Visualizando os Modos Normais de
Vibra~ao om o Computador
S.S. B. Jaome,F. F. de Medeiros, G.Corso, e L.S. Luena
InternationalCenterforComplex SystemsandDepartamentode FsiaTeoriae Experimental
Universidade FederaldoRioGrandedoNorte,Campus Universitario
59078970,Natal,RN,Brazil
Reebidoem7demaro,2002. Aeitoem3dejulho,2002.
Neste trabalho desenvolvemos um programa eduativo versando sobre modos normais em uma
adeia de osiladores aoplados. O usuario do programa pode simular a evolu~ao din^amia de
uma adeia de osiladores esolhendo ondi~oes iniiais tanto emoordenadas artesianas omo
em oordenadas normais. Foalizamos o efeito do desaoplamento do sistema deequa~oes
dife-reniais (passagemdeoordenadasartesianasparaoordenadasnormais)sobreastrajetorias dos
osiladores do ponto de vista da din^amia qualitativa. Atraves das araterstias da evolu~ao
din^amia,quase-periodiidadeouperiodiidade,oestudanteganhaintui~aosobreosigniadodas
formasnormais.
Inthisworkwedevelopaneduationalsoftwareaboutnormalmodesinahainofoupledosillators.
Thesoftwaresimulatesthedynamialevolutionofthesystemallowing tohooseinitialonditions
inartesian oordinates or innormalmodes. We fous ontheeet ofdeoupling the system of
dierential equations (transition from artesian oordinates to normal modes) inthe qualitative
dynamisoftheosillators, eitherinthequasiperiodiorintheperiodiregime. Thepurposeisto
givethestudentsomeinsightsaboutthemeaningofthenormalmodes.
I Introdu~ao
A utiliza~ao de programas de omputador no ensino
da fsia vem resendomuitona ultima deada[1-6℄.
Programasdidatiosqueauxiliamoproessode
apren-dizagem se enontram disponveis ao publio
interes-sado tanto em vers~ao omerialomogratuita. Como
partiipantes da universidade publia, nos engajamos
natarefadeaumentaraofertaaosestudantesde
mate-riaisdidatiosomputaionaisn~aopagosquevenhama
auxilia-losnaforma~aodeoneitosemFsia.
Diversamentedamaioria dosprogramasde Ensino
emFsiaquesedestinamaestudantesdenvelmedio,
onossoedirigidoauniversidade.Opublio-alvos~ao
es-tudantesdeFsia,ouEngenharia,queest~aoursando
disiplinasdeMe^aniaClassiaAvanada. Oobjetivo
doprogramaefailitarao usuariooentendimento das
oordenadasnormaisatravesdo jogointerativoomo
omputador. O programa permite que se denam as
ondi~oes iniiais na forma desloamento - veloidade
bem omo em oordenadas normais. Assim, o
estu-dante pode omparar a evolu~ao din^amia em ambas
asformas,fato queoajudaadesenvolverooneitoe
aintui~aodasoordenadasnormais.
Nosso sistema onsiste numa adeia de N
os-iladores (atomos) aoplados. Cada \atomo" se
en-ontra auma dist^ania aum do outroquando em
re-pousoeestaligadoporduasmolas,onformemostraa
Fig. 1. As ondi~oes de ontorno s~ao xas, istoe, as
duasmolasdaextremidadeest~aopresasaumaparede.
Neste sistema de osiladores ligados exploraremos as
oordenadas normais,tambem hamadasde oletivas,
poisdesrevemomovimentoonjunto dosatomos.
Figura1. Esquemadaadeia deosiladores aoplados. q
i
representaodesloamentodoatomodaiesimaposi~ao.
A adeia de osiladores elargamente estudada na
Fsia por dois motivos, pelo menos. Primeiro, por
representarumristal monoat^omiounidimensional, o
maissimplesdosmodelosdesistemasdemuitosorpos
ordenados. Estemodelosimpliadodarederistalina
eutilizadonaestimativadoalorespeodosmetais
desde os primordios da i^enia do estado solido [7℄.
