Universalidade e ortogonalidade em espaços de Hilbert de reprodução

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Universalidade e ortogonalidade em espaços de

Hilbert de reprodução

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Universalidade e ortogonalidade em espaços de Hilbert

de reprodução

Victor Simões Barbosa

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Orientador:_{Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto}

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Abril de 2013

1

O autor teve apoio financeiro da FAPESP, Processo nº 2010/13025-3.

Data de Depósito:

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B228u

Barbosa, Victor

Universalidade e ortogonalidade em espaços de Hilbert de reprodução / Victor Barbosa; orientador Valdir Antonio Menegatto. -- São Carlos, 2013. 68 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.

1. Núcleos positivos definidos. 2. Função layout. 3. Espaços de Hilbert de reprodução. 4.

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Agrade¸co primeiramente a Deus, pois sem Ele todo este trabalho ainda estaria por ser feito.

Aos meus pais Hamilton e Gisele por serem as pessoas mais fant´asticas que conhe¸co e por nunca medirem esfor¸cos para possibilitar que eu atingisse meus objetivos.

`

A minha irmã Amanda e ao meu irmão José Luiz por completarem esta fam´ılia maravilhosa a qual devo muito do que sou e tenho hoje.

Aos meus quase irm˜aos e grandes amigos Francys e Lucas pela companhia e todo o apoio que foram fundamentais para superar as dificuldades.

`

A minha namorada Patricia pela imensa paciência e compreensão, pelo enorme carinho e cuidado durante todo o per´ıodo de confeçcão do presente trabalho e por centenas de outros motivos que contribuiram de forma imprescindivel para que eu chegasse até aqui.

`

A Profa_{. Dra. Marta Cilene Gadotti pela ajuda de sempre.}

Aos amigos do ICMC: Alina, Ariadne, Evandro, Gabriel, Gil, La´ıs, Noemi, Preta, Tha´ıs, dentre tantos outros com quem tive o prazer de dividir in´umeros momentos dando-me a certeza que nunca estive s´o nesta caminhada.

Aos funcionários do ICMC, em especial às secretárias Ana Carolina, Ana Paula, Glaucia e Lha´ıs por toda a aten¸cão e competência.

Expresso ainda minha sincera gratidão ao meu orientador Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto pela dedica¸cão, paciência, amizade e principalmente por toda a confian¸ca depositada sobre mim.

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Introdu¸c˜ao 13 1 Preliminares 15

1.1 N´ucleos positivos definidos e a fun¸c˜ao layout . . . 15

1.2 Existência de fun¸cões layout para um núcleo positivo definido . . . 17

1.3 Fun¸c˜oes layout e espa¸cos de Hilbert de reprodu¸c˜ao . . . 22

1.4 Espa¸cos de Hilbert de Reprodu¸c˜ao de dimens˜ao finita . . . 25

2 N´ucleos universais 29 2.1 O teorema de Riesz e a fun¸c˜ao layout . . . 29

2.2 A injetividade de jX . . . 32

2.3 A aplica¸c˜ao lX e o seu papel . . . 35

2.4 Universalidade . . . 37

2.5 Universalidade e a teoria de Mercer . . . 38

3 Exemplificando universalidade 43 3.1 Um n´ucleo de Mercer cl´assico . . . 43

3.2 Núcleos definidos por séries de potências . . . 44

3.3 N´ucleos PD sobre a esfera unit´aria . . . 46

3.4 N´ucleos invariantes por transla¸c˜ao sobre Rd . . . 47

3.5 N´ucleos radiais sobre Rd _{. . . .} ₅₂

4 Ortogonalidade a partir de suportes disjuntos 57 4.1 Conceitos preliminares e um exemplo . . . 57

4.2 Ortogonalidade via suportes disjuntos e a fun¸c˜ao layout . . . 58

4.3 Exemplificando . . . 60

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Os núcleos positivos definidos aparecem em vários segmentos da Matemática, incluindo Álgebra Linear, Análise Funcional, Teoria da Aproxima¸cão, etc.([8, 25]). Mais recentemente, eles têm sido usados com relativa frequência na Teoria do Aprendizado ([9]), em problemas envolvendo a análise espectral fina de operadores integrais ([3, 10]) bem como em várias outras instâncias em que espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão e espa¸cos nativos aparecem nas formula¸cões dos problemas ([4, 17, 25]).

A teoria dos núcleos positivos definidos é composta por uma gama considerável de objetos, dentre os quais podemos destacar as chamadas fun¸cões layout (feature maps) atreladas a eles. Estas fun¸cões têm papel fundamental nessa teoria já que elas transferem, via o núcleo, propriedades do conjunto dom´ınio do núcleo para um espa¸co com produto interno conveniente. O objetivo principal deste trabalho é discutir um pouco da teoria dos núcleos positivos definidos sobre um espa¸co topológico, focando naquelas propriedades que envolvem diretamente as fun¸cões layout. Assim sendo, tais fun¸cões tem papel determinante nos principais resultados abordados nesta disserta¸cão.

Inicialmente fazemos uma breve introdu¸cão da teoria dos núcleos positivos definidos necessária para o entendimento do trabalho. Entre defini¸cões, exemplos e resultados, exploramos diversas propriedades: a existência e unicidade do espa¸co de Hilbert de re-produ¸cão associado ao núcleo, a representa¸cão do núcleo via fun¸cão layout e a descri¸cão do espa¸co de Hilbert de reprodu¸cão via fun¸cão layout. Neste último ponto, analisamos a fundo a existência de tal representa¸cão e discutimos a sua não unicidade. Ademais, apresentamos duas formula¸cões diferentes para explicitar o espa¸co de Hilbert de repro-du¸cão em termos de uma fun¸cão layout, dependendo da presen¸ca ou ausência de uma propriedade de fundamentalidade.

Posteriormente, trabalhando tão somente com núcleos positivos definidos cont´ınuos, definimos formalmente o que significa o núcleo possuir a propriedade universal da aproxima¸cão (ou resumidamente ser um núcleo universal). Partindo desta defini¸cão,

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buscamos condi¸cões para garantir a universalidade do núcleo, de maneira paralela ao estudo desenvolvido em [16]. Em um dos principais resultados do trabalho, encontramos uma condi¸cão necessaria e suficiente sobre a fun¸cão layout para que um núcleo seja universal. Frente as dificuldades existentes, vimo-nos na necessidade de definir diversos objetos, buscando formas de relacioná-los, até obtermos o resultado desejado. Estas defini¸cões e rela¸cões exigiram conceitos nem sempre tão básicos de integra¸cão, teoria da medida, análise funcional clássica, entre outros.

Na sequência, fixando o núcleo dentro de alguma categoria definida, exploramos diferentes condi¸cões sobre os mesmos para garantir a propriedade universal da apro-xima¸cão. Para um núcleo de Mercer clássico, apresentamos uma condi¸cão para uni-versalidade envolvendo as aplica¸cões que compõem sua representa¸cão. Amparados em resultados envolvendo multi-´ındices, justificamos a universalidade de núcleos definidos por séries de potências em várias variáveis reais. Análises similares foram implementa-das para determinar a universalidade de núcleos positivos definidos na esfera unitária mdimensional, de núcleos radiais sobreRne de núcleos sobreRn invariantes por trans-la¸cões.

Por último, examinamos os espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão associados a núcleos positivos definidos cont´ınuos, tentando identificar hipóteses adicionais para garantir a ortogonalidade a partir de suportes disjuntos no espa¸co. Tal propriedade reflete a ortogonalidade de quaisquer duas fun¸cões do espa¸co, quando as mesmas têm supor-tes disjuntos. Nossa análise baseou-se na referência [27] e tentou usar, tanto quanto poss´ıvel, as fun¸cões layout previamente estudadas.

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1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduziremos os conceitos necessários ao desenvolvimento do tra-balho, exemplificando e apresentando os resultados básicos atrelados a eles. Isso será feito de maneira econômica, ou seja, não exploraremos estes conceitos além daquilo que o trabalho exigirá. Referências que contém informa¸cões adicionais ou mesmo resultados mais profundos envolvendo estes conceitos serão indicadas ao longo do texto.

1.1 N´

ucleos positivos definidos e a fun¸

c˜

ao layout

A seguinte defini¸cão contempla a defini¸cão usual de núcleo positivo definido. Aqui E é um conjunto não vazio qualquer.

Defini¸cão 1.1.1. Uma fun¸cão K :E×E →C é um núcleo positivo definido sobre E (resumidamente, núcleo PD sobre E) se a matriz n×n com entradas K(xi, xj) é não

negativa definida para todo inteiro positivon e quaisquer n pontos x1, x2, . . . , xn de E.

Em outras palavras, a defini¸c˜ao acima exige que

n

X

j,k=1

cjckK(xj, xk)≥0,

para todo inteiro positivo n e quaisquer que sejam os pontos x1, x2, . . . , xn de E e os

n´umeros complexos c1, c2, . . . , cn.

Núcleos PD genuinamente complexos são automaticamente hermitianos. Se o núcleo é uma fun¸cão a valores reais, e esta mesma propriedade é desejável, então ela tem que

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ser adicionada ao contexto. Uma teoria para tais núcleos pode ser encontrada em [3]. A referência [21] traz núcleos positivos definidos em algoritmos para análise de padrão (pattern analysis) e na teoria do aprendizado (learning theory), temas mais modernos onde os mesmos se apresentam.

Agora, ilustraremos a defini¸c˜ao acima com alguns poucos exemplos.

Exemplo 1.1.2. Se E é um espa¸co vetorial complexo com produto interno h·,·i_E, então a expressão

K(x, y) = hx, yi_E, x, y ∈E, define um n´ucleo PD sobre E. De fato, basta notar que

n

X

i,j=1

cicjK(xi, xj) = n

X

i,j=1

cicjhxi, xjiE =

* _n

X

i=1 cixi,

n

X

j=1 cjxj

+

E

≥0,

quaisquer que sejam os n´umeros complexoscj’s e os elementos xj’s de E.

