Análise funcional: um texto para iniciação científica

(1)

Universidade Estadual Paulista

Campus de Rio Claro

Instituto de Geociˆencias e Ciˆencias Exatas

An´

alise Funcional:

um texto para inicia¸c˜

ao cient´ıfica

Liliane Martinez Antonow

Orientadora: Prof

a

_{. Dr}

a

_{. Simone Mazzini Bruschi}

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós -Gradua¸cão

- Mestrado Profissional em Matem´atica Universit´aria

do Departamento de Matem´atica como requisito para a

obten¸c˜ao do grau de Mestre.

(2)

TERMO DE APROVA ¸

C ˜

AO

Liliane Martinez Antonow

A

_{n´alise Funcional: um texto para inicia¸c˜ao cient´ıfica}

Disserta¸c˜aoaprovada_{como requisito parcial para a obten¸c˜ao do grau de}

Mestre no Curso de Pós-Gradua¸cão Mestrado Profissional em Matemática Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Univer-sidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examinadora:

Profa. Dra. Simone Mazzini Bruschi Orientadora

Prof. Dr. Ricardo Parreira da Silva IGCE - Unesp/Rio Claro-SP

Profa. Dr. Vera L´ucia Carbone UFSCAR /S˜ao Carlos-SP

(3)

(4)

Agradecimentos

A Deus.

Aos meus pais, Elio Antonow e Ana Reis, pelo apoio e confian¸ca.

Ao meu noivo, Marcos Pavani de Carvalho, pelo amor, dedica¸cão e paciência. A professora Simone Mazzini Bruschi, pela orienta¸cão, seriedade e aten¸cão. Aos professores do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Universitária, pelas contribui¸cões e apoio.

Aos funcion´arios do Departamento de Matem´atica da UNESP pela cordialidade e disponibilidade no atendimento.

Aos meus colegas de pós-gradua¸cão, em especial: Ana Paula, Juliana, Vania, Marinéia, Rejane, Nilton, Juracélio e Gustavo, todos estes amigos queridos em Rio Claro.

(5)

morte o direito de vocˆe dizˆe-las.”

(6)

Resumo

Este trabalho consistiu em coletar e desenvolver uma sequência didática para o ensino de Análise Funcional aos estudantes de inicia¸cão cient´ıfica. Neste sentido a disserta¸cão foi escrita para ser utilizada como livro-texto, transmitindo uma in-trodu¸cão de Análise Funcional e com o objetivo que ao final os estudantes estejam aptos a estudar textos mais espec´ıficos.

(7)

Abstract

This work suggests a didatic road map for teaching Functional Analysis to un-dergraduated students who wish to initiate a scientific carrier. The dissertation was written an introductory text book of Functional Analysis ofter which students could migrate to more specific papers.

(8)

Sum´

ario

1 Espa¸cos Normados 9

1.1 Espa¸co Vetorial . . . 9

1.2 Espa¸co Vetorial Normado . . . 13

1.3 Desigualdades de Young, H¨older e Minkowski . . . 16

1.4 Espa¸co das Transforma¸c˜oes Lineares Limitadas . . . 23

1.5 Dimens˜ao Finita . . . 27

1.6 Espa¸co Normado Completo . . . 32

1.7 Teoremas: Banach-Steinhaus, Aplica¸c˜ao Aberta e Gr´afico Fechado. . 40

2 Teoremas de Hahn-Banach 51 2.1 Teorema de Hahn-Banach Anal´ıtico . . . 55

2.2 Aplica¸c˜oes do Teorema de Hahn-Banach Anal´ıtico . . . 58

2.3 Teorema de Hahn-Banach Geom´etrico . . . 61

(9)

1

Espa¸cos Normados

Neste cap´ıtulo abordaremos o assunto de espa¸cos vetoriais, veremos as defini¸cões e principais resultados, também serão estudados os teoremas de Banach-Steinhaus, Aplica¸cão Aberta e Gráfico Fechado.

1.1 Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao 1.1.1 Sejam E um conjunto e K um corpo. Suponhamos que existem aplica¸c˜oes de E×E em E e deK_×E emE, as quais denotaremos por (x, y)→x+y

e (λ, x)→λx, respectivamente, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: ∀ x, y, z ∈E e

∀ λ, ξ ∈K

1. x+y=y+x

2. (x+y) +z =x+ (y+z)

3. existe um elemento 0 de E tal que x+ 0 =x para todo x

4. a todoxdeE corresponde um elemento, denotado por₋x, tal quex+(₋x) = 0

5. λ(x+y) =λx+λy

6. (λ+ξ)x=λx+ξx

7. (λξ)x=λ(ξx)

(10)

1.1 Espa¸co Vetorial

9. 1.x=x

Dizemos que E, com estas duas aplica¸c˜oes, constitue um espa¸co vetorial sobre K.

Serão considerados espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos números reais R e sobre o corpo dos números complexos C.

Exemplo 1.1.1 E = R e K = R, com as opera¸c˜oes usuais em R, ´e um espa¸co vetorial.

Exemplo 1.1.2 E =Rn e K=R, com as seguintes opera¸c˜oes

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) e

λ.(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) λ∈R,

´e um espa¸co vetorial.

Exemplo 1.1.3 E = {(x1, . . . , xn)/xi ∈ C, i = 1, . . . , n} = l(n) e K = C com as

opera¸c˜oes

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) e

λ.(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) λ ∈C,

constitui um espa¸co vetorial.

Exemplo 1.1.4 Definimos lp(N) = {x = (xn)n∈N/xn ∈ C e

∞

X

n=1

|xn|p

< ∞}, se

1_≤p <_∞ e l∞(N) ={x= (xn)n∈N/xn ∈C e sup

n∈N|

xn_|<_∞}, se p=_∞.

Sejam x= (xn) , y= (yn)_∈lp(N) e para cada λ_∈K definimos

x+y= (xn+yn) e

λx = (λxn).

(11)

∞

X

n=1

|xn_|p _<

∞ e

∞

X

n=1

|yn_|p _<

∞

ent˜ao

∞

X

n=1

|xn+yn|p <∞.

De fato,

|xn+yn_|p

≤(|xn|+|yn|)p

≤(2 sup{|xn|,|yn|})p

= 2p_sup_{|_xn_|p_,_|_yn_|p_}

≤2p₍_|_xn_|p₊_|_yn_|p₎_.

Logo,

k

X

n=1

|xn+yn_|p _{´e limitada por} ₂p

µ_X∞

n=1

|xn_|p₊

∞

X

n=1

|yn_|p

¶

<_∞ .

Se p=_∞, mostremos que

sup

n∈N|

xn_|<_∞ e sup

n∈N|

yn_|<_∞ ent˜ao sup

n∈N|

xn+yn_|<_∞.

De fato,

sup

n∈N|

xn+yn_{| ≤} sup

n∈N

(_|xn_|+_|yn_|) = sup

n∈N|

xn_|+ sup

n∈N|

yn_|<_∞.

Portanto, lp(N)´e um espa¸co vetorial.

Defini¸c˜ao 1.1.2 Seja E um espa¸co vetorial sobre K e seja F um subconjunto de

E. Então F é um subespa¸co vetorial de E se F é um espa¸co vetorial sobre K com as opera¸cões de adi¸cão e mulplica¸cão por escalar definidas no espa¸co E.

Exemplo 1.1.5 Seja E um espa¸co vetorial. O conjunto _{0_} e o espa¸co E s˜ao chamados de subespa¸cos triviais de E.

(12)

1.1 Espa¸co Vetorial

Seja E um espa¸co vetorial sobre o corpo K. Um subconjunto F de E ´e dito

linearmente dependente se existem vetores distintos x1, x2, . . . , xn ∈ F e escalares

α1, α2, . . . , αn ∈ K, não todos nulos, tais que α1x1 +α2x2 +. . .+αnxn = 0. Um conjunto que não é linearmente dependente é dito linearmente independente.

SeE é um espa¸co vetorial sobre K. Dizemos queB _⊂E é umabase deE se são válidas as seguintes condi¸cões: i) B gera E; ii) B for linearmente independente.

Se E contém um conjunto de n vetores linearmente independente e se qualquer subconjunto de E com n+ 1 vetores é linearmente dependente, então dizemos que

E tem dimens˜ao finita n e representamos por dimE =n.

Se E não for de dimensão finita, então é de dimensão infinita.

Defini¸c˜ao 1.1.3 SejamE eF espa¸cos vetorias sobre K. Uma aplica¸c˜ao T :E _→F

ser´a dita transforma¸c˜ao linear se

i) homogˆenea, isto ´e, T(λx) = λT(x) para todoλ ∈K e todo x∈E;

ii) aditiva, isto ´e, T(x1+x2) =T(x1) +T(x2), x1, x2 ∈E.

