Exclusão e multidimensionalidade de tipos em leilões ótimos

(1)

No ₆₂₃ _{ISSN 0104-8910}

Exclus ˜ao e multidimensionalidade de tipos

em leil ˜oes ´otimos

Paulo Klinger Monteiro, Frank H. Page Jr., Benar fux Svaiter

(2)

Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. As opiniões

neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista da Fundação

(3)

Exclus˜

ao e multidimensionalidade de tipos em

leil˜

oes ´

otimos

⋆

Paulo Klinger Monteiro

FGV-EPGE, Praia de Botafogo 190 sala 1103, 22250-900, RJ, Brasil

Frank H. Page Jr

Department of Finance, UAL, Tuscaloosa, AL 35487, EUA

Benar fux Svaiter

IMPA, Estrada Dona Castorina 110, 22460-320, RJ, Brasil

Resumo

Em um modelo de leilões com valores privados independentes demonstramos que se os tipos são multidimensionais então no leilão ótimo há exclusão de tipos.

JEL: D44

Keywords: leilão ótimo, exclusão de tipos, tipos multidimensionais

1 Introdu¸c˜ao

A literatura de projeto de mecanismos se baseia predominantemente em um conjunto unidimensional de tipos. Quais as conseqüências para a otimalidade se a informa¸cão for multidimensional? A principal contribui¸cão deste artigo é mostrar que para leilões de um único bem, com valores privados indepen-dentes, e informa¸cão privada multidimensional então no ótimo há exclusão de tipos. Este fenômeno não ocorre, em geral, com tipos unidimensionais. Este trabalho tem sua motiva¸cão na literatura de monopólios multiprodutores. Em seu artigo sobre pre¸cos não-lineares para monopolistas multiprodutores, Arms-trong (1996) demonstrou que se a utilidade dos consumidores é crescente no

⋆ _{Monteiro e Svaiter agradecem o suporte financeiro do CNPq. Page agradece o}

suporte financeiro e a hospitalidade do CERMSEM, Universit´e de Paris I.

(4)

vetor de bens e no vetor de tipos, se além disso for convexa e homogênea de grau um no vetor de tipos e se o conjunto de tipos for multidimensional estritamente convexo então o pre¸co ótimo não-linear exclui um conjunto de medida positiva de tipos. Bulow e Roberts (1989) demonstram que o problema de leilões ótimos é (em suas palavras):

“virtually identical to the monopolist’s problem in third-degree price discri-mination”.

Estes dois artigos motivam nossa análise da extensão da validade da exclusão de tipos em leilões ótimos. Nosso resultado principal não necessita nem de convexidade ou homogeneidade da utilidade com respeito aos tipos e nem de convexidade estrita do dom´ınio de tipos. Assim numa grande variedade de leilões a exclusão de tipos é um fenomeno geral de otimalidade sempre que a multidimensionalidade da informa¸cão privada ocorrer.

2 O modelo

Há um objeto a ser vendido num leilão com n licitantes. O i-ésimo licitante baseia sua avalia¸cão do objeto num parâmetro multidimensionalti ∈T ⊂Rm,

m > 1. Supomos T compacto e convexo. Supomos que ti está distr´ıbuido de acordo com a densidade de probabilidades fi : T → R++. Então, para todo conjunto Boreliano B ⊂ T, a probabilidade de que o licitante i tem tipo ti contido em B é dada por

Pi(B) := Z

Bfi(t)dλ(t),

sendo λ a medida de Lebesgue em T. O licitante i avalia o objeto de acordo com Ui : T → R. Assim se o licitante i tem informa¸cão privada ti ∈ T, então o valor ou utilidade que i dá para o objeto é Ui₍_t

i). Supomos que Ui ´e cont´ınuamente diferenci´avel. Sendo Ui _{cont´ınua, a imagem das utilidades,}

Ui(T), ´e um intervalo compacto [αi, βi]. Supomos:

Hipótese 1 (densidade) A fun¸cão de distribui¸cão

F_iu(x) =Pi n

t∈T :Ui(t)≤xo= Z

{t∈T:Ui

(t)≤x}fi(t)dλ(t), induzida por Ui _{tem densidade} _fu

i (·) tal que:

(i) fu

i (x)>0 for all x∈(αi, βi);

(ii) fiu ´e Lipschitz numa vizinhan¸ca de αi.

