Uma resenha sobre modelos de apreçamento de derivativos

FUNDA ¸

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AO GET ´

ULIO VARGAS

ESCOLA DE P ´

OS-GRADUA ¸

C ˜

AO EM

ECONOMIA

Pedro Henrique Engel Guimar˜

aes

Uma Resenha Sobre Modelos de Apre¸camento de

Derivativos

Pedro Henrique Engel Guimar˜

aes

Uma Resenha Sobre Modelos de Apre¸camento de

Derivativos

Disserta¸c˜ao submetida a Escola de P´os-Gradua¸c˜ao em Economia como requesito par-cial para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Economia.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Finan¸cas

Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida

Guimar˜aes, Pedro Henrique Engel

Uma resenha sobre modelos de apre¸camento de derivativos / Pedro Henrique Engel Guimar˜aes. - 2012.

63f.

Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Funda¸c˜ao Getulio Vargas, Escola de P´ os-Gradua¸c˜ao em Economia.

Orientador: Caio Ibsen Rodrigues de Almeida. Inclui Bibliografia.

1. Derivativos(Finan¸cas). 2. Pre¸cos . 3. Risco(Economia). 4. Equa¸c˜oes diferenciais parciais. I. Almeida, Caio Ibsen Rodrigues de. II. Funda¸c˜ao Getulio Vargas.

Escola de P´os-Gradua¸c˜ao em Economia. III. T´ıtulo.

Apresento aqui uma abordagem que unifica a literatura sobre os v´arios modelos de apre¸camento de derivativos que consiste em obter por argumentos intuitivos de n˜ao arbitragem uma Equa¸c˜ao Diferencial Parcial(EDP) e atrav´es do m´etodo de Feynman-Kac uma solu¸c˜ao que ´e representada por uma esperan¸ca condicional de um processo markoviano do pre¸co do derivativo descontado pela taxa livre de risco. Por este re-sultado, temos que a esperan¸ca deve ser tomada com rela¸c˜ao a processos que crescem `

a taxa livre de risco e por este motivo dizemos que a esperan¸ca ´e tomada em um mundo neutro ao risco(ou medida neutra ao risco). Apresento ainda como realizar uma mudan¸ca de medida pertinente que conecta o mundo real ao mundo neutro ao risco e que o elemento chave para essa mudan¸ca de medida ´e o pre¸co de mercado dos fatores de risco. No caso de mercado completo o pre¸co de mercado do fator de risco ´e ´unico e no caso de mercados incompletos existe uma variedade de pre¸cos aceit´aveis para os fatores de risco pelo argumento de n˜ao arbitragem. Neste ´ultimo caso, os pre¸cos de mercado s˜ao geralmente escolhidos de forma a calibrar o modelo com os dados de mercado.

I present here an approach that unify a variety of derivative pricing models that consists of attaining a Partial Differential Equation(PDE) by intuitive arguments and give its solution by Feynman-Kac method as a conditinal expectation of a markovian process. The expectation is taken in a risk neutral world(or risk neutral measure) where all the assets grow at the risk free rate. I also present how to make this specific change of measure, connecting the real world to the risk neutral world, and show that the relevant element for the measure change is the market price of factor risk. When the market is complete the market price of risk is unique and when the market is incomplete there is a variety of possible prices to the market price of factor risks that satisfy no arbitrage arguments. In the latter case the parameters are usually chosen to calibrate the model to market data.

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 7

2 Introdu¸c˜ao aos Processos de Ito 9

2.1 Movimento Browniano . . . 9

2.1.1 Filtragem para um Movimento Browniano . . . 9

2.1.2 Propriedades do Movimento Browniano . . . 9

2.2 A Integral de Ito . . . 11

2.2.1 Propriedades da Integral de Ito . . . 11

2.3 O Lema de Ito. . . 13

2.4 O Teorema de Girsanov . . . 14

2.4.1 A Derivada de Radon-Nikod´ym . . . 14

2.4.2 O Teorema de Levy . . . 15

2.4.3 O Teorema de Girsanov . . . 16

2.4.4 Processos de Ito com Correla¸c˜ao constante . . . 16

3 O Modelo de Black-Scholes 18 3.1 A Equa¸c˜ao Diferencial de Black-Scholes . . . 18

3.2 A Medida Neutra ao Risco . . . 19

3.3 O Pre¸co de Mercado do Risco . . . 20

3.4 A F´ormula de Black-Scholes . . . 20

3.5 O M´etodo de Feynman-Kac . . . 21

3.5.1 A EDP de BS com dividendos . . . 21

3.5.2 A EDP de Black . . . 22

3.5.3 A EDP Geral de Black-Scholes . . . 22

3.5.4 O M´etodo de Feynman-Kac . . . 22

3.5.5 Aplica¸c˜ao do M´etodo de Feynman-Kac . . . 23

3.6 Escolhas Alternativas para o Numer´ario . . . 24

3.6.1 O Resultado da Medida Martingale Equivalente . . . 24

3.6.2 A Escolha do Numer´ario . . . 25

4 Modelos com Volatilidade Estoc´astica 26 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 26

4.2 O Modelo . . . 26

4.3 A EDP do Modelo . . . 27

4.4 O Pre¸co de Mercado do Risco da Volatilidade . . . 28

4.5 Modelo de Hull-White . . . 29

4.5.1 Dificuldades do Modelo . . . 30

4.6.2 Volatilidade Impl´ıcita como fun¸c˜ao de Moneyness . . . 32

4.6.3 Volatilidade estoc´astica e a Smile Curve . . . 32

4.7 O Modelo de Heston . . . 33

4.7.1 Dificuldades do Modelo e Resultados . . . 36

5 Introdu¸c˜ao aos Processos de Difus˜ao com Saltos 39 5.1 O Modelo . . . 39

5.1.1 O Processo de Poisson . . . 40

5.1.2 O Processo de Poisson Composto . . . 41

5.2 A Integral estoc´astica com Saltos . . . 43

5.2.1 Exemplo . . . 44

5.2.2 Propriedades da Integral Estoc´astica com Saltos . . . 44

5.3 Lema de Ito para Processos com Saltos . . . 46

5.3.1 O Processo de Poisson Geom´etrico . . . 47

5.3.2 Lema de Ito Bivariado para Processos com Saltos . . . 48

5.4 Mudan¸ca de Medida para um Processo de Poisson . . . 49

5.4.1 Mudan¸ca de Medida para um Processo de Poisson Simples . . . 49

5.4.2 Exemplo:Processo de Poisson Geom´etrico . . . 49

5.4.3 Mudan¸ca de Medida para um Processo de Poisson Composto . . . . 50

5.4.4 Mudan¸ca de Intensidade e Distribui¸c˜ao para um Processo de Poisson Composto . . . 51

5.4.5 Mudan¸ca de Medida para um Processo de Poisson Composto e um Movimento Browniano . . . 52

6 Precificando um Derivativo em um Modelo com Saltos 54 6.1 Um Primeiro Modelo . . . 54

6.2 Ativos Movidos por um Movimento Browniano e um Processo de Poisson Composto . . . 56

6.3 A Medida Neutra ao Risco e o Risco de Mercado dos Saltos . . . 57

6.4 A Equa¸c˜ao Integro-Diferencial . . . 58

6.5 O Modelo de Merton . . . 60

6.6 A F´ormula de Merton . . . 60

7 Conclus˜oes 62

1

Introdu¸c˜

ao

Desde a introdu¸c˜ao do modelo canˆonico de Black e Scholes (1973), muitos avan¸cos foram feitos com base em relaxar as hip´oteses do modelo. O modelo de Black-Scholes falha em verificar 2 fatos emp´ıricos de pre¸cos de op¸c˜oes: a smile curve da volatilidade impl´ıcita e o alto pre¸co de op¸c˜oes fora do dinheiro com prazo perto do vencimento. Para resolver essas 2 deficiˆencias claras do modelo de Black e Scholes a teoria evoluiu com a introdu¸c˜ao de volatidade estoc´astica, inicialmente explorada porJohn Hull(1987) e poste-riormente generalizada porHeston(1993) e com a introdu¸c˜ao de saltos nos pre¸cos do ativo base(underlying), inicialmente explorado por Merton. Muitos modelos de apre¸camento de derivativos foram desenvolvidos at´e anos recentes, mas seja qual for o modelo, deve fazer as seguintes hip´oteses b´asicas: qual o processo do pre¸co do ativo base(underlying); qual o processo da taxa de juros; qual o pre¸co de mercado dos fatores de risco. Seguindo Gurdip Bakshi e Chen (1992), podemos classificar os modelos de apre¸camento de de-rivativos nas seguintes classes amplas: (i)Black e Scholes; (ii)taxa de juros estoc´astica; (iii)volatilidade estoc´astica; (iv)saltos; e combina¸c˜oes dos modelos anteriores. A an´alise emp´ırica de Bakshi conclui que os modelos de volatilidade estoc´astica que incorporam saltos s˜ao melhores em termos de precis˜ao de apre¸camento e consistencia, enquanto que os de volatilidade estoc´astica sozinhos fornecem melhor performance de hedge. A luz desses resultados, o presente artigo fornece uma revis˜ao de abordagem unificada para o apre¸camento de derivativos que envolve a deriva¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial de n˜ao ar-bitragem que em um modelo com saltos se transforma em uma equa¸c˜ao integro-diferencial a qual o pre¸co do derivativo deve satisfazer. O m´etodo de solu¸c˜ao proposto para resolver a equa¸c˜ao diferencial ´e conhecido como m´etodo de Feynman-Kac e seu an´alogo para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao integro-diferencial ´e conhecido como m´etodo de Dynkin. Ambos os m´etodos prop˜oem a introdu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial estoc´astica que nos fornece explicitamente que mudan¸ca de medida deve ser realizada para que o processo do ativo base forne¸ca a solu¸c˜ao proposta.

m´etodo de Feynman-Kac. Al´em disso, a conex˜ao dos diferentes modelos ´e feita de forma clara, motivando a introdu¸c˜ao de novas complexidades no modelo canˆonico atrav´es de justificativas te´oricas e dados emp´ıricos que est˜ao presentes em uma coletˆanea de artigos e diferentes livros da ´area.

2

Introdu¸c˜

ao aos Processos de Ito

Para entendermos os modelos de apre¸camento de derivativos, precisamos primeira-mente analisar as ferramentas matem´aticas que s˜ao utilizadas pela literatura. Come¸care-mos ent˜ao definindo alguns conceitos e introduzindo algumas propriedades matem´aticas que s˜ao vastamente adotadas na modelagem de derivativos.Grande parte do que ser´a tra-tado nesta se¸c˜ao pode ser encontrado emE.Shreve(2004). Para o leitor interessado apenas na obten¸c˜ao das f´ormulas de apre¸camento aqui apresentadas e suas justificativas te´oricas, a leitura dos resultados sem se ater as provas pode ser feita sem preju´ızo a leitura restante do artigo.