A ontagem estatstia que nos fornee a energia
ebaseadanasoordenadasoletivas. Estasoman~aoe
feita, omo ingenuamente se poderia pensar, a partir
dasvibra~oesdosatomosisolados. Ademais,noestudo
dosristais,quandodapassagemdaMe^aniaClassia
paraaMeaniaQu^antia,s~aoasoordenadasnormais
ques~aoquantizadas[8℄.
Umsegundoaspeto quetorna as oordenadas
o-letivaspopularesnaFsiaTeoriaesuatransi~aopara
oontnuo,isto e,olimite a!0eN !1. A adeia
deosiladoresnolimiteontnuorepresentaomais
ele-mentardossistemasme^aniosestendidos: aorda. A
analise das osila~oes da orda do viol~ao, ou da viga
deumedifio,temseumodelomaissimplesnavers~ao
ontnuadaadeiadeosiladores. Easmesmas
oorde-nadasnormaisutilizadasnadesri~aodossistemas
dis-retostambems~aouteis namodelagemdosontnuos.
Afora as raz~oes fsias para se estudar
oorde-nadas normais, devemoslevar emonsidera~ao olado
matematio. As oordenadas oletivas, estritamente
falando, s~ao o resultado de um desaoplamento de
equa~oes. Assim, uma solu~ao ompliada em ertas
oordenadas pode assumir uma forma simples em
ou-tras oordenadas. Este proesso de simplia~ao de
um problema atraves de uma transforma~ao de
oor-denadas e omum a muitas areas da Fsia. O
pro-gramaquedesenvolvemostemomoobjetivo,tambem,
fazer que o aluno se d^e onta do quanto uma
trans-forma~ao de oordenadas pode simpliar adesri~ao
deumproblema.
A forma omo o programa foi onebido ressalta
o aspeto din^amio dos osiladores aoplados.
Con-eitos omo periodiidade, quase-periodiidade e aos
podemsurgirdeumaformaespont^aneaeintuitiva
du-rante a utiliza~ao do programa. De fato, sendo o
sis-tema linear, ele n~ao pode apresentar omportamento
aotio, pois a n~ao-linearidade e ondi~ao neessaria
para oapareimentode aosem umsistema din^amio
[10℄. Umaosila~aoquase-periodiaarateriza-sepela
ombina~ao linear de osila~oes de frequ^enias
1 e
2
n~ao omensuraveis entre si, p = 1
2
, p 6= Q.
Isso implia que rigorosamente uma trajetoria do
sis-tema nunavoltaraaomesmo ponto. Umaobserva~ao
apenas visual da evolu~ao din^amia de uma osila~ao
generianemsemprepermitequesediferenieoaosda
quase-periodiidade,enquantoumaosila~aoperiodia
efailmente reonheida. O usuario do programaira
sedefrontar om estasquest~oes; efetivamente,porem,
apenas duas situa~oes s~ao permitidas neste sistema
din^amio: quasiperiodiidadeeperiodiidade.
O nosso trabalho se prop~oe, por um lado, a
aju-darousuarioaentenderasoordenadasnormais,epor
outro,visatambemestimularapratiadaprograma~ao
ienta entre os estudantes. Nosso programa e
ex-posto por dentro e seu algoritmo pode ser entendido
om relativa failidade. Sua utiliza~ao na onstru~ao
deoutrosalgoritmossimilares,ouemseuproprio
aper-feioamento,eenaradapelosautoresomoumpassoa
maisnoproessopedagogio.Nestesentidosomos
ons-trutivistas [9℄. O aprendizado sedaquando o sujeito
seapropriadoonheimento,usaesteonheimento,e
onseguetransforma-lo.
