Códigos Corretores de Erros

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C´

odigos Corretores de Erros

Autor: Carla Meneghesso

Orientador: Prof. Dr. Sadao Massago

Disciplina: Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

Curso: Licenciatura em Matem´

atica

Professores Respons´

aveis: Karina Schiabel Silva

Sadao Massago

Vera L´

ucia Carbone

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C´

odigos Corretores de Erros

Autor: Carla Meneghesso

Orientador: Prof. Dr. Sadao Massago

Disciplina: Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

Curso: Licenciatura em Matem´

atica

Professores Respons´

aveis: Karina Schiabel Silva

Sadao Massago

Vera L´

ucia Carbone

Institui¸

c˜

ao: Universidade Federal de S˜

ao Carlos

Centro de Ciˆ

encias Exatas e de Tecnologia

Departamento de Matem´

atica

S˜

ao Carlos, 6 de agosto de 2012.

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Dedicat´

oria

Este trabalho dedico aos meus pais Onofre e Maria de Lourdes que me fizeram lutar at´e o final apesar de todas as dificuldades e possibilitaram que eu realizasse o meu maior sonho: estudar.

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Agrade¸co ao Prof. Dr. Sadao Massago pela imprescind´ıvel ajuda e tempo dedicados, pela orienta¸cão no desenvolvimento do meu trabalho fosse desenvolvido. Muito obrigada pela compreensão por eu trabalhar e não pude me dedicar tanto quanto gostaria neste trabalho.

Agrade¸co ao meu namorado Carlos Eduardo Domingues Nazário por toda a paciência, carinho, compreensão e ajuda dedicada, pois sem seu companheirismo eu não teria con-seguido ir até o fim da gradua¸cão. Muit´ıssimo obrigada, pois muitos foram os momentos que você deixou de buscar seus sonhos para que o meu se realizasse. Sem o seu apoio este trabalho não existiria.

Este trabalho simboliza a supera¸cão de um momento muito delicado da minha vida na qual aprendi não só a importância da Matemática, mas também que podemos seguir em frente mesmo que alguns obstáculos tenham surgido e tentado impedir que nossos sonhos fossem concretizados. A Matemática me conquistou desde o colégio e esta monografia é uma pequena demonstra¸cão de que esta ciência é singular em minha vida.

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Resumo

Neste trabalho serão apresentados conceitos básicos de códigos, vetores para projetar códigos detectores de erros que podem ocorrer na transmissão de dados e os d´ıgitos de verifica¸cão. Posteriormente definimos o que é um código detector de erros, como também a métrica de Hamming, os parâmetros de um código e equivalência de códigos. Para o desenvolvimento do projeto foi necessário estudar anéis, corpos e anéis de polinômios para que pudéssemos descrever os corpos finitos e sua constru¸cão. Foram estudados os Códigos Lineares (Códigos Duais e Códigos de Reed-Muller), Códigos C´ıclicos, decodifica¸cão destes e finalmente trabalhamos com algumas aplica¸cões de códigos. Neste trabalho foi poss´ıvel identificar a aplica¸cão da Matemática em mercadorias e transmissão de dados, que é uma vasta aplica¸cão de conceitos algébricos que facilitam o dia-a-dia das pessoas.

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meios analógicos tais como a luz, ondas de rádio, grava¸cões eletromagnéticas, etc. Com a introdu¸cão dos computadores no século XX, houve uma necessidade de transmitir grandes quantidades de dados com rapidez e precisão. Além dos computadores, outros avan¸cos tecnológicos dependem de códigos, tais como: comunica¸cão via satélite, CD, Códigos Universais de Produtos (UPC-Universal Product Code) associados aos códigos de barras e o Padrão Internacional de Numera¸cão de Livros (ISBN- International Standard Book Number).

Os vetores utilizados para o estudo de códigos não s˜_{ao vetores de R}n, mas vetores em Fn onde F é um corpo finito. Assim, terão um número finito de possibilidades para cada componente. Tais vetores dependem de um tipo diferente de aritmética - chamada aritmética modular.

A teoria moderna de códigos originou-se com o trabalho de Claude Shannon (1916 − 2001), que teve um papel importante na cria¸cão da teoria da informa¸cão e da base teórica para os hoje chamados códigos corretores de erros.

A teoria dos códigos vem sendo utilizada com sucesso na nossa história recente. Em 1965, a nave espacial Mariner 4 enviou 22 fotos em preto e branco de Marte com 64 tons de cinza para cada um de seus 200 × 200 pontos, que ´_{e um elemento de Z}6₂. A esses vetores não acrescentavam-se informa¸cões adicionais, pois a transmissão era muito lenta, demorando em torno de 8 horas para transmitir cada foto.

Em 1972, a nave espacial Mariner 9 transmitiu imagens de Marte com uma resolu¸cão de 700×832 pontos. Como a velocidade da transmissão era maior, o código foi recodificado através de uma fun¸c˜_{ao injetora ϕ : Z}6

2 =⇒ Z322 para acrescentar o c´odigo de canal

que permite detectar e corrigir até sete erros. O dado recebido era corrigido e decodificado através de uma transforma¸cão ϕ(−1)_{, obtendo-se o elemento de Z}6

2 que representa o tom

de cinza correspondente. Esse código pertence à fam´ılia de códigos chamados de Códigos de Reed-Muller.

Em 1979, a nave espacial Voyager transmitiu imagens coloridas de J´upiter. Cada elemento de imagem de uma cor foi representado por uma das 212_{= 4096 tonalidades. O}

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xii

o chamado código de Golay que permitia corrigir até três erros.

No cap´ıtulo 1, são apresentados conceitos algébricos que darão suporte aos demais cap´ıtulos que tratam de códigos detectores e códigos corretores de erros, como anel dos inteiros, classifica¸cão e constru¸cão de corpos finitos, espa¸co vetorial, etc.

O cap´ıtulo 2 trata dos códigos binários e como os vetores de códigos são determinados, incluindo o processo de codifica¸cão e de decodifica¸cão de uma mensagem.

No cap´ıtulo 3 são estudados os códigos detectores de erros, incluindo os códigos bit de paridade. Neste cap´ıtulo serão dadas aplica¸cões dos códigos detectores de erros, como o UPC (Universal Product Code), o EAN13 e o ISBN (International Standard Book Number).

No cap´ıtulo 4 é feita um abordagem dos códigos corretores de erros, tratando da matriz geradora do código e de teste de paridade no Matlab, Métrica de Hamming, Equivalência de códigos, Código de Hamming, Decodifica¸cão, Algoritmo da decodifica¸cão, Distâncias m´ınimas e Corretores de erros geométricos.

No cap´ıtulo 5 são estudados os Códigos lineares, a matriz geradora destes códigos, Códigos duais, Códigos de Reed-Muller e Decodifica¸cão de Códigos de Reed-Muller.

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Sum´

ario

1 Conceitos Preliminares 1

2 C´odigos 7

2.1 C´odigos Bin´arios . . . 7

3 C´odigos Detectores de Erros 9 3.1 C´odigo bit de paridade par (3, 2) . . . 9

3.2 Aplica¸c˜oes de C´odigos Detectores de Erros . . . 11

4 C´odigos Corretores de Erros 17 4.1 Matriz geradora e de teste de paridade no Matlab . . . 21

4.2 M´etrica de Hamming . . . 23

4.3 C´odigos de Hamming . . . 25

4.4 Decodifica¸c˜ao . . . 26

4.5 Algoritmo da Decodifica¸c˜ao . . . 27

4.6 Distˆancias M´ınimas e Corretores de Erros Geometricamente . . . 28

5 Códigos Lineares 29 5.1 Equivalência de Códigos . . . 31

5.2 Matriz Geradora de um C´odigo . . . 32

5.3 C´odigos Duais . . . 35

5.4 C´odigos de Reed-Muller . . . 37

5.5 Decodifica¸c˜ao de C´odigos de Reed-Muller . . . 39

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Lista de Figuras

1.1 Aritm´etica m´odulo m . . . 2

1.2 Aritm´etica m´odulo 3 . . . 2

1.3 Reta numerada enrolada em volta de um c´ırculo . . . 3

3.1 Palavras de c´odigo de bit de paridade par (3, 2) . . . 10

3.2 Exemplo de UPC . . . 12

3.3 Explica¸c˜ao do c´odigo de barras utilizado em produtos . . . 13

3.4 Exemplo do c´odigo de barras utilizado atualmente . . . 14

3.5 ISBN . . . 15

4.1 Procedimento para transmiss˜ao de dados . . . 18

4.2 Representa¸c˜ao do disco e da esfera de centro em a e raio t . . . 24

4.3 Representa¸cão geométrica dos códigos corretores de erros . . . 28

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Cap´ıtulo 1

Conceitos Preliminares

Para o desenvolvimento do estudo de códigos, precisamos introduzir alguns conceitos básicos de estruturas algébricas, tais como anéis e corpos, o que permitem tratar os conjuntos que possuem opera¸cões com propriedades similares.

Defini¸cão 1.1. Um anel comutativo é um conjunto A munido de duas opera¸cões,

+ : A × A → A

(a, b) 7→ a + b e

· : A × A → A (a, b) 7→ a · b

que chamaremos respectivamente de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, possuindo as seguintes pro-priedades:

(i) Associatividade da adi¸c˜ao: ∀a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c).