2.1

Movimento Browniano

Seja (Ω,_ℑ, P) um espa¸co de probabilidade. Suponha que para cada ω _∈ Ω,existe uma fun¸c˜ao cont´ınua w(t) de t _≥ 0 que satisfa¸ca w(o) = 0 e que dependa de ω. Ent˜ao

w(t), t _≥ 0 ´e um Movimento Browniano se para quaisquer 0 = t0 < t1 < ... < tm =

T,os incrementos w(t1)₋w(t0), w(t2)₋w(t1), ..., w(tm)− w(tm−1) s˜ao independentes e

normalmente distribu´ıdos, com m´edia 0 e variˆanciati+1−ti, i= 0, ..., m−1.

2.1.1 Filtragem para um Movimento Browniano

Seja (Ω,_ℑ, P) um espa¸co de probabilidade sob o qual est´a definido um Movimento Browniano(MB) w(t), t _≥ 0. Uma filtragem para o MB ´e uma cole¸c˜ao de σ-´algebras

ℑ(t), t_≥0, que satisfaz:

(i) Informa¸c˜ao acumula: Para qualquer s _∈ (0, t), A _{∈ ℑ}(s) implica que A _{∈ ℑ}(t), ou seja, h´a ao menos tanta informa¸c˜ao dispon´ıvel em _ℑ(t) quanto h´a em_ℑ(s).

(ii) Adaptatividade: Para cada t _≥ 0, o MB w(t) em t ´e _ℑ(t)-mensur´avel. Em outras palavras, a informa¸c˜ao em t´e suficiente para avaliarmos w(t)

(iii) Independˆencia de incrementos futuros: Para u > t_≥0, o incremento w(u)₋w(t) ´e independente de _ℑ(t). Em outras palavras, qualquer incremento do MB depois de t

´e independente da informa¸c˜ao dispon´ıvel emt.

2.1.2 Propriedades do Movimento Browniano

O movimento browniano possui algumas propriedades importantes que s˜ao descritas abaixo:

Demonstra¸c˜ao: sejat_≥s _≥0. Ent˜aoE[w(t)_|ℑ(s)] =E[w(t)₋w(s)+w(s)_|ℑ(s)] =

E[w(t)₋w(s)_|ℑ(s)] +E[w(s)_|ℑ(s)] =E[w(t)₋w(s)] +w(s) = w(s)

2. O movimento browniano possui varia¸c˜ao quadr´atica T quase certamente, isto ´e, [w, w](T) =T quase certamente(qc), onde [w, w](T)_≡Pn−1

j=0(w(tj+1)−w(tj))2.

Demonstra¸c˜ao: Seja Π =t0, t1, ..., tnos pontos da parti¸c˜ao do intervalo [0, T].

De-finimos a varia¸c˜ao quadr´atica amostral como QΠ = Pn−1

j=0(w(tj+1)−w(tj))2. Note

que QΠ ´e uma soma de vari´aveis aleat´orias e portanto ´e uma vari´avel aleat´oria com m´edia E[QΠ] = Pjn=0−1E[(w(tj+1) −w(tj))2] = Pjn=0−1(tj+1 −tj) = T e

vari-ˆancia V ar[QΠ] = Pn−1

j=0 V ar[(w(tj+1) −w(tj))2], onde V ar[(w(tj+1) −w(tj))2] = E[(w(tj+1)−w(tj))4]−E[(w(tj+1)−w(tj))2]2 = 3(σ2)2 −(tj+1 −tj)2 = 2(tj+1 − tj)2.Logo, V ar[QΠ] =P_jn₌₀−12(tj+1−tj)2 ≤(max Π)Pn_j=0−12(tj+1−tj) = 2(maxΠ)T

Temos ent˜ao que lim_|Π|→0V ar[QΠ] = 0. Como E[QΠ] = T e V ar[QΠ] = 0, temos

que lim_|Π|→0E[(QΠ−T)2] = 0 j´a que V ar[QΠ] =V ar[QΠ−T] =E[(QΠ−T)2]− E[(QΠ₋T)]2 _{= E[(QΠ−T)}2_{]. Podemos ent˜ao concluir que QΠ converge em}

m´e-dia quadr´atica para T. Quando uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias converge em m´edia quadr´atica, temos que essa sequˆencia possui uma subsequˆencia que converge quase certamente.

Demonstra¸c˜ao: Uma outra forma interessante de provarmos o teorema ´e a se-guinte. Defina Yj+1 = w(√tj+1_t )−w(tj)

j+1−tj ∼ N(0,1). Podemos definir tj =

jT n , j =

0,1, ..., n.Note quetj+1−tj = T_n e (w(tj+1)−w(tj))2 = (tj+1−tj)Yj2+1 =T

Y2

j+1

n . Logo,

pela Lei dos Grandes N´umeros, temos quePn−1

j=0(w(tj+1)−w(tj))2 =T Pn−1

j=0

Y2

j+1

n →

T E[Y2

j+1] =T.

Escrevemos informalmente que dw(t)dw(t) = dt e dizemos que o MB acumula vari-a¸c˜ao quadr´atica a taxa de 1 por unidade de tempo.

3. A varia¸c˜ao cruzada entre o movimento browniano e o intervalo de tempo ´e zero, ie, [w, t](T) = 0. Al´em disso, a varia¸c˜ao quadr´atica do tempo ´e zero,ie, [t, t](T) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Note que [w, t](T)_≡lim_|Π|→0Pnj=0−1|w(tj+1)−w(tj)|(tj+1−tj)≤

lim_|Π|→0maxj|w(tj+1)−w(tj)|Pnj=0−1(tj+1−tj) = T lim|Π|→0maxj|w(tj+1)−w(tj)|= 0

Escrevemos informalmente que dw(t)dt = 0 e dtdt= 0

2.2

A Integral de Ito

Seja Π = t0, t1, ..., tn os pontos da parti¸c˜ao do intervalo [0, T], com 0 = t0 < t1 <

... < tm = T. Assuma que x(t) ´e um processo adaptado, ie, x(t) ´e ℑ(t)-mensur´avel.

Se x(t) ´e constante em t em cada subintervalo da parti¸c˜ao [tj, tj+1), dizemos que x(t)

´e um processo simples. Note que x(t) depende de ω, assim como w(t). Como x(t) ´e um processo adaptado, temos que seu valor depende apenas da informa¸c˜ao dispon´ıvel em

t. Como em t = 0 n˜ao h´a nenhuma informa¸c˜ao, x(0) deve ser o mesmo para todos os caminhos poss´ıveis, logo,x(t) n˜ao depende de ω para t_∈(0, t1).

A integral de Ito para o processo simplesx(t) ´e definida como

I(t)_≡Pk−1

j=0x(tj)[w(tj+1)−w(tj)] +x(tk)[w(t)−w(tk)].

Note que a integral est´a definida para todo limite superior t_∈ [0, T]. Escrevemos I(t) =

Rt

0 x(u)dw(u).

2.2.1 Propriedades da Integral de Ito

A integral de Ito possui algumas propriedades importantes que s˜ao descritas abaixo:

1. A integral de Ito ´e um martingale.

Demonstra¸c˜ao: sejam s, t_∈[0, T], com t_≥s. Assumiremos queset est˜ao em di-ferentes subintervalos da parti¸c˜ao Π, ie, existe tl, tk, comtk > tl tais ques∈[tl, tl+1)

et_∈[tk, tk+1). Separaremos a integral de Ito em 4 parcelas e calculamos seus valores

esperados, em seguida somamos os valores esperados de cada parcela e obtemos o valor esperado da integral. Note que

I(t) =Pl−1

j=0x(tj)[w(tj+1)−w(tj)]+x(tl)[w(tl+1)−w(tl)]+Pkj=−l1+1x(tj)[w(tj+1)−w(tj)]+

x(tk)[w(t)−w(tk)]

• E[Pl−1

j=0x(tj)[w(tj+1)−w(tj)]|ℑ(s)] = Pl−1

j=0x(tj)[w(tj+1)−w(tj)] j´a que tl ≤ s

• E[x(tl)[w(tl+1)−w(tl)]|ℑ(s)] = x(tl){E[w(tl+1)|ℑ(s)]−w(tl)} = x(tl)[w(s)−

w(tl)]

• Pk−1

j=l+1E[x(tj)[w(tj+1)−w(tj)]|ℑ(s)] =

Pk−1

j=l+1E[E[x(tj)[w(tj+1)−w(tj)]|ℑ(tj)]|ℑ(s)] =

Pk−1

Pk−1

j=l+1E[x(tj)[w(tj)−w(tj)]|ℑ(s)] = 0 para tj >0

• De forma an´aloga,E[x(tk)[w(t)−w(tk)]|ℑ(s)] = 0

Logo, E[I(t)_|ℑ(s)] =Pl−1

j=0x(tj)[w(tj+1)−w(tj)] +x(tl)[w(s)−w(tl)] =I(s)

2. (Isometria)A integral de Ito satisfaz E[I(t)2] =E[Rt 0 x(u)

2_du].

Demonstra¸c˜ao: Seja Dj ≡ w(tj+1)−w(tj), j = 0, ..., k−1 e Dk ≡ w(t)−w(tk).

Temos que

I(t) =Pk

j=0x(tj)Dj e I(t)2 = P

i

P

jx(ti)x(tj)DiDj, ou

I(t)2 ₌Pk

j=0x(tj)2Dj2+

P

i

P

j6=ix(ti)x(tj)D(i)D(j).

Note que Di e Dj s˜ao independentes para i6=j, logo,

E[x(ti)x(tj)DiDj] =E[x(ti)x(tj)Di]E[Dj] = 0 e

E[x(tj)2Dj2] =E[x(tj)2]E[D2j] =E[x(tj)2](tj+1−tj).

Portanto, E[I(t)2_{] =}Pk−1

j=oE[x(tj)2](tj+1−tj) +E[x(tk)2](t−tk).

Note quex(tj) ´e constante no intervalotj, tj+1eportantox(tj)2(tj+1−tj) =

Rtj+1

tj x(u)

2_du.

Concluimos ent˜ao que

E[I(t)2_{] =}Pk−1

j=0E[ Rtj+1

tj x(u)

2_{du] +E[}Rt

tkx(u)

2_{du] =E[}Rt 0x(u)

2_du]

Como I(t) ´e um martingale e I(0) = 0, temos que E[I(t)] = 0 para todo t _≥ 0. Segue que V ar[I(t)] =E[I(t)2_{] =E[}Rt

0 x(u) 2_du].

3. A varia¸c˜ao quadr´atica acumulada at´e o tempo t da integral de Ito ´e [I, I](t) =

Rt 0 x(u)

2_du.

