Fundação Getúlio Vargas
EPGE - Escola de Pós-Graduação em Economia
Curso de Mestrado em Economia
•
Dissertação de Mestrado
Risco e Precificação de Operações com Taxa
Percentual do CDI
César Augusto Fialho Hübner
1EPGE - Fundação Getúlio Vargas
Orientador: Marco Bonomo (EPGE / FGV-RJ)
Abstract
1. Introdução
o
crescimento da Dívida Externa Privada ocorrido nos últimos anos provocou por parte das empresas com passivos indexados à moeda estrangeira um aumento na demanda por proteção cambial. Em linha com este aumento, os bancos e a BM&F2 desenvolveram diversos produtos para atender a demanda por Hedge3 Cambial, sendo um dos mais utilizados o Swap4 US$ x CDI5.Considerando que o hedger6 contrate um Hedge cambial perfeit07 por meio de um
Swap fechado no mercado local, não é dificil imaginar que na maior parte das vezes as taxas de juros da exposição On-Balancé serão diferentes das taxas do Swap. Esta diferença entre a taxa On-Balance e a taxa do Hedge Cambial provoca descasamentos contábeis entre as duas posições até o vencimento das operações9. Para evitar estes descasamentos, os
hedgers passaram a demandar um "novo" Swap Cambial em que sua ponta indexada em moeda estrangeira deveria ter uma taxa de juros (Cupom Cambial) idêntica à que ele possuía em seu balanço. Por exemplo, suponha que a taxa no mercado local de um Swap
2 BM&F ~ Bolsa de Mercadorias & Futuros
3 Hedge -7 Operação financeira cujo objetivo é eliminar o fisco de um balanço indexado à uma commodity ou
alguma variável econômica - como juros ou câmbio - decorrente da volatitidade nos preços destes indexadores.
4 De acordo com a definição de Hull, um Swap é um acordo entre dois agentes econômicos para troca de um
fluxo de caixa futuro, respeitando uma fórmula definida.
S A maior parte dos Swaps em moedas estrangeiras fechados no Brasil tem como moeda estrangeira o dólar
americano. No Brasil, uma empresa que possui exposição cambial em uma moeda diferente do dólar
americano, costuma hedgear (contratar um hedge) sua exposição fazendo um Swap US$ x IOO%CDI no mercado On-shore e outro Swap US$ x Moeda Estrangeira no mercado Off-shore. Por conta disto e para facilitar a dinâmica ao longo do texto só trataremos dos Swaps US$ x CDr que serão chamados de Swaps
Cambiais. No entanto, todas as conclusões obtidas podem ser aplicadas para os Swaps em outras moedas
contra eDr, desde que sejam feitos os ajustes necessários nos cálculos das taxas de juros da moeda estrangeira.
6 Hedger -7 Agente Econômico que executa operações financeiras com objetivo de hedgear seu Balanço.
7 Um Hedge Cambial é perfeito se vence na mesma data que o da exposição do hedger gerando um resultado
econômico idêntico em módulo, mas com sinal trocado, ao da exposição original do hedger.
8 Operações On-Balance -7 Operações que estão registradas no balanço das empresas, tais como empréstimos
ou aplicações financeiras. Operações usando derivativos não são registradas no Balanço das Empresas sendo
chamadas de operações Off-Balance.
9 Em um Hedge Cambial perfeito no vencimento da Operação On-Balance, o Hedge precisa ter o mesmo
Cambial de dois anos seja US$ + 6% e que uma empresa deseje hedgear, sem qualquer
descasamento, seu passivo originado de um empréstimo da sua matriz a US$ + 2%.
Para hedgear esta exposição sem qualquer descasamento, à empresa faria um Swap
Cambial, ficando ativo a US$ + 2% e passivo a 100%CDI. Qualquer fornecedor de hedge
teria interesse em oferecer hedge para esta empresa, uma vez que ele ficaria passivo US$ +
2%, contra um ativo a 100%CDI podendo conseguir uma arbitragem sem riscoiO fechando
no mercado um Swap na ponta contrária, ficando ativo a US$ + 6% contra um passivo a
100% CDI (Fig. 1.1).
Balanço Hed er
Ativo US$+2%a.a Figura 1.1 Passivo US$+2%a.a 100%CDI
Balan o do Fornecedor do Hed e
Ativo 100%CDI US$+6%a.a Passivo US$+2%a.a 100%CDI
No entanto, em um mercado competitivo esta arbitragem não existiria e sena
compensada na outra ponta do Swap, usando para isto uma taxa de juros derivada do CDI: a
Taxa Percentual do CDI. Será visto na seção 4 que esta taxa Percentual do CDI é obtida
de tal fonna que o preço do Swap de uma operação ativa em Taxa Percentual do CDI e a
operação de Hedge seja idêntico ao preço de um Swap passivo 100% CDI contra USD +
Cupom negociado no mercado e ambos sendo iguais a zero. (Fig. 1.2).
Balanço Hed er
Ativo US$+ 2%a.a Figura 1.2 Passivo US$+2%a.a u%CDI
Balanço do Fornecedor do Hed e
Ativo u%CDI US$+6%a.a Passivo US$+2%a.a 100%CDI
A Taxa Percentual do CDI é exatamente um percentual sobre a taxa dos
Certificados de Depósito Interbancário (CDI), sendo definida contratualmente como a
composição diária (dias úteis) de um percentual do CDI.
Formalmente esta Taxa Percentual do CDI é definida como sendo:
F%T= rí(f%)
(1.2)J==( J
o
DIl
%,=
F%,-I(1.3)Onde:
DI I % = Taxa Percentual do CDI;
DIl = Taxa CDI fornecida pela Cetipll;
P = Percentual a ser aplicado sobre a taxa diária de DIlI2;
f'1o = Fator Diário de Correção referente à variável DIl relativo ao dia t;
F% = Fator de Correção Acumulado referente à variável DIl relativo ao período tO até T.
As operações que fazem uso da taxa Percentual do CDI em sua grande maioria são proveniente de basicamente três tipos de operações:
I. Filial de empresa multinacional toma empréstimo da Matriz a taxa de juros inferior à praticada no mercado interbancário. Para fazer o Hedge, a empresa contrata um Swap Cambial em que ficará ativa a uma taxa inferior à praticada no mercado e passiva a um P%-CDI inferior a 100%.