(ii) Existˆencia de elemento neutro para a adi¸c˜ao: Existe um elemento chamado zero e denotado por 0, tal que ∀a ∈ A, a + 0 = 0 + a = a.

(iii) Existência de elemento inverso para a adi¸cão: Dado a ∈ A, existe um único elemento chamado simétrico de a e denotado por −a tal que

a + (−a) = −a + a = 0. (iv) Comutatividade da adi¸c˜ao: ∀a, b ∈ A, a + b = b + a.

(v) Associatividade da multiplica¸c˜ao: ∀a, b, c ∈ A, (a.b).c = a.(b.c).

(vi) Existˆencia de elemento neutro para a multiplica¸c˜ao: Existe um elemento neutro chamado unidade e denotado por 1 tal que ∀a ∈ A, a.1 = 1.a = a.

(vii) Comutatitvidade da multiplica¸c˜ao: ∀a, b ∈ A, a.b = b.a.

(viii) Distributividade da multiplica¸cão com rela¸cão à adi¸cão: ∀a, b, c ∈ A, a.(b + c) = a.b + a.c.

(20)

2 1. Conceitos Preliminares

Exemplo 1.2. O anel dos inteiros m´_{odulo m. O Z}m = {0, 1, 2, . . . , m − 1, }, m ≥ 0

possui as opera¸c˜oes + e · definidas por: (i) a + b = a + b,

(ii) a · b = a · b

No exemplo 1.2, o conjunto Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1, } de inteiros m´odulo m

corres-ponde ao relógio de m horas representado pela Figura 1.1 e o conjunto dos vetores m-ários de comprimento n s˜_{ao denotados por Z}n_m. Os códigos que utilizam os vetores m-ários são chamados códigos m-ários.

Figura 1.1: Aritm´etica m´odulo m

No caso dos inteiros módulo 3, podemos representar o conjunto como um relógio de três horas, como na Figura 1.2 .

Figura 1.2: Aritm´etica m´odulo 3

Quando calculamos 1 + 2 = 0 interpretamos do seguinte modo: duas horas ap´os 1 hora ´

e 0 hora. Assim, como 24:00 e 12:00 são representados pela mesma marca em um relógio de doze horas, 3 e 0 são equivalentes em um relógio de três horas. Todos os números múltiplos de 3 são equivalentes a 0; os números que são iguais a 1 mais um múltiplo de 3 é equivalente a 1; e 2 é equivalente a qualquer número que seja igual a 2 mais um múltiplo de 3. É como se fosse uma reta numerada enrolada em volta de um c´ırculo como na Figura 1.3.

Exemplo 1.3. Em Z5

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Figura 1.3: Reta numerada enrolada em volta de um c´ırculo

u · v = 2 · 1 + 2 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 2 · 1 = 2 + 1 + 0 + 2 + 2 = 1 Os vetores de c´_{odigo em Z}5

3 s˜ao chamados de vetores tern´arios de comprimento 5.

Defini¸c˜ao 1.4. Um anel A ser´a chamado de dom´ınio de integridade, se possuir a seguinte propriedade:

∀a, b ∈ A, a 6= 0 e b 6= 0 ⇒ a.b 6= 0.

Como [2] não ´_{e invert´ıvel, temos que Z}4 não é um corpo. Como [2] · [2] = [4] = [0],

temos que esse anel n˜ao ´e um dom´ınio de integridade.

Defini¸cão 1.5. Um elemento a de um anel A será dito invert´ıvel se existir um elemento b ∈ A tal que a · b = 1. Nesse caso, dizemos que b é um inverso de a.

Defini¸cão 1.6. Um anel onde todo elemento não nulo é invert´ıvel é chamado de corpo. Um exemplo de corpo são os inteiros m´_{odulo 3 que consistem no conjunto Z}3 =

{0, 1, 2}, com adi¸cão e multiplica¸cão dadas como no exemplo 1.3. A tabela de opera¸cão é como segue.

Tabela 1.1: Opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜_{ao em Z}3

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 e · 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

Como os elementos não nulos 1 e 2 são invert´ıveis, com inversos respectivamente 1 e 2, temos que Z3 é um corpo.

Teorema 1.7. O anel Zm é um corpo se, e somente se, m é um número primo.

Exemplo 1.8. Seja b = (b1, b2, · · · , bn) um vetor de Zn3. Incluindo um d´ıgito de checagem

ao vetor de código, vamos ter um código com n + 1 termos e pode ser expresso como v = (b1, b2, · · · , bn, d) onde d é um d´ıgito de checagem de forma que 1 · v = 0 e v é um

(22)

4 1. Conceitos Preliminares

b1+ b2+ . . . + bn+ d = 0 em Z3

Defini¸cão 1.9. Um conjunto não vazio V ´_{e um espa¸co vetorial sobre (um corpo) K se} em seus elementos, denominados vetores, estiverem definidas as seguintes opera¸cões:

(A) A cada par u, v de vetores de V corresponde um ´unico vetor u + v ∈ V , chamado soma de u e v, de modo que:

(A1) u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V (propriedade comutativa).

(A2) (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V (propriedade associativa).

(A3) existe um vetor em V , denominado vetor nulo e denotado por 0, tal que 0 + v = v ∀ v ∈ V .

(A4) a cada vetor v ∈ V , existe um vetor em V denotado por −v, tal que v + (−v) = 0. (M) A cada par α ∈ K e v ∈ V , corresponde um vetor α · v ∈ V , denominado produto

por escalar de α por v de modo que:

(M1) (αβ) · v = α · (β · v), ∀α, β ∈ K e ∀v ∈ V (propriedade associativa). (M2) 1 · v = v, ∀v ∈ V (onde 1 ´_{e o elemento identidade de K).}

Além disso, vamos impor que as opera¸cões dadas em (A) e (M ) se distribuam, isto é, que tenham as seguintes propriedades:

(D1) α · (u + v) = α · u + α · v, ∀α ∈ K e ∀u, v ∈ V . (D2) (α + β) · v = α · v + β · v, ∀α, β ∈ K e ∀v ∈ V .

Defini¸c˜_{ao 1.10. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W de V} ´

e um subespa¸co vetorial de V se a restri¸c˜ao das opera¸c˜oes de V a W torna esse conjunto um K-espa¸co vetorial.

Note que como Z2 ´e corpo, Zn2 ´e um espa¸co vetorial.

Dado um corpo F, V = Fn_´_{e um espa¸co vetorial com produto escalar canˆ}_onico.

No exemplo 1.3, considerando o vetor u = (2, 2, 0, 1, 2), ao somarmos suas coordenadas temos 2 + 2 + 0 + 1 + 2 = 1 e vemos que o d´ıgito de checagem deve ser 2 para que a soma das coordenadas com o d´ıgito de checagem seja igual a zero m´_{odulo Z}3 e ent˜ao o vetor

c´odigo de checagem ´e v = (2, 2, 0, 1, 2, 2).

Os códigos de checagem de d´ıgitos podem detectar erros simples, mas para detectar a troca de duas coordenadas adjacentes, por exemplo, outros tipos de códigos são utilizados. Muitos deles substituem o vetor de checagem 1 por algum outro vetor c cautelosamente escolhido.

Como os dados no computador, os dados s˜ao codificados usando sequˆencia de 0s e 1s que podem ser associados ao vetor bin´_{ario v ∈ Z}n

2. Por esta raz˜ao, o corpo Z2 tem papel

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(ii) x, y ∈ I =⇒ x − y ∈ I (I ´e fechado para a diferen¸ca) (iii) x, y ∈ I =⇒ x · y ∈ I (I ´e fechado para o produto).

Defini¸c˜ao 1.12. Seja A um anel e seja I um subanel de A. Dizemos que I ´e um ideal de A se

(i) (x + y) ∈ I, ∀x, y ∈ I

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Cap´ıtulo 2

C´

odigos

2.1 C´

odigos Bin´

arios

Os códigos binários consistem em vetores cujas coordenadas são iguais a 0 ou 1. Os computadores descrevem dados em termo de 0s e 1s (que podem ser interpretados como desligado/ligado, fechado/aberto, falso/verdadeiro ou não/sim). A aritmética é como segue + 0 1 0 0 1 1 1 0 e · 0 1 0 0 0 1 0 1

Com tais opera¸cões, nosso conjunto de escalares {0, 1} é o conjunto dos inteiros módulo 2 que denotaremos por Z2.

Exemplo 2.1. Soma em Z2

1 + 1 + 0 + 1 = 1 e 1 + 1 + 1 + 1 = 0

Regra de Paridade, ou seja se número de 1’s for par, a soma é 0. Se for ´ımpar, a soma será 1.

O vetor do espa¸co vetorial Zn

2 (sobre o escalar Z2) ´e o conjunto das n-uplas de 0s e 1s.

Os vetores em Zn

2 s˜ao chamados de vetores bin´arios de comprimento n.

Exemplo 2.2. Os vetores em Z2

2 s˜ao (0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1)

Exemplo 2.3. Sejam u = (1, 1, 0, 1, 0) e v = (0, 1, 1, 1, 0) dois vetores bin´arios de com-primento 5. Determine u.v

O c´alculo de u.v ´_{e feito em Z}2, por isso temos

u.v = 1.0 + 1.1 + 0.1 + 1.1 + 0.0 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0

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8 2. C´odigos

Para a transmissão de dados, come¸camos codificando cada “palavra”da mensagem por um vetor binário. Ou seja, converte-se o que se quer transmitir numa sequência de bits que compõe o vetor binário.

