Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia. Aluno (a): Aula Laboratório 09 Cap 4 Redução de Subsistema Multiplos

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Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia

ENG 3503 – Sistemas de Controle Prof: Filipe Fraga

Aluno (a):____________________________________________________

Aula Laboratório 09 – Cap 4 – Redução de Subsistema Multiplos

1- Considerações teóricas:

Como você já sabe, um subsistema é representado como um bloco com uma entrada, uma saída e uma função de transferência. Estivemos trabalhando com subsistemas individuais representados por um bloco com sua entrada e sua saída. Entretanto, sistemas mais complexos são representados pela interconexão de diversos subsistemas. Uma vez que a resposta de uma única função de transferência pode ser calculada, desejamos representar subsistemas múltiplos através de uma única função de transferência. Assim, podemos aplicar as técnicas analíticas dos capítulos anteriores e obter as informações da resposta transitória relativa ao sistema como um todo.

Quando subsistemas múltiplos são conectados, alguns elementos esquemáticos adicionais devem ser acrescentados ao diagrama de blocos. Esses novos elementos são as junções de soma e os pontos de ramificação.

a. Forma em Cascata

A Figura 5.3(a) mostra um exemplo de subsistemas em cascata. Valores de sinais intermediários são mostrados na saída de cada subsistema. Cada sinal é obtido pelo produto da entrada pela função de transferência.

Laboratório

09

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b. Forma em paralelo

A Figura 5.5 mostra um exemplo de subsistemas em paralelo. Novamente, escrevendo a saída de cada subsistema, podemos obter a função de transferência equivalente. Os subsistemas em paralelo possuem uma entrada comum e uma saída formada pela soma algébrica das saídas de todos os subsistemas.

c. Forma com realimentação

O sistema com realimentação forma a base para nosso estudo da engenharia de sistemas de controle. No Capítulo 1 definimos sistemas em malha aberta e em malha fechada, e destacamos a vantagem dos sistemas em malha fechada, ou sistemas de controle com realimentação, sobre os sistemas em malha aberta.

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2- Problema, exemplo de códigos e atividade prática:

O MATLAB pode ser utilizado para a redução de diagramas de blocos. Três métodos estão disponíveis: (1) Solução através dos Comandos Series (série), Parallel (paralelo) e Feedback (realimentação), (2) Solução através de Operações Algébricas e (3) Solução através dos Comandos Append (juntar) e Connect (ligar).

Vamos examinar cada um desses métodos.

2.1

-

Solução através dos Comandos Series, Parallel e Feedback

A função de transferência em malha fechada é obtida utilizando os seguintes comandos sucessivamente, onde os argumentos são objetos LTI: series (G1, G2) para uma conexão em cascata de G1(s) e G2(s); parallel (G1, G2) para uma conexão em paralelo de G1(s) e G2(s); feedback (G, H, sinal) para uma conexão em malha fechada com G(s) como o caminho à frente, H(s) como a realimentação e sinal é −1 para sistemas com realimentação negativa ou +1 para sistemas com realimentação positiva. O sinal é opcional para sistemas com realimentação negativa.

2.2

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Soluções através de soluções algébricas

Outra abordagem é utilizar operações aritméticas sucessivamente sobre as funções de transferência LTI como a seguir: G2*G1 para uma conexão em cascata de G1(s) e G2(s); G2+G1 para uma conexão em paralelo de G1(s) e G2(s); G/(1+G*H) para uma conexão com

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realimentação negativa em malha fechada com G(s) como o caminho à frente e H(s) como a realimentação; G/(1−G*H) para sistemas com realimentação positiva. Ao utilizar a divisão utilizamos a seguir a função minreal (sys) para cancelar fatores comuns ao numerador e ao denominador.

Problema 01:

Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura abaixo a uma única função de transferência.

'Solução através de Series, Parallel' % Exibe o título.

numg1=[-1]; % Define o numerador de G1(s).

deng1=[1]; % Define o denominador de G1(s).

numg2=[0 2]; % Define o numerador de G2(s).

deng2=[1 2]; % Define o denominador de G2(s).

numg3=-0.125*[1 0.435]; % Define o numerador de G3(s).

deng3=conv([1 1.23],[1 0.226 0.0169]); % Define o denominador de G3(s).

numh1=[-1 0]; % Define o numerador de H1(s).

denh1=[0 1]; % Define o denominador de H1(s).

