Sobre a termodinâmica dos espectros

(1)

Universidade de S˜

ao Paulo

Instituto de F´

ısica

Sobre a Termodinˆ

amica dos

Espectros

Edelver Carnovali Junior

Orientador: Prof. Dr. Maur´ıcio Porto Pato

Tese submetida ao Instituto de F´ısica da Universidade de São Paulo, para a obten¸cão do t´ıtulo de doutor em ciências.

Comiss˜ao Examinadora:

Prof. Dr. Maur´ıcio Porto Pato (IFUSP) Prof. Dr. Mário José de Oliveira (IFUSP) Prof. Dr. José Carlos Sartorelli (IFUSP)

Prof. Dr. Marcus Aloizio Martinez de Aguiar (Unicamp) Profa. Dra. Kyoko Furuya (Unicamp)

(2)

(3)

Resumo

Tês ensembles, respectivamente relacionados com as distribui¸cões Gaus-siana, Lognormal e de Lévy, são abordados neste trabalho primordialmente do ponto de vista da termodinâmica de seus espectros. Novas expressões para as grandezas termodinâmicas são encontradas para os ensembles de Stielt-jes e de Bertuola-Pato, e a conexão destes com os ensembles Gaussianos é estabelecida. Esta tese também compromete-se com a continua¸cão do de-senvolvimento e aprimora¸cão do ensemble generalizado de Bertuola-Pato, extendendo alguns resultados para os ensembles simplético eunitário gener-alizados, além doortogonal generalizadojá introduzido anteriormente por A. C. Bertuola e M. P. Pato.

Abstract

(4)

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co ao CNPq pelo suporte financeiro, ao meu orientador Maur´ıcio pelo conhecimento compartilhado, aos funcionários da comissão de pós-gradua¸cão pelo excepcional atendimento, e aos meus vários colegas de instituto por inúmeras discussões e opiniões que se mostraram valiosas não só para a acad-emia, mas para minha vida como um todo.

(6)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 6

2 Teoria das Matrizes Aleat´orias (TMA): Origens,

Perspecti-vas, Motiva¸c˜oes 8

3 Considera¸c˜oes sobre as simetrias do espa¸co-tempo e suas

con-seq¨uˆencias para o operador Hamiltoniano 12

4 Os Ensembles Gaussianos 21

4.1 O Ensemble Gaussiano Ortogonal (EGO) . . . 24 4.2 A densidade de probabilidade de uma matriz pertencente ao

EGO e a distribui¸c˜ao conjunta de seus autovalores . . . 32

5 Termodinˆamica de espectros 39

5.1 Alguns Ensembles Relacionados aos Polinˆomios Ortogonais . . 42 5.2 Grandezas Termodinˆamicas . . . 44 5.2.1 Ensemble de Jacobi: V(x) =₋ln[(1₋x)α_{(1 +}_x₎η_{] . . 44}

5.2.2 Ensemble de Hermite: V(x) =x2_/_{2 . . . 53}

5.2.3 Ensemble de Legendre: V(x) = 0 . . . 55 5.3 Espectros do EGO e a termodinˆamica do caso de Hermite:

valores numéricos . . . 58 5.4 Simula¸cão Numérica do Ensemble Gaussiano Ortogonal . . . . 61

6 O Ensemble de Stieltjes: V(x) = (1/s) ln2(x) 64

7 O Ensemble Generalizado de Bertuola-Pato 69

(7)

7.2 O dom´ınio q >1 . . . 79 7.2.1 A distribui¸cão de um elemento de matriz para q >1 . . 79 7.2.2 A fun¸cão de parti¸cão para o dom´ınio q >1 . . . 83 7.2.3 A conexão entre o ensemble generalizado Bertuola-Pato

e o de L´evy . . . 85 7.2.4 Grandezas termodinˆamicas . . . 88

8 Conclus˜oes 91

A O m´etodo de Box-M¨uller 96

B Derivadas de ordem n˜ao inteira 98

C A transformada de Fourier de (7.14) 99

D A expans˜ao das Fun¸c˜oes de Bessel Modificadas para pequenos

(8)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O presente trabalho concentra-se no estudo da termodinâmica de espectros de ensembles relacionados a três importantes distribui¸cões estat´ısticas, a saber, os ensembles Gaussiano, Lognormal e de Lévy. Com esta finalidade, duas gen-eraliza¸cões dos ensembles Gaussianos foram estudadas e diferentes fun¸cões de parti¸cão foram encontradas para os ensembles de Stieltjes e de Lévy. A transi¸cão entre as termodinâmicas destes três ensembles também foi abor-dada tornando expl´ıcita a maneira como cada generaliza¸cão recobre o caso Gaussiano.

Desta forma, os três próximos cap´ıtulos são dedicados exclusivamente à introdu¸cão da Teoria das Matrizes Aleatórias (TMA) e à dedu¸cão dos resultados mais relevantes ao desenvolvimento e aplica¸cões da termodinâmica de espectros.

Uma breve introdu¸cão histórica é feita no cap´ıtulo 2, algumas considera-¸cões sobre as simetrias do espa¸co-tempo e suas implicaconsidera-¸cões para o operador Hamiltoniano são feitas no cap´ıtulo 3; os ensembles Gaussianos são intro-duzidos no cap´ıtulo 4. Os cap´ıtulos seguintes preocupam-se em introduzir e aplicar a termodinâmica de espectros, tanto para os bem conhecidos ensem-bles Gaussianos, quanto para os novos ensemensem-bles de Stieltjes e de Bertuola-Pato, este último recobrindo o ensemble de matrizes de Lévy em um certo dom´ınio.

(9)

de Stieltjes-Wigert.

O ensemble generalizado de Bertuola-Pato é introduzido e desenvolvido no cap´ıtulo 7, através da termodinâmica generalizada de Tsallis aplicada à TMA, e alguns dos resultados obtidos por Alberto Carlos Bertuola em sua tese de doutorado são generalizados também para os ensembles Gaussianos unitário e simplético, além do ortogonal. A forma expl´ıcita das grandezas termodinâmicas é, pela primeira vez, calculada para este ensemble. Este en-semble recobre os Gaussianos de uma forma um tanto quanto sutil, apresen-tando um limite singular para o parâmetro entrópico de Tsallis, onde q_→1 faz com que a distribui¸cão de um elemento de matriz aproxime-se tanto de uma gaussiana quanto de uma fun¸cão de Lévy, dependendo do valor assumido para um parâmetro a ser fixado.

(10)

Cap´ıtulo 2

Teoria das Matrizes Aleat´

orias

(TMA): Origens, Perspectivas,

Motiva¸c˜

oes

Desde a reveladora descoberta do neutron por James Chadwick (1891-1974) no come¸co da década de 30, considerada o nascimento da f´ısica nuclear, no laboratório Cavendish, Cambridge, rea¸cões nucleares envolvendo neutrons assumiram um importante papel para a f´ısica mundial. Com part´ıculas car-regadas, as rea¸cões nucleares são em parte suprimidas pela repulsão coulom-biana mútua entre os núcleos do alvo e as part´ıculas do feixe incidente, mas com neutrons (part´ıculas neutras) toda a energia do feixe pode participar da rea¸cão, o que aumenta drasticamente as probabilidades, ou seja, as seçcões de choque.

O estudo da captura de neutros pelos núcleos alvo levou Niels Bohr (1885-1962) a propor em 1936, que um sistema composto de longa vida era formado quando um núcleo capturava um neutron. Por “longa vida” entende-se que a desintegra¸cão do sistema não está imediatamente relacionada com o primeiro estágio da colisão, e ocorre em 10−16_s_{, intervalo muito maior que o t´ıpico}

intervalo de 10−21_s _{deduzido a partir das dimens˜oes conhecidas do n´}_ucleo.

(11)

Poucos anos depois, a descoberta da fissão nuclear por Hahn e Strassmann colocou a f´ısica nuclear e a captura de neutrons num patamar histórico jamais ocupado pela ciência. A fissão nuclear possibilitava a libera¸cão da enorme quantidade de energia contida dentro dos núcleos atômicos, viabilizando a contru¸cão das bombas atômicas lan¸cadas em 1945 sobre Hiroshima e Na-gasáqui, no Japão, o que antecipou o fim da segunda guerra mundial. A tecnologia desenvolvida para as bombas consistia em produzir uma rea¸cão em cadeia descontrolada de fissões nucleares via captura de neutrons, onde cada núcleo composto fissionado emitia, além do neutron capturado, um neutron adicional.

Com o término da guerra, e a conseqüente crise energética, criou-se uma necessidade sobre a explora¸cão da energia nuclear, ou seja, o processo de fissão nuclear em cadeia precisava sercontroladocom a finalidade de construir o reator nuclear, e para isto era fundamental entender as propriedades dos espectros de ressonâncias dos núcleos compostos.

Uma vez que os núcleos capazes de produzir tal rea¸cão em cadeia são núcleos muito pesados, e que por sua vez possuem muitos nucleons, o enorme grau de liberdade introduz uma complexidade na estrutura de camadas que torna imposs´ıvel o tratamento exato dos n´ıveis de energia para estes elemen-tos, surgindo assim, inevitavelmente, a necessidade de uma teoria estat´ıstica dos n´ıveis de energia. Foi neste contexto que Eugene Wigner introduziu a

Teoria das Matrizes Aleat´orias, que ser´a amplamente abordada neste tra-balho.