Otrabalhoeorganizadodaseguinteforma: nase~ao
II, o modelo da adeia de osiladores e apresentado
utilizando-seda Me^aniade Newton em oordenadas
onvenionais (desloamento e veloidade) bem omo
emoordenadasnormais. Asnovasoordenadas
faili-tam a desri~ao e o entendimento do problema. Na
se~ao III, o programa desenvolvido e omentado do
ponto de vista de sua logia interna. Na se~ao IV, a
utiliza~ao do programapelo usuario e exploradae,
-nalmente,nase~aoV,onlumosotrabalhoomuma
breveavalia~aopedagogiartia.
II Das oordenadas artesianas
as normais
Nesta se~ao apresentamos a adeia de osiladores nas
oordenadas artesianasq
i
e depois indiaremosomo
serealizaatransforma~aoquelevaasoordenadas
nor-mais Q
i
. No meio do aminho ser~ao apresentadas
as frequ^enias normais,
i
, prosaiamente
denomi-nadas naturais. Maiores detalhes sobre o formalismo
matematiopodem serenontradosem[11,12,13℄.
Consideramos novamente a Fig. 1 e usamos a lei
de Hooke para determinar a fora resultante sobre o
atomodaiesimaposi~ao,oqueenvolveoalongamento
dasmolasadjaentes,istoe,(q
i+1 q
i )e(q
i q
i 1 ). A
segundaleideNewtonseesreve:
mq i = k(q i+1 q i )+k(q
i q
i 1
): (1)
onde os atomost^em massa m ea onstante de ada mola vale k. A ondi~aodas extremidades xas equivale a
q
0 =q
N+1
=0. Emlinguagemmatriialesteproblemaassumeaforma:
m 0 B B B B B q 1 q 2 q 3 . . . q N 1 C C C C C A = 0 B B B B B
2k k 0 0
k 2k k 0
0 k 2k 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 2k
Atarefadeenontrarasoordenadasnormaisdoponto
de vista da algebra linear onsiste em diagonalizar o
sistema (2). Elas ser~ao as novas oordenadas do
sis-tema diagonalizado, e as frequ^enias normais, os
ele-mentos da diagonal prinipal da nova matriz. Vale a
pena ressaltar que este proessosopode serrealizado
setodososautovaloresdosistemaforemdiferentesaso
ontrario, amatriz an^onia do sistema se enontrara
naformadeJordan[14℄en~aonaformadiagonal.
A transforma~ao desejada se realiza utilizando o
ansatzq
i =Ae
i(tn)
pararesolver(1). Asondi~oes
deontornoaabampordeterminarasfrequ^enias
na-turais: i =2 r k m sen i
2(N+1)
: (3)
As oordenadas q
i
podem ser esritas atraves das
oordenadasoletivasQ
i : q i = r 2
N+1 N X j=1 1 p j sen ij
N+1
Q
j : (4)
Ainvers~aodestesistema(defatoainvers~aodeuma
matriz)permitequeseexpliiteQ
i
emfun~aodeq
i : Q i = r 2 i
N+1 N X j=1 sen ij
N+1
q
j
: (5)
Retornandoaoomeodestase~aoonde
apresenta-mosaequa~aodeNewton,(1),podemosagora
reesre-v^e-laemmodosnormais:
d 2 Q i dt 2 = 2 i Q i : (6)
Esta e a grande vantagem das oordenadas normais:
elas permitem o desaoplamento ompleto do sistema
demolas. Ademais, asolu~aode (6)etrivial,trata-se
do osiladorharm^onio. Desta forma, asoordenadas
normaiss~aoN osila~oesharm^oniasujasfrequ^enias
s~aodadaspelaequa~ao(3). Seosistemainiiaremuma
dessasfrequ^enias,nelasemanteraportempo
indeter-minado. Umaondi~aoiniialgeneria,entretanto,
en-volveuma ombina~aolinearde todosas oordenadas
oletivas. Naproximase~ao,voltaremosomtodo
em-penhoaesteponto.
