Despertando o interesse e o prazer pela Matem´
atica com
problemas de Olimp´ıadas
Encontro 1: Colora¸c˜
oes em Grafos
Problema (Olimp´ıada de Moscou, 1973)
Um le˜ao corre dentro de uma arena circular em um circo. O raio da arena ´e de 10 m. Movendo-se ao longo de uma linha poligonal, o le˜ao percorre a distˆancia de 30 km. Prove que o deslocamento angular total do le˜ao em rela¸c˜ao ao centro do c´ırculo n˜ao ´e menor que 2998 radianos.
Teorema (F´ary, 1950)
Se uma curva fechada est´a contida em um disco unit´ario, ent˜ao a curvatura m´edia n˜ao ´e menor que 1, i.e.,
R
γ|k(s)|ds
Problema (Olimp´ıada de Moscou, 1973)
Um le˜ao corre dentro de uma arena circular em um circo. O raio da arena ´e de 10 m. Movendo-se ao longo de uma linha poligonal, o le˜ao percorre a distˆancia de 30 km. Prove que o deslocamento angular total do le˜ao em rela¸c˜ao ao centro do c´ırculo n˜ao ´e menor que 2998 radianos.
Teorema (F´ary, 1950)
Se uma curva fechada est´a contida em um disco unit´ario, ent˜ao a curvatura m´edia n˜ao ´e menor que 1, i.e.,
R
γ|k(s)|ds
L(γ) ≥ 1.
Problema (Olimp´ıada de Moscou, 1973)
Um le˜ao corre dentro de uma arena circular em um circo. O raio da arena ´e de 10 m. Movendo-se ao longo de uma linha poligonal, o le˜ao percorre a distˆancia de 30 km. Prove que o deslocamento angular total do le˜ao em rela¸c˜ao ao centro do c´ırculo n˜ao ´e menor que 2998 radianos.
Teorema (F´ary, 1950)
Se uma curva fechada est´a contida em um disco unit´ario, ent˜ao a curvatura m´edia n˜ao ´e menor que 1, i.e.,
R
γ|k(s)|ds
“Uma descoberta cient´ıfica difere de um bom problema de olimp´ıada somente pelo fato de que a solu¸c˜ao do problema de olimp´ıada requer 5 horas enquanto que a obten¸c˜ao de um resultado cient´ıfico s´erio requer 5000 horas.
A.N.Kolmogorov, 1986”
Conjectura
(Conjectura DNA, S.Tabachnikov) A curvatura m´edia de uma c´elula n˜ao ´e maior que a do DNA.
“Uma descoberta cient´ıfica difere de um bom problema de olimp´ıada somente pelo fato de que a solu¸c˜ao do problema de olimp´ıada requer 5 horas enquanto que a obten¸c˜ao de um resultado cient´ıfico s´erio requer 5000 horas.
A.N.Kolmogorov, 1986”
Conjectura
(Conjectura DNA, S.Tabachnikov) A curvatura m´edia de uma c´elula n˜ao ´e maior que a do DNA.
“Uma descoberta cient´ıfica difere de um bom problema de olimp´ıada somente pelo fato de que a solu¸c˜ao do problema de olimp´ıada requer 5 horas enquanto que a obten¸c˜ao de um resultado cient´ıfico s´erio requer 5000 horas.
A.N.Kolmogorov, 1986”
Conjectura
(Conjectura DNA, S.Tabachnikov) A curvatura m´edia de uma c´elula n˜ao ´e maior que a do DNA.
Como resolver o problema do le˜ao?
R · (α1+ α2+ . . . + αn) ≥ l1+ l2+ . . . + ln.
Problema (IMO 1964)
Cada um de um grupo de 17 estudantes conversou com todo outro membro do grupo exatamente uma vez. Eles conversaram apenas sobre trˆes t´opicos poss´ıveis e cada par de estudantes conversou sobre apenas um t´opico. Prove que existem trˆes estudantes que falaram sobre o mesmo t´opico entre si.
Problema (IMO 1964)
Cada um de um grupo de 17 estudantes conversou com todo outro membro do grupo exatamente uma vez. Eles conversaram apenas sobre trˆes t´opicos poss´ıveis e cada par de estudantes conversou sobre apenas um t´opico. Prove que existem trˆes estudantes que falaram sobre o mesmo t´opico entre si.
Do que trata a Teoria de Ramsey?
