Diferenciabilidade em espaços de Hilbert de reprodução sobre a esfera

(1)

'LIHUHQFLDELOLGDGHHPHVSDoRVGH+LOEHUWGH

UHSURGXomRVREUHDHVIHUD

(2)

(3)

'LIHUHQFLDELOLGDGHHPHVSDoRVGH+LOEHUWGHUHSURGXomR

VREUHDHVIHUD

Thaís Jordão

Orientador:_{Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto}

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática. VERSÃO REVISADA_.

USP – São Carlos

Março de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

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(5)

(6)

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co a todas as pessoas que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao profissional e pessoal at´e esse momento. Dentre elas, meus familiares e amigos que fiz durante o

mestrado e doutorado. Em particular, meus pais Luiz Roberto Jord˜ao e Maria Cristina Franco Jord˜ao, e meu orientador Valdir Antonio Menegatto.

(8)

(9)

Resumo

(10)

(11)

Abstract

(12)

(13)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 11

1 Preliminares 1

1.1 N´ucleos e espa¸cos de Hilbert de reprodu¸c˜ao . . . 1

1.2 N´ucleos de Mercer . . . 4

1.3 S´eries de Fourier-Laplace . . . 9

2 Diferenciabilidade usual em EHR sobre a esfera 11 2.1 Expansão em série para derivadas de núcleos de Mercer . . . 12

2.2 F´ormulas de reprodu¸c˜ao para derivadas . . . 17

2.3 F´ormulas de reprodu¸c˜ao no caso bizonal . . . 21

2.4 Mergulho do EHR em espa¸cos de fun¸c˜oes suaves . . . 23

2.5 Exemplos . . . 26

3 S´eries de Fourier-Laplace com pesos em EHR 31 3.1 A α-transforma¸c˜ao . . . 32

3.2 Aα-transforma¸c˜ao emHK . . . 34

3.3 O mergulhoHK ֒→Wαp: especificidades . . . 40

3.4 Derivada Fracion´aria e de Laplace-Beltrami . . . 42

Referˆencias Bibliogr´aficas 43

´Indice Remissivo 47

(14)

(15)

Introdu¸

c˜

ao

A teoria dos espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão (EHR) se confunde com a teoria dos núcleos positivos definidos, também comumente chamados de núcleos de Mercer. Ela teve in´ıcio no come¸co do século XX, muito provavelmente sob influência de al-gumas contribui¸cões de S. Zaremba em problemas de valor de contorno para fun¸cões harmônicas e bi-harmônicas. Na verdade, na primeira metade daquele século, a teoria dos núcleos positivos definidos se desenvolveu através de contribui¸cões de matemáticos importantes. Em particular, J. Mercer utilizou tais núcleos na teoria de equa¸cões inte-grais, I. J. Schoenberg e S. Bochner investigaram caracteriza¸cões para tais núcleos em várias situa¸cões e G. Szegö e S. Bergman estudaram tais núcleos no contexto complexo, onde fam´ılias espec´ıficas de núcleos foram rotuladas com seus nomes. A sistematiza¸cão da teoria dos núcleos positivos definidos ocorreu de fato com a publica¸cão do famoso artigo de N. Aronszajn ([2]) in 1950. Neste trabalho, o termo espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão aparece enfaticamente e todas as suas propriedades básicas são descritas e discutidas. Outras referências importantes sobre o tema surgiram ao longo do tempo, dentre elas [4, 5, 28, 29].

Os EHR formam uma classe ampla, relevante e interessante de fun¸cões, aparecendo em várias áreas da matemática. Um EHR carrega uma estrutura métrica bem defi-nida atrelada à sua propriedade de reprodu¸cão, a qual torna-se uma ferramenta teórica muito importante em vários aspectos. Isto pode ser comprovado na moderna teoria do aprendizado (Learning Theory) onde tal fórmula tem papel significativo na implemen-ta¸cão de processos e algoritmos. Referências recentes dentro desta área espec´ıfica onde os EHR prevalecem são [8, 9] bem como outras nelas registradas.

Outra instância onde os EHR surgem naturalmente é na teoria da aproxima¸cão. Nesta teoria, EHR especiais aparecem como ferramenta no cálculo de erros na aproxi-ma¸cão quando esta é implementada via métodos espec´ıficos, que usam núcleos positivos definidos. Estes EHR diferenciados são comumente denominados espa¸cos nativos.

(16)

12 Introdu¸c˜ao

mas

refe-rˆencias recentes cobrindo este enfoque s˜ao [7, 19, 30, 31].

Na teoria do aprendizado, a implementa¸cão de algoritmos oriundos de alguns pro-blemas espec´ıficos demandam que as fun¸cões nos EHR sejam regulares (suaves) em algum sentido. No caso em que os espa¸cos são gerados por núcleos positivos definidos em subconjuntos de Rm_{, a deriva¸cão usual determina tal regularidade. Dependendo} do contexto, as fun¸cões do EHR são regulares e fórmulas de reprodu¸cão para certas derivadas das fun¸cões do EHR valem, fatos que permitem a imersão (mergulho) do EHR em espa¸cos de fun¸cões suficientemente suaves ([10, 32, 33, 38]). Por outro lado, a compacidade deste mergulho entra na justificativa da existência do chamado número de cobertura (covering number), um conceito de considerável importância na teoria do aprendizado ([37]).

Neste trabalho, consideraremos questões semelhantes àquelas descritas no parágrafo anterior, no caso em que o núcleo gerador é um núcleo de Mercer sobre a esfera unitária

m-dimensional. Nenhum dos trabalhos acima citados considera este contexto. Como existem várias no¸cões de diferenciabilidade para fun¸cões definidas sobre a esfera, neste trabalho consideraremos duas delas: a usual e uma diferenciabilidade definida através de pesos na expansão de Fourier-Laplace, a qual engloba dois tipos importantes de diferenciabilidade, a saber, a deriva¸cão fracionária e a deriva¸cão de Laplace-Beltrami. Especificamente, em qualquer um dos casos, as questões principais consideradas no trabalho são:

(i) comprova¸cão de que o EHR contém fun¸cões regulares quando o núcleo gerador é regular; provar uma propriedade de reprodu¸cão para as derivadas das fun¸cões do EHR via derivadas do núcleo de Mercer;

(ii) justificativa da limita¸c˜ao e da compacidade do mergulho do EHR no espa¸cos das fun¸c˜oes regulares determinado pela regularidade utilizada.

No Cap´ıtulo 1 introduzimos os conceitos básicos pertinentes ao trabalho, incluindo propriedades elementares dos núcleos de Mercer e dos EHR. Descrevemos uma caracte-riza¸cão para o EHR de um núcleo de Mercer e exibimos uma base para este espa¸co. Finalizamos o cap´ıtulo apresentando algumas, poucas, informa¸cões sobre as séries de Fourier-Laplace para fun¸cões definidas na esfera.

(17)

Introdu¸c˜ao 13

diferenciáveis na esfera. Após justificar a limita¸cão e a compacidade do mergulho, con-clu´ımos o cap´ıtulo com um exemplo comum, porém não trivial, envolvendo o núcleo Gaussiano.

No Cap´ıtulo 3, introduzimos o conceito de diferenciabilidade baseado nas séries de Fourier-Laplace com pesos determinados por uma sequênciaα: a α-transforma¸cão. Definimos suavidade via esta transforma¸cão e praticamente re-provamos todos os resul-tados do cap´ıtulo anterior neste contexto. No entanto observamos que os argumentos são totalmente diferentes. Conclu´ımos o cap´ıtulo apresentando as sequências que jus-tificam o fato das derivadas fracionária e de Laplace-Beltrami seremα-transforma¸cões espec´ıficas.

(18)

(19)

Cap´ıtulo

1

Preliminares

Neste cap´ıtulo faremos um breve apanhado sobre núcleos de Mercer, espa¸cos de Hilbert de reprodu¸cão e séries de Fourier-Laplace de fun¸cões definidas na esfera. Em particular, exploraremos o conceito de núcleos de reprodu¸cão e algumas de suas propri-edades que são necessárias para o desenvolvimento do trabalho. As referências básicas para os resultados deste cap´ıtulo serão citadas ao longo das se¸cões.

1.1 N´

ucleos e espa¸

cos de Hilbert de reprodu¸

c˜

ao

Em geral, a palavra núcleo refere-se a uma fun¸cão K : Ω×Ω→C_{, onde Ω é um} subconjunto não vazio. Neste trabalho, estamos interessados em núcleos definidos na esfera unitáriaSm _de _Rm+1_{, ou seja, no caso em que Ω é a esfera}_m_{-dimensional usual}

Sm_,_m _≥_2.

Dizemos que um n´ucleo K ´epositivo definido quando n

X

i,j=1

cicjK(xi, xj)≥0,

quaisquer que sejam o inteiro positivo n, o subconjunto {x1, x2, . . . , xn} de Sm e o subconjunto {c1, c2, . . . , cn} deC.

N´ucleos positivos definidos s˜ao automaticamentehermitianos ([4, p. 68]), ou seja,

K(x, y) = K(y, x), x, y ∈Sm.

A seguir, como ilustra¸c˜ao, apresentamos exemplos de n´ucleos que se encaixam nas categorias descritas acima.

(20)

2 Cap´ıtulo 1 — Preliminares

Exemplo 1.1.1. Sejaf :Sm _→_C_{uma fun¸c˜ao e considere o n´}_ucleo_K _:_Sm_×_Sm _→_C dado por

K(x, y) =f(x)f(y), x, y ∈Sm.

