Sistema de contagem com morfologia matemática fuzzy

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UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Sistema de Contagem com Morfologia

Matemática

Fuzzy

Alexsandra Oliveira Andrade

Orientador: Profª. Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro

Co-orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese de Doutorado apresentada ao

Pro-grama de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFRN (área de concentração: Sistemas Inteligentes) como parte dos requi-sitos para obtenção do título de Doutora em Ciências.

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UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte.

Andrade, Alexsandra Oliveira.

Sistema de contagem com morfologia matemática fuzzy / Alexsandra Oliveira Andrade - Natal, RN, 2014

139 f.: il.

Orientadora: Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro Co-orientador: Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

1. Morfologia Matemática Fuzzy Tese. 2. Processamento de Imagem -Tese. 3. Morfologia Matemática - -Tese. 4. Adjunções - -Tese. 5. Automorfismo - Tese. I. Guerreiro, Ana Maria Guimarães. II. Santiago, Regivan Hugo Nunes. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

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Sistema de Contagem com Morfologia

Matemática

Fuzzy

Alexsandra Oliveira Andrade

Tese de Doutorado aprovada em 29 de novembro de 2014 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Profª. Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro(orientadora) . . . DEB/UFRN

Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago (co-orientador) . . . DIMAP/UFRN

Prof. Dr. Roque Mendes Prado Trindade . . . DCET/UESB

Prof. Dr Benedito Melo Acioly . . . DCET/UESB

Profª. Drª Heliana Bezerra Soares . . . DEB/UFRN

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Agradecimentos

Primeiramente a Deus, este ser maior que rege todas as coisas.

À minha orientadora e ao meu co-orientador, professores Drª. Ana Maria Guimarães Guerreiro e Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago, sou grata pela orientação.

Aos professores: Dr. Roque Mendes Prado Trindade, Dr. Benedito Melo Acioly, Drª. Heliana Bezerra Soares e Dr Adrião Duarte Doria Neto, os quais compuseram a banca examinadora.

A todos os funcionários do DCA e do PPgEEC, com um carinho especial para o professor Dr. Luiz Marcos Gonçalves pelo apoio em todos os momentos.

Aos colegas Roque, Clenia, Vanêssa, Alzira, Reginaldo(in memorian), Divino, Ubirajara e discentes Deise, Alecio, Isadora, Juliane e Matheus pelo apoio durante todo o processo.

Aos demais colegas do DCET/UESB pelo apoio, especialmente Rose e Celina pela atenção e cuidado.

Aos demais colegas de pós-graduação, em especial, Rafael Aroca, Nathalee, Rodrigo, Flaulles, Ronildo, Adriano e aos amigos Neide, Geraldo, Marcio e Soraia que foi de presença indispensável e apoio incondicional.

Aos membros do LoLITA;

À minha família pelo apoio durante esta jornada, especialmente a Giselle e Rafaella.

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Resumo

A Morfologia Matemática apresenta um modelo sistemático para extrair característi-cas geométricaracterísti-cas de imagens binárias usando operadores morfológicos que transformam a imagem original em outra, por meio de uma terceira imagem, chamada elemento estru-turante que teve origem em 1960 pelos pesquisadores Jean Serra e George Matheron. A morfologia matemáticafuzzyestende os operadores morfológicos para imagens em tons de cinza e coloridas e foi inicialmente proposta por Goetherian utilizando a lógica fuzzy. Usando essa abordagem é possivel fazer um estudo dos conectivos fuzzy, que permite al-gumas possibilidades de analise para a construção de operadores morfológicos e suas apli-cabilidades no processamento de imagens. Neste trabalho, propõe-se o desenvolvimento dos operadores morfológicosfuzzyutilizando as R-implicações para auxiliar e aperfeiçoar o processamento de imagens e em seguida a construção de um sistema com esses opera-dores para contar os esporos de fungos micorrízicos e as células sanguíneas vermelhas. Utilizou-se como metodologias a hipotetico-dedutiva para a parte formal e a incremental-iterativa para a parte experimental. Esses operadores foram aplicados em imagens digitais e microscópicas. As conjunções e implicações da fundamentação matemática da morfolo-giafuzzyforam utilizadas para escolher a melhor adjunção a ser aplicada dependendo do problema a ser abordado, ou seja, utilizaremos automorfismos sobre as implicações e observaremos a influência na segmentação das imagens e posteriormente no processa-mento das mesmas. Para validação do sistema desenvolvido, foi aplicado em problemas de contagem de esporos de fungos micorrízicos estendendo-se para imagens de células sanguíneas vermelhas. Foi constado que para a contagem dos esporos o melhor operador foi a erosão de Gödel. Desenvolveu-se três grupos de operadores morfológicos fuzzy, Lukasiewicz, Gödel e Goguen que podem ter uma variedade aplicações.

Palavras-chave: morfologia matemáticafuzzy, processamento de imagem,

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Abstract

Mathematical Morphology presents a systematic approach to extract geometric fea-tures of binary images, using morphological operators that transform the original image into another by means of a third image called structuring element and came out in 1960 by researchers Jean Serra and George Matheron. Fuzzy mathematical morphology ex-tends the operators towards grayscale and color images and was initially proposed by Goetherian using fuzzy logic. Using this approach it is possible to make a study of fuzzy connectives, which allows some scope for analysis for the construction of morphological operators and their applicability in image processing. In this paper, we propose the devel-opment of morphological operators fuzzy using the R-implications for aid and improve image processing, and then to build a system with these operators to count the spores mycorrhizal fungi and red blood cells. It was used as the hypothetical-deductive method-ologies for the part formal and incremental-iterative for the experimental part. These operators were applied in digital and microscopic images. The conjunctions and impli-cations of fuzzy morphology mathematical reasoning will be used in order to choose the best adjunction to be applied depending on the problem being approached, i.e., we will use automorphisms on the implications and observe their influence on segmenting images and then on their processing. In order to validate the developed system, it was applied to counting problems in microscopic images, extending to pathological images. It was noted that for the computation of spores the best operator was the erosion of Gödel. It developed three groups of morphological operators fuzzy, Lukasiewicz, And Godel Goguen that can have a variety applications.

Keywords: fuzzy mathematical morphology, image processing, mathematical mor-phology, adjunctions, automorphisms.

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Sumário

Sumário 8

Lista de Figuras 11

Lista de Tabelas 15

Lista de Símbolos e Abreviaturas 17

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . 2

1.2 Metodologia . . . 2

1.3 Objetivos . . . 3

1.4 Organização da Tese . . . 4

2 Estado da Arte 5 2.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática . . . 6

2.2 Estado da Arte em Morfologia MatemáticaFuzzy . . . 9

2.3 Estado da Arte em Contagem usando as Morfologias . . . 11

2.4 Considerações Finais . . . 14

3 Processamento de Imagens 15 3.1 Introdução . . . 15

3.2 Fundamentos de Imagens Digitais . . . 16

3.2.1 Aquisição e Digitalização de Imagens . . . 16

3.2.2 Propriedades da Imagem Digital . . . 17

3.3 Realce e Filtragem . . . 24

3.3.1 Filtragem no Domínio Espacial . . . 24

3.3.2 Filtragem no Domínio da Frequência . . . 26

3.4 Segmentação de Imagens . . . 28

3.4.1 Detecção de Descontinuidade . . . 28

3.4.2 Ligação de Bordas e Detecção de Fronteiras . . . 29

3.4.3 Limiarização . . . 31

3.4.4 Segmentação Orientada a Regiões . . . 33

3.5 Morfologia Matemática . . . 34

3.5.1 Dilatação e Erosão . . . 34

3.5.2 Abertura e Fechamento . . . 35

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3.5.3 TransformaçãoHit-or-Miss . . . 37

