Estudo numérico de modelos de arrasto e do coeficiente de restituição no escoamento gás-sólido em leito fluidizado

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

CARLOS MANUEL ROMERO LUNA

CARLOS MANUEL ROMERO LUNA

ESTUDO NUMÉRICO DE MODELOS DE ARRASTO E DO COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO NO ESCOAMENTO GÁS-SÓLIDO EM LEITO FLUIDIZADO

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia

do Campus de Guaratinguetá, Universidade

Estadual Paulista, para a obtenção do título

de Doutor em Engenharia Mecânica na área

de Transmissão e Conversão de Energia.

Orientador: Prof. Dr. Luiz Roberto Carrocci

R763e Romero Luna, Carlos Manuel Estudo numérico de modelos de arrasto e do coeficiente de restituição no escoamento gás-sólido em leito fluidizado / Carlos Manuel Romero Luna – Guaratinguetá : [s.n], 2013.

156 f : il.

Bibliografia: f. 147

Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2013.

Orientador: Prof. Dr. Luiz Roberto Carrocci

1. Escoamento bifásico 2. Leito fluidizado 3. Análise numérica I. Título

DADOS CURRICULARES

CARLOS MANUEL ROMERO LUNA

NASCIMENTO

31.10.1983 – HUACHO / LIMA / PERÚ

FILIAÇÃO

Victor Manuel Romero Rodriguez

Dora Elena Luna Quiroz

2000/2004

Curso de Graduação em Engenharia Química, na

Universidad Nacional Jose Faustino Sanchez Carrión.

2007/2009

Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica,

nível de Mestrado, na Faculdade de Engenharia do

Campus de Guaratinguetá da Universidade Estadual

Paulista.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço a Deus, fonte da vida e da graça. Agradeço pela minha vida, minha inteligência, minha família e meus amigos,

pela força, coragem e perseverança em tudo o tempo que levou a culminação do trabalho.

ao meu orientador, Prof. Dr. Luiz Roberto Carrocci pela amizade, paciência e

apoio. Sem seu auxílio, motivação e sabedoria o estudo aqui apresentado seria praticamente impossível.

a Gretta por tudo o amor, apoio e compreensão no desenvolvimento deste

trabalho.

aos meus pais Victor e Elena, por tudo o apoio ao meus estudos, apesar da

distância o carinho sempre manteve-se presente na minha mente e no meu coração. às funcionárias da Biblioteca do Campus de Guaratinguetá pela dedicação, presteza e principalmente pela vontade de ajudar,

ao pessoal da seção de pós-graduação pela disposição e alegria no atendimento,

aos meus amigos da pós-graduação Edgar,Andrés, Christian, Justo e Juan e pelo

apoio e companheirismo.

a Meire pelo experiência compartida.

aos Professores Ivonete, Perrella, e Mauricio, assim como aos membros da banca,

pelas oportunas observações feitas ao trabalho, as quais conseguiram melhorar a qualidade do material.

e a todas as pessoas que de alguma forma contribuíram com a realização deste trabalho (Gracias).

“La imaginación es más importante que el conocimiento”

(Doutorado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013.

RESUMO

O leito fluidizado é uma importante operação unitária de grande interesse na indústria química, geração de energia, extração e refino do petróleo, entre outros. As muitas aplicações do leito fluidizado na indústria e a demanda constante de melhorias na eficiência do processo de fluidização, tem produzido um aumento no número de trabalhos envolvendo simulações numéricas do escoamento gás-sólido em leito fluidizado através de CFD. Na simulação numérica, ainda não existe consenso na seleção de um modelo de arrasto e na definição de um valor adequado para o coeficiente de restituição. Nesta tese investiga-se a influência de diferentes modelos de arrasto e do coeficiente de restituição; sobre a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado, através de simulações numéricas. Para isto é usado um modelo baseado na abordagem Euleriana-Euleriana considerando um leito fluidizado bidimensional, o qual será resolvido usando o codigo livre MFIX. Para avaliar os modelos de arrasto, os resultados numéricos são validados por meio da determinação dos dados experimentais de Taghipour et al. (2005), o qual apresenta parâmetros de projeto de leito fluidizado, tais como a queda de pressão, expansão do leito, velocidade mínima de fluidização e distribuição das fases. Estudou-se também o efeito do coeficiente de restituição sobre a fluidodinâmica do escoamento, através do desenvolvimento de uma correlação em função da fração de vazio. Os resultados demonstram que o modelo de arrasto têm uma influência muito grande na determinação das variáveis de projeto de leito fluidizado. No estudo, um grupo de modelos representam adequadamente a fluidodinâmica, sendo que o modelo de arrasto de Gidaspow (1994) foi o que mais se aproximou aos resultados experimentais. Foram desenvolvidas simulações considerando o coeficiente de restituição como uma função da fração de vazio usando o modelo de Gidaspow (1994).

Os resultados demonstraram uma melhora na previsão do perfil de fração de vazio.

Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013.

ABSTRACT

Fluidized bed is an important unit operation of great interest in petroleum, chemical, metallurgical and energy industries. The large number of applications of fluidized bed in the industry and constant demand for improvements in the efficiency of the fluidization process, has produced an increase in the number of studies involving numerical simulations of gas-solid flow in fluidized bed through CFD. In numerical simulation, there is not yet an agreement on the selection of a drag model and in defining a suitable value for the coefficient of restitution. The purpose of this work was to study the influence of different drag models and restitution coefficient on the hydrodynamics of gas-solid flow in fluidized-bed, through numerical simulations. It is used a model based on the Eulerian-Eulerian approach considering a two-dimensional fluidized bed, which will be resolved using the open source MFIX code. To evaluate drag models, numerical results will be validated through the determination of the experimental data of Taghipour et al. (2005), which presents fluidized bed design parameters, such as fluidization curve, bed expansion, minimum fluidization velocity and void fraction profiles. It was also studied the effect of restitution coefficient on the hydrodynamics, through the development of a correlation in function of void fraction. The results demonstrated that drag model have an great influence in fluidized bed design parameters determination. In this study, a group of models were able to represent adequately the hydrodynamics, however Gidaspow (1994) drag model was the most accurate to represent the experimental data. Simulations were carried out considering restitution coefficient as a function of void fraction and using Gidaspow (1994) drag model. The simulation results obtained was able to improve the prediction of void fraction profile.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Esquema de um leito fluidizado gás-sólido ... 25

Figura 2.2 – Diferentes padrões do escoamento gás–sólido na fluidização ... 26

Figura 2.3 – Classificação de partículas de Geldart... 27

Figura 2.4 – Forças atuantes sobre a partícula sólida segundo Geldart ... 28

Figura 2.5 – Curva de fluidização de um leito fluidizado gás-sólido ... 29

Figura 3.1 – Representação da abordagem Euleriana-Lagrangeana ... 40

Figura 3.2 – Formação de uma bolha num leito fluidizado baseado na abordagem E-L.... 41

Figura 3.3 – Representação da abordagem Euleriana-Euleriana ... 41

Figura 3.4 – Simulação do escoamento gás-sólido em leito fluidizado baseada na abordagem E-E ... 43

Figura 3.5 – Fatores de correção do modelo de arrasto de Nieuwland et al. (1994). ... 53

Figura 3.6 – Regime plástico e viscoso no escoamento gás-sólido ... 62

Figura 3.7 – Representação do ângulo de atrito interno ... 67

Figura 3.8 – Representação de uma colisão entre partículas no escoamento gás-sólido .... 71

