SIMULAÇÃO DE PROCESSOS DE SECAGEM ATRAVÉS DOS MODELOS MATEMÁTICOS EXPONENCIAL E DE PAGE
Drying Process Simulation Using Exponential and Page Mathematical Models
Camila Nicola Boeri Di DOMENICO1 Taís Maiara CONRAD2
RESUMO
Visando a melhor qualidade do produto e sua maior durabilidade, é necessário que este passe pelo processo de secagem, onde é retirada a umidade do mesmo. Este trabalho tem como objetivo estudar este processo, suas principais características e a realização de simulações da secagem de diversos produtos em variadas temperaturas pelos modelos matemáticos exponencial e de Page. Foram realizadas simulações de processos de secagem de diversos alimentos (a partir dos dados experimentais de secagem de abacaxi, bacalhau, café, microalga, quitosana, feijão preto e vermelho e amendoim, retirados da literatura e experimentos), através das quais foi possível perceber que o modelo exponencial é fiel até aproximadamente metade do tempo analisado, enquanto o modelo de Page é mais adequado se mostrando mais confiável do inicio ao fim do período analisado. Estas simulações foram realizadas utilizando como ferramenta de auxílio o Excel, onde foram construídos os gráficos e foram utilizadas algumas ferramentas de otimização, implementadas no software Matlab, em que foram encontrados os valores ótimos para as constantes k e z dos modelos utilizados. Para verificar a adequabilidade de cada modelo, foram utilizados como critérios o coeficiente de correlação de Pearson e o erro padrão médio. Os melhores ajustes são os que apresentam maior coeficiente de correlação (próximo à unidade) e menor erro médio (próximo a 10%).
Palavras-chave: Modelos matemáticos; secagem; simulação.
ABSTRACT
In order to better product quality and its durability, it is necessary that this go through the drying process, which is taken from the moisture of it. This work aims to study this process, its main characteristics and the simulations drying of various products at various temperatures by exponential and Page mathematical models. Various food drying processes simulations were performed (from experimental drying data of pineapple, codfish, coffee, microalgae, chitosan, black and red beans and peanuts, taken from the literature and experiments), through which it is noted that the exponential model is faithful to approximately half of the reporting period when the Page model is best suited proving more reliable from beginning to end of the reporting period. These simulations were performed using Excel as support tool, where were built the graphics and we used some optimization tools, implemented in Matlab software, in which were found the optimal values
1 Professora doutora do Departamento de Ciências Exatas e da Terra – URI Câmpus de Frederico Westphalen. E-mail: cboeri@uri.edu.br
2
Bolsista de Pesquisa PIIC e Acadêmica do Curso de Matemática – URI Câmpus de Frederico Westphalen. E-mail: tais_conrad@hotmail.com
for the constants k and z of the models used. To check the suitability of each model were used as criteria the Pearson correlation coefficient and the standard error. The best settings are with the highest correlation coefficient (close to unity) and lower mean error (near 10%).
Keywords: Mathematical models; drying; simulation.
1. INTRODUÇÃO
A secagem é uma operação básica e amplamente utilizada numa grande variedade de indústrias, incluindo produtos farmacêuticos, produtos químicos, alimentos, minerais, papel e celulose, madeira, têxteis e muitos outros. A importância das operações de secagem dentro de uma vasta gama de processos industriais é inquestionável: dependendo da indústria e da tecnologia, a secagem pode representar uma fração significativa do consumo de energia. A energia na secagem pode representar até 70% do total de energia utilizada na fabricação da maioria dos produtos de madeira, cerca de 50% na indústria de tecidos, 27% na indústria de produção de papel e aproximadamente 33% na indústria da produção de celulose. No entanto, e devido à complexidade do seu comportamento dinâmico, o controle da secagem é provavelmente uma das áreas menos estudadas. Conforme Siettos, Kiranoudis e Bafas (1999), para esta ausência muito contribui a complexidade da modelagem dinâmica, devido à natureza das equações diferenciais parciais altamente não-lineares utilizadas na descrição de transferência de calor e massa, envolvendo coeficientes de transporte e propriedades termo físicas fortemente relacionadas com a temperatura e teor de umidade do material.
O processo de secagem consiste em retirar a umidade dos produtos para a sua melhor conservação e qualidade. Este processo pode ser natural ou artificial. O primeiro resume-se à exposição do produto úmido ao sol e ao vento; o segundo ao controle das características do ar de secagem (temperatura e movimentação). Os principais fatores que influenciam o processo de secagem são: temperatura, velocidade do ar, umidade relativa e pressão. Quanto maior for a temperatura, mais rápido ocorre o processo. Já a velocidade do ar influencia na primeira etapa, quando se dá a transferência da umidade da superfície do produto para o ar de secagem. A umidade relativa é determinante no teor de umidade atingido pelo produto no final do processo. E a pressão influencia a relação de equilíbrio da água.