Exemplo 1.1.3. Se f é uma fun¸cão complexa com dom´ınioE, então a expressão K(x, y) =f(x)f(y), x, y ∈X,

define um n´ucleo PD sobre E.

Exemplo 1.1.4. Sejad um inteiro positivo fixado e considere a esfera unit´aria Sd _de

Rd+1_{. Seja}_Pd

k,k ∈Z+, o polinômio de Legendre de grauk associado ao inteiro positivo d, como discutido em [12]. Este polinômio é um múltiplo do polinômio ultra-esférico P_k(d−1)/2 de grau k associado ao número real (d−1)/2 como descrito em [22] e carrega a normaliza¸cão Pd

k(1) = 1. A express˜ao

K(x, y) = ∞ X

k=0

akPkd(x·y), x, y ∈Sd,

onde “·” é o produto interno usual de Rd+1, cada ak é não negativo e P∞_k₌₀ak < ∞,

define um núcleo PD cont´ınuo sobre Sd_{. Este resultado é uma parte da caracteriza¸cão}

dos n´ucleos PD cont´ınuos e bizonais fornecida por Schoenberg em [20]. Em particular, cada fun¸c˜ao (x, y)∈Sd_×_Sd_→_Pd

k(x·y) ´e um n´ucleo PD sobre Sd.

A proposi¸c˜ao abaixo descreve uma generaliza¸c˜ao dos dois primeiros exemplos citados acima.

Proposi¸c˜ao 1.1.5. Seja W um espa¸co com produto interno h·,·i_W. Se uma aplica¸c˜ao K :E×E →C satisfaz

K(x, y) =hΦ(x),Φ(y)i_W, x, y ∈E,

(17)

Demonstra¸cão: Se K é como na fórmula do enunciado da proposi¸cão, a forma qua-drática da Defini¸cão 1.1.1 é

n

X

j,k=1

cjckhΦ(xj),Φ(xk)i=

* _n

X

j=1

cjΦ(xj), n

X

k=1

ckΦ(xk)

+

W ,

uma express˜ao sempre n˜ao negativa.

A proposi¸c˜ao acima motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.1.6. Seja K um n´ucleo PD sobre E. Se existir um espa¸co de Hilbert W

munido do produto interno h·,·iW e uma aplica¸c˜ao Φ :E → W tal que

K(x, y) = hΦ(x),Φ(y)i_W, x, y ∈E,

diremos que Φ é uma fun¸cão layout para o núcleo K.

Usualmente, o espa¸co W da defini¸cão acima é chamado de um espa¸co layout para K, mas esta terminologia não será explorada nesta disserta¸cão. Como a fun¸cão Φ pode não ser sobrejetora e o espa¸co W é pass´ıvel de restri¸cões ou extensões métricas, é de se esperar que quando uma fun¸cão layout para K existe, ela não é necessariamente ´

unica. Além disso, note que a condi¸cão deW ser um espa¸co de Hilbert não é necessária para garantir que o núcleoK seja positivo definido, porém a constru¸cão que será feita adiante nos fornece a garantia de que tal condi¸cão pode ser incorporada à Defini¸cão 1.1.6, sem perda alguma de generalidade. A existência e constru¸cão de fun¸cões layout para um núcleo positivo definido K é o tema da se¸cão seguinte.

1.2 Existˆ

encia de fun¸

c˜

oes layout para um n´

ucleo

posi-tivo definido

Apresentaremos nesta se¸cão dois métodos consideravelmente diferentes para se construir fun¸cões layout para um núcleo PD sobre um conjunto não vazio. Em par-ticular, isto ratificará a não unicidade da fun¸cão layout mencionada no final da se¸cão anterior.

Come¸caremos recordando a defini¸c˜ao de completamento para um espa¸co com pro-duto interno.

Defini¸cão 1.2.1. Seja E um espa¸co com produto interno h·,·i_E. Diremos que um espa¸co de Hilbert( ˜E,h·,·i_E˜)é o completamento de (E,h·,·i_E), se existir uma aplica¸cão T :E →E˜ linear e injetora satisfazendo

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Enunciaremos agora um importante resultado sobre a existˆencia do completamento de um espa¸co com produto interno. Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [15, p.139].

Lema 1.2.2. Todo espa¸co com produto interno E admite um completamento E.˜ Ademais, este completamento é único a menos de isomorfismos isométricos.

Dando sequência, definiremos formalmenteespa¸co de Hilbert de reprodu¸cão (EHR). Se K é um núcleo sobre um conjunto não vazio E e x ∈ E, denotaremos por Kx a

fun¸c˜ao y ∈E →K(x, y).

Defini¸cão 1.2.3. Seja K um núcleo PD sobre um conjunto não vazio E. O espa¸co de Hilbert de reprodu¸cão associado a K é um espa¸co de Hilbert(HK,h·,·i) (de fun¸cões de

E em C) que satisfaz as seguintes propriedades: (i) Kx ∈ HK, x∈E;

(ii) (Propriedade de reprodu¸c˜ao) hf, Kxi=f(x), f ∈ HK, x∈E.

A teoria dos espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão está bem fundamentada na literatura ([1, 19]). A existência e unicidade do EHR associado a um núcleo K são justificadas abaixo. Antes, porém, lembremos que se U é um subconjunto de um espa¸co de Hilbert

H, o complemento ortogonal U⊥ _de _U _em _H _{´e o subespa¸co formado por todos os} elementos de H que s˜ao ortogonais a cada elemento de U.

Teorema 1.2.4. SeK é um núcleo PD sobre um conjunto não vazioE, então existe um espa¸co de Hilbert de reprodu¸cão associado aK, o qual é único a menos de isomorfismos isométricos.

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o espa¸co de fun¸c˜oes

H0 = [{Ky :y∈E}].

Para duas fun¸c˜oes quaisquer em H0, digamos

f(·) =

m

X

i=1

αiK(·, xi) e g(·) = n

X

j=1

βjK(·, yj),

a f´ormula

hf, gi_H0 :=

m

X

i=1

n

X

j=1

αiβjK(yj, xi)

(19)

define uma semi-norma em H0. Agora, se hf, fiH0 = 0, podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para deduzir que

|f(x)|=|hf, K(·, x)i_H0| ≤ kfk_H0kK(·, x)k_H0 = 0, x∈E.

Em outras palavras, f = 0. Desta forma, H0,h·,·iH0

´e um espa¸co com produto interno. Como

hf, K(·, x)i_H0 =

m

X

i=1

αiK(x, xi) =f(x), x∈E,

as propriedades (i) e (ii) da defini¸c˜ao de EHR j´a valem, mesmo H0,h·,·i_H0

não sendo ainda um espa¸co de Hilbert. O completamento (H,k · k_H) de (H0,k · kH0), conforme descrito no in´ıcio desta se¸cão, é um EHR associado a K. Para mostramos que ele é ´

unico a menos de isomorfismos isométricos, suponhamos que (H1,h·,·iH1) seja outro EHR associado K. A defini¸cão de H0 implica imediatamente que H0 ⊆ H1 e pela propriedade de reprodu¸cão válida em H1, segue que

hf, gi_H0 =hf, gi_H1, f, g ∈ H0. (1.1)

Consideremos a aplica¸c˜ao inclus˜aoH0

i

−→ H1. É de conhecimento prévio queié linear e injetora. Além disso (1.1) nos garante que i satisfaz a condi¸cão (i) na defini¸cão de completamento. Por fim, mostremos quei(H0) =H1. Observemos que se esta igualdade não fosse verdadeira, então a inclusão i(H0) ⊆ H1 seria própria, logo poder´ıamos selecionar uma fun¸cão g não nula no complemento ortogonal de i(H0) em H1. No entanto, a propriedade de reprodu¸cão em H1 implicaria que

g(x) =hg, KxiH1 = 0, x∈E,

uma contradi¸c˜ao. Assim, temos a igualdade sugerida e pelo Lema 1.2.2, conclu´ımos o resultado.

A existência de um EHR (HK,h·,·iHK) associado a um núcleo positivo definido K sobreE permite a constru¸cão imediata de uma fun¸cão layout para K. De fato, como a constru¸cão do EHR apresentada na prova do teorema anterior nos dá

K(x, y) =hKx, KyiHK, x, y ∈E,

basta definirmosW :=HK e Φ(x) = Kx,x∈E.

(20)

Teorema 1.2.5. Seja E um conjunto não vazio e K um núcleo PD sobre E. Suponha que K admita uma representa¸cão na forma

K(x, y) = ∞ X

j=0

λjφj(x)φj(y), (x, y)∈E×E,

onde cada λj é positivo, cada φj é uma fun¸cão com dom´ınio E a valores complexos

e a série converge para cada par (x, y) de E ×E. Então, existe uma fun¸cão layout Φ :E → W para K, onde o espa¸co de Hilbert W é separável.

Demonstra¸c˜ao: E suficiente tomarmos´ W como sendo o espa¸co de Hilbertℓ2 usual e definirmos Φ : E →ℓ2 pela f´ormula Φ(x) = (x(j)),x∈E, onde

x(j) :=λ1_j/2φj(x), x∈E, j = 0,1, . . . .

De fato, denotando o produto interno de ℓ2 por h·,·i2, temos que

hΦ(x),Φ(y)i₂ =

∞ X

j=1

x(j)y(j) = ∞ X

j=1

λ1_j/2φj(x)λj1/2φj(y) =K(x, y), x, y ∈E.

Isto finaliza a demonstra¸c˜ao do teorema.

