Morfismos irredutíveis na categoria derivada de álgebras Gentle

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

Rog´erio Carvalho Pican¸co

Morﬁsmos Irredut´ıveis na Categoria

Derivada de ´

Algebras Gentle

(2)

Rog´

erio Carvalho Picanc

¸o

Morfismos Irredut´ıveis na Categoria

Derivada de ´

Algebras Gentle

Tese apresentada ao corpo docente da Pós Gradua¸cão em Matemática do Ins-tituto de Ciências Exatas da Univer-sidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

(3)

Agradecimentos

`

A minha m˜ae, Recima Pican¸co, por tudo que fez para me deixar t˜ao bela heran¸ca, o amor pelo estudo.

`

A minha esposa, Rita Pican¸co, pelo enorme apoio, incentivo e pelo carinho com que sempre contei.

`

A minha gata, Albertina, pela companhia constante em minha mesa nas muitas horas de estudo e pelos momentos de distra¸c˜ao.

Ao meu orientador, Viktor Bekkert, por ter acreditado em mim desde o in´ıcio, pela oportunidade do conv´ıvio no trabalho do dia a dia e pelo crescimento pessoal e profissional que me proporcionou. Agrade¸co ainda pela paciência e compreensão que sempre estiveram presentes ao longo desta jornada.

Aos membros da banca pelas sugestões, observa¸cões e comentários.

Aos professores, colegas e funcion´arios do Departamento de Matem´atica da UFMG.

Aos colegas do Departamento de Matemática da UFV, especialmente as professoras Marinês Guerreiro e Sonia Fernandes, pela confian¸ca e apoio.

`

A CAPES pelo apoio ﬁnanceiro.

Muito obrigado a todos vocˆes!!!!

(4)

Resumo

O conceito de categorias trianguladas e, mais espec´ıficamente de categorias derivadas, foi introduzido na Teoria de Representa¸cões por Happel [20] em 1987 e tem se mostrado de grande utilidade. Em que pese sua importância, somente para poucas classes de álgebras é conhecida a estrutura de sua cate-goria derivada.

Neste trabalho, apresentamos uma descri¸cão expl´ıcita de morfismos que formam bases do bimódulo de morfismos irredut´ıveis entre complexos string, na categoria derivada limitada de álgebras gentle de dimensão finita. Esta descri¸cão é feita por meio de string generalizadas, introduzidas por Bekkert e Merklen [8]. Curiosamente observa-se uma certa similaridade entre tal descri¸cão e a feita por Butler e Ringel [13] para morfismos irredut´ıveis entre módulos string em álgebras string, das quais as álgebras gentle são um caso particular.

Refor¸cando a similaridade acima, introduzimos os conceitos de cumes e abismos generalizados e descrevemos todos os triˆangulos de Auslander-Reiten que envolvem complexos string na categoria derivada limitada de ´algebras gentle.

Os conceitos básicos sobre categorias trianguladas e derivadas são apre-sentados, de forma suscinta, no primeiro cap´ıtulo. O texto pode ser utilizado pelo leitor ainda não familiarizado com categorias derivadas mas interessado em álgebras string e álgebras gentle. Neste caso ele pode se dirigir direta-mente aos cap´ıtulos dois e três.

(5)

Abstract

Triangulated categories and, more precisely, derived categories were in-troduced in the Representation Theory by Happel [20] in 1987 and has been very useful. Despite their importance, just for a few classes of algebras, it is known the structure of their derived categories.

In this work, we give an explicit description of morphisms which form a basis of the bimodule of the irreducible morphisms between string complexes in the bounded derived categories of gentle algebras of ﬁnite dimension. We use generalized strings introduced by Bekkert and Merklen [8] to make this description. We observe certain similarities with the description made by Butler and Ringel [13] for irreducible morphisms between string modules over string algebras from which the gentle algebras are a particular case.

We introduce the deﬁnition of generalized deep and peak and describe explicitly all Auslander-Reiten triangles that involve string complexes in the bounded derived category of gentle algebras.

Chapter 1 of this work presents some background material. The text of the thesis can be useful to the reader unfamiliar with derived categories but wishing to learn string and gentle algebras, which are presented in Chapters 2 and 3.

(6)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Conceitos B´asicos 5

1.1 Representa¸c˜oes de Quivers . . . 5

1.2 Algebras e Quivers . . . .´ 7

1.3 Categorias Derivadas . . . 10

1.4 Categorias Trianguladas . . . 13

1.5 Teoria de Auslander-Reiten . . . 17

1.6 Quiver de Auslander-Reiten . . . 21

2 Algebras String´ 23 2.1 M´odulos String . . . 25

2.2 M´odulos Band . . . 27

2.3 Morﬁsmos Irredut´ıveis . . . 30

2.4 Sequˆencias de Auslander-Reiten . . . 32

3 Algebras Gentle´ 37 3.1 Complexos string e complexos band . . . 38

3.2 Cumes e abismos generalizados . . . 45

4 Morfismos Irredut´ıveis 51 4.1 Imersões e proje¸cões naturais . . . 52

4.2 Casos especiais . . . 57

5 Triˆangulos de Auslander-Reiten 66

Referências Bibliográficas 100

´Indice Remissivo 102

(7)

Introdu¸c˜

ao

O estudo da categoria de módulos de uma álgebra é, entre outros, um dos principais interesses na Teoria de Representa¸cões. De certa forma, sua im-portância se justifica pela existência de diversos invariantes associados a uma álgebra 𝐴, a saber, seu grupo de Grothendieck 𝐾0(𝐴) (e demais 𝐾-grupos 𝐾𝑖(𝐴)), seus grupos de cohomologia de Hochshild 𝐻𝐻∗(𝐴), seu centro𝑍(𝐴)

etc. Para cada um destes invariantes existe um teorema dizendo que, se duas álgebras 𝐴 e 𝐵 são Morita equivalentes, isto é, suas respectivas categorias de módulos são equivalentes, então seus respectivos invariantes são isomorfos. Uma condi¸cão necessária e suficiente para equivalência entre categorias de módulos foi estabelecida pelo Teorema de Morita ao final da década de 50 [25]. Duas categorias de módulos mod 𝐴 e mod 𝐵 são equi-valentes se e somente se existe um 𝐴-módulo projetivo e gerador 𝑃𝐴 tal que

𝐵 ∼= Hom𝐴(𝑃𝐴, 𝑃𝐴). Entretanto, a categoria de módulos não é o maior

ambiente onde os elementos acima s˜ao invariantes.

Categorias derivadas de categorias abelianas foram introduzidas no in´ıcio dos anos 60 por Grothendieck e Verdier (ver [30]) no âmbito da Geome-tria Algébrica e da Álgebra Homológica. Rapidamente suas aplica¸cões se estenderam a outras áreas da Matemática tais como Equa¸cões Diferenciais Parciais [28], Topologia etc. e se tornaram linguagem padrão em estudos de natureza local. Algum tempo depois Happel [20] introduziu o conceito de categorias trianguladas e, mais especificamente, de categorias derivadas da categoria de módulos de uma álgebra, na Teoria de Representa¸cões. O passo determinante nesta dire¸cão foi a prova obtida pelo próprio Happel de que categorias derivadas são invariantes na teoria de inclina¸cão. Se 𝐴é uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado e 𝑇𝐴é um

m´odulo inclinante ent˜ao as categorias derivadas𝐷𝑏_{(𝐴) e} _𝐷𝑏_(Hom

𝐴(𝑇𝐴, 𝑇𝐴))

são equivalentes como categorias trianguladas. Observe neste resultado uma certa semelhan¸ca com o Teorema de Morita. De fato, para cada um dos invariantes listados no primeiro parágrafo (e para outros não listados) existe um teorema assegurando que sua invariância não passa somente pela catego-ria de módulos de uma álgebra mas, sim, por sua categocatego-ria derivada que, a

(8)

grosso modo, contém a categoria de módulos. Neste sentido, como diz Keller [23], categorias derivadas aparecem como um invariante “mais grosso” que a categoria de módulos porém “fino” o suficiente para determinar todos os invariantes homológicos e homotópicos associados a uma álgebra 𝐴.

𝐴 //

²²

𝐾0(𝐴); 𝐾𝑖(𝐴); 𝑍(𝐴); 𝐻𝐻∗(𝐴);. . .

mod𝐴 //_𝐷(𝐴)

OO

Uma condi¸cão necessária e suficiente para equivalência, como categorias trianguladas, entre as categorias derivadas 𝐷𝑏_{(𝐴) e} _𝐷𝑏_{(𝐵) de duas álgebras}

𝐴 e 𝐵, foi provada por Rickard [26]. Neste caso existe um complexo 𝑇∙ _de

𝐵-m´odulos, chamadocomplexo inclinante, tal que: 𝑇∙_{´e perfeito, gera}_𝐷𝑏_(𝐵)

como categoria triangular, Hom𝐷𝑏₍_𝐵₎(𝑇∙, 𝑇∙(𝑛)) = 0 para todo 𝑛 ∕= 0 e

Hom𝐷𝑏₍_𝐵₎(𝑇∙, 𝑇∙)∼=𝐴. Pela semelhan¸ca nos resultados costuma-se dizer que

Rickard desenvolveu uma teoria de Morita para categorias derivadas. Note que todo m´odulo inclinante produz um complexo inclinante (concentrado) e o resultado de Happel acima ´e um caso particular do teorema de Rickard.

Em que pese sua importância, são poucas as classes de álgebras em que sabemos descrever, explicitamente, sua categoria derivada. Nem mesmo o quiver de Auslander-Reiten, isto é, objetos indecompon´ıveis e morfismos ir-redut´ıveis, é conhecido na grande maioria dos casos. Como exemplo de um dos poucos casos onde a categoria derivada é conhecida podemos citar a classe de álgebras hereditárias (ver [20]).

´

Algebras gentle foram introduzidas por Assem e Skowroński [4] e estão presentes em diversos problemas de classifica¸cão. Por exemplo, em [31] Vossieck provou que a categoria derivada 𝐷𝑏_{(𝐴) de uma álgebra}_𝐴_{é discreta}

se e somente se ela é do tipo Dynkin, isto é, 𝐴 ∼= 𝐾𝑄 é isomorfa a uma álgebra de caminhos de um quiver 𝑄 do tipo Dynkin, ou se é uma álgebra gentle com exatamente 1 ciclo e com números distintos de rela¸cões com sen-tido de orienta¸cão horário e anti-horário. Álgebras gentle também ocorrem em outras áreas da Matemática como, por exemplo, em problemas relaciona-dos a triangula¸cões de superf´ıcies [6]. Da´ı a importância do estudo desta classe de álgebras.