III O Algoritmo por Dentro
III.1 Metodo de Euler
Um estudante de Fsia passa bom tempo do seu
ursoestudandoequa~oesdifereniais,ondemaiorparte
do seu estudo esta dediada a enontrar
ferramen-tas que possam resolvertais equa~oes . Desde ent~ao,
aprende que ha pelo menos dois metodos basiosque
podem ser lassiados omo analtios e
omputa-Neste artigo, esolhemos o metodo de integra~ao
de Euler por ser bastante eiente, ou seja, solu~oes
numerias por ele enontradas ondizem om a
reali-dade do problema fsio. Alem disto, trata-se de um
metodo intuitivo e de simples entendimento, o qual
podedarsuporteparaseentendereidealizarproessos
numeriosmaisompliados. Umadisuss~aomais
apro-fundadasobreresolu~aonumeriadeequa~oes
diferen-iaispodeserenontradaem[15℄.
Ometodo de Euler onsiste em obter, a partirde
ondi~oesiniiaisdenidas,asolu~aodeequa~oes
difer-eniais ordinarias atraves da integra~ao suessiva das
derivadas de ordemmais alta. Boasrefer^enias sobre
oassuntos~ao [16, 15℄. Ouseja, apartirdaaelera~ao
x (segunda ordem, k =2), obteremos aveloidade x,_
(primeiraordem,k=1),eent~aoaoordenadax(ordem
zero,k=0).
Consideremosaequa~aodiferenial:
dy
dx
=f(x;y) (7)
onde x e uma variavelindependente ey uma variavel
dependente. Emmuitosasos,aderivadaf(x;y)pode
variar om o tempo (variavel independente) e om a
dist^ania e veloidade, (variavel dependente). Uma
formasimplesdesedenirumaderivadaeomoolimite
daraz~aoentreosinrementosemy ex para
inremen-tosnavariavelindependente tmuitopequenos:
dy dx =lim x!0 y x (8)
Se onheemoso valor de y para um determinado
valorx,podemos,ent~ao,determinarovalordavariavel
dependentey paraumvalorposteriordex,atravesdas
deni~oes (7) e (8). Sendo onheidos os valores nos
pontos (x
n ;y
n
), podemos, pordiferenas nitas,
usan-doaequa~ao(8),obterovaloraproximadodey
n+1 da seguinteforma: lim x!0 y x =lim x!0 y n+1 y n x n+1 x n =lim h!0 y n+1 y n h (9)
ondehx
n+1 x
n
edenido omopasso(valor
ons-tante)deintegra~aodaequa~aodiferenial. Sezermos
uma aproxima~aodaeq. (7)usandoaeq. (9)om
va-loresnitosparah,teremos:
y
n+1 y
n
h
=f(x
n ;y
n
) (10)
eaposalgumasaltera~oes:
y
n+1 =y
n
+hf(x
n ;y
n
) (11)
queeonheido omooMetodode Integra~aode
Eu-ler para resolver numeriamente equa~oes difereniais
ordinarias.
y
n+1 =y
n +(x
n+1 x
n )y(x_
n ;y
n )+
(x
n+1 x
n )
2
2 y(x
n ;y
n
)+::: (12)
d
bastando apenas trunar a serie aima na primeira
derivada dey(x
n+1 ).
Figura2. EsquemadointegradordeEuler. Ograodex
versusy.
Podemosmostrargraamenteoqueaonteeom
oproessodeintegra~aoutilizandoometododeEuler
naFig. 2. Observando,veremosque,sehtenderazero,
o ponto Q se aproximarado ponto y(x
n+1 ;y
n+1 ), em
outras palavras, a ordenada y tendera a y
n+1 .
Uti-lizando esse raionio, poderemos obter a partir do
ponto y(x
n+1 ;y
n+1
), que neste aso fara o papel de
valor iniial, o ponto y(x
n+2 ;y
n+2
) e assim
suessiva-mente ateolimite dointervalo,omo naFig. 3. Note
quehepequenoosuiente;porissoaintegra~ao
om-putaionalaompanhaaurvay(x).