Particularmente, sua contribui¸cão para uma conferência sobre espectro-scopia de neutron em 1956, “Conference on Neutron Physics by Time of Flight” [1], é de fundamental importância para o presente trabalho, pois foi onde Wigner apresentou a distribui¸cão conjunta dos autovalores das matrizes pertencentes aos ensembles Gaussianos (ortogonal na ocasião), dada por

P(E1, ..., EN) =CN βexp −β

X

i

E_i2

! Y

i<j

|Ei−Ej|β.

Esta distribui¸cão têm um papel central em toda a discussão que será feita ao longo deste trabalho, pois foi partindo dela que a concep¸cão determodinâmica de espectros surgiu, por meio de outra figura central na teoria das matrizes aleatórias, o f´ısico Freeman Dyson1_{. No primeiro de uma série de três}

impor-1

(12)

tantes trabalhos publicados em 1962 [10, 11, 12], Dyson resume em poucas palavras a idéia por trás da teoria das matrizes aleatórias:

“Análises teóricas recentes têm tido impressionante sucesso ao interpretar a estrutura detalhada dos estados de baixas excita¸cões de núcleos complexos. No entanto, deve haver um ponto além do qual tais análises de n´ıveis individ-uais não permanecem úteis. Por exemplo, observa¸cões de n´ıveis de núcleos pesados, na região de captura de neutron, fornece informa¸cão precisa sobre o aumento de n´ıveis partindo de um número N, até (N+n), onde N é um inteiro da ordem de 106_{. ´}_{E improvável que uma descri¸cão de n´ıveis baseada}

na estrutura de camada (Shell structure) e de números quânticos individuais possa ser estendida até o milionésimo n´ıvel. É razoável, então, perguntar se os estados altamente excitados podem ser entendidos de um ponto de vista diametricalmente oposto, supondo como hipótese de trabalho que toda a es-trutura de camada foi perdida e que os únicos bons números quânticos que permanecem sãospin eparidade. A resposta a esta questão leva a uma teoria estat´ıstica dos n´ıveis de energia. A teoria estat´ıstica não previrá a seqüência minuciosa dos n´ıveis em um dado núcleo, mas descreverá a aparência geral e o grau de irregularidade da estrutura dos n´ıveis que esperamos que ocorra em qualquer núcleo que seja complicado demais para ser compreendido em detalhe”.

“O que está sendo sugerido é um novo tipo de mecânica estat´ıstica, na qual nós renunciamos o conhecimento exato não do estado do sistema, mas da própria natureza do sistema. Nós tomamos um núcleo complexo como sendo uma caixa preta na qual um grande número de part´ıculas estão interagindo de acordo com leis desconhecidas. O problema então é definir de maneira matematicamente precisa um ensemble de sistemas no qual todas as leis de intera¸cão poss´ıveis são igualmente prováveis”.

De forma ainda mais resumida, a essência da Teoria das Matrizes Aleatórias foi descrita por Wigner [3] numa cita¸cão de 1961:

“...o Hamiltoniano que governa o comportamento de um sistema compli-cado é uma matriz aleatória simétrica com nenhuma propriedade particular exceto por sua natureza simétrica.”

(13)

estat´ıstica dos elementos de matriz. i) e ii) são requerimentos f´ısicos, iii) é uma condi¸cão não-essencial introduzida com propósitos de simplicidade matemática.

(14)

Cap´ıtulo 3

Considera¸c˜

oes sobre as

simetrias do espa¸co-tempo e

suas conseq¨

uˆ

encias para o

operador Hamiltoniano

Na TMA, como foi dito na declara¸c˜ao de Dyson, acima, assume-se que os ´

unicos bons números quânticos que permanecem ao se estudar sistemas muito complexos são os relativos ao spine à paridadeda fun¸cão de onda. Portanto a teoria deve estudar as conseqüências que rota¸cões no espa¸co-tempo, ou melhor, inversões espaciais e inversão no sentido do tempo, causam nestes números quânticos, bem como no operador Hamiltoniano.

Sabemos que as simetrias quânticas estão ligadas a transforma¸cões canônicas representadas por operadores que comutam com o Hamiltoniano, sendo estes operadores unitários para que quantidades observáveis, tais como a probabil-idade dada pelo produto de dois estados Φ e Ψ,< φ_|Ψ>, sejam conservadas. Comecemos estudando a inversão no sentido do tempo. Vamos denotar o operador responsável por esta inversão por T, não esquecendo da regra de transforma¸cão de um operador qualquer, por exemplo um operador genérico

A, dada por T AT−1_.

Quando aplicamos o operador Tao operador de posi¸c˜ao q e ao operador de momento p, este sendo linear no tempo p=mdq_dt ,obtemos

(15)

e

T pT−1 =₋p.

Como estes operadores em mecânica quântica correspondem a trans-forma¸cões canônicas, o operador Tnão deve alterar a rela¸cão de comuta¸cão entre q ep, de forma que

T i¯hT−1 =T[q, p]T−1 =₋[q, p],

de onde concluimos que

T iT−1 =₋i.

Isto mostra explicitamente que a opera¸cão de inversão no sentido do tempo e a opera¸cão de tomar o complexo conjugado estão intimamente ligadas. Este fato faz com que seja conveniente escrever o operador T da seguinte forma:

T =UC

ondeUé um operador unitário, em princ´ıpio qualquer, eCdenota a opera¸cão de complexo conjugado. Lembrando que os operadores de simetria devem comutar com o operador Hamiltoniano, deve existir uma base comum aos dois operadores formada por autoestados simultâneos deH e T. Além disso, duas aplica¸cões consecutivas do operador T não devem alterar um estado qualquer, denotado aqui por _|Ψ >, pois a inversão no sentido do tempo aplicada a um estado onde o sentido do tempo já foi invertido retoma a situa¸cão original, ou seja,

T2_|Ψ>=λ_|Ψ>,

sendo λ uma constante. Por outro lado,

T2 =UCUC

e, uma vez que C∗ ₌_C−1_{, temos:}

T2=UU∗ =λ (3.1)

Isto equivale a dizer que

[UU∗]+ =λ∗

(16)

UTU−1 =λ∗ (3.2) onde UT _{denota a transposta de U.}

Da unitariedade de U (U+ ₌_U−1_{), temos que (}_U+₎∗ _{= (}_U−1₎∗_{, ou seja,}

UT _{= (}_U−1₎∗_{. Este fato, em conjunto com as rela¸c˜oes (3}_._{1) e (3}_._{2), nos leva}

`a seguinte conclus˜ao:

λλ∗ =_|λ_|2=UU∗UTU−1

|λ_|2 =UU∗(U−1)∗U−1

|λ_|2 =UU∗(U∗)−1U−1 =UU−1

|λ_|2 = 1 (3.3)

Al´em disso, λ deve ser real, pois

λ∗ = (T2)∗ = (UCUC)∗ = (UU∗)∗ =U∗U =UU∗ =T2 =λ, (3.4) o que mostra que λ ´e real.

Portanto, de (3.3) e (3.4) podemos concluir que

T2 =_±1. (3.5)

Para determinar a forma do operadorU, analisemos o que o operador de inves˜ao temporal faz com o momento angular total J~. O momento angular total ´e composto pelo momento angular orbital total e pelo momento de spin

total do sistema. No caso de uma ´unica part´ıcula, o momento angular orbital ´e

~

Jo =~q×~p

~

Jo =−i¯h ~q×▽~ (3.6)

(17)

Jox =qy(−i¯h

d

dz)−qz(−i¯h d

dy) =−i¯h[qy d dz −qz

d dy]

Joy =qz(−ih¯

d

dx)−qx(−i¯h d

dz) =−i¯h[qz d dx −qx

d dz]

Joz =qx(−i¯h

d

dy)−qy(−i¯h d

dx) =−i¯h[qx d dy −qy

d dx]

Como,

T ~JT−1 =₋J ,~ (3.7)

olhando para (3.6) concluimos que a opera¸cão de complexo conjugado C, presente no operador T, já é suficiente para que o momento angular orbital satisfa¸ca (3.7) e, portanto, U deve conter uma dependência nospin.

Consideremos o operador despin,~s= ¯h₂~σ, onde as componentes de~σ s˜ao as matrizes de Pauli,

σx = 0 1

1 0

!

,

σy = 0 −i

i 0

!

,

σz = 1₀ 0

−1

!

,

que, junto com a matriz identidade, formam uma base completa no espa¸co das matrizes 2_×2.

De acordo com (3.7), devemos impor as seguintes rela¸c˜oes para as com-ponentes de~σ:

T σxT−1 =UσxU−1 =−σx, (3.8)

T σyT−1 =UσyU−1 =−σy, (3.9)

(18)

Podemos escrever U como uma matriz 2_×2 utilizando o fato de que as matrizes de Pauli, em conjunto com a matriz identidade, formam uma base completa. Desta forma podemos escrever

U =~γ_·~σ+γ0.

