Efeitos de correlações e excitação de plásmon em estruturas semicondutoras

UNIVERSIDADE DE sAo PAULO

INSTITUTO DE FisICA E QUIMICA DE sAo CARLOS

DEPARTAMENTO DE FisICA E CltNCIA DOS MATERIAlS

Tese apresentada ao Instituto de

Fisica e OUimica de Sao Carlos

,

Universidade de Sao Paulo

para

a obtencao do titulo de Doutor

em Ciencias ftFisicaBasicaft•

-~ _

.-...-,_ . ~ .--.. "., ..,,..., - ,

.-Sao Carlos - .-Sao Paulo

\

1993

, S E R V I C O D E B I B lI O T E C A E I N . F 'O R " M A C A O - I F O S C

J

, F I S I C A .

1

-llj{ISS!~

UNIV~RSIDADE

D E S A O P A U L O

I"&tltuto de FIsica e Qulmlca de Sio Carlos

Fone (0162) 72-6222

_{Fax (0162) 72-2218}

Av. Dr. Carlos Botelho, 1465 Caixa Postal 369

CEP 13560.970- SAoCarlos· SP Brasil

MEMBROS uP. CO~iSSAn JUl6ADO~A DA JESE DE DOUiORADO Dt ANTONIC NEWTON BuRSES APRESENTADA AD

IN5TITUTO D~ FI5ICA E GUIMICA DE SAD CARLOS

1

DA UNIV2RSIDADE DE SAD FAULD. EM

30/04/1993

ao prof. Dr. Oscar Hipolito pelo constante apoio e orienta9ao

deste trabalhoi

ao prof. Dr. M. H. Degani,

a

prof~ Dr~ Vera

Beatriz Campos e

ao Salviano A. Leao pelas informa90es e discussoes valiosasi

a todas as pessoas, que direta ou indiretamente, contribuiram

para

que

este

trabalho

fosse

realizado,

e

em

especial:

ao

Anselmo D. de Oliveira,

a

Genilda D. Bernardes, ao Jose M. do

Carmo, ao Antonio C. de Faria, Ao Itamar J. Moraes, ao Marcio

A. R. Souza e

a

Celia M. A. Dantas.

Finalmente,

gostaria

de

agradecer

a

Heliana,

minha

esposa,

pela

compreensao

e

incentivo

nos

momentos

mais

dificeis

da

o

gas

de

eletrons

foi

estudado

em

tres

e

em

uma

dimensao,

sendo que no caso tridimensional

investigamos

0

gas de

eletrons oriundo de impurezas doadoras hidrogen6ides em germanio e

silicio.

Determinamos,

atraves de calculos numericos

autoconsis-tentes, no modelo sugerido por Singwi et aI,

0

fator de estrutura

S(q) e a correyao

de campo local G(q) para varias

densidades.

A

partir de G(q), obtivemos a funyao dieletrica estatica para fazer

a blindagem no potencial de Coulomb, do eletron com

0

ion de

impu-reza. Posteriormente,

determinamos a densidade critica de

impure-zas

em

que

a

transiyao

semicondutor-metal

ocorre,

atraves

da

analise da energia de ligayao, determinada por uma aproximayao

va-riacional. Para estudarmos os sistemas quase unidimensionais,

ge-neralizamos a teoria de Singwi et al., para incluirmos

0

modelo de

multisub-bandas

- duas

e tres

sub-bandas. Elaboramos

0

programa

computacional autoconsistente e entao aplicamos a teoria para

in-vestigarmos

as propriedades do gas de eletrons e do gas de

pola-rons em fios quanticos de GaAs/AIGaAs. No caso do gas de eletpola-rons,

investigamos

dois tipos de confinamento: parab61ico

e retangular

com barreira

infinita. Determinamos as excitayoes coletivas intra

e intersub-bandas,

0

fator de estrutura, a correyao de campo

lo-cal,

0

potencial efetivo e a funyao de correlayao dos pares, para

acopla-mento plasmons-fonons. Os resultados foram, em todas as situaQoes,

comparados com os resultados obtidos com a aproximaQao das

fases

aleat6rias

(RPA) demonstrando que

0

modele que utilizamos e muito

The

electron

gas

was

studied

in

three-

and

one-dimension. In the tridimensional case, we have investigated the

electron gas derived from hydrogenic donor impurities in germaniun

and silicon. We have determined, using self-consistent numerical

calculation,

in

the

model

suggested

by

Singwi

et

al.,

the

structure factor S

( q )

and the local field correction G

( q )

for

different electronic densities. From

G(q),

we have obtained the

static dielectric function to make the screening in the Coulomb's

potential of the electron with

impurity ion. Later, we

have

determineted

the

critical

density

of

impurities

when

the

semiconductor - metal transition occurs, from the analysis of the

binding

energy, determined from a variational

approach.

In order

to

study

the

quasi-one-dimensional

systems, we

have

generalized

the Singwi et ale theory, to include the multisubband model - two

and

three

subbands.

We

have

elaborated

the

self-consistent

computational

program

and

then

we

have

appl ied

the

theory

to

investigate

the

electron

gas

and

the

polaron

gas

properties

on

quantum wires of GaAs/AlGaAs. In the case of electron gas, we have

investigated two kinds of confinement: parabolic

and

rectangular

infinite height barrier. We have determined the inter- and

intra-subband excitations, structure factor, the local field correction,

the

effective

potential

and

the

pair-correlation

function,

for

several

thickness

(30nm,

50nm

and

lOOnm),

in

the

case

of

rectangular

confinement,

and

to

some

energy

differences

between

subbands

(1.7meV, 2meV and 6.8meV), in the parabolic

confinement

case, in large interval of densities. In order to determinate the

polaron

gas

properties,

we

have

used

rectangular

confinement

potential with infinite height barrier and we have calculated in a

self-consistent

way

the

coupled

plasmon-phonon

relations.

The

results

from the

random-phase

approximation

(RPA) are

presented

for comparison. It shows that this model is appropriate to treat

systems. We have compared, always as possible, with

experimental

and

theoretical

results.

Our

results

show

that

the

short-range

correlations

effects are important and should

not be

ignored

in

the properties research from the three- and quasi-one-dimensional

II.

TEORIA AUTOCONSISTENTE

NO MODELO DO GAS DE ELETRONS

HOMOGENEO

II - 1 . r n t r o d u c ; : a o 5

II-4. Fun9ao de Correla9ao

dos Pares ..•.•...•...•....•.

13

11-5. Teoria Autoconsistente

- STLS ...•.•.•..•.•.

