Bifurcação de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos do plano

Texto

(1)Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos do plano.. Pricila da Silva Barbosa. D¸  ˜   I  M  E´ı ´  U  S ˜ P  ¸  ˜  ´ı  M  Cˆ. Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira ˆ Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro do CNPq. São Paulo, de 2010..

(2) Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos do plano.. Esta versão definitiva da dissertaça˜ o contém as correçoes ˜ e alteraçoes ˜ sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Pricila da Silva Barbosa em /05/2010.. Comissão Julgadora: Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira (orientador) - IME-USP ˆ Prof. Dr. Marcone Corrêa Pereira - IME-USP Prof. Dr. Luiz Augusto da Costa Ladeira - ICMC-USP.

(3) Agradecimentos. Agradeço... Primeiramente a minha fam´ılia, em especial a` minha mãe por me incentivar nos estudos e me apoiar nos momentos dif´ıceis. Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira, por toda a paciência e dedicaça˜ o ao passar ˆ horas e horas me ajudando para que tudo isso fosse poss´ıvel. A todos os meus amigos do IME, em especial a` Catalina Rua e Juan Fernando Zapata, por me ajudarem durante o mestrado e de alguma forma neste trabalho.. .

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(5) Resumo. O objetivo principal deste trabalho e´ apresentar uma exposiça˜ o detalhada do Teorema de Poincaré-Andronov-Hopf para uma fam´ılia de transformaçoes ˜ no plano, baseada em um trabalho de O. Lanford [1]. Este teorema dá condiçoes ˜ para o aparecimento de uma curva fechada invariante para o fluxo quando o parâmetro passa por um determinado valor. Apresentamos também uma aplicaça˜ o a um sistema dinâmico que modela a evoluça˜ o do preço e excesso de demanda em um mercado constitu´ıdo por uma unica mercadoria. ´ Palavras-chave: bifurcaça˜ o, forma normal, curva fechada invariante, estabilidade..

(6) .

(7) Abstract. The main purpose of this work is to present a detailed exposition of the Poincaré-Andronov-Hopf Theorem for a family of transformations in the plane, based on a work of O. Lanford [1]. This theorem gives conditions for the appearance of a closed invariant curve under the flow, when the parameter crosses a certain value. We also present an application to a dynamical system modelling the evolution of the price and the excess demand in a single asset market. Keywords: bifurcation, normal form, closed invariant curve, stability.. .

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(9) ´ SUMARIO. 1. Preliminares.. 3. 1.1. Sistemas Dinâmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Conjuntos α-limite e w-limite de uma orbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´. 5. R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4. Variedade Central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3. O Teorema da Bifurcaça˜ o de Hopf em. e. Rn .. 2. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano. 2.1. Difeomorfismos do Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 9. 2.2. Forma Canonica da Aplicaça˜ o Φµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ˆ 2.3. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Uma Aplicaça˜ o.. 43. 3.1. Introduça˜ o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. A Unicidade do Equil´ıbrio e Propriedades Básicas de Estabilidade. . . . . . . . . . . 45 ´ 3.3. Bifurcaça˜ o de Hopf e Orbitas Periodicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ´ 3.4. Simulaça˜ o Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. .

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(11) Introduça˜ o. O proposito desse trabalho e´ discutir o Teorema de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos ´ do plano, fazer uma aplicaça˜ o e em seguida uma simulaça˜ o numérica. Em 1942, Hopf estabeleceu condiçoes ˜ para a ocorrência de um tipo de bifurcaça˜ o num sistema n-dimensional. Entretanto, esse tipo de bifurcaça˜ o já havia sido sugerido por Poincaré, em 1892, e estudado por Andronov, em 1929, para um sistema bidimensional, sendo por isto geralmente conhecida como Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf. Esse teorema descreve o que acontece quando um ponto de equil´ıbrio de uma equaça˜ o diferencial dependendo de um parâmetro passa de estável a instável, em um valor cr´ıtico do parâmetro. Um trabalho realizado por Ruelle e Takens [4] estende a teoria da bifurcaça˜ o de Hopf para transformaçoes. Eles estavam interessados em estudar o aparecimento de um toro ˜ invariante estável que, sob algumas condiçoes, aparece nas proximidades de uma orbita fechada ˜ ´ instável. A prova feita por Ruelle e Takens passa por demonstrar o Teorema de Poincaré-Andronov-Hopf para a transformaça˜ o de Poincaré. Dado um campo de vetores X e uma orbita fechada γ do fluxo ´ ψt de X, a idéia e´ considerar a transformaça˜ o de Poincar´ e P associado a γ. Supondo que exista uma [ circunferência σ que e´ invariante sob P, então. ψt (σ) e´ um toro invariante para o fluxo de X. t. Sejam Xµ uma fam´ılia de campos de vetores e γµ uma fam´ılia cont´ınua de orbitas fechadas desses ´ ´ campos. E poss´ıvel que exista um µ0 de tal forma que γµ seja estável para µ < µ0 e instável para µ > µ0 , e um toro invariante estável se forme nesse local. Sabemos que γµ e´ estável se os autovalores da derivada da transformaça˜ o de Poincaré Pµ têm autovalores com modulo menor do que 1 (e ´ 1.

(12) 2. Introduça˜ o. instável se algum dos autovalores tem modulo maior do que 1). O teorema de bifurcaça˜ o de Hopf ´ para difeomorfismos dá condiçoes ˜ para o aparecimento do toro, apos ´ a perda de estabilidade de γµ . Nossa atença˜ o será focalizada no trabalho de Lanford [1], onde o estudo e´ feito para difeomorfismos do plano em geral, e não para o caso particular da transformaça˜ o de Poincaré. Consideraremos neste trabalho uma fam´ılia de transformaçoes ˜ do plano Φµ , de classe C4 , a um parâmetro real, em uma vizinhança do zero no espaço de Banach Z em Z, com Φµ (0) = 0 para todo µ. Queremos observar o que acontece quando µ varia e a origem muda de estável a um ponto fixo instável de Φµ , isto e´ , algum dos autovalores do espectro de DΦµ (0) cruza a circunferência unitária. Isto pode acontecer de várias maneiras, mas consideraremos apenas o caso de um unico par complexo ´ conjugado de autovalores simples não reais; assumiremos que o restante do espectro de DΦµ (0) se encontra estritamente dentro da circunferência unitária, e para simplificar a notaça˜ o, assumiremos também que isso ocorre em µ = 0. No primeiro cap´ıtulo, abordaremos definiçoes ˜ e resultados importantes sobre sistemas dinâmicos. Também enunciaremos sem demonstraça˜ o o Teorema de Variedade Central, que será muito importante para reduzirmos nosso estudo a uma variedade de dimensão 2. No segundo cap´ıtulo enunciaremos e demonstraremos o Teorema de Poincaré-Andronov-Hopf em detalhe e demonstraremos também uma proposiça˜ o que dá uma condiça˜ o necessária e suficiente para o surgimento da bifurcaça˜ o em questão. Finalmente, no terceiro e ultimo cap´ıtulo, trabalharemos com um difeomorfismo do plano ´ cujas orbitas imitam a evoluça˜ o do preço e do excesso de demanda de uma dada mercadoria. Para ´ ilustrar o aparecimento de oscilaçoes desse modelo do mercado financeiro, faremos ˜ periodicas ´ simulaçoes ˜ numéricas para alguns valores dos parâmetros..

(13) ´ CAPITULO 1 Preliminares.. A teoria de Sistemas Dinâmicos estuda o comportamento a longo prazo da evoluça˜ o de um sistema. A moderna teoria de sistemas dinâmicos originou-se no final do século 19, procurando responder questoes ˜ fundamentais relativas a estabilidade e evoluça˜ o do sistema solar, o que levou ao desenvolvimento de um campo rico e poderoso, com aplicaçoes ˜ a f´ısica, biologia, meteorologia, astronomia, economia e outras a´ reas. Por analogia com a mecânica celeste, a evoluça˜ o de um estado particular de um sistema dinâmico e´ referido como uma orbita. Um certo numero de temas ´ ´ aparecem repetidamente no estudo de sistemas dinâmicos: existência e estabilidade de equil´ıbrios e orbitas periodicas, comportamento assintotico, estabilidade por pertubaçoes, etc. ´ ´ ´ ˜. 1.1. Sistemas Dinâmicos. Um sistema dinâmico cont´ınuo consiste em um espaço métrico X e uma fam´ılia de transformaçoes ˜ a um parâmetro {Tµ : X → X}, com µ ∈ R ou µ ∈ R+0 , que forma um grupo ou semigrupo a um parâmetro, ou seja, Tµ1 +µ2 = Tµ1 ◦ Tµ2 e T0 = Id. O sistema dinâmico e´ chamado de fluxo se µ varia em R e um semi-fluxo se µ varia em R+0 . Definiça˜ o 1.1 Um sub-conjunto A ∈ X e´ invariante para o sistema dinâmico Tµ se, para todo x ∈ A, Tµ (x) está definido e pertence a A para todo µ ∈ R. 3.