(5)

_∂Ui

∂t1 (t), . . . ,

∂Ui ∂tm (t)

6

= 0. Para uma demonstra¸cão veja Hoffmann-Jørgensen (1994) vol 2, se¸cões 8.10.3 e 8.12. Assim a restritividade da hipótese 1 é na condi¸cão (ii).

A seguinte proposi¸cão está demonstrada no apêndice.

Proposi¸cão 1 O leilão ótimo no caso multidimensional é o mesmo que o leilão ótimo obtido por Myerson (1981) para o caso unidimensional. Em par-ticular, se a valoriza¸cão marginal, Ji,

Ji(x) :=x− 1−F u i (x)

fu i (x)

, (1)

é crescente em x∈ [αi, βi], então o leilão ótimo entrega o objeto ao licitante

i com a maior valoriza¸cão virtual Ji(Ui(ti)) = maxjJj(Uj(tj)) se for não-negativo. Caso contrário o leiloeiro mantém o objeto.

Para demonstrarmos a exclus˜ao de tipos demonstraremos: limx→αif u

i (x) = 0. O lema a seguir justifica esse m´etodo:

Lema 1 Se limx→αif u

i (x) = 0 então há exclusão no leilão ótimo.

Dem.: Se a valoriza¸cão marginal for crescente, então como limx→αiJi(x) = −∞, todos os tipos próximos a αi são exclu´ıdos. O caso geral está

demons-trado no apˆendice. QED

Para o nosso resultado principal necessitamos de algumas defini¸c˜oes. Primei-ramente sejaS ={h∈Rm_;_||_h_||_{= 1}_}_{. Agora para} _t_∈_T _defina

S(t) ={h∈S;∃r >0, t+rh∈T}. (2)

Por exemplo se T = [0,1]2, S(0,1) ⊃ {(1,0),(0,−1)}. Por concis˜ao se i for dado escrevemos U no lugar de Ui_. _{Nosso resultado principal ´e:}

Teorema 1 Suponha que U =Ui _{seja tal que para todo}

x∈U−1(αi), inf h∈S(x)U

′₍_x₎_·_{h >}₀_. ₍₃₎

Então no leilão ótimo há exclusão de tipos i.

Dem.: Aplicamos o lema 1. Como fu

i ´e Lipschitz numa vizinhan¸ca de αi ´e suficiente demonstrar quefu

i (αi) = 0. Então todo tipo com utilidade próxima a αi será exclu´ıdo. SejaM uma cota para fi. Se x > αi,

Fiu(x) = Z

{t∈T;U(t)≤x}f(t)dλ(t)≤M λ({t∈T;U(t)≤x}).

(6)

Agora a hip´otese (3) implica #U−1(αi) = 1. Defina a:=U−1(αi). Seja

δ= inf h∈S(a)U

′₍_a₎_·_{h >}₀_.

Assim

U(t)−U(a) = Z 1

0

d

ds(U(a+s(t−a)))ds=

kt−ak Z 1

0 U

′₍_a₊_s₍_t₋_a₎₎_· t−a

kt−akds≥δkt−ak.

Portanto se U(t)≤xent˜ao kt−ak ≤ x−U(a)_δ = x−αi

δ . Portanto

λ({t;U(t)≤x})≤λ

z ∈_Rm_;_k_z₋_a_{k ≤} x−αi

δ

= (x−αi)

δm m

.

Como

fiu(αi) = lim_x_→_α i

Fiu(x)−Fiu(αi)

x−αi

≤ M

δm xlim→αi(x−αi) m−1

e m >1 conclu´ımos que fu

i (αi) = 0. QED

Comentário 2 A hipótese (3) é necessária. Se U(t1, t2) = t1 e T = [a, b]2 não há exclusão em geral. Naturalmente neste caso os tipos não são verdadei-ramente multidimensionais.

Corol´ario 1 Suponha T = [a, b]m_, _{m >} ₁_{. Se} _Ui _: _T _→ _R

+ é crescente e ∇Ui₍_{a, . . . , a}₎_>>₀ _{há exclusão de tipos no leilão ótimo.}

O teorema 1 ´e bem geral. Entretanto seU´e convexa necessitamos ainda menos.

Teorema 2 Suponha que U seja convexa, e que #U−1(αi) = 1. Então há exclusão de tipos.

Dem.:Leth= _k_VV_(a)(a)_k2. Ent˜aoU′(a)·h= 1. SuponhaU(t)−U(a)≤s.Ent˜ao

para todor ∈(0,1) temos que

U(a+r(t−a))≤U(a) +rs

e para todo s >0,

U′(a) (t−a)≤s.