No caso em que E =F dizemos que T ´e um operador linear e no caso em que

F =Kdizemos que T ´e umfuncional linear.

Se a aplica¸c˜ao linear for bijetora dizemos que ´eisomorfismo linear.

Teorema 1.1.1 Seja T :E _−→F uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao

i) A imagem de T, R(T); ´e um subespa¸co vetorial de F,

ii) O n´ucleo de T, N(T) = _{x_∈E :T(x) = 0_}; ´e um subespa¸co vetorial de E,

iii) Se dimD(T) = n <∞, ondeD(T) ´e dom´ınio de T, ent˜ao dimR(T)≤n.

Defini¸cão 1.1.4 Uma norma em um espa¸co vetorial E sobre R, é uma aplica¸cão

k._k:E _→R

(13)

i) _kx_{k ≥}0 e _kx_k= 0_⇔x= 0; (positividade)

ii) kλxk=|λ|kxk; (homogeneidade)

iii) kx+yk ≤ kxk+kyk. (desigualdade triangular)

Temos as seguintes consequˆencias imediatas:

1) Tomandoλ =₋1 em ii) temos

k −x_k=_kx_k

em particular, _ky₋x_k=_kx₋y_k.

2) Temos que _|kx_{k − k}y_{k| ≤ k}x₋y_k.

Aplicando iii) em x= (x₋y) +y temos

kxk ≤ kx−yk+kyk ⇒ kxk − kyk ≤ kx−yk.

Aplicando iii) em y= (y₋x) +x temos

ky_{k − k}x_{k ≤ k}y₋x_{k ⇒ k}x_{k − k}y_{k ≥ −k}x₋y_k.

Portanto,

|kxk − kyk| ≤ kx−yk.

Observa¸cão 1.1.1 Definimos também o conceito de seminorma omitindo-se da defini¸cão de norma a propriedade _kx_k= 0 _⇔x= 0.

A transforma¸cão T : E −→ F é uma isometria, se T é um isomorfismo linear que preserva normas, isto é, kT(x)k=kxk para todo x∈E.

1.2 Espa¸co Vetorial Normado

(14)

1.2 Espa¸co Vetorial Normado

Exemplo 1.2.1 E =R com a norma_kx_k=_|x_|.

Exemplo 1.2.2 E =l(n), sendo x= (x1, . . . , xn)

kxk1 =

n

X

i=1

|xi|, kxk2 = µ_Xn

i=1

|xi|2 ¶1

2

e kxk∞= sup 1≤i≤n|

xi|.

s˜ao normas.

Proposi¸cão 1.2.1 Todo espa¸co normado E é um espa¸co métrico relativamente à métrica natural d defina por

d(x, y) =ky−xk

se x, y ∈E.

i) d(x+z, y+z) = d(x, y);

ii) d(λx, λy) = |λ|d(x, y);

iii) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z). (desigualdade triangular)

Demonstra¸c˜ao.

A prova de i) bem como a de ii) ´e direta.

iii) A desigualdade triangular resulta de

d(x, z) =_kz₋x_k=_kz₋y+y₋x_{k ≤ k}y₋x_k+_kz₋y_k.

¥

´

E conveniente recordarmos algumas defini¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 1.2.2 SejamE um espa¸co vetorial normado,a ∈E e δ ≥0. Definimos:

1. Bola aberta de centro a e raio δ.

(15)

2. Bola fechada de centro a e raio δ.

B[a, δ] =_{x_∈E/_kx₋a_{k ≤}δ_}.

Um conjunto é aberto em E se é a reunião (finita ou não) de bolas abertas. Equivalentemente, um subconjunto V _⊂ E será aberto se para todo a _∈ V existir um δ >0 tal que B(a, δ)_⊂ V. Temos que toda bola aberta B(a, δ) é um conjunto aberto.

Um conjunto F será fechado em E se seu complementarE_\F for aberto em E. Um pontoa_∈Eé chamado deaderenteao conjuntoG_⊂Ese toda bola centrada em a intercepta G. Isso signica que há pontos deG arbitrariamente próximos de a.

O fecho de um subconjunto G de E ´e o conjunto de seus pontos aderentes e ´e

denotado por G.

Exemplo 1.2.3 As representa¸c˜oes gr´aficas para as bolas

B1[0,1] = _{x_∈R2/_kx_k1 ≤1};

B2[0,1] ={x∈R2/kxk2 ≤1} e

B∞[0,1] = {x∈R2/kxk∞≤1}.

s˜ao, respectivamente:

B1[0,1] B2[0,1] B∞[0,1]

(16)

1.2 Espa¸co Vetorial Normado

k.k∞ ≤ k.k2 ≤ k.k1 ≤2k.k∞

Bolas em R2_.

1.3 Desigualdades de Young, H¨older e Minkowski

Exemplo 1.3.1 Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos o espa¸co lp(n) como sendo o espa¸co

Rn _{munido da norma}

kxkp =

µ_Xn

i=1

|xi|p

¶1

p

se 1≤p < ∞ e

kxk∞= max

1≤i≤n|xi| se p=∞.

Primeiramente vamos provar que k.kp ´e uma norma em lp(n).

As propriedades i) e ii) são facilmente verificadas. Para a verifica¸cão da pro-priedade iii)utilizaremos as desigualdades de Young e Hölder que veremos a seguir.

Dado p >1, dizemos que q >1 ´e o conjugado dep se 1

p+

1

q = 1. Sep= 1 o seu

conjugado ´e, por defini¸c˜ao,q =_∞.

Daqui resulta que

q= p

p₋1 e p=

q q₋1 e, al´em disso,

1 = p+q

(17)

Desigualdade de Young

Dados a, b_≥0, p >1 e q >1 tal que 1

p+

1

q = 1, temos

ab≤ a

p p +

bq q .

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos o caso em que a,b >0, pois se a= 0 ou b= 0 ´e trivial. Seja m= 1

p, claro que 0< m <1.

Consideremos a fun¸c˜ao f(t) = m(t−1)−(tm₋_{1). A derivada de}_f _{´e dada por} f′₍_t_{) =}_m₋_mtm−1 ₌_mtm−1₍_t1−m₋_1).

Temos que f(t)_≥0 parat _≥0, pois observamos

0< t <1_⇒f′₍_t₎_<₀_⇒_f₍_t₎_≥_f_{(1) = 0,} ₀_≤_t_≤₁ _e

t >1⇒f′₍_t₎_>₀_⇒_f₍_t₎_≥_f_{(1) = 0,} _t _≥₁_.

Desde que f(t) = m(t₋1)₋(tm₋₁₎_≥_{0, ent˜ao} _tm _≤_mt₋_m_{+ 1}_, _∀ _t_≥₀_.

Como m= 1

p e t= ap

bq, temos que a

bqp

≤ 1

p ap bq +

1

q ⇒ab q−q

p ≤ a

p p +

bq q,

onde q₋ q p = 1.

Portanto,

ab_≤ a p p +

bq q .

¥

Desigualdade de H¨older

Sejam x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Cn ou Rn. Sejam p ≥ 1, q ≤ ∞ tais que 1

p+

1

q = 1 temos: n

X

i=1

|xiyi |≤

µ_Xn

i=1

|xi |p

¶1

p

.

µ_Xn

i=1

|yi |q

¶1

q

(18)

1.3 Desigualdades de Young, H¨older e Minkowski

n

X

i=1

|xiyi _|≤ n

X

i=1

|xi _|. sup 1≤i≤n|

yi _|, se p= 1 eq =_∞.

Demonstra¸c˜ao.

Consideremos 1< p < _∞, pois o caso p= 1 ´e imediato. Usando a desigualdade de Young comai = |xi|

kx_k_p,bi =

|yi|

ky_k_qsendoi= 1,2, . . . , n;

temos

|x1y1|

kxkpkykq ≤

1

p.

|x1|p (kxkp)p

+ 1

q.

|y1|q (kykq)q

|x2y2|

kx_kpkykq ≤

1

p.

|x2|p (_kx_kp)p

+ 1

q.

|y2|q (_ky_kq)q

|x3y3|

kx_kpkykq ≤

1

p.

|x3|p (_kx_kp)p

+ 1

q.

|y3|q (_ky_kq)q

... ...

|xnyn| kx_kpkykq ≤

1

p.

|xn|p

(_kx_kp)p

+1

q.

|yn|q

(_ky_kq)q

.

Somando as n desigualdades, temos

1

kxkpkykq n

X

i=1

|xiyi_| ₌Xn i=1

|xiyi_|

kxkpkykq

≤ 1_p. 1

(_kx_kp)p n

X

i=1

|xi_|p₊1 q.

1 (_ky_kq)q

n

X

i=1

|yi_|q

= 1

p +

1

q = 1.