Sabendo que as matrizes de Pauli obedecem `a seguinte regra de multi-plica¸c˜ao,

σkσl =gklmiσm, (3.11)

onde gklm = 1 quando os ´ındices klm correspondem a permuta¸c˜oes c´ıclicas

(xyz, zxy ou yzx), e gklm = −1 quando os ´ındices klm n˜ao correspondem a

permuta¸cões c´ıclicas (por exemplo xzy), podemos utilizar as equa¸cões (3.8), (3.9) e (3.10) para obter restri¸cões sobre γx,γy, γz eγ0.

De fato, basta utilizar apenas uma das equa¸cões mencionadas para de-duzir quais restri¸cões devem ser impostas. Vamos utilizar apenas a equa¸cão (3.8) para analisar os coeficientes de~γ:

UσxU−1 = (|γ1|2− |γ2|2− |γ3|2+|γ0|2)σx+ [(γ1γ2∗+γ2γ1∗) +i(γ3γ0∗+γ0γ3∗)]σy

+[(γ1γ₃∗+γ3γ₁∗) +i(γ0γ₂∗+γ2γ₀∗)]σz+ (γ1γ0∗+γ0γ∗1) +i(γ3γ2∗+γ2γ3∗) =−σx

Olhando para a equa¸c˜ao acima vemos que os coeficientes deσy eσz, bem

como o n´umero complexo (γ1γ∗

0 +γ0γ1∗) +i(γ3γ2∗+γ2γ3∗), devem ser iguais

a zero. Escolhendo γ1 =γ0 = 0, anulamos simultaneamente os coeficienttes de σy e σz. A equa¸c˜ao torna-se, ent˜ao:

−(_|γ2_|2+_|γ3_|2)σx+i(γ3γ2∗−γ2γ∗3) =−σx.

Esta ´ultima equa¸c˜ao nos mostra que γ2 ou γ3 deve se anular. Tomando

γ3= 0, temos que

−|γ2_|2σx=−σx

Isto nos mostra que γ2 deve ser um n´umero de m´odulo igual a um. Com isto, o operador Ttorna-se:

T =γ2σyC. (3.12)

Lembrando que T2 ₌₋_{1, e tamb´em que} _σ2

y = 1, concluimos que (γ2)2 =

(19)

T =i σyC. (3.13)

No entanto, novamente utilizando o fato de que σ2

y = 1, ´e f´acil verificar que

i σy = exp

iπ

2σy

,

e finalmente, substituindo este resultado em (3.13), temos que

T = exp

iπ

2σy

C = exp

iπ

¯

hSy

C (3.14)

para um único spin. Notemos que apenas a componente ydospinimporta, e que, portanto, para um sistema onde j denota a j-ésimapart´ıcula, cujo spin total é dado por

~ S=X

j

~

S_x(j)+X

j

~

S_y(j)+X

j

~

S_z(j) =S~_xT +S~_yT +S~_zT,

obtemos:

T = exp

iπ

¯

hS

T y

C . (3.15)

Por simplicidade denotaremos o spin total na dire¸c˜ao y, ou seja, ST y do

sistema apenas por Sy, omitindo o ´ındice superior T.

Notemos que, para sistemas de spin total inteiro (um m´ultiplo inteiro de ¯h), T2 _{= 1, enquanto que para sistemas de} _{spin total semi-inteiro} _(um

m´ultiplo semi-inteiro de ¯h), T2 ₌ ₋_{1. Portanto, apenas utilizando}

con-sidera¸cões sobre a inversão no sentido do tempo, e aplicando o operador responsável por esta invesão no operador momento angular total de um sis-tema, percebemos que surgem duas classes de sistemas, uma com spin total inteiro e outra com spin total semi-inteiro, que devem ser analisadas sepa-radamente.

Vamos agora estudar a estrutura da matriz que representa o operador Hamiltoniano. Analisemos a classe de Hamiltonianos invariantes à inversão temporal, come¸cando por sistemas comspintotal igual a um múltiplo inteiro de ¯h, ou seja, sistemas para os quais T2 _{= 1.}

Neste caso, podemos encontrar uma base formada por vetores tais que

(20)

com k = 1,2,3,4, ...N, pois com qualquer vetor _|Φ > podemos contruir um vetor _|Ψ>tal que

|Ψ>=a_|Φ>+T a_|Φ> (3.17) satisfa¸ca a equa¸c˜ao (3.16), sendo a uma costante de normaliza¸c˜ao, uma vez que T2 _{= 1.}

Sendo a base definida de acordo com (3.16), os elementos da matriz hamil-toniana, Hkl =<Ψk|H|Ψl >, podem ser escritos como

Hkl= (CΨk, CHΨl)∗

Multiplicando esta rela¸cão pelo operador unitário U, que como vimos acima contém dependência no spin do sistema, temos

Hkl = (TΨk, T HΨl)∗

que tamb´em pode ser escrito da seguinte forma:

Hkl = (TΨk, T HT−1TΨl)∗ (3.18)

Utilizando a defini¸c˜ao de_|Ψ>dada por (3.16), e lembrando que estamos estudando a estrutura de Hamiltonianos invariantes a invers˜oes temporais, ou seja, T HT−1 ₌_H_{, concluimos que}

Hkl =Hkl∗ , (3.19)

ou seja, concluimos que para sistemas com spin total inteiro e invariantes a revers˜oes no sentido do tempo, a matriz hamiltoniana deve serrealesim´etrica

(a simetria é garantida pelo fato do operador Hamiltoniano ser Hermiteano). Para casos onde ospintotal é semi-inteiro, ou seja, sistemas para os quais o operador inversão temporal T obedece à rela¸cão T2 ₌ ₋_{1, não é poss´ıvel}

encontrar estados que obede¸cam às rela¸cões (3.16) e (3.17). Portanto, iremos proceder de forma diferente, porém análoga ao caso onde T2 _{= 1, definindo}

estados _|χk> que satisfazem `a seguinte rela¸c˜ao:

exp

−iπ

¯

hJy

T_|χk>=|χk > . (3.20)

A constru¸cão destes estados é possivel pois, dado qualquer estado _|φ >, a rela¸cão

|χ >=a_|φ >+ exp

−iπ

¯

hJy

(21)

satisfaz a equa¸c˜ao (3.20). A verifica¸c˜ao pode ser feita substituindo (3.21) em (3.20):

exp(₋iπ

¯

hJy)T a|Φ>+ exp(−i π

¯

hJy)Texp(−i π

¯

hJy)T a|Φ>=|χ > . (3.22)

Uma vez que Jy =Ly+Sy, eT = exp(iπ_¯_hSy)C, temos que

exp(₋iπ

¯

hJy)T exp(−i π

¯

hJy)T =

exp(₋iπ

¯

hLy) exp(−i π

¯

hSy) exp(i π

¯

hSy)Cexp(−i π

¯

hLy) exp(−i π

¯

hSy) exp(i π

¯

hSy)C,

ou seja,

exp(₋iπ

¯

hJy)T exp(−i π

¯

hJy)T = exp(−i π

¯

hLy)Cexp(−i π

¯

hLy)C.

Uma vez que C =C−1_{, temos:}

exp(₋iπ

¯

hJy)Texp(−i π

¯

hJy)T = exp(−i π

¯

hLy) exp(i π

¯

hLy) = 1.

Substituindo este resultado em (3.22), concluimos que a rela¸c˜ao (3.21) realmente satisfaz a (3.20).

Analogamente ao que foi feito no caso onde T2 _{= 1, come¸caremos pela}

identidade:

Hkl = (C χk, CH χl)∗.

Multiplicando pelo operador unitário Ue em seguida pelo operador unitário exp[₋i(π/¯h)Jy], ambos multiplicando a equa¸cão acima pela esquerda, temos:

Hkl =

exp

−iπ

¯

hJy

T χk,exp

−iπ

¯

hJy

T H χl

∗

.

Utilizando a rela¸c˜ao (3.20), obtemos

Hkl=

χk,exp

−iπ

¯

hJy

T H T−1exp

iπ

¯

hJy

exp

−iπ

¯

hJy

T χl

∗

.

Como por hipótese o operador Hamiltoniano H é invariante em rela¸cão a inversões no sentido do tempo, ou seja, T HT−1 = H, temos, novamente através de (3.20), que:

Hkl=

χk,exp

−iπ

¯

hJy

H exp

iπ

¯

hJy

χl

∗

(22)

Olhando para (3.23) chegamos a mais um grupo de simetria dos Hamilto-nianos. SeHfor invariante a rota¸c˜oes, temos que exp₋iπ

¯

hJy

Hexpiπ

¯

hJy

=

H e a equa¸c˜ao acima torna-se

Hkl=Hkl∗,

o que nos mostra que as matrizes hamiltonianas para sistemas comspintotal semi-inteiro, invariantes a reversão no sentido do tempo, bem como à rota¸cões no sistema de coordenadas, são matrizes reais e simétricas, uma vez que o operador Hamiltoniano deve ser Hermiteano.