Demonstra¸c˜ao: Considere uma parti¸c˜ao tal que x(t) ´e constante em cada subin-tervalo da parti¸c˜ao [tj, tj+1). Seja tj =s0 < s1 < ... < sm =tj+1, ent˜ao

Pm−1

i=0 [I(si+1)−I(si)]2 =

Pm−1

i=0 [x(tj)(w(si+1)−w(si))]2 = x(tj)2Pm_i=0−1(w(si+1)−w(si))2. Logo,

limm→∞Pmi=0−1[I(si+1)−I(si)]2 =x(tj)2limm→∞ Pm−1

i=0 (w(si+1)−w(si))2 = x(tj)2(tj+1−tj) =

Rtj+1

tj x(u)

2_du.

Concluimos ent˜ao que [I, I](t) =Pk

j=0 Rtj+1

tj x(u)

2_du=Rt 0 x(u)

2_du

Escrevemos informalmente que dI(t) = x(t)dw(t) e dI(t)dI(t) = x(t)2_dw(t)2 ₌ x(t)2_dt.

4. (Linearidade)A integral de Ito satisfazRt

0 [αx(u) +βy(u)]du=α Rt

0 x(u)du+β Rt

onde x(u) e y(u) s˜ao processos adaptados e α e β s˜ao constantes.

2.3

O Lema de Ito

O lema de Ito ´e um ferramental de extrema importˆancia tanto para o c´alculo de in-tegrais estoc´asticas mais complicadas quanto para a obten¸c˜ao da medida neutra ao risco adequada a fim de se obter o pre¸co do derivativo. O lema de Ito nos permite inferir o processo de difus˜ao de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel, desde que conhe¸camos o processo de difus˜ao da vari´avel em si e a fun¸c˜ao for bem comportada. Formalmente:

Teorema:Sejaf(t, x) uma fun¸c˜ao com derivadas parciaisft, fx, fxx cont´ınuas ex(t)

um processo de Ito caracterizado por dx(t) = µ(x, t)dt +σ(x, t)dw(t). Ent˜ao f(t, x) ´e um processo de Ito caracterizado por df(t) = ftdt + fxdx(t) + 1₂fxxdx(t)2, isto ´e,

df(t) = [ft+fxµ(x, t) + 1₂fxxσ(x, t)2]dt+fxσ(x, t)dw(t).

Demonstra¸c˜ao:

A exten¸c˜ao do lema de Ito para fun¸c˜oes de 2 ou mais vari´aveis ´e direta. Para nossa finalidade, precisaremos apenas do Lema de Ito para fun¸c˜oes de 1 e 2 vari´aveis. O lema de Ito de 2 vari´aveis nos diz qual o processo de difus˜ao que caracteriza uma fun¸c˜ao de 2 vari´aveis cujos processos s˜ao conhecidos. Formalmente:

Teorema:Seja f(t, x, y) uma fun¸c˜ao com derivadas parciais ft, fx, fy, fxx, fxy e fyy

cont´ınuas. Seja ainda x(t) e y(t) processos de Ito caracterizados por dx(t) =1 (t)dt+ σ11(t)dw1(t) + σ12(t)dw2(t) e dy(t) =2 (t)dt + σ21(t)dw1(t) + σ22(t)dw2(t)

respectiva-mente. Ent˜ao f(t, x, y) ´e um processo de Ito caracterizado por df(t) = ftdt+fxdx(t) +

fydy(t) + 1₂[fxxdx(t)2+ 2fxydx(t)dy(t) +fyydy(t)2], isto ´e, df(t) = [ft+1(t)fx+2(t)fy+

1

2((σ11(t)2 +σ12(t)2)fxx + 2(σ11(t)σ21(t) +σ12(t)σ22(t))fxy + (σ21(t)2 + σ22(t)2)fyy)]dt +

[σ11(t)fx+σ21(t)fy]dw1(t) + [σ12(t)fx+σ22(t)fy]dw2(t).

Aplicando diretamente o lema de Ito de 2 vari´aveis, podemos obter a regra do produto que se mostra bastante ´util para a obten¸c˜ao da medida neutra ao risco. A regra do produto de Ito nos diz qual processo de difus˜ao caracteriza o produto de 2 processos conhecidos. Apresentamos aqui a regra do produto de Ito como corol´ario do Lema de Ito de 2 vari´aveis.

Demonstra¸c˜ao: Defina f(t, x, y) = xy. Pelo lema de Ito de 2 vari´aveis, df(t) = ftdt+

fxdx(t) +fydy(t) + 1₂[fxxdx(t)2+ 2fxydx(t)dy(t) +fyydy(t)2] =y(t)dx(t) +x(t)dy(t).

2.4

O Teorema de Girsanov

O Teorema de Girsanov nos d´a um resultado fundamental para compreendermos a liga¸c˜ao entre a medidaP do ”mundo real”e a medida ˜P do ”mundo neutro ao risco”.Antes de analisarmos o que nos diz o teorema de Girsanov, precisamos analisar o conceito da derivada de Radon-Nikod´ym e o teorema de Levy.

2.4.1 A Derivada de Radon-Nikod´ym

A derivada de Radon-Nikod´ym nos diz como podemos construir uma nova medida de probabilidade atrav´es de uma outra medida de probabilidade e uma vari´avel aleat´oria n˜ao negativa de m´edia 1.

Seja (Ω,_ℑ, P) um espa¸co de probabilidade e z uma vari´avel aleat´oria com P(z >

0) = 1 eE(z) = 1. Definimos a medida ˜P pela f´ormula ˜P(A) =R

Az(w)dP(w),∀A∈ ℑ.

Seja x uma vari´avel aleat´oria qualquer, podemos definir sua m´edia com rela¸c˜ao as medidas P e ˜P da seguinte forma:

E(x) =R

Ωx(w)dP(w).

˜

E(x) = R

Ωx(w)dP˜(w) = R

Ωx(w)z(w)dP(w).

⇒E˜(x) = E(xz).

A condi¸c˜ao P(z > 0) = 1 nos garante que P e ˜P concordam com os eventos que ocorrem com probabilidade. Dizemos ent˜ao, que P e ˜P s˜ao medidas equivalentes. Desta forma, temos tamb´em que E(x) = ˜E(xz).

Dizemos que z ´e a derivada de Radon-Nikod´ym de ˜P com respeito a P e escrevemos

z= dP˜ dP.

Podemos ainda definir o processo da derivada de Radon-Nikod´ym para um T fixo da se-guinte forma: z(t)_≡E(z(T)_|ℑ(t)),0_≤t_≤T.

Note que z(t) possui as seguintes propriedades:

Demonstra¸c˜ao: E(z(t)_|ℑ(s)) = E(E(z(T)_|ℑ(t))_|ℑ(s)) = E(z(T)_|ℑ(s)) = z(s) para 0_≤s_≤t_≤T.

Seja y uma vari´avel aleat´oria _ℑ(t) mensur´avel.

2. ˜E(y) = E(yz(t))

Demonstra¸c˜ao: E˜(y) = E(yz(T)) = E(E(yz(T)_|ℑ(t))) = E(yE(z(T)_|ℑ(t))) =

E(yz(t)).

3. ˜E(y_|ℑ(s)) = _z(1_s)E(yz(t)_|ℑ(s)) para 0 _≤s_≤t

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira mostrando que ˜

E(IA_z(1_s)E(yz(t)|ℑ(s))) = ˜E(IAE˜(y|ℑ(s))),∀A∈ ℑ(s).

De fato, ˜

E(IA_z(1_s)E(yz(t)|ℑ(s))) =E(IAE(yz(t)|ℑ(s))) =E(E(IAyz(t)|ℑ(s))) =E(IAyz(s)) =

˜

E(IAy) = ˜E( ˜E(IAy|ℑ(s))) = ˜E(IAE˜(y|ℑ(s))).

2.4.2 O Teorema de Levy

O teorema de Levy nos d´a uma segunda forma de definirmos um movimento brow-niano. Particularmente, ele nos diz que se um processo ´e um martingale cont´ınuo que acumula varia¸c˜ao quadr´atica T ent˜ao esse processo ´e um movimento browniano. Formal-mente:

Seja M(t), t _≥ 0 um martingale relativo a filtragem _ℑ(t), t _≥ 0. Assuma que

M(0) = 0, M(t) seja cont´ınua e dM(t)dM(t) = dt,_∀t _≥ 0. Ent˜ao M(t) ´e um movi-mento browniano.

Demonstra¸c˜ao: Um movimento browniano ´e um martingale cujos incrementos s˜ao in-dependentes e normalmente distribu´ıdos. Seja f uma fun¸c˜ao de M(t) e t, pelas h´ıp´ote-ses do teorema, vale o lema de Ito. Logo, df(t) = ft(t, M(t))dt +fx(t, M(t))dM(t) +

1

2fxx(t, M(t))dt⇒

f(t, M(t))₋f(0, M(0)) =Rt

0 [ft(t, M(t)) + 1

2fxx(t, M(t))]dt+ Rt

0 fx(t, M(t))dM(t)⇒E(f(t, M(t))) = f(0, M(0)) +E(Rt

0 [ft(t, M(t)) + 1

2fxx(t, M(t))]dt).

Seja u _∈R, definimos f(t, x) = exp(ux₋ 1 2u

2_{t). Note que para essa fun¸c˜ao, temos}

que ft(t, x) = −₂1u2f(t, x), fx(t, x) = uf(t, x) e fxx(t, x) = u2f(t, x). Em particular,

ft(t, x) + 1₂fxx(t, x) = 0. Logo, temos que E(exp(uM(t)− 1₂u2t)) = 1E(euM(t)) = e

Essa ´e a fun¸c˜ao geratriz de momentos de uma normal padr˜ao de m´edia 0 e variˆancia t e, portanto, esta ´e a distribui¸c˜ao deM(t). De forma parecida, mostramos que os incrementos s˜ao independentes.

2.4.3 O Teorema de Girsanov

Podemos agora descrever o teorema de Girsanov, que nos diz como se relacionam os movimentos brownianos em diferentes medidas espec´ıficas.

