O modelo de avaliação de ativos: (Capital Asset Pricing Model)

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MODELO DE AVAL lAÇA0 DE ATIVOS

'(CAPITAL ASSET

PRICING MODEL)

Banca Examinadora

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, Profo OrientadorProfo

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---Profo

---~---o" Prof.

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ESCOLA DE ADMINISTRAÇAO

DE EMPRESAS DE SAO PAULO

DA

FUNDAÇAO

GETOLIO VARGAS

FRANCISCO

CARLOS GOMES

•

•

_{O MODELO}

_{DE AVAL lAÇA0 DE ATIVOS}

(CAPITAL ASSET

PRICING MODEL)

Dissertação apresentada ao Curso de Põs-Graduação da EAESP/FGV- Area de Concentração: Métodos Quantitativos e Informãtica, como requisito para obtenção do titulo de mestre em Administração.

Orientação: Prof. Fâbio L. Mariotto

. ~ Fundação Getulio Vargas , Escola de Administração

FG V de Empresas de 510 Paulo . Biblioteca

S1\O PAULO

N.o Volumo

Registrado por

M

33b·t~

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SP-00021258-3

(

/

GOMES, Fran:Cisco Carlos. O Modelo de: -AvaLi..aç.ã.o de A:tJ...vo,-> _(CAPM- Clt

pilai. M.óe:t PJÚcJ.ngMode1.l: Uma anâl.í.sedas tecnicas e algo=-ritmos de ;seleção de portfolios e do modelo de equilíbrio no Mercado de'Capitais sob condições deincerte~a. . são 'Paulo,

EAESP/FGV, 1982, 179 p •..(Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Pôs-Graduação da EAESP!FGV, Área de Concentração: Metodos Quantitativos e Informática). .

•

f1

Rawno: Examina o modelo de seleção de portfoli~s desenvolvido por Markowitz, principalmente no que concerne: as suas relações com a teoria da utilidade de Von Neumann-!Morgenstern; aos algo ritmos de solução do problema de Programação Quadrática parame trica dele decorrente; ã simplificação proporcionada pelo Mode

10 Diagonal de Sharpe. Mostra que a existência de um título sem risco permite a especificação doTeo remaida ..-Separação e a sim plificação do problema de seleção de portfolios. Analisa o mode

10, denominado por CAPM,de equiHbrio no Mercado de Capitais sob condições de incerteza, comparando os processos dedutivos empregados por Lintner e Mossin. Examina as.implicações decor-rentes do rela.xamento dos pressupostos subjacentes ã esse mode

10 de equilíbrio geral, principalmente a teoria do por tfoLi.o .

Zero-Beta desenvolvida por Black.

a->

...

Palav~ Chltv~: Economia Estatística cado de Capitais Pesquisa Operacional drâtica Seleção de Portfolios.

Finanças Programação

rNVICE

•

1. INTRODUÇAO

...

- . "

'

.

8

•

2. A DIVERSIFICAÇAO EFICIENTE DE MARKOWITZ .•••••••••••••.••.•••••••.•. 17

2. 1. PRESSUPOSTOS ..•.••••••.•••••••..••••••••••••.••••••••.••••••• 19

2.2. A UTILIZAÇAO DA ME:DIA E DA VARIl\NCIA COMO CRITE:RIO

DE ESCOLHA •.•••••.•••••••• "... 22 2.2.1. Quando as distribuições ~onjuntas de prob~

bi1idades dos retornos são contlnuas~ sime tricas, determinadas pelos seus dois primel

ros momentos e estãvei s 24"

2.2.2. A imposição de restrições parametricas sE. bre a função de utilidade do investidor. A"

funçãoquadrãti ca ; ~... 26 2.2.3.

A

definição da medida de risco e as funções

•

de util-idade 33

2.3. A FRONTEIRA EFICIENTE •••••••••••••••••..••••••••• ~... 41

2.3.1. O Conceito de Dominância e a derivação da

Fronteira Eficiente 46

2.3.2. O Metodo da Linha Crltica ...•..•... 50 2.3.3~ O Modelo Diagonal ...•... ~ 59

2.4. O PORTFOLIO OTIMO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL •.•••••••••••• 64

2.5. CONSIDERAÇOES GERAIS... 71

3. O ATIVO SEM RISCO, O TEOREMA DA SEPARAÇAO E OPORTFOLIO

OTIMO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL •••..•••••••• ~... 73

3.1. O TEOREMA DA SEPARAÇAO •.••••••••••••••••••.••••••••••••••••••• 74

3.2. O PORTFOLIO DTIMO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL

QUANDO SAO PERMITIDAS OPERAÇOES DE VENDA FUTURA .•••.••••••••• 80

3.3. O PORTFOLIO OTIMO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL

QUANDO NAO SAO PERMITIDAS OPERAÇOES DE VENDA FUTU

•

RA •• ,e ••••••••••••••••••••••• "•••••• _. • .• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 88

••

4. OS PREÇOS DOS ATI VOS DE CAP !TAL SOB CONDI COES D~ EQU IL

r-BRIO NO MERCADO DE CAPITAIS ...•... 93

4.1. PRESSUPOSTOS ADICIONAIS 94 4.2. O MODELO DE FORNAÇAO DOS PREÇOS DOS ATIVOS DE CAPi TAL (CAPM- CAPITAL ASSET PRICING MODEL) 95 4.3~ A DEDUÇAO DE LINTNER E A FORMULAÇAO DO o EQUIVALENTE CERTO 98 4.4. A DEDUÇAO DE MOSSIN ...•... 106

4.4.1. Os prêmios pelo risco dos titulas indivi~ duais 110 4.4.2. O por tfo lio ótimo de cada investidor 'i_ndi_vi dua 1 ...o••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o' • • • • • •• 11 2 4:4.3. A Reta de Mercado de um Titulo (RMT) 116 5. O EQUILIBRIO NO MERCADO DE CAPITAIS NA AUStNCIA DE UM ATIVO SEM RISCO E DE OPORTUNIDADES DE EMPRrSTIMO. O PORT FOLIO ZERO-BETA E O PORTFOLIO t ...•... 120

5.1. O PORTFOL!O OTI~lO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL NA AUStNCIA DE UM TITULO SEM RISCO E DE OPORTUNIDADES DE EMPRtSTI MO 121 5.1.1. A Reta do Mercado de Capitais (RMC) e a Reta de Mercado de um Titulo Individual (RMT) 129 5.2. O PORTFOLIO OTIMO PARA UM INVESTIDOR INDIVIDUAL DI ANTE DA INEXISTtNCIA DE OPORTUNIDADtS DE EMPR[STIMO 132 5.3. CONSIDERAÇOES GERAIS : 137 AP[NDICE A - A IDENTIFICAÇAO DOS PORTFOLIOS B~SICOS E A DERIVAÇAO DA FRONTEIRA EFICIENTE ...••... ~ ~ 143

APtNDICE B - A DETERMINAÇAO DO PORTFOLIO DE MERCADO E DO PORTFOLIO ZERO-BETA ~....•... 155

6. CONCLUSOES ...•...•... 162

ABSTRACT ...•...•. 170

REFERt:NCIAS B IBLI OGR~FI CAS ...•... 171

•

•

•

PREFÃCIO

•

Este trabalho nao teve a pretensão de examinar exaustivamente o problema de seleção de portfolios e a teoria do equilibrio no Mercado' de Capitais sob condições de incerteza, nem a bibliografia pertinente. Tam -pouco teve a pretensão de chegar a resultados conclusivos sobre a valida-de dos movalida-delos apresentados.

Como toda dissertação de mest~ado, trata-se fundamentalmente de

••

-,

um exercicio de aprendizado, e ~ a partir dessa sua função didãtica, para o próprio autor, que deve ser analisado.

Interessava-me verificar como as relações propostas pelo CAPM,ao mesmo tempo tão simples e de implicações tão importantes para as Fina~-ças, haviam sido deduzidas. Os textos introdutórios ao assunto são muito claros na apresentação das conclusões e aplicações do modelo, entretanto, não deixam transparente a forma pela qual essas conclusões foram obtidas. Interessava-me, de igual forma, verificar a validade do modelo quando confrontado com o comportamento real dos Mercados de Capitais. Não sõ·os dos paises desenvolvidos, mas tamb~m os dos paises cujos mercados ainda não atingiram semelhante grau de desenvolvimento, e que apresentam altas taxas de inflação.

Tendo em vista a sua função didãtica, o seu projeto inicial foi propositalmente estabelecido da forma mais ampla possivel.Consistia no exame do desenvolvimento da teoria do equilibrio no Mercado de Capitais a

a pa-rtir de suas raizes na teoria de seleção de portfolios. Consistia na anãlise dos principais testes empiricos efetuados. Não só das suas concl~ sões sobr.e a val idade do modelo, mas também, e principalmente, das metodo 10gias empregadas e suas bases na teoria da eficiência do Mercado de Cap:!. tais. Consistia, finalmente~ no exame das possibilidades de utilização de uma metodologia alternativa para esses testes - os modelos de equações si mu1tâneas - e na realização de um experimento protõtipo sob as condições brasileiras, que se prestaria mais para avaliar a qualidade das metodolo-giasalternativas eventualmente propostas, em lugar de trazer alguma luz sobre a adequação do modelo ã nossa realidade.

