DOENÇA DO CARANGUEJO LETÁRGICO
Rosângela Peregrina Sanches
Dissertação apresentada à Universidade Es-tadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho" para a obtenção do título de Mestre em Biometria.
BOTUCATU São Paulo - Brasil
EPIDEMIOLOGIA DE DOENÇAS INFECCIOSAS: CÓLERA E DOENÇA DO CARANGUEJO LETÁRGICO
Rosângela Peregrina Sanches
Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Pio Ferreira
Dissertação apresentada à Universidade Es-tadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho" para a obtenção do título de Mestre em Biometria.
BOTUCATU São Paulo - Brasil
Agradecimentos
A professora Cláudia Pio Ferreira pela orientação, pelo que me ensinou e por toda a ajuda durante a realização desse projeto.
Aos meus pais Elza e Antonio, por sempre me apoiarem e me darem mesmo que de longe todo o seu carinho e amor.
Ao meu namorado Gilson pelo apoio, compreensão, carinho, amor ... Aos meus companheiros de turma, por toda a ajuda e por todo com-panheirismo.
Aos professores do Departamento de Bioestatística, por tudo que me ensinaram e também pela maneira cordial com que sempre me trataram.
Aos funcionários do Departamento de Bioestatística, por toda ajuda durante o mestrado.
Aos meus amigos que mesmo à distância sempre me deram palavras de apoio e incentivo.
Aos novos amigos que conheci em Botucatu, obrigada pela sinceridade, incentivo e companhia.
Sumário
Página
LISTA DE FIGURAS vii
LISTA DE TABELAS x
RESUMO xi
SUMMARY xiii
1 CÓLERA 1
1.1 Introdução . . . 1
1.2 Objetivo . . . 3
1.3 Modelo Matemático . . . 3
1.4 Análise de Estabilidade . . . 6
1.5 Resultados e Discussão . . . 7
1.5.1 Ciclos sazonais na transmissão de cólera . . . 8
1.5.2 Mecanismos de controle . . . 11
1.5.3 Imunidade . . . 15
1.6 Conclusão . . . 17
2 DOENÇA DO CARANGUEJO LETÁRGICO 19 2.1 Introdução . . . 19
2.2 Objetivo . . . 22
2.3 Modelo Matemático . . . 22
2.4.1 Migração do caranguejo jovem . . . 25
2.4.2 Migração do fungo . . . 27
2.4.3 Caranguejos Coletados . . . 28
2.4.4 Caranguejos Resistentes . . . 34
2.5 Conclusão . . . 37
ANEXOS 39
Lista de Figuras
Página
1 Variabilidade sazonal da cólera nas províncias de Bengal e Madras (padrão bimodal) e na província de Punjab (padrão unimodal), em negrito tem-se destacado a principal estação chuvosa, com chuva intensa no sudoeste de Bengal e Punjab e no nordeste de Madras. Fonte: Pascual et al. (2002). . 2 2 Diagrama do modelo compartimental para a transmissão da cólera. . . . 4 3 Periodicidade dos surtos de Cólera no Amazonas e componente sazonal,
neste caso, a subida e descida das águas dos rios da região. Fonte: Gerolomo & Penna (1999). . . 9 4 Em (a) tem-se os máximos locais da população de infectadosImax versus o
período de oscilação da força externap, em (b) tem-se a evolução temporal para diferentes valores de p, sendo p = 1,0 (linha pontilhada), p = 1,3
(linha tracejada) ep= 3,03 (linha contínua). . . 10 5 Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores
deθ1. . . 12
6 Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores deθ2. . . 13
7 Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores deθ3. . . 13
8 Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores
9 Em (a) tem-se a variação de pem relação ar1 obtidos via simulação (◦),
e resultados analíticos (linha contínua) dados porT ∼2Π 1
rr1/(R0−1). Em (b) tem-se I(p)versus r1. . . 16
10 Em (a) Imax versus r1 para p = 1. Em (b) tem-se a evolução temporal
dos indivíduos infectados parar1 = 0,003dias−
1(linha pontilhada) e
r1 =
0,01 dias−1
(linha tracejada). . . 17 11 Em (a) o retrato de fase para três condições iniciais diferentes em que
r1 = 0,001 dias−
1. Em (b) o retrato de fase para três condições inciais
diferentes comr1 = 0,02 dias− 1
. . . 17 12 Distribuição geográfica do caranguejo-uçá (linha roxa). Fonte: Ribeiro
(2008). . . 20 13 Estados mais atingidos pela doença. Fonte: Ribeiro (2008) . . . 20 14 Migração entre dois estuários, em que k1 representação a migração de
caranguejos jovens e k2 representa a migração de fungos. . . 24
15 Diagrama do modelo compartimental para a transmissão para a DCL em cada estuário. . . 24 16 Dinâmica da doença nos dois estuários dado k2 = 0,05 no de indivíduos
por m2dias−1. Nas linhas contínua e tracejada as populações de suscetíveis
e infectados do estuário 1, os símbolos (◦) e (✷) correspondem,
respecti-vamente, as populações de suscetíveis e infectados do estuário 2. . . 28 17 Em (a), coleta periódica comµc1 =µc2 = 0,02dias−
1. Na linha contínua
temos os caranguejos infectados do estuário 1 e o símbolo (◦) representa
os caranguejos infectados do estuário 2. Em (b), razão entre as áreas de infectados e suscetíveis versusµc. . . 29
18 Coleta periódica com µc1 = 0 dias−
1 no estuário 1 (linha contínua) e
µc2 = 0,02 dias−
ix 19 Em (a), coleta contínua com µc1 = µc2 = 0,015 dias−
1
. Linha contínua representa os caranguejos infectados do estuário 1 e o símbolo (◦) os
caranguejos infectados do estuário 2. Em (b), razão entre as áreas de infectados e suscetíveis versusµc. . . 32
20 Coleta contínua com µc1 = 0 dias−
1 no estuário 1 (linha contínua) e
µc2 = 0,02 dias−
1
no estuário 2 (linha tracejada). . . 33 21 Em (a), caranguejos infectados com γ1 = γ2 = 0,015 dias−
1. A linha
contínua representa o estuário 1 e o símbolo (◦) o estuário 2. Em (b),
razão entre as áreas de infectados e suscetíveis versusγ. . . 35
22 Caranguejos resistentes comγ1 = 0dias−
1 no estuário 1 (linha contínua)
eγ2 = 0,015dias− 1
Página
1 Parâmetros usados no modelo e sua descrição biológica (Codeço, 2001;
Brayton et al., 1987; Kaper et al., 1995; King et al., 2008) . . . 5
2 Parâmetros usados no modelo e sua descrição biológica . . . 26
3 Picos de infecção em relação a figura 18 . . . 31
4 Distâncias entre os picos em relação a figura 18. . . 31
5 Picos de infecção em relação a figura 20 . . . 33
6 Distâncias entre os picos em relação a figura 20 . . . 33
7 Picos de infecção da figura 22 . . . 36
8 Distâncias entre os picos da figura 22 . . . 36
EPIDEMIOLOGIA DE DOENÇAS INFECCIOSAS: CÓLERA E DOENÇA DO CARANGUEJO LETÁRGICO
Autora: ROSÂNGELA PEREGRINA SANCHES Orientadora: Profa. Dra. CLÁUDIA PIO FERREIRA
RESUMO
Os modelos epidemiológicos tem por objetivo reproduzir a dinâmica espacial e/ou temporal de doenças infecciosas, e propor possíveis estratégias de con-trole. Estes modelos auxiliam a compreensão do comportamento das doenças em re-lação à vários aspectos, como mecanismos de transmissão, sazonalidade (dependência dos parâmetros do modelo em relação a temperatura, umidade, etc.) e disseminação da doença (Yang, 2001). Para isso são levantadas hipóteses matemáticas, baseadas em conhecimentos biológicos acerca da doença, que possibilitem a estimação de al-guns aspectos da interação entre o hospedeiro e agente infeccioso.
Letárgico (DCL) onde foi modelada a dispersão da doença entre dois estuários e mediu-se a contribuição da coleta de caranguejos e da existência de caranguejos resistentes nos estuários sobre a dinâmica da doença.