Teorema (O Teorema da Amizade)
O menor n´umero de pessoas numa festa para garantir que existam trˆes que se conhecem mutuamente ou trˆes que se desconhecem mutuamente ´e 6.
Teorema (Teorema de Ramsey para duas cores)
Para qualquer par de inteiros positivos (r , s), existe um menor inteiro positivo R(r , s) tal que para qualquer grafo completo com R(r , s) v´ertices, com as arestas pintadas de azul ou vermelho, ou existe um subgrafo completo monocrom´atico com r v´ertices da cor azul ou um subgrafo completo monocrom´atico de s v´ertices da cor vermelha. Consequˆencia: R(r , s) ≤ R(r − 1, s) + R(r , s − 1).
Do que trata a Teoria de Ramsey?
Teorema (O Teorema da Amizade)
O menor n´umero de pessoas numa festa para garantir que existam trˆes que se conhecem mutuamente ou trˆes que se desconhecem mutuamente ´e 6.
Teorema (Teorema de Ramsey para duas cores)
Para qualquer par de inteiros positivos (r , s), existe um menor inteiro positivo R(r , s) tal que para qualquer grafo completo com R(r , s) v´ertices, com as arestas pintadas de azul ou vermelho, ou existe um subgrafo completo monocrom´atico com r v´ertices da cor azul ou um subgrafo completo monocrom´atico de s v´ertices da cor vermelha. Consequˆencia: R(r , s) ≤ R(r − 1, s) + R(r , s − 1).
Do que trata a Teoria de Ramsey?
Teorema (O Teorema da Amizade)
O menor n´umero de pessoas numa festa para garantir que existam trˆes que se conhecem mutuamente ou trˆes que se desconhecem mutuamente ´e 6.
Teorema (Teorema de Ramsey para duas cores)
Para qualquer par de inteiros positivos (r , s), existe um menor inteiro positivo R(r , s) tal que para qualquer grafo completo com R(r , s) v´ertices, com as arestas pintadas de azul ou vermelho, ou existe um subgrafo completo monocrom´atico com r v´ertices da cor azul ou um subgrafo completo monocrom´atico de s v´ertices da cor vermelha. Consequˆencia: R(r , s) ≤ R(r − 1, s) + R(r , s − 1).
Do que trata a Teoria de Ramsey?
Teorema (O Teorema da Amizade)
O menor n´umero de pessoas numa festa para garantir que existam trˆes que se conhecem mutuamente ou trˆes que se desconhecem mutuamente ´e 6.
Teorema (Teorema de Ramsey para duas cores)
Para qualquer par de inteiros positivos (r , s), existe um menor inteiro positivo R(r , s) tal que para qualquer grafo completo com R(r , s) v´ertices, com as arestas pintadas de azul ou vermelho, ou existe um subgrafo completo monocrom´atico com r v´ertices da cor azul ou um subgrafo completo monocrom´atico de s v´ertices da cor vermelha.
Do que trata a Teoria de Ramsey?
Teorema (O Teorema da Amizade)
O menor n´umero de pessoas numa festa para garantir que existam trˆes que se conhecem mutuamente ou trˆes que se desconhecem mutuamente ´e 6.
Teorema (Teorema de Ramsey para duas cores)
Para qualquer par de inteiros positivos (r , s), existe um menor inteiro positivo R(r , s) tal que para qualquer grafo completo com R(r , s) v´ertices, com as arestas pintadas de azul ou vermelho, ou existe um subgrafo completo monocrom´atico com r v´ertices da cor azul ou um subgrafo completo monocrom´atico de s v´ertices da cor vermelha. Consequˆencia: R(r , s) ≤ R(r − 1, s) + R(r , s − 1).
E com trˆes cores?
1 R(3, 3, 3) = 17 (Provado em 1955) 2 Rk(3) − 1 ≤ 1 + k(Rk−1(3) − 1) 3 Rk(3) < 1 + ek!
E com trˆes cores?
1 R(3, 3, 3) = 17 (Provado em 1955) 2 Rk(3) − 1 ≤ 1 + k(Rk−1(3) − 1) 3 Rk(3) < 1 + ek!
E com trˆes cores?
1 R(3, 3, 3) = 17 (Provado em 1955) 2 Rk(3) − 1 ≤ 1 + k(Rk−1(3) − 1) 3 Rk(3) < 1 + ek!
E com trˆes cores?