Não pretendia realizar um trabalho eminentemerite te6rico.A teo ria seria introduzida apenas na medi~a em que contribuisse para orientar a seleção das implicações do modelo a serem testadas empiricamente, ou na medida em que contribuisse para avaliar as metodologias empregadas riesses testes.

Entretanto, o projeto inicial se mostrou amplo demais para ser concretizado dentro dos prazos permitidos para sua conclusão. Assim, foi reduzido a um exame das tecnicas empregadas na solução do problema de se leção de portfolios, do desenvolvimento do CAPM e de uma de suas exten-soes.

•

Esta dissertação e apenas a parcela aparente de uma atividade

,.

acadêmica mais abrangente, exercida durante os anos em que frequentei o curso de mestrado em administração da EAESP- FGV.

Nesses anos, as dificuldades que se interpuseram não foram des preziveis. Surgiram na compatibilização da atividade acadêmica com os ine vitãveis compromissos profissionais necessãrios a satisfação das exigên -cias materiais da nossa existência, por mais frugal que ela seja. Surgi-ram, tambem, nas tentativas de fugir a especialização excessiva e reunir o tempo suficiente para me dedicar âs outras dimensões da atividade huma na, como a arte, a literatura, o lazer e o convivio social.

Essas dificuldades s6 puderam ser enfrentadas com alguma dose de .sacrifício pessoal

,e,

o que se mostrou imprescindlvel, com o incentivo e

colaboração de algumas pessoas.

Ao amigo Antonio Carlos Leal ~e Freitas devo as oportunidades de trabalho compativeis com o prosseguimento da carreira acadêmica. Teria s..i do dificil viabilizã~la sem a sua confiança e a sua visão abrangente dos problemas.

Aos professores, colegas e funcionários da EAESP-FGV devo o agr~ dãvel convivio desses anos, o clima de estudo e pesquisa e a constante i~

quietação intelectual, que nunca se circunscreveu exclusivamenteã nossa ãre~ de especialização e sempre se estendeu aos aspectos fundamentais da nossa existência.

Devo, contudo, distinguir o nome do Professor Fábio Luiz Ma-riotto, meu orientador, pelo constante incentivo e dedicação, e pela for ma paciente e produtiva com que conduziu a elaboraçao desta dissertação , sacrificando, frequentemente, os seus afazeres pessoais. São, no entanto, de minha exclusiva responsabilidade as falhas que nela ainda persistem.

r

preciso salientar, tambem, o valioso auxilio da Srta. Maria Lu cia de Melo, que pacientemente datilografou os manuscritos .

t

Permitam-me, por fim, creditaras méritos de minha formação aca dêmica a meus pais, pelos sacr;flc;os desse$ anos, e dedicá-la a Gaby, cu

ja existência dá significado i minha .

•

.\.

são

Paulo, novembro de 1982

Franc;sco Carlos Gomes

.-.:

•

1. INTROVUÇl\O

•

Nas economias capitalistas uma parcela da função de transfer~n cia da poupança ~ executada pelo Mercado de Capitais.

Desta forma, os preços dos ativos de capital desempenham um pa-pel fundamental na orientação da alocação dos recursos reais da economia.

Não discutiremos a hipótese clássica sobre a perfeição dos merc~ dos e a consequente alocação ótima dos recursos e maximização do bem es-tar geral da sociedade. Evidentemente, tanto o mercado de produtos quanto o de capitais não funcionam sob regime de concorr~ncia perfeita, a exis t~ncia de situações monopolistas e de controles por parte do Estado nao pode mais passar despercebida.

Essa constatação assume especial importância no caso da economia brasileira, onde observamos a formação de monopólios e oligopólios em v~ rios setores da produção de bens e a canalização de parcela' significativa da poupança interna para o Estado, que' realiza diretamente o investimento ou a transfere para as empresas atraves de uma ampla gama de subsidios dl. retos e indiretos. Nessas circunstâncias, muitas vezes a alocação do capl. tal se processa ã margem (em algumas ocasiões,

ã

revelia) dos mecanismos de formação de preços.

Apesar dessas imperfeições, os preços continuam desempenhando a sua função orientadora da alocação de recursos, talvez com uma importâ~ cia mais restrita que a presumida pela teoria clássica.

E

nesse contexto que observamos que uma parcela dos esforços no .cempo _{das Finanças tem sido dedicada ao aperfeiçoamento das têcnícas de}

Orçamento de Capital.

Nessa área as preocupaçoes voltaram-se para a solução dos probl~ mas decorrentes da exist~ncia de condições de incerteza, limitação de re cursos,depend~ncia e indivisibilidade dos projeto~ de investimento.

O modelo de Markowitz foi uma contribuição importante para a so lução de alguns desses problemas~ Entretanto, por presumir que os ativos são perfeitamente .dtvi _sIveí s , a sua utilização ê mais adequada ãs', deci

sões de investimento em ativos financeiros do que em ativo~ reais.

.'

métodos que proporcionem precisas quantificações do custo do capital, con dição necessária para que o emprego de técnicas mais refinadas de Orçame.!:!. to de Càpital efetivamente resulte em melhores decisões de investimento.

1

Nesse sentido a contribuição do modelo de Sharpe-Lintner-Mossinl

é significativa, já que carecíamos de uma teoria econ6mica.positiva que considerasse, de forma sistemática e organizada, os efeitos da incerteza sobre.o processo de formação dos preços dos ativos de capital.

Como qualquer corpote6rico de desenvolvimento recente, esse mo delo ainda não foi completamente validado empíricamente. Alguns testes confirmam as suas implicações, outros não. Talvez esses resultados contra ~itõrios indiquem, apenas, que ainda não se chegou a um consenso sobre as metodologi as a serem empregadas nesses testes empf ricos. No momento 'pro blemas dessa natureza t~m absorvido as atenções de grande parte dos estu diosos do assunto.

A comunidade acad~mica t~m sido profícua na elaboração de mode

•

los para a solução dos mais variados problemas administrativos. Observa

•

mos, entretanto, que esses modelos, embora conceitualmente corretos, sao frequentemente de difícil implementação, em que pese os aumentos na cap~ cidade e as reduções nos custos de processamento dos computadores. Nessas situações as atenções se voltam para dois caminhos: (i) o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes, baratos e viáveis; (ii) a simplificação do problema, a partir de um exame profundo da sua estrutura em busca de no vas relações e novos pressupostos. Os modelos examinados neste trabalho são o resultado da pesquisa nesta ultima direção.

Neste trabalho procuramos analisar o modelo de seleção de portf~ 116s desenvolvido por Markowitz, e simplificações posteriores, bem como o modelo de equilibrio no Mercado de Capitais sob condições de incerteza, e algumas de suas extensões.

O capitulo 2 é inteiramente dedicado i diversificação eficiente de Markowitz.

Analisamos com maior ênfase dois aspectos principais: (i) a!.> Jte.

la~ue6 e.ntne. a ~e.le.ção de. poJtt6o~o~ no e6paço mêdia- vaJtiâneia do~ Jte.toJt

nos c.om a. Te.oJÚa da U.t.LUdade. de. Von Ne.wnann- MOJtge.rude.Jtn;(i i ) os aJ'..gE.,

!tLtmo~ empJte.gado~ na dVt.Á..vação da FJton.te.bLa. E6.tc.i.e.n.te..

As idéias fundamentais sobre o primeiro aspecto são devidas a Tobin e Markowitz. Quanto ao segundo, destacamos as contribuições deste filtimoe as de Sharpe.

Vemo~:tJtamo~ que. um inve6:ti..doJt, que. ~ub~c.Jte.ve.M axioma!.> da :te.o

lr1A. da u.t.LUda.de., ~e.le.uon.aJl.â. poJtt6o~o~ na e6pa~o mêdia- vaMâneia dos

.

.

1

.6eJL a.pJtax.imada. peta) .6e.gme.nto C.Ôrtc..a.vo de uma 6urtç.aoqttacl,'1ãtlc.a; ou (il)

M futJúbtú.ç.õu de pJtabab.é.1...Ldadu dos ne.tonncs dos .tULttO-6 ,~oJtcm C.OrtÚ

nuM, ~.úrlê.ttt.i.c..M, deteJtm.i.mldM pelM -6eLl.-6do,é6 ptU.me,lJtO,~rrrome.n-to-6 e e.6.tii

vei» Ip.e. a. d~tJúbu..LçãÇJ nOJtmall.

Entre algumas medidas de risco pass~veis de serem utilizadas, de mostramos que somente a variância dos retornos ~ compat~vel com a aversao ao risco e com a teoria da utilidade.

No que concerne aos algor~tmos de derivação da Fronteira Eficien te, dedicamos especial atenção ao Método da L..Lnha.C~c..a., desenvolvido por Markowitz, e às simplificações proporcionadas pelo Modelo V..Lagonaf de Sharpe.

