Uma Proposta para o Ensino de Me^ania Qu^antia
Ileana MariaGrea, Maro Antonio Moreira, Vitoria E.Hersovitz
InstitutodeFsia,UFRGS,
CaixaPostal15051, 91501-970,PortoAlegre,RS
Reebidoem27deAbrilde2001. Aeitoem22deOutubrode2001.
Emdeorr^eniadosavanos datenologiaqu^antia,omofazerparaqueestudantesdeursosde
Ci^eniasExataseEngenharia ompreendammelhoroneitosentraisdaMe^aniaQu^antia
tem-seonvertidoemumtemaatualdepesquisanaarea deensinodeCi^eniasemnvelinternaional.
Nestetrabalhoapresentamosafundamenta~aoteoriadeumapropostadidatiaqueapontaneste
sentidoeosresultadosdasuaimplementa~aoemursosdeEngenharia.
Asaonsequeneoftheadvanesofquantumtehnology,howtohelpsieneandengineeringmajors
toget abetter understanding of keyquantummehanialonepts has beameaontemporary
researhtopi insiene teahing atinternationallevel. Inthis paperwe present the theoretial
framework of adidatial approahin this diretion as well as the results of its implementation
withengineeringstudents.
I Introdu~ao
A ompreens~ao dos estudantes sobre oneitos de
Me^aniaQu^antia,oaprimoramentodoseuensinoem
nveluniversitarioesuainorpora~aonoensinomedio
t^emseonvertidoemtemasatuaisnapesquisaem
En-sinodeCi^enias. Aindaqueatehojeaspesquisas
publi-adasaesterespeitosejamesassas[1℄,emompara~ao
om outras areas omo a Me^ania ou o
Eletromag-netismo,nosultimosanosonumerodetrabalhos
apre-sentadosaesterespeito(antesrestritosprinipalmente
amodelosat^omios)tantoemongressoseonfer^enias,
naionais e internaionais, omo nas revistas da area
temresidonotavelmente[2℄.
Demaisdizerqueeste interesseemuitojustiado.
EmpareriaomaRelatividade,aMe^aniaQu^antia
eagrandeestreladoseuloXX.Basedesustenta~aoda
fsianulear,at^omia,moleularedoestadosolido,da
fsiadaspartulaselementaresedaluz,seusimpatos
pratiosatingem hoje asmais variadasaplia~oes,
be-neiandoateamposdepratiidadeimediataomoas
Ci^eniasdaSaudeeasEngenharias.Maisainda,os
de-senvolvimentosreentesnaminiaturiza~aoeletr^onia e
nananotenologiat^emintroduzido, ateno mundo dos
negoios,dispositivos que somente podem ser
apreia-dos a partirdos prinpios da Me^ania Qu^antia [3℄.
Seateagoraesteonheimentoestavareservadoaos
es-tudantesdeFsiaedeQumia,pareeinevitavelque
a maioria dos prossionaisdeste novoseulo deva ter
umonheimentoaesterespeitobemmaisaprofundado
queoneessarioateent~ao.
Certamente,ensinarMe^aniaQu^antian~aoeuma
tarefa fail. Seus prinpios fogem da vis~ao lassia
de mundo que possumos, fazendo que a maioria
de-leslevemaonsequ^eniasqueresultam\antiintuitivas".
Assim, as implia~oes resultantes de oneitos omo
osdesuperposi~ao de estados, prinpio de inerteza 1
,
dualidadeonda-partula,distribui~aodeprobabilidades
en~aoloalidade ontinuamatehojeprovoando
aalo-radosdebates,sendoalvodertiasatemesmo
daque-lesqueontriburamamolda-la.
Poroutra parte, a abordagem tradiional das
dis-iplinas introdutorias para os ursos de Ci^enias
Ex-atassalientaaspetoshistorios,queapelammaispara
as araterstias lassias dos sistemas do que para
as qu^antias, e dos oneitos qu^antios antes
enuni-ados, os estudantes reebem, sobretudo, informa~oes
na forma de equa~oes 2
, om pouo vnulo om a
fenomenologia. Alem disto, aforma omo ela e
apre-sentadadefrontaosestudantesomuma seriedefatos
ujaraionalidadeterminaresultandoduvidosa[4℄,em
ontraposi~ao ao ensino das areasda Fsia Classia,
quesalientaoraioniologioepreisoque
arateri-zaa\raionalidade"fsia. Comoonsequ^eniadisto,a
Me^aniaQu^antiaeonsideradaomomateriadifil,
ompouasliga~oesomomundorealeate\esoteria",
1
Aindaqueooneitodeinertezaestejaassoiadotambemaooneitolassiodeondas,adquireoutrosigniadonoontextoda
Me^aniaQu^antia,sendoestendidoaqualquerpardeobservaveisn~aosimult^aneosrelativosaosobjetosqu^antios.
2
sendo seus oneitos n~ao ompreendidos pelos
estu-dantes [5-7℄. Emresumo, asabordagenstpiasdestes
ursos n~aoriamondi~oesparaqueosalunos
apreen-dam a nova forma de pereber os fen^omenos
deor-rente dos prinpios da Me^ania Qu^antia e ursos
subsequentes,mais tenios,quen~ao disutemas
on-ep~oes em que se baseiam os enuniados da teoria,
tambemn~aoonseguemfazerisso[6℄,[8℄.
Estesfatoresonduzemaqueodesenvolvimentode
estrategiasdidatiasquefavoreamaaprendizagem
sig-niativa da Me^ania Qu^antia se tornem temas de
pesquisa relevante. Neste trabalho apresentamosuma
propostaquefoiimplementadanoIF-UFRGSdurante
os semestresletivos1999/1e2,emtr^esturmasda
dis-iplina de Fsia IV (onde estes onteudos s~ao
tradi-ionalmenteintroduzidos)dasarreirasdeEngenharia
e Qumia,ujo objetivofoi, fundamentalmente,
auxi-liarosestudantesavisualizarfen^omenosmirosopios
a partir dosprinpiosda Me^ania Qu^antia. Os
re-sultados que apresentamos,noentanto, s~aoosobtidos
na primeira implementa~ao da mesma (estudo piloto,
primeirosemestrede1999).
II Fundamenta~ao da proposta
em termos de aprendizagem
As pesquisas desenvolvidas pelo Grupo de Ensino do
IF-UFRGS nos ultimos anos t^em-nos levado a
onsi-derar, omo india Feyerabend [9℄, que ertas teorias
ientas{eempartiularasfsias|possuem
deter-minadas araterstiasproprias dalinguagemnatural
e, por isso, para poder aprend^e-las epreiso aprender
novas rela~oes de perep~ao e oneituais, trazendo a
luz onep~oes oultas nos signiadosdos seus
enun-iados. O referenial teorio om o qual trabalhamos
foi a teoria dos modelos mentais de Johnson-Laird
[10℄; [11℄. Segundo ela, um modelo mental e uma
re-presenta~ao interna que atua omo um analogo
estru-tural de situa~oesouproessos. Sua fun~aoe ade dar
onta do raionio dos indivduos tanto quando
ten-tam ompreender o disurso omo quando tentam
ex-pliar ou predizer o omportamento do mundo fsio.
Segundo estas teoria, a apaidade para inueniar,
ontrolar, iniiar ou predizer um fen^omeno fsio que
estanabase dasuaompreens~aoderivadaonstru~ao
de modelos de trabalho desse fen^omeno. Frente a
uma situa~ao, tanto os elementos esolhidos para
in-terpreta-la omoasrela~oesperebidasouimaginadas
entreelesdeterminamumarepresenta~aointernaquee
analogo-estruturalomarealidadeperebida,demodo
que atua omo substituto dessa realidade. Da
ma-nipula~ao desses substitutos apareem propriedades e
rela~oesn~aoexplitasdosistemaquepodemser`lidas'
demaneiradireta,failitandoarealiza~aodeinfer^enias
e predi~oes. Segundo Johnson-Laird (1983), os
mode-dadedeperep~aodosorganismosomsistemanervoso,
sendoaperep~aooqueestabeleeamedia~aoentreo
mundo e o homem. Assim, os humanos (e
possivel-mente outrosseresvivos)n~aoapreendemomundo
di-retamente sen~aoatravesdeuma representa~aointerna
dele,poisaperep~aoimpliaaonstru~aodemodelos
mentais.Ouseja,aperep~aodequalquersitua~aoesta
ondiionadapelosmodelosmentaisquesomosapazes
deonstruir. Alemda perep~ao, osmodelosmentais
podem ser onstrudos a partir da experi^enia ja
in-ternalizadae da intera~ao om tereiros, omo vimos
noasodo disurso. Osmodelosmentais geradospor
estas fontes podem inueniar-se mutuamente; a
per-ep~ao,porexemplo,podeserinueniadapelos
mode-losgeradospelaintera~aoomtereiros(pense-seomo
semodianossaperep~aodosrudosnoturnosdepois
daleitura deumanovela deterror)evie-versa.