Defini¸cão 2.4. Um código binário é um conjunto de vetores binários (de mesmo com-primento) chamados vetores de códigos. O processo de conversão de uma mensagem em vetores de código é chamado codifica¸cão, e o processo inverso é chamado decodifica¸cão.

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Cap´ıtulo 3

C´

odigos Detectores de Erros

O Código detector de erros é a representa¸cão de uma mensagem que permite detectar erros. Note que no envio de mensagens através de um canal (por exemplo uma linha de telefone, ondas de rádio, um cabo de fibra ótica) podem ocorrer “ru´ıdos”, como sinais de interferência ou sujeira. O mesmo ocorre quando se faz a leitura de código de barras, CD/DVD ou HD, na qual o erro pode ser introduzido. O objetivo do código é detectar poss´ıveis erros na transmissão ou na leitura.

Um destes códigos detectores de erros é o bit de paridade, que permite obter um código eficiente e relativamente simples. A seguir faremos uma abordagem do código bit de paridade par (3, 2).

3.1 C´

odigo bit de paridade par (3, 2)

No código bit de paridade par (3, 2) adiciona-se um bit de paridade no final da mensagem. Esse bit é a soma módulo 2 dos bits da mensagem obtendo-se assim a palavra de código c = [c0, c1, c0+ c1]

Logo, somando-se os d´ıgitos temos:

Soma dos d´ıgitos = [n´umero de bits ativo] ×1 = (

0 se for par 1 se for ´ımpar Logo, a soma de d´ıgitos de c sempre ´e 0.

Vejamos na tabela 3.1, as palavras de código para cada mensagem enviada. Este código tem d = 2 e detecta a presen¸ca de 1 e 3 bits errados, pois o valor d = 2 garante que erros de 1 bit podem ser detectados, para qualquer código. Neste código é poss´ıvel também detectar 3 bits errados. A decodifica¸cão é realizada recalculando a paridade da mensagem recebida e fazendo a compara¸cão da mesma com o código transmitido. Se as palavras enviada e recebida forem iguais não serão detectados erros, caso contrário poderão ser detectados 1 ou 3 erros na palavra recebida. A figura 3.1 mostra a posi¸cão relativa das palavras de código, mostrando que d = 2, pois é necessário percorrer duas arestas do cubo para ir de uma até outra palavra de código. Quando ocorrem um número

(28)

10 3. C´odigos Detectores de Erros

Tabela 3.1: Mensagens e palavras de c´odigo para o c´odigo bit de paridade par (3, 2)

Mensagem Palavra de c´odigo

00 000

01 011

10 101

11 110

´ımpar de erros sobre qualquer palavra de código, é poss´ıvel detectá-los, já que resulta numa palavra que não pertence ao código.

Figura 3.1: Palavras de c´odigo de bit de paridade par (3, 2)

Vejamos como funcionam os códigos detectores de erros através de alguns exemplos. Exemplo 3.1. Desejamos codificar e transmitir uma mensagem que consiste em uma das palavras up, down, left, right. São quatro palavras, mas acrescentando bit de paridade no final, teremos quatro vetores de Z3

2, como na Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Comandos codificados como elementos de Z32

Mensagem Up Down Left Right

C´odigo (0,0,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0)

Decodificar uma mensagem é simples quando não ocorrem erros na sua transmissão. Vamos considerar que ocorreu um erro na transmissão, resultando em altera¸cão em uma das coordenadas do vetor de código e o “down”que é (0, 1, 1), foi recebido como (1, 1, 1), (0, 0, 1) ou (0, 1, 0). Como nenhum deles é um código válido (up, down, left ou right), sabemos que ocorreu um erro na transmissão, mas ainda não temos as ferramentas para detectar onde está o erro.

O exemplo 3.1 é um código detector de erros. Mas o avan¸co tecnológico permitiu não somente detectar como também corrigir erros de transmissão. Uma forma de detectar erros é utilizar o código de checagem de paridade, que consiste na introdu¸cão de d´ıgito de

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vetor de código seja par. Logo, o vetor de código será (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1). Se acontecer algum erro na transmissão da mensagem ele será detectado, pois a paridade do vetor de código será alterada de par para ´ımpar. Por exemplo, se ocorrer um erro na terceira coordenada, o vetor de código a ser recebido é (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1) e sua paridade é ´ımpar, pois tem cinco 1s.

Agora veremos o d´ıgito de checagem mais geral. Vamos supor a mensagem que se quer enviar seja o vetor b = (b1, b2, . . . , bn) em Znk. O vetor c´odigo de checagem de

paridade ´e v = (b1, b2, . . . , bn, d) em Zn+1k , onde o d´ıgito de checagem d ´e escolhido de

maneira que

b1 + b2+ . . . + bn+ d = 0 em Zk

ou 1.v = 0

onde 1 = (1, 1, . . . , 1) ´e um vetor com todas as coordenadas iguais a 1. O vetor 1 ´e chamado vetor de checagem. Quando ocorrem erros, temos que 1 · v 6= 0 para algum v. Nesse projeto, estamos estudando o caso que ocorre apenas um erro.

As coordenadas dos vetores de c´_{odigo podem ser elementos do conjunto finito Z}k+1 =

{0, 1, 2, . . . , k} para k ≥ 2 que ´e um anel.

3.2 Aplica¸

c˜

oes de C´

odigos Detectores de Erros

Dentre as aplica¸cões dos Códigos Detectores de Erros estão o UPC (Código Universal de Produto), o EAN-13 (Código de barras) e o ISBN (Padrão Internacional de Numera¸cão de Livros), que são códigos que possuem o d´ıgito de checagem.

UPC(Universal Product Code) - Código Universal de Produto e EAN-13 Há dois tipos de códigos de barras em uso para identifica¸cão dos itens à venda. O UPC é o mais antigo deles, usado inicialmente apenas na América do Norte. Ele utiliza doze d´ıgitos (escrito na forma de barras) para ser lidos por uma máquina de luz refletida. Também vem com os números abaixo das barras para ser lidos por um humano quando necessário. Com o tempo, passou-se a usar o EAN-13 que utiliza treze d´ıgitos, que permite também distinguir o pa´ıs de origem do produto. Esse é o que está sendo utilizado no Brasil. Os dois tipos de códigos são muito semelhantes, onde o UPC usa apenas um d´ıgito para

(30)

identificar o pa´ıs de origem, enquanto o EAN-13 utiliza dois d´ıgitos e portanto possui 13 d´ıgitos.

Para compreender o funcionamento dos códigos detectores de erros é preciso entender como é atribu´ıdo a cada produto, um d´ıgito que permite essa deteçcão.

Suponhamos que um produto está identificado. O UPC é um código associado aos códigos de barras encontrados em mercadorias, na qual o leitor do código de barras esca-neia as barras pretas e brancas que correspondem a um vetor 10-ário

v = (v1, v2, . . . , v11, d) ∈ Z1210

de comprimento 12. As informa¸cões sobre o fabricante e o produto são dadas pelas 11 primeiras componentes. A última componente d é o d´ıgito de checagem escolhido de maneira que c.v = 0 em Z10, onde o vetor de checagem c é dado por

c = (3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1)

Depois de um rearranjo, temos

3(v1 + v3+ v5+ v7+ v9+ v11) + (v2+ v4+ v6+ v8+ v10) + d = 0

onde d ´e o d´ıgito de checagem.

Os pesos dos d´ıgitos das posi¸cões pares e ´ımpares são diferentes para detectar o deslocamento de digitos devido a erros de entrada, como troca de posi¸cão de dois d´ıgitos consecutivos. O d´ıgito de checagem é escolhido de maneira que o lado esquerdo da expressão resulte num múltiplo de 10.

Exemplo 3.3. Seja o UPC como mostrado na Figura 3.3. Vamos verificar se o d´ıgito de checagem realmente ´e 6, considerando que os c´alculos s˜_{ao feitos em Z}10.

Figura 3.2: Exemplo de UPC

Temos que v = (0, 7, 4, 9, 2, 7, 0, 2, 0, 9, 4, d) e sabendo que c = (3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1), obtemos:

(31)

Exemplo 3.4. O UPC permite detectar erros simples (erro na coordenada) ou erros gerados por trocas entre as coordenadas. Vamos supor que no exemplo 3.3, o UPC seja escrito como v = (0, 7, 4, 2, 9, 7, 0, 2, 0, 9, 4, 6), ou seja, a quarta e a quinta coordenadas tiveram suas posi¸c˜oes invertidas. Fazendo os c´_{alculos em Z}10 obtemos:

c · v0 = 3 · 0 + 1 · 7 + 3 · 4 + 1 · 9 + 3 · 2 + 1 · 7 + 3 · 0 + 1 · 2 + 3 · 0 + 1 · 9 + 3 · 4 + 1 · 6 = 3.(0 + 4 + 9 + 0 + 0 + 4) + 1.(7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 6)

= 3.(7) + 1.(3) = 4

Como c · v0 _{= 4 6= 0 em Z}10, ent˜ao conclu´ımos que houve algum erro.