O M~todo da Linha Cr~tica faz uso de algumas importantes propri~ dades dosportfolios eficientes para solucionar o problema de Programação Quadritica Param~trica que ~etermina a Fronteira Eficiente.

Em primeiro lugar, o metodo restringe-se a determinação de um numero limitado de portfolioseficientes de caracter~sticas especiais, os chamados "pof1:t6oUM de. c..anto". Estes são determinados pela intersecção de duas "Unha...ó c..~c..M", defini das a parti r das condições de Kuhn--Tucker.

•

Em segundo, mostramos que os portfolios de canto adjacentes sao tais que um deles seri constituido por todos os t~tulos do outro mais um unico titulo adicional, e que os demais portfolios eficientes podem ser obtidos atraves de uma interpolação linear entre dois portfolios de canto adjacentes ..

Finalmente, mostramos que o problema pode ser convenientemente convertido em um tipo especial de problema de Programação Linear, que, com a utilização doM~todo Simplex, proporciona em cada iteração a cons tituição de cada portfolio de canto.

Partindo do pressuposto de que os retornos dos t~tulos estão re lacionados a um unico "fator bisico", tornamos evidentes as simplifica çõe~ proporcionadas pelo Modelo Diagonal.

Em primeiro lugar, permite uma significativa redução no numero .de avaliações subjetivas acerca da esperança, vari~ncia ecovari~ncias dos.

retornos dos titulas. Se as expectativas forem formadas exclusivamente a partir de dados passados, temos a Simplificação adicional de poder empr~ gar as t~cnicas de regressão linear para obter tais avaliações.

Em segundo lugar, simplifica as iterações do Metodo da Linha

•

Critica ao tornar diagonal a matriz de covariâncias, que deve ser inverti da a cada passo •

O capitulo 3 e dedicado a demonstração do TeaJtema. dá Se.pa.Jr.a.ção_e

sicas empregadas são devidas a Tobin e Lintner.

Nele presumimos a existência de um ;t(;tulo ~ento de Il-wc.o e de

opotuusüdades ,il...{m~tadM de empltê..6-Ümoã -taxa de [uno« pUlta.

Nessas circunstãnci as, demon.6t:Jtamo.6que a c.ompo.6-tçã.o Pltopoltc.-iE..

na.! ótima da polttóoUo de :tLtui.O.6 de Il-Wc.o ê. -tndepeJtdente da pltopoltção do

c.apUa.l -tnVe6-udo neMe polttfioUo.

Mostramos que o investidor passa a separar o seu investimento em dois fundos: (i) titulo sem risco; (ii) portfolio õtimo de tltulos de ris co.

0.6 pMâme:tJtO.6 de aveJt.6ã.oao Wc.o pM.6am a .6eJt ltelevalU:e.6 pMaa

dÃ.vÃÃã.o do -tI1Ve.6timelU:o

enoie.

0.6dai» óUl1do.6, mM seniio tota,e.mente .-tJtJtel!!:.,

vante.6 pMa a dueJtm-tnação da c.ompo.6-tção pltopoltúona1. do último dele-6. De

corre, d~ imediato, que a composição proporcional õtima do portfolio de titulas de risco de investidores com expectativas homogêneas serã ames ma, apesar das suas diferentes estruturas de preferência.

Mostramos, então, que ó poltt6oUo ótimo de tItL~O.6 de ~c.o

aquele que max..{m-tza o pltêm-to pOIt unidade de Wc.o, quando o risco e

do pelo desvio- padrão dos retornos do portfolio.

medi

Apresentamos os métodos de determinação da sua composição propo]: cional para duas situações distintas: (i) quando é permitida a realização de opeJtaÇÕe.6 de venda 6utuJta; (ii) q~ando elas não são admitidas.

No primeiro caso o problema de seleção de portfolibs é cialmentesimplificado, e o portfolio õtimo é obtido através da

substan solução de um simples sistema de equações lineares.

No segundo temos uma simplificação menor, e o portfolio õtimoe determinado através da solução de um unico problema de Programação Quadr~ tica.

Os resultados desse capitulo contribuem para a definição de uma medida apropriada pafa o risco de um titulo, quando deixamos de analisã--10 isoladamente e passamos a considerã-lo como um dos elementos de um portfo1io. '

Concl uimos, então, que a c.oV(vúâ.núa entxe. 0.6 ItUoltno.6 'de um :t1

Mo e 0.6 da poltt60Uoótimo de iliu1o.6 de Wc.o ê a mecüda adequada.

Finalmente, procuramos tornar transparente que a c.ompo.6-tçã.o pitE..

poltuona1. ótima do polttóoUo de iliulo.6 de «Lsc» ê tal. que 0.6 pltêm-tO.6 pOIt

unidade de Wc.o de c.ada tItulo .óão -tgu.aJ...6entns: ,6-t,e -tguw ao pltêmi.o

pOIt unidade de Wc.o do pltÓPJt"to poltt6oUo ôtimo.

A1~m de continuarmos presumindo a possibilidade de realização de operações de venda futura, passamos a assumir que os investidores possuem expectativa~ homogêne~.

Para facilitar a comparaçao entre os processos dedutivos empreg~ dos por Lintner e Mossin, apresentamos as principais imp1icações do CAPM ou a sua forma final , pela qual é hoje conhecido.

O modelo pode ser convenientemente sumarizado através da Re;ta.do MeJtc.a.dode Cap-L-~ (RMC), da Reta. de Meltc.a.dode um TLtulo Indiv.tdua.l.(RMT) e da constatação de que, no equiHbrio, a. c.omp0-6-i-ç.ãopltOpoltc.-i-ona1. do pont6ofio de c.a.da.-i-nv~tidoltê -i-dênttc.a.ã do pont6ofio de meltc.ado.

A Reta do Mercado de Capitais (RMC) postul~ que o retorno esper~ do de combinações de investimento no ativo sem risco e no portfolio de mercado

e

uma função linear do desvio-padrão dessas combinações, tendo c~ mo intercepto a taxa de juros pura e como inclinação o preço de mercado do risco. De fato, representa os pares de risco- retorno proporcionados por todas as oportunidades, não dominadas, de investimento disponiveis no mer-cado.

•

t

A Reta de Mercado de um Titulo (RMT) indica que o seu retorno e~ perado e uma função linear da covari~ncia dos seus retornos com os do portfolio de mercado, cujo intercepto e a taxa de juros pura e cuja incll nação

é

o preço de mercado do risco.

Procuramos tornar evidente que, no equiHbrio, a. medida. a.pltOp~ da. pa.na.o ~c.o de um tItulo

e

a. c.ovaniância do~ ~e~ Itetoltno~c.om o~ do pant6ofio de meJt~a.do, e que o plteç.ode 'meJtc.a.dodo ~c.o ê o pltêm-i-o pOIt

unidade. de «Lseo pa.go pOIt ~~e pont6ofio.

Concluimos, então, que, no equilibrio, o~ pltêm-i-o~pOIt un-i.da.dede· Jr.Á./.,c.ode c.a.da.:tl:t.u1.o~ão -i-g~ en.bte~-i- e _{-i-g~ a.o}pJteç.ode _{meJtc.a.do do} Jr.Á./.,c.o•

Mostramos que essa medida de risco pode ser reescalada, pela va rfâncfa _{dos retornos do portfol ia de mercado, resultando numa nova medi} 'da, "denominada de beta., para o risco de um titulo.

Finalmente apresentamos as ded~çõesde Lintner e Mossin, mostra mos que sao equivalentes e que podem ser convertidas na formulação atual do CAPM.

No capitulo 5 examinamos os resultados alcançados por Black. Ne

le duxa.mo~de pJt~um-tJt a. ew:tên.c.-i-a.de opordusüdade» _-iLi.mda.d~ de em

Nó primei ro caso, de.m0n..6tJtamo6que. quctequVt ponto da FILonte.,i/ta

EMuen.:te pode .6Vt JtepILuentadoc.omo wua -Ln,teILpof,ação LLneaJt de dOÁÁ

"poJt:t10UO.6 bM-tC.O.6", _{ou, alternativamente, presumindo-se a existência de}

expectativas homogêneas e de equilibr;o no mercado, c.omo uma -tnt~'tpo.tação

Un.eM en-tJte o poJt:t~oUo Leno- Beta e o poJt:t1oUo de meJtc.ado.

O poJt:t60Uo Zeno- Beta ê de1-tn-tdo c.omo o de menoJt vM-<.ânc.-<.a d0.6

JtetoJtno.6 en.tJte todo» aque..te.6 cu] 0.6 «etonnos .6ão -independenteh d0.6 do

poJt:t60Uo de mVtc.ado.

Concluimos que o CAPM em sua formulação original é apenas ligei ramente modificado. A Reta do Mercado de Capitais (RMC) passa a ser, ea Reta de Mercado de um Titulo (RMT) continua sendo, uma função linear da covariância entre os retornos do portfólio (ou titulo) com os do portf~ lio de mercado. Entretanto, em ambos os casos, o -intVtc.epto de.,óóa 6unção

UnéM pM.6a a .6e..Jto ILetolLno e.6pVtado do poJt:t6oUo Leno- Be:ta, que .:também

pa.Ma. a .6e..Jtv--t!tc.omo o padniio de ILe6Vté:nua e..mpILegadona de:tVUn-inação do

pJteço de me..Jtc.adodo JtÂÁc.o (a -tnc.Unação de.6.6a 1unç.ão UneaJt I .