Em particular, no caso da cólera o equilíbrio livre da doença e o equi-líbrio endêmico são separados pelo limiar R∗
c, o qual depende dos parâmetros
bi-ológicos do patógeno e hospedeiro, e do tamanho da população. A aplicação de mecanismos de controle, tais como vacinação, saneamento e tratamento de água, po-dem diminuir R∗
c <1prevenindo a transmissão da cólera. Se a vacinação em massa
fosse possível poderia-se erradicar ou diminuir os surtos de cólera. Neste caso, a por-centagem da população a ser vacinada depende da imunidade da mesma ao vibrião da cólera. Dependendo do conjunto de parâmetros que caracterizam a doença em uma região, efeitos de ressonância podem acontecer e a perda de imunidade pode explicar o padrão unimodal ou bimodal observado em regiões endêmicas.
No caso da DCL, a coleta de caranguejos afeta tanto a intensidade quanto a periodicidade da doença e pode diminuir a probabilidade da doença se estabelecer em um estuário. Porém, deve-se ressaltar que existe um limiar muito pequeno entre a não existência da doença no estuário onde há coleta e a extinção da população, de maneira que deve-se fazer um estudo mais aprofundado. A existên-cia de caranguejos resistentes também diminui a probabilidade de que a doença se estabeleça no estuário e a migração do fungo causa a sincronização da doença nos estuários.
EPIDEMIOLOGY OF INFECTIOUS DISEASES: CHOLERA AND LETHARGIC CRAB DISEASE
Author: ROSÂNGELA PEREGRINA SANCHES Adviser: Profa. Dra. CLÁUDIA PIO FERREIRA
SUMMARY
The objective of the epidemiological models is to reproduce the spa-tial and/or temporal dynamics of infectious diseases and to propose possible control strategies. These models help to understand the disease behavior in relation to various aspects, like transmission mechanisms, seasonality (dependence of model pa-rameters in relation to temperature, humidity, etc.) and disease spreading (Yang, 2001). They are built using mathematical hypotheses, based primarily in the bio-logical knowledge about the disease which make possible to determine and modelled some aspects of the interaction between host and the infectious agent.
In particular, in the case of cholera, the disease free equilibrium and the disease endemic equilibrium are separated by a thresholdR∗
c which depend on the
biological parameters of the pathogen and host, and on the susceptible population size. The application of control mechanisms such as vaccination, sanitation and water treatment diminishR∗
c < 1and prevent cholera transmission. If mass vaccination was
possible, cholera eradication could be assessed. In this case the population fraction that had to be immunizated depend on the population immunity. Based on the set of parameters which characterize the disease in a region, resonance effects can intensify cholera outbreaks and the lost of immunity can explain the spatial temporal behavior observed on endemic region for cholera.
In the case of DCL, crabs collect affect the disease intensity and pe-riodicity and can diminish the probability of the disease to establish in an estuary. However, a small threshold separate the disease free equilibrium and population ex-tinction, therefore, a major study have to be made to this topic. The existence of resistant crabs also diminish the probability of the disease stabilization in a mangrove and fungus dispersion promote disease synchronization.
1 CÓLERA
1.1
Introdução
A cólera é uma doença caracterizada por uma diarréia intensa, que pode levar o indivíduo infectado à morte. O agente causador da doença é o Vibrio cholerae (vibrião colérico), o qual coloniza o intestino humano multiplicando-se rapi-damente e produzindo uma enteroxina que causa a diarréia. Se o indivíduo infectado não for tratado imediatamente, pode morrer em poucas horas devido à desidratação (Codeço, 2001). O tratamento reduz o número de mortes para 1% dos casos diagnos-ticados, no entanto muitos indivíduos infectados são assintomáticos ou apresentam sintomas leves, e constituem uma importante fonte de infecção (King et al., 2008).
A transmissão da doença pode ocorrer de duas formas: direta via fecal-oral ou indireta através de água e/ou comida contaminada, sendo que a segunda forma de contato é a mais relevante para a dinâmica da doença (Hartley et al., 2006). Em regiões onde a cólera é endêmica, sua dinâmica pode apresentar um ou dois picos por ano, como pode ser visto na figura 1, na qual se observa que na Índia, nas províncias de Bengal e Madras tem-se dois picos ao ano da doença, e para a província de Punjab um pico ao ano. Na Índia, as epidemias de cólera estão correlacionadas com as chuvas (Pascual et al., 2002).
Figura 1: Variabilidade sazonal da cólera nas províncias de Bengal e Madras (padrão bimodal) e na província de Punjab (padrão unimodal), em negrito tem-se destacado a principal estação chuvosa, com chuva intensa no sudoeste de Bengal e Punjab e no nordeste de Madras. Fonte: Pascual et al. (2002).
região por um longo período de tempo, enquanto que é caracterizada uma epidemia quando uma doença atinge um grande número de pessoas de uma região, mas em um curto período de tempo.
imu-3 nidade e a existência de diferentes biotipos de V. cholerae, tornam impraticável a vacinação em massa (Zuckerman et al., 2007).
Com relação a epidemiologia da cólera, o desafio é explicar como os sur-tos podem ser explosivos e, ao mesmo tempo autolimitados ao ponto que epidemias possam ocorrer duas vezes ao ano. Diversos trabalhos associam estas características a um estado hiperinfeccioso da bactéria (Hartley et al., 2006), outros à infecções assin-tomáticas (King et al., 2008) ou ainda a fatores climáticos os quais podem influenciar na abundância e/ou toxidade do patógeno (Pascual et al., 2002). A possibilidade que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aquáticos por meses ou anos em um estado viável mas não culturável, sugere que o ambiente aquático possa ser uma reserva deste patógeno em regiões endêmicas (Colwell & Huq, 1994).
1.2
Objetivo
O objetivo deste estudo é reproduzir os padrões temporais da doença, propor possíveis mecanismos de controle, e estudar o papel do período de imunidade na dinâmica da doença.
1.3
Modelo Matemático
O modelo matemático descrito neste capítulo é uma modificação do modelo proposto por Codeço (2001), o qual foi adaptado para incluir o comparti-mento dos recuperados, mecanismos de controle e efeitos sazonais. O modelo com-partimental (figura 2) é descrito pelo seguinte conjunto de equações diferenciais em
que H, S, I, R eB são respectivamente as populações total de humanos, suscetíveis,
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ dS
dt =µ(H−S)−(β(t)−θ1(t)) B
K+BS+r1R−θ4(t)S,
dI
dt = (β(t)−θ1(t)) B
K+BS −(r+µ)I,
dR
dt =rI+θ4(t)S−(r1+µ)R,
dB
dt = (e−θ2(t))I−(γ+θ3(t))B.
(1)
4 θ
I r
r
S β−θ1 R
µ
1
µ µ
µΗ
Figura 2: Diagrama do modelo compartimental para a transmissão da cólera.
Os parâmetros biológicos utilizados no modelo estão descritos na tabela 1. Considerou-se que a população total de humanos, H, é constante, portanto, H = S+I+R, e (1) se reduz a um sistema de três equações. A taxa de
contato β(t)varia como uma função seno de acordo com a fórmula
β(t) =β0(1 +β1sin(2Πt/365)),
e imita o efeito sazonal (secas, inundações, temperatura) que dirige a dinâmica de cólera (Codeço, 2001; Pascual et al., 2002). Neste caso,β0é a taxa básica de contato e
β1 é a amplitude da função seno que caracteriza a força externa aplicada ao sistema.
Os parâmetros θ1, θ2, θ3 e θ4, também dependem do tempo, e são parâmetros de
controle relacionados a estratégias governamentais a fim de impedir o surto de cólera, os quais compreendem a participação da população (reduzindo o parâmetroβ(t)por
5 tratamento de água (aumentando o parâmetro γ porθ3(t)) e vacinação (diminuindo
o compartimento de suscetíveis por θ4(t)).