(14) 4. Preliminares. Um sistema dinâmico discreto consiste de um espaço métrico X e uma funça˜ o T : X → X. Para. n ∈ N, a n-ésima iteraça˜ o de T e´ a n-ésima composiça˜ o Tn = T ◦ · · · ◦ T (n vezes) e definimos T0 como a funça˜ o identidade, denotada por Id. Se T e´ invers´ıvel, então T−n = T−1 ◦ · · · ◦ T−1 (n vezes). Como Tn+m = Tn ◦Tm , essas iteraçoes ˜ formam um grupo se T e´ invers´ıvel. Embora tenhamos definido sistemas dinâmicos de maneira bem geral, X tem muitas vezes uma estrutura adicional que e´ preservada pela funça˜ o T. Por exemplo, (X, T) pode ser um espaço de medida e uma transformaça˜ o que preserva medida; um espaço topologico e uma transformaça˜ o cont´ınua; um espaço métrico e ´ uma isometria, ou uma variedade diferenciável e uma transformaça˜ o diferenciável. Definiça˜ o 1.2 Se T e´ uma transformaça˜ o em X, o ponto x e´ um ponto fixo para T se T(x) = x. O ponto x e´ periódico de per´ıodo n se Tn (x) = x. O menor positivo n para cada Tn (x) = x e´ chamado de primeiro per´ıodo de x. O conjunto de todas as iteraço˜ es de um ponto periódico e´ denominado uma o´ rbita periódica. Exemplo 1.1 Considerando o sistema dinâmico discreto sobre a reta real R definido pelas iteraço˜ es da aplicaça˜ o T : x 7−→ −x, temos que o ponto 0 e´ um ponto fixo. Definiça˜ o 1.3 Seja X um espaço métrico e T : X −→ X uma transformaça˜ o. Dizemos que um ponto fixo fixo p de T e´ atrator se T(p) = p e Tn (x) = p quando n −→ ∞, para todo x ∈ X. O resultado que segue e´ frequentemente usado para provar a existência de pontos fixos. Teorema 1.1 Seja X um espaço métrico completo. Se T : X −→ X e´ cont´ınua e, para algum m, Tm e´ uma contraça˜ o, então existe um unico ´ ponto fixo p para T. Mais ainda, p e´ atrator. A demonstraça˜ o do Teorema 1.1 pode ser visto em [7]. O teorema seguinte e´ conhecido como Método Indireto de Lyapunov. Teorema 1.2 Seja T uma transformaça˜ o de classe C1 , com ponto fixo x. a) Se todos os autovalores da matriz Jacobiana DT(x) têm módulo menor que 1, então o ponto fixo x e´ assintoticamente estável. b) Se pelo menos um dos autovalores de DT(x) tem módulo maior que 1, então x e´ instável..

(15) 1.2 Conjuntos α-limite e w-limite de uma orbita. ´. 5. 1.2. Conjuntos α-limite e w-limite de uma orbita. ´ Sejam X um subconjunto aberto do espaço euclidiano Rn , e T : X −→ Rn um campo vetorial de classe Ck , k ≥ 1. Seja ϕ(t) = ϕ(t, x) a curva integral de T passando pelo ponto x, definida no seu intervalo máximo Ix = (w− (x), w+ (x)). Se w+ (x) = ∞, define-se o conjunto w(x) = { q ∈ X ; ∃{tn } com tn −→ ∞ e ϕ(tn ) −→ q, quando n −→ ∞}. Analogamente, se w− (x) = −∞, define-se o conjunto α(x) = { q ∈ X ; ∃{tn } com tn −→ −∞ e ϕ(tn ) −→ q, quando n −→ ∞}. Os conjuntos w(x) e α(x) são chamados, respectivamente, de conjunto w-limite e conjunto α-limite de x. Definiça˜ o 1.4 O conjunto w-limite de uma o´ rbita γ, que denotaremos por w(γ), e´ o conjunto w(x), para qualquer x ∈ γ. O conjunto α-limite de uma o´ rbita γ, que denotaremos por α(γ), e´ o conjunto α(x), para qualquer x ∈ γ. E w(x) = w(y) se x, y ∈ γ. Observaça˜ o 1.1 Sejam ϕ(t) = ϕ(t, x) a curva integral do campo T pelo ponto x e ψ(t) = ψ(t, x) a curva integral do campo −T pelo ponto x, então ψ(t, x) = ϕ(−t, x). Segue-se da´ı que o w-limite de ψ(t) e´ igual ao α-limite de ϕ(t) e, reciprocamente, o w-limite de ϕ(t) e´ igual ao α-limite de ψ(t). Por este motivo, para estudarmos as propriedades gerais dos conjuntos α-limite e w-limite de o´ rbitas e´ suficiente nos restringirmos ao estudo do conjunto w-limite. Definiça˜ o 1.5 Um ponto x e´ chamado de positivamente recorrente se x ∈ w(x), e se T e´ invers´ıvel, x e´ negativamente recorrente se x ∈ α(x). x e´ dito recorrente se e´ positivamente e negativamente recorrente. Exemplo 1.2 Pontos periódicos são pontos recorrentes. Observaça˜ o 1.2 O conjunto R(T) dos pontos recorrentes e´ T-invariante.. 1.3. O Teorema da Bifurcaça˜ o de Hopf em R2 e Rn . Teorema 1.3 (da bifurcaça˜ o de Hopf em R2 ) Seja Ψµ um campo de vetores de classe Ck (k ≥ 4) em R2 , tal que Ψµ (0) = 0 para todo µ e Ψ = (Ψµ , 0) e´ também Ck . Suponhamos que DΨµ (0, 0) tem dois autovalores.

(16) 6. Preliminares.. complexos conjugados distintos λ(µ) e λ(µ), tais que, para µ > 0 temos que Reλ(µ) > 0.Suponhamos d(Reλ(µ)) também que > 0 em µ = 0. Então: dµ a) Existe uma funça˜ o µ : (−, ) → R de classe Ck−2 , tal que µ(0) = 0 e para todo x1 , 0, (x1 , 0, µ(x1 )) √ está sobre uma o´ rbita periódica fechada de Ψ com raio crescente da ordem de µ e per´ıodo próximo de 2π . | λ(0) | b) Existe uma vizinhança U de (0, 0, 0) em R3 tal que qualquer o´ rbita fechada em U e´ uma dessas acima. Além disso, se (0, 0) e´ um atrator ”indefinido”para Ψ0 , então: c) µ(x1 ) > 0 para todo x1 , 0 e as o´ rbitas periódicas são atratoras. ∂3 V (0, 0) < 0. Onde V(x1 , µ) = P(x1 , µ) − x1 e ∂x31 P e´ a transformaça˜ o do primeiro retorno do campo Ψ em relaça˜ o ao eixo (x1 , 0). Definiça˜ o 1.6 (0,0) e´ um atrator ”indefinido”para Ψ0 se. Teorema 1.4 (da bifurcaça˜ o de Hopf em Rn ) Seja Ψµ um campo de vetores em Rn de classe Ck+1 , com k ≥ 4, com todas as hipóteses do Teorema 1.3 mantidas exceto que assumimos que o resto do espectro e´ distinto dos dois autovalores simples λ(µ), λ(µ). Então a conclusão a) e´ verdadeira. A conclusão b) e´ verdadeira se o resto do espectro permanece do lado direito do semi plano quando µ passa pelo 0. A conclusão c) e´ verdade se, em relaça˜ o a λ(µ), λ(µ), 0 e´ um atrator ”indefinido”no mesmo sentido do Teorema 1.3, e se quando as coordenadas são escolhidas de modo que   0 |λ(0)| D3 Ψ1 (0)  DΨ0 (0) =  −|λ(0)| 0 D3 Ψ2 (0)  0 0 D3 Ψ3 (0).     ,  . λ(0) < σ(D3 Ψ3 (0)) (espectro de D3 Ψ2 (0)). As demonstraçoes ˜ dos Teoremas 1.3 e 1.4 não serão feitas neste trabalho, mas podem ser vistas em [5].. 1.4. Variedade Central. Nesta seça˜ o enunciaremos o Teorema da Variedade Central. Esse teorema será importante pois nos permitirá reduzir o estudo de uma variedade de dimensão finita qualquer para uma outra de.

(17) 1.4 Variedade Central.. 7. dimensão 2. Para os leitores interessados e´ poss´ıvel ver a demonstraça˜ o do mesmo no apêndice ´ B do artigo [1]. Antes de enunciarmos o teorema, precisamos de alguns resultados de Algebra Linear, que seguem adiante. Definiça˜ o 1.7 Seja B uma matriz complexa n × n. Se λ e´ um autovalor de B, seja Vλ = { v ∈ Cn : (B − λI)i v = 0 para algum i ∈ N}. Se B e´ real e γ e´ um autovalor real, seja VγR = Rn ∩ Vγ = {v ∈ Rn : (B − γI)i v = 0 para algum i ∈ N}. Se B e´ real e λ, λ e´ um par de autovalores complexos, seja V R = Rn ∩ (Vλ ⊕ Vλ ). λ,λ. Esses espaços são chamados de autoespaços generalizados. Teorema 1.5 (da Variedade Central) Seja Ψ uma aplicaça˜ o da vizinhança do zero no espaço de Banach Z em Z. Suponhamos que Ψ tem k + 1 derivadas cont´ınuas, que Ψ(0) = 0, DΨ(0) tem raio espectral 1 e que o espectro de DΨ(0) tem uma parte contida na circunferência unitária com um numero ´ finito de autovalores, e o restante está a uma distância não nula da mesma. Suponhamos que Y, o auto-espaço generalizado de DΨ(0) pertencente a` parte do espectro sobre a circunferência unitária, tem dimensão d < ∞. Então existe uma vizinhança V do 0 em Z e uma subvariedade M ⊂ V de classe Ck e dimensão d, contendo a origem e tangente a Y em 0, tal que: a) (Invariância Local) Se x ∈ M e Ψ(x) ∈ V, então Ψ(x) ∈ M. b) (Atratividade Local) Se Ψn (x) ∈ V para todo n ∈ N, então quando n → ∞, a distância de Ψn (x) a M vai a zero. Uma variedade M como descrita no teorema e´ chamada de variedade central (para o ponto fixo 0 de Ψ). Não e´ em geral unica, mas por b), pelo menos contém todos os pontos w-limite de ´ uma orbita {Ψn (x)/n = 0, 1, 2, ...} que está contida em uma vizinhança do zero. ´.