Procuramos tornar claro que os investidores continuam o seu investimento em dois fundos: {i) o portfolio de mercado;

separando. (ii) o portfolio Zero- Beta, agora em lugar do ativo sem risco. Nessas circuns tâncias, inferimos que, no equilibrio, a c.ompo.6-ição pILopolLuonM de c.ada

poJttóoUo -tnMv-tduM não MUúi, nec.e.6:6M-iamente, -tdé:n.üc.a ã do poJttóoUo

de mVteado.

No segundo caso, demOn..6:t!tamo.6que a FILontel!ta E6-te-<.ente ê eon..6~

:tu1da poJt do~ .6egment0.6. O plt-imÚ/to dé1.e.6, UnéM, ê 60Jtmado pOIL rodas

M eomb-tnaçõu p0.6.6ZVW de -tnve.6.timen:to no ci:Uvo .6emJtÂÁeo e no poJt:tó~

Uo :t - aque..te que mau.m-i.za o pILé:m-i.opOJt wúdade de sLsc», O .6egundo,

não--UnéM, eoJtJte.6ponde

M

-i.ntVtpo.taçõu UneaJte.6 enoc« o poJt:t6oUo de mVteE!:,

doe o poJt:tóoUo Zeno- Beta.

Mostramos, então, que, da mesma forma que no caso anterior, a Re ta de Mercado de um Titulo (RMT) continua sendo uma função linear da co vari~ncia dos seus retornos com os do portfolio de mercado. Entretanto, a Reta do Mercado de Capi tais (RMC) passa a ser constí tuf da por dois segme,!!

tos. O primeiro, uma função linear do desvio~ padrão dos retornos de com binações de investimento no ativo sem risco e no portfolio t. O segundo, uma função linear da covariância entre os retornos de um portfolio com os do portfolio de mercado.

-I

mente, no mesmo portfolio. Consequentemente, a composição proporcional de cada portfolio individual não será, necessariamente, idêntica ã do portf~ 1io de mercado.

Fina1mente~ o capitulo 6 ~ dedicado i uma sTntese das principais conclusões extraidas dos capitulos precedentes.

~ esta altura, ê importante distinguir a contribuição dos auto res da bibliografia pesquisada da contribuição, embora pequena, do autor deste trabalho. O termo contribuição deve ser entendido como os resulta dos alcançados pelo autor desta dissertação por seus propribs meios e que nao constam dos textos consultados.

r

possivel que tais resultados não s~ jam nada originais, ou que constem em outros trabalhos não pesquisados.

De um modo geral, todas as conclusões ou deduções estão aprese~ tadas, em maior ou menor grau, de forma diferente da encontrada nos tex tos originais. Procurei torná-las, a meu ver~ mais claras, explicitando os seus pressupostos e demonstrando relações assumidas, pelos seus autores, como conhecidas do leitor.

No capitulo 2, propus a aproximação da função de utilidade de .. um individuo por um pOlin6mio de ordem n,atrav~s da f6rmula de Taylor-- Maclaurin. Mostrei que essa aproximação permite a expressão da utilida de esperada de um determinado curso de ação em função dos n primeiros mo mentos da distribuição de probabilidades de suas consequências. Essa su gestão, embora de pouca relevância para o problema de seleção de portfo 1ios, pareceu-me importante na medida em que simplifica uma ampla gama de problemas de decisão sob condições de incerteza, já que passamos ares tringir nossas considerações sobre um n~mero limitado de momentos, em lu gar de considerarmos toda a distribuição de probabilidades das conseque~ cias de cada decisão.

A descrição do Mitodo da Linha Critica foi substancialmente dife rente da proporcionada por Markowitz. Procurei enfatizar a definição das "linhas criticas" a partir das condições de Kuhn- Tucker, e propus a in

.terpre taçâo do reciproco dol agrangi ano como a incl inação da tangente a

fronteira Eficiente.

O

texto de Markowitz nao faz menção sobre os procedimentos a se rem empregados na determinação do portfolioótimo para um investidor indl vidual. Sugeri um procedimento que, atravis do exame das inclinações das tangentes ãs curvas de isoutilidade do investidor e ã Fronteira Eficiente, determina o intervalo, entre dois portfolios de canto adjacentes, em que se encontra tal portfolio ótimo. Em seguida, propus a resolução de uma ünica equação, ou o uso das têcnt cas de redução de interva los, para dete!. minar a sua composição proporcional. A interpretação dada ao reciproco do 1agrangiano ~ de fundamental importância para esse procedimento.

,

•

No capitulo 3, merece destaque especial apenas a sugestão de um metodo de determinação da proporção ótima a ser investida no portfolio o timo de tftulos de risco, já _{que o texto de Lintner} ê omisso a respeito.

Na formulação usualmente empregada doCAPM os parâmetros das distribuições de probabilidades dos 'retornos são relativos ã taxa de re torno. Entretanto, esses parâmetros na dedução de Lintner dizem respeito aos retornos agregados (em $), e na de Mossin sâo relativos aos valores futuros unitários (em $). Demonstrei, no capitulo 4, que ambas podem ser

convertidas na forma atual pela qual o CAPM e conhecido, e que, embora em preguem processos dedutivos diferentes, ambos os modelos conduzem ãs mes mas implicações.·Chamo a atenção para a constatação de que a conclusão de Mossin, de que cada portfolio individual e constituido por uma proporçao fixa do total das unidades de cada titulo existentes no mercado, e equiv~ lente

ã

conclusão de Lintner, de que a composiçâo proporcional de cada portfolio individual e identica ã do portfolio de mercado.

Finalmente, as demonstrações apresentadas nesse capitulo estão muito mais explicitas que as encontradas nos artigos originais.

As semelhanças entre o capitulo 5 e o texto de 8lack são apenas remotas. Esse, talvez, e o capitulo que apresenta o maior numero de con clusões pessoais.

No seu apêndice A identifiquei os "portfolios básicos" como o portfolio de minima variância e o portfolio que maximiza o retorno esper~ do por unidade de desvio- padrão dos retornos. Alem de determinar os par~ metros das distribuições de probabilidades dos seus retornos, mostrei que .a ~ovariância entre esses retornos e igual a variância dos retornos do portfolio de minimavariância. Conclui, então, que ambos portfolios apre· sentam o mesmo retorno esperado por unidade de variânci a dos retornos.

Demonstrei que as proporções do investimento em cada um dos port folios básicos empregadas na constituição de um portfolio eficiente podem ser obtidas a partir da esperança dos retornos desses portfolios, ou, al ternativamente, a partir da variância desses retornos. Determinei, então,' uma expressão analiticamente simples para a Fronteira Eficiente e aprese~ te; um procedimento alternativo para a solução do problema de seleção de portfolios.

No apêndice B desse capitulo demonstrei que tanto o portfolio de mercado quanto o portfolio Zero- Beta são uma interpolação linear. dos portfo1ios básicos, mas que somente o primeiro deles e eficiente. Determi nei as proporções dos portfolios básicos empregadas na constituição deam bos, expressando-as em função dos parâmetros das distribuições de probab.:!.. lidades dos retornos dos portfolios envolvidos.

Mostrei, então,como qualquer portfolio eficiente pode ser trans formado em uma interpolação linear dos portfolios de mercado e Zero-Beta, determinando, explicitamente, as proporções empregadas.

Procurei torna~ mais claras e explicitas as demonstrações desse capitulo, em especial a que conclue que a proporção do portfolio de merca do empregada na constituição de um portfolio eficiente ~ igual ao beta desse portfolio, e a que deriva a Reta de Mercado de um Titulo (RMT). Es-sas duas deduções estão substancialmente diferentes das apresentadas no texto original.

,

2. A VI VE1<S1 FI CAÇÃO EFICIENTE VE MARKOWITZ

,

Markowitz reconheceu a incapacidade das t~cnicas tradicionais de Orçamento de Capital em proporcionar soluções adequadas ao problema de seleção de portfolios.l

O valor presente liquido de um portfolio ~ igual a soma do valor presente liquido dos titulos que o compõe. Contudo, conforme observou, o procedimento convencional, ao obtê-los atraves do desconto dos correspo.!!. dentes retornos esperados a um mesmo custo do capital, pressupoe condi ções de certeza ou homogeneidade de riscos.

A

maximização do valor presente liquido conduz a seleção de um portfo1io não diversificado - o do titulo de maior valor presente liquido. O que

e

insustentável tanto do ponto de vista descritivo quanto

vo, jã que o procedimento se fundamenta exclusivamente no retorno do e deixa de considerar o efeito da diversificação sobre o risco portfo1io.

Resultado semelhante ~ obtido com a variante que utilfza diferen tes taxas de desconto ajustadas ao risco de cada titulo (ou diferentes equivalentes certos descontados

ã

taxa de juros pura), uma vez que o ris co continua sendo analisado para cada titulo isoladamente, sem se conside rar as eventuais reduções do risco doportfolio decorrentes da diversifi normati esper~ do

caça0.