Tabela 1: Parâmetros usados no modelo e sua descrição biológica (Codeço, 2001; Brayton et al., 1987; Kaper et al., 1995; King et al., 2008)
µ taxa de mortalidade natural (anos−1
) 0,0125 - 0,015
β taxa de contato entre água contaminada e suscetíveis (dias−1) ———
K concentração de V. choleraena água (células/ml) responsável
por 50% de probabilidade de contrair a doença 103 −106
r1 taxa que representa a perda de imunidade (dias−
1) 0,002 - 0,02
r taxa pela qual as pessoas se recuperam da cólera (dias−1
) 0,14 - 0,33
γ taxa de mortalidade da bactéria (dias−1) 0,02 - 1
e contribuição de cada pessoa infectada para a população
de V. choleraeno ambiente aquático (células/ml dia−1
pessoa−1
) 1 - 100
Na primeira equação tem-se os indivíduos suscetíveis que são renovados a uma taxaµ, tornam-se infectados a uma taxa (β(t)−θ1(t)) e são transferidos pela
vacinação para o compartimento dos recuperados a uma taxa θ4(t). A probabilidade
pela qual os indivíduos suscetíveis tornam-se infectados é modelada pela equação de Michaelis-Menten, já que a probabilidade de se contrair a cólera depende da con-centração (K) de Vibrio cholerae no ambiente (Cash et al., 1974). A população de suscetíveis também aumenta pelo retorno de indivíduos que perderam a imunidade a uma taxa r1 e diminui devido à mortalidade natural a uma taxa µ. A segunda
uma taxa (r+θ4), devido ao fim do período infeccioso e como resultado da
vaci-nação, respectivamente, e decresce devida a perda de imunidade e a mortalidade natural. Finalmente a última equação descreve a dinâmica do Vibrio cholerae em reservas aquáticas o qual cresce pela contribuição de cada pessoa infectada a uma taxa (e−θ2(t)) e decresce pela mortalidade da bactéria (γ+θ3(t)), onde γ é a taxa
de mortalidade natural.
1.4
Análise de Estabilidade
Assumindo que todos os parâmetros do modelo não dependem do tempo, os valores de equilíbrio são obtidos igualando cada uma das derivadas do sistema (1) a zero. A estabilidade de cada um deles é determinada então através do sinal dos autovalores do polinômio característico dado por P(λ) =det(A−λI), onde
A é a matriz Jacobiana calculada no ponto de equilíbrio e I a matriz identidade. Sabe-se que, se a parte real de todos os autovalores é negativa então o equilíbrio é estável (Boyce & DiPrima, 2002). Para o modelo em questão obtem-se três soluções de equilíbrio: o equilíbrio trivial que é aquele em todas as populações são extintas, o equilíbrio livre da doença que como o próprio nome diz é aquele em que não há doença e equilíbrio endêmico que é aquele em que há a coexistência de todas as populações. Logo,
• Equilíbrio trivial dado por E0 = (0,0,0) o qual possui os seguintes
autova-lores,
λ1 =−(r1+µ+θ4), λ2 =−(r+µ), λ3 =−(γ+θ3).
Como todos os autovalores são negativos isto implica que o equilíbrio trivial é sempre estável.
• Equilíbrio Livre da doença dado porE1 = (H,0,0). A equação
caracterís-tica correspondente é,
7
P1(λ) =λ 2
+ (r+µ+ (γ+θ3))λ+ (r+µ)(γ+θ3)−
(e−θ2)H(β0−θ1)
K ,
P2(λ) = (−µ−r1−θ4−λ).
Definindo
Rc =
(β0−θ1)(e−θ2)H
K(γ+θ3)(r+µ)
,
o equilíbrio livre da doença é localmente assintoticamente estável se Rc < 1.
Se mecanismos de controle não forem aplicados, tem-se o número de repro-dutibilidade basalR0 = (β0eH)/(Kγ(r+µ)) definido como o número de casos
secundários de infecção de cólera produzido por um caso primário durante o período infeccioso.
• Equilíbrio Endêmico dado porE2 = ( ¯S,I,¯B¯)onde
S = (r+µ)(K(γ+θ3) + (e−θ2)I) (β0−θ1)(e−θ2)
, B = (e−θ2)I
γ+θ3
e
I = (µ+r1)K(γ+θ3)((r+µ)(Rc−1)−θ4)
(e−θ2)((µ+r1+θ4)(r+µ) + (β0−θ1)(r1+r+µ))
.
Observa-se que na ausência de vacinação (θ4 = 0), a condição para o equilíbrio
endêmico é Rc > 1. Porém quando tem-se a vacinação (θ4 > 0), o valor do
limiar se encontra em R=R∗
c(>1), onde
R∗ c =
(µ+r)(Rc−1)
θ4
.
A análise de estabilidade mostra que os mecanismos de controle atuam sobre os parâmetros β0, e e γ, podendo reduzir Rc para um valor menor do que
1, fazendo com que a transmissão de cólera não aconteça na população. Também, reduzindo R∗
c <1(com vacinação) consegue-se prevenir os surtos de cólera.
1.5
Resultados e Discussão
Para a realização das simulações numéricas considerou-se uma popu-lação de 10000 indivíduos, sendo a condição inicial dada por 1 indivíduo infectado, 9999 indivíduos suscetíveis, 0 indivíduo recuperado e 0 bactérias. Durante as simu-lações os seguintes parâmetros foram mantidos constantes: µ = 0,00007 dias−1
,
β0 = 1,2 dias− 1,
K = 106 células/ml,
r1 = 0,0035 dias−
1,
r = 0,12 dias−1,
γ= 0,4
dias−1
, e= 10células/ml dia−1
pessoa−1
e β1 = 0,3.
Os seguintes aspectos foram analisados: periodicidade dos picos de infecção, possíveis mecanismos de controle, e o efeito causado pelo período de imu-nidade na dinâmica da doença.
1.5.1 Ciclos sazonais na transmissão de cólera
Eventos climáticos como inundações e secas têm sido relacionados com a sazonalidade da cólera em diversas partes do mundo, como por exemplo na região central da Amazônia, onde a inundação dos rios Negro e Amazonas são sazonais. Nessa região, os surtos de cólera entre 1992 e 1995 se iniciaram durante o período de seca, tendo picos no início do período de elevação das águas e diminuindo durante o período de alta das águas (Pascual et al., 2002).
Na figura 3 tem-se os dados reais para a cólera no estado do Amazonas durante a sétima pandemia de cólera no mundo, onde é possível verificar o padrão sazonal da doença, em que seus picos de infecção surgem entre os meses de outubro a janeiro, período em que ocorre uma diminuição nos níveis das águas dos rios da região (Gerolomo & Penna, 1999).
Sabe-se que um sistema que tenha oscilações próprias, mesmo que estas sejam amortecidas, quando sofre a ação de uma força externa, oscila com amplitude que depende do período da força externa. Com a finalidade de avaliar efeitos de ressonância nos surtos de cólera utilizou-se a abordagem descrita em (Greenmam et al., 2004; Dushoff et al., 2004). Para isso, o modelo descrito em (1) foi reescalado pela constante p−1 assim
µ′ = µ
p, β0′ = β0
p, r′1 = r
1
p, r′ = r p, e′ =
e p, γ′ =
γ
p e o tempo
9
Figura 3: Periodicidade dos surtos de Cólera no Amazonas e componente sazonal, neste caso, a subida e descida das águas dos rios da região. Fonte: Gerolomo & Penna (1999).
mesma forma de (1) com
β(t) =β0
1 +β1sin
2πt
365p
.
Se a frequência de aplicação da força externa está próxima a frequência de oscilação intrínseca do sistema que é aproximadamente T ∼ 2Π 1
rr1/(R0−1), esses dois fatores podem ressonar e produzir uma oscilação de grande amplitude (Dushoff et al., 2004). Quando a magnitude da força externa (β1) é pequena, o
sistema responde com oscilações ps de mesmo período da força externa, no entanto,
para grandes valores de β1, subharmônicos estáveis podem ser gerados no qual o
sistema oscila com um período que é um múltiplo do período da força externa. Na figura 4(a) tem-se os máximos locais da população de infectados
Imax em função do período de oscilação da força externap. Os máximos locais foram
calculados da seguinte forma: evolue-se o sistema no tempotaté que a população de
maior do que a densidade populacional de infectados nos tempos(t−3),(t−2),(t−1)e
maior ou igual a densidade populacional de infectados nos tempos(t+ 1),(t+ 2),(t+ 3). Para o conjunto de parâmetros dados R0 = 2,50, ou seja, tem-se equilíbrio
endêmico com período de oscilação natural de T ∼0,7anos (a escolha de valores de
R0 pequeno deve-se a resultados recentes os quais mostram que a cólera, diferente
de outras doenças de transmissão indireta, apresenta valores de R0 pequeno). A
figura 4(b) mostra a evolução temporal do logaritmo na base 10 da densidade de indivíduos infectados para diferentes valores de p. Observe que para 0 < p < 1,25
a curva de infectados tem comportamento unimodal, para 1,25 < p <3 a curva de infectados tem comportamento bimodal e para3< p <4a curva dos infectados tem
comportamento trimodal. Em todos os casos o sistema responde com oscilações de mesmo período de oscilação da força externa p.