A representa¸cão para K usada como hipótese no teorema anterior está em consonância com a representa¸cão para núcleos fornecida pelo teorema de Mercer. O teo-rema vale em vários contextos, com hipóteses adequadas a cada um deles. A situa¸cão mais comum ocorre quando E tem alguma topologia e K é no m´ınimo cont´ınuo. Por outro lado, o teorema de Mercer usualmente garante a convergência uniforme e absoluta da série que representa K e a sequência de fun¸cões na representa-¸cão é usualmente formada por fun¸cões cont´ınuas. Indicamos a referência [10] e outras lá citadas para informa¸cões gerais sobre o teorema de Mercer e generaliza¸cões.

O teorema anterior é perfeitamente adaptável para o caso em que a série represen-tando K é uma soma finita. Uma formaliza¸cão deste fato forma o conteúdo dos dois resultados a seguir. Usaremosu∗ _{para denotar o vetor obtido de} _u_∈_Cd_{via conjuga¸cão}

seguida por uma transposi¸c˜ao.

Teorema 1.2.6. Seja E um conjunto não vazio e K um núcleo PD sobre E. Então,

HK tem dimens˜ao finita d se, e somente se, existem uma matriz A (que depende de

K) hermitiana e positiva definida de ordemd e um conjunto linearmente independente

{φ1, φ2, . . . , φd} de fun¸c˜oes complexas com dom´ınio E de modo que

K(x, y) =φ(x)Aφ(y)∗, x, y ∈E, (1.2)

(21)

Demonstra¸c˜ao: Suponha que HK tenha dimens˜ao d e fixe uma base ortogonal B =

{φ1, φ2, . . . , φd} de HK. ComoKx ∈ HK,x∈E, podemos escrever

Kx = d

X

j=1 αx

iφi, αx1, α2x, . . . , αxd ∈C, x∈E.

Por outro lado, a ortogonalidade de B nos d´a, para cada x∈E, que

hKx, φji_H_K =

* _d

X

i=1

αx_iφi, φj

+ HK = d X i=1

αx_ihφi, φjiHK =α

x

jkφjk2_H_K, j = 1,2, . . . , d.

Como cadaφj n˜ao ´e identicamente nula, obtemos

Kx = d

X

j=1

hKx, φji_H_K

kφjk2HK

φj, x∈E.

Pela propriedade de reprodu¸c˜ao emHK, podemos agora deduzir que

K(x, y) = hKx, Kyi_H_K = d

X

i,j=1

φi(x)

kφik2_H_K

φj(y)

kφjk2_H_K

!

hφi, φji_H_K, x, y ∈E.

Rearranjando,

K(x, y) =

d

X

i,j=1

hφi, φji_H_K

kφik2HKkφjk

2 HK

φi(x)φj(y), x, y ∈E.

Esta ´e a f´ormula do enunciado comA= (aij), onde

aij =

hφi, φji_H_K

kφik2HKkφjk

2 HK

, i, j = 1,2, . . . , d.

A rec´ıproca segue do Teorema 1.2.4 e observando-se que cada Kx pertence ao espa¸co

de dimens˜ao finita [{φ1, φ2, . . . , φd}].

Note que na primeira implica¸c˜ao da demonstra¸c˜ao acima podemos tomar, em par-ticular,B como sendo uma base ortonormal para HK. Neste caso, a matrizA torna-se

a matriz identidade de ordemdenquanto que a representa¸c˜ao para o n´ucleo K toma a forma simplificada

K(x, y) =

d

X

i=1

φi(x)φi(y), x, y ∈E.

(22)

Corolário 1.2.7. Nas condi¸cões do teorema anterior, se W = Cd com seu produto interno usual h·,·iCd e B é uma ra´ız quadrada de A, então Φ : E → Cd dada por Φ(x) =φ(x)B, x∈E, é uma fun¸cão layout para K.

Finalizaremos esta se¸cão, apresentando um resultado independente que atrela a continuidade do núcleo à continuidade de qualquer fun¸cão layout para ele.

Proposi¸cão 1.2.8. Seja K um núcleo PD sobre um espa¸co topológico E. Se Φ : E → W é uma fun¸cão layout para K, então K é cont´ınuo se, e somente se, Φ é cont´ınua.

Demonstra¸cão: Seja Φ : E → W é uma fun¸cão layout paraK e denote a norma em

W por k · k. ´E f´acil ver que

kΦ(x)−Φ(y)k2 = hΦ(x),Φ(x)i_W+hΦ(y),Φ(y)i_W− hΦ(x),Φ(y)i_W− hΦ(y),Φ(x)i_W

= K(x, x) +K(y, y)−K(x, y)−K(y, x).

Portanto, a continuidade de K implica na continuidade de Φ. Para a rec´ıproca, basta usar a desigualdade

|K(x, y)−K(z, w)| ≤ kΦ(x)−Φ(z)kkΦ(y)k+kΦ(z)kkΦ(y)−Φ(w)k, x, y, z, w ∈E.

Isto conclui a demonstra¸c˜ao.

1.3 Fun¸

c˜

oes layout e espa¸

cos de Hilbert de reprodu¸

c˜

ao

Nesta se¸cão, descreveremos dois resultados que estabelecem rela¸cões mais efetivas entre as fun¸cões layout e os espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão.

Vejamos uma motiva¸cão para o primeiro deles. Seja Φ :E → W uma fun¸cão layout para o núcleoKPD sobreE. Podemos extrair a seguinte fórmula da defini¸cão de fun¸cão layout:

Ky(x) = K(x, y) =hΦ(x),Φ(y)iW, x, y ∈E.

Se para u∈ W fixo, colocarmos

Φu(x) :=hΦ(x), uiW, x∈E,

a f´ormula anterior se torna

Ky(x) = ΦΦ(y)(x), x∈E. (1.3)

Em particular, ela revela que

(23)

e, portanto, é razoável tentarmos descreverHK através das fun¸cões Φu.

Lembramos uma terminologia comum que usaremos ao longo do trabalho.

Defini¸cão 1.3.1. Um subconjunto não vazio A de um espa¸co vetorial normado V é fundamental em V se o subespa¸co gerado por A é denso em V. Dependendo do contexto, a palavra fundamental pode ser substitu´ıda pela palavra total.

Proposi¸cão 1.3.2. Sejam K um núcleo PD sobre E e Φ : E → W uma fun¸cão layout para K. Se Φ(E) é um subconjunto fundamental de W, então (HK,h·,·iHK) é

isometricamente isomorfo a (HΦ,h·,·iHΦ), onde

HΦ={Φu :u∈ W}

e

hΦu,Φvi_HΦ =hv, uiW, Φu,Φv ∈ HΦ. (1.4)

Demonstra¸cão: O primeiro passo será mostrar que o espa¸co HΦ é um espa¸co de Hilbert. Um cálculo direto revela que

Φu+ Φv = Φu+v, u, v ∈ W,

e

λΦu = Φλu u, v ∈ W, λ∈C.

Logo, HΦ tem estrutura de espa¸co vetorial. Observemos ainda que, sendo h·,·iW pro-duto interno emW, a formah·,·i_HΦ define um produto interno para o espa¸coHΦ, como pode ser facilmente verificado. Mostraremos agora que HΦ munido do produto (1.4) é um espa¸co de Hilbert. Para isso notemos que, se (Φun), un ∈ W, é uma sequência de Cauchy neste espa¸co, então

kΦun −Φumk

2

HΦ = hΦun,ΦuniHΦ− hΦun,ΦumiHΦ− hΦum,ΦuniHΦ +hΦum,ΦumiHΦ = hun, uniW − hum, uniW− hun, umiW +hum, umiW,

ou seja,

kΦun−Φumk

2

HΦ =kun−umk 2

W, m, n= 1,2, . . . .

Logo, (un) é uma sequência de Cauchy em W. Como W é completo, existe entãouem

W tal que

lim

n→∞kun−ukW = 0. Da igualdade

kΦun−Φuk

2

(24)

conclu´ımos que

lim

n→∞kΦun−ΦukHΦ = 0. Para finalizar a demonstra¸c˜ao, consideremos a aplica¸c˜ao

n

X

j=1

cjKyj ∈[{Ky :y∈E}]

ζ

−→

n

X

j=1

cjΦΦ(yj) ∈ HΦ.

Utilizando (1.3) e as duas fórmulas citadas no in´ıcio da demonstra¸cão, podemos verificar sem dificuldades que ζ é linear e injetora. Por outro lado,

hζ(Kx), ζ(Ky)i_HΦ =

ΦΦ(x),ΦΦ(y)

HΦ =hΦ(y),Φ(x)iW =K(y, x), x, y ∈E,

ou seja,

hζ(Kx), ζ(Ky)i_HΦ =hKx, Kyi_H_K, x, y ∈E.

Da linearidade de ζ e do produto interno, conclu´ımos que

hζ(f), ζ(g)iHΦ =hf, giHK, f, g∈[{Ky :y ∈E}].

Por fim, sendo a imagem de Φ fundamental em W, segue que ζ([{Ky :y ∈E}]) ´e

denso em HΦ. Todos estes argumentos juntos implicam que HΦ ´e um completamento de [{Ky :y ∈E}]. Assim, pela unicidade do mesmo garantida pelo Lema 1.2.2, segue

que os espa¸cos de Hilbert HΦ eHK s˜ao isometricamente isomorfos.

Fechando os argumentos da proposi¸c˜ao anterior, observe que o espa¸co de Hilbert constru´ıdo tem, de fato, a propriedade de reprodu¸c˜ao para K:

hΦu, Kyi_H=

Φu,ΦΦ(y)

H =hΦ(y), uiW = Φu(y), y∈E.

A próxima proposi¸cão explica com mais detalhes o efeito real da hipótese de fun-damentalidade utilizada na proposi¸cão anterior. Essencialmente, a proposi¸cão descreve como tal hipótese pode ser retirada e a qual pre¸co.