Figura 3.9 – Comparação de funções de distribuição radial ... 72

Figura 4.1 – Interface entre o usuário e o código MFIX ... 75

Figura 4.2 – Volume de controle ... 77

Figura 4.3 – Volume de controle unidimensional para a discretização na direção ... 78

Figura 4.4 – Localização dos nodos para o esquema TVD ... 81

Figura 4.5 – Volume de controle unidimensional deslocado para a componente "x" ... 87

Figura 4.6 – Condição de deslizamento livre e de não deslizamento ... 89

Figura 4.7 – Condição de contorno de velocidade e pressão especificada ... 97

Figura 5.1 – Representação do leito fluidizado e o domínio computacional com malha de 0,005 x 0,005 m ... 106

Figura 5.2 – Comparação dos modelos de arrasto na determinação da curva de fluidização (A) ... 111

Figura 5.5 – Avaliação dos modelos de arrasto na determinação da velocidade mínima

de fluidização (B) ... 115

Figura 5.6 – Comparação dos modelos de arrasto na determinação da expansão do leito (A) ... 117

Figura 5.7 – Comparação dos modelos de arrasto na determinação da expansão do leito (B) ... 117

Figura 5.8 – Perfil médio temporal da fração de vazio com Ug = 0,38 m/s (A) ... 120

Figura 5.9 – Perfil médio temporal da fração de vazio com Ug = 0,38 m/s (B) ... 121

Figura 5.10 – Perfil médio temporal da fração de vazio com Ug = 0,46 m/s (A) ... 122

Figura 5.11 – Perfil médio temporal da fração de vazio com Ug = 0,46 m/s (B) ... 122

Figura 5.12 – Fração de vazio usando os modelos de Nieuwland et al. (1994) e RUC (1994) com Ug = 1m/s ... 124

Figura 5.13 – Perfil médio temporal da velocidade das partículas com Ug = 0,38 m/s (A) ... 126

Figura 5.14 – Perfil médio temporal da velocidade das partículas com Ug = 0,38 m/s (B) ... 126

Figura 5.15 – Perfil médio temporal da velocidade das partículas com Ug = 0,46 m/s (A) ... 128

Figura 5.16 – Perfil médio temporal da velocidade das partículas com Ug = 0,46 m/s (B) ... 128

Figura 5.17 – Simulação do perfil médio temporal da velocidade das partículas sólidas em leito fluidizado em diversas alturas de Loha et al. (2012) ... 130

Figura 5.18 – Comportamento fluidodinâmico do leito utilizando os modelos de arrasto Ug = 0,10 m/s ... 132

Figura 5.19 – Comportamento fluidodinâmico do leito utilizando os modelos de arrasto Ug = 0,20 m/s ... 132

Figura 5.20 – Comportamento fluidodinâmico do leito utilizando os modelos de arrasto Ug = 0,38 m/s ... 133

Figura 5.21 – Comportamento fluidodinâmico do leito utilizando os modelos de arrasto Ug = 0,46 m/s ... 133

Figura 5.24 – Efeito do coeficiente de restituição sobre o perfil médio temporal da fração de vazio, Ug = 0,46 m/s ... 137 Figura 5.25 – Coeficiente de restituição em função da fração de vazio média local... 140 Figura 5.26 – Relação entre o coeficiente de restituição e a velocidade de fluidização

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 – Parâmetros do modelo para a simulação ... 108

Tabela 5.2 – RMSD dos perfis de queda de pressão ... 113

Tabela 5.3 – RMSD do perfil de queda de pressão na determinação da velocidade de mínima fluidização... 116

Tabela 5.4 – RMSD da expansão do leito ... 118

Tabela 5.5 – RMSD dos perfis médio temporais de fração volumétrica ... 123

Tabela 5.6 – RMSD do perfil médio temporal da velocidade das partículas ... 129

Tabela 5.7 – RMSD dos perfis médios temporais da fração de vazio em função do coeficiente de restituição a diferentes velocidades de fluidização. ... 138

Tabela 5.8 – Fração de vazio média local e o coeficiente de restituição ... 139

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CFD Computational Fluid Dynamics

EDP Equação Diferencial Parcial

LBM Lattice Boltzmann Method

LFC Leito Fluidizado Circulante

MFIX Multiphase Flow with Interphase eXchanges

NETL National Energy Technology Laboratory

RSMD Root Square Mean Deviation

SIMPLE Semi Implicit Method for Pressure Linked Equation

LISTA DE SÍMBOLOS

Simbologia Principal

A Área da seção transversal do leito m2

RUC

A Fator no modelo de RUC (1994) [1]

RUC

B Fator no modelo de RUC (1994) [1]

D

C Coeficiente de arrasto [1]

D0

C Coeficiente de arrasto de uma simples partícula [1]

g

D Tensor taxa de deformação s-1

s

d Diâmetro da partícula sólida M

e Coeficiente de restituição [1]

θ

E Energia granular m2/s2

FD Força de arrasto N/m3

F Forças atuando sobre uma simples partícula N

( )

f Função de correção do modelo de arrasto _[1]

g Aceleração da gravidade m/s2

0

g Função de distribuição radial [1]

leito

h Altura do leito m

I Tensor [1]

2D

I Segundo invariante do tensor taxa de deformação [1]

K1 Constante do coeficiente de arrasto para todos os regimes [1]

K2 Constante do coeficiente de arrasto para todos os regimes [1]

s

k_{θ Coeficiente de difusão para a energia granular kg/m.s}

DiFelice

n Expoente do modelo de arrasto de Di Felice (1994) _[1]

n Expoente do modelo de Richardson e Zaki (1954) [1]

g

p Pressão da fase gás N/m2

s

p Pressão da fase sólida N/m2

kin s,

p Pressão do sólido por efeito cinético N/m2

col s,

p Pressão do sólido por efeito de colisão N/m2

fr s,

p Pressão do sólido por efeito de atrito N/m2

Q Vazão de gás m3/s

p

R _{Raio da partícula sólida m}

φ

R _{Termo fonte da equação de conservação}

s

Re Reynolds da partícula sólida [1] t

g

u _{Velocidade da fase gás m/s}

g

U _{Velocidade superficial do gás m/s}

s

u Velocidade da fase sólida m/s

t

u Velocidade terminal da partícula sólida m/s g

V _{Volume ocupado do gás m}3

p

V _{Volume da partícula sólida m}3

p

V Vetor velocidade de uma única partícula m/s

Vr,s Relação da velocidade terminal (Syamlal e O’Brien) m/s

T

V Volume total do leito m3

w Fator no modelo de arrasto de Hill-Koch-Ladd (2001) [1]

X Largura do leito fluidizado m

Símbolos Gregos

g

α _{Fração volumétrica do gás [1]}

s

α Fração volumétrica de partículas sólidas _[1] ∗

g

α Fração volumétrica no leito fixo [1] max

,

s

α Fração volumétrica no ponto de máximo empacotamento. _[1]

gs

β Modelo de arrasto kg/m3s

s

θ

γ Dissipação da energia por efeito das colisões inelásticas kg/m3s

Γ Coeficiente de difusão

s

Φ Esfericidade das partículas [1]

