Um estudo do teorema de unicidade de Holmgren

Júnior César Bonam

Um Estudo do Teorema de Unicidade de

Holmgren

Pós-Graduação em Matemática

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000

Júnior César Bonam

Um Estudo do Teorema de Unicidade de

Holmgren

Orientador:

Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos

Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Campus de São José do Rio Preto

Bonam, Júnior César.

Um estudo do teorema de unicidade de Holmgren / Júnior César Bonam -São José do Rio Preto: [s.n.], 2011.

49 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Waldemar Donizete Bastos.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas.

1. Análise matemática. 2. Equações diferenciais parciais. 3. Teoria do controle. I. Bastos, Waldemar Donizete. II. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

JÚNIOR CÉSAR BONAFIM

Um estudo do teorema de unicidade de Holmgren

Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Câmpus de São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA Waldemar Donizete Bastos

Professor Doutor

UNESP - São José do Rio Preto Orientador

Maurilio Márcio Melo Professor Doutor

UFG - Universidade Federal de Goiás

Andréa Cristina Prokopczyk Arita Professora Doutora

UNESP - São José do Rio Preto

Agradecimentos

Ao concluir este trabalho agradeço:

Primeiramente a Deus, pelas bençãos de todos os dias e pelas oportunidades concedidas a mim.

À minha família, em especial aos meus pais Ademir e Luzia, à minha irmã Vanessa, minha avó Lucia e meu cunhado Cesar que durante estes anos de graduação e mestrado estiveram sempre presentes me apoiando e me dando todas as condições para prosseguir com meus estudos.

Ao meu orientador Prof. Dr. Waldemar pelo apoio, incentivo e principalmente pela paciência durante todos estes anos.

Aos meus amigos de graduação em especial Cintya, Gustavo, Jucilene, Aroldo, Eduardo, Eduardo Costa, João, Clayton, Alan e Marcos.

Aos meus amigos de pós-graduação, em especial Glauce, Andrea, Michelli, André, Érica, Meire, Rodiak e Rafael pelo agradável convívio tanto nos momentos de estudo como nos de descontração em nossa sala de estudos e em nossos churrascos.

Aos Professores do Departamento de Matemática IBILCE/UNESP - São José do Rio Preto pelo conhecimento transmitido e por despertarem em mim o desejo de seguir a mesma carreira.

À CAPES, pelo auxílio nanceiro.

Uma pessoa é capaz de conseguir qualquer coisa se o seu entusiasmo não tiver limites

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar o Teorema clássico de Unicidade de Holmgren e mostrar uma aplicação na teoria de controle em equações diferenciais parciais por meio de um exemplo relativamente simples.

)>IJH=?J

The aim of this work is to present the classical Holmgren's uniqueness theorem and give an application in control theory in partial dierential equations through a relatively simple example.

Sumário

Introdução p. 9

1 O Teorema de Holmgren p. 10

1.1 Conceitos Iniciais . . . p. 10 1.2 Apresentação do Teorema de Holmgren . . . p. 16 1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1 . . . p. 17 1.4Preparação para a demonstração: Parte 2 . . . p. 21 1.5 Demonstração do teorema . . . p. 24

2 Uma Aplicação do Teorema de Holmgren p. 28

2.1 Noções de controlabilidade . . . p. 28 2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda . . . p. 32 2.2.1 Formulação do Problema . . . p. 32 2.2.2 Resolução do problema para T 2r. . . p. 36

2.2.3 Resolução do problema para T < 2r . . . p. 39

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita p. 41

'

Introdução

O objetivo deste trabalho é apresentar o Teorema clássico de Unicidade de Holmgren e mostrar uma aplicação deste teorema na teoria de controle em equações diferenciais parciais por meio de um exemplo relativamente simples. No primeiro capítulo, inicialmente daremos algumas denições e resultados necessários ao entendimento do teorema de unicidade de Holmgren, dentre eles o Teorema de Cauchy-Kovalevsky.O Teorema de Holmgren é enunciado e demonstrado em seguida para um operador diferencial linear de segunda ordem.A demonstração do teorema tem como referências [4] e [11].

No capítulo seguinte aplicaremos o Teorema de Holmgren na resolução de um problema de controle aproximado para equação de onda em três dimensões. Como referências usamos os trabalhos [8] e [9].Fornecemos também no início do mesmo capítulo os resultados na teoria de controle que se fazem necessários para o entendimento do exemplo dado.

Capítulo 1

O Teorema de Holmgren

Neste capítulo apresentaremos a demonstração do teorema de unicidade de Holmgren para o caso particular de um operador diferencial parcial linear de ordem dois. Antes, porém apresentaremos os conceitos necessários para a demonstração.

1.1 Conceitos Iniciais

Entendemos por superfície em Rn um conjunto _{S ={x ∈} Rn_{; φ(x) = 0}} onde φ :Rn_−→ Ré função diferenciável com _{∇φ(x) ∈= 0}para todo _{x∈ S}. A superfície S é dita analítica seφ é função real analítica.

Um operador diferencial parcial linear de ordem m num domínio Ω⊂Rn pode ser escrito como

P =

|α|m

aα(x)Dα

onde α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn, |α| = n

i=1

αi, Dα =

∂|α|

∂xα1

1 ∂xα

2

2 · · ·∂xαnn

e aα com

|α|m são funções reais denidas em Ω.

Muitas das propriedades das soluções de equações P u=f dependem

ape-nas dos termos com derivadas de maior ordem. Estes termos compõem a parte principal de P, ou seja, a parte principal do operador P é o operador

Pm =

|α|=m

1.1 Conceitos Iniciais

Chamamos equação característica associada ao operador P a equação

Q(ξ) =

|α|=m

aα(x)ξα = 0

onde ξ= (ξ1, . . . , ξn)∈Rn eξα =ξ1α1ξ2α2. . . ξnαn.

Um vetor não nulo ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn dene uma direção em Rn.

Toda solução não nula da equação característica é chamada direção característica. Observe que se ξ ∈= 0 é uma direção característica então λξ

também o é, para todo λ∈= 0.

É importante notar que se os coecientes da parte principal do operador

P são constantes, então as direções características não dependem do ponto x∈Rn.

Denição 1.1. Seja S uma superfície dada por S = {x ∈ Rn_{; φ(x) = 0}} onde φ é uma função diferenciável com ∇φ ∈= 0 em S. Dizemos que S é

característica em x0 ∈S em relação ao operador P se

Q(∇φ(x0)) =

|α|=m

aα(x0)(∇φ(x0))α = 0.

A superfície S é chamada superfície característica em relação ao operador P

se S é característica em todos os seus pontos.

Segue da denição acima que uma superfície S é característica em x0 ∈S

se o vetor normal à S em x0 for uma direção característica.

Denição 1.2. Nas condições da denição anterior, S é dita não

caracterís-tica em x0 ∈S em relação ao operador P se

Q(∇φ(x0)) =

|α|=m

aα(x0)(∇φ(x0))α ∈= 0.

A superfícieS é chamada superfície não característica em relação ao operador P se S é não característica em todos os seus pontos.

Exemplo 1.1. Consideremos o operadorLu=utt−uxx−uyy. A parte principal

de L é o próprio operador, assim sua equação característica é

1.1 Conceitos Iniciais

As direções características para esse operador são vetores que fazem ângulo de 450 _{com eixo t. Observe ainda que planos cujo vetor normal faz ângulo de}

450 _{com o eixo t são superfícies características para o operador dado. Uma}

importante família de superfícies características para este operador são cones cujo vetor normal faz ângulo de 450 _{com o eixo t. Tais cones são chamados}

cones característicos.