Seja w(t), 0 _≤ t _≤ T, um movimento browniano sobre o espa¸co de probabili-dade (Ω,_ℑ, P), onde _ℑ(t),0 _≤ t _≤ T ´e uma filtragem para o browniano. Seja ainda Θ(t),0 _≤t_≤T, um processo adaptado. Definaz(t) =exp(₋Rt

0 Θ(u)dw(u)− 1 2

Rt 0 Θ(u)

2_du)

e ˜w(t) = w(t) +Rt

0 Θ(u)du. Ent˜ao E(z(T)) = 1 e sob a medida ˜P definida por ˜P(A) = R

Az(w)dP(w),∀A∈ ℑ, o processo ˜w(t),0≤t≤T, ´e um movimento browniano.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos que vale as hip´oteses do teorema de Levy e portanto ˜w(t) ´e um movimento browniano sob ˜P. Devemos mostrar que:

1. dw˜(t)dw˜(t) =dt

Demonstra¸c˜ao: dw˜(t)dw˜(t) = (dw(t) + Θ(t)dt)2 _{=dw(t)dw(t) =dt}

2. ˜w(t) ´e um martingale sob ˜P

Demonstra¸c˜ao: Note quez(t) = E(z(T)_|ℑ(t)) ´e um processo de derivada de Radon-Nikod´ym j´a que: z(t) = f(x(t)), onde f(x) = ex _{e x(t) = −}Rt

0 Θ(u)dw(u) − 1

2 Rt

0Θ(u)2du. Logo, pelo lema de Ito, dz(t) = ftdt + fxdx(t) + fxx(dx(t))2 = ex(t)_{(−Θ(t)dw(t) −} 1

2Θ(t)

2_{dt) +} 1 2e

x(t)_θ(t)2_{dt = −Θ(t)z(t)dw(t) ⇒ z(t) = z(o) −} Rt

0Θ(u)z(u)dw(u). Portanto, z(t) ´e um martingale sobP, comE(z(t)) = z(0) = 1 e z(t)_≥0,_∀0_≤t _≤T.

Note ainda que ˜w(t)z(t) tamb´em ´e um martingale sob P, j´a que d( ˜w(t)z(t)) = ˜

w(t)dz(t) +z(t)dw˜(t) +d( ˜w(t)dz(t)) = (₋w˜(t)Θ(t) + 1)z(t)dw(t).

Agora, para notarmos que ˜w(t) ´e um martingale sob ˜P, basta notarmos que ˜

E( ˜w(t)_|ℑ(s)) = _z(1_s)E( ˜w(t)z(t)_|ℑ(s)) = w˜(_zs₍)_sz₎(s) = ˜w(s).

2.4.4 Processos de Ito com Correla¸c˜ao constante

Para entendermos como descrever 2 processos correlacionados, precisamos entender como descrever 2 movimentos brownianos correlacionados.

Sew1 ew2 s˜ao movimentos brownianos independentes, ent˜aow1 ew3 =ρw1+p1₋ρ2_w2

s˜ao movimentos brownianos com correla¸c˜ao constante igual aρ, isto ´e,E(w1(t)w3(t)) = ρt.

Demonstra¸c˜ao: dw3(t)dw3(t) =ρ2_{dw1(t)dw1(t) + 2ρ}p

(1₋ρ2_{)dw2(t)dw2(t) =dt.}

Logo, pelo teorema de Levy,w3(t) ´e um movimento browniano. Pela regra do produto de Ito,

3

O Modelo de Black-Scholes

Existem in´umeros modelos de apre¸camento de op¸c˜oes, mas seja qual for, o modelo deve fazer 3 hip´oteses fundamentais:

1. Qual o processo do pre¸co do ativo em quest˜ao(underlying)

2. Qual o processo da taxa de juros

3. Qual o pre¸co de mercado dos fatores de risco

Para cada uma das hip´oteses existem muitas escolhas poss´ıveis. O modelo de Black e Scholes considera as seguintes hip´oteses.

1. O pre¸co da a¸c˜ao segue um movimento geom´etrico browniano, isto ´e, sejaS(t) o pre¸co da a¸c˜ao em t_≥0, ent˜ao dS(t) =µS(t)dt+σS(t)dw(t)

2. A taxa de juros livre de risco ´e constante, isto ´e, seja D(t) o pre¸co de um t´ıtulo que paga 1 em t_≥0, ent˜ao D(t) =e−R0tr(u)du ⇒dD(t) = −r(t)D(t)dt. Particularmente, r(t) =r,_∀t _≥0

3. O ´unico risco do derivativo ´e derivado do risco da a¸c˜ao, isto ´e, o mercado ´e completo e o pre¸co de mercado do ´unico fator de risco ´e ´unico.

A primeira hip´otese pode ser entendida como a hip´otese de normalidade na distri-bui¸c˜ao dos retornos em log, hip´otese geralmente aceita pelos participantes de mercado. A taxa de juros constante ´e uma hip´otese razo´avel para op¸c˜oes de maturidade n˜ao muito longa e a terceira hip´otese garante que a ´unica fonte de incerteza no mercado ´e atribu´ıda a varia¸c˜oes no pre¸co da a¸c˜ao.

3.1

A Equa¸c˜

ao Diferencial de Black-Scholes

Podemos mostrar que de acordo com as hip´oteses do modelo de Black-Scholes, o pre¸co do derivativo deve satisfazer uma determinada equa¸c˜ao diferencial. Existem di-versas formas de se chegar a EDP de Black-Scholes, aqui usaremos o m´etodo do delta-hedge(como emHull (2006)) que utiliza uma quantidade delta de a¸c˜oes para tornar uma carteira composta por um derivativo instantaneamente livre de risco, isto ´e, adota-se uma estrat´egia de hedge dinˆamico. Para diferentes abordagens da EDP de Black-Scholes, veja Kishimoto(Maio 2008).

Seja f(t, S(t)) o pre¸co do derivativo, pelo lema de Ito, temos que df(t) = ftdt+

fsdS(t) + 1₂fss(dS(t))2 ⇒df(t) = (ft+fsµS(t) + 1₂fssσ2S(t)2)dt+fsσS(t)dw(t).

que o pre¸co dessa carteira ´e Π(t, S(t)) =f(t, S(t))₋∆S(t)_⇒dΠ(t) =df(t)₋∆dS(t). Note que podemos eliminar o risco da carteira(eliminar o termodw(t)) escolhendo ∆ =fs

de forma quedΠ(t) = (ft+fsµS(t) +1₂fssσ2S(t)2)dt−(fsµS(t))dt = (ft+₂1fssσ2S(t)2)dt.

Como a ´unica fonte de risco foi eliminada da carteira, temos que esta deve render a taxa livre de risco no intervalo dt, isto ´e:

dΠ(t) = rΠ(t, S(t))dt _⇒ (ft + 1₂fssσ2S(t)2)dt = r(f(t, S(t)) − fsS(t))dt e portanto, −rf+ft+fsrS(t) + 1₂fssσ2S(t)2 = 0.

Essa equa¸c˜ao diferencial ´e conhecida como a EDP de Black-Scholes e deve ser satis-feita por qualquer derivativo. A condi¸c˜ao terminal varia de acordo com o tipo de deriva-tivo. Como exemplo, temos que para uma op¸c˜ao de compra, f(T, S(T)) = (S(T)₋K)+

ondeK ´e o pre¸co de exerc´ıcio e T ´e a data de maturidade da op¸c˜ao. Logo, uma op¸c˜ao de compra no modelo de BS deve satisfazer:

−rf +ft+fsrS(t) + 1₂fssσ2S(t)2 = 0.

com f(T, S(T)) = (S(T)₋K)+_.

3.2

A Medida Neutra ao Risco

Podemos mostrar que a solu¸c˜ao da EDP de Black-Scholes ´e dada por f(t, S(t)) =

e−r(T−t)_E˜_{(f(T, S(T))), onde sob ˜P, temos quedS(t) =rS(t)dt+S(t)dw˜(t). A medida ˜P}

´e conhecida como medida neutra ao risco, pois sob ˜P todos os derivativos crescem a taxa livre de risco, j´a que ˜E(f(T, S(T))) =er(T−t)_{f(t, S(t)).}

Para vermos que de fato esta ´e a solu¸c˜ao da EDP de BS, suponha que sob ˜P, ˜

w(t) seja um movimento browniano.Ent˜ao pelo Lema de Ito, df(t) = (ft +fsrS(t) +

1 2fssσ

2_S(t)2_{)dt +f}

sσS(t)dw˜(t). Sabemos ainda que dD(t) = −rD(t)dt. Logo, pela

re-gra do produto de Ito, temos que d(D(t)f(t)) = D(t)f(t) +f(t)dD(t) +df(t)dD(t) =

D(t)[(₋rf +ft+fsrS(t) + 1₂fssσ2S(t)2)dt+ (fsσS(t))d(t)]. Portanto,f(t, S(t)) resolve a

EDP sed(D(t)f(t)) =D(t)(fsσS(t))d(t)]⇒E[D(T)f(T, S(T))|ℑ(t)] = D(t)f(t, S(t)).

que tipo de mudan¸ca de medida foi realizado.

3.3

O Pre¸co de Mercado do Risco

O termo Θ(t) = µ(_σt₍)_t−₎r ´e conhecido como pre¸co de mercado do risco e ´e o mesmo para quaisquer derivativosf eg que dependam apenas deS(t) et. Isso ocorre pois ambos os derivativos possuem a mesma e ´unica fonte de risco e que portanto pode ser hedgeada. De fato, seja:

df(t) = µff dt+σff dw(t)

dg(t) =µggdt+σggdw(t)

Ent˜ao a carteira Π(t, S(t)) = (σgg)f(t, S(t))−(σff)g(t, S(t)) deve render a taxa

livre de risco em dt. Logo, σggµff−σff µgg =r(σggf−σff g)⇒ µf_σ−_fr = µg_σ−_gr =λ.

Note que se considerarmos f(t, S(t)) = S(t), temos que λ = µ−_σr. E portanto, λ ´e cons-tante.

Para entendermos porque λ ´e conhecido com o pre¸co de mercado do risco, note que

µ₋r =λσ. Portanto, o excesso de retorno com rela¸c˜ao a taxa livre de risco ´e dado pela quantidade de risco σ multiplicada pelo pre¸co do riscoλ.

Note ainda que para qualquer derivativo f, temos que df(t) = µff dt +σff dw(t) ⇒

df(t) = rf dt+σff dw˜(t) ondedw˜(t) =λdt+dw(t) e portanto, pela regra do produto de Ito,

d(D(t)f(t)) = D(t)σff dw˜(t). Chegamos assim ao resultado queE[D(T)f(T, S(T))|ℑ(t)] =

D(t)f(t, S(t)). Portanto, para qualquer derivativo f(t, S(t)), podemos realizar uma mu-dan¸ca de medida de P para ˜P, definida por Θ(t) = λ, de maneira que sob essa nova medida todos os ativos possuem retorno esperado dado pela taxa livre de risco.

3.4

A F´

ormula de Black-Scholes

Antes de derivarmos a f´ormula de Black-Scholes, derivaremos um resultado que se mostra muito ´util na precifica¸c˜ao de op¸c˜oes.

Sey =A+Bz, onde z _∼N(0,1), ent˜ao E((x(0)ey_−K)+_{) = x(0)e}A+B₂2_{N(d1)−KN(d2),}

onded1 = ln(x(0)/K_B)+A+B2 e d2 =d1₋B.