Outro procedimento postula que o investidor deve diversificar ""_seu'investimento entre os titulos que apresentam um retorno esp~radoac.:!.

ma de um nfve l pré-determt nado (ou entre aquel es demãxirno retorno esper~ do), jã que a Lei dos Grandes Nijmeros tornaria o retorno do portfolio aproximadamente igual ao seu retorno esperado. Entretanto, observou que subjacente a esse procedimento está o pressuposto de que os retornos dos

i

••

H. Markowitz, "Portfolio Selection", The JouJtnaf. 06 F,[nanc.e, vol.

12, n9 7 (march 1952), 77-79. Nesse artigo apresenta tamb~m as idéias fun damentais e um "esboço inicial" do modelo que desenvolveu

diversos titulós são -tl1de..pe..nde..nte.ó.

Para fazer face a esses problemas, desenvolveu um modelo que' in corpora explicitamente a incerteza, o racionamento de capital e a correla çao entre os retornos dos diversos titulos.l

Nele o risco não ê analisado para cada titulo isoladamente, mas sim em função da sua contribuição para o risco do portfolio em que está inserido. Postula~ portanto, a diversificação correta pelas razoes cor-retas, considerando a interdependência dos retornos, já que de nada adian ta diversificar o investimento entre titulos perfeita e positivamente cor relacionados.

Sugeriu que o investidor não deve necessariamente maximizar o re torno ou minimizar o risco, mas sim encontrar o portfolio que proporcione a combi nação risco-retorno que maximi ze a sua 6unç.ão de. pJte.6eJtê:nc.,t.M.

O seu modelo tem um caráter fundamentalmente normati~o~ Contudo pode servir como uma descrição do comp~rtamento do investido~ individual na medida em que aceitemos alguns pressupostos acerca desse comportamen ~ to, principalmente no que concernea sua "racionalidade" (que nesse con texto significa simplesmente que os iridividuo$ procuram maximi2ar as suas funções de uti1idade) .

O processo de seleção de portfolios

ê

por ele abordado ~m três etapas: (i) determi nação das distribui ções conjuntas de probabi 1idades su~ jetivas dos retornos de cada titulo; (ii) determinação do c.onjw'l.-t:o

e.6-{.-úen,te de portfolios; e (iii) seleção do portfolio que melhor se ajusta às preferências do investidor.

Os aspectos desse processo relevantes para os nossos propósitos serao examinados a seguir. Não analisaremos os procedimentos usados na obtenção das distribuições subjetivas de probabilidades, e a teoria a' eles subjacente, nem a teoria da utilidade.2

H.Markowitz, PoJttóoUo Sei.e.c.:.Uon: E6ó,.[ue.n..t V,.[ve!L6,.[6,.[c.a;Üon 06

lnvut:mel'LÚ (New Vork: Wiley, 1959). As referências feitas nesta disser-ta

ção serão, contudo, relativas

ã

quarta edição publicada em 1976 pela Vale University Press.

••

2

. o leitor interessado poderã se reportar, entre outros, a: Bruno de Finetti, PJtobabilUy, Indu.c.:.Uon and S:to.;tú.,:.Uc..ó: The. AJt:t.06 GUU.6,.[n.g (New

York: Wiley, 1972);L.J. Savage, "Elicttet'ion of Personal Probabilities and Expectations", JoUJtnaf. 06.the. AmeJt-i.c.anS.tati.6:.Uc.af. M.6oUa.:üon, vol.

68 (december 1971), 783-801;J. Von Neumann and O. Morgenstern, The.oJty

Oó

Gamu and Ec.onomic. Behav,.[oJt (3rd ed., Princeton: Princeton University

2.1. PRESSUPOSTOS

a) No que _c.onc.vz.neao 6unuonamento do MERCAVOVE CAPITAIS

Assumimos que:

a1) cada investidor pode aplicar qualquer fração do seu capital em qual quer titulo (cüv,wibilida.de).

Q2) o retorno de cada titulo em determinado periodo corresponde a varia ção no seu preço mais os ganhos decorrentes da distribuição dedivi dendos, bonificações, direitos de subscrição, etc ... (com os ajust~ mentos decorrentes dos seus fracionamentos ou grupamentos).

a ) esses titulos são transacionados em um mercado sob regime de₃

c.onc.o~-JLên.Ua. pvz.6Uta., o que permite considerarmos seus preços comO sendo

dados aos investidor e independentes do seu investimento e das suas transações. Pressupomos, também, _{que esse mercado e} üv~e de cus to»

de in6oJunaç.ã.o, butn.óaç.ã.o e -Úrlp0.6.tO.6. Na utilização sucess iva do mode

.

:-lo, a presença de tais custos pode tornar a solução ótima para um pe riodo não integrante da solução ótima para o caso multiperiódico, uma vez que tendem a reduzir a liquidez dos titulos e retardar. os reaju~ tes na composição do portfolio. O mesmo ocorre se o investidor paga. esse "prêmio pela liquidezll

para efetuar tais reajustes. De um modo geral assumimos que os :ú.tu1.0.6 .6ã.o pvz.6ú.tamenteúquid0.6, no sentido

de que, em qualquer instante, seus preços de venda e de compra sao iguais e que qualquer quantidade pode ser comprada ou vendida a esse preço. Adicionalmente, a ausência de impostos simplifica o cálculo dos retornos na medida em que não i necessário distinguir os ganhos de capital dos dividendos, face a distinta tributação, nem considerar a sua progressividade e epoca de incidência.

a₄) nesse mercado não são permitidas operações de venda 6u.tMa., i .e. ne

nhum investidor podera manter IIquantidades negativas" de nenhum titu lo.

b) Quanto ao CompoJLtameY/..todo 1nVe.6UdoJL Indiv.i.dual..

.- b

1)

ê

ave.6.6O ao Wc.o e e capaz de estabelecer preferências no

v.,

paço

mecUa.-vcvr.i.a.nda. dos retornos •

. b

jeti.VM que incorporam o seu julgamento acerca dos retornos de cada titulo, ou de especificar, no minimo, o valor esperado e a variância desses retornos, bem como as respectivas covariâncias. Todos os val~ res esperados e variâncias são finitos, e estas ültimas diferentes de zero, e todos os coeficientes de correlação dos retornos são menores que a.unidade em valor absoluto.

b

3} do seu capital disponivel para investimento em titulos de risco já foi deduzida a parcela a ser mantida em caixa e/ou ativos monetários, necessária para fazer frente aos seus motivos transacionais e satisfa .zer a sua preferência por liquidez.

b

4) toma suas decisões em pontos discretos no tempo. Em cada "ponto de transação" efetua todas as suas compras e vendas, alterando a composi ção do seu portfolio. Seu horizonte de planejamento está restrito a um unico periodo.

b_S) sua decisão quanto ao valor do seu consumo nao depende das oportunid~ . des disponiveis de investimento.

Na ausência do pressuposto (bS) acima, a limitação do horizonte de planejamento a um ünico periodo nos obriga examinar sob que condições a solução ôtima para esse periodo e consistente com a estrategia ótima p~ ra multiplos periodos. Isto traz a tona o problema do entrelaçamento das preferências do investidor frente ao risco e pelo consumo atraves. do tem po.

o

investidor procura (ou deve) maximizar a utilidade esperada da riqueza, o que, em iiltima instância, equivale a maximizar a utilidade es perada de um vetor composto pelo valor do consumo (nominal ou real) ao longo do tempo.

Sendo o po~6olio eonó~d~do a ü~ea 60nte de nenda, a decisão quanto ao·valor do consumo corrente dependerá não só das preferências pe 10 cónsumo atraves do tempo em si,mas tambem dos prospectos de risco- re torno para o periodoconsiderado e da natureza das oportunidades de inve~ timento que estarão disponiveis alem do horizonte de planejamento, que em . ultima instância determinarão o consumo futuro.

Exemplificando, se as oportunidades futuras de investimento ca racterizarem-se por altos riscos e baixos retornos, a decisão quanto ao valor do consumo corrente será distinta daquela que se tomaria se as expectativas fossem menos pessimistas.

corrente. Isto ~, a propensão a consumir e a assumir risços estão inter-relacionadas, e deperidem tamb~m da natureza das oportunidades de investi mento situadas al~mdo horizonte de planejamento.

As respostas do investidor às questões do tipo: "Qual a probab.i. lidade p que torna o nfvel de riqueza W_o indiferente ã loteria que propor -ciona os ~fveis de riqueza Wl com probabilidade p e W2 com. probabilidade

~1 - p) ?", diferirão para diferentes níveis de consumo corrente.

Ness~s circunstincias, as de~tsões quanto ao valor do consumo corrente e quanto a composição doportfolio deverão ser tomadas concomi-tãntemente.

O modelo, ao abstrair tanto o valor do consumo corrente quanto as oportunidades futuras de investimento, não garante que a solução para o perfodo considerado faça parte da estrat~gia que melhor se ajusta as atitudes do investidor a longo praio.