0 1 2 3 4
p 0
250 500 750 1000
Imax (a)
0 2 4 6 8 10
Tempo (anos)
1 2 3
log
10
(I)
(b)
Figura 4: Em (a) tem-se os máximos locais da população de infectados Imax versus
o período de oscilação da força externa p, em (b) tem-se a evolução temporal para diferentes valores de p, sendo p= 1,0 (linha pontilhada), p= 1,3(linha tracejada)
e p= 3,03 (linha contínua).
11 1.5.2 Mecanismos de controle
Com o objetivo de estudar possíveis mecanismos de controle, e com-parar sua eficácia, introduziu-se um índice de eficiência, Ji definido como
Ji = 1−
Ai
A0
×100 onde Ai =
T
0 I(t)dt, com i= 1,2,3,4,
sendo Ai e A0 as áreas abaixo da curva da população de infectados medidos em
t ∈ [0, T], quando atuam e não atuam sobre o sistema mecanismos de controle,
respectivamente. O índice, i se refere as diferentes estratégias de controle. O índice de eficiência Ji mede a redução na porcentagem de indivíduos infectados devido à
aplicação de um mecanismo de controle específico durante T anos (Ferreira et al.,
2008).
Os mecanismos de controle podem ser aplicados em distintas situações epidemiológicas. Analisou-se duas delas:
1. numa primeira abordagem aplica-se o controle durante o período em que os casos de cólera estão crescendo e para-se o controle no momento em que a doença começa a diminuir (controle periódico);
2. numa segunda abordagem aplica-se o controle durante todo o tempo (controle contínuo).
Inicialmente, a simulação é feita até que a população atinge o estado estacionário. A fim de avaliar se a população está próximo o suficiente do equilíbrio, calcula-se os máximos locais da curva I versus t. A cada dez máximos mede-se
o ajuste de regressão linear obtida a partir dos dados de I(t). Se o módulo do
coeficiente angular desta reta for menor que 0,0001 considera-se que a população atingiu o equilíbrio (Caswell & Etter, 1999). Então um controle específico é aplicado e a dinâmica da doença com e sem controle é comparado por quinze anos de simulação, i.e., T = 15.
A figura 5 mostra a eficácia do controle medido em função deθ1. Neste
bacté-rias. Pode-se notar que cuidados contínuos com a higiene pessoal, como lavar as mãos, pode diminuir o número de casos de cólera, protegendo 100% da população se considerarmos que esta é a única via de transmissão da doença. Neste caso, a erradicação é alcançada para θ1 = 0,72 dias−
1
o qual corresponde a Rc < 1 para
este conjunto de parâmetros. Porém para o controle periódico, o índice máximo de eficiência é de aproximadamente 25%.
0 0,2 0,4 0,6 0,8
θ1
0 20 40 60 80 100
J1
Figura 5: Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores
de θ1.
A figura 6 mostra a eficácia do controle em função de θ2. Boas
condições sanitárias levam a extinção da cólera quando aplicadas continuamente. Porém, durante períodos críticos como guerras, abastecimento de água potável e medidas de saneamento básico podem tornar-se inviáveis, fazendo com que os indi-víduos suscetíveis fiquem mais expostos ao vibrião que causa a cólera. Como no caso anterior, o controle periódico não pode erradicar a transmissão de cólera e seu índice máximo de eficiência é de aproximadamente 80%. No caso do controle contínuo
tem-se eficiência de 100% para θ2= 6,2dias−
1, o qual corresponde a
Rc <1.
A figura 7 mostra a eficácia do controle medido em função deθ3. Uma
13 periódico não é capaz de proteger 100% da população, atingindo seu máximo índice de eficiência em aproximadamente 50%. No caso do controle contínuo este tipo de mecanismo protege 100% da população quando θ3 = 0,6 dias−
1, que corresponde a
Rc <1.
0 2 4 6 8 10
θ2
0 20 40 60 80 100
J2
Figura 6: Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores
de θ2.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
θ3
0 20 40 60 80 100
J3
Figura 7: Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores de θ3.
A figura 8 mostra a eficácia do controle medido em função deθ4.
(controle periódico) campanhas de vacinação podem ser uma boa estratégia para o controle da epidemia de cólera. Longini et al. (2007) usaram um modelo espacial es-tocástico que mostra a eficácia da vacinação na transmissão de cólera. Para isso eles estudaram duas sub-regiões, sendo que a vacina era aplicada em uma parte da popu-lação de uma sub-região, e a eficácia indireta da vacinação foi medida comparando as taxas de infecção da população não vacinada das duas sub-regiões. Eles assumiram que a vacina induz imunidade que resulta na redução de probabilidade de infecção. Mostraram que para regiões endêmicas, a vacinação diminui a incidência da doença (Longini et al., 2007) quando a porcentagem da população vacinada atinge 50−60%
da população total. No modelo proposto, a eficiência de100%paraJ4, é obtida tanto
para o controle contínuo quanto para o periódico. Para o controle contínuo o índice máximo de eficiência é atingido em θ4 = 0,007dias−
1
que corresponde aR∗
c < 1. No
caso do controle periódico, tem-se θ4 = 0,038 e R ∼ 6000 (densidade de imunes).
Portanto, numa população total de 10000 habitantes, este resultado corresponde a uma cobertura de vacinação de 60% da população, em concordância com o modelo
de Longini et al. (2007).
0,01 0,02
θ4
0 20 40 60 80 100
J4
Figura 8: Eficácia do controle contínuo (◦) e periódico (•), para diferentes valores
15 1.5.3 Imunidade
Diversos estudos tem sido feitos a fim de explicar a dinâmica de cólera, mas até agora alguns enigmas permanecem sem solução como o papel da imunidade nesta dinâmica. King et al. (2008) adaptaram um modelo SIRS para dados da provín-cia de Bengal no período 1891-1940 e mostraram que a imunidade deve diminuir com o tempo e que infecções leves ou assintomáticas resultam num curto período de imu-nidade. Mudanças sistemáticas neste modelo básico, poderiam explicar melhor os dados, mas as conclusões sobre o baixo valor de R0 associado a cólera, rápida perda
de imunidade e alta prevalência infecções assintomáticas permanecem inalteradas. Estudos anteriores utilizaram um valor de R0 e r1 grande, já que a
cólera é uma doença de transmissão indireta (Hartley et al., 2006), porém estudos mais recentes, baseado em séries temporais de casos de cólera, contradizem esse fato e mostram que o valor de R0 e r1 são pequenos. Dados de Bengal apontam
para r−1
1 = 9,9±4,7 semanas (no caso de infecções severas r− 1
1 = 1,5±0,7 anos)
e R0 ∼ 1,5±0,2 (King et al., 2008). Assim, nos resultados apresentados neste
trabalho, o conjunto de parâmetros foi escolhido de maneira a produzir valores de
R0 pequenos.
A fim de explorar o papel da imunidade na dinâmica de cólera, figura 9(a) mostra o efeito da variação de r1 na periodicidade e severidade da cólera.
Ob-serve que o número de infectados sempre aumenta a medida que r1 aumenta. Como
r−1
1 é o período de tempo em que o indivíduo permanece imune, espera-se que o rápido
retorno de indivíduo imunes ao compartimento de suscetíveis, aumente o número de indivíduos infectados na população, como pode ser observado na figura 9(b). Os resultados numéricos obtidos para ps versus r1 confirmam os resultados analíticos
dados por T ∝1
r1 (Dushoff et al., 2004). E por fim para pequenos valores de r1 a ressonância ocorre para altos valores de ps já que os indivíduos suscetíveis demoram
muito tempo para se recuperarem.