Den-trodateoriapostula-sequeexistem ertosoneitose
proedimentos primitivos,i. e,inatos. Osdemais
on-eitosdevemseronstrudosviamodelosmentais,que
dever~aoserapazesderepresentartantoasuaess^enia
quanto asua amplitude. O nuleo do modelomental
do oneito representara a ess^enia deste, ou seja, as
propriedadesaraterstiasdo estadode oisas queo
oneito desreve - por exemplo, o nuleo do modelo
mentaldooneitodetelefoneelularinluiano~aoda
omunia~ao sem os- enquanto aamplitude do
on-eito estara determinada pelos proedimentos de
ma-nipula~aodosmodelos,deformaadeniroonjuntode
estadosdeoisaspossveisqueooneitodesreve-no
exemploanterior,telefone elular digitalouanalogio.
Este proesso de onstru~ao dos oneitos via
mode-los mentais tambem e valido, segundo Johnson-Laird
(ibid.,p.415)paraosoneitosabstratos. \Coneitos
semfunda~ao [em modelosmentais℄diilmente s~aoa
basedetodasasfrasesabstratas;nomomento emque
os indivduos adquirem uma lara intui~ao aera de
omoomundotemdeserparaqueumaarma~aoseja
verdadeira,devemter transendidoumarepresenta~ao
meramente proposiional". Os nuleos direionam a
forma~aodosmodelosmentaispoisdeterminamaforma
omoofen^omenoe\visualizado". Tomemosum
exem-ploamplamentedisutidoomoeodooneitodefora.
Paraosestudantes,umaaraterstiaessenialdo
on-eitoearela~aoausalsimplesentreforaemovimento,
enquanto oessenialdetal oneitonavis~aodaFsia
Classiaeaintera~ao. Essesdoisnuleos determinam
formasdiferentesdevisualizarosfen^omenosvinulados
ao oneito de fora, envolvendoa onstru~ao de
mo-delosmentais\essenialmente"distintosemadaaso.
Estadiferenanaformadevisualiza~aodosfen^omenos
seria umdos fatores para as diuldades que os
estu-dantest^emomosoneitosdaFsiaClassia. Apesar
daimport^ania destaquest~ao, ela raramentee
explii-tadanoensinodaMe^aniaClassia.
antes,seusfundamentosdeterminamumaformade
per-ep~ao dos fen^omenos mirosopios diferente da
pro-porionada pela Me^ania Classia. Desde este
refe-renial, ent~ao, as diuldades que os estudantes
uni-versitariosenfrentamparaaompreens~aodaMe^ania
Qu^antiaderivamfundamentalmentedadiuldadede
substituir os nuleos dos modelosmentais queservem
paraexpliaro`mundolassio',impedindo-osde
ons-truir modelos mentais que lhes permitam visualizar
\quantiamente" osfen^omenos mirosopios. Nesses
nuleos deveriam estar inorporados, entre outros, os
oneitos de superposi~ao de estados, dualidade
onda-partulae araterprobabilstio dos resultados de
me-didas.
Aquest~aoe,ent~ao, omofazer para que osalunos
gerem modelos mentais adequados para a perep~ao
qu^antia dos fen^omenos mirosopios. Areditamos
que uma solu~ao possvel seja, sobretudo em ursos
introdutorios, salientar diretamente as araterstias
qu^antias dos sistemas ao inves de busar analogias
lassiasquereforamasonep~oeslassiasdos
estu-dantes,eusufruir dasinumerasexperi^eniasomuma
oupouaspartulas,disponveishojeemdia,emgeral
oneitualmente simples, para que os estudantes
pos-sam familiarizar-se om a \perep~ao" qu^antia. De
algumaforma,taisreentesexperi^enias{muitasdelas
realiza~oesfsiasdosantigos\gedanken-experiments",
outras visando derrubar mitos lassios as vezes
em-butidos emparadoxos{propiiamaforma~aodeuma
novagera~aode fsiosque vem adquirindo uma
om-preens~aonatural,\intuitiva", dosfen^omenosqu^antios
[13℄. Ainda quen~aosepretendaqueestudantesde
ou-trasarreiraspossam atingirtalnveldeompreens~ao,
areditamos que esta proposta [14℄ pode ser uma
al-ternativaviavelparaumensinomaiseientedos
on-eitos basiosde Me^ania Qu^antia nosursos
intro-dutorios. Aabordagemaquipropostaeentendidaomo
fenomenologio-oneitual. Fenomenologia para
pro-piiararia~aodeumanovaperep~ao,eoneitualna
medidaemqueosfen^omenosesolhidosdevemser
su-ientementesimples(elementares)edirigidosdeforma
a que a ess^enia sem^antia dos (primeiros) oneitos
envolvidosqueevidente.
III Disuss~ao dos oneitos
fsios fundamentais
Dada a posi~ao singular que a Me^ania Qu^antia
oupa dentro da Fsia { ainda que seu modelo
matematio, seu formalismo abstrato, esteja
rme-menteestabeleido 3
,ainterpreta~aodateoriaontinua,
omoindiamosnaIntrodu~ao,aindahoje,provoando
airradosdebates {, onsideramos importante
eslare-er que neste trabalho adotamos a interpreta~ao da
Me^ania Qu^antia deorrente da formula~ao de Von
Neumann. Diferentementedainterpreta~aode
Copen-hague, nainterpreta~aoortodoxaosestadosqu^antios
(representadospela fun~aode onda) possuemuma
re-alidade independente da medida 4 5
. Embora o
de-bate dessas quest~oes e o onfronto entre as
distin-tas interpreta~oes se onvertam, semduvida, em uma
experi^enia que permite apreiar profundamente as
brehas entre osoneitos lassios e qu^antios,
are-ditamos, porem, que primeiro e indispensavel que os
estudantes aprendamos oneitosbasiosem uma
in-terpreta~ao { e neste aso por que n~ao na da
inter-preta~ao ortodoxa, ou seja, aquela aeita usualmente
nos meios aad^emios [16℄{, antes de poder se
on-frontaromoutrasinterpreta~oes. Sem opre-requisito
daompreens~aodeumainterpreta~ao(aortodoxa,por
exemplo),outrasinterpreta~oesamsemsustenta~ao.
A estrategia didatia pretende, ent~ao, tornar
palpaveisalgunsdosprimeirosprinpiosque,emnosso
entender,s~aofundamentaisparaompreenderomundo
mirosopio,devendoestar,portanto,nosnuleosdos
modelosmentaisneessariosparaaompreens~aodeste
mundo. Apresentamos, aseguir, uma brevedesri~ao
dainterpreta~aoutilizadanapropostaparaosoneitos
queonsideramosentraisparaestaproposta.
Superposi~ao de estados
O prinpio da superposi~ao de estadose
onside-rado por alguns pesquisadores omo o postulado zero
da Me^ania Qu^antia, sendo a superposi~ao de
esta-dosumoneitofundamentaltantoparaentender-seo
mundo mirosopio,omo tambempara ilustraruma
onep~ao que, ainda que om a mesma formula~ao
matematianasteoriasqu^antiaelassia,impliaem
signia~oesompletamente diferentes.
Emlinguagemvetorial-ondeadavetorrepresenta
3
Como bem observa Jammer [15℄, nenhum outro formalismo om uma estrutura drastiamente diferente daquela da Me^ania
Qu^antiafoijamaisaeitoomoalternativa.
4
Emboran~aopossuam,emgeral,propriedadesdin^amiasespeas.
5
FreireJr. (omunia~aopessoal)ressalta, noentanto, que n~aoepossvelassoiarexlusivamente umainterpreta~aoobjetiva da
Me^aniaQu^antia(atribuirumaraterobjetivoaooneitodeestadodeumsistemaqu^antio,tornando-omenosdependentedos
pro-essosdemedi~ao)ainterpreta~aodeorrentedaformula~aodevonNeumann. Segundoele,aabordagemdevonNeumann,tratando
osaparelhosdemedi~aoomoobjetosqu^antios,diluiuoslimitesentreomundootidianoeomundoqu^antio,abrindoapossibilidade
deseogitardeumaintera~aosigniativaentreaonsi^eniadopesquisadoreosistemaqu^antio,posturaqueinaugurouumalinha
deabordagemsubjetivistadoproblemadamedidadesenvolvidaposteriormenteporLondon,Bauer,vonWeizskereWigner(embora
opropriovonNeumannn~aotenhadisutidootema). FreireJr. ressaltatambemque,em1999,MihelPaty[17℄prop^osumaextens~ao
umestadopuro-esteprinpiopodeserexpressoomo
segue.
Se os vetoresj'
1
> e j'
2
> representampossveis
estados(puros)deumsistema,qualquervetorj'
3 >= 1 j' 1 >+ 2 j' 2
> representa tambem um possvel
es-tadodosistema.
Tal prinpio n~ao pode formar parte de uma
teo-ria determinista, pois nestas teorias, ainda que
qual-quer vetor j'> possa seresrito omo umsomatorio
de vetores j'
i
>, n~ao podemos onsiderar qualquer
vetor onstrudo desta forma omo representando um
possvel estado (puro) om realidade fsia. Ou seja,
restringindo-nos ao aso bidimensional, onde existem
dois possveis resultados x
1 e x
2
para uma dada
me-dida, representados pelos subespaos E
1 e E
2
, os
ve-tores (normalizados) j'
1
> e j'
2
>, pertenentes aos
subespaosE
1 eE
2
,respetivamente,podem
represen-tar estadospuros, enquanto ovetor j'
3 >= 1 2 j' 1 > + 1 2 1=2 j' 2
>,emumateoriadeterminista,n~aopode.