Contudo, .6e.a..ó opoJLtaYÚda.de.ó oneJteUda..ó pei.o meJtc.a.do c.omo wn to

do peJtma.nec.em c.oril.da.nte.ó a.:tJta.vêAdo tempo,' _{então a codificação. das pref~}

rên-cias do investidor poderã incorporar o interrelacionamento descri_{to e} estarã condicionada a incerteza associada às oportunidades futur-as detnves timento, agora conhecida porque tida como constante. Com essa suposição, a limitação a um Gnico período não provoca maiores problemas.

Conv~m lembrar que estamos assumindo que os titulos são peJtn~

ménte .e2qu.id.O.6 para permitir os ajustes na composição do portfolio .e .a concretização do consumo futuro.

A suposição de que as oportunfdades oferecidas pelo mercado como um'todo permanecem constantes não implica que as distribuições de probabl lidades dos retornos de cada tftulo sejam constantes, mas sim que a Fron .teira Eficiente não 'se altera ao longo do tempo, embora se alterem os

1 portfo1ios corr~spondentes a cada um de seus pontos.

Na presença dessas condições a suposição (bS) acima pode ser co.!!. siderada -supérf lua ,evi ce-versa. De u~ modo geral, assumi remos que sempre

/'

1

para um exame mais profundo desses problemas e outros complicado, res ver H. Markowitz, op. cito (1976), 243-2S6e 274-303.

/

./

~ possive1 ao investidor separar a decisão do quanto investir de no que

. t i 1

lnves 1r.

.Ate o momento intercambiamos os termos retorno-risco e média- va riincia sem qualquer qualificativd. Estã evidente, também, que o critério de seleção de portfo1iosse restringirã a esses dois parâmetros.

'.Se o investidor subscreve os axiomas da Teoria da utilidade de Von Neumann';'Morgenstern, então, em principio, toda a distribuição de pr~ ~abilidades dos retornos é re1evant~ para a suaescolha.2 Entretanto, sob condições especiais, poderã restringir as suas considerações sobre apenas alguns momentos dessas distrib~ições.

Conforme Markowitz observou, não existe nenhuma conexão inevitã ve1 entre. os dois procedimentos. Porém, em determinadas circunstâncias pb de ser perfeitamente lógico ao investidor·maximizar a utilidade esperada seletionando portfolios no espaço media-variincia.3

Esses problemas merecem considerações

ã

parte.

2.2. A UTILIZAÇAO DA M~DIA E DA VARIÂNCIA COMOCRITtRIO DE ESCOLHA

Em (bl) acima estamos assumi ndo também que a função de uti 1idade do inves tidor e uvúta.me.nte.c.ônc.a.va. _{Imp1icando que preferi rã ma}í s a m~

nos riqueza e que a utilidade marginal ~a riqueza e decrescente. Materna

1

essa separaçao permite isolar as atitudes frente ao risco das pr~ ferências pelo consumo ao longo do tempo, simplificando o trabalhode co dificação das preferências do investidor. Uma justificativa para tal sepa ração, embora sob condições idealizadas e de·certeza, pode ser obtida em:·

I.Fisher,.The. The.OIl.y06 InteJtu;t (New York: Mac Millan, 1930).

2

/.

J.

Von Neumann O. Morgenstern, ap.cit., 15- 30 e 617- 632.

/ and

3

H.

Markowitz, op. cito (1976), 209.

ticamente temos:

logo:

du(W)

dw

U [E (VV)

1

> E

tu

(WJ1

>

O

e O

(2.1 )

onde: W

=

nlvel de riqueza

U (W)= função ,de utilidade do investidor

Por outro lado, se o investidor aloca uma fração (W_b) da sua

riqueza atual em um investimento, a taxa de retorno desse investimento (r) e a sua riqueza. terminal (Wt) são, sob condições de incerteza, variã

veis aleatórias tais que:

r

=

. W-W,. o

'!'lo

(2.2)

Como as funções de utilidade são invariantes às transformações lineares, então podemos e~pressã~las em função da riqueza terminal, do re torno (Rt

=

Ht-Wo)l ou da taxa de retorno, e obteremos sempre o mesmo ordenamento das alternativas a disposição do investidor.2

1

de um modo gera 1 usaremos o termo "retorno" no senti do de taxa de retorno, só faremos a distinção quando necessãrio.

2

notem que tais funções de utilidade estão condicionadas ao nível de riqueza atual Wo'

'.'

,

2.2.1. Qua.n.do a..6 V-L6.tJúbul..ç.õe).) Conjun..ta.J.J de. PlLobab.lUdad<!.I~ dos Re..tOlLl'lO!.:l'

.6a.o Con..t1.n.Ua..6, S.únê:,tlLic.a..61, Ve..te/uninadM Pee.o~ Se.u>~ Vo-L6 P.'l.-únWo!.:l

Momento/.)2 e E!.:ltãve..-L63

, '~ob ~ssas condições, Tabin demonstrou que podemos especificara função de utilidade do investidor ~m função da midia e do desvio- padrão dos retornos.4

Denotando-se por f(r ifJ." a,) a função densidade de próbab ilt dade dos retornos" então a uti1idade esperada i dada por:

+00

E[U(r)] =

J

U{r)f{r; fJ.,t o, )dr

-co (2.3)

Como f (ri f-L" o,) ê simétrica, podemos padroní zâ-Ie através

da transformação 1inear z

=

(r - fJ.,)/o, e obtemos:5

+00

E[urd=

J

U(fJ.,+-zo,)f(z;O,Ddz

-00

_(2.4)

onde:

'z = r-f.!, o, .

1

diferem, no maXlmo, por um parâmetro de loc~ção e outro de escala. Qificilmente as distribuições dos retornos provenientes de titulos satis-fazem essa condição, tendo em vista que o limite inferior da distribuição ~ ,igual a' -1. Devemos considerã-lacomo tendo um carãter aproximativo.

2

j

.-'

a especificação da sua midia e variância determina toâa a distri }uição.

3

no sentido de que na adição preservam a si _{mesmas.' Essa condição é}

necessãria para torriar as conclusões que se seguem aplicãveis tambim so-bre a distribuição de probabilidades dos retornos de um portfolio.

4

, ' ,

J. Tobin, "Liquidity Preference as Behavlor Towards Risk", Review

06

Ec.onomi.c. S:tu.cUe..6, nQ 25 (february 1958), 74- 75 .

./

5

f(r; I-lrja,) ::: (I/ar) f(z ; O. I )

,

como dr = q.dz

então: +00

E[U(r)]

=

J

U{t-l,+zo,)f(z;O,I) (o,/a,)dz

Temos, portanto, a utilidade esperada dos retornos expressa em termos da sua mêdi a e .desvio-padrão.

Oefi nimos como.c.U!tva.de útcUôeJtenç.a. ao conjunto de pontos em um plano de coordenadas o, e ~r que proporcionam a mesma utilidade esp~

rada. Ou, em outros termos, ao conjunto de pontos onde a variação da uti-.lidade esperada ê zero. A inclinação· dessa curva pode ser obtida diferen

ciando-se (2.4) em relação a ar

OE[U(r )]

d

I-lr

ao,

= -

(2.5)

do,

.OE[U(r)J

O

fi,

como: 1

OE[U(r )]

ao,

= _ 00

J

aU(r) ar f(z;O.I)dz

à

r

00,

+00

f

OU(r) ~ f(z;O./}dz

-C)

o

r Ofl,

TernQs então a expressa0 dessa inclinação, como segue:

+0:>

d

f4

j

z

u'e

j-l,'" zo,) fez ;O,lJdz

do, -

+Joo.

U'(fi, + Z a;)f(z ~O,l)dz

--Q;)

> O (2.6)

..

O denominador da fração acima serã sempre positivo, devido a s~ posição de que a utilidade marginál dos retornosê sempre positiva. O seu nurneradorserã negativo, porque a utilidade marginal dos retornos para os valores negativos de z sera sempre maior que a utilidade marginal dos

1

àf

(z ;O! I)

=

O

retornos para os igualmente prováveis valores positivos de z . Portanto, a inclinação da curva de indiferença ~o investidor será sempre positiva. Isto imp1íca em uma taxa ma!t.ginaR.de. .6ub.6utuição e.Yl.bte. J-L, e. a, PO.6-0ti:

va.

Como presumimos util idade margi nal dos retornos decrescente, en tão a utilidade de uma combinação linear'de dois retornos quaisquer e maior que a combinação linear idas utilidades dos dois retornos:

(2.7)

onde: r₃

=

wr. + (r - w)'2

_,

.

o<w<

Essa relação estã demonstrada na fig. 2.1 .

.Logo, se os pontos (a.,j-L.) _e (02, J-Lz) determinam as dis

tribui ções de r, e rz pertencentes a uma mesma curva de indi ferença (ut..i

1idades esperadas iguaiS), então o ponto (°3, f-L:J determi na a distribui - .

ção do retorno ~ situado em uma curva de indiferença de maior utilida .de esperada:

Va1e dizer, as curvas de indiferença sao c.onve.xa.6 1.,e a sua re presentação grãfica e como mostra a fig. 2.2.