Agora suponhamos que um determinado produto est´a identificado no sistema EAN-13, por uma dada sequˆencia de d´ıgitos v = (v1, v2, . . . , v12, d).

Os primeiros doze d´ıgitos identificam o pa´ıs de origem, o fabricante e o produto es-pec´ıfico, e s˜ao determinados a cargo de uma autoridade classificadora em cada pa´ıs. Veja a figura a seguir.

Figura 3.3: Explica¸c˜ao do c´odigo de barras utilizado em produtos

O décimo terceiro d´ıgito, chamado de d´ıgito de verifica¸cão utilizado para a de-teçcão de erros, e será denotado por d. Denotaremos essa sequência como um vetor α = (v1, v2, . . . , v12, d). O sistema EAN − 13 utiliza o vetor de checagem ou vetor de

pesos c = (1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1).

A sistemática é a mesma do UPC, mudando apenas o número de d´ıgitos do vetor que representa o artigo.

Por exemplo, no caso do código da figura que segue, os números indicam o pa´ıs de origem, o fabricante e o produto são 789500026624.

(32)

Figura 3.4: Exemplo do c´odigo de barras utilizado atualmente

Vamos determinar o d´ıgito de verifica¸c˜ao d e fazendo o produto escalar com o vetor de pesos, temos: 7 + (3.8) + 9 + (3.5) + 0 + (3.2) + 6 + (3.6) + 2 + (3.4) + d = 99 + d

Logo, deve-se ser d = 1, pois a soma acima deve ser múltiplo de 10. Se fosse qualquer outro número de 0 a 9, não resultaria no múltiplo de 10 e então o computador avisaria que um erro foi cometido.

Se mais de um erro for cometido na digita¸cão, provavelmente será detectado, mas isso não é garantido já que eles podem compensar mutuamente e a soma poderia ainda continuar sendo um múltiplo de 10.

Veremos a fun¸cão do vetor de pesos? Se a escolha do d´ıgito de verifica¸cão fosse feita para a soma das coordenadas de (v1, v2, . . . , v12, d) ser múltiplo de 10, o que equivaleria

a considerar o vetor de pesos (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), ainda poderia detectar um erro. Acontece que há um outro tipo de erro de digita¸cão muito comum, que consiste em digitar todos os números corretamente, mas trocar a ordem de dois d´ıgitos consecutivos. Nesse caso o vetor (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) não detecta o erro. Logo, o sistema de deteçcão acima não tem a capacidade de detectar todo erro de transposi¸cão cometido. A transposi¸cão de dois d´ıgitos vi e vi+1 não é detectada no EAN-13, se e somente se

|vi− vi+1| = 5 (se vi ´e ´ımpar, tem-se a diferen¸ca com o sinal trocado).

ISBN(Intenational Standard Book Number)- Padr˜ao Internacional de Nu-mera¸c˜ao de Livros

O ISBN é um outro código de checagem de d´ıgito, utilizado universalmente para a clas-sifica¸cão de livros. É projetado para detectar mais tipos de erros que o UPC. O vetor de código ´_{e um vetor em Z}10

11. As primeiras 9 componentes d˜ao pa´ıs, editor e informa¸c˜ao

sobre o livro e a décima componente é o d´ıgito de checagem. Para o código ISBN, o vetor de checagem ou vetor peso é

c = (10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)

e a condi¸c˜ao ´_{e que c.b = 0 em Z}11, ou seja, de que o produto escalar do vetor de c´odigo

pelo vetor de checagem seja m´ultiplo de 11. Sendo o vetor b = (v1, v2, v3, . . . , v9, d), temos:

c.b = 10.v1+ 9.v2+ 8.v3+ 7.v4 + 6.v5+ 5.v6+ 4.v7+ 3.v8+ 2.v9+ d

onde d é o d´ıgito de checagem. Ou seja, d deve ser escolhido de modo que c.b seja múltiplo de 11. Quando o d´ıgito de checagem é 10, utiliza-se o numeral romano X em seu lugar, pois é prefer´ıvel que cada componente de um ISBN seja um único d´ıgito.

(33)

Figura 3.5: ISBN

(8, 5, 2, 4, 4, 0, 1, 6, 9, 9).(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) =

80 + 45 + 16 + 28 + 24 + 0 + 4 + 18 + 18 + 9 = 242, que é um múltiplo de 11. Segundo Milies [5], autores como D.F. Beckley e J. Verhoeff investigaram os erros cometidos por operadores humanos. Os erros num único d´ıgito e as transposi¸cões são os mais frequentes, atingindo cerca de 80%. A codifica¸cão apresentada aqui foi projetada para detectar tais erros.

(34)

(35)

Cap´ıtulo 4

C´

odigos Corretores de Erros

Vamos estudar neste cap´ıtulo códigos corretores de erros, que permitem tanto detectar como corrigir certos tipos de erros na transmissão ou armazenamento de dados. Para entender como funcionam, vamos utilizar como exemplo, um robô que se move sobre um tabuleiro quadriculado e que ao darmos um dos comandos (leste, oeste, norte, sul), o robô se desloca de uma casa para a outra.

Os quatro comandos acima podem ser codificados como elementos de Z22, como se

segue:

Leste 7→ 00 Norte 7→ 10

Oeste 7→ 01 Sul 7→ 11

Cada código que representa um dos comandos acima (00, 01, 10, 11) é chamado de código da fonte. Suponhamos que os pares ordenados devam ser transmitidos via rádio que pode sofrer interferências. Suponhamos que ao enviar a mensagem como 00 (ir para leste), o robô recebeu a mensagem 01 (ir para oeste) o que faria com que fosse para oeste. Para evitar que a mensagem seja um dos comandos existente, é necessário introduzir re-dundâncias na codifica¸cão para permitir detectar e corrigir erros. Então vamos introduzir mais d´ıgitos aos códigos que representam os comandos, como segue:

00 7→ 00000 01 7→ 01011 10 7→ 10110 11 7→ 11101

Na recodifica¸cão acima, as duas primeiras posi¸cões são o código da fonte e nas três posi¸cões restantes são redundâncias introduzidas. Este novo código recodificado é cha-mado de código de canal. Como exemplo, suponhamos que tenha ocorrido um erro na transmissão do código 10110 e que foi recebido 11110. O código recebido não corresponde a nenhum dos códigos da tabela, portanto, detectamos erros. O código mais próximo da mensagem válida, ou seja, o código da tabela que apresenta a menor quantidade de d´ıgitos distintos do código recebido é 10110, que é a palavra transmitida.

(36)

18 4. C´odigos Corretores de Erros

Figura 4.1: Procedimento para transmiss˜ao de dados

O funcionamento dos códigos corretores do exemplo do robô é esquematizado a seguir: O esquema acima exemplifica os códigos corretores de erros. Inicialmente, transforma-mos os dados a serem transmitidos em um código da fonte que é convertido num código de canal, acrescentando-se redundâncias. Ao receber, detecta e corrige os erros e em seguida, o código de canal é decodificado em código da fonte. Neste projeto serão estudados os códigos, denominados códigos simétricos que apresentam as seguintes propriedades: (a) Todos os s´ımbolos (d´ıgitos) transmitidos têm a mesma probabilidade de serem

rece-bidos errados e essa probabilidade ´e pequena;

(b) Se um s´ımbolo ´e recebido errado, a probabilidade de ser qualquer um dos outros s´ımbolos ´e a mesma.

Agora vamos entender matematicamente como funciona o vetor de código e o processo de gera¸cão de um c´_{odigo. Seja a nossa mensagem, um vetor x em Z}k₂ para algum k, e iremos codificá-lo utilizando uma transforma¸cão por meio da matriz

T : Zk

2 → Zn2 para algum n > k

T (x) será um vetor de código. Um código pode ser descrito através de uma trans-forma¸cão envolvendo matriz.

Exemplo 4.1. Seja G = h 1 1 1 i e definimos T : Z2 → Z32 por T (x) = G t_x

Onde elementos de Z2 s˜ao matrizes 1 × 1.

A matriz G ´e chamada de Matriz geradora do c´odigo.

Para checar se um vetor recebido é um código, precisamos fazer duas verifica¸cões de paridade. Pela G, é necessário que o vetor recebido c =

   c1 c2 c3    satisfa¸ca c1 = c2 = c3 Em Z2_{, temos}

(37)

Se P =

1 0 1 , ent˜ao ´e equivalente a P · c = 0.

A matriz P é chamada de matriz de verifica¸cão de paridade para o código e p · c 6= 0 implica que houve erros.

Observe que P Gt ₌ " 0 0 # .

Para entender como funciona, vamos supor que enviamos uma mensagem codificada como (1, 1, 1) =    1 1 1   

Suponha que ocorreu um erro na transmiss˜ao e recebemos c0 = (1, 0, 1) Logo, P · c’ = " 1 1 0 1 0 1 # ·    1 0 1   = " 1 + 0 · 1 + 0 · 1 1 + 0 · 0 + 1 · 1 # = " 1 0 # 6= 0.

Logo, c’ não pode ser um vetor de código. Mas onde estará o erro? Podemos verificar que P · c’ =

" 1 0

#

que é a segunda coluna da matriz de verifica¸cão de paridade P. Isso significa que o erro está na segunda coordenada de c’, o que permite corrigir o erro, invertendo 0 para 1.