Lembremos que seF é um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H, temos a decomposi¸cão H =F ⊕F⊥ _{([26, p.40]). Para o resultado a seguir, fixada uma fun¸cão} layout Φ : E → W para K, consideraremos a decomposi¸cão W = [Φ(E)]⊕[Φ(E)]⊥ e a proje¸cão ortogonal PΦ deW sobre [Φ(E)].

Proposi¸cão 1.3.3. Seja Φ : E → W uma fun¸cão layout para o núcleo K. Então, (HK,h·,·iHK) é isometricamente isomorfo a (H,h·,·iH) onde

H=nΦu :u∈[Φ(E)]

o

e

(25)

Demonstra¸cão: Como no teorema anterior, Htem estrutura de espa¸co vetorial. Para verificar que h·,·i_H define um produto interno em H, é suficiente usar a linearidade do produto interno em W e a linearidade da proje¸cão PΦ. Para a verifica¸cão de que (H,h·,·iH) é um espa¸co de Hilbert, basta observar que se (Φun), un ∈ W, é uma sequência de Cauchy em H, então

kΦun−Φumk

2

H=kun−umk2W =kPΦ(un)−PΦ(um)k2W, m, n= 1,2, . . . , e repetir os argumentos da demonstra¸cão anterior. Aqui estamos usando o fato da proje¸cão ortogonal ser um operador de norma 1. Como na proposi¸cão anterior, a aplica¸cão

n

X

j=1

cjKyj ∈[{Ky :y∈E}]

ζ

−→

n

X

j=1

cjΦΦ(yj) ∈ H

´e linear e injetora. Uma vez que a imagem dePΦ ´e o conjunto dos pontos fixos de PΦ,

hζ(Kx), ζ(Ky)i_H =

ΦΦ(x),ΦΦ(y)

H

= hPΦ(Φ(y)), PΦ(Φ(x))i_W

= hΦ(y),Φ(x)i_W =K(y, x), x, y ∈E.

Logo, como na prova da proposi¸c˜ao anterior, segue que

hζ(f), ζ(g)iH=hf, giHK, f, g∈[{Ky :y ∈E}].

Finalmente, como [Φ(E)] é um subespa¸co fechado do espa¸co de Hilbert W, ele próprio é um espa¸co de Hilbert munido do produto interno induzido de W ([15, p.140]). Essa é a informa¸cão primordial na justificativa de que a imagem de ζ é densa em H.

Observa¸cão 1.3.4. Como consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que uma fun¸cão layout paraK satisfaz

|Φu(x)−Φu(y)| = |hΦ(x)−Φ(y), ui_W|

≤ kuk_WkΦ(x)−Φ(y)k_W =kΦukHKkΦ(x)−Φ(y)kW, x, y ∈E.

Se Φ é cont´ınua (ou equivalentemente, K é cont´ınuo), então cada Φu é cont´ınua. A

Proposi¸cão 1.3.2 nos revela, então, que todo elemento de HK é uma fun¸cão cont´ınua,

ratificando de maneira alternativa metade do que foi justificado na Proposi¸c˜ao 1.2.7.

1.4 Espa¸

cos de Hilbert de Reprodu¸

c˜

ao de dimens˜

ao

fi-nita

(26)

Seja, então, K um núcleo que possui a descri¸cão (1.2) para alguma matriz A de ordem d e fun¸cões φk, k = 1,2, . . . , d, nas condi¸cões do teorema. A ideia principal é

tentar vizualizar o espa¸co (HK,h·,·i_H_K) atrav´es de A.

Inicialmente, definamos o produto interno

hz, wiA=zAw∗ =

d

X

i,j=1

ziwjaij, z, w∈Cd,

onde estamos escrevendoz = (z1, z2, . . . , zd) ew= (w1, w2, . . . , wd). ComoA´e positiva

definida e hermitiana, as propriedades que comprovam que tal aplica¸cão é, de fato, um produto interno em Cd são facilmente verificadas. Definindo, então, W := (Cd,h·,·i_A), é fácil ver que Φ :E → W dada por

Φ(x) := φ(x) = (φ1(x), φ2(x), . . . , φd(x)), x∈E,

´e uma fun¸c˜ao layout para K.

Para c ∈ [Φ(E)], escrevamos (Ac∗₎

i para denotar a i-´esima componente do vetor

Ac∗_.

Teorema 1.4.1. Seja K um núcleo conforme explicitado acima. Então HK é

isome-tricamente isomorfo ao espa¸co

H =

( _d

X

i=1

(Ac∗)iφi :c= (c1, c2, . . . , cd)∈[Φ(E)]

) .

munido do produto interno

* _d

X

i=1

(Ab∗)iφi, d

X

j=1

(Ac∗)jφj

+

HA

=PΦ(c)A PΦ(b)∗, b, c∈Cd,

onde b = (b1, b2, . . . , bd) e c= (c1, c2, . . . , cd).

Demonstra¸cão: Aplicando a Proposi¸cão 1.3.3, temos queHK é uma cópia isométrica

do espa¸co

H =nΦc :c= (c1, c2, . . . , cd)∈[Φ(E)]

o ,

onde Φc(x) = hΦ(x), ciA,x∈E. Com isso, pela f´ormula do produto interno em quest˜ao,

obtemos

H=

( _d

X

i,j=1

aijcjφi :c= (c1, c2, . . . , cd)∈[Φ(E)]

) . Ou seja, H= ( _d X i=1 d X j=1 aijcj

!

φi :c= (c1, c2, . . . , cd)∈[Φ(E)]

(27)

Simplificando um pouco mais chegamos a

H=

( _d

X

i=1

(Ac∗)iφi :c= (c1, c2, . . . , cd)∈[Φ(E)]

) .

Para obtermos a f´ormula para o produto interno, fixemos dois elementos f =Pd

i=1(Ab∗)iφi eg =Pdj=1(Ac∗)jφj deH. Como

hf, giH=hΦb,ΦciH,

a Proposi¸c˜ao 1.3.3 implica que

hf, giH =hPΦ(c), PΦ(b)iW =PΦ(c)APΦ(b)∗,

e o resultado segue.

Pequenas modifica¸cões nos argumentos utilizados na demonstra¸cão do teorema acima produzem a seguinte formula¸cão adicional. No que segue, AT _{denotará a}

trans-posta da matriz A.

Corolário 1.4.2. Nas condi¸cões do teorema anterior, se a imagem de Φ é um subconjunto fundamental de Cd, então

HK =

( _d

X

i=1

ψiwi :w= (w1, w2, . . . , wd)∈Cd

)

munido do produto interno

* _d

X

i=1 ψizi,

d

X

j=1 ψjwj

+

HK

=Dz AT−1 , wE

Cd, w, z ∈C

d_,

(28)

(29)

2

N´

ucleos universais

Ao longo deste cap´ıtulo, E será um espa¸co topológico de Hausdorff e K um núcleo PD cont´ınuo sobreE. Se X é um subconjunto compacto não vazio deE, denotaremos por C(X) o espa¸co de todas as fun¸cões cont´ınuas a valores complexos definidas em X, munido de sua topologia da convergência uniforme emX. A norma em C(X) será denotada por k · k∞. Isto feito, diremos que K é um núcleo universal se para cada subconjunto compacto X deE, o conjunto {K(·, y) :y ∈X} formado pelas restri¸cões das aplica¸cões Ky a X é fundamental em C(X). Equivalentemente, K é universal se,

e somente se, fixados o compacto X, uma fun¸c˜ao cont´ınua f :X → C e ε >0, existe uma fun¸c˜ao g no fecho de [{K(·, y) :y∈X}] em C(X), de modo que

kf−gk∞ := max

x∈X |f(x)−g(x)|< ε.

Neste cap´ıtulo, estudaremos detalhadamente a universalidade de um núcleo cont´ınuoK em conexão com uma fun¸cão layout paraKfixada. Já que existe uma forte liga¸cão entre o núcleo PD e qualquer uma de suas fun¸cões layout, determinaremos que propriedade a fun¸cão layout deve possuir para que tenhamos garantida a universalidade do núcleo e vice e versa. O processo para se chegar a resultados desta natureza é longo e técnico, razão pela qual dividiremos este cap´ıtulo em várias se¸cões.

2.1 O teorema de Riesz e a fun¸

c˜

ao layout

Fixada uma fun¸cão layout Φ :E → W, estudaremos nesta se¸cão algumas transfor-ma¸cões integrais especiais definidas através de Φ. Os resultados são puramente técnicos

(30)

e entram nas justificativas dos resultados principais do trabalho apresentados à frente. A menos de especifica¸cão em contrário, o s´ımboloXindicará um subconjunto compacto arbitrário e não vazio de E.

Escreveremos M(X) para denotar o espa¸co de todas as medidas de Radon complexas sobre X. Para cadaµ em M(X), podemos construir naturalmente um ele-mento do dual C(X)∗ _de _C₍_X_{) atrav´es da f´ormula}

Iµ(f) =

Z

X

f dµ, f ∈C(X).

A express˜ao

kµk= sup{|Iµ(g)|:g ∈C(X) :kgk∞≤1},

é usualmente conhecida por varia¸cão total de µ e define uma norma em M(X). Isto pode ser ratificado em [11, p.94] ou no Cap´ıtulo 5 de [13]. Mais do que isso, segundo o Teorema de Representa¸cão de Riesz ([11, p.223]), a aplica¸cão

µ∈ M(X)−→ι Iµ∈C(X)∗ (2.1)

é um isomorfismo isométrico. Por outro lado, se χY denota a fun¸cão caracter´ıstica de

Y, a f´ormula

|µ|(Y) = sup{|Iµ(gχY)|:g ∈C(X) :kgk∞ ≤1}, Y ⊆X,

define uma medida sobreX, amedida de varia¸cão total deµ. Sua rela¸cão com a varia¸cão total de µé descrita pela fórmula kµk=|µ|(X).