Balan o Em resa Multinacional Balan o Fornecedor do Hed e
Ativo
US$+2%a.a
Passivo
US$ + 2%a.a (I)
Taxa Perco Cm(2)
1. Empréstimo adquirido junto a Matriz da Empresa;
Ativo
2. Hedge contraído no Merc. Interno, com Taxa Percentual do cm inferior a 100%CDI.
Figura 1.3
Passivo
US$ + 2%(2)
2. Empresa toma empréstimo local em Dólar americano (Resolução 277013) com
preço acima do praticado no mercado interbancário. Pretende hedgear a exposição cambial sem descasamento, contratando um Swap Cambial em que fica ativa a uma taxa superior à praticada no mercado interbancário e passiva a um P-%CDI superior a 100%.
Ativo
US$+ 8%a,a
resa Multinacional
Passivo
US$ + 8%a.a (I)
Taxa Perco cm (2)
Balan o Fornecedor do Hed e
Ativo Passivo
Taxa Perco c:m . . US$ +8% (2)
I. Empréstimo indexado à Moeda Estrangeira adquirido no Mercado local através da Resolução 63.
2. Hedge contraído no Mercado Local, com Taxa Percentual do cm superior a 100%CDI.
Figura 1.4
3. Nos leilões do Tesouro Nacional de NBC_EI4 e NTN_DI5 (Títulos da Dívida Interna Pública indexados ao Dólar americano), os Bancos compram os papéis e os vendem swapados para os fundos de investimento. Em virtude do volume ofertado, os papéis costumam ser vendidos com um prêmio sobre a taxa praticada no mercado interbancário, permitindo que os Bancos vendam estes papéis para os fundos de investimento com um
Swap em que a parte ativa tem a mesma taxa que a do Título Público e a parte passiva um P-%CDI superior a lOO%. Nesta operação, os fundos compram os Títulos Públicos e
12 Ao longo de toda a monografia P já estará sempre dividido por 100.
13 Resolução que regulamenta a contratação de operações de empréstimo entre pessoas fisicas ou pessoas
jurídicas residentes ou domiciliadas no país e residentes ou domiciliados no exterior. 14 NBC-E -7 Nota do Banco Central, série E
anulam sua exposição cambial com o Swap, ficando com um ativo rendendo mais do que seu benchmark; o CDI.
Balan o de Fundos de Investimento Balan o do Banco
Ativo
US$ + 8% (2)
Taxa Perco cm (3)
Passivo
US$ + 8%(3)
Ativo
US$ + 8% (I)
US$+8%
1. Bancos compram Papéis Cambiais nos leilões realizados pelo Banco Central; 2. Bancos vendem Papéis Cambiais para Fundos de Investimento;
Passivo
US$ + 8% (2)
TaxaPerc. COI (3) .
3. Hedge da exposição cambial para os Fundos de Investimento, com Tx. Perco Do cm superior a IOO%CDI. Figura 1.5
Em relação a esta operação envolvendo a venda de Títulos cambiais, o Tesouro Nacional juntamente com o Banco Central alteraram, em março de 2002, a estratégia de venda destes Títulos. A partir deste período a venda de títulos cambiais foi reduzida e as Autoridades Monetárias passaram a suprir a demanda por hedge cambial através da venda de títulos pós-fixados (LFT's) juntamente com Swaps cambiais negociados na BM&F.
De acordo com a apresentação feita durante o anúncio desta estrutura, o objetivo desta nova estratégia foi promover uma maior eficiência à sistemática de oferecer hedge cambial, permitindo uma redução dos custos incorridos pelas empresas que buscavam proteção cambial e dos prêmios que vinham sendo exigidos nos leilões de Títulos Cambiais. A finalidade da nova estrutura seria garantir hedge ao mercado de câmbio, por meio dos Swaps, ao mesmo tempo, oferecer títulos que eram mais adequados às carteiras dos fundos de investimento, que anteriormente a esta medida vinham sendo os grandes compradores dos papéis cambiais - utilizando a Operação 3 descrita anteriormente para anular a exposição cambial.
pós-fixados (LFT's) - que constituem a maior parcela da Dívida Mobiliária Federal16• Os
preços das LFT' s foram contaminados pelos prêmios exigidos pelos papéis cambiais e no dia da implementação da regulamentação da Marcação a Mercado sobre os fundos de investimento, várias cotas de fundos apresentaram variações negativas, assustando os cotistas dos mesmos. Estas variações negativas sobre as cotas dos fundos de investimento geraram uma migração de parte destes recursos para cadernetas de poupança, CDB's e depósitos à vista, acarretando uma forte redução na demanda por LFT' s - algo bastante incomum, uma vez que nas outras crises, as LFT' s sempre foram considerados os portos seguros do mercado.
Apesar de terem sido descritas somente operações cambiais gerando posições indexadas a uma taxa Percentual do CDI, não é verdadeiro afirmar que somente operações cambiais geram este tipo de exposição. Existem operações de hedge a outros indexadores, tais como IGP_MI7 e TJLpI8, que também podem gerar este tipo de exposição, bastando
para isto que na ponta do Swap indexado a estes índices o Cupom seja diferente do Cupom de mercado. Nestes casos todas as conclusões obtidas neste trabalho permanecerão válidas bastando que as equações descritas acima sejam ajustadas pela taxas destes indexadores.
O surgimento e o crescimento no volume destes tipo de operações gerou um grande descasamento entre ativos e passivos indexados à Taxa Percentual do CDI para os bancos fornecedores destes hedges. Inicialmente estes descasamentos eram considerados livres de risco, uma vez que as operações são indexadas à uma taxa flutuante. No entanto, isto não é uma realidade, estas operações geram exposições pré-fixadas e que não podem ser perfeitamente hedgeadas com mecanismos tradicionais de gerenciamento de exposição pré-fixada. A exposição pré-fixada embutida nestas operações passaram despercebidas até mesmo ao Banco Central, uma vez que na Circular 2972 - que estabelece critérios e condições para a apuração da parcela do Patrimônio Líquido Exigido (PLE) para cobertura do risco decorrente da exposição das operações denominadas em Real e remuneradas com
16 De acordo com o Relatório da Dívida Pública Mobiliária Federal, divulgada pelo Tesouro Nacional, em
março de 2002 as LFT's correspondiam por 51.00% de toda a Dívida Mobiliária enquanto os Títulos
Cambiais respondiam por 28,7% da mesma.