Poristo,Dira[19℄ armaqueamaiordiferena entre
aMe^aniaClassiaeaMe^aniaQu^antiadeorredo
prinpiodesuperposi~aodeestados.
Portanto,umateoriaqueinluaesteprinpiodeve
ser inerentemente probabilstia: as probabilidades de
resultados deumdeterminadoexperimentopodem ser
diferentesde0ou1[20:108℄. Rompe-se,destaforma,a
identidadequeaFsiaClassiaestabeleeentreestado
de umsistema eresultadodeuma medi~ao, ouseja,o
resultado de uma unia medi~ao n~ao nos pode
infor-mar, emgeral,deformaompletaaeradoestadodo
sistemaantesdamedida,oorrendoapenasrela~oesem
formaprobabilstia.
Os questionamentos a \realidade fsia" deste
prinpio foram formulados pelo proprio Shrodinger,
naformadofamosoparadoxodogato,sendomuitasas
vozesadizerquea\superposi~aodeestados"esoum
efeitomatematiodeorrentedodesonheimentosobre
oestadodosistema. Estequestionamento,porem,tem
semostrado inorreto,havendo-seonseguidoveriar
a superposi~ao de estados em um unio sistema" em
pequena esala 6
[21℄. Poroutraparte,
desenvolvimen-tosteoriosreentes[22℄permitiramtornarmaislaroo
porqu^eden~aoseremobservadosefeitosdesuperposi~ao
na esala marosopia: basiamente, porque os
sis-temas marosopios n~ao s~ao sistemas fehados, mas
simqueinteragemdissipativamenteomomeio.
Oprinpiodasuperposi~aodeestadosetrabalhado
sem grandesdiuldadesmatematiaspelosalunosem
ursos tradiionais de Me^ania Qu^antia, quando se
analisam estados de norma nita. Contudo, para a
maioriadosestudanteselesetornaapenasuma
deom-posi~ao matematia, sem uma ontrapartidana
reali-dade fsia, identiando-se om a onep~ao lassia
[8℄. Diilmente osestudantes sedeparam, em ursos
introdutorios (e ate em alguns mais avanados), om
asnuanesdesteprinpioesuasonsequ^eniasfsias.
Mais ainda, apesar da sua import^ania, raramente e
disutido nos ursos introdutorios de Fsia Geral e
tambemraramenteapareenoslivrosutilizados nestas
disiplinas.
Dualidade onda-partula e Prinpio de
Inerteza
AssimomoparaDiraoprinpiodesuperposi~ao
linear de estados e o postulado mais importante da
Me^ania Qu^antia, para outros a dualidade
onda-partulaousuavers~aoformalizadanoprinpiode
in-ertezas~aoasinova~oesruiaisdaMe^aniaQu^antia.
Neste ontextodiz-seque, no mundo mirosopio, os
aspetos orpusulares e ondulatorios da materia s~ao
omplementares,ouseja,umsistemaqu^antiopode
exi-biraspetosorpusularesouaspetosondulatorios
de-pendendo doarranjoexperimental,masn~aoambosao
mesmo tempo 7
. Em deorr^enia, n~aoepossvel
mon-tarum dispositivoexperimental ondeosdoisaspetos
possam serreveladosaomesmotempo.
Esteaspetoomplementardomundomirosopio
eexpresso, no formalismo daMe^ania Qu^antia, nas
rela~oesdeinerteza. SegundooPrinpiodeInerteza,
enuniado por Heisenberg em 1927, dado um par de
grandezasfsiasAeB,representadaspelosoperadores
AeBquen~aoomutam,quantomaioreo
onheimen-to deuma delas emum dadoexperimento, menor eo
onheimentodaoutra. Matematiamente,
Se [A;B℄ 6= 0, ent~ao, AB ~
2
: sendo A a
inertezanooperadorAeB nooperadorB.
Este prinpio refere-se, ent~ao, aos tipos de
ob-servaveisque podem serenontrados nateoriaepode
ser lido desde duas perspetivas [25:ap.1℄. Por uma
partepodemosonsidera-loomoumapropriedade
fun-damental do estado fsio de um sistema qu^antio de
formaque,independentementedeomosejapreparado
tal estado, n~ao pode orresponder a valores preisos
de dois observaveis inompatveis; por exemplo, n~ao
pode ter valores preisamente denidos de posi~ao e
momento. No mesmo sentido, um paote de ondas
lassio n~ao pode ter valores perfeitamente denidos
de posi~ao e numero de onda. A outra leitura (que
6
Noparadoxooriginal,osestadosdogatoestavam\emaranhados"(verseguintenotaderodape)omosestadospossveisdoatomo.
Osestados quenaliteratura seonheem omo"estados dogatodeShrodinger",na verdade,n~aos~aoestadosemaranhadose,sim,
superposi~oesoerentesdeestadosdistinguveisdeumsistemaunio [23℄.
7
PessoaJr. [24℄hamaa este enuniadoda dualidade onda-partula de\vers~aoforte" (basiamente defendidoporNiels Bohr).
SegundoPessoaJr. (p. 29),oprinpiopodeserenuniadodeformamaisfraa,asaber: \Qualquerradia~aoondulatoriaedetetada
podeser pensada a partirdo \mirosopiode
Heisen-berg")eonsideraroPrinpiodeInertezaomouma
propriedade fundamental do proesso de medida, de
modo que a inerteza, por exemplo, no momento e
devida a perturba~ao do sistema no proesso de
me-dida. Ambasasleituras t^em,noentanto,uma raiz
o-mum: se odispositivo demedida, segundoaprimeira
leitura,apresentainertezasinevitaveis,
neessariamen-teamedi~aodeumagrandezaperturbaraaoutra;por
outraparte,asperturba~oesqueinevitavelmente
aom-panhamamedi~aodegrandezasinompatveisnos
im-pedir~aodeprepararumsistemaqu^antioemumestado
om valores simult^aneos bem denidos de grandezas
inompatveis. De qualquer forma, oPrinpiode
In-ertezaeumalimita~aoinerenteatodoatodemedi~ao
e n~ao pode sersuperado om os avanos tenologios
dos sistemas de medi~ao. Este limite natural anossa
apaidadede observa~aoleva-nos a abandonar ideias
entraisdavis~aolassiademundo,omoadoarater
fundamentalqueooneitodetrajetoriaoupaa.
Assimomo no aso doprinpio de superposi~ao,
toda teoria que ontenha um prinpio sobre
ob-servaveisinompatveiseinerentementeprobabilstia,
ouseja,permitequeasprobabilidadesderesultadosde
umdeterminadoexperimentosejam diferentesde 0ou
1. Somentesetodososobservaveisdeumateoriaforem
ompatveis(omoeoasodaFsiaClassia),ateoria
podeserdeterminstia.
Ainda que, tanto o prinpio de superposi~ao de
estados quanto o de inerteza, impliquem em teorias
probabilstias, os doiss~aooneitualmente diferentes,
ouseja,queumateoriatenhaobservaveisinompatveis
n~ao implia que estados puros possam ser somados e
vie-versa 8
.
O Prinpio de Inerteza nos permite estabeleer,
pela primeira vez na historia da Ci^enia, uma
es-ala \absoluta" de tamanho: o mundo at^omio e
subat^omioepequenonosentidoabsoluto,porque
qual-quer medi~ao efetuada nessa esalausarareursos da
mesma esala e podera afetar o resultado, de forma
que e preiso sempre indiar omo est~ao sendo
obser-vados os fen^omenos. Ou seja, na esala at^omia e
subat^omia existem limita~oes absolutas as
possibili-dades de medi~ao, quest~ao esta enfatizada por Dira
(1930)[19℄.
Osestudantes, porem, s~ao apresentados, em geral,
somente as formulas vinuladas ao Prinpio de
In-erteza, sem que sejam estabeleidas, pelo menos nos
ursosintrodutorios,assuasrela~oesomooneitode
dualidadeouomaideiadequantiza~ao. Assim,muitos
dosestudantesaprendemasformulassemsaberondeou
omoaplia-las. E,apesardeaeitar-sequeasrela~oes
deinertezan~aoemergemdeimperfei~oes
tenologia-mente superaveisnosdispositivosde medi~ao,estaea
interpreta~aomaisdifundidapossivelmenteporqueeste
eoontextoemqueosestudantesdei^enias
primeira-mente sedeparamomapalavra\inerteza" 9
[6℄,[8℄.
Carater probabilstio dos resultados de
medidas e problema da medida
AMe^ania Qu^antia, omodeorredosprinpios
disutidos anteriormente, e uma teoria inerentemente
probabilstia: enquantonaMe^aniaClassiao
resul-tado de ada medi~ao pode serprevisto om preis~ao
arbitraria,desde queoestadoiniialsejaonheido, a
Me^ania Qu^antia, nas mesmas ondi~oes, ofereeso
predi~oes probabilstias. A natureza dessas
probabi-lidades, poroutraparte, difere dasdaFsia Classia:
elasn~aoaonteemdevidoafaltadeonheimento,pois
afun~aode ondaontemtoda ainforma~ao aerado
estado de um sistema, e as densidades de
probabili-dades apresentam termos de interfer^enia porque s~ao
resultantesdomoduloaoquadradodesomasde
ampli-tudes. Alemdisso,emontraposi~aoaFsia Classia,
a rela~ao entre osistema a sermedido e odispositivo
de medida e simetria ebiunvoa [26℄: assim omo o
sistema deve modiar o dispositivo de medida (para
mover o ponteiro, por exemplo), o dispositivo
modi-a oestado do sistema que a, em geral, depoisde
ompletadaamedida, em umestado diferente. O que
aonteeomosistemaduranteamedida? Comodeve
ser o dispositivode medida para realizar asmedi~oes
desejadas? Essasquest~oes, que n~ao apareemno aso
lassio,onstituemoquesedenominadeproblemada
medida emMe^aniaQu^antia.