Portanto, as matrizes reais e simétricas em mecânica quântica represen-tam duas classes de sistemas, uma com spin total inteiro e invariante à re-versão no sentido do tempo, e outra com spin total semi-inteiro e invariante à reversão no sentido do tempo e à rota¸cões. Átomos e núcleos pertencem a estas classes.

Sendo o operador Hamiltoniano representado por uma matrizrealesimétrica, os operadores correspondentes às transforma¸cões canônicas devem ser, por-tanto, matrizes pertencentes ao grupo das matrizes reaiseunitárias, ou seja, pertencentes ao grupo ortogonal.

As duas outras possibilidades de simetria não serão tratadas de forma expl´ıcita, porém faremos algumas considera¸cões sobre as mesmas. Sistemas

simétricos em rela¸cão a reversão temporal, comspin total semi-inteiroe sem apresentar invariância rotacional, possuem o operador Hamiltoniano repre-sentado por matrizes cujos elementos são quatérnions, isto é, elementos que podem ser escritos como

Q=q0₋i ~q_·~σ

sendo qi, com i = 1,2,3,4, n´umeros complexos e σi, com i = 1,2,3,4, as

matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade. As transform¸cões canônicas para estes sistemas são transforma¸cões pertencentes ao gruposimplético.

Por fim, consideremos sistemas que não possuem simetria em rela¸cão a reversão temporal. Neste caso a única coisa que podemos dizer a respeito da matriz hamiltoniana é que esta deve ser complexa e hermiteana, e que as transforma¸cões canônicas correspondem às matrizes pertencentes ao grupo

(23)

Cap´ıtulo 4

Os Ensembles Gaussianos

Baseado nas simetrias do espa¸co-tempo discutidas no cap´ıtulo 3, Eugene P. Wigner introduziu os Ensembles Gaussianos impondo a condi¸cão de estabil-idade estat´ıstica às matrizes pertencentes a eles. “Estabilestabil-idade” neste caso significa simplesmente que se um elemento de matriz possui uma determinada distribui¸cão, a distribui¸cão conjunta de dois elementos de matriz pertence à mesma classe de distribui¸cão, de forma que a distribui¸cão conjunta de todos os elementos de matriz possuirá a mesma forma da distribui¸cão de apenas um de seus elementos.

Uma distribui¸cão que claramente satisfaz este critério de estabilidade é a distribui¸cão gaussiana (ou normal), que devido ao fato de se manifestar em uma quantidade enorme de fenômenos que envolvem o acaso, por motivos históricos foi obviamente a primeira distribui¸cão utilizada para se definir ensembles de matrizes.

Neste cap´ıtulo será discutido detalhadamente o Ensemble Gaussiano Or-togonal (EGO), a distribui¸cão dos elementos de matriz, a distribui¸cão con-junta de todos os elementos de matriz, ou seja, a distribui¸cão das próprias matrizes, e a distribui¸cão conjunta de seu autovalores.

Para isto, faremos uso de umlema que pode ser encontrado na Ref.[4], e que est´a intimamente ligado ao crit´erio de estabilidade comentado acima.

Lema1: Se três fun¸cões cont´ınuas e diferenciáveis fk, com k = 1,2,3,

satisfazem a equa¸c˜ao

f1(xy) = f2(x) +f3(y), (4.1)

(24)

Prova: Diferenciando (4.1) com respeito a x, temos

∂f1(xy)

∂x =yf

′

1(xy) =f2′(x),

f1′(xy) =

1

yf

′

2(x),

que integrando com respeito a ynos leva `a seguinte equa¸c˜ao:

1

xf1(xy) = f

′

2(x) ln(y) +

1

xg(x). (4.2)

A fun¸cãog(x) é arbitrária. Substituindof1(xy) de (4.2) em (4.1), temos:

xf₂′(x) ln(y) +g(x)₋f2(x) =f3(y). (4.3) Uma vez que o lado direito da equa¸cão é uma fun¸cão apenas da variável

y, conclu´ımos que xf′

2(x) =a e que g(x)−f2(x) = b3. Isto equivale a dizer

que

f₂′(x) = 1

xa,

que por integra¸c˜ao nos leva a

f2(x) =aln(x) +b2

e

g(x) =aln(x) +b2 +b3.

De (4.3) conclu´ımos que:

f3(y) =aln(y) +b3.

Somando f2(x) com f3(y) obtemos

f2(x) +f3(y) =aln(xy) + (b2 +b3),

como quer´ıamos demonstrar.

Fim da Prova

(25)

as implica¸c˜oes dessas simetrias sobre a estrutura do operador Hamiltoniano, agrupamos as matrizes hamiltonianas em trˆes ensembles de matrizes:

1)Ensemble Gaussiano Ortogonal (EGO)

Constituido por sistemas cujo Hamiltoniano é representado por uma ma-triz real e simétrica, e as transforma¸cões canônicas por matrizes ortogonais.

2)Ensemble Gaussiano Unit´ario (EGU)

Constituido por sistemas cujo Hamiltoniano é representado por uma ma-trizcomplexaehermiteana, e as transforma¸cões canônicas por matrizesunitárias.

3)Ensemble Gaussiano Simpl´etico(EGS)

(26)

4.1 O Ensemble Gaussiano Ortogonal (EGO)

Este ensemble contém o grupo de Hamiltonianos invariantes à inversão tem-poral e à transforma¸cões ortogonais. Da equa¸cão de Schrödinger

HΨ =i¯h∂Ψ ∂t ,

cuja solu¸c˜ao, em termos dos autoestados ϕk do operador Hamiltoniano, ´e

Ψ(t) =X

ckexp

−iE_¯_hkt

ϕk,

vemos claramente que uma inversão temporalt_{−→ −}testá conectada à con-juga¸cão complexa, e leva exp(₋i

¯

hEkt) em exp(− i

¯

hEkt)

∗_{. Por esta raz˜ao, para}

que haja invariância quanto a inversão temporal, as matrizes que compõem o EGO pertencem ao subgrupo das matrizes hermiteanas formado pelo caso trivial de hermiticidade, ou seja, pelas matrizes reais simétricas.

Consideremos agora uma matriz ortogonal gen´erica

O =

       

cosθ senθ 0 0 ... 0 −senθ cosθ 0 0 ... 0

0 0 1 0 ... 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 ... 1

       

,

onde a condi¸c˜ao de ortogonalidade OOT _{= 1 ( ou seja} _OT ₌_O−1_{) pode ser}

facilmente verificada.

Consideremos tamb´em a transforma¸c˜ao de um operador Hamiltoniano

H′_,

H =O−1H′O. (4.4)

Se definirmos uma densidade de probabilidade paraH′_{, dada por} _P₍_H′_),

e impusermos a condi¸cão de invariância na estat´ıstica dos autovalores perante uma transforma¸cão ortogonal, teremos que P(H′₎_dH′ ₌ _P₍_H₎_dH_{, e que a}

derivada de P(H) com rela¸c˜ao a θ deve ser nula.

Vamos come¸car definindo a densidade de probabilidadeP(H′_{). Sendo}_H′

uma matriz real sim´etrica, contendo N +1₂(N2₋_N_{) =} N

2(N + 1) elementos

independentes que, na teoria das matrizes aleatórias são tidos como elementos estatisticamente independentes, a métrica

(27)

reduz-se a

ds2= tr(dH′2)

que, por sua vez, pode ser escrito da seguinte forma:

ds2 =

N

X

i=1

(dH_ii′)2+ 2

N

X

i<j

(dH_ij′)2. (4.5)

A métrica padrão para um espa¸co de variáveis x1, x2, ..., xM, em termos

do tensor de m´etrica gµν, ´e

ds2 =

M

X

µ,ν=1

(gµνdxµdxν). (4.6)

Segµν for diagonal, o espa¸co é dito serEuclidiano, se não, é chamado de

espa¸co de Riemann.

Comparando (4.6) com (4.5), vemos que neste casoM = N₂(N+ 1), e que

gµν ´e diagonal, tendo osN primeiros termos de sua diagonal iguais a 1 e os N

2(N −1) termos restantes iguais a 2.

A medida induzida pela m´etrica (4.6) ´e

dV = (detg)21dx1dx2...dx_M,

o que nos permite concluir, de (4.5), que

dH′ = 2N4(N−1)dH′

11dH22′ ...dHN N′ dH12′ dH13′ ...dH(′N−1)N.

Podemos associar à matrizH′ _{uma fun¸cão distribui¸cão}

P(H′) =P(H₁₁′ , H₂₂′ , ..., H_{N N}′ , H₁₂′ , H₁₃′ , ..., H₍′_N₋₁₎_N),

tal que a probabilidade diferencial dP de que a vari´avel H′

11 esteja entre H

|

11

eH11| +dH11′ , de que a vari´avelH22′ esteja entre os valoresH22′ e H22′ +dH22′ ,

e assim por diante, seja

dP =P(H′)dH′,

dP =P(H11′ , H22′ , ..., HN N′ , H12′ , H13′ , ..., H(′N−1)N)×2

N

4(N−1)dH′

11dH22′ ...dH(′N−1)N.