17 IGP-M -7 Indice Geral de Preços, divulgado pela FGV
18 TJLP -7 Taxa de Juros de Longo Prazo, taxa cobrada em alguns empréstimos do BNDES (Banco Nacional
base em taxas prefixadas de juros à variação das taxas praticadas no mercado, as mesmas não foram consideradas.
Através da Figura-I, anexa à este trabalho, é possível observar este componente de risco pré-fixado nas operações com taxa Percentual do CDr. Este gráfico foi construindo assumindo que no momento do fechamento da operação de hedge cambial foi possível estimar qual era a expectativa do CDr até o vencimento da operação (para este exemplo foi assumido que esta estimativa era de 30%a.a). Com esta expectativa, foi calculado o valor econômico de um Swap ativo a a% do CDr e passivo a 100%CDr para diversos a% do CDI. Obviamente um Swap a% do CDI contra 100%CDI irá gerar um resultado econômico no vencimento da operação para todo a diferente de 100% e (se a expectativa do CDr for confirmada) idêntico ao gerado pela diferença entre os cupons cambiais da operação do
hedger e o de mercado. Desta forma, a operação de Percentual do CDr não apresentará
exposição Pré-Fixada somente se o Swap a%CDI x 100%CDr gerar o mesmo resultado econômico que as diferenças entre os cupons cambiais da operação e o de mercado para qualquer trajetória de CDr ocorrido ao longo da operação.
Após se calcular o valor econômico de diversos Swap a%CDr x 100%CDI, assumindo que a expectativa do CDr era de 30%a.a., foi simulado o resultado econômico deste Swap para diversos cenários de CDr. A diferença (percentual em relação ao valor inicial da operação) entre o resultado econômico destes Swaps em relação ao calculado, assumindo a expectativa de CDr de 30%a.a, será o resultado da operação e reflete a exposição pré-fixada da mesma. No caso de operações com a parte a%CDr na parte passiva do Swap, a mesma também apresenta sensibilidade a variação na taxa de juros, no entanto seu comportamento é o oposto do apresentado na Figura 1, conforme é possível perceber na Figura 2.
2. Notações e Definições:
operações Tomadas Pré o sinal do Valor Inicial é sempre Negativo, assIm como nas
operações onde a Taxa Percentual do eDI encontra-se na parte passiva do Balanço.
2.2. Operação Dada Pré: Uma operação financeira é dita Dada Pré quando um
movimento de queda nas projeções de taxa de juros gera um resultado financeiro positivo e
o contrário ocorrendo quando o movimento nas projeções taxas de juros é de alta. Nas
operações Dadas Pré o sinal do Valor Inicial é sempre Positivo, assim como nas operações
onde a Taxa Percentual do eDI encontra-se na parte ativa do Balanço.
Figura 2.1
Ativo
Dado Pré: Sinal Positivo
%CDI Ativo: Sinal Positivo
Resumo
Passivo
Tomada Pré: Sinal Negativo %CDI Passivo: Sinal Negativo
Em virtude da maior facilidade em se trabalhar algebricamente com taxa de juros
com capitalização contínua, a partir deste ponto do artigo até o término da seção 3, as taxas
de juros serão tratadas desta maneira, qualquer exceção será mencionada. Desta forma:
Para a taxa do eDI:
(I+CDI )=eRs,
, (2.1)Rs,
= ln(l+CDIJ
(2.2)Para a taxa Percentual do CDI
(l+a'CDI )=eRc,
, (2.3)RC,=ln(1+a'CDIJ
(2.4)onde:
eDIt: Taxa do eDI descapitalizado para I dia útil19;
a: Percentual do CDI.
2.3. Cálculo do Preço sob Medida Martingala Equivalente2o:
Seguindo a definição usada por Duffie21 o preço de um ativo derivado de uma taxa de juros que segue um processo estocástico sob medida Martingala Equivalente (MME) pode ser descrito através da seguinte equação:
onde:
Vt: Preço do Ativo;
Rs: Taxa de Juros capitalizada continuamente; VT: PayojJ do Ativo.
2.4. Dol/ar Value of a Basis Point (DVOl):
o
DVOl22 é uma medida de risco bastante usada para mensuração do risco gerado por exposições pré-fixadas. Esta medida mensura a variação de resultado em uma posição decorrente de um movimento paralelo em toda a curva de juros de I Basis Point (0,01 %a.a.) na Taxa de Mercado. A diferença entre ela e o Value at Risk (V AR) é que o V AR tenta capturar a variação máxima de uma posição considerando a volatilidade histórica da Taxa de Mercado e um intervalo de confiança, enquanto o DVOI mensura a variação de
( )
1/252
CDI,
=1
+CDI
y -I, onde CDIy: É o CDI expresso na taxa ano, base 252 dias úteis.20 Um ativo segue um processo estocástico sob medida Martingale Equivalente quando seu retorno esperado é
a taxa de juros livre de risco
e
este processo não permite arbitragens livre de risco. Além disto, o valoresperado deste ativo pode ser calculado como uma combinação linear de seus preços futuros, ponderados sobre suas respectivas pseudo-probabilidades e trazidos ao tempo presente pela taxa de juros livre de risco.
21 Darrell Duffie, Dynamic Assei Pricing Theory - 3th. Ed.
22 Para uma explicação mais detalhada sobre este assunto, ver Bruce Tuckman, Fixed Income Securities ~
resultado decorrente de uma variação de apenas Ibp23. Desta forma, o DVOI uma operação
indexada ao CDI é:
DVOI
=
V: - V,
(2.6)onde
V:
=
E:{[exp(f-(RS+S)dS)J
VT}(2.7);
V,
=
E: {[
exp(f -RSdS)
J
V
T}
(2.8);1>: Perturbação de I bp em todas as possíveis trajetórias de Rs.