1 R(3, 3, 3) = 17 (Provado em 1955) 2 Rk(3) − 1 ≤ 1 + k(Rk−1(3) − 1) 3 Rk(3) < 1 + ek!
Lajos P´osa
Problema (IMO 1978)
Prove que em qualquer colora¸c˜ao dos inteiros {1, 2, . . . , 1978} com seis cores, existem inteiros x , y , z da mesma cor tais que x + y = z.
Teorema (Schur, 1917)
Para qualquer r ≥ 1, existe um menor inteiro positivo s = s(r ) tal que para qualquer colora¸c˜ao de {1, 2, . . . , s} com r cores, existe uma solu¸c˜ao monocrom´atica de x + y = z.
Corol´ario
1 Para r ≥ 1, s(r ) ≤ Rr(3) − 1.
2 Seja n > 1. Para todo primo p > s(n), a congruˆencia xn+ yn ≡ zn (mod p)
Problema (IMO 1978)
Prove que em qualquer colora¸c˜ao dos inteiros {1, 2, . . . , 1978} com seis cores, existem inteiros x , y , z da mesma cor tais que x + y = z.
Teorema (Schur, 1917)
Para qualquer r ≥ 1, existe um menor inteiro positivo s = s(r ) tal que para qualquer colora¸c˜ao de {1, 2, . . . , s} com r cores, existe uma solu¸c˜ao monocrom´atica de x + y = z.
Corol´ario
1 Para r ≥ 1, s(r ) ≤ Rr(3) − 1.
2 Seja n > 1. Para todo primo p > s(n), a congruˆencia xn+ yn ≡ zn (mod p)
possui uma solu¸c˜ao nos inteiros com xyz 6≡ 0 (mod p).
Problema (IMO 1978)
Prove que em qualquer colora¸c˜ao dos inteiros {1, 2, . . . , 1978} com seis cores, existem inteiros x , y , z da mesma cor tais que x + y = z.
Teorema (Schur, 1917)
Para qualquer r ≥ 1, existe um menor inteiro positivo s = s(r ) tal que para qualquer colora¸c˜ao de {1, 2, . . . , s} com r cores, existe uma solu¸c˜ao monocrom´atica de x + y = z.
Corol´ario
1 Para r ≥ 1, s(r ) ≤ Rr(3) − 1.
2 Seja n > 1. Para todo primo p > s(n), a congruˆencia xn+ yn ≡ zn (mod p)
Problema (IMO 1978)
Prove que em qualquer colora¸c˜ao dos inteiros {1, 2, . . . , 1978} com seis cores, existem inteiros x , y , z da mesma cor tais que x + y = z.
Teorema (Schur, 1917)
Para qualquer r ≥ 1, existe um menor inteiro positivo s = s(r ) tal que para qualquer colora¸c˜ao de {1, 2, . . . , s} com r cores, existe uma solu¸c˜ao monocrom´atica de x + y = z.
Corol´ario
1 Para r ≥ 1, s(r ) ≤ Rr(3) − 1.
2 Seja n > 1. Para todo primo p > s(n), a congruˆencia xn+ yn≡ zn (mod p)
possui uma solu¸c˜ao nos inteiros com xyz 6≡ 0 (mod p).
Teorema (Teorema de Ramsey)
Dado qualquer n´umero c de cores e qualquer c-upla (n1, n2, . . . , nc) de inteiros
positivos, existe um inteiro positivo R(n1, n2, . . . , nc) tal que se as arestas de um grafo
completo com R(n1, n2, . . . , nc) v´ertices s˜ao coloridas com as cores {1, 2, . . . , c}, ent˜ao
existe um subgrafo completo monocrom´atico da cor i com ni v´ertices para algum
1 ≤ i ≤ c.
Denote por [A]m = {B ⊂ A : |B| = m} e In= {1, 2, . . . , n}. Teorema (Vers˜ao Multidimensional do Teorema de Ramsey)
Sejam m e k inteiros positivos. Dados a1, a2, . . . , ak inteiros positivos existe um inteiro
positivo, que denotaremos por Rm(a1, a2, . . . , ak) tal que para todo
n ≥ Rm(a1, a2, . . . , ak) e para qualquer fun¸c˜ao f : [In]m → Ik existem j ∈ Ik e A ⊂ In
Teorema (Teorema de Ramsey)
Dado qualquer n´umero c de cores e qualquer c-upla (n1, n2, . . . , nc) de inteiros
positivos, existe um inteiro positivo R(n1, n2, . . . , nc) tal que se as arestas de um grafo
completo com R(n1, n2, . . . , nc) v´ertices s˜ao coloridas com as cores {1, 2, . . . , c}, ent˜ao
existe um subgrafo completo monocrom´atico da cor i com ni v´ertices para algum
1 ≤ i ≤ c.