Uma vez definida a densidade de probabilidadeP(H′_{), temos que impor}

(28)

ângulo θ de rota¸cão da base, para que a distribui¸cão dos autovalores de H′

seja invariante sob transforma¸c˜ao ortogonal.

Para facilitar futuros c´alculos, calculemos primeiramente a derivada:

∂H ∂θ =

∂OT

∂θ H

′_O₊_OT_H′∂O

∂θ .

De (4.4) também é possivel extrair as seguintes rela¸cões:

OH =H′O , (4.7)

HOT =OTH′. (4.8)

Portanto,

∂H ∂θ =

∂OT

∂θ OH+HO

T∂O

∂θ . (4.9)

Definindo

∂OT

∂θ O =

    

0 ₋1 0 ... 0

1 0 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0

    

≡A , (4.10)

temos que

OT∂O ∂θ =

∂OT

∂θ O

!T

=AT, (4.11)

e podemos escrever (4.9) da seguinte forma:

∂H

∂θ =AH+HA

T_. _(4.12)

De acordo com (4.10), sabemos que quando A atua em H o resultado ´e uma terceira matriz onde a primeira linha corresponde `a segunda linha de

H, multiplicada por₋1, a segunda linha corresponde `a primeira linha deH, e os demais elementos s˜ao nulos:

AH =

       

−H21 ₋H22 ₋H23 ... ₋H2N

H11 H12 H13 ... H1N

0 0 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0

       

(29)

A opera¸c˜aoHAT _{faz o mesmo, por´em com as colunas de H:}

HAT =

            

−H12 H11 0 ... 0 −H22 H21 0 ... 0 −H32 H31 0 ... 0

. . . ... . . . . ... . . . . ... .

−HN2 HN1 0 ... 0

             .

Sendo assim, temos explicitamente que

∂H ∂θ =                 

−H12₋H21 H11₋H22 ₋H23 ... ₋H2N

H11₋H22 H12+H21 H13 ... H1N

−H32 H31 0 ... 0

. . . ... .

−HN2 HN1 0 ... 0

                 . (4.13)

Como no EGO os Hamiltonianos s˜ao matrizes reais e sim´etricas, Hij =

Hji. Aplicando esta condi¸c˜ao a (4.13), temos:

∂H ∂θ =                 

−2H12 H11₋H22 ₋H23 ... ₋H2N

H11−H22 2H12 H13 ... H1N

−H23 H13 0 ... 0

. . . ... .

−H2N H1N 0 ... 0

(30)

Invocando a condi¸cão de independência estat´ıstica entre os elementos de matriz, a conseqüente fatora¸cão da densidade de probabilidade P(H) nos permite escrever

P(H) =YPij(Hij), (4.15)

onde Pij(Hij) ´e a densidade de probabilidade de ocorrˆencia do elemento Hij.

Agora estamos aptos a derivar P(H) com rela¸cão a θ e impor a condi¸cão de invariância à transforma¸cão ortogonal:

dP(H)

dθ = 0. (4.16)

Convenientemente, com o propósito de simplifica¸cão matemática, analise-mos a derivada do logar´ıtmo de P(H), que nos leva à expressão

1

P(H)

dP(H)

dθ = 0, (4.17)

ao invés da expressão (4.16). A equa¸cão (4.17) pode ser reescrita como

X

i≤j

1

Pij(Hij)

∂Pij(Hij)

∂Hij

∂θ = 0 (4.18)

Para simplificar a nota¸c˜ao, fa¸camos Pij(Hij) ≡ Pij. Ao escrevermos

ex-plicitamente os termos de (4.18) utilizando (4.14), obtemos

"

−_P111 _∂H11∂P11 + 1

P22 ∂P22 ∂H22

!

2H12+ 1

P12 ∂P12

∂H12(H11−H22)

#

+

N

X

j=3

−_P1

1j

∂P1j

∂H1j

H2j+

1

P2j

∂P2j

∂H2j

H1j

!

= 0 (4.19)

Como a expressão que precede o somatório e os termos do somatório dependem de conjuntos de variáveis independentes, os próprios termos do somatório também dependem de variáveis independentes aos pares, e a ex-pressão como um todo se anula, conclu´ımos que os termos devem ser con-stantes. Por exemplo,

−_P11

j

∂P1j

∂H1j

H2j +

1

P2j

∂P2j

∂H2j

(31)

Dividindo a express˜ao (4.20) por H1jH2j, obtemos

− 1

H1jP1j

∂P1j

∂H1j

+ 1

H2jP2j

∂P2j

∂H2j

= Cj

H1jH2j ≡

f1(H1jH2j). (4.21)

Definindo

f2(H2j)≡

1

H2jP2j

∂P2j

∂H2j

, (4.22)

f3(H1j)≡ −

1

H1jP1j

∂P1j

∂H1j

, (4.23)

temos que

f1(H1jH2j) =f2(H2j) +f3(H1j)

n˜ao satisfaz o Lema 1, pois f1(H1jH2j) = _H₁C_j_Hj₂_j 6=aln(H1jH2j) +b1, a n˜ao

ser que Cj = 0, o que faz com que

1

H1jP1j

∂P1j

∂H1j

= 1

H2jP2j

∂P2j

∂H2j

=b2 _{≡ −}2β. (4.24)

Por integra¸c˜ao, temos que

P1j(H1j) = exp(−βH12j) ;j ≥3, (4.25)

e que

P2j(H2j) = exp(−βH22j) ;j ≥3. (4.26)

Voltemos nossa aten¸c˜ao agora para o primeiro termo da equa¸c˜ao (4.19) :

−_P111 _∂H11∂P11 + 1

P22 ∂P22 ∂H22

!

2H12+ 1

P12 ∂P12

∂H12(H11−H22) = C . (4.27)

Dividindo esta express˜ao porH12(H11₋H22), temos que

2

H11₋H22 −

1 P11 ∂P11 ∂H11 + 1 P22 ∂P22 ∂H22 ! + 1 H12P12 ∂P12 ∂H12 = C

H12(H11₋H22).

Novamente utilizando o Lema 1, conclu´ımos que C = 0 e que

1

H12P12 ∂P12 ∂H12 =

2

H11₋H22

1 P11 ∂P11 ∂H11 − 1 P22 ∂P22 ∂H22 !

(32)

Por integra¸c˜ao direta, conclu´ımos que

P12(H12) = exp(₋βH₁₂2 ). (4.29) Resta-nos, portanto, calcular a distribui¸c˜ao dos termos da diagonal. De (4.28) temos:

1

P11 ∂P11 ∂H11 −

1

P22 ∂P22

∂H22 =−β(H11−H22),

1

P11 ∂P11

∂H11 =−βH11+βH22+

1

P22 ∂P22 ∂H22,

1

P11∂P11 =−βH11∂H11+ βH22+

1

P22 ∂P22 ∂H22

!

∂H11,

ln(P11) =₋β 2H

2

11+βH22H11+

1

P22 ∂P22 ∂H22

H11.

Dividindo a equa¸c˜ao acima porH11, obtemos

1

H11 ln(P11) + β

2H11−βH22 = 1

P22 ∂P22 ∂H22.

Integrando a expressão acima com respeito à variávelH22, temos

H22 H11

ln(P11) + β

2H11H22−

β

2H

2

22= ln(P22)

e dividindo esta express˜ao por H22, obtemos

1

H11

ln(P11) +β 2H11 =

1

H22

ln(P22) + β

2H22=−C2.

Vamos resolver a equa¸c˜ao paraP11:

ln(P11) + β 2H

2

11 =−C2H11

Definindo,

f1(H11H11)≡ − β

2H

2 11, f2(H11)_≡ln[P11(H11)],

e

(33)

temos que

f1(H11H11) = f2(H11) +f3(H11). (4.30)

Novamente comparando com a expressão (4.1) doLema 1, vemos que a equa¸cão (4.30) corresponde à equa¸cão (4.1) no caso em que as duas variáveis são iguais (x=y), porém vemos que (4.30) não satisfaz oLema 1, e isto nos mostra que a constante C2 deve ser nula.

Portanto,

ln(P11) =₋β 2H

2 11,

ln(P22) =₋β 2H

2 22,

e as respectivas densidades de probabilidade tornam-se

P11(H11) = exp(₋β 2H

2

11), (4.31)

e

P22(H22) = exp(₋β 2H

2

22). (4.32)

Existe uma arbitrariedade com rela¸cão à constante de separa¸cão de variáveis

β, por´em convencionou-se β = 1 para o ensemble Gaussiano ortogonal. Isto se deve ao fato de que, tomando β = 1 para o EGO, as express˜oes obtidas ficam generalizadas para os demais ensembles Gaussianos, da seguinte forma:

β = 2 para o ensemble Gaussiano unitário (EGU), e β = 4 para o ensemble Gaussiano simplético (EGS). Isto pode ser melhor compreendido analizando o número de elementos independentes para as matrizes de cada um destes ensembles.