Defini¸c˜ao 4.2. Se k < n. Um c´odigo bin´_{ario (n, k) dado como T : Z}k

2 → Zn2 ´e

dito de comprimento n e dimens˜ao k. Uma matriz G = h Ik A

i

k×n, onde A ´e uma

matriz k × (n = k) sobre Z2 é dito matriz geradora padrão para o código. Uma matriz

P =h B In−k

i

é dito matriz de verifica¸cão de paridade padrão. G e P são associados ao c´_{odigo T : Z}2

k → Z2n quando T x = G

t_{x e P G}t_{x = 0 ∀x,}

ou seja, P Gt= 0.

No teorema a seguir temos a condi¸cão para G ser a matriz geradora padrão para um código binário de corre¸cão de erros e como encontramos uma matriz de verifica¸cão de paridade padrão associada a P .

Teorema 4.3. Sejam G = h Ik A i e P = h B In−k i

. P será a matriz de verifica¸cão de paridade associada a matriz geradora padrão G se, e somente se, At_{= B. Al´}_{em disso,}

o código binário correspondente (n, k) será um corretor de erros (em uma componente) se, e somente se, as colunas de P forem não nulas e distintas.

Demonstra¸c˜ao. Chamamos at

i a i-´esima linha de uma matriz A e bi, o i-´esima coluna de B.

Seja G uma matriz geradora padrão e P uma matriz de verifica¸cão de paridade. Vamos assumir que as duas matrizes correspondem ao mesmo código binário. Portanto, para todo x em Zk

(38)

20 4. C´odigos Corretores de Erros P Gt _{x =} h _B _I i " I At # x = 0 para todo x em Zk 2 Ou seja, h B I i " I At # x = (BI + IAt_{) x = 0} Para todo x em Zk 2, temos Bx + At_{x = 0 =⇒ Bx = −A}t_{x = A}t_x ou B x = A x

Se agora tomarmos x = ei, o i-´esimo vetor de base canˆonica de Zk2, vemos que

bi = B ei = At ei = ati para todo i Portanto, B=At_. Reciprocamente, se B = At_{, PG}t ₌ h _B _I i " I At # = B + At _{= 0 em Z} 2. Agora,

veremos que se Pi forem não nulas e distintas, então é matriz de paridade para corretor

de erros, precisamos verificar que P detecta posi¸c˜_{ao de erros. Seja x, a mensagem em Z}k₂ e c = Gx. Então ter´ıamos P c = 0. Se ocorrer um erro na i-ésima posi¸cão de c, o código recebido seria c0 = c + ei. Então temos P c0 = P c + P ei = 0 + Pi que é a i-ésima coluna de

P . Como todas as coluna sde P são distintas (e não nulas) podemos identificar a posi¸cão do erro.

Exemplo 4.4. Veremos um código corretor de erros que usa três equa¸cões para verifica¸cão de paridade, que formam as linhas de P . Então temos n−k = 3 e logo k = n−3. Os vetores da mensagem pertencem a Zk

2, e queremos que k (portanto n) seja o maior poss´ıvel para

transmitir mais informa¸cões. Pelo Teorema 4.3, as colunas de P precisam ser distintas e não nulas. O máximo ocorre quando consistem em todos os 23_{− 1 = 7 vetores n˜}_{ao nulos}

de Zn−k2 = Z32. Uma destas op¸c˜oes ´e

P =    1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1   

Isso significa que

A =    1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1   

(39)

Para exemplificar como a matriz geradora funciona, vamos considerar x = (0, 1, 0, 1) e codificar como

c = G xt _{= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)}

Se esse vetor for recebido, será considerado correto, já que P c = 0. Agora, se for recebido c’ = h 0 1 1 1 0 1 0 iT , então P c0 =    1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1    · h 0 1 1 1 0 1 0 it = h 0 1 1 it Como P c0 6= 0, ocorreu um erro. Como o vetor éh 0 1 1

i

, que é a terceira coluna da matriz P . O erro está na terceira componente de c0. Alterando essa componente, recuperamos o vetor de código c. Como as quatro primeiras componentes de um vetor de código são o vetor de mensagem original,podemos decodificar c e obtemos o vetor original x =

h

0 1 0 1

iT .

O código do exemplo 4.4 é chamado de código de Hamming (7,4). Em geral, todos os códigos binários constru´ıdos dessa forma são chamados de código de Hamming (n, k), o que veremos mais adiante. Um código de Hamming (n, k) tem n = 2n−k_{− 1.}

4.1 Matriz geradora e de teste de paridade no Matlab

Vamos determinar a matriz geradora padrão (G) e a matriz de verifica¸cão de paridade (H) para um código binário (7, 4), utilizando a fun¸cão hammgen no Matlab. O parâmetro de entrada é o fator r de desenho do código, tal que (n, k) = (2r_{− 1, 2}r_{− 1 − r). A fun¸c˜}_ao

hammgen retorna, al´em das matrizes H e G definidas neste caso como G = " A Ik # e H = " In−k AT # , tamb´em os valores de n e k.

No Matlab executamos a primeira linha, que tem como parˆametro de entrada apenas r = 3, e os dados de sa´ıda s˜ao H, G e os valores de n e k.

No Matlab também podemos obter uma palavra de código, ou seja, um vetor de código (código da fonte) acrescido de redundâncias introduzidas, chamadas de código de canal. Para isso, multiplicamos o vetor de código pela matriz geradora G.

(40)

(41)

4.2 M´

etrica de Hamming

Seja A um conjunto finito que daqui em diante será chamado de alfabeto. Um código corretor de erros é um subconjunto próprio qualquer de An_{. Para ter a no¸c˜}_{ao de}

proxi-midade entre palavras (sequˆencia de alfabetos), veremos um modo de medir a distˆancia entre palavras.

Defini¸c˜ao 4.5. Dados dois elementos u, v ∈ An_{, a distˆ}_{ancia de Hamming entre u e v ´}_e

definida como

d(u, v) = |{i : ui = vi, 1 ≤ i ≤ n}|.

Proposi¸c˜ao 4.6. Dados u, v, w ∈ An_{, valem as seguintes propriedades:}

(i) Positividade: d(u, v) ≥ 0 e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v. (ii) Simetria: d(u, v) = d(v, u).

(iii) Desigualdade Triangular: d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).

Logo, a distância de Hamming é uma métrica, também chamados de métrica de Ham-ming.

(42)

d = min{d(u, v) : u 6= v com u, v ∈ C e u 6= v }.

No exemplo do robô dado no in´ıcio deste cap´ıtulo, se C é o código do robô, temos que d = 3.

Defini¸c˜ao 4.8. Dado a ∈ An _{e um n´}_{umero real t > 0, definimos o disco e a esfera de}

centro em a e raio t como sendo

D(a, t) = {u ∈ An : d(u, a) ≤ t}, S(a, t) = {u ∈ An: d(u, a) = t}. respectivamente.

A defini¸c˜ao 4.8 pode ser representada da seguinte forma:

Figura 4.2: Representa¸c˜ao do disco e da esfera de centro em a e raio t

Como consequˆencia da defini¸c˜ao 4.8 e desigualdade triangular, temos:

Lema 4.9. Seja C um código com distância m´ınima d. Se c e c0 são palavras distintas de C, então

D(c, κ) ∩ D(c0_{, κ) = ∅.}

Teorema 4.10. Seja C um código com distância m´ınima d. Então C pode corrigir até κ = bd−1₂ c erros e detectar até d − 1 erros.

Demonstra¸cão. Se ao transmitirmos uma palavra c do código cometermos t erros com t ≤ κ, originando a palavra r, então d(r, c) = t ≤ κ. Pelo Lema 4.9, a distância de r a qualquer outra palavra do código é maior do que κ. Isso determina c univocamente a partir de r, como sendo o código mais próximo. Por outro lado, dada uma palavra do código, podemos nela introduzir até d − 1 erros sem encontrar uma outra palavra do código, e assim, a deteçcão do erro será poss´ıvel.

A tabela 4.1 apresenta as capacidades de deteçcão, corre¸cão e deteçcão e corre¸cão simultâneas, em fun¸cão da distância m´ınima, para alguns valores.

(43)

2 1 0 N˜ao tem

3 2 1 N˜ao tem

4 3 1 (2,1)

5 4 2 (3,1)

(1) Apenas para d ≥ 4 é que se torna poss´ıvel a deteçcão e a corre¸cão em simultâneo; (2) A capacidade de deteçcão é sempre superior à capacidade de corre¸cão;

(3) Um código com d = 1 não tem capacidade para detectar erros; por exemplo, con-siderando as 8 palavras do código binário natural a 3 bit, verifica-se que qualquer altera¸cão de um bit numa palavra vai produzir outra palavra que pertence ao código; este erro é indetectável (as palavras de código são excessivamente semelhantes entre si).

As capacidades de deteçcão e corre¸cão são obtidos à custa da introdu¸cão de re-dundâncias e dependem da distância m´ınima do código. Aumentar a distância m´ınima melhora as capacidades de deteçcão e corre¸cão, mas em contrapartida diminui a aficiência do código. Os critérios para determina¸cão dos códigos de codifica¸cão de canal são: (1) Dado o R, onde R é a medida da eficiência do código, maximizar d;

(2) Dada a d minimizar R.

