

satisfazendo z(_·, T) =zt(·, T) = w(·, T) =wt(·, T) = 0 em R.

Paraλ= 0,usando o teorema (3.1), existeT1 >0 e controleF _∈L2_(∂R_×_{[0, T1])} tal que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial e fronteira

      

ztt−∆z = 0 em R×]0, T1[

z(_·,0) =u0+v0, em R zt(·,0) = u1+v1 em R

z =F em ∂R_×[0, T1]

(3.17)

satisfaz

z(_·, T1) = zt(·, T1) = 0 em R.

Na demonstra¸c˜ao do teorema (3.1) vimos que para todoT > T1,

      

ztt−∆z = 0 em R×]0, T[

z(_·,0) =u0+v0, em R zt(·,0) =u1+v1 em R

z =F em ∂R_×[0, T]

(3.18)

satisfaz

z(_·, T) = zt(·, T) = 0 em R.

Pelo mesmo teorema (3.1) usandoλ >0,existeT2 >0 e controleG_∈L2_(∂R_×_{[0, T2])} tal que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial e fronteira

      

wtt−∆w+ 2λw= 0 em R×]0, T2[

w(_·,0) =u0₋v0, em R wt(·,0) =u1−v1 em R

w=G em ∂R_×[0, T2]

(41)

satisfaz

w(_·, T2) =wt(·, T2) = 0 em R.

Analogamente para T > T2 tem-se que

      

wtt−∆w+ 2λw= 0 em R×]0, T[

w(_·,0) = u0₋v0, em R wt(·,0) =u1 −v1 em R

w=G em ∂R_×[0, T]

(3.20)

satisfaz

w(_·, T) =wt(·, T) = 0 em R.

Tomando T > m´ax_{T1, T2_}temos

      

ztt−∆z = 0 em R×]0, T[

z(_·,0) =u0+v0, em R zt(·,0) =u1+v1 em R

z =F em ∂R_×[0, T]

(3.21)

e

      

wtt−∆w+ 2λw= 0 em R×]0, T[

w(_·,0) = u0₋v0, em R wt(·,0) =u1 −v1 em R

w=G em ∂R_×[0, T]

(3.22)

satisfazendo z(_·, T) =zt(·, T) = w(·, T) =wt(·, T) = 0 em R.

Agora, substituindo z =u+v em (3.21) e w=u₋v em (3.22) temos

(u+v)tt−∆(u+v) = 0

(u₋v)tt−∆(u−v) + 2α(u−v) = 0,

ou seja,

utt−∆u+vtt−∆v = 0

(42)

Somando as duas ´ultimas equa¸c˜oes obtemos

2utt−2∆u+ 2λ(u−v) = 0,

ou seja,

utt−∆u+λ(u−v) = 0.

Substituindo essa equa¸c˜ao na equa¸c˜ao (utt −∆u+ 2λu)−(vtt − ∆v + 2λv) = 0

obt´em-se

−vtt+ ∆v+λ(u−v) = 0

ou seja,

vtt−∆v+λ(v−u) = 0.

Tamb´em, de u= z+w 2 e v =

z₋w

2 temos:       

u(_·,0) = [(u0+v0) + (u0₋v0)]/2 = 2u0/2 =u0 em R ut(·,0) = [(u1+v1) + (u1−v1)]/2 = 2u1/2 =u1 em R

v(_·,0) = [(u0+v0)₋(u0₋v0)]/2 = 2v0/2 =v0 em R vt(·,0) = [(u1+v1)−(u1−v1)]/2 = 2v1/2 = v1 em R.

Assim,           

utt−∆u+λ(u−v) = 0 em R×]0, T[

vtt−∆v +λ(v−u) = 0 em R×]0, T[

u= F+₂G, v = F−₂G em ∂R_×[0, T] u(_·,0) =u0, ut(·,0) = u1 em R

v(_·,0) = v0, vt(·,0) = v1 em R

(3.23) que satisfaz       

u(_·, T) = (z(_·, T) +w(_·, T))/2 = 0 em R ut(·, T) = (zt(·, T) +wt(·, T))/2 = 0 em R

v(_·, T) = (z(_·, T)₋w(_·, T))/2 = 0 em R vt(·, T) = (zt(·, T) +wt(·, T))/2 = 0 em R.

Como L2_(∂R_×_{[0, T}_{]) ´e um espa¸co vetorial temos que} F +G

2 ,

F ₋G

2 ∈ L

2_(∂R

×[0, T]). Chamando F +G

2 = f e

F ₋G

(43)

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