14

III. APLICA~Ao DA TEORIA STLS EM SEMICONDUTORES DE MUITOS VALES

DOPADOS COM IMPUREZAS DOADORAS

IV. GENERALIZA~AO DA TEORIA STLS PARA SISTEMAS UNIDIMENSIONAIS

I V - I . I n t r o d u g a o 3 5

IV-3.1. Modelo de Duas Sub-bandas Com Apenas Uma Ocupada 42

IV-3.2. Modelo de Duas Sub-bandas Com Duas Ocupadas ...•... 49

IV-3.3. Modelo de Tres Sub-bandas Com Apenas Uma Ocupada ....•.•. 57

V. TEORIA STLS GENERALIZADA APLICADA AO GEQID COM POTENCIAL DE

IV-2. Formulac;:aoTe6rica •••••••••••••••...••••••••••••••••••••.•

66

IV-3.1. Modelo de Duas Sub-bandas Com Apenas Uma Ocupada ...•••••

69

IV-3.2. Modelo de Duas Sub-bandas Com Duas Ocupadas .••..•...•.•. 78

IV-3.3. Modelo de Tres Sub-bandas Com Apenas Uma Ocupada ••.••.•.82

VI.

TEORIA

STLS

GENERALIZADA

APLICADA

AO

GEQID

LEVANDO

EM

CONSIDERACAO 0 ACOPLAMENTO PLASMONS FONONS

V I - 2 . F o r m u l a < ; : a o T e 6 r i c a 9 0

V I - 3 . R e s u l t a d o s 9 3

23 3

excitons, polarons, polaritons) e excita90es de particulas simples

excita9ao

(~W

»1),

isto

e,

que a excita9ao possa ser considerada

q

como tendo vida longa. Em

urn

gas de eletrons,

a funQao dieletrica

~

c(q,w), possui conseqUencias significativas para as propriedades

~

blinda-Coulomb

(repulsao Coulombiana entre os eletrons) e ao buraco de

"exchange" devido aos eletrons com spins paralelos. Para

urnsiste-ma classico [1],

0

metodo consiste em substituir a fun9ao

distri-bui9ao de duas particulas, na equa9ao de Liouville, pelo produto

de duas fun90es distribui9ao de uma particula e de uma fun9ao de

correla9ao dos pares. Em um sistema quantico [1,2], como veremos

no capitulo II, onde descrevemos concisa e genericamente a teoria

STLS, obtem-se resultados analogos, levando-se em considera9ao, na

equa9ao de movimento das flutua90es de densidade,

0

termo formado

por uma soma de exponenciais com fases aleatorias - desprezado em

RPA - substituindo-o por sua media estatica.

No capitulo III, usando soluyoes variacionais na

aproxi-mayao de massa efetiva, determinamos a concentrayao critica de

im-purezas doadoras hidrogenoides em Germanio e Silicio,

tridimensio-nais. Consideramos a anisotropia de massa do eletron ligado e

fi-zemos a blindagem do potencial de Coulomb, da interayao eletron

-ion de impureza, com a funyao dieletrica estatica, determinada

atraves da teoria STLS que, como dissemos no paragrafo anterior,

leva em considerayao as correlayoes de curto alcance. Os

resulta-dos obtidos [14], sao comparados com os determinados com a

aproxi-mayao RPA, com outros calculos teoricos [15-21] e com as medidas

experimentais [22-25] da transiyao semicondutor-metal, em

impure-zas do tipo n. A boa concordancia entre os nossos resultados e os

obtidos experimentalmente, nos leva a concluir que, em

semicondu-tores com concentrayao de impurezas proxima da densidade critica,

ha necessidade de se tratar melhor as correlayoes de curto

alcance.

No capitulo IV, generalizamos a teoria STLS para

tra e intersub-bandas,

w(q ),

0

fator de estrutura,

S(q ), a

cor-x x

regao

de

campo

local,

G

(qx)' 0

potencial

efeti vo,

l/J(qx)'

e

a

fungao de correlagao

dos pares, g(x). Com

0

intuito de avaliarmos

de campo local

e

ignorada -

G(q )=0.

x

confinamento parab61ico. As grandezas w(q ), S(q ), G(q ), ¢(q ) e

x x x x

o

procedimento utilizado para investigar

urn

sistema de

muitas particulas e

atraves de

sua resposta a algum tipo de

estimulo externo. Pode-se, por exemplo, obter informaQoes a

res-peito das propriedades eletronicas e estruturais de urn material,

atraves do espalhamento de raios-X, de neutrons lentos, etc ..

Qualquer experimento efetuado em urn sistema fisico, relaciona a

excitaQao com 0 estimulo externo, atraves da medida da resposta ao

estimulo. Se a perturba9ao e suficientemente fraca, isto e, se a

interaQao entre a excitaQao externa e 0 sistema e fraca, a

respos-ta do sistema pode ser considerada linear e reflete as

proprieda-des do sistema nao perturbado, isto e, do sistema isolado.

Neste capitulo, para desenvolvermos a teoria STLS

seQao 1I-5 -, faremos inicialmente para completeza do trabalho uma

apresentaQao da teoria de resposta linear, de forma razoavelmente

condensada na seQao 1I-2. Na se9ao 1I-3, definiremos e daremos 0

significado fisico do fator de estrutura dinamico e estatico e, na

seQao 1I-4, apresentaremos, com urn breve comentario, a funQao de

gas de eletrons homogeneo ou plasma e sera nesta aproximaQao que

do sistema, as densidades

de cargas positivas

(p+)

e de cargas

ne-gativas

(p_)

sac iguais, em modulo.

Em seguida, vamos examinar

0

efeito de um potencial

ex-terno, ¢(t,t), aplicado ao metal que fara com que apareQa uma

flu-p(1,t) ~ ~

J

dw p(q,w>

ei

(q.1-wt>.

q

~

flutua9ao com

0

potencial de perturba9ao, ~(q,w):

onde

~

( q , w )

e

a

transformada

de

Fourier

do

potencial

externo,

x(~,w)

e a susceptibilidade generalizada - constante de

proporcio-nalidade da equa9ao

(11-2.2) - e a media,

<p(~,w»,

e realizada

sobre todos os estados do sistema. A

fun9ao

x(~,w)

-

que mede a

ira refletir as propriedades do sistema isolado, uma vez que e

ob-tida da divisao da flutua9ao da densidade,

<P(~,w»,

pelo

potenci-~

aI, ~(q,w), que a provocou,

0

que leva a uma grandeza independente

particulas

e formado por dois termos:

0

primeiro termo,

2

=\~

B-1 L 2 m

i

e

0

Hamiltoniano

do gas de eletrons

no fundo

uniforme de cargas

positivas,

onde ~(~)

e

a transformada

de Fourier da intera9ao

de

p ~ q

~ ~

-iq.r

=

E

e i

e a flutua9ao da densidade em rela9ao

a

densidade media

(p

= N)

-o

estamos tomando 0 volume L3 igual a unidade, neste capitulo. 0

se-L

+ ~ -iwt 71t

IH

=

t i m { p ->. q ,(q, w) e e + C. C. ),

ex -,

71 ~o ~ q

q

do infinitesimo 71 e uma garantia de que 0 termo IH possa ser

to-ex

De fato, como IH depende da ex

siderar IH como uma intera9ao fraca. 0 papel da constante 71 e

periodo de tempo.