Defini¸c˜ao 4.11. Seja C ⊂ An _{um c´}_{odigo com distˆ}_{ancia m´ınima d e seja κ = b}d−1 2 c. O

c´odigo C ser´a dito perfeito se

[

c∈C

D(c, κ) = An.

Um código C sobre um alfabeto A possui três parâmetros fundamentais [n, M, d], que são, respectivamente, o seu comprimento (o número n corresponde ao espa¸co ambiente An _{onde C se encontra), o seu n´}_{umero de elementos e a sua distˆ}_{ancia m´ınima.}

4.3 C´

odigos de Hamming

Um c´_{odigo de Hamming de ordem m sobre F}2 = Z2 ´e um c´odigo com matriz teste de

paridade Hm de ordem m × n, cujas colunas s˜ao os elementos de F2m{0} numa ordem

(44)

Temos que o comprimento de um código de Hamming de ordem m é n = 2m− 1 e a sua dimensão é κ = n − m = 2m_{− m − 1. Como veremos no pr´}_{oximo cap´ıtulo, podemos}

converter a matriz geradora de verifica¸c˜ao de paridade na forma padr˜ao. Considere a matriz H3 =    1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1   .

Essa é a matriz de um código de Hamming (matriz de verifica¸cão de paridade) corres-pondente a m = 3.

Proposi¸cão 4.12. Todo código de Hammming é perfeito.

4.4 Decodifica¸

c˜

ao

A decodifica¸cão é o procedimento de deteçcão e corre¸cão de erros num determinado código. Define-se o vetor erro e como sendo a diferen¸ca entre o vetor recebido r e o vetor trans-mitido c, isto é,

e = r − c

Exemplo 4.13. Suponha que num c´_{odigo dado sobre F}2, tenhamos transmitido a palavra

(010011) e foi recebido a palavra recebida tenha sido (101011), ent˜ao

e = (101011) − (010011) = (111000).

O peso do vetor erro corresponde ao número de erros cometidos durante a transmissão. Seja H a matriz teste de paridade do código, chamamos Hv de s´ındrome de v. Como Hc = 0, temos que

Het = H(r − c) = Hr − Hc = Hr.

Portanto, a palavra recebida e o vetor erro tˆem mesma s´ındrome.

Lema 4.14. Seja C um c´odigo linear em Kn _{com capacidade de corre¸}_c˜_{ao κ. Se r ∈ K}n

e c ∈ C são tais que d(c, r) ≤ κ então existe um único vetor e com ω(e) ≤ κ, tal que a s´ındrome é igual à s´ındrome de r. Além disso, que c = r − e.

Cada conjunto da forma v + C ´e chamado de classe lateral de v segundo C. Note que

v + C = C ⇐⇒ v ∈ C.

(45)

(1) Calcule a s´ındrome s = Hr.

(2) Se s est´a na tabela de c´alculo das s´ındromes, seja l o elemento l´ıder da classe determinada por s; troque r por r − l.

(3) Se s não está na tabela de cálculo das s´ındromes, então mensagem recebida foram cometidos mais do que κ erros.

Exemplo 4.17. Considere o c´_{odigo linear (6, 3) definido sobre F}2 com matriz teste de

paridade H =    1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1   .

Neste caso d = 3 e, portanto, κ = bd−1₂ c = 1.

Os vetores de peso ≤ 1 com suas respectivas s´ındromes est˜ao relacionados abaixo

L´ıder S´ındrome 000000 000 000001 001 000010 010 000100 100 001000 101 010000 011 100000 110

Suponhamos, agora, que a palavra recebida seja

(a) r = (100011). Logo, S = Hr = (101) e, portanto, e = (001000). Consequen-temente, c = r − e = (101011).

(b) r = (111111). Logo, S = Hr = (111), que n˜ao se encontra na tabela. Sendo assim, foi cometido mais do que 1 erro na mensagem r.

(46)

4.6 Distˆ

ancias M´ınimas e Corretores de Erros

Geo-metricamente

Seja C um c´odigo de tripla repeti¸c˜_{ao, temos um subconjunto de Z}3

2. Podemos representar

os vetores de Z3

2 como vértices de um cubo unitário (figura 4.3(a)). A distância de

Hamming entre quaisquer dois vetores x e y é só o caminho mais curto para ir de x até y, passando pelas arestas. O código C corresponde a dois desses vértices, c0 = 000 e

c1 = 111. O fato de d(C) = 3 corresponde ao fato de c0 e c1 estarem a trˆes unidades

(arestas) um do outro (figura 4.3(b)). Se um vetor recebido x estiver ao máximo de uma unidade de algum desses vetores-códigos e soubermos que ocorreu no máximo um erro, poderemos corretamente decodificar x como o vetor-código mais próximo. Em geral, não podemos desenhar figuras de Zn

2.

Figura 4.3: Representa¸cão geométrica dos códigos corretores de erros

Considere um código que pode corrigir até κ erros e os vetores-código nos centros das esferas de raio κ. Os vetores-código estão separados um dos outros por pelo menos d unidades. Se um vetor recebido x estiver no interior de uma dessas esferas, ele será decodificado como o vetor correspondente ao centro daquela esfera (veja a figura 4.4).

Figura 4.4: Representa¸cão esférica dos códigos corretores de erros

Esse processo é conhecido como decodificador pelo vizinho mais próximo. A figura sugere que se um código é capaz de corrigir κ erros, então as “esferas” centradas nos vetores-código não podem ser tocadas nem sobrepostas, tendo-se d > 2κ.

(47)

Cap´ıtulo 5

C´

odigos Lineares

Neste cap´ıtulo apresentaremos a classe de códigos denominada de Códigos Lineares. Defini¸cão 5.1. Um código C ⊂ Kn _ser´_{a chamado de c´}_{odigo linear se for um subespa¸co}

vetorial de Kn_.

O código do robô citado anteriormente, por exemplo, é um código linear, pois o alfa-beto nesse caso ´_{e A = F}2, o código é o subespa¸co vetorial de F52, que é a imagem da

transforma¸c˜ao linear

T : _F2

2 → F52

(x1, x2) 7→ (x1, x2, x1, x1+ x2, x2)

Pela defini¸cão, todo código linear é um espa¸co vetorial de dimensão finita. Seja κ a dimensão do código C e seja {v1, v2, . . . , vκ} base C, portanto, todo elemento de C se

escreve de modo ´unico na forma

λ1v1+ λ2v2+ · · · + λκvκ

onde os λi, i = 1, . . . , κ, s˜ao elementos de K. Segue da´ı que

M = |C| = qκ e, consequentemente,

dimKC = κ = logqqκ = logqM.

Defini¸c˜ao 5.2. Dado x ∈ Kn, define-se o peso de x como sendo o n´umero inteiro ω(x) := |{i : xi 6= 0} | = d(x, 0)

(48)

30 5. C´odigos Lineares

onde d representa a m´etrica de Hamming.

Defini¸c˜ao 5.3. O peso de um c´odigo linear C definido como inteiro

ω(C) := min{ω(x) : x ∈ C {0}.

Proposi¸c˜ao 5.4. Seja C ⊂ Kn _{um c´}_{odigo linear com distˆ}_{ancia m´ınima d. Temos que}

(i) ∀x, y ∈ Kn_{, d(x, y) = ω(x − y).}

(ii) d = ω(C).

Devido o item ii da Proposi¸cão 5.4, a distância m´ınima de um código linear C será também chamada de peso do código C. Em álgebra linear, existem duas maneiras práticas de descrever subespa¸cos vetoriais: uma como imagem, e outra como núcleo de trans-forma¸cões lineares. Veremos como se obtém a representa¸cão de C como imagem. Esco-lhemos uma base v1, v2, . . . , vκ de C e considere a aplica¸cão linear

T : Kκ _→ _Kn

x = (x1, x2, . . . , xκ) 7→ (x1v1+ x2v2+ · · · + xκvκ)

Então T é uma transforma¸cão linear injetora, cuja imagem é C.

Portanto, ter um c´odigo C ⊂ Kn_{de dimens˜}_{ao κ ´}_{e equivalente a ter uma transforma¸c˜}_ao

linear injetora

T : Kκ → Kn

com C = Im(T ).

Ele é denominado de forma paramétrica, pois os elementos de C são parametrizados pelos elementos x de Kκ_{. Agora veremos como representar como n´}_{ucleo da transforma¸c˜}_ao

linear. Tome um subespa¸co C0 de Kn _{complementar de C, isto ´}_e,

C ⊕ C0 = Kn, e considere a aplica¸c˜ao linear

H : C ⊕ C0 → Kn−k

(49)

9(= qκ = 32) elementos, por ter dimensão 2 sobre um corpo de 3 elementos. Uma representa¸cão paramétrica é dada por

x1v1+ x2v2

O código C é o núcleo da transforma¸cão linear

H : _F4

3 → F23

x = (x1, . . . , x4) 7→ (2x1+ 2x2+ x3, 2x1 + x2+ x4)

5.1 Equivalˆ

encia de C´

odigos

A no¸cão de equivalência de códigos usa o conceito de isometria.