3.5.4 Algoritmos Morfológicos Básicos . . . 37

4 Morfologia MatemáticaFuzzy 43 4.1 Conceitos Preliminares . . . 43

4.1.1 Ordens Parciais . . . 44

4.1.2 Dualidade . . . 44

4.1.3 Elementos Notáveis . . . 45

4.1.4 Ideais e Filtros . . . 45

4.1.5 Transformações sobre Ordens Parciais . . . 46

4.1.6 Reticulados . . . 47

4.2 ConjuntosFuzzye LógicaFuzzy . . . 48

4.2.1 ConectivosFuzzy . . . 48

4.2.2 Automorfismos . . . 54

4.3 Morfologia MatemáticaFuzzy . . . 54

5 Operadores Morfológicos no Processamento de Imagens 57 5.1 Operadores Morfológicos em Imagens . . . 57

5.1.1 Ferramenta Computacional no Matlab . . . 61

5.1.2 Verificando as R-implicações de Weber e Fodor . . . 63

5.2 Automorfismos . . . 64

5.3 MorfologiaFuzzye Contagem de Esporos . . . 69

5.3.1 Micorrizas . . . 69

5.3.2 Aplicação dos Conectivos de Lukasiewicz . . . 71

5.3.3 Aplicação dos Conectivos de Gödel . . . 78

5.4 MorfologiaFuzzye Contagem de Células do Sangue . . . 85

5.4.1 Células Sanguíneas Vermelhas . . . 86

6 Sistema de Contagem com Morfologia MatemáticaFuzzy 91 6.1 Sistema de Contagem usando MorfologiaFuzzy . . . 91

6.1.1 Planejamento . . . 92

6.1.2 Implementação . . . 95

6.1.3 Interface . . . 97

7 Conclusão e Trabalhos Futuros 101 7.1 Publicações . . . 103

Referências Bibliográficas 104

(15)

Lista de Figuras

3.1 4-vizinhança . . . 17

3.2 Diagonal-vizinhança . . . 17

3.3 8-vizinhança . . . 18

3.4 (a) 8-vizinhos dopixelcentral, (b) m-vizinhos dopixelcentral. . . 19

3.5 Expansão de umpixelem 4 . . . 21

3.6 Imagem Original . . . 21

3.7 Imagem Ampliada de 2 vezes . . . 22

3.8 Imagem Reduzida de 2 vezes . . . 22

3.9 Exemplo de Rotação de 90○_{no sentido horário . . . .} ₂₃

3.10 Exemplo deflippinghorizontal . . . 23

3.11 Exemplo dewarping . . . 23

3.12 Resposta em frequência dos principais tipos de filtros. . . 25

3.13 Exemplos de Dilatação . . . 34

3.14 Exemplos de Erosão . . . 35

3.15 Exemplos de Abertura e Fechamento . . . 36

3.16 Exemplos de Extração de Contorno . . . 37

3.17 Exemplos de Extração de componentes conectados . . . 38

3.18 Exemplos de Casco Convexo . . . 40

3.19 Exemplos de Espessamento . . . 41

3.20 Exemplos de Esqueletização . . . 42

4.1 Processamento da letra g com elemento estruturante circular vermelho . . 55

5.1 (a) Imagem Original Cinza, (b) Imagem Original Colorida, (c) Elemento Estruturante. . . 58

5.2 (a) Erosão em Tons de Cinza , (b) Dilatação em Tons de Cinza. . . 58

5.3 (a) Erosão Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . . . 58

5.4 (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de Goguen. . . 59

5.5 (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura de Goguen. . . 59

5.6 (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamento de Goguen. . . 59

5.7 (a) Erosão de Lukasiewicz, (b) Erosão de Gödel,(c) Erosão de Goguen. . 60

5.8 (a) Dilatação de Lukasiewicz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de Goguen. . . 60

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5.9 (a) Abertura de Lukasiewicz, (b) Abertura de Gödel, (c) Abertura de

Goguen. . . 60

5.10 (a) Fechamento de Lukasiewicz, (b) Fechamento de Gödel, (c) Fechamento de Goguen. . . 61

5.11 (a) Histograma da Imagem Original, (b) Histograma da erosão de Lukasiewicz, (c) Histograma erosão de Gödel, (d) Histograma erosão de Goguen. . . . 61

5.12 Ferramenta Computacional no Matlab . . . 62

5.13 (a )Imagem com Função Epsilon Weber Cinza, (b) Imagem com Função Epsilon Weber Colorida, (c) Imagem com Função Epsilon Fodor Cinza, (d) Imagem com Função Epsilon Fodor Colorida. . . 64

5.14 (a) Erosão de Lukasiewcz, (b) Erosão de Gödel, (c) Erosão de Goguen. . 66

5.15 (a) Dilatação de Lukasiewcz, (b) Dilatação de Gödel, (c) Dilatação de Goguen. . . 66

5.20 (a) Imagem Original, (b) Elemento Estruturante. . . 71

5.21 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Dilatacão, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 73

5.22 (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 73

5.23 (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 74

5.24 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Dilatação , (d)Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 75

5.25 (a) Imagem com Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fun-gos, (c) Imagem com Fechamento, (d) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 76

5.26 (a) Imagem com Erosão depois Abertura, (b) Imagem com Detecção de Esporos de Fungos. . . 76

5.27 Gráficos de Análise de Regressão . . . 78

5.28 Imagem Original . . . 79

5.29 Elementos Estruturantes formados por quadrados . . . 80

5.30 Elementos Estruturantes com Bordas . . . 83

5.31 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos,(c) Ima-gem com máscara. . . 84

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5.33 Exemplo de esporos agregados e parte do esporo que se separou. . . 85

5.34 Elementos Estruturantes usando quadrados pretos e cinzas . . . 88

5.35 Pixel preto circulado de azul é opixel processado e ospixelscirculados de vermelho são ospixelsem volta dele. . . 89

5.36 (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com fundo preto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5) Imagem com Erosão, (6) Imagem binária com máscara. . . 89

6.1 (a) Imagem Original de Esporos, (b) Imagem Original de Célula Sanguínea. 92 6.2 (a) Imagem com Erosão, (b) Imagem com detecção de esporos, (c) Ima-gem com máscara. . . 93

6.3 (1) Imagem Original, (2) Remover Células Brancas, (3) Imagem com fundo preto, (4) Imagem com preenchimento do interior das células, (5) Imagem com Erosão, (6) Imagem binária com máscara. . . 94

6.4 Versão 0.1 . . . 96

6.5 Versão 1.0 . . . 96

6.6 Versão 2.0 . . . 97

(18)

(19)

Lista de Tabelas

4.1 Algumas T-normasFuzzy . . . 49

4.2 Exemplos de Algumas ImplicaçõesFuzzy. . . 51

4.3 Algumas R-ImplicaçõesFuzzy . . . 52

4.4 Comparação entre as R-implicações . . . 52

5.1 Comparação entre os métodos . . . 77

5.2 Processamentos possíveis . . . 79

5.3 Número de imagens com contagem acima de 80% do primeiro teste . . . 80

5.4 Número de imagens com contagem acima de 80% do segundo teste . . . . 80

5.5 Número de imagens com contagem acima de 80% do terceiro teste . . . . 81

5.6 Número de imagens com contagem acima de 80% do quarto teste . . . 81

5.7 Número de imagens com contagem acima de 80% do quinto teste . . . 81

5.8 Número de imagens com contagem acima de 80% no teste com elementos circulares . . . 82

5.9 Faixas do sistema RGB . . . 87

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Lista de Símbolos e Abreviaturas

IdA Função Identidade do conjunto A

∇f notação do gradiente de f

∇2f notação do laplaciano de f

BIH Beth Israel Hospital

BMP Extensão utilizada para imagens digitais

ECG Eletrocardiograma

FMAMs FuzzyMorphological Associative Memories

FMAs Fungos Micorrízicos Arbusculares

FPA Filtro passa-Alta

FPB Filtro Passa-Baixa

GHz Giga-hertz é multiplo do Hertz

HSB Sistema de cores que utiliza matiz, saturação e brilho

HSI Sistema de cores que usa matiz, saturação e intensidade

JPEG Extensão utilizada para imagens digitais

kB Kilobyte é um múltiplo de uma unidade byte

MAs Micorrizas Arbusculares

MIT Massachusetts Institute of Technology

PNG Extensão para imagens digitais

QRS Corresponde a despolarização ventricular, ou seja, picos.

RGB Sistema de cores baseado no vermelho, verde e azul.

SVA Sistema de Visão Artificial

TF Transformada de Fourier

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TFI Transformada de Fourier Inversa

UESB Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

XLS Extensão para planilha eletrônica

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Capítulo 1

Introdução

Morfologia matemática é uma coleção de operações que produz resultados úteis na área de processamento de imagem. As suas origens são os estudos de mídias porosas na década de 1960,pelo grupo de pesquisadores franceses liderado por Georges Matheron e Jean Serra, da École Superieure de Mines de Paris [Serra 1969, Matheron 1967]. Eles introduziram um formalismo relacionando a teoria de conjuntos para a análise de imagens binárias. O princípio básico da Morfologia consiste em extrair de uma imagem a sua geometria e topologia através da utilização de uma outra imagem completamente definida, chamada de elemento estruturante.

Pelo fato da morfologia matemática ser originalmente definida em imagens binárias, a maioria das teorias para a extensão da morfologia matemática tentou ampliar esse fato a imagens em tons de cinza e coloridas [Serra 1982, Sternberg 1986b]. Algumas dessas teorias se baseiam nas seguintes abordagens:

1. Umbra. Uma imagem em escala de cinza é considerada como uma paisagem em

três dimensões que utilizando ferramentas adequadas podem ser transformadas em bidimensional.