Para determinar

a 5u5ceptibilidade

generalizada,

x(q,w),

~T~(t)

=

ih

~t ~(t),

onde ~

= ~

+ ~

•

T ex

A fun9ao de onda,

IJ1

(t), do Hami 1toniano

total

(~)

pode

T

ser

expandida

em

termos

da

base

constituida

pelos

auto-estados

(~n) de ~, isto

e,

do sistema nao perturbado

(~ ~n= En ~n)'

I

__

I_E t

=

a (t) ~ e h n,

n n

onde os coeficientes a (t) da expansao satisfazem as condiyoes de

n

contorno, a (t=-oo)= 0

, em virtude do sistema estar inicialmente

n nO

-7

lineares em ~(q,w), obtem-se:

p+ ]_{-7 e}-i(w

-q nO

hew - w + 111)

nO

) [

p ] i (w + w

-, W -7 e nO

q nO

h (w + W - 111)

nO

onde

( p )

= <0

I

pin>

sac

OS

elementos de matriz

entre

0

estado

-7 nO -7

q q

( SERVICO

DE

BIBLIOTECA··t<INFC::

i"/\C~AO -

IFOSC

freqiiencias de excitagao:

w

=

(E -E )/h. 0 valor

esperado

de

p ~

nO

n

0

q

nos auto-estados

do Hamiltoniano

~ , conservando

apenas termos

li-T

neares nos coeficientes

a (t), pode ser escrito

como:

n

L [

-iw

t

+

iw

t]

< p

(t»=

( p )

a (t) e

nO

+ ( p )

an(t)e

nO

.

~ ~ On n ~ nO

q

n

q

q

o

resultado

acima pode ser simplificado,

se usarmos

0

fate de

que se

(p ) ~

0,

entao

(p+)

=

0;

ou seja,

0

mesmo

par de estados

-7

nO

~ nO

q q

nao pode ser acoplado

simultaneamente

por

P

q

e

P~'

Substituindo

as

expressoes

dos coeficientes

a (t) em (11-2.9), obtemos

n

< P (t»=

i

q

+

P ~ 12

~ -i(W+1T)t\[1 ( q)no

( jJ (q ,W)e L W -W + 1T)

nO

n

Supondo

que

0

sistema

seja

invariante

por

uma

reflexao

+

t 2_ P 12 _ 12

temporal

(t~

- ),

1(p~)nol -I

(q)on

-I

(p~)no

'

e usando

q q

~ -IW t

<P

(t»

=

<p(q,w»

e ,

~ q

1

w + IT)

nO

1

w + w +

nO

(11.2.12),

que as condiyoes

de contorno

causal,

a (t=-oo) =

0 ,

de

freqiiencia

e

w,

e

igual

a

freqiiencia de excita9ao

"natural" w

do

nO

1

X - a

+

11) =p(

x:a

)-i71

o(x-a),

~

ReX (q,w)

~

IrnX(q,w)

=

T l \ " ' I ( p +~) 12

[0

(W - w ) -

0

(W + W )].

h L q nO nO nO

n

neutrons. Pode-se estudar, no entanto, 0 caso em que uma particula

de carga Ze, momento P e energia E =p2/2M,

e

espalhada pelo

sis-e e e e

HHlH

int

=

+

p ~

q

onde

R

e

e

a posi9ao da particula. Vamos supor que a particula seja

a-plicada

para descrever

0

espalhamento.

De acordo

com a conhecida

regra de cure da teoria de perturba9ao

de segunda

ordem, a

proba-bilidade por unidade de tempo, W(q,W), de que a particula

transfi-ra momento, hq, e energia, hW, patransfi-ra

0

gas de eletrons

e dada por

W(q,W)=~

[4 1 lZ e 2 )

2\

I ( p + ) 12

cS(w

-

W )

h2 2 ~ 4 nO nO

q

n

q

~

W(q,W)

=

onde definimos 0 fator de estrutura dinamico, S(q,w), como

+

( p ~ ) nO e w

no sac as mesmas especificadas na Se9aO

q

Embora 0 fator de estrutura dinamico, S(q,w), seja bem

definido em q=o na eq. (11-3.3), s6 nos interessam seus valores

para q * o , pois a transferencia nula de momenta s6 ocorre quando as

niremos 0 fator de estrutura, de forma a que seja igual ao da eq.

~ ~

(11-3.4) para q*O e zero para q=O.

Ihamento.

E

a maxima informa9aO que se pode obter sobre as

ro, todas as freqUencias de excitacao

(w )

sac sempre positivas.

nO

enquanto a susceptibilidade

generalizada pode ser obtida de

S(q,W)

x(ctw)=

fdW'S(q,w')

[w - ~ ,

+ ill

-00

integrar

0

tator de estrutura

dinamico

em w, para obter

0

valor

medio de S(q,w), denominado de tator de estrutura estatico:

00

S(q)

= ~

J

dw

S(q,W).

o

claro, certas condi90es experimentais sejam satisteitas. A rela9ao

-~

~

entre

0

tator de estrutura,

S

(q), e a susceptibilidade,

;t'(q,w),

- ~ h

JOO

~

S(q)=-

rrN

dw Im X ( q , w ) .

o

-~

.

fator de estrutura, S(q), pode ser escrlto como

probabilidade de se encontrar uma outra particula a uma distancia

r da origem. Entao, a fun9ao g(t), expressa a probabilidade que,

se uma particula

e

observada em uma determinada posi9ao t , outra

o

~ ~

particula sera encontrada em r +r.

Vamos investigar

0

sistema eletronico, como

ja

expusemos

~

<p(q,w»

x ( q , w ) =

-4> (q,w)

Para determinar

x(q,w),

devemos desenvolver urn metodo que descreva

e p ~ e dado por (11-2.3).

q

o

segundo termo de ~ comuta com

p

de modo que 0

comuta-q

rees-Para analisarmos

0

carater oscilat6rio do sistema, bem como, para

conveniente calcularrnos a segunda derivada, ou seja:

ih ~._~

= [~

_~,

IHJ

q q

~ ~

• • [ h q2 qo Pi ] 2 i~q

r

p ~ = -I

-2-m -+-m -- e- 0

i-I:

q i

q

~ c p ( q ')

~~

qoq'

m p ~ ~ p ~ •

q-q' q'

Separando no segundo termo

a

direita, a parcela em que

q=q',

podemos escrever:

~~

qoq'

m

p ~ ~ p ~ •

q-q' q'

~'::~_ •••.. ,:.o., .•. , •.•• ~

ciais com fases que variam aleatoriamente, de modo que grande

par-~ par-~

q=q',

e

da

ordem

de

N.

Esta

aproximaQao,

tem-se

revelado

1

---

_m

.~ ~

~ ~

.~ ~

~ ~

<'L. _e

1(q-q')o(r -~»_

i J - - N -1 <'L. e

1(q-q')o(r -r»_-S(~ ~

i j - q -q ).