As matrizes reais e sim´etricas N _×N, pertencentes ao EGO, possuem

N elementos diagonais, reais, somados aos N(N ₋1)/2 elementos indepen-dentes fora da diagoanal, tamb´emreais. Portanto, o grau de liberdade destas matrizes ´e dado por

f(1) =N +N

2(N −1) =

N

2(N + 1). (4.33)

(34)

caracterizado por dois números (parte real e parte imaginária), o grau de liberdade destas matrizes é

f(2) =N + 2N

2 (N −1) =N

2_. _(4.34)

Para as matrizes de quat´ernions N _× N, pertencentes ao EGS, exis-tem N elementos reais na diagonal e N(N ₋1)/2 elementos independentes

quatérnions fora da diagonal. O quatérnion é caracterizado por quatro números, de modo que o grau de liberdade destas matrizes é

f(4) =N + 4N

2(N −1) = 2N

2

−N . (4.35)

A nota¸cãof(1), f(2) e f(4) deve-se à seguinte expressão para o grau de liberdade das matrizes pertencentes a estes ensembles:

f(β) =N +βN

2(N −1), (4.36)

com β = 1, 2 ou 4 para os ensembles EGO, EGU e EGS, respectivamente.

4.2 A densidade de probabilidade de uma

ma-triz pertencente ao EGO e a distribui¸c˜

ao

conjunta de seus autovalores

Comecemos fazendo uma simples an´alise do tra¸co de uma matriz 3_×3 elevada ao quadrado. Seja M uma matriz 3_×3, real e sim´etrica, dada por

M =

  

m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33

  .

Ent˜ao, temos que

M2 =

  

m2

11+m212+m231 ... ... ... m2

12+m222+m232 ...

... ... m2

31+m232+m233

  ,

onde apenas os termos da diagonal de M2 _{foram calculados devido ao fato}

(35)

Portanto, o tra¸co deM2 _´e

tr(M2) =m2₁₁+m2₂₂+m₃₃2 + 2m2₁₂+ 2m2₁₃+ 2m2₂₃=

3

X

i,j=1

(m2_ij).

Este exemplo foi tomado apenas para explicitar o fato de que o tra¸co de qualquer matriz real e sim´etrica elevada ao quadrado ´e igual a soma do quadrado de todos os elementos da matriz.

Utilizando esta propriedade e combinando a express˜ao (4.15) com as probabilidades obtidas para os elementos das matrizes pertencentes ao EGO (β = 1), podemos deduzir uma express˜ao para a densidade de uma matriz pertencente ao ensemble ortogonal:

P(H) = Y

ij

Pij(Hij),

P(H) =Y

i

s

1

2πexp(−

1 2H

2

ii)

Y

i<j

s

1

πexp(−H 2

ij),

P(H) =

1

2π

N₂

exp ₋1 2

N

X

i=1 H_ii2

! 1

π

N(N−1)/2

exp

 −

X

i<j

H_ij2

  ,

P(H) =

1

2π

N₂ 1

π

N(N−1)/2

exp

−1₂trH2

. (4.37)

Os fatores (2π)−1/2 _e _π−1/2 _{correspondem `as normaliza¸c˜oes das densidades}

de probabilidade dos elementos da diagonal e de fora da diagonal, respecti-vamente.

Lembrando que uma matrizN_×N, real e simétrica, possuif(1) =N(N+ 1)/2 elementos independentes (ver eq.(4.36)), para obtermos a distribui¸cão conjunta dos autovalores a partir da rela¸cão (4.37), precisamos descrever os elementos de matriz em termos dos seus N autovalores e de l = N(N ₋

1)/2 parˆametros adicionais necess´arios para conservar o grau de liberdade da matriz.

Sendoθ1, θ2, θ3, ..., θN o conjunto dos autovalores deH, ep1, p2, p3, ..., plo

conjunto dosN(N₋1)/2 parˆametros adicionais, temos as seguintes rela¸c˜oes:

trH2 =

N

X

j=1

(36)

e

P(θ1, ..., θN, p1, ..., pl) =

1

2π

N₂ 1

π

N(N−1) 4

exp

 −

1 2

N

X

j=1 θ2j



J(θ, p). (4.39)

Na rela¸cão acima, J(θ, p) denota o determinante Jacobiano da trans-forma¸cão ortogonal sobre a base do sistema que nos forneceu o novo conjunto de variáveis_{θj, pµ}. A rela¸cão (4.38) deve-se ao fato de que o tra¸co de uma

matriz não se altera perante rota¸cões na base, ou seja, perante uma trans-forma¸cão ortogonal. Em particular, tomamos a transtrans-forma¸cão ortogonal que que diagonaliza H.

Se integrarmos a rela¸c˜ao (4.39) sobre todo o conjunto de parˆametros

p1, p2, p3, ..., pl, obtemos a distribui¸c˜ao conjunta dos autovalores.

Em geral, o Jacobiano presente em (4.39) pode ser escrito como o produto de uma fun¸c˜ao f que depende apenas dos autovalores θj com uma fun¸c˜ao g

que depende apenas dos parˆametros pµ:

J(θ, p) =f(θ1, ..., θN)g(p1, ..., pl). (4.40)

Sendo assim, a rela¸cão (4.39) nos leva a uma expressão para a distribui¸cão conjunta dos autovalores da forma

P(θ1, ..., θN) = C′

1

2π

N₂ 1

π

N(N−1) 4

exp

 −

1 2

N

X

j=1 θ2_j



f(θ₁, ..., θ_N), (4.41)

pois a integral sobre os parˆametros p1, ..., pl contribui apenas com uma

con-stante, denotada por C′_{. Portanto, nosso problema resume-se a calcular o}

Jacobiano de (4.39). Num procedimento parecido com o desenvolvido na se¸cão anterior, nosso ponto de partida é a rela¸cão

H =OΘO−1 =OΘOT, (4.42)

sendo Θ a matriz diagonal dos autovalores deH, e O a matriz ortogonal que diagonaliza H.

Como H ser´a escrita em termos dos autovaloresθj e dos parˆametros pµ,

a rela¸cão (4.42) nos faz concluir que a dependênncia nos pµ está nas matrizes

O e OT_{. Como}

(37)

temos que

OT ∂O ∂pµ

+∂O

T

∂pµ

O = 0. (4.43)

Para o c´alculo do Jacobiano, precisamos calcular ∂H

∂pµ, o que pode ser feito

a partir da rela¸c˜ao (4.42) da seguinte forma:

∂H ∂pµ

= ∂O

∂pµ

ΘOT ₊_O_Θ∂OT

∂pµ

.

Multiplicando esta rela¸c˜ao por OT _{pela esquerda, e por} _O _{pela direita,}

obtemos

OT ∂H ∂pµ

O =OT ∂O ∂pµ

Θ + Θ∂O

T

∂pµ

O. (4.44)

Através de (4.43), vemos que esta expressão é equivalente à

OT∂H ∂pµ

O =OT ∂O ∂pµ

Θ₋ΘOT ∂O ∂pµ

, (4.45)

e em termos dos componentes das matrizes, temos:

  X j,k ∂Hjk ∂pµ

OjαOkβ

 

αβ

=

"

OT ∂O ∂pµ

#

αβ

(θβ −θα). (4.46)

Novamente de maneira semelhante ao que foi feito na se¸cão anterior, devemos diferenciar a rela¸cão (4.42) com rela¸cão ao autovalor θγ, o que nos

leva `a   X j,k ∂Hjk ∂θγ

OjαOkβ

 

αβ

= ∂Oαβ

∂θγ

=δαβδαγ. (4.47)

A matriz jacobiana usualmente ´e representada por

[J(θ, p)] =

(38)

onde a primeira coluna representa N colunas e a segunda coluna representa

N(N₋1)/2 colunas (1_≤j < k_≤N). A primeira linha representa N linhas e a segunda N(N ₋1)/2 linhas.

Se tomarmos a matriz

[V] =

  

(OjαOkβ)

(2OjαOkβ)

 

, (4.49)

onde a primeira linha representa N linhas e a segunda N(N ₋1)/2 linhas, e a coluna representa N(N + 1)/2 colunas, atrav´es de (4.46) e (4.47), temos que o produto [J][V] ´e dado por

[J][V] =

   

δαβδαγ

h

OT ∂O ∂pµ

i

(θβ −θα)

  

, (4.50)

onde a primeira linha corresponde a N linhas e a segunda a N(N ₋1)/2 linhas. A coluna representa N(N + 1)/2 colunas (1_≤α _≤β _≤N).

Tomando o determinante de (4.50), obtemos

J(θ, p) = Y

α<β

|θβ −θα|det

   

δαβδαγ

h

OT ∂O ∂pµ

i    ,

ou utilizando a nota¸c˜ao de (4.40),

J(θ, p) = Y

α<β

|θβ−θα|g(p1, ..., pl), (4.51)

onde g é fun¸cão apenas dos parâmetrosp1, ..., pl. Identificamos

f(θ1, ..., θN) =

Y

α<β

|θβ−θα|, (4.52)

que substituindo na rela¸cão (4.41), já integrando sobre os parâmetrospµ, nos

leva à distribui¸cão conjunta dos autovalores θj de uma matriz aleatória real

e sim´etrica:

P(θ1, ..., θN) =CNexp

 −

1 2

N

X

j=1 θ_j2

 

Y

α<β

(39)

onde CN ´e dado por

CN =C′

1

2π

N₂ 1

π

N(N−1) 2

.