Como um caso particular de álgebras string, a categoria de módulos de uma álgebra gentle é completamente conhecida. Seus objetos indecom-pon´ıveis e morfismos irredut´ıveis podem ser obtidos por uma técnica combi-natória, aplicada diretamente no quiver da álgebra, desenvolvida por Butler

(9)

e Ringel [13]. Ainda mais, o espa¸co de morfismos entre dois 𝐴-módulos Hom𝐴(𝑀, 𝑁) é conhecido e pode ser calculado também de forma

combi-natória (veja [29] se¸cão 2). Um especial interesse pela categoria derivada de álgebras gentle vem do fato, provado por Schröer e Zimmermann [29], da classe destas álgebras ser fechada por equivalência derivada. Se 𝐴 é uma álgebra gentle e 𝐵 é uma álgebra derivadamente equivalente𝐷𝑏_(𝐴)_≃_𝐷𝑏_(𝐵)

então 𝐵 é uma álgebra gentle. Este fato motiva obter uma classifica¸cão de algebras gentle derivadamente equivalentes. Alguns resultados nesta dire¸cão são conhecidos. Em [3] é provado que álgebras gentle cujo quiver é uma árvore com 𝑛 vértices são derivadamente equivalentes a álgebra de caminho do tipo A𝑛 . Também existem classifica¸cões para álgebras gentle cujo quiver possui

um ciclo [4] e resultados parciais para álgebras com dois ciclos [1, 9]. Em problemas de classifica¸cão são aplicados invariantes conhecidos para álgebras gentle tais como o determinante de Cartan [22] e o invariante de Avella-Alaminos [2], entre outros.

Quanto a estrutura intr´ınseca da categoria derivada de uma álgebra gen-tle, Bekkert e Merklen [8] obtiveram uma descri¸cão completa dos complexos indecompon´ıveis por meio de string e band generalizadas que, por sua vez, são obtidas diretamente no quiver da álgebra (veja também [11] para uma outra descri¸cão destes indecompon´ıveis). Em [29] Schröer provou que a álgebra repetitiva ˆ𝐴de uma álgebra gentle𝐴é bisserial especial. Utilizando este fato e o funtor de Happel 𝐹 : 𝐷𝑏_(𝐴) _−→_{mod ˆ}_𝐴 _{na categoria estável da álgebra}

repetitiva, Bobiński obteve os triângulos de Auslander-Reiten de complexos perfeitos na categoria derivada de álgebras gentle [10]. Entretanto esta des-cri¸cão, sendo feita via álgebra repetitiva, não é obtida diretamente sobre o quiver da álgebra, o que dificulta o cálculo efetivo dos triângulos em exemplos concretos. Até o presente não existe uma descri¸cão do espa¸co de morfismos Hom𝐷𝑏₍_𝐴₎(𝑋∙, 𝑌∙) entre complexos indecompon´ıveis na categoria derivada

de ´algebras gentle.

O principal resultado deste trabalho é a descri¸cão completa dos morfis-mos irredut´ıveis entre complexos string na categoria derivada limitada de uma álgebra gentle de dimensão finita, feita por técnica combinatória a ser aplicada diretamente no quiver da álgebra (teorema 4.1). Esta técnica per-mite ainda obter todos os triângulos de Auslander-Reiten que envolvem com-plexos string, de uma forma simples e também diretamente no quiver da álgebra (teorema 5.1 e exemplos no cap´ıtulo 5). Para obter estes resultados utilizamos representa¸cões de clans. Mais especificamente, aplicamos os resul-tados sobre morfismos irredut´ıveis e teoria de Auslander-Reiten obtidos por Christof Geiss [16]. No entanto, as provas apresentadas aqui utilizam apenas conceitos básicos de álgebra homológica.

(10)

4

(11)

Cap´ıtulo 1

Conceitos B´

asicos

1.1 Representa¸c˜

oes de Quivers

Neste cap´ıtulo apresentamos, de forma suscinta, resultados que serão utiliza-dos ao longo deste trabalho e fixamos nota¸cão. Para detalhes e demonstra¸cões de resultados sobre teoria de representa¸cões deixamos como referências [5] e [7]. Para categorias derivadas e trianguladas ficam as referências [20], [19] e [17]. Uma palavra sobre a nota¸cão de composi¸cão de morfismos que utilizare-mos no texto. A composi¸cão de um morfismo 𝑓 seguida de um morfismo 𝑔 é denotada 𝑓 𝑔. No entanto, quando aplicada sobre um elemento 𝑥 preserva-mos a forma mais comum 𝑔(𝑓(𝑥)). Acreditamos que este critério facilitará a leitura.

Um quiver 𝑄= (𝑄0, 𝑄1, 𝑠, 𝑡) é formado por um conjunto𝑄0de vértices, um conjunto 𝑄1 de flechas e duas aplica¸cões 𝑠, 𝑡:𝑄1 →𝑄0, respectivamente o in´ıcio 𝑠(𝛼) e o fim 𝑡(𝛼) de toda flecha 𝛼 ∈ 𝑄1. Em geral um quiver é representado por um grafo orientado onde toda flecha 𝛼∈𝑄1 é graficamente representada por 𝑠(𝛼)−→𝛼 𝑡(𝛼). Desta maneira podemos denotar um quiver simplesmente por 𝑄 = (𝑄0, 𝑄1). Um quiver 𝑄 = (𝑄0, 𝑄1) é dito finito

se 𝑄0 e 𝑄1 são conjuntos finitos e é dito conexo se o grafo obtido pelo esquecimento da orienta¸cão das flechas é conexo. Neste trabalho todos os quivers são finitos e conexos com 𝑄1 ∕=∅_.

Seja𝑄= (𝑄0, 𝑄1) um quiver e sejam os v´ertices𝑖, 𝑗 ∈𝑄0(n˜ao necessaria-mente distintos). Um caminho𝐶 =𝛼1. . . 𝛼𝑛 de comprimento 𝑙(𝐶) =𝑛 >0

de 𝑖 para 𝑗 é uma sequência de flechas 𝛼𝑘 ∈ 𝑄1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 tais que

𝑠(𝛼1) =𝑖, 𝑡(𝛼𝑛) =𝑗 e 𝑡(𝛼𝑘) =𝑠(𝛼𝑘+1) para todo 1≤𝑘 < 𝑛.

𝑖 𝛼1 // _𝑡(𝛼1) 𝛼2 // _𝑡(𝛼2)_{⋅ ⋅ ⋅} 𝛼𝑛−1 // _𝑡(𝛼_𝑛₋₁₎ 𝛼𝑛 //_𝑗

(12)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₆

Deﬁnimos 𝑠(𝐶) = 𝑠(𝛼1) o in´ıcio e 𝑡(𝐶) = 𝑡(𝛼𝑛) o ﬁm do caminho 𝐶. Um

caminho𝐶de comprimento𝑙(𝐶)>0 com mesmo in´ıcio e ﬁm𝑖=𝑗´e chamado

ciclo. Um ciclo de comprimento𝑙(𝐶) = 1 ´e umloop. Para todo v´ertice𝑖∈𝑄0 associamos um caminho trivial denotado 𝑒𝑖 de comprimento 𝑙(𝑒𝑖) = 0 com

in´ıcio e ﬁm 𝑠(𝑒𝑖) = 𝑡(𝑒𝑖) = 𝑖.

Seja 𝑄 = (𝑄0, 𝑄1) um quiver finito e seja 𝐾 um corpo. Uma re-presenta¸cão 𝑉 = ( 𝑉𝑖, 𝑇𝛼 )𝑖∈𝑄0, 𝛼∈𝑄1 do quiver 𝑄 é definida associando-se a

todo v´ertice 𝑖∈𝑄0 um 𝐾-espa¸co vetorial 𝑉𝑖 e para toda ﬂecha 𝛼∈𝑄1 uma

aplica¸cão linear 𝑇𝛼 :𝑉𝑠(𝛼) −→ 𝑉𝑡(𝛼). Uma representa¸cão é dita de dimensão

finitase todo espa¸co vetorial𝑉𝑖, 𝑖∈𝑄0, é de dimensão finita. Neste trabalho

todas as representa¸cões são de dimensão finita.

Seja𝑄= (𝑄0, 𝑄1) um quiver ﬁnito e sejam 𝑉 = (𝑉𝑖, 𝑇𝛼), 𝑉′ = (𝑉𝑖′, 𝑇𝛼′)

duas representa¸cões de 𝑄. Um morfismo entre representa¸cões Φ : 𝑉 −→ 𝑉′ _{é um conjunto de aplica¸cões lineares} _{_Φ

𝑖 :𝑉𝑖 →𝑉𝑖′, 𝑖∈𝑄0} tais que o diagrama

𝑉𝑠(𝛼) 𝑇𝛼 //

Φ𝑠(𝛼)

²²

𝑉𝑡(𝛼)

²²

Φ𝑡(𝛼)

²²

𝑉′

𝑠(𝛼)

𝑇′

𝛼

//𝑉_𝑡′₍_𝛼₎

é comutativo para toda flecha𝛼∈𝑄1. Um morfismo Φ entre representa¸cões é um isomorfismo se Φ𝑖 é um isomorfismo para todo 𝑖 ∈ 𝑄0. Os objetos e

morﬁsmos acima deﬁnem uma categoria 𝑅𝑒𝑝𝐾(𝑄) (resp. 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄)) de

re-presenta¸cões (resp. rere-presenta¸cões de dimensão finita) de um quiver 𝑄sobre um corpo 𝐾. Não é dif´ıcil verificar que𝑅𝑒𝑝𝐾(𝑄) e 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄) são categorias

abelianas. O núcleo, conúcleo, objeto nulo e a soma de morfismos são obtidos de maneira natural. Por exemplo, a soma direta de duas representa¸cões 𝑉 = (𝑉𝑖, 𝑇𝛼) e 𝑉′ = (𝑉𝑖′, 𝑇𝛼′) é a representa¸cão𝑉⊕𝑉′ = (𝑉𝑖⊕𝑉𝑖′, 𝑇𝛼⊕𝑇𝛼′).

Uma representa¸cão 𝑊 é dita decompon´ıvel se é isomorfa a uma soma direta 𝑊 ∼= 𝑉 ⊕𝑉′ _com _{𝑉, 𝑉}′ _∕_{= 0. Caso contrário} _𝑊 _{é uma} _{representa¸cão}

indecompon´ıvel.

Seja𝑄 um quiver e seja 𝑉 = (𝑉𝑖, 𝑇𝛼) uma representa¸c˜ao de 𝑄 sobre um

corpo 𝐾. Seja 𝐶 =𝛼1. . . 𝛼𝑛 um caminho de um v´ertice 𝑖 para um v´ertice

𝑗 em 𝑄. Uma avalia¸cão de𝐶 sobre 𝑉 é uma aplica¸cão linear 𝑇𝐶 : 𝑉𝑖 →𝑉𝑗

deﬁnida pela composi¸c˜ao 𝑇𝐶 =𝑇𝛼1 ⋅𝑇𝛼2 ⋅. . .⋅𝑇𝛼𝑛.