A teoria damedida em Me^ania Qu^antia foi
as-suntoentralnosdebatesdasdeadasdevinteetrinta,
quando se desenvolvia a ompreens~ao a respeito das
medi~oesparaumunioobjeto. Nasdeadasseguintes,
porem, esse interesse passou, pois os sistemas om
os quais os fsios trabalhavam, ainda que
meano-qu^antiosemprinpio, sofaziamusodainterpreta~ao
probabilstia do quadrado das amplitudes da fun~ao
de onda. Segundo Thorne [25:2℄, \n~ao havia
neessi-dade de invoar-se o que rapidamente foi visto omo
oesoterio, problematioeduvidoso'olapso (redu~ao)
dafun~aode onda'."Aquest~aofoiretomadaommais
fora nadeadade oitenta, quandoos
desenvolvimen-tos tenologios omearama permitir arealiza~aode
experimentos de medi~oes repetidas sobre um unio
sistema 10
.
Oque oorreomosistema durante uma medi~ao
n~aopodeserdeduzidodosprinpiosanteriores,nemda
equa~aodeShrodinger,quegovernaoomportamento
dos sistemas qu^antios. A equa~ao de Shrodinger e
8
Porem,omoindiaHughes[20℄,aexist^eniadeobservaveisinompatveispermitedistinguirentreestadospurosemistos.
9
Asideiasde\erronamedi~ao",ede\medidasinorretas"s~aoasqueapareemmaisvezesassoiadasadeinerteza,nospre-testes
usadosemnossapesquisa.
uma equa~aodeevolu~aotemporaldeterminista(o
es-tadonaledeterminadounivoamentepeloestado
ini-ial) e reversvel(doestadonal pode-seemprinpio
voltaraoestadoiniial),n~aopodendogovernarou
des-rever um proesso de medida inerentemente
proba-bilstio. Tal proessoe resgatado pelo postulado da
ltragem da fun~ao de onda, que inorpora a
irrever-sibilidade nas medidas (depoisde efetuada amedi~ao
n~aoe possvelvoltarao estadoanterioramedida) eo
n~ao-determinismo(antesdamedi~aon~aosepode
predi-zer em que estado se enontrara o sistema depois da
medi~ao) 11
.
Oproblemadamedidaeumaquest~aopratiamente
omitida nosursos tradiionais deMe^ania Qu^antia
(osursosdeintrodu~aon~aotratamsobreotema),em
parte devido a sua omplexidade e em parte porque
muitosdoslivrosutilizadosnestasdisiplinasforam
es-ritos nas deadas em que este problema n~ao era um
tema de pesquisa relevante. Porem seu tratamento e
importante, pois enerra, em si mesmo, as diferenas
fundamentais do tratamento qu^antio. Como
disu-tido em Grea e Moreira (1999) [8℄, estudantes de
ursos avanadosde gradua~aopareemmanter ideias
lassiasaesterespeito.
IV Desri~ao da implementa~ao
da proposta
Implementamos, sob a perspetiva menionada, no
primeiro semestre de 1999, uma experi^enia-piloto 12
em umaturmadadisiplinadeFsiaGeraldoquarto
semestre dos ursos de Engenharia da UFRGS,
ons-tante de 25 estudantes, om a onord^ania e
olab-ora~aodaprofessoraregulardaturma. Oprojeto,
de-senvolvidodurante 24horas-aula,inluiuosseguintes
temas: omputa~ao qu^antia, experi^enia de
inter-fer^eniaparasistemasqu^antios,prinpiodeinerteza,
experi^eniadeStern-Gerlahesistemasdedoisestados,
superposi~aolineardeestados,resultadosdemedi~oes,
distribui~aodeprobabilidades,equa~aodeShrodinger,
problemas simples de autovalores (poos e barreiras
de potenial), tunelamento e mirosopio eletr^onio
de varredura, atomo de hidrog^enio, espetros e saltos
qu^antios, paradoxodogato de Shrodinger,medi~oes
semintera~aoomoobjeto,lasereonnamentode
ob-jetosqu^antiosomteniasderesfriamento. Emtodas
as aulas,apreoupa~aodominante foi adeapresentar
os fen^omenos, destaando-se osoneitos envolvidose
inentivando-seosestudantes,atravesdasquest~oes
pro-postasedasdisuss~oes,a(re)riarasuaperep~ao. As
disuss~oes em grupos e om a professora foram,
por-tanto,partefundamentaldoproesso. Cabenotarque,
depoisdatereiraaula,todososoneitosfundamentais
seleionadospornos(estado-fun~aodeonda,prinpio
deinerteza,superposi~aolineardeestados,resultados
demedi~oes,distribui~aodeprobabilidades)jahaviam
sidoapresentadosaosalunos,sendoemadanovaaula
retomadosna\leitura"dosnovosfen^omenos,
busando-seassimadiferenia~aooneitualprogressiva 13
.
Caberessaltarqueessesforamosuniosonteudos
tratados: asexperi^eniasquetradiionalmentes~ao
ap-resentadasaosestudantes-omoradia~aodoorpo
ne-groouefeitoCompton,n~aoforaminludas. Estas
ex-peri^eniasformam partedaestrategiatradiionalpara
oensinointrodutoriodaMe^aniaQu^antia,que,omo
indiadonaIntrodu~ao,salientaaspetoshistoriosque
apelam mais para as araterstias lassias dos
sis-temasdoquepara asqu^antiaseujosresultados, em
termosdosaprendizagensalanadospelosestudantes,
n~aos~aosatisfatorios.
Dadoqueoformalismomatematioeinerentea
des-ri~aoqu^antia (omotambem, alias, alassia), uma
daspreoupa~oesnoprojeto foiintroduzi-loem
simul-taneidade om os oneitos fsios. Para isso,
traba-lhamos sobre a base de sistemas de dois estados (em
partiular,odespindoeletron),queonsideramosseria
demelhorompreens~aoparaosestudantes,para
disu-tiras quest~oes da superposi~ao linear de estados,
dis-tribui~aodeprobabilidadeseadiferenaentreestadode
umsistemaeresultadode umamedi~ao. Areditamos
quepensar em termos de vetores deespaos
bidimen-sionais permite aos estudantes pensar de forma mais
onreta, a pereber melhor o que estaenvolvidonos
prinpios fundamentais, e que pode ar masarado
quando esses s~ao apresentados de forma mais geral.
Ouseja,tais sistemaspodem serimaginados deforma
mais simples, failitando assim a forma~ao de
mode-losmentais. O usode sistemas dedois estadosn~ao e,
demodoalgum, uma inova~ao pois apareeem varios
textos lassios sobre Me^ania Qu^antia (por
exem-plo, [31-33℄). Contudo, omo o tema do spin quase
n~aoetratadonos ursosintrodutorios, essessistemas,
muitasvezes,n~aos~aoabordados. Comoosalunos
apre-sentavampouafamiliaridadeomotratodeequa~oes
difereniais,depoisdeintroduzirooneitode(equa~ao
de)autovaloresededisutir aquest~aoda quantiza~ao
daenergia, lanamos m~ao de reursosomputaionais
11
Ouniotipodemedi~aoquen~aoumpreomestasondi~oeseodenominado\medidaqu^antiaperfeitan~aodemolidora"emque
osistemajaseenontraemumautoestadodoobservavelasermedido[24℄.
12
Estapropostafoiutilizadaemduasoutrasturmasdamesmadisiplinanosegundosemestrede1999.
13
Adiferenia~aoprogressiva eumprinpio, proposto por David Ausubel [28℄, [29℄, queseaplia tanto a din^amiada estrutura
ognitivaomoaprograma~aodoonteudo. Dopontodevistaognitivo,signiaque,amedidaqueoorreaintera~aoentreo
onhe-imentoprevioeonovoonheimento,asideias-^anorav~aoadquirindonovossigniados,maiorlarezaeestabilidadee,assim,maior
apaidadedeservirdeanoradouroparanovosonheimentos.Daotiainstruional,sugerequeasideiasmaisgeraisemaisinlusivas
para mostrar omo a quantiza~ao estaregulada pelas
solu~oes siamente aeitaveis para a fun~ao de onda
assoiada adeterminados sistemas. Outra importante
^
enfase do urso foi a de vinular o modelo fsio a
aplia~oestenologiasbastantereentes. A
metodolo-giadesaladeaulafoiadetrabalhoempequenosgrupos
(adagruposendoformadoportr^esouquatroalunos),
apartirdetextosespeialmente elaboradosque
onti-nham,ademais,uma rela~aode quest~oes oneituaise
depequenosproblemasomosquaisosalunosdeviam
trabalhar em aula, om o auxlio da professora. No
Ap^endiemostramosumdestestextos.