2. Conjuntos Limiar. Em cada conjunto, no qual a imagem foi decomposta, pode-se

aplicar um operador binário, que sintetiza uma transformada em escala de cinza da imagem.

3. Reticulados Completos. Abordagem algébrica de morfologia matemática, utiliza

reticulados completos como ferramentas matemáticas para a produção de operado-res morfológicos.

4. Lógica Fuzzy. Utiliza a lógica fuzzy e conjuntos fuzzy para a construção dos ope-radores.

(24)

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Morfologia matemática tem sido usada em muitas áreas, como, por exemplo, classifi-cação de raios solares [Romeo et al. 2011], classificlassifi-cação de soja [Benalcazar et al. 2011], digitalização de documentos [Dhore et al. 2011], separação de cérebro do crânio em imagens de ressonância magnéticas [Santillan et al. 2011], contagem de elementos, e várias outras [Bewes et al. 2008, Poomcokrak & Neatpisarnvanit 2008, Wenzhong & Shugun 2008]. A morfologia matemática fuzzy é muito utilizada no pré-processamento de imagens na fase de segmentação. Esta etapa em alguns casos pode ser uma tarefa difícil, haja vista que, por exemplo, na separação ou identificação de micro-organismos, proteínas ou células em imagens microscópicas, venha ocorre a sobreposição.

1.1 Motivação

O processamento digital de imagens vem sendo utilizada em várias áreas de con-hecimentos, especificamente na área de Medicina, o que tem facilitado o diagnóstico de patologias que pode ser visto na literatura. O crescente interesse pelo uso de ferramentas da morfologia matemática para isso é facilmente detectado. O foco maior de motivação foi a possibilidade de criação de diferentes morfologias matemáticasfuzzyque poderiam ter repercussões diferentes nas imagens e ter aplicações diferentes a depender de seu uso auxiliando e melhorando o processamento de imagem.

No desenvolvimento deste trabalho foi possível auxiliar o professor da UESB, Divino Levi Miguel, da área de microbiologia do solo na contagem de esporos de fungos micor-rízicos. Micorrizas é uma associação entre um grupo de fungos do solo e a maioria das plantas vasculares terrestres, epífitas, aquáticas e também com rizoides e talos de briófitas e outros vegetais basais. Esse grupo de fungos é chamado de fungos micorrízicos arbus-culares. A contagem dos esporos desses fungos é de suma importância, pois indicam o nível de absorção de água e nutrientes, principalmente fósforo, que melhoram o estado nutricional da planta e promovem redução de perdas por estresses, sejam eles bióticos ou abióticos e é feita de forma manual com o auxílio de um microscópio estereoscópico, levando horas. Por isso, a contagem automática dos esporos de fungos micorrízicos é de grande relevância para a área de agronomia. Também junto ao professor da UESB Ubirajara Cairo tratamos a contagem de células sanguíneas vermelhas com a morfologia fuzzypelo fato de essas serem semelhantes aos esporos, onde adaptaríamos o método dos esporos à contagem destas células visando a aplicabilidade da contagem no diagnósticos de doenças como anemias.

1.2 Metodologia

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1.3. OBJETIVOS 3

Para a vertente formal, utilizou-se da metodologia hipotético-dedutiva, que é um método que se desenvolve através de raciocínios: seus fundamentos, sua realização e o valor das conclusões encontram-se no próprio raciocínio, o que leva o pesquisador do conhecido para o desconhecido; já que trabalha do geral para o particular, consequente-mente chega-se a uma verdade particular através de uma geral utilizando-se de conjecturas [Lakatos & de A. Marconi 1991].

Em se tratando da vertente experimental, utilizou-se da metodologia incremental-iterativa, que é uma estratégia de planejamento estagiado, em que várias partes do prob-lema são desenvolvidas em paralelo, e integradas quando completas, e reelaborada, em que o tempo de revisão e melhorias de partes do problema é pré-definido [Pressman 2002, Sommerville 2003].

1.3 Objetivos

Estabeleceram-se alguns objetivos a serem alcançados durante o desenvolvimento das pesquisas, que são descritos a seguir.

Objetivo Geral

Desenvolver diferentes morfologias matemáticasfuzzyque serão aplicadas na segmen-tação de imagens naqueles casos em que haja sobreposição a fim de analisar os resultados.

Objetivos Específicos

1. Definir os operadores morfológicosfuzzya partir das adjunções detectadas;

2. Desenvolver uma ferramenta computacional para o processamento de imagens com os operadores morfológicos definidos;

3. Avaliar os operadores morfológicos em segmentação de imagens;

4. Aplicar automorfismos sobre as implicações fuzzy residuadas para a obtenção de novos pares de (conjunção,implicação);

5. Desenvolver novos operadores morfológicos a partir das novas adjunções resul-tantes da aplicação dos automorfismos;

6. Modelar e desenvolver um sistema para contagem como uma ferramenta computa-cional do Matlab;

7. Avaliar o desempenho do sistema na contagem de imagens microscópicas;

(26)

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1.4 Organização da Tese

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Capítulo 2

Estado da Arte

Morfologia Matemática é uma área específica do processamento de imagens que é aplicada na análise das estruturas de materiais em várias disciplinas como mineralogia, petrografia, angiografia, citologia, etc. As suas origens são os estudos de mídias porosas na década de 1960, pelo grupo de pesquisadores franceses liderados por Georges Math-eron e Jean Serra, da École Superieure de Mines de Paris [Serra 1969, MathMath-eron 1967]. Eles introduziram um formalismo relacionado à teoria de conjuntos com a análise de imagens binárias. A partir dos anos 1980, a Morfologia Matemática começou a se di-fundir pelos Estados Unidos com Sternberg apresentando aplicações a imagens médicas [Sternberg 1986a, Sternberg 1986b]. Pelo fato de a morfologia matemática ser original-mente definida em imagens binárias, a maioria das teorias para a extensão da morfologia matemática tentou ampliar esse fato à escala de cinza e imagens coloridas com as con-tribuições de Serra e Sternberg [Serra 1982, Sternberg 1986b]. Já na década de 1990, os pesquisadores Ronse e Heijmans fizeram um estudo aprofundado sobre os operadores dilatação e erosão [Ronse & Heijmans 1990, Heijmans 1995]. No mesmo ano, Ronse explorou a necessidade de usar reticulados para se desenvolver morfologia matemática [Ronse 1990]. Algumas teorias para estender o modelo de imagens binárias para tons de cinza e coloridas usam a noção de reticulado completo e lógica fuzzy. O primeiro autor que fez esta extensão foi Goetcherian [Goetcherian 1980], que deu início à mor-fologia matemática fuzzy. Desde então, vários autores vêm trabalhando com esta abor-dagem como, por exemplo, Sinha & Dougherty [Sinha & Dougherty 1992, Sinha & Dougherty 1993, Sinha & Dougherty 1995], Bloch & Maître [Bloch & Maître 1994, Bloch & Maître 1995], De Baets, Nachtegael & Kerre [Baets 1997, Baets & Kerre 1995, Nachte-gael & Kerre 2001] e Deng & Heijmans [Heijmans & Deng 2002].

Encontram-se na literatura vários exemplos de utilização de morfologia matemática e morfologia matemáticafuzzy, tanto teórica como aplicada.

Visando melhor entendimento do capítulo, ele está subdividido nas seguintes seções: 2.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática;

2.2 Estado da Arte em Morfologia MatemáticaFuzzy;

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6 CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE

2.1 Estado da Arte em Morfologia Matemática

Pesquisadores da UFRN, Cruz et al, propuseram um modelo de morfologia matemática intervalar para lidar com incertezas em algumas técnicas de processamento de imagens [M.M.C.Cruz et al. 2008].

Estudiosos de morfologia matemática, Zoungui et al, desenvolveram um modelo mor-fológico de precisão variável para ser usado na eliminação de ruídos de imagens digitais [Zhongui et al. 2008].

Mais uma contribuição de importância foi a tese de doutorado de Soares, onde foi usada a morfologia matemática no processamento de imagens de lesões de pele para sua classificação usando algumas características da imagem como cor, textura e forma [Soares 2008].

Foi proposto por Santana um sistema de recuperação de imagens baseado em con-teúdo, em imagens médicas utilizando a morfologia matemática para a extração das ca-racterísticas utilizadas da imagem em [Santana 2008].

Li et al propuseram um método de avaliação para as impressões visuais humanas com texturas em escalas de cinza utilizando morfologia matemática em [Li et al. 2010].