Exemplo 1.2. [7] Consideremos a equação de onda em duas dimensões

uyy−uxx = 0, (1.1)

com dados iniciais sobre y= 0, −1< x <1. Sua equação característica é

ξ₂2−ξ₁2 = 0.

Suas superfícies características são retas que fazem ângulo de 450 _{com o eixo}

y.

Seja

φ(x, y) = (x−y+ 1)(x+y−1).

Escrevendo Sλ, −1 λ < 0 como o arco da hipérbole φ(x, y) = λ que

permanece dentro do triângulo de vértices (−1,0), (1,0) e (0,1), observamos

que para todo λ com −1 λ < 0, Sλ é não característica em relação ao

operador da equação (1.1). Além disso as curvas Sλ preenchem todo o interior

do triângulo acima citado, como mostra a Figura 1.1 abaixo.

Uma situação análoga a esta ocorre quando estamos trabalhando em espaços de dimensão superior onde o triângulo é substituído por um cone característico que tem seu interior preenchido por superfícies não característi-cas.

1.1 Conceitos Iniciais !

Figura 1.1

Consideremos a equação diferencial parcial linear de ordem m

P u=

|α|m

aα(x)Dαu=f, (1.2)

onde os coecientes aα ef são funções denidas num domínio Ω⊂Rn. Sejam

S a parte de uma superfície de Rn contida em _Ω, _{ν = ν(x)} o vetor normal unitário à superfície S no ponto x∈S eϕ0, . . . , ϕm−1 funções dadas,denidas

em S.

Figura 1.2

1.1 Conceitos Iniciais "

u|S =ϕ0,

∂u ∂ν

S =ϕ1, . . . ,

∂m−1_u

∂νm−1

S =ϕm−1 (1.3)

em S. Aqui ∂u ∂ν, . . . ,

∂m−1_u

∂νm−1 são as derivadas normais de u até ordem m−1,

dadas por

∂J_u

∂νJ =

|α|=J

J!

α!ν

α_Dα_{u, J = 1, . . . , m.}

Observação 1.1. Seja S uma superfície em Ωe u: Ω−→R uma função com derivadas parciais contínuas até ordem m−1. Os dados de Cauchy (1.3) para

tal funçãoudeterminam de maneira única todas as derivadas Dα_u,|α|m−1

sobreS e, reciprocamente, se conhecermos todas as derivadas Dα_u,|α|m−1

em S, podemos determinar os dados de Cauchy (1.3) para a função uao longo

de S.

Em vista da observação acima os problemas de Cauchy podem ser reformu-lados e escritos da seguinte forma: dadas as funções gα, |α| ≤m−1denidas

em S e f denida em Ω, achar uma função u : Ω −→ R sucientemente derivável satisfazendo:

P u=f Dα_u=ϕ

α sobre S para todo |α|m−1.

(1.4)

O exemplo a seguir ilustra a importância das superfícies características. Exemplo 1.3. Seja o operador D1 =

∂

∂x um operador diferencial parcial no

domínio Ω =R2. Sua equação característica é

ξ1 = 0,

e (0,1) é a única direção característica. Portanto suas curvas características

são retas y=cte.

Seja C uma curva não característica em relação a D1. Assim o vetor

normal a C tem componentex não nula em todo ponto de C. Logo C pode ser

dada por uma equação do tipo

1.1 Conceitos Iniciais #

Considere o seguinte problema de Cauchy com condições iniciais ao longo de C

D1u= 0

u

h(y), y

=f(y) (1.6)

onde f é uma função dada.

A equação diferencial do problema acima nos diz que u não depende da

variável x. Seja u(x, y) = g(y) uma solução da equação. Logo

f(y) = u(h(y), y) = g(y). Assim f = g e portanto u(x, y) = f(y) é a única

solução do problema (1.6).

Suponhamos agora que C é uma curva característica, por exemplo y = 0,

e considere o problema de Cauchy

D1u= 0

u(x,0) =f(x) (1.7)

onde f é dada. Se f não é constante, então não pode haver solução para o

problema (1.7) pois a equação diferencial contradiz a condição inicial sobre

y = 0. Por outro lado, se f(x) =k para todo x, então para toda função g(y)

com g(0) =k, a função

u(x, y) =g(y)

é uma solução do problema (1.7).

Assim quando a curva inicial C é característica, pode não existir solução

para o problema de Cauchy ou poderá haver uma innidade de soluções.

Na demonstração do Teorema de Holmgren faremos uso do Teorema de Cauchy-Kovalevsky. Enunciaremos tal teorema para uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem. Observamos que o mesmo vale para equações quasi-lineares de ordem superior.

Teorema 1.1 (Cauchy-Kovalevsky). Considere a equação

Lu=

n

i=1

n

j=1

aij

∂2_u

∂xi∂xj

+

n

j=1

bj

∂u ∂xj

+cu=f. (1.8)

Seja Ω ⊂ Rn um aberto, _S a parte de uma superfície em Rn contida em _Ω e x0 ∈ S um ponto. Suponha que os coecientes aij, bj, c, f são analíticos

1.2 Apresentação do Teorema de Holmgren $

x0 em relação ao operador L. Então o problema de Cauchy

Lu=f Dβ_{u(x) =g}

β(x), |β|1, x∈S

(1.9)

com dados iniciais gβ(x), |β|1analíticos tem uma única soluçãou analítica

numa vizinhança de x0.

Demonstração: Veja [3] ou [4].

1.2 Apresentação do Teorema de Holmgren

A estratégia para provar o Teorema de Holmgren é motivada por um resultado abstrato envolvendo o operador linear e seu adjunto. Suponha que

X e Y são espaços vetoriais normados e T : X −→ Y um operador linear. O

operador adjunto T∗ _:Y′ _−→X′ _{do operador T é denido por}

T∗y′, x =y′, T x , ∀ y′ ∈Y′, ∀ x∈X,

ondeX′ _eY′ _{são os espaços duais de X eY respectivamente e , representa}

a respectiva dualidade.

Proposição 1.1. Se a imagem do operador T∗ _{é densa em X}′_{, então}

ker(T) ={0}, ou seja, u= 0 é o único u∈X satisfazendo T u= 0.

Demonstração: Para todo y′ _∈Y′ _{e todo u∈ker(T), y}′_{, T u = 0. Logo}

T∗_y′_{, u = 0, ∀ y}′ _∈Y′_{, ∀ u∈ker(T).}

Seja x′ _{∈ X}′_{. Usando a densidade da imagem de T}∗_{, existe sequência}

(x′

k)∈Im(T∗) tal que lim k→∞x

′

k =x′. Seja yk′ ∈Y′ tal que T∗yk′ =x′k.

Parau∈ker(T) temos a expressão

x′_{, u =lim}

k→∞x ′

k, u =lim k→∞T

∗_y′

k, u = lim k→∞T

∗_y′

k, u = 0,

ou seja,

1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1 %

Do Teorema de Hahn-Banach segue que

uX = sup x′_∈X′

x′₁

|x′, u |= 0.

Logo u= 0.

Concluímos então que a existência de soluções da equação adjunta T∗_{v =g}

para um conjunto de funções g, que seja denso no espaço ao qual pertença u,

prova a unicidade de solução da equação T u=f.

A seguir enunciaremos e demonstraremos o Teorema de Holmgren para uma equação diferencial parcial linear de ordem dois. Este teorema, assim como o Teorema de Cauchy-Kovalevsky, também vale para equações diferenciais parciais lineares de ordem superior a dois.