G1=tf (numg1,deng1); % Cria a função de transferência LTI,

% G1(s).

% G2(s).

% G3(s).

H1=tf (numh1,denh1); % Cria a função de transferência LTI,

% H1(s).

G4=series (G2,G3); % Calcula o produto das dinâmicas

% do profundor e do veículo.

G5=feedback (G4,H1); % Calcula a função de transferência

% em malha fechada da malha interna.

Ge=series (G1,G5); % Multiplica a função de transferência

% da malha interna pelo ganho

% de arfagem. 'T(s) via comandos Series, Parallel e Feedback'

% Exibe o título.

T=feedback (Ge,1) % Obtém a função de transferência

% em malha fechada. 'Solução via Operações Algébricas'

% Exibe o título.

clear % Apaga as variáveis da sessão.

numg1=[-1]; % Define o numerador de G1(s).

deng1=[1]; % Define o denominador of G1(s).

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deng2=[1 2]; % Define o denominador of G2(s).

numg3=-0.125*[1 0.435]; % Define o numerador de G3(s).

deng3=conv ([1 1.23],[1 0.226 0.0169]);

% Define o denominador de G3(s).

numh1=[-1 0]; % Define o numerador de H1(s).

denh1=[0 1]; % Define o denominador de H1(s).

% G1(s).

% G2(s).

% G3(s).

H1=tf (numh1,denh1); % Cria a função de transferência LTI,

% H1(s).

G4=G3*G2; % Calcula o produto das dinâmicas

% do profundor e do veículo.

G5=G4/(1+G4*H1); % Calcula a função de transferência em

% malha fechada da malha interna.

G5= minreal(G5); % Cancela termos comuns.

Ge=G5*G1; % Multiplica as funções de

% transferência da malha interna.

'T(s) via Operações Algébricas'

% Exibe o título.

T=Ge/(1+Ge); % Determina a função de transferencia

% em malha fechada.

T=minreal (T) % Cancela termos comuns.

Problema 02:

Podemos usar o MATLAB para calcular as características em malha fechada de um sistema de segunda ordem, como fator de amortecimento, ζ; frequência natural, ωn; ultrapassagem percentual, %UP; tempo de acomodação, Ts; e instante de pico, TP. O comando [numt, dent]=tfdata (T, 'v') extrai o numerador e o denominador de T(s) para um sistema de entrada única e saída única a partir do que os cálculos estão baseados. O argumento ‘v’ retorna o numerador e o denominador como vetores linha simples. Omitindo ‘v’ o numerador e o denominador seriam retornados como arranjos de células requerendo mais passos para obter os vetores linha. Concluímos gerando um gráfico da resposta ao degrau em malha fechada.

Para o sistema mostrado na abaixo, obtenha o instante de pico, a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação.

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'Redução de Subs. e entrada degrau' % Exibe o título.

numg=[25]; % Define o numerador de G(s).

deng=poly ([0 -5]); % Define o denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe o título.

G=tf (numg,deng) % Cria e exibe G(s). 'T(s)' % Exibe o título.

T=feedback (G,1) % Obtém T(s).

[numt,dent]=tfdata(T,'v'); % Extrai o numerador e o

% denominador de T(s).

wn=sqrt (dent(3)) % Obtém a frequência natural.

z=dent (2)/(2*wn) % Obtém o fator de amortecimento.

Ts=4/(z*wn) % Obtém o tempo de acomodação.

Tp=pi/(wn*sqrt(1-z^2)) % Obtém o instante de pico.

up=exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))*100 % Obtém a ultrapassagem percentual.

step(T) % Gera a resposta ao degrau.

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Exercícios:

1 - Obtenha a função de transferência equivalente, T(s) = C(s)/R(s), para o sistema mostrado

nas figuras (Utilizar os dois métodos descritos acima: Tópico 02):

OBS.: Use as seguintes instruções no MatLab: 𝐺_𝑖(𝑠) = 1

𝑠 + 1; 𝐻𝑖(𝑠) = 1 𝑠

2 - Obtenha a função de transferência do sistema abaixo e determine os parâmetros ς, ωn,

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Sendo seu G(s): a) 16

𝑠2_+3𝑠+16

b) 0,04