Lema 2.1.1. Sejam µum elemento de M(X) e K um núcleo PD e cont´ınuo sobre E. Suponha que Φ :E → W seja uma fun¸cão layout para K. Então, a fórmula

L(u) := Z

X

Φu(x)dµ(x), u∈ W,

define um elemento de C(W)∗_{. Ainda, existe um ´}_unico _w0 _{∈ W} _{de modo que}

L(u) = hw0, ui_W, u∈ W. (2.2)

Demonstra¸cão: E fácil ver que´ L é uma aplica¸cão linear. Para verificarmos a sua continuidade, primeiro note que

|L(u)| ≤

Z X

Φu(x)dµ(x)

≤ Z X

|hΦ(x), ui_W|d|µ|(x), u∈ W.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, conclu´ımos que

|L(u)| ≤

Z

X

(31)

Como Φ ´e cont´ınua,

|L(u)| ≤sup

x∈X

kΦ(x)kW

Z

X

kukWd|µ|(x), u∈ W.

Como medidas de Radon complexas s˜ao regulares, segue que

kLk ≤ sup

x∈X

kΦ(x)kWkµk<∞.

A afirma¸cão do lema é, então, uma consequência do Teorema da Representa¸cão de Riesz usual.

O elementow0 fornecido pelo lema anterior depende deX, Φ (portanto, deK) eµ. Logo, se um destes dados está devidamente fixado, esta dependência, apesar de ainda existir, poderia ser omitida nas nota¸cões. Sempre omitiremos a dependência de X, já que o contexto deixará isto bem claro.

Nas condi¸cões do lema anterior, denotaremos por wµ_Φ o único elemento w0 lá descrito. Em outras palavras, wµΦ é o único elemento de W que satisfaz

hwµ_Φ, ui_W =

Z

X

Φu(x)dµ(x), u∈ W. (2.3)

A seguinte consequência da fórmula acima será utilizada à frente.

Corolário 2.1.2. Seja µ um elemento de M(X). Suponha que Φ :E → W seja uma fun¸cão layout para K. Então,

hw_Φµ,Φ(y)i_W =

Z

X

K(x, y)dµ(x), y∈X. (2.4)

Demonstra¸cão: E suficiente observar que a imagem de Φ é um subconjunto de´ W e utilizar a fórmula da defini¸cão anterior comu= Φ(y), y∈X.

Na proposi¸cão abaixo computaremos a norma de wµ_Φ em W, quando µ e Φ estão fixados. O s´ımboloµ indicará a medida conjugada da medida µde M(X).

Proposi¸cão 2.1.3. Seja µum elemento de M(X). Suponha que Φ :E → W seja uma fun¸cão layout para K. Então,

kw_Φµk2_W =

Z

X

Z

X

K(x, y)dµ(y)

dµ(x). (2.5)

Demonstra¸c˜ao: Conjugando a equa¸c˜ao (2.4) e usando o fato de K ser hermitiano, vemos que

hwµ_Φ,Φ(y)i_W =

Z

X

(32)

Integrando membro a membro em rela¸c˜ao a µ e utilizando (1.3) e (2.3) vem que

Z

X

Z

X

K(y, x)dµ(x)

dµ(y) = Z

X

hΦ(y), wµ_Φi_Wdµ(y) =hwµ_Φ, w_Φµi_W =kwµ_Φk2

W.

Isto completa a demonstra¸c˜ao.

No último resultado desta se¸cão registraremos duas propriedades da aplica¸cão jX :M(X)→ W dada por

jX(µ) =wµΦ, µ∈ M(X).

Proposi¸cão 2.1.4. Seja µum elemento de M(X). Suponha queΦ :E → W seja uma fun¸cão layout para K. Então, a aplica¸cão jX é linear e cont´ınua.

Demonstra¸cão: A linearidade segue de (2.3) e da unicidade de wµ_Φ. Para obtermos a limita¸cão da aplica¸cão note que, usando a última igualdade na demonstra¸cão da proposi¸cão anterior, deduzimos que

kwµ_Φk2_W ≤

Z

X

Z

X

|K(x, y)|d|µ|(y)d|µ|(x).

Portanto,

kw_Φµk2_W ≤ max

x,y∈X|K(x, y)|(|µ|(X))

2 _{= max}

x,y∈X|K(x, y)|kµk

2_,

ou seja, jX ´e limitada e sua norma n˜ao excede max

x,y∈X|K(x, y)|.

Observa¸cão 2.1.5. A elimina¸cão dos parênteses na primeira desigualdade da demons-tra¸cão acima é justificada pelo Teorema de Fubini-Tonelli ([11, p.67]).

2.2 A injetividade de

j

X

Nesta se¸cão, X ainda será um subconjunto compacto não vazio de E. Coletaremos vários resultados envolvendo as aplica¸cões ι e jX definidas anteriormente. Estaremos

particularmente interessados em poss´ıveis rela¸c˜oes entre elas e uma caracteriza¸c˜ao para a injetividade de jX.

Se U é um subconjunto de um espa¸co de Hilbert, a linearidade e continuidade do produto interno do espa¸co fornecem a igualdade [U]⊥ =U⊥_{. Escreveremos} _U⊥⊥ _para denotar o subespa¸co (U⊥₎⊥_{. Se} _U _{é um subespa¸co fechado do espa¸co de Hilbert, então} é sabido queU⊥⊥ ₌_U _{([26, p.41]).}

No primeiro resultado da se¸c˜ao descreveremos o fecho da imagem de jX em W.

Proposi¸cão 2.2.1. Se Φ : E → W é uma fun¸cão layout para K, então os fe-chos da imagem de jX e do gerado pela imagem de Φ em W coincidem, isto é,

(33)

Demonstra¸cão: Fixemos uma fun¸cão layout Φ : E → W para K. A demonstra-¸cão consiste em justificar que jX(M(X))⊥ = Φ(X)⊥ e, então, usar as propriedades

mencionadas no parágrafo que antecede a proposi¸cão. Se u∈Φ(X)⊥_{, podemos usar a} equa¸cão (2.3) para obter

hjX(µ), ui_W =hwµ_Φ, ui_W =

Z

X

Φu(x)dµ(x) = 0, µ∈ M(X),

e concluir queu∈jX(M(X))⊥. Reciprocamente, sev ∈jX(M(X))⊥, um procedimento

an´alogo nos permite concluir que

Z

X

Φv(x)dµ(x) = 0, µ∈ M(X).

Agora, para cada x ∈ X, a medida de Dirac δx ´e um elemento de M(X). Usando

a igualdade acima para cada δx, conclu´ımos que hΦ(x), vi_W = Φv(x) = 0, x ∈ X.

Portanto, v ∈Φ(X)⊥. Tendo provado a igualdade inicial, podemos agora escrever

jX(M(X))

⊥

=jX(M(X))⊥ = Φ(X)⊥= [Φ(X)]

⊥ .

Tomando-se o ortogonal em ambos os membros da igualdade acima, temos que

jX(M(X)) =jX(M(X))

⊥⊥

= [Φ(X)]⊥⊥= [Φ(X)].

Isto completa a demonstra¸c˜ao.

A seguir, lidaremos formalmente com os anuladores de alguns subconjuntos deC(X) e também com suas imagens inversas pelo isomorfismo ι. Se A é um subconjunto de C(X), o anulador de Aé o subespa¸co Ao _de _C₍_X₎∗ _{dado por}

Ao :={F ∈C(X)∗ :F(f) = 0, f ∈A}.

Consequentemente,

ι−1(Ao) ={µ∈ M(X) :ι(µ)∈Ao}=

µ∈ M(X) : Z

X

f(x)dµ(x) = 0, f ∈A

.

Os dois lemas a seguir descrevem propriedades técnicas que até extrapolam o con-texto no qual estamos trabalhando. A primeira delas é usada implicitamente em algu-mas passagens à frente.

Lema 2.2.2. Se A ´e um subconjunto de C(X), ent˜ao ι−1₍_Ao_{) =}_ι−1_([_A_]o₎_.

(34)

Lema 2.2.3. Sejam A e B subconjuntos de C(X). Ent˜ao, ι−1₍_Ao_{) =} _ι−1₍_Bo₎ _{se, e}

somente se, [A] = [B].

Demonstra¸cão: Se [A] = [B], então uma aplica¸cão direta do lema anterior implica que ι−1₍_Ao_{) =} _ι−1₍_Bo_{). Reciprocamente, suponha que} _ι−1₍_Ao_{) =} _ι−1₍_Bo_{), mas que}

[A] 6= [B]. Sem perda de generalidade, assumiremos que [A] [A]∪[B]. Como [A] é fechado em [A]∪[B], por uma das consequências do Teorema de Hahn-Banach ([11, p.159]) existe F ∈ C([A]∪[B])∗ _{que anula [}_A_{] mas não anula [}_A_]_∪_[_B_]_\_[_A_{]. Logo,} F anula [A] mas não anula [B]\[A]. Usando o Teorema de Hahn-Banach e o fato de [A]∪[B] ser fechado emC(X), podemos obter uma extensão (conveniente) ˜F deF em C(X)∗_{. Escrevamos, via (2.1), ˜}_F ₌ _I

µ, para alguma µ ∈ M(X). Ent˜ao, µ ∈ ι−1(Ao)

mas µ6∈ι−1₍_Bo_{). Isto contradiz nossa suposi¸c˜ao inicial.}

A seguinte proposi¸c˜ao ´e agora evidente.

Proposi¸c˜ao 2.2.4. Sejam A e B subespa¸cos fechados de C(X). Ent˜ao, A =B se, e somente se, ι−1₍_Ao_{) =}_ι−1₍_Bo₎_.