Denote por [A]m = {B ⊂ A : |B| = m} e In= {1, 2, . . . , n}. Teorema (Vers˜ao Multidimensional do Teorema de Ramsey)
Sejam m e k inteiros positivos. Dados a1, a2, . . . , ak inteiros positivos existe um inteiro
positivo, que denotaremos por Rm(a1, a2, . . . , ak) tal que para todo
n ≥ Rm(a1, a2, . . . , ak) e para qualquer fun¸c˜ao f : [In]m → Ik existem j ∈ Ik e A ⊂ In
com |A| = aj tal que f ([A]m) ⊂ {j }.
Teorema (Teorema de Ramsey)
Dado qualquer n´umero c de cores e qualquer c-upla (n1, n2, . . . , nc) de inteiros
positivos, existe um inteiro positivo R(n1, n2, . . . , nc) tal que se as arestas de um grafo
completo com R(n1, n2, . . . , nc) v´ertices s˜ao coloridas com as cores {1, 2, . . . , c}, ent˜ao
existe um subgrafo completo monocrom´atico da cor i com ni v´ertices para algum
1 ≤ i ≤ c.
Denote por [A]m = {B ⊂ A : |B| = m} e In= {1, 2, . . . , n}. Teorema (Vers˜ao Multidimensional do Teorema de Ramsey)
Sejam m e k inteiros positivos. Dados a1, a2, . . . , ak inteiros positivos existe um inteiro
positivo, que denotaremos por Rm(a1, a2, . . . , ak) tal que para todo
Sabemos calcular os n´umeros de Ramsey?
Teorema
R(k, k) > 2k/2 para qualquer k ≥ 3.
Se p ´e a probabilidade de encontrarmos algum subgrafo completo de k v´ertices monocrom´atico. Para k ≥ 4:
p ≤ 2 ·n k · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2n k k! · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2 1+k/2 k! , se n ≤ 2 k/2 < 1.
Sabemos calcular os n´umeros de Ramsey?
Teorema
R(k, k) > 2k/2 para qualquer k ≥ 3.
Se p ´e a probabilidade de encontrarmos algum subgrafo completo de k v´ertices monocrom´atico. Para k ≥ 4:
p ≤ 2 ·n k · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2n k k! · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2 1+k/2 k! , se n ≤ 2 k/2 < 1.
Sabemos calcular os n´umeros de Ramsey?
Teorema
R(k, k) > 2k/2 para qualquer k ≥ 3.
Se p ´e a probabilidade de encontrarmos algum subgrafo completo de k v´ertices monocrom´atico. Para k ≥ 4:
p ≤ 2 ·n k · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2n k k! · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2 1+k/2 k! , se n ≤ 2 k/2 < 1.
Sabemos calcular os n´umeros de Ramsey?
Teorema
R(k, k) > 2k/2 para qualquer k ≥ 3.
Se p ´e a probabilidade de encontrarmos algum subgrafo completo de k v´ertices monocrom´atico. Para k ≥ 4:
p ≤ 2 ·n k · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2n k k! · 1 2 k(k−1)/2 ≤ 2 1+k/2 k! , se n ≤ 2 k/2
Erdos nos pede para imaginarmos uma for¸ca alien´ıgena, vastamente mais poderosa que n´os, pousando na terra e demandando o valor de R(5, 5) sob a amea¸ca de destruir nosso planeta. Neste caso, ele afirma que devemos combinar todos os nossos computadores e matem´aticos para encontrar esse valor. Por outro lado, caso eles perguntem a respeito de R(6, 6), ser´a melhor unirmos for¸cas para descobrirmos como destruir os alien´ıgenas.