Definindo uma medida de risco (DV-Infinitesimal) com o mesmo princípio do DVOI, mas tendo um incremento infinitesimal I> na Taxa de Mercado em vez de Ibps do
DVOI tradicional. Nesta medida, o risco seria medido da seguinte forma:
DVlnf
=
lirn
oDVOI=
li1"Yl
oV: - V,
(2.9)6~ ~~~~ &
3. Riscos Implícitos
Conforme foi visto através da Figura-I, as operações com Taxa Percentual do CDI geram resultados significativos em decorrência de oscilação nas taxas de juros. A existência do DV-Infinitesimal de uma operação com Taxa Percentual do CDI será usado para comprovar a presença deste risco pré-fixado.
Foi visto anteriormente que:
RC,=ln(l+a'CDJ,) ;
Rs,
=
In(1 +CDI,),
inodificando esta equação tem-se:CDI,
=
e
Rs , -I, substituindo na la:23 Ao longo desta monografia será definido que para se calcular o DVOl de uma posição a variação de lbps
Re,
=In(1
+a ·eRs , -a)
O Payoff da operação com taxa Percentual do cm no tempo Futuro (T) será:
S
T=exp(fln(l-a+a.e&)ds)
e o Preço no tempo Presente (t) será:
Já o Payoffno tempo Futuro (T) de uma operação à 100%Cm será:
enquanto o Preço no tempo Presente (t) será:
Tendo definido o preço no tempo Presente (t) de uma operação com taxa Percentual do cm e uma à 100% do cm o valor justo da operação descrita na figura 3.1. será:
Balan o
Ativo Passivo
a%CDI IOO%CDI
Figura 3.1
Rearrumando a equação acima obtêm-se:
Com o preço do Swap %CDI definido na equação (3.1), a existência da derivada de primeira ordem em relação à Rs garante a existência de um risco pré-fixado na operação. Calculando a derivada de la. ordem obtêm-se:
dSI=EQ{exp(Trrln(1-a+a.e"')-RsJdSJ.T~
a·e'" RlJdS}
(3.2)dRs 1 ~L ~ll-a+a.e'
A existência desta primeira derivada garante assim a presença do risco pré-fixado nas operações com Taxa Percentual do CDI. Analisando mais detalhadamente a equação (3.2) verifica-se também que a derivada pode, tanto ter sinal negativo, como positivo. É
possível afirmar que o sinal da derivada depende basicamente do Percentual do CDr -a:
a·e'" dS a<l=> R <1=>--' <O
l-a+a·e' dRs
a·e'" dS a>l=> R >1=>--' >0
l-a+a·e' dRs
Vale mencIOnar que a equação (3.2) foi deduzida para operações como à
especificada na Figura 3.1. Nos casos onde a ponta em Taxa Percentual do CDr esta na parte passiva do CDr, a equação (3.2) inverte o sinal, invertendo também as conclusões sob o sinal da derivada especificados acima.
tradicionais, em que uma Operação ativa Pré-Fixada é sempre uma Operação Dada -, no caso das Operações com Taxa Percentual do CDI na parte ativa do Balanço, ela só será uma Operação Dada se
a
for inferior a 100% do CDI. Nos casos em quea
for superior à 100% do CDI, estar-se-á diante de uma Operação Tomada. Por outro lado, conforme visto acima, em Operações em que a Taxa Percentual do CDI encontra-se na parte passiva do Balanço, todas as conclusões são invertidas, ou seja: ela só será uma Operação Tomada quandoa
for inferior a 100% do CDI, no caso dea
ser superior a 100% do CDI, será uma Operação Tomada.Ativo
a> lOO%CDI: Operação Tomada
a < lOO%CDI: Operação Dada
Figura 3.2
Resumo
Passivo
CJ. > lOO%CDI: Operação Dada
a < lOO%CDI: Operação Tomada
Uma vez demonstrado que as Operações com Taxa Percentual do CDI geram exposições Pré-Fixadas, passa a ser fundamental para o gerenciamento desta exposição uma maneira de se hedgeá-las contra as oscilações das taxas de mercado. Claramente a melhor maneira de se hedgear estas operações com Taxa Percentual do CDI é utilizar operações Pré-Fixadas com exposições contrárias às primeiras. Em relação ao prazo da operação de
hedge, também parece claro que ele deve ser idêntico ao da operação de Percentual do CDI, uma vez que ambas podem ser chamadas de Zero Coupon Bondi4• Neste caso, restará a
dúvida de saber o valor da Operação Pré-Fixada necessária para se hedgear uma Operação com Taxa Percentual do CDI.
Uma maneira de responder a esta dúvida é montando um portfólio constituído de uma Operação Pré-Fixada (de valor inicial VI-Pré) e de uma Operação com Taxa Percentual do CDI (de valor inicial VI-%CDI), tal que o DVlnf deste portfólio seja igual a
zero e, portanto, livre de risco para movimentos infinitesimais de taxa de juros25• Neste
portfólio a operação pré-fixada é fechada no mesmo instante que a operação com Taxa Percentual do
cm.
o
preço no tempo Presente (t) de um Zero Coupom Bond que vence em T é:Utilizando o mesmo conceito de DVlnfinitesimal, verifica-se que o DVlnf de uma operação Pré-Fixada padrão é o seguinte:
DVlnf =
I'
A~
-
A,
l11L...,o " onde:
Considerando então o portfólio constituído de uma Operação de Taxa Percentual do CDI e uma Operação com Taxa Pré-Fixada temos:
n.T=QC·St +Qf'A"T
onde
!H: Preço no tempo Presente (t) do Portfólio;
At: Preço no tempo Presente (t) da Operação com Taxa Percentual do CDI; St: Preço no tempo Presente (t) da Operação Pré-Fixada;
Qf: Volume Financeiro da Operação Pré-Fixada;
Qc: Volume Financeiro da Operação com Taxa Percentual do CDI.
