Instabilidade e rigidez de hipersuperfícies e um teorema de unicidade em variedades semiriemannianas

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DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

KELTON SILVA BEZERA

INSTABILIDADE E RIGIDEZ DE HIPERSUPERF´ICIES E UM TEOREMA DE UNICIDADE,

EM VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS

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INSTABILIDADE E RIGIDEZ DE HIPERSUPERF´ICIES E UM TEOREMA DE UNICIDADE

EM VARIEDADES SEMI-RIEMANNIANAS

Tese apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ma-temática. Área de concentra¸cão: Geometria Diferencial.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matemática

B469i Bezerra, Kelton Silva

Instabilidade e rigidez de hipersuperfícies e um teorema de unicidade em variedades semi-riemannianas / Kelton Silva Bezerra. – 2015.

58 f.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2015.

Área de Concentração: Geometria Diferencial Orientação: Prof. Dr. Antonio Caminha Muniz Neto.

1. Cones mínimos. 2. Métricas quase-Einstein. 3. Espaço de Sitter. I. Título.

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Muitas pessoas contribu´ıram, direta ou indiretamente, para a conclus˜ao deste trabalho. Desta forma, seguem abaixo meus sinceros agradecimentos.

Primeiramente agrade¸co à minha fam´ılia: aos meus pais Joaquim e Clara, à minha irmã Keila e ao meu saudoso irmão Kelson.

Agrade¸co ao meu orientador Antonio Caminha pelo acompanhamento durante o doutorado e aos professores Ernani Ribeiro e C´ıcero Aquino por terem participado deste trabalhho como co-orientadores.

Durante os cursos de mestrado e doutorado na UFC tive a oportunidade de conviver com muitas pessoas e acabei fazendo várias amizades. Gostaria de destacar os amigos Wilson, Rondinele, Tiarlos, Damião, Disson, Kelson, Rodrigo, Adriano, Eraldo, Leandro, Kristian, Davi, Chaves, João Vitor e Nazareno.

Ao Liduino pelas noites em que suportou nossas discuss˜oes jogando uma sim-ples sinuca.

A Andréa Dantas e Jessyca, por toda sua competência e prontidão na as-sistência a todos os alunos da Pós-gradua¸cão;

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Este trabalho aborda três problemas em Geometria Diferencial. Primeiro, obtemos uma extensão, para o caso esférico, de um teorema devido a J. Simons sobre instabilidade de cones m´ınimos constru´ıdos sobre uma certa classe de subvariedades m´ınimas da esfera Euclidiana. Depois, classificamos as estruturas quasi-Einstein existentes sobre o produto RiemannianoHn_×R_{. Por fim, obtemos um teorema de rigidez para hipersuperf´ıcies}

tipo-espa¸co completas do tipo-espa¸co de De Sitter, sob certas condi¸cões sobre as curvaturas média e escalar, além de uma condi¸cão de integrabilidade.

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Our aim in this work is threefold. First, we get an extension, to the spherical case, of a theorem due to J. Simons, which concerns instability of minimal cones constructed over a certain class of minimal submanifolds of the Euclidean sphere. Second, we classify the quasi-Einstein structures of the Riemannian product Hn_×R_{. Third, we get a rigidity}

theorem for complete hypersurfaces into the De Sitter space, under certain conditions on the mean and scalar curvatures.

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 CONES M´INIMOS INST ´AVEIS . . . 14

2.1 A f´ormula de Simons . . . 14

2.2 O problema de Sturm-Liouville . . . 16

2.3 Folhea¸c˜oes geradas por campos conformes fechados . . . 18

2.4 Instabilidade de CǫM . . . 25

2.5 Cones m´ınimos em produtos warped . . . 31

3 UM TEOREMA DE RIGIDEZ EM Sn+1 1 . . . 36

3.1 O espa¸co de De Sitter . . . 36

3.2 Hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co em Sn+1 1 . . . 37

3.3 Um teorema de umbilicidade . . . 41

4 M´ETRICAS QUASI-EINSTEIN EM Hn_×R _{. . . .} ₄₅

4.1 Generalidades sobre m´etricas quasi-Einstein . . . 45

4.2 M´etricas quasi-Einstein em Hn_×R _{. . . .} ₄₇

4.3 Prova do Teorema 4.1 . . . 51

5 CONCLUS ˜AO . . . 54

(10)

1 INTRODUC¸ ˜AO

Este trabalho divide-se em três partes. No cap´ıtulo 2 provamos uma extensão, para o caso esférico, de um resultado de J. Simons sobre instabilidade de uma certa classe de cones no espa¸co Euclidiano. No cap´ıtulo 3 provamos um teorema de unicidade de estruturas quasi-Einstein na variedadeHn_×R_{. Já no cap´ıtulo 4 provamos um resultado}

de rigidez para hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co no espa¸co de De Sitter.

Em 1968 J. Simons generalizou um resultado devido a Almgren (veja 1968 e 1966), mostrando que o cone sobre qualquer subvariedade m´ınima, fechada, não total-mente geodésica e de codimensão 1 em Sn _{é instável em rela¸cão a varia¸cões que fixam}

seu bordo para n _≤ 6. A limita¸cão sobre a dimensão parece ser ótima pois é poss´ıvel construir (veja o Teorema 6.1.2 de 1968) em S7 _{um cone sobre um produto de esferas}

que é localmente estável. Como consequência, J. Simons demonstra uma extensão, em dimensão no máximo 7, da regularidade de solu¸cões em codimensão 1 do problema de Plateu, e uma extensão, em dimensão no máximo 8, da conjectura de Bernstein.

SeMn_{é uma subvariedade imersa em}_Sn+k_{, então o cone Euclidiano}_CM _sobre M é a aplica¸cão

Φ :Mn_×_[0,_1] _→ _Rn+k+1

(p, t) _7→ tp. (1)

O cone ǫ-truncado sobre M, CǫM, é a mesma aplica¸cão, restrita a M ×[ǫ,1]. Geome-tricamente, faz-se cada pondo p de M percorrer uma por¸cão do segmento de reta que vai da origem de Rn+k+1 _até _{p. Segue da Proposi¸cão 6.1.1 de (1968) que, se} _M _{é uma}

subvariedade m´ınima e fechada de Sn+k_{, ent˜ao} _CM _{− {}₀_} _{´e uma subvariedade m´ınima}

imersa emRn+k+1_{. Al´em disso,} _CǫM _{´e uma subvariedade m´ınima e compacta de} Rn+k+1_,

com ∂(CǫM) =M _∪Mǫ, onde Mǫ denota o conjunto dos pontosǫp, parap_∈M.

A. Caminha estendeu esta no¸c˜ao (veja 2011) da seguinte forma: considere uma variedade Riemanniana Mn_c+k+1, com curvatura seccional constante c _∈R_{; suponha que}

M admite um campo conforme fechado ξ _∈ Γ(T M), com fator conforme ψξ; se ξ ₆= 0, sabe-se que a distribui¸cão D= [ξ]⊥ _{é integrável, com folhas totalmente umb´ılicas em} _M_; sejam Ξn+k _{uma folha de}_D_e_ϕ _:_Mn _→_Ξn+k _{uma imersão isométrica, onde}_M _{é fechada;} se Ψ denota o fluxo de _|ξ_ξ_|, a compacidade de M garante a existência de um ǫ >0 tal que Ψ está definido em [₋ǫ,0]_×ϕ(M), e a aplica¸cão

Φ :Mn_×_[₋_ǫ,_0] _→ _Mn+k+1

(p, t) _7→ Ψ(t, ϕ(p)) (2)

(11)

deξ, e denotada por CǫM.

No caso em que Mn_c+k+1 é um produto warped I _×f Fn+k, temos um campo conforme fechado natural sobreM, dado porξ= (f_◦πI)∂t, com fator conformeψξ=f′_◦_πI (cf. 1983, Proposi¸cão 7.35). Supondo f(0) = 1, temos que Ξ = _{0_{} ×}F, munido com a métrica induzida por M, é uma folha da distribui¸cão normal a ξ que é isométrica a F. Assim, podemos identificar uma imersãoϕ:Mn _→_Fn+k _{com a imersão}_{ϕ(p) = (0, ϕ(p)),}_e deMn_{para Ξ =}_{₀_}×_F_{. Uma vez que o fluxo de}_ξ/_|_ξ_|_{é dado por Ψ(t,}_{(x, p)) = (t}₊_{x, p),} temos Φ(p, t) = Ψ(t,ϕ(p)) = (t, ϕ(p)), isto é, o cone_e ǫ-truncado CǫM é dado pela imersão

Φ :Mn_×_[₋_ǫ,_0] _→ _I_× f Fn+k

(p, t) _7→ (t, ϕ(p)). (3)

Quando M = (₋1,_∞)_×t+1 Sn+1 a aplica¸c˜ao (t, p) 7→ (t + 1)p define uma

isometria entreM e_≈Rn+2_{− {}₀_} _{e, da´ı, o cone}_ǫ-truncado_CǫM _{sobre uma subvariedade}

Mn _{fechada e imersa em} _Sn+1 _{´e dado pela aplica¸c˜ao}

Φ :Mn_×_[₋_ǫ,_0] _→ _Rn+2

(p, t) _7→ (t+ 1)p. (4)

No Teorema 6.1.1 de (1968) ´e demonstrado que, se Mn _⊂ _Sn+1 _{´e m´ınima,}

fechada e não totalmente geodésica, então, para ǫ > 0 conveniente, o cone CǫM dado por (4) é instável em rela¸cão ao seu bordo, desde que n _≤ 5. Isto significa que CM não minimiza área para varia¸cões que preservam seu bordo.