Consequentemente, obtemos

n

X

i=1

|xiyi _{|≤ k}xi_kpkyikq.

(19)

Observa¸c˜ao 1.3.1 Note que para p = q = 2 obtemos a Desigualdade de

Cauchy-Schwarz. _n

X

i=1

|xiyi| ≤ kxik2kyik2.

Desigualdade de Minkowski

Dados p_≥1,x= (x1, . . . , xn) e y= (y1, . . . , yn) em Cn temos

kx+ykp ≤ kxkp+kykp

Demonstra¸c˜ao.

Com efeito, para p= 1 ou p=∞ ´e imediato.

Suponhamos o caso em que 1 < p <_∞. Queremos mostrar que µ_Xn

i=1

|xi+yi_|p

¶1

p

≤

µ_Xn

i=1

|xi_|p

¶1

p

+ µ_Xn

i=1

|yi_|p

¶1 p . Temos, n X i=1

|xi+yi|p

=

n

X

i=1

|xi+yi|p−1_|_xi₊_yi_|

≤

n

X

i=1

|xi+yi_|p−1₍_|_xi_|₊_|_yi_|₎

=

n

X

i=1 ·

|xi+yi_|p−1

|xi_|+_|xi+yi_|p−1

|yi_|

¸

=

n

X

i=1

|xi+yi_|p−1

|xi_|+

n

X

i=1

|xi+yi _|p−1

|yi _|.

Aplicando a desigualdade de H¨older a cada uma das parcelas acima, obtemos

n

X

i=1

|xi+yi_|p

≤

µ_Xn

i=1

|xi+yi_|(p−1)q

¶1

qµXn

i=1

|xi_|p

¶1

p

+ µ_Xn

i=1

|xi+yi_|(p−1)q

¶1

qµXn

i=1

|yi_|p

¶1

p

.

Desde que (p−1)q=ptemos

n

X

i=1

|xi+yi_|p

≤

µ_Xn

i=1

|xi+yi_|p

¶1

q·µXn

i=1

|xi_|p

¶1

p

+ µ_Xn

i=1

|yi_|p

¶1

p¸

(20)

Dividindo esta ´ultima desigualdade por µ_Xn

i=1

|xi+yi_|p

¶1

q

temos µ_Xn

i=1

|xi+yi_|p

¶1−1

q

≤

µ_Xn

i=1

|xi_|p

¶1

p

+ µ_Xn

i=1

|yi_|p

¶1

p

.

Portanto

kx+ykp ≤ kxkp+kykp

¥

Exemplo 1.3.2 lp(N) munido da norma

kxkp =

µ_X∞

i=1

|xi|p

¶1

p

, se 1≤p <∞ e kxkp = sup i∈N|

xi|, se p=∞

´e um espa¸co vetorial normado

A demonstra¸cão é análoga a de que lp(n)é normado.

Exemplo 1.3.3 Seja E = C[a, b] = {f : [a, b] → R/f é fun¸cão cont´ınua} sobre o corpo K = R com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar de fun¸cões.

Provaremos que

kfkp =

µZ

a b

|f(x)|p dx

¶1

p

e kfk∞ = sup

x∈[a,b]|

f(x)|,

se 1≤p < ∞ e p=∞ respectivamente, s˜ao normas em C[a, b].

Temos as seguintes afirma¸c˜oes.

Desigualdade de H¨older

Sejam 1≤p≤ ∞, com 1

p +

1

q = 1 e sejam f, g ∈C[a, b] ent˜ao

se 1< p <_∞

Z

a b

|f(x)g(x)|dx≤

µZ

a b

|f(x)|p dx ¶1 p . µZ a b

|g(x)_|q_dx

¶1

(21)

e se p= 1

Z

a b

|f(x)g(x)_|dx_≤

µZ

a b

|f(x)_|dx

¶

. sup

x∈[a,b]|

g(x)_|.

Demonstra¸c˜ao.

Os casos p= 1 ou_kf_kp = 0 ou kgkq= 0 s˜ao imediatos.

Seja 1 < p < _∞, com as integrais finitas e n˜ao nulas, considere _kf_kp 6= 0 e

kg_kq 6= 0; definimos | f(x)_|

kfkp

e |g(x)|

kgkq

.

Para cada x_∈[a, b], pela desigualdade de Young, temos

|f(x)||g(x)| kf_kpkgkq ≤

1

p

µ

|f(x)| kf_kp

¶p

+1

q

µ

|g(x)| kg_kq

¶q .

Por integra¸c˜ao, temos 1

kfkpkgkq

Z

a b

|f(x)_kg(x)_|dx_≤ 1 p

1

kfkpp

Z

a b

|f(x)_|p_dx₊1 q

1

kgkqq

Z

a b

|g(x)_|q_dx

⇒

⇒ 1 kf_kpkgkq

Z

a b

|f(x)_kg(x)_|dx_≤ 1 p

1

kf_kppk f_kpp+

1

q

1

kg_kqqk g_kqq=

1

p+

1

q = 1.

Logo, Z

a b

|f(x)_kg(x)_|dx_{≤ k}f_kpkgkq.

Em outras palavras, Z

a b

|f(x)_kg(x)_|dx_≤

µZ

a b

|f(x)_|p_dx

¶1

pµZ

a b

|g(x)_|q_dx

¶1

q

.

¥

Desigualdade de Minkowski

Seja 1 _≤p <_∞ e sejam f, g_∈C[a, b] ent˜ao µZ

a b

|f(x) +g(x)|p dx ¶1 p ≤ µZ a b

|f(x)|p dx ¶1 p + µZ a b

|g(x)|p dx

¶1

p

.

Se p=∞ ent˜ao

sup

x∈[a,b]|

f(x) +g(x)_{| ≤} sup

x∈[a,b]|

f(x)_|+ sup

x∈[a,b]|

(22)

Demonstra¸c˜ao.

Suponha que f, g∈C[a, b] n˜ao sejam simultaneamente nulas.

Para p= 1 oup=∞ conclus˜ao direta. Para 1< p <∞e f, g ∈C[a, b], temos Z

a b

(|f(x)|+|g(x)|)pdx ₌Z a

b

(|f(x)|+|g(x)|)p−1.(|f(x)|+|g(x)|)dx

= Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p−1_|f(x)_|dx+ Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p−1_|g(x)_|dx.

Aplicando a desigualdade de H¨older nas duas parcelas do 2o _{membro da} igual-dade, obtemos

Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p−1_|f(x)_|dx _≤

µ Z

a b

[(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p−1]qdx

¶1

qµ Z

a b

|f(x)_|pdx

¶1 p = µ Z a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

¶1

qµ Z

a b

|f(x)_|p_dx

¶1 p e Z a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p−1

|g(x)_|dx _≤

µ Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

¶1

qµ Z

a b

|g(x)_|p_dx

¶1

p

.

Assim, temos que Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

≤

µ Z

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

¶1

q·µ Z

a b

|f(x)_|p_dx

¶1 p + µ Z a b

|g(x)_|p_dx

¶1 p¸ . Logo, Z a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)pdx

µ R

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

¶1 q ≤ µ Z a b

|f(x)_|p_dx

¶1 p + µ Z a b

|g(x)_|p_dx

¶1

p

e como 1− 1

q =

1

p, obtemos

µZ

a b

(_|f(x)_|+_|g(x)_|)p_dx

¶1 p ≤ µZ a b

|f(x)_|p_dx

¶1 p + µZ a b

|g(x)_|p_dx

¶1

p

.

(23)

1.4 Espa¸co das Transforma¸c˜

oes Lineares Limitadas

Defini¸c˜ao 1.4.1 Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados e T : E _→ F uma

transforma¸c˜ao linear. Dizemos que T ´e limitada se existir uma constante C ≥ 0

tal que _kT(x)_{k ≤} C_kx_k, _∀ x _∈ E, ou seja, existe C _≥ 0 tal que kT(x)k

kxk ≤ C, ∀

x_∈E_{\ {}0_}.

Exemplo 1.4.1 Seja T : E _→ E, T(x) = x a Defini¸c˜ao 1.4.1 ´e satisfeita con-siderando C ≥1.

Denotamos o conjunto das transforma¸c˜oes lineares limitadas de E em F por

L(E, F).

No caso em que E =F denotaremos o espa¸co _L(E, E) simplesmente por _L(E). No caso em que F =Kchamamos L(E,K) de dual do espa¸co vetorial normado E, e denotamos por E∗_.

Defini¸c˜ao 1.4.2 Dada T _{∈ L}(E, F), definimos

kTk= sup

x6=0

kT(x)k kx_k .

Devido a linearidade de T temos

kT_k= sup

kxk=1k

T(x)_k.

De fato,

kT_k= sup

x6=0

kT(x)_k

kx_k = supx6=0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯T

µ 1

kx_kx

¶¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= sup_k_y_k₌₁kT(y)k.