(18) 8. Preliminares..

(19) ´ CAPITULO 2 Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Neste cap´ıtulo trabalharemos com um difeomorfismo Φµ . A utilizaça˜ o do Teorema 1.5 nos permitirá reduzir o estudo ao plano. Apresentaremos uma forma canônica para o difeomorfismo e daremos condiçoes ˜ para a existência de bifurcaça˜ o. Posteriormente mostraremos a existência de uma curva fechada invariante para a aplicaça˜ o Φµ , utilizando o princ´ıpio da contraça˜ o.. 2.1. Difeomorfismos do Plano. Uma das técnicas utilizadas por Ruelle e Takens e´ a reduça˜ o de um problema geral para outro em dimensão 2. Eles fizeram isto utilizando o Teorema 1.5, mas a idéia aqui e´ aplicá-lo para a transformaça˜ o: Ψ : (x, µ) 7−→ (Φµ (x), µ), onde Φµ e´ um difeomorfismo do espaço de Banach Z em Z, que depende de um parâmetro real µ. Se DΦ0 tem dois autovalores complexos conjugados simples na circunferência unitária, então o auto-espaço generalizado de DΦ(0) tem dimensão 3. A dimensão extra encontra-se na direça˜ o de µ. O Teorema 1.5 então garante a existência de uma variedade central M de dimensão 3. Se 9.

(20) 10. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. fixarmos µ suficientemente pequeno, obteremos uma seça˜ o Mµ de dimensão 2 de M, que e´ localmente invariante e atratora para Φµ . Como estamos interessados no comportamento recorrente, podemos restringir Φµ a Mµ . Estamos então reduzindo o estudo a uma fam´ılia de transformaçoes ˜ suficientemente regulares (C4 e´ suficiente) a um parâmetro real, que denotaremos ainda por Φµ , de uma vizinhança do zero em R2 sobre R2 , com Φµ (0, 0) = (0, 0) e DΦ0 (0, 0) tendo dois autovalores complexos conjugados distintos, sobre a circunferência unitária.. 2.2. Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ . Queremos mostrar a existência de uma curva fechada invariante para Φµ , com µ > 0. Para isto e´ importante encontrar uma forma conveniente para Φµ . Assumimos que os autovalores de DΦµ (0, 0) passam através da circunferência unitária com velocidade positiva quando µ passa pelo 0. Podemos então reparametrizar os autovalores de DΦµ (0, 0) de forma a obtê-los como (1 + µ)eiθ(µ) e (1 + µ)e−iθ(µ) , o que muda a velocidade, mas não os valores para µ = 0. Fazendo uma mudança de coordenadas suave µ-dependente, podemos denotar DΦµ (0, 0) por:   cos θ(µ) − sen θ(µ) DΦµ (0, 0) = (1 + µ)  sen θ(µ) cos θ(µ).    . . Assim, a aplicaça˜ o Φµ pode ser denotada por: Φµ :. R2. −→ R2. (x1 , x2 ) 7−→.   cos θ(µ) − sen θ(µ) (1 + µ)  sen θ(µ) cos θ(µ).    .    x1     x  + gµ (x1 , x2 ), 2. (2.1). onde gµ e´ uma funça˜ o suave com componentes g1 e g2 , tendo expansão em série de Taylor iniciando-se com termos quadráticos, ou seja, gµ = O( ||(x1 , x2 )||2 ) uniformemente em µ. Temos que |gµ | e´ menor do que um polinomio complexo com coeficientes cont´ınuos em µ, com termos de ˆ ordem maior ou igual a 2. O proximo passo e´ fazer mais uma mudança de coordenada para levar ´ Φµ a uma forma canonica apropriada. A aplicaça˜ o Φµ pode ser escrita na forma: ˆ Φµ (x1 , x2 ) = (1 + µ)(x1 cos θ(µ) − x2 sen θ(µ), x1 sen θ(µ) + x2 cos θ(µ) ) + gµ (x1 , x2 )..

(21) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 11. Vamos escrever cada par (x1 , x2 ) ∈ R2 como um numero complexo z = x1 + i x2 e, tomando ´ e Φµ (z) = Φ1 (x1 , x2 ) + i Φ2 (x1 , x2 ), onde Φµ = (Φ1 , Φ2 ), teremos: eµ (z) = (1 + µ) x1 cos θ(µ) − x2 sen θ(µ) + i(1 + µ) x1 sen θ(µ) + x2 cos θ(µ) + O(|z|2 ) Φ = (1 + µ) cos θ(µ) + i sen θ(µ) (x1 + i x2 ) + O(|z|2 ) = (1 + µ)eiθ(µ) z + O(|z|2 ). Tomando λ(µ) = (1 + µ)eiθ(µ) a equaça˜ o acima toma a forma: eµ (z) = λ(µ)z + O(|z|2 ). Φ Ao longo desse texto será comum aparecer a expressão O(|z|n ) com n ∈ N. Com isto queremos eµ (z) − λ(µ)z| |Φ dizer que ≤ K, com K uma constante independente de µ, ou seja, a aproximaça˜ o |z|n eµ por Φµ . e´ uniforme em µ. De agora em diante, também para facilitar a notaça˜ o, denotaremos Φ Lema 2.1 A aplicaça˜ o Φµ (z) pode ser escrita em série de Taylor centrada na origem, na forma: Φµ (z) = λ(µ)z + A2 (z) + A3 (z) + O(|z|4 ), onde. k X. Ak (z) =. ξ j(k− j) z j ( z )k− j ,. j=0. para k = 2 e 3 e ξ j(k− j) ∈ C. Em particular, ξ20 = ξ11 = ξ02 = ξ21 =. 1 {(g1 )x1 x1 − (g1 )x2 x2 + 2(g2 )x1 x2 + i [(g2 )x1 x1 − (g2 )x2 x2 − 2(g1 )x1 x2 ]}, 8 1 {(g1 )x1 x1 + (g1 )x2 x2 + i [(g2 )x1 x1 + (g2 )x2 x2 ]}, 4 1 {(g1 )x1 x1 − (g1 )x2 x2 − 2(g2 )x1 x2 + i [(g2 )x1 x1 − (g2 )x2 x2 + 2(g1 )x1 x2 ]} e 8 1 {(g1 )x1 x1 x1 + (g1 )x1 x2 x2 + (g2 )x1 x1 x2 + (g2 )x2 x2 x2 + i [(g2 )x1 x1 x1 + (g2 )x1 x2 x2 − (g1 )x1 x1 x2 − (g1 )x2 x2 x2 ]}. 16. Demonstraça˜ o: Vamos reescrever os termos de ordem maior ou igual a 2 de Φµ (z) . Já sabemos que gµ tem componentes g1 e g2 de ordem 2 e, para facilitar a notaça˜ o, omitiremos a dependência de.

(22) 12. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. g1 e g2 em µ. A série de Taylor de g na origem e´ dada por: g1 (x1 , x2 ) =. i 1h (g1 )x1 x1 x21 + 2(g1 )x1 x2 x1 x2 + (g1 )x2 x2 x22 + 2 i 1 h (g1 )x1 x1 x1 x31 + 3(g1 )x1 x1 x2 x21 x2 + 3(g1 )x1 x2 x2 x1 x22 + (g1 )x2 x2 x2 x32 + O( ||(x1 , x2 )||2 ). 3!. Analogamente obtemos a série de Taylor para g2 . Tomando gµ (z) = gµ (x1 + i x2 ) = g1 (x1 , x2 ) + i g2 (x1 , x2 ), teremos: gµ (x1 + i x2 ) =. i 1h (g1 )x1 x1 x21 + 2(g1 )x1 x2 x1 x2 + (g1 )x2 x2 x22 + 2 i 1 h (g1 )x1 x1 x1 x31 + 3(g1 )x1 x1 x2 x21 x2 + 3(g1 )x1 x2 x2 x1 x22 + (g1 )x2 x2 x2 x32 + 3! i ih (g2 )x1 x1 x21 + 2(g2 )x1 x2 x1 x2 + (g2 )x2 x2 x22 + 2 i i h (g2 )x1 x1 x1 x31 + 3(g2 )x1 x1 x2 x21 x2 + 3(g2 )x1 x2 x2 x1 x22 + (g2 )x2 x2 x2 x32 + O( ||(x1 , x2 )||2 ). 3!. Agora, tomando x1 = a:. z+z z−z e x2 = na ultima expressão, e organizando os termos, chegamos ´ 2 2i. " # 1 (g1 )x1 x1 i(g1 )x1 x2 (g1 )x2 x2 i(g2 )x1 x1 (g2 )x1 x2 i(g2 )x2 x2 2 gµ (z) = − − + + − z + 2 4 2 4 4 2 4 " # 1 (g1 )x1 x1 (g1 )x2 x2 i(g2 )x1 x1 i(g2 )x2 x2 + + + zz + 2 2 2 2 2 " # 1 (g1 )x1 x1 i(g1 )x1 x2 (g1 )x2 x2 i(g2 )x1 x1 (g2 )x1 x2 i(g2 )x2 x2 2 + − + + − z + (2.2) 2 4 2 4 4 2 4 " 1 3(g1 )x1 x1 x1 3i(g1 )x1 x1 x2 3(g1 )x1 x2 x2 3i(g1 )x2 x2 x2 3i(g2 )x1 x1 x1 3 ξ30 z + − + − + + 3! 8 8 8 8 8 # 3(g2 )x1 x1 x2 3i(g2 )x1 x2 x2 3(g2 )x2 x2 x2 2 + + z z + ξ12 zz2 + ξ03 z3 + O(|z|4 ). 8 8 8 Vale a pena observar que, no desenvolvimento de um termo de grau n nas variáveis x1 , x2 so´ aparecem termos de grau n em (z, z). Assim e´ poss´ıvel escrever Φµ (z) na forma: Φµ (z) = λ(µ)z + A2 (z) + A3 (z) + O(|z|4 ),. (2.3).