Sen é um inteiro positivo,{x1, x2, . . . , xn}é um subconjunto deSm ec1, c2, . . . , cn são números complexos então

n

X

i,j=1

cicjK(xi, xj) = n

X

i,j=1

cicjf(xi)f(xj) =

n

X

i=1

cif(xi)

2

≥0.

Em particular, K ´e positivo definido.

Exemplo 1.1.2. Sejam f : (0,∞) → R _{uma fun¸c˜ao e} _K _: _Sm _×_Sm _→ R _dado por K(x, y) = f(kx−yk2_{), onde} _{k · k} _{indica a norma usual em} _Rm+1_{. Um resultado}

descrito em [9, p. 38] garante que sef é completamente monotonica, entãoKé positivo definido. Agora, considere onúcleo Gaussiano dado por

Kσ(x, y) = exp(−2σ−2(1−(x·y))), x, y ∈Sm,

ondeσ ´e um n´umero real positivo ex·y representa o produto interno usual de Rm+1_.

Observe que sex, y ∈Sm _ent˜ao,_k_x₋_y_k2 _{= 2(1}₋₍_x_·_y_{)). Tomando}_f

σ(t) = exp(−tσ−2), conclu´ımos que o n´ucleo Gaussiano Kσ(x, y) = fσ(kx −yk2), x, y ∈ Sm ´e positivo definido.

Informa¸c˜oes adicionais sobre n´ucleos e suas propriedades, principalmente aquelas relacionadas a positividade, podem ser encontradas em [4].

A teoria dos núcleos positivos definidos e afins caminha lado a lado com a teoria dos espa¸cos de Hilbert. Estabelecemos esta conexão a seguir, já considerando o contexto que nos interessa.

Seja (H,h·,·i) um espa¸co de Hilbert formado por fun¸c˜oes complexas com dom´ınio

Sm_{. Um n´}_ucleo _K _:_Sm_×_Sm _→ _C_{é chamado} _n´_{ucleo de reprodu¸c˜}_ao _de _H _quando as condi¸cões abaixo estão satisfeitas:

(i) Kx _:=_K₍_·_{, x}₎_{∈ H}_,_x_∈_Sm_;

(ii) f(x) = hf, Kx_i_, _f _{∈ H}_, _x_∈_Sm _{(propriedade de reprodu¸c˜ao).}

Se K é o núcleo de reprodu¸cão de um espa¸co de Hilbert H, diremos que H é um

espa¸co de Hilbert de reprodu¸cão(EHR) deK. Neste caso, utilizaremos a nota¸cão (HK,h·,·iK), para representar o EHR do núcleo K.

(21)

1.1 N´ucleos e espa¸cos de Hilbert de reprodu¸c˜ao 3

Teorema 1.1.3. Se K :Sm_×_Sm _→_C_{´e um n´}_{ucleo positivo definido, ent˜ao existe um}

´

unico EHR associado a K.

Demonstra¸c˜ao: Seja K : Sm _×_Sm _→ _C _{um n´}_{ucleo positivo definido e considere o} espa¸co vetorial

H= span{Kx : x∈Sm}.

Para combina¸c˜oes lineares de elementos de H, f = Pn

i=1αiKxi e g =

Pm

j=1βjKyj,

definimos

hf, gi:= n X i=1 m X j=1

αiβjK(xi, yj).

A aplica¸cãoh·,·i:H × H →C_{acima está bem definida e é bilinear. Além disso, como}

K ´e hermitiano,

hg, fi= m X j=1 n X i=1

βjαiK(yj, xi) = m X j=1 n X i=1

βjαiK(xi, yj) =hf, gi.

Ainda,

hf, fi= n X i=1 n X j=1

αiαjK(xi, xj)≥0.

Logo, a f´ormula

kfk2 =hf, fi, f ∈ H,

define uma seminorma em H. Se hf, fi = 0 ent˜ao, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que

|f(x)|=

n X i=1

αiK(xi, x)

=|hf, K(·, x)i| ≤ kfkkK(·, x)k= 0, x∈Sm.

Logo, f = 0 e a aplica¸cão h·,·i define então um produto interno em H. É claro que o núcleoK satisfaz as propriedades de núcleo de reprodu¸cão emH. Como o espa¸coHnão é necessariamente de Hilbert, temos que considerar o seu completamento (HK,h·,·iK) com rela¸cão à norma induzida pelo produto interno. Quanto à unicidade, vamos assumir queK seja o núcleo de reprodu¸cão de outro espa¸co de Hilbert (H1,h·,·i1). Pela primeira

propriedade da defini¸cão de núcleo de reprodu¸cão, obtemos

hf, gi1 =hf, giK, f, g∈ HK.

Logo, HK ⊂ H1. Se HK 6= H1, sendo HK completo, podemos tomar uma fun¸cão g não nula no complemento ortogonal deHK em H1. Pela propriedade de reprodu¸cão do

n´ucleo conclu´ımos que

(22)

uma contradi¸c˜ao. Portanto, H1 =HK.

Resultados mais finos, mas ainda relacionados ao teorema anterior, podem ser en-contrados em [31].

1.2 N´

ucleos de Mercer

Nesta se¸cão introduzimos a classe de núcleos positivos definidos que utilizaremos no decorrer do trabalho e caracterizamos o seu EHR convenientemente. Aqui, assumimos que a esferaSm _{está munida da medida de Lebesgue usual normalizada}_σ

m ([25, p.16]), ou seja,

Z

Sm

dσm = 1.

Se p ∈ [1,∞), escrevemos Lp₍_Sm_{) :=} _Lp₍_Sm_{, σ}

m), para representar o espa¸co das fun¸c˜oes complexas f, mensur´aveis em Sm_{, tais que}

kfkp :=

Z

Sm

|f(x)|pdσm(x)

1/p <∞.

Neste espa¸co, as fun¸cões representam classes de equivalência cuja rela¸cão se dá pela coincidência quase sempre de fun¸cões. Tal constru¸cão, faz do espa¸co (Lp₍_Sm₎_,_{k · k}

p) um espa¸co de Banach ([12, p. 175]).

No caso particular p = 2, L2₍_Sm_{) ´e um espa¸co de Hilbert separ´avel com produto} interno dado por

hf, gi2 :=

Z

Sm

f(x)g(x)dσm(x), f, g ∈L2(Sm).

Quando fizermos referência a núcleos integráveis, estaremos considerando Sm _×_Sm munida da medida produtoσm×σm. EscrevemosLp(Sm×Sm) :=Lp(Sm×Sm, σm×σm) ek · kp para denotar a norma neste espa¸co.

Neste ponto, estamos habilitados a definir a classe de núcleos que será utilizada neste trabalho. Um núcleoK :Sm_×_Sm _→_C_{é dito ser um}_n´_{ucleo de Mercer}_{quando existir} uma sequência de números reais positivos {λk}∞k=0 e uma base ortonormal {Yk}∞k=0 de

L2₍_Sm_{) de modo que}

K(x, y) =

∞

X

k=0

λkYk(x)Yk(y), x, y ∈Sm. (1.2.1)

(23)

1.2 N´ucleos de Mercer 5

Um núcleo de MercerK representável como em (1.2.1) é positivo definido uma vez que

n

X

i,j=1

cicjK(xi, xj) = n

X

i,j=1

cicj

∞

X

k=0

λkYk(xi)Yk(xj)

! = ∞ X k=0 λk n X i=1

ciYk(xi)

2 ,

para todo inteiro positivo n, {x1, x2, . . . , xn} ⊂Sm e números complexosc1, c2, . . . , cn. Em particular, existe um único EHR associado a K (Teorema 1.1.3). Desta forma, denotaremos por (HK,h·,·iK) o EHR associado a um núcleo de Mercer K.

Os próximos resultados objetivam uma caracteriza¸cão do EHR de um núcleo de Mercer.

Lema 1.2.1. ([12, p. 178]) Seja (X, µ) um espa¸co de medida, com µ(X) < ∞. Se

0< q ≤p≤ ∞, ent˜ao Lp₍_{X, µ}₎_⊂_Lq₍_{X, µ}₎ _e _k_f_k

q ≤ kfkpµ(X)((1/q)−(1/p)).

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Sejam p≥2 e K :Sm_×_Sm _→_C _{um n´}_{ucleo em} _Lp₍_Sm_×_Sm₎_{. A}

aplica¸c˜ao

LK(f) =

Z

Sm

K(·, y)f(y)dσm(y), f ∈Lp(Sm), (1.2.2)

define um operador linear limitado em Lp₍_Sm₎_.

Demonstra¸c˜ao: Sef ∈Lp₍_Sm_{), temos}

kLK(f)kpp =

Z

Sm

|LK(f)(x)|pdσm(x)

= Z Sm Z Sm

K(x, y)f(y)dσm(y)

p

dσm(x)

≤

Z

Sm

Z

Sm

|K(x, y)f(y)|dσm(y)

p

dσm(x).

Seq =p/(p−1), ent˜ao a desigualdade de H¨older ([12, p. 174]) implica que

Z

Sm

|K(x, y)f(y)|dσm(y)≤ kK(x,·)kpkfkq.

Logo,

kLK(f)kpp ≤

Z

Sm

(kK(x,·)kpkfkq)pdσm(x) =kfkpqkKkpp.