Mostraremos a seguir que _kT_k´e uma norma em _L(E, F).

Proposi¸c˜ao 1.4.1 Sejam E, F espa¸cos normados.

(24)

1.4 Espa¸co das Transforma¸c˜oes Lineares Limitadas

Demonstra¸c˜ao.

Claro que _kT_{k ≥}0 e _kT_k= 0 se, e somente se, T = 0. E tamb´em

kλTk= sup

x6=0

kλT(x)_k

kxk =|λ|supx6=0

kT(x)_k

kxk =|λ|kTk.

Finalmente para provar a desigualdade triangular, temos que

kT +U_k= sup

x6=0

kT(x) +U(x)k

kx_k ≤supx6=0

kT(x)k kx_k + supx6=0

kU(x)k

kx_k =kTk+kUk

para quaisquer T eU em _L(E, F).

¥

O Teorema a seguir nos dá uma rela¸cão entre a limita¸cão e a continuidade de

T _{∈ L}(E, F)

Teorema 1.4.1 Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados, T : E → F uma trans-forma¸cão linear, então as afirma¸cões abaixo são equivalentes:

i) T ´e uniformemente cont´ınua, isto ´e, dado ǫ > 0, existe δ > 0, kx−yk < δ

implica kT(x)−T(y)k< ǫ, para quaisquer x, y ∈E.

ii) T ´e cont´ınua.

iii) T ´e cont´ınua em x= 0.

iv) Existe c >0 tal que _kT(x)_{k ≤}c, _∀x_∈E com _kx_k= 1.

v) Existe d >0 tal que kT(x)k ≤dkxk, ∀x∈E.

Demonstra¸c˜ao.

i)_⇒ii)_⇒iii) Direto.

iii)⇒iv)

Suponhamos que para cada n ∈ N, existe xn ∈ E tal que kT(xn)k > n com

kxnk= 1. Seja yn= 1

(25)

kynk= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 nxn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n ¯ ¯ ¯

¯kxnk= 1

nkxnk=

1

n.

Assim kynk −→0 quandon−→ ∞. Calculndo T(yn), temos

T(yn) =T

µ 1

nxn

¶ = 1

nT(xn).

Logo, _kT(yn)_k= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1

nT(xn)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 1

nkT(xn)k>

1

nn = 1.

Assim, T(yn) não tende a zero. Portanto T não é cont´ınua em x= 0.

iv)_⇒v)

Seja d=c. Dado x_∈E, se x= 0 temos T(0) = 0, logo _kT(0)_k=_k0_k=c_k0_k. Se x₆= 0, seja y= x

kxk =

1

kxkx, assim kyk= 1

Logo,

1

kx_kkT(x)k=

° ° ° °T µ x

kx_k

¶°° °

°=kT(y)k ≤c.

Portanto, kT(x)k ≤ckxk.

v)_⇒i) Temos que

kT(x)₋T(y)_k=_kT(x₋y)_{k ≤}d_kx₋y_{k ⇒ k}T(x)₋T(y)_{k ≤}d_kx₋y_k.

Logo T ´e Lipschitz.

Portanto, T ´e uniformemente cont´ınua.

¥

(26)

1.4 Espa¸co das Transforma¸c˜oes Lineares Limitadas

Exemplo 1.4.2 Seja E o conjunto dos polinˆomios reais com uma vari´avel munido

da seguinte norma kpk= sup

0≤x≤1|

p(x)|. SejaT :E →R definida por T(p) = p(2). O

funcional linear T ´e descont´ınuo no ponto 0_∈ E. Tomando ǫ = 1

2, temos que para

cada n ∈N encontramos um polinˆomio pn(x) =

µ

x

2 ¶n

, tal que kpn−0k= 1 2n <

1

n

mas |T(pn)−T(0)|=|T(pn)|= 1.

O Lema a seguir nos d´a que _kT_k pode ser definida por outra express˜ao.

Lema 1.4.1 Se T : E _→ F é uma transforma¸cão linear limitada entre espa¸cos normados, então

kT_k= inf_{C >0 :_kT(x)_{k ≤}C_kx_k, _∀x_∈E_}.

Assim, kT(x)k ≤ kTkkxk.

Demonstra¸c˜ao.

Verifiquemos que _kT(x)_{k ≤ k}T_kkx_k para todox_∈E.

Suponha, por absurdo, que existe x0 ∈ E tal que kT(x0)k > kTkkx0k, o que implica que kT(x0)k

kx0k

>kTk, que é uma contradi¸cão a defini¸cão dekTk.

Tomando C _≥ 0 tal que _kT(x)_{k ≤} C_kx_k para todo x_∈ E, temos kT(x)k

kx_k ≤ C

para todox_∈E_{\ {}0_}.

Pela defini¸c˜ao _kT_k = sup

x6=0

kT(x)_k

kxk , concluimos que kTk ≤ inf{C > 0 :kT(x)k ≤

C_kx_k, _∀x_∈E_}.

Como kT(x)k ≤ kTkkxk para todo x ∈ E, temos que kTk ≥ inf{C > 0 :

kT(x)k ≤Ckxk, ∀x∈E}.

Portanto, _kT_k= inf_{C > 0 :_kT(x)_{k ≤}C_kx_k, _∀x_∈E_}.

(27)

1.5 Dimens˜

ao Finita

Nesta se¸cão mostraremos algumas propriedades que caracterizam os espa¸cos norma-dos de dimensão finita. Se E possui dimensão finita, toda transforma¸cão linear de

E em F ´e cont´ınua e as normas em E s˜ao equivalentes.

Lema 1.5.1 Seja _{x1, ..., xn} um conjunto linearmente independente de vetores do

espa¸co vetorial normado E de dimens˜ao finita. Ent˜ao existe uma constante C > 0

tal que para quaisquer αi, 1_≤i_≤n, temos

kα1x1+...+αnxnk ≥C(|α1|+...+|αn|). (1.1)

Demonstra¸c˜ao.

Fa¸camos

S =_|α1|+...+|αn|.

Se S= 0 então todos os αj são nulos e (1.1) é verdade. Suponhamos que S >0. Dividindo (1.1) por S, obtemos a desigualdade

kβ1x1+...+βnxnk ≥C e

n

X

j=1

|βj_|= 1

com β1 =

α1

|α1|+...+|αn|

, . . . , βn= αn

|α1|+...+|αn|

.

Para provar (1.1) basta provar que existe C >0 tal que

kβ1x1+...+βnxnk ≥C (1.2)

para quaisquer β1, . . . , βn ∈Rtal que

n

X

j=1

|βj_|= 1.

Suponhamos que (1.2) seja falsa. Ent˜ao, existe uma sequˆencia (ym)m∈N em E

tal que

y1 =β1(1)x1+...+βn(1)xn y2 =β1(2)x1+...+βn(2)xn

...

yk=β₁(k)x1+...+β(

k)

n xn

(28)

1.5 Dimens˜ao Finita

temos que

n

X

j=1

|β_j(m)_|= 1 e _kym_kconverge para 0 quando m tende para infinito.

Os ´ındices sobrescritos est˜ao de acordo com o ´ındice da sequˆencia (ym)m∈N e os

subescritos com a coordenada do elemento na sequˆencia. Assim, para cada j fixado na sequˆencia obtemos

(β₁(m)) = (β₁(1), β₁(2), . . .) (β₂(m)) = (β₂(1), β₂(2), . . .)

...

(βn(m)) = (βn(1), βn(2), . . .)

Como

n

X

j=1

|β_j(m)_| = 1, temos que _|β_j(m)_{| ≤} 1. Assim, (β_j(m)) = (β_j(1), β_j(2), . . .) ´e limitada.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, cada sequêcia limitada possui uma sub-sequência convergente. Logo, a sub-sequência limitada (β₁(m)) = (β₁(1), β₁(2), . . .) possui uma subsequência convergente. Sejam β1 o seu limite e (y(

m)

1 )m∈N a correspondente

subsequˆencia de (ym)m∈N.

Da mesma forma, (β₂(m)) possui uma subsequˆencia convergente, sendo β2 o seu limite e (y(₂m))m∈N a correspondente subsequˆencia de (y

(m) 1 )m∈N.

Com esse mesmo argumento, para j = 3, . . . , n obtemos uma nova sequˆencia de (ym)m∈N da seguinte forma

(yn(m)) = (y(1)n , y(2)n , . . .) de (ym)

com termos

yn(1) =η₁(1)x1+η2(1)x2+. . .+ηn(1)xn yn(2) =η₁(2)x1+η2(2)x2+. . .+ηn(2)xn

...

Logo,

yn(m)= n

X

j=1

η(_jm)xj e

n

X

j=1

(29)

com η₁(m) _−→ β1, η₂(m) _−→ β2, . . . , ηn(m) −→ βn, ou seja, η_j(m) −→ βj quando m_{−→ ∞}.