1

--

_m

P ~ ~ ~

~ ['P(q')q'oq

q ~

q'

[

-~~

_S(q-q')-N

_{o~ ~}

]

₌

q-q'

,0

P

_{~ E'P(q') qoq' S(q-q'),}

~ ~ ~ ~ ~ q ~

q'

onde

0

termo

No~ ~

foi introduzido

para eliminar

a restri9ao

de

q-q'

~*~,

que havia no somat6rio. Redefinimos, entao, 0 novo fator de

S(q)

=

S(q) -

No

~

q,O

A nova defini9ao de S(q), que

e

zero para

q=o

e coincide

com

S(q)

para valores nao nulos de

q,

significa na pratica, em

ex-P~

q

= -

I[

i

-+ -+

qoq'

2 q

-+[

-+-+

]

!p(q)

S(q-q')-l

obtida na aproxima9ao RPA e pode ser tratada igualmente, apenas

movimento para as flutuagoes da densidade

(p~),

determina-se

0

va-q

lor esperado da transformada

de Fourier da flutuagao da densidade

numerica

de particulas,

<p(q,w».

Substituindo

este resultado

em

XO

(q,w)

~

X

(q,

w)

=

---~--o-~--,

1- c p ( q )

X (q,w)

o ~

onde X (q,w)

e

a susceptibi1idade na aproximayao de Hartree-Fock,

o ~ 1 \

X (q,w)

=

-h- L

n~ ~ n~

p+q,er - p,er

w - w

+ ill '

~ pq ~

p,er

onde h

w

_nO

=

h

w~

=

- - - r - T

pq

h2 ~ ~ 2

2m (2 q 0 P + q ).

Usualmente 0 potencial efetivo autoconsistente,

~(q),

e

escrito na

..--..."f!., ....•. ,.".

SERVICO DE BIBLIOTECA E INFO .' ~.;AO - IFOSC

tido da teoria STLS fazendo a corre9ao de campo local, G(q)=o, na

eq.

(11-5.18).

As eqs.

(11-5.17)

e

(II-S.19)

juntamente com

(11-3.8),

resolvido numericamente, para que se determine as propriedades do

gas de eletrons - fator de estrutura, S(q), Frequencia de plasma,

w ,

etc .. A funyao de correlayao dos pares, g(1), e obtida

utili-p

Com 0 intuito de determinarmos a densidade critica (N),

eletron ligado a uma impureza. Como potencial de interagao,

consi-cance sac levados em considera9aO atraves de uma corre9ao de campo

17. 19 - 3 d'

aproximadamente em torno de

10

a 10 cm

. To aVJ.a,

efetiva r =(l/a·) (3/4nN)

1/3,

determinada como fun9aO da densidade

s

eletronica (N) e alta, pois ao calcularmos 0 valor de r ,

utiliza-s

• 2· 2 •

mos 0 raio de Bohr efetivo: a =e

h

/m e, onde m

e e

sao,

respec-o 0

tivamente, a massa efetiva e a constante dieletrica do

semicondu-sidades

(2~r ~7) - cosideramos os valores tipicos das constantes

s

• -8 • -8

(a

=38.40xl0

cm e a .=19.33xl0 cm) bem

como

a degenerescencia

Ge SJ.

~

espa90 R, do germanio e do silicio sac elips6ides da forma,

k

2

z

+ 2

m

z

com m e m

representando as massas efetivas no plano x-y e na

IH= _

!:2[!

2

m

Realizando uma transforma9ao de escala, podemos obter um vetor,

q,

, d 1 't . t" • ( 2) 1/3

para um gas

e e e rons com massa

ISO

roplca, m= m m

, a

par-z

tir do vetor anisotropico ~:

q

=

( R -1 / 6 k R -1 / 6 k Rl / 3 k)

x' y' z '

onde, R=m 1m, e a razao das massas. 0 potencial de interayao entre

z

V(q)

~

c(q,O)

('~ ~)

exp J.q

.r ,

2

4 rr e

2 ~

C q c(q,O)

°

v

(g) e a transformada de Fourier do potencial Coulombiano sem blindagem e C(q,O) e a funyao dieletrica estatica do sistema. Na

~

c(q,w)

=

1 +

° ~

Q (q,w)

e a polarizabilidade,

XO(q,W)

e a susceptibilidade de um gas de

e-letrons nao interagente com massa isotr6pica m·. G(q) e a corregao

de campo local, expressa em funQao do fator de estrutura S(q) por

~ ~

q

. q'

[S

(Iq - q' I) -

1]

IQ'I

2

e esta relacionada com

0

potencial efetivo autoconsistente,

¢(q),

Fechando 0 esquema autoconsistente, 0 fator de estrutura

S(~) e relacionado com a fun9ao dieletrica c(~,w) atraves da

ex-S(~) = _ h

IT N V(~)

1 ] •

C(~,w)

o conjunto 0 qual resolvemos autoconsistentemente para calcularmos

G(~) e, posteriormente, c( ~ , w ) . As partes real e imaginaria de

o ~

X (q,w), usadas neste trabalho sac dadas, respectivamente, por

3 N

{ 1 + (

E

) . [(A2 - O~) E n

I

A + 0

I

-o ~ F +

Rex

(q,w)

₌

_4E

-- 0

A3 A

F +

Enl

A + 0

_IJ}

2

O~) (III-2.10)

- (A

-A - 0

e

o ~

3

IT

N[

2 2 2 2

1

Imx (q,w)- 3 (A -OJ 8(A-10_1)-(A -0)8 (A-IO+ I)J '

-A = 2 .;

E

(q)

E

F

"

E(q)=h q /2m ,

22·

onde q

=

(3712

N/v)

1/3

e

e

(X),

e

a func;ao degrau.

F

E

=

J

r I J ( p )

•

IH r I J ( p ) d't,

(

_ e x . 2 ) 2 D 3 / 2 ) 1 / 2 e ( e x . 1 2 - 1 ) p _ e - ( e x . 1 2 - 1 ) p

< I> ( p ) = _(4 p_

---4 n e x . p

(maim -) y2 + (m a I m - ) Z2] 1 / 2

z z

d D - 1 / 3 D 2 1 3 A tAl t D

on e a = P

D

e a = PD. s res eras gregas, e x . , P e

D,

z

- 2 -2 • - -422

a =c him e , e Rydberg efetJ.vo, R =m e 1 2 c h , respectivamente.

o y 0

Nestas unidades, a expressao para 0 valor esperado da energia

to-1

= 24

2

a + 2 a ) (4- e x . )

e

a

transformada

de

Fourier

da

densidade

de

particulas,

•

~ (p).~(p),

no espa90 dos momentos. Assim, nao

e

necessario

conhe-resolvemos numericamente as equa90es autoconsistentes, (111-2.5),

(111-2.7), e (111-2.9) para encontrarmos c(q,O) e entao

posterior-Nas figuras 111-3.1 e 111-3.2, mostramos a energia

po-tencial V(1)= r U(1) de urn eletron ligado a urna impureza, como

• 17 - 3

calculos forarn realizados com densldades N=2.5x10 cm para 0

ger-18 - 3

1.0

0.5

0.1

0.1

COULOMB

THOMAS

-

FERM I

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

FIGURA III-3.1 - Energia potencial, v(1)= r U(1), em funyao de r,

de um eletron ligado a um ion de impureza doadora

em germanio. U(1) e r foram calculados, respect

i-.