2.2.2. A lmp0.6ição de. Re..6.tJU.çõe..6PMamê;t}úc.a.6 Sobne: a Função de. U.til.ida

de. do lnve..6tidoJt. _A Função Q~c.a

Como foi demonstrado, as circunstâncias sob as quais podemos uti .Hzar a media

e

o desvio-padrão como cr+târ to de seleção estão restritas

.a uma deter.minada classe dadts tr-íbufçôas conjuntas .de probab ilidades subjetivas (de dois parâmetros, continuas, simetricas e estáveis) e a in / vestidores cujas funções de utilidade são estritamente côncavas. Contudo,

U{ r

U(rz) U(r)

U(13)

> I

wU(r, )+(I-w)U(rz)

r

figo 2.1 A concavidade da função de utilidade do investidor

JJ.z •

-I I E[U(r.)J =E [U (r

,

2)]

I >,

fl3 - - -- - - -

--•

• >

~----~o~---·o~---o~----~

O,

132

"Na ausênc ía de restrições sobre as di stribuições de probabil id~ des subjetivas do investidor, os parâmetros da distribuição relevantes p~ ra a sua escolha podem ser obtidosatraves da imposição de restrições p~

ramâtr-tcas sobre a sua função de util idade dos retornos. Doi s parâmetros .da função de uti 1idade são determi nados pela escolha da escala. Se a esp!

cificação da função de utilidade não requer a especi ficação de nenhum p~ .râmetro ad.ic.ional,então umparãmetro da distribuição de probabilidades

sumariza toda a informação relevante para a escolha do investidor. Por exemplo, se a função de utilidade e linear [U(r)= r] _{,então o valor da} utilidade esperada e simplesmente o valor esperado de r , e a maximização da utilidade esperada conduz ao mesmo comportamento de maximização do re torno em um mundo de certeza. Se, entretanto, um parâmetro adicional e

necessârf o na especificação da função de utilidade, então dois parâmetros da distribuição de probabilidades serão relevantes para a escolha, e as-sim sucessivamente. Quais dos parâmetros da distribuição que .serão re1e vantes dependerã da forma da função de uti 1idade ."1 .

Demonstrou, tambem, que se assumirmos que a função de utilidade do investidor e quadrática, então e possivel a especificação de preferen cias no espaço media-variância sem a imposiçã~ de restrições sobre a for ma da função densidade de probabilidade dos retornos.2

- .3

Essa função de utilidade qu~drâtica e expressa como segue ..

U ( r) =( 1+ b ) r + br2

,

-I

<

b

<O

(2.9)

Esse tipo de função tem um ponto máximo a partir do qual a sua derivada pri~eira e negativa. Como estamos assumindo utilidade marginal

1

J.

Tobin, op. cit~, 76 (tradução nossa).

2

Ibid., .76 - 77.

/

3

.' _{estamos assumindo uma escala tal :que U(O)= O e U(-I) = -,}

positiva, ê. ne.c.e..6.6âJU.a.a ,únpo.6iç.ão de. wn Lim,i.te .6UpvU..o/t' sotvie. o ;',n:teJt

valo

_de

pO.6.6Zvei.6 valo/te..6

_de

/t:

r ~(' +

b)

. - 2b· -I < b < O

(2.10)

Como a primeira derivada de (2.9) no intervalo dado i positiva e sua segunda derivada negativa, concluimos que essa função de utilidade e estritamente c5ncava.

Sem se impor qualquer restrição sobre a forma da função densida de de probabilidade. dos retornos, temos que a utilidade esperada de~ses retornos e:

+00 +00

E[U(r)J=

J

U{r)f(r)dr =

J

[.(I+·b)r ., br1f(r)dr

-00 . -(X)

(2.11)

Notem que (2. 11) acima depende excl us ivamente de J-l, e o, , alem do parâmetro de aversão ao risco b.2

1

para o investimento em titulas, o limite inferior aos possiveis va lares de r e, obviamente, -1. O limite superior

e

obtido atr-avés

de

d

U(r)

o ..

dr

.'

·2 +00

f

[(J +b)r + bf]t( rIdr

. -<lO

=

+00 +00

(I+b) !rfCr}dr + bjrZf(r)dr

-(X)

como:

0

,

1

=

fJ.,z-

J-l:

f.L,r f.L,2 + aZ

,

logo:

+00

.'

tl,z

=

f

r2t(i)dr

f-L:

₊ a2

=

,

Di ferenci ando-se (2.11) em relação a o, obtemos a inc 1i nação da do dOf 1

curva e ln 1 erença:

d

Ta-:-

=--..-=(-, +-O....L

b).,-·

--P-r-26.

::>

O

(2.12)

Como[-(/+bJ/2b] ê positivo e, por (2.10)·, necessariamente maior que· J-Lr , então a inclinação da curva de indiferença ê não negativa.

Adicionalmente;

a

segunda derivada da curva de indiferença ê PQ sitiva, o que. -impUc.a. na. .6ua. c.oYl.ve.XÁ.da.de., possuindo portanto a mesma for·

o 2

ma que no caso anterlor:

>

O

_(2.13)

1

aE[U(r)

. ~

= -

~auOr4:--__

= -

--=2:=...;b::;..;o=- :::t

. do,

a

E [U(r)] ( /+b) + 2 b/-l,

I

a

fJ.,

o

2

%

d

Il, =

do~

z

df-Lr

d

J-L,

+ ar

=

2

d

0,2 _{-(~ -J-Lr}

[ - " 2+bb) - J-Lr

1 .

do,

~. _J

.+ .,. .

(.s!&t

, =

,'

•

Em qualquer uma das duas situações descritas, o importante a ser observado é que a m-irU..m-iza.ç.a.oda vaJÚânc.-ia. paJta. de..tetunú'La.do tUve.t deJte.

~Jtno eópe.Jta.do, ou a. ma.x-im-izaç.ão do Jte.toJtno eópe.Jta.do paJta. uma. van-iânc.-<.a

da.da., .6ã.o e.qu.i.vaf.e.n-teó ã. ma.x-im-iza.ç.ãoda. u;til..-<.da.de.eópe.Jta.da.. Essa equi v~

lincia permitiri o desenvolvimento do conceito de dominincia, fundamental para a derivação da Fronteira Eficiente.

Markowitz considerou somente o caso em que a função de utilidade do investidor é quadritica. Não presumiu, contudo, que esse tipo de fu.!!, ção pudesse descrever adequadamente as atitudes dos investidores em qual quer circunstincia. Assumiu sim que, no -in,te.Jtvalo do.6 vaf.oJte.6 .~ele.va.n,teó

de.!t, _{a verdadeira função de utilidade do investidor pode ser} a.pJtox-ima.da.

pela função quadritica.l

Lintner observou que, para que os valores relevantes de r se situem no segmento onde a função quadritica é estritamente côncava, o p~ râmetro de aversão ao'risco b deve ser muito pequeno, e nesse caso é in suficiente para incorporar

o

grau de aversão ao risco dos

investidores.2-Se o investidor atua consoante os principios da Teoria da Utili dade de Von Neumanri- Morgenstern, então toda a distribuição de probabili-dades dos retornos é relevante para a sua decisão. Markowitz procurou, no âmbito da própria teoria, simplificar o procedimento restringindo as con siderações sobre os ,dois primeiros momentos ,da distribuição.

Podemos generalizar essa "tentativa de parametrização das deci sões". Se a função de utilidade do investidor possue, no intervalo dos valores relevantes de r, todas as derivadas até ã de ordem (n + 1) inclu sive, então podemos aproximi-la por um polinômio' de ordem n, através da

1

H. Markowitz, op. cito (l976)" 285.

-/ '

2 .

J. Lintner, "The Valuation of Risk Assets and the Selectí on of

Risklnvestments in Stock Portfoliosand Capital Budgets", The. Re.viw

06

fórmula qe Taylor- Maclaurin, como segue:

(2.14)

onde:

,

0<<9

<

1 (n+l)!

fim "~GII

. A determinação da ordem do polinômio, e consequentemente do grau de aproximação,dependerã da significância do termo complementar Cn(r) para o' problema em questão, se ele pode ou não ser abstraido.

Supondo-se que, para determinado n, . do, e que a nossa escala

e

tal que U_(O)= O

pode ser representada da seguinte forma:l

esse termo possa ser ignor~ , então a utilidade esperada.

+00 +00 + 00

E[U(rn= U'(~1rf(r)dr + ~'foll't(r)dr +---+~lO};Lr'f(r)dr _(2.15)

Desta forma, as decisões baseadas nos n primeiros mom~ntos da distribuição serão equivalentes àqUelas fundadas na maximização da utili dade esperada. Em particular, quando

a

função de utilidade do investidor pode ser aproximada por um polinômio do segundo grau, então as decisões podem ser baseadas'nos dois primeiros momentos da distribuição de probab~ lidades dos retornos.