Dependendo do material a ser seco, o processo de secagem pode levar um tempo muito elevado, o que dificulta a obtenção de dados para obter a cinética de secagem. Neste sentido, a simulação matemática torna-se fundamental para a descrição deste comportamento.
O estudo de sistemas de secagem, o seu dimensionamento, otimização e a determinação da viabilidade de sua aplicação comercial podem ser feitos por simulação matemática (Afonso Junior e Correa, 1999). Para a simulação, utiliza-se um modelo matemático que representa satisfatoriamente a perda de umidade do produto durante o período de secagem, bem como, pode também simular-se a evolução de outros parâmetros com modelos mecanísticos ou teóricos, tais como temperatura, taxa de umidade local, pressões parciais ou totais, entre outros. (BOERI, 2012, p.88). Dentre os modelos matemáticos utilizados para a simulação do processo de secagem, estes podem ser classificados em empíricos, semi-empíricos e analíticos.
Tendo em vista o exposto, no presente trabalho é feita a simulação do processo de secagem para diferentes produtos (abacaxi, bacalhau, café, microalga, quitosana, feijão preto e vermelho e amendoim), utilizando os modelos matemáticos semi-empíricos de secagem exponencial e de Page. O objetivo é estimar os parâmetros ótimos dos modelos para cada produto, a partir de dados experimentais obtidos da literatura e de experimento realizado em laboratório (secagem de amendoim), comparando estes dados com os obtidos pela simulação e verificar a sua adequabilidade
a cada processo através de análise estatística.
2. REVISÃO DE LITERATURA
A produção de grãos ou sementes requer que o produto seja colhido sadio e antecipadamente, visando minimizar as perdas ocasionadas no campo pelo ataque de insetos, doenças e microrganismos; desta maneira e devido ao teor de umidade elevado por ocasião da colheita, a secagem constitui uma das operações de primordial importância entre as técnicas envolvidas na conservação das qualidades desejáveis de produtos de origem vegetal.
O processo de secagem consiste em retirar a umidade do interior de um alimento. Este utiliza-se do ar como meio de condução do calor e transferência do excesso de água do alimento até a atmosfera. Durante a secagem, para que haja evaporação da umidade do produto para a atmosfera, a água deve ser transportada do interior até a superfície, ou seja, a secagem de produtos agrícolas pode ser definida como um processo simultâneo de transferência de calor e massa entre o produto e o ar de secagem.
Quando se fala em secagem de alimentos, podemos citar duas formas: natural e artificial.
A secagem natural é aquela em que é realizada por meio da radiação solar. É muito utilizada na secagem de alimentos como milho, feijão, café, cacau; porém, a grande desvantagem desse método é que é extremamente dependente das condições climáticas.
A secagem artificial é aquela em que utiliza-se de artifícios para aumentar o teor e a velocidade de secagem dos alimentos sem que haja interferência climática, sendo que estes equipamentos de secagem denominam-se secadores.
Existem inúmeros métodos de secagem que podem ser utilizados para o fornecimento de calor ao material a ser seco, dentre eles podemos citar um dos mais comuns, que é a secagem por convecção, que, basicamente é o ar quente passando pelo material a ser seco, fazendo com que a umidade evapore e seja expelida para fora do secador.
Temos também a secagem por radiação que tem os mesmos princípios da secagem por convecção, porém, esta é realizada através do emprego de materiais como radiadores de baixa temperatura e lâmpadas de quartzo de alta temperatura como forma de fornecimento de radiação infravermelha.
Outro método de secagem utilizado é a secagem por liofilização, que é utilizada quando o material a ser seco não pode ser exposto ao calor, mesmo em temperaturas baixas. Esta é a que menos agride o material, que consequentemente, tem uma maior qualidade final, porém, tem um custo bastante alto, pois baseia-se na sublimação da água congelada do material colocado em uma câmara de secagem onde a pressão é abaixo do ponto tríplice da água. A energia requerida é geralmente suprida por radiação ou condução de bandejas aquecidas a taxas nas quais a temperatura do material não ultrapasse o valor de 0°C. A umidade se condensa em placas refrigeradas localizadas em uma câmara do secador longe do material ou em um condensador separado.
A retirada de água do interior do produto causa, também, a perda de massa do mesmo, resultado da evaporação que ocorre durante o processo. Tem-se como exemplo a soja, cujo teor de umidade ideal para armazenagem é de 9% até 13% mas, muitas vezes, esta é colhida com o triplo da umidade adequada para armazenamento.
Além de minimizar as perdas no campo, a secagem permite também a armazenagem do produto por períodos mais longos. Esta redução da umidade que armazena-se no interior do produto ocasiona um aumento da qualidade final e a valorização monetária do mesmo.