Figura3. Aparti~aoemintervalosnointegradordeEuler.
III.2 Aplia~ao do Metodo de Euler
A partir da Segunda Lei de Newton, podemos
es-reverdeformageneralizadaaaelera~aoaemfun~ao
daposi~ao,veloidadeetempodaseguinteforma:
a(x;v;t)=
f(x;v;t)
m
(13)
Sabemos, tambem, queaaelera~aoeaderivada om
respeitoao tempo daveloidade, eque aveloidadee
aderivadadaoordenadadaposi~ao,ouseja:
a(x;v;t)= dv
dt
(14)
v(x;v;t)= dx
dt
(15)
Comas equa~oes aima, teremos ondi~oes, ent~ao, de
apliarometododeEuler paradesobriraposi~aoea
veloidade,eomessesdadosalularaaelera~aono
proximopasso,desdequesesaibaomof(x;v;t)varia.
Emformaiterativa:
a
n =f(x
n ;v
n ;t)
v
n+1 =v
n +ha
n
x
n+1 =x
n +hv
n+1
(16)
Neste artigo, omo o estudo esta sendo feito
so-bre osiladores harm^onios simples aoplados,
pode-mos imaginar que os mesmos s~ao atomos, de massa
m, ligadosentre sipormolasomonstante k.
Supo-mostambem, para tornar mais fail aimplementa~ao
graanoomputador, queosistematemapenas
qua-troatomos,sendotodasasmassaseonstantesde
mo-lasiguais. Afun~aodaaelera~aof variaapenasom
aposi~aoomonaequa~ao(1):
f(q
1 )=
k(q
1+1 q
1 )+k(q
i q
i 1 )
m
i=0;::;4
(17)
ondeadaq
i
eodesloamento darespetivapartula
i emrela~aoasuaorigem.
Numalgoritmoem C,ometodode Eulerseria
ba-siamente:
t=0.01;
q[1℄=valoriniial;v[1℄=valoriniial;
q[2℄=valoriniial;v[2℄=valoriniial;
q[3℄=valoriniial;v[3℄=valoriniial;
q[4℄=valoriniial;v[4℄=valoriniial;
For(T
i
=0;T
i T
f ;T
i +=t)
for(i=1;i<5;i++)
a[i℄=(k(q[i+1℄+q[i℄)+k(q[i℄ q[i 1℄))=m;
for(i=1;i<5;i++)
v[i℄=v[i℄+a[i℄t;
for(i=1;i<5;i++)
q[i℄=q[i℄+v[i℄t;
g
ondeT
i
eovaloriniial,T
f
ovalornal,etorresponde
aoh,oinrementonometododeEuler.
O algoritmo ompleto em C, om seus
respe-tivos omentarios, enontra-se disponvel no endereo
http://www.dfte.ufrn.br/pdf.
IV O uso Eduaional do
Pro-grama
Nesteaptulodesrevemosbrevementeautiliza~aodo
programa,asduasjanelasabertaspeloodigode
om-putador exeutavel e as possibilidades basias de
en-trada de dados no sistema. A opera~ao do programa
esimpleseauto-expliativa,n~aoneessitandoqualquer
treino previo em linguagem C, apenas uma
familiari-dade mnima omomputadores. O programasimula
a osilata~ao de quatro atomos em fun~ao do tempo
sendoasondi~oesiniiaisdaesolhadousuario.
Oprogramaeiniiadoaionando-seseuarquivo
exe-utavel,oqualabre primeiramente umajanela ondeo
usuariopodeesolherseentraraomasposi~oesiniiais
na formade oordenadasartesianasou normais.
Es-olhemos,omoondi~aoiniialpadr~ao,asveloidades,
em ambos osasos,iguais azero. Isso signiaque o
programadaliberdadeaosatomosnarededese
deslo-arem em rela~ao a sua origem, sendo ent~ao soltos a
partirdorepouso.