Exemplo 1. Seja 𝑄 o quiver dado pelo grafo orientado abaixo e seja 𝐾

um corpo.

(13)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₇

Uma representa¸c˜ao de 𝑄´e dada por

𝐾 (1 0) // _𝐾2 oo (0 1) _𝐾

que é decompon´ıvel pois é soma direta das representa¸cões abaixo.

𝐾 1 // _𝐾 oo 0 ₀ _⊕ ₀ 0 // _𝐾 oo 1 _𝐾_.

O mergulho natural de cada somando direto ´e dado pelos morﬁsmos

𝐾 1 //

1

²²

𝐾

(1 0)

²²

0

oo

²²

𝐾 (1 0)// _𝐾2 _oo(0 1) _𝐾

0 //

²²

𝐾

(0 1)

²²

𝐾 1

oo

1

²²

𝐾 (1 0)// _𝐾2 _oo(0 1) _𝐾

Para as representa¸c˜oes 𝑊 : 𝐾 // ₀ oo ₀ _e _𝑊′ _: _𝐾 1 // _𝐾 oo 1 _𝐾 _´e

f´acil ver que Hom𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄)(𝑊, 𝑊

′_{) = 0.}

1.2 Algebras e Quivers

´

Seja 𝑄 = (𝑄0, 𝑄1) um quiver e seja 𝐾 um corpo. Denotamos Pa (resp. Pa≥1) o conjunto de caminhos (caminhos n˜ao triviais) em 𝑄. Denotamos

𝐾𝑄 o 𝐾-espa¸co vetorial que tem como base o conjunto de caminhos Pa.

Em 𝐾𝑄 definimos uma opera¸cão associativa induzida pela composi¸cão de caminhos da seguinte forma: se𝐶, 𝐷 ∈Pasão caminhos em𝑄então 𝐶⋅𝐷=

𝐶𝐷 se 𝑡(𝐶) = 𝑠(𝐷) e 𝐶⋅𝐷 = 0 caso contrário. É fácil ver que, com

esta opera¸cão, o espa¸co vetorial 𝐾𝑄 é uma 𝐾-álgebra associativa chamada de álgebra de caminhos sobre 𝑄. Neste trabalho estamos interessados em álgebras de dimensão finita e, por esta razão, em quivers finitos. Nesta situa¸cão a 𝐾-álgebra de caminhos 𝐾𝑄 possui unidade 1 = ∑_𝑖_∈_𝑄₀𝑒𝑖 e é

conexa se e somente se 𝑄é conexo. Além disso, a álgebra de caminhos 𝐾𝑄 é de dimensão finita se e somente se 𝑄 não possui ciclos.

Seja 𝑄 = (𝑄0, 𝑄1) um quiver ﬁnito. Denotamos 𝑅𝑄 o ideal da ´algebra

de caminhos 𝐾𝑄 gerado pelas ﬂechas 𝛼 ∈ 𝑄1. Um ideal bilateral 𝐼⊲𝐾𝑄 ´e dito admiss´ıvel se existe 𝑚 ≥ 2 tal que 𝑅𝑚

𝑄 ⊂ 𝐼 ⊂ 𝑅2𝑄. Neste caso

prova-se que𝐼 é gerado por um conjunto finito de elementos da álgebra𝐾𝑄, isto é, 𝐼 =< 𝜌1, . . . , 𝜌𝑛 >, onde os elementos geradores𝜌𝑖 =∑𝑚𝑖=1𝜆𝑖𝐶𝑖, 𝜆𝑖 ∈

𝐾, 𝐶𝑖 ∈Pa≥1 s˜ao combina¸c˜oes lineares de caminhos de comprimento𝑙(𝐶𝑖)≥

(14)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₈

Uma rela¸cão 𝜌 ∈ Pa≥1 formada por um único caminho é chamada rela¸cão

nula. Uma rela¸cão da forma 𝜌 = 𝐶−𝐷, 𝐶, 𝐷 ∈ Pa≥1 é chamada rela¸cão

comutativa. Se 𝐼 =< 𝜌𝑖 >𝑖∈𝐽 ´e um ideal admiss´ıvel, denotamos (𝑄, 𝐼) o

quiver com rela¸cões pelas rela¸cões (𝜌𝑖)𝑖∈𝐽 e a álgebra 𝐾𝑄/𝐼 é chamada de

´algebra de caminhos sobre o quiver com rela¸c˜oes e denotada 𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼).

Seja (𝑄, 𝐼) um quiver com rela¸c˜oes com𝐼 =< 𝜌𝑖 >𝑖∈𝐽. Uma representa¸c˜ao

𝑉 = (𝑉𝑖, 𝑇𝛼) de 𝑄 ´e dita limitada por 𝐼 se e somente se, para todo 𝑖 ∈ 𝐽,

a avalia¸c˜ao 𝑇𝜌𝑖 = 0 ´e nula. Denotamos 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄, 𝐼) a subcategoria plena

de 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄) formada pelas representa¸cões de dimensão finita do quiver 𝑄

limitadas por 𝐼. Esta subcategoria desempenha um importante papel na Teoria de Representa¸cões. Com efeito, a categoria mod 𝐴 de 𝐴-módulos de uma álgebra de caminhos 𝐴 = 𝐾(𝑄, 𝐼) pode ser estudada via categoria de representa¸cões do quiver com rela¸cões, tendo em vista uma conhecida 𝐾-equivalência linear 𝐹 : mod 𝐴−→∼ 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄, 𝐼).

Seja𝐴uma𝐾-álgebra de dimensão finita e seja{𝑒1, . . . , 𝑒𝑛}um conjunto

completo de idempotentes ortogonais primitivos. Dizemos que a álgebra 𝐴 é básica se os 𝐴-módulos projetivos 𝑒𝑖𝐴 e 𝑒𝑗𝐴 não são isomorfos para

todos 𝑖∕=𝑗. Prova-se que a álgebra de caminhos 𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼) de um quiver com rela¸cões é básica e de dimensão finita. Um fato conhecido é que toda álgebra é Morita equivalente a uma álgebra básica (isto é, suas categorias de módulos são equivalentes). Em razão disto, neste trabalho todas as álgebras são básicas e de dimensão finita.

Seja𝐴uma ´algebra b´asica e seja{𝑆1, . . . , 𝑆𝑛}um conjunto completo de

𝐴-m´odulos simples n˜ao isomorfos dois a dois. Como de praxe, denotamos 𝑃𝑖

(resp. 𝐼𝑖) a cobertura projetiva (resp. envolvente injetiva) de𝑆𝑖. Denotamos

𝑃𝐴⊂mod𝐴a subcategoria plena de𝐴-módulos projetivos. Como𝐴é básica

temos 𝐴=𝑃1⊕. . .⊕𝑃𝑛 com 𝑃𝑖 ∕∼=𝑃𝑗 para todo 𝑖∕=𝑗.

Seja 𝐴 =𝐾(𝑄, 𝐼) uma ´algebra de caminhos de um quiver com rela¸c˜oes.

A equivalˆencia mod 𝐴 ≃ 𝑟𝑒𝑝𝐾(𝑄, 𝐼) permite descrever os m´odulos simples,

projetivos e injetivos indecompon´ıveis como representa¸cões do quiver com rela¸cões (𝑄, 𝐼). Seja 𝑖 ∈ 𝑄0 um vértice de 𝑄. O módulo simples 𝑆𝑖

corre-sponde a representa¸c˜ao (𝑆𝑖(𝑗), 𝑇𝑖(𝛼))𝑗∈𝑄0, 𝛼∈𝑄1 deﬁnida por:

𝑆𝑖(𝑗) =

⎧ ⎨ ⎩

0, se𝑗 ∕=𝑖;

𝐾, se𝑗 =𝑖;

𝑇𝑖(𝛼) = 0, ∀ 𝛼∈𝑄1.

O𝐴-módulo (à direita) projetivo 𝑃𝑖 corresponde a representa¸cão

(15)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₉

onde 𝑃𝑖(𝑗) ´e o 𝐾-espa¸co vetorial cuja base ´e

{

𝐶 =𝐶+𝐼; 𝐶 caminho com 𝑠(𝐶) =𝑖 e 𝑡(𝐶) =𝑗 }

e 𝑇𝑖(𝛼) : 𝑃𝑖(𝑠(𝛼)) −→ 𝑃𝑖(𝑡(𝛼)) é a aplica¸cão linear definida nesta base por

𝑇𝑖(𝛼)(𝐶) = 𝐶𝛼. A representa¸cão que corresponde ao 𝐴-módulo (à direita)

injetivo indecompon´ıvel 𝐼𝑖 ´e obtida por dualidade.

Exemplo 2. Seja (𝑄, 𝐼) o quiver com rela¸c˜oes

1oo 𝑎 2

𝑏

pp _𝐼 _{=< 𝑏}2 _>

e seja 𝐴= 𝐾(𝑄, 𝐼) a respectiva álgebra de caminhos limitada. Os módulos simples correspondem às representa¸cões

𝑆1 : 𝐾oo 0 0

0

pp _𝑆₂ _: ₀oo 0 _𝐾

0

rr

Os m´odulos projetivos indecompon´ıveis s˜ao

𝑃1 : 𝐾oo 0 0

0

pp _𝑃₂ _: _𝐾2oo Id _𝐾2

𝑀

ss

onde 𝑀 =

(

0 1 0 0

)

, uma base de𝑃2(1) ´e {𝑎, 𝑏𝑎 }, uma base de 𝑃2(2) ´e

{ 𝑒2, 𝑏 }.

Os m´odulos injetivos indecompon´ıveis s˜ao

𝐼1 : 𝐾_oo (1 0)𝑇 𝐾2

𝑁

ss _𝐼2 _: ₀_oo 0 _𝐾2

𝑁

ss

onde 𝑁 =

(

0 0 1 0

)

e as bases s˜ao 𝐼1(1) = { 𝑒1 }, 𝐼1(2) = { 𝑎, 𝑏𝑎 } e

𝐼2(2) ={ 𝑒2, 𝑏 }.

(16)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₀

Teorema 1.1 (Gabriel) Seja 𝐴 uma álgebra básica e de dimensão finita

sobre um corpo 𝐾. Ent˜ao existe um quiver ﬁnito 𝑄𝐴 e um ideal admiss´ıvel

𝐼 da álgebra de caminhos 𝐾𝑄𝐴 tal que 𝐴 ∼= 𝐾𝑄𝐴/𝐼 é um isomorfismo de

𝐾-´algebras.

Com este fato em mente, ao longo deste trabalho toda álgebra 𝐴é uma álgebra de caminhos de um quiver com rela¸cões 𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼).