A figura 10(a) mostra a variação de Imax com r1. Existem algumas
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 r1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 p (a)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
r1 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 I(p) (b)
Figura 9: Em (a) tem-se a variação de p em relação a r1 obtidos via simulação (◦),
e resultados analíticos (linha contínua) dados por T ∼ 2Π 1
rr1/(R0−1). Em (b) tem-se I(p)versus r1.
curva dos infectados apresenta um comportamento bimodal. Com a finalidade de definir a posição e o número de indivíduos destas regiões analisou-se a derivada da curva de infectados no tempo. Pode ser observado que para 0,0043 ≤ r1 ≤ 0,03
a evolução da curva de infectados apresenta um comportamento bimodal e para
r1 < 0,0043 a curva de infectados apresenta comportamento unimodal, sendo que
algumas soluções dependem das condições iniciais. Figura 10(b) mostra a curva de infectados para diferentes valores de r1. Observa-se que ao se variar os valores de
r1, o comportamento da doença também se modifica, tanto em relação ao número
de infectados, quanto em relação a sua periodicidade. Para r1 = 0,003dias− 1
tem-se uma curva unimodal e para r1 = 0,01 dias−
1 tem-se uma curva bimodal, o que
fortalece a concepção de que o período de imunidade tem um papel importante na dinâmica da doença, e que pode ajudar na explicação dos diferentes padrões apresentados pela cólera.
Existe ainda, uma região do espaço de parâmetros, r1<0,002dias− 1,
17
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
r1
0 500 1000 1500
I max (a)
0 1 2 3 4
Tempo (anos) 0 200 400 600 800 1000 I (b)
Figura 10: Em (a)Imax versusr1parap= 1. Em (b) tem-se a evolução temporal dos
indivíduos infectados para r1 = 0,003 dias− 1
(linha pontilhada) e r1 = 0,01 dias− 1
(linha tracejada).
2000 3000 4000 5000 6000
Suscetiveis 0 100 200 300 400 500 600 700 Infectados (a)
3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 Suscetiveis 600 800 1000 1200 Infectados (b)
Figura 11: Em (a) o retrato de fase para três condições iniciais diferentes em que
r1 = 0,001 dias−
1
. Em (b) o retrato de fase para três condições inciais diferentes com r1 = 0,02 dias−
1.
1.6
Conclusão
O modelo proposto neste estudo é uma extensão do modelo proposto por Codeço (2001) e foi capaz de reproduzir os padrões temporais da doença, mostrando que estes são um resultado da combinação de fatores extrínsecos, in-trínsecos e dos parâmetros que caracterizam a doença. Foi possível notar que os fa-tores intrínsecos e extrínsecos se correlacionam produzindo diferentes padrões dessa doença.
Para o modelo autônomo, o limiar dado por R∗
c, depende dos
equilíbrio livre da doença e o equilíbrio endêmico. A aplicação dos mecanismos de controle, tais como vacinação, saneamento e tratamento de água, quando aplicados continuamente podem diminuir R∗
c < 1 prevenindo a transmissão de cólera. Se
a vacinação em massa fosse possível a aplicação periódica deste tipo de controle poderia erradicar ou diminuir os surtos de cólera. Neste caso, a porcentagem da população a ser vacinada depende da imunidade da mesma ao vibrião da cólera.
Mostrou-se que dependendo do conjunto de parâmetros que caracteri-zam a dinâmica da cólera em uma região, efeitos de ressonância podem acontecer e que a perda de imunidade pode explicar o padrão unimodal ou bimodal observado em regiões endêmicas.
No modelo proposto por Codeço (2001), estudou-se os padrões tem-porais apresentados pela doença em três situações hipotéticas: livre da doença, epidêmica e endêmica, distinguindo e definindo as situações endêmicas e epidêmi-cas. Discutiu-se também, qualitativamente, a contribuição de efeitos sazonais para a dinâmica da doença. No modelo proposto por nós, foram estudados os padrões temporais da doença, mais enfocado no equilíbrio endêmico, com o objetivo de medir a contribuição dos fatores intrínsecos (período de imunidade) e extrínsecos (sazona-lidade) à dinâmica da cólera. Neste caso, a sazonalidade da doença foi analisada de um ponto de vista mais rigoroso associando-a a efeitos de ressonância. Além disso, possíveis mecanismos de controle e o papel da imunidade na dinâmica da doença foram discutidos pela primeira vez, no contexto da cólera, de um ponto de vista de modelagem matemática.
2 DOENÇA DO CARANGUEJO LETÁRGICO
2.1
Introdução
O caranguejo-uçá,Ucides cordatus, localiza-se desde a Flórida (EUA)
até Santa Catarina (Brasil), como pode ser visto na figura 12. Ele é uma das princi-pais fontes de renda das comunidades que vivem próximas aos manguezais, as quais dependem de sua comercialização, como fonte adicional de renda, ou até mesmo como única fonte de renda. O caranguejo-uçá é responsável pela decomposição da matéria orgânica, degradando a matéria úmida e incorporando-a ao sedimento. Por esse motivo ele é considerado um dos seres vivos mais importantes do mangue. É também um importante biomonitor natural de áreas críticas, uma vez que demonstra sensibilidade a diversos poluentes (Castilho, 2006).
Desde de 1997, observam-se eventos de mortandade do Ucides cor-datus registrando-se uma diminuição de até 85% na taxa de captura do mesmo.
Figura 12: Distribuição geográfica do caranguejo-uçá (linha roxa). Fonte: Ribeiro (2008).
21 Os caranguejos que se encontravam em regiões de mortandade, apre-sentavam sintomas semelhantes, a saber, letárgicos, sem controle das pernas e quelas, por isso deu-se a enfermidade, o nome de Doença do Caranguejo Letárgico (DCL). Várias hipóteses foram elaboradas com relação ao agente causador da doença, como por exemplo, vírus, bactérias, fungos ou protistas. Outros afirmavam que ela não era infecciosa e sim causada por atividades humanas realizadas na região costeira do Brasil, as quais geravam resíduos provenientes da fabricação do açúcar, do petróleo ou de produtos químicos utilizados no cultivo de camarões (GIA, 2006).
Para verificar se um organismo é o agente causador de uma doença, deve-se fazer testes nos quais sejam averiguados os seguintes critérios (postulados de Koch):
• o microrganismo deve ser encontrado em todos os animais que sofrem a doença;
• esse microrganismo deve ser retirado do animal infectado e isolado em
labo-ratório;
• este microrganismo que foi isolado, deve provocar os mesmos sintomas quando
for inserido em um animal saudável;
• numa última etapa, o microrganismo deve ser re-isolado do animal infectado
de forma experimental (GIA, 2006; Ribeiro, 2008).
Vários experimentos foram realizados a fim de se constatar o que estava causando a doença nos caranguejos. E finalmente chegaram a conclusão que o agente causador da DCL é um fungo patogênico Exophiala cf psycrofila (Boeger et al., 2005). Nas
análises realizadas em laboratório, foram injetados fungos em animais saudáveis e estes apresentaram sinais clínicos semelhantes aos que tinham DCL (GIA, 2006). Desde então vários estudos têm sido realizados, a fim de se descobrir como se dá a epidemia, como acontece a transmissão da doença e como se pode diminuir os efeitos causados pela mesma nos estuários.
do fungo tenha se desenvolvido para uma feroz variedade, que parasita o caranguejo. O fungo causador da doença é dificilmente encontrado no período em que a doença não ocorre, e é provável que ele permaneça em caranguejos que não desenvolveram a doença (caranguejos resistentes), já que não são encontradas evidências do fungo no solo ou em plantas (Boeger & Pie, 2006).
Aparentemente os caranguejos se infectam através do contado direto com o fungo. Caranguejos que desenvolvem a doença morrem em cerca de 9 à 35 dias após o contato com o fungo. Como o sistema imunológico do caranguejo não possui memória imunológica, caranguejos resistentes voltam a ser suscetíveis.
O ciclo da doença começa com uma epidemia caracterizada por uma alta taxa de mortalidade, seguida por ondas com diminuição dessa taxa até que a doença desaparece. As mortandades geralmente ocorrem no verão, sugerindo que fatores sazonais, como a andada, promovam o aumento da doença e sua transmissão.
2.2
Objetivo
O objetivo desse trabalho é modelar a DCL, a fim de verificar o efeito causado pela migração de caranguejos jovens e fungos entre estuários, a existência de caranguejos resistentes e a influência da coleta de caranguejos na dinâmica da doença.
2.3
Modelo Matemático
Muitos dos modelos estudados são para populações fechadas, e para muitos casos retratam bem a realidade, porém em algumas situações a migração é um item fundamental na dinâmica de uma população, daí então é necessária a aplicação, de por exemplo, o conceito de metapopulação.