A Fig. 4 retrata ajanela prinipal aberta apos a
esolha das ondi~oes iniiais. Na parte superior da
janela, s~ao visveis os quatro atomos osilando. A
trajetoria de ada atomo em fun~ao do tempo esta
mostradaembaixonagura. Ambasasrepresenta~oes
s~ao dadas em tempo real proporionando ao usuario
umaimagemrealistadosistema. Noantosuperior, a
esquerda,enontram-seosvaloresdasondi~oesiniiais
emoordenadasnormaiseartesianas.
O usuario tem duas alternativas basias de
ini-iar a simula~ao: viamodosnormais, ou oordenadas
artesianas. Iniiando-se omoordenadasartesianas
generias,aevolu~aodin^amian~aoapresenta
periodii-dadevisvel,sendoomovimentodosatomos
aparente-mente desoordenado. Iniiando-se em oordenadas
normais,poroutrolado,asimetriadosistemae
revela-da, podendo failmente aperiodiidade serobservada.
Condi~oesiniiaisondeapenas umadasoordenadase
diferente de zero mostram imediatamente a osila~ao
daquela oordenada. Estequadro pode ser observado
na Fig. 4(a) ondetemos asondi~oesiniiais em
o-ordenadas artesianas q
1
= 15 e q
2 = q
3 =q
4 =0, e
naguraem4(b)ondeasondi~oesiniiaiss~aodadas
emoordendasnormaisQ
1
=15eQ
2 =Q
3 =Q
4 =0.
Saltamaosolhosoaratersimetriodaosila~aoea
pe-riodiidadeem4(b)ontrastadaomafaltadesimetria
eaaperiodiidadede4(a).
V Considera~oes Finais
Podemos estimular nos alunos o interesse pelas
disi-plinasquepossuemaplia~oesomputaionaissimples.
No entanto, epreiso umtreinamento em alguma
lin-guagem deprograma~ao. Neste sentido, alinguagem
C oferee otimos reursos para implementa~oes
om-putaionais desimula~oes paraa edua~ao. Oaluno,
ao mesmo tempo em que seapropria do
onheimen-to desala deaulaoudoslivros,podedesenvolver
me-lhorsuaforma~aoatravesdaonfe~aodeseusproprios
programase douso doomputador omo laboratorio.
Comoagentedoaprendizado,elepassaaserum
produ-tor de onheimento,en~aosimplesmente umreeptor
de informa~oes, um agente passivo. Como o proesso
de onstru~aodo odigo omputaionalenvolvevarias
etapas, entre as quais, odomnio do onteudo teorio
neessario para esrev^e-lo, isso aaba estimulando no
alunoogosto pelo aprender. Dentrodessa novavis~ao,
a partiipa~ao do disente e estimulada pela
riativi-dade. Ao eduador abe despertar a uriosidade do
aluno e propor novos aminhos para o aprendizado.
Oomputador pode setornar,ent~ao, uma ferramenta
impresindvelnesse novoontexto. Embora ouso do
omputadorsejaamplamentedifundidodentrodas
ins-titui~oes de ensino, n~ao s~ao todos os alunos que t^em
aessoaeste equipamento. Alguns atemesmo
alimen-tam uma ertaavers~ao ao omputador. Porisso,
de-vemosbusarsemprenovosaminhosparainentivaro
desejodoestudantepeloaprender.
Nossoprogramasobreformasnormaistemomo
ob-jetivo failitar ao estudante a forma~ao de oneitos
fsios e matematios sobre dois sistemas de
oorde-nadasdistintos. Atravesdaesolhadasondi~oes
inii-ais,oestudanteinterageomoomputadorproduzindo
etestandohipotesessobreasimplia~oesdin^amiasda
esolha de oordenadas feita. Istoe,o programa
per-mite que o estudante brinque om o omputador, e,
atravesdeste jogo de explora~ao , estabelea rela~oes
entreoordenadaseseuomportamentodin^amio.