1.3 Categorias Derivadas

Seja𝒜uma categoria abeliana. Neste trabalho estamos interessados na cate-goria de𝐴-módulos finitamente gerados de uma álgebra𝐴, assim assumimos que a categoria 𝒜 possui suficientes objetos injetivos e projetivos. Um

complexo 𝑋∙ _{= (𝑋}𝑖_{, 𝑑}𝑖

𝑥)𝑖∈ℤ em 𝒜 ´e uma sequˆencia de objetos 𝑋𝑖 ∈ 𝒜 e

uma sequˆencia de morﬁsmos 𝑑𝑖

𝑥 : 𝑋𝑖 −→ 𝑋𝑖−1, chamados diferenciais do

complexo, tais que a composi¸c˜ao 𝑑𝑖

𝑥 ⋅𝑑𝑖𝑥−1 = 0 para todo 𝑖 ∈ ℤ. Um

mor-fismo entre dois complexos 𝑓∙ _: _𝑋∙ _−→ _𝑌∙ _{é um conjunto de morfismos}

{𝑓𝑖 _: _𝑋𝑖 _−→_𝑌𝑖_; _𝑖_∈_ℤ_} _{tais que, para todo} _𝑖_∈_ℤ_{, o diagrama}

𝑋𝑖 𝑑

𝑖 𝑥

//

𝑓𝑖

²²

𝑋𝑖−1

𝑓𝑖−1

²²

𝑌𝑖 𝑑

𝑖 𝑦

//_𝑌𝑖−1

é comutativo. É fácil ver que tais objetos e morfismos definem uma categoria abeliana 𝐶𝑜𝑚(𝒜) de complexos em 𝒜 onde núcleo, conúcleo, soma direta e objetos nulos são obtidos de forma natural. Por exemplo, o núcleo de um morfismo 𝑓∙ _:_𝑋∙ _−→_𝑌∙ _{é o complexo (Ker} _𝑓𝑖_{, 𝑑}𝑖

𝑘)𝑖∈ℤ onde a diferencial 𝑑𝑖_𝑘

´e obtida no diagrama abaixo 1_.

Ker𝑓𝑖 𝑑

𝑖 𝑘

//

_ _ _ _ _ _

Ä _

²²

Ker𝑓𝑖−1

Ä _

²²

𝑋𝑖 𝑑

𝑖 𝑥

//

𝑓𝑖

²²

𝑋𝑖−1

𝑓𝑖−1

²²

𝑌𝑖 𝑑

𝑖 𝑦

//_𝑌𝑖−1

1_{Poderiamos simplesmente dizer que Ker} _𝑓∙ _{´e o complexo obtido pela aplica¸c˜}_{ao do}

(17)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₁

Seja um complexo𝑋∙ _∈_{𝐶𝑜𝑚(}_𝒜_{). Para cada}_𝑧 _∈_ℤ_{deﬁnimos o} _complexo

transladado𝑋∙_{(𝑧) por} _𝑋𝑖_{(𝑧) =} _𝑋𝑖−𝑧 _e _𝑑𝑖

𝑥(𝑧)=𝑑𝑖𝑥−𝑧. Por exemplo, se𝑧 >0

ent˜ao

𝑋∙ _: _{⋅ ⋅ ⋅} _//_𝑋𝑧 𝑑

𝑧 𝑥

//_{⋅ ⋅ ⋅} //_𝑋1 𝑑

1

𝑥

//_𝑋0 𝑑

0

𝑥

//_𝑋−1 𝑑

−1

𝑥

//_{⋅ ⋅ ⋅}

𝑋∙_{(𝑧) :} _{⋅ ⋅ ⋅} _//

𝑋0 𝑑

0

𝑥

//_{⋅ ⋅ ⋅} //_𝑋1−𝑧 𝑑 1−𝑧 𝑥

//_𝑋−𝑧 𝑑

−𝑧 𝑥

//_𝑋−1−𝑧 𝑑

−1−𝑧 𝑥

//_{⋅ ⋅ ⋅}

Um complexo 𝑋∙ _{´e dito} _{limitado superiormente} _(resp. _limitado

infe-riormente) se existe 𝑛 ∈ ℤ _{tal que} _𝑋𝑖 _{= 0 para todo} _{𝑖 > 𝑛} _(resp. _{𝑖 < 𝑛).}

´

E dito limitado se for limitado superiormente e inferiormente. Denotamos 𝐶𝑜𝑚+₍_𝒜_{), 𝐶𝑜𝑚}−₍_𝒜_{), 𝐶𝑜𝑚}𝑏₍_𝒜_{) as respectivas subcategorias de complexos}

limitados inferiormente, superiormente e limitados.

Um morfismo de complexos𝑓∙ _é _{homotópico a zero}_{, e denotamos}_𝑓∙ _∼_0,

se existe um conjunto de morﬁsmos {ℎ𝑖 _: _𝑋𝑖 _−→ _𝑌𝑖+1_{, 𝑖} _∈ _ℤ _} _{tais que}

𝑓𝑖 ₌_𝑑𝑖

𝑥⋅ℎ𝑖−1+ℎ𝑖⋅𝑑𝑖𝑦+1 para todo 𝑖∈ℤ.

𝑋𝑖+1 𝑑

𝑖+1

𝑥

//

𝑓𝑖+1

²²

𝑋𝑖 𝑑

𝑖 𝑥

//

𝑓𝑖

²²

ℎ𝑖

ww

oooo oooooo

ooo 𝑋

𝑖−1

𝑓𝑖−1

²²

ℎ𝑖−1

ww

oooo oooooo

ooo

𝑌𝑖+1

𝑑𝑖𝑦+1

//_𝑌𝑖

𝑑𝑖 𝑦

//_𝑌𝑖−1

´

E fácil ver que o conjunto de morfismos homotópicos a zero forma um ideal bilateral em𝐶𝑜𝑚(𝒜). Definimos a categoria homotópica𝐾𝑜𝑚(𝒜) cujos objetos são os mesmos de 𝐶𝑜𝑚(𝒜) e morfismos são morfismos de complexos módulo homotópicos a zero, isto é,

Hom𝐾𝑜𝑚(𝒜)(𝑋∙, 𝑌∙) = Hom𝐶𝑜𝑚(𝒜)(𝑋∙, 𝑌∙)/∼.

Dois morﬁsmos entre complexos 𝑓∙_{, 𝑔}∙ _∈ _Hom

𝐶𝑜𝑚(𝒜)(𝑋∙, 𝑌∙) s˜ao ditos

homotópicos se a diferen¸ca 𝑓∙ ₋_𝑔∙ _∼ _{0 é homotópica a zero. Definimos as}

subcategorias homot´opicas 𝐾𝑜𝑚−₍_𝒜_), _𝐾𝑜𝑚+₍_𝒜_{) e} _𝐾𝑜𝑚𝑏₍_𝒜_{) de forma}

an´aloga.

Para cada inteiro𝑖∈ℤ _{deﬁnimos o} _{funtor de cohomologia}

𝐻𝑖 _:_{𝐶𝑜𝑚(}_𝒜₎_{−→ 𝒜}

da seguinte forma. Para objetos fazemos 𝐻𝑖_(𝑋∙_{) = Ker} _𝑑𝑖

𝑥 /Im 𝑑𝑖𝑥+1. Dado

(18)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₂

𝐻𝑖_(𝑓∙_{)(𝑥) =} _𝑓𝑖_{(𝑥). ´}_{E simples o cálculo para verificar que} _𝐻𝑖₍_⋅_{) é um funtor.}

Dizemos que um complexo 𝑋∙ _tem _{cohomologia limitada} _se _𝐻𝑖_(𝑋∙₎ _∕_{= 0}

para um conjunto ﬁnito de ´ındices 𝑖. Denotamos 𝐶𝑜𝑚−,𝑏₍_𝒜_{) e} _𝐶𝑜𝑚+,𝑏₍_𝒜₎

as respectivas categorias de complexos limitados superiormente e inferior-mente com cohomologia limitada. Denotamos 𝐾𝑜𝑚−,𝑏₍_𝒜_{) e} _𝐾𝑜𝑚+,𝑏₍_𝒜_{) as}

respectivas categorias homot´opicas.

Lema 1.1 Se 𝑓∙_{, 𝑔}∙ _: _𝑋∙ _−→ _𝑌∙ _{são homotópicos então} _𝐻𝑖_(𝑓∙_{) =}_𝐻𝑖_(𝑔∙₎

para todo 𝑖∈ℤ_.

Demonstra¸cão. Seja𝑥∈𝐻𝑖_(𝑋∙_{). Pela defini¸cão temos}_𝐻𝑖_(𝑓∙_{)(𝑥) =} _𝑓𝑖_(𝑥)

e 𝐻𝑖_(𝑔∙_{)(𝑥) =}_𝑔𝑖_{(𝑥). Como}_𝑓∙ _∼_𝑔∙_{s˜ao homot´opicos existem}_ℎ𝑖−1 _:_𝑋𝑖−1 _−→ 𝑌𝑖 _e _ℎ𝑖 _:_𝑋𝑖 _−→_𝑌𝑖+1 _{tais que (𝑓}𝑖₋_𝑔𝑖_{)(𝑥) =}_𝑑𝑖+1

𝑦 ℎ𝑖(𝑥) +ℎ𝑖−1𝑑𝑖𝑥(𝑥).

𝑋𝑖 𝑑

𝑖 𝑥

//

ℎ𝑖

}}

{{{{ {{{{

{

𝑓𝑖

²²

𝑔𝑖

²²

𝑋𝑖−1

ℎ𝑖−1

}}

{{{{ {{{{

{

𝑌𝑖+1

𝑑𝑖𝑦+1

//_𝑌𝑖

Como 𝑥 ∈ 𝐻𝑖_(𝑋∙_{) temos que} _𝑥 _∈ _Ker _𝑑𝑖

𝑥 e portanto 𝑓𝑖(𝑥) − 𝑔𝑖(𝑥) =

𝑑𝑖+1

𝑦 ℎ𝑖(𝑥)∈Im 𝑑𝑦𝑖+1, ou seja,𝑓𝑖(𝑥) =𝑔𝑖(𝑥). □

A rec´ıproca deste lema n˜ao ´e verdadeira. Seja o complexo 𝑋∙ _cujas

entradas são grupos abelianos ℤ_/4ℤ _{e cujas diferenciais são multiplica¸cões}

por dois. Considere o morﬁsmo de complexos 1𝑋∙ :𝑋∙ →𝑋∙.

⋅ ⋅ ⋅ // ℤ

4ℤ

⋅2 _// ℤ

4ℤ

⋅2 _//

?

yy

ss s s

s s s

ℤ

4ℤ //

?

yy

s s ss

ss

s ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ // ℤ

4ℤ

⋅2

// ℤ

4ℤ

⋅2

// ℤ

4ℤ //⋅ ⋅ ⋅

´

E f´acil ver que, para todo 𝑖 ∈ ℤ_{, temos} _𝐻𝑖₍₁_𝑋∙) = 0 mas, no entanto, 1_𝑋∙

não é homotópica a zero.