Detecção de bordas é um aspecto importante no processamento de imagem. Quando uma imagem com ruído é apresentada para a detecção de borda, o ruído cria problemas no processo usando métodos convencionais. Uma das desvantagens dos métodos con-vencionais é que o ruído não é removido automaticamente. O artigo de Krishman et al propôs uma nova abordagem para a remoção de ruído na detecção de borda tanto para es-cala de cinza como em imagens binárias utilizando operações morfológicas em [Krishnam et al. 2010].

O método utilizado por Jeyalashmi & Kadarkarai empregou um número de conheci-mento baseado em regras para localizar o objeto e os conceitos de morfologia matemática, como cropping, o algoritmo modificado de limpeza morfológica da imagem, abertura e fechamento. Eles extraíram as características necessárias do mioma. O algoritmo pro-posto foi aplicado em 100 imagens de útero com miomas cheios de líquido e deu bons resultados em [Jeyalashmi & Kadarkarai 2010].

A detecção de proteína em bolsões é um passo importante no sentido de encontrar a ligação local de pequenas moléculas. O pesquisador Kawabata desenvolveu um eficiente algoritmo para cálculo de profundidade de bolsões rasos simultaneamente, usando vários tamanhos diferentes de sondas esféricas (sondas multi-escala) com o programa Ghecom em [Kawabata 2010].

Angulo contribui com a definição de uma imagem complexa como sendo composta de parte real e imaginária e sobre esta definiu toda a morfologia matemática, exemplificando alguns filtros em [Angulo 2011].

Sussner & Ermi apresentaram uma rede neural morfológica que é um tipo de rede neu-ral artificial que realiza uma operação elementar de morfologia matemática em cada nó seguida da aplicação de uma função de ativação. Apresentaram também o reticulado de fundo teórico, os algoritmos de aprendizagem paraperceptronsmorfológicos para apren-dizagem competitiva com suas respectivas propriedades em [Sussner & Esmi 2011].

(29)

2.1. ESTADO DA ARTE EM MORFOLOGIA MATEMÁTICA 7

eficiência de um alvo infravermelho pequeno e apresentaram resultados experimentais em [Bai & Zhou 2011].

Welfer et al apresentaram um novo método de detecção de centro da fóvea para imagens coloridas de fundo de olho. Este método baseou-se em restrições anatómicas conhecidas sobre as posições relativas das estruturas que formam a retina e morfologia matemática. Este método auxiliou no diagnóstico de várias doenças da retina, tais como Edema Macular Diabéticos. Foram feitos vários testes que comprovaram a eficácia do método em [Welfer et al. 2011].

Um grupo de pesquisadores indianos, Dhore et al propôs uma nova abordagem mor-fológica para a segmentação de imagens de documentos do banco de dados do Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia nos Estados Unidos. A morfologia matemática foi utilizada para segmentar as imagens dos documentos; a segmentação orientada extraiu características geométricas, tais como tamanho, forma, contraste, ou conectividade que facilitou na digitalização dos documentos do referido instituto, [Dhore et al. 2011].

Rajaput et al apresentaram um método de localização do centro da fóvea em fo-tografias digitais coloridas da retina. O método proposto foi baseado no conhecimento prévio do centro do disco óptico e do diâmetro, posteriormente foram utilizados operado-res morfológicos. Este método serviu como um pré-requisito para o diagnóstico assistido por computador de várias doenças da retina, como diabetes maculopatia. Ocorreram testes com 33 fotografias da retina do banco de dados público DRIVE, [Rajaput et al. 2011].

No trabalho de um grupo de pesquisadores liderados por Santillan várias transfor-mações avançadas de morfologia matemática aplicadas à neuroanatomia foram desen-volvidas. Em particular, o cérebro foi separado do crânio em imagens de ressonância magnética com tempo de relaxamento longitudinal (T1) usando aberturas morfológicas. O uso dessas transformações permitiu a preservação de regiões, sem introduzir novas informações. Como resultado, os cérebros segmentados preservaram as informações completas das imagens originais, sendo mais confiável para o especialista em [Santillan et al. 2011].

Um trabalho interessante na área médica foi [Kimori 2011], o qual apresentou um novo método de processamento de imagem para melhorar as características morfológicas de massas e outras anormalidades em imagens médicas que consistiu em usar os opera-dores morfológicos para extrair as características e em seguida usou técnicas de contraste para realçar o que se desejou. Foi aplicado o método em três tipos de imagens médicas: uma imagem mamografia, uma imagem de radiografia torácica e uma imagem da retina.

As pesquisas de um grupo de estudiosos liderados por Benalcazar resultaram na pro-posta de um algoritmo para segmentar e medir automaticamente a área foliar das plantas de soja. Esta informação é usada pelos especialistas para avaliar e comparar o crescimento de diferentes tipos de soja. Este algoritmo, baseado em filtragem de cor usando o modelo HSI, detectou objetos verdes a partir do fundo da imagem. A segmentação de folhas foi feita aplicando a Morfologia Matemática em [Benalcazar et al. 2011].

(30)

Burgeth et al apresentaram um método adaptativo usando equações diferenciais par-ciais e operações morfológicas para campos de matriz 3D resultantes, por exemplo, da difusão de imagens de ressonância magnética no [Burgeth et al. 2011].

Zhang & Lian apresentaram um método de detecção de QRS (os picos) no sensor de eletrocardiograma (ECG). O sucesso do método proposto se deu pela combinação de dois procedimentos computacionalmente eficientes, um filtro morfológico e um envelope aproximado. O filtro morfológico removeu o ruído e o deslocamento da componente DC enquanto que o envelope aproximado aumentou o QRS complexo. O desempenho do algoritmo foi verificado no banco de dados MIT-BIH Arritmia em [Zhang & Lian 2011]. Romeo et al, apresentaram um novo método, baseado em técnicas de Morfologia Matemática para a classificação das curvas de radiação solar. Para ilustrar o método foi usado um conjunto de dados reais de radiação recolhidos em um local situado no sul da Espanha em [Romeo et al. 2011].

Foi proposto um método tridimensional utilizando a morfologia matemática para a análise de corpos geológicos por Zou et al. Além disso, o método foi testado no corpo do Xinwuli magmático Fenghuangshan no campo de minério em Tongling, província de Anhui, [Zou et al. 2011] .

Um método de análise 3D foi proposto para imagens de fibrilas de colágeno por Altendorf et al. Esta análise utilizou operadores de morfologia matemática, [Altendorf et al. 2012].

Um grupo de membros da IEEE liderados por Bouaynaya apresentou uma análise abrangente de operadores morfológicos auto-dual e idempotentes. Um operador m-idempotente convergiu depois de m iterações. Foram indicadas as condições necessárias e suficientes para a idempotência de operadores morfológicos. Os operadores são ca-racterizados em termos da representação dos seus núcleos. Finalmente, foi ilustrada a importância das propriedades de auto-dualidade e m-idempotência por um aplicativo para a remoção de ruídos em imagens de radar em [Bouyanaya et al. 2012].

Alguns pesquisadores espanhóis liderados por Escribano desenvolveram um trabalho com a continuidade em espaços digitais e com base nisso apresentaram uma nova abor-dagem para os operadores morfológicos, [Escribano et al. 2012].

As pesquisas de Sultana & Rajan propuseram um filtro geométrico definido sobre imagens 3D e utilizando operadores morfológicos e sua aplicação no processamento de imagens resultaram no artigo [Sultana & Rajan 2012].

Pastore et al apresentaram um método automático para detecção de diferentes tipos de tecidos, em biópsias de medula óssea usando Morfologia matemática em espaços de cores, a fim de determinar a celularidade da medula com precisão em [Pastore et al. 2013]. Khehra & Pharwaha apresentaram um método para identificação de microcalcifi-cações em mamografias, onde utilizaram principalmente a lógicafuzzy, a medida de en-tropia de Kapur e a morfologia matemática em [Khehra & Pharwaha 2013].

Ćurić et al apresentaram um levatamento sobre a morfologia matemática adaptativa destacando semelhanças e diferenças de alguns métodos para adaptação do elemento es-truturante que proporcionam diferentes tipos de adaptatividade,[ Ćurić et al. 2014].

(31)

2.2. ESTADO DA ARTE EM MORFOLOGIA MATEMÁTICAFUZZY 9

com relação a cor em cadapixelusando um elemento estruturante também adaptável para cada operador morfológico, [González-Castro et al. 2014].