Umaavalia~aopedagogiadoprogramafoirealizada
om dois tipos de usuario: o iniiante que ainda n~ao
teve ontato om o formalismo das formas normais,
e um outro que ja teve os onteudos disutidos em
aula. Mudando o tipo de entrada de dados,
oorde-nadasartesianas, ou normais,o alunoiniiante
ons-troiumparadigmaproprio.Atravesdatentativaeerro,
ele desenvolveuoseguinte oneitoelementar: existem
oordenadassimples(ondeomovimentoeperiodio)e
oordenadasn~aosimples(ondeomovimenton~ao
hegouaestesegundotipodeoordenada,mashama aaten~aoasimetriadasolu~ao.
a)
b)
Figura4. Umavis~aodajanela doomputadorabertapelo programa. Na partesuperiorseenontraosatomos osilando,
enquantonaparteinferioratrajetoriadeadaatomonotempo.Em(a)eusadaaondi~aoiniialq1=15eq2=q3=q4=0
emoordenadasartesianas. Em(b),aondi~aoiniialedadaemoordenadasnormais: Q1=15eQ2=Q3=Q4=0.
O estudante que teve, anteriormente,ontato om
o formalismo das oordenadas normais reonheeu de
imediato a implia~ao din^amia dos dois tipos de
o-ordenadas. Os onteudos referentes a separa~ao de
variaveisarammaislaroseauto-evidentes. Este
es-tudante, atravesdousodo omputador, onstruiu
no-vashipoteseseonsolidouosoneitosapresentadosem
aula.
Os pontos que mais vieram a tona durante a
uti-liza~aodoprogramaforam:
liberdade est~ao aoplados e de difil desri~ao,
poistodososq
i
(parai6=j)inuemnatrajetoria
deumdadoq
j .
Existeumoutrosistemadeoordenadasondeos
graus de liberdade (as vibra~oes) se omportam
deformaperiodia.
Nasoordenadasonvenionais,omovimenton~ao
apresenta periodiidade devido ao aoplamento,
todosgrausdeliberdade interferindoomtodos.
Nasoordenadasnormais,desaopladas,o
movi-mento e simples devido a forma elementar das
equa~oesdemovimento.
Asoordenadasnormaisrepresentammodos
ole-tivosdevibra~aoquepodemservisualizadospelo
omputador.
Osmodosoletivosapresentamsimetria,queesta
intrinseamenterelaionadaaofatodeavibra~ao
envolvertodaarede.
A impress~aoquetivemosequeoaprendizadomais
signiativo se deu quando o estudante teve um
on-tatoomoprogramaantes daaulasobre oassuntoe,
aposter tidoosonteudosdisutidos emsala de aula,
voltouassimula~oes. Deumaformageneria,podemos
dizer que os usuarios do programa avaliaram que sua
ompreens~aodamudanadeoordenadasneste
proble-maoumaislaraeintuitiva. Futurosusuariosdeste
programa s~ao onvidados a nos enviarem sugest~oes e
rtias.
Agradeimentos
OsautoresagradeemaCAPESeaoCNPqoapoio
naneiroaesteprojeto.
Refer^enias
[1℄ MarisaAlmeidaCavalante,AndersonPierePatria
Nakamura,Rev.Bras.Ens.Fis.23108(2001).
[2℄ J.deS.Nogueira,C.Rinaldi,J.M.FerreiraeS.R.de
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[3℄ J.A.Valente,Diferentesusosdoomputador,Porqu^e
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http://www.proinfo.gov.br
[4℄ L. S. Luena, et al., \Computadores no Ensino de
Fsia" - Anais da 43a Reuni~ao Anual da Soiedade
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[5℄ L. S. Luena et al., \Visualiza~ao do Cresimento
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[6℄ L.S.LuenaeL.R.daSilva-\Inorpora~aodeTopios
AtuaisdeFsiaaoBahareladoeLieniatura"-Anais
do X Simposio Naional de Ensino de Fsia, 196
(1993).
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