Sendo p ≥ 2, temos que q ≤ p e o lema anterior garante que kfkq ≤ kfkp. Esta desigualdade combinada ao c´alculo anterior resulta em

(24)

e a prova est´a completa.

Fixado um núcleo positivo definido K : Sm _×_Sm _→ _C_{, utilizaremos com certa} frequência a fun¸cão auxiliar κ0 :Sm →R dada por

κ0(x) =K(x, x), x∈Sm.

Como K é hermitiano, a fun¸cão κ0 está, de fato, bem definida. A propriedade de

reprodu¸c˜ao de (HK,h·,·iK) revela que

|K(x, y)|=|hKy, KxiK| ≤ kKykKkKxkK =κ0(y)1/2κ0(x)1/2, x, y ∈Sm.

Logo, se κ0 ∈ Lp/2(Sm), então K ∈ Lp(Sm ×Sm). Esta última implica¸cão entra na

justificativa do pr´oximo resultado.

Proposi¸c˜ao 1.2.3. Fixe p ≥ 2 e seja K um n´ucleo de Mercer como em (1.2.1). Se

κ0 ∈Lp/2(Sm), ent˜ao o EHR de K ´e

HK =

( _∞ X

k=0

akλ1_k/2Yk :

∞

X

k=0

|ak|2 <∞

)

. (1.2.3)

Se f =P∞

k=0akλ1k/2Yk e g =P∞k=0bkλ1k/2Yk ent˜ao

hf, giK =

∞

X

k=0

akbk.

Adicionalmente, HK ⊂Lp(Sm).

Demonstra¸cão: Considere o operador integralLK definido em (1.2.2). Pelo afirmado no parágrafo que antecede a proposi¸cão,LK é um operador limitado sobre Lp(Sm). Na primeira etapa da prova mostraremos que a imagem Im(LK) de LK é um subconjunto deHK. Para isso, tomemosg ∈Lp(Sm) e consideremos o funcional linear Φg :HK →C dado por

Φg(h) =

Z

Sm

g(y)h(y)dσm(y), h∈ HK.

A propriedade de reprodu¸c˜ao do n´ucleo K juntamente com a desigualdade de Cauchy-Schwarz implicam

Z

Sm

|h(y)|pdσm(y) =

Z

Sm

|hh, KyiK|pdσm(y)

≤

Z

Sm

khkp_KkKykp_Kdσm(y)

= khkp_K

Z

Sm

(25)

1.2 N´ucleos de Mercer 7

Escrevendoq=p/(p−1) o lema anterior implica queg ∈Lq₍_Sm_{). Logo, podemos usar} a desigualdade de H¨older ([12, p. 174]) para concluir a desigualdade

|Φg(h)| ≤

Z

Sm

|g(y)h(y)|dσm(y)≤ kgkqkhkp ≤ kgkqkκ0k_p/1/2₂khkK, h∈ HK.

Desta forma, o funcional Φg é limitado e pelo teorema de representa¸cão de Riesz ([12, p. 166]), existe entãoh∗ _{∈ H}

K tal que

Φg(h) =hh, h∗iK, h∈ HK.

Agora, pela propriedade de reprodu¸c˜ao do n´ucleo, temos que

h∗(x) =hh∗, KxiK = Φg(Kx) =

Z

Sm

g(y)Kx₍_y₎_dσ

m(y) =LK(g)(x), x∈Sm,

e, consequentemente, LK(g) ∈ HK. Isto mostra que Im(LK) ⊂ HK. Esta inclusão e o fato de cada λk ser positivo garantem que as autofun¸cões Yk do operador integral LK são elementos deHK. Como os cálculos efetuados na primeira parte da prova justificam a igualdade

hh, LK(g)iK =hh, gi2, g ∈L2(Sm), h∈ HK,

o fato de{Yk}∞k=0formar um sistema ortonomal emL2(Sm) nos permite fazer o seguinte

c´alculo:

D

λ1_k/2Yk, λ1j/2Yj

E

K =

D

λ1_k/2Yk, λj1/2λ−j1LK(Yj)

E

K = λ1_k/2λ−_k1λ_j1/2hYk, Yji2

= δk,j.

Isto demonstra a ortonormalidade de {λ1_k/2Yk}∞k=0 em HK. Resta verificarmos que esta sequência é completa emHK. Mas, sef ∈ HKé tal quehf, λk1/2YkiK = 0,k = 0,1,2, . . ., então

f(x) =hf, KxiK =

∞

X

k=0

λ_k1/2Yk(x)hf, λk1/2YkiK = 0, x∈Sm, ou seja, f = 0. Isto conclui a prova.

(26)

auto-adjunto. Logo, o teorema espectral para tais operadores implica que LK possui uma representa¸c˜ao em s´erie da forma

LK(f) =

∞

X

k=0

λkhf, Yki2Yk, f ∈L2(Sm),

onde {λk}∞k=0 é uma sequência de números reais não negativos (podendo ser finita)

decrescente para 0,P∞

k=0λk <∞e{Yk}∞k=0 ´e uma base ortonormal de L2(Sm).

Clara-mente, cada λk é um autovalor de LK associado à autofun¸cãoYk e a imagem de LK é um subconjunto deC(Sm_{), o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas em}_Sm _{a valores complexos.} A desigualdade de Bessel ([36, p. 34]) figura como argumento chave para mostrar que

K pode ent˜ao ser representado pela s´eria abaixo

K(x, y) =

∞

X

k=0

λkYk(x)Yk(y), x, y ∈Sm,

com convergência absoluta e uniforme em Sm _× _Sm_{. Estes são os passos básicos da} demonstra¸cão do resultado a seguir.

Proposi¸c˜ao 1.2.5. Se K : Sm _×_Sm _→ _C _{´e um n´}_{ucleo cont´ınuo e positivo definido,}

então K é um núcleo de Mercer. Adicionalmente, o EHR associado a K pode ser caracterizado por (1.2.3).

Fechamos a se¸c˜ao utilizando o resultado anterior para exibir dois exemplos de n´ u-cleos de Mercer sobre Sm.

Exemplo 1.2.6. (Núcleo polinomial homogêneo) Seja d um número inteiro não nega-tivo. ConsidereK :Sm_×_Sm _→_R _{dado por}

K(x, y) = (x·y)d, x, y ∈Sm.

Este núcleo é cont´ınuo, positivo definido e hermitiano, logo um núcleo de Mercer. Se para cada multi-´ındiceα = (α1, α2, . . . , αm+1)∈Zm++1 escrevermos

C(d, α) := d!

α1!α2!. . . αm+1!

,

ent˜ao o n´ucleo K pode ser escrito como a seguinte soma

K(x, y) = X

|α|=d

C(d, α)xαyα, x, y ∈Sm.

Desta forma, o conjunto {C(d, α)1/2_xα_}|

α|=d forma uma base ortonormal para HK. Logo,HK tem dimens˜ao finita, a saber,

dimHK =

m+d

m

.

(27)

1.3 S´eries de Fourier-Laplace 9

Exemplo 1.2.7. (N´ucleo Gaussiano) Retomando o exemplo 1.1.2, t´ınhamos o n´ucleo Gaussiano dado por

Kσ(x, y) = exp(−2σ−2(1−(x·y))), x, y ∈Sm.

Vimos anteriormente que ele é positivo definido e a sua continuidade é clara. Portanto, é um núcleo de Mercer. A representa¸cão em série para este núcleo será postergada uma vez a mesma depende de algumas defini¸cões e nota¸cões ainda não introduzidas.

1.3 S´

eries de Fourier-Laplace

A análise na esfera descreve uma base especial para o espa¸co L2₍_Sm_{) inteiramente} formada por elementos polinomiais. Nesta se¸cão, consideramos tal base e algumas de suas propriedades. As referências básicas utilizadas aqui são [25, 26, 35].

Um k-harmônico esférico de dimensão m+ 1, ou simplesmente k-harmônico esférico, é a restri¸cão à Sm _{de um polinômio harmônico e homogêneo de grau} _k _em

m+ 1 variáveis. O espa¸co formado pelosk-harmônicos esféricos será denotado porHm k. Para cadakinteiro não negativo, o espa¸coHm

k tem dimensão finita e esta será denotada por N(k, m). Informamos que esta dimensão pode ser explicitada ([25]) mas isto não será necessário neste trabalho.

O primeiro resultado desta se¸cão ratifica que os espa¸cos de harmônicos esféricos, acima, são dois a dois ortogonais ([25, p. 17]).

Teorema 1.3.1. Se k 6=l, f ∈ Hm

k e g ∈ Hml , ent˜ao

Z

Sm

f(x)g(x)dσm(x) = 0.

A decomposi¸cão ortogonal de L2₍_Sm_{) via espa¸cos de harmônicos esféricos é o tema} do próximo resultado ([25, p. 35]).

Teorema 1.3.2. O espa¸co de HilbertL2₍_Sm₎_{admite a seguinte decomposi¸c˜ao em soma}

direta

L2₍_Sm_{) =}

∞

M

k=0

Hm k .

Se escrevermos {Yk,l :l = 1,2, . . . , N(k, m)} para denotar uma base ortonormal de

Hm

k, k= 0,1, . . ., ent˜ao o resultado acima indica que o conjunto

{Yk,l :l = 1,2, . . . , N(k, m);k= 0,1, . . .}, (1.3.1)

(28)

Fixado k, o Teorema 1.3.2 define uma proje¸c˜ao ortogonal Yk : L2(Sm) → L2(Sm) cuja imagem ´e exatamenteHm

k. Uma f´ormula fechada para a mesma ´e dada por

Yk(f) = N(k,m)

X

l=1

hf, Yk,li2Yk,l. Alternativamente,

Yk(f)(x) =N(k, m)

Z

Sm

f(y)Pm

k (x·y)dσm(y), x∈Sm, (1.3.2)

ondePm

k é o polinômio de Legendre de grauk e dimensãom+ 1. Uma prova para esta fórmula está dispon´ıvel em [25, p. 25].