Teorema 1.2 (Teorema de Unicidade de Holmgren). Seja L o operador

diferencial linear

Lu=

n

i=1

n

j=1

aij

∂2_u

∂xi∂xj

+

n

j=1

bj

∂u ∂xj

+cu (1.10)

com coecientes aij, bj, creais analíticos num domínio Ω⊂Rn, aij =aji para

todo i e j. Seja S = {x ∈ Rn_{; φ(x) = 0} ⊂ Ω} uma superfície analítica não característica em relação a L. O problema de Cauchy

Lu=f em Ω

Dβ_{u(x) =g}

β(x), |β|1, x∈S

(1.11)

com dados iniciais e f de classeC2 _{tem no máximo uma solução clássica numa}

vizinhança de S.

1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1

1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1 &

aL. Se u e v são funções tais que

Dβu(x) = 0, |β|1, x∈Γ1, (1.12)

Dβv(x) = 0, |β|1, x∈Γ2. (1.13)

Figura 1.3

Estaremos interessados na unicidade de solução do problema

Lu= 0 em G, (1.14)

com dados (1.12),isto é,em concluir que u≡0 em G.

Integrando o produto vLu em G,obtemos as igualdades

G

vLu dx=

G v _n i=1 n j=1 aij

∂2_u

∂xi∂xj

+ n j=1 bj ∂u ∂xj

+cu dx

= G v n i=1 n j=1

∂2_u

∂xi∂xj

aij +

v n j=1 ∂u ∂xj

bj +vcu dx

= G v n i=1 n j=1

∂2_u

∂xi∂xj

aij dx+

G v n j=1 ∂u ∂xj

bj dx+

G

vcu dx.

(1.15)

1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1 ' G v n i=1 n j=1

∂2_u

∂xi∂xj

aij dx=−

G n i=1 n j=1 ∂u ∂xj ∂ ∂xi

(aijv)dx+

∂G n i=1 n j=1 ∂u ∂xj

aijvνidS,

onde νi é a componente i do vetor normal unitário à ∂G.

Integrando por partes novamente temos

G v n i=1 n j=1

∂2_u

∂xi∂xj

aij dx=

G n i=1 n j=1 u ∂ 2

∂xi∂xj

(aijv)dx+

∂G n i=1 n j=1 ∂u ∂xj

aijvνi dS−

− ∂G n i=1 n j=1 u ∂ ∂xj

(aijv)νj dS.

Observemos que as integrais sobre a fronteira de G se anulam devido às

condições (1.12) e (1.13). Portanto concluímos que

G v n i=1 n j=1

∂2u ∂xi∂xj

aij dx=

G n i=1 n j=1 u ∂ 2

∂xi∂xj

(aijv) dx.

Integrando por partes também a segunda integral de (1.15) e obtemos a igualdade G _n j=1 ∂u ∂xj

bjv dx =−

G n j=1 u ∂ ∂xj

(bjv) dx+

∂G n

j=1

ubjvνj dS.

Novamente a integral na fronteira deGse anula devido às condições (1.12)

e (1.13). Concluímos então que

G

v(Lu) dx=

G

M(v)u dx, (1.16)

onde

M v =

n i=1 n j=1 ∂2

∂xi∂xj

(aijv)− n

j=1

∂ ∂xj

(bjv) +cv,

o qual chamamos operador adjunto de L.

Da denição deM vemos que sua parte principal é igual à parte principal

1.3 Preparação para a demonstração: Parte 1

relação a M.

Agora suponhamos que o problema adjunto

M v =w em G

Dβ_{v = 0, |β|1, x∈Γ}

2

(1.17)

tenha uma solução para wvariando num conjunto W denso no espaço ao qual

pertença a função u. De (1.16), obtemos a identidade

0 =

G

v(Lu) dx=

G

M(v)u dx=

G

wu dx. (1.18)

Supondow=u, obtemos a igualdade

0 =

G

u2 _dx,

de onde segue que u= 0 em G.

Sew∈=utomemos uma sequência(wn)emW convergindo uniformemente

para u e Consideremos o problema adjunto

M vn =wn em G

Dβ_v

n= 0, |β|1, x∈Γ2,

(1.19)

n= 1,2, . . . . Temos

0 =

G

vn(Lu) dx=

G

M(vn)u dx=

G

wnu dx.

Aplicando o limite vem

0 = lim

n→∞

G

wnu dx=

G

u2 dx.

Logo u= 0 em G.

O argumento acima exposto é a essência da demonstração do Teorema de Holmgren.

1.4 Preparação para a demonstração: Parte 2

1.4 Preparação para a demonstração: Parte 2

Seja S = {x ∈ Rn_{; φ(x) = 0}} como no enunciado do teorema de Holmgren. Seja S0 uma parte compacta de S. Vamos supor que existe uma

superfície analítica dada por S′ _{={x ∈ R}n_{; α(x) = 0} tal que a fronteira de}

S0 seja dada por

∂S0 ={x∈Rn; φ(x) = 0} ∩ {x∈Rn; α(x) = 0}.

Figura 1.4

SejaΦ : Rn_{×[0,1]−→} R denida por _{Φ(x, λ) = (1−λ)φ(x) +λα(x)}. A aplicação Φéuma homotopia entre φ eα e éanalítica nas variáveis xe λ. As

superfícies de nível Φ(x, λ) = 0 preenchem toda a região entre S0 e a parte de

S′ _{acima de S como na Figura 1.3. Assim, Φ deforma S}

0 continuamente

mantendo xa a fronteira de S0.

Denamos a família

Sλ ={x∈Rn; Φ(x, λ) = 0}, 0λ1.

CadaSλéuma superfície analítica. Vamos mostrar agora a seguinte armação:

Lema 1.1. Existe _λ,¯ _0λ¯ _{1 tal que para todo 0λ}¯_{λ a superfície Sλ é}

1.4 Preparação para a demonstração: Parte 2

Demonstração: Para demonstrar o lema exibiremos _λ¯ _{tal que}

∇Φ(x, λ)∈= 0, ∇Φ(x, λ)A∇Φ(x, λ)t∈= 0

para todo x ∈ Sλ e 0 λ ¯λ. Aqui A = [aij] é a matriz dos coecientes da

equação.

A aplicação x −→ ∇φ(x) é contínua em Rn e positiva no compacto

S0. Do teorema de Heine-Borel concluímos que existe δ1 > 0 e um compacto

U ⊂Rn contendo _S0 em seu interior tal que

∇φ(x)δ1, x∈U.

Notemos que ∇Φ(x, λ) = (1−λ)∇φ(x) +λ∇α(x), e assim

∇Φ(x, λ)2 = (1−λ)2∇φ(x)2+λ2∇α(x)2 + 2(1−λ)λ∇φ(x)∇α(x).

Para cadax xo em U temos a igualdade

lim

λ→0+∇Φ(x, λ)

2 _=∇φ(x)2 _δ2 1.

De onde concluímos que para um ponto x0 qualquer em U tem-se a expressão

lim

x→x0

lim

λ→0+∇Φ(x, λ)

2 _=∇φ(x

0)2 δ21.

Mas a função (x, λ) −→ ∇Φ(x, λ)2 _{é contínua em R}n_{×R. De onde segue}

que

∇Φ(x0,0)2 = lim (x,λ)→(x0,0+)

∇Φ(x, λ)2 _=∇φ(x

0)2 δ12,

para todo x0 ∈U, ou seja, ∇Φ(x,0)δ1 para todo x∈U.