Assim, quando m −→ ∞, yn(m) −→ y = n

X

j=1

βjxj, com

n

X

j=1

|βj| = 1, assim nem todos os βj s˜ao nulos e como o conjunto {x1, ..., xn} ´e linearmente independente, temos quey ₆= 0.

Por outro lado, yn(m) −→ y ent˜ao ky(nm)k −→ kyk, pela continuidade de norma.

Como _kym_{k −→}0 e (y(nm)) ´e subsequˆencia de (ym), temos que ky(nm)k −→0

Portanto, pela defini¸c˜ao de norma temos que kyk = 0 ⇔ y = 0. Contradi¸c˜ao, pois y₆= 0.

¥

Teorema 1.5.1 Se um espa¸co vetorial normadoE é de dimensão finita, então toda transforma¸cão linear de E em F é limitada.

Demonstra¸c˜ao.

Seja _{e1, . . . , en} uma base de E, sendo x =

n

X

i=1

ξiei e T uma transforma¸c˜ao linear.

Assim,

kT(x)_k= ° ° ° °T

µ_Xn

i=1

ξiei¶°°°_°= ° ° ° ° n X i=1

ξiT(ei) ° ° ° °≤ n X i=1

|ξi_|kT(ei)_{k ≤}max

k kT(ek)k n

X

i=1

|ξi_|.

Pelo Lema 1.5.1, temos

n

X

i=1

|ξi_{| ≤} 1 C ° ° ° ° n X i=1 ξiei ° ° ° °= 1

Ckxk.

Logo, _kT(x)_{k ≤}α_kx_k, ondeα = 1

C maxk kT(ek)k.

Portanto T ´e limitado.

¥

(30)

Exemplo 1.5.1 Seja C1_[0_,_1] _{o conjunto das fun¸c˜oes definidas em} _[0_,_1] _{cuja 1}a

derivada existe e ´e cont´ınua. Dado T : C1_[0_,_1] _→ _C_[0_,_1]_; _C_[0_,_1] _{com a norma}

k.k∞ e com a seguinte transforma¸cão(T f)(x) =f′₍_x₎_._{Essa transforma¸cão é linear}

e n˜ao ´e limitada.

De fato, seja xn(t) = tn_, _n _∈_N.

Ent˜ao _kxn_k= sup_|xn(t)_|= sup_|tn

|= 1 e T(xn) =ntn−1_.

Logo, kT(xn)k=n e kT(xn)k

kxn_k =n. DadoC > 0, existe n tal que

kT(xn)k kxn_k ≥C.

Portanto, T n˜ao ´e limitada.

Defini¸c˜ao 1.5.1 (Normas equivalentes) Uma norma_k._k de um espa¸co vetorial E

´e equivalente a norma k.k′ _{se existem constantes positivas} _{a, b} _{tal que}

a_k._k′ _{≤ k}._{k ≤}b_k._k′.

Teorema 1.5.2 Seja E um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita, todas as normas s˜ao equivalentes.

Demonstra¸c˜ao.

Suponhamos que dimE =ne_{e1, ..., en}uma base deE. Ent˜ao qualquerx∈E pode ser escrito como

x=α1e1+...+αnen. Pelo Lema 1.5.1 existe uma constante C >0 tal que

kxk ≥C(|α1|+...+|αn|) = C µ_Xn

i=1

|αi|

¶

. (1.3)

Por outro lado temos

kx_k′ = ° ° ° ° °

n

X

i=1

αiei

° ° ° ° °

′ ≤

n

X

i=1

|αi_{| k}ei_k′ _≤K

µ_Xn

i=1

|αi_|

¶

. (1.4)

sendo K = max 1≤i≤nkeik

′

(31)

1

Kkxk

′ _≤

n

X

i=1

|αi| ≤ 1

Ckxk.

Assim, C

Kkxk

′ _{≤ k}_x_k_{, ou seja,} _a_k_x_k′ _{≤ k}_x_k _com _a₌ C

K >0.

A outra desigualdade é encontrada de forma análoga, isto é, _kx_{k ≤} b_kx_k′_{, com}

b >0.

¥

Enquanto num espa¸co de dimensão finita todas as normas são equivalentes, num espa¸co de dimensão infinita isso nem sempre ocorre, como mostraremos no exemplo a seguir.

Exemplo 1.5.2 Considere em C[0,1] a sequência de fun¸cões (fn), onde cada fn é definida por

fn(x) =     

−nx+ 1, 0_≤x_≤ 1 n

0, 1

n ≤x≤1.

Note que com a norma kfk1 =

Z 1

0 |

f(x)|dx, temos que kfnk1 = 1

2n e assim a

sequˆencia (fn)n∈N converge para a fun¸c˜ao nula que denotaremos por 0.

Agora, usando a norma _kf_k∞ = sup

x∈[0,1]|

f(x)_| a mesma sequˆencia (fn)n∈N n˜ao

converge. Se a sequˆencia convergisse, existiria g _∈C[0,1] tal que fn _→g uniforme-mente. Mas neste caso ter´ıamos que (fn)n∈N converge para g pontualmente, o que

(32)

h(x) = (

1, x= 0 0, 0< x_≤1

que por sua vez n˜ao pertence a C[0,1].

1.6 Espa¸co Normado Completo

Defini¸cões 1.6.1 1. Dizemos que uma sequência (xn) no espa¸co vetorial nor-mado E é de Cauchy se para qualquer ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que sempre

m, n > n0 temos kxm−xnk< ǫ.

2. Uma sequˆencia(xn)´e limitada se existe uma constantek >0tal que_kxn_{k ≤}k

para todo n_∈N.

Proposi¸cão 1.6.1 Toda sequência convergente em E é uma sequência de Cauchy em E.

Demonstra¸c˜ao.

Seja (xn) uma sequˆencia convergente para x, assim

∀ǫ >0,∃n0/n≥n0 ⇒ kxn−xk<

ǫ

2. Logo, se m, n≥n0 pela desigualdade triangular, temos

kxm₋xn_k=_k(xm₋x) + (x₋xn)_{k ≤ k}xm₋x_k+_kxn₋x_k< ǫ

2+

ǫ

2 =ǫ. Portanto, (xn) ´e de Cauchy.

¥

Observa¸cão 1.6.1 A rec´ıproca da proposi¸cão anterior nem sempre é verdadeira. Com efeito, seja (xn) uma sequência de números racionais convergindo para um

n´umero irracional. Numericamente, temos a seguinte sequˆencia

(33)

que converge para√2. Sendo convergente em R temos que(xn) é de Cauchy em R, e portanto, em Q. Porém (xn) não é convergente em Q.

Proposi¸cão 1.6.2 Toda sequência de Cauchy é limitada.

Demonstra¸c˜ao.

Seja (xn) uma sequˆencia de Cauchy. Ent˜ao, dado ǫ = 1, existe n0 ∈ N tal que

m, n_≥n0 ⇒ kxm−xnk<1.

Logo, kxn−xn0k<1 para n > n0. Pela desigualdade triangular, temos

kxn_{k ≤ k}xn0k+kxn−xn0k<kxn0k+ 1

para n > n0.

Tome k= max_{kx1k,kx2k, . . . ,kxn0−1k,kxn0k+ 1}

Portanto, (xn) ´e uma sequˆencia limitada.

¥

Observa¸cão 1.6.2 Nem toda sequência limitada é de Cauchy. Seja (xn)n∈N com

xn = (

1 se n for ´ımpar

0 se n for par

temos que a sequência é limitada, porém _kxn₋xn+1k = 1 e portanto a sequência

n˜ao ´e de Cauchy.

Defini¸cão 1.6.1 Dizemos que um espa¸co vetorial normado é completo se toda se-quência de Cauchy nesse espa¸co for convergente.

(34)

1.6 Espa¸co Normado Completo

Exemplo 1.6.2 O espa¸co lp(N) com _kx_kp =

µ_X∞

i=1

|xi_|p

¶1

p

, se 1 _≤ p < _∞ ´e com-pleto.

De fato, seja (xm)m∈N uma sequˆencia de Cauchy em lp(N), xm = (ξ(

m)

j )j∈N.

Assim, dado ǫ >0, existe n0 tal que m, n > n0 ent˜ao

kxm₋xn_kp =

µ_X∞

j=1

|ξ_j(m)₋ξ_j(n)_|p

¶1

p

< ǫ.

Como _|ξ_j(m)₋ξ_j(n)_{| ≤ k}xm₋xn_kp ent˜ao para todo ǫ >0 existe n0 tal que

|ξ_j(m)₋ξ(_jn)_|< ǫ,

para quaisquer n´umeros n, m > n0 e j ∈ N. Assim, para cada j ∈ N, (ξ(

n)

j ) ´e

uma sequência de Cauchy em K. Como K =R ou C, com as métricas usuais são

completos, a sequˆencia (ξ_j(n))n∈N ´e convergente para cada j ∈N.