Agora, vamos considerar a esfera Sn+1 _{como um equador de} Sn+2 _{em rela¸c˜ao}

ao p´olo norte N = (0, . . . ,0,1) _∈ Sn+2_{. Nesse contexo, vamos identificar o ponto} _x ₌

(x1, . . . , xn+2) ∈ Sn+1 com o ponto x = (x1, . . . , xn+2,0) ∈ Sn+2. Se tomarmos M =

(₋π₂,π₂)_×costSn+1, a aplica¸c˜ao (t, x)7→(cost)x+ (sint)N define uma isometria entreM e

Sn+2_{− {±}_N_}_{. Da´ı, o cone} _ǫ-truncado_CǫM _⊂Sn+2_{, constru´ıdo sobre uma hipersuperf´ıcie}

m´ınima e fechadaMn_⊂_Sn+1 _{´e dado por}

Φ :Mn_×_[₋_ǫ,_0] _→ _Sn+2

(x, t) _7→ (cost)x+ (sint)N. (5)

A aplica¸cão (5) é uma extensão natural, para o caso esférico, dos cones definidos em (1). No Cap´ıtulo 2, provamos o resultado a seguir

Teorema 1.1 Se Σ _⊂ S3 _{é um superf´ıcie m´ınima, fechada e não totalmente geodésica,}

ent˜ao, para 0 < ǫ < π₂ suficientemente pr´oximo de π₂, o cone ǫ-truncado CǫΣ _⊂ S4

(definido por (5)) é instável em rela¸cão ao seu bordo.

(12)

sólitons de Ricci são solu¸cões estacionárias do fluxo de Ricci; para mais detalhes, reco-mendamos o “survey” de (Cao, 2009) e as referências lá contidas. Por outro lado, uma das motiva¸cões para o estudo de métricas quasi-Einstein é sua rela¸cão direta com métricas Einstein que geram uma estrutura de produto warped para a variedade subjacente. (Para mais detalhes veja (2012) ou (2003)).

Em (2007), Besse prop˜oe que se determine sob quais condi¸c˜oes um produto warped Mn+m ₌ _Bn _×

u Fm satisfaz a equa¸c˜ao de Eintein Ricg = λg para uma certa constanteλ_∈R_{, onde} _g ₌_gB₊_u2_gF_{. Mais precisamente, o autor escreveu:}

“ Não obstante, produtos warped dão novos exemplos de variedades Eintein completas, e as equa¸cões de Einstein são bem interessantes”. [veja o cap´ıtulo 9 da página 265]

SeX,Y,V eW s˜ao campos de vetores tangentes aM, comX eY horizontais eU e V verticais, sabe-se (veja o corol´ario 43 de 1983) que

Ricg(X, Y) = RicB(X, Y)₋ m

uHessu(X, Y),

Ricg(X, V) = 0,

e

Ricg(V, W) = RicF(V, W)₋g(V, W)u#,

onde

u#=u−1∆u+m−1

u2 gB(∇u,∇u).

Uma consequˆencia ´e que temos Ricg =λg se, e somente se, a base B satisfaz

RicB₋ m

uHessu=λgB (6)

e a fibra F ´e Einstein, com constante de Einstein

µ=u∆u+ (m₋1)_|∇u_|2+λu2. (7)

Um fato interessante é que a equa¸cão (6) implica a equa¸cão (7) (veja, por exemplo, 2003). Assim, se queremos saber quando um produto warped é Einstein, é suficiente conhecermos as variedades que satisfazem a equa¸cão (6), as quais são conhecidas como variedades m-quasi-Einstein.

(13)

M não seja trivial, isto é, desde que u não seja constante. De fato, é provado em (Kim, 2003) que, seM é compacta e satisfaz (6) com λ_≤0, então ué constante.

As variedades de Einstein são exemplos triviais (fa¸ca u constante em (6)) de métricas quasi-Einstein. Por outro lado, se considerarmos o modelo warped R_×_et Rn−1 do espa¸co hiperbólico Hn _{e escolhermos} _{u(t, x) =}_et_{, então}

Ric₋m

uHessu=−(m+n−1)g,

o que nos dá um exemplo não trivial de métrica m-quasi-Einstein em Hn_.

No Cap´ıtulo 3, provamos o seguinte resultado de unicidade de estruturas quasi-Einstein emHn_×R_:

Teorema 1.2 Suponha que(Hn_×_R_{, g, u, λ)}_´e _m_{-quasi-Einstein. Ent˜ao, temos} _{u(x, t) =} e±αt _ou _{u(x, t) = cosh(αt}₊_a) _e _λ ₌ ₋_(n ₋₁₎_{, onde} _α ₌ p_(n₋_1)m₋1_{, para algum}

m_∈N_{, e} _a_∈R_.

Por fim, no Cap´ıtulo 4 n´os abordamos o problema de rigidez de hipersuperf´ıcies completas e n˜ao compactas em Sn+1

1 . Em (1977), Goddard conjecturou que

hipersu-perf´ıcies completas tipo-espa¸co do espa¸co de De Sitter, com curvatura média constante, seriam totalmente umb´ılicas. Desde então, muitos autores vêm estudando o problema. Em (1987), Akutagawa mostrou que a conjectura é verdadeira seH2 _<_4(n₋_1)/n2 _quando

n > 2, ou se H2 _≤ _{1 quando} _n _{= 2. No caso compacto, em (1988), Montiel provou ser}

verdadeira a conjectura sem limita¸cão sobre a curvatura média constanteH. Para o caso não compacto, Aquino e H. de Lima provaram recentemente, em (2014), que as únicas hipersuperf´ıcies completas, de curvatura média constante e imersas no espa¸co de De Sitter

Sn+1

1 , com imagem pela aplica¸c˜ao hiperb´olica de Gauss contida em uma hipersuperf´ıcie

totalmente umb´ılica deHn+1_{, s˜ao as totalmente umb´ılicas.}

Outros autores estudaram o mesmo problema para hipersuperf´ıcies de espa¸cos que n˜ao sejam, necessariamente,Sn+1

1 . Por exemplo, no Teorema 1.1 de (Camargo, 2011),

os autores mostraram que, se Σn _{´e uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co, completa, conexa,} imersa isometricamente noSteady State Space _Hn+1 _{e limitada a partir do infinito, ent˜ao}

Σn _{é um hiperplano de} _Hn+1_{, desde que a curvatura média (não necessariamente}

cons-tante) H seja menor ou igual a 1 e a fun¸c˜ao altura h de Σn _{tenha norma do gradiente} integr´avel.

Ainda em rela¸cão ao caso não compacto, na se¸cão 3.3 nós provamos um re-sultado de rigidez para hipersuperf´ıcies completas de Sn+1

1 , n ≥3, para o caso em que a

curvatura média H é limitada, a curvatura escalar é constante e menor que 1 e supondo, ainda, uma certa condi¸cão de integrabilidade. Mais precisamente, provamos o teorema a seguir.

Teorema 1.3 Seja ϕ : Σn _→ _Sn+1

1 , n ≥ 3, uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co completa,

conexa e imersa isometricamente emSn+1

(14)

escalar constanteR <1. Suponha que, para um certo vetor n˜ao nulo a_∈Ln+2_{, tenhamos} |aT_{| ∈ L}1_(Σn₎ _{e que ocorra um dos seguintes casos:}

(i) a ´e tipo-tempo;

(ii) a é tipo-luz e a imagem N(Σn₎ _{da aplica¸cão hiperbólica de Gauss está contida em}

uma horoesfera determinada por a;

(iii) aé tipo-espa¸co e a imagemN(Σn₎_{da aplica¸cão hiperbólica de Gauss está no interior}

de um hemisf´erio fechado de Hn+1 _{determindo por} _a_.

(15)

2 CONES M´INIMOS INST ´AVEIS

Neste cap´ıtulo, estudamos uma certa classe decones m´ınimos com bordo em uma forma espacial RiemannianaM que admite um campo conforme fechado e não trivial. A distribui¸cão normal a este campo é involutiva e, portanto, integrável. É poss´ıvel, então, folhear M por hipersuperf´ıcies totalmente umb´ılicas. Nossos cones são constru´ıdos sobre hipersuperf´ıcies m´ınimas, fechadas e não totalmente geodésicas de folhas dessa distri-bui¸cão. Isto define uma versão mais geral dos cones usados por Simons na Se¸cão 6 de (1968) e permite obter uma extensão, para o caso Σ2 _⊂ _S3 _⊂ _S4_{, do Teorema 6.1.1 de}

(1968), o qual afirma que, se Mn _⊂_Sn+1 _⊂ _Rn+2 _{´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima, fechada}

e não totalmente geodésica, então ocone CM _⊂Rn+2 _{é instável se} _n_≤_5.

Na Se¸cão 2.1, relembramos a conhecida fórmula de Simons, que fornece uma expressão para o tra¸co-Laplaciano da segunda forma fundamental de uma imersão m´ınima f :Mn_→_Mn+k_{. Uma consequência imediata, para o caso em que}_M _{tem curvatura} cons-tante e a codimensão é 1, é colecionada no corolário 2.1 . Na Se¸cão 2.2, relembramos alguns fatos básicos da teoria de Sturm-Liouville; em particular, a caracteriza¸cão variacional de λ1 descrita no Teorema 2.2 será bastante útil. As Se¸cões 2.3 e 2.4 reúnem uma cole¸cão de

resultados técnicos que, na Se¸cão 2.5, serão utilizados para obtermos o principal resultado deste cap´ıtulo, o Teorema 2.6.