O resultado a seguir ´e uma consequˆencia direta do Teorema de Hahn-Banach.

Lema 2.2.5. Seja A um subconjunto de C(X). Ent˜ao [A] = C(X) se, e somente se, ι−1₍_Ao_{) =} _{₀_}_.

Demonstra¸cão: O Teorema de Hahn-Banach garante que [A] =C(X) se, e somente se, Ao ₌_{₀_}_{. A equivalência entre esta ´}_{ultima igualdade e} _ι−1₍_Ao_{) =}_{₀_}_{é imediata.}

Tendo estabelecido os resultados técnicos necessários, concluiremos a se¸cão com um resultado que descreve uma equivalência para a injetividade dejX. Antes disso, porém,

introduziremos nota¸c˜oes adicionais. Escreveremos GK(X) para indicar o espa¸co de

todas as fun¸cões em C(X) que são limites uniformes (de restri¸cões a X) de fun¸cões da forma

n

X

k=1

ckK(·, xk), x1, x2, . . . , xn ∈X, n= 1,2, . . . .

Em outras palavras,

GK(X) = [{Ky :y∈X}], (2.6)

onde o fecho acima ´e tomado em C(X).

Teorema 2.2.6. Seja Φ :E → W uma fun¸c˜ao layout para K. Ent˜ao kerjX ={µ∈ M(X) :ι(µ)∈GK(X)o}=ι−1(GK(X)o).

(35)

Demonstra¸c˜ao: Seµ∈i−1₍_G

K(X)o)

Lema ₂_.₂_.₂

= ι−1₍_{_K

y :y∈X}o), ent˜ao

0 = Z

X

Ky(x)dµ(x) =

Z

X

K(x, y)dµ(x), y∈X.

Neste ponto entramos com a fun¸cão layout para K. Lembrando a Proposi¸cão 2.1.3, a defini¸cão da aplica¸cão jX e usando o Teorema de Fubini para inverter a ordem de

integra¸c˜ao, obtemos

kjX(µ)k2_W =kwµΦk

2 W = Z X Z X

K(x, y)dµ(x)

dµ(y) = Z

X

0dµ(y) = 0,

ou seja, µ ∈ ker jX. Isto mostra que ι−1(GK(X)o) ⊂ kerjX. Reciprocamente, se

ν∈ M(X) e jX(ν) = 0, podemos usar a f´ormula (2.4) para deduzir que

Z

X

K(x, y)dν(x) =hjX(ν),Φ(y)iW = 0, y∈X,

ou seja,

Z

X

Ky(x)dν(x) = 0, y ∈X.

Logo, ν ∈ ι−1₍_{_K

y : y ∈ X}o) = ι−1(GK(X)o) e, portanto, kerjX ⊂ ι−1(GK(X)o).

Para justificarmos a última parte do enunciado do teorema, note que a injetividade de jX é agora equivalente à igualdade i−1(GK(X)o) = {0}. No entanto, pelo Lema 2.2.5,

ela torna-se equivalente à igualdadeC(X) = [GK(X)]. ComoGK(X) já é fechado em

C(X), esta igualdade ´e, de fato, C(X) =GK(X).

2.3 A aplica¸

c˜

ao

l

X

e o seu papel

Nesta se¸cão, ainda manteremos um compacto não vazioXdeE fixo e a continuidade do núcleoK.

Fixada uma fun¸c˜ao layout Φ : E → W, estudaremos o papel da transforma¸c˜ao conjugada linear lX :W →C(X) dada por

lX(u) = Φu, u∈ W.

A expressão que definelX é exatamente aquela que aparece no integrando da fórmula

(2.3) que estabelece a defini¸c˜ao do elemento wu

Φ oriundo da aplica¸c˜ao layout Φ. Ela ´e ´

util principalmente em descri¸c˜oes alternativas para o conjuntoGK(X).

Note que para tal aplica¸c˜ao verifica-se a igualdade

hjX(µ), ui_W =

Z

X

lX(u)(x)dµ(x) =Iµ(lX(u)), µ∈M(X), u∈ W. (2.7)

(36)

Teorema 2.3.1. Se Φ :E → W é uma fun¸cão layout para K, então GK(X) coincide

com o fecho da imagem de lX em C(X), isto ´e, GK(X) =lX(W).

Demonstra¸cão: Seja Φ : E → W uma fun¸cão layout para K. Ambos os espa-¸cos da igualdade do enunciado do teorema são fechados em C(X). Logo, devido a Proposi¸cão 2.2.4, o teorema estará demonstrado tão logo provemos que a igualdade ι−1₍_G

K(X)o) = ι−1(lX(W) o

) vale. Pelo Teorema 2.2.6, j´a temos que ι−1₍_G

K(X)o) =

kerjX, enquanto que o Lema 2.2.2 nos d´a que ι−1(lX(W) o

) =ι−1₍_l

X(W)o). Portanto,

a demonstra¸c˜ao resume-se a mostrar que ker jX = ι−1(lX(W)o). Mas, usando (2.7),

vemos imediatamente que para µ ∈ M(X) fixada, a condi¸c˜ao jX(µ) = 0 equivale a

ι(µ)(lX(u)) = 0, u ∈ W, ou seja, equivale a ι(µ) ∈ lX(W)o. A demonstra¸c˜ao est´a

completa.

Corolário 2.3.2. Seja Φ :E → W uma fun¸cão layout para K. SeU é um subconjunto fundamental deW, lX(U)é fundamental em GK(X). Em outras palavras, se [U] =W,

ent˜ao GK(X) = [lX(U)].

Demonstra¸c˜ao: Seja U ⊂ W tal que [U] =W. Pelo teorema anterior temos que GK(X) = lX([U]) = lX([U]) = [lX(U)] = [lX(U)],

e o resultado segue.

A última caracteriza¸cão para GK(X) que apresentaremos, dependerá de uma base

ortonormal para o espa¸co de Hilbert W que aparece na defini¸cão de fun¸cão layout. Como W pode não ser separável, lembramos dois aspectos fundamentais de uma base ortonormal B para W: fixado u∈ W, o conjunto

{v ∈ B:hu, vi_W 6= 0}

é enumerável. Além disso, vale a decomposi¸cão

u=X

v∈B

hu, viv,

com convergência da série, qualquer que seja a ordena¸cão em B. Tais resultados podem ser ratificados em [2, p.144].

Se Φ :E → Wé uma fun¸cão layout paraK e uma base ortonormalBestá dispon´ıvel para W, podemos definir o conjunto

ΦX(B) := [{Φv|X :v ∈ B}].

Observa¸cão 2.3.3. A similaridade entre as nota¸cões Φ(X) e ΦX(B) não deve gerar

confusão, uma vez que Φ(X) é um subconjunto de W e ΦX(B) é um subconjunto de

(37)

Estamos prontos para uma terceira caracteriza¸c˜ao para GK(X).

Teorema 2.3.4. Seja Φ : E → W uma fun¸cão layout para K. Se B é uma base ortonormal para W, então GK(X) = ΦX(B).

Demonstra¸c˜ao: Como [B] =W, o Corol´ario 2.3.2 implica que GK(X) = [lX(B)] = [{Φv|X :v ∈ B}] = ΦX(B),

a igualdade do enunciado.

2.4 Universalidade

Nesta se¸cão, apresentaremos os resultados principais do trabalho. Essencialmente, descreveremos resultados que fornecem equivalências para que um núcleo K PD e cont´ınuo sobre E tenha a propriedade universal da aproxima¸cão.

Iniciaremos com a formaliza¸c˜ao do conceito de universalidade.

Defini¸cão 2.4.1. Um núcleo cont´ınuo K :E×E →C possui a propriedade universal da aproxima¸cão (ou resumidamente que é K é um núcleo universal) se para cada sub-conjunto compacto e não vazio X de E, qualquer ε > 0 e qualquer fun¸cão f ∈ C(X), existeg ∈GK(X) tal que

kf −gk_∞≤ε.

Observamos que, devido à defini¸cão de GK(X) em (2.6), a universalidade K é

equivalente `a fundamentalidade de {Ky : y∈ X} em C(X), qualquer que seja o

com-pacto não vazio X do espa¸co topológicoE. Notemos ainda que, conforme indicado no in´ıcio do cap´ıtulo, o conjunto mencionado acima é composto das restri¸cões das fun¸cões Ky a X. Outra maneira de expressar a propriedade de universalidade para um núcleo

K ´e exigir que GK(X) = C(X), qualquer que seja o compacto n˜ao vazio X deE.

De maneira análoga, introduziremos universalidade para uma fun¸cão layout Φ de K, via o conjunto ΦX(B) introduzido na se¸cão anterior.

Defini¸cão 2.4.2. Sejam Φ :E → W uma fun¸cão layout para um núcleo K PD sobre E e B uma base ortonormal para o espa¸co de Hilbert W. A fun¸cão Φ é universal se para cada subconjunto compacto e não vazio X de E, qualquer ε >0 e qualquer fun¸cão f ∈C(X), existe g ∈ΦX(B) tal que

(38)

Observamos que a universalidade de Φ é então equivalente à fundamentalidade do conjunto{Φv|X :v ∈ B}em C(X), qualquer que seja o subconjunto compacto não vazio

X deE. Equivalentemente, ΦX(B) =C(X), qualquer que seja o subconjunto compacto

n˜ao vazio X deE.

Uma primeira caracteriza¸cão para universalidade do núcleoK está, então, impl´ıcita no Teorema 2.3.4.

Teorema 2.4.3. SejamΦ :E → W uma fun¸cão layout para o núcleoK PD e cont´ınuo sobre E e B uma base ortonormal para o espa¸co de Hilbert W. Então, K é universal se, e somente se, Φ é universal.