Demonstra¸c˜ao: E((x(0)ey_−K)+_{) =E(x(0)e}y₁

x(0)ey_>K)−E(K1_x(0)ey_>K), onde:

1. E(K1x(0)ey_>K) = KP(x(0)ey > K) = KP(y > ln(K/x(0))) =KP(z > ln(K/x(0))−A

B ) =

KN(ln(x(0)_B/K)+A), j´a que P(z > x) = P(z <₋x) =N(₋x)

2. E(x(0)ey₁

x(0)ey_>K) = E(x(0)eA+Bz1

z>ln(K/x(0))−A

B ) = x(0)e

AR∞

ln(K/x(0))−A B e

Bz_√1 2πe

−z2

x(0)eA+B₂2 R∞

ln(K/x(0))−A B

1 √

2πe−

(z−B)2

2 dz. Fazendo w = z −B ⇒ dw = dz, temos que

E(x(0)ey1x(0)ey_>K) = x(0)eA+ B2

2 Rln∞(K/x(0))−A B −B

1 √

2πe

−w2

2 dw=x(0)eA+B 2

2 N(ln(x(0)/K)+A

B +

B).

Portanto, E((x(0)ey_−K)+_{) =x(0)e}A+B₂2_N(ln(x(0)/K)+A

B +B)−KN(

ln(x(0)/K)+A

B ).

Agora j´a podemos computar a f´ormula de Black-Scholes. Lembrando que o valor de uma op¸c˜ao de compra no modelo de BS ´e dado porc(t, S(t)) = e−r(T−t)_{E˜[(S(t)−K)}+_{] onde}

sob ˜P, temos que dS(t) = rS(t)dt+σS(t)dw˜(t). Fazendo y = ln(s(t)), temos pelo lema de Ito, quedy(t) = (r₋1

2σ

2_{)dt+σdw˜(t)⇒y(T)−y(t)∼N((r−} 1 2σ

2_{)(T −t), σ}2_{(T −t)).}

Como y _≡ y(T)₋y(t) = ln(S(T)/S(t)), temos que S(T) = ey _{onde y = A+Bz, A =}

(r₋1₂σ2_{)(T −t), B =σ}p

(T ₋t) e z _∼N(0,1).

Usando o resultado acima, temos que ˜E[(S(t)₋K)+_{] =e}r(T−t)_{S(t)N(d1)−kN(d2) onde} d1 =

ln(S(t)/K+(r+σ₂2)(T−t)

σ√(T−t) e d2 = d1 −σ p

(T ₋t) e portanto, c(t, S(t)) = S(t)N(d1)− e−r(T−t)_KN(d2).

3.5

O M´

etodo de Feynman-Kac

Podemos facilmente encontrar uma EDP de BS mais geral que inclua o modelo de BS com dividendos e o modelo de Black de futuros como casos particulares. Primeiramente, vamos derivar a EDP para cada um desses casos particulares e depois veremos comos escrever a EDP de BS de uma forma mais geral. Em seguida, apresentaremos o m´etodo de Feynman-Kac utilizado para encontrar solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais e veremos como empreg´a-lo para resolver a EDP geral de BS.

3.5.1 A EDP de BS com dividendos

Para um derivativo cujo underlying paga uma taxa de dividendos cont´ınuaq, supo-nha que o pre¸co da a¸c˜ao, S, siga um movimento geom´etrico browniano, isto ´e, dS(t) =

µSdt+ σSdw(t). Pelo lema de Ito, seja f(t, S(t)), temos que df(t) = (ft + fsµS +

1

2fssσ2S2)dt+fsσSdw(t).

Seja um portf´olio formado por 1 derivativo e₋fs a¸c˜oes, temos que o valor desse portf´olio

´e dado por Π(t, S(t)) = f(t, S(t))₋fsS(t)⇒dΠ(t) =df(t)−fsdS(t) = (ft+1₂fssσ2S2)dt.

Como o detentor desse portf´olio recebe qS(t)dt dividendos por unidade de a¸c˜ao no pe-r´ıodo dt, temos que o retorno total do portf´olio ´e dado por dW(t) =dΠ(t)₋qS(t)fsdt=

(ft−fsqS+₂1fssσ2S2)dt.

Como esse portf´olio ´e instantaneamente livre de risco, devemos ter(por n˜ao arbitragem)

−rf+ft−fs(r−q)S+1₂fssσ2S2 = 0

´

E importante notarmos que a hip´otese da taxa de dividendos ser cont´ınua n˜ao ´e restri-tiva, pois, se o dividendo ´e pago em per´ıodos discretos, podemos encontrar a taxa cont´ınua equivalente e utilizar o modelo de dividendos cont´ınuo para apre¸car esse derivativo.

3.5.2 A EDP de Black

O modelo de Black se baseia no apre¸camento de contratos a termo. Black sup˜oe que o pre¸co F do termo segue um movimento geom´etrico browniano, isto ´e, dF(t) =

µF dt+σF dw(t). Pelo lema de Ito, sabemos que f(t, F(t)) segue o processo df(t) = (ft+fFµF +1₂σ2F2)dt+ (fFσF)dw(t).

Seja um portf´olio formado por 1 derivativo e ₋fF unidades de contratos a termo, temos

que Π(t, F(t)) =f(t, F(t)) pois n˜ao h´a custos em entrar num contrato a termo. SejadW(t) a varia¸c˜ao total da riqueza do detentor do portf´olio, temos quedW(t) = df(t)₋fFdF(t) =

(ft+1₂fF Fσ2F2)dt. Como esse portf´olio ´e instantaneamente livre de risco, ele deve render

a taxa livre de risco e portanto,dW(t) = rΠdt _⇒(ft+1₂fF Fσ2F2)dt=rf dt. Logo, −rf+ft+ 1₂fF Fσ2F2 = 0.

3.5.3 A EDP Geral de Black-Scholes

Podemos facilmente descrever uma EDP deral para o modelo de Black-Scholes com base nas EDPs derivadas para os modelos acima.

Definimos a EDP geral de Black-Scholes como:

−rf+ft+axfx+ 1₂σ2x2 = 0

´

E f´acil notarmos que:

paraa = 0, obtemos a EDP de Black para contratos a termo; paraa =r, obtemos a EDP de BS;

paraa =r₋q, obtemos a EDP de BS para ativos que pagam dividendos; paraa =r₋rf, obtemos a EDP de Garman-Kohlhagem para op¸c˜oes de moeda.

3.5.4 O M´etodo de Feynman-Kac

O m´etodo de Feynman-Kac ´e um m´etodo de resolver equa¸c˜oes diferenciais parciais explorando as ferramentas do c´alculo estoc´astico.

Suponha que devemos encontrar uma solu¸c˜ao para a EDP:

−rf+ft+a(t, x(t))fx+b(t, x(t))fxx = 0

Feynman-Kac propoem a constru¸c˜ao do seguinte processo estoc´astico:

dx(t) = µ(t, x(t))dt+σ(t, x(t))dw(t), onde dw(t) ´e um movimento browniano relativo a filtragem _ℑ.

Seja ainda D(t) o pre¸co de um t´ıtulo livre de risco que paga 1 unidade monet´aria em t, temos queD(t) = e−R0tr(u)du.

Definindo µ(t, x(t)) = a(t, x(t)) e σ(t, x(t)) =p2b(t, x(t))_⇒ σ(t,x₂(t))2 =b(t, x(t)), temos que:

d(D(t)f(t)) = D(t)df(t) + f dD(t) + df(t)dD(t) _⇒ d(D(t)f(t)) = D(t)[(₋rf +ft +

a(t, x(t))fx+b(t, x(t))fxx)dt+ (σ(t, x(t))fx)dw(t)].

Portanto, a solu¸c˜ao da EDP ´e dada por D(t)f(t, x(t)) = E[D(T)f(T, x(T))_|ℑ(t)], ou ainda,f(t, x(t)) =E[e−RtTr(u)duf(T, x(T))|ℑ(t)].

Note que se sabemos a priori que x(t) segue um processo de Ito dado por dx(t) = Θ(t, x(t))dt+σ(t, x(t))dw(t) sob a medida real P, ent˜ao basta realizarmos uma mudan¸ca de medida de forma quedw˜ = µ−_σΘdt+dw(t) seja um movimento browniano sob ˜P. Po-demos notar ent˜ao que o m´etodo de Feynman-Kac nos fornece qual a distribui¸c˜ao que o underlying deveria seguir para que o derivativo descontado seja um martingale, nos indicando que tipo de mudan¸ca de medida devemos realizar(λ = µ−_σΘ), enquanto que o te-orema de Girsanov nos mostra como podemos realizar essa mudan¸ca de medida(definindo o processo da derivada de Radon-Nikod´ym adequada).

3.5.5 Aplica¸c˜ao do M´etodo de Feynman-Kac

Podemos aplicar o m´etodo de Feynman-Kac para resolver a EDP geral de Black-Scholes. Lembrando que a EDP geral de Black-Scholes ´e dada por:

−rf+ft+axfx+ 1₂σ2x2 = 0

onde:

paraa = 0, obtemos a EDP de Black para contratos a termo; paraa =r, obtemos a EDP de Black-Scholes;

paraa =r₋q, obtemos a EDP de BS para ativos que pagam dividendos; paraa =r₋rf, obtemos a EDP de Garman-Kohlhagem para op¸c˜oes de moeda.

O m´etodo de Feynman-Kac nos orienta a construir o processo dx(t) = ax(t)dt+

σx(t)dw˜(t) _⇒ dlnx(t) = (a ₋ σ₂2)dt +σdw˜(t), isto ´e, x(T) = x(0)e(a−σ22)T+σ √

T z_{, onde}

z_∼N(0,1).

A f´ormula da call ´e ent˜ao dada por c(0, x(o)) = e−rT_E[(x(0)eA+Bz _−K)+_{], onde A =}

(a₋σ2

2 )T e B =σ

√

T.

Como vimos,E[(x(0)eA+Bz_−K)+_{] =x(0)e}A+B₂2_{N(d1)−KN(d2), onded1 =} ln(x(0)/K)+A+B2

B

ed2 =d1₋B.

Logo, c(0, x(o)) = e−rT_[x(0)eaT_{N(d1)− KN(d2)], onde d1 =} ln(x(0)/K)+(a+σ

2 2 )T

σ√T e d2 =

• a= 0, obtemos a f´ormula de Black para contratos a termo;

• a=r, obtemos a f´ormula de Black-Scholes;

• a=r₋q, obtemos a f´ormula de BS para ativos que pagam dividendos;

• a=r₋rf, obtemos a f´ormula de Garman-Kohlhagem para op¸c˜oes de moeda.