Com as nota¸c˜oes anteriores, dada uma fun¸c˜ao f em L2₍_Sm_{), a} _s´_{erie de}

Fourier-Laplacedef ´e definida por

f ∼

∞

X

k=0

Yk(f).

Mesmo sendo óbvio, observamos que a inclusãoLp₍_Sm₎_⊂ _L2₍_Sm_{) permite} definir-mos da mesma maneira a série de Fourier-Laplace de fun¸cões emLp₍_Sm_),_p_≥_{2. Ainda,} a série de Fourier-Laplace de uma fun¸cão emL2₍_Sm_{) converge na métrica deste espa¸co.} Esta afirma¸cão é de fácil verifica¸cão e decorre de um resultado clássico de convergência para séries em espa¸cos de Hilbert ([36, p. 34]).

A proposi¸cão a seguir descreve algumas propriedades relevantes das proje¸cões (1.3.2) e que serão utilizadas à frente. Observamos que o s´ımbolo δn,k representa o delta de Kronecker.

Proposi¸cão 1.3.3. Se n é um inteiro não negativo, então:

(i) Yn(f) = δn,kf, f ∈ Hmk, k = 0,1, . . ..

Ainda, sep≥2, ent˜ao:

(ii) |Yn(f)(x)| ≤N(n, m)kfkp, f ∈Lp(Sm), x∈Sm; (iii) Yn(f) = Yn(f), f ∈Lp(Sm).

Finalmente,

(iv) Se g ∈ L2₍_Sm₎ _{tem s´erie de Fourier-Laplace dada por} _g _∼ P∞

k=0αkYk(f), para

algumaf ∈L2₍_Sm₎ _{e alguma sequˆencia}_{_α

k}∞k=0 de n´umeros complexos, ent˜aoYn(g) =

αnYn(f).

(29)

Cap´ıtulo

2

Diferenciabilidade usual em EHR sobre

a esfera

Resultados isolados sobre diferenciabilidade em EHR podem ser encontrados em referências que datam antes de 2005. Entretanto, o interesse efetivo sobre este tema surgiu nos últimos 5 anos com motiva¸cão clara vindo da teoria do aprendizado. Como exemplo, mencionamos a referência [38] que cobre diferenciabilidade usual em EHR gerados por núcleos de Mercer definidos em certos subconjuntos de Rm_{. As hipóteses} são tais que o caso em que o subconjunto é uma esfera não está inclu´ıdo no contexto.

Neste cap´ıtulo, apresentamos resultados que de certa forma reproduzem alguns da-queles descritos em [38] para o contexto esférico, utilizando núcleos de Mercer como em (1.2.1). O conceito de diferenciabilidade que usamos em Sm _{é o usual, ou seja,} diferencia¸cão de uma fun¸cão com dom´ınio Sm _{deve ser entendido da seguinte forma:} estendemos radialmente a fun¸cão para quase todo oRm+1_{, diferenciamos esta extensão}

e voltamos àSm _{tomando a restri¸cão da fun¸cão obtida no passo anterior. A nossa} abor-dagem é consideravelmente diferente daquela empregada em [38]. Lá, os subconjuntos utilizados são compactos e coincidentes com o fecho de seu interior, algo que se perde no caso do compacto Sm _de _Rm+1_{. Contornamos este aparente problema usando uma}

abordagem que envolve argumentos genuinamente esf´ericos.

Neste cap´ıtulo, os seguintes pontos espec´ıficos são tratados. A Se¸cão 1 contém a no-ta¸cão básica adicional, incluindo derivadas para fun¸cões emSm _{e também para n´}_ucleos. Em seguida, assumindo que o núcleo de MercerK é suficientemente diferenciável, pro-vamos uma fórmula de reprodu¸cão para as derivadas da extensão radial de elementos

(30)

12 Cap´ıtulo 2 — Diferenciabilidade usual em EHR sobre a esfera

da base ortonormal {Yk}∞k=0 de L2(Sm). Na Se¸c˜ao 2, exibimos uma representa¸c˜ao em

série para certas derivadas do núcleo K, em fun¸cão das derivadas de Yk. Na Se¸cão 3, ainda sob o mesmo contexto, mergulhamos o EHR no espa¸co de fun¸cões suficientemente diferenciáveis emSm _{e provamos fórmulas de reprodu¸cão para as derivadas das fun¸cões} do EHR. A Se¸cão 4 descreve propriedades adicionais na mesma linha da se¸cão anterior, no caso em que o núcleo é adicionalmente bizonal. Na Se¸cão 5, apresentamos exemplos relacionados ao núcleo polinomial homogêneo e ao núcleo Gaussiano.

2.1 Expans˜

ao em s´

erie para derivadas de n´

ucleos de

Mercer

Nesta se¸cão, inicialmente verificamos que se o núcleo de MercerK é suficientemente suave então podemos deduzir fórmulas para computar as derivadas correspondentes de cadaYk, via as derivadas do núcleo. Ainda, deduzimos expansões em série para certas derivadas deK, em termos das derivadas deYk.

Come¸camos com uma nota¸c˜ao: Rm+1

∗ :=Rm+1 \ {0}. A extens˜ao radial de uma

fun¸cão f :Sm _→_R_{é a fun¸cão ˜}_f _:_Rm+1

∗ →R dada por

˜

f(x) = f(xkxk−1), x∈Rm+1

∗ .

A derivada parcial de uma fun¸cão f : Sm _→ _R _{com rela¸cão a} _j_{-ésima coordenada} de y ∈ Sm _{é definida como sendo a derivada parcial da extensão radial ˜}_f _de _f_{. Se} escrevermos∂f /∂e˜ j para denotar aj-ésima derivada parcial de ˜f, então

∂f ∂ej

(y) = ∂f˜

∂ej

(y), y∈Sm.

Seα= (α1, . . . , αm+1) ´e um multi-´ındice emZm++1, empregamos a nota¸c˜ao

Dα = ∂

|α|

∂eα1

1 . . . ∂e

αm+1

m+1

,

onde|α|:=α1+· · ·+αm+1. Por quest˜oes de uniformidade, escrevemosD0 para denotar

o operador identidade.

Podemos adaptar as defini¸cões anteriores para fun¸cões de duas variáveis na esfera e introduzir diferenciabilidade para núcleos. Se K : Sm _× _Sm _→ _R _{é um n´}_{ucleo, a} extensão radial deK é o núcleo

˜

K(x, y) := K(xkxk−1, ykyk−1), x, y ∈Rm+1

∗ .

As fun¸c˜oes proje¸c˜oes correspondentes ˜Ky_,_y_∈_Rm+1

∗ , s˜ao dadas pela f´ormula

˜

Ky(x) = ˜K(x, y), x∈Rm+1

(31)

2.1 Expansão em série para derivadas de núcleos de Mercer 13

O s´ımbolo ˜Ky_|

Sm indicar´a a restri¸c˜ao de ˜Ky aSm.

SeK :Sm_×_Sm _→_R_{é um n´}_{ucleo em} _Sm _e_α _e _β _{são multi-´ındices em} _Zm+1 + então

Dα,βK(x, y) := D(α,β)K(x1, . . . , xm+1, y1, . . . , ym+1),

onde (α, β) ´e o multi-´ındice de Z2(m+1)

+ obtido pela adjun¸c˜ao dos multi-´ındices α eβ:

(α, β) = (α1, . . . , αm+1, β1, . . . , βm+1).

Todas as defini¸cões e nota¸cões introduzidas até agora podem ser transferidas para fun¸cões complexas e núcleos complexos através de suas partes real e imaginária. Agora, seguimos introduzindo mais nota¸cões e apresentando o espa¸co das fun¸cões suaves com o qual trabalharemos neste cap´ıtulo.

Denotamos porCn₍_Sm_{) o conjunto das fun¸cões}_f _:_Sm _→_C_{para as quais}_Dα_f_existe e é cont´ınua quando α é um multi-´ındice emZm+1

+ e |α| ≤n. Similarmente, para duas

vari´aveis,Cn,n₍_Sm_×_Sm_{) representa o conjunto dos n´}_ucleos_K _:_Sm_×_Sm _→_C _{para os} quaisDα,β_K _{existe e ´e cont´ınua quando} _α _e_β _satisfazem_|_α_|_,_|_β_{| ≤}_n_{. Adicionalmente,} escrevemos C∞₍_Sm_{) =}_∩∞

n=0Cn(Sm) e C∞,∞(Sm×Sm) =∩∞n=0Cn,n(Sm×Sm).

O primeiro resultado desta se¸cão descreve uma fórmula de diferenciabilidade para as extensões radiais de Yk quando impomos uma condi¸cão de diferenciabilidade sobre

K. A referˆencia [20] analisa a mesma quest˜ao em um contexto diferente.

Teorema 2.1.1. Seja K um n´ucleo Mercer como em (1.2.1). Se D0,α_K _{existe e ´e}

cont´ınua quando |α| ≤n, ent˜ao:

(i) Yk ∈Cn(Sm), k = 0,1, . . .; (ii) vale a igualdade

DαY˜k(x) = 1

λk

hYk,(D0,αK˜)x|Smi₂, x6= 0, |α| ≤n.