V Metodologia de pesquisa
Desrevemos,aseguir,osresultadosdaprimeira
imple-menta~aodaproposta(estudo-piloto)eosomparamos
omosdeumaturmasemelhanteusadaparaontrole.
A turma de ontrole reebeu instru~ao em onteudos
introdutorios deMe^ania Qu^antiadurante omesmo
perododetempo,masomoenfoquetradiionale
uti-lizando a literatura orrente na Fsia Geral (Fsia
IV de D. Halliday e R. Resnik e Fsia IV de P.
Tipler). Os resultados tambem s~ao omparados om
os de um grupo de estudantes da disiplina do urso
de Fsia de Introdu~ao a Me^ania Qu^antia (IMQ),
do urso de Fsia da UFRGS, que reebeu instru~ao
emonteudosintrodutoriosomumaabordagem
seme-lhanteadaturmadeontrole(abordagemtradiional),
poremdurante umperododetempomaisprolongado
(umsemestre,literaturabasia: FundamentosdeFsia
Moderna, de R. Eisberg). Interessavanosomparar o
desempenhodosestudantesdogrupoexperimentalom
osdooutrogrupo,que,porumperodobastantemaior,
reebeuinstru~aonasideiasfundamentaisdaMe^ania
Qu^antia.
Dos varios instrumentos (testes de assoia~ao de
oneitos, respostas omplementaresdos testes de
as-soia~ao de oneitos, quest~oes oneituais,
entrevis-tas, doumentos esritos dos estudantes, questionario
de avalia~ao daunidade porparte dos estudantes) - e
teniasdeanalise queutilizamos(analises
interpreta-tiva, de agrupamentos hierarquios, multidimensional
emultivariada)[34℄;[35℄,apresentamosnestetrabalho
apenas os resultadosdeorrentes deum teste de
asso-ia~aodeoneitos,examinandomediante aanalisede
agrupamentoshierarquios[36℄.
A utiliza~ao dos testes de assoia~ao de oneitos,
em que os sujeitos devem esrever logo abaixo de
ada um dos oneitos seleionados para a pesquisa
{ apresentados ao aluno aleatoriamente, ada um no
topo de uma folha em brano { tantos oneitos (ou
palavras)quantospossamassoiaraooneito
apresen-tado,deorredopressupostodequeentenderomo
de-terminadosoneitosest~aoassoiadospodedarindios
semelhantes [37℄. Ou seja, seos nuleos dos modelos
mentaisdeterminamomoosoneitosouosfen^omenos
s~ao perebidos, dever~ao determinar tambem se ertos
oneitosefen^omenoss~aoperebidosomosemelhantes
oun~ao.
Tradiionalmente,osoneitosesolhidospara
ons-truirumtestedeassoia~aodeoneitoss~aoos
suposta-mentemaissigniativosdaareaquesepretende
estu-dar, tanto apartir do numero de vezes que apareem
emlivrosdetextoomopelosriteriosdosespeialistas.
No asoem foo, levamos essas duasraz~oesem
onsi-dera~ao, alemdeertaspremissasdeorrentesdo
refe-renial teorio. Assim, oonjunto de oneitos- have
deviaonteralgunsdosoneitosqueonsideramos
fun-damentaisparaentenderomundoqu^antio,bemomo
oneitos que se relaionassem mais a fenomenologia,
de formaaobservarseosestudantes vinulavam estes
ultimos aos oneitos onsiderados fundamentais (ou
seja, para ver omo os estudantes \visualizavam" os
fen^omenos qu^antios). Foram assim elaboradas listas
deoneitosomestasaraterstiaseoonjuntonal
surgiu dadisuss~aoomumespeialista. Areditamos
queestaformadeonstru~aodotestelheonfere
valida-de de onteudo. Os oneitos queforam apresentados
aleatoriamente aos estudantes foram: eletron, estado
de um sistema fsio, superposi~ao linear de estados,
fun~ao deonda,dualidade onda-partula,prinpio de
inerteza, observavel,observaveissimult^aneos,
autoval-ores, resultados de medida, probabilidade, trajetoria,
tunelamento, efeito fotoeletrioe valormedio.
Os dados forneidos pelo teste de assoia~ao de
oneitos foram transformados em um oeiente de
relaionamento(CR) entre paresde oneitos-have,a
traves do metodo de Garskof & Houston [38℄, ja
uti-lizadoemoutraspesquisasnaareadeensinodei^enias
[39℄;[40℄.
Esteoeientevariade0a1edaamedidada
pro-ximidade entre doisoneitos. Quantomaioreovalor
deCR,maioreorelaionamentoentreosoneitos. Os
oeientes de relaionamento s~aoalulados para
to-dos osparesde oneitos-havee oloadossob forma
matriial. Combasenasmatrizesindividuaisparaada
estudantes~ao aluladasasmatrizes mediasdos
oe-ientes de relaionamento para grupos de estudantes.
Esta matriz media onstitui a matriz de similaridade
que depois e submetida a Analise de Agrupamentos
Hierarquios.
Emrela~ao atenia, aAnalise de Agrupamentos
Hierarquios (AAH) [36℄;[41℄, e utilizada para
deso-briraexist^eniadeestruturasinerentesaoonjuntode
medidas de similaridade. Essateniaestabeleeuma
esalahierarquiaentreosoneitos,ombaseem
valo-resde proximidade (os oeientes de relaionamento,
porexemplo),deformaque,quantomaisafastadoesta
o ponto deliga~ao (ouseja, quanto mais posteriorfor
onstru~aode agrupamentos por meio da ombina~ao
de dois ou maisoneitos por vez, omeando-senum
estagio em que todos os asos s~ao onsiderados omo
agrupamentosseparados, i. e,onsiderando-se
iniial-mente tantos agrupamentos omo asos. No segundo
estagio,doisoumaisdosasoss~aoombinadosemum
unioagrupamento. Notereiro estagio,tantoum
ter-eiro aso pode ser inludo em um agrupamento ja
existente, omo outros dois asos podem emergir em
um novoagrupamento. Esteesquema prossegueateo
estagioemquetodososasosest~aoombinadosemum
uniogrupo. Umavezqueumagrupamentoeformado,
n~aopodemaisdividir-se,podendoapenasseombinar
omoutrosagrupamentos.
Aesalaresultantedesteproessoeapresentadaem
um diagrama denominado \dendograma". Nos
resul-tados apresentados a seguir, adist^ania entre os
on-eitos esta re-esalada para um intervalo de 0 a 25.
Como o valor 25 pode representar uma dist^ania
in-nitaentreosoneitos,ouseja,quen~aotenham
qual-querintera~ao(eportanto,osagrupamentosfeitosnesse
ponton~aoseremsigniativos),foitomadaomovalor
deorteparaaanalisedosagrupamentossigniativos
adist^ania20. A essadist^ania aonteemasmaiores
intera~oes entre osoneitos para osAAH de dois
es-peialistasqueresponderamaoteste.
VI Resultados da analise de
agrupamentos hierarquios
NaTabela1apareemosvaloresdeCR(oeientede
relaionamentomedio)paraadagrupo. Oaumentono
valordeCRnopos-teste,omparadoomovalorantes
dainstru~ao, foi estatistiamente signiativopara os
tr^es grupos. A analise multivariada, omparando-se
osvaloresmediosdeCR antes dainstru~aopara ada
grupomostraquen~ao existemdiferenassigniativas
entreosgrupos,aonvel<0,001. Esteresultadoera
es-perado,poiseaprimeiravezquetodosessesestudantes
ursamalgumadisiplinaom onteudos de Me^ania
Qu^antia. Natereiraladatabela,apareea
estima-tivadoefeitodotratamentoparaadagrupo,talomo
medidopelondie. Essendieeoquadradodaraz~ao
deorrela~ao eindiaquanto davari^ania dosesores
individuaiseatribudaaosgrupos.
Grupo FsiaGeralIV FsiaGeralIV Introdu~ao
Experimental Controle Me^aniaQu^antia
PreTeste 0,14 0,13 0,14
Pos-teste 0,20
0,14
0,17
2
0,48 0,07 0,27
Tabela1: ValoresdeCR(medio)paraosgruposestudados
Inrementoestatistiamentesigniativo(<0,001).
Inrementoestatistiamentesigniativo(<0,005)
Databelasedepreendeque,aposainstru~ao,os
es-tudantesdostr^esgruposonsideradosestabeleemmais
rela~oes entreos oneitosesolhidos. Porem, paraos
estudantes do grupoexperimental, asdiferenas entre
opreepos-testes~aomaiores.
NaFig. 1aparee odendograma dopre-teste
or-respondente ao grupo experimental e nas Figs. 2, 3
e 4osdendogramas dospos-testes orrespondentes ao
grupoexperimental (onsiderando-sesomente os
estu-dantes que tambem responderam o pre-teste, N=16),
aogrupodeontrole(N=10)eaogrupoIMQ(N=11),
respetivamente. As interpreta~oes dos dendogramas
foramonsensuadasentre ostr^espesquisadores.