Um morﬁsmo entre complexos 𝑓∙ _: _𝑋∙ _→ _𝑌∙ _{´e chamado um}

quase-isomorfismo se 𝐻𝑖_(𝑓∙_{) é um isomorfismo para todo} _𝑖 _∈ _ℤ_{. Prova-se que}

(19)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₃

multiplicativo2_{na categoria homot´opica}_{𝐾𝑜𝑚(}_𝒜_{) (resp. em}_𝐾𝑜𝑚∗₍_𝒜_{) onde}

(∗) = +,−, 𝑏). Portanto existe um funtor de localiza¸cão 𝑄 : 𝐾𝑜𝑚(𝒜) −→ 𝐾𝑜𝑚(𝒜)[𝑄𝑢𝑖𝑠−1_{] tal que} _𝑄(𝑓∙_{) é um isomorfismo em}_{𝐾𝑜𝑚(}_𝒜_{)[𝑄𝑢𝑖𝑠}−1_{] para} todo quase-isomorfismo 𝑓∙ _∈ _{𝑄𝑢𝑖𝑠, com a seguinte propriedade universal.}

Seja𝐹 : 𝐾𝑜𝑚(𝒜)→ 𝒟um funtor tal que𝐹(𝑓∙_{) ´e um isomorﬁsmo em}_𝒟_para

todo quase-isomorﬁsmo𝑓∙_{. Ent˜ao existe um funtor}_𝐺_: _{𝐾𝑜𝑚(}_𝒜_{)[𝑄𝑢𝑖𝑠}−1_]_→ 𝒟 tal que o diagrama

𝐾𝑜𝑚(𝒜) 𝑄 //

𝐹

**

U U U U U U U U U U U U U U U U U U U

U 𝐾𝑜𝑚(𝒜)[𝑄𝑢𝑖𝑠

−1_]

𝐺

²²

Â

𝒟 ´e comutativo.

Seja𝒜 uma categoria abeliana. Definimos a categoria derivada𝐷(𝒜) = 𝐾𝑜𝑚 (𝒜)[𝑄𝑢𝑖𝑠−1_{] como a localiza¸cão da categoria homotópica pela cole¸cão} de quase-isomorfismos. Desta forma, objetos em 𝐷(𝒜) são complexos e mor-fismos são classes de homotopia com inversos de quase-isomormor-fismos. De maneira similar obtemos as categorias 𝐷−₍_𝒜_), _𝐷+₍_𝒜_{) e} _𝐷𝑏₍_𝒜_{) cujos}

objetos s˜ao respectivamente complexos limitados superiormente, limitados inferiormente e limitados.

Em geral as categorias homotópicas 𝐾𝑜𝑚(𝒜) e derivada 𝐷(𝒜) de uma categoria abeliana 𝒜 não são abelianas. No entanto, elas possuem uma es-trutura de categorias trianguladas.

1.4 Categorias Trianguladas

Seja𝒞 uma categoria aditiva e seja𝑇 : 𝒞 −→ 𝒞 uma equivalˆencia em𝒞. Um

triângulo em 𝒞 é uma tripla (𝑢, 𝑣, 𝑤) de morfismos em 𝒞 na forma abaixo.

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //_𝑇_(𝑋)

A sequˆencia acima muitas vezes ´e encontrada na literatura num diagrama na forma

𝑍

𝑤

~~

~~~~ ~~~

𝑋 𝑢 //𝑌

𝑣

__

@@ @@

@@_@

2_{Para deﬁni¸c˜}_{ao de um sistema multiplicativo numa categoria veja [24] p´agina 5, ou [19]}

(20)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₄

onde a barra sobre 𝑤 denota que 𝑤 : 𝑍 → 𝑇(𝑋). Da´ı o uso da palavra triângulo. Um morfismo entre dois triângulos (𝑢, 𝑣, 𝑤) e (𝑢′_{, 𝑣}′_{, 𝑤}′_{) é uma}

tripla (Φ1, Φ2, Φ3) de morﬁsmos em𝒞 tal que o diagrama

𝑋 𝑢 //

Φ1

²²

𝑌 𝑣 //

Φ2

²²

𝑍 𝑤 //

Φ3

²²

𝑇(𝑋)

𝑇(Φ1)

²²

𝑋′ 𝑢′ _//_𝑌′ 𝑣′ _//_𝑍′ 𝑤′ _//_𝑇_(𝑋′₎

é comutativo. Um categoria𝒞 é dita pré-trianguladase existe uma classe de

triângulos distinguidos𝒯, também chamados triângulos exatos, satisfazendo as 3 condi¸cões seguintes.

(T1) 𝒯 é fechada para isomorfismos. Para todo objeto 𝑋 ∈ Ob 𝒞 o triângulo 0 −→ 𝑋 −→1 𝑋 −→ 0 é exato e para todo morfismo 𝑢 ∈ Mor 𝒞 existe um triângulo exato (𝑢, 𝑣, 𝑤)∈ 𝒯.

(T2) Um triângulo (𝑢, 𝑣, 𝑤) é exato se e somente se (𝑣, 𝑤,−𝑇(𝑢)) é um triângulo exato. Esta condi¸cão é conhecida na literatura como rota¸cão do triângulo o que se justifica pelos diagramas abaixo.

𝑍

𝑤

~~

~~~~ ~~~

𝑋 𝑢 //𝑌

𝑣

__

@@ @@

@@_@

𝑇(𝑋)

−𝑇(𝑢)

||

yyyy yyyy

𝑌 𝑣 //𝑍

𝑤

bb

EE_EE EE_EE

(T3) Sejam (𝑢, 𝑣, 𝑤) e (𝑢′_{, 𝑣}′_{, 𝑤}′_{) dois triˆangulos exatos. Para todo par}

de morﬁsmos Φ1 e Φ2 tais que 𝑢Φ2 = Φ1𝑢′ existe Φ3 tal que o diagrama

𝑋 𝑢 //

Φ1

²²

𝑌 𝑣 //

Φ2

²²

𝑍 𝑤 //

Φ3

²²

Â

Â 𝑇(𝑋)

𝑇(Φ1)

²²

𝑋′ 𝑢′ _//_𝑌′ 𝑣′ _//_𝑍′ 𝑤′ _//_𝑇_(𝑋′₎

é um morfismo de triângulos.

Lema 1.2 Seja𝒞 uma categoria pr´e-triangulada e seja(𝑢, 𝑣, 𝑤)um triˆangulo

exato em 𝒞. Ent˜ao 𝑢𝑣 =𝑣𝑤= 0.

Demonstra¸c˜ao. Usando (T1),(T2) e(T3) obtemos o diagrama de

(21)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₅

𝑌 𝑣 //

𝑣

²²

𝑍 𝑤 //_{𝑇 𝑋} −𝑇 𝑢//

²²

Â

Â 𝑇 𝑌

𝑇 𝑣

²²

𝑍 𝑍 //₀ //_{𝑇 𝑍}

Pela comutatividade do diagrama obtemos −𝑇 𝑢 ⋅𝑇 𝑣 = 𝑇(−𝑢𝑣) = 0 e 𝑢𝑣 = 0. Por rota¸c˜ao temos 𝑣𝑤= 0. □

Uma categoria pré-triangulada𝒞 é dita trianguladase satisfaz o axioma do octaedro (T4). Este axioma está vinculado a um diagrama que pode ser apresentado na forma tridimensional de um octaedro, da´ı a justificativa do nome utilizado na literatura. Apresentamos uma versão equivalente, porém mais intuitiva. Uma prova da equivalência é feita por H. Krause em [24]. Um quadrado comutativo na categoria 𝒞

𝑋 𝑢 //

𝑢′

²²

𝑌

𝑣

²²

𝑌′ 𝑣′ _//_𝑍

é dito cartesiano homotópicose existe um triângulo exato

𝑋 (𝑢 𝑢′) // _𝑌 _⊕_𝑌′ (𝑣 −𝑣′)𝑇 _// _𝑍 𝛾 _// _𝑇_(𝑋).

O morfismo 𝛾 é chamado diferencial do quadrado cartesiano homotópico.

(T4) Todo par de aplica¸c˜oes 𝑢 : 𝑋 → 𝑌 e Φ1 : 𝑋 → 𝑋′ _{pode ser}

completado num morﬁsmo entre triˆangulos exatos

𝑋 𝑢 //

Φ1

²²

𝑌 _ _𝑣 _//

Φ2

²²

Â

Â 𝑍

𝑤

//

_ _

_ 𝑇(𝑋)

𝑇(Φ1)

²²

𝑋′ _{_}𝑢_{_}′_{_}_//_𝑌′_{_} 𝑣_{_}′ _{_}_//_𝑍_{_}𝑤_{_}′_{_}_//_𝑇_(𝑋′₎

tal que o quadrado à esquerda é cartesiano homotópico e a composi¸cão 𝑣′_𝑤_:

𝑌′ _→_𝑇_{(𝑋) ´e uma diferencial.}

Esta vers˜ao do axioma do octaedro possui uma semelhan¸ca com existˆencia de pull-back e push-out em categorias abelianas.

(22)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₆

seguinte. Para todo 𝑋∙ _∈ _{𝐾𝑜𝑚(}_𝒜_{) fazemos (𝑇 𝑋}∙₎𝑖 ₌ _𝑋𝑖−1 _e _𝑑𝑖 𝑇 𝑋∙ =

−𝑑𝑖−1

𝑥 . Seja 𝑓∙ : 𝑋∙ −→ 𝑌∙ um morﬁsmo de complexos em 𝒜. Deﬁnimos

o cone 𝐶𝑓∙ de 𝑓∙ como o complexo (𝐶_𝑓∙)𝑖 = 𝑋𝑖−1 ⊕ 𝑌𝑖 e diferencial

𝑑𝑖

𝐶𝑓∙ =

(

−𝑑𝑖−1

𝑥 𝑓𝑖−1

0 𝑑𝑖

𝑦

)

.

𝐶𝑓∙ : ⋅ ⋅ ⋅𝑋𝑖⊕𝑌𝑖+1

⎛

⎝ −𝑑

𝑖 𝑥 𝑓𝑖

0 𝑑𝑖+1

𝑦

⎞

⎠

//_𝑋𝑖−1_⊕_𝑌𝑖

⎛

⎝ −𝑑

𝑖−1

𝑥 𝑓𝑖−1

0 𝑑𝑖

𝑦

⎞

⎠

//_𝑋𝑖−2_⊕_𝑌𝑖−1_{⋅ ⋅ ⋅}

Para todo morﬁsmo entre complexos 𝑓∙ _: _𝑋∙ _−→ _𝑌∙ _{temos um triˆangulo}

distinguido

𝑋∙ 𝑓∙ _//_𝑌∙ 𝑖∙

//𝐶𝑓∙

−𝜋∙

//_{𝑇 𝑋}∙

onde 𝑖∙ _e _𝜋∙ _{são imersões e proje¸cões naturais, como mostra o diagrama}

abaixo.