Usando a continuidade de (x, λ) −→ ∇Φ(x, λ) em Rn _{× [0,1]} e a compacidade de U × {0} em Rn+1, o teorema de Heine-Borel e a desigualdade

∇Φ(x,0)δ1, x∈U

concluímos que existe ¯_λ,0λ¯_{1 tal que}

∇Φ(x, λ)δ1

1.4 Preparação para a demonstração: Parte 2 !

Agora consideremos em Ω×[0,1] a função contínua

(x, λ)−→ ∇Φ(x, λ)A∇Φ(x, λ)t=Q(∇Φ(x, λ)).

Temos, para cada x0 ∈S, que

Q(∇Φ(x0,0)) =Q(∇φ(x0))∈= 0.

Usando o mesmo argumento acima, podemos encontrar vizinhança compacta

˜

U de S0,δ˜1 >0 eλ˜ com 0<˜λ1tais que

Q(∇Φ(x, λ))∈= 0

para todox∈U˜ e todoλcom0λλ˜. Ajustando os elementosU, U ,˜ ¯λ, ˜λ, δ1

e_δ˜_{1 se necessário, teremos o lema provado.}

Para λ1 e λ2 com 0 λ1 < λ2 ¯λ, denotemos por Rλ1λ2 a região

determinada por Sλ tal que λ1 λλ2 e escrevemos R=R0¯λ.

Figura 1.5

Para concluirmos a demonstração do teorema precisaremos do seguinte lema, o qual será demonstrado posteriormente.

Lema 1.2. Existe ε > 0 tal que se 0 λ < µ λ¯ e µ−λ < ε, então a

equação M(v) = w em Rλμ, com Dβv = 0 sobre a superfície Sμ, |β| 1 tem

1.5 Demonstração do teorema "

1.5 Demonstração do teorema

Podemos agora passar a demonstração do teorema de Holmgren. Suponhamos então que Lu = 0 em R = R0¯λ com Dβu = 0, |β| 1 sobre

a superfícieS0. Podemos encontrar um subconjunto nito

0 =λ0 < λ1 <· · ·< λk = ¯λ

de forma que

λj+1−λj <

ε

2, j = 1, . . . , k−1,

onde ε é como no lema 1.2.

Pelo lema 1.2 sabemos que o problema

M(v) =w

Dβ_{v(x) = 0, |β|1, x∈S} λ2

(1.20)

tem solução em R0λ2 para um conjunto de funções w denso em C(R0λ2). A

fronteira de R0λ2 é ∂R0λ2 = S0 ∪Sλ2 onde u e suas primeiras derivadas são

nulas sobreS0 ev e suas primeiras derivadas são nulas sobre Sλ2. Veja Figura

1.6. Da densidade de W em R0λ2, existe sequência {wk} ∈ W, tal que wk

Figura 1.6

converge uniformemente para u em R0λ2. Para cada k, existe solução vk do

problema

M(vk) =wk

Dβ_v

k(x) = 0, |β|1, x∈Sλ2

(1.21)

1.5 Demonstração do teorema #

0 =

R0λ2

Luvk dx=

R0λ2

uM vk dx=

R0λ2

uwk dx.

Aplicando o limite temos

0 = lim

k→∞

R0λ2

uwk dx=

R0λ2

lim

k→∞uwk dx=

R0λ2

u2 dx.

Portanto u≡0 em R0λ2.

Usaremos o mesmo raciocínio para a região Rλ1λ3 que tem como fronteira

∂Rλ1λ3 =Sλ1∪Sλ3. ComoSλ1 ⊂R0λ2, tantoucomo suas derivadas de primeira

ordem são nulas sobre Sλ1, assim se {wk} é uma sequência de funções em W

convergindo uniformemente parauemRλ1λ3. Para cadak , existe solução para

o problema

M(vk) =wk

Dβ_v

k(x) = 0, |β|1, x∈Sλ3

(1.22)

em Rλ1λ3 de onde obtemos que

0 = lim

k→∞

Rλ1λ3

uwk dx =

Rλ1λ3

lim

k→∞uwk dx=

Rλ1λ3

u2 dx.

Portanto u≡0 em Rλ1λ3.

Repetindo o processo nitas vezes obtemosu≡0emR0¯λ o que completa a

demonstração do teorema.

Demonstração do Lema 1.2: Para λ, µ com 0 λ < µ ¯λ,

suponhamos u, v : Rλμ −→ R funções com todas as derivadas necessárias

para nossa discussão e tais que

Dβ_{u(x) = 0, |β|1, x∈S} λ,

Dβv(x) = 0, |β|1, x∈Sμ.

Da seção 1.3 vem que

Rλµ

v(Lu)dx=

Rλµ

M(v)u dx (1.23)

1.5 Demonstração do teorema $

em Rλμ é necessário que possamos resolver o problema de Cauchy adjunto

M v =w em Rλμ

Dβ_{v(x) = 0, |β|1, x∈S} μ

(1.24)

para uma classe de funções wque seja densa em C(Rλμ)e desde que possamos

garantir que todas as soluções v = v(w) estejam numa mesma vizinhança

contendo Rλμ, independente de w.

Inicialmente, escolhemos w do tipo

wθ(x) = exp(θ·x),

sendoθ∈Rn com_|θ|1. Aquiθ·xé o produto interno entreθ ex. A escolha

das funçõeswθ como acima obedece duas razões: Primeiro, o conjunto de suas

combinações lineares, ao qual chamaremos W, é denso em C(Ω), observemos

que cada monômio xα _{= x}α1

1 · · ·xαnn pode ser aproximado uniformemente em

cada subconjunto limitado por combinações lineares de wθ, |θ|1, a saber,

xα = lim

ξ→0

n

k=1

exkξk −1

ξk

αk

e segundo, que a família {wθ(x), |θ|1} é uma família de funções analíticas

parametrizada no compacto {θ ∈Rn_{; |θ|}1}.

O problema de Cauchy adjunto para esse caso é

M v = exp(θ·x) em Ω

Dβ_{v(x) = 0, |β|1, x∈S} μ.

(1.25)

Observe que:

1) Os coecientes do operador M são analíticos.

2) A parte principal de M é a mesma de L.

3) De 2) segue que Sμ é não característica em relação ao operador M.

As três propriedades acima não dependem do espaço onde está mergulhada

1.5 Demonstração do teorema %

variáveis x, θ, µ. Os dados iniciais Dβ_{v(x) = 0, |β|1 valem no conjunto}

{(x, θ, µ)∈R2n+1_{; x∈Sμ, |θ|}1, 0µλ}.¯

Pelo Teorema de Cauchy-Kovalevsky existe uma vizinhança de Sμ em

Rn_×Rn_×R onde o problema (1.25) tem uma solução _{v(x, θ, µ)}. Projetando tal vizinhança em Rn, obtemos solução para todas as _wθ(x)com _|θ|1numa

δ-vizinhança de Sμ em Rn.

Usando a linearidade do operadorM podemos obter soluções v para todas

as combinações lineares de wθ(x) com |θ|1, nessa mesma δ-vizinhança.

Logo existe δ > 0 tal que para quaisquer θ, µ com |θ| 1 e 0µλ¯, a

solução v(x, θ, µ) está denida para todo xnuma δ-vizinhança de Sμ.

Usando a continuidade da deformação de S0 concluímos que existe ε > 0

tal que se os parâmetros λ, µcom 0λ < µ¯λ satiszerem 0< µ−λ < ε,

então existe solução v para o problema

M v = exp(θ·x) em R_λμ

Dβ_{v(x) = 0, |β|1, x∈S} μ.

(1.26)

e a demonstração do lema está completa.