φ Propriedade escalar transportada [1] gs

Φ Função chave de Gidaspow (1994) [1] s

θ Temperatura granular m2/s2

g Viscosidade dinâmica do gás N.s/m

2

s Viscosidade dinâmica do sólido N.s/m

2

kin

s, Viscosidade do sólido por efeito cinético N.s/m

2

col

s, Viscosidade do sólido por efeito de colisão N.s/m

2

fr

s, Viscosidade do sólido por efeito de atrito N.s/m

2

g

ρ _{Massa específica da fase gás kg/m}3

s

ρ Massa específica da fase sólida kg/m3 g

τ tensor das tensões viscosas da fase gás N/m2 s

τ tensor das tensões viscosas da fase sólida N/m2

g

λ _{viscosidade volumétrica N/m}2

) (αg

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 19

1.1 MOTIVAÇÃO ... 21

1.2 JUSTIFICATIVA ... 22

1.3 OBJETIVOS ... 22

1.3.1 Objetivo geral ... 22

1.3.2 Objetivos específicos ... 22

1.4 DELIMITAÇÃO ... 23

1.5 ESTRUTURA DA TESE ... 23

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA ... 24

2.1 FLUIDIZAÇÃO ... 24

2.2 LEITO FLUIDIZADO GÁS-SÓLIDO ... 24

2.3 REGIMES DE FLUIDIZAÇÃO ... 25

2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS PARTÍCULAS ... 26

2.5 PARAMETROS DO PROJETO DE LEITO FLUIDIZADO ... 29

2.5.1 Queda de pressão ... 29

2.5.2 Velocidade mínima de fluidização ... 30

2.5.3 Expansão do leito ... 31

2.6 SIMULAÇÃO DE LEITOS FLUIDIZADOS ... 32

2.6.1 Trabalhos envolvendo modelos de arrasto ... 36

2.6.2 Trabalhos envolvendo o coeficiente de restituição ... 37

3 MODELAGEM DO ESCOAMENTO GÁS-SÓLIDO ... 39

3.1 ABORDAGEM EULERIANA-LAGRANGEANA ... 39

3.2 ABORDAGEM EULERIANA-EULERIANA ... 41

3.3 MODELO FLUIDODINÂMICO... 43

3.3.1 Força de arrasto ... 45

3.3.1.1 Modelo de arrasto ... 46

3.3.1.2 Coeficiente de arraste ... 58

3.3.2 Tensor das tensões ... 60

3.3.2.1 Tensor da tensão da fase gás ... 60

3.2.2.2 Tensor da tensão da fase sólida ... 61

3.2.2.2.1 Pressão na fase sólida ... 63

3.2.2.2.2 Viscosidade da fase sólida ... 65

3.3.3 Teoria cinética dos escoamentos granulares... 68

3.3.3.1 Temperatura granular ... 68

3.3.3.2 Coeficiente de restituição ... 71

3.3.3.3 Função de distribuição radial ... 71

4

MODELAGEM NUMÉRICA

4.1

DISCRETIZAÇÃO

4.2

SOLUÇÃO NUMÉRICA

4.2.1

Equação da conservação da quantidade de movimento discretizada

4.2.2

Condições de contorno

4.2.5

Equação para a correção da fração de volumétrica da fase sólida

4.2.6

Condições iniciais

5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 105

5.1 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO ... 105

5.2 PROCESSAMENTO DE DADOS ... 108

5.3 ANÁLISE DOS MODELOS DE ARRASTO ... 109

5.3.1 Determinação da curva de fluidização... 110

5.3.2 Determinação da velocidade mínima de fluidização ... 113

5.3.3 Determinação da expansão do leito ... 116

5.3.4 Determinação do perfil médio temporal da fração de vazio ... 119

5.3.5 Determinação do perfil médio temporal da velocidade das partículas... 125

5.3.6 Comparação qualitativa dos modelos de arrasto ... 130

5.4 DESENVOLVIMENTO DE UMA CORRELAÇÃO PARA O COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO ... 135

6 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS ... 144

6.1 CONCLUSÕES ... 144

6.2 TRABALHOS FUTUROS ... 146

1 INTRODUÇÃO

O leito fluidizado é uma importante operação unitária de grande interesse na indústria petroleira, química, metalúrgica e na produção de energia. Esta operação tem sido amplamente usada devido às suas excelentes características, tais como elevadas taxas de transferência de calor e massa, alto grau de mistura, excelente meio para interação partícula-partícula e uma grande área superficial de contato entre as fases gás e sólida. Algumas aplicações importantes são: craqueamento catalítico, combustão e/ou gaseificação, pirólise, processos de polimerização, produção de fármacos, combustíveis sintéticos, revestimento, entre outras. A efetividade dessas aplicações depende principalmente do controle do processo de fluidização, o qual precisa de um adequado conhecimento e entendimento da fluidodinâmica do escoamento gás-sólido (KUNII e LEVENSPIEL, 1991; GUPTA e SATHIYAMOORTHY, 1999; OKA, 2003).

Como a fluidodinâmica domina os processos de transferência de calor e massa, contribuições ao seu entendimento podem significantemente melhorar o projeto, o dimensionamento e a operação do leito fluidizado, e por sua vez, a produtividade de tais aplicações, desta maneira ressalta-se a importância de seu estudo e compreensão.

A CFD (Computational Fluid Dynamics) tem sido utilizada para realizar simulações de sistemas de escoamento multifásico, com a finalidade de estudar processos físicos e químicos em diferentes aplicações de engenharia. Atualmente a CFD é uma poderosa ferramenta no estudo de complexos fenômenos, tais como a fluidodinâmica, transferência de calor e massa e reações químicas no escoamento gás-sólido em leito fluidizado (ARMSTRONG et al. 2010).

A CFD tem a vantagem de prover um detalhamento da física fundamental de vários fenômenos, os quais às vezes são difíceis de medir, assim como também reduzir o tempo e o custo do projeto de reatores de leito fluidizado em escala industrial (AHUJA e PATWARDHAN, 2008; LI et al. 2009; ARMSTRONG et al. 2010).

Os modelos baseados na abordagem E-E se caracterizam por tratar a fase gás e a fase sólida como dois meios contínuos interagindo constantemente. Como a fase sólida é tratada como um meio contínuo, isso provoca algumas particularidades na equação de transferência da quantidade de movimento, tais como a descrição de alguns termos tais como a força de arrasto e o tensor das tensões (RANADE, 2002; CROWE, 2006).

Assim, para determinar a força de arrasto é preciso selecionar um modelo de arrasto, o qual quantifica a quantidade de energia transmitida da fase gás para a fase sólida. O modelo de arrasto tem uma forte influência na fluidodinâmica do escoamento gás-sólido, sendo muito importante na determinação de propriedades tais como as taxas de transferência de calor e massa. Devido às diversas aplicações do escoamento gás-sólido, vários modelos de arrasto foram propostos na literatura. Desde que o arrasto é a principal força de aceleração atuando sobre as partículas, a seleção do modelo de arrasto faz a diferença nos resultados da simulação. Muitos estudos foram realizados com a finalidade de identificar que modelos podem predizer corretamente a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado ou em qualquer outro sistema que envolva esta classe de escoamento (DU et al. 2006, VEJAHATI et al. 2009; ESMAILI e MAHINPEY 2011).

No entanto, os resultados destes trabalhos divergem e não apontam qual modelo de arrasto é o mais adequado para representar a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido.

No caso da descrição do tensor das tensões, a abordagem E-E se fundamenta na Teoria Cinética dos Escoamentos Granulares (TCEG), que é análoga à Teoria Cinética dos Gases. A TCEG permite a representação matemática de termos tais como pressão, viscosidade dinâmica e volumétrica para a fase sólida, considerando-a como um meio contínuo (RANADE, 2002; CROWE, 2006). Deste modo, surgem novas variáveis que são utilizadas para caracterizar o comportamento das partículas sólidas, entre as principais tem-se a temperatura granular, o coeficiente de restituição e a função de distribuição radial (JAKOBSEN et al. 2010).