Seja ak o limite da sequˆencia (ξ_j(k))k∈N e fa¸camosa = (a₁, . . . , ak, . . .), desde que

para quaisquer n´umeros naturais n, m > n0 e para qualquer r ∈N temos

r

X

k=1

|ξ(kn)−ξ

(m)

k | p

< ǫp,

fazendo m−→ ∞ obtemos

r

X

k=1

|ξ_k(n)₋ak_|p _≤ǫp.

Fazendo agora r−→ ∞ obtemos

∞

X

k=1

|ξ_k(n)₋ak_|p

≤ǫp_,

o que mostra que (xn−a)∈lp(N).

Assim, kxn−akp < ǫ. Como xn ∈ lp(N) e a = (a−xn) +xn temos a ∈ lp(N),

ou seja, xn−→a em lp(N).

Exemplo 1.6.3 Rn _{´e completo.}

(35)

Defini¸c˜ao 1.6.2 Sejam E um espa¸co vetorial normado e (xn) uma sequˆencia em

E. Dizemos que uma s´erie

∞

X

n=1

xn ´e convergente quando a sequˆencia (sn) de suas somas parciais, sn = x1 +x2 +. . .+xn, for convergente. Nesse caso, a soma da

série é o limite da sequência (sn), isto é:

∞

X

n=1

xn= lim

n−→∞sn.

Quando uma série não converge, ela é denominada divergente.

Defini¸c˜ao 1.6.3 Se

∞

X

n=1

kxn_k é convergente, então a série

∞

X

n=1

xn ´e chamada de

absolutamente convergente.

Defini¸cão 1.6.4 Um espa¸co vetorial normado E é compacto se toda sequência em

E possui uma subsequˆencia convergente. Um subconjunto M em E ´e compacto se

toda sequência em M possui uma subsequência cujo limite é um elemento de M.

Teorema 1.6.1 Seja E um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita, um

sub-conjunto M _⊂E ´e compacto se, e somente se, M ´e fechado e limitado.

Demonstra¸c˜ao.

Dado x _∈ M temos que existe uma sequência (xn) em M tal que xn _−→ x. Sendo M compacto, segue que x _∈ M. Sendo x arbitrário segue que M _⊂ M e como M _⊂M temos que M =M, isto é, M é fechado.

Suponhamos agora que M n˜ao seja limitado. Ent˜ao para todo k >0 dado, existe

n _∈N tal que _kyn_k> k. Logo, (yn) não pode ter uma subsequência convergente, e portanto M não pode ser compacto. Logo, M é limitado.

Agora, suponhamos ent˜aoM fechado e limitado. Sejam_{e1, e2, . . . , en}uma base deE e (xm) uma sequˆencia emM. Assim, xm =

n

X

j=1

ξj(m)ej.

(36)

Assim, pelo Lema 1.5.1, existe C > 0 tal que

k≥ kxmk= ° ° ° ° n X j=1

ξj(m)ej

° ° ° °≥C.

n

X

j=1

|ξj(m)|,

para cada j = 1,2, . . . , n. Como

n

X

j=1

|ξ_j(m)_{| ≤} k

C, temos que |ξ

(m)

j | ≤ k

C. Assim, (ξ

(m)

j ) = (ξ

(1)

j , ξ

(2)

j , . . .) ´e

limitada.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, cada sequêcia limitada possui uma sub-sequência convergente. Logo, a sub-sequência limitada (ξ₁(m)) = (ξ₁(1), ξ(2)₁ , . . .) possui uma subsequência convergente. Sejam ξ1 o seu limite e (x(1m))m∈N a correspondente

subsequˆencia de (xm)m∈N.

Da mesma forma, (ξ₂(m)) possui uma subsequˆencia convergente, sendo ξ2 o seu limite e (x(₂m))m∈N a correspondente subsequˆencia de (x(

m) 1 )m∈N.

Com esse mesmo argumento, para j = 3, . . . , n obtemos uma nova sequˆencia de (xm)m∈N da seguinte forma

(x(nm)) = (xn(1), x(2)n , . . .) de (xm).

Portanto, como no Lema 1.5.1, temos que (xm) possui uma subsequˆencia (x(nm))

tal que x(nm) −→x= n X j=1 ξjej, com n X j=1

|ξ_j(m)_{| ≤} k C.

Como M é fechado, x_∈ M. Isso mostra que uma sequência arbitrária (xm) em

M possui uma subsequˆencia convergente em M. Portanto, M ´e compacto.

¥

Observa¸c˜ao 1.6.3 Seja E um espa¸co vetorial normado, um subconjunto M _⊂ E

é compacto então M é fechado e limitado, porém a rec´ıproca do Teorema 1.6.1 em geral não ocorre quando a dimensão do espa¸co é infinita.

De fato, tomemos

E =_{x= (xn)/xn _∈Cexn= 0,exceto para um n´umero finito de ´ındices_{} ⊂}l∞(N),

com a norma _kx_k∞= sup

n∈N|

(37)

Seja S a esfera unit´aria centrada na origem,

S =_{x_∈E/_kx_k∞= sup

k∈N|

xn_|= 1_}.

Seja f : E → R definida por x → kxk∞, f ´e cont´ınua e {1} ´e um conjunto

fechado de R, então f−1₍_{₁_}_{) =} _S _{é um conjunto fechado de} _E_{, pois é a imagem}

inversa de fechado.

O conjunto S é limitado por 1, mas S não é um conjunto compacto. De fato, a

sequˆencia definida por

x1 = (1,0,0, . . . ,0, . . .)

x2 = (0,1,0, . . . ,0, . . .)

...

xn= (0,0,0, . . . ,1, . . .)

... não contém subsequência convergente em S.

Lema 1.6.1 (Riesz) Sejam F e G subespa¸cos de um espa¸co vetorial normado E

sendo F um subconjunto fechado e próprio deG. Então para todo número real θ no intervalo (0,1) existe z ∈G tal que kzk= 1 e kz−yk ≥θ, ∀ y ∈F.

Demonstra¸c˜ao.

Seja v _∈G_\F e a distˆancia de v a F como sendo d(v, F) = inf

y∈Fkv−yk=a.

ComoF ´e fechado temos quea >0. Assim, dadoθ∈(0,1) existey0 ∈F tal que

a = inf

y∈Fkv−yk ≤ kv−y0k ≤ a θ.

Fazendo z = v−y0

kv−y0k

, temos que _kz_k= 1 e para qualquer y_∈F,

kz−yk ₌°°° °

v₋y0

kv−y0k−

y

° ° ° °

= 1

kv−y0k ° ° °

°(v−y0)− kv−y0ky ° ° ° °

(38)

onde c= 1

kv₋y0k

e y1 =y0+c−1y. Como y1 ∈F ent˜ao a≤ kv−y1k. Portanto,

kz−yk=ckv−y1k ≥c.a=

a

kv −y0k ≥

θ.

¥

Teorema 1.6.2 SeE´e um espa¸co vetorial normado tal que a bola fechada e unit´aria

B = B[0,1] = _{x _∈ E : _kx_{k ≤} 1_} é compacta, então E é um espa¸co de dimensão finita.

Demonstra¸c˜ao.

Suponhamos que B é compacta e que E tem dimensao infinita. Seja x1 em E um vetor tal que kx1k= 1. O espaco M1 gerado por {x1}é um subespa¸co próprio de E fechado e de dimensão um. Pelo Lema de Riesz, existe x2 ∈ E\M1 tal que

kx2k= 1 e

kx2−x1k ≥θ = 1 2.

Os vetores x1 ex2 geram um subespa¸co pr´oprioM2 deE fechado e de dimens˜ao 2. Pelo Lema de Riesz, existe x3 ∈E\M2 tal que kx3k= 1 e

kx3 −x1k ≥ 1

2 ekx3−x2k ≥ 1 2.

Recursivamente, por esse processo, obtemos uma sequˆencia (xn)n∈Nde elementos

deB tal quekxn−xmk ≥ 1

2 para m6=n

Assim, a sequência (xn)n∈N não possui subsequência convergente, isto contradiz

a compacidade de B. Portanto,E tem dimens˜ao finita.

¥

Defini¸c˜ao 1.6.5 Um espa¸co de Banach ´e um espa¸co normado completo.

(39)

Exemplo 1.6.4 O espa¸co C[a, b] com a norma_k._k∞ ´e um espa¸co de Banach.

Exemplo 1.6.5 O espa¸co lp(N) ´e um espa¸co de Banach se 1_≤p < _∞.