3.6

Escolhas Alternativas para o Numer´

ario

Vimos anteriormente que podemos encontrar o pre¸co de um derivativo atrav´es de uma mudan¸ca de medida espec´ıfica que faz com que o pre¸co de qualquer derivativo des-contado pela taxa livre de risco seja um martingale. Mais especificamente, vimos que o termo chave para a mudan¸ca de medida era dado pelo pre¸co de mercado do risco definido porλ = µ−_σr e que com a mudan¸ca de medida indicada pelo teorema de Girsanov encon-tramos que D(t)f(t, x(t)) = ˜E[D(T)f(T, x(T))_|ℑ(t)].

Veremos agora que ao propor esse tipo de solu¸c˜ao, utilizamos uma money market account como numer´ario e que podemos utilizar outros tipos de instrumentos como numer´ario de forma a obter uma solu¸c˜ao da forma mais conveniente poss´ıvel.

3.6.1 O Resultado da Medida Martingale Equivalente

Suponha que f e g sejam pre¸cos de derivativos que dependem de uma ´unica fonte de incerteza. Assumiremos aqui que os derivativos n˜ao fornecem nenhuma fonte de renda(dividendos) durante o per´ıodo em considera¸c˜ao. Definimos φ = f_g. A vari´avel

φ ´e o pre¸co relativo de f com rela¸c˜ao a g. Podemos pensar que estamos computando o pre¸co de f em unidades de g. O pre¸co do derivativo g ´e chamado de numer´ario.

O resultado da medida martingale equivalente nos mostra que, quando n˜ao h´a oportunida-des de arbitragem, φ= f_g ´e um martingale para todos os derivativosf quando realizamos uma mudan¸ca de medida induzida pelo termo λ₋λ∗_{, onde λ ´e o pre¸co de mercado do}

risco eλ∗ _=σ

g.

Demonstra¸c˜ao: Seja df(t) =µff dt+σff dw(t) e dg(t) = µggdt+σggdw(t), vimos que

λ= µf−r

σf =

µg−r

σg . Logo, temos que

df(t) = (r +λσf)f dt+σff dw(t) e dg(t) = (r+λσg)gdt+σggdw(t) ou ainda df(t) =

(r+λ∗_{σf)f dt+σ}

ff dw˜(t) edg(t) = (r+λ∗σg)gdt+σggdw˜(t), ondedw˜ = (λ−λ∗)dt+dw(t).

Note que o teorema de Girsanov nos indica que tipo de mudan¸ca de medida devemos re-alizar para que dw˜ seja um movimento browniano sob a nova medida.

Definindoλ∗ _=σ

σggdw˜(t).

Pelo lema de Ito,dlnf(t) = (r+σgσf− σ2

f

2 )dt+σfdw˜(t) edlng(t) = (r+σg2− σ2

g

2 )dt+σgdw˜(t)

e portanto, d(lnf ₋ lng) = (σgσf − σ2

f

2 −

σ2

g

2 )dt + (σf − σg)dw˜(t) ou ainda dln

f

g =

−(σf−σg)2

2 dt+ (σf −σg)dw˜(t).

Definindo φ = f_g e h = lnf_{g ⇒} φ = exp(h) e aplicando o lema de ito mais uma vez, obtemos dφ= (σf −σg)φdw˜(t)⇒ f_g(0(0_,x,x₍₀₎₎(0)) = ˜E[_gf(_(T,xT,x(₍T_T))₎₎].

Nos referimos ao mundo em queλ∗ _{´e a volatilidade deg,σ}

g, como o mundo que ´e forward

risco neutro com rela¸c˜ao ag.

3.6.2 A Escolha do Numer´ario

Suponha que oscolhemos usar a money market account como numer´ario. A mo-ney market account tem como caracter´ıstica o fato de render a taxa livre de risco em qualquer instante de tempo. Se investimos g(0) = 1 na data 0, ent˜ao na data t temos

g(t) =eR0tr(u)du ⇒dg(t) = rgdt. Note queσ_g = 0, isto ´e, escolher a money market account

como numer´ario ´e o mesmo que escolhermosλ∗ _{= 0, ou ainda, realizarmos a mudan¸ca de}

medida definida por λ, o pre¸co de mercado do risco.

A escolha de λ∗ _{= 0 ´e a escolha padr˜ao e por isso, dizemos que esse ´e o mundo neutro}

ao risco padr˜ao. Temos pelo resultado da medida martingale equivalente, que no mundo neutro ao risco padr˜ao(λ∗ _{= 0), no qual a money market account ´e escolhida como}

nume-r´ario, f(t,x_g(t(₎t)) = ˜E[f(T,x_g(T(₎T))_|ℑ(t)]_⇒D(t)f(t, x(t)) = ˜E[D(T)f(T, x(T))_|ℑ(t)].

4

Modelos com Volatilidade Estoc´

astica

Mostraremos que derivativos cujo underlying possui volatilidade estoc´astica tamb´em devem satisfazer uma EDP espec´ıfica e podemos adotar uma solu¸c˜ao do tipo proposto por Feynman-Kac para encontrar o pre¸co do derivativo. Mostraremos tamb´em a importˆan-cia das fun¸c˜oes caracter´ıstica para a obten¸c˜ao de uma f´ormula fechada para o pre¸co do derivativo nesses modelos.

4.1

Introdu¸c˜

ao

Extens˜oes do modelo de BS come¸caram a aparecer n˜ao muito depois da publica¸c˜ao do modelo canˆonico em 1973. Traders costumam negociar op¸c˜oes no mercado em unida-des de volatilidade impl´ıcita determinadas a partir da f´ormula de BS. Estudos emp´ıricos verificaram que volatilidades impl´ıcitas variam com rela¸c˜ao ao pre¸co de exerc´ıcio e a ma-turidade do contrato, fatos que contradizem as hip´oteses originais do modelo de BS que considera a volatilidade constante. Em particular, a volatilidade impl´ıcita quando tra-¸cada como fun¸c˜ao do pre¸co de exerc´ıcio para op¸c˜oes de mesma maturidade, apresenta um gr´afico em forma de U, caracter´ıstica essa que recebeu a denomina¸c˜ao de sorriso de vola-tilidade. Uma caracter´ıstica emp´ırica das curvas sorriso ´e que estas geralmente possuem ponto de m´ınimo pr´oximo ao pre¸co corrente do ativo. Essa contradi¸c˜ao com o modelo canˆonico de BS pode ser remediada atrav´es da hip´otese de que o ativo underlying possui volatilidade estoc´astica. Um importante teorema de Renault-Touzi garante que modelos de volatilidade estoc´astica produzem a curva sorriso para qualquer processo de volatilidade n˜ao correlacionado com o processo do pre¸co da a¸c˜ao. Modelos de volatilidade estoc´astica foram inicialmente estudados por John Hull (1987) e posteriormente aperfei¸coado por Heston (1993).

4.2

O Modelo

Os modelos de volatilidade estoc´astica segundo Josep Perell ˜A¸s e Masoliver (2008) no geral consideram que o pre¸co da a¸c˜ao ´e condicionalmente lognormal e o processo da volatilidade ´e uma fun¸c˜ao crescente e positiva de um processo de revers˜ao a m´edia do tipo OU(Ornstein-Uhlenbeck). Isto ´e,

1. dx(t) = µxdt+f(y)xdw1(t)

2. dy(t) =α(m₋y)dt+βdw3(t)

w1 ew2 s˜ao movimentos brownianos independentes e ρ´e a correla¸c˜ao entre o pre¸co e os choques de volatilidade, com_|ρ_|<1.

No geral, a escolha do processo da volatilidade ´e feita de forma a se garantir a positividade e revers˜ao a m´edia de forma a garantir algum tipo de consistencia no modelo adotado. Note que de (2), temos quey(t) =m+ (y(0)₋m)e−αt_+βRt

0 e−

α(t−s)_dw 3(s). Demonstra¸c˜ao: Defina g(t, y) =ye−α(t−s)_{. Pelo lema de ito,}

dg(t) =gtdt+gydy(t) +₂1gyy(dy(t)2) = (αye−α(s−t)+αe−α(s−t)(m−y))dt+βe−α(s−t)dw3(t) ⇒Rs

0 dg(t) = αm Rs

0 e−

α(s−t)_dt+βRs 0 e−

α(s−t)_dw3(t)

⇒y(s)₋y(0)e−αs _=m(1−e−αs_{) +β}Rs 0 e−

α(s−t)_dw3(t)

Portanto, y(t)_|y(o) _∼ N(y(0)e−αt_+m(1−e−αt_),β2

2α(1−e−

2αt_{)), j´a que pela}

isome-tria de Ito, var(βRs 0 e−

α(s−t)_dw

3(t)) =β2 Rs

0 e−

2α(s−t)_{dt =} β2

2α(1−e−

2αt_).

Isto ´e, o processo y(t) ´e condicionalmente gaussiano com primeiro momento e variˆancia dados por:

E[y(t)_|y(0)] =y(0)e−αt_+m(1−e−αt_{) e var[y(t)|y(0)] =} β2

2α(1−e−

2αt₎

No limite estacion´ario, temos que a distribui¸c˜ao invariante de y(t) ´e normal, com:

E[y(t)_|y(0)] =m e var[y(t)_|y(0)] = ₂β_α2

4.3

A EDP do Modelo

Seguindo o procedimento adotado na deriva¸c˜ao da f´ormula de BS, vamos primeira-mente encontrar a EDP(como emSircar e C.Papanicolaou(1999)) que deve ser satisfeita por um derivativo de um ativo que possui volatilidade estoc´astica para que n˜ao haja oportunidades de arbitragem. Em seguida, interpretaremos o pre¸co de mercado do risco de volatilidade e que tipo de hip´oteses podem ser feitas para simplificarmos a EDP do modelo e encontrarmos uma solu¸c˜ao mais simples para o pre¸co do derivativo.

Consideraremos um modelo bem geral de volatilidade estoc´astica, que n˜ao precisa ter ne-cessariamente revers˜ao `a m´edia. Seja x(t) o pre¸co da a¸c˜ao e v(t) a variˆancia estoc´astica, temos que:

1. dx(t) = µxdt+√vxdw1(t)

2. dv(t) =α(t, v)dt+β(t, v)dw2(t)

w1(t) e w2(t) possuem correla¸c˜ao instantˆaneaρ.

tais que

f(T1) = a(T1)x(T1) +b(T1)y(T1) +c(T1)g(T1)

ondef(t) ´e o pre¸co do derivativo emt com maturidadeT1,g(t) o pre¸co emt do derivativo com maturidade T2 ≥T1 ey(t) ´e o valor emt investido na money market account, isto ´e, dy(t) = rydt.