1. '. +00 +00 o

E[U(r)} =

f

u(r)f(r)dr

=1

[r U1(QJ+-;;UII(O)+ __:r-fUllll(O)]f( r)dr

~ ~Q) o o

o +00 o +00' +00

E tU(r

>l

=

U'(O)!rf(r)dt

+.lL1Q1

/r2f(r) dr+

-t-d"

(Ol!raf(r) d·r

-Q) 21-00 . nJ.-ee

0.°

•

Se para obter a aproximação adequada de U (r) for necessãrio um polinõmiodeordem elevada, então nenhuma simplificaçãoserã obtida. que será·necessãrio o cãlculo de um numero elevado de momentos, o equivale, em ultima instância, a considerar toda a distribuição de

bilidades.

2.2.3 •.. A Ve6húç.ão .da. MecUda. de 1U6c.o e. CL6 Fu.nç.õC?Á de U.ti.li..da.de

po.!:. que prob~

Ate

o momento utilizamos a variânciados retornos, ou o seu

des-.

vio-padrão, como si~õnimo de risco. Examinaremos agora as razoes para tal procedimento.

Para tanto, demonstraremos o seguinte teorema a respeito de F,

-uma medida qualquer de risco que e igual aova]or esperado de alguma fun

çâo de r :1 Se:

(i) f (r) e uma regra que associa o numero fa cada valor de r;

(ii) F

e

_{o valor esperado de f (r), i .e. F=} E[f(r)] (iii) o investidor maximiza a utilidade esperada dos

nos, mas;

retor

(iv) deci de excl usivamente com base no retorno esperado, f.lr ,

e na medida de risco

F.

ma:

Então, a função de utilidade do investidor terã a seguinte for

ufr}=

c +or+bf(r) _(2.l6)

.que pode ser reescalada de forma que c= O.

Demonstração: Se (!-lI'

fi )

e (fl2' -I;) são combi nações de

I-lr

e F associadas a deis pertfolies, a cembinação (~o,F,; ) asseciada

ã

lete ·ria que properciona e pertfolio 1 cem probabilidade pe e pertfelie 2 cem

probabilidade (l - p) i:

./.

f-Lo= Pf-L, + (l - p) f-L2

fo =.p FI + (1- p)F2

1

H.Markowitz, op , cito (1916),·286 287.·

Isto implica que os cinco axiom~s da Teoria da Utilidade de Von .Neumann-Morgenstern apl icam-se também sobre as combi nações {/-L" F J •

Consideremos, por exemplo, o axioma da monotonicidade, se:

e p >p'

. então:

((~~.F,},p; (f.L2t ~),(I- p)J

>-

[(/-lI' F.),p'; (tL2,F;),(I-.p'}1

Ou o axioma da continuidade, se:

( J.l1' F;)

>-

(J.L3'

f; ) .

r

(f-L:lt fi)

então, existe um p tal que:

Da mesma forma, os demais axiomas podem ser aplicados às combina ções (f-t, t F) , o que impl ica que essas combi nações podem ser ordenadas -.

por uma função linear:

. E [U{r») = af-Lr + bF _(2.18)

que

i

justamente o valor esperado de: U(r) = ar + b f(r)

Com esse teorema podemos examinar as: funções de utilidade impli ci tas na sel eção de portfo1 ias com base no retorno esperado e nas segui.!! tes .medidas ~~ risco:1

a) Variância.ou desvio-padrão·

Sendo:

(2.19 )

Léqo ;'

U(r) = ar + br~ t

1

H. Markow;:tz~ op. cito (1976),287-295. Examinaremos sõmente algu .mas medidas de risco mais importantes e ilustrativas, contudo o metodo po / de ser aplicado a outras, medidas de risco bem como a outras medidas

de

Se o investidor procura, para um mesmo nível ~r ,minimizar a

variância dos retornos, então b< De sua função de utilidade será estri-tamente côncava para os valores de r inferiores ao valor que maximiza essa função quadrática.

Como pressupomos aversão ao risco, os valores relevantes de r' para o problema em questão deverão estar situados nesse intervalo.

b) Semi-variância

A _{semi-variância} (S4) ê defi nida como:

. 2

F

=

5

4

=

E{[min(r- d),011 (2.20)

onde d· ê o 1_{imite aba}i_{xo do qual os desvi os} dós _{retornos sao cons}i_dera dos.

! . Logo,

~

U(r)

=

ar

+ b [min{t- d, 0)1 a>O (2.21 )

Consideremos, obviamente, o caso em que o investidor procura, p~ ra um determinado retorno esperado, minimizar a semi-variância (o <O).

Nessas circunstâncias, a sua função de utilidade será estritamente cônca va para os valores de r inferiores a d e linear no intervalo remanescen te.

A figura 2.3 mostra essa função de utilidade comparada com a fun çao quadrática.

Observamos dois tipos de comportamento do investidor. Será aves so ao risco para os valores de r inferiores a d, e será indiferente ao risco para r ~ d. Contudo, os possíveis valores de r se distribuem em ambos os intervalos, e de um modo geral U[E(r)J > E[U(r)J . A escolha .do valor de d determinará se os valores relevantes de r localizam- se

preponderantemente no intervalo onde á função ê estritamente côncava.

r

importante observar que para r < d essa função deutil idade

i

quadrática. Logo, na medida que d se aproxima do limite superior dos valores relevantes de r, então essa função de utilidade será estritame~ te côncava para os valores de r que são pertinentes ao problema.

nos quando a função de utilidade do investidor e quadrãtica.

Se os valores relevantes de r forem tais que se situem também no segmento convexo da aproximação quadrãtica, então a minimização da semi-vari~ncia pode se constituir em um procedimento alternativo para as-segurar que a função de utilidade empregada não apresente em nenhum inter valo umacerta propensão ao risco.

c} Valor esperado das perdas

Podemos definir o valor esperado das perdas como:

F

=

E-[-min(r,O)] _(2.22)

E a função de utilidade associada serã:

U(r)= or+bmin(r.O) 0>0 (2.23)

Como o investidor procurará minimizar as perdas, então b > O . Graficamente essa função está representada na figo 2.4

Tal função de utilidade é constituída por dois segmentos de reta que se encontram na origem. Para r<: O a inc1inação do segmento

cor-respondente ê ma ior que a do segmento assoei ado aos valores de r::> O •

Ao longo de cada um dos intervalos observamos que o investidor ê

indiferente ao risco, porem como os retornos se distribuem em ambos os in terva los temos que U(E(r )]

:>

E_[U(r)] •

O emprego de tais funções de utilidade conduz a comportamentos pouco condizentes com a aversão ao risco.

Consideremos, por exemplo, duas alternativas de investimento que possuem as mesmas probabi 1idadespa ra os va 1ores de r >O , e que as pr.2. babi 1idades para os valores de r <: O , embora diferentes, são tais que

o retorno esperado das duas alternativas sejam iguais. Se o tnvestidor pos suir esse tipo de função de utilidade, ambas lhe serão igualmente preferI veis: Vale dizer que será indiferenté, por exemplo, entre um prejuízo de 10% com probabilidade de 0,5 e um prejuízo de 50% com probabilidade

de

0,1 mais nenhum ganho (ou prejuízo) com probabilidade de 0,4. Esse inves tidor jamais fará seguros.

Essa insensibilidade ao risco para os valores de r <: O ê bas

U( r)

U(r)=

\

~

", I I',

,

,

_,

\

\

,

\

\

\

r

,

/---.\

2

U( r) =ar + b (r - f-!,)

figo 2.3 - A função de utilidade associada ao uso da semi- variância

U(r

U(r)

=

d) Valor esperado dos desvios absolutos

Podemos definir o valor esperado dos desvios absolutos, com re ferência a um nivel de retorno d, como:

F = E[I

r-dll

(2.24)

Logo, a função de utilidade associada â utilização dessa medida de risco e:

U(r)= ar +blr-dJ

,

_{a >} O , b<O e lal > Ih' _(2.25)

A figo 2.5 apresenta graficamente tal função de utilidade.

Podemos fazer a essa função as mesmas objeções feitas ã função de utilidade do item (c) anterior.

e) Probabilidade de perdas

Podemos definir uma função g (r) tal que:

9(r)

=

r >0

se

se r<O (2.26)

A probabilidade de que r seja menor ou igual a zero poderã en tão ser expressa como o valor esperado de g (r):

p(r< O)

=

F

=

E [g(r)]

A função de utilidade implicita â utilização dessa medida de ris co sera:

U(r) = ar+ bg(r)

,

_a>

O e _{b<O (2.27)}

cuja representação grãfica pode ser observada na fig.o2.6 .

Como nos casos (c) e (d) anteriores, essa função apresenta ames ma insensibilidade ao risco, pouco plausivel de ser observada no comport~ menta real dos investidores, principalmente para os valores de r < O • Roy observou que para cada investidor podemos definir um nivel de retorno d abaixo do qual se encontraria em s~rias dificuldades. Deno minou tal nivel de "nive1 de desastrell

•l

1

U (r)

U(r)

=

-o r +b

I

r-di

figo 2.5 - A função de utilidade associada ao uso dos desvios absolutos

U(r)

U(r)= or+bg(r)

figo 2.6 - A função de utilidade associada ã mini mização da probabilidade de perdas

r