Demonstra¸c˜ao: E suficiente provarmos (´ ii). Assuma que D0,α_K _{existe e ´e cont´ınua} para todo multi-´ındice α em Zm+1

+ que satisfaz |α| ≤n. Se |α|= 0,

D0Y˜k(x) = ˜Yk(x) =Yk(xkxk−1) = 1

λk

Z

Sm

K(xkxk−1, y)Yk(y)dσm(y), x6= 0. Como ˜K ´e hermitiano,

D0Y˜k(x) = 1

λk

Z

Sm

˜

K(x, y)Yk(y)dσm(y) = 1

λk

Z

Sm

˜

Kx₍_y₎_Y

k(y)dσm(y), x6= 0,

e, consequentemente,

D0Y˜k(x) = 1

λk

hYk,K˜x|Smi₂ =

1

λk

(32)

Seαj = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0), o d´ıgito 1 aparecendo na j-´esima entrada, podemos usar (2.1.1) para obter

Dαj_Y˜

k(x) = lim t→0

˜

Yk(x+tej)−Y˜k(x)

t =

1

λk lim t→0

hYk,K˜x+tej|Sm −K˜x|_Smi₂

t , x6= 0.

Sendo o ´ultimo limite precisamente hYk,(D0,αjK˜)x|Smi₂, temos

Dαj_Y˜

k(x) = 1

λk

hYk,(D0,αjK˜)x|Smi₂, x6= 0.

Para o próximo passo, vamos assumir que o resultado é válido para todos os multi-´ındicesα tais que |α| < l, para algum l ≤n−1 e mostrar que a fórmula (ii) é válida pra um multi-´ındiceβ com |β|=l. Para isso, observe que existe uma entradaj tal que

β := (γ1, . . . , γj−1, γj+ 1, γj+1, . . . , γm+1),

onde γ = (γ1, . . . , γm+1) ´e algum multi-´ındice em Z+m+1 tal que |γ|=l−1. Pela nossa

suposi¸c˜ao,Dγ_Y

k existe, ´e cont´ınua e satisfaz

DγY˜k(x) = 1

λk

hYk,(D0,γK˜)x|Smi₂, x6= 0.

Pretendemos usar a f´ormula anterior para calcular a derivada

DβY˜k =

∂ ∂ej

DγY˜k,

para pontos emRm+1

∗ . Primeiramente, escrevemos

Dβ_Y_˜

k(x) = lim t→0

1

λk

*

Yk,

(D0,γ_K_˜₎x+tej|

Sm−(D0,γK˜)x|_Sm

t + 2 = 1 λk *

Yk,lim t→0

(D0,γ_K˜₎x+tej_|

Sm−(D0,γK˜)x|_Sm

t

+

2

, x6= 0.

Lembrando da nossa hipótese sobreK, o último limite acima é precisamente (D0,β_K_˜₎x_. Agora, é claro que

DβY˜k(x) = 1

λk

hYk,(D0,βK˜)x|Smi₂, x6= 0,

e a demonstra¸c˜ao est´a completa.

(33)

2.1 Expansão em série para derivadas de núcleos de Mercer 15

Teorema 2.1.2. Se K pertence a Cn,n₍_Sm_×_Sm₎_{, ent˜ao}

Dα,βK(x, y) =Dβ,α_K₍_{y, x}₎_, _|_α_|_,_|_β_{| ≤}_n, _{x, y} _∈_Sm_.

Em particular, os n´ucleos Dα,α_K_, _|_α_{| ≤}_n_{, s˜ao hermitianos.}

Demonstra¸cão: Seja K ∈ Cn,n(Sm×Sm). A fórmula é óbvia quando |α| =|β| = 0. Seei é o multi-´ındice que tem a i-ésima componente 1 e zeros nas demais, temos

Dei,0_K₍_{x, y}_{) =} _Dei,0_K˜₍_{x, y}_{) = lim}

t→0t

−1_{( ˜}_K₍_x₊_te

i, y)−K˜(x, y))

= lim t→0t

−1_K_˜₍_{y, x}₊_te

i)−K˜(y, x)

= D0,eiK(y, x), x, y ∈Sm.

Recursivamente, deduzimos que

Dα,0K(x, y) =D0,α_K₍_{y, x}₎_, _|_α_{| ≤}_n, _{x, y} _∈_Sm_.

Uma f´ormula similar pode ser provada quando o primeiro multi-´ındice ´e fixado. O resultado segue.

Sob as mesmas hip´oteses do Teorema 2.1.2, a f´ormula

(D0,αK)x(y) = DαKy(x), x, y ∈Sm, |α| ≤n,

vale quandoK ´e real e sim´etrico.

O seguinte lema ´e um resultado t´ecnico e pode ser adaptado de resultados similares que podem ser encontrados na literatura (por exemplo, o Teorema 7.17 de [27] ou o Teorema 12 de [17]).

Lema 2.1.3. Sejam X um subconjunto aberto n˜ao vazio de Rm+1 _e _n _{um inteiro n˜ao}

negativo. Seja {fk}∞k=0 uma sequˆencia de fun¸c˜oes em Cn(X), pontualmente

conver-gente para f : X → C_{. Se} _{_Dα_f_k_}∞

k=0 ´e uniformemente convergente em subconjuntos

compactos de X sempre que 0<|α| ≤n, ent˜ao f ∈Cn₍_X₎ _e

Dαf = lim k→∞D

α_f

k, 0<|α| ≤n.

O próximo resultado pode ser interpretado como uma versão do teorema de Mer-cer para as diferentes derivadas de K. Os argumentos contidos na demonstra¸cão se assemelham aos usados em [10].

Teorema 2.1.4. Seja K um n´ucleo de Mercer como em (1.2.1). Se K pertence a

Cn,n₍_Sm_×_Sm₎_{, ent˜ao}

Dα,βK(x, y) =

∞

X

k=0

λkDαYk(x)DβYk(y), x, y ∈Sm, |α|,|β| ≤n,

(34)

Demonstra¸cão: O primeiro passo é observar que estamos trabalhando com núcleos cont´ınuos que são positivos definidos. Este conceito de positividade definida coincide com o conceito de L2_{-positividade definida, ou seja, com a positividade do operador}

integral LK. Detalhes sobre o assunto e demonstra¸cão da equivalência citada podem ser encontrados em [11]. Para cada inteiro j ≥1, o núcleo

Kj(x, y) :=K(x, y)− j

X

k=0

λkYk(x)Yk(y), x, y ∈Sm

´eL2_{-positivo definido. Se} _K _{pertence a} _Cn,n₍_Sm_×_Sm_{), o mesmo acontece com}_K j e

Dα,αKj(x, y) :=Dα,αK(x, y)− j

X

k=0

λkDαYk(x)DαYk(y), x, y ∈Sm.

Vale a desigualdade

Ij(f) =

Z

Rm+1

Z

Rm+1

Dα,αK˜j(x, y)f(y)dµ(y)

f(x)dµ(x)≥0, f ∈L2(Rm+1_{, µ}₎_, onde µ ´e a medida de Lebesgue usual de Rm+1_{. De fato, integra¸c˜ao por partes e a}

L2_{-positividade definida de ˜}_K _{implicam que}

Ij(f) =

Z

Rm+1

Z

Rm+1

˜

Kj(x, y)Dαf(y)dµ(y)

Dαf(x)dµ(x)≥0,

sempre quef ´e infinitamente diferenci´avel e possui suporte compacto emRm+1

∗ . Ent˜ao,

resultados de densidade ([1, p.38]) justificam que a mesma desigualdade vale para fun¸c˜oes em L2₍_Rm+1

∗ ). O passo principal para a demonstra¸c˜ao do teorema consiste em

justificar que a s´erie

∞

X

k=0

λkDαY˜k(x)DβY˜k(y) (2.1.2)

converge uniformemente em subconjuntos compactos de Rm+1

∗ ×Rm∗+1, pois o resto

segue do lema anterior. Claramente, o n´ucleo positivo definido ˜Kj ´e um elemento de

Cn,n₍_Rm+1

∗ ×Rm∗+1) e

Dα,αK˜j(x, y) = Dα,αK˜(x, y)− j

X

k=0

λkDαY˜k(x)DαY˜k(y), x, y ∈Rm∗+1,

quando|α| ≤n. ComoDα,α_K˜

j ´e positivo definido, temos

Dα,αK˜j(x, x) = Dα,αK˜(x, x)− j

X

k=0

(35)

2.2 F´ormulas de reprodu¸c˜ao para derivadas 17

∞

X

k=0

λk|DαY˜k(x)|2 ≤Dα,αK˜(x, x), x∈Rm∗+1.

A convergˆencia da s´erie anterior em subconjuntos compactos de Rm+1

∗ segue. Para o

passo final da demonstra¸c˜ao, utilizamos a convergˆencia obtida acima, a desigualdade

q X

k=j+1

λkDαY˜k(x)DβY˜k(y)

≤ q X

k=j+1

λk|DαY˜k(x)|2 q

X

k=j+1

λk|DβY˜k(y)|2, x, y ∈Rm∗ +1,

e o critério de Cauchy para convergência uniforme para justificar a convergência dese-jada em (2.1.2).

O resultado abaixo ´e uma consequˆencia relevante do teorema anterior.