Uma vez demonstrada a distribui¸cão dos elementos de matriz do EGO e a distribui¸cão das próprias matrizes, podemos reunir os conceitos utilizados até agora, bem como as conclusões às quais chegamos, para definir de maneira precisa o Ensemble Gaussiano Ortogonal.

Def: Ensemble Gaussiano Ortogonal

Este ensemble é constituido por matrizes hamiltonianas invariantes à in-versão temporal, ou seja, por matrizes reais simétricas, cujos elementos são estatisticamentes independentes e obedecem à leis de distribui¸cão gaussianas, sendo os N elementos da diagonal de uma matriz N _× N distribuidos de acordo com

P(Hii) =

s

1 2πe

−1₂Hii2, (4.54)

e os demais 1₂N(N₋1)elementos independentes, distribuidos de acordo com

P(Hij) =

s

1

πe

−H2

ij; i < j . (4.55)

A densidade de probabilidade P(H) = Q

i≤jPij(Hij) ´e, neste ensemble,

invariante `as rota¸c˜oes da base, ou seja, sendo O uma matriz ortogonal e H tal que

H=O−1H′O ,

vale a rela¸c˜ao:

P(H)dH =P(H′)dH′.

Explicitamente, temos

P(H) = 2−N/2π−N(N+1)/2e−12trH2. (4.56)

(40)

A Ref.[4] discute detalhadamente os ensembles Gaussianos simplético (EGS) e unitário (EGU). As expressões gerais da densidade de probabili-dade conjunta dos autovalores e das matrizes pertencentes aos ensembles Gaussianos são, respectivamente

P(θ1, ..., θN) = CNexp

 −

β

2

N

X

j=1 θ2j

 

Y

i<j

|θj−θi|β, (4.57)

e

P(H) =CNe−

β

2trH2, (4.58)

sendo β = 1,2 ou 4 para os ensembles Gaussianos ortogonal, unit´ario e sinpl´etico, respectivamente.

Como o tra¸co de uma matriz é invariante sobre transforma¸cões unitárias (ortogonais), a expressão (4.57) é obtida de (4.58) através da transforma¸cão dos elementos de matriz _{Hij} para os autovalores da matriz {θj}, sendo

que o tra¸co de H2 _{´e descrito em termos da base que diagonaliza} _H_,

per-manecendo inalterado pela transforma¸c˜ao, e o termo Q

i<j|θj −θi|β prov´em

do determinante Jacobiano.

(41)

Cap´ıtulo 5

Termodinˆ

amica de espectros

Podemos dizer que a maior parte dos pesquisadores em f´ısica atualmente li-dam quase que diariamente com algum problema envolvendo espectros, sejam eles atômicos, nucleares, acústicos, de ressonância, etc...

A análise de espectros se tornou fundamental para o desenvolvimento cient´ıfico desde o final do século IXX até os dias de hoje. Esta necessidade acabou por criar diversos métodos de análise de espectros, e pretendo desen-volver e discutir alguns aspectos teóricos sobre um dos métodos de análise que vem sendo, cada vez mais, chamado de termodinâmica de espectros.

A idéia por trás deste método consiste em criar grandezas que caracter-izem um dado espectro, análogas às grandezas termodinâmicas (ver Ref.[10]). Caracterizar um espectro de forma análoga à termodinâmica significa desen-volver um formalismo que nos leve à grandezas mensuráveis e que forne¸ca informa¸cões sobre o comportamento do espectro, matematicamente e opera-cionalmente análogo ao formalismo termodinâmico, reinterpretando o sentido das grandezas termodinâmicas dentro do novo formalismo.

Historicamente, Dyson e Mehta desenvolveram esta termodinâmica e apli-caram-na ao estudo de ressonâncias nucleares, porém o resultado foi incon-clusivo devido à baixa qualidade dos dados experimentais da época. Recente-mente este problema foi abordado através de simula¸cões numéricas para os es-pectros GOE e Poisson [13], em particular como as grandezas termodinâmicas são afetadas pelo tamanho do espectro e por perda de n´ıveis ou presen¸ca de n´ıveis espúrios.

(42)

que o problema termodinâmico da distribui¸cão espacial de cargas iguais sob um potencial quadrático atrativo em uma dimensão possuia exatamente a mesma solu¸cão que o problema da distribui¸cão dos autovalores de matrizes reais e simétricas, e coube a Freeman Dyson desenvolvê-la.

Historicamente, como foi mencionado acima, o primeiro potencial confi-nador utilizado para a analogia com o gás de Coulomb unidimensional, foi o potencial quadrático. De fato, se considerarmos um sistema de cargas em equil´ıbrio termodinâmico, sujeitas a um potencial externo atrativo dado por

V(x) = 1 2x

2_,

e que interagem repulsivamente duas a duas de acordo com

V(x, y) = ₋ln_|x₋y_|,

sendoxeyas respectivas posi¸cões das cargas, a energia do sistema em termos das posi¸cões de equil´ıbrio x1,x2,..., xN deN part´ıculas é

W = 1 2

X

i

x2_i ₋X

i<j

ln_|xi−xj|. (5.1)

A fun¸cão de parti¸cãoZN(β) do sistema é então dada por

ZN(β) =

Z ∞

−∞...

Z ∞

−∞e

−βW_dx1...dx

N, (5.2)

e através desta fun¸cão podemos obter as grandezas termodinâmicas para o espectro, tais como energia média, calor espec´ıfico, energia livre, etc. A densidade de probabilidade para as posi¸cões de equil´ıbrio dasN part´ıculas é

P(x1, ..., xN) =

e−βW

ZN

. (5.3)

Substituindo a expressão expl´ıcita da energia (equa¸cão (5.1)) na expressão (5.3), encontramos:

P(x1, ..., xN) = ZN−1exp −

β

2

X

i

x2_i

! Y

i<j

|xi −xj|β. (5.4)

(43)

são idênticas para o caso em que β = 1 (isto explica a conveniente escolha da constante de separa¸cão de variáveis, coincidentemente chamada de β na equa¸cão (4.24), igual a 1), e a constante CN deve ser igual a ZN−1(1).

Esta analogia com sistemas termodinâmicos nos permite definir vários ensembles distintos através de escolhas diferentes para W, ou mais especi-ficamente, para V(x), onde uma “termodinâmica de espectros” baseada na fun¸cão de parti¸cão determinada por (5.2) nos forne¸ce as grandezas termodinâmicas de um sistema onde as posi¸cões de equil´ıbrio_{xi}das part´ıculas são tomadas

como sendo os pr´oprios n´ıveis do espectro.

O problema mais geral é então considerar a distribui¸cão

P(H) = CNe−βtr[V(H)], (5.5)

para uma matriz aleatória H. Como o tra¸co é uma opera¸cão invariante por transforma¸cões unitárias (rota¸cões na base de H), podemos gerar vários ensembles considerando diferentes potenciais atrativos V(x). Ao realizarmos a transforma¸cão que leva os elementos de matriz Hij nos autovalores de H,

teremos que

tr[V(H)] =

N

X

i=1

V(xi),

onde _{xi} s˜ao os autovalores de H.

O termo de intera¸cão logar´ıtimica entre as cargas provém do Jacobiano da transforma¸cão, preservando sempre a mesma forma para o potencial repulsivo de intera¸cão mútua. Portanto, considerando o caso em que

V(x) =sx2, (5.6)

e substituindo em (5.5), teremos

P(H) =CNe−βstrH

2

, (5.7)

retomando a situa¸cão encontrada anteriormente na expressão (4.58) para os ensembles Gaussianos, quando s = 1/2. A constante s vem a ser, quando pensamos no conjunto _{xi}como sendo a posi¸cão de equil´ıbrio das cargas do

g´as de Coulomb unidimensional, sujeito ao potencial atrativoV(x), um fator de escala para as distˆancias entre as cargas. Se pensarmos no conjunto _{xi}

como sendo autovalores de um dado Hamiltoniano quˆantico, a constante s

(44)

ressonância, s é um fator de escala nas frequências medidas, e assim por diante.

Mais adiante, veremos algumas vantagem em trabalhar com uma escala espec´ıfica, ou seja, em escolher um valor apropriado paras, todavia a escolha

s = 1/2 possui um valor hist´orico pois foi a primeira a ser adotada para o potencial quadr´atico.

Tamb´em trataremos de outras escolhas para o potencial de confinamento

V(x).

5.1 Alguns Ensembles Relacionados aos Polinˆ

omios

Ortogonais

A expressão (5.2) pode determinar uma termodinâmica, em princ´ıpio es-pec´ıfica, para cada tipo particular de fun¸cão W. No caso do espectro de matrizes aleatórias pertencentes aos ensembles Gaussianos, como vimos an-teriormente, a fun¸cão W é dada pela equa¸cão (5.1), porém outros ensembles podem ser criados utilizando formas diferentes para a energia W.

Como vimos anteriormente, o caso dos ensembles Gaussianos estão rela-cionados com um potencial de confinamento quadrático, e através de (5.5) e (5.6), temos que

ZN(β) =

Z ∞

−∞...