Para que a Operação Pré-Fixada seja hedge da Operação com taxa Percentual do CDI é necessário que:
'~,
dO"T
dRs
Utilizando as equações (3.2), (3.4) e (3,5) e fazendo Qc ser igual a uma unidade
monetária em (t), chegamos à conclusão que o valor da Operação de Taxa Pré-Fixada
necessária para hedgear a Operação de %CDI deve respeitar a seguinte equação:
Sendo assim o Portfólio Hedgeado, considerando que existe uma unidade monetária de uma operação com taxa Percentual do CDI tem o seguinte Preço no tempo (t):
O"T=S,+
E~{exp(Trrln(l-a+a'e&)-RsJdSJ'K
a,e& &JL
l-a+a.e,
,
. A"T (3.7)
4. O Modelo de HJM:
Conforme dito na introdução deste artigo, no momento em que é precificado uma
operação de hedge com taxa Percentual do CDI, o hedger tem como objetivo que seu Swap, ativo a uma Taxa Percentual do CDI e passivo à variação cambial mais um cupom cambial, tenha o preço igual a zero.
Desta forma:
S,-p,=O
(4.1)St: Preço no tempo Presente (t) de uma Operação com Taxa Percentual do CDI.
Conforme visto na seção 3:
Pt: Preço no tempo presente (t) de uma operação de hedge cambial fechada com
cupom cambial de Cp. Esta operação de hedge pode ser considerada, sob a ótica do hedger,
como a aquisição de um ativo indexado a variação cambial mais um cupom cambiae6
diferente do negociado no mercado.
O payojJ da aplicação de R$l nesta estrutura seria:
X =FXT.(I+C .DC)
TFXt
p360
onde:
FXT: Taxa de Câmbio no vencimento da operação;
FXt: Taxa de Câmbio no início da operação;
Cp: Cupom Cambial da operação;
DC: Número de Dias Corridos da operação.
O payojJ XT seria estocástico em função do termo FXT. Para encontrar o valor
deste payojJ é possível travar esta variação cambial vendendo Qt unidade de Fmward de
taxa de cambio. Onde:
(I+CP' DC)
Q
=
360t FXt
Usando o conceito de não arbitragem, é possível provar que um Forward27 é a taxa
de câmbio à vista levada a valor futuro pela taxa de juros em moeda local e trazida a valor
26 Neste caso poderia ser a compra de um título cambial ou de uma export notes (desconsiderando risco de
crédito e questões tributárias)
27 Para uma explicação mais detalhada sobre este assunto, ver John Hull, Options, fotures, and other
presente pela taxa de juros em moeda estrangeira, conforme é possível verificar na equação
abaixo.
onde:
FwT: Forward:
Fxt: Taxa de Cambio em tO;
i: Tx. de juros local;
j: Tx. de juros em moeda estrangeira.
No caso do mercado brasileiro para se determinar este Forward utiliza-se a taxa
pré-fixada local e o Cupom dos Swaps Cambiais.
FWr= FXI·(
DC)
I+Cm·- ·Pu
360
1
onde
Fx: Taxa de Câmbio em tO;
Cm: Cupom Cambial de mercado com prazo idêntico ao da operação28;
DC: Número de dias corridos até o vencimento da operação;
DU: Número de dias úteis até o vencimento da operação;
Desta forma, o valor futuro desta operação será:
28 Durante o restante da monografia, quando for ilustrado a especificação para o mercado local, toda taxa de
.~.
( I+Cp--DC)
P
=
360 _
Fx,
T
Fx,
(I+Cm- DC)_PU360
Rearrumando tem-se:
( I+Cp--DC)
P
=
360
(4_2)
T ( I+Cm-- -Pu DC)
360
Enquanto o preço no tempo presente:
Como PT é um valor determinístico, obtêm-se:
( I+CP- DC)
P,= (
I+Cm--~~)
360
A combinação do Swap (a%CDI x USD+Cp) e o F orward precisam, para não haver uma arbitragem livre de risco, ter preços no instante inicial iguais a zero_ Por conta disto, o
hedger ao contratar um Swap (a%CDI x USD+Cp) deve ter como objetivo que a taxa
a%CDI respeite a seguinte equação:
( DC)
T
I+Cp--E;{exp(fln(l-a+a-e")-Rs]dS}
= (
~~)
(4.3)I
I+Cm--360
Claramente observa-se que todo o lado direito da equação (4.3) é conhecido e obtido através dos preços negociados no mercado e do preço desejado pelo hedger,
enquanto no lado esquerdo duas variáveis são desconhecidas:
"'1'lUOTECA MARIO HENRIQUE SIMONSEI
- Expectativa do
cm
médio sob MME durante a vida da operação;- Percentual do
cm -
a que aplicado à equação (4.3) permite que a mesma seja respeitada.Conhecido qual a expectativa do
cm
médio sob MME durante a vida da operação obtêm-se automaticamente o Percentual do CDI. Sendo assim, para que este tipo de operação seja precificada é fundamental que se determine a expectativa do CDI médio sob MME durante a vida da mesma através de um modelo que descreva o comportamento da taxa de juros.A necessidade de se conhecer o valor estimado da taxa de juros médio de um período também é requerida em outros derivativos de taxas de juros surgidos ao longo da década de 80 e 90. O crescimento no volume de negócios utilizando estes derivativos ao longo das últimas duas décadas gerou o surgimento de diversos modelos de não arbitragem para precificação dos mesmos. Estes modelos tentam descrever o comportamento da estrutura a termo de taxa de juros ao longo do tempo, usando como parâmetros iniciais a estrutura a termo de taxa de juros verificada no mercado e sua volatilidade.
Dentro deste conjunto de modelos podem-se destacar os modelos de Black, Derman e Toy (1990i9
, Hull e White (1990)30 e Heath, Jarrow e Morton (1992)31. Os dois
primeiros tratam a taxa de juros spot e sua respectiva volatilidade como sendo os
underlyings dos modelos, enquanto o último tem como underlyings a estrutura a termo das
taxas de juros e sua respectiva função de volatilidade. Outra importante diferença diz respeito à natureza do processo estocástico, os modelos de BDT e HW são processos
Marlwvianos32 enquanto o HJM é um processo Não-Markoviano.
Para a precificação das operações de Percentual do CDI a idéia é utilizar o modelo de HJM para descrever uma árvore binomial não recombinante com suas respectivas
29 F. Black, E. Dennan, and W. Toy. "A One Factor Model oflnterest Rates and Its Application to Treasury Bond Options," Financiai Analysts Journal, (January-February 1990),33-39.
30 Hull, J. and A White, 1990, "Pricing Interest Rate Derivative Securities," Review oJFinancial Studies, (3) 1990, 573-92.