Chen et al analisaram os defeitos dos troncos de árvores utilizando a técnica de seg-mentação da morfologia matemática, mais específicamente, gradiente e operador de fecho em [Chen et al. 2014]

2.2 Estado da Arte em Morfologia Matemática

Fuzzy

Sinha & Dougherty propuseram uma extensão da morfologia matemática binária para as imagens em tons de cinza com base na teoria dos conjuntosfuzzy de forma a corres-ponder a álgebrafuzzyde Minkowski,[Sinha & Dougherty 1992].

Os pesquisadores Bloch & Maître apresentaram uma morfologia que utiliza elemen-tos estruturantes fuzzy, descrevem os operadores erosão e dilatação fuzzy com suas pro-priedades em detalhes, [Bloch & Maître 1994].

No trabalho de Sinha & Dougherty foi desenvolvido a AlgebraFuzzyde Minkowsky com ênfase na caracterização da erosão e abertura fuzzy, examinando as propriedades chaves e extendê-los da noção binária de Matheron, [Bloch & Maître 1995].

Bloch & Maître fizeram um estudo comparativo entre as seis definições existentes no período e definiram quais as condições básicas para a construção de morfologiafuzzyem [Bloch & Maître 1995].

A morfologia matemáticafuzzyprovêm da extensão da morfologia binária utilizando da lógicafuzzy, De Baets & Kerre, apresentaram as definiçoes dos operadores morfológi-cos erosão, dilatação, abertura e fechamento originados de Serra e a relaçao entre os operadores erosão e dilatação, [Baets & Kerre 1995].

De Baets apresentou a possibilidade da abordagem lógica fuzzy para morfologia matemática, onde os operadores dilatação e erosão são apresentados de forma indepen-dente e baseados nos conectivos lógicos conjunção e implicação em [Baets 1997].

Morfologia matemáticafuzzyé uma extensão da morfologia binária à morfologia em escala de cinza, utilizando técnicas de teoria dos conjuntosfuzzy. Nachtegael & Kerre dis-cutiram várias abordagens novas e conhecidas no sentido da morfologiafuzzye mostraram como as abordagens estão ligadas, não só entre si, mas também para o binário e morfolo-gia na escala de cinza clássica em [Nachtegael & Kerre 2001].

Existem várias maneiras de estender a morfologia das imagens binárias para as em tons de cinza, entre elas a da lógica fuzzye adjunções. Ao combinar essas abordagens Heijman & Deng desenvolveram o trabalho [Heijmans & Deng 2002] em que produziram operadores morfológicos usando implicações e conjunções que formam adjunções.

Bloch estabeleceu a ligação entre as duas principais abordagens para a morfologia matemáticafuzzy, uma baseada na dualidade em relação à complementação e a outra, na propriedade de adjunção. Além disso, apresentou as definições de erosão e dilataçãofuzzy com conjuntos clássicos no [Bloch 2009].

(32)

Masford et al apresentaram uma abordagem tanto para a morfologia matemática como para a morfologia fuzzy usando imagens coloridas com máquina de vetor suporte para detecção de conexão de tubo que foi testado usando RGB, HSB e Gabor em [Masford et al. 2010].

Posteriormente, Lettitia et al divulgaram um algoritmo usando morfologiafuzzypara dar uma alta definição às imagens aéreas de regiões urbanas com a identificação de quar-teirões. Este algoritmo consiste em: fuzzificação da imagem; aplicação da dilatação e erosãofuzzy; filtragem com oTop-Hat; uso de filtros adaptativos sequenciais e finalmente a desfuzzificação [Letitia et al. 2010].

Sussner et al estudaram a decomposição dos operadores morfológicosfuzzyde inter-valo inter-valorado, onde foram investigados casos em que os interinter-valos de corte desses opera-dores podem ser escritos ou aproximados em termos dos respectivos operaopera-dores binários. Tal conversão reduziu o tempo de cálculo e forneceu uma ligação entre a morfologiafuzzy de intervalo valorado e a morfologia binária em [Sussner et al. 2010].

Foi proposto por Krihnan & Viswanathan um algoritmo de fuzzificação e enunciados os operadores de erosão e dilatação fuzzy baseados em operadores lógicos [Krihnan & Viswanathan 2010].

Na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo foi defen-dida uma tese de doutorado de Boaventura que que utiliza números fuzzye morfologia matemática fuzzypara o processamento de imagens especificamente para a detecção de bordas [Boaventura 2010].

Os pesquisadores Fan & Wang propuseram um algoritmo para detecção de bordas da imagem com as seguintes fases: 1) Fuzzificar ; 2) Usar o elemento estruturante na abertura e fechamentofuzzy; 3)Aplicar a erosão e dilataçãofuzzy; 4) Calcular as bordas usando as diferentes direções do elemento estruturante: 5)Desfuzzificar obtendo a imagem em [Fan & Wang 2011].

Grupos de pesquisadores com Sussner, apresentaram dois trabalhos de grande relevân-cia para a morfologia matemática fuzzy. Um deles apresenta a construção de operadores morfológicos fuzzy que correlacionam a morfologia binária e a morfologia fuzzy inter-valar, onde o caso discreto se apresenta mais forte que o caso contínuo [Sussner, Nachte-gael, Mélange, Deschrijver, Esmi & Kerre 2011]. No segundo, eles apresentaram uma abordagem da morfologia matemáticafuzzyintuicionista [Melangea et al. 2011].

Os pesquisadores brasileiros Sussner & Valle apresentaram um estudo sobre as memórias morfológicas associativas difusas denotadas por FMAMs, onde apresentam suas propriedades utilizando a definição de adjunção e vários teoremas sobre a capacidade de armazenamento, a tolerância, o ruído, os pontos fixos e a convergência das auto asso-ciativas. Finalmente, conseguiram empregar FMAMs em um aplicativo para um problema de previsão de séries temporais na indústria em [Sussner & Valle 2011].

A pesquisadora Bloch desenvolveu duas extensões da morfologia matemática, uma para os conjuntosfuzzye outra para os conjuntosfuzzybipolares utilizando duas diferentes ordenações parciais. A estrutura algébrica forte fornecida pelos reticulados proveu a essas extensões todas as propriedades clássicas de morfologia matemática em [Bloch 2011].

(33)

2.3. ESTADO DA ARTE EM CONTAGEM USANDO AS MORFOLOGIAS 11

retinopatia diabética. O sistema usado foi o HSI, que tem a capacidade de separar a inten-sidade da informação de cor intrínseca onde favorece o uso dos filtros de cor, juntamente com as ferramentas de morfologia matemática fuzzy, mais especificamente a transfor-madaTop-Hat, constituem um método eficiente para a visualização dos vasos sanguíneos da retina em [Gasparri et al. 2011].

Um trabalho relevante para a morfologia matemática foi do grupo liderado por Suss-ner onde foi discutida a importante evolução da teoria dos conjuntos fuzzy no contexto da morfologia matemática, foi dado enfoque à vertente da ambiguidade e imprecisão dos conjuntos fuzzy. E apresentou novas extensões que levaram à construção de intervalos valorados fuzzy e morfologia matemática fuzzy intuicionista em [Sussner, Nachtegael, Melange & Kerre 2011].

Em outro trabalho Sussner et al investigaram a construção de operadores fuzzy em intervalo valorado no caso binário. Essa investigação foi feita, tanto no caso contínuo quanto no caso discreto. Foi visto que a caracterização do supremo no caso discreto leva a relações mais fortes do que no caso contínuo e que a morfologiafuzzyde intervalo valo-rado estende a morfologia matemáticafuzzy. Essa teoria permitiu o uso de incerteza nos valores de cinza da imagem e do elemento estruturante em [Sussner, Melange, Nachtegal & Kerrea 2011].

Comas et al apresentaram um estudo sobre as diferentes aplicações dos conjuntos fuzzytipo-2 em processamento de imagem e de sinal, analisando as principais vantagens deste tipo de conjuntos fuzzy na modelagem de incertezas. Fizeram um relato com as definições de conjuntos fuzzy tipo-2, suas principais propriedades e as operações entre eles [Comas et al. 2011].

Um trabalho interessante foi proposto por Bloch, no qual foi feito o uso da morfologia matemática em conjuntosfuzzybipolares com a utilização de dois tipos de ordenação: a de Pareto e a lexicográfica. As suas vantagens e seus inconvenientes foram discutidos, em particular para aplicações em processamento de informações espaciais [Bloch 2012].