&

Capítulo 2

Uma Aplicação do Teorema

de Holmgren

Na primeira seção desse capítulo apresentaremos o conceito de controlabilidade aproximada para um operador linear de ordem dois. Na seção seguinte aplicaremos o teorema de Holmgren em um problema de controle para equação de onda.

2.1 Noções de controlabilidade

Sejam Ω⊂Rn um domínio e _Lo operador

Lu=utt− n

i,j

∂ ∂xj

aij(x)

∂u ∂xi

+c(x)u,

onde

n

i,j

aij(x)ξiξj > a0|ξ|2, x∈Ω, ξ ∈Rn, a0 >0, c(x)0, ∀ x∈Ω.

Considere o sistema

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lu= 0 em Ω×R+

u(·,0) =u0, ut(·,0) =u1 em Ω

Bu=h em ∂Ω×R+

(2.1)

onde (u0, u1)∈H1×H2 =H, h∈ B, H1, H2 eB são espaços de Hilbert. B é

2.1 Noções de controlabilidade '

Agora suponhamos que para todo (u0, u1) ∈ H, para todo h ∈ B, exista

solução u de (2.1) tal que (u(·, t), ut(·, t))∈ H para todo t ∈ R+ e para cada

T >0 existe K =K(T)>0 tal que

(u(·, t), ut(·, t))HK(hB +(u0, u1)H)

para todo t ∈(0, T).

Denição 2.1. Dizemos que (2.1) é controlável aproximadamente no instante

T >0 se dados ε >0, (u0, u1)∈ H, (v0, v1)∈ H existe controle h∈ B tal que

a solução de (2.1) com dados (u0, u1) e h satisfaz a desigualdade

(u(·, T), ut(·, T))−(v0, v1)H < ε.

Observemos que se (2.1) é controlável aproximadamente em T > 0 e

u0 = u1 = 0 temos para todo ε > 0, para todo (v0, v1) ∈ H existe h ∈ B

tal que a solução de

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lu= 0 em Ω×R+

u(·,0) =ut(·,0) = 0 em Ω

Bu=h em ∂Ω×R+

(2.2)

satisfaz

(u(·, T), ut(·, T))−(v0, v1)H < ε.

Consideremos o operador linear limitado

ST :B −→ H

h−→ST(h) = (uh(·, T), uht(·, T))

onde uh _{é solução de (2.2).}

Teorema 2.1. O sistema (2.1) é controlável aproximadamente em T > 0 se,

e somente se,

H=Im(ST)

H

.

Demonstração: (=⇒) Imediato da denição.

2.1 Noções de controlabilidade !

resolvamos o problema

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lw = 0 em Ω×(0, T)

w(·,0) =u0, wt(·,0) = u1 em Ω

Bw=z em ∂Ω×(0, T)

. (2.3)

Fixemos (w(·, T), wt(·, T))∈ H. Da hipótese, existem h1, h2 ∈ B tais que

ST(h1)−(v0, v1)H<

ε

2

e

ST(h2)−(w(·, T), wt(·, T))H <

ε

2.

Se ST(h1) = (w1(·, T), w1t(·, T))eST(h2) = (w2(·, T), w2t(·, T)), então w1 ew2

são soluções de

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lw1 = 0 em Ω×(0, T)

w1 =w1t= 0 em Ω

Bw1 =h1 em ∂Ω×(0, T)

(2.4)

e _⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lw2 = 0 em Ω×(0, T)

w2 =w2t= 0 em Ω

Bw2 =h2 em ∂Ω×(0, T)

(2.5)

respectivamente. Denamos agora

W =w+w1−w2.

Assim W é solução do problema

⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

LW = 0 em Ω×(0, T)

W(·,0) =u0, Wt(·,0) =u1 em Ω

BW =z+h1−h2 em ∂Ω×(0, T)

(2.6)

e valem as igualdades

(W(·, T), Wt(·, T)) = (w(·, T), wt(·, T)) + (w1(·, T), w1t(·, T))−(w2(·, T), w2t(·, T))

2.1 Noções de controlabilidade !

Logo

(W(·, T), Wt(·, T))−(v0, v1) = (w(·, T), wt(·, T))−ST(h2) +ST(h1)−(v0, v1).

De onde segue que

(W(·, T), Wt(·, T))−(v0, v1)H

ST(h1)−(v0, v1)H+ST(h2)−(w(·, T), wt(·, T))H

ε

2 +

ε

2 =ε.

Portanto existe h =z+h1−h2 ∈ B tal que a solução de ⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

LW = 0 em Ω×(0, T)

W(·,0) =u0, Wt(·,0) =u1 em Ω

BW =h em ∂Ω×(0, T)

(2.7)

satisfaz a desigualdade

(W(·, T), Wt(·, T))−(v0, v1)H< ε,

como queríamos.

Do Teorema acima vemos que a denição de controlabilidade aproximada é equivalente à

Denição 2.2. O sistema (2.1) é controlável aproximadamente no instante

T >0 se para todoε >0, para todo(v0, v1)∈ H existe h∈ B tal que a solução

u de _⎧

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎩

Lu= 0 em Ω×(0, T)

u(·,0) =ut(·,0) = 0 em Ω

Bu=h em ∂Ω×(0, T)

(2.8)

satisfaz

(u(·, T), ut(·, T))−(v0, v1)H < ε.

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação

da Onda

Ilustraremos o conceito de controlabilidade aproximada para equação de onda num domínio circular do plano R2. Mostraremos a utilidade do Teorema de Holmgren no estudo desses problemas.

2.2.1 Formulação do Problema

Considereemos o sistema

⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_u

∂t2 −

∂2_u

∂x2 −

∂2_u

∂y2 = 0 em Ω×R +

u(·,0) = 0, ut(·,0) = 0 em Ω

∂u

∂n =h em ∂Ω×R

+

(2.9)

onde

• Ω ={(x, y)∈R2_{; x}2_+y2 _{< r}2_};

• n=n(x, y, t) é vetor normal unitário ao cilindro ∂Ω×R+.

Figura 2.1

Seja

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !!

Para todo (w, v)∈H temos

v2

L2_(Ω)+

∂w ∂x 2

L2_(Ω)

+ ∂w ∂y 2

L2_(Ω)

<∞.

Denamos

E(w, v) = v2_L2_(Ω)+

∂w ∂x 2

L2_(Ω)

+ ∂w ∂y 2

L2_(Ω)

.

A relação ∼ denida em H por

(w, v)∼(z, y)⇐⇒ E(z−w, y−v) = 0

é uma relação de equivalência em H.

Denotemos [w, v] a classe de equivalência de (w, v) e por HE o espaço

quociente H/∼.

Em HE denimos o produto interno

, HE :HE ×HE −→R

por

[w, v],[z, y]

HE =

Ω

vy+∇w· ∇z

dxdy. (2.10)

HE, , HE

é um espaço de Hilbert (ver apêndice A). A norma proveniente do produto interno

HE :HE −→R

é dada por

(w, v)HE =

E(w, v).

Aqui não faremos distinção entre H e HE identicando o par

(w, v) ∈ H com sua classe de equivalência [w, v], ver apêndice. Daqui para

frente o espaço dos estados nais H será HE, isto é, H = HE. Também

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !"

Consideremos novamente o operador linear limitado

ST :L2(∂Ω×(0, T))−→HE

h−→ST(h) = (uh(·, T), uht(·, T)),

onde uh _{é solução do problema}

⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_u

∂t2 −

∂2_u

∂x2 −

∂2_u

∂y2 = 0 em Ω×(0, T)

u(·,0) = 0, ut(·,0) = 0 em Ω

∂u

∂n =h em ∂Ω×(0, T).