(23) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ . k X. onde Ak (z) =. 13. ξ j(k− j) z j ( z )k− j , para k = 2 e 3 e ξ j(k− j) ∈ C. Em particular, da equaça˜ o (2.2). j=0. obtemos:. 1 ξ20 = {(g1 )x1 x1 − (g1 )x2 x2 + 2(g2 )x1 x2 + i [(g2 )x1 x1 − (g2 )x2 x2 − 2(g1 )x1 x2 ]}, 8 1 ξ11 = {(g1 )x1 x1 + (g1 )x2 x2 + i [(g2 )x1 x1 + (g2 )x2 x2 ]}, 4. (2.4). 1 ξ02 = {(g1 )x1 x1 − (g1 )x2 x2 − 2(g2 )x1 x2 + i [(g2 )x1 x1 − (g2 )x2 x2 + 2(g1 )x1 x2 ]} e 8 ξ21 =. 1 {(g1 )x1 x1 x1 +(g1 )x1 x2 x2 +(g2 )x1 x1 x2 +(g2 )x2 x2 x2 +i [(g2 )x1 x1 x1 +(g2 )x1 x2 x2 −(g1 )x1 x1 x2 −(g1 )x2 x2 x2 ]}. 16. . Nosso objetivo agora e´ , através de mudanças de coordenadas para a aplicaça˜ o (2.3), eliminar os termos de ordem 2, 3 e 4 da expressão de Φµ . Lema 2.2 Seja Φµ (z) = λz + A2 (z) + A3 (z) + O(|z|4 ), a aplicaça˜ o definida em (2.3), com coeficientes em (2.4) e λ = λ(µ) = (1 + µ)eiθ(µ) . Suponhamos que eiθ(0) , 1 e e3iθ(0) , 1. Então Φ pode ser transformada pela mudança de coordenadas complexa µ. τ : C −→ C z. 7−→ z0 = z + γ(z) ,. onde γ(z) = γµ (z) = γ2 z2 + γ1 zz + γ0 z2 , com γ2 = termos quadráticos:. ξ11 ξ02 ξ20 , γ1 = e γ0 = , na aplicaça˜ o sem 2 2 2 λ−λ λ − |λ| λ−λ. eµ (z0 ) = λz0 + B3 (z0 ) + O(|z0 |4 ), Φ com B3. (z0 ). 3 X. =. α3j z0j ( z0 )3−j e α3j ∈ C.. j=0. Demonstraça˜ o: Temos que, em uma vizinhança da origem no novo sistema de coordenadas z0 , z0 , e´ poss´ıvel inverter a aplicaça˜ o τ, obtendo: z = z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 ),. (2.5).

(24) 14. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. onde grau γ0 = 2 e grau k = 3. Da expressão de τ e da equaça˜ o (2.5) teremos: γ0 (z0 ) + k(z0 ) + γ(z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )) + O(|z0 |4 ) = 0.. (2.6). Vamos calcular γ(z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )). Agrupando os termos de mesma ordem e usando a definiça˜ o de γ(z), obtemos: γ(z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )) = γ2 [z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )]2 + γ1 [z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )][z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )] + γ0 [z0 + γ0 (z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )]2 = γ2 [z02 + 2z0 γ0 (z0 )] + γ1 [z0 z0 + z0 γ0 (z0 ) + z0 γ0 (z0 )] + 2. γ0 [z0 + 2z0 γ0 (z0 )] + O(|z0 |4 ) = γ(z0 ) + γ2 [2z0 γ0 (z0 )] + γ1 [z0 γ0 (z0 ) + z0 γ0 (z0 )] + γ0 [2z0 γ0 (z0 )] + O(|z0 |4 ).. (2.7). Substituindo (2.7) em (2.6), chegamos a: γ0 (z0 ) + γ(z0 ) + k(z0 ) + γ2 [2z0 γ0 (z0 )] + γ1 [z0 γ0 (z0 ) + z0 γ0 (z0 )] + γ0 [2z0 γ0 (z0 )] + O(|z0 |4 ) = 0. Comparando termos de mesma ordem, conclu´ımos que: γ0 (z0 ) = −γ(z0 ) e k(z0 ) = γ2 [2z0 γ(z0 )] + γ1 [z0 γ(z0 ) + z0 γ(z0 )] + γ0 [2z0 γ(z0 )]. eµ como sendo Φµ na nova coordenada z0 , teremos : Denotando Φ eµ (z0 ) = (τ ◦ Φµ ◦ τ−1 )(z0 ) Φ = (τ ◦ Φµ )(z) = Φµ (z) + γ(Φµ (z)) = Φµ (z0 − γ(z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )) + γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 ))).. (2.8).

(25) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 15. Vamos desenvolver a equaça˜ o acima. Agrupando os termos de mesma ordem de Φµ (z0 − γ(z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )), segue que: 2. Φµ (z0 − γ(z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 )) = λz0 + {−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 } + {λk(z0 ) + ξ20 [−2z0 γ(z0 )] + ξ11 [−z0 γ(z0 ) − z0 γ(z0 )] + 2. 3. ξ02 [−2z0 γ(z0 )] + ξ30 z03 + ξ21 z02 z0 + ξ12 z0 z0 + ξ03 z0 } + O(|z0 |4 ) ,. (2.9). e, pela definiça˜ o de γ(z), temos: 2. γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + k(z0 ) + O(|z0 |4 ))) = γ(λz0 + (−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 )) + O(|z0 |4 ) 2. = γ2 {λz0 + [−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 ]}2 + 2. γ1 {λz0 + [−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 ]} 2. {λz0 + [−λγ(z0 ) + ξ20 z0 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 2 ]} + 2. γ0 {λz0 + [−λγ(z0 ) + ξ20 z0 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 2 ]}2 + O(|z0 |4 ) 2. = γ(λz0 ) + γ2 {2λz0 [−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 ]} + 2. γ1 {λz0 (−λγ(z0 ) + ξ02 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ20 z0 ) + 2. λz0 (−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 )} +. (2.10). 2. γ0 {2λz0 [−λγ(z0 ) + ξ02 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ20 z0 ]} + O(|z0 |4 ). Usando as equaçoes ˜ (2.8), (2.9) e (2.10) teremos: eµ (z0 ) = λz0 + {−λγ(z0 ) + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 2 } + γ(λz0 ) + O(|z0 |3 ) Φ 2. 2. = λz0 − λγ2 z02 − λγ1 z0 z0 − λγ0 z0 + ξ20 z02 + ξ11 z0 z0 + ξ02 z0 + 2. 2. λ2 γ2 z02 + λλγ1 z0 z0 + λ γ0 z0 + O(|z0 |3 ) = λz0 + [(−λγ2 + ξ20 + λ2 γ2 )z02 + (−λγ1 + ξ11 + |λ|2 γ1 )z0 z0 + 2. 2. (−λγ0 + ξ02 + λ γ0 )z0 ] + O(|z0 |3 ).. ξ20 . λ − λ2 ξ11 + |λ|2 γ1 , se anula quando tomamos γ1 = . Além disso, λ − |λ|2. Observemos que −λγ2 + ξ20 + λ2 γ2 (coeficiente de z02 ) se anula quando tomamos γ2 = O coeficiente de z0 z0 , −λγ1 + ξ11. (2.11).