Corol´ario 2.1.5. Seja K um n´ucleo de Mercer como em (1.2.1). Se K pertence a

Cn,n₍_Sm_×_Sm₎ _e _|_α_{| ≤}_n_{, ent˜ao} _Dα,α_K _{´e um n´}_{ucleo de Mercer.}

2.2 F´

ormulas de reprodu¸

c˜

ao para derivadas

Nesta se¸cão, continuaremos com núcleos de Mercer satisfazendo as mesmas hipóte-ses básicas utilizadas na se¸cão anterior e buscaremos a diferenciabilidade das fun¸cões do EHR associado a K. O processo fornece, ao longo do caminho, fórmulas de repro-du¸cão para derivadas dos elementos do EHR. Estas, por sua vez, ajudam a justificar o mergulho do espa¸co em espa¸cos de fun¸cões diferenciáveis em Sm_{. A caracteriza¸cão do} EHR de um núcleo de Mercer dada em (1.2.3) é essencial aqui.

(D0,αK)x =

∞

X

k=0

λkDαYk(x)Yk, x∈Sm, |α| ≤n,

e para cada x∈Sm _e _|_α_{| ≤}_n_, ₍_D0,α_K₎x _{pertence a} _H K.

Demonstra¸c˜ao: Do Teorema 2.1.4 sabemos que

D0,α_K₍_{x, y}_{) =}

∞

X

k=0

λkYk(x)DαYk(y), x, y ∈Sm,

quando |α| ≤n. Logo,

D0,αKx

(y) =D0,αK(y, x) =

∞

X

k=0

(36)

e a primeira afirma¸cão do teorema segue. A segunda parte é consequência da caracte-riza¸cão (1.2.3) do EHR, da fórmula

(D0,αK)x =

∞

X

k=0

λ1_k/2Dα_Y

k(x)λk1/2Yk, x∈Sm, e da convergˆencia de

∞

X

k=0

λ

1/2

n DαYk(x)

2

=

∞

X

k=0

λn|DαYk(x)|2 =Dα,αK(x, x), x∈Sm, a qual vale quandoK pertence a Cn,n₍_Sm_×_Sm_).

A inversão nas ordens de deriva¸cão no teorema anterior é permitida. Porém, a fórmula resultante colocaDα,0_K₍_x,_·_{) em} _H

K. Isto ´e justicado na seguinte observa¸c˜ao.

Observa¸cão 2.2.2. A inversão nas ordens de deriva¸cão produz propriedades de repro-du¸cão conjugadas. De fato, seja

H:={f :f ∈ HK},

e defina neste espa¸co o seguinte produto interno:

hf , hiH =hf, hiK, f, h∈ HK.

O fato de (HK,h·,·iK) ser um espa¸co de Hilbert implica que (H,h·,·iH) tamb´em ´e um espa¸co de Hilbert. Adicionalmente,

Kx=K(·, x) =Kx_{∈ H}_, _x_∈_Sm_,

e

f(x) = hf, KxiK =hf , K x

iH, f ∈ H, x∈Sm.

Em outras palavras, (H,h·,·iH) = (H_K,h·,·i_K), devido à unicidade do EHR de um núcleo positivo definido. Consequentemente, o EHRH_K é completamento determinado porHK via conjuga¸cão.

A a¸c˜ao do operadorDα _{nos elementos da base}_{_Y

k}∞k=0 que gera o n´ucleo de Mercer

é o conteúdo do próximo teorema.

(37)

2.2 F´ormulas de reprodu¸c˜ao para derivadas 19

Demonstra¸c˜ao: Fixe x∈ Sm_, _k _∈ _Z

+ e α tal que |α| ≤n. Se K pertence ao espa¸co

Cn,n₍_Sm_×_Sm_{), o Teorema 2.2.1 implica que (}_D0,α_K₎x _{∈ H}

K. Agora, observe que as fun¸c˜oes (D0,α_K₎x _e _Y

k pertencem a L2(Sm)∩ HK. Esta observa¸c˜ao nos permite fazer o seguinte c´alculo

hYk,(Dα,0K)xiK =

∞

X

j=0

λjhYk, DαYj(x)YjiK

=

∞

X

j=0

λ1_j/2 λ1_k/2D

α_Y

j(x)hλ1k/2Yk, λ1j/2YjiK.

A ortonormalidade do sistema {λ1_k/2Yk}∞k=0 no EHR HK nos permite concluir que

Dα_Y

k(x) = hYk,(D0,αK)xiK.

O próximo resultado estende a conclusão do teorema anterior a todas as fun¸cões de

HK. Parte da justificativa do teorema abaixo foi idealizada com base na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1.4.

Cn,n₍_Sm_×_Sm₎ _ent˜ao _H

K pode ser mergulhado em Cn(Sm). Adicionalmente,

Dαf(x) = hf,(D0,αK)xiK, f ∈ HK, x∈Sm, |α| ≤n. (2.2.2)

Demonstra¸c˜ao: Assuma que K ∈ Cn,n₍_Sm _× _Sm_{). Seja} _f _{∈ H}

K e considere sua representa¸cão em série com rela¸cão a base {λ1_k/2Yk}∞k=0 deHK:

f =

∞

X

k=0

akλ1_k/2Yk,

∞

X

k=0

|ak|2 <∞. Para mostrar quef ∈Cn₍_Sm_{) ´e suficiente verificar que}

Dαf˜=

∞

X

k=0

akλ1k/2D α_Y_˜

k, |α| ≤n,

com convergˆencia absoluta e uniforme da s´erie em subconjuntos compactos de Rm+1

∗ .

A express˜ao do lado direito na igualdade acima est´a bem definida, uma vez que a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica que

∞ X k=0

akλ1k/2DαY˜k(x)

2 ≤ ∞ X k=0

|ak|2

! _∞ X

k=0

λk|DαY˜k(x)|2

!

=

∞

X

k=0

|ak|2

!

Dα,αK˜(x, x), x∈Rm+1

(38)

A seguir, considere a sequˆencia de fun¸c˜oes {f˜j}∞j=1 dada por

˜

fj(x) = j

X

k=0

akλ1k/2Y˜k(x), j ∈Z+, x∈Rm∗+1.

A sequˆencia converge pontualmente para ˜f e, al´em disso,{f˜j}∞j=1 ⊂Cn(Rm∗+1). Observe

que

|Dαf˜q(x)−Dαf˜p(x)|2 =

q X

k=p+1

akλ1k/2DαY˜k(x)

2 ≤ q X

k=p+1

|ak|2

! _q X

k=p+1

λk|DαY˜k(x)|2

!

≤ ∞

X

k=0

|ak|2

! _q X

k=p+1

λk|DαY˜k(x)|2

!

, x∈Rm+1

∗ ,

e que a convergˆencia da s´erie

∞

X

k=0

λk|DαY˜k(x)|2 =Dα,αK˜(x, x), ´e absoluta e uniforme em subconjuntos compactos deRm+1

∗ (veja Teorema 2.1.4). Uma

aplica¸cão do critério de Cauchy para convergência uniforme nos dá então a convergência de{Dα_f_˜

j}∞j=1 em subconjuntos compactos deRm∗+1. Al´em disso, o Lema 2.1.3 pode ser

aplicado para deduzir que ˜f ∈Ck₍_Rm+1

∗ ) e que

Dαf˜=

∞

X

k=0

akλ1k/2DαY˜k,

com convergˆencia absoluta e uniforme em subconjuntos compactos de Rm+1

∗ . Agora,

fica claro quef ∈Cn₍_Sm_{) e}

Dαf =

∞

X

k=0

akλ1k/2DαYk, f ∈ HK. Finalmente, a f´ormula (2.2.1) implica

Dαf(x) =

∞

X

k=0

akλ1_k/2hYk,(D0,αK)xiK =

* _∞ X

k=0

akλ1k/2Yk,(D0,αK)x

+

(39)

2.3 F´ormulas de reprodu¸c˜ao no caso bizonal 21

A demonstra¸c˜ao est´a completa.

Uma fórmula semelhante à anterior foi demonstrada em [33]. Entretanto, a categoria de dom´ınios envolvida naquele trabalho não inclue a esfera Sm_.

Para núcleos que satisfazem as hipóteses do teorema anterior podemos fornecer uma demonstra¸cão alternativa para a fórmula do Teorema 2.1.2. Este é o conteúdo da observa¸cão que encerra esta se¸cão.

Observa¸c˜ao 2.2.5. Pelo Teorema 2.2.4 temos que

Dαf(x) = hf,(D0,αK)xiK, f ∈ HK, x∈Sm. Por outro lado, j´a vimos que (D0,α_K₎x _{pertence a}_H

K quando|α| ≤n ex∈Sm. Logo,

Dα,βK(x, y) = Dα((D0,βK)y)(x) =h(D0,βK)y,(D0,αK)xiK. As duas igualdades

h(D0,βK)y,(D0,αK)xiK =h(D0,αK)x,(D0,βK)yiK e

h(D0,αK)x,(D0,βK)yiK =Dβ((D0,αK)x)(y) = Dβ,αK(y, x), implicam a f´ormula do Teorema 2.1.2.

2.3 F´

ormulas de reprodu¸

c˜

ao no caso bizonal

Nesta se¸cão continuamos com as investiga¸cões iniciadas nas se¸cões anteriores, adi-cionando a bizonalidade do núcleo de Mercer como hipótese.