Im(ST) é subespaço de HE, assim de acordo com o teorema 2.1, o sistema

(2.9) será controlável aproximadamente no instante T > 0 se, e somente se,

Im(ST) é densa em HE com a topologia induzida pela norma · HE.

Os próximos resultados nos fornecerão uma condição necessária e suciente para a controlabilidade aproximada do problema (2.9).

Proposição 2.1. Para todo subconjunto M ∈= ∅ de um espaço de Hilbert H,

o span de M é denso em H se, e somente se, M⊥_={0}.

Detalhes da demonstração em [5]

Corolário 2.1. Seja M subespaço de um espaço de Hilbert H, então M é

denso em H se, e somente se, M⊥ _={0}.

Proposição 2.2. Sejam (v1, v2) ∈ HE e v ∈ H1(Ω × (0, T)) solução

fraca de

⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_v

∂t2 −

∂2_v

∂x2 −

∂2_v

∂y2 = 0 em Ω×(0, T)

v(·, T) =v1, vt(·, T) =v2 em Ω

∂v

∂n = 0 em ∂Ω×(0, T)

(2.11)

então (v1, v2)⊥ Im(ST) se, e somente se,

∂v

∂t ≡0 em ∂Ω×(0, T).

Demonstração: Para h ∈ L2_{(∂Ω×(0, T)), seja u (= u}h_{) solução de (2.9).}

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !#

0 =

Ω×(0,T)

∂v ∂t

∂2_u

∂t2 −

∂2_u

∂x2 −

∂2_u

∂y2

+ ∂v

∂x

∂2_u

∂t∂x − ∂2_u

∂x∂t + ∂u ∂x

∂2_v

∂t∂x− ∂2_v

∂x∂t

+∂v

∂y

∂2_u

∂t∂y − ∂2_u

∂y∂t + ∂u ∂y

∂2_v

∂t∂y − ∂2_v

∂y∂t

+ ∂u

∂t

∂2_v

∂t2 −

∂2_v

∂x2 −

∂2_v

∂y2

dxdydt=

Ω×(0,T)

div ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −∂v ∂t ∂u ∂x − ∂u ∂t ∂v ∂x −∂v ∂t ∂u ∂y − ∂u ∂t ∂v ∂y ∂v ∂t ∂u ∂t + ∂v ∂x + ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂u ∂y ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ dxdydt.

Do teorema da divergência segue que

0 = Ω ∂v ∂t ∂u ∂t + ∂v ∂x ∂u ∂x + ∂v ∂y ∂u ∂y

t=T

− ∂v ∂t ∂u ∂t + ∂v ∂x ∂u ∂x + ∂v ∂y ∂u ∂y t=0 dxdy +

∂Ω×(0,T)

−∂v ∂t ∂u ∂n − ∂u ∂t ∂v ∂ndS.

Observando as condições deuemt = 0e as condições de fronteira devobtemos

∂Ω×(0,T)

∂v

∂th dS =

Ω ∂u ∂t ∂v ∂t + ∂u ∂x ∂v ∂x + ∂u ∂y ∂v ∂y

t=T

dxdy,

ou seja,

∂Ω×(0,T)

∂v

∂th dS =

uh(·, T), uh_t(·, T)

,(v1, v2)

HE.

de onde segue o resultado.

Do corolário 2.1 e da proposição 2.2 segue que o sistema (2.9) não será controlável aproximadamente em T > 0 se, e somente se, existir estado

terminal

v(·, T), vt(·, T)

= (v1, v2) ∈ HE com norma não nula tal que a

solução v de

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_v

∂t2 −

∂2_v

∂x2 −

∂2_v

∂y2 = 0 em Ω×(0, T)

v(·, T) = v1, vt(·, T) =v2 em Ω

∂v

∂n = 0 em ∂Ω×(0, T)

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !$

satisfaz a condição

∂v

∂t ≡0 em ∂Ω×(0, T).

2.2.2 Resolução do problema para

T

₂

r

Apresentaremos agora o resultado quando T 2r.

Teorema 2.2. O problema

⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_u

∂t2 −

∂2_u

∂x2 −

∂2_u

∂y2 = 0 em Ω×R

+

u(·,0) = 0, ut(·,0) = 0 em Ω

∂u

∂n =h em ∂Ω×R

+

(2.13)

é controlável aproximadamente no instante T 2r nos espaços HE e

L2_{(∂Ω×(0, T)).}

Demonstração: Analisemos o problema de controle para o tempo T = 2r

(=diâmetro de Ω). O comportamento dos cones característicos para T = 2r é

descrito pela Figura 2.2.

Figura 2.2

Suponhamos que o problema não seja controlável aproximadamente. En-tão, pela proposição 2.2, existe estado nal(v1, v2)∈HE com norma não nula

tal que a solução v da equação ∂2_v

∂t2 −

∂2_v

∂x2 −

∂2_v

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !%

com estados nais (v1, v2) satisfazendo as condições

• ∂v

∂t ≡0 em ∂Ω×(0, T); • ∂v

∂n = 0 em ∂Ω×(0, T).

Assumindo que v ∈ C3_{(Ω×(0, T)) e escrevendo U =} ∂v

∂t vemos que U

satisfaz o problema de Cauchy

⎧

⎨

⎩

∂2_U

∂t2 −

∂2_U

∂x2 −

∂2_U

∂y2 = 0

DβU = 0, |β|1em ∂Ω×(0, T)

. (2.15)

Observemos que a superfície inicial do problema acima é o cilindro

∂Ω×(0, T)que pode ser descrito por

C ={(x, y, t)∈Rn_{; x}2_+y2 _=r2_{, 0}t T}.

Tal superfície é não característica em relação ao operador

L= ∂

2

∂t2 −

∂2

∂x2 −

∂2

∂y2.

O teorema de Holmgren pode então ser utilizado no estudo do problema (2.15). O Teorema de Holmgren garante que U ≡ 0 numa região que pode ser

preenchida com superfícies não características. Armamos que U ≡ 0 na

regiãoG compreendida entre ∂Ω×(0, T) e os cones característicos emanando

da base e do topo do cilindro Ω×[0, T] em direção ao seu interior. Podemos

obter tal região preenchendo o triângulo de vértices(0, r,0), (0, r,2r)e(0,0, r)

de maneira análoga como feito no Exemplo 1.2 e então rotacionando as curvas obtidas em torno do eixo t. Ver Figura 2.3.

Assim ∂v

∂t ≡ 0 em alguma vizinhança de cada ponto (x, y, r)

(r = T₂ = 1₂diam(Ω)) com 0 < x2 _+y2 _r2_{. De onde segue que} ∂2v

∂t2 ≡ 0

a.e. para t=r.

Pondo v(x, y, r) = ˜v(x, y), temos

∂2_v˜

∂x2 +

∂2_v˜

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !&

Figura 2.3

˜

v é solução do problema elíptico

⎧

⎪ ⎨

⎪ ⎩

∂2_˜v

∂x2 +

∂2_v˜

∂y2 = 0 em Ω

∂v˜

∂n = 0 em ∂Ω

(2.16)

o qual tem solução v˜≡const.

Assim

∂v

∂t(x, y, r) = ∂v

∂x(x, y, r) = ∂v

∂y(x, y, r)≡0.

Logo

E(v(x, y, r), vt(x, y, r)) = 0.

Da conservação de energia do sistema vem

E(v(x, y,2r), vt(x, y,2r)) = 0,

acarretando

(v1, v2)HE = 0,

o que é um absurdo.

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda !'