Um grande número de trabalhos foi dedicado ao estudo destas variáveis, destacando-se dentro elas o coeficiente de restituição. Esta variável representa uma medida da elasticidade das colisões partícula-partícula, sendo assumidas como elásticas se o coeficiente de restituição for estabelecido com um valor igual à unidade.

De acordo com Reuge et al. (2008) muito autores tem relatado a sensibilidade da fluidodinâmica do leito fluidizado ao valor do coeficiente de restituição assumido na simulação. Segundo Jakobsen et al. (2010), a simples mudança no valor do coeficiente de restituição pode modificar totalmente o padrão de circulação das partículas sólidas no leito, o que levar se a projetar um leito com muitas incertezas e sujeito a problemas tais como baixo desempenho.

1.1 MOTIVAÇÃO

As muitas aplicações do leito fluidizado na indústria e a demanda constante de melhorias na eficiência do processo de fluidização, tem aumentado o número de trabalhos envolvendo simulações numéricas do escoamento gás-sólido em leito fluidizado através do uso de CFD.

Uma das etapas mais importantes e críticas no desenvolvimento de um modelo de escoamento gás-sólido é a seleção de um modelo de arrasto. O grande número de modelos de arrasto presentes na literatura provoca uma confusão na seleção de um modelo para uma aplicação específica envolvendo o escoamento gás-sólido. A definição de um valor adequado para o coeficiente de restituição é também importante na representação física da interação entre as partículas sólidas no escoamento gás-sólido.

Considerando os trabalhos referenciados, observa-se que ainda não há uma concordância um acordo na seleção de um modelo de arrasto e na definição de um valor adequado para o coeficiente de restituição na simulação numérica do escoamento gás-sólido. Em geral, os estudos disponíveis sobre modelos de arrasto têm incluído esforços em comparar dois ou três modelos, e as discrepâncias entre os resultados reportados são facilmente observados. No caso do coeficiente de restituição, são poucos os trabalhos que avaliam a sua influência sobre a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido. A maioria de simulações definem o seu valor baseado na literatura ou simplesmente adotam um valor arbitrário.

1.2 JUSTIFICATIVA

O estudo dos modelos de arrasto permite selecionar o modelo mais adequado, e dessa forma reduz de maneira drástica o tempo exploratório que demanda as simulações numérica através de CFD.

Existe uma carência de trabalhos que avaliem o desempenho dos modelos de arrasto através da determinação dos parâmetros de projeto de leito fluidizado, tais como a queda de pressão, expansão do leito, velocidade mínima de fluidização, distribuição das fases, utilizando simulação numérica.

O desenvolvimento de uma correlação entre o coeficiente de restituição e a fração de vazio, permitirá uma representação mais aproximada da influência das colisões interpartículas no escoamento gás-sólido, além disso, evitando a dificuldade em relação à escolha de um valor específico desta variável.

Assim há a necessidade do desenvolvimento de um estudo numérico para uma apropriada seleção do modelo de arrasto e a avaliação do coeficiente de restituição. Com isto espera-se representar de uma forma mais aproximada a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo geral

Estudar a influência de diferentes modelos de arrasto e do coeficiente de restituição sobre a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado.

1.3.2 Objetivos específicos

• Implementar diferentes modelos de arrasto no código MFIX.

• Avaliar o desempenho de cada modelo validando o resultado com os dados

• Desenvolver uma correlação do coeficiente de restituição em função da fração de vazio.

• Avaliar o desempenho da correlação do coeficiente de restituição sobre a

fluidodinâmica.

1.4 DELIMITAÇÃO

O estudo visa o desenvolvimento de simulações numéricas de um escoamento gás-sólido não reativo num leito fluidizado bidimensional utilizando o código MFIX do NETL (National Energy Technology Laboratory). Os resultados obtidos são validados com os dados

experimentais de Taghipour et al. (2005).

1.5 ESTRUTURA DA TESE

Capítulo 2: Expõe-se uma revisão bibliográfica apresentando os conceitos básicos de fluidização, assim como também uma revisão dos trabalhos envolvendo o estudo dos modelos de arrasto e do coeficiente de restituição.

Capítulo 3: Descreve-se as abordagens mais utilizadas em simulações numéricas do escoamento gás-sólido. Apresenta-se a formulação do modelo utilizado nas simulações, assim como também dos modelos de arrasto avaliados neste estudo.

Capítulo 4: Exibe a fundamentação numérica do código MFIX.

Capítulo 5: Mostra-se os resultados e a discussão da simulação numérica.

2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA

2.1 FLUIDIZAÇÃO

A fluidização é o fenômeno no qual um leito de partículas sólidas, inicialmente formando uma aparente estrutura rígida pela ação de forças tais como a gravidade e o atrito, chega a exibir uma movimentação similar a um fluido devido à passagem de uma corrente ascendente de líquido ou gás. Tal corrente circula através dos interstícios das partículas sólidas gerando uma força de arrasto suficiente para contrabalançar seu peso, provocando assim a movimentação das partículas sólidas (FAN, 2005; BASU, 2006; RHODES, 2008).

O comportamento da fluidização é dependente do fluido utilizado; assim, a fluidização num sistema líquido-sólido exibe um comportamento progressivo e homogêneo apresentando uma uniforme distribuição espacial das partículas sólidas sem formação de bolhas. Já o caso de um sistema gás-sólido se caracteriza basicamente por ser altamente heterogêneo, diversamente ao sistema líquido-sólido. Assim, o leito de partículas sólidas exibe um comportamento bastante segregativo, dando origem à formação de bolhas (CROWE, 2006).

2.2 LEITO FLUIDIZADO GÁS-SÓLIDO

O leito fluidizado gás-sólido é uma operação muito usada na manipulação de partículas sólidas, provavelmente constitui-se na operação industrial mais importante em sistemas que envolvem um escoamento gás-sólido, os quais estão presentes em muitos processos físicos e químicos que envolvem reação química, transporte, secagem, aquecimento e resfriamento.

As partículas sólidas são fluidizadas com uma corrente de gás com a finalidade de provocar um intenso contato e um alto grau de mistura e intensa circulação das espécies no leito, resultando em elevadas taxas de reação, transferência de calor e massa e uma distribuição uniforme de temperatura, o que permite o processamento contínuo da operação (KUNII e LEVENSPIEL, 1991; GUPTA e SATHIYAMOORTHY, 1999; OKA, 2003, MANDICH 2010; HORIO 2010).

A Figura 2.1 apresenta a representação de um leito fluidizado gás-sólido com seus principais componentes: a câmara plena ou plenum, a placa distribuidora ou distribuidor, a

região do leito e a zona de bordo livre. A câmara plena é a seção onde uma corrente de fluido ingressa ao leito, em seguida este fluido atravessa uma placa distribuidora, a qual tem como funções distribuir uniformemente o fluido e servir de suporte ao leito de partículas sólidas. Finalmente, encontra-se o freeboard a qual contém uma quantidade mínima de partículas

sólidas que conseguiram ser arrastadas para fora do leito.

Figura 2.1 - Esquema de um leito fluidizado gás-sólido.

Fonte: (RANADE, 2002).

2.3 REGIMES DE FLUIDIZAÇÃO

O entendimento do regime de fluidização é um aspecto fundamental na pesquisa relacionada à fluidização, assim, se apresenta uma descrição ressaltando as principais características dos regimes de fluidização (CROWE, 2006).

Figura 2.2 - Diferentes padrões do escoamento na fluidização.

Fonte: (CROWE, 2006).