(26) 16. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano. 2. 2. −λγ0 + ξ02 + λ γ0 (coeficiente de z0 ) se anula quando tomamos γ0 =. ξ02. . Notemos que os 2 λ−λ denominadores nas expressoes ˜ de γ2 , γ1 e γ0 não se anulam, visto que |λ| = 1+µ, e não há problema. para µ , 0. A mudança de coordenadas utilizada está bem definida quando µ −→ 0, pois: eiθ(0) , 1 , λ − 1 , 0 ⇐⇒ eiθ(0) , 1 , 2 λ − λ , 0 ⇐⇒ e3iθ(0) , 1 .. λ − λ2 , 0 ⇐⇒. Portanto, utilizando a mudança de coordenadas µ-dependente para a aplicaça˜ o Φµ , anulamos os termos de ordem quadrática. Logo, substituindo os valores de γ2 , γ1 e γ0 na equaça˜ o (2.11), obtemos a aplicacão sem termos quadráticos: eµ (z0 ) = λz0 + B3 (z0 ) + O(|z0 |4 ), Φ com B3 (z0 ) =. 3 X. α3j z0j ( z0 )3− j e α3j ∈ C.. (2.12). . j=0. Lema 2.3 Seja Φµ (z) = λz + B3 (z) + O(|z|4 ), a aplicaça˜ o definida em (2.12) e com λ = λ(µ) = (1 + µ)eiθ(µ) . Suponhamos que e2iθ(0) , 1 e e4iθ(0) , 1. Então Φµ pode ser transformada pela mudança de coordenadas complexa τ : C −→ C z onde γ(z) = γµ (z) =. 7−→ z0 = z + γ(z) ,. γ3 z3 + γ2 z2 z + γ1 zz2 + γ0 z3 , com γ3. =. α33 λ − λ3. , γ2 = 0, γ1 =. na aplicaça˜ o com somente um termo cubico: ´ eµ (z0 ) = λz0 + α3 z02 z0 + C4 (z0 ) + O(|z0 |5 ), Φ 2 com C4 (z0 ) =. 4 X j=0. β4j z0 j ( z0 )4− j e β4j ∈ C.. α31 λ − λ|λ|2. e γ0 =. α30 3. λ−λ. ,.

(27) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 17. Demonstraça˜ o: Temos que, em uma vizinhança da origem no novo sistema de coordenadas z0 , z0 , e´ poss´ıvel inverter a aplicaça˜ o τ, obtendo: z = z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ). eµ como sendo Φµ na nova coordenada z0 , teremos : Denotando Φ eµ (z0 ) = (τ ◦ Φµ ◦ τ−1 )(z0 ) Φ = (τ ◦ Φµ )(z) = Φµ (z) + γ(Φµ (z)) = Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 )) + γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))).. (2.13). Vamos desenvolver a equaça˜ o acima. Agrupando os termos de mesma ordem de Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 )), segue que: Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 )) = λ(z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 )) + α33 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))3 + α32 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))2 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 )) + α31 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))(z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))2 + α30 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))3 + O(|z0 |4 ) 2. 3. = λz0 − λγ(z0 ) + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + α30 z0 + O(|z0 |4 ), (2.14) e pela definiça˜ o de γ(z) temos: 2. 3. γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |4 ))) = γ(λz0 − λγ(z0 ) + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + α30 z0 + O(|z0 |4 )) 2. 3. 2. 3. = γ3 (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + α30 z0 + O(|z0 |4 ))3 + γ2 (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + α30 z0 + O(|z0 |4 ))2 . 3. 2. (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z0 + α32 z0 z0 + α31 z0 z02 + α30 z03 + O(|z0 |4 )) + 2. 3. γ1 (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + α30 z0 + O(|z0 |4 )). 3. 2. 3. 2. (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z0 + α32 z0 z0 + α31 z0 z02 + α30 z03 + O(|z0 |4 ))2 + γ0 (λz0 − λγ(z0 ) + α33 z0 + α32 z0 z0 + α31 z0 z02 + α30 z03 + O(|z0 |4 ))3 + O(|z0 |4 ) 2. 3. 3. = γ3 λ3 z03 + γ2 λ|λ|2 z02 z0 + γ1 λ|λ|2 z0 z0 + γ0 λ z0 + O(|z0 |4 ).. (2.15).

(28) 18. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Pelas equaçoes ˜ (2.13), (2.14) e (2.15) chegamos a: eµ (z0 ) = λz0 − λγ(z0 ) + α3 z03 + α3 z02 z0 + α3 z0 z0 2 + α3 z0 3 + Φ 2 0 3 1 3. 2. 3. γ3 λ3 z03 + γ2 λ|λ|2 z02 z0 + γ1 λ|λ|2 z0 z0 + γ0 λ z0 + O(|z0 |4 ) 2. 3. 2. = λz0 − λγ3 z03 − λγ2 z02 z0 − λγ1 z0 z0 − λγ0 z0 + α33 z03 + α32 z02 z0 + α31 z0 z0 + 3. 2. 3. 3. α30 z0 + γ3 λ3 z03 + γ2 λ|λ|2 z02 z0 + γ1 λ|λ|2 z0 z0 + γ0 λ z0 + O(|z0 |4 ) = λz0 + (−λγ3 + λ3 γ3 + α33 )z03 + (−λγ2 + λ|λ|2 γ2 + α32 )z02 z0 + 2. 3. (2.16). 3. (−λγ1 + λ|λ|2 γ1 + α31 )z0 z0 + (−λγ0 + λ γ0 + α30 )z0 + O(|z0 |4 ). Observemos que −λγ3 + λ3 γ3 + α33 (coeficiente de z03 ) se anula quando tomamos γ3 =. α33. . λ − λ3 2 Também temos que −λγ1 + λ|λ|2 γ1 + α31 (coeficiente de z0 z0 ) se anula quando tomamos γ1 = α31 α30 3 3 3 0 , e −λγ0 + λ γ0 + α0 (coeficiente de z ) se anula quando tomamos γ0 = . Notemos 3 λ − λ|λ|2 λ−λ que os denominadores nas expressoes ˜ de γ3 , γ1 e γ0 não se anulam, visto que |λ| = 1 + µ, e não há problema para µ , 0. A mudança de coordenadas utilizada está bem definida quando µ −→ 0, pois: λ − λ3 , 0 ⇐⇒ e2iθ(0) , 1 , λ − λ , 0 ⇐⇒ e2iθ(0) , 1 , 3 λ − λ , 0 ⇐⇒ e4iθ(0) , 1 . Portanto, podemos fazer uma mudança de coordenadas µ-dependente, deixando a aplicaça˜ o com somente um termo cubico. Assim, substituindo os valores de γ0 , γ1 , γ2 e γ3 na equaça˜ o (2.16), ´ obtemos: eµ (z0 ) = λz0 + α3 z02 z0 + C4 (z0 ) + O(|z0 |5 ), Φ 2 com C4 (z0 ) =. 4 X. β4j z0j ( z0 )4− j e β4j ∈ C.. (2.17). . j=0. Observemos que, na hipotese desse lema, se tivéssemos trocado γ2 = 0 por γ2 = ´. α32. , λ − λ|λ|2 eµ (z0 ), mas a expressão de γ2 diverge então para µ , 0 seria poss´ıvel cancelar o termo z02 z0 de Φ quando µ −→ 0, independente do valor de θ(0). O termo z02 z0 e´ chamado de termo ressonante..

(29) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 19. Notemos que o coeficiente e´ o mesmo coeficiente do termo cubico z02 z0 na equaça˜ o (2.12). ´. Lema 2.4 Seja Φµ (z) = λz + α32 z2 z + C4 (z) + O(|z|5 ), a aplicaça˜ o definida em (2.17) e com λ = λ(µ) = (1 + µ)eiθ(µ) . Suponhamos que eiθ(0) , 1, e3iθ(0) , 1 e e5iθ(0) , 1. Então Φ pode ser transformada pela mudança de coordenadas complexa µ. τ : C −→ C z. 7−→ z0 = z + γ(z) ,. onde λ = λ(µ), γ(z) = γ4 z4 + γ3 z3 z + γ2 z2 z2 + γ1 zz3 + γ0 z4 , com γ4 = γ2 =. β42 λ − |λ|4. , γ1 =. β41 2. λ − λ |λ|2. e γ0 =. β40 4. β44. β43 , , γ = 3 λ − λ2 |λ|2 λ − λ4. , na aplicaça˜ o sem termos quárticos:. λ−λ. eµ (z0 ) = λz0 + α3 z02 z0 + O(|z0 |5 ). Φ 2 Demonstraça˜ o: Temos que, em uma vizinhança da origem, no novo sistema de coordenadas z0 , z0 , e´ poss´ıvel inverter a aplicaça˜ o τ, obtendo: z = z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ). eµ como sendo Φµ na nova coordenada z0 , teremos : Denotando Φ eµ (z0 ) = (τ ◦ Φµ ◦ τ−1 )(z0 ) Φ = (τ ◦ Φµ )(z) = Φµ (z) + γ(Φµ (z)) = Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )) + γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))).. (2.18).

(30) 20. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Vamos desenvolver a equaça˜ o (2.18). Pela definiça˜ o de γ(z) temos: γ(Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))) = γ[λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + β44 z04 + β43 z03 z0 + 2. 3. 4. β42 z02 z0 + β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 )] 2. = γ4 [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + 3. 4. β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 )]4 + γ3 [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + 2. 3. 4. β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 )]3 . 2. 4. 3. 2. [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z0 z0 + β44 z0 + β43 z0 z0 + β42 z0 z02 + β41 z0 z03 + β40 z04 + O(|z0 |5 )] + γ2 [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + 2. 3. 4. β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 )]2 . 2. 4. 3. 2. [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z0 z0 + β44 z0 + β43 z0 z0 + β42 z0 z02 + β41 z0 z03 + β40 z04 + O(|z0 |5 )]2 + γ1 [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + 2. 3. 4. β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 )]. 2. 4. 3. 2. [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z0 z0 + β44 z0 + β43 z0 z0 + β42 z0 z02 + 2. β41 z0 z03 + β40 z04 + O(|z0 |5 )]3 + γ0 [λz0 − λγ(z0 ) + α32 z0 z0 + 4. 3. 2. β44 z0 + β43 z0 z0 + β42 z0 z02 + β41 z0 z03 + β40 z04 + O(|z0 |5 )]4 2. 2. 3. = γ4 λ4 z04 + γ3 λ2 |λ|2 z03 z0 + γ2 |λ|4 z02 z0 + γ1 λ |λ|2 z0 z0 + 4. 4. γ0 λ z0 + O(|z0 |5 ).. (2.19).