23 (Hanski & Gilpin, 1991). Através de modelos de metapopulação, pode-se estudar a permanência de uma população em um hábitat, medir probabilidades de extinção local e global de uma população, fenômenos de dispersão, competição, etc. É uma das maneiras mais simples de se construir modelos espaciais.
O modelo matemático apresentado a seguir é uma modificação do mo-delo proposto em Ferreira et al. (2009), onde incluiu-se na dinâmica da doença, o compartimento de caranguejos jovens e a migração de caranguejos jovens e fungos, utilizando para isso a abordagem de metapopulação. Assim,
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ dJi dt = n
k1(Jn−Ji) +φSi−(θ+µj)Ji,
dSi
dt =θJi−β
FiSi
K+Si
−(µ+µci)Si+γiIi−csS
2 i,
dIi
dt =β
FiSi
K+Si
−mIi,
dFi
dt =
n
k2(Fn−Fi) +σαIi−µFFi,
(2)
em que m = α+γi +µ+µci, sendo que os índices i, n referem-se ao número do
estuário (analisou-se a dinâmica da doença entre 2 estuários) e i= n. Na figura 14, observa-se a representação gráfica da migração de caranguejos jovens e fungos entre dois estuários e na figura 15 tem-se o diagrama do modelo compartimental para a transmissão da DCL.
A população de caranguejos jovens no estuário i, Ji, cresce (ou
de-cresce) devido a migração de caranguejos entre os estuários a uma taxa k1, cresce
em razão da natalidade a uma taxa φ, e decresce a uma taxaθ que corresponde aos
caranguejos jovens que se tornam adultos, e através da taxa de mortalidade µj. A
população de caranguejos suscetíveis no estuário i, Si, cresce devido a passagem dos
represen-k
k
1
2
Estuario 1 Estuario 2
Figura 14: Migração entre dois estuários, em que k1 representação a migração de
caranguejos jovens e k2 representa a migração de fungos.
J S I
c 1
j s c
θ +φ
k
µ µ+µ+c
γ
β
α+µ+µ
Figura 15: Diagrama do modelo compartimental para a transmissão para a DCL em cada estuário.
tada por γi. Decresce a uma taxa de contato entre caranguejo e fungo dada porβ, a
qual depende da concentração de caranguejos no ambiente dada pelo parâmetro K
sendo, portanto, modelada pela equação de Michaelis-Menten. Diminui também a uma taxa de mortalidade µ+µci, onde a primeira representa a mortalidade natural
e a segunda a coleta e, finalmente, pelo termo de competição cs entre caranguejos
adultos. A população de caranguejos infectados no estuário i, Ii, cresce em função
dos caranguejos que se tornam infectados, e decresce pelas taxas de mortalidade dev-ido à doençaα, caranguejos resistentes, caranguejos coletados e mortalidade natural.
Finalmente, a população de fungos no estuário i, Fi, cresce (ou decresce) em função
da migração de fungos a uma taxa k2, cresce em razão da reprodução do fungo no
organismo de caranguejos infectados a uma taxaσ, e decresce a uma taxaµF devido
25 Na tabela 2 tem-se a descrição de cada um dos parâmetros e o valor que os mesmos podem assumir. Supõe-se que os parâmetros γ e µc podem assumir
diferentes valores em cada um dos diferentes estuários e que os demais parâmetros são iguais. Ao incluir o compartimento de caranguejos jovens, os quais não ficam doentes, assumiu-se que a probabilidade de encontro entre caranguejos suscetíveis e fungo é modelada pela equação de Michaelis-Menten, caso contrário não teria-se a periodicidade da doença (essa busca foi feita por simulação variando-se o conjunto de parâmetros exaustivamente). Em concordância com o modelo proposto em (Ferreira et al., 2009), o sistema (2) apresenta quatro cenários possíveis, equilíbrio trivial, equilíbrio livre da doença, equilíbrio endêmico e ciclo limite que surge a partir da bifurcação de Hopf.
2.4
Resultados e Discussão
Os resultados apresentados foram obtidos por meio de simulações uti-lizando o método Runge-Kutta de ordem 4 e linguagem de programação C. Em cada simulação, as condições iniciais foram fixadas em: 300 Jovens, 250 Suscetíveis, 0 Infectados, e 10 Fungos para o estuário 1 e 300 Jovens, 250 Suscetíveis, 0 Infecta-dos, e 0 Fungos para o estuário 2. Os valores de alguns parâmetros foram mantidos constantes durante as simulações, são eles: β = 0,274 dias−1,
φ = 0,34 dias−1,
θ = 0,0014 dias−1,
µj = 0,015 dias−1, cs = 0,000001 (no de indivíduos por m2)−1
dias−1
, µ = 0,00028 dias−1
, K = 1 no de caranguejos por m2
, σ = 2,3, α = 0,055
dias−1 e
µF = 0,5dias−1.
Foram feitas as seguintes abordagens: inclusão da migração de caranguejos jovens, inclusão da migração de fungos, retirada de caranguejos dos estuários e existência de caranguejos resistentes.
2.4.1 Migração do caranguejo jovem
Tabela 2: Parâmetros usados no modelo e sua descrição biológica Parâmetro Interpretação biológica (unidade)
φ natalidade dos caranguejos (dias−1) 0,25-0,34∗
k1 migração do caranguejo
jovem ((no de caranguejos por m2)dias−1) —
θ taxa pela qual o caranguejo jovem se
torna adulto (dias−1
) 0,0011-0,0014∗
µj mortalidade do caranguejo jovem (dias−1) —
cs competição entre caranguejos
((no de caranguejos por m2)−1dias−1) —
K concentração de caranguejos
no ambiente (no de caranguejos por m2
) —
µc caranguejos coletados (dias−1) —
µ mortalidade do caranguejo adulto (dias−1
) 0,00028-0,0004∗
β taxa de contato entre caranguejo
e fungo (dias−1
) —
α mortalidade do caranguejo infectado (dias−1
) 0,055-0,083∗
k2 migração do fungo ((no de caranguejos por m
2)dias−1) —
γ caranguejos resistentes (dias−1
) —
σ quantidade de fungos produzidos
por caranguejo infectado —
µF mortalidade do fungo (dias− 1
) —
∗dados não publicados,−parâmetros não conhecidos.
27 A migração do caranguejo jovem foi incorporada ao modelo, aconte-cendo durante os primeiros 30 dias de cada ano, em ambos sentidos, e é proporcional a quantidade de caranguejos jovens, sendo a constante de proporcionalidade k1 = 0,01
no de indivíduos por m2
dias−1
. Considera-se que o compartimento dos caranguejos jovens engloba as larvas do caranguejo e os caranguejos juvenis.
2.4.2 Migração do fungo
O fungo causador dessa doença é uma levedura negra que se reproduz rapidamente no organismo do caranguejo doente atacando principalmente os tecidos do coração, glânglio nervoso, brânquias e hepatopâncreas. Ataca também outras partes do corpo do caranguejo como tecidos do intestino, músculos e gônadas, porém sua ação nessas regiões é de menor intensidade (GIA, 2006).
Ao se cultivar o fungo em diferentes níveis de salinidade, constatou-se que ele continuava se reproduzindo, mesmo a uma alta taxa de salinidade, por um extenso período de tempo, reforçando a ideia de que a dispersão do fungo ocorra pelo mar (Ribeiro, 2008). A migração do fungo foi incorporada ao modelo, acontecendo duas vezes por mês, em ambos sentidos, a fim de imitar a maneira com a qual a doença vem se dispersando, sentido norte-sul e sul-norte (Boeger & Pie, 2006). Para isto foi suposto que o fungo migra junto com as marés altas, que acontecem quinzenalmente nas luas nova e cheia (Silveira, 2003).
Se não há migração do fungo tem-se que a doença ocorre em apenas um dos estuários (estuário 1 - condição inicial dada). A partir do momento em que se inclui a migração de fungos, os dois estuários apresentam a doença, como pode ser observado na figura 16, onde tem-se respectivamente nas linhas contínua e tracejada as populações de suscetíveis e infectados do estuário 1, e em (◦) e (✷) populações
de suscetíveis e infectados do estuário 2. A migração de fungos é proporcional a quantidade de fungos nos dois estuários, sendo a constante de proporcionalidade dada por k2= 0,05 no de indivíduos por m
2dias−1.