31 D. Heath, R. Jarrow, and A. Morton, "Bond Pricing and the Term Structnre of Interest Rates; A New Metholodology," Econometrica, 60,1 (1992),77-105.
trajetórias da estrutura a tenno das taxas de juros e taxa de juros spot, de tal fonna a se calcular as diferentes trajetórias de CDI acumuladas ao longo da vida da operação. A principal razão para a escolha do modelo de HJM é a questão de path-dependence, uma vez que o payoff das operações com taxa Percentual do CDI é função da taxa de juros acumulada durante a vida da mesma, e por conseqüência, dependente da trajetória seguida pela taxa de juros spot.
Modelos Binomiais recombinantes como o de BDT, representado na Figura-3, não são adequados para se precificar derivativos cujo payoff seja a taxa de juros acumulada ao longo da vida da operação. Na árvore da esquerda, nesta mesma figura, estão representados as possíveis trajetórias das taxas de juros spot, enquanto na direita estão representadas as possíveis trajetórias destas taxas acumuladas ano a ano. Pode-se perceber o problema que surge com modelos path-independence quando tenta-se detenninar o payoff de um derivativo no estado da natureza c(3,2). Neste estado da natureza o payoff do derivativo é função de duas possíveis trajetórias de juros acumuladas: 65.70% (1.4042 x 1.18) ou 62.91% (1.3806 x 1.18).
No modelo de HJM o problema apresentado aCima não existe uma vez que o modelo descreve um processo Nào-Markoviano e por conseqüência as árvores binomiais são não recombinantes. Desta fonna é factível descrever todas as possíveis trajetórias da taxa de juros spot acumulada com suas respectivas probabilidades, confonne pode-se visualizar na Figura-4. Modelos Nào-Markovianos apresentam ainda uma outra vantagem sobre os modelos Markovianos. Estes últimos podem levar à estimação de taxas de juros negativas na trajetória de juros projetada pelos modelos, algo não observável em uma economia real.
Heath, Jarrow e Morton desenvolveram um modelo para precificar derivativos de taxa de juros similar ao modelo de precificação de opções sobre ações desenvolvido por Black _Scholes33 onde somente o underlying - que é a estrutura a tenno de taxa de juros - e a função de sua volatilidade são inputs do modelo. Além disto, assim como o modelo de Black-Scholes pode ser representado em tempo discreto através de árvores binomiais (Cox,
Ross and Rubinstein34), o modelo de HJM também pode ser representado em tempo
discreto e usando árvores binomiais. A grande diferença entre as árvores binomiais para precificação de derivativos de ações e de taxa de juros, é que para a precificação destes últimos é necessário que nos nós desta árvore sejam construídos vetores de preços de taxas
forward35 ou zero-coupom bonds36 em vez de um único preço (o preço da ação em cada estado da natnreza), como acontece nas árvores binomiais para precificação de derivativos de ação. Na Figura-5 é possível visualizar a representação binomial do modelo de HJM considerando 4 períodos de tempo.
Nesta representação, cada elemento de cada vetor é uma taxa forward. Tomando como exemplo o elemento f(I,3;u), ele será a taxa de um empréstimo ou aplicação adquirido no tempo 1, iniciando no tempo 3 e vencendo no tempo 4, condicionado ao estado da natureza u.
A taxaforward f(t,T;u) é definida como sendo:
f(t,T;u) = P(t,T;u) ; (4.4)
P(t,T+l;u)
onde
P(t,T;u): é o preço de um zero coupom bond comprado em t<T, com vencimento em T e condicionado ao estado da natureza u;
P(t,T + l;u): é o preço de um zero coupom bond comprado em t, com vencimento em T + 1 e condicionado ao estado da natnreza u.
Como as taxas forward são dependentes dos preços dos bonds uma vez obtida a árvore binomial com as taxas forward é possível obter a árvore binomial tendo o preço dos
bonds em seus nós ou vice-versa. Pelo processo descrito por este modelo, de um estado da natnreza qualquer, os preços dos bonds podem variar unicamente de duas maneiras:
- Uma maneira "melhor" indo para o ramo acima, com probabilidade Qt(St);
34 Cox,J., S.Ross, and M. Rubinstein. "Option Pricing: A Simplified Approach," Journal of Financiai
Economics, 7 (October 1979),229-64.
35 Taxas Forward são as taxas de juros entre dois períodos futuros ao tempo presente e calculadas no tempo
presente.
36 De tal forma que em cada nó uma yield curve seja definida em cada estado da natureza atingido por esta
- Uma maneira "pior" indo para o ramo de baixo, com probabilidade 1-Qt(St). Esta árvore binomial indica o comportamento estocástico da yield curve e assim como o modelo binomial de Cox, Ross and Rubinstein, pode ser usada para determinar o preço de um ativo que tem seu preço derivado desta yield curve. A possibilidade de se utilizar o processo estocástico do ativo primário, para precificar um ativo derivado do ativo primário só é possível se o mercado for completo, ou seja, qualquer cash flow pode ser obtido através de estratégias de trading dos ativos deste mercado (no caso do modelo de HJM são os zero-coupom bonds e o money-market37) e se o processo estocástico deste ativo
primário não permitir arbitragens livre de risco.
Nos modelos de HJM, a árvore binomial não permite arbitragens livre de risco se e somente se:
u(t,T;St) > r(t;St) > d(t,T;St) para todo t < T-1 (4.5) onde:
T: Tempo de vencimento do bond (neste tempo o bond sempre terá valor igual a 1).
( ) P(t+1,T;S)
u t,T;S, = ( )' , ou seja, u(t,T;St) é a valorização do zero coupom bond P t,T;S,
quando sai do estado da natureza St-1 e vai para um estado da natureza "melhor";
( ) P(t+1,T;S)
d t,T;S, = ( . ) ' , ou seja, u(t,T;St) é a valorização do zero coupom bond P t,T,S,
quando sai do estado da natureza St-1 e vai para um estado da natureza "pior";
j
u (t,t + 1; SI+I) -H/ prob --'> q, (S,) > Or(t;S,)
=
( )
ou seja, r(t,St) é a taxa de d (t,t + 1;S,+J
- H / prob --'> 1-q,(S,) > Ojuros spot entre dois períodos subseqüentes t e t+ 1.