..

.•.

COULOMB

1.0

THOMAS

-

FERM I

0.5

STLS

0.0

0.1

0.5

0.9

1.3

1.7

2.1

FIGURA III-3.2 - Energia potencial, v(1)= r u(1), em fun9ao de r,

de um eletron ligado a um ion de impureza doadora

em silicio. u(1) e r foram calculados, respect

i-•

•

vamente,

em unidades

de Rea

e os parametros

• • y 18 -3

de eletrons com razao de massa, R=mjm =0.2

os resultados para

z

vales

v = 1 ,

para duas densidades diferentes: r =1 e r =4.

Ja

na

fi-s s

com r =2 e V=l, para um sistema eletronico anisotropico

(R=0.2) e

s

varia9ao de r , do que na aproxima9ao RPA. Os resultados obtidos

s

com densidades eletronicas pr6ximas dos valores criticos. Os

valo-res das densidades criticas adimensionais (N1/3a-), obtidos para

1 .0

- - - - .

~.

/

/

-

_LL

/

/

rr

"-

_cr

0 .5

R P A ( rs = I )

-/

(j)

- - - -

_{S T L S}

_{( rs = I )}

R P A

(rs

=

4 )

_ .

-...

_{S T L S}

_{(rs = 4 )}

FIGURA 111-3.3 - Fator de estrutura como funyao de qjq para urn

F

gas de eletrons tridimensional anisotropico,

R=O.2, para duas densidades diferentes: r =1 e

1.0

...-: '

/ . - ~

/,,/,

I .

-I -I

I :

/

_,'_,

I I

/

:

-

I

, ',

lL

IJ

0-f :

.•...•••.

0,5

I . :

RPA (R=0.2)

CT

?

-

(j) _{I :}

S TLS

(R = 0.2)

-I:.

I

-.-

RPA ( R = I)

I i

...

STLS(R=I)

'/

0.0

0

2

3

4

5

q/qF

- Fator de estrutura como fun9ao de qjq para urn

F

gas de eletrons tridimensional, calculado com

densidade r =2, para urn sistema eletr6nico

5

isotropico, R=l, e para urn sistema eletr6nico

0.0

/" /"

.

./ ~ ./ ~/

.

_/

.

~

-0.1

_/

;/

y

~

./"

.

/I

*

>,

.

.~

-0.2

1 /

RPA,Ge

n:::

1 /

---

_STLS,Ge

w

I i

-.-

RPA,Si

...

_STLS,Si

-0.3

- 0.4

0.1

0.3

I/rs

FIGURA 111-3.5 - Energia de ligayao em unidades de R-, como funyao

y

de l/r , para urn eletron nos potenciais RPA e

s

STLS. Os calculos forarn realizados para irnpurezas

extraidos da referencia

[19], que utiliza

0

modele de Berggren, e

aproxima<;;ao de Thomas-Fermi

ou entao

de

Lindhard.

Podemos notar

(N1/3

a-=

0_.23,

TABELA

III

-3.1

- Val ores

de

densidades

cri ticas

(N

1/3

a .) para

0 c

Thomas-Fermi,

fun9ao tentativa

hidrogen6ide

a

Lindhard,

fun9ao tentativa

hidrogen6ide

a

Thomas-Fermi, funyao tentativa de Hulthenb Lindhard, funyao tentativa de Hulthenb Hubbard-Sham, funyao tentativa de Hulthenb

ANISOTROPICO

h .d _{0.10 0.10}

T omas-Ferml

Lindhardd 0.22 0.25

Modelo de Berggren e 0.206 0.202

RPA, nossos resultados 0.284 0.243

STLS, nossos resultados 0.249 0.182

Experimentalf 0.23 0.20

a - [15]

b - [14]

c - [18]

d - [16]

e - [19]

f - [22-25]

com

0

potencial STLS - de 0.249 e 0.182, respectivamente,

para as

densidades criticas

(N

l / 3

a·)

do germanio e silicio - mostram que

Com

0

recente desenvolvimento

da tecnica de crescimento

de cristais, tornou-se possivel preparar microestruturas

semicon-dutoras (heteroestruturas, POyOS quanticos, super-redes, fios

quanticos e pontos quanticos) corn dimensoes e dopagem

predeterrni-nadas. Os fios quanticos, por exemplo, foram idealizados ern 1980

por Sakaki [35] e realizados experimetalmente, ern 1982 por Petroff

et al. [36]. A ideia original, e a de urn gas de eletrons quase

unidimensional (GEQ1D), isto e, urn gas confinado ern "uma dimensao"

espacial corn 0 movimento eletronico quase livre ao longo do

com-primento do fio. Devido tanto ao seu interesse fundamental quanta

ao seu potencial tecnol6gico, este sistema vem sendo muito

inves-tigado nos ultimos anos [11,27,37-46]. Tecnicas como litografia

ultrafina ern conjunto corn corrosoes qUimicas seletivas, tern

pro-porcionado a possibilidade de confinarmos 0 gas de eletrons ern

quase uma dimensao, que sac os chamados fios quanticos, ou mesmo

ern quase zero dimensao, os chamados pontos quanticos, uma vez que

as dimens6es destes sistemas sac menores (ou comparaveis) ao livre

caminho medio dos eletrons. Devido ao confinamento, os estados

quanticos sac entao localizados na direyao lateral, modificando as

propriedades do GEQ1D. Uma caracteristica importante desse novo

sistema, e que sua mobilidade eletronica e extremamente alta,

maior do que nos sistemas eletronicos bidimensionais. Portanto, as

pos-sibilita-nos investigar os efeitos de muitos corpos em urn sistema

real, com dimensao menor do que 2.

Os efei tos de mui tos corpos no GEQ1D veem sendo, nos

ultimos anos, sistematicamente investigados tanto do ponto de

vis-ta te6rico [27,40-43] como experimental [44-47]. Dentre os

traba-lhos te6ricos, muitos deles foram realizados para investigar as

propriedades dos plasmons [27,40,42], em fics quanticos e em

super-redes de fios

[41].

Como a separayao usual de energia entre

as sub-bandas em urn fio quantico e da ordem de meV, a

espectrosco-pia infravermelha distante e uma das principais tecnicas

experi-mentais para estudar as excitayoes eletronicas no GEQ1D [44,46].

Embora os experimentos realizados [44], demonstrem que 0 efeito da

quantizayao das sub-bandas e importante para

°

entendimento do

mo-vimento coletivo dos eletrons ern fios quanticos, varios estudos,

sobre excitayoes de plasmons, foram realizados sem levar,

explici-tamente, este efeito ern considerayao. Dos trabalhos ja realizados,

que consideraram explicitamente 0 efeito de multisub-bandas ern

fi-os quanticfi-os, a maioria utilizou-se da aproximayao RPA onde nao se

considera as correlayoes de curto alcance. As correyoes realizadas

ern RPA para calcular as propriedades do GEQ1D, no modelo de

multi-sub-bandas, sac do tipo Hubbard [39], nao autoconsistentes.