Bouchet et al propuseram umaFuzzy Mathematical Morphology Toolboxand Graph-ical Interface do Matlab onde pode-se construir os operadores morfológicos, filtros se-quenciais, Top-Hat, gradiente e também definir a forma, tamanho e dimensão, o tipo de norma e o número de iterações utilizadas no elemento estruturante, [Bouchet et al. 2013]. González-Hidalgo & Massanet propuseram uma nova abordagem para a morfologia fuzzyutilizando as T-normas discretas com a finalidade de preservar a maioria das pro-priedades algébricas e morfológicos usuais, tais como monotonia, idempotência, invari-ância dentre outras. E principalmente mostrar sua aplicabilidade no processamento de imagens.[González-Hidalgo & Massanet 2013]

Caponetti et al apresentaram um a pesquisa sobre a repercussão da morfologia fuzzy na segmentação em imagens de ovócitos humanos em[Caponetti et al. 2014].

2.3 Estado da Arte em Contagem usando as Morfologias

(34)

entre outras. Existem alguns métodos que serão apresentados a seguir que foram baseados em [Barbedo 2012].

Bewes et al propuseram um método de contagem de côlonias de células baseado na forma completa da Transformada de Hough. O pré-processamento utilizou erosão, di-latação e suavização gaussiana em [Bewes et al. 2008].

Poomcokrak & Neatpisarnvanit desenvolveram um método simples de contagem de células vermelhas do sangue que consiste em eliminar as células incompletas, extrair as células individuais com detecção de borda usando morfologia matemática e identificação e contagem usando redes neurais em [Poomcokrak & Neatpisarnvanit 2008].

No trabalho de Wenzhong & Shuqun foi proposto um algoritmo para a contagem automática de cromossomos. Na primeira etapa do algoritmo, são aplicadas à imagem as técnicas de equalização de histograma, segmentação por limiar e operação de erosão. Em seguida, uma técnica de rotulagem é aplicada para atribuir um rótulo único a cada objeto na imagem. Objetos detectados como ruído são então eliminados. Na última etapa, a contagem dos objetos se realiza com taxa de erros em torno de 10%, [Wenzhong & Shugun 2008] .

No método proposto por Mello et al para a contagem de ovos de Aedes Aegypti (trans-missor da dengue) utilizou-se da segmentação das cores presentes nas imagens obtidas a partir das armadilhas de ovos. Foram testadas em duas representações de cores: HSL e YIQ. Em ambos os casos, foram aplicados filtros não-lineares baseados em morfolo-gia matemática a fim de destacar os ovos e tornar a contagem possível com taxa de erro aproximadamente 7,5% no [Mello et al. 2008].

Deng et al sugeriram um método para a contagem de cistos em ovários, no caso do ovário policístico. O algoritmo inicia-se filtrando a imagem de ultrassom através de um filtro morfológico adaptativo. Em seguida, foi utilizado um algoritmo de divisor de águas rotulado modificado para extrair os contornos dos cistos. E, por fim, um método de agru-pamento é aplicado para identificar os cistos foliculares esperados com acerto de 84% [Deng et al. 2008].

No trabalho desenvolvido pela Embrapa Informática Agropecuária por Miranda et al descreveu-se um programa para a contagem não-supervisionada de cajueiros. O programa foi implementado em Java e utilizou técnicas de processamento de imagem, como mor-fologia matemática e filtro de difusão complexa, e um processo de otimização baseado em algoritmos genéticos, para tornar possível a localização e contagem das árvores em [Miranda et al. 2009].

Zhao & Li desenvolveram um método para a contagem de grãos, no qual a captura das imagens é realizada após os grãos terem sidos alocados em um contêiner vibratório para a dispersão. O método consiste das seguintes etapas: transformação da imagem para a escala de cinza, filtragem do ruído, binarização da imagem, aplicação da técnica de erosão e contagem em [Zhao & Li 2009].

(35)

mor-2.3. ESTADO DA ARTE EM CONTAGEM USANDO AS MORFOLOGIAS 13

fológico seguido por dilatação. Na terceira etapa, separação de objetos, teve-se a busca por máximos locais na imagem, uma reconstrução morfológica segundo certos critérios e aplicação da transformada de divisor de águas. Na etapa subsequente, seleção de ob-jetos, teve-se a exclusão de objetos tocando as bordas da imagem, busca das bordas dos objetos e rejeição de objetos que não atendem a alguns requisitos. Finalmente, teve-se a parte de cálculo dos dados, onde determinou-se o diâmetro dos objetos, coordenadas dos centroides e contagem dos ovócitos [Skodras et al. 2009].

Mezei e Darabant propuseram um sistema para a contagem de pessoas composto de três partes. Na primeira parte, ocorre realce das imagens onde o algoritmo aplica uma sub-tração de fundo, um escalamento de cinza, binarização e erosão e dilatação. Na segunda parte, dá-se a detecção de manchas (cada mancha corresponde a uma pessoa), as manchas são detectadas de maneira a identificar quais delas estão fragmentadas ou fundidas para posterior ajuste. Por fim, o algoritmo realiza a contagem no [Mezei & Darabant 2010].

Shen et al desenvolveram um método para contar afídeos (insetos) em folhas de soja, com a finalidade de fornecer subsídios para o controle dessa praga. Inicialmente, a ima-gem é filtrada para remover ruído. Em seguida, a imaima-gem é convertida para o sistema de cores HSI. Como terceira etapa é aplicado um limiar (binarização), tendo como imagem resultante composta pelos afídeos e pelas nervuras das folhas. Para eliminar as nervuras, erosão é aplicada. Por fim, é realizada uma contagem de baixa complexidade computa-cional com acerto de 98% em [Shen et al. 2010].

Um método para segmentação e contagem de esperma de ratos foi proposto por Ren et al, com o objetivo de melhorar a segmentação baseada no método de Ostu, principalmente para minimizar o esforço computacional, que foi conseguido fazendo uso da iteração de Newton. O algoritmo foi aplicado para remover ruídos e artefatos, e um processamento morfológico para marcar cada um dos espermas e finalmente foi realizada a contagem [Ren et al. 2010].

Pedrosa et al propuseram um método para detecção de crateras na superfície de Marte, por meio do uso conjunto de produtos de sensoriamento remoto e técnicas de morfologia matemática. Foram realizados experimentos usando o Toolbox de morfologia matemática desenvolvida no Matlab. As imagens utilizadas foram adquiridas pela Mars Orbiter Ca-mera a bordo da sonda Mars Global Surveyor [Pedrosa et al. 2011].

Tratando-se de esporos de fungos micorrízicos, Andrade et al propuseram o uso da morfologia matemáticafuzzy, mais especificamente, uma morfologiafuzzyque utilizou os operadores morfológicos baseados na implicação e T-norma de Lukasiewicz para contar estes esporos em [Andrade et al. 2012].

Tafavogh et al propuseram um método para segmentar e contar células neuroblásticas dentro do tumor em imagens e usaram a morfologia matemática para analisar as células, [Tafavogh et al. 2013].

(36)

2.4 Considerações Finais

(37)

Capítulo 3

Processamento de Imagens

Neste capítulo apresenta-se a fundamentação teórica sobre processamento digital de imagens, necessário para desenvolvimento do trabalho proposto e baseado em [Gonzalez & Woods 2000, Filho & Neto 1999].

3.1 Introdução

A área de processamento de imagens possui um interesse crescente por permitir grande número de aplicações em duas categorias bem distintas: (1) o aprimoramento de mações visuais para análise humana; e (2) a análise feita através de computador de infor-mações obtidas de uma cena.

Uma das primeiras aplicações na primeira categoria foi a melhoria da qualidade da impressão de imagens digitalizadas, transmitidas através do sistema Bartlane, por cabo submarino, entre Londres e Nova Iorque. O primeiro sistema Bartlane, na década de 1920, codificava uma imagem em cinco níveis de intensidade; e esta capacidade foi aumentada para 15 em 1929.

O primeiro computador digital de grande porte surgiu como consequência do pro-grama espacial norte-americano, em 1964; desde então, a área de processamento de ima-gem vem crescendo e as aplicações se expandindo com exemplos na Medicina, na Biolo-gia, no Sensoriamento Remoto, entre outros.

Pode-se dividir como elementos de um sistema de processamento de imagens as seguintes etapas: aquisição, armazenamento, processamento e exibição.

Aquisição

A aquisição tem como função converter uma imagem em uma representação numérica para o processamento digital que segue. Esta etapa compreende dois elementos. O primeiro é um dispositivo físico que produz na saída um sinal elétrico. O segundo, o digitalizador propriamente dito, converte o sinal analógico em sinal digital, isto é, que pode ser representado através debits0se 1s.

Armazenamento

(38)

16 CAPÍTULO 3. PROCESSAMENTO DE IMAGENS

processo pode ser dividido em três classes: (1) armazenamento de curta duração; (2) armazenamento de massa para operações de recuperação de imagens rápidas; e (3) ar-quivamento de imagens para recuperação futura.