Assim se t−a= θh+z, z ∈ h⊥ _e _U₍_t₎_≤ _s₊_U₍_a_{) ent˜ao} _θ _≤_s_{. Al´em disso} deU(a+r(t−a))−U(a)≥0 conclu´ımos que θ≥0. Agora defina

ρ(s) = supnkzk;z ∈h⊥,∃θ ∈R, a+θh+z ∈T, U(a+θh+z)−U(a)≤so.

como U−1₍_α_{i) é unitário, é fácil de se ver que}_ρ₍_s₎_→_{0 se} _s _→₀_. _Portanto

(7)

Logo λ([U(t)≤U(a) +s])≤sρm−1₍_s_{) e} _fu

i (αi) = 0. QED

Corolário 2 Se T é estritamente convexo, U é convexa e para todo x ∈

U−1₍_α_i)_, _∇_U₍_x₎₆_{= 0} _{então há exclusão de tipos.}

Dem.:E suficiente demonstrar que´ U−1(αi) é unitário. SuponhaU(x) =U(y). Então se z := x+y₂ , U(z)≤U(x) e z ∈ int(T). Então como ∇U(z) 6= 0 temos que z não é ponto de m´ınimo de U. Portanto se U(x) = U(y) = αi então

x=y. QED

Este caso é análogo ao de Armstrong (1996, pág. 56) mas a demonstra¸cão no caso de leilões é técnicamente mais fácil.

Comentário 3 Considere o caso uni-dimensional com T = [a, b]. Então o tipo t é exclu´ıdo se e somente se tfi(t)≤1−Fi(t). Por exemplo se a distri-bui¸cão é uniforme em [a, b] não há exclusão se a

b−a >1 i.e. se 2a > b.

Comentário 4 Tambem vemos do último comentário que o que leva à ex-clusão com tipos multidimensionais é quefu

i (αi) = 0´e uma propriedade geral.

Exemplo 1 Como exemplo calculamos o conjunto de exclus˜ao no caso sim-ples da distribui¸c˜ao uniforme emT = [a, b]2_{. Considere}_U₍_t_{) =} _t

1−t2+b−a. Observe que minU = 0 e U−1(0) = {(a, b)}. Verificamos facilmente que o Teorema 2 pode ser usado. A distribui¸c˜ao de U ´e

F(u) = u 2

2(b−a)2 se 0≤u < b−a.

Ent˜aoJ(u)<0´e o intervalo h0,(b−a)q2 3

. Portanto t∈[a, b]2 _{´e exclu´ıdo se}

t1−t2 ≤ 

 s

2 3−1



(b−a).

A Apˆendice

Neste apˆendice demonstramos o teorema 1 e completamos a demonstra¸c˜ao do lema 1.

Dem. do Lema 1. Para considerarmos o caso em que Ji n˜ao ´e crescente

(8)

precisamos de algumas defini¸c˜oes. Seja

h(q) = J(F−1(q))

H(q) = Rq

0 h(r)dr.

(A.1)

Agora sejaG(q) o fecho convexo1 _de_H₍_q_{). Finalmente seja ¯}_J_i(_q_{) =}_G′

+(Fiu(q)). Então o leilão ótimo aloca o objeto para o licitante com o maior ¯Ji(ui) se for não negativo (veja o artigo de Myerson ou Menezes and Monteiro (2005) pp. 92-94). Agora já que limx→αiJi(x) = −∞ temos que Hi é negativo numa vi-zinhan¸ca de αi e portanto ¯Ji(x) é negativa numa vizinhan¸ca de αi também. Estes tipos estão exclu´ıdos no leilão ótimo. QED

Dem. da proposi¸cão 1. Por conveniência o leiloeiro será o licitante 0. Defini-mos P o conjunto de distribui¸cões de probabilidades em {0,1, . . . , n}.Assim P =n(qj)

n

j=0 ≥0, Pn

j=0qj = 1 o

.A interpreta¸cão é de queqj é a probabilidade de que o licitante j receba o objeto. Portanto q0 é a probabilidade de que o leiloeiro mantenha o objeto. Consideremos emTn_{a probabilidade produto. O} leilão procede como a seguir:

(1) O leiloeiro anuncia fun¸c˜oes mensur´aveis2 _q _: _Tn _{→ P} _e _P _{= (}_Pi₎n i=1 sendo Pi _:_Tn _→

R;

(2) O licitante i confidencialmente anuncia ao leiloeiro ti ∈ T; O leiloeiro forma o vetor t= (t1, t2, . . . , tn).