0 2 4 6 8 10 12 Tempo (anos)
0 50 100 150 200 250 300
S/I
Figura 16: Dinâmica da doença nos dois estuários dado k2 = 0,05 no de
indiví-duos por m2
dias−1
. Nas linhas contínua e tracejada as populações de suscetíveis e infectados do estuário 1, os símbolos (◦) e (✷) correspondem, respectivamente, as
populações de suscetíveis e infectados do estuário 2.
migração do fungo leva a sincronização da doença nos dois estuários, onde após um período de transição as populações começam a oscilar com mesma intensidade, e com mesmo padrão temporal. É interessante ressaltar que para o conjunto de parâmetros utilizado, mesmo para altos valores de k2a sincronização das populações permanece.
2.4.3 Caranguejos Coletados
As populações que vivem próximas aos mangues geralmente têm como fonte de renda a exploração dos manguezais onde uma das principais atividades é a coleta de caranguejos. A coleta pode ser feita em um determinado período do ano ou no ano inteiro (Jankowisky et al., 2006).
29 neste caso que estes "caranguejeros"respeitam o período de defeso, época do ano em que é proibida a caça do caranguejo devido ao seu período de reprodução, esse período não tem uma duração específica e muda conforme a região.
Na figura 17(a), tem-se na linha contínua os caranguejos infectados do estuário 1 e em (◦) os caranguejos infectados do estuário 2, neste caso foi feita a coleta
periódica do caranguejo, com mesma taxa de retirada nos dois estuários. Nota-se que os estuários estão sincronizados, e para 0,02 ≤µc < 0,047 tem-se o equilíbrio
livre da doença. Na figura 17(b), foi calculada a razão entre as áreas da curva de infectados versus tempo e suscetíveis versus tempo em função deµc. Observa-se que,
para µc <0,02tem-se equilíbrio endêmico e a medida queµc aumenta, a razão entre
a curva de infectados versus tempo e suscetível versus tempo diminui. Considera-se a existência de apenas dois estuários e coleta nos dois estuários, tem-se que para
µc ≥0,047a população de caranguejos se extingue nos 2 estuários.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos)
0 1 2 3 4 5
I
(a)
0 0,005 0,01 0,015 0,02
µc
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
I/S
(b)
Figura 17: Em (a), coleta periódica com µc1 =µc2 = 0,02dias−
1. Na linha contínua
temos os caranguejos infectados do estuário 1 e o símbolo (◦) representa os
carangue-jos infectados do estuário 2. Em (b), razão entre as áreas de infectados e suscetíveis versus µc.
1 em que não são coletados caranguejos na linha tracejada o estuário 2 em que são coletados caranguejos. Não é surpresa que exista uma quantidade menor de caranguejos infectados no estuário 2, entretanto essa coleta também provoca um efeito no estuário 1, pois o decrescimento da população de caranguejos infectados do estuário 2 faz com que sua população de fungos decresça e assim uma quantidade menor de fungos migra do estuário 2 para o estuário 1, e então a população de fungos do estuário 1 também diminui e portanto sua população de caranguejos infectados decresce. É possível verificar este fato comparando as razões entre infectados e suscetíveis, quando não havia coleta de caranguejos a razão de infectados em relação aos suscetíveis (a razão das áreas da curva de infectado versus tempo e suscetível versus tempo) era de 0,49, e após a coleta passou a ser de 0,25. Neste caso o equilíbrio livre da doença não é obtido mesmo para altos valores deµc2 e nem o equilíbrio trivial.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos) 0
2500 5000 7500 10000
I
Figura 18: Coleta periódica com µc1 = 0 dias−
1
no estuário 1 (linha contínua) e
µc2 = 0,02 dias
−1
no estuário 2 (linha tracejada).
Na tabela 3, tem-se as médias, desvios padrões e os coeficientes de variação em relação aos picos de infecção medidos para t ∈ [30,50] anos.
31 curva de infectado versus tempo e suscetível versus tempo para o estuário 1 e 2 são respectivamente, 0,25 e 0,09), o coeficiente de variação do estuário 1 é menor do que 1 %, o coeficiente de variação do estuário 2 é de 4,59%. Ao se analisar o gráfico da evolução temporal da população de infectados no tempo, percebeu-se que no caso do estuário 2 tem-se picos anuais de diferentes intensidades, porém ao verificar os valores assumidos por cada pico notou-se que eles se repetem a cada 6 anos, o que explica o coeficiente de variação maior.
Tabela 3: Picos de infecção em relação a figura 18
node picos média desvio padrão coeficiente de variação(%)
µc1 0 10 10752,58 25,04 0,23
µc2 0,02 20 1212,46 55,62 4,59
Na tabela 4, tem-se as médias, desvios padrões e os coeficientes de variação em relação as distâncias entre os picos de infecção medidos parat∈[30,50].
Pode-se notar que a coleta periódica afeta a periodicidade da doença, pois para o conjunto de parâmetros fixados, sem a coleta periódica a distância média entre os picos era de aproximadamente 2,7 anos, e com a coleta periódica ela passou a ser de 2 anos para o estuário 1 e de 1 ano para o estuário 2, e o coeficiente de variação está abaixo de 1% nos dois estuários.
Tabela 4: Distâncias entre os picos em relação a figura 18. média desvio padrão coeficiente de variação(%)
µc1 0 2,000 0,007 0,333
µc2 0,02 1,000 0,003 0,334
Na figura 19(a), tem-se na linha contínua os caranguejos infectados do estuário 1 e em (◦) os caranguejos infectados do estuário 2, neste caso foi feita
calculada a razão entre as áreas da curva de infectados versus tempo e suscetíveis versus tempo em função de µc. A medida que µc aumenta, a razão entre a curva de
infectados versus tempo e suscetível versus tempo diminui. Considera-se a existência de apenas dois estuários e coleta nos dois estuários, tem-se que para µc ≥ 0,031 a
população de caranguejos se extingue nos 2 estuários.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos) 0
1 2 3 4 5
I
(a)
0 0,005 0,01 0,015
µc
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
I/S
(b)
Figura 19: Em (a), coleta contínua com µc1 = µc2 = 0,015 dias−
1. Linha contínua
representa os caranguejos infectados do estuário 1 e o símbolo (◦) os caranguejos
infectados do estuário 2. Em (b), razão entre as áreas de infectados e suscetíveis versus µc.
Na figura 20 tem-se a dinâmica da doença quando a coleta contínua é feita em apenas um estuário, onde na linha contínua tem-se o estuário 1 em que não são coletados caranguejos e na linha tracejada o estuário 2 em que são coletados caranguejos. Como no caso da coleta periódica a população de caranguejos infectados do estuário 2 é menor do que a população de caranguejos infectados do estuário 1, e existe uma diminuição na população de infectados do estuário 1 devido ao mesmo motivo do caso da coleta periódica. Comparando as razões entre suscetíveis e infectados, tem-se que quando não havia coleta de caranguejos a razão de infectados em relação aos suscetíveis era de 0,49, e após a coleta passou a ser de 0,24. Mesmo para altos valores de µc2 tem-se o equilíbrio endêmico.
33
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos) 0
2500 5000 7500 10000 12500
I
Figura 20: Coleta contínua com µc1 = 0 dias
−1
no estuário 1 (linha contínua) e
µc2 = 0,02 dias−
1 no estuário 2 (linha tracejada).
variação em relação aos picos de infecção medidos para t ∈ [30,50]. Neste caso o número médio de infectados do estuário 1 é aproximadamente 14 vezes maior que o número médio de infectados do estuário 2, e o coeficiente de ambos estuários é menor do que 1% indicando um baixo desvio padrão.
Tabela 5: Picos de infecção em relação a figura 20
node picos média desvio padrão coeficiente de variação(%)
µc1 0 10 10408,5 71,8 0,7
µc2 0,015 10 747,1 5,4 0,7
Na tabela 6, tem-se as médias, desvios padrões e os coeficientes de variação em relação as distâncias entre os picos de infecção medidos parat∈[30,50].
Neste caso a média entre as distâncias temporais não apresentam diferença entre si, e seus coeficientes de variação são menores do que 2%.
Tabela 6: Distâncias entre os picos em relação a figura 20 média desvio padrão coeficiente de variação(%)
µc1 0 2,00 0,03 1,61
No modelo proposto em Ferreira et al. (2009) paraµc ≥0,4obtem-se o
equilíbrio trivial e para µc< 0,4a maioria das soluções são periódicas. No presente
estudo para a coleta periódica foi obtido que seµc <0,02tem-se soluções periódicas,
para0,02≤µc <0,047é obtido o equilíbrio livre da doença e seµc ≥0,047é obtido
o equilíbrio trivial. No caso da coleta contínua, observa-se que paraµc< 0,015
tem-se soluções periódicas, para 0,015≤µc <0,031tem-se o equilíbrio livre da doença,
e se µc ≥0,031 tem-se o equilíbrio trivial.