Acondi¸c˜ao de autofinanciamento ´e dada por:

df(t) = a(t)dx(t) +b(t)dy(t) +c(t)dg(t)

Se tal portf´olio pode ser encontrado, ent˜ao por n˜ao arbitragem, devemos ter:

f(t) = a(t)x(t) +b(t)y(t) +c(t)g(t)

Aplicando o lema de ito bivariado em f(t, x, v), temos que:

df(t) = ftdt+fxdx(t) +fvdv(t) + 1₂fxx(dx(t))2+1₂fv(dv(t))2+fxvdx(t)dv(t) ⇒df(t) = (ft+1₂fxxvx2+ 1₂fvvβ2+fxvρ√vxβ)dt+fxdx(t) +fvdv(t)

Definindo o operador £ de forma que £f = 1 2fxxvx

2 ₊ 1 2fvvβ

2 _+f

xvρ√vxβ, temos que

df(t) = (ft+£f)dt+fxdx(t) +fvdv(t).

Portanto, (ft+£f)dt+fxdx(t) +fvdv(t) = a(t)dx(t) +b(t)ry(t)dt+c(t)[(gt+£g)dt+

gxdx(t) +gvdv(t)]

⇒(ft+£f)dt+fxdx(t) +fvdv(t) = (b(t)ry(t) +c(t)(gt+£g))dt+ (a(t) +c(t)gx)dx(t) +

c(t)gvdv(t)

Note que podemos eliminar o risco da volatilidade escolhendo

c(t) = fv

gv

Para eliminarmos o risco direto da a¸c˜ao, escolhemos

a(t) =fx−c(t)gx Desta forma, temos que (ft+£f)dt= (b(t)ry(t) +c(t)(gt+£g))dt.

Definindob(t) = (f−a(t)x_y(t₍)_t−₎c(t)g(t)), temos que

(₋rf +ft+fxrx+£f)dt=c(t)(−rg+gt+gxrx+£g)dt, onde c(t) = f_gv_v ⇒f−1

v (−rf +ft+fxrx+£f) =gv−1(−rg+gt+gxrx+£g)

Note que o lado esquerdo da equa¸c˜ao depende apenas de T1 e n˜ao deT2 e vice-versa para o lado direito. Logo, ambos os lados devem ser iguais a uma fun¸c˜ao que n˜ao depende da maturidade da op¸c˜ao. Definimos essa fun¸c˜ao comoλβ₋α. Temos ent˜ao que:

f−1

v (−rf +ft+fxrx+£f) =λβ−α

onde£f = 1₂fxxvx2+1₂fvvβ2+fxvρ√vxβ

⇒ −rf +ft+fxrx+ (α−λβ)fv+ ₂1fxxvx2+1₂fvvβ2+fxvρ√vxβ = 0.

Essa ´e a equa¸c˜ao diferencial do modelo.

4.4

O Pre¸co de Mercado do Risco da Volatilidade

Podemos dar uma interpreta¸c˜ao para a fun¸c˜aoλ presente na equa¸c˜ao diferencial do modelo. Lembrando que df(t) = (ft+£f)dt+fxdx(t) +fvdv(t) e que fv−1(−rf +ft+

fxrx+£f) = λβ−α⇒ft= (λβ−α)fv +rf −fxrx, temos que

Dessa express˜ao, podemos ver que um aumento infinitesimal no risco da volatilidade, β, aumenta o retorno esperado do derivativo emλ∆βfv. Podemos ent˜ao interpretarβ como

a quantidade de risco da volatilidade e λ como o pre¸co do risco da volatilidade.

4.5

Modelo de Hull-White

No modelo de Hull-White, o pre¸co da a¸c˜ao S(t) e a volatilidade v(t) seguem os seguintes processos:

1. dS(t) = µsdt+√vSdw1(t)

2. dv(t) =µvdt+ξvdw2(t)

Isto ´e, Hull-White consideram α(t, v) = µv e β(t, v) = ξv. Al´em disso, consideram que a volatilidade n˜ao ´e correlacionada com o pre¸co da a¸c˜ao, isto ´e, para Hull-White

ρ = 0. Uma ´ultima hip´otese tamb´em ´e feita quanto ao pre¸co do risco da volatilidade. Hull-White consideram que λ = 0. Lembrando que o pre¸co de um derivativo em um modelo de volatilidade estoc´astica deve satisfazer a EDP:

−rf+ft+fxrx+ (α−λβ)fv+ ₂1fxxvx2+1₂fvvβ2+fxvρ√vxβ = 0.

Temos pelas hip´oteses de Hull-White que o pre¸co do derivativo deve satisfazer:

−rf+ft+fsrS+µvfv +₂1fssvS2+ 1₂fvvξ2v2 = 0

Podemos notar que as hip´oteses de Hull-White simplificam em sobremaneira a EDP a ser resolvida. Podemos destacar que Hull-White foram pioneiros na abordagem desse tipo de modelo.

Note que podemos resolver essa EDP sem grandes dificuldades atrav´es do m´etodo de Feynman-Kac atrav´es de uma mudan¸ca de medida espec´ıfica. Utilizando o teorema de Girsanov, podemos encontrar ˜P tal que:

1. dS(t) = rsdt+√vSdw1˜ (t)

2. dv(t) =µvdt+ξvdw2(t)

Aplicando ent˜ao o lema de Ito para fun¸c˜oes de 2 vari´aveis, temo que f(t, s, v) deve seguir o processo df = ftdt+fsdS(t) +fvdv(t) + ₂1[fss(dS(t))2+ 2fsvdS(t)dv(t) +

fvv(dv(t))2]⇒df(t) = [ft+fsrS+fvµv+1₂fssvS2+1₂fvvξ2v2]dt+fs√vSdw1˜ (t)+fvξvdw2(t).

Definindo D(t) como um t´ıtulo livre de risco que paga 1 unidade monet´aria na data t, isto ´e,dD(t) =₋rDdt, com D(0) = 1, temos pela regra do produto de Ito que:

d(D(t)f(t)) = f(t)dD(t) +D(t)df(t) _⇒ d(D(t)f(t)) = D(t)[₋rf +ft+fsrS +fvµv+

1 2fssvS

2₊1 2fvvξ

2_v2_]dt+f

s√vSdw˜1(t) +fvξvdw2(t).

Logo, como o termo dedt ´e igual a zero, temos queD(t)f(t, S, v) ´e um martingale sob ˜P

˜

E[D(T)f(T, S(T), v(T))_|ℑ(t)] =D(t)f(t, S(t), v(t)), ou ainda,

f(t, S(t), v(t)) = ˜E[e−RtTr(u)duf(T, S(T), v(T))|ℑ(t)].

Note que se soub´essemos explicitamente a distribui¸c˜ao deS(T)_|S(t), v(t) sob ˜P, poder´ıa-mos calcular o valor esperado de forma direta, pois

f(t, S(t), v(t)) =e−r(T−t)R

f(T, S(T), v(T))p(S(T)_|S(t), v(t))dS(T).

Como n˜ao conseguimos obter essa distribui¸c˜ao de forma direta, utilizamos o fato que para quaisquer 3 vari´aveis aleat´orias x,y e z, suas fun¸c˜oes de densidade condicionais s˜ao relaci-onadas por:

p(x_|y) = R

g(x_|z)h(z_|y)dz

Definimos a vari´avel aleat´oria ¯v como a variˆancia m´edia durante o per´ıodo de vida da op¸c˜ao, isto ´e:

¯

v = _T1_−tRT

t v(u)du

Podemos ent˜ao escrever:

p(S(T)_|v(t)) =R

g(S(T)_|v¯)h(¯v_|v(t))dv¯

Substituindo na solu¸c˜ao do problema, temos que

f(t, S(t), v(t)) =e−r(T−t)R

f(S(T))R

g(S(T)_|v¯)h(¯v_|v(t))dvdS¯ (T), e portanto,

f(t, S(t), v(t)) =R

[e−r(T−t)R

f(S(T))g(S(T)_|v¯)dS(T)]h(¯v_|v(t))dv¯. Definindof(¯v) =e−r(T−t)R

f(S(T))g(S(T)_|v¯)dS(T) Temos quef(¯v) ´e a f´ormula de BS dada por:

f(¯v) = S(t)N(d1)₋Ke−r(T−t)_{N(d2), onde} d1 = ln(S(t)/K√)+(r+¯v/2)(T−t)

¯

v(T−t) ed2 =d1− p

¯

v(T ₋t)

Demonstra¸c˜ao: Precisamos mostrar apenas que ln(S(T)/S(0))_|v¯_∼N(rT ₋vT /¯ 2,vT¯ ) Come¸camos particionando o intervalo [0,T] em n subintervalos e assumindo que a variˆan-cia ´e constante em cada um deles. Seja Si o pre¸co da a¸c˜ao ao final do per´ıodo i e vi−1 a

volatilidade(constante por hip´otese) do per´ıodoi, ent˜ao:

ln(Si/Si−1)|vi−1 ∼N(rT /n)−vi−1T /2n, vi−1T /n

Note que ln(S(T)/S(0)) =log(Qn

i=1Si/Si−1) = Pn

i=1ln(Si/Si−1)∼N ormal E[ln(S(T)/S(0))] =Pn

i=1rT /n− Pn

i=1 12vi−1T /n e var[ln(S(T)/S(0))] = Pn

i=1vi−1T /n

Tomando os limites, temos o resultado.

4.5.1 Dificuldades do Modelo

Vimos que o valor da op¸c˜ao ´e dada por c(S(t), v(t)) =R

c(¯v)h(¯v_|v(t))d¯v =E[c(¯v)]. O problema ´e que n˜ao conseguimos encontrar analiticamente a distribui¸c˜ao de ¯v, por´em, podemos calcular todos os momentos de ¯v para µ e ξ constantes. De fato, para µ = 0, temos:

E[¯v] =v(0) e E[¯v2_{] =} 2(eξ2T_−ξ2_T−1) (xi2_T

2 v(0)2

Expandindo c(¯v) em s´eries de Taylor em torno de v(0), temos:

c(S(t), v(t)) =c(v(0)) +1

2cvv|v(0) R

⇒c(S(t), v(t)) =c(v(0)) +1₂cvv|v(0)var[¯v] +...