2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS PARTÍCULAS

No estudo fluidodinâmico de um leito fluidizado gás-sólido, é preciso conhecer as principais características das partículas sólidas que determinam o comportamento da fluidização. Geldart (1973), observou a fluidização de diversos tipos de materiais relacionando o tamanho médio da partícula, massas específicas das partículas e do ar, em condições ambientais e propôs uma classificação de 4 categorias para as partículas sólidas, as quais foram designadas com as letras A, B, C, D em função de seu comportamento na fluidização. A Figura 2.3 apresenta o diagrama e a classificação desenvolvida por Geldart (1973), que é clara e fácil de usar, permitindo uma estimativa do tipo de fluidização esperada. Assim, pesquisadores que estudam o fenômeno de fluidização invariavelmente recorrem ao diagrama de Geldart para classificar o sólido utilizado no trabalho.

A B C D E F Leito fixo/

mínima fluidização

Regime borbulhante

Regime pistonado

Regime turbulento

Fluidização rápida

Trata-se de uma referência clássica e até os dias de hoje não superada, a despeito da simplicidade em termos de suporte matemático e experimental para o desenvolvimento de referida classificação.

Figura 2.3 - Classificação de partículas segundo Geldart.

Fonte: (RHODES, 2008).

Grupo A - São partículas sólidas com diâmetros que variam entre 20-100 µm e

apresentam uma baixa massa específica, inferior a 1400 kg/m3. Caracterizam-se por fluidizar

com facilidade apresentando bolhas de pequeno diâmetro, o leito se expande consideravelmente antes mesmo de formar bolhas podendo apresentar um comportamento de fluidização homogênea com alta mistura entre o gás e as partículas sólidas. Muitos catalisadores encontram-se dentro deste grupo, por exemplo, as partículas de zeolitas utilizadas como catalisador no craqueamento catalítico do petróleo.

Grupo B - Este grupo de partículas sólidas apresentam um tamanho entre 40 e 500 µm

e uma massa específica entre 1400 e 4000 kg/m3. Neste grupo as partículas sólidas fluidizam

Grupo C - A principal característica das partículas sólidas deste grupo é o seu comportamento coesivo e são extremamente finas apresentando um diâmetro inferior a 30 µm. Estas partículas fluidizam sobre condições muito difíceis e, ao fluidizar não apresentam bolhas. No leito são formados canais preferenciais pelos quais circula o gás dando origem a um grau de mistura muito baixo, sendo necessário aplicar uma força externa, tal como agitação mecânica, para melhorar a qualidade da fluidização.

Grupo D - Partículas sólidas maiores que 1000 µm, a fluidização deste grupo requer grandes quantias de energia e tipicamente é associado a elevados níveis de abrasão. Caracteriza-se pelo fato do leito se tornar errático, produzindo bolhas grandes, canais preferenciais e até mesmo jorros. As bolhas coalescem mais rapidamente, porém sobem mais lentamente que o gás que percola através do leito, apresentam uma expansão do leito mínima e um baixo grau de mistura. Este grupo está composto geralmente de partículas sólidas como os grãos, carvão e minerais.

A Figura 2.4 é uma representação das partículas de Geldart em função das principais forças presentes, entre elas destaca-se a força de arrasto, a força de gravidade e as forças interpartículas próprias de cada tipo. O grau de interação destas forças define o seu comportamento fluidodinâmico de qualquer processo ou operação que utilize a tecnologia de fluidização.

Figura 2.4 – Forças atuantes sobre a partícula sólida segundo Geldart.

2.5 PARÂMETROS DO PROJETO DE LEITO FLUIDIZADO

2.5.1 Queda de pressão

A determinação da queda de pressão em função da velocidade de fluidização, permite construir a curva de fluidização, a qual caracteriza o padrão do escoamento que desenvolve um leito fluidizado (CROWE, 2006).

Conforme incrementa-se a velocidade de fluidização, U_g, a queda de pressão aumenta

proporcionalmente, mantendo uma condição de leito fixo. Quando esta velocidade se incrementa até o ponto onde as forças de arrasto e gravidade se equilibram, atinge-se o estado

mínima fluidização. Porém, se U_g aumenta ultrapassando este estado de mínima fluidização,

o leito se expande consideravelmente dando origem à formação de bolhas, no entanto a queda de pressão do leito permanece constante (BASU, 2006; CROWE, 2006 ).

A Figura 2.5 apresenta o comportamento da queda de pressão, também conhecido como a curva de fluidização, parâmetro básico no projeto de leitos fluidizados. O ponto no qual se atinge o estado de mínima fluidização apresenta um leve incremento, seguido de uma normalização, isso é produto do atrito das paredes do leito.

Figura 2.5 – Curva de fluidização de um leito fluidizado gás-sólido.

Fonte: (PAUDEL, 2011).

g

U

mf

U

Queda de pressão

A queda de pressão quando se tem uma velocidade mínima de fluidização é definida pela equação (2.1):

g ρ ρ α L =

P_leito (1− _g)( _s− _g) (2.1)

Com a finalidade de determinar a queda de pressão através de um leito fixo para qualquer condição de escoamento, a equação de Ergun (1952) representada pela equação (2.2) pode ser também usada para determinar a queda de pressão.

s s 3 g g g g s s g g g g leito d Φ α U ρ α + d Φ α U α = L P 2 2 3

2 _{(1 )}

75 , 1 ) ( . ) 1 (

150 −

µ

sendo,

Φ

2.5.2 Velocidade mínima de fluidização

A velocidade mínima de fluidização, U_mf , é um parâmetro muito importante no projeto

de um leito fluidizado quando é desenvolvida a sua caracterização fluidodinâmica. Esta variável marca o ponto de transição entre um regime de leito fixo e um regime borbulhante. Normalmente a velocidade mínima de fluidização é obtida experimentalmente, no entanto existem muitas alternativas reportadas na literatura para estimar o valor da velocidade mínima de fluidização (GUPTA e SATHIYAMOORTHY 1999; RAMOS et al. 2002).

A mínima fluidização inicia quando a altura do leito é balanceada pela queda de pressão através do leito. A queda de pressão através do leito de altura média, L_mf , assumindo um

diâmetro de partículas sólidas, ds, foi correlacionada por Ergun (1952) por meio da equação

(2.3). s s s g mf leito d + d L P s 3 mf 2 mf g mf 2 3 mf mf 2

mf (1 ) U

Combinando a equação (2.1) e (2.3) tem-se:

mf mf

mf mf

mf g

g s g s

α α

+

α

g

ρ ρ ρ

d

Re ) (1 150 Re

1 75 , 1 ) (

2 3 2

3 3 2

3

Φ − Φ

= −

(2.4)

O número de Reynolds da partícula no estado de mínima fluidização é expresso pela equação (2.6).

g g mf s mf

ρ

U d =

Re (2.5)

No caso de partículas muito pequenas, Re_mf <20, a equação (2.4) pode ser ainda

simplificada na forma da equação (2.6).

mf mf g

g s s mf

g

ρ ρ

d = U

α α

− Φ −

1 150

)

( 2 2

2

(2.6)

Esta equação, estimada para partículas pequenas, é usada para verificar experimentalmente e determinar valores de U_mf já que cada tipo das partículas testadas cai

dentro da faixa de numero de Reynolds, Re . O método usado no desenvolvimento de _mf correlações, no caso da velocidade mínima de fluidização de sistemas gás-sólido, envolve duas situações: a primeira parte de uma equação de queda de pressão em um leito fixo (conhecida como equação de Ergun (1952) para leitos porosos e que serve como ponto de partida) e o segundo método é puramente empírico.