Dizemos que um núcleo K : Sm_×_Sm _→ _C _é _bizonal _{quando existe uma fun¸cão}

ϕ: [−1,1]→C _{tal que}

K(x, y) =ϕ(x·y), x, y ∈Sm. (2.3.1)

Apesar de não demonstrarmos este fato aqui, informamos que K é zonal se, e somente se, ele é invariante por transforma¸cões ortogonais de Rm+1 _{([18, p. 17]), ou seja,}

K(x, y) = K(A(x), A(y)), x, y ∈Sm,

qualquer que seja a transforma¸c˜ao linear ortogonalA:Rm+1 _→Rm+1_{. O termo bizonal} vem na verdade desta propriedade.

(40)

Proposi¸cão 2.3.1. Seja K um núcleo de Mercer como em (1.2.1). Se K é bizonal, a fun¸cão ϕ oriunda da defini¸cão de bizonalidade é um elemento de C1_([₋₁_,_1])_, _x_∈ _Sm

e j ∈ {1,2, . . . , m+ 1} ent˜ao Kx _e ₍_D0,ej_K₎x _{s˜ao ortogonais em} _H

K.

Demonstra¸cão: SejamK, ϕ,xej como no enunciado da proposi¸cão. É imediato que

K ∈C1,1₍_Sm_×_Sm_{). Ent˜ao, o Teorema 2.2.4 implica que}

hKx,(D0,ej_K₎x_i

K =DejKx(x), x∈Sm.

Por outro lado, um c´alculo direto revela que

Dej_Kx₍_y_{) =}_ϕ′₍_x_·_y_)[(_e

j·x)−(ej·y)(x·y)], x, y ∈Sm.

Em particular,

Dej_Kx₍_x_{) =} _ϕ′_(1)[(_e

j·x)−(ej·x)] = 0,

e a rela¸c˜ao de ortogonalidadehKx_,₍_D0,ej_K₎x_i

K = 0 segue.

Obviamente, a derivada deϕemx= 1 mencionada na demonstra¸cão acima refere-se à derivada à direita.

Quanto `a ortogonalidade dos elementos da fam´ılia

Fx :={(D0,ejK)x :j = 1,2, . . . , m+ 1}, uma compara¸cão é poss´ıvel quandoϕ é um elemento de C2_([₋₁_,_1]).

Proposi¸cão 2.3.2. Seja K um núcleo de Mercer como em (1.2.1). Se K é bizonal, a fun¸cãoϕ oriunda da defini¸cão de bizonalidade é um elemento deC2_([₋₁_,_1]) _e _x_∈_Sm

ent˜ao a seguinte f´ormula vale:

h(D0,ek_K₎x_,₍_D0,ej_K₎x_i

K =−ϕ′(1)(ej ·x)(ek·x), k6=j. (2.3.2)

Demonstra¸cão: SejaK,ϕ excomo descritos no enunciado da proposi¸cão. Considere a extensão ˜K deK. Cálculos diretos revelam que

D0,ek_K˜₍_{x, y}_{) =} _ϕ′

x·y

kxkkyk

(ek·x)kxkkyk −(x·y)(ek·y)kxkkyk−1

kxk2_k_y_k2

= ϕ′

x·y

kxkkyk

(ek·x)

kxkkyk −

(x·y)(ek·y)

kxkkyk3

, x, y 6= 0.

Segue que

D0,ek_K₍_{x, y}_{) =} _ϕ′₍_x_·_y_)[(_e

(41)

2.4 Mergulho do EHR em espa¸cos de fun¸c˜oes suaves 23

Um processo similar nos leva `a seguinte f´ormula paraDej,ekK˜(x, y)

ϕ′′

x·y

kxkkyk

(ej ·y)

kxkkyk −

(x·y)(ej ·x)kxk−1

kxk2_k_y_k2

(ek·x)

kxkkyk −

(x·y)(ek·y)

kxkkyk3

+ϕ′

x·y

kxkkyk

−(ek·x)(ej·x)

kxk3_k_y_k −

(ek·y)

kyk3

(ej·y)

kxk −

(x·y)(ej·x)

kxk3

,

sempre que k 6=j e x, y 6= 0. Em particular,

Dej,ek_K₍_{x, y}_{) =} _ϕ′′₍_x_·_y_)[(_e

k·x)−(ek·y)(x·y)][(ej ·y)−(ej·x)(x·y)] + ϕ′(x·y)[(ej·x)(ek·y)(x·y)−(ek·x)(ej·x)−(ek·y)(ej ·y)],

parak6=j ex, y ∈Sm_{. A afirma¸cão da proposi¸cão segue destes cálculos e dos teoremas} 2.2.1 and 2.2.4.

Corolário 2.3.3. Seja K um núcleo de Mercer como em (1.2.1). Se K é bizonal, a fun¸cão ϕ oriunda da defini¸cão de bizonalidade é um elemento de C2_([₋₁_,_1]) _{tal que}

ϕ′₍₁₎ ₆_{= 0} _e _x_∈_Sm_{, então as fun¸cões} ₍_D0,ekK)x and (D0,ejK)x são ortogonais em H

K

se, se somente se, x´e ortogonal a ambos ek e ej.

Para finalizar a se¸c˜ao, passamos para o c´alculo de uma estimativa para a norma dos elementos considerados nos resultados anteriores.

Proposi¸cão 2.3.4. Seja K um núcleo de Mercer como em (1.2.1). Se K é bizonal, a fun¸cãoϕ oriunda da defini¸cão de bizonalidade é um elemento de C2_([₋₁_,_1]) _e _x_∈_Sm_,

ent˜ao k(D0,ejK)xk

K ≤

p

ϕ′₍₁₎_, _j _{= 1}_,₂_{, . . . , m}_{+ 1}_.

Demonstra¸cão: Nas condi¸cões da proposi¸cão, o Corolário 2.1.5 implica queϕ′₍₁₎_≥_0.

Um processo análogo ao usado na demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.3.2 revela que

Dej,ej_K₍_{x, y}_{) =} _ϕ′′₍_x_·_y_)[(_e

j·x)−(ej·y)(x·y)][(ej·y)−(ej ·x)(x·y)]

+ ϕ′(x·y)[1 + (ej·x)(ej·y)(x·y)−(ej ·x)2 −(ej ·y)2], x, y ∈Sm. Logo,

k(D0,ej_K₎x_k2

K =Dej,ejK(x, x) =ϕ′(1)[1−(ej·x)2]≤ϕ′(1). Assim, a desigualdade da afirma¸c˜ao da proposi¸c˜ao segue.

2.4 Mergulho do EHR em espa¸

cos de fun¸

c˜

oes suaves

(42)

Fixados um n´ucleo positivo definido K e um multi-´ındice α em Zm+1

+ para o qual

D0,α_K _{existe, a fun¸c˜ao} _η

α :Sm → HK dada por

ηα(x) = (D0,αK)x, x∈Sm, aparece naturalmente nos argumentos.

Um resultado geral provado em [34], que inclui o contexto deste trabalho, justifica que a continuidade de K ´e equivalente `a continuidade de η0. Se |α| > 0, a seguinte

proposi¸c˜ao complementa este resultado, pelo menos no caso esf´erico que estamos tra-tando.

Proposi¸c˜ao 2.4.1. Seja K um n´ucleo de Mercer como em (1.2.1). Se K pertence a

Cn,n₍_Sm_×_Sm₎ _e _|_α_{| ≤}_n_{, ent˜ao} _η

α ´e cont´ınua.

Demonstra¸cão: Sejam K e α como na hipótese da proposi¸cão. Temos,

kηα(x)−ηα(y)k2K = hηα(x)−ηα(y), ηα(x)−ηα(y)iK

= h(D0,αK)x−(D0,αK)y,(D0,αK)x−(D0,αK)yiK, x, y ∈Sm. Por outro lado, c´alculos simples usando a f´ormula do Teorema 2.2.4 implicam que

kηα(x)−ηα(y)k2K =Dα,αK(x, x)−Dα,αK(x, y)−Dα,αK(y, x) +Dα,αK(y, y). A continuidade deηα segue.

Observe que o resultado acima pode ser reproduzido em outros contextos, contanto que uma versão do Teorema 2.2.4 esteja dispon´ıvel. Isso certamente inclui as configu-ra¸cões consideradas em [10, 38], onde o núcleo é definido sobre subconjuntos especiais deRm+1_.

Na continua¸c˜ao, considere Cn₍_Sm_{) munido da norma dada por}

kfkCn = max{|Dαf(x)|:|α| ≤n, x∈Sm, f ∈Cn(Sm)}.

De maneira similar podemos introduzir uma normak · kCn,n emCn,n(Sm×Sm).

Propri-edades adicionais do mergulhoι :HK ֒→Cn(Sm) s˜ao descritas no resultado a seguir. A demonstra¸c˜ao foi inspirada nas ideias contidas em [38].

Cn,n₍_Sm_×_Sm₎_{, ent˜ao o mergulho} _ι _: _H

K ֒→ Cn(Sm) ´e limitado e compacto.

Adicio-nalmente,

kfkCn ≤ kKk1/2

(43)

2.4 Mergulho do EHR em espa¸cos de fun¸c˜oes suaves 25

Demonstra¸cão: Se K ∈ Cn,n₍_Sm _×_Sm_{), então a fórmula (2}_.₂_._{2) vale e aplicando a} desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos

|Dαf(x)|=|hf,(D0,αK)xiK| ≤ k(D0,αK)xkKkfkK. Por outro lado,

k(D0,αK)xk_K2 =h(D0,αK)x,(D0,αK)xiK =Dα,αK(x, x)≤ kKkCn,n.