Teorema 1.6.3 SejamE eF espa¸cos vetorias normados. SeF ´e de Banach, ent˜ao

L(E, F) ´e tamb´em um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao.

Para mostrar que _L(E, F) é um espa¸co de Banach, mostraremos que toda se-quência de Cauchy em _L(E, F) é convergente em _L(E, F).

Seja (Tn)n uma sequˆencia de Cauchy em L(E, F), isto ´e, para todoǫ >0, existe N0 ∈N tal que n, m≥N0 temos kTn−Tmk< ǫ.

Assim,

k(Tn₋Tm)(x)_{k ≤ k}Tn₋Tm_kkx_k< ǫ_kx_k,

∀ x_∈E, se n, m_≥N0.

Logo, Tn(x) ´e uma sequˆencia de Cauchy em F.

Como F é de Banach, a sequência Tn(x) é convergente em F. Definimos uma transforma¸cão T :E _→F, dada por T(x) = lim

n→∞Tn(x) em F.

Mostraremos que T _{∈ L}(E, F). Se x, y _∈E, temos

T(x+y) = lim

n→∞Tn(x+y) = limn→∞Tn(x) + limn→∞Tn(y) =T(x) +T(y).

E se x∈E eλ∈K, temos

λT(x) =λ lim

n→∞Tn(x) = limn→∞[λTn(x)] = limn→∞Tn(λx) = T(λx).

Por ser de Cauchy, a sequência Tn é limitada, isto é, existe K > 0 tal que

kTnk ≤K.

Da´ı, kTn(x)k ≤Kkxkpara todo x, segue que kT(x)k ≤Kkxk. Assim, _kT_k ´e limitada.

(40)

Desde que _kTm(x)₋Tn(x)_k < ǫ_kx_k para n, m_≥ N0 e x ∈ E, fazendo n → ∞, temos que

kTm(x)−T(x)k< ǫkxk.

Assim, _kTn₋T_k< ǫ, paran _≥N0. Logo Tn_→T em _L(E, F). Portanto, _L(E, F) ´e completo.

¥

Proposi¸cão 1.6.3 Um subespa¸co de um espa¸co de Banach é um espa¸co de Banach se, e somente se, é fechado.

Demonstra¸c˜ao.

Sejam E um espa¸co de Banach, F um subespa¸co de Banach em E e (xn) uma sequência em F com xn convergindo para x, assim a sequência (xn) é de Cauchy, e como F é Banach, temos que x_∈F. Portanto, F é um subespa¸co fechado.

Sejam F ⊂ E um subespa¸co fechado de E e (xn) uma sequˆencia de Cauchy em

F. Logo, (xn) ser´a uma sequˆencia de Cauchy em E, assim existe x _∈ E tal que

x= lim

n→∞xn. Mas, como F ´e fechado temos que x∈F. Logo, F ´e Banach.

¥

1.7 Teoremas: Banach-Steinhaus, Aplica¸c˜

ao Aberta e Gr´

afico

Fechado.

Os próximos resultados serão auxiliares para o Teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplica¸cão Aberta e o Teorema do Gráfico Fechado.

Um subconjuntoXde um espa¸co vetorialE´econvexose, para quaisquerx, y _∈X

e λ_∈[0,1] temos λx+ (1₋λ)y_∈X.

Sejam x um ponto e A um subconjunto não vazio de um espa¸co métrico E. Definimos a distância entre x eA por d(x, A) = inf_{|x₋y_|;y_∈A_}.

(41)

Denotamos por A+B o conjunto _{x+y :x _∈A, y _∈ B_} e por λA o conjunto

{λx:x∈A}, onde λ∈R.

Dado um espaco m´etrico (X, d), dizemos que um subconjunto A ´emagro em X

quando é uma reunião enumerável, A=_∪An, tal que, para cadan _∈N, intAn=_∅.

Teorema 1.7.1 (Teorema de Baire) Seja X um espa¸co m´etrico completo. Todo

conjunto magro em X tem interior vazio.

Corol´ario 1.7.2 Seja X um espa¸co m´etrico completo. Se X =

∞

[

n=1

An, onde cada

An ´e fechado em X, ent˜ao existe pelo menos um n tal que intAn₆=_∅.

Teorema 1.7.3 (Teorema de Banach-Steinhaus) Sejam E um espaco de

Ba-nach, F um espaco normado e (Tn)n∈N uma sequˆencia de transforma¸c˜oes lineares

cont´ınuas de E em F. Suponhamos que para cada x _∈ E, existe Cx > 0 tal que

kTn(x)_{k ≤} Cx para todo n _∈ N. Ent˜ao, existe C > 0 tal que _kTn_{k ≤} C para todo

n _∈N.

Demonstra¸c˜ao.

Para cada n´umero natural k, definimos

Ak=_{x_∈E :_kTn(x)_{k ≤}k,_∀n_∈N_}.

Os conjuntos Ak s˜ao fechados. De fato, seja x _∈ Ak, ent˜ao existe (xi)i∈N ∈ Ak

tal que xi _→ x. Assim, temos _kTn(xi)_{k ≤} k, para todo n. Como Tn ´e cont´ınua,

Tn(xi)→Tn(x) o que implica kTn(xi)k → kTn(x)k. Logo, _kTn(x)_{k ≤}K.

Portanto, x∈Ak. O que nos mostra que Ak s˜ao fechados.

Como para cada x _∈ E, existe Cx > 0 tal que _kTn(x)_{k ≤} Cx para qualquer n´umero natural n, temos que E = [

k∈N

Ak

(42)

1.7 Teoremas: Banach-Steinhaus, Aplica¸c˜ao Aberta e Gr´afico Fechado.

Para cada x_∈E_\{0_}, definimos

x′ =x0+

r

2_kx_kx.

Ent˜ao _kx′₋_x

0k=

r

2 e, portanto,

x′ _∈B(x0, r)⊆Am,

o que implica

kTn(x′₎_{k ≤}_m _{para cada} _n _∈_N_.

Assim, para cada x_∈E_\{0_} temos

kTn(x)k = ° ° ° °Tn

µ 2kxk

r (x

′₋_x₀₎¶°°_°

°

= 2kxk

r kTn(x

′

−x0)_k

≤ 2k_rxkkTn(x′)_k+2kxk

r kTn(x0)k

≤ 2k_rxkm+2kxk

r m

= 4m

r kxk;

o que mostra que kTnk ≤ 4m

r para qualquer n∈N.

¥

O Teorema de Banach-Steinhaus também é conhecido como Princ´ıpio da Limi-ta¸cão Uniforme.

Os próximos resultados serão utilizados para a demonstra¸cão do teorema da Aplica¸cão Aberta.

Lema 1.7.1 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E −→ F uma transforma¸c˜ao linear cont´ınua sobrejetora. Ent˜ao, existe r >0 tal que

T(B(0,1))⊃B(0, r),

(43)

Demonstra¸c˜ao.

Seja

E =

∞

[

n=1

B(0, n) =

∞

[

n=1

nB(0,1).

Como T ´e sobrejetora, temos que

F =T(E) =T

µ_[∞

n=1

nB(0,1) ¶

=

∞

[

n=1

T(nB(0,1)) =

∞

[

n=1

nT(B(0,1)).

Assim, também é válido que

F =T(E) =

∞

[

n=1

nT(B(0,1)).

De fato,

i) dado n, nT(B(0,1))) =T(nB(0,1)) =T(B(0, n))_⊂F,ent˜ao

F =T(E)_⊃

∞

[

n=1

nT(B(0,1));

ii) dado y _∈ F , sendo T sobrejetiva existe x _∈ E tal que y = T(x). Para este x

existe um n0 tal que x∈B(0, n0) = n0B(0,1) e ent˜ao

y=T(x)_∈T(B(0, n0)) =T(n0B(0,1)) =n0T(B(0,1)) ⊂n0T(B(0,1)).

Logo, como F =

∞

[

n=1

nT(B(0,1)) e para cada n, nT(B(0,1)) ´e um conjunto fechado, do Corol´ario 1.7.2segue que existe n0 tal que

int(n0T(B(0,1))) 6=∅ e portanto

int(T(B(0,1))) =int

µ

n0

T(B(0,1)) ¶

= 1

n0

int(n0T(B(0,1)))6=∅.

(44)

Temos que T(B(0,1)) ´e convexo. De fato, sendo B(0,1) convexo, dadosx0, y0 ∈

B(0,1) e λ∈[0,1] segue que

λx0+ (1−λ)y0 ∈B(0,1).

Ent˜ao, dados a, b em T(B(0,1)) existem T(xn) e T(yn) sendo xn, yn em B(0,1) tal que T(xn)_−→a eT(yn)_−→b.

Sendo λ_∈[0,1], temos

T(zn) =T(λxn+ (1−λ)yn) =T(λxn) +T((1−λ)yn) =λT(xn) + (1₋λ)T(yn).