2.5.3 Expansão do leito

A expansão do leito é um dos parâmetros mais importantes, assim como também a característica macroscópica mais reportada dos leitos fluidizados. O conhecimento do grau de expansão dos leitos fluidizados é essencial no projeto e operação por muitas razões tais como a definição da altura de alimentação e um adequado freeboard acima do leito (RHODES,

2008).

A expansão do leito depende do excesso de velocidade de fluidização, assim como também das propriedades das partículas e a geometria do leito. Conforme aumenta a vazão do gás, aumenta de forma proporcional a força de arrasto que exerce a corrente de gás sobre as partículas e logo após ultrapassar a velocidade mínima de fluidização é capaz de manter e aumentar a altura da superfície do leito.

A expansão do leito é um parâmetro fundamental na determinação de uma altura de um leito fluidizado requerido para um serviço particular, podendo ser definida como a proporção da altura média de um leito fluidizado e a altura do leito na mínima fluidização (H/H_mf ), ou

também expresso na taxa de expansão (H−H_mf/H ).

Este parâmetro pode ser determinado de forma simples, por intermédio da observação visual da superfície do leito expandido em condições ambientais e baixa velocidade de fluidização (KUNII e LEVENSPIEL, 1991).

2.6 SIMULAÇÃO DO ESCOAMENTO GÁS-SÓLIDO EM LEITOS FLUIDIZADOS

Devido aos significantes progressos na tecnologia computacional de alta velocidade, o entendimento da fluidodinâmica de sistemas envolvendo o escoamento gás-sólido se incrementou. As técnicas experimentais contribuíram para o entendimento do seu comportamento. O uso da dinâmica de fluidos computacional (CFD) é reconhecido como uma ferramenta na modelagem, simulação e projeto do escoamento gás-sólido em leito fluidizado, denominada também como experimentação numérica. Neste item é desenvolvida uma revisão de alguns trabalhos envolvendo o uso do CFD no estudo do comportamento do escoamento gás-sólido em leito fluidizado.

Para Van Wachem et al. (1998) é necessário o uso de uma malha fina quando a simulação numérica de um leito fluidizado gás-sólido está numa baixa velocidade de fluidização. Diferentes tamanhos de malha foram usadas para diferentes velocidades de fluidização com a finalidade de obter frações volumétricas similares dentro das bolhas em diferentes condições de fluidização (uma malha de 0,007 x 0,007 m para uma velocidade de fluidização duas vezes o valor da velocidade mínima fluidização e 0,01 x 0,01 m no caso de quatro vezes a velocidade mínima de fluidização). O resultado das simulações indicou uma razoável previsão do tamanho e da velocidade de elevação da bolha.

Enwald et al. (1999) executaram um estudo sobre o refinamento da malha e a validação da aplicação da teoria cinética do escoamento granular para uma aplicação do leito fluidizado borbulhante. O refinamento da malha demonstrou que um elevado grau de refino é requerido para uma fluidização em condições atmosférica. Dois modelos diferentes derivados da Teoria Cinética do Escoamento Granular (TCEG) foram usados para representar o tensor das tensões, uma simulação que levou a resultados bastante similares.

Benyahia et al. (2000) utilizaram satisfatoriamente o software FLUENT para modelar o comportamento do escoamento gás-sólido num leito fluidizado circulante usando um modelo bidimensional transiente baseado na abordagem Euleriana-Euleriana e incorporando a TCEG para o tratamento da fase sólida. Uma corrente ascendente de ar e partículas sólidas de catalisador da unidade FCC com um diâmetro de 76 m e uma massa específica de 1.712 kg/m3 foram modelados num reator com um diâmetro de 20 cm e uma altura de 14,2 m em uma entrada a velocidade do gás próxima da condição de mínima fluidização. Neste caso, as simulações predizem o comportamento multifásico razoavelmente bem como visto nos experimentos. Somente foi explorada a fluidodinâmica do leito em velocidades acima e na mínima fluidização.

Gelderbloom et al. (2003) aplicaram um modelo CFD utilizando o código aberto MFIX para simular um experimento industrial conhecido como colapso do leito. Estudaram muitos regimes fluidodinâmicos, incluindo a expansão do leito, borbulhamento e sedimentação do leito fluidizado. O resultado demonstrou que as simulações numéricas conseguem distinguir tamanhos de bolhas e taxas de colapso usando diferentes tipos de partículas do grupo A, B e C. Os resultados demonstraram que o uso de um modelo específico de arrasto e de um modelo para descrever o tensor das tensões da fase sólida, para partículas A e B tem pouco impacto na simulação do borbulhamento e colapso. Todas as simulações encontram-se dentro do erro experimental relatado.

Jakobsen (2003) desenvolveu uma comparação entre os diferentes esquemas de interpolação para o tratamento do termo convectivo na equação da quantidade de movimento. Os esquemas de primeira ordem (Upwind) são muitos difusivos e deveriam ser evitados. O

esquema de segunda ordem é mais estável e parece ser mais preciso; além disso, os esquemas de alta ordem apresentam boa exatidão, porém são mais dificultosos. O estudo demonstrou que os esquemas de integração implícitos no tempo não são usualmente tão eficientes como o esquema explícito devido ao tempo computacional requerido no processo iterativo. Com um passo de tempo maior, a precisão do esquema implícito decresce significativamente. A escolha do esquema de segunda ordem foi determinada em função da difícil escolha entre a precisão e o tempo computacional.

Syamlal e O’Brien (2003) estudou a decomposição do ozônio em um reator de leito fluidizado bidimensional usando um modelo de dois fluidos mais a TCEG. Os resultados da independência da malha foram concordantes com os dados experimentais reportados da conversão total sobre uma faixa de velocidades de fluidização e alturas iniciais do leito. Os resultados confirmam a capacidade do modelo em capturar quantitativamente o efeito da fluidodinâmica sobre a reação química em um leito fluidizado borbulhante. Também a circulação e os padrões de distribuição de sólidos concordam qualitativamente com as observações realizadas no leito.

O uso de um coeficiente de restituição de 0,99 para todas as funções de arrasto levou a previsões de borbulhamento vigoroso em velocidades abaixo da velocidade mínima fluidização, o qual não concorda com os experimentos. Sobre as mesmas condições de simulação, um valor de 0,9 para o coeficiente de restituição resultou num melhor ajuste com os experimentos. O resultado das simulações concorda muito bem com as medições da expansão do leito e qualitativamente com o padrão do escoamento gás-sólido. A previsão da queda de pressão foi relativamente próxima com as medições experimentais em velocidades superficiais acima da velocidade mínima de fluidização. Além disso, a previsão do perfil da fração volumétrica média apresentou similaridades com os resultados experimentais.

Zimmermann e Taghipour (2005) utilizaram o software FLUENT para resolver um modelo CFD baseado na abordagem Euleriana-Euleriana. Simularam a fluidodinâmica e a reação química de um leito fluidizado gás-sólido contendo partículas usadas como catalisador do FCC. Na simulação, os modelos de arrasto de Gidaspow (1994) e Syamlal e O’Brien (1989) superestimaram a força de arrasto exercida sobre as partículas e previram uma grande expansão do leito em comparação com os dados experimentais. Aplicaram um ajuste ao modelo de Syamlal e O’Brien (1989) baseado nas condições de mínima fluidização das partículas do FCC, e o resultado revelou uma melhor concordância com os dados experimentais.

Johansson et al. (2006) desenvolveram simulações numéricas no software CFX-4.4 com a finalidade de comparar a fluidodinâmica de um leito fluidizado usando diferentes modelos de fechamento e sistemas de alimentação do ar. Dois modelos diferentes para expressar a reologia da fase sólida, o primeiro modelo descreve a pressão da fase sólida por uma lei de potencia exponencial e assume uma viscosidade dinâmica constante e o segundo modelo descreve a pressão e a viscosidade dinâmica da fase sólida através da teoria cinética dos escoamentos granulares. Também foi estudada a influência da compressibilidade do gás.