𝑋𝑖+1 𝑑

𝑖+1

𝑥

//

𝑓𝑖+1

²²

𝑋𝑖 𝑑

𝑖 𝑥

//

𝑓𝑖

²²

𝑋𝑖−1

𝑓𝑖−1

²²

𝑌𝑖+1 𝑑

𝑖+1

𝑦

//

(0 1)

²²

𝑌𝑖 𝑑

𝑖 𝑦

//

(0 1)

²²

𝑌𝑖−1

(0 1)

²²

𝑋𝑖_⊕_𝑌𝑖+1

𝑑𝑖+1

𝐶𝑓∙

//

(−1 0)𝑇

²²

𝑋𝑖−1_⊕_𝑌𝑖

𝑑𝑖 𝐶𝑓∙

//

(−1 0)𝑇

²²

𝑋𝑖−2_⊕_𝑌𝑖−1

(−1 0)𝑇

²²

𝑋𝑖 −𝑑

𝑖 𝑥

//_𝑋𝑖−1 −𝑑

𝑖 𝑥

//_𝑋𝑖−2

Seja𝒯 a classe de todos os triângulos em𝐾𝑜𝑚(𝒜) isomorfos a triângulos distinguidos da forma acima. Prova-se que 𝒯 satisfaz as condi¸cões (T1) à (T4) e 𝐾𝑜𝑚(𝒜) é uma categoria triangulada.

Seja 𝒞 uma categoria triangulada e seja 𝒯 a classe de triângulos exatos em 𝒞. Seja ℳum sistema multiplicativo de morfismos em 𝒞. Dizemos que ℳ écompat´ıvel com a triangula¸cão de 𝒞 se for fechado para a equivalência 𝑇 : 𝒞 −→ 𝒞 e, para todo morfismo (Φ1, Φ2, Φ3) se Φ1, Φ2 ∈ ℳ então Φ3 ∈ ℳ. Se tais condi¸cões são satisfeitas então o funtor de localiza¸cão 𝑄 : 𝒞 −→ 𝒞[ℳ−1_{] induz uma estrutura triangular em} _𝒞_[_ℳ−1_{]. Além disso} 𝑄 é um funtor exato, isto é, leva triângulos em triângulos.

(23)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₇

Assim o funtor de localiza¸cão 𝑄 : 𝐾𝑜𝑚∗₍_𝒜₎ _−→ _𝐷∗₍_𝒜_{) é exato e} _𝐷∗₍_𝒜_{) é}

uma categoria triangulada, onde (∗) = +, −, ou 𝑏.

Seja 𝐴 uma 𝐾-´algebra e seja mod 𝐴 a categoria de 𝐴-m´odulos

finita-mente gerados. Para simplificar nota¸cão denotamos 𝐷𝑏_{(𝐴) :=}_𝐷𝑏_(mod _{𝐴) a}

categoria derivada limitada de 𝐴-m´odulos. Seja𝑃𝐴⊂mod𝐴 a subcategoria

plena de𝐴-m´odulos projetivos e seja𝐾𝑜𝑚−,𝑏_(𝑃

𝐴) a categoria homot´opica de

complexos de m´odulos projetivos limitados superiormente com cohomologia limitada. Temos uma equivalˆencia triangular de categorias dada por um fun-tor exato 𝐹 : 𝐾𝑜𝑚−,𝑏_(𝑃

𝐴)

∼

−→𝐷𝑏_{(𝐴). Se a ´algebra} _𝐴 _{tem dimens˜ao global}

ﬁnita prova-se que esta equivalˆencia se restringe a𝐹 : 𝐾𝑜𝑚𝑏_(𝑃 𝐴)

∼

−→𝐷𝑏_(𝐴).

Tais equivalências são de grande utilidade uma vez que uma descri¸cão de morfismos na categoria derivada é bem mais complicada que na categoria homotópica.

Um complexo de m´odulos projetivos𝑃∙ _∈_{𝐶𝑜𝑚(𝑃}

𝐴) ´e chamado complexo

minimal se 𝑑𝑖

𝑥(𝑋𝑖)⊂rad(𝑋𝑖−1), para todo𝑖 ∈ℤ, onde rad(𝑋𝑖−1) denota o

radical do 𝐴-m´odulo 𝑋𝑖−1_{. A subcategoria plena de} _{𝐶𝑜𝑚(𝑃}

𝐴) formada por

complexos minimais ´e chamada categoria minimalde 𝐴 e denotada𝑃∙

min(𝐴). Prova-se que todo complexo 𝑃∙ _∈_{𝐶𝑜𝑚(𝑃}

𝐴) ´e isomorfo, em 𝐾𝑜𝑚(𝑃𝐴), a um

complexo minimal (veja [18] teorema 5). Sob alguns aspectos tais como, por exemplo, para estudar objetos indecompon´ıveis ou morfismos irredut´ıveis (veja teorema 4.2) é mais conveniente trabalhar na categoria minimal, cujos morfismos são morfismos de complexos, que na categoria homotópica.

1.5 Teoria de Auslander-Reiten

Seja𝐴uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo𝐾 e seja 𝒜= mod𝐴 a categoria de 𝐴-módulos finitamente gerados ou 𝒜 = 𝐷𝑏_{(𝐴) a categoria}

derivada limitada de 𝐴. Um morfismo 𝑠 : 𝑀 −→ 𝑁 em 𝒜 é uma se¸cão

(resp. retra¸c˜ao) se existe 𝑟:𝑁 −→𝑀 tal que𝑠𝑟 = 1𝑀 (resp. 𝑟𝑠= 1𝑁). Um

morfismo 𝑓 : 𝑋 −→ 𝑌 em 𝒜 é dito irredut´ıvel se 𝑓 não é se¸cão nem retra¸cão e, para toda decomposi¸cão 𝑓 =𝑓1𝑓2,

𝑋 𝑓 //

𝑓1 BBB_ÃÃ B B B B

B 𝑌

𝑊

𝑓2

>>

} } } } } } } }

(24)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₈

geradores de morfismos na categoria 𝒜. Da´ı sua importância na descri¸cão, seja da categoria de 𝐴-módulos seja da categoria derivada. Morfismos irre-dut´ıveis nestas categorias vivem, respectivamente, em sequências e triângulos de Auslander-Reiten.

Uma sequˆencia exata de𝐴-m´odulos

0 // _𝑋 𝑢 // _𝑌 𝑣 // _𝑍 // ₀ _(1.1)

é uma sequência de Auslander-Reitense não cinde e satisfaz as duas condi¸cões seguintes:

(AR1) 𝑋 e 𝑍 s˜ao indecompon´ıveis.

(AR2) Se 𝑓 : 𝑊 −→ 𝑍 não é uma retra¸cão então existe 𝑔 : 𝑊 −→ 𝑌

tal que 𝑔𝑣 =𝑓.

Se a condi¸cão(AR1)é satisfeita prova-se que a condi¸cão(AR2)é equiv-alente a condi¸cão seguinte.

(AR2’)Se 𝑓′ _:_𝑋 _−→_𝑊 _{não é uma se¸cão então existe} _𝑔′ _:_𝑌 _−→_𝑊 _tal

que 𝑢𝑔′ ₌_𝑓′_.

Um importante resultado, obtido por Auslander e Reiten, estabelece que para todo 𝐴-módulo indecompon´ıvel não injetivo 𝑋 (resp. não projetivo 𝑍) existe uma única sequência de Auslander-Reiten come¸cando com 𝑋 (resp. terminando com 𝑍), a menos de isomorfismo. Prova-se que uma sequência exata 1.1 em mod 𝐴 é uma sequência de Auslander-Reiten se e somente se 𝑋 e 𝑍 são indecompon´ıveis e𝑢 e 𝑣 são irredut´ıveis (veja [5] cap´ıtulo IV, pág. 105, teorema 1.13).

Um triˆangulo exato em 𝐷𝑏_(𝐴)

𝑋∙ 𝑢 _//_𝑌∙ 𝑣 _//_𝑍∙ 𝑤 _//_{𝑇 𝑋}∙ _(1.2)

é um triângulo de Auslander-Reiten se satisfaz as condi¸cões (AR1) e

(AR2) acima e a condi¸c˜ao (AR3) 𝑤 ∕= 0. O teorema seguinte provado

por Happel [21] estabelece condi¸cões necessárias e suficientes para existência de triângulos de Auslander-Reiten na categoria derivada de uma álgebra.

Teorema 1.2 (Happel) Seja 𝐴 uma 𝐾-álgebra de dimensão finita e seja

𝑍∙ _∈ _𝐾𝑜𝑚−,𝑏_(𝑃

𝐴) um complexo indecompon´ıvel. Ent˜ao existe um triˆangulo

de Auslander-Reiten 𝑋∙ _→ _𝑌∙ _→ _𝑍∙ _→ _{𝑇 𝑋}∙ _{se e somente se} _𝑍∙ _∈

𝐾𝑜𝑚𝑏_(𝑃

(25)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₁₉

Segue do teorema que se a álgebra 𝐴 possui dimensão global finita então para todo complexo indecompon´ıvel 𝑍∙ _∈ _𝐷𝑏_{(𝐴) existe um triângulo de}

Auslander-Reiten na forma acima. Neste caso dizemos que 𝐷𝑏_{(𝐴) possui}

triˆangulos de Auslander-Reiten.

Lema 1.3 Seja 𝒜 uma categoria triangulada. Um triˆangulo exato

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //_{𝑇 𝑋}

´e de Auslander-Reiten se e somente se 𝑋 e 𝑍 s˜ao indecompon´ıveis, 𝑤∕= 0

e os morﬁsmos 𝑢 e 𝑣 s˜ao irredut´ıveis.

Demonstra¸cão. (⇒) É suficiente mostrar que 𝑢 é irredut´ıvel, tendo em

vista o axioma de rota¸cão. Suponha que exista uma fatora¸cão 𝑢 =ℎ1ℎ2 tal que ℎ1 não é se¸cão.

𝑋 𝑢 //

ℎ1

²²

𝑌

𝑊

ℎ2

>>

} } } } } } } }

Por (AR2’) existe ℎ′

1 : 𝑌 → 𝑊 tal que ℎ1 = 𝑢ℎ′1, ou seja, 𝑢 = 𝑢ℎ′1ℎ2. Aplicando (T3)obtemos o diagrama comutativo abaixo.

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //

ℎ′

1ℎ2

²²

𝑍 𝑤 //

ℎ

²²

Â

Â 𝑇 𝑋

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //_{𝑇 𝑋}

Se ℎnão é isomorfismo então não é retra¸cão pois 𝑍 é indecompon´ıvel. Apli-camos (AR2) para obter ℎ′ _:_𝑍 _→_𝑌 _{tal que} _ℎ′_𝑣 ₌_{ℎ. Pela comutatividade}

e pelo lema 1.2 segue 𝑤=ℎ𝑤 =ℎ′_𝑣𝑤_{= 0 contradizendo} _{(AR3). Portanto}

ℎ ´e isomorﬁsmo e da´ıℎ′

1ℎ2 também é isomorfismo e portanto ℎ2 é retra¸cão. (⇐) É suficiente provar (AR2’). Seja Φ : 𝑋 → 𝑋′ _{um morfismo que}

não é se¸cão. Sem perda de generalidade podemos assumir que 𝑋′_é

indecom-pon´ıvel (tomando uma componente se necessário). Aplicando o axioma(T4) obtemos um morfismo entre triângulos exatos como no diagrama abaixo.