Neste capitulo, generalizamos a teoria STLS para

in-cluirmos 0 modele de multisub-bandas ern fios quanticos

retangula-res, corn POyO de potencial quadrado de barreira infinita.

Calcula-mos as excitayoes de plasmons intra e intersub-bandas, 0 fator de

V(y,z),

e quase livre na dire9ao do fio quantico

(GaAs) com vetor

de onda k=(k ,0,0).

0

potencial

do fio quantico,

e

em principio,

x

originario

da solU9ao autoconsistente

das equa90es

de Schr6dinger

( m j 2 ) 1/2

I

E <E

n

(E - E )-1/2

n

dissemos

na seyao IV.l, se a densidade

eletr6nica

e a temperatura

forem suficienternente baixas

(k

T«E

-E ),

apenas

a sub-banda

rnais

B 2 1

baixa

e

ocupada,

e

a

equa9ao

(IV-2.1)

pode

ser

simplificada

(E =0): o

D(E)

=

(2jhrr) (rnj2)1/2 E -1 I 2•

em E=E.

n

eletronicos 3D e 2D, a densidade de estados e proporcional a E1/2

e EO, respectivamente. Desde que muitas quantidades fisicas estao

2

2

e

x ')

2+

(y_ y')

2]172'

2

UC (qx' y - y ' )

=

~

e K0 (

I

qx (y - y ' )

I ) ,

onde

Ko(X)

e a fun9ao modificada de Bessel de segunda especie de

ordem zero, q

e

0

vetor de onda do eletron na dire9ao x e

c

e a

x

~ ~ e 2

J

d k

o

F .. o(k,q)

IJ<-m x

F · ·o (k ,q ) =

J

d n

J

d n '

lJ< -m x

2 2 1/2 •

x e x p [-(k + q ) !n -n '

I

]¢0("17')¢ (n ')

x <- m

sub-bandas para

0

movimento dos eletrons e

¢.

(y) e a fun9ao de

on-1

S " o (q)

l)<,m x S1).. <,m0 (qx,W ) ,

onde

0

fator de estrutura dinamico,

S " o (q

,w),

e

relacionado com

1) <,m X

a susceptibilidade generalizada atraves de:

S ··O (q)

=-lJ<-m x 1m X· .

0 (q, w) ,

lJ<-m x

onde p=l/L e a densidade eletronica unidimensional do sistema. No

x

Xij tm ( qx ' w)

Xtm(qx'w)

o

H 0jm 'l'i j

t

m(q) X

tm (

qx ' w)

o ..

e 0 delta de

lJ

L

K x

nF ( Cm ( kx )) - nF (c t (kx+ qx))

h(w +

io)

+ (c (k )) - ( c o ( k +q ))' (lV-2.11)

m x <- x x

'l' ..

0 (q

)=(1

-

G · ·o (q

))vc..

0 (q)

00

G ..

n

(q )

= - - - - l- - I

dq'q'V ~ .

n (

q') [S..

n

(q -q' )-1]

lJ Lm x rrpq VC () x x lJ<.m x lJ<.m x x

x ij

im

qx

0

Se

fizermos

G "

e

(q )=0,

lJ

m

x

C

l/J •• 0

(q) =V ..

0

(q).

Por outro

lado, se cons

ide-lJ<.m x lJ<.m x

recaimos numa equa9ao do tipo

(11-5.16), para

0

As equaGoes (IV-2.8), (IV-2.10) e (IV-2.13) constituem

0

g. ' 0 (x)= 1 +

lJ<.rn

1 r r p

CXl

J

dq

[s ..

0 (q)

-lJ

cos ( q x),

x lJ<.rn x x

o

bandas. Deterrninarnos 0 fator de estrutura - S,.O (q) -, 0

poten-lJ<.rn x

cial efeti vo - ljJ • • 0 (q) -, a relac;:ao de dispersao de plasrnons

-lJ<.rn x

W (q ) - e a func;:ao de correlac;:ao dos pares - g .. 0 (q) - para

di-x lJ<.rn x

1 - 'Ii X

=

0

0000 00

1 - 'Ii X = 0,

1010 10

• 4 2

R =rne1 2 c h ,

y

•• • 2 2

(qxa ), onde a e 0 raio de Bohr efetivo: a =ch I r n e . utilizarnos

urn fio quantico de GaAs/AlGaAs onde os eletrons corn densidade

5 - 1

largu-2.5

2.0

,/ ,/ ,/ / ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/

,/ /STLS

0..

3

1.0

~

0.0

0.0

FIGURA IV-3.1a - Relayao de dispersao intra-sub-banda da sub-banda

mais

baixa

calculada

de

acordo

corn a modela de

duas sub-bandas, corn apenas uma sub-banda

ocupa-da.

A

1inha

tracej ada

coresponde

a

aproximayao

RPA e a linha continua

a

aproximayao STLS. A area

hachurada

representa

a

espectro

de

excitayao

intrasub-banda de particula unica. Os parametros

e as constantes

JGa~f) usados

no calculo

foram:

L=30nm,

p=3.27xI0

cm

,m=O.067m

e c=12.9.

e

'SERVI<;O OE

BiBCiOTEC~:~~:~f(~'

,,;,'~ro-

IFOSC

~5

*

_~

~

""'--"

~

RPA

:3

- -

-~4

_STLS

3

0 .0

FIGURA IV-3.1b - Excita<;:oes coletivas intersub-bandas, entre a primeira e a segunda sub-banda, calculadas no mo-delo de duas sub-bandas, com somente uma sub-banda ocupada. A 1 inha tracej ada corresponde

a

aproxima<;:ao RPA e a linha continua

a

aproximayao STLS. A area hachurada corresponde ao espectro de excita<;:ao intersub-bandas de particula unica. Os parametros e as constantes utilizados foram

sub-banda

ocupada

e utilizando

os mesmos

parametros

da

figura

depolarizayao: para q=O,

a frequencia das excitayoes coletivas

e

x

-2 0

16

_{R P A (L = 3 0}

_{n m )}

S T L S

(L = 3 0 n m l

-

- . -

_{R P A}

_{(L = 5 0 n m l}

•

12

0 - -

S T L S

(L = 5 0 n m l

)(

CT - - - -

R P A

(L =

1 0 0

n m )

~

8

...

S T L S

(L = IO O

n m )

o

0 . 0

-.--.

--.-

-...

1 .0

q

_x

a·

FIGURA IV-3.1c - Potencial efetivo, eletron-eletron, da sub-banda

mais baixa, calculado com

0

modelo STLS general

i-zado, para

fios quanticos de GaAs de diferentes

espessuras,

com

a

mesma

densidade

utilizada

na

1.0

-•

0

)(

0.5

RPA(L=30nm)

rr

(J)

STLS (L=30nm)

-.-

RPA(L=50nm)

----

STLS(L=50nm)

----

RPA (L=IOOnm)

...