Varios dosagrupamentos queapareemna Fig. 1,
que poderamos pensar serem signiativos, pareem
deorrer de uma assoia~ao me^ania entre palavras
semelhantes,efeito quepudemosobservarnaslistas de
palavrasesritaspelossujeitos. Issoaonteenos
agru-pamentos de eletron om efeito fotoeletrio (palavra
omumeletron),observaveis-observaveissimult^aneos
Figura1.Agrupamentoshierarquiosdopre-teste{Alunos
dogrupoexperimental.
tula-fun~aodeonda(palavraomumonda).Os
out-ros doisagrupamentostambem s~ao exemplosde
asso-ia~oesestabeleidasentreosoneitosem outros
on-textos. O agrupamento entre estado de um sistema
fsio esuperposi~aolinearde estadosefeitopelos
es-tudantes a partir da Termodin^amia, i. e, eles
aoexist^eniadessesestados(oloandosolido-lquido,
solido-gasosoet). Issoedeesperar,sendonoontexto
daTermodin^amiaemqueosestudantestrataram
fun-damentalmente dooneitodeestado. Oagrupamento
entretrajetoriaetunelamentodeorre,provavelmente,
daassoia~aoestabeleidano ^ambitodo otidiano
en-tre aminho e tunel. O agrupamento mais
interes-sante, no ontexto de expressar ideias fsias que
po-dem onfrontar-seomasque esses estudantes
enon-traram nas aulas de Me^ania Qu^antia, e o formado
porresultadodeumamedida{valoresperado{
proba-bilidade. Esseagrupamento,possivelmente,reeteuma
ideialassiaassoiadaaprobabilidade: seos
resulta-dos de uma medi~ao efetuada sobre um sistema n~ao
oinidem omosvaloresesperadosalulados,epela
presenadeerrosna medi~ao. Essesresultados devem
ent~aosertratadosestatistiamente.
De fato, a instru~ao dada aos alunos foi a de que
assoiassem omaquiloquelhes viesseaabea.
Por-tanto, e de esperar que as assoia~oes observadas nos
pre-testes desses grupos sejam menos signiativas,
mais me^anias, e vinuladas, em muitos asos, pela
similaridademorfologiasdosoneitosenvolvidos. Isso
difere doque aonteenospos-testes, em que os
estu-dantesest~aomotivadosairunsrever-seao^ambitodo
temapesquisado,eemque,porteremvistoalgunsdos
oneitos durante as aulas, formaram alguma ideia a
respeitodeles,tendendoaexpliaroqueentenderam.
Figura2. Agrupamentoshierarquiosdopos-teste{Alunos
dogrupoexperimental.
Pode-sever,naFig. 2orrespondenteao pos-teste
dogrupoexperimental,queosdoiselementos mais
as-soiados s~ao eletron edualidade, assoia~ao que pode
ser expliada omo deorr^enia de os sujeitos
enten-derem o eletron omo uma partula qu^antia om
omportamento dual. Junta-se a este agrupamento o
oneito de fun~ao de onda, e depois os oneitos de
efeito fotoeletrio, tunelamento e probabilidade. Esse
agrupamento e signiativo: nele apareem
elemen-tos fenomenologios (eletron, tunelamento e efeito
fo-toeletrio)juntoaoneitosqu^antiosqueservempara
desrev^e-los. Poderamossintetizar esteagrupamento
naseguinte frase,montada levandoemontaaordem
daassoia~ao: \Oeletroneumapartulaqu^antiaom
omportamento este que permite expliar o efeito
fo-toeletrioe otunelamento, pormeio dadetermina~ao
da probabilidade". Este agrupamento reete uma
a-raterstia apontada na analise qualitativa [42℄, qual
seja a de os fen^omenos serem expliados a partir de
oneitos(maisfundamentais).
Aparee,aseguir,umagrupamentoentreestadode
um sistema fsio esuperposi~ao de estados. Essa
as-soia~ao difere, na nossa onep~ao, da assoia~ao
se-melhantesurgidanopre-teste. Osestudantesn~aomais
assoiariamomestadodeumsistema fsiooneitos
derivados daTermodin^amia, sen~aoque agoraos
on-eitosestariamassoiadosomoonsequ^eniadequeo
estadodeumsistema fsiopodeserumasuperposi~ao
de estadosde umdadoobservavel. Porultimo,
apare-em agrupados observaveis eobservaveissimult^aneos.
Note-se quetal agrupamento sejunta ao de resultado
deumamedi~ao. Diferentementedopreteste,emqueo
valoresperadoestavaagrupadoomoresultadodeuma
medida (representativo de uma rela~ao lassia), tal
agrupamentosedesfazeoresultadodeumamedidase
assoiaaoagrupamentodeobservaveis. Possivelmente,
isso seja reexo do fato de os estudantes estarem
en-tendendoqueoresultadodauma medidadependedas
grandezasmedidas. Apareem,semagrupar-se,os
on-eitos de trajetoria, autovalor, Prinpio de Inerteza
e valor esperado. A n~ao-assoia~ao, om outros, do
PrinpiodeInertezaereexodaesassaimport^ania
dadaaesseprinpioporumnumerosigniativode
es-tudantes,tal omovistonaanalisequalitativa
omple-mentar, n~aoinludaneste trabalho. Oprimeiro
agru-pamento, ent~ao, desrevefen^omenos fsios;osegundo
desreveoestado do sistema,e otereiro serefere ao
queaonteedepoisdamedida. Emresumo,aindaque
algumasassoia~oesdesejaveisestejam ausentes,as
as-soia~oes estabeleidas por estes estudantes s~ao todas
orretaseosagrupamentos s~ao maissigniativosque
osdopre-teste.
Diferentemente do aso anterior, a Fig. 3
orres-pondenteaopos-testedosestudantesdogrupode
on-trole mostra um esasso relaionamento entre os
on-eitos: dosquinzeoneitosarrolados,seten~aose
rela-ionamomosrestantes. Oprimeiroagrupamentoque
apareeeodeeletroneprobabilidade,juntando-se
de-pois efeito fotoeletrio e tunelamento. Esse
agrupa-mento reune oneitos fenomenologios, aos quais se
adiiona, porem, somente o oneito fundamental de
probabilidade. Isso pode signiar que os fen^omenos
n~ao sejam ompreendidos a partir de oneitos mais
fundamentais. Aparee depois umagrupamento entre
fun~ao deondaedualidade e,porultimo, entre
resul-tadodemedidaevaloresperado,oque,omoindiado
anteriormente,reeteumaassoia~aolassia. Ouseja,
neste aso, alem de existirem pouos agrupamentos,
Figura3. Agrupamentoshierarquiosdopos-teste{Alunos
dogrupodeontrole.
Figura4. Agrupamentoshierarquiosdopos-teste{Alunos
dogrupoIMQ.
Na Fig. 4, que orresponde ao pos-teste dos
estu-dantes da IMQ, o primeiro agrupamento que aparee
e o de observavel om resultado de medida e om
observavelsimult^aneo, semelhante ao tereiro
agrupa-mentodogrupoexperimental. Apareedepoisum
agru-pamento entre probabilidade, Prinpiode Inertezae
valor esperado, agrupamento que possivelmente
ree-tia a ideia de que, se n~ao e possvel determinar om
ertezaovalordeumagrandezafsia,sopodemos
on-heeroseuvalorprovavel(valoresperado)equeestee
afetadopelaprobabilidadedeoorr^eniadosdiferentes
possveis resultados. Apareedepoisum grande
agru-pamento, ondeoneitosmaisfenomenologiosomoo
de eletron,efeitofotoeletrio,tunelamento etrajetoria
apareem junto a oneitos mais fundamentais omo
fun~ao de onda e dualidade. Porem, diversamente do
agrupamento semelhante no grupoexperimental, aqui
aparee tambemooneitodetrajetoria, emprinpio
um oneitolassio. Umaleitura,neste aso,poderia
ser: \O eletron e uma partula que apresenta efeito
fotoeletrio e isso evidenia seu omportamento dual.
A fun~ao de ondadessa partuladaontado
tunela-mento, trajetoria perorrida pela partula".
Final-mente, os oneitos de superposi~ao de estados e de
estado de um sistema fsio n~ao apareem
relaiona-dosnem entre sinemomqualqueroutro. Nesteaso,
ent~ao,osdoisprimeirosagrupamentospodem ser
pen-enquanto o tereiro desreve fen^omenos (inluindo-se
entre eles o de trajetoria). Sob essa perspetiva,
diramosqueaestesestudantesestafaltandooneber
omo e osistema antes da medida. Estegrupo
apre-senta alguns agrupamentos semelhantes aos do grupo
experimental,poremasassoia~oesestabeleidas
pare-emsermenossigniativase,emumaso,inorreta.
Os resultados desta analise, no que onerne ao
grupo experimental, mostram que, omparativamente
om os outros dois grupos, estabeleeu mais rela~oes
entreosoneitos,mostrando,paree,quea
aprendiza-gemdosoneitos,namedidaemquepodeser
eviden-iada por esta tenia (numero e qualidade das
asso-ia~oes), foi mais signiativa nos estudantes que
re-eberaminstru~ao oma abordagempropostado que
nosestudantes dosoutros doisgrupos,que reeberam
instru~aoomaabordagemtradiional.