E assim, λT(xn) + (1₋λ)T(yn)_−→λa+ (1₋λ)b.

E como para cadan,λxn+ (1−λ)yn ∈B(0,1) temos quezn ∈B(0,1) e portanto

λa+ (1₋λ)b_∈T(B(0,1)).

Logo, T(B(0,1)) ´e convexo.

Ent˜ao B(0,2r) = B(y,2r)−y ⊂ T(B(0,1)) + T(B(0,1)) = 2T(B(0,1)), pois

T(B(0,1)) ´e convexo. Dessa forma,

T(B(0,1)) = 2

2T(B(0,1)) = 1

2(2T(B(0,1)))⊃ 1

2B(0,2r) = B(0, r).

¥

Corolário 1.7.4 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E _−→ F uma transfor-ma¸cão linear cont´ınua sobrejetora. Então, existe r˜tal que

T(B(0,1))_⊃B(0,˜r).

Demonstra¸c˜ao.

Seja r dado no Lema 1.7.1. Considere ˜r = r/2 e seja y _∈ B

µ 0,r

2 ¶

, pelo Lema

(45)

T

µ

B

µ 0,1

2 ¶¶

⊃B

µ 0,r

2 ¶ , ent˜ao B µ y,r 4 ¶ ∩T µ B µ 0,1

2 ¶¶

6

=_∅.

Logo, existe x′

1 ∈E com kx′1k< 1

2 tal que T(x

′

1)∈B µ

y,r

4 ¶

e assim

kT(x′₁)₋y_k=_ky₋T(x′₁)_k< r

4.

Ent˜ao, y−T(x′

1)∈B µ

0,r

4 ¶

. Novamente, pelo Lema1.7.1, temos que

T

µ

B

µ 0,1

4 ¶¶

⊃B

µ 0,r

4 ¶ , ent˜ao B µ

y₋T(x′₁),r

8 ¶ ∩T µ B µ 0,1

4 ¶¶

6

=_∅.

Logo, existe x′

2 ∈E com kx′2k< 1

4 tal que T(x

′

2)∈B µ

y₋T(x′

1),

r

8 ¶

e assim

ky₋T(x′₁)₋T(x′₂)_k< r

8.

Ent˜ao, y−T(x′

1)−T(x′2)∈B µ

0,r

8 ¶

.

Com o mesmo argumento, encontramos uma sequˆencia (x′

n)n∈N em E tal que,

para todon _∈N, temos _kx′

nk<

1

2n tal que ky−T(x

′

1+. . .+x′n)k< r

2n+1. Fazendo xn=x′

1+x′2+. . .+xn′, ∀ n∈Nse n, p≥1

kxn+p−xnk=kx′n+1+. . .+x′n+pk ≤ kx′n+1k+. . .+kx′n+pk<

1

2n+1+. . .+ 1 2n+p <

1 2n.

(46)

Como E ´e um espa¸co de Banach, existe x_∈E tal que (xn)n∈N converge parax,

logo, T(xn)n∈N converge para T(x), pois T ∈ L(E, F).

Agora, para todo n∈Ntemosky−T(xn)k< r

2n+1, assim, (T(xn))n∈N converge para y.

Portanto, T(x) = y. Como para todon _∈N,

kxn_{k ≤ k}x′₁_k+_kx′₂_k+. . .+_kx′nk<kx′1k+ 1 2 <1.

Logo, fazendo n _{−→ ∞}temos _kx_{k ≤ k}x′

1k+ 1/2<1. Portanto, x∈B(0,1).

¥

Para garantir que uma transforma¸c˜ao linear T, seja aberta; basta mostrar que a imagem de uma bola por T cont´em alguma bola aberta.

Teorema 1.7.5 (Aplica¸c˜ao Aberta) SejamE eF espa¸cos de Banach eT :E −→

F uma transforma¸c˜ao linear cont´ınua sobrejetora. Para todo conjunto abertoU ⊂E,

T(U) ´e aberto em F.

Demonstra¸c˜ao.

Sejay∈T(U), logo existe x∈U tal quey=T(x) e sendoU aberto, existeδ >0 tal que B(x, δ)⊂U.

Sabemos que, _T₍_U₎_⊃_T₍_B₍_{x, δ}_{)) =}_T₍_x₊_B₍₀_{, δ}₎₎ =T(x) +T(B(0, δ)) =T(x) +T(δB(0,1)) =T(x) +δT(B(0,1)).

Do Corol´ario 1.7.4, existe r >0 de modo que T(B(0,1))⊃B(0, r), ent˜ao

T(x) +δT(B(0,1))_⊃T(x) +δB(0, r) =T(x) +B(0, δr) =B(T(x), δr).

Logo, T(U)_⊃B(T(x), δr) ou seja,T(U) ´e aberto emF .

(47)

Corolário 1.7.6 Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E _−→ F uma transfor-ma¸cão linear cont´ınua bijetora, então T é homeomorfismo.

Demonstra¸c˜ao.

Sendo T uma transforma¸cão linear bijetora, esta possui uma transforma¸cão in-versaT−1_{linear. Do teorema} _1.7.5_{, dado o aberto}_U _⊂_E_,_T₍_U_{) é um aberto em}_F _e portanto T−1 _{é cont´ınua, sendo que} _T−1₍_T₍_U_{)) =}_U _⊂_U_{, logo}_T _{é homeomorfismo.}

¥

Exemplo 1.7.1 Sejam E um espa¸co de Banach e I : (E,_k._k1)_→(E,_k._k2) a trans-forma¸cão identidade; se existe c > 0 tal que _k._k2 ≤ ck.k1 então k.k1 e k.k2 são

equivalentes. De fato, desde que para todo x _∈ E temos que _kx_k2 ≤ ckxk1 ent˜ao

I é cont´ınua. Como I é bijetora então, pelo Corolário 1.7.6, temos que I é um homeomorfismo e assim, existe d > 0 tal que kxk1 ≤ dkxk2, logo k.k1 e k.k2 são

equivalentes.

Defini¸cão 1.7.1 Dada uma aplica¸cão T : E → F, o gráfico de T é denotado por

G(T) e dado por

G(T) =_{(x, T(x))_∈E_×F :x_∈E_}.

Sendo T linear, o gr´afico G(T) ´e um subespa¸co vetorial de E _×F, munido da norma _k(x, y)_k:=_kx_k+_ky_k.

Defini¸cão 1.7.2 A transforma¸cão linear T : D(T) _⊂ E _→ F é fechada se para toda sequência (xn) _⊂ D(T) tal que xn _→ x e T(xn) _→ y, tenhamos x _∈ D(T) e

y=T(x).

O próximo teorema nos mostra que os conceitos de transforma¸cão linear fechada e cont´ınua são equivalentes quando a transforma¸cão ocorre em espa¸cos de Banach.

Teorema 1.7.7 (Gr´afico Fechado) SejamE eF espa¸cos de Banach eT :E _→F

(48)

Demonstra¸c˜ao.

Suponha queT seja cont´ınua. O gráfico deT,G(T), é fechado pois uma sequência (xn, yn)_∈E_×F converge para um ponto (x, y)_∈E_×F se, e somente se, xn_−→x

e yn _−→y; mas se (xn, yn)_∈G(T) ent˜ao yn =T(xn) e da continuidade de T segue que y=T(x), isto ´e, (x, y)_∈G(T).

Reciprocamente, suponha queG(T) seja um subespa¸co fechado deE×F, então sendoG(T) subespa¸co vetorial do espa¸co de BanachE×F,segue queG(T) também é um espa¸co de Banach.

Considere as proje¸c˜oes,

π1 :E×F −→E e π1 :G(T)−→E.

Temos que π1 linear, bijetora e cont´ınua do espa¸co de Banach G(T) sobre o espa¸co de Banach E. De fato, dados (x, T(x)),(y, T(y)) em G(T) e o escalar λ

temos que

π1((x, T(x)) + (y, T(y))) = π1(x+y, T(x) +T(y)) = π1(x+y, T(x+y)) = x+y

= π1(x, T(x)) +π1(y, T(y)).

Temos tamb´em que

π1(λ(x, T(x))) = π1(λx, λT(x)) = π1(λx, T(λx)) = λx

= λπ1(x, T(x)).

Portanto, temos que π1 ´e linear.

Dado x0 ∈ E, tome (x0, T(x0)) ∈ G(T) e ent˜ao π1(x0, T(x0)) = x0, logo π1 ´e sobrejetora.

Sejam (x, T(x)),(y, T(y))∈G(T) , logo seπ1(x, T(x)) = π1(y, T(y)) ent˜aox=y

e portanto T(x) = T(y), assimπ1 ´e injetora. Portanto π1 ´e bijetora.