_{STLS(L=IOOnm)}

0.0

0

2

3

4

5

•

qxo

FIGURA IV-3.1d - Fator de estrutura do gas de eletrons quase

uni-dimensional

de

urn fio

quantico

de

GaAs,

com

a

densidade

utilizada

na

figura

(IV-3.1a),

onde

apenas

a

primeira

sub-banda

e

ocupada.

Diferenyas, relativamente grandes, sac observadas

entre as aproximay6es RPA e STLS, principalmente

quando consideramos fios quanticos com L=30nm.

, SERVIC;:O DE

BIBLIOTECA-E"'l;,.if::

___ , FISICA

'-CAO - IFQSC'

_-~--1.0

0.8

0.6

-•

_c

0.4

RPA{L=30nm)

...•.•..

x

_STLS(L=30nm)

0.2

0\

RPA (L=50nm)

-.-0.0

-- --

STLS(L=50nm)

- - - -

RPA (L=IOOnm)

-0.2

...

STLS (L= 100 nm)

-0.4

0

2

3

4

5

x

/0

••

I - III X

10

= 0 ,

1010

I - I l l X =0

5 -1

com densidade eletronica p = 4 . 9xl0 cm . Notamos atraves das

figu-•

respectivamente: 0 potencial efetivo ~ (q a ), da segunda

sub-1111 x

•

fator de estrutura S (q a )

1010 x '

•

•

•

0), e 0 fator de estrutura ST (qxa )=Soooo(qxa )+Sl111(qxa ), das

intra-sub-bandas (0-0) e (1-1). Como na se9ao IV-3.1, notamos, a

•

tor de estrutura S (q a) tern urn comportamento similar ao

calcula-T x

nao e igual a zero para q =0. Isto se deve ao fato de que as x

frequencias de plasmons nao sac nulas em q =0.

1.2

t:lt

3

~

0 .4

0 .0

.0

R P A (E S T .

F U N D A M E N T A L )

I ' " , . .

,..

,..

,..

,..

,..

,..

,..

,..

,..

,..

f " ,..'"

RPA ,.. ,...,..

,.. "',..'"STLS

~

,..

, . . . '"

,.. ,..

,.. ,..

_,..

I ~

~

~ - I • • • : '0

~ ...- ...

-- ? ~

RP A

to··' 0 0 : • • • • . '

;- , • • t • : : : : : : • 0 : - -

STLS

...

:

....

"

...

: : .

. . .

I' ••: 1 : ' : ~ : : • • -• -• -• -• s c .

-.2

*

q

a

x

FIGURA IV-3.2b - Rela9aO de dispersao de plasma

intra-sub-banda,

primeira

e

segunda

sub-bandas,

de

aeordo

com

0

modelo

de duas

sUb-bandas,

onde

duas

sub-bandas

sac oeupadas. As duas

linhas

superiores

eorres-pondem ao estado fundamental e as duas inferiores

ao primeiro estado exeitado. Os parametros usados

5 - 1

~

, / , / , / , / , /

, /

, / .'

RP A " ." ."

-

.'

--

-

-

.--

.-- .

.

.

-

...

....

_.-

..

-0 .6

r , t , T , t +

-. 0

. 1

. 2

*

. 3

. 4

qxa

1.5

I I

-'-

-

.•... .•...

.•... .•...

R P A

....• .•... .•... ....• .•... ....• ....•

1.0

-..•..

..•..

....•

-~

..•..

..•.•.

*

....•

-ro

.•...

-><

---....

•.•..

-crt

-

..

-

-

-

~

'--'

S T L S

~

0 .5

-0

L = IO O O A

-.'.

~

-

.

0 .0

, - - - , I r - - - , I r - - - -

L

0 .0

0 .5

*

1 .0

q x

a

FIGURA IV-3 .2d potel1cial eteti vo da segunda sub-banda, ~ <q a ), calculado com a aproxima9ao STLS

ge-1111 x

neralizada, para tios quanticos de GaAs com

5 -1 '

L=lOOnm e p = 4 . 9xlO cm . 0 resultado Obtldo com

1.0

._ .••. _ •• _; _;.._ ~:-~- :..: .~ r~· .•..•

----...

'... ".-

--.

~.

-

-STLS.··· ",./

,

,,-,:;RPA

I . " /

//

~

*

_ro

~><

0.5

-..."

rn

•

:

/ ;' / ,

.

, .I . 'I . '1

.

, " I //

· i '

.;

0.0

-r---

...

lrrI"'T 'I+

-o

12*

3

4

q x

a

FIGURA IV-3.2e - Fator de estrutura do gas de eletrons quase

uni-dimensional

para

urn

fio

quantico

de

GaAs

5 - 1 .

(p=4.9xlO

cm

e

L=lOOnm),

conslderando

espalha-mentos

intersub-bandas,

no

modelo

de

duas

sub-bandas,

com

duas

sub-bandas

ocupadas.

A

linha

pontilhada

coresponde

a

aproxima9ao

STLS

e

a

linha tracejada

a

aproxima9ao RPA.

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1:-1./.

~'

2

*

q

a

x

FIGURA IV-3.2f - Fator de estrutura do gas de eletrons quase

uni-dimensional

em

urn

fio

quantico

de

GaAs

5 -1 0d

(p=4.9xl0

cm

e

L=100nm),

conSl erando

espalha-mentos intra-sub-bandas:

(0-0) e (1-1), no modelo

de duas sub-bandas, com duas sub-bandas ocupadas.

o

fator

de

estrutura

total,

representado

pela

linha

superior

continua,

e

obtido

pela

soma do

fator de

estrutura

da

segunda

sub-banda,

repre-sentado pela linha inferior, e

0

fator de

dispersao

de plasmons,

neste modelo, sac dadas

[27,41] par:

( 1 - q, 'V) ( 1 - q, 'V) - q,2 'V 'V -0

0000AOO 2020A20 2000AOO A20- ,

1 - q, x

=

0,

1010 10

1 - q, x

3 . 0

INTERSU-BANDAS(2-0)

2 .5

2 . 0

1 . 5

~

3

~

1 . 0

0.0

0.0

5 -1

lOOnm de espessura, com densidade eletronica p = 2 . 5xlO em .

Nota-•

o

potencial

efetivo

intersub-bandas:

'It

(q a )

1010 x

•

'It

(q a),

para fios quanticos de 50nm e lOOnm, com a mesma

1.8

r

1.2

~ -

---~

'-'

STLS

3 0 -4

~

0 .6

-

.

.

.

...

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...

..

..

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..

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-_.-

_STLS

0.0

.0

_.3

_*

q

a

x

- C u r v a s d e .

e u l a d a s e d l s p e r s a o d a

(IV_3.3.4om as eQua90e: excit

a 9

0

es co .

apenas

u J .:

no modelo ddesac':'Pladas ~~t>vas

cal-t>;acej adas sub-banda

e

e tres sub-b V-3. 3.3) e

l l n h a s e o n t . e o r r e s p o n d e m ~ e u p a d a . A S

a

d n d a s

, o n d e

chu lnuas . a ap· uas 1·

pa r~~~~~ a cOrJ:esPo~d:~r~Xima9a:osx;~a.9": RPA 'e

nh

::

foram _ unlca. Os ~ espectr s areas h

G a A S . ' L - 1 0 0 n m e p=2 p s a r a m s e t r o s ~ s d d

e

e x e i t a c ; : a o ~

-• x1

a

e m- 1 e a sa 0es n o e 'a1e u l oe

1.2

0.8

RPA

2.5

R P A (L = 5 0 n m )

-

--

S T L S (L = 5 0 n m )

2 .0

I

R P A (L = 1 0 0 n m )

•.