2.1 A f´ormula de Simons

Nesta se¸cão, Mn _e _Mn+k _{denotam variedades Riemannianas de dimensões} _n _e n+k, respectivamente, com conexões de Levi-Civita _∇ e _∇, também respectivamente. Aqui,f :Mn_→_Mn+k _{é uma imersão isométrica; denotamos por} _{T M}⊥ _{o fibrado normal} def, por S(M) o fibrado cuja fibra em cada pontop_∈M é o espa¸co das transforma¸cões lineares simétricas de TpM em TpM e por H(M) = Hom(T M⊥_{, S(M}_{)) o fibrado de} homomorfismos deT M⊥ _em _S(M_).

A segunda forma fundamental da imersão f é a se¸cão suave A _∈ Γ(H(M)) dada por

Aη(v) =₋(_∇vN)T, (8)

onde η _∈(TpM)⊥_, _v _∈_TpM_, _p _∈_M _e _N _{´e uma extens˜ao qualquer de} _η _{a um campo em} M, normal a f(M) em uma vizinhan¸ca def(p).

Podemos ver A como uma forma bilinear sim´etrica sobre TpM, com valores em (TpM)⊥_{. Mais precisamente, para} _{u, v} _∈_TpM_{, definimos} _{B(u, v)}_∈_(Tp_M)⊥ _por

hB(u, v), η_i=_hAη(u), v_i, (9)

(16)

Considere, agora, a transpostat_A_de_{A, isto é, a se¸cão}t_A_∈_Γ(Hom(S(M_{), T M}⊥_)), dada por _ht_{A(s), η}_i ₌ _h_Aη_{, s}_i_{, onde} _s _∈ _SpM _e _η _∈ _(TpM₎⊥_{. Então, definimos} _A _∈ Γ(HomT M⊥_{, T M}⊥_{)) por}

A = tA_◦A. (10)

Al´em disso, se (η1, . . . , ηk) ´e um referencial ortonormal local emT M⊥,

defini-mos A_∈Γ(Hom(S(M), S(M))) pondo, para cada s_∈SpM,

A(s) = k

X

i=1

[Aηi,[Aηi, s]]. (11)

Um c´alculo direto mostra que esta defini¸c˜ao independe do referencial ortonormal (η1, . . . , ηk)

escolhido.

A seguinte proposi¸c˜ao pode ser encontrada em (1968).

Proposi¸cão 2.1 Em cada ponto p _∈ M, A e A são operadores simétricos, positivos e semidefinidos.

Vamos definir, agora, duas novas se¸c˜oes em Γ(H(M)). Para tanto, fixe uma base ortonormal (e1, . . . , en) em TpM. Parau, v ∈TpM e η∈(TpM)⊥, fa¸ca

hR′η(u), v_i = n

X

i=1

(_h(_∇uR)(ei, v)ei, ηi+h(∇eiR)(ei, u)v, ηi), (12)

onde R´e o tensor de curvatura de M, dado por

R(X, Y)Z =_∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z,

para cada X, Y, Z _{∈ X}(M). Prova-se que R′ é bem definido (i. e., independe da escolha do referencial (e1, . . . , en)), é linear em η,u e v e é simétrico em u ev.

Definamos, ainda,

hR(A)η_{(u), v}_i ₌ Pn

i=1{2hR(ei, v)B(u, ei), ηi+ 2hR(ei, u)B(v, ei), ηi

−hAη_{(u), R(ei, v)ei}_{i − h}_Aη_{(v), R(ei, u)ei}_i +_hR(ei, B(u, v))ei, η_{i −}2_hAη_{(ei), R(ei, u)v}_i}_.

(13)

No que segue, _∇2 _{´e o tra¸co-Laplaciano (veja (Caminha,2010)). Em (Simons,}

1968), Simons demonstra o seguinte teorema:

Teorema 2.1 (F´ormula de Simons) Seja A a segunda forma fundamental de uma

imers˜ao m´ınima f :Mn_→_Mn+k_{. Ent˜ao,}

(17)

O seguinte corolário, para o caso em queM tem curvatura seccional constante e a codimensão é um, nos será útil:

Corol´ario 2.1 Se f :Mn_→_Mn+1

c é uma imersão m´ınima, então

∇2A = _−kA_k2A+cnA. (15)

Demonstra¸c˜ao: Fixe p _∈ M e uma base ortonormal (e1, . . . , en) de TpM, formada por

autovetores deAη_{, onde} _η_∈_(TpM₎⊥ _{é unitário. Isto significa que existem n´}_{umeros reais} λ1, . . . , λn tais que Aη(ei) = λiei, para 1≤i≤n. Se ν =αη, então

A_◦A(ν) = A(tA(Aν)) = A(_htA(Aν), η_iη) = A(_hAη, Aν_iη)

= n

X

i=1

hAη(ei), Aν(ei)_i

!

Aη

= α

n

X

i=1

λ2i

!

Aη

= _kA_k2Aν.

Tamb´em, temos queA_◦A(ν) = A(Aν_{) = [A}η_,_[Aη_{, A}ν_{]] = 0, pois}_ν ₌_αη. Usando que o tensor curvatura de M ´e dado por

hR(X, Y)W, Z_i = c(_hY, W_ihX, Z_{i − h}X, W_ihY, Z_i) (16)

e que a imersão f é m´ınima, isto é, que Pn_i₌₁λi = 0, segue de um cálculo direto que

hR(A)ν_{(u), v}_i₌_h_cnAν_{(u), v}_i_{, para todos} _{u, v} _∈_T

pM. Assim, R(A) = cnA. Usando estes fatos, é fácil concluir queR′ = 0, o que conclui a demonstra¸cão.

Para mais detalhes sobre os resultados desta se¸cão nós recomendamos a leitura do parágrafo 4 de (Simons, 1968).

2.2 O problema de Sturm-Liouville

Nesta se¸cão, relembramos alguns fatos básicos da teoria de Sturm-Liouville que serão usados no primeiro cap´ıtulo desta tese.

Chamamos equa¸cão de Sturm-Liouville uma equa¸cão diferencial ordinária da forma

(p(x)u′)′+ (λρ(x) +q(x))u= 0, (17)

(18)

com p(x) e ρ(x) positivas. Um problema de Sturm-Liouville regular consiste em uma equa¸cão do tipo (17) em um intervalo [a, b], juntamente com as condi¸cões de contorno u(a) = u(b) = 0. Os valores λ _∈ R _{para os quais o problema admite solu¸cão não trivial}

são ditos os autovalores do problema. Já as solu¸cões não triviais correspondentes a um autovalor λ são ditas as autofun¸cões do problema, associadas aλ.

Vamos considerar o espa¸co C0_{[a, b] das fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b], munido}

com o produto interno

hf, g_i=

Z b

a

f(x)g(x)ρ(x)dx. (18)

A norma canônica associada é denotada por_kf_k2, paraf ∈C0[a, b]. Um conjunto{fα}α∈I é dito ortonormal se_kfα_k2 = 1 e hfα, fβi= 0, para todos α, β ∈I distintos.

A seguinte proposi¸cão pode ser encontrada em (Sotomayor, 1979) (veja a Pro-posi¸cão 7 do Cap´ıtulo 4 e a Observa¸cão 8, logo em seguida).

Proposi¸c˜ao 2.2 Considere o problema de Sturm-Liouville regular

(p(x)u′)′+ (λρ(x) +q(x))u= 0 (19)

no intervalo [a, b], com u(a) =u(b) = 0. Ent˜ao, podemos afirmar que:

(i) Os autovalores formam uma sequˆencia λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · que tende para

+_∞;

(ii) Existe uma base ortonormal (f1, f2, . . . , fn, . . .) de C0[a, b], tal que fi ´e autofun¸c˜ao

associada a λi, para i_≥1;

(c) Se f _∈C2_{[a, b]} _{satisfaz as condi¸cões de contorno do problema, então a espansão de}

f na base dada em (ii),

∞

X

n=1

hf, fn_ifn, (20)

converge uniformemente para f em [a, b].

Para uma fun¸c˜ao u _∈ C1_{[a, b] satisfazendo as condi¸c˜oes de contorno} _{u(a) =}

u(b) = 0 do problema de Sturm-Liouville regular dado pela equa¸c˜ao (17), definimos o

quociente de Rayleigh deu por

RQ[u] =

Rb

a(p(x)[u′(x)]

2₋_q(x)u2_(x))dx Rb

a u2(x)ρ(x)

. (21)

A caracteriza¸c˜ao variacional a seguir paraλ1 pode ser encontrada em (Courant, 1966).

Teorema 2.2 Para um problema de Sturm-Liouville regular com condi¸c˜oes de contorno u(a) =u(b) = 0, o menor autovalor λ1 satisfaz

λ1 = min

(19)

ondeu_∈C1_{[a, b]}_{é qualquer fun¸cão satisfazendo as condi¸cões de contorno. Além disso, o}

m´ınimo é atingido somente quando u é uma autofun¸cão associada ao autovalor λ1.