(31) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 21. E agrupando os termos de mesma ordem de Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )), segue que: Φµ (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )) = λ(z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )) + α32 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))2 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )) + β44 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))4 + β43 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))3 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 )) + β42 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))2 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))2 + β41 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))(z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))3 + β40 (z0 − γ(z0 ) + O(|z0 |5 ))4 + O(|z0 |5 ) 2. = λz0 − λγ(z0 ) + α32 z02 z0 + β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + 3. (2.20). 4. β41 z0 z0 + β40 z0 + O(|z0 |5 ) Pelas equaçoes ˜ (2.18) , (2.20) e (2.19) chegamos a: eµ (z0 ) = λz0 − λγ(z0 ) + α3 z02 z0 + β4 z04 + β4 z03 z0 + β4 z02 z0 2 + β4 z0 z0 3 + β4 z0 4 + Φ 3 2 0 2 4 1 2. 2. 4. 3. 4. γ4 λ4 z04 + γ3 λ2 |λ|2 z03 z0 + γ2 |λ|4 z02 z0 + γ1 λ |λ|2 z0 z0 + γ0 λ z0 + O(|z0 |)5 2. 3. 4. = λz0 + α32 z02 z0 − γ4 λz04 − γ3 λz03 z0 − γ2 λz02 z0 − γ1 λz0 z0 − γ0 λz0 + 2. 3. 4. β44 z04 + β43 z03 z0 + β42 z02 z0 + β41 z0 z0 + β40 z0 + 2. 2. 4. 3. 4. γ4 λ4 z04 + γ3 λ2 |λ|2 z03 z0 + γ2 |λ|4 z02 z0 + γ1 λ |λ|2 z0 z0 + γ0 λ z0 + O(|z0 |)5 = λz0 + α32 z02 z0 + (−γ4 λ + β44 + γ4 λ4 )z04 + (−γ3 λ + β43 + γ3 λ2 |λ|2 )z03 z0 + 2. 2. (2.21) 4. 3. 4. (−γ2 λ + β42 + γ2 |λ|4 )z02 z0 + (−γ1 λ + β41 + γ1 λ |λ|2 )z0 z0 + (−γ0 λ + β40 + γ0 λ )z0 + O(|z0 |)5 . Observemos que −γ4 λ + β44 + γ4 λ4 (coeficiente de z04 ) se anula quando tomamos γ4 = −γ3 λ + β43 + γ3 λ2 |λ|2 (coeficiente de z03 z0 ) se anula quando tomamos γ3 =. β43. β44 λ − λ4. .E. . A expressão λ − λ2 |λ|2 β42 2 4 4 02 0 . De fato, −γ1 λ + −γ2 λ + β2 + γ2 |λ| (coeficiente de z z ) se anula quando tomamos γ2 = λ − |λ|4 β41 2 4 3 . E −γ0 λ + β40 + γ0 λ β41 + γ1 λ |λ|2 (coeficiente de z0 z0 ) se anula quando tomamos γ1 = 2 λ − λ |λ|2.

(32) 22. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. z0. 4. . Notemos que os denominadores nas 4 λ−λ expressoes ˜ de γ4 , γ3 , γ2 , γ1 e γ0 não se anulam, visto que |λ| = 1 + µ, e não há problema para µ , 0. (coeficiente de. ) se anula quando tomamos γ0 =. β40. A mudança de coordenadas utilizada está bem definida quando µ −→ 0, pois: λ − λ4 , 0 ⇐⇒ e3iθ(0) , 1 , λ − λ2 , 0 ⇐⇒ eiθ(0) , 1 , eiθ(0) , 1 , 2 λ − λ , 0 ⇐⇒ e3iθ(0) , 1 , 4 λ − λ , 0 ⇐⇒ e5iθ(0) , 1 . λ − 1 , 0 ⇐⇒. Portanto podemos fazer uma mudança de coordenadas µ-dependente, deixando a aplicaça˜ o Φµ sem termos quárticos. Assim, substituindo os valores de γ0 , γ1 , γ2 , γ3 e γ4 na equaça˜ o (2.21), obtemos: eµ (z0 ) = λz0 + α3 z02 z0 + O(|z0 |5 ). Φ 2. . Pelos Lemas 2.2, 2.3 e 2.4 temos que, supondo ekiθ(0) , 1, para k = 1, 2, 3, 4 e 5, e´ poss´ıvel fazer k X mudanças de coordenadas para a aplicaça˜ o Φµ (z) = λ(µ)z + αkj z j ( z )k− j + O(|z|k+1 ), de tal forma a j=0. deixá-la na forma Φµ (z) = λ(µ)z + α32 z2 z + O(|z|5 ). Assim podemos enunciar e demonstrar o seguinte teorema: Teorema 2.1 Seja Φµ :. R2. −→ R2. (x1 , x2 ) 7−→.   cos θ(µ) − sen θ(µ) (1 + µ)  sen θ(µ) cos θ(µ).    .    x1     x  + gµ (x1 , x2 ), 2. uma fam´ılia de aplicaço˜ es do plano de classe C4 . Suponhamos que Φµ (0, 0) = (0, 0) para todo µ, DΦµ (0, 0) tem autovalores (1 + µ)eiθ(µ) e (1 + µ)e−iθ(µ) (após reparametrizaça˜ o de µ), e ekiθ(0) , 1 para k = 1, 2, 3, 4 e 5. Então existe um mudança suave de coordenadas µ-dependente numa vizinhança da origem, tal que nas novas coordenadas Φµ toma a forma: Φµ (z) = NΦµ (z) + O(|z|5 ),.

(33) 2.2 Forma Canonica ˆ da Aplicaça˜ o Φµ .. 23. onde, em coordenadas polares, NΦµ : (r, ϕ) 7−→ ((1 + µ)r − f1 (µ)r3 , ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 ),      α32   α32  3 1 , f3 (µ) =  e α dado como no Lema 2.3 . com f1 (µ) = −Re  Im   1 + µ  eiθ(µ)  2 eiθ(µ). Demonstraça˜ o: Pelos Lemas 2.2, 2.3 e 2.4 vimos que através de mudanças de coordenadas µdependente e´ poss´ıvel escrever a aplicaça˜ o Φµ na forma: Φµ (z) = λz + α32 z2 z + O(|z|5 ) = (λ + α32 |z|2 )z + O(|z|5 ), onde λ = λ(µ) = (1 + µ)eiθ(µ) . Vamos reescrever (λ + α32 |z|2 )z + O(|z|5 ) em coordenadas polares. Primeiramente, escrevemos de outra forma a expressão λ + α32 |z|2 :.   3 2  α  |z|   2 λ + α32 |z|2 = (1 + µ)eiθ(µ) + α32 |z|2 = (1 + µ)eiθ(µ) 1 +  . eiθ(µ) 1 + µ Temos que. α32 eiθ(µ). ∈Ce. |z|2 ∈ R. Definimos então duas funçoes ˜ reais f1 e f3 , da seguinte forma: 1+µ f1 : R −→ R µ.    α32   , 7−→ −Re   eiθ(µ). e f3 : R −→ R µ. 7−→.    α32  1  . Im  1 + µ  eiθ(µ) .

(34) 24. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Utilizando f1 e f3 , escrevemos: λ+. α32 |z|2. " iθ(µ) = (1 + µ)e 1− " iθ(µ) = (1 + µ)e 1− " iθ(µ) = (1 + µ)e 1−. # f1 (µ) 2 2 |z| + i f3 (µ)|z| 1+µ # i f1 (µ) 2 h |z| 1 + i f3 (µ)|z|2 + O(|z|4 ) 1+µ # f1 (µ) 2 i f3 (µ)|z|2 |z| e + O(|z|4 ) 1+µ. 2 = (1 + µ − f1 (µ)|z|2 )ei[θ(µ) + f3 (µ)|z| ] + O(|z|4 ).. Portanto podemos escrever Φµ na forma: 2 Φµ (z) = (1 + µ − f1 (µ)|z|2 )ei[θ(µ) + f3 (µ)|z| ] z + O(|z|5 ).. Vamos escrever a aplicaça˜ o em coordenadas polares, tomando z = r(cos ϕ + i sen ϕ). Teremos: 2 Φµ (r, ϕ) = (1 + µ − f1 (µ)r2 )ei[θ(µ) + f3 (µ)r ] r(cos ϕ + i sen ϕ) + O(r5 ) 2 = ((1 + µ)r − f1 (µ)r3 )ei[ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r ] + O(r5 ).. E |Φµ (r, ϕ)| = |(1 + µ)r − f1 (µ)r3 |. Como estamos analisando o comportamento quando r −→ 0, então (1 + µ)r − f1 (µ)r3 > 0, e temos também que argΦµ (r, ϕ) = ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 . Portanto a forma canonica aproximada para a aplicaça˜ o Φµ será: ˆ Φµ (z) = NΦµ (z) + O(|z|5 ),. (2.22). onde em coordenadas polares NΦµ toma a forma: (r, ϕ) 7−→ ((1 + µ)r − f1 (µ)r3 , ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 ). . (2.23). Notemos duas caracter´ısticas especiais de NΦµ : i) A primeira coordenada de NΦµ depende apenas do valor anterior de r, e não de ϕ. ii) A segunda coordenada de NΦµ e´ obtida somando a ϕ um valor que depende apenas de r e µ..