Combinando-se estas desigualdades chegamos à limita¸cão deιe à desigualdade (2.4.1). A demonstra¸cão da compacidade deιé mais delicada. Fixando uma sequência limitada

{fj}∞j=0 emHK, pretendemos mostrar que pelo menos uma subsequência dela é conver-gente em Cn₍_Sm_{). Para cada}_α _satisfazendo _|_α_{| ≤}_n_{, considere a sequência}_{_Dα_f

j}∞j=0.

Aplicando a Proposi¸c˜ao 2.4.1, podemos achar constantes cα >0 tais que

kηα(x)kK ≤cα, x∈Sm.

Segue que

|Dαfj(x)|=|hfj, ηα(x)iK| ≤ kfjkKkηα(x)kK ≤M cα, x∈Sm, j = 0,1, . . . ,

onde M é uma constante que limita a sequência {fj}∞j=0. Em particular, {Dαfj}∞j=0 é

uniformemente limitada. A desigualdade

|Dαfj(x)−Dαfj(y)|=|hfj, ηα(x)−ηα(y)iK| ≤ kfjkKkηα(x)−ηα(y)kK, x, y ∈Sm,

e a continuidade de ηα nos permite justificar a equicontinuidade de{Dαfj}∞j=0. Agora,

usando o teorema de Arzelá-Ascoli ([12, p. 131]) para passar a uma subsequência, se necessário, podemos assumir que {fj}∞j=0 é uniformemente convergente para uma

fun¸c˜ao g ∈C(Sm_{). Em seguida, escrevemos}

S :={α : 0<|α| ≤n}={α1, α2, . . . , αr}, ordenando de forma crescente com rela¸c˜ao `a |α|. Como {Dα1_f

j}∞j=0 ´e uniformemente

limitada e equicont´ınua, podemos usar o mesmo procedimento, a fim de concluir que

{Dα1f

j}∞j=0 ´e uniformemente convergente. Podemos repetir este processo at´e exaurir o

conjuntoS. Terminamos com uma sequˆencia{fj}∞j=0, uniformemente convergente para

g e tal que {Dα_f

j}∞j=0 ´e uniformemente convergente para todoα em S. Agora, o Lema

2.1.3 implica que g ∈Cn₍_Sm_{) e} _{_f

(44)

2.5 Exemplos

Nesta se¸c˜ao, reconsideramos os exemplos apresentados anteriormente, levando em conta alguns resultados provados neste cap´ıtulo.

Exemplo 2.5.1. (Núcleo polinomial homogêneo) Considere o núcleo introduzido no exemplo 1.2.6. Já vimos que este é um núcleo de Mercer representado por

K(x, y) = X

|α|=d

C(d, α)xα_yα_, _{x, y} _∈_Sm

e que o conjunto{C(d, α)1/2_xα_}|

α|=dé uma base ortonormal para o EHRHK associado ao núcleoK. É fácil ver queK ∈C∞,∞₍_Sm_×_Sm_{). Como}_H

Ktem dimensão finita, temos a inclusãoHK ⊂C∞(Sm). De fato, todas as fun¸cões deHK são somas finitas de fun¸cões que estão em C∞₍_Sm_{). Além disso, pela mesma razão, o mergulho} _H

K ⊂ C∞(Sm) ´e compacto ([16, p. 407]).

No restante da se¸cão, consideramos o núcleo Gaussiano introduzido no exemplo 1.2.7, o qual já sabemos ser um núcleo de Mercer. Sua representa¸cão em série via harmônicos esféricos é dada por ([23, 24])

Kσ(x, y) =

∞

X

k=0

λσ_k

N(k,m)

X

l=1

Yk,l(x)Yk,l(y), x, y ∈Sm,

onde

λσ_k =e−2/σ2σm−1Ik+(m−1)/2(m+ 1,2σ−2)Γ((m+ 1)/2), k = 0,1, . . . . (2.5.1)

O s´ımbolo Ik+(m−1)/2(m+ 1,·), k = 0,1, . . ., representa a fun¸c˜ao de Bessel modificada

de primeira espécie associada ao inteiro m+ 1, Γ é fun¸cão gama usual e {Yk,l : k = 1,2, . . . , N(k, m)}é uma base do espa¸coHm

k dos harmônicos esféricos de graukemm+1 variáveis como definido em (1.3.1). Em particular, o núcleo tem uma representa¸cão em série como descrito em (1.2.1). A sequência {λσ_k}∞_k₌₀ satisfaz a desigualdade

2λσ k

λσ k+1

>(2k+m+ 1)σ2, k= 0,1, . . . , (2.5.2) o que garante que ela é eventualmente decrescente. Em particular, convergente. Todas as informa¸cões fornecidas até momento podem ser ratificadas em [23, p. 312].

O EHR HKσ associado ao n´ucleo Gaussiano Kσ pode ser caracterizado como em

(1.2.3) da seguinte maneira

HKσ =    ∞ X k=0

N(k,m)

X

l=1

ak,l(λσk)1/2Yk,l :

∞

X

k=0

N(k,m)

X

l=1

a2_k,l <∞

 



(45)

2.5 Exemplos 27

Os resultados das se¸c˜oes anteriores revelam que HKσ ⊂C

∞₍_Sm_{). Entretanto, como}

ilustra¸cão, deduziremos a mesma informa¸cão via sequências rapidamente decrescentes. Diremos que uma sequência{aj}∞j=0de números reais não negativos érapidamente

decrescente quando sup{nk_a

n : n ∈ Z+} < ∞, k ∈ Z+. A seguinte implica¸c˜ao est´a

provada em [25, p.36].

Lema 2.5.2. Seja {fk}∞k=0 uma sequência de harmônicos esféricos com fk ∈ Hmk,

k = 0,1, . . .. Se a sequência {kfkk2}∞k=0 é rapidamente decrescente, então a fun¸cão f

dada por

f(x) =

∞

X

k=0

fk(x), x∈Sm,

´e um elemento de C∞₍_Sm₎_.

Este lema entra nos argumentos da demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado.

Teorema 2.5.3. Se uma fun¸c˜ao f possui uma representa¸c˜ao

f =

∞

X

k=0

N(k,m)

X

l=1

ak,l(λσk)1/2Yk,l,

∞

X

n=0

N(k,m)

X

k=1

a2_k,l <∞,

ent˜ao f ´e um elemento de C∞₍_Sm₎_.

Demonstra¸c˜ao: Sejaf como na hip´otese do teorema e escreva

fk = N(k,m)

X

l=1

ak,l(λσk)1/2Yk,l, k = 0,1, . . . . Mostremos que {kfkk2}∞k=0 ´e rapidamente decrescente. Claramente,

kfkk22 =λσk





N(k,m)

X

l=1

a2_k,l



,

kfkk22 ≤λσkkfk22, k = 0,1, . . . .

Ent˜ao, ´e suficiente verificarmos que {(λσ

k)1/2 :k= 0,1, . . .}´e rapidamente decrescente. Para isso, primeiramente observe que a desigualdade (2.5.2) implica que

λσ k

λσ k+1

> k+ 1, (2.5.4)

para σ≥1. Como {λσ

k}∞k=0 converge, temos

(46)

Em seguida aplicamos um argumento de indu¸c˜ao. Assuma que

sup{knλσ_k :k = 0,1, . . .}<∞, n= 0,1, . . . , p−1, (2.5.5)

para algump≥1. Usando (2.5.4), deduzimos que

(k+ 1)pλσ_k₊₁ = (k+ 1)p−1(k+ 1)λσ_k₊₁ ≤(k+ 1)p−1λσ_k = p−1

X

n=0

p−1

n

kp−1−nλσ_k, k ≥0.

Assim, (2.5.5) implica que

sup{kpλσ_k :k= 0,1, . . .}<∞.

No caso em que σ <1, observe que a f´ormula 2.5.2 implica a desigualdade

λσ k

λσ k+1

> k+ 1 N0

, k ≥N0.

para algum N0 ∈Ntal que σ2 > _N1₀. A mesma argumenta¸c˜ao do caso em queσ ≥1, ´e

v´alida para demonstrarmos que

sup{kpλσ_k :k= 0,1, . . .}<∞.

Desta forma, provamos que{λσ

k}∞k=0 ´e rapidamente decrescente. Portanto, a mesma

conclusão é válida para a sequência{(λσ

k)1/2}∞k=0.

Agora, considere a expans˜ao

Kσ,r(x, y) := exp(rσ−2(x·y)) =

∞

X

k=0

Ik(m+ 1, rσ−2) N(k,m)

X

l=1

Yk,l(x)Yk,l(y), x, y ∈Sm,

que é uma consequência de resultados provados em [26, p. 124] e da fórmula de adi-¸cão para polinômios de Legendre ([25, p.27]). Introduzindo a sequência {λσ

k}∞k=0 como

definida em (2.5.1) temos

Kσ,r(x, y) =

∞

X

k=0

N(k,m)

X

l=1

(λσ_k)1/2Ik m+ 1, rσ−2

Yk,l(y)(λσk)1/2Yk,l(x), x, y ∈Sm. Desta forma, sey ∈Sm_{, a verifica¸c˜ao de que} _Ky

σ,r ∈ HKσ depende da convergˆencia da

s´erie

∞

X

k=0

N(k,m)

X

l=1

|ak,l|2 =

∞

X

k=0

(λσ_k)−1Ik m+ 1, rσ−2

2

N(k,m)

X

l=1