2.3 Folhea¸c˜oes geradas por campos conformes fechados

No que segue, Mn_c+k+1 é uma variedade Riemanianna (n+k+ 1)-dimensional, com curvatura seccional constantec. SupomosM munida de um campo conforme fechado e não nuloξ, isto é, tal que_∇Xξ =ψξX, para todoX ∈ X(M), ondeψxi :M →Ré uma fun¸cão suave, dita ofator conforme deξ, e_∇denota a conexão de Levi-Civita deM. Em particular, é imediato verificar (cf. 2011) que a distribui¸cão_{ξ⊥_}_{é integrável, com folhas} totalmente umb´ılicas em M. Sejam Ξn+k _{uma folha de tal distribui¸cão e} _ϕ _:_Mn_→_Ξn+k uma imersão isométrica, onde Mn_{é uma variedade Riemanniana} _{n-dimensional fechada.} Se Ψ(t,_·) denota o fluxo de ξ/_kξ_k, a compacidade de M garante que podemos escolher ǫ >0 tal que

Φ : Mn_×_[₋_ǫ,_0]_→_Mn+k+1

(p, t)_7→Ψ(t, ϕ(p)), (23)

é uma imersão. O cone ǫ-truncado sobre M na dire¸cão de ξ, o qual será denotado por CǫM, é a variedade com bordo Mn _×_[₋_ǫ,_{0], munida da métrica induzida por Φ.} Observamos que CǫM é uma subvariedade compacta imersa em Mn_c+k+1 e ∂(CǫM) = M_∪Mǫ, onde Mǫ =_{Ψ(₋ǫ, ϕ(p));p_∈M_}. Por vezes, fixado o campo ξ, nos referiremos apenas ao coneǫ-truncado CǫM.

Denotamos por _∇ a conexão de Levi-Civita de CǫM. Além disso, frequente-mente nos referiremos à fun¸cão diferenciávelλ:M _×[₋ǫ,0]_→R_{, definida por}

λ(q, t) = exp

Z t

0

ψξ

kξ_k(Ψ(s, ϕ(q)))ds

.

A proposi¸c˜ao a seguir relaciona a norma da segunda forma fundamental de CǫM em pontos distintos ao longo de uma mesma geratriz.

Proposi¸c˜ao 2.3 Se A(q, t) denota a segunda forma fundamental de CǫM no ponto (q, t)

e A(q) denota a segunda forma fundamental de M no ponto q, ent˜ao

kAN(q, t)_k = 1 λ(q, t)kA

η_(q)

k,

onde η ´e a normal a TqM em TqΞ e N denota o transporte paralelo de η ao longo da

curva integral de ξ/_kξ_k que passa por q.

(20)

SejamE1, . . . , En, N os campos sobre Φ(Ω×(−ǫ,0]) obtidos a partir dosei’s e

deη por transporte paralelo ao longo das curvas integrais de _kξ_ξ_k que intersectam Ω. Tal paralelismo fornece

d

dth∇EiN, Eki = h∇|ξξ|∇EiN, Eki

= 1

kξ_k[hR(ξ, Ei)N, Eki+h∇Ei∇ξN, Eki+h∇[ξ,Ei]N, Eki]

= 1

kξ_k[hR(ξ, Ei)N, Eki − h∇∇EiξN, Eki] (24) = ₋ ψξ

kξ_kh∇EiN, Eki,

ondeRdenota o operador de curvatura de M e utilizamos, na última igualdade, o fato de que M tem curvatura seccional constante. Além disso, se D é a conexão de Levi-Civita de Ξn+k_{, então}

h∇EiN, Eki(p,0) =hDeiη, ekip =−hAη(ei), ekip =−λiδik. (25)

Resolvendo o problema de Cauchy formado por 24 e 25, obtemos

h∇EiN, Eii(p,t)=−λiexp

−

Z t

0

ψξ

|ξ_|(ϕ(p), s)ds

= −λi λ(p, t)

e, parak ₆=i,

h∇EiN, Eki(p,t)= 0,

para todot_∈(₋ǫ,0].

Como_h∇EiN, ξi=−hN,∇Eiξi=−ψξhN, Eii= 0, segue que, no ponto (p, t)

AN(Ei) = ₋(_∇EiN)⊤

= ₋

n

X

k=1

h∇EiN, EkiEk− h∇EiN, ξ

kξ_ki ξ

kξ_k

= λi λEi,

para i= 1, . . . , n. ComoAN₍ ξ

kξk) =−(∇kξξkN)

⊤_{= 0, segue que}

kAN(p, t)_k2 = n

X

i=1

λi λ(p, t)

2

= 1

λ2_{(p, t)}kA

η_(p)

k2,

(21)

Corolário 2.2 O cone CǫM é m´ınimo em M se, e somente se, M é m´ınima em Ξ. Demonstra¸cão: Segue dos cálculos acima que _kH(p, t)_k = _λ1_kH(p)_k, onde H(p, t) é o vetor curvatura média de CǫM em (p, t) e H(p) é o vetor curvatura média de M em p. Isto prova o corolário.

O seguinte lema técnico é uma versão adaptada da prova do Teorema 4.1 de (Caminha, 2011) e será útil na demonstra¸cão da próxima proposi¸cão.

Lema 2.1 Fixe p _∈M e, em uma vizinhan¸ca Ω de p em M, um referencial ortonormal (e1, . . . , en), geod´esico em p. Se E1,. . . ,En s˜ao os campos sobreΦ(Ω×(−ǫ,0]) obtidos dos

ei’s por transporte paralelo ao longo das curvas integrais de _kξ_ξ_k que intersectam Ω, ent˜ao

∇EiEi =− ψξ

kξ_k2ξ (26)

no ponto (p, t), para 1_≤i_≤n.

Demonstra¸c˜ao: Escolha campos (η1,. . . ,ηk) sobre Ω, tais que (e1, . . . , en, η1, . . . , ηk) ´e

um referencial ortonormal adaptado à imersãoϕ. SeE1,. . . ,En,N1,. . . ,Nksão, respectiva-mente, os campos sobre Φ(Ω_×(₋ǫ,0]), obtidos dosei’s e dosηβ’s por transporte paralelo ao longo das curvas integrais de_kξ_ξ_k que intersectam Ω, segue que (E1, . . . , En,_kξ_ξ_k, N1, . . . , Nk)

é um referencial ortonormal sobre Φ(Ω_×(₋ǫ,0]) adaptado à imersão (23).

Vamos calcular _∇EiEi e, depois, tomar sua componente tangente ao longo do cone CǫM. Primeiro, note que

h∇EiEi, ξi=−hEi,∇Eiξi=−ψξ. (27)

Denotando, uma vez mais, por R o operador curvatura de M, segue do paralelismo dos Ei’s que

d

dth∇EiEi, Eli = 1

kξ_kh∇ξ∇EiEi, Eli

= 1

kξ_khR(ξ, Ei)Ei+∇Ei∇ξEi+∇[ξ,Ei]Ei, Eli

= 1

kξ_k(hR(ξ, Ei)Ei, Eli − h∇∇EiξEi, Eli) (28) = ₋ ψξ

kξ_kh∇EiEi, Eli,

onde usamos, novamente, o fato de M ter curvatura seccional constante.

Denotando porD e_∇M _{as conex˜oes Riemaniannas de Ξ}n+k _e_Mn_, respectiva-mente, segue que

(22)

uma vez que (e1, . . . , en) é geodésico em p (sobre M). Então, resolvendo o problema de

Cauchy formado por (28) e (29), obtemos

h∇EiEi, Eli(p,t)= 0, (30)

para ₋ǫ_≤t_≤0.

De forma an´aloga a (28), obtemos

d

dth∇EiEi, Nβi=− ψξ

kξ_kh∇EiEi, Nβi. (31)

Por outro lado, se Aβ : TpM _→ TpM denota o operador de Weingarten de ϕ na dire¸c˜ao ηβ e se escrevemos Aβei =Pn_j₌₁hβ_ijej, ent˜ao

h∇EiEi, Nβip =hDeiei, ηβip =hAβei, eii=hβii. (32)

Resolvendo o problema de Cauchy formado por (31) e (32), obtemos

h∇EiEi, Nβi(p,t)=h β iiexp − Z t 0 ψξ

kξ_k(s)ds

= h

β ii

λ(p, t). (33)

Al´em disso, um c´alculo simples mostra que

h∇EiEi, ξ

kξ_ki=− ψξ

kξ_k. (34)

Segue finalmente de (30), (33) e (34) que, em (p, t),

∇EiEi =− ψξ

kξ_k ξ

kξ_k+ 1 λ(p, t)

k

X

β=1

hβ_iiNβ (35)

e, da´ı, obtemos imediatamente (26). Isto conclui a demonstra¸c˜ao. Dada uma fun¸c˜aoF _∈C∞_(C

ǫM), para cadat ∈[−ǫ,0] definimos a fun¸c˜aoFt∈ C∞_(M_{) pondo}_{Ft(p) =} _F_{(p, t), para} _p_∈_M_{. O seguinte lema relaciona os Laplacianos de} F e Ft.

Proposi¸c˜ao 2.4 Para toda F _∈C∞_(CǫM₎_{, tem-se}

∆F(p, t) = 1 λ2_{(p, t)}

∆Ft(p)₋ 1

λ(p, t)hgrad(Ft),grad(λt)ip

+nλ′(p, t) λ(p, t)

∂F ∂t +

∂2_F

∂t2 ,

onde λ′ _denota ∂λ

∂t e grad denota o gradiente em M.

(23)

refe-rencial ortonormal (e1, . . . , en, η1, . . . , ηk) adaptado a ϕ, tal que (e1, . . . , en) ´e geod´esico

em p. Assim como na proposi¸c˜ao 2.3, estenda paralelamente tal referencial para ob-ter, respectivamente, campos E1, . . . , En, N1, . . . , Nk ao longo de Φ(Ω×(−ǫ,0]). Ent˜ao,

(E1, . . . , En,_|ξ_ξ_|, N1, . . . , Nk) é um referencial ortonormal adaptado à imersão 23.