Ten Lectures on the Probabilistic Method, Joel Spencer
Erdos nos pede para imaginarmos uma for¸ca alien´ıgena, vastamente mais poderosa que n´os, pousando na terra e demandando o valor de R(5, 5) sob a amea¸ca de destruir nosso planeta. Neste caso, ele afirma que devemos combinar todos os nossos computadores e matem´aticos para encontrar esse valor. Por outro lado, caso eles perguntem a respeito de R(6, 6), ser´a melhor unirmos for¸cas para descobrirmos como destruir os alien´ıgenas.
Erdos nos pede para imaginarmos uma for¸ca alien´ıgena, vastamente mais poderosa que n´os, pousando na terra e demandando o valor de R(5, 5) sob a amea¸ca de destruir nosso planeta. Neste caso, ele afirma que devemos combinar todos os nossos computadores e matem´aticos para encontrar esse valor. Por outro lado, caso eles perguntem a respeito de R(6, 6), ser´a melhor unirmos for¸cas para descobrirmos como destruir os alien´ıgenas.
Ten Lectures on the Probabilistic Method, Joel Spencer
Lema (Sperner, 1928)
Um triˆangulo ´e dividido em triˆangulos menores de modo que quaisquer dois dentre os triˆangulos menores ou n˜ao tˆem ponto em comum, ou tˆem um v´ertice em comum, ou tˆem um lado (completo) em comum. Os v´ertices do triˆangulo maior s˜ao numerados: 1, 2, 3. Os v´ertices dos triˆangulos menores tamb´em s˜ao numerados: 1, 2 ou 3. A
numera¸c˜ao ´e arbitr´aria, exceto que os v´ertices sobre o lado do triˆangulo maior oposto ao v´ertice i (i = 1, 2, 3) n˜ao podem receber o n´umero i (veja a figura). Ent˜ao, entre os triˆangulos menores, sempre existe um cujos v´ertices s˜ao numerados com as trˆes cores.
Teorema (Brouwer, 1910)
Toda aplica¸c˜ao cont´ınua de um disco nele pr´oprio possui um ponto fixo.
Problema
Em um pol´ıgono, algumas diagonais que se intersectam apenas em seus v´ertices, s˜ao desenhadas de modo que o seu interior ´e dividido em triˆangulos. Mostre que ´e poss´ıvel pintar os v´ertices de trˆes cores de modo que n˜ao existam triˆangulos da triangula¸c˜ao com v´ertices de mesma cor.
Problema
(O Problema da Galeria de Arte) As paredes de uma galeria de arte formam um pol´ıgono de n-lados, n˜ao necessariamente convexo. Guardas s˜ao colocados em posi¸c˜oes fixas na galeria. Assumindo que os guardas n˜ao podem caminhar mas podem rodar suas cabe¸cas, qual o n´umero m´ınimo de guardas necess´arios que devemos colocar na galeria para termos certeza que todo o interior da mesma estar´a vigiado.
Problema
Em um pol´ıgono, algumas diagonais que se intersectam apenas em seus v´ertices, s˜ao desenhadas de modo que o seu interior ´e dividido em triˆangulos. Mostre que ´e poss´ıvel pintar os v´ertices de trˆes cores de modo que n˜ao existam triˆangulos da triangula¸c˜ao com v´ertices de mesma cor.
Problema
(O Problema da Galeria de Arte) As paredes de uma galeria de arte formam um pol´ıgono de n-lados, n˜ao necessariamente convexo. Guardas s˜ao colocados em posi¸c˜oes fixas na galeria. Assumindo que os guardas n˜ao podem caminhar mas podem rodar suas cabe¸cas, qual o n´umero m´ınimo de guardas necess´arios que devemos colocar na galeria para termos certeza que todo o interior da mesma estar´a vigiado.
Problema
Em um pol´ıgono, algumas diagonais que se intersectam apenas em seus v´ertices, s˜ao desenhadas de modo que o seu interior ´e dividido em triˆangulos. Mostre que ´e poss´ıvel pintar os v´ertices de trˆes cores de modo que n˜ao existam triˆangulos da triangula¸c˜ao com v´ertices de mesma cor.
Problema
(O Problema da Galeria de Arte) As paredes de uma galeria de arte formam um pol´ıgono de n-lados, n˜ao necessariamente convexo. Guardas s˜ao colocados em posi¸c˜oes fixas na galeria. Assumindo que os guardas n˜ao podem caminhar mas podem rodar suas cabe¸cas, qual o n´umero m´ınimo de guardas necess´arios que devemos colocar na galeria para termos certeza que todo o interior da mesma estar´a vigiado.