Behjat et al. (2008) usaram um modelo baseado na abordagem Euleriana-Euleriana para estudar a fluidodinâmica e a transferência de calor de um leito fluidizado gás-sólido polidisperso. Resultado do estudo conclui que o modelo baseado nesta abordagem é adequado para modelar reatores de leito fluidizado industriais. Seus resultados indicaram que considerando duas fases sólidas, as partículas com menor diâmetro têm baixa fração volumétrica na parte inferior do leito e elevada fração volumétrica na parte superior e também a temperatura do gás se incrementa conforme se move ascendentemente através do reator devido ao calor da reação de polimerização levando a elevadas temperaturas na parte superior do leito.

2.6.1 Simulações envolvendo o estudo de modelos de arrasto

Van Wachem et al. (2001) compararam o efeito dos modelos de Gidaspow (1994) e Syamlal-O’Brien (1989) sobre a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado. O resultado demonstrou que o modelo de Syamlal-O’Brien (1989) prevê uma baixa queda de pressão e expansão do leito, além de pequenas bolhas.

Taghipour et al. (2005) executaram uma avaliação experimental e computacional da fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em um leito fluidizado bidimensional, avaliando o desempenho dos modelos de Syamlal-O’Brien (1989), Gidaspow (1994) e Wen e Yu (1966) por intermédio de simulação numérica usando o software FLUENT. Os resultados da simulação mostraram uma razoável concordância com os dados experimentais através dos perfis de fração volumétrica e de velocidade média dos sólidos.

Du et al. (2006) analisaram os modelos de Richardson e Zaki (1954), Gidaspow (1994), Syamlal-O’Brien (1989), Di Felice (1994) e Arastoopour (1990) na simulação numérica de um leito de jorro bidimensional usando o software FLUENT 6.1. Os resultados mostraram uma distribuição da fração de vazio muito mais complexa que em sistemas de fluidização normal. O estudo demonstrou que os modelos apresentaram boa concordância qualitativa com os experimentos, no entanto destaca ao modelo de Gidaspow (1994) como o mais próximo dos dados experimentais.

Hosseini et al. (2009) realizaram simulações numéricas de um leito fluidizado bidimensional em altas velocidades. O resultado da simulação determinou que o modelo de Arastoopour (1990) apresenta um melhor perfil de fração volumétrica sólidos.

Vejahati et al. (2009) executaram uma avaliação dos modelos de Di Felice (1994), Gibilaro et al. (1985), Hill-Koch-Ladd (2001), Syamlal-O’Brien (1989), Arastoopour (1990), Gidaspow (1994) e Wen e Yu (1966) através de simulações usando o software FLUENT 6.3.26. Os resultados foram validados com dados experimentais demonstrando que os modelos de Syamlal-O’Brien (1989) e Di Felice (1994) apresentam melhor concordância qualitativa.

Sobieski (2009) simulou um leito de jorro usando o software FLUENT avaliando o desempenho de diferentes modelos de arrasto. O resultado mostra que os modelos de Gidaspow (1994) e Syamlal-O’Brien (1989) são mais adequados na representação da fluidodinâmica.

Hosseini et al. (2010) estudaram os efeitos de diferentes modelos de arrasto sobre a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado usando o código MFIX, concluindo que o modelo de Syamlal-O’Brien (1989) e o modelo ajustado de Di Felice (1994) não são adequados para representar a fluidodinâmica do leito fluidizado.

Loha et al. (2012) avaliaram os modelos de Gidaspow (1994), Syamlal O'Brien (1989), Yang et al. (2003) e McKeen-Pugsley (2003) através de simulações numéricas usando o software FLUENT, no intuito de estudar a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em leito fluidizado utilizando partículas de 530 m. Os resultados apontaram que o modelo de Gidaspow (1994) se ajusta melhor com as medições experimentais da velocidade axial média das partículas.

2.6.2 Simulações envolvendo o estudo do coeficiente de restituição

Taghipour et al. (2005) estudaram o escoamento gás-sólido em um leito fluidizado bidimensional, reportando que a fluidodinâmica está diretamente vinculada ao valor do coeficiente de restituição. O resultado das simulações sugere um valor de 0,99 para simular a fluidodinâmica de um leito fluidizado acima da velocidade mínima de fluidização.

Trabalhos como o de Chandrasekaran et al. (2005) estudaram o problema da determinação experimental de parâmetros da fase sólida, estudando a fluidodinâmica de um leito com partículas de polietileno. No trabalho foi assumido um valor de 0,6 para o coeficiente de restituição como o mais adequado.

Wang e Ge (2006) pesquisaram e estudaram o efeito do coeficiente de restituição na fluidodinâmica do leito, utilizando micro partículas de vidro. Determinaram que o coeficiente de restituição deveria ter valores entre 0,99 e 0,99995.

Lindborg et al. (2007) pesquisaram a influência do coeficiente de restituição sobre parâmetros do leito fluidizado. Encontraram que o movimento das partículas sólidas é mais sensível ao valor do coeficiente de restituição. No estudo assumiram um valor de 0,997. Reuge et al. (2008) estudaram a fluidodinâmica de um leito de partículas de alumina, escolhendo um valor arbitrário de 0,8 para o coeficiente de restituição, demonstrando que seu valor parece depender do regime de fluidização assim como também foi o primeiro em avaliar o efeito do valor do ângulo atrito interno na expansão do leito através de simulações numéricas.

Hosseini et al. (2010) estudaram a fluidodinâmica de um leito fluidizado considerando um valor de coeficiente de restituição de 0,9 baseado no trabalho de Taghipour et al. (2005).

Jakobsen et al. (2010) estudaram a sensibilidade do modelo de arrasto e o coeficiente de restituição em leitos fluidizados borbulhantes e circulantes, concluindo que o coeficiente de restituição precisa ser estimado dependendo da vazão do gás e as propriedades das partículas e que esta variável tem menor influência em leitos fluidizados circulantes.

Pode ser observado das seções anteriores que a maioria de trabalhos utilizam pacotes comerciais CFD, tais como: CFX e FLUENT. No entanto, código abertos tais como o MFIX podem ser usados no desenvolvimento de simulações conservando o mesmo grau de aproximação (HERZOG et al. 2012).

3 MODELAGEM MATEMÁTICA

A modelagem matemática consiste no desenvolvimento de um modelo que permita a representação de um fenômeno físico através de um conjunto de equações diferenciais ordinárias ou parciais, e a modelagem numérica consiste de um método capaz e eficiente que permita a solução do conjunto de equações que constituem o modelo. O desenvolvimento de uma modelagem matemática geral que consiga descrever o comportamento do escoamento multifásico tem sido uma tarefa desafiadora para pesquisadores neste campo.

A modelagem do escoamento gás-sólido pode ser classificada basicamente em função da descrição da fase sólida. Quando a fase sólida é considerada como um conjunto ou grupo de partículas discretas as quais obedecem à lei de Newton, denomina-se abordagem Euleriana-Lagrangeana. Entretanto, se a fase sólida é considerada como um meio continuo, neste caso é chamada de abordagem Euleriana-Euleriana (E-E). Ambas as abordagens têm como objetivo predizer a fluidodinâmica do escoamento gás-sólido em qualquer aplicação de engenharia (VAN DER HOEF et al. 2008).