ParaT > 2r o comportamento dos cones característicos é como mostrado

na Figura 2.4.

Figura 2.4

Procedendo de modo análogo obtemos a controlabilidade aproximada para

este caso.

Observemos que assumimos v ∈ C3_{(Ω×(0, T)). No caso de v ser solução}

fraca do problema (2.13) o resultado também é válido e se baseia no enunciado acima já que solução fraca é limite de soluções C∞_{. Detalhes em [9].}

2.2.3 Resolução do problema para

T <

₂

r

Quando T <2r, o resultado anterior não é valido como mostra o seguinte

teorema.

Teorema 2.3. O problema

⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∂2_u

∂t2 −

∂2_u

∂x2 −

∂2_u

∂y2 = 0 em Ω×R

+

u(·,0) = 0, ut(·,0) = 0 em Ω

∂u

∂n =h em ∂Ω×R

+

(2.17)

não é controlável aproximadamente no instante T < 2r nos espaços HE e

2.2 Controlabilidade Aproximada para a Equação da Onda "

Demonstração: Para T < 2r, os cones característicos se intersectam

formando um disco o qual chamaremos K, como mostra a gura 2.5.

Sejam v1 = v(x, y,T₂) e v2 = vt(x, y,T₂) estados com v1, v2 ∈ C∞(Ω),

(v1, v2)HE ∈= 0 e v2 se anulando fora do compacto K.

Fazendo este "estado inicial" evoluir nos sentidos crescente e decrescente do tempo via equação (2.14), que é reversível no tempo, obtemos solução v(x, y, t)

de (2.14) satisfazendo

v(x, y, t)≡vt(x, y, t)≡0em ∂Ω×(0, T).

Da conservação de energia do sistema segue que

v(·, T), vt(·, T)HE ∈= 0.

Portanto o sistema não é aproximadamente controlável para T <2r.

Figura 2.5

"

Apêndice A

O Espaço dos Estados com Energia

Finita

Sejam Ωum domínio limitado do Rn e

H =H1(Ω)×L2(Ω)

ondeH1 _eL2_{são os espaços usuais de Sobolev de ordem 1e0respectivamente.}

Para todo (w, v)∈H temos

v2

L2_(Ω)+

n

i=1

∂w ∂xi

2

L2_(Ω)

<∞.

Denimos

E(w, v) = v2_L2_(Ω)+

n

i=1

∂w ∂xi

2

L2_(Ω)

.

Proposição A.1. A relação ∼ denida em H por

(w, v)∼(z, y)⇐⇒ E(z−w, y−v) = 0

é uma relação de equivalência em H.

Demonstração: A simetria e a reexidade são óbvias. Vejamos a transitividade. Sejam (w, v), (z, y), (β, α)∈H tais que

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "

Temos

α−y2

L2_(Ω)+

n i=1 ∂β ∂xi − ∂z ∂xi 2

L2_(Ω)

(α−vL2_(Ω)+v−y_L2_(Ω))2+

n i=1 ∂β ∂xi − ∂w ∂xi

L2_(Ω)

+ ∂w ∂xi − ∂z ∂xi

L2_(Ω)

2

2(α−v2_L2_(Ω)+v−y2_L2_(Ω)) + 2

n i=1 ∂β ∂xi − ∂w ∂xi 2

L2_(Ω)

+ ∂w ∂xi − ∂z ∂xi 2

L2_(Ω)

=

2

α−v2_L2_(Ω)+

n i=1 ∂β ∂xi − ∂w ∂xi 2

L2_(Ω)

+ 2

v−y2_L2_(Ω)+

n i=1 ∂w ∂xi − ∂z ∂xi 2

L2_(Ω)

=

2E(β−w, α−v) + 2E(w−z, v−y) = 0

pois

(z, y)∼(w, v) =⇒ E(w−z, v−y) = 0 (w, v)∼(β, α) =⇒ E(β−w, α−v) = 0 .

Denotemos [w, v] a classe de equivalência de (w, v) e por HE o espaço

quociente H/∼.

Lema A.1. Se β ∈H1_{(Ω) é tal que} ∂β

∂xi

= 0 a.e. em Ω, i= 1, . . . , n, então β

é constante em Ω.

Demonstração: A desigualdade de Poincaré-Wirtinger nos dá

β−β¯ L2_(Ω) C∇β_L2_(Ω) = 0,

logo

β = ¯β = 1

|Ω|

Ω

β dx a.e.

Proposição A.2. HE é um espaço vetorial real, onde as operações são denidas

por:

• [w, v] + [z, y] =: [w+z, v+y],

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "!

e o vetor nulo é classe [1,0], onde 1 denota a função constante igual a 1 em Ω.

Demonstração: Vejamos que a adição está bem denida. Sejam

[w, v],[z, y]

=

[w1, v1],[z1, y1]

. Veriquemos a validade de

[w, v] + [z, y] = [w1, v1] + [z1, y1],

isto é,

[w+z, v+y] = [w1+z1, v1 +y1]. (A.1)

Temos

[w1, v1] = [w, v]⇐⇒(w, v)∼(w1, v1)⇐⇒ E(w−w1, v−v1) = 0

⇐⇒ v−v1L2_(Ω)= 0,

∂w ∂xi

− ∂w1 ∂xi

L2_(Ω)

= 0, i= 1, . . . , n. (A.2)

Analogamente

y−y1L2_(Ω) = 0,

∂z ∂xi

− ∂z1 ∂xi

L2_(Ω)

= 0, i= 1, . . . , n. (A.3)

Agora veja que (A.1) vale se, e somente se,

(v1+y1)−(v+y)2L2_(Ω)+

n i=1 ∂ ∂xi

(w1+z1)−

∂ ∂xi

(w+z)

2

L2_(Ω)

= 0. (A.4)

Além disso segue de (A.2) e (A.3) que

(v1+y1) + (v+y)2L2_(Ω) 2(v₁−v2_L2_(Ω)) +y₁−y2_L2_(Ω)) = 0,

∂ ∂xi

(w1+z1)−

∂ ∂xi

(w+z)

2

L2_(Ω) 2 ∂w1 ∂xi − ∂w ∂xi 2

L2_(Ω)

+ ∂z1 ∂xi − ∂z ∂xi 2

L2_(Ω)

= 0,

com i= 1, . . . , n por (A.2) e (A.3).

Logo vale (A.4). Portanto a soma denida em HE está bem denida.

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita ""

Seja[β, α]∈HE tal que

[β, α] + [w, v] = [w, v], ∀[w, v]∈HE.

Logo

[w+β, v+α] = [w, v],

isto é,

(w+β, v+α)∼(w, v).

Assim E =

(w+β)−w,(v+α)−v

= 0, ou seja, E(β, α) = 0. Logo

α2

L2_(Ω)+

n i=1 ∂β ∂xi 2

L2_(Ω)

= 0.

Portanto α= 0, ∂β ∂xi

= 0 a.e. em Ω, i= 1, . . . , n.

Segue do Lema A.1 que existe λ ∈ R tal que _{β = λ} em _Ω. Logo

(β, α) = (λ,0), mas(λ,0)∼(1,0), ou seja, [λ,0] = [1,0]. Portanto [β, α] = [1,0].

As demais propriedades de espaço vetorial podem ser vericadas sem maiores

diculdades.

Denição A.1. Em HE denimos o produto interno

, E :HE×HE −→R

por

[w, v],[z, y]

=

Ω

vy+∇w· ∇y

dx. (A.5)

Vejamos que a função , E está bem denida.