VII Considera~oes nais
Os resultados obtidos om outras turmas em outra
oportunidade, assim omo omoutros instrumentos e
teniasdeanalises[14℄,[34℄,[42℄pareemtambem
in-diarque aabordagem fenomenologio-oneitual
uti-lizada foi bem suedida no que diz respeito a
inor-pora~ao, por parte de um numero signiativo dos
estudantes, de oneitos fundamentais para a
om-preens~ao de fen^omenos mirosopios. Estes
estu-dantes onseguem fazer predi~oes orretas e dar
ex-plia~oes onsideradas adequadas para este nvel de
aprendizagem a respeito de varios destes fen^omenos
mostrando, ao que paree, a forma~ao de modelos
mentais om nuleos onsistentes om a
fenomenolo-giaqu^antia. Isso,aparentemente,n~aoeonseguidona
abordagem tradiional n~ao so durante perodo
seme-lhantede tempo sen~ao, tambem, durante um perodo
bemmaior.
Alem disso, a utiliza~ao de resultados atuais de
pesquisa e de inova~oes tenologias n~ao so foi
im-portante para o proesso de forma~ao de uma nova
formadeperep~aodosfen^omenosmirosopiosomo
tambem motivou osestudantes, muitosdos quais
pas-saram a onsiderar a Me^ania Qu^antia omo uma
portaanovoshorizontes,inlusivenoseuampo
pros-sional.
E interessante destaar que o lima de
dis-uss~ao, envolvendo a grande maioria dos estudantes,
araterizouasaulas. Osalunossesentiramexigidosa
ompreenderfen^omenosdesdeumaperspetivaem
on-frontoomaMe^aniaClassiae,ainda,quenemtodos
tenham onseguido faz^e-lo, todos pareem ter
pere-bido que aMe^ania Qu^antiafornee umnovo olhar
sobreosfen^omenosmirosopios. Aprofessoraregular
daturma, quejaministrou ursos similaresem varias
oportunidades,ouagradavelmentesurpresapelo
inte-urso{no~oesdeEstado Solido. Porultimo, 84%dos
estudantes avaliarampositivamenteoprojeto,
sugerin-do que os alunos, embora bastante exigidos durante
as aulas, as viveniaram omo uma boa experi^enia
de aprendizagem. Embora nossa proposta tenhasido
implementadaemturmasdasarreirasdeEngenharia,
remos que a neessidade de uma mudana noensino
introdutoriodeonteudosqu^antiostambemede
fun-damental import^ania para os estudantes dos ursos
de Lieniatura. Hoje e relativamente fail enontrar
muitos dos novos fen^omenos e aplia~oes deorrentes
dos fundamentos da Me^ania Qu^antia em revistas
e livros de divulga~ao ienta. Porem, omo india
d'Espagnat [40℄, ao tentar simpliaruma ideia
om-plexa,estestextosterminampassandoumaideia
inor-retasobreaMe^ania Qu^antia.
Eomumque,nestes
asos,aabe-se passando aideia, porexemplo, deque
eletrons, protons, fotons s~aobolinhas que olidem
en-tre si, reforando imagens lassias, onep~oes essas
\falsas, n~ao no detalhe, mas de uma maneira
essen-ial" [43:263℄. S~aoosprofessoresqued~aoaulanonvel
medio que, iniialmente, devem tentar onseguir
mu-dareste tipode imagem. Claro quepara issoeles
de-vemter uma ideia larasobre osoneitos
fundamen-tais. Isso, no entanto, n~ao aontee. Durante o
tran-surso do trabalhode pesquisa, tivemosoportunidade
defazerumestudoexploratorioomprofessoresdo
en-sino medio, pertenentes a rede publia e partiular,
em um urso de atualiza~aoemFsia(Pro-Ci^enias
FAPERGS-UFRGS 2000). Nessa oasi~ao, foi possvel
onstatarque,efetivamente,osprofessores,embora
mo-tivados para inorporar temas de Me^ania Qu^antia
emsuasaulasereonheendosuaimport^ania, muitas
vezesn~ao ofazemporsentirem-sedespreparadospara
uma disuss~ao oneitual sobre estes assuntos. Na
pratia, osursosde forma~ao deprofessoresinluem,
em geral, somente uma disiplina espea sobre os
oneitos qu^antios fundamentais, via de regra
apre-sentada da maneiratradiional. Por outro lado, uma
outra experi^enia-piloto,realizada om uma turmade
estudantes do ultimo urso do nvel medio, nos
per-mitiu veriar o interesse que esses temas despertam
neles e a forma om que permitem disutir oneitos
apresentadosaosestudantes anteriormente. Paraitar
umexemplo,naapresenta~aodoPrinpiodeInerteza,
osestudantesdisutiramamplamenteaquest~aoda
va-lidade das leis da Fsia Classia, embora n~ao fossem
iniialmente motivadospara isto.
Embora uma forma~ao mais ompleta dos
profes-sores seja um elemento fundamental para introduzir
oneitos qu^antios no nvel medio, omo
apresenta-losnarealidadedaesolabrasileiraexigemais estudo.
Ouseja,aindaquenossaimplementa~aodidatiatenha
utilizadoummnimodeferramentasmatematias,para
osestudantes do nvel medio oselementos de Calulo
(e,obviamente,asequa~oesdifereniais)s~aototalmente
onteudos sem air em simplia~oes que levem a
er-ros? Dever-se-aenfatizar, exlusivamente, adimens~ao
historio-epistemologia da mudana introduzida pela
Me^ania Qu^antia, omo prop~oem diversos autores,
ou sera possvel \aprofundar-se" um pouo mais nos
aspetos oneituais, possivelmente fazendousode
si-mula~oes omputaionais para superar as dei^enias
matematias? S~aoperguntasparaasquaispareeainda
n~ao haver uma resposta lara, porem nosso trabalho
sinalizaparaestasegundadire~ao.
Referenes
[1℄ L. MDermotte E. Redish, Am.J. Phys.67(9), 755
(1999).
[2℄ I. M. Grea e M. A. Moreira, Inv. Ens. Ci^en. 6(1),
(2001).
[3℄ D.Zollman,NARSTAnnualMeeting,
www.phys.ksu.edu/perg/papers/narst.html(1999).
[4℄ C.G.Hood,ThePhys.Tea.31(5),290(1993).
[5℄ L.Bao,P.JollyeE.Redish,AAPTSummermeeting,
www.physis.umd.edu/perg/pt.html(1996).
[6℄ I.Johnston,K.CrawfordeP.Flether, Int.Jour.Si.
Edu.20(4),427(1998).
[7℄ B.Ambrose,P.Shaer,R.SteinbergeL. MDermott,
Am.J.Phys.67(2),(1999).
[8℄ I.M. GreaeM. A.Moreira,AtasdoIIENPEC,
IF-UFRGS,Porto Alegre(1999).
[9℄ P. Feyerabend, Contra o metodo, Ed. Verso, Lisboa
(1993).
[10℄ P.Johnson-Laird, MentalModels,HarvardUniversity
Press,Cambridge(1983).
[11℄ M.A.Moreira,Inv.Ens.Ci^en.1(3)(1998).
[12℄ I.M.GreaeM. A.Moreira,AtasdoVIEPEF,SBF,
Florianopolis (1998).
[13℄ A.Zeilinger,Nature,398(6724),210(1999).
[14℄ I.M. GreaeV.E.Hersovitz,Simp.DavidBohm,2,
85(2001).
[15℄ M. Jammer, The philosophy of quantum mehanis,
JohnWiley,NewYork(1974).
[16℄ D.BohmeB.Hiley,InSelleri(eds)Quantum
mehan-isversusloalrealism,Plenum,NewYork,235(1988).
[17℄ M.Paty,Eur.J.ofPhys.20,373(1999).
[18℄ Z.Shreiber,The ninelivesofShrodinger's at,
Uni-versityofLondon,London,Masterthesis(1994).
[19℄ P. A. Dira, The priniples of quantum mehanis,
ClaredonPress, Oxford,4a. edi~ao(1930).
[20℄ R. Hughes, The struture andinterpretation of
quan-tum mehanis,HarvardUniversity Press, Cambridge
(1989).
[21℄ L. Davidovih, M. Brune, J. Raimond e S. Harohe,
[23℄ C.GerryeP.Knight,Am.J.Phys.65(10),964(1997).
[24℄ O.PessoaJr.Rev.Bras.Ens.Fis.19(1),27(1997).
[25℄ V. B. Braginsky e F. Y. Khalili, Quantum
measure-ment,CambridgeUniversityPress,Cambridge(1992).
[26℄ A.Shenzle,Contemp.Phys,37(4),303(1996).
[27℄ O.PessoaJr.,Cad.Hist.Filos.Ci^en.2(2),177(1992).
[28℄ D. P.Ausubel,J.D.Novake H.Hanesian,Psiologia
eduaional,Interameriana,RiodeJaneiro(1980).
[29℄ D.P.Ausubel,Theaquisitionandretentionof
knowl-edge. A ognitive view, KluwerAademi Publishers,
Dordreht(2000).
[30℄ M. A. Moreira, Aprendizaje signiativa, Editora da
UnB,Brasilia(2000).
[31℄ R.P.Feynman,R.LeightoneM.Sands,TheFeynman
letures on physis, Addison-WesleyPublishing
Com-pany,NewYork(1965).
[32℄ C.Cohen-Tannoudji,B.DiueF.Laloe,Quantum
me-hanis,JohnWiley,NewYork(1977).