2.5 Universalidade e a teoria de Mercer

A teoria de Mercer pode ser intepretada como aquela que engloba resultados envolvendo simultaneamente um núcleo positivo definido e o operador integral gerado por ele. Nesta se¸cão, analisaremos os conceitos de universalidade introduzidos na se¸cão anterior, envolvendo um pouco da teoria de Mercer nos resultados.

Em toda a se¸cão, K será um núcleo PD cont´ınuo sobre o espa¸co topológico E. Se X é um subconjunto compacto e não vazio de E e µ é uma medida de Borel sobre X, então a fórmula

K(g)(x) :=

Z

X

K(x, y)g(y)dµ(y) (2.8)

define um operador integral K : L2₍_{X, µ}₎ _→ _L2₍_{X, µ}_{). A análise funcional clássica} garante, então, que a restri¸cão de K a X×X é representável por uma série absoluta e uniformemente convergente da forma

K(x, y) = ∞ X

n=1

λnφn(x)φn(y), x, y ∈X,

onde{φn}é um conjuntoL2(X, µ)-ortonormal formado por fun¸cões cont´ınuas,φné uma

auto-fun¸c˜ao do operador integral K associada ao autovalor λn ≥0, respectivamente, e

0 é o único ponto de acumula¸cão de {λn}. Por simplicidade, assumiremos que λn > 0

para todo n.

Até o fnal desta se¸cão, exceto se mencionado o contrário, assumiremos o con-texto descrito acima. Consequentemente, sempre consideraremos uma fun¸cão layout Φ :E → W(=ℓ2) paraK da forma Φ(x) = (x(j)),x∈E, onde

(39)

como adiantado no Teorema 1.2.5.

Um primeiro resultado que pode gerar uma equivalência para a universalidade de K no âmbito da teoria de Mercer está descrito abaixo.

Teorema 2.5.1. Se K é um núcleo PD e cont´ınuo como descrito no in´ıcio da se¸cão, então, GK(X) =C(X) se, e somente se, [{φn:n = 1,2, . . .}] =C(X).

Demonstra¸cão: Fixado X, a ideia da demonstra¸cão é aproveitar tanto quanto poss´ı-vel, o Teorema 2.3.4. Para tanto, comecemos notando que

Φv(x) =

∞ X

j=1

v(j)λ1_j/2φj(x), x∈X,

onde estamos escrevendov = (v(j))∈ B(base ortonormal deℓ2). A f´ormula acima im-plica

imediatamente que cada Φv|X ´e um elemento de [{φj :j = 1,2, . . .}] e,

consequente-mente,

ΦX(B)⊆[{φj :j = 1,2, . . .}].

Para demonstrarmos a inclus˜ao reversa, tomemos um elemento gen´erico

ξ=

n

X

i=1 αiφi

em [{φj :j = 1,2, . . .}]. A f´ormula

w:=α1λ−1₁ /2, α2λ₂−1/2, . . . , αnλ−1n /2,0,0, . . .

define um elemento deℓ2 que satisfaz

hΦ(x), wi2 =

n

X

j=1

λ1_j/2φj(x)αjλ−1j /2 = n

X

j=1

αjφj(x) =ξ(x), x∈X.

Como ℓ2 é separável, podemos, sem perda de generalidade, escrever B ={v1, v2, . . .}. Decompondow com rela¸cão a esta base, digamos,

w= ∞ X

j=1

γjvj, γj ∈C,

obtemos, via continuidade do produto interno,

ξ(x) = *

Φ(x), ∞ X

j=1 γjvj

+ 2 = ∞ X j=1

γjhΦ(x), vji₂ =

∞ X

j=1

(40)

Segue que ξ ∈ [{Φv|X :v ∈ B}] = ΦX(B) e, consequentemente, [{φj :j = 1,2, . . .}]⊆

ΦX(B). Assim, [{φj :j = 1,2, . . .}] = ΦX(B) e o Teorema 2.3.4 nos d´a que

[{φj :j = 1,2, . . .}] =GK(X).

O resultado segue.

Ainda buscando uma associa¸cão entre o operador integral K e a universalidade do núcleo PD K, temos o próximo resultado, que diz respeito à imagem de K.

Teorema 2.5.2. Se X é um subconjunto compacto e não vazio de E, então GK(X)

coincide com o fecho da imagem de K em C(X), isto ´e, GK(X) =K(L2(X, µ)).

Demonstra¸c˜ao: Fixado X, o Lema 2.2.3 garante que a demonstra¸c˜ao resume-se a justificar que

ι−1({Ky :y∈X}o) = ι−1 K L2(X, µ)

o .

Se µ∈ι−1₍_{_K

y :y ∈X}o), temos imediatamente que

Z

X

K(x, y)dµ(x) = 0, y∈X.

Por outro lado, se integramos ambos os lados de (2.8) obtemos

Z

X

K(g)(x)dµ(x) =

Z

X

Z

X

K(x, y)g(y)dµ(y)dµ(x), g ∈L2(X, µ).

Da´ı, pelo Teorema de Fubini, segue que

Z

X

K(g)(x)dµ(x) =

Z

X

g(y) Z

X

K(x, y)dµ(x)

dµ(y) = 0, g ∈L2(X, µ).

Em outras palavras, µ∈ι−1₍_K₍_L2₍_{X, µ}_{))). Reciprocamente, se}

Z

X

K(g)(x)dµ(x) = 0, g ∈L2(X, µ),

ent˜ao procedendo como na parte anterior, podemos deduzir que

Z

X

g(y) Z

X

K(x, y)dµ(x)

dµ(y) = 0, g ∈L2(X, µ).

Em particular, como a fun¸c˜ao

gµ:=

Z

X

K(x,·)dµ(x)

´e um elemento de L2₍_{X, µ}_{), segue que}

Z

X

|gµ(y)|2dµ(y) =

Z X Z X

K(x, y)dµ(x) 2

(41)

Da continuidade de gµ e da igualdade acima, segue que gµ ´e identicamente nula. Em

outras palavras,

Z

X

K(x, y)dµ(x) = 0, y∈X.

Portanto, µ∈ι−1₍_{_K

y :y ∈X}o).

O corol´ario abaixo n˜ao necessita justificativa.

Corolário 2.5.3. Seja X um subconjunto compacto e não vazio de E. Então, GK(X) =C(X) se, e somente se, K(L2(X, µ)) =C(X).

Finalizamos a se¸c˜ao registrando um resultado de universalidade envolvendo os re-sultados que acabamos de demonstrar.

(42)

(43)

3

Exemplificando universalidade

Neste cap´ıtulo analisaremos alguns exemplos concretos, onde os resultados das se-¸cões anteriores são aplicáveis. Descreveremos a universalidade do núcleo através de propriedades tão expl´ıcitas quanto poss´ıveis.

3.1 Um n´

ucleo de Mercer cl´

assico

Neste exemplo, consideraremos um núcleo de Mercer clássico sobre um espa¸co topológico E, ou seja, um núcleo K :E×E →C da forma

K(x, y) := ∞ X

j=1

φj(x)φj(y), (x, y)∈E×E,

onde cada fun¸cãoφj é cont´ınua emE. Assumiremos que a série acima é uniformemente

convergente em cada conjuntoX×X, ondeX é um subconjunto compacto e não vazio deE. É imediato verificar queK é positivo definido (e cont´ınuo).

Demonstraremos o seguinte resultado.

Teorema 3.1.1. O núcleo K descrito acima é universal se, e somente se, para cada subconjunto compacto e não vazio X de E, o conjunto {φj|X : j = 1,2, . . .} é

funda-mental em C(X).

Demonstra¸cão: Considerando o espa¸co de Hilbert ℓ2 munido de seu produto interno canônico, uma fun¸cão layout para K é Φ :E →ℓ2 dada por

Φ(x) = (φ1(x), φ2(x), . . .), x∈E.

(44)

Assim sendo, usaremos o Teorema 2.4.3 para justificar o resultado, determinando uma condi¸cão para a universalidade de Φ. Fixando a base canônicaB0deℓ2, a universalidade de Φ exige que ΦX(B0) = C(X), qualquer que seja o compacto não vazio X de E. É fácil ver que se v(j) = ei₍_j₎ _{∈ B}

0, onde ei é o vetor constituido por um na i−ésima entrada e zero nas demais, então

Φv(x) = hΦ(x), viℓ2 = ∞ X

j=1

ei₍_j₎_φ

j(x) =φi(x), x∈X.

Logo,

ΦX (B0) = [{Φv :v ∈ B0}] = [{φj :j = 1,2, . . .}],

e a universalidade de Φ corresponde, então, à condi¸cão do enunciado.

Observa¸cão 3.1.2. O resultado acima continua válido se na representa¸cão de K ti-vermos uma soma finita. Basta trocar o espa¸co ℓ2 por um espa¸co de dimensão finita. Detalhes serão omitidos.

3.2 N´

ucleos definidos por s´

eries de potˆ

encias

No exemplo desta se¸c˜ao, abordaremos um n´ucleo positivo definido e cont´ınuo sobre

Rd da forma

K(x, y) := ∞ X

n=0

an(x·y)n, x, y ∈Rd, (3.1)

onde cada coeficiente an é positivo. O núcleo K acima é, de fato, PD em Rd por ser

um limite pontual de n´ucleos deste tipo. Por outro lado, as contas abaixo evidenciar˜ao isso diretamente.

No lema abaixo deduziremos uma express˜ao alternativa paraK. Empregaremos um pouco de nota¸c˜ao multinomial usual. Para um multi-´ındice α = (α1, α2, . . . , αd)∈Zd+, escreveremos

˜ α :=

|α|

α

= |α|! α1!α2!· · ·αd!

.