O Laplaciano de F ´e dado por

∆F = Pn_i₌₁Ei(Ei(F)) + _kξ_ξ_k

ξ kξk(F)

−Pni=1(∇EiEi)(F)−(∇ξ/kξkξ/kξk)(F).

(36)

Pelo Lema 2.1, temos

(_∇EiEi)(F) =

− ψξ kξ_k2ξ

(F) = ₋ ψξ

kξ_k ∂F

∂t. (37)

Agora, vamos calcular o termo Ei(Ei(F))(q, t), ondeq _∈Ω e t _∈[₋ǫ,0]. Para tanto, tome uma curva diferenci´avel α : (₋δ, δ) _→ M tal que α(0) = q e α′_{(0) =} _ei(q). Considere, ent˜ao, a superf´ıcie parametrizada

f : (₋δ, δ)_×[₋ǫ,0]_→M (s, t)_→Ψ(t, ϕ(α(s))).

Note que a imagem def est´a contida no cone CǫM. Pelo lema de simetria (cf. 1988),

D dt ∂f ∂s = D ds ∂f ∂t = D ds ξ

kξ_k =∇∂f∂s ξ

kξ_k = ψξ

kξ_k ∂f ∂s + ∂f ∂s 1

kξ_k

ξ,

o que implica

d dth

∂f

∂s, Eji= ψξ

kξ_kh ∂f

∂s, Eji.

Como _h∂f_∂s, Ej_i(q,0) = hEi, Eji(q,0) =hei(q), ej(q)i =δij, resolvendo o problema de Cauchy

resultante obtemos

h∂f_∂s, Ei_i(q,t) = exp

Z t

0

ψξ

kξ_k(q, u)du

=λ(q, t)

e

h∂f_∂s, Ej_i(q,t)= 0,

sej ₆=i.

Al´em disso, um c´alculo direto mostra que d dth

∂f ∂s, ξi=

ψξ kξkh

∂f

∂s, ξi. Comoh ∂f

∂s, ξi(q,0) =

(24)

para todot_∈[₋ǫ,0].

Como ∂f_∂s ´e tangente ao cone, segue dos c´alculos acima que, em (q, t),

∂f ∂s = n X j=1 h∂f

∂s, EjiEj+h ∂f ∂s,

ξ

kξ_ki ξ

kξ_k

= _h∂f

∂s, EiiEi = λEi.

Ent˜ao,

Ei(F)(q, t) = 1 λ(q, t)

∂f

∂s(q, t)·(F)

= 1

λ(q, t)dFt(ei(q))

= 1

λ(q, t)hgrad(Ft), eiiq,

para todos (q, t)_∈Ω_×[₋ǫ,0] e F _∈C∞_(CǫM_{). Assim,}

Ei(Ei(F))(q, t) = 1

λ(q, t)hgrad((Ei(F))t), eiiq.

Por outro lado, no pontoq,

grad((Ei(F))t) = 1 λt

grad_hgrad(Ft), ei_i+_hgrad(Ft), ei_igrad

1 λt

= 1

λtgrad(ei(Ft))− hgrad(Ft), eii 1 λ2

t

grad(λt).

Ent˜ao,

Ei(Ei(F))(q, t) = 1 λ(q, t)

1

λ(q, t)ei(ei(Ft))(q)−

hgrad(Ft), ei_iq

λ2_{(q, t)} ei(q)(λt)

= 1

λ2_{(q, t)}

ei(ei(Ft))(q)− h

grad(Ft), ei_iq

λ(q, t) hgrad(λt), eiiq

,

para todos (q, t) _∈ Ω_× [₋ǫ,0]. Usando o fato de que (e1, . . . , en) ´e geod´esico em p,

obtemos, no ponto (p, t),

n

X

i=1

Ei(Ei(F)) = 1 λ2

∆Ft₋ 1

λhgrad(Ft),grad(λt)i

(25)

Por fim,

∇ξ/kξkξ/kξk= 1

kξ_k∇ξξ/kξk= 1

kξ_k

1

kξ_k∇ξξ+ξ

1

kξ_k

ξ

= 1

kξ_k

1

kξ_k(∇eξξ)

⊤₋ kξkψξ

kξ_k2 ξ

= 1

kξ_k

1

kξ_k(ψξξ)

⊤₋ ψξ

kξ_kξ

= 0,

onde (_·)⊤ _{denota a proje¸c˜ao ortogonal sobre} _T_(CǫM_{). Da´ı (}_∇

ξ/kξkξ/kξk)(F) = 0. Subs-tituindo este fato, (37) e (38) em (36), obtemos finalmente

∆F(p, t) = 1 λ2_{(p, t)}

∆Ft(p)₋ 1

λ(p, t)hgrad(Ft),grad(λt)ip

+n ψξ

kξ_k ∂F

∂t(p, t) + ∂2_F

∂t2 (p, t).

Por fim, um c´alculo simples mostra que _kψξ_ξ_k = λ_λ′. Isto conclui a demonstra¸c˜ao.

Suponha, agora, que B e F são duas variedades Riemannianas e que f >0 é uma fun¸cão suave sobreB. Oproduto warped M =B_×fF é a variedade produto B×F munida da métrica Riemanniana

g =π∗_(g

B) + (f ◦π)2σ∗(gF),

ondeπ eσ são as proje¸cões canônicas de B_×F sobre B e F, respectivamente, e gB e gF são as métricas Riemannianas de B eF, também respectivamente.

Quando a variedade ambiente M ´e um produto warped, temos a seguinte consequˆencia.

Corol´ario 2.3 Suponha que Mn_c+k+1 =I_×f Fn+k, com f(0) = 1. Seja ϕ: Mn→ Fn+k

uma imersão isométrica, com M fechada. Então

∆L(t, p) = 1

f2_(t)∆Lt(p) +n

f′_(t) f(t)

∂L ∂t +

∂2_L

∂t2 ,

para todaL_∈C∞_(I _×

f Mn).

Demonstra¸cão: Sabemos que, no produto warped I _×f Fn+k, o campoξ = (f ◦πI)∂t é conforme fechado, com fator conforme ψξ =f′◦πI. Observe que ξ 6= 0, uma vez que f é positiva.

O fluxo de _kξ_ξ_k =∂t ´e

Ψ(t,(t0, p)) = (t+t0, p)

e é claro que as subvariedades_{t0} ×Fn+k, com t0 ∈I, são folhas da distribui¸cão ξ⊥.

Considere, agora, uma imersão isométrica ϕ :Mn _→ _Fn+k _{onde, como antes,} M é fechada. Observe que_{0_}×Fn+k_{(com a métrica induzida de}_I_×

(26)

aFn+k_{, de sorte que podemos supor que a imersão} _ϕ_{é de} _Mn _para _{₀_{} ×}_Fn+k_{. Usando} a compacidade deM para escolher ǫ >0 de forma conveniente, o cone CǫM é dado pela imersão

Φ(p, t) = Ψ(t,(0, ϕ(p))) = (t, ϕ(p)),

para t _∈ [₋ǫ,0] e p_∈ Mn_{. Na verdade, Φ continua uma imersão se trocamos} _t _∈_[₋_ǫ,_0] port _∈I. Observe que, nesse caso, o coneǫ-truncado é isométrico a [₋ǫ,0]_×f Mn.

Desse modo, a fun¸c˜aoλ:M _×[₋ǫ,0]_→R _{´e dada por}

λ(p, s) = exp

Z s

0

ψξ

kξ_k(Ψ(t, ϕ(p)))dt

= exp

Z s

0

f′ f (t)dt

=f(s).

Em particular, λs : Mn → R é constante, ∀s ∈ [−ǫ,0]. O resultado segue, agora, da proposi¸cão 2.4. Isto conclui a demonstra¸cão.

2.4 Instabilidade de CǫM

Ao longo de toda esta se¸cão, nos ateremos às nota¸cões da se¸cão anterior. Em particular,M continua tendo curvatura seccional constante e igual a c.

Sabemos, pelo Corolário 2.2, que Mn _{é m´ınima em Ξ}n+k _{se, e só se,} _C ǫM é m´ınimo em Mn_c+k+1. Então, dada M m´ınima, faz sentido estudar a estabilidade ou instabilidade deCǫM em rela¸cão ao seu bordo. Aqui, vamos supork = 1, isto é, que CǫM é uma hipersuperf´ıcie de M. Come¸camos com o seguinte resultado auxiliar.

Lema 2.2 Seja Mn _{uma hipersuperf´ıcie m´ınima e orientada de} _Ξn+1_{, esta por sua vez}

orientada pela normal unitária _k−_ξξ_k. Nestas condi¸cões, o elemento de volume de CǫM é

λn_dM _∧_dt_.

Demonstra¸c˜ao: Considere um referencial ortonormal (e1, . . . , en) em um aberto Ω⊂M,

orientado positivamente. Se (θ1, . . . , θn) ´e o referencial dual, ent˜ao dM =θ1∧. . .∧θn em

Ω.