(35) 2.3 Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf.. 25. Supondo f1 (0) > 0, segue que, para um µ positivo e pequeno, NΦµ tem uma circunferência r µ invariante de raio r0 = . Já que Φµ difere apenas um pouco de NΦµ , verificaremos que Φµ f1 (µ) tem uma curva fechada invariante.. 2.3. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf. Nesta seça˜ o demonstraremos o Teorema de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismo do plano. Mostraremos a existência de uma curva fechada invariante para a aplicaça˜ o Φµ definida em (2.22), para µ suficientemente pequeno e positivo, utilizando o princ´ıpio da contraça˜ o. Uma das condiçoes ˜ para que Φµ tenha uma curva fechada invariante e´ que o coeficiente f1 (0) seja diferente de zero. Logo apos ´ a demonstraça˜ o do teorema, iremos apresentar uma proposiça˜ o que nos dará um método rápido para calcularmos o coeficiente f1 (0). Teorema 2.2 (Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para difeomorfismos) Seja Φ : R × R2 −→ R2 (µ, x). 7−→ Φ(µ, x) ,. uma aplicaça˜ o de classe C4 dependendo de uma parâmetro real µ, satisfazendo as seguintes condiço˜ es: i) Φ(µ, 0) = 0, para µ perto de 0 ; ii) DΦ(µ, 0) (isto e´, Dx Φ(µ, x)|x=0 ) tem dois autovalores complexos conjugados z(µ) e z(µ), para µ perto de 0, e com |z(0)| = 1; iii). d dµ |z(µ)|. > 0 em µ = 0;. iv) zk (0) , 1 para k = 1, 2, 3, 4 e 5. Então existe uma mudança de coordenadas de classe C4 dependente de µ, levando Φ a` forma: Φ(µ, x) = NΦ(µ, x) + O(||x||5 ) e existem funço˜ es f1 (µ), f3 (µ), e θ(µ) de classe C4 tais que, em coordenadas polares, a aplicaça˜ o NΦ(µ, x) e´ dada por:.     r   |z(µ)| r − f1 (µ)r3   −  7 →  ϕ   ϕ + θ(µ) + f (µ)r2 3.    . .

(36) 26. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Se f1 (0) > 0, então existe uma vizinhança V da origem e δ > 0, tal que para |µ| < δ e x0 ∈ V, o conjunto w-limite de x0 e´ a origem se µ < 0, ou pertence a uma curva invariante fechada Γ(µ) de classe C1 com a origem em seu interior se µ > 0, e além disso Γ(0) = 0. Se f1 (0) < 0, então existe uma vizinhança V da origem e δ > 0, tal que para |µ| < δ e x0 ∈ V, o conjunto α-limite de x0 e´ a origem se µ > 0, ou pertence a uma curva invariante fechada Γ(µ) de classe C1 com a origem em seu interior se µ < 0, além disso Γ(0) = 0.. Demonstraça˜ o: Vamos separar a demonstraça˜ o do teorema em quatro casos, que dependem do sinal de f1 (0) e µ. Caso 1: f1 (0) > 0 e µ > 0. Do Teorema 2.1 e das hipoteses acima, segue que existe uma mudança de coordenadas de classe ´ C4. dependente de µ, levando Φµ a` forma: Φ(µ, x) = NΦ(µ, x) + O(||x||5 ) e existem funçoes ˜ f1 (µ), f3 (µ),. e θ(µ) de classe C4 tais que, em coordenadas polares, a aplicaça˜ o NΦ(µ, x) e´ dada por:    3  r     7 →  |z(µ)| r − f1 (µ)r  ϕ  −  ϕ + θ(µ) + f (µ)r2 3.    . . Portanto, para terminarmos a demonstraça˜ o desse caso resta provar que para f1 (0) > 0 e µ > 0, existe uma curva invariante fechada de classe C1 para Φµ , com a origem em seu interior, na r µ , que e´ invariante para NΦµ . Portanto, e´ convevizinhança da circunferência de raio r0 = f1 (µ) niente escolher coordenadas que exibam com a clareza poss´ıvel, o comportamento de Φµ perto dessa circunferência. Para facilitar a leitura da demonstraça˜ o deste caso, vamos dividi-lo em passos. Passo 1: Vamos primeiramente escrever Φµ (z) em coordenadas polares. Seja Φµ (z) = NΦµ (z) + O(|z|5 ), a forma canonica de Φµ , obtida na seça˜ o anterior. Tomemos z = r(cos ϕ + i sen ϕ), onde |z|5 = r5 , ˆ com r > 0 e 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Então a primeira coordenada de Φµ (r, ϕ), em coordenadas polares, difere de NΦµ (r, ϕ) por termos da ordem O(r5 ). Agora, vamos olhar como se comporta a segunda coordenada de Φµ (r, ϕ), quando somamos termos de ordem O(|z|5 ). Seja z1 = NΦµ (z) = r1 eiθ1 e.

(37) 2.3 Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf.. 27. z2 = O(|z|5 ) = r2 eiθ2 , então Φµ (z) = z1 + z2 , queremos determinar o arg(z1 + z2 ). Observermos que: arg(z1 + z2 ) = arg(z1 e−iθ1 + z2 e−iθ1 ) + θ1 = arg(r1 + r2 ei(θ2 −θ1 ) ) + θ1 = arg((r1 , 0) + (r2 cos(θ2 − θ1 ), r2 sen(θ2 − θ1 ))) + θ1 . e = θ2 − θ1 , e então podemos escrever e Podemos supor que θ1 < θ2 e tomar θ z = (r1 , 0) + (r2 cos(θ2 − θ1 ), r2 sen(θ2 − θ1 )). Logo: |e z| = =. q e 2 + (r2 sen θ) e2 (r1 + r2 cos θ) q e + r2 r21 + 2r1 r2 cos θ 2. e Portanto: e Ime z = r2 sen θ.   e  r2 sen θ  arg(e z ) = arc sen  |e z|     e e3   r2 sen θ r2 sen θ   . = + O  |e z| |e z|   Como r2 e´ da ordem O(r5 ) e |e z| ≥ Kr, com K constante positiva, então arg(e z ) e´ da ordem O(r4 ), pois: |arg(e z )| ≤ ≤.    e5   r2 sen θ r32 r2   + K1 + O  Kr (Kr)3 |e z|   (r5 )3 r5 + K1 + O(r20 ) 3 Kr (Kr). ≤ r4 + O(r12 ). Logo arg(z1 + z2 ) = θ1 + arg(e z) arg(Φµ ) = arg(NΦµ ) + O(r4 ) = ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 + O(r4 )..

(38) 28. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Portanto em coordenadas polares, Φµ toma a forma: Φµ : (r, ϕ) 7→ ((1 + µ)r − f1 (µ)r3 + O(r5 ), ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 + O(r4 )), e essas aproximaçoes ˜ são uniformes para 0 ≤ ϕ ≤ 2π e µ em uma vizinhança da origem. A forma normal NΦµ (r, ϕ) = ((1 + µ)r − f1 (µ)r3 , ϕ + θ(µ) + f3 (µ)r2 ), e´ uma aproximaça˜ o de Φµ , com um erro de ordem 5 na primeira coordenada, e de ordem 4 na segunda coordenada. Passo 2: Neste passo faremos mudanças de coordenadas de tal forma que a circunferência invariante de NΦµ esteja centrado na origem e tenha raio 1. Primeiramente faremos uma mudança de coordenadas de tal forma que a circunferência invariante de NΦµ tenha raio 1. Para isto tomamos a mudança de coordenadas: τ1 :. com inversa. R2. −→ R2 ! r µ x, ϕ = (r, ϕ) , (x, ϕ) 7−→ f1 (µ). τ−1 : 1. R2. −→ R2  s   f1 (µ)   x, ϕ . (x, ϕ) 7−→    µ. Fazendo então essa mudança de coordenadas, obtemos: ! µ ◦ Φµ ◦ τ1 )(x, ϕ) = ◦ Φµ x, ϕ f1 (µ)  r 3  µ µ2 5 −1  = τ1 (1 + µ) x − f1 (µ) x3 + µ 2 O(x5 ), 3 f1 (µ) f1 (µ) 2 ! µ 2 2 4 ϕ + θ(µ) + f3 (µ) x + µ O(x ) f1 (µ) ! µ 2 3 2 5 2 4 = (1 + µ)x − µx + µ O(x ), ϕ + θ(µ) + f3 (µ) x + µ O(x ) . f1 (µ) r. (τ−1 1. τ−1 1.