[33℄ M. Nussenzveig,Cursodefsiabasia,vol.4,Edgard
Bluher(1998).
[34℄ I. M. Grea e V. E. Hersovitz, Proeedings of the
PHYTEB2000, Barelona(2000).
[35℄ I.M.GreaeV.E.Hersovitz,AtasdoVIIEPEF,SBF,
Florianopolis(2000).
[36℄ S.C.Johnson,Psyhometrika,32(3),241(1967).
[37℄ A. KearneyeS.Kaplan,Env.andBehav.,29(5), 579
(1997).
[38℄ B.GarskofeJ.Houston,Psy.Rev.70(3),277(1963).
[39℄ M.A.MoreiraeC.A.Santos,J.Res.Si.Teah.18(6),
525(1981).
[40℄ E. Gussarsky e M. Gorodetsky, J. Res. Si. Teah
25(5),319(1988).
[41℄ C.A.SantoseM.A.Moreira,Esalonamento
multidi-mensionaleanalisedeagrupamentoshierarquios,Ed.
daUniversidade,PortoAlegre(1991).
[42℄ I. M. Grea, Construindo signiados em me^ania
qu^antia: resultadosdeumapropostadidatiaapliada
aestudantesdeFsiageral,IF-UFRGS,PortoAlegre,
Tesededoutoramento(2000).
[43℄ B. d'Espagnat, Penser la siene ou les enjeux du
savoir,Gauthier-Villars,Paris(1990).
Ap^endie
COMO SABER SOBRE A
EXIS-T ^
ENCIA DE UM OBJETO SEM
IN-TERAGIR COM ELE. (OU COMO
E
POSS
IVEL, NO MUNDO QU
^
ANTICO,
VER NA ESCURID
~
AO.)
Um fabriante onseguiu inventar uma lasse de
bombas,heiasdeumgasaltamente ombustvel, que
explodem quando s~ao atingidas por um unio foton.
deveserrealizado naesurid~ao. Depoisdeonstrudas
as bombas, desobriu-se que por algum tipo de
pro-blemana fabria~ao, algumas estavamheias eoutras
n~ao, pois sobrou parte do gas ombustvel. Como se
poderiasaberquais eramasbombas\boas"(que
fun-ionavam),semperdertodaaprodu~ao?
Exerio
1: Porqueofabrianteperderiatodasuaprodu~ao?
O fabriante, desesperado, se enontrou om um
amigo, poraaso fsio, que lhe disse ser possvel
sal-varpartedessaprodu~ao. (Naturalmenteofabriante,
antesdeobterasuaansiadaresposta,tevequeassistir
aumaauladeMe^aniaQu^antia.) Vamosagora
disu-tirqualitativamenteoproblemaedepoisfazeralgumas
ontas.
Um dispositivo muito usado em Fsia, o
inter-fer^ometro,que apareenaFig. 1,permitesepararum
raio de luz inidente em dois, de modo que na sada
dointerfer^ometroepossvelobservarfen^omenosde
in-terfer^enia. O dispositivo, que onsta de 2 espelhos
que reetem ompletamente a luz que hega ate eles
e2 semiespelhosque transmitem uma parte dos raios
que hegam ate eles e reetem a outra parte, possui
tambem doisdetetoresomalarmes nasadadeforma
que a \interfer^enia onstrutiva" e detetada por um
detetor D
1
, enquanto D
2
oleta a \interfer^enia
de-strutiva". Imaginemos que afonte so emiteum foton
porvezequeointerfer^ometroeajustadodetal modo
quesotoaoalarmedodetetorD
1
,ouseja,sohegam
fotonsaestedetetor.
2
1
Espelho
A
Espelho
B
Semiespelho
Semiespelho
D
2
Interferência
destrutiva 0%
D
1
Interferência
construtiva
100%
Fonte de
fótons
Figura1
Exerio
2. Porque se obtem padr~ao de interfer^enia para um
foton?
O que aonteeria se oloassemos um objeto
blo-queandoapassagemdosfotons porumadasdire~oes?
Osfotonsquehegaremaoobjeto(Fig. 2)s~ao
absorvi-dos,portantosepodedeterminarporqualaminho
pas-souada foton. Sabemos, pela experi^enia de Young,
pas-interfer^enia, existindo portanto probabilidades iguais
dequeofotonsejadetetadoemadaumdosdois
de-tetores.
2
1
Fonte de
fótons
Caminho bloqueado, o
fóton não passa
Semiespelho reflete 50% para
D
1
Semiespelho reflete
50% para D
2
Figura2
Ainterfer^eniaqu^antiaaonteesen~ao
exis-te em prinpio qualquer forma de determinar
por qual dos aminhos alternativos o foton (ou
outro objeto qu^antio elementar) passou. Se,
de alguma forma, podemos onheer por onde
passou,ent~aoa interfer^enia desaparee.
Vejamos, agora, omo auxiliaro nosso aito
fabri-ante om tal dispositivo. Coloquemos a bomba no
interfer^ometro, bloqueando um dos aminhos. Se a
bombaeruim (ouseja, estasemgas,Fig. 3),e
trans-parente eosfotonspodem atravessa-lasem problemas
e,portanto,soaraapenasoalarmedodetetorD1,pois
se produzira interfer^enia. Este asoeid^entio ao da
Fig. 1.
Bomba ruim
D
1
Alarme ativado
D
2
Alarme desativado
Figura3
Exerio
3. Qualeadiferenaentreasontribui~oesemD
1 para
osasosapresentadosnasFig. 2e3?
Seabomba,peloontrario,eboa,i.e.,estaheiade
gas,podeabsorverfotons esepoderiadeterminar,em
prinpio,oaminho esolhidopelos fotons. Portanto,
n~ao haverapadr~aode interfer^enia, podendo osfotons
ser detetados tanto por D
1
omo por D
2
,
aleatoria-mente, pois o ultimo semiespelho pode transmitir ou
reetir aleatoriamente os fotons que hegam ate ele,
Exerio
4. Porque n~ao podem soar osalarmes dosdois
dete-toressimultaneamente?
Nesteaso,seseesutaoalarmedeD
1
(Fig. 4),n~ao
sepodedistinguirdoasoanterior,emqueabombaera
ruim. SeseesutaoalarmedeD
2
(Fig. 5),sabeseque
abombaeboa. SeseesutaoBang! saberemosquea
bombaeraboa....(Fig. 6)
Bomba boa
D
1
Alarme ativado
D
2
Alarme desativado
2
Figura4
Bomba boa
D
1
Alarme desativado
D
2
Alarme ativado
2
Figura5
Ex- Bomba Boa ...
D
1
Alarme desativado
D
2
Alarme desativado
BANG!!!
1
Figura6
Exerios
5. Porquesepodesaberqueabombaestaheiadegas
aoesutaroalarmedeD
2 ?
6. Completaraseguinte planilha:
Estado Caminho Padr~aode Observa~ao
Con-daBomba dofoton interfe experimental lus~ao
Notereiroaso(Fig. 5),quandoseouveodetetor
D
2
, onsegue-se uma informa~ao (que a bomba
olo-adaestavaheiadegas)sem interagiromoobjeto
(pois, seofoton tivesseinteragido om abomba, esta
teriaexplodido). Ouseja,aindaqueofotonperorrao
aminho onden~aoestaabomba,\tem-se"informa~ao
sobre ooutro aminho que poderiater esolhido. Ou
seja, esta e uma \medida", sem o riso da intera~ao
om o objeto. Dispositivos que utilizam esses
funda-mentos poderiam, por exemplo, \fotografar" atomos,
sem mudarseuestado. Experi^eniasquemostramque
isso pode ser feito na pratia foram desenvolvidas na
UniversidadedeInnsbruk,
Austria,em1995.
Exerios
7. Porque esta experi^enian~ao tem ontrapartidano
mundolassio?
8. Determinaraprobabilidadede queoalarme do
de-tetor D
1
dispare quando o reipiente da bomba esta
vazio,sabendoque:
j1>representaofotonnoaminho1,
j2>representaofotonnoaminho2,queoespelho
muda a dire~ao do foton (reex~ao) segundo j1 >!
i j2 > e j2 >! i j1 >, que o semiespelho muda a
dire~ao do foton (reex~ao e transmiss~ao) segundo e
j1 >! (1=2) 1=2
[j1 > +ij1 >℄ e j2 >! (1=2) 1=2
[j2 >
+ij1>℄
9. Determinaraprobabilidade dequeabomba
es-tejaheiadegas,seminteragiromela.
Parao aso,ent~ao, de que sedisponhade um
dis-positivo do tipo proposto aqui, existe uma
probabili-dadede1/4depoderdetetarasbombasboas.
Pode-semostrarque aprobabilidadede \medi~oes livresde
intera~ao"podeaproximar-searbitrariamentede 1,se
sedisp~oedeumnumerogrande dedispositivos.
Exerio
10. Quaispropriedadesdosobjetosqu^antiospermitem
fazerestasmedi~oeslivresdeintera~ao?
Bibliograa
\Quantumbombingreality",deS.Adams,Physis
Ed-uation,1998.Vol. 33, n06,pp. 378-385.
\Interation-freemeasurement", deP.Kwiat, H. Weinfurt,T.
Her-zog,A. ZeilingereM. Kasevih, PhysialReview