Seja η _∈ Γ(N M) a normal unit´aria que relaciona as orienta¸c˜oes de M e Ξ e sejamE1, . . . , En, N os campos em Φ(Ω×(−ǫ, ǫ)) obtidos dos ei’s e deη, respectivamente,

por transporte paralelo ao longo das curvas integrais de _kξ_ξ_k que intersectam Ω. Fixado p_∈Ω, (e1, . . . , en, η) ´e uma base positiva deTpΞ e, da´ı, (e1, . . . , en, η,−_kξ_ξ_k) ´e base positiva

deTpM. OrientandoCǫM porN temos ent˜ao que (E1, . . . , En, N,−_kξ_ξ_k)(p,t)´e base positiva

de T(p,t)M e, da´ı, (E1, . . . , En,_kξ_ξ_k, N)(p,t) tamb´em ´e base positiva de T(p,t)M, para todo

(p, t)_∈Ω_×(₋ǫ, ǫ). Assim, (E1, . . . , En,_kξ_ξ_k) ´e base positiva e ortonormal de T(p,t)(CǫM).

Por outro lado, vimos que se αi : (₋δ, δ) _→ M ´e uma curva diferenci´avel tal queαi(0) =peα′

(27)

dada porfi(s, t) = Ψ(t, ϕ(αi(s))), ent˜ao

Ei(p, t) = 1 λ(p, t)

∂fi ∂s(0, t).

Usando a identifica¸c˜ao canˆonica deT(p,t)(M×(−ǫ,0]) comTpM⊕R, temos que Φ∗(ei(p)⊕ 0)(p,t)= _dsd

s=0Φ(αi(s), t) =

d ds

s=0fi(s, t) =

∂fi

∂s(0, t); com isso,

Φ_∗

ei(p) λ(p, t) ⊕0

(p,t)

=Ei(p, t).

Da´ı, usando a identifica¸c˜ao deTΦ(p,t)(CǫM) com Φ∗(T(p,t)(M×(−ǫ,0])), temos queλn(dM∧

dt)(E1, . . . , En,_kξ_ξ_k) =λn(dM∧dt)(e1_λ ⊕0, . . . ,en_λ ⊕0,0⊕∂t) = 1, o que conclui a demons-tra¸c˜ao.

Para o enunciado da proposi¸cão a seguir, que calcula a segunda varia¸cão da área para CǫM, dada uma imersão ϕ : Mn _→ _Ξn+1_{, denotamos, como antes, por} _N _o

campo normal unitário ao longo deCǫM, obtido por transporte paralelo de um campo η, unitário e normal a M em Ξ, ao longo das curvas integrais de ξ que intersectamM. Proposi¸cão 2.5 Seja Mn _{uma variedade Riemanniana fechada e orientada,}

minima-mente imersa emΞn+1_{. Suponha que a fun¸c˜ao}_{λ(p, t)}_{n˜ao depende do ponto}_p_{. Seja}_N_{(p, t)}

a normal unit´aria sobre CǫM, e seja F ∈C∞(CǫM) tal que F(p,−ǫ) = F(p,0) = 0, para

cada p_∈M. Se V(p, t) = F(p, t)N(p, t), ent˜ao

I(V, V) =

Z

M×[−ǫ,0]

F λn−2 ₋∆Ft₋nλλ′∂F ∂t −λ

2∂2F

∂t2

−c(n+ 1)λ2F _{− k}A_k2FdM _∧dt.

Demonstra¸c˜ao: Por defini¸c˜ao,

I(V, V) =

Z

CǫMh−∇

2_V ₊_R(V₎

−A(V), V_i.

•C´alculo de _∇2_V_:

Por defini¸c˜ao,

∇2V = n

X

i=1

(_∇⊥_Ei_∇⊥_EiV _{− ∇}⊥_∇

EiEiV) +∇ ⊥

ξ/kξk∇⊥ξ/kξkV − ∇⊥∇ξ/kξkξ/kξkV.

Note que

∇⊥EiV =∇⊥Ei(F N) =F∇⊥EiN +Ei(F)N =Ei(F)N,

pois _∇⊥

(28)

motivo,_∇⊥

Ei∇⊥EiV =Ei(Ei(F))N. Tamb´em temos que

∇⊥∇EiEiV =F∇ ⊥

∇EiEiN + (∇EiEi)(F)N = (∇EiEi)(F)N.

Além disso, é fácil ver que_∇⊥ ξ

kξk∇

⊥ ξ

kξk

V = _kξ_ξ_k_kξ_ξ_k(F)N. Como_∇ ξ

kξk

ξ

kξk = 0 (cf. demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.4), segue que

∇2V =

" _n X

i=1

(Ei(Ei(F))₋(_∇EiEi)(F)) + ξ

kξ_k

ξ

kξ_k(F)

#

N

= (∆F)N.

•C´alculo de _hR(V), V_i: Por defini¸c˜ao,

R(V) = n

X

i=1

(R(Ei, V)Ei)⊥+

R

ξ

kξ_k, V

ξ

kξ_k

⊥

.

Utilizando o fato de que M tem curvatura seccional constante c, juntamente com o fato de que V //N, obtemos

hR(V), V_i = n

X

i=1

hR(Ei, V)Ei, V_i+

R

ξ

kξ_k, V

ξ

kξ_k, V

= n

X

i=1

c(_hV, EiihEi, Vi − hEi, EiihV, Vi)

+c

V, ξ

kξ_k ξ

kξ_k, V

−

ξ

kξ_k, ξ

kξ_k

hV, V_i

= ₋cn_hV, V_{i −}c_hV, V_i = ₋c(n+ 1)_hV, V_i = ₋c(n+ 1)F2.

(29)

Por defini¸c˜ao, A(V) =_hAN_{, A}V_i_N_{. Mas,}

hAN, AV_i = n

X

i=1

hAN(Ei), AV(Ei)_i+

AN

ξ

kξ_k

, AV

ξ

kξ_k

= n

X

i=1

h∇EiN,∇EiVi+h∇ ξ

kξkN,∇

ξ

kξkVi

= n

X

i=1

h∇EiN, F∇EiN +Ei(F)Ni

= F

n

X

i=1

h∇EiN,∇EiNi

= F_kA(p, t)_k2.

Assim, segue da Proposi¸c˜ao 2.3 que

A(V) = F

λ2_{(p, t)}kA(p)k 2_N.

Portanto,

h−∇2V +R(V)₋A(V), V_i = _−h(∆F)N, F N_{i −}c(n+ 1)F2

− F

λ2_{(p, t)}kA(p)k

2_h_{N, F N}_i

= ₋F(∆F)₋c(n+ 1)F2₋ F

2

λ2_{(p, t)}kA(p)k 2_.

Então, segue da Proposi¸cão 2.4, juntamente com o fato deλ(p, t) não depender de p, que

h−∇2V +R(V)₋A(V), V_i = ₋F

1

λ2∆Ft+n

λ′ λ

∂F ∂t +

∂2_F

∂t2

−c(n+ 1)F2_{− k}_A_k2F2

λ2

= F

λ2(−∆Ft−nλλ

′∂F ∂t −λ

2∂2F

∂t2

−c(n+ 1)λ2_F _{− k}_A_k2_F_).

Finalmente, utilizando o resultado do Lema 2.2, basta integrarmos sobreM_×[₋ǫ,0] para obter o resultado desejado. Isto conclui a demonstra¸c˜ao.

Considere, agora, o espa¸co C∞_(M_{) das fun¸c˜oes diferenci´aveis sobre} _Mn _{e o} espa¸coC∞

0 [−ǫ,0] = {g : [−ǫ,0]→R;g ∈C∞ e g(−ǫ) =g(0) = 0}. Consoante (Simons,

1968), a proposi¸c˜ao anterior motiva a defini¸c˜ao de dois operadores diferenciais lineares,

(30)

e

L2 :C0∞[−ǫ,0]→C∞[−ǫ,0],

definidos por

L1(f) = −∆f − kAk2f

e

L2(g) = −λ2g′′−nλλ′g′−c(n+ 1)λ2g,

respectivamente.

A respeito dos mesmos, temos os dois resultados auxiliares a seguir.

Lema 2.3 L1 pode ser diagonalizado por autofun¸c˜oes {fi}i≥1. Ademais, se λi denota o

autovalor correspondente a fi, com λ1 ≤λ2 ≤ · · ·, ent˜ao λi → +∞. Tamb´em, se i 6=j,

então R_M fifj = 0. Por fim, se u ∈ C∞(M), então existe uma única decomposi¸cão da

forma u=P∞_i₌₁aifi para certos ai ∈R.

Para uma prova do lema acima veja (Simons, 1968).

Lema 2.4 L2 pode ser diagonalizado por autofun¸c˜oes {gi}i≥1. Ademais, se δi denota o

autovalor correspondente a gi, com δ1 ≤ δ2 ≤ · · ·, ent˜ao δi → +∞. Tamb´em, se i 6= j,

ent˜ao R₋ǫ_ǫgigjλn−2 _{= 0}_{. Por fim, se} _g _∈_C∞

0 [−ǫ,0], então existe uma única decomposi¸cão

da forma g =P∞_i₌₁aigi, para certos ai _∈R_.

Demonstra¸cão: A equa¸cão L2(g) = δg é equivalente a

−λ2g′′₋nλλ′g′₋c(n+ 1)λ2g₋δg= 0.

Multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ao acima por ₋λn−2_{, temos}

λng′′+nλn−1λ′g′+c(n+ 1)λng+δλn−2g = 0,

ou seja,

(λn_g′₎′₊_c(n_{+ 1)λ}n_g₊_δλn−2_g _{= 0.}

Esta é uma equa¸cão de Sturm-Liouville, de forma que o resultado segue da Proposi¸cão 2.2. Isto conclui a demonstra¸cão.

A demonstra¸c˜ao do teorema a seguir ´e essencialmente a mesma do Lema 6.1.6 de (Simons, 1968). Por completude, apresentemo-la.

Teorema 2.3 Com as nota¸cões da Proposi¸cão 2.5, é poss´ıvel escolherF tal queI(V, V)<

(31)

de L1 e o primeiro autovalor de L2.