Defini¸cão 5.6. Sejam A um alfabeto e n um número natural. Diremos que uma fun¸cão F : An → An _´_{e uma isometria de A}n _{se ela preserva a distˆ}_{ancia de Hamming. Em}

s´ımbolos:

d(F (x), F (y)) = d(x, y) ∀ x, y ∈ An. Algumas propriedades conhecidas da isometria s˜ao:

Proposi¸c˜ao 5.7.

1. Toda isometria ´e uma bije¸c˜ao.

2. A fun¸c˜ao identidade ´e uma isometria.

3. Se F é uma isometria, então F−1 é uma isometria. 4. Se F e G são isometrias, então F ◦ G é uma isometria.

Dado a permuta¸c˜ao π de {1, . . . , n}, denotemos Tπ(a1, . . . , an) = (aπ(1), . . . , aπ(n)). Se

f : A =⇒ A ´e bije¸c˜ao, definimos T_fi(a1, . . . , an) = (a1, . . . , f (ai), . . . , an).

Defini¸c˜ao 5.8. Dados dois c´odigos C e C0 em An_{, diremos que C}0 _´_{e equivalente a C se}

existir uma isometria F de An _{tal que F (C) = C}0_.

O estudo mais aprofundado sobre a isometria costuma ser feita em livros sobre espa¸cos m´etricos.

(50)

32 5. C´odigos Lineares

Teorema 5.9. Seja F : An → An _{uma isometria, ent˜}_{ao existem uma permuta¸}_c˜_{ao π de}

{1, . . . , n} e bije¸c˜oes fi de A, i = 1, . . . , n, tais que

F = Tπ ◦ Tf11 ◦ · · · ◦ T

n fn.

Corol´ario 5.10. Sejam C e C0 dois c´odigos em An_{. Temos que C e C}0 _s˜_{ao equivalentes}

se, e somente se, existem uma permuta¸c˜ao π de {1, . . . , n} e bije¸c˜oes f1, . . . , fn de A tais

que

C0 = {(fπ(1)(xπ(1)), . . . , fπn(xπ(n))) : (x1, . . . , xn) ∈ C}.

Defini¸cão 5.11. Seja K um corpo finito. Dois códigos lineares C e C0 são linearmente equivalentes se existir uma isometria linear T : Kn_{→ K}n _{tal que T (C) = C}0_.

Pelo Teorema 5.9, segue que dois códigos lineares C e C0 em Kn são linearmente equi-valentes se, e somente se, existir uma permuta¸cão π de {1, . . . , n} e elementos c1, . . . , cn

de K\{0} tais que

C0 = {(c1xπ(1), . . . , cnxπ(n)) : (x1, . . . , xn) ∈ C}.

Logo, dois códigos são linearmente equivalentes se, e somente se, cada um deles pode ser obtido do outro por uma sequência de opera¸cões do tipo:

i. Multiplica¸cão dos elementos numa dada posi¸cão por um escalar não nulo.

ii. Permuta¸cão das posi¸cões das palavras do código, por uma permuta¸cão de {1, 2, . . . , n} aplicado em todas as palavras do código.

5.2 Matriz Geradora de um C´

odigo

Sejam K um corpo finito com q elementos e C ⊂ Kn _{um c´}_{odigo linear. Denominamos}

parâmetros do código linear C à terna de inteiros (n, κ, d), onde κ é a dimensão de C sobre K, e d representa a distância m´ınima de C (que é igual ao peso ω(C)). O número de elementos M de C é igual a qκ_{. Seja β = {v}

1, . . . , vκ} uma base ordenada de C e

considere a matriz G, cujas linhas s˜ao os vetores vi = (vi1, . . . , vin), i = 1, . . . , κ, isto ´e,

G =     v1 .. . vk     =     v11 v12 · · · v1n .. . ... . .. ... vk1 vk2 · · · vkn    

A matriz G é chamada de matriz geradora de C associada à base β. Considere a trans-forma¸cão linear definida por

(51)

código de canal e a transforma¸cão T , uma codifica¸cão.

Duas matrizes geradoras de um mesmo código C podem ser obtidas uma da outra por uma sequência de opera¸cões do tipo:

(L1) Permuta¸c˜ao de duas linhas.

(L2) Multiplica¸cão de uma linha por um escalar não nulo. (L3) Adi¸cão de um múltiplo escalar de uma linha a outra.

Que s˜ao as opera¸c˜oes elementares usadas no processo de escalonamento.

Também podemos construir códigos a partir de matrizes geradoras G. Para isso, tome uma matriz cujas linhas são linearmente independentes e defina um código como sendo a imagem da transforma¸cão linear

T : Kκ _→ _Kn

x 7→ Gt_x

Exemplo 5.12. Tome K = F2 = Z2 e seja

G =    1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1   .

Considerando a transforma¸c˜ao linear T : F3

2 → F52

x 7→ Gt_x

e seja C = Im(T ), o código associado, por exemplo,a palavra 101 do código da fonte é codificada como 01010. Suponhamos agora que seja dado o código de canal 10101, e que gostar´ıamos de decodificá-la, isto ´_{e, achar x de F}3

2 tal que 10101 = T (x). Ent˜ao

precisamos resolver o sistema:

GT    x1 x2 x3   =         1 0 1 0 1        

(52)

34 5. C´odigos Lineares (x1, x2, x3)G = (10101), ou seja,                x1+ x2+ x3 = 1 x2+ x3 = 0 x1+ x3 = 1 x2+ x3 = 0 x1+ x3 = 1, Logo x1 = 1, x2 = 0 e x3 = 0.

Observe que efetuando opera¸c˜oes sobre as linhas de G do tipo L1, L2 e L3, podemos converter G na forma G0 =    1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1   .

que ´e a forma padr˜ao. Nesta forma, temos que G0Tx = (x1, x2, x3, x2, x3)

xG0 = (x1 x2 x3 x2 x3)

Assim, o vetor x é apenas as três primeiras componentes do vetor a ser decodificado. Logo, a palavra (10101) é facilmente decodificada como (101).

Defini¸cão 5.13. Diremos que uma matriz geradora G de um código C está na forma padrão se tivermos

G = (Idκ|A),

onde Idκ ´e a matriz κ × κ e A, uma matriz κ × (n − κ).

Dado um código C, nem sempre é poss´ıvel obter uma matriz geradora de C na forma padrão.

Exemplo 5.14. O c´_{odigo em F}5

2 com matriz geradora

0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

!

(53)

que é a matriz geradora na forma padrão de novo código C0 equivalente a C.

De modo geral, além das opera¸cões nas linhas, efetuamos também sequências de opera¸cões sobre as colunas do tipo:

(C1) permuta¸c˜ao de duas colunas,

(C2) multiplica¸c˜ao de uma coluna por um escalar n˜ao nulo,

obtemos uma matriz G0 de um c´odigo C0 equivalente a C. Com isso, temos o seguinte resultado:

Teorema 5.15. Dado um código C, existe um código equivalente C0 com matriz geradora na forma padrão.

5.3 C´

odigos Duais

Seja C ⊂ Kn _{um c´}_{odigo linear, definimos o c´}_{odigo dual como complemento ortogonal.}

C⊥= {v ∈ Kn : hu, vi = 0, ∀u ∈ C}.

As propriedades do complemento ortogonal costuma ser tratado no texto de ´algebra linear.

Lema 5.16. Se C ⊂ Kn _´_{e um c´}_{odigo linear, com matriz geradora G, ent˜}_ao

i) C⊥ ´e um subespa¸co vetorial de Kn_;

ii) x ∈ C⊥ ⇐⇒ Gx = 0.

Proposi¸c˜ao 5.17. Seja C ⊂ Kn_{um c´}_{odigo de dimens˜}_{ao κ com matriz geradora na forma}

G = (Idκ|A). Ent˜ao

i) dimC⊥= n − κ;

ii) H = (−A|Idn−κ) ´e uma matriz geradora de C⊥.

Lema 5.18. Seja C um c´odigo linear em Kn_{. Para toda permuta¸}_c˜_{ao σ de {1, . . . , n},}

(54)

36 5. C´odigos Lineares i) (Tσ(C))⊥= Tσ(C⊥) ii) (Tj c(C)) ⊥ _{= T}j c−1(C⊥)

Proposi¸cão 5.19. Sejam C e D dois códigos lineares em Kn que são linearmente equi-valentes, então C⊥ e D⊥ são linearmente equivalentes.

Lema 5.20. Suponha que C seja um c´odigo de dimens˜ao κ em Kn _{com matriz geradora}

G. Uma matriz H de ordem (n − κ) × n, com coeficientes em K e com linhas linearmente independentes, ´e uma matriz geradora de C⊥ se, e somente se,

GHt= 0.

Proposi¸cão 5.21. Seja C um código linear e suponhamos que H seja uma matriz gera-dora de C⊥. Temos então que

v ∈ C ⇐⇒ Hv = 0. Isto significa que H ´e matriz teste de paridade.

Exemplo 5.22. Seja dado o c´_{odigo C sobre F}2 com matriz geradora

G =    1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0   .

Como G está na forma padrão, podemos usar a Proposi¸cão 5.17 (ii) e ter a matriz teste de paridade H =    1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1   . Dados v = (100111) e v0 = (010101), como Hv =    0 0 0    e Hv 0 =    1 1 0   6= 0, temos que v ∈ C e v0 ∈ C./

A matriz teste de paridade de um código contém, de maneira bastante simples, in-forma¸cões sobre o valor do peso do código.