Usando o fato quecvv = S(o)

√

T−t

4¯v3/2 N′(d1)(d1d2−1) e que var[¯v] =E[¯v2]−E[v(0)]2, temos

que, paraµ= 0:

c(S(0), v(0)) =c(v(0)) +1₂S(0)sqrtT N′(d1)(d1d2−1) 4v(0)3/2 [

2(eξ2T_−ξ2_T−1) (xi2_T

2

v(0)2_−v(0)2_{] +....}

4.6

Volatilidade Impl´ıcita e a Smile Curve

Seja uma op¸c˜ao europ´eia, cujo pre¸co observado cObs _{para um contrato com pre¸co}

de exerc´ıcio K e maturidade T, a volatilidade impl´ıcita I ´e definida como o valor do parˆametro da volatilidade da f´ormula de BS, de forma que:

cBS(t, S(t), K, T, I) = cObs

Note que uma ´unica volatilidade I >0 pode ser encontrada, dado que

cObs _{> c}

BS(t, S(t), K, T,0)

j´a que a f´ormula de BS ´e mon´otona estrita no parˆametro da volatilidade:

∂cBS

∂σ =

S(t)e−d2₁/2√_T −t

√

2π >0

Note ainda que a volatilidade impl´ıcita de op¸c˜oes de compra e venda com mesmo pre¸co de exerc´ıcio e maturidade deve ser a mesma, devido a put-call parity. Por n˜ao arbitragem, a put call parity, vale tanto para o modelo de BS quanto para os pre¸cos de mercado. Logo,

pBS +S(0) =cBS+Ke−rT

pmkt+S(0) =cmkt+Ke−rT ⇒pBS−pmkt =cBS−cmkt

Seja I a volatilidade impl´ıcita, ent˜ao por defini¸c˜ao, temos que pBS(I)−pmkt(I) = 0 ⇒

cBS(I) − cmkt(I) = 0. Estudos emp´ıricos atestam que a volatilidade impl´ıcita n˜ao ´e

constante entre op¸c˜oes, mas variam com o pre¸co de exerc´ıcio e a maturidade. Outra caracter´ıstica verificada ´e que a volatilidade impl´ıcita sob op¸c˜oes de a¸c˜oes ´e mais alta que a volatilidade hist´orica e geralmente decrescente com a maturidade. O formato sorriso(ou em forma de U) da volatilidade impl´ıcita foi frequentemente verificado no mercado para o per´ıodo antes do Crash de 1987. O gr´aficoI(K) foi obtido para valores fixos det, S(t) eT. A interpreta¸c˜ao para o formato sorriso da volatilidade impl´ıcita ´e que existe um prˆemio cobrado para op¸c˜oes de venda fora do dinheiro e op¸c˜oes de compra dentro do dinheiro (S(t)< K ou S(t)/K <1) acima do pre¸co de BS computado com a volatilidade impl´ıcita da op¸c˜ao no dinheiro.

4.6.1 Limites de Inclina¸c˜ao para a Volatilidade Impl´ıcita

Podemos obter limites para as inclina¸c˜oes da curva de volatilidade impl´ıcita I(K) notando que os pre¸cos das op¸c˜oes de compra devem ser decrescentes com o pre¸co de exerc´ıcioK(para que n˜ao haja oportunidades de arbitragem). Logo, de

cObs _=c

BS(t, S(t), K, T, I(K)), temos: ∂cObs

∂K =

∂cBS

∂K +

∂cBS

∂σ ∂I

∂K ≤0⇒

∂I

∂K ≤ −

∂cBS/∂K

Similarmente, as op¸c˜oes de venda devem ter o pre¸co crescente emK. Como, pela put-call parity, a volatilidade impl´ıcita ´e a mesma para op¸c˜oes com mesmo pre¸co de exerc´ıcio e vencimento, temos que:

∂I

∂K ≥ −

∂pBS/∂K

∂pBS/∂σ ⇒ −

∂pBS/∂K

∂pBS/∂σ ≤

∂I

∂K ≤ −

∂cBS/∂K

∂cBS/∂σ

Fazendo as contas, temos que

− √2π

S(t)√T−t(1−N(d2))e−

r(T−t)+d2

1/2 ≤ ∂I

∂K ≤

sqrt2π

S(t)√T−tN(d2)e−

r(T−t)+d2 1/2

Em outras palavras, para que n˜ao haja oportunidades de arbitragem, a inclina¸c˜ao n˜ao pode ser nem muito positiva nem muito negativa.

4.6.2 Volatilidade Impl´ıcita como fun¸c˜ao de Moneyness

Suponha que o pre¸co da a¸c˜ao satisfa¸ca dx(s) = rx(s)ds+σ(s)x(s)dw˜(s) sob uma medida neutra ao risco ˜P. Suponha que estamos no tempote defina ˜x= _Xx, onde x(t)=X ´e o pre¸co corrente da a¸c˜ao. ´E f´acil vermos que ˜x segue a mesma equa¸c˜ao diferencial estoc´astica, com valor inicial ˜x= 1. O pre¸co da op¸c˜ao de compra ´e dado por:

c(t) = ˜E[e−RtTr(u)du(x(T)− K)+|x(t) = X, σ(t)] = ˜E[e−

RT

t r(u)du(˜x(T)X −K)+|x˜(t) =

1, σ(t)] =KE˜[e−RtTr(u)du(˜x(T)X

K −1)

+_{|x˜(t) = 1, σ(t)] =KQ1(t, X/K, T)}

Lembrando que pela defini¸c˜ao de I, temos c(t) =cBS(t, X, K, I) =KQ2(t, X/K, I) onde

Q2(t, X/K, I) = N(d1)X/K ₋N(d2)e−r(T−t)_{. Logo, Q2(t, X/K, I) = Q1(t, X/K, I).}

Podemos concluir que I deve ser uma fun¸c˜ao da moneyness K/X, mas n˜ao de K e X

separadamente. De fato, podemos mostrar(ver Jean Pierre Fouque e Sircar (2000)) que se a variˆancia segue um processo de OU, ent˜ao, para alta velocidade de revers˜ao a m´edia, a volatilidade impl´ıcitaI ser´a aproximadamente uma fun¸c˜ao linear do log da moneyness to maturity ratio, isto ´e,I(K/X) = a[log(_TK/X_−t )] +b+O(1/α).

4.6.3 Volatilidade estoc´astica e a Smile Curve

Quando a correla¸c˜ao entre o pre¸co do ativo e a volatilidade ´e zero, temos que os modelos de volatilidade estoc´astica implicam em pre¸cos de op¸c˜oes que geram volatilida-des impl´ıcitas que possuem curva em forma de Smile(forma de U). Esse ´e o resultado do teorema de Renault-Touzi, que afirma que a curva de volatilidade impl´ıcitaI(K) derivada desses modelos ´e localmente convexa em torno do m´ınimoKmin =xer(T−t), que ´e o pre¸co

forward da a¸c˜ao.

Para vermos isso(seguindo Jean-Pierre Fouque e Sircar (2008)), considere o caso em que ¯

σ2 _{´e uma vari´avel aleat´oria de bernoulli, isto ´e,}

¯

σ2 =

( σ2

1com probabilidade p; σ2

2com probabilidade (1−p).

Sob uma medida ˜P. Ent˜ao, pelo resultado de Hull-White, temos que:

ondex, t e T est˜ao fixos. Derivando com rela¸c˜ao a K, temos

∂cBS(I(p,K))

∂K +

∂cBS(I(p,K))

∂σ ∂I ∂K =p

∂cBS(σ1)

∂K + (1−p)

∂cBS(σ2)

∂K ⇒ ∂cBS(I(p,K))

∂σ

∂I

∂K =g(p), onde

g(p) = p∂cBS(σ1)

∂K + (1−p)

∂cBS(σ2)

∂K −

∂cBS(I(p,K))

∂K .

Ent˜ao, sign(∂I

∂K) =sign(g(p)) j´a que

∂cBS(I(p,K))

∂σ >0

Note que sep= 0, ent˜aoI =σ2 e se p= 1, ent˜aoI =σ1. Logo, g(0) =g(1) = 0. Note ainda que:

g′_{(p) =} ∂cBS(σ1)

∂K −

∂cBS(σ2)

∂K −

∂2_c

BS(K,I(p,K))

∂K∂σ ∂I ∂p

e ∂cBS(K,I(p,K))

∂σ

∂I

∂p =cBS(σ1)−cBS(σ2)⇒ ∂I ∂p =

cBS(σ1)−cBS(σ2)

∂cBS(K,I(p,K))

∂σ

g′′_{(p) =} ∂I ∂p =

[cBS(σ1)−cBS(σ2)]2

∂cBS(K,I(p,K))

∂σ

[∂3cBS(K,I(p,K))

∂K∂σ2 −

∂2_cBS(K,I(p,K))

∂K∂σ

∂2_cBS(K,I(p,K))

∂σ2 ∂cBS(K,I(p,K))

∂σ

]

ou ainda g′′_{(p) = 2}[cBS(σ1)−cBS(σ2)]2

∂cBS(K,I(p,K))

∂σ

˜

L

(T−t)I3 onde ˜L=ln(Xer(T−t)/K)

Note quesign(g′′_{(p)) =sign( ˜L) j´a que} ∂cBS

∂σ >0 eI >0. Vimos tamb´em quesign( ∂I ∂K) =

sign(g(p)) e g(0) =g(1) = 0. Seja K < Kmin =Xer(T−t), temos que ˜L >0⇒ g′′(p)>0

e como g(0) = g(1) = 0 temos que g(p) <0 para p_∈ (0,1). Portanto, _∂K∂I < 0. Similar-mente, seK > Kmin, temos que _∂K∂I >0 e portanto, em K =Kmin =Xer(T−t), temos que

∂I

∂K = 0. Conclu´ımos ent˜ao que I(K) ´e localmente convexa em torno deK =Xer(T−t).

Como todos os modelos de volatilidade estoc´astica podem ser obtidos por indu¸c˜ao to-mando como base um modelo de bernoulli, temos que esse resultado ´e v´alido para todos os modelos de volatilidade estoc´astica em que a volatilidade n˜ao ´e correlacionada com o pre¸co do ativo.

4.7

O Modelo de Heston

O modelo de Heston extende o modelo de Hull-White pois o torna mais flex´ıvel j´a que relaxa a hip´otese do pre¸co de mercado do risco de volatilidade e a correla¸c˜ao entre o pre¸co do ativo e sua volatilidade serem ambos iguais a zero. Heston considera um modelo de volatilidade estoc´astica em que a correla¸c˜ao entre o pre¸co do ativo e sua volatilidade ´e constante, mas n˜ao necessariamente zero. Al´em disso, considera o pre¸co de mercado do risco de volatilidade como proporcional av, isto ´e, λ(x, v, t) = λv, o que torna o modelo mais geral e consistente.

Vimos que em um modelo de volatilidade estoc´astica, temos:

1. dx(t) = µxdt+√vxdw1(t)

2. dv(t) =α(t, v)dt+β(t, v)dw2(t)

w1(t) e w2(t) possuem correla¸c˜ao instantˆaneaρ.

O pre¸co do derivativo f(t, S(t)) deve satisfazer a EDP ₋rf +ft+fxrx+ (α−λβ)fv +

1 2fxxvx

2₊ 1 2fvvβ

2_+f