𝑋 𝑢 //

Φ

²²

𝑌 _𝑚_′_//

Φ2

²²

Â

Â 𝑍

′ _{_} 𝑛_{_}′ _{_}_//_{𝑇 𝑋}

𝑇(Φ)

²²

(26)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₂₀

Aplicando (TR3) obtemos o morfismo de triângulos abaixo, onde 𝛼é isomor-fismo.

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //

𝛼

²²

Â

Â 𝑇 𝑋

𝑋 𝑢 //

Φ

²²

𝑌 _𝑚_′_//

Φ2

²²

Â

Â 𝑍

′ _{_} 𝑛_{_}′ _{_}_//_{𝑇 𝑋}

𝑇(Φ)

²²

𝑋′_{_} 𝑢_{_}′ _{_}_//_𝑌′ _{_}𝑝_{_}′ _{_}_//_𝑍′ _{_} 𝑞_{_}′ _{_}_//_{𝑇 𝑋}′

Obtemos o diagrama comutativo abaixo.

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //

𝛼

²²

Â

Â 𝑇 𝑋

𝑋 𝑢 //

Φ

²²

𝑌 _𝑚_′_//

Φ2

²²

Â

Â 𝑍

′ _{_} 𝑛_{_}′ _{_}_//_{𝑇 𝑋}

𝑇(Φ)

²²

𝑋′_{_} 𝑢_{_}′ _{_}_//_𝑌′ _{_}𝑝_{_}′ _{_}_//_𝑍′ _{_} 𝑞_{_}′ _{_}_//

𝛼−1

²²

𝑇 𝑋′

𝑋′ 𝑢′ _//_𝑌′ 𝑝′𝛼−1_//_𝑍 𝛼𝑞′ _//_{𝑇 𝑋}′

O triângulo da linha de baixo é exato (pois é isomorfo ao triângulo da terceira linha). Fazendo 𝑣′ ₌ _𝑝′_𝛼−1 _e _𝑤′ ₌ _𝛼𝑞′ _{obtemos o morfismo entre os}

triˆangulos exatos abaixo.

𝑋 𝑢 //

Φ

²²

𝑌 𝑣 //

Φ2

²²

𝑍 𝑤 //_{𝑇 𝑋}

𝑇(Φ)

²²

𝑋′ 𝑢′ _//_𝑌′ 𝑣′ _//_𝑍 𝑤′ _//_{𝑇 𝑋}′

Pela hipótese de irredutibilidade de 𝑣 temos Φ2 se¸cão ou 𝑣′ _{retra¸cão.}

(i) Se𝑣′ _{é retra¸cão então} _𝑢′ _{é se¸cão. De fato a sequência}

Hom(𝑌′_{, 𝑋}′₎ Hom(𝑢′,𝑋′)_//_Hom(𝑋′_{, 𝑋}′₎ Hom(𝑇−1𝑤′,𝑋′) _//_Hom(𝑇−1_{(𝑍), 𝑋}′₎

é exata (Hom(−, 𝑋′_{) é um}_{funtor cohomológico}_{) e, como}_𝑣′_𝑤′ _{= 0, a suposi¸cão}

de 𝑣′ _{epi implica} _𝑤′ _{= 0 e assim Hom(𝑇}−1_𝑤′_{, 𝑋}′_{) = 0. Portanto existe}

𝑡 ∈ Hom(𝑌′_{, 𝑋}′_{) tal que} _𝑢′_𝑡 _{= 1}

𝑋′ e 𝑢′ ´e se¸c˜ao. Assim temos que Φ =

Φ𝑢′_𝑡 ₌_{𝑢(Φ2𝑡) ´e fatorado por} _𝑢.

(ii) Se Φ2 é se¸cão então admite uma retra¸cão 𝛾, ou seja, Φ2𝛾 = 1𝑌.

(27)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₂₁

é retra¸cão. Logo existe uma se¸cão 𝜂 : 𝑌 → 𝑋′ _{tal que} _𝜂𝑢′_𝛾 _{= 1}

𝑌. Assim

temos

Φ𝑢′_𝛾 ₌_𝑢Φ2𝛾

|{z}

1𝑌

=𝑢𝜂𝑢′_𝛾.

Como 𝑋′ _{é indecompon´ıvel e} _𝑢′_𝛾 _{é retra¸cão segue que} _𝑢′_𝛾 _{é invert´ıvel e}

portanto Φ = 𝑢𝜂´e fatorado por 𝑢. □

Para dois objetos indecompon´ıveis 𝑋, 𝑌 ∈Ob𝒜 prova-se que

𝐼𝑟𝑟𝒜(𝑋, 𝑌) := 𝑟𝑎𝑑𝒜(𝑋, 𝑌)/𝑟𝑎𝑑2𝒜(𝑋, 𝑌)

é a classe de morfismos irredut´ıveis de 𝑋 para𝑌. É facil ver que𝐼𝑟𝑟𝒜(𝑋, 𝑌)

´e 𝐹(𝑋)𝑜𝑝 ₋_𝐹_(𝑌_{) bimodulo, onde} _𝐹_{(𝑋) :=} _𝐸𝑛𝑑

𝒜(𝑋)/𝑟𝑎𝑑(𝐸𝑛𝑑𝒜(𝑋)). O

bimodulo 𝐼𝑟𝑟𝒜(𝑋, 𝑌) assim definido é chamado bimodulo de morfismos

ir-redut´ıveis de 𝑋 para 𝑌.

Já sabemos que os morfismos que formam um triângulo (ou uma sequência) de Auslander-Reiten são irredut´ıveis. Além disso, temos o resultado seguinte provado por Ringel [27]:

Lema 1.4 (Ringel) Seja 𝒞 uma categoria triangulada com triˆangulos de

Auslander-Reiten. Sejam 𝑋 e 𝑀 objetos indecompon´ıveis em 𝒞 e seja

𝑋 𝑢 //_𝑌 𝑣 //_𝑍 𝑤 //_{𝑇 𝑋} _{um triˆangulo de Auslander-Reiten. Seja} _𝑌 ₌

⊕𝑟 𝑖=1𝑌

𝑑𝑖

𝑖 com 𝑌𝑖 indecompon´ıvel e 𝑌𝑖 =∕∼ 𝑌𝑗 para 𝑖 ∕= 𝑗. Ent˜ao existe

um morﬁsmo irredut´ıvel 𝑓 : 𝑋 → 𝑀 se e somente se 𝑀 ∼= 𝑌𝑖 para algum

1≤𝑖≤𝑟. Mais ainda, denotando as componentes 𝑢𝑖,𝑗 :𝑋 →𝑌𝑖 de 𝑢, onde

1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑑𝑖, o conjunto {𝑢𝑖,1, . . . , 𝑢𝑖,𝑑𝑖} ´e uma base do bimodulo 𝐼𝑟𝑟(𝑋, 𝑌𝑖)

sobre 𝐹(𝑋)𝑜𝑝_.

Demonstra¸c˜ao. Veja [20], pag. 40.

Um resultado similar para sequˆencias de Auslander-Reiten encontra-se em [5], pag. 103.

1.6 Quiver de Auslander-Reiten

Seja 𝐴 =𝐾(𝑄, 𝐼) uma ´algebra e seja 𝒜 = mod 𝐴 ou 𝒜 = 𝐷𝑏_{(𝐴) sua}

(28)

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B ´ASICOS ₂₂

(veja [7], [20], [32]). Como 𝒜é Krull-Schmidt (veja, por exemplo: [12], [14]) seus objetos são somas diretas de indecompon´ıveis. Portanto é natural que os vértices de −→Γ𝒜 sejam classes de isomorfismos [𝑋] de objetos indecom-pon´ıveis𝑋 ∈Ob𝒜. Também é natural que as setas deste quiver representem morfismos que não apresentam fatora¸cão não trivial, isto é, morfismos irre-dut´ıveis.

Se 𝒜 = 𝐷𝑏_{(𝐴) então para dois vértices [𝑋] e [𝑌}_{] existe uma flecha com}

valoriza¸c˜ao (𝑑𝑋𝑌, 𝑑′𝑋𝑌),

𝑋 (𝑑𝑋𝑌, 𝑑

′

𝑋𝑌)

// _𝑌

se existem triˆangulos de Auslander-Reiten

𝑍 //_𝑋𝑑𝑋𝑌 ⊕_𝑀 _//_𝑌 _//_{𝑇 𝑍 ,}

𝑋 //_𝑌𝑑′

𝑋𝑌 ⊕𝑁 //𝑍 //𝑇 𝑋 ,

com 𝑋 não isomorfo a nenhum somando direto de 𝑀 e 𝑌 não isomorfo a nenhum somando direto de 𝑁. Se𝒜= mod 𝐴procedemos de forma análoga usando sequências de Auslander-Reiten. O quiver −→Γ𝒜 assim definido é chamado quiver de Auslander-Reiten de𝒜.

Um fato bem conhecido ´e que𝑑𝑋𝑌 =𝑑𝑖𝑚𝐹(𝑋)𝑜𝑝𝐼𝑟𝑟_𝒜(𝑋, 𝑌) e que 𝑑′_𝑋𝑌 =

𝑑𝑖𝑚𝐹(𝑌)𝐼𝑟𝑟𝒜(𝑋, 𝑌). É bem conhecido também que se o corpo 𝐾 é

algebri-camente fechado, temos𝐹(𝑋)∼=𝐾 e𝑑𝑋𝑌 =𝑑′𝑋𝑌 =𝑑𝑖𝑚𝐾𝐼𝑟𝑟𝒜(𝑋, 𝑌). Neste

caso vamos colocar 𝑑𝑋𝑌 ﬂechas entre objetos 𝑋 e 𝑌.