Suponha

[w, v],[z, y]

=

[w1, v1],[z1, y1]

emHE×HE. Segue que[w, v] =

[w1, v1]e [z, y] = [z1, y1], logo

v−v12L2_(Ω) =y−y₁2_L2_(Ω) =

∂w1 ∂xi − ∂w ∂xi 2

L2_(Ω)

= ∂z1 ∂xi − ∂z ∂xi 2

L2_(Ω)

= 0, i= 1, . . . , n.

Assim

v =v1, y =y1,

∂w1

∂xi

= ∂w

∂xi

, ∂z1 ∂xi

= ∂z

∂xi

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "#

Portanto

v1y1+∇w1· ∇z1 =vy+∇w· ∇z a.e. em Ω,

de onde segue que

Ω

v1y1+∇w1· ∇z1

dx=

Ω

vy+∇w· ∇z

dx,

ou seja,

[w, v],[z, y]

E =

[w1, v1],[z1, y1]

E.

Proposição A.3. A função , E denida por (A.5) é um produto interno

em HE.

Demonstração: As linearidades são de vericação imediata. Vejamos:

[w, v],[w, v]

E = 0 =⇒[w, v] = [1,0].

De fato,

Ω

v2+∇w

2

dx= 0 =⇒v = 0 a.e., ∂w

∂xi

= 0 a.e. i= 1, . . . , n.

Logo, como já observado, w=λ=const a.e. em Ω. Assim

[w, v] = [λ,0] = [1,0].

A norma proveniente deste produto interno é dada por

[w, v]

E =

[w, v],[w, v]

E =

Ω

v2+∇w 2 dx 1₂ .

Nosso objetivo agora é mostrar que

HE, , E

é um espaço de Hilbert. O espaço H = H1_{(Ω) ×L}2_{(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto}

interno.

(w, v),(z, y)

H =w, z H1(Ω)+v, y L2(Ω).

Em H o subespaço M =

(1,0)

, gerado pelo vetor (1,0) é um subespaço

fechado pois tem dimensão um. A relação ≈ denida em H por

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "$

é uma relação de equivalência e o espaço quociente H/ ≈ é um espaço de

Banach com norma

[w, v]

H/≈ =dist

(w, v), M

= inf (z, y)

H; (z, y)∈

[w, v]!

. (A.6)

Veja [2]páginas 8-9.

Observemos inicialmente que para todo (w, v)∈H tem-se

[w, v]

= [w, v]. (A.7)

Basta ver que (z, y)∼(w, v)⇐⇒(z, y)≈(w, v). De fato,

(z, y)∼(w, v)⇐⇒

⎧

⎪ ⎨

⎪ ⎩

v−yL2_(Ω)= 0

∂w ∂xi

− ∂z ∂xi

L2_(Ω)

= 0 i= 1, . . . , n

⇐⇒

⎧

⎨

⎩

v−y= 0 a.e. em Ω

∂ ∂xi

(w−z) = 0, i= 1, . . . , n a.e. em Ω

⇐⇒

v =y a.e. em Ω

w−z =const em Ω

⇐⇒(w, v) = (z+const, y) = (z, y) +const(1,0)

⇐⇒(w, v)−(z, y)∈M ⇐⇒(z, y)≈(w, v).

De (A.7) vemos que vale a seguinte igualdade

HE =H/≈.

No entanto as topologias de

HE, · E

e

H/≈, · H/≈

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "%

De (A.6) temos

[w, v] 2

H/≈ = inf

(w, v) +λ(0,1) 2

H; λ∈R

!

= inf"

w+λ2

H1_(Ω)+v2_L2_(Ω); λ∈R

#

= inf"

w+λ2

L2_(Ω)+v2_L2_(Ω)+

Ω ∇w 2

dx; λ∈R#

=$inf

λ∈Rw+λ 2

L2_(Ω)

%

+v2

L2_(Ω)+

Ω ∇w 2 dx

w+ ¯w2_L2_(Ω)+v2_L2_(Ω)+

Ω ∇w 2

dx, w¯ = 1

|Ω|

Ω

w dx.

Da desigualdade de Poincaré-Wirtinger obtemos

[w, v] 2 H/≈ K(Ω) Ω ∇w 2

dx+v2_L2_(Ω)+

Ω ∇w 2 dx

K(Ω) + 1

v2

L2_(Ω)+

Ω ∇w 2 dx . Portanto

[w, v]

H/≈ C(Ω)

[w, v]

E.

Temos provado que existe C(Ω)>0 tal que

[w, v]

H/≈C(Ω)

[w, v]

E (A.8)

para todo (w, v)∈H.

Teorema A.1. Seja Ω ⊂ Rn um domínio limitado com a propriedade do prolongamento. O espaço HE com a norma proveniente de , E é um espaço

de Hilbert.

Demonstração: Seja

[wn, vn]

∞

n=1 ⊂ HE uma sequência de Cauchy. De

(A.8) vemos que $

[wn, vn]

%∞

n=1 ⊂H/≈ é de Cauchy em H/≈. Logo existe

(w, v)∈H tal que

[wn, vn]

−→

[w, v]

em H/≈.

Seja$

[wnk, vnk] %∞

k=1 uma subsequencia tal que

[wnk, vnk]

−

[w, v]

H/≈<

1

2k, k= 1,2, . . . .

∴ inf

λ∈R

(w_nk−w, v_nk −v)−λ(1,0)

H1_(Ω)×L2_(Ω)

!

< 1

Apêndice A O Espaço dos Estados com Energia Finita "&

Para cadak = 1,2, . . . escolha λk ∈R tal que

(w_nk −w, v_nk −v)−λ_k(1,0)

H1_(Ω)×L2_(Ω) <

1 2k.

Portanto

(w_nk −λ_k, v_nk)−(w, v) 2

H1_(Ω)×L2_(Ω)<

1 2k

2

(A.9) para todo k = 1,2, . . . . Usando

Ω

v2 dx+

Ω

∇w

2

dx(w, v)

H2_(Ω)×L2_(Ω),

obtemos

vnk−v 2

L2_(Ω)+

Ω

∇(w_nk−w) 2

dx(w_nk−λ_k, v_nk)−(w, v) 2

H1_(Ω)×L2_(Ω) <

1 2k

2

,

ou seja,

[w_nk, v_nk]−[w, v]

E

1

2k, k= 1,2, . . . .

Assim,

[wn, vn]

∞

n=1 possui subsequência convergente em HE. Logo a própria

"'

Referências Bibliográcas

[1] R. Courant, D. Hilbert, Parcial Dierential Equations, Methods of Math-ematical Physics vol. 2, Interscience, New York, 1962.

[2] S. Goldberg, Unbounded Linear Operator, Theory and Applications, Dover, New York 1985.

[3] F. John, Partial Dierential Equations, Applied Mathematical Sciences vol. 1, Springer-Verlag, New York, 1981.

[4] F. John, L. Bers, M. Schechter, Partial Dierential Equations, Lectures In Applied Mathematics, vol. 3, John Wiley and Sons, New York, 1964. [5] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis With Applications, John

Wiley and Sons, New York, 1978.

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[7] M. Renardy, R. C. Rogers, An Introduction to Partial Dierential Equations, Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2004.

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[9] D. L. Russel, Boundary Value Control ofthe Higer-Dimensional Wave Equation, SIAM J. Control, 9, pp. 29-42, 1971.

[10] D. L. Russel, Controllability and Stabilizability Theory for Linear Partial Dierential Equations: Recent Progress and Open Questions, SIAM Review, vol 20, N. 4, pp. 639-739, 1978.

[11] J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diusion Equations, Springer-Verlag, New York, 1983.