Processamento

O processamento de imagens digitais envolve procedimentos sob forma algorítmica. Em função disso, a maioria das funções de processamento de imagens pode ser imple-mentada viasoftware.

Transmissão

Imagens digitalizadas podem ser transmitidas à distância utilizando-se redes de com-putadores e formas de comunicação. O grande desafio da transmissão de imagens à dis-tância é a grande quantidade de bytesque se necessita transferir, muitas vezes através de canais de comunicação de baixa velocidade e banda passante estreita.

Exibição

O monitor de vídeo é um elemento fundamental para a exibição de imagens. Os monitores em uso são capazes de exibir imagens com resolução de pelo menos 640×480

pixelscom 256 cores distintas.

3.2 Fundamentos de Imagens Digitais

Define-se um Sistema de Visão Artificial (SVA) como um sistema computadorizado capaz de adquirir, processar e interpretar imagens correspondentes a cenas, pois tenta aproximar-se ao da visão humana.

3.2.1 Aquisição e Digitalização de Imagens

Definição 3.2.1. Umaimagempode ser definida por f(x,y), onde o valor de f nas co-ordenadas (x,y)resulta na intensidade da imagem naquele ponto, onde f(x,y)deve ser

positiva e finita.

A natureza básica de uma imagem, f(x,y), pode ser caracterizada por dois compo-nentes: (1) a quantidade de luz incidindo na cena e (2) a quantidade de luz refletida pelos objetos na cena. Esses componentes são denominados: iluminância e reflectância, res-pectivamente, e são representados por i(x,y)e r(x,y), com as quais pode-se escrever a imagem como:

f(x,y) =i(x,y)r(x,y), (3.1)

(39)

3.2. FUNDAMENTOS DE IMAGENS DIGITAIS 17

Definição 3.2.2. Umaimagem digitalizada por amostragempode ser expressa como:

f(x,y) = ̂

̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂

f(0,0) f(0,1) Ȃ f(0,M−1) f(1,0) f(1,1) Ȃ f(1,M−1)

Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ

f(N−1,0) f(N−1,1) Ȃ f(N−1,M−1)

̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂̂ ̂̂

, (3.2)

onde cada elemento é denominadopixel.

A imagem ainda pode ser digitalizada com relação à amplitude; esse processo é chamado de quantização dos níveis de cinza.

3.2.2 Propriedades da Imagem Digital

3.2.2.1 Vizinhança

Definição 3.2.3. Seja pum pixelde coordenadas(x,y)a "4-vizinhança"de p,denotada porN4(p),é definida como:

(x+1,y),(x−1,y),(x,y+1),(x,y−1), (3.3)

ilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: 4-vizinhança

FONTE:[Filho & Neto 1999]

Definição 3.2.4. Seja p umpixelde coordenadas (x,y).A "diagonal-vizinhança"de p, denotada porNd(p),é definida como:

(x−1,y−1),(x−1,y+1),(x+1,y−1),(x+1,y+1), (3.4)

tendo como exemplo, a Figura 3.2.

Figura 3.2: Diagonal-vizinhança

(40)

Definição 3.2.5. Sejapumpixelde coordenadas(x,y).A "8-vizinhança"de p,denotada porN₈(p),é definida como:

N8(p) =N4(p)∪Nd(p), (3.5)

exemplificado na Figura 3.3.

Figura 3.3: 8-vizinhança

3.2.2.2. Conectividade

A conectividade entrepixelsé um importante conceito, usado para estabelecer limites de objetos e componentes de uma imagem.

Definição 3.2.6. Seja V o conjunto de valores de níveis de cinza. Pode-se definir os conceitos de conectividade:

(1) "4-conectividade": dois pixels p,q com valores de tom de cinza contidos emV, são "4- conectados"seq∈N4(p);

(2)"8-conectividade": dois pixels p,q com valores de tom de cinza contidos emV,são "8- conectados"seq∈N8(p);

(3) "m-conectividade(conectividade mista)": dois pixels p,q com valores de tom de cinza contidos emV,são "m-conectados"se:

(i)q∈N4(p); ou

(ii)q∈Nd(p)eN4(p)∩N4(q)=Ȃ.

A Figura 3.4 seguinte apresenta um exemplo de 8-conectividade e m-conectividade.

3.2.2.3.Adjacência

Umpixelp é adjacente a umpixelq se eles forem conectados.

(41)

Figura 3.4: (a) 8-vizinhos dopixelcentral, (b) m-vizinhos dopixelcentral.

(a) (b)

Definição 3.2.7. Dados doispixels p,qde coordenadas(x,y),(s,t)respectivamente, um caminhodopixel paopixel qé definido como a sequência

(x0,y0),(x1,y1),Ȃ,(xn,yn), (3.6) onde:

(x0,y0) = (x,y);

(xn,yn) = (s,t);

(xi,yi)é adjacente a(xi−1,yi−1),com né chamado de comprimento do caminho.

3.2.2.5.Medições e Distâncias

Definição 3.2.8. Dados os pixels p,q,z, de coordenadas (x,y),(s,t),(u,v), respectiva-mente, define-se afunção distânciaD,com as seguintes propriedades:

(i)D(p,q) ≥0 ((D(p,q) =0)se e somente se p=q;) (ii)D(p,q) =D(q,p);

(iii)D(p,z) ≤D(p,q)+D(q,z).

Enumera-se algumas distâncias importantes no processamento de imagens.

(1) Distância Euclidiana−De(p,q) =

√

(x−s)2+(y−t)2; (2) DistânciaD4(city-block)−D4(p,q) = ∣x−s∣+∣y−t∣;

(3) DistânciaD8(tabuleiro de xadrez)−D8(p,z) =max(∣x−s∣,∣y−t∣);

(42)

Após uma imagem ter sido adquirida e digitalizada, ela pode ser vista como uma matriz de números inteiros e, portanto, podem ser utilizadas operações lógicas e/ou arit-méticas. Essas operações podem ser efetuadas pixel apixel ou orientadas à vizinhança. No primeiro caso, elas podem ser usadas com a seguinte notação:

X opnY =Z,

ondeX eY podem ser matrizes ou escalares;Z tem que ser uma matriz; e opné um operador aritmético(+,−,×,/)ou lógico (AND, OR, XOR).

Ao utilizar-se as operações aritméticas sobre imagens, deve-se ter cuidado com os problemas deunderflowouoverflowdo resultado. Por exemplo, a adição de duas imagens de 256 tons de cinza pode ter como resultado um número maior que 255 para alguns pixels. Para resolver este problema, existem duas possibilidades:

(1) manter os resultados obtidos inicialmente em uma matriz onde para cada pixelpossibilite a representação em valores maiores que 255 e em seguida proceder a uma normalização destes valores;

(2) truncar os valores maiores que o máximo valor permitido e menores que o mínimo permitido, igualando-os a 255 e 0,respectivamente.

3.2.2.7.Transformações Geométricas

Transformações geométricas são operações do processamento de imagens cuja prin-cipal função é alterar a posição espacial dospixels. As principais transformações são: am-pliação e redução, alteração de dimensão, translação, rotação, espelhamento e warping.

Ampliação e Redução(zoom)

As transformações de ampliação e redução de imagens (zoom ine zoom out, respec-tivamente) são processos onde as dimensões de uma imagem são aumentadas ou dimi-nuídas para efeito de visualização, não representando alterações nas dimensões reais. A maneira mais simples de ampliar ou reduzir uma imagem é multiplicar ou dividir os va-lores dospixelsna direçãoxouy,ou em ambas.

Para expandir uma imagem por um fator 2,cadapixelé copiado 4 vezes na imagem resultante, conforme ilustra a Figura 3.5.

Alterações de Dimensões (scaling e sizing)

Para alterar as dimensões de uma imagem é necessário aplicar duas técnicas distintas.

(43)

Figura 3.5: Expansão de umpixelem 4

(2) a técnica desizingé utilizada nas situações em que se especifica o tamanho, ao invés de especificar o fator de ampliação ou redução.

Como exemplo, temos as Figuras 3.6, 3.7 e 3.8.

Figura 3.6: Imagem Original

Translação

Definição 3.2.9. Dado um pixel representado pelas coordenadas (x,y), define-se uma translação, como um deslocamento, ou seja

(x′,y′) = (x+Fx,y+Fy), (3.7)

(44)

Figura 3.7: Imagem Ampliada de 2 vezes

Figura 3.8: Imagem Reduzida de 2 vezes

Rotação

Uma imagem pode ser rotacionada com relação a um ângulo arbitrário, que pode ser no sentido horário ou no anti-horário. Vai-se definir uma rotação com um ângulo arbitrário.