3.1 ABORDAGEM EULERIANA-LAGRANGEANA

A abordagem Euleriana-Lagrangeana (E-L), também conhecida como modelo da partícula discreta e/ou modelo do elemento discreto (DEM - Discrete Element Method), vem

recebendo mais interesse por parte dos pesquisadores em função do progresso computacional. A Figura 3.1 representa esta abordagem, onde um número finito de partículas sólidas é modelado baseado na abordagem de Lagrange. Através da mecânica clássica do corpo rígido aplicando a segunda lei do movimento de Newton, a qual inclui o efeito de forças externas, forças de interação com o gás e forças de interação partícula-partícula (colisões), pode-se descrever o comportamento individual e coletivo das partículas sólidas no escoamento. No entanto, a fase contínua é modelada baseada na abordagem Euleriana usando as equações clássicas de conservação da mecânica do contínuo (CROWE, 2006).

Figura 3.1 – Representação da abordagem Euleriana-Lagrangeana.

Fonte: adaptado de (RANADE, 2002).

Um fator limitante da abordagem E-L é o número de partículas sólidas consideradas, esta condição pode influenciar a precisão da simulação tornando-a dependente do recurso computacional utilizado (VAN DER HOEF et al. 2008).

Levando em conta a capacidade computacional, esta abordagem é capaz de modelar escoamentos multifásicos diluídos contendo uma fração volumétrica de partículas sólidas abaixo de 10 % (VEJAHATI, 2006).

Com os atuais recursos computacionais esta abordagem se limita a uma quantidade de partículas relativamente baixa na ordem de 105, em comparação à quantidade de partículas presentes em reatores industriais, que pode atingir um valor na ordem de 1012. Por essa razão, para simulações em escala industrial, esta abordagem é computacionalmente intensiva e pode somente ser aplicada em simulações principalmente em equipamentos em escala de laboratório (KUIPERS et al. 2005).

Figura 3.2 – Formação de uma bolha num leito fluidizado baseado na abordagem E-L.

Fonte: (KUIPERS et al. 2005).

3.2 ABORDAGEM EULERIANA-EULERIANA

A abordagem Euleriana-Euleriana (E-E) ou modelo de dois fluidos se caracteriza por considerar ambas as fases como dois meios contínuos interagindo constantemente. Esta abordagem define um conjunto de equações diferenciais parciais (EDP) conservativas da massa, quantidade de movimento e energia desenvolvidos num volume de controle ocupado por ambas as fases como dois contínuos interpenetrando (RANADE, 2002). A Figura 3.3 representa está abordagem, onde as frações volumétricas e as velocidades das fases estão definidas sobre uma malha composta de múltiplos volumes de controle.

Figura 3.3 – Representação da abordagem E-E.

No caso do escoamento gás-sólido, implica que a fluidodinâmica da fase sólida está representada por uma equação tipo Navier-Stokes, o que gera alguns termos especiais tais como pressão e viscosidade da fase sólida.

Segundo Enwald et al. (1996), a abordagem E-E precisa de leis de fechamento as quais permitem a representação dos termos não conhecidos das EDP conservativas. Estas leis de fechamento para a fase sólida são derivadas da Teoria Cinética do Escoamento Granular (TCEG) descrita por Lun et al. (1984) e basicamente está classificada em três tipos:

constitutivas, de transferênciaetopológicas.

a) Leis constitutivas permitem representar e descrever como se relacionam propriedades

físicas de ambas as fases, geralmente são obtidos de medições experimentais ou axiomas, no entanto elas não descrevem parâmetros de transporte na interface. Por intermédio das leis constitutivas são modelados, (1) o tensor das tensões viscosas, (2) a viscosidade dinâmica, (3) a viscosidade volumétrica e (4) a pressão para ambas as fases.

b) Leis de transferência são equações empíricas que descrevem as diferentes interações

que ocorrem na interface de ambas as fases. Através das leis de transferência consegue-se descrever e modelar o transporte de massa, quantidade de movimento e energia.

c) Leis topológicas descrevem a distribuição espacial de uma variável especifica do

escoamento, por exemplo, a função de distribuição radial.

Esta abordagem é muito útil na simulação do escoamento gás-sólido quando as frações volumétricas das fases são comparáveis ou quando a interação entre as fases domina significativamente a fluidodinâmica do sistema, conseguindo modelar o escoamento tanto em fase diluída e densa em diversas geometrias e a grande escala. Segundo Shah et al. (2011), a abordagem Euleriana-Euleriana é mais conveniente para simular reatores de leito fluidizado industriais grandes e complexos contendo bilhões de partículas sólidas, assim como simulações para o reator “riser” no processo de craqueamento catalítico do petróleo.

Figura 3.4 – Simulação do escoamento gás-sólido em leito fluidizado baseada na abordagem E-E.

Segundo Du et al. (2006), do ponto de vista do custo computacional, a abordagem E-E é mais adequada para aplicações práticas que envolvem escoamentos multifásicos complexos. O sucesso de uma simulação do escoamento gás-sólido depende de uma apropriada descrição da tensão dos sólidos e das forças interfaciais pela introdução dos conceitos de pressão e viscosidade a fase sólida. Uma vantagem desta abordagem é seu algoritmo de solução, o qual não é muito exigente computacionalmente, apresentando um menor tempo de cálculo comparado com a abordagem E-L. Gidaspow (1994) executou simulações de leitos fluidizados circulantes usando as duas abordagens e demonstrou que a abordagem E-E é a mais adequada para sistemas de escoamento gás-sólido. A modelagem de leitos fluidizados gás-sólido utilizando a abordagem E-E se mostra mais praticável em vista sistemas a escala industrial apresentam um grande número de partículas sólidas.

3.3 MODELO FLUIDODINÂMICO

Nesta seção é descrita a formulação matemática utilizada para o estudo do escoamento gás-sólido em leito fluidizado, a qual está baseada na abordagem E-E. A primeira característica é a incorporação do conceito denominado de fração volumétrica das fases representada pelo símbolo “α”. Este conceito representa o espaço ou volume ocupado por

cada fase, no qual as leis de conservação da massa, quantidade de movimento e energia devem ser satisfeitas.

Fr

aç

ão

d

e

va

zi

Dessa forma a somatória das frações volumétricas de ambas as fases em cada célula computacional é igual à unidade.

1

=

α

+

α_{g p (3.1)}

Conservação da massa para a fase gás

0 ) (

)

(α ρ + α ρ u =

t g g ∇ g g g

∂ ∂

(3.2)

Conservação da massa para a fase sólida

0 ) (

)

(α ρ + α ρ u =

t s s ∇ s s s

∂ ∂

(3.3)

Sendo, αg e αs as frações volumétricas, uge us as velocidades médias locais e por

último ρg e ρs as massas específicas da fase gás e da fase sólida respectivamente. Na prática

a fração volumétrica de gás também é chamada de fração de vazio. Nas equações (3.2) e (3.3) o primeiro termo à esquerda representa a variação temporal do acumulo de massa por unidade de volume e o segundo termo representa a variação do fluxo de massa convectivo.

Conservação da quantidade de movimento para a fase gás

D g g g g g g g g g g g

g

gρ u + α ρ u u = α p + α τ +α ρ g F

α

t ∇ − ∇ ∇ −

∂

∂ _{( ) ( )}

(3.4)

Conservação da quantidade de movimento para a fase sólida

D s s s s s g s s s s s s

s

sρu + α ρu u = α p p + α τ +α ρ g+F

α

t ∇ − ∇ −∇ ∇

∂

∂ _{( ) ( )}

(3.5)

Em que, pg e ps são as pressões das duas fases τge τs representa as tensões de