Demonstra¸c˜ao: Para p _∈ M fixado, tem-se F(p,_·) _∈ C∞

0 [−ǫ,0]. Assim, nas nota¸c˜oes

do Lema 2.4,F(p, t) =P∞_j₌₁aj(p)gj(t). Mas, como aj _∈C∞_(M_{), temos, pelo Lema 2.3,}

F(p, t) = ∞

X

i,j=1

aijfi(p)gj(t).

Agora, segue da Proposi¸c˜ao 2.5 que

I(V, V) =

Z

M×[−ǫ,0]

λn−2 ∞ X i,j=1 aijfigj ∞ X k,l=1

(aklL1(fk)gl+aklfkL2(gl))

=

Z

M×[−ǫ,0]

λn−2 ∞ X i,j=1 aijfigj ∞ X k,l=1

akl(λk+δl)fkgl

= ∞

X

i,j,k,l=1

aijakl(λk+δl)

Z

M×[−ǫ,0]

fifkgjglλn−2.

Usando novamente os resultados dos Lemas 2.3 e 2.4, temos

I(V, V) = ∞

X

i,j=1

a2

ij(λi +δj)

Z M f2 i Z 0 −ǫ g2

jλn−2

.

Se I(V, V) < 0, ent˜ao algum λi +δj ´e negativo e, assim, λ1 +δ1 < 0, pois

λ1 ≤λi e δ1 ≤δj. Reciprocamente, seλ1+δ1 <0, escolhaF(p, t) =f1(p)g1(t) para obter

I(V, V)<0. Isto conclui a demonstra¸c˜ao.

O seguinte proposi¸c˜ao fornece uma cota superior para o autovalorλ1.

Proposi¸c˜ao 2.6 Seja ϕ : Mn _→ _M_fn+1

c uma imers˜ao m´ınima, com M fechada e n˜ao

totalmente geod´esica. Defina o operador diferencial linear L :C∞_(M₎ _→ _C∞_(M₎ _pondo

L(f) =_−∇2_f_{− k}_A_k2_f_{, onde} _A _{´e a segunda forma fundamental da imers˜ao} _ϕ_{. Se} _λ

1 ´e o

primeiro autovalor deL, ent˜ao λ1 ≤ −cn.

Demonstra¸c˜ao: Em geral, temos de (Chavel, 1984) que

λ1 ≤ Z

M f2

−1Z

M

f L(f),

para qualquer f _∈C∞_(M_{) n˜ao identicamente nula.} Dado ǫ > 0, defina fǫ = (_kA_k2 ₊_ǫ)1

2. É claro que fǫ ∈ C∞(M) e que, se M não for totalmente geodésica, então

lim ǫ→0

Z M f2 ǫ = Z Mk

A_k2 ₆_{= 0.}

(32)

ortonormal local (e1, . . . , en) em M. Ent˜ao,

ei(fǫ) = 1

fǫh∇eiA, Ai.

Assim,

∇2fǫ = 1 fǫh∇

2_{A, A}

i

+ n

X

i=1

−_(fǫ)1 3h∇eiA, Ai

2₊ 1

fǫh∇eiA,∇eiAi

≥ _fǫ1h∇2A, A_i

+ n

X

i=1

−_(f1

ǫ)3h

A, A_ih∇eiA,∇eiAi+ 1 fǫh∇

eiA,∇eiAi

≥ 1

fǫh∇

2_{A, A}

i,

onde utilizamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz na primeira desigualdade acima. Com isso,

∇2fǫ_≥ 1 fǫh∇

2_{A, A}

i. (39)

Por outro lado, pelo Corol´ario 2.1,_∇2_A₌_−k_A_k2_A₊_{cnA. Substituindo em (39) obtemos}

(_∇2fǫ)fǫ _{≥ h}cnA_{− k}A_k2A, A_i=cn_kA_k2_{− k}A_k4.

Da´ı,

fǫL(fǫ) = fǫ(_−∇2fǫ_{− k}A_k2fǫ)

= ₋(_∇2fǫ)fǫ_{− k}A_k2f_ǫ2

≤ kA_k4₋cn_kA_k2_{− k}A_k2(_kA_k2+ǫ)

≤ −cn_kA_k2.

Portanto,

lim ǫ→0

Z

M f_ǫ2

−1Z

M

fǫL(fǫ)≤ −cn,

de onde conclu´ımos a demonstra¸c˜ao.

2.5 Cones m´ınimos em produtos warped

(33)

(O’Neill, 1983), a variedadeFn+1 _{deve ter curvatura seccional constante} _k _{e devem valer}

as rela¸c˜oes

f′′

f =−c=

(f′₎2 ₋_k

f2 .

Se Mn _{é uma hipersuperf´ıcie m´ınima, fechada e não totalmente geodésica de} Fn+1 _{≈ {}₀_{} ×}_Fn+1_{, então, consoante a demonstra¸cão do Corolário 2.3, identificaremos}

o cone ǫ-truncado CǫM com o produto warped [₋ǫ,0]_×f Mn, imerso canonicamente em Mn_c+2.

Agora, se N(t, p) é o campo normal unitário ao longo de CǫM e se G _∈ C∞(CǫM) é tal que G(₋ǫ, p) = G(0, p) = 0 para cada p _∈ M, então, pondo V(t, p) = G(t, p)N(t, p), segue da Proposi¸cão 2.5 que

I(V, V) =

Z

M×[−ǫ,0]

Gfn−2(₋∆Gt₋nf f′∂G ∂t −f

2∂2G

∂t2 (40)

−c(n+ 1)f2G_{− k}A_k2G)dM _∧dt,

onde_kA_k2 _{denota o quadrado da norma da segunda forma fundamental de} _Mn _em _Fn+1

e ∆ é o operador Laplaciano emMn_{. Como visto anteriormente, a expressão (40) sugere} a defini¸cão de dois operadores diferenciais lineares. O primeiro deles é L1 : C∞(M) →

C∞_(M_{), tal que}

L1(g) = −∆g− kAk2g, (41)

para g _∈C∞_(M_{), enquanto que o segundo ´e}_L

2 :C0∞[−ǫ,0]→C∞[−ǫ,0], tal que

L2(h) =−f2h′′−nf f′h′−c(n+ 1)f2h, (42)

onde C∞

0 [−ǫ,0] ={h∈C∞[−ǫ,0];h(−ǫ) = h(0) = 0}.

O seguinte teorema ´e apenas uma reformula¸c˜ao do Teorema 2.3.

Teorema 2.4 Considere um produto warpedMn_c+2 =I_×fFn+1, com curvatura seccional

constante c, e f(0) = 1. Seja Mn _{uma hipersuperf´ıcie m´ınima e fechada de} _Fn+1_{. Se}

consideramosCǫM = [₋ǫ,0]_×fMnimerso canonicamente emM

n+2

c , entãoCǫM é instável

em rela¸c˜ao ao seu bordo se, e somente se, λ1 +δ1 < 0, onde λ1 e δ1 s˜ao os primeiros

autovalores de L1 e L2, respectivamente.

Exemplo 2.1 Quando tomamos I = (₋1,_∞), f(t) = t+ 1 e Fn+1 ₌ _Sn+1_{, o cone}

ǫ-truncado sobre uma hipersuperf´ıcie m´ınima, fechada e n˜ao totalmente geod´esica Mn _de

Sn+1 _{é a imersão canônica de [}₋_ǫ,_0]_×

t+1 Mn em I ×t+1Sn+1. Usando o fato de que a

(34)

CǫM pode ser visto como a imagem da imers˜ao

Φ : [₋ǫ,0]_×Mn_→Rn+2

(t, p)_7−→(t+ 1)p.

Com a mudan¸ca de vari´avelt+ 1 _7→t, podemos reescrever Φ como

Φ : [1₋ǫ,1]_×Mn_→Rn+2

(t, p)_7−→tp,

que é a defini¸cão usada em (Simons, 1968). Aqui, tem-seλ1 ≤ −npela Proposi¸cão 2.6. Por

outro lado, comoL2, neste caso, ´e dado porL2(h) = −(t+1)2h′′−n(t+1)h′, as autofun¸c˜oes

e os autovalores do problema de Sturm-LiouvilleL2(h) =δh, h(−ǫ) =h(0) = 0, s˜ao

hj(t) = (t+ 1)− n−1

2 sin

−jπ

log(1₋ǫ)log(t+ 1)

e

δj =

n₋1 2

2

+

jπ log(1₋ǫ)

2

,

respectivamente, onde usamos a mudan¸ca de vari´aveis t+ 1 =es_{. Com isso,}

λ1+δ1 ≤ −n+

n₋1 2

2

+

π log(1₋ǫ)

2

.

Então, se assumirmos n _≤ 5 e escolhermos 0 < ǫ < 1 suficientemente próximo de 1, obteremos λ1+δ1 <0, isto é, que CǫMn é instável.

Ocone sobre Mn_, _CMn_{, ´e definido por Simons em (1968) como a aplica¸c˜ao}

Φ : [0,1]_×Mn _→Rn+2

(t, p)_7−→tp.