Lema 3.2.1. O n´ucleo K em (3.1) pode ser escrito na forma K(x, y) = X

α∈Zd

+

φα(x)φα(y), x, y ∈Rd,

onde

φα(x) := ˜αa|α| 1/2

(45)

Demonstra¸c˜ao: Escrevendo x = (x1, x2, . . . , xd) e y = (y1, y2, . . . , yd) e usando o

teorema multinomial ([5, p.56]) em (x·y)n _obtemos

K(x, y) = ∞ X

n=0 an

X

α1+α2+...+αd=n

n! α1!α2!. . . αd!

(x1y1)α1(x2y2)α2. . .(xdyd)αd

!

, x, y ∈Rd.

Um pequeno ajuste transforma a f´ormula acima em

K(x, y) = ∞ X n=0   X

|α|=n

a|α|α˜(x1y1)α1(x2y2)α2. . .(xdyd)αd



, x, y ∈Rd,

ou seja,

K(x, y) = X

α∈Zd

+

a|α|α˜(x1y1)α1(x2y2)α2. . .(xdyd)αd, x, y ∈Rd.

Podemos condensar ´ındices nesta ´ultima express˜ao e chegar em

K(x, y) = X

α∈Zd

+

a|α|αx˜ αyα, x, y ∈Rd,

e esta ´e a express˜ao do enunciado do lema.

Podemos agora enunciar e provar o teorema principal desta se¸c˜ao.

Teorema 3.2.2. O n´ucleo K em (3.1) ´e universal.

Demonstra¸cão: O lema anterior revela que o núcleo se encaixa na descri¸cão do Teorema 3.1.1 comE =Rd e

φα(x) := ˜αa|α| 1/2

xα, α∈Zd₊, x∈Rd,

onde agora o conjunto de ´ındices éZd₊ (ainda enumerável). Assim sendo, para provar-mos o teorema basta fixarprovar-mos um compacto não vazio X de Rd e verificarmos que o conjunto A := {φα|X : α ∈ Zd+} é fundamental em C(X). Pelo Teorema de Stone-Weierstrass ([23, 24]), é suficiente verificarmos que A é uma sub-álgebra que separa pontos emC(X). Tomando-se α = 0, verificamos queA contém as fun¸cões constantes. ´

E relativamente simples verificar que se f, g ∈ A, então f g ∈ A. Ainda, se r1, r2 ∈ R, também temos que r1f +r2g ∈ A. Resta, então, verificarmos que A separa pontos. Sejam x = (x1, x2, . . . , xd) e y = (y1, y2, . . . , yd) dois pontos distintos de X (se X for

unitário, não há nada para ser demonstrado). Existe, então, pelo menos um par de números, xk e yk, com xk 6= yk. Tomemos o multi-´ındice α = (α1, α2, . . . , αk, . . . , αd)

deZd₊ com αk= 1 e αj = 0 para j 6=k. Ent˜ao,

(46)

Assim, o Teorema de Stone-Weierstrass implica que o fecho de A em C(X) ´e o pr´oprio C(X). Isto completa a prova.

O teorema anterior pode ser generalizado para o contexto complexo. Para isto, o n´ucleo K :Cd×Cd→C tem que ser da forma

K(z, w) := ∞ X

m,n=0

am,n(z·w)m(z·w)n, z, w ∈Cd,

onde “·” ´e o produto escalar usual em Cd e os coeficientes am,n s˜ao todos positivos. A

representa¸c˜ao para K do lema toma a forma

K(z, w) = X

α,β∈Zd

+

φα,β(z)φα,β(w), z, w ∈Cd,

onde

φα,β(z) := (˜αβa˜ |α|,|β|)1/2zαzβ, α, β ∈Zd+, z ∈Rd.

Na demonstra¸cão da versão complexa do Teorema 3.2.2 é necessário utilizar a versão complexa do teorema de Stone-Weierstrass. Os detalhes serão omitidos.

3.3 N´

ucleos PD sobre a esfera unit´

aria

Nesta se¸cão consideraremos o núcleo cont´ınuo e PD K sobre a esfera unitária Sd

introduzido no Exemplo 1.1.4:

K(x, y) = ∞ X

k=0

akPkd(x·y), x, y ∈Sd.

O resultado que descreve uma equivalˆencia para a universalidade de K ´e como segue.

Teorema 3.3.1. O n´ucleo K acima ´e universal se, e somente se, cada coeficiente ak

´e positivo.

Demonstra¸cão: Primeiramente há de se notar que na verifica¸cão da defini¸cão de universalidade neste caso, basta considerar o caso X = Sd_{, uma vez que a própria}

Sd _{já é compacta. Como no exemplo anterior, a ideia aqui é reescrever a expressão}

que define K, colocando-a no formato de um n´ucleo PD cl´assico. Para tanto, seja

{Ykj : j = 1,2, . . . , N(k, d)} uma base ortonormal (com rela¸c˜ao ao produto interno de

L2₍_Sd_{) usual) do espa¸co de todos os harmônicos esféricos de grau} _k _em _d_{+ 1 variáveis.}

O teorema da adi¸cão para harmônicos esféricos ([12]) nos informa que para cada k,

Pkd(x·y) =

σd

N(k, d)

N(k,d) X

j=1

(47)

ondeσd é a área de superf´ıcie de Sd. Logo, a representa¸cão deK toma a forma

K(x, y) = σd

∞ X

k=0 ak

N(k, d)

N(k,d) X

j=1

Ykj(x)Ykj(y), x, y ∈Sd.

Em outras palavras, definindo I :={(k, l) :k ∈Z+, l = 1,2, . . . , N(k, d)}, temos que

K(x, y) = X (k,l)∈I

φkl(x)φkl(y), x, y ∈Sd,

onde

φkl(x) :=σ1d/2

ak

N(k, d) 1/2

Ykl(x), x∈Sd, (k, l)∈ I.

Um resultado clássico da análise na esfera garante que{φkl : (k, l)∈ I}é fundamental

em C(Sd_{), enquanto que a fundamentalidade se perde quando qualquer par (}_{k, l}_{) ´e}

omitido na indexa¸cão do conjunto. Assim, lembrando o Teorema 3.1.1, deduzimos que K é universal se, e somente se, cada coeficiente ak é positivo.

Observamos que existe uma versão similar do teorema acima para núcleos PD sobre a esfera unitária deCq. Não incluiremos os detalhes aqui, preferindo analisar casos que não tem tanta semelhan¸ca com o anterior.

3.4 N´

ucleos invariantes por transla¸

c˜

ao sobre

R

d

Nesta se¸c˜ao consideraremos n´ucleos K :Rd×Rd→C da forma

K(x, y) =κ(x−y), x, y ∈Rd, (3.2)

ondeκ :Rd →Cé uma fun¸cão cont´ınua conveniente. Núcleos deste tipo não se alteram quando ambas as variáveis x ey são transladadas por um mesmo vetor de Rd.

O seguinte resultado clássico de Bochner ([6]) descreve com exatidão quais fun¸cões κ produzem um núcleo K PD sobre Rd via (3.2).

Proposi¸cão 3.4.1. A aplica¸cão K definida em (3.2) é um núcleo PD e cont´ınuo se, e somente se, existe uma única medida de Borel finita e não negativa µ sobre Rd tal que

κ(x) = Z

Rd

ei(x·y)dµ(y), x∈Rd.

Se um n´ucleo K como em (3.2) ´e PD sobre Rd, escreveremos K =Kµ para indicar

qual é a medidaµda proposi¸cão que está atrelada à representa¸cão da fun¸cãoκ corres-pondente. O objetivo principal nesta se¸cão é então descrever a universalidade de Kµ

(48)

No primeiro resultado descreveremos a fun¸c˜ao layout para K. Lembramos que o suporte supp (µ) de uma medida de Borel µ ´e o conjunto de todos os pontos x de Rd

para os quais qualquer bola aberta de Rd centrada em x tem medida positiva. Em outras palavras,

supp (µ) =Rd\ ∪{O :O ´e aberto emRd eµ(O) = 0}. (3.3)

O suporte de µ´e um subconjunto fechado deRd _e _µ₍_Rd_\_{supp (}_µ_{)) = 0. Este conceito}

e as propriedades listadas acima s˜ao discutidos em [13, p.122] e tamb´em em [8, p.88].

Proposi¸c˜ao 3.4.2. Seja µ uma medida de Borel finita e n˜ao negativa sobre Rd. Se

W é o espa¸co de Hilbert L2₍_supp₍_µ₎_{, µ}₎ _{usual, então uma fun¸cão layout para} _K

µ ´e

Φ :Rd→ W dada por

Φ(x)(y) := ei(x·y), x∈Rd, y∈supp(µ).

Demonstra¸c˜ao: Escrevamosh·,·iW para indicar o produto interno deW definido por

hf, gi_W :=

Z

supp(µ)

f(x)g(x)dµ(x), f, g∈ W.

Como µ(Rd\supp (µ)) = 0,

hΦ(x),Φ(y)iW =

Z

supp(µ)

ei[(x−y)·w]dµ(w)

= Z

supp(µ)

ei[(x−y)·w]dµ(w) + Z

Rd_\supp(µ)

ei[(x−y)·w]dµ(w), x, y ∈Rd.

Logo,

hΦ(x),Φ(y)iW =

Z

Rd

ei[(x−y)·w]dµ(w) =κ(x−y) =Kµ(x, y), x, y ∈Rd,

como quer´ıamos.

Antes de prosseguir, notemos que a imagem de Φ contém tão somente fun¸cões cont´ınuas.

Lema 3.4.3. Sejamµuma medida de Borel finita e não negativa sobreRdeΦa fun¸cão layout para Kµ definida na proposi¸cão anterior. Se X é um subconjunto compacto e

n˜ao vazio de Rd, ent˜ao kerjX coincide com a imagem inversa por ι do anulador do

conjunto

exp(µ) := {Φ(x)∈C(X) :x∈supp(µ)}