2.4.4 Caranguejos Resistentes
Existem caranguejos que entram em contato com o fungo porém não desenvolvem a doença e são chamados de caranguejos resistentes. Como os artrópodes, em geral, não possuem memória imunológica, eles voltam a ser suscetíveis. O motivo pelo qual alguns caranguejos conseguem neutralizar a ação do fungo em seu organismo e outros não, é mais um dos aspectos desconhecidos dessa doença (GIA, 2006).
Esta abordagem tem por finalidade estudar o efeito causado pela exis-tência de caranguejos resistentes nos estuários. Fez-se duas abordagens: a exisexis-tência de caranguejos resistentes nos dois estuários, e a existência de caranguejos resistentes em apenas um estuário.
Na figura 21(a), tem-se a dinâmica da doença quando existem caranguejos resistentes nos dois estuários, onde a linha contínua representa o es-tuário 1 e em (◦) tem-se o estuário 2, para γ ≥ 0,015 tem-se o equilíbrio livre da doença, o qual é evidenciado quando calcula-se as áreas da curva de infectados versus tempo e suscetíveis versus tempo em função de γ (Figura 21(b)).
A figura 22 mostra a dinâmica da doença para diferentes valores de
γ, em que a linha contínua representa o estuário 1 onde não existem caranguejos
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos) 0 1 2 3 4 5 I (a)
0 0,005 0,01 0,015
γ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I/S (b)
Figura 21: Em (a), caranguejos infectados com γ1 = γ2 = 0,015 dias− 1
. A linha contínua representa o estuário 1 e o símbolo (◦) o estuário 2. Em (b), razão entre as
áreas de infectados e suscetíveis versus γ.
possui uma proporção menor de infectados quando comparado ao caso em que não haviam caranguejos resistentes em nenhum dos estuários, neste caso a razão de in-fectados era de 0,49 e após a inclusão de caranguejos resitentes no estuário 2 essa razão passou a ser de 0,28.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tempo (anos) 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 I
Figura 22: Caranguejos resistentes com γ1 = 0dias− 1
no estuário 1 (linha contínua) e γ2= 0,015dias−
1 no estuário 2 (linha tracejada).
picos de infecção. A média de caranguejos infectados do estuário 1 é aproximada-mente 13,5 vezes maior do que do estuário 2, e o coeficiente de variação dos dois estuários é menor do que 1% indicando um baixo desvio padrão.
Tabela 7: Picos de infecção da figura 22
no de picos média desvio padrão coeficiente de variação(%)
γ1 0 10 14996,50 9,24 0,06
γ2 0,015 10 1118,83 1,68 0,15
A tabela 8 mostra os valores das médias, desvios padrões e coeficientes de variação dos estuários 1 e 2 da figura 22 medidos para t ∈ [30,50] em relação
às distâncias entre os picos, onde pode ser visto que suas médias são iguais e seus coeficientes de variação estão abaixo de 1%.
Tabela 8: Distâncias entre os picos da figura 22
média desvio padrão coeficiente de variação(%)
γ1 0 2,00 0,01 0,28
γ2 0,015 2,00 0,02 0,97
No modelo proposto em Ferreira et al. (2009) para γ > 0,03 não são
possíveis soluções periódicas e o sistema pode tanto alcançar o equilíbrio endêmico, quanto o livre da doença, no entanto a probabilidade de se ter o equilíbrio livre da doença é muito baixa. No modelo apresentado neste estudo, tem-se que, para
γ <0,015 são obtidas soluções periódicas e paraγ ≥0,015tem-se o equilíbrio livre
37
2.5
Conclusão
O modelo proposto reproduz os padrões da DCL e possibilita o estudo da migração dos caranguejos jovens e fungos, o efeito da retirada de caranguejos dos estuários e a existência de caranguejos resistentes na dinâmica da transmissão da doença.
A coleta de caranguejos diminui a probabilidade da doença se esta-belecer no estuário. Para o conjunto de parâmetros utilizado, se a coleta é feita periodicamente nos dois estuários, para 0,02≤µc <0,047tem-se o equilíbrio livre
da doença e se µc ≥ 0,047 é obtido o equilíbrio trivial, entretanto se a retirada é
feita em apenas um estuário obtém-se o equilíbrio endêmico. Se a coleta é contínua, para 0,015≤µc <0,031tem-se o equilíbrio livre da doença e seµc ≥0,031
obtem-se o equilíbrio trivial, da mesma forma anterior, obtem-se a coleta é feita em apenas um dos estuários mantêm-se o equilíbrio endêmico. Observa-se que nos dois casos a partir de um certo valor de µc tem-se o equilíbrio trivial indicando que a ação da
coleta combinada com a doença pode levar a extinção dos caranguejos. A análise dos desvios padrões e coeficientes de variação permitiram concluir que quando a coleta é feita em apenas um dos estuários, ela afeta tanto a intensidade da doença, quanto sua periodicidade.
A existência de caranguejos resistentes também diminui a probabili-dade de que a doença se estabeleça no estuário. Para o conjunto de parâmetros utilizado, se existem caranguejos resistentes nos dois estuários, tem-se o equilíbrio livre da doença paraγ≥0,015. Porém se existem caranguejos resistentes em apenas
um estuário obtém-se o equilíbrio endêmico. A análise dos desvios padrões e coefi-cientes de variação permitiram concluir que quando existem caranguejos resistentes em apenas um dos estuários, o número de caranguejos infectados decresce, e os picos de infecção acontecem com maior frequência.
em um único estuário. O modelo de três equações diferencias ordinárias descreve a variação das populações de caranguejos saudáveis, caranguejos infectados e fungo. O encontro entre as populações de caranguejos saudáveis e fungo foi modelado através da lei de ação das massas e observou-se quatro situações distintas para a dinâmica da doença: o equilíbrio trivial, o equilíbrio livre da doença, o equilíbrio endêmico e o ciclo limite o qual surge de uma bifurcação de Hopf. No presente estudo foram incluídos ao modelo o compartimento de caranguejos jovens, e migração de caranguejos jovens e fungos. Além disso, utilizando a abordagem de metapopulações, o comportamento da doença em estuários distintos e acoplados foi estudada. Mostrou-se que intervenções em um estuário afetam a dinâmica deste e do estuário vizinho devido ao acoplamento entre eles. Por exemplo, observa-se a sincronização da doença nos estuários devido a migração do fungo.
Comparando os resultados obtidos neste estudo com os resultados obti-dos em (Ferreira et al., 2009), observa-se que em relação a coleta de caranguejos, os dois modelos apresentam um valor limiar de µc a partir do qual obtem-se o
Anexos
Tabela 9: Locais atingidos pela doença
Período Município Localidade
Verão de 1997 Goiana-PE São Lourenço Carne de Vaca
Verão de 1998 Bayex-PB Rio Paraíba do Norte Jaboatão-PE Rio Jaboatão
Laguna Araçá Indiaroba-SE
Verão de 2000 Rio Corimbataú-RN Cunhaú Aracati-CE Rio Jaguaribe
Bayex-PB Rio Paraíba do Norte Verão de 2001 Una-BA
Canavieiras-BA Verão de 2003 Conde-BA
Trancoso-BA
Belmonte-BA Rio Itapicurú Canavieiras
Período Município Localidade
Inverno de 2003 Taperoá Morro de São Paulo Nilo Peçanha-BA Boiapeba
Igrapiuna-BA Cova da Onça
Maraú-BA Igarapuá
Aratuípe-BA Pratigi
Jaguaribe-BA Saquairá
Valença-BA Algodões
Camamú-BA Cairú-BA Itubera-BA Cabrália-BA
Parnaíba-PI Delta do Parnaíba
Fortim-CE Rio Pirangi
Aracatí-CE Sítio Cumbe
2004 Nova Viçosa-BA Rio Mucuri
Mucuri-BA
Inverno de 2005 São Mateus-ES Campo Grande Conceição da Barra-ES
Goiabeiras-ES Caravelas-BA
2008 Aracruz-ES
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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