Um quiver Γ é chamado quiver de transla¸cãose é localmente finito, sem loops e se existe uma bije¸cão 𝜏 : Γ′

0 −→ Γ′′0, onde Γ′0, Γ′′0 ⊂ Γ0, chamada

transla¸c˜ao, tais que para todo 𝑍 ∈ Γ′

0, e para todo 𝑀 ∈ Γ0, o número de setas de 𝑀 para 𝑍 é igual ao número de setas de 𝜏 𝑍 para 𝑀. Prova-se que −

→

Γ𝒜 é um quiver de transla¸cão onde, se 𝒜= mod 𝐴 então Γ′

0 (resp. Γ′′0) é formado pelos módulos não projetivos (resp. não injetivos) indecompon´ıveis. Se 𝒜 = 𝐷𝑏_{(𝐴) então Γ}′

0 = Γ′′0 = − →

Γ0𝒜. Neste caso dizemos ter um quiver

(29)

Cap´ıtulo 2

´

Algebras String

Uma importante classe de álgebras, introduzidas por Butler e Ringel em [13], são as álgebras string. Neste mesmo artigo existe uma descri¸cão de todas as sequências de Auslander-Reiten e, consequentemente, de todos os morfismos irredut´ıveis na categoria de módulos de uma álgebra string. Tais sequências são obtidas, de forma simples, por uma técnica combinatória aplicada no quiver da álgebra. Neste cap´ıtulo todos os módulos são módulos à direita.

Defini¸cão. Uma álgebra 𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼) é uma álgebra string se satisfaz

as 3 condi¸c˜oes seguintes.

(S1) Todo vértice de 𝑄0 é origem e fim de no máximo duas flechas.

(S2) Para toda flecha𝛽 ∈𝑄1 existe no máximo uma flecha𝛼 ∈𝑄1 (resp.

𝛾 ∈𝑄1) tal que 𝛼𝛽 ∕∈𝐼 (resp. 𝛽𝛾 ∕∈𝐼).

(S3) O ideal 𝐼 ´e gerado por rela¸c˜oes nulas (caminhos).

Exemplo 2.1 Os quivers com rela¸cões abaixo definem álgebras string.

(2.1.1) 3 𝑏 //₂

𝑎

²²

4

𝑐

oo

1

𝐼 =< 𝑐𝑎 >

(2.1.2) 1oo 𝑎 2

𝑏

pp _𝐼 _{=< 𝑏}2 _>

(2.1.3) 3

𝑐

££

¥¥¥¥ ¥¥¥¥

1 _𝑎 //₂

𝑏

\\

:: ::

𝐼 =< 𝑎𝑏𝑐 >

(30)

CAP´ITULO 2. ALGEBRAS STRING´ ₂₄

Seja𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼) uma álgebra string. Para toda flecha 𝛽 ∈𝑄1 definimos sua inversaformal𝛽−1 _com _𝑠(𝛽−1_{) =}_{𝑡(𝛽) e} _𝑡(𝛽−1_{) =} _{𝑠(𝛽). Um} _passeio_𝑃 de comprimento 𝑙(𝑃) = 𝑛 >0 é uma sequência 𝑃 =𝑝1. . . 𝑝𝑛, onde 𝑝𝑖 ∈ 𝑄1

ou 𝑝−𝑖 1 ∈ 𝑄1 ´e uma ﬂecha e 𝑠(𝑝𝑖) = 𝑡(𝑝𝑖−1) para todo 1 < 𝑖 ≤ 𝑛. Seu

inverso formal ´e o passeio 𝑃−1 ₌ _𝑝−1

𝑛 . . . 𝑝

−1

1 . Uma string 𝑆 = 𝑠1. . . 𝑠𝑛

de comprimento 𝑙(𝑆) = 𝑛 > 0 ´e um passeio tal que 𝑠𝑖 ∕= 𝑠−𝑖−11 para todo

1 < 𝑖 ≤ 𝑛 e tal que nenhuma subpalavra de 𝑆 ou de 𝑆−1 _{pertence ao ideal}

𝐼. Uma string é dita direta (resp. inversa) se é o produto de flechas (resp.

inversas de flechas). Para todo vértice 𝑖∈𝑄0 definimos duas string triviais

𝑒𝜌𝑖, onde𝜌∈ {1, −1} de comprimento𝑙(𝑒 𝜌

𝑖) = 0. Com o prop´osito de deﬁnir

composi¸cão entre string definimos duas aplica¸cões que polarizam o quiver𝑄.

Polariza¸c˜ao do quiver. Seja 𝐴=𝐾(𝑄, 𝐼) uma ´algebra string.

Pode-mos definir duas aplica¸cões de polariza¸cão 𝜎, 𝜀 : 𝑄1 → {±1}, de maneira similar a [13] conforme [29], satisfazendo as quatro condi¸cões abaixo: 1

(1) Se𝛼1 ∕=𝛼2 são flechas tais que𝑡(𝛼1) = 𝑡(𝛼2) então 𝜀(𝛼1) =−𝜀(𝛼2). (2) Se𝛽1 ∕=𝛽2 são flechas tais que 𝑠(𝛽1) =𝑠(𝛽2) então 𝜎(𝛽1) =−𝜎(𝛽2). (3) Se𝛼 e 𝛽 são flechas com𝑡(𝛼) =𝑠(𝛽) e 𝛼𝛽 ∕∈𝐼 então𝜀(𝛼) =−𝜎(𝛽). (4) Se𝛼 e 𝛽 são flechas com𝑡(𝛼) =𝑠(𝛽) e 𝛼𝛽 ∈𝐼 então 𝜀(𝛼) =𝜎(𝛽).

Visando simplificar nota¸cão vamos usar ± no lugar de ±1. Nos quivers e diagramas usamos a nota¸cão gráfica𝛼_𝜀𝜎₍(_𝛼𝛼₎) para indicar a polariza¸cão de uma flecha 𝛼∈𝑄1.

Estendemos as aplica¸cões acima, inicialmente para flechas inversas, definindo

𝜎(𝛼−1_{) =}_{𝜀(𝛼) e} _𝜀(𝛼−1_{) =} _{𝜎(𝛼) para toda ﬂecha}_𝛼 _∈_𝑄1_{. Agora estendemos}

𝜎 e 𝜀 para string deﬁnindo𝜎(𝑆) =𝜎(𝑠1) e 𝜀(𝑆) = 𝜀(𝑠𝑛) para toda string

𝑆 =𝑠1. . . 𝑠𝑛 com𝑙(𝑠)>0. Para string triviais deﬁnimos𝜎(𝑒

𝜌

𝑖) =−𝜀(𝑒 𝜌 𝑖) =𝜌.

A composi¸cão 𝑆𝑆′ _{entre duas string} _𝑆 _e _𝑆′ _{está definida se e somente}

se 𝑡(𝑆) = 𝑠(𝑆′_{) e} _{𝜀(𝑆) =} ₋_𝜎(𝑆′_{). Sobre o conjunto} _𝒮 _{de todas as string}

definimos uma rela¸cão de equivalência 𝑆 ∼𝑠 𝑆′ ⇔ 𝑆′ = 𝑆 ou 𝑆′ = 𝑆−1.

Denotamos 𝒮 um conjunto de representantes das classes de 𝒮/∼𝑠.

Seja 𝒮′ _{⊂ 𝒮} _{o conjunto formado pelas string} _𝑆 _{n˜ao triviais tais que a}

composi¸cão 𝑆𝑛 _{está definida para todo} _𝑛 _∈_ℕ _e _𝑆 _{não é potência de string}

de comprimento menor. Definimos uma rela¸cão de equivalência em 𝒮′ _por

𝑆 ∼𝑟 𝑆′ ⇔ 𝑆′ ´e uma permuta¸c˜ao c´ıclica de 𝑆, ou seja, 𝑆 = 𝑠1. . . 𝑠𝑛 e

𝑆′ ₌ _𝑠

𝑡. . . 𝑠𝑛𝑠1. . . 𝑠𝑡−1. Denotamos 𝒮′ um conjunto de representantes das

classe de 𝒮′_/_∼

𝑟.

1_𝜎 _e _𝜀_est˜_{ao definidas em [13] sem a condi¸c˜}_{ao 4. Não existe unicidade na defini¸c˜}_{ao de}

(31)

CAP´ITULO 2. ALGEBRAS STRING´ ₂₅

2.1 M´

odulos String

Seja 𝐴 = 𝐾(𝑄, 𝐼) uma ´algebra string e seja a string 𝑆 = 𝑠1𝑠2. . . 𝑠𝑛 ∈ 𝒮

uma representante de classe. Vamos construir um módulo 𝑀(𝑆) partindo da string𝑆. Antes de definirmos formalmente este módulo apresentamos um exemplo ilustrativo de sua constru¸cão. Seja 𝐴 = 𝐾(𝑄, 𝐼) a álgebra string definida pelo quiver com rela¸cões

1 𝑎_𝑐 //// 2

𝑏

//

𝑑 //3 𝐼 =< 𝑎𝑏, 𝑐𝑑 >

e seja a string 𝑆 = 𝑠1𝑠2𝑠3𝑠4𝑠5𝑠6 = 𝑎−1_𝑐𝑏𝑑−1_𝑎−1_{𝑐. Considere a seguinte} re-presenta¸cão gráfica de 𝑆.

2oo 𝑎 1 𝑐 //₂ 𝑏 //₃oo 𝑑 ₂oo 𝑎 ₁ 𝑐 //₂

Temos a seguinte representa¸cão gráfica do módulo𝑀(𝑆), onde 𝑀(𝑆)1 =𝐾2 com base {𝑧1, 𝑧5}, 𝑀(𝑆)2 = 𝐾4 _{com base} _{_{𝑧0, 𝑧2, 𝑧4, 𝑧6}_}_, _𝑀_(𝑆)3 ₌ _𝐾 _com base {𝑧3}.

𝑧0 𝑎 𝑧1

oo 𝑐 //𝑧2 𝑏 //𝑧3 oo 𝑑 𝑧4 oo 𝑎 𝑧5 𝑐 //𝑧6

As flechas no diagrama indicam as a¸cões das correspondentes transforma¸cões lineares nos elementos da base. Desta forma obtemos o módulo

𝐾2 𝑀 //

𝑁 // 𝐾

4 𝑃 //

𝑄 //𝐾

onde,

𝑀 =

(

1 0 0 0 0 0 1 0

)

𝑁 =

(

0 1 0 0 0 0 0 1

)

𝑃 =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0 1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑄=

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0 0 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠.

Vamos formalizar a constru¸cão acima. Considere a aplica¸cão𝑢:{0,1, . . . , 𝑛} → 𝑄0 definida por 𝑢(0) =𝑠(𝑠1) e 𝑢(𝑖) =𝑒(𝑠𝑖) para todo 1≤𝑖≤𝑛.

𝑢(0) 𝑠1 //_𝑢(1) 𝑠2 //_{⋅ ⋅ ⋅}_𝑢(𝑛₋₁₎ 𝑠𝑛 //_𝑢(𝑛)

Vamos definir uma representa¸cão 𝑀(𝑆) do quiver com rela¸cões (𝑄, 𝐼). Para cada vértice 𝑣 ∈ 𝑄0 seja o conjunto de ´ındices ℐ𝑣 = 𝑢−1(𝑣) ⊂ {0,1, . . . , 𝑛}.

Atribuimos a cada v´ertice 𝑣 o espa¸co vetorial 𝑀(𝑆)𝑣 = 𝐾♯ℐ𝑣, onde ♯ℐ𝑣