_.

_•.•..

S T L S (L = 1 0 0 n m )

.

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0.0

0 .0

•

FIGURA IV-3. 3d - Potencial efetivo intersub-bandas 'l' <q a ),

1010 x

calculado com a aproximayao STLS generalizada,

para f ios quanticos de GaAs de duas larguras:

50nm e lOOnm. Os resultados obtidos com a

aproximayao RPA tambem sac apresentados para

1.6

R P A (L = 5 0 n m )

-

--

S T L S (L = 5 0 n m )

- -

-

I

R P A (L = 1 0 0 n m )

-1.2

_.

--.---

S T L S (L = lO O n m )

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*

_cd

.

....

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~ ""'''''

-0 .8

-

-

-0.4

0.0

•

FIGURA IV-3. 3e - Potencial efetivo intersub-bandas 'I' (q a ).

2020 x

deterrninado corn a aproxirnayao STLS generalizada, para fios quanticos de GaAs de duas larguras: 50nrn e lOOnrn. as resultados obtidos corn a aproxirnayao RPA tarnbern sac apresentados para cornparayao.

SERVICO DE BIBLIOTECA E 1~~FCiRMAC}I,O - IF a s t \

Nossos

resultados

demonstram

que,

em

sistemas

eletronicos quase unidimensionais,

no modele de varias sub-bandas,

os efeitos de troca (exchange) e correla9ao sac importantes e nao

devem ser ignorados. Observamos

que, para todas as larguras

(L)

calculadas:

(30nm, 50nm e lOOnm), existem diferen9as

significati-vas entre as resultados obtidos corn as aproximayoes RPA e STLS

-mostrando claramente a importancia dos efeitos das correlayoes de

curto alcance. Notamos que quando consideramos a modelo de varias

sub-bandas, as modos correspondentes as excitayoes intersub-bandas

sao observados e, que, as correyoes de campo local sao mais

pro-nunciadas no regime de densidades eletronicas intermediarias e

baixa. Observamos ainda que, a medida que aumentamos a largura do

fio quantico, as efei tos devido as correlayoes de curto alcance

tornam-se menos importantes. Isto acontece porque, aumentando a

largura L do POyO quantico e mantendo a densidade linear p, cons-tante, havera uma menor superposiyao das funyoes de onda

eletr6nicas e, par conseguinte, as efeitos oriundos das correyoes

TEORIA STLS GENERALIZADA

APLICADA AO GEQ1D COM POTENCIAL

DE CONFINAMENTO

PARABOLICO.

Como dissemos

no capitulo anterior,

a GEQ1D

e

usualmente

obtido, a partir do gas de eletrons bidimensional (GE2D), corn

tecnicas de ataque qUimico seletivo, litografia ultrafina ou por

diferenya de voltagem (gating) e, que, devido ao confinamento

adi-cional, os eletrons sac quase livres apenas ern uma direyao, tendo

mobilidade extremamente alta. Indubitavelmente, urn dos maiores

es-timulos

a

investigayao do GEQ1D e 0 seu potencial de aplicayoes

tecno16gicas. A justificativa para isto, e que no regime de baixa

energia - comparada corn a diferenya de energia entre as sub-bandas

-, ha uma forte reduyao no mecanismo de espalhamento, tornando 0

livre caminho medio inelastico muito grande. As heteroestruturas

de GaAsjAlGaAs, sac sistemas prediletos para investigayao

experi-mental, porque nestas microestruturas, os eletrons tern massa

efe-tiva pequena e tempo de vida longo. A reduyao dos processos de

es-palhamento, bem como a conservayao da fase, por longas distancias,

conduzem a uma infinidades de informayoes fundamentais a respeito

dos aspectos de transporte e de conf inamento eletr6nico, nestas

estruturas artificiais [41,51].

o

entendimento dessa nova fisica, tais como os fen6menos

'" ( )=

12

[rr(t+l)

]

1

CPe

(y)=

1

e

Infl/2

e

2

e!~

u

onde

He(X)

sao os polinom ios de Herm ite e I

_n

= (

~n)

1/2.

Assim , os elem entos de m atriz da interac;:ao de Coulom b

~ ~ e 2

f

d k

o

F. 0 (k,a )

ljLm ~

F ..

o (k ,q )

lJLID x

2 2 1/2 •

x e x p [-(k + q ) 111-11'1 ] < 1 > 0 ( 1 1 ') < 1 > (11'),

x L ID

c

g ra n d e z a s : U (q ,y-y'),

x

S · · o (q )=

-lJ LID x

h

IT P

lID X · . 0 (q, w ) ,

'It

..

0 (q ) =

(1

- G ..

0 (q ))

V:

0 0 (q ),

1 ) (.m x l)(.m x 1 ) (.m x

00

Go,

e (q )

=

---l--J

d

q' q'

V

C. 0e (q' )

[8

0 •e (q - q' )

-lJ

1J m x VC () x x lJ m x lJ m x x

r r p q x ij e r n qx 0

g. 0 e (x )= 1 +

lJ

m

1

r r p [ 8 ..lJ em(q)x -lJ cos (qx x),

G"e (q )=0, a aproximayao RPA

e

reestabelecida (onde as correyoes

lJ

m x

de campo local nao sac consideradas). Se por outro lado, cons

ide--~ -- _ _ - Iro se \

de energia e para diferentes densidades eletronicas.

0

espectro

das excitayoes coletivas

e

obtido dos polos da parte imaginaria da

•

em unidades de R como fun9ao do y

•

1.2

0 .6

~

::3

~

.3

*

q

a

x

FIGURA V-3. la - Rela9ao de dispersao de plasma intra-sub-banda (0-0), calculada para urn fio quantico parab6lico com diferen9a de energia entre as sub-bandas de

. 5 -1

hQ=6.8meV e com dens1dade p=2.45xlO cm , de acor-do com 0 modelo de duas sub-bandas, com apenas uma

sub-banda ocupada. A linha tracejada coresponde

a

1 .0

"

"

"

,/

"

/ / ,/ /

RPA

./

,/

"

,/

/

",

.3

*

q

a

x

Relayao de dispersao das exci tayoes coleti vas intra-sub-banda (0-0) calculada para urn fio quantico parab61ico com diferenya de energia entre as sub-bandas de hO=1.7meV, de acordo com 0 mesmo modele utilizado no grafico V-3.1a e com a me sma densidade. A linha tracejada coresponde

a

aproxi-mayao RPA e a linha continua

a

aproximayao STLS. A

area hachurada representa 0 espectro de excitayao