Desta forma, a árvore garante que o retomo pela aplicação em um zero coupom bond será maior que a taxa de juros livre de risco (a taxa spot r(t,St)) em um estado da
natureza favorável e um retorno pior em um estado da natureza desfavorável. Se esta condição não for atendida, é possível garantir que existe um bond que terá um retorno sempre maior que a taxa de juros livre de risco, sendo sempre preferível à qualquer outra aplicação ou então existirá um bond que terá um retorno sempre pior que a taxa de juros livre de risco, sendo, portanto sempre preterido à qualquer outra aplicação.
Além desta condição ser necessária e suficiente para garantir que o processo estocástico gerado pela árvore não permita arbitragem livre de risco, ela também é urna condição suficiente para garantir que o processo tenha a propriedade de ser um mercado completo.
Urna outra característica importante nas construções das árvores binomiais é que seja possível fazer o cálculo do valor esperado do ativo primário em t-l usando os dois valores do ativo em t, ponderado pelas suas respectivas probabilidades38• No modelo de
HJM este processo é possível de ser feito apesar de não serem usadas as probabilidades qt(St) e (l-qt(St)) geradoras do processo estocástico, mas sim com urna outra medida de probabilidade chamada de Pseudo-Probabilidade n(t;St).
Com a condição (4.5) é possível garantir que existe um número n(t;St) estritamente positivo tal que:
r(t;St) = n(t;St).u(t;St) + (l-n(t;St)).d(t;St) para todo te St.
onde
(
)
[r(t;S,}-d(t,T;S,}]
tr t·
S
=
.p-':--'---:-.:...,-~, , [U(t,T;S,)-r(t;S,}]
onde n(t;St) apesar de não serem as probabilidades geradoras do processo estocástico, estas Pseudo-Probabilidades tem urna importante aplicabilidade:
p(t T'S)= tr(t;S,)·P(t+l,T;S,.)+(l-tr(t;S,))·P(t+l,T;S,d)
, , ,
r(t;S,)
ou seja:
E
(P(t+I,T;S))
p(t
T·S)= '
,
(4.6), "
r(t;S,)
permitindo assim que o processo de Backward Induction seja utilizado.
Em seu livro, Jerrow39 desenvolve um modelo binomial sem arbitragens livre de
riscos e com a propriedade de o processo estocástico possuir pseudo probabilidades iguais
a K Para parametrizar o modelo, é arbitrado um prazo final, digamos Tf, e divide-se este
prazo em t=O, I ,2,3,4, ... ,t períodos de iguais tamanhos ll, de tal forma que os tempos
discretos 0,1,2,3, ... ,t correspondam a datas O, ll,
211, 311, ... ,tll.
Neste modelo as taxasforward seguem o seguinte processo estocástico
f(t+llt,T;S,+J =
a(t,T;S,)- f(t,T;S,)
se
-s
t+1l=
S t+uf(t
+llt,T;St+.) =
p(t,T;S,)- f(t,T;S,)
se:
s,+.
=
S'dambos com pseudo probabilidades de Yz onde a(t,T;St) e fl(t,T;St) são taxas de
variação das taxas forwards.
No capítulo 12 de seu livro, Jerrow mostra que este processo estocástico pode ser
computacionalmente construído por meio das seguintes equações:
(4.7)
Se·S . Hó. =S I+u
.
_ .
COShCt
u(t,j;SJE)
f(t+8.,T,St+J-f(t,T,SJ
(T-.
)
cosh
L
u(t,j;sJE
j=t+ll
(4.8)
se-s
• 1+6=s
t+donde:
f(t,T,S,) :
Taxa Forward em t para um empréstimo ou aplicação com interavalo de tempo Tu(t,T;S,):
Função de Volatilidade def(t,T,S,)
cosh(x)
=
~.(
eX + e-x)COShCt..
u(t,T;s}E) '"
IDesta forma, as equações (4.7) e (4.8) indicam que para determinar a evolução da árvore de taxas forward é necessário somente o vetor de taxas forwards em t-O e a função de volatilidade
u(t,T;S,).
Na literatura, duas funções de volatilidade receberam atenção especial:- Função de volatilidade determinística: neste caso, as volatilidades das taxas
forwards independem do estado da sua natureza, podendo ser uma constante fixa (neste caso por meio do modelo de HJM chega-se ao mesmo resultado do modelo de Ho e Lee40).
Outra função de volatilidade pertencente a esta classe é a
u(t,T)
=,;
'e-q(T-t),
para 1;,11, constantes (obtendo, por meio do modelo de HJM, resultados semelhantes aos do modelo de HW).- Função de Volatilidade Proporcional: neste caso, a função de volatilidade depende do nível das taxas forwards e, por conseqüência, da trajetória por ela percorrida. A função de volatilidade assume a seguinte forma:
.~
O"(t,T;
S,) =
17(t,T). min(J(t,T;
S,),M)
onde
M: É uma constante estritamente positiva e de valor elevado;
17(t,T):
Fator de proporcionalidade.Com esta função de volatilidade, Heath, Jarrow e Morton (1992) demonstraram que as taxas forwards são sempre taxas positivas e não explosivas (por conta da constante M).
5. Metodologia de Precificação
Utilizando o modelo desenvolvido por Jarrow no capitulo 12 de seu livro é possível, tendo como inputs do modelo a yield curve do mercado e a função de volatilidade da mesma, construir uma árvore de taxas forward e com ela, montar uma árvore somente com taxas spot.
Com esta árvore de taxas spot, propomos criar uma árvore binomial de taxas spot acumuladas, de tal forma que seja obtido no último intervalo de tempo desta árvore a taxa de juros acumulada ao longo da vida da operação para diferentes trajetórias de CDI. Com a construção desta árvore de taxas spot acumuladas é possível, utilizando a equação (1.1), calcular no último intervalo de tempo qual seria a rentabilidade para uma operação indexada a qualquer P-Percentual do CDI.