(39) 2.3 Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf.. 29. Agora transladamos a circunferência para a origem, tomando uma nova mudança de coordenadas: τ2 :. R2. −→ R2. (y, ϕ) 7−→ (1 + y, ϕ) , com inversa. τ−1 : 2. R2. −→ R2. (y, ϕ) 7−→ (−1 + y, ϕ). Fazendo então essa mudança de coordenadas, y = 0 será invariante, e obtemos: −1 (τ−1 2 ◦ Φµ ◦ τ2 )(y, ϕ) = τ2 ◦ Φµ (1 + y, ϕ) = τ2−1 (1 + µ)(1 + y) − µ(1 + y)3 + µ2 O((1 + y)5 ), ! µ 2 2 4 ϕ + θ(µ) + f3 (µ) (1 + y) + µ O((1 + y) ) f1 (µ). =. ! µ 2 2 (1 − 2µ)y − µ(3y + y ) + µ O(1), ϕ + θ(µ) + f3 (µ) (1 + y) + µ O(1) . f1 (µ) 2. 3. 2. Finalmente faremos uma ultima mudança de coordenadas para reescalar y tomando: ´ τ3 :. com inversa. τ−1 : 3. R2. −→ R2 √ (z, ϕ) 7−→ (z µ, ϕ) , R2. −→ R2 ! z (z, ϕ) 7−→ √ ,ϕ . µ. Fazendo então essa mudança de coordenadas, z = 0 será invariante, e obteremos: √ −1 (τ−1 3 ◦ Φµ ◦ τ3 )(z, ϕ) = τ3 ◦ Φµ (z µ, ϕ) √ √ 3 2 2 = τ−1 3 (1 − 2µ) µz − µ(3µz + µ µz ) + µ O(1), ! µ √ 2 2 ϕ + θ(µ) + f3 (µ) (1 + µz) + µ O(1) f1 (µ) 3. 1. 3. = ((1 − 2µ)z − µ 2 (3z2 + µ 2 z3 ) + µ 2 O(1), ϕ + θ(µ) + f3 (µ). µ √ (1 + µz)2 + µ2 O(1)). f1 (µ).

(40) 30. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Se definirmos 1. Hµ (z, ϕ) = −(3z2 + µ 2 z3 ) + O(1), Kµ (z, ϕ) = 2. f3 (µ) 1 f3 (µ) 1 z + µ2 z2 + µ 2 O(1) e f1 (µ) f1 (µ). θ1 (µ) = θ(µ) + µ. f3 (µ) , f1 (µ). então Φµ pode ser reescrita como: 3. 3. Φµ : (z, ϕ) 7→ ((1 − 2µ)z + µ 2 Hµ (z, ϕ), ϕ + θ1 (µ) + µ 2 Kµ (z, ϕ)). Temos que as funçoes ˜ Hµ e Kµ são funçoes ˜ de classe C4 em z, ϕ e µ, com −1 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π e 0 < µ ≤ µ0 . Para algum µ0 suficientemente pequeno e positivo, a região −1 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π corresponde ao anel de largura O(µ) (nas coordenadas originais (r, ϕ)) sobre a circunferência √ invariante para NΦµ , que tem raio O( µ). Iremos construir uma curva fechada invariante para Φµ dentro desse anel. Antes de prosseguir com a demonstraça˜ o, observemos que o comportamento qualitativo de Φµ e´ agora fácil de ver. De fato Φµ pode ser escrito como: (z, ϕ) 7→ ((1 − 2µ)z, ϕ + θ1 (µ)) mais uma perturbaça˜ o pequena em µ. A primeira coordenada de Φµ e´ uma contraça˜ o na direça˜ o de z. Notemos contudo, que a intensidade da contraça˜ o vai a zero da ordem µ, então a primeira coordenada de Φµ se aproxima da primeira coordenada de NΦµ . Se isto não ocorresse, como NΦµ possui uma curva invariante, e a primeira coordenada de Φµ se aproxima da primeira coordenada de NΦµ , poderiamos utilizar resultados conhecidos sobre persistência de curvas invariantes atratoras sob uma pequena pertubaça˜ o, para garantir a existência. Passo 3: Neste passo vamos mostrar que, para f1 (0) > 0 e para todo µ positivo suficientemente pequeno, Φµ terá uma curva invariante. A idéia e´ : procurar uma variedade invariante para Φµ , da forma {(z, ϕ)/z = u(ϕ), ϕ ∈ R}, onde: i) u(ϕ) e´ periodica em ϕ, com per´ıodo 2π, ´ ii) |u(ϕ)| ≤ 1, para todo ϕ, iii) u(ϕ) e´ Lipschitz cont´ınua, com constante de Lipschitz 1..

(41) 2.3 Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf.. 31. O espaço de todas as funçoes ˜ u satisfazendo i), ii) e iii) será denotado por U, onde U e´ um espaço de Banach com a norma do sup. A demonstraça˜ o será baseada em um teorema do ponto fixo para contraçoes. Em linhas gerais, o argumento será o seguinte: iniciamos com uma variedade ˜ M = {(z, ϕ)/z = u(ϕ), u ∈ U, ϕ ∈ R} e consideramos a nova variedade Φµ M, obtida pela aplicaça˜ o de Φµ sobre M. Será mostrado que, para µ suficientemente pequeno, Φµ M novamente terá a forma ˆ {(z, ϕ)/z = u(ϕ), uˆ ∈ U, ϕ ∈ R}, e então construiremos uma aplicaça˜ o não linear F : U −→ U ˆ u 7−→ u. Provaremos então que, para µ pequeno positivo, F e´ uma contraça˜ o em U (em relaça˜ o a` norma do sup), e portanto tem um unico ponto fixo u∗ . A variedade {z = u∗ (ϕ)} será a curva fechada ´ invariante desejada. Como consequência da demonstraça˜ o de contratividade será provado que essa variedade e´ atratora, no seguinte sentido; tomando um ponto de partida (z, ϕ), com |z| ≤ 1, e denotando (zn , ϕn ) por Φnµ (z, ϕ), teremos que l´ım (zn − u∗ (ϕn )) = 0. Temos que o dom´ınio de atraça˜ o n→∞. contém o anel 0 < |z| ≤ 1. Para completar os argumentos acima, e´ necessário primeiramente construir a aplicaça˜ o não linear F. Para isto, vamos proceder da seguinte maneira: e tal que a ϕ-componente de Φµ (u( ϕ e ), ϕ e ) e´ ϕ, ou seja, ϕ i) Mostraremos que existe uma unica ´ e tal que uma unica ϕ ´ 3. e ), ϕ e) e + θ1 (µ) + µ 2 Kµ (u( ϕ ϕ=ϕ. (mod 2π) ,. (2.24). 3. e + θ1 (µ) + µ 2 Kµ (u( ϕ e ), ϕ e ) por um multiplo isto e´ , ϕ difere de ϕ inteiro de 2π. ´ e ), ϕ e ), ou seja, ii) Tomaremos então Fu(ϕ) igual a z-componente de Φµ (u( ϕ 3. e ) + µ 2 Hµ (u( ϕ e ), ϕ e) . Fu(ϕ) = (1 − 2µ)u( ϕ Nas estimativas que serão feitas posteriormente, será conveniente introduzir: ( β=. sup 0 ≤ ϕ ≤ 2π −1 ≤ z ≤ 1 µ>0.

(42)

(43)

(44)

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(50) )

(51)

(52) ∂Hµ

(53)

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(55)

(56)

(57)

(58) ∂Hµ

(59)

(60)

(61)

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(63)

(64) ∂Kµ

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(66)

(67)

(68)

(69)

(70) ∂Kµ

(71)

(72)

(73) |Hµ | ∨ |Kµ | ∨

(74) ∨ ∨ ∨ .

(75) ∂z

(76)

(77)

(78)

(79) ∂ϕ

(80)

(81)

(82)

(83) ∂z

(84)

(85)

(86)

(87) ∂ϕ

(88)

(89). (2.25).

(90) 32. Bifurcaça˜ o de Poincaré-Andronov-Hopf para Difeomorfismos do Plano.. Assim definido, β fica limitado quando µ −→ 0 (pela direita). Vale a pena observar que Hµ e Kµ são de classe C4 no compacto [0, 2π] × [−1, 1], logo β está bem definido. Devemos mostrar que a equaça˜ o (2.24) tem uma unica soluça˜ o. Para isto, será conveniente ´ e ): denotar o lado direito de (2.24) temporariamente por x( ϕ 3. e) = ϕ e + θ1 (µ) + µ 2 Kµ (u( ϕ e ), ϕ e) . x( ϕ e varia no intervalo [0, 2π] , x( ϕ e ) percorre exatamente uma vez Queremos mostrar que, quando ϕ um intervalo de comprimento 2π. Vale a pena relembrar que: e ) e´ periodica e com per´ıodo 2π , • u( ϕ em ϕ ´ e ) e´ periodica e com per´ıodo 2π. • Kµ (z, ϕ em ϕ ´ Isso nos leva a concluir que: 3. x(2π) = 2π + θ1 (µ) + µ 2 Kµ (u(2π), 2π) 3. = θ1 (µ) + µ 2 Kµ (u(0), 0) + 2π = x(0) + 2π . e1 e ϕ e2 reais, tais que Além disso, temos que mostrar que x e´ estritamente crescente. Tomemos ϕ e1 ≤ ϕ e2 . Então: ϕ 3. e2 ) − x( ϕ e1 ) = ϕ e2 − ϕ e1 + µ 2 [Kµ (u( ϕ e2 ), ϕ e2 ) − Kµ (u( ϕ e1 ), ϕ e1 )] . x( ϕ. (2.26). e2 ), ϕ e2 ) − Kµ (u( ϕ e1 ), ϕ e1 ). Para isto utilizamos o Teorema do Valor Médio. Precisamos estimar Kµ (u( ϕ Temos que existe (e z, ϕ) ∈ [−1, 1] × [0, 2π] tal que: e2 ), ϕ e2 ) − Kµ (u( ϕ e1 ), ϕ e1 )| = |h∇Kµ (e e2 ) − u( ϕ e1 ), ϕ e2 − ϕ e1 )i| |Kµ (u( ϕ z, ϕ), (u( ϕ

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(94) ! ∂Kµ

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(96) ∂Kµ