(3) O objeto ´e entregue de acordo comq(t)∈ P e o licitante i paga Pi₍_t₎_.

Para um mecanismo direto (q, P) definimos

Qi(ti) =E−i[qi(t)] e Pi(ti) = E−i h

Pi(t)i. (A.2)

Os mecanismos devem satisfazer a compatibilidade de incentivos e a raciona-lidade individual:

Qi(ti)Ui(ti)−Pi(ti)≥Qi(t′i)U

i₍_t_i)₋_Pi

t′_i,∀t′_i, ti ∈T, (CI)

Qi(ti)Ui(ti)−Pi(ti)≥0. (RI) Definamos a fun¸c˜ao auxiliar, Vi _:_T _→

R,

Vi(ti) =Qi(ti)Ui(ti)−Pi(ti).

(9)

A compatibilidade de incentivos pode ser re-escrita como

Vi(ti)−Vi(t′i)≥Qi(t′i)

Ui(ti)−Ui(t′i)

,∀ti, t′i ∈Ti. (CI’)

Lema 2 Existe uma fun¸c˜ao convexa φi :Ri → R tal que Vi =φi ◦Ui. Al´em disso Qi(ti)∈∂φi(Ui(ti)).

Dem.:Observe primeiramente que seaecs˜ao elementos de (Ui₎−1₍_r₎_{, r}_∈_Ri ent˜ao (CI’) implica Vi₍_a₎₋_Vi₍_c₎ _≥ _Q

i(c)·0 = 0. An´alogamente, Vi(c)−

Vi₍_a₎_≥₀_._Ent˜ao _Vi₍_a_{) =} _Vi₍_c₎_. _Portanto

φi :Ri →R, φi(r) := Vi(xr),onde xr ∈

Ui−1(r), r∈Ri

est´a bem definido. Como

φi(γ) =Vi(xγ) = sup x′_∈_Ti

Qi(x′)γ−Pi(x′)

segue queφi é uma fun¸cão convexa. Além disso se η=Ui(ti)

φi(γ)−φi(η)≥Qi(ti) (γ−η),for all γ, η∈Ri.

Ent˜ao temos que Qi(ti)∈∂φi(Ui(ti)). QED

Para todo u= (u1, . . . , un₎_∈_R ₌Qm

i=1Ri defina

~

qi(u) =E

qi(x)|u=

Uj(xj) n

j=1

e

~

Pi(u) =E

Pi(x) u=

Uj(xj) n

j=1

.

Note primeiramente que Pn

i=0~qi(u) = 1. Calculemos Q~i(ui) = E[~qi(u)|ui]. Calculamos primeiro

Eh~qi(u)|ui i

=EhE[qi(x)|u]|ui i

=Ehqi(x)|ui i

=

EhE[qi(x)|xi]|ui =Ui(xi) i

=EhQi(xi)|ui =Ui(xi) i

∈∂φi

ui.

A ´ultima rela¸c˜ao vale poisQi(xi)∈∂φi(ui) = [φ−(ui), φ+(ui)] e

φ−ui=Ehφ−ui|uii ≤EhQi(xi)|ui =Ui(xi) i

≤Ehφ+ui|uii=φ+ui.

As restri¸c˜oes de compatibilidade de incentivos podem ser reescritas como

~ Qi

uiui−EhP~i(u) u

ii

≥Q~i(u′)ui−E h

~ Pi(u)

u ′i

, (CI’)

(10)

As restri¸c˜oes de racionalidade individual podem ser reescritas

~ Qi

uiui−EhP~i(u)|ui i

≥0.

A receita esperada do leiloeiro ´e

E

" _n X

i=1

Pi(x) #

=E

"

E

" _n X

i=1

Pi(x)

u

## =E

" _n X

i=1

~ Pi(u)

#

.

Assim o problema do leilão ótimo foi reduzido ao problema do leilão ótimo uni-dimensional considerado por Myerson.

Referˆencias

M. Armstrong, 1996, Multiproduct Nonlinear Pricing, Econometrica 64 , pp. 51-75;

Hoffmann-Jørgensen, 1994, Probability with a view towards statistics, Vol. II, Chapman & Hall.

Menezes, Fl. e P. K. Monteiro, 2005, An Introduction to Auction Theory, Oxford University Press

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