Utilizando inicialmente este P como sendo 100%, constrói-se uma nova árvore binomial de Contingent Claims, com formato idêntico ao da árvore de taxas spot acumuladas. O valor dos nós no último intervalo de tempo desta árvore é obtido através da subtração entre a rentabilidade deste P-Percentual do CDI, explicitado acima (no caso 100%), e o valor obtido na equação (4.2). A partir destes valores e utilizando as
que o preço de um Swap 100%CDI contra uma operação cambial com cupom diferente do mercado tem de ser obrigatoriamente diferente de zero.
Para obter qual a taxa P-Percentual do CDI que precifica a operação de hedge é necessário que, através de um mecanismo de interpolação qualquer, obtenha-se o valor de P que torna o valor do nó no instante t=0 igual a zero. Obtendo-se o valor de P que zera o valor do nó no instante inicial por conseqüência tem-se a precificação da operação
6. Exemplo
Empresa Multinacional contrai empréstimo externo subsidiado pela sua Matriz com taxa de juros de 5%a.a. por 2 anos. No momento da entrada destes recursos a empresa deseja hedgear sua posição sem descasamento contábil, fazendo um Swap de mesmo prazo e taxa do empréstimo no mercado local. Sabe-se que um Swap Cambial de 2 anos está sendo negociado na BM&F por l2%a.a. e que a taxa de juros em moeda local de um zero
coupom bond de mesmo prazo é 30,50%.
Desconsiderando o spread de crédito, custos de lançamentos, corretagens e bid/offer do mercado, a instituição financeira que provesse hedge contrataria um Swap com a empresa, ficando passivo a US$+3% e ativo a 77,48% do CDI. Este valor foi obtido de acordo com a metodologia apresentada, onde (conforme visto na seção 4) foram necessários dois inputs para gerar a árvore de taxas spot seguindo o modelo de HJM:
Preço das taxas Forwards: Obtidas com os preços de mercado;
Função de Volatilidade: Para a função de volatilidade, foram usadas as volatilidades históricas de cada taxa Forward, sendo assim a função de volatilidade tem a seguinte forma:
O"
(t,
T;S,)
=
7](t,T)
onde
7](t, T): Constante obtida através da Volatilidade Histórica de cada taxa forward
Com estes dois inputs foi gerada uma árvore binomial de taxas forwards com 8 intervalos de tempo, cada intervalo 56 dias úteis espaçado do outro, o último sendo o vencimento da operação (504 dias úteis). Apesar de em cada nó desta árvore haver um vetor de preços, para a precificação desta operação somente o forward (t,t;St) que é a taxa spot foi necessária. A Figura-6 ilustra como seria esta árvore de taxa spot.
Utilizando a metodologia apresentada na seção 5, construiu-se uma árvore de
Contingent Claims utilizando um P%CDI igual a 100%CDI. Confonne dito anterionnente o preço deste Contingent Claim em t=O é diferente de zero e através de um processo iterativo, obtêm-se que o P%CDI que zera o valor do Contingent Claim no instante inicial é igual a 77,48%.
7.
Conclusão
Ao final deste artigo é possível perceber que as operações com taxa Percentual do CDI, não são triviais como parece à principio. Apesar de serem operações indexadas à uma taxa flutuante, as mesmas apresentam exposições pré-fixadas com magnitudes dependentes da diferença entre P%-CDI da mesma e 100%CDI, sendo que quanto maior for esta diferença, maior será a exposição pré-fixada gerada pela mesma. Outra questão interessante é que, diferente de operações pré-fixadas padrões, o fato de a taxa P%CD I estar em uma ponta do Swap não garante que a mesma é uma operação tomada ou dada. Esta sensibilidade é definida por uma combinação de dois fatores - a ponta do Swap e qual a taxa Percentual do CDI da mesma. Foi visto que operações com a ponta ativa do Swap indexada a um P%-CDI será uma operação dada, se e somente se, este P for inferior à 100%, e tomada no caso contrário. Nos casos em que é a ponta passiva do Swap que esta indexada a um P%-CDI, a mesma será uma operação dada somente se este P for superior à 100%, e tomada em caso contrário.
-dia - é necessário à utilização de um modelo que gere um processo estocástico para o CDr para precifica-la. Para resolver este problema, propusemos utilizar o modelo de HJM para criar uma árvore de taxas spot acumuladas e a partir desta, construir uma árvore de
8. Bibliografia
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2. Bruce Tuckman, Fixed Income Securities. Chichester: John Wiley & Sons, 1995.
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l3. Hull, J. and A White, 1990, "Pricing Interest Rate Derivative Securities,"
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14. Vasicek, O. A. "An Equi1ibrium Characterization of the Tenn Structure,"
Figura 1 - Simulação de Operação Ativa em taxa Percentual do CDI.
Grafico %CDI_Dado
Result. (Perc. Notional)
Figura 2 - Simulação de Operação Passiva em taxa Percentual do CDI.
Grafico%CDI Tomado
Figura 3 - Spot Rate no modelo de BDT
Spot Rate no modelo de BDT Spot Rate Acumulada no modelo de BDT
20,00%
c(3,2)
t(anos) 1 2 3 t(anos) 1 2 3
Figura 4 - Spot Rate no modelo de HJM
Spot Rate no modelo de HJM Spot Rate Acumulada no modelo de HJM
20,00%
19,00%
62,91%
.~.
Figura 5 - Representação Binomial do Modelo de HJM - Tx.
Forward
1 f(3,3;uuu)
1
I
f(2,3;uu)I.
r
f(2,2;uu)r
f(1,3;u)
,I
f(3,3;uud)1
f(1,2;u) f(1,1;u)
"""
1 f(3,3;udu)
1
f(2,3;ud)f(2,2;ud)
r
f(O,3)
J
f(3,3; udd)1
f(O,2) f(O,1)
f(O,O) 1 f(3,3;duu)
1
1
f(2,3;du)t
/'
f(2,2;du)r
f(1,3;d)
,I
f(3,3;dud)1
f(1,2;d) f(1,1 ;d)
"""
/ ' f(3,3;ddu)
1
f(2,3;dd)f(2,2;dd)
""", f(3,3;ddd)
1
t
o
1 2 3Figura 6 - Árvore de Taxas Spot
f(3,3;uuu) f(3,3;uud) f(1,1;u) f(3,3;udu) f(2,2;ud) f(3,3;udd) f(O,O) f(3,3;duu) f(3,3;dud) f(3,3;ddu) f(3,3;ddd)