Z ∞

−∞

N

Y

i=1

exp₋βsx2_i Y

i<j

|xi−xj|βdx1...dxN. (5.8)

O m´etodo apresentado na Ref.[4] para calcular (5.8) consiste em primeira-mente considerar apenas valores inteiros, pares e positivos de β, e escr-ever o produto Q

i>j|xi −xj|β explicitamente como um polinˆomio de grau

βN(N ₋1)/2 e homogˆenio em x1, ..., xN, ou seja,

Y

i>j

|xi−xj|β =

X

{j}

Cj1...jNx

j1

1 xj22...xjNN, (5.9)

onde j1 +j2 +...+jN =βN(N −1)/2. Substituindo em (5.8) obtemos

ZN(β) =

X

{j}

Cj1...jN

N

Y

m=1

Z ∞

−∞x

jm

(45)

onde ω(x) = exp(₋sx2_). _{As integrais correspondem aos momentos dos}

polinômios de Hermite ortogonais segundo a fun¸cão pêsoωβ₍_x_{). A referência}

[4] também traz a extensão da validade deste método para qualquer valor complexo de β com Reβ _≥0.

Nesta se¸cão discutiremos a termodiâmica dos ensembles referentes às fun¸cões pêso de vários outros polinômios ortogonais.

As integrais de (5.2) foram inicialmente resolvidas porSelberg, atrav´es da express˜ao (5.10), para o caso em que

V(y) =₋lnhy_jα(1₋yj)η

i

,

ou seja,

e−βW ₌ N

Y

j=1

y_jβα(1₋yj)βη

Y

j<l

|(yj−yl)|β,

sendo mais tarde conhecidas como integral de Selberg, e dadas por [4]:

Z 1

0 ...

Z 1

0

N

Y

j=1

yβα_j (1₋yj)βη

Y

j<l

|yj−yl|βdy1...dyN

=

N−1

Y

j=0

Γ(1 + β₂ +jβ₂)Γ(βα+ 1 +jβ₂)Γ(βη+ 1 +jβ₂)

Γ(1 +β₂)Γ[βα+βη+ 2 + (N +j₋1)β₂] . (5.11) Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis

yi =

1₋xi

2 ,

obtemos a seguinte forma da integral de Selberg:

Z 1

−1...

Z 1

−1

N

Y

j=1

(1₋xj)βα(1 +xj)βη

Y

j<l

|xj −xl|βdx1...dxN =

= 2β2N(N−1)+N β(α+η)+N

N−1

Y

j=0

Γ(1 + β₂ +jβ₂)Γ(βα+ 1 +jβ₂)Γ(βη+ 1 +jβ₂) Γ(1 + β₂)Γ[βα+βη+ 2 + β₂(N +j₋1)] .

(46)

para a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, dada por

ZN(β) =

Z b

a ...

Z b

a N

Y

j=1

ωβ(xj)

Y

j<l

|xj−xl|βdx1...dxN. (5.13)

Desta forma vemos que a fun¸cão ω(x) de (5.12) é a fun¸cão pêso dos polinômios de Jacobi PN(α,η)(x), dada por

ω(x) = (1₋x)α(1 +x)η,

e o intervalo de integra¸cão [a, b] neste caso é [₋1,1], uma vez que a ortogo-nalidade dos polinômios de Jacobi é definida por [9]

Z 1

−1(1−x)

α_{(1 +}_x₎η_P(α,η)

N P

(α,η)

M dx = 0, (5.14)

para M ₆=N.

Por isso, trataremos este caso como Ensemble de Jacobi, e os outros ca-sos derivados deste serão tratados pelo nome dos polinômios definidos pelo intervalo [a, b] em conjunto com a fun¸cão ω(x) em questão.

A seguir, será feito um estudo aprofundado da termodinâmica de espec-tro para o caso de Jacobi. Neste estudo, partiremos da fun¸cão de parti¸cão e obteremos as grandezas caracter´ısticas do espectro, tais comoenergia interna,

calor espec´ıfico e energia livre. Veremos também, que existe uma universali-dade termodinâmica para os casos dados pelos polinômios clássicos, obtidos a partir do caso de Jacobi [14].

5.2 Grandezas Termodinˆ

amicas

5.2.1 Ensemble de Jacobi:

V

(

x

) =

₋

ln[(1

₋

x

)

α

_{(1 +}

_x

₎

η

_]

Como vemos na equa¸cão (5.12), a fun¸cão de parti¸cão para o caso de Jacobi é dada por

ZN(β) = 2

β

2N(N−1)+N β(α+η)+N

N−1

Y

j=0

Γ(1 + β₂ +jβ₂)Γ(βα+ 1 +jβ₂)Γ(βη+ 1 +jβ₂) Γ(1 + β₂)Γ[βα+βη+ 2 + β₂(N +j ₋1)] ,

(47)

e a energia neste caso ´e

W =₋

N

X

j=1

ln[(1₋xj)α(1 +xj)η]−

X

j<l

ln_|xj −xl|. (5.16)

Para obtermos resultados gerais capazes de serem comparados uns com os outros, devemos trabalhar com grandezas intensivas independentes do número N de n´ıveis do espectro. Portanto, trabalharemos com grandezas como a energia média por n´ıvel (análoga à energia média por part´ıcula num sistema termodinâmico), dada por

U = < W > −W0

N , (5.17)

de forma que U não dependa do número de n´ıveis do espectro. < W > é a energia média derivada de (5.15) e W0 é o seu valor m´ınimo, de forma que

U = 0 quando T = 0.

Existem dois métodos para determinar o m´ınimo W0. Podemos utilizar um argumento termodinâmico sobre a monotonicidade da fun¸cão < W >, que deve ser decrescente, e tomar o limiteβ _{→ ∞}para encontrar seu m´ınimo, o que é equivalente a analisar o limite β >> 1 diretamente sobre a fun¸cão de parti¸cão (5.15), a fim de obter Z0 = C_N−1exp(₋βW0), onde CN é uma

constante independente de β; ou podemos encontrar um conjunto _{xi} que

minimize a fun¸cão W de (5.16). Desenvolveremos o último método, pois historicamente foi o primeiro a ser utilizado para minimizar a fun¸cão W do caso de Hermite, além de mostrar de forma bem expl´ıcita a rela¸cão entre o ensemble e os polinômios ortogonais.

Faremos detalhadamente todo o desenvolvimento para o caso de Jacobi, e extenderemos as conclusões para todos os casos dele derivados. Como ver-emos a seguir, o valor m´ınimo deW dado por (5.16) está relacionado com os zeros de polinômios de Jacobi, existindo portanto uma rela¸cão muito ´ıntima entre a energia interna dos ensembles definidos por (5.13) e os respectivos polinômios ortogonais associados à ω(x).

Seja ξ1, ..., ξN o conjunto de valores que minimiza o potencial (5.16), tal

que

∂W ∂ξj

= α(1−ξj)

α−1_{(1 +}_ξ

j)η−η(1−ξj)α(1 +ξj)η−1

(1₋ξj)α(1 +ξj)η −

X

l(6=j)

1

ξj−ξl

= 0

(48)

Consideremos um polinˆomioρ(x) de ordemN cujas ra´ızes coincidem com os elementos ξ1, ..., ξN, e que portanto pode ser escrito da seguinte forma:

ρ(x) = (x₋ξ1)(x₋ξ2)(x₋ξ3)...(x₋ξN). (5.19)

Derivando o logar´ıtimo deste polinˆomio, temos

d

dxln[ρ(x)] =

N

X

l=1

1

x₋ξl

= X

l(6=j)

1

x₋ξl

+ 1

x₋ξj

, (5.20)

com j fixo e pertencente ao intervalo (1,2,3, ..., N). De (5.20), temos:

X

l(6=j)

1

x₋ξl

= (x−ξj)ρ

′₍_x₎₋_ρ₍_x₎

(x₋ξj)ρ(x)

.

Tomando o limite dex_→ξj, temos:

X

l(6=j)

1

ξj −ξl

= ρ

′′₍_ξ

j)

2ρ′₍_ξ

j)

. (5.21)

Substituindo (5.21) em (5.18) obtemos

ρ′′(ξj)−

"

α(1₋ξj)α−1(1 +ξj)η −η(1−ξj)α(1 +ξj)η−1

(1₋ξj)α(1 +ξj)η

#

2ρ′(ξj) = 0,

(1₋ξ_j2)ρ′′(ξj)−[α(1 +ξj)−η(1−ξj)] 2ρ′(ξj) = 0. (5.22)

Da equa¸cão (5.22) podemos ver que a expressão à esquerda da igualdade deve ser proporcional ao polinômio ρ(x), uma vez que possui os mesmos zeros. Isto nos permite escrever a seguinte expressão:

(1₋x2)ρ′′(x)₋[α₋η+ (α+η)x] 2ρ′(x)₋Cρ(x) = 0, (5.23) onde C ´e apenas uma constante de proporcionalidade arbitr´aria.

Fazendo a mudan¸ca

α= α

′_{+ 1}

2 ,

η= η

′_{+ 1}