Isto é uma imersão, exceto nos pontos de_{0_{} ×}M, onde temos Φ(0, p) = 0. Sabemos que CM _{− {}0_} é uma subavariedade m´ınima de Rn+2 _se _M _{é uma subvariedade m´ınima de} Sn+1_{. Se}_Mn_{é uma hipersuperf´ıcie m´ınima, fechada e não totalmente geodésica de}Sn+1 _e

sen_≤5, o exemplo acima mostra que pode ser escolhida uma varia¸cão do coneǫ-truncado CǫMn _{, com} _ǫ _{conveniente, que mantém o bordo fixado e diminui área. Estende-se essa} varia¸cão paraCMn _{mantendo-se fixo o conjunto dos pontos} _tp _com _{t <}₁₋_ǫ _{e obtém-se} uma varia¸cão de CMn _{que diminui área. Tal argumento é, essencialmente, a prova do} seguinte teorema ( Teorema 6.1.1 de 1968).

(35)

em Sn+1_{. Se} _n_≤₅_{, o cone} _CM _⊂Rn+2 _{não minimiza área em rela¸cão ao seu bordo.}

Nosso principal objetivo neste cap´ıtulo ´e estender o resultado acima para o caso em que o ambiente RiemannianoMn_c+2 ´e a esfera Sn+2_{. Para isto, tomemos}_I _{= (}₋π

2,

π

2),

f(t) = cos(t) e Fn+1 ₌ _Sn+1_{. Fixado o ponto} _N _{= (0, . . . ,}_0,₁₎ _∈ _Sn+2_{, consideremos}

Sn+1 _{com um equador de} _Sn+2 _{em rela¸c˜ao a} _N_{. Neste contexto, vamos identificar o}

ponto x = (x1, . . . , xn+2) ∈ Sn+1 com o ponto x = (x1, . . . , xn+2,0)∈ Sn+2. Com isto, a

correspondˆencia (t, x)_7→cos(t)x+ sin(t)N define uma isometria entre (₋π

2,

π

2)×cos(t)S

n+1

eSn+2_{− {±}_N_}_{. Da´ı, sendo} _ϕ_:_Mn_→Sn+1 _{uma imers˜ao de uma variedade Riemanniana}

fechadaMn _em _Sn+1_{, o cone}_ǫ-truncado _CǫM _{pode ser visto como a imagem da imers˜ao}

Φ : [₋ǫ,0]_×Mn_→Sn+2

(t, x)_7−→cos(t)x+ sin(t)N. (43)

Segue da Proposi¸c˜ao 2.6 queλ1 ≤ −n. Por outro lado,

L2(h) =−cos2(t)h′′+nsin(t) cos(t)h′−(n+ 1) cos2(t)h,

de forma que, multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ao L2(h) =δh por −cosn−2(t),

obtemos

cosn(t)h′′₋nsin(t) cosn−1(t)h′ + (n+ 1) cosn(t)h=₋δhcosn−2(t)

ou, ainda,

(cosn_(t)h′₎′_{+ (n}_{+ 1) cos}n_(t)h₊_δ_cosn−2_(t)h_{= 0.} ₍₄₄₎

A equa¸cão (44), com condi¸cões iniciais h(₋ǫ) = h(0) = 0, é um problema de Sturm-Liouville regular. A fun¸cão u(t) = sin(π

ǫt) satisfaz as condi¸c˜oes iniciais, de modo que, pela caracteriza¸c˜ao variacional deδ1 dada pelo Teorema 2.2, tem-se

δ1 ≤ R0

−ǫ( π2

ǫ2 cosn(t) cos2( π

ǫt)−(n+ 1) cos

n_{(t) sin}2₍π ǫt))dt

R0

−ǫsin

2₍π

ǫt) cosn−2(t)dt

.

Paran = 2, temos

δ1 ≤ R0

−ǫ( π2

ǫ2 cos2(t) cos2( π

ǫt)−(3) cos

2_{(t) sin}2₍π ǫt))dt

R0

−ǫsin

2₍π ǫt)dt

=δ(ǫ).

Um c´alculo direto mostra que limǫ_→π

2 δ(ǫ) =

1

2. Com isso, escolhendo-se ǫ suficientemente

pr´oximo de π₂, obtemos λ1 +δ1 < −2 + 1₂ < 0, ficando, assim, demonstrado o principal

(36)

Teorema 2.6 SejaΣ2 _{uma superf´ıcie m´ınima, fechada e n˜ao totalmente geod´esica de}_S3_.

Então, o cone CΣ _⊂ S4_{, dado por 43, é m´ınimo mas não minimiza área em rela¸cão a}

(37)

3 UM TEOREMA DE RIGIDEZ EM Sn+1

1

Goddard conjecturou, em (1977), que qualquer hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co com curvatura média constante do espa¸co de De Sitter deveria ser totalmente umb´ılica. Desde então, muitos autores têm estudado este problema (cf. 2014, 1987, 1988 e 2011). Neste cap´ıtulo, provamos que, sob condi¸cões apropriadas sobre as curvaturas escalar e média, uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co e completa deSn+1

1 tem que ser totalmente umb´ılica. Na

se¸c˜ao 3.1, discutimos alguns fatos elementares da geometria de Sn+1

1 , como sua conex˜ao

de Levi-Civita e seu tensor de curvatura. Na se¸c˜ao 3.2, discorremos sobre hipersuperf´ıcies do espa¸co de De SitterSn+1

1 , demonstrando alguns resultados t´ecnicos, como a proposi¸c˜ao

3.2, que será fundamental na demonstra¸cão do principal resultado deste cap´ıtulo (se¸cão 3.3), o teorema 3.1.

3.1 O espa¸co de De Sitter

SejaLn+2 _{o espa¸co (n}_{+2)-dimensional de Lorentz-Minkowski, munido da m´etrica}

Lorentziana _h·,_·i dada por

hv, w_i = n+1 X

i=1

viwi₋vn+2wn+2. (45)

O espa¸co de de Sitter (n+ 1)-dimensional ´e a hiperqu´adrica Sn+1

1 de Ln+2 dada por

Sn+1

1 ={x∈Ln+2;hx, xi= 1}. (46)

Por sua vez, a hiperqu´adrica Hn+1 _de Ln+2_{, definida por}

Hn+1 ₌_{_x_∈Ln+2_;_h_{x, x}_i₌₋₁_}_,

possui duas componentes conexas, ambas isom´etricas ao espa¸co hiperb´olico (n + 1)-dimensional.

Um cálculo fácil mostra queξ(x) =xé um campo normal unitário globalmente definido sobre Sn+1

1 . Uma vez que hξ, ξi = 1, Sn1+1 ´e uma hipersuperf´ıcie Lorentziana de

Ln+2_{. O endomorfismo de Weingarten correspondente a} _ξ _{´e dado por} _{A(X) =} _−∇0

Xx=

−X, onde _∇0 _{denota a conex˜ao de Levi-Civita de}_Ln+2_{. Se} _∇_{denota a conex˜ao de}

Levi-Civita de Sn+1

1 , então a fórmula de Gauss da imersão canônica de Sn1+1 em Ln+2 é dada

por

∇0XY =∇XY +hAX, Yiξ =∇XY − hX, Yix, (47)

para todosX, Y _{∈ X}(Sn+1

(38)

SeR0 _e_R _{denotam os tensores de curvatura de} _Ln+2 _e_Sn+1

1 , respectivamente,

segue da equa¸c˜ao de Gauss para hipersuperf´ıcies semi-Riemannianas (cf. 1983) que

R(X, Y)Z = (R0_{(X, Y}_)Z)T _{− h}_{AX, Z}_i_AY ₊_h_{AY, Z}_i_AX

= _−hX, Z_iY +_hY, Z_iX, (48)

para todos X, Y, Z _{∈ X}(Sn+1

1 ). Assim, Sn1+1 tem curvatura seccional constante e igual a

1.

3.2 Hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co em Sn+1

1

Considere uma variedade diferenci´avel n-dimensional Σn_. _{Dizemos que uma} imers˜ao ϕ : Σn _→ _Sn+1

1 ´e tipo-espa¸co se o pull-back ϕ∗g da m´etrica Lorentziana g de

Sn+1

1 é uma métrica Riemanniana sobre Σn. Sempre que não houver perigo de confusão,

denotaremos tantog quanto ϕ∗_g _por _h·_,_·i_.

Dada uma imers˜ao tipo-espa¸co ϕ : Σn _→ _Sn+1

1 , ´e poss´ıvel escolhermos um

campo normal unitário tipo-tempoN globalmente definido sobre Σ. Dessa forma, obtemos uma aplica¸cão suave N : Σn _→ Hn+1_{, à qual nos referiremos como} _{aplica¸cão de Gauss}

hiperb´olica de Σ.

Para fixarmos a nota¸cão usada a seguir, exceto pela métrica, objetos sem uma barra superior se referirão a Σ e objetos com uma barra superior se referirão aSn+1

1 . Sendo

assim, _∇ e _∇ denotar˜ao as conex˜oes de Levi-Civita e R e R os tensores de curvatura de Σ e Sn+1

1 , respectivamente.

O endomorfismo de Weingarten de Σ induzido porNé dado porAX =_−∇XN, para todoX _{∈ X}(Σ), e as equa¸cões de Gauss e Codazzi são dadas, respectivamente, por (cf. O’Neill, 1983)

hR(X, Y)Z, W_i = _−hX, Z_ihY, W_i+_hX, W_ihY, Z_i

−hAX, W_ihAY, Z_i+_hAX, Z_ihAY, W_i (49)

e

(_∇XA)Y = (∇YA)X, (50)

onde X, Y, Z, W _{∈ X}(Σ).

A seguir, elencaremos algumas rela¸cões das quais faremos uso na próxima se¸cão.

Proposi¸cão 3.1 Nas nota¸cões da discussão acima, se Σn _{tem curvatura média} _H _e

cur-vatura escalar R, ent˜ao