Teorema 5.23. Seja H a matriz teste de paridade de um código C. Então o peso de C é igual a s se, e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H são linearmente independentes.

(55)

Um c´odigo ser´a chamado de MDS (Maximum Distance Separable) se valer a igualdade d = n − κ + 1.

5.4 C´

odigos de Reed-Muller

Relembrando que os códigos de Reed-Muller foi usado pela sonda espacial Mariner 9 para transmitir fotos de Marte. Para ser transmitida, cada fotografia foi dividida em elementos pictográficos, ou pixels. Foi sobreposta à fotografia uma grade de 700 × 832 pixels, e en seguida associou-se a cada pixel um entre 64 tons de cinza, variando de brando (0) a preto (63). Sabendo que 64 = 26_{, usamos aritm´}_{etica bin´}_{aria para representar cada uma dessas}

tonalidades, onde o branco é 000000 e o preto é 111111. Podemos, então, reescrever esses 64 números bin´_{arios como vetores de Z}6

2 e codific´a-los usando um c´odigo que corrija tantos

erros quanto poss´ıvel. O código escolhido para ser usado no Mariner 9 pertence a uma grande fam´ılia de códigos que são mais facilmente definidos intuitivamente.

Defini¸cão 5.25. Os códigos de Reed-Muller (de primeira ordem) Rn são definidos

indu-tivamente por:

1 Para n = 0, R0 = Z2.

2 Para n ≥ 1, Rn´e o subespa¸co de Z2n2 cuja base ´e formada por todos os vetores da forma

" u u # e " 0 1 #

onde u é o vetor da base em Rn−1, 0 é o vetor nulo de Z2n−12 , e 1 é o vetor formado

por 1s em Z2n−12 .

Usando a defini¸c˜ao acima, construiremos R1 e R2, e verificaremos o tipo de vetores

que esses códigos contêm. Uma base para R0 = Z2 é somente {1}, portanto, uma base

para R1 ´e (" 1 1 # , " 0 1 #)

que gera o c´odigo

(56)

38 5. C´odigos Lineares R1 = (" 0 0 # , " 0 1 # , " 1 0 # , " 1 1 #) = Z2 2

Realizando o mesmo procedimento obter´ıamos a seguinte base para R2

                 1 1 1 1       ,       0 1 0 1       ,       0 0 1 1                 

e pela propriedade do fechamento para a adi¸cão, é fácil ver que os 8 = 23 _{vetores de}

R2 s˜ao R2 =                  0 0 0 0       ,       0 0 1 1       ,       0 1 0 1       ,       0 1 1 0       ,       1 0 1 0       ,       1 0 0 1       ,       1 1 0 0       ,       1 1 1 1                 

Em R1 todo vetor de c´odigo tem peso 1, exceto 0 e 1;e, em R2 todo vetor de c´odigo

tem peso 2, exceto 0 e 1. Essa ´e uma propriedade geral dos c´odigos de Reed-Muller. Observa¸c˜_{ao 5.26. O complemento de um vetor x de Z}n

2 ´e o vetor de x obtido trocando-se

todos os zeros por 1s, e vice-versa. Exemplo 5.27. x =       1 1 0 1       ⇐⇒ x =       0 0 1 0      

Observe que x = x + 1, onde 1 ´e o vetor formado inteiramente de 1s.

Teorema 5.28. Para n ≥ 1, o código de Reed-Muller Rn é um código linear (2n, n + 1)

no qual todo vetor de c´odigo, exceto o 0 e o 1, tem peso 2n−1.

Demonstra¸cão. Para demonstrar esse teorema vamos utilizar indu¸cão em n. Para n = 1 temos que R1 = Z22 é um código linear (2, 2) = (21, 1 + 1) para o qual todo vetor de código,

exceto o 0 e o 1, tem peso 1 = 21−1. Vamos assumir que o resultado é válido para n = k, ou seja, que Rk é um código linear (2k, k + 1) no qual todo vetor de código, exceto o 0 e

o 1, tem peso 2k−1. Agora, consideremos Rk=k+1.

Por constru¸c˜ao, Rk+1 tem uma base formada pelos vetores da forma

" u u

#

, onde u ´e

um elemento de Rk, juntamente com o vetor

" 0 1

#

(57)

1

Finalmente observemos que Rk+1 é um código linear (2k+1, k + 2). Para a afirma¸cão

final, observe que os vetores de Rk+1 s˜ao obtidos por combina¸c˜ao linear dos vetores da

base, e, portanto, s˜ao da forma

v = c1 " u1 u1 # + . . . +ck+1 " uk+1 uk+1 # + ck+2 " 0 1 # onde {u1, . . . , uk+1} com ci ∈ Z2.

Suponha que v 6= 0, 1 e seja u = c1 u1 + . . . + ck uk+1. Dessa forma, u ´e um elemento

de Rk. Se ck+2=0, então u 6= 0, 1, e, portanto, pela hipótese de indu¸cão, u tem peso 2k−1.

Mas ent˜ao v tem peso 2 · 2k−1_{= 2}k_{. Se c}

k+2 = 1, ent˜ao v tem a forma

v = " u u # + " 0 1 # = " u u + 1 # = " u u #

onde u ´e um elemento de Rk. Como

w(u) = 2k - w(u) temos que

w(v) = w(u) + w (u) = 2k

como quer´ıamos demonstrar. Logo, o teorema ´e verdadeiro para todo n ≥ 1.

Sabemos da introdu¸cão desta se¸cão que o Mariner 9 requeria um código com 64 = 26 vetores. Pelo teorema 5.28, o código de Reed-Muller R5 tem dimensão 6 sobre Z2.

5.5 Decodifica¸

c˜

ao de C´

odigos de Reed-Muller

Defini¸c˜ao 5.29. Uma matriz Hn de ordem n ´e uma matriz n × n formada pelos valores

1 e −1, cujas linhas tomadas duas a duas s˜ao ortogonais.

Isto significa que o produto interno sobre os números reais de linhas distintas é 0. No caso de dimensão ser potências de dois, podemos obter recursivamente por H1 = [1] e H2n =

"

Hn Hn

Hn −Hn

#

(58)

40 5. C´odigos Lineares H1 = [1] H2 = " 1 1 1 -1 # H4 =       1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1      

Uma defini¸cão equivalente é Hné uma matriz n × n com a entrada dos inteiros 1 e −1

tais que

HnHnT = nIn

Defini¸cão 5.31. A ordena¸cão adequada Pr de r-uplas é a ordena¸cão definida

recursiva-mente pelas regras (1) P1 = [0, 1]

(2) Se Pi = [b1, b2, . . . , b2i] ent˜ao P_i+1= [b₁0, b₂0, . . . , b₂i0, b₁1, b₂1, . . . , b₂i1], para 1 ≤ i ≤

r − 1.

Se inverter a ordem dos digitos, a ordena¸cão acima é a ordem crescente dos números binários associados.

Exemplo 5.32. P1 = [0, 1]

P2 = [00, 10, 01, 11]

P3 = [000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111]

Note que, se inverter a ordem dos d´ıgitos, o P3 corresponde a

[000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111] que é ordem crescente dos números binários associados.

Agora seja n = 2r_{, e sejam u}

0, u1, . . . , un−1 os r-uplas bin´arias numa ordem correta.

Constru¸c˜ao da matriz geradora de c´odigo

Seja Hr, a matriz de verificacao de paridade de Hamming(que n˜ao pode ser confundida

com matriz de Hadamard). Considere [Hr0], onde 0 ´e uma matriz coluna nula. Br´e uma

matriz ordenada de [Hr0] segundo a ordena¸cão da defini¸cão 5.31. Então a matriz geradora

de c´odigo de Reed-Muller R(1, r) ´e G = "

1 Br

#

Seja r o c´odigo recebido. Constru´ımos o vetor R tal que Ri = (−1)ri =

  

1, se ri = 0

−1, se ri = 1

Agora, obtemos o vetor ˆR = HR. Seja k, a coordenada do maior valor absoluto de ˆ

R e considere o vetor u da k-ésima coordenada de Br (ordenada). O código de canal é

(59)

Reordenando, temos B3 = _ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1   e consequentemente, a matriz

geradora do c´odigo ser´a B3 =

      1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1      

Suponha que foi recebido r = (01110110). A matriz de Hadamard de ordem 8 ´e

H8 =                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 1 −1                 Se r = (01110110) ent˜ao R = (1, −1, −1, −1, 1, −1, −1, 1), calculamos ˆR = HR. No nosso exemplo, ˆR = (−2, 2, 2, 6, −2, 2, 2, −2). Encontre a coordenada que tem o maior valor absoluto. No exemplo, ´e k = 4, pois

ˆ R4 = 6.

Considere o vetor u como a k-´esima coluna de Br. Nosso exemplo, ser´a a quarta coluna

que ´e u =    1 1 0   

c = P uivi onde vi ´e a i-´esima linha de G.

Ent˜ao c = 1v1 + 1v2 + 0v3 = [01010101] + [00110011] = [01100110] = (01100110).

Temos que o c´odigo da fonte ´_{e u ∈ Z}4

(60)

(61)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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