Definição 3.2.10. Sejam (x,y) um ponto de uma imagem e um ângulo qualquer α. A

rotaçãode(x,y)em relação ao ânguloαé dada por:

x′=xcos(α)+ysin(α)

y′=xcos(α)−ysin(α) (3.8)

(45)

Figura 3.9: Exemplo de Rotação de 90○_{no sentido horário}

Espelhamento (Flip)

O espelhamento (flip) é uma transformação que combina a rotação por ângulos múlti-plos de 90○_{com a matriz transposta. A Figura 3.10 mostra um}_flipping_horizontal.

Figura 3.10: Exemplo deflippinghorizontal

Warping

Warping é o nome dado ao processo de alteração de uma imagem, de tal modo que a relação entre os objetos e suas características é alterada de acordo com outra imagem (template). A Figura 3.11 mostra um exemplo do processo dewarpingaplicado a uma imagem binária simples.

Figura 3.11: Exemplo dewarping

(46)

Projeção

Pode-se utilizar a transformação matemática muito comum, projeção afim, definida a seguir:

Definição 3.2.11. Dadas as coordenadas(x,y)e(x′,y

′)

,chamadas de coordenadas velhas e novas, respectivamente, pode-se definir as seguintes equações para aprojeção afim:

x′=ax+by+c ix+jy+1

y′=dx+ey+f ix+jy+1

(3.9)

ondea,b,c,d,e,f,i,jsão calculados a partir de um conjunto de pontos que correspondem à congruência desejada entre as duas imagens ou entre a imagem original e otemplate.

Cropping, cutting e pasting

Pode-se recortar e colar trechos de imagens para compor novas imagens. Existem três formas de se recortar uma imagem.

(1) Utilizar uma região retangular, definida pelas coordenadas de dois de seus vértices;

(2) Utilizar uma figura geométrica regular qualquer ou um polígono; (3) Delimitar a área de recorte à ‘mão livre’.

3.3 Realce e Filtragem

As técnicas de realce de imagens consistem em processar uma certa imagem de modo que a imagem obtida seja mais adequada para uma determinada aplicação que a imagem original. Os métodos de filtragem de imagens explanados nesta seção são classificados em duas categorias: as técnicas de filtragem espacial e as técnicas de filtragem no domínio da frequência.

3.3.1 Filtragem no Domínio Espacial

Os processos de filtragem no domínio espacial são aqueles que atuam diretamente sobre a imagem digitalizada.

Definição 3.3.1. Dada a imagem f(x,y) e o operador T, pode-se definir uma imagem processada na vizinhança de(x,y)como:

(47)

3.3. REALCE E FILTRAGEM 25

A filtragem no domínio espacial possui três tipos principais de filtros.

(1) Os filtros passa-baixa atenuam ou eliminam as componentes de alta fre-quência no domínio das transformadas de Fourier que correspondem a regiões de bordas e/ou detalhes finos na imagem. O efeito dessa filtragem é a suavização da imagem, provocando um pequeno borramento na mesma;

(2) Os filtros passa-altas atenuam ou eliminam os componentes de baixa fre-quência, fazendo com que as bordas e regiões de alto contraste da imagem sejam realçados;

(3) Os filtros passa-faixa são capazes de remover ou atenuar componentes acima de sua frequência de corte superior e abaixo de sua frequência de corte infe-rior, e são de pequena utilidade prática.

A Figura 3.12 mostra as respostas em frequência dos três principais tipos de filtros exis-tentes e os respectivos filtros espaciais correspondentes.

Figura 3.12: Resposta em frequência dos principais tipos de filtros.

Ainda podemos descrever dois filtros relevantes: o filtro da média e o filtro mediana.

Filtro da Média

(48)

Filtro Mediana

Neste filtro substitui-se o nível de cinza dopixelcentral da janela pela mediana dos pixelssituados em sua vizinhança.

Uma das principais deficiências do filtro da média em casos onde se quer remover ruídos está na sua dificuldade em preservar bordas e detalhes finos da imagem. Para resolvê-la se aplica um filtro da mediana

3.3.2 Filtragem no Domínio da Frequência

O teorema da convolução serve de fundamento matemático para as técnicas de fil-tragem no domínio da frequência.

Definição 3.3.3. Sejam f(x,y) uma imagem e um operador linear h(x,y). A imagem

formada pela convoluçãoé dada por:

g(x,y) = f(x,y)∗h(x,y). (3.11)

Teorema 3.3.1. (Teorema da Convolução). Sejam f(x,y),g(x,y)duas funções e f(x,y)∗ g(x,y)sua convolução. Supondo que F seja o operador transformada de Fourier, tal que F(f(x,y)) e F(g(x,y)) sejam as transformadas de Fourier de f e g, respectivamente. Então,

F(f(x,y)∗g(x,y)) =F(f(x,y))⋅F(g(x,y)). (3.12)

Pelo teorema da convolução, a seguinte relação no domínio da frequência é ver-dadeira:

G(u,v) =F(u,v)H(u,v), (3.13)

ondeG,F,Hsão as transformadas de Fourier (TF) deg,f,h,respectivamente. A trans-formada H(u,v) é chamadafunção de transferência do filtro.

A noção básica da filtragem no domínio da frequência está em calcular a TF da ima-gem a ser filtrada, multiplicar este resultado pela função de transferência do filtro e cal-cular a Transformada de Fourier Inversa (TFI) do resultado. A seguir será dado uma explanação sobre os filtros existentes.

3.3.2.1 Filtro passa-baixa (FPB)

Definição 3.3.4. Sejam F(u,v)a transformada de Fourier da imagem que será proces-sada eG(u,v)a transformada de Fourier da imagem de saída. A filtragem passa-baixa consiste em calcular umH(u,v)tal que

(49)

3.3. REALCE E FILTRAGEM 27

Filtro passa-baixa Ideal

Definição 3.3.5. Um filtro passa-baixa 2-D idealé aquele cuja função de transferência satisfaz a relação:

H(u,v) = { 1 se D(u,v) ≤D0 0 se D(u,v)>D0,

(3.15)

ondeD0 é a ’distância de corte’ do filtro e D(u,v)é a distância Euclidiana do ponto (u,v) à origem do plano de frequência.

Filtro passa-baixa Butterworth

Definição 3.3.6. Um filtro passa-baixa Butterworth de ordemne com frequência de corte a uma distânciaD0da origem possui função de transferência dada pela equação:

H(u,v)= 1

1+[D(u,v)

D₀ ]2n

, (3.16)

ondeD(u,v)é uma distância Euclidiana de(u,v)a origem.

Diferentemente do filtro passa-baixa ideal, o filtro de Butterworth não possui uma diferença drástica entre banda de passagem e banda de rejeição. Por isso, é necessário estabelecer alguma convenção para determinar o valor exato da frequência de corte do filtro cuja mais frequente é quandoD(u,v)=D0é 0,707 do valor máximo deH(u,v).

3.3.2.2. Filtro passa-alta (FPA)

O maior objetivo do uso de filtros passa-alta em imagens é o realce das regiões de alta frequência, como bordas e texturas ricas em altas variações de níveis de cinza.

Filtro passa-alta ideal

Definição 3.3.7. Um filtro passa-alta 2-D ideal é aquele cuja função de transferência satisfaz a relação:

H(u,v)={ ₁0 se D(u,v)≤D0

se D(u,v)>D0,

(3.17)

(50)

Filtro passa-alta Butterworth

Definição 3.3.8. Umfiltro passa-alta Butterworthde ordemne com frequência de corte a uma distânciaD₀da origem possui função de transferência dada pela equação:

H(u,v) = 1 1+[ D0

D(u,v)]

2n, (3.18)

ondeD(u,v)é uma distância Euclidiana de(u,v)a origem.

A filtragem passa-alta usando um filtro Butterworth apresenta como desvantagem a excessiva atenuação dos componentes de baixa frequência.

3.4 Segmentação de Imagens

O primeiro passo para a análise de imagem é a sua segmentação, que consiste em subdividir essa imagem em suas partes ou objetos constituintes. Esse processo deve parar quando os objetos de interesse na aplicação tiverem sido isolados.

Os algoritmos de segmentação para imagens monocromáticas são baseados em uma das seguintes propriedades básicas de valores de níveis de cinza: descontinuidade e si-milaridade. Na primeira categoria, a abordagem é particionar a imagem com base em mudanças bruscas nos níveis de cinza. As principais áreas de interesse nessa categoria são a detecção de pontos isolados e detecção de linhas e bordas na imagem. Na segunda categoria, as principais abordagens baseiam-se em limiarização.