Porém, caso essa secagem seja inadequada, ou muitas vezes ausente, a deterioração do produto, falando-se em quantidade, é bastante alta durante o armazenamento.
2.1 Modelos matemáticos de secagem
A otimização, determinação de viabilidade, dimensões e estudo dos sistemas de secagem podem ser determinados pelo processo de simulação matemática (Afonso Júnior, P.C. e Corrêa, P.C., 1999). Para realizar a simulação de um processo é necessário utilizar um modelo matemático que melhor descreva a situação de secagem de um determinado produto. Além de realizar a medição da secagem, é possível analisar através dos modelos outras variáveis como temperatura, velocidade do ar, umidade relativa do ar, etc.
Existem diferentes modelos matemáticos que são usados para determinar os processos de secagem, dentre eles estão os modelos semi-empíricos, empíricos, analíticos e RNA – Redes Neurais Artificiais.
Conforme Boeri (2012), os modelos semi-empíricos oferecem um compromisso entre a teoria e a aplicação, porém não consideram toda a complexidade do fenômeno. Estes modelos são conhecidos como leis exponenciais de secagem e baseiam-se, de modo geral, na analogia com a lei de resfriamento de Newton, considerando-se que a taxa de secagem é proporcional à diferença entre o teor de água atual e o teor de água em equilíbrio:
Quando se aplica esta lei, presume-se que as condições sejam isotérmicas e que a resistência à transferência de umidade se restrinja apenas à superfície do produto (Brooker et al., 1992). A sua utilização é frequente na modelagem de secagem de produtos agroalimentares. Entre os modelos semi-empíricos, o modelo de Dois Termos, o de Henderson e Pabis, o de Lewis, o de Page e o de Page Modificado, têm sido amplamente utilizados (Panchariya et al., 2002).
Os modelos analíticos consideram o transporte de massa e calor dentro do produto e consistem em sistemas de equações diferenciais resultantes da aplicação de princípios de conservação de massa, energia e espécie química e de modelos de transporte no interior do material a secar. No entanto a sua utilização pressupõe o conhecimento das propriedades termo físicas relevantes dos produtos a secar bem como a sua dependência funcional em função da temperatura e do teor de água neles contido, o que nem sempre é conhecido para o produto em questão. Os modelos analíticos que descrevem a taxa decrescente de secagem de um sólido consideram, geralmente, como mecanismo principal, a difusão baseada na segunda Lei de Fick, que expressa que o fluxo de massa por unidade de área é proporcional ao gradiente de concentração de água (Romero-Peña e Kieckbusch, 2003; Park et al., 2002).
De acordo com Boeri (2012), os modelos puramente empíricos são obtidos por ajustes estatísticos de resultados obtidos experimentalmente em diferentes condições externas de temperatura, umidade e velocidade do ar de secagem e negligenciam a resistência interna à transferência de massa e de calor, o que permite considerar a umidade e a temperatura constantes para todo o material. Estes modelos relacionam o teor de umidade e o tempo de secagem com dados obtidos experimentalmente para várias temperaturas, mas não podem dar uma visão clara e exata dos processos que ocorrem durante a secagem. Um exemplo de utilização de modelagem empírica é representado pelo modelo de Wang e Singh (1978), do tipo:
em que t é o tempo de secagem (h) e a e b são constantes do modelo.
Por fim, as Redes Neurais Artificiais (RNA) são modelos matemáticos que se assemelham a estruturas neurais biológicas e que têm capacidade computacional adquirida por meio de aprendizagem e generalização (Karrer et al., 2005). A modelagem através da utilização de
RNA surgiu como alternativa para processos onde o enfoque fenomenológico era considerado complexo. Inicialmente, as RNA foram utilizadas como reconhecedora de padrões, com capacidade de reconhecer dados que até então não lhe foram apresentados. A previsão de comportamento de processos tecnológicos por redes neurais tem mostrado excelentes coeficientes de correlação em comparação com modelos matemáticos fenomenológicos. A sua aplicação na tecnologia de secagem de alimentos tem vindo a tornar-se frequente como se pode verificar pelo número crescente de publicações na área.
Segundo Boeri (2012), as RNA caracterizam-se pela aprendizagem por meio de exemplos. Para um determinado conjunto de dados, o algoritmo de aprendizagem deve ser responsável pela adaptação dos parâmetros da rede, de maneira a que, num número finito de iterações do algoritmo, haja convergência para uma solução. O critério de convergência varia de acordo com o algoritmo e com o paradigma de aprendizagem, mas pode envolver, por exemplo, a minimização de uma função-objetivo, a variação do erro de saída ou mesmo a variação das magnitudes dos vetores de peso da rede. Basicamente, considera-se que o processo de aprendizagem tem como característica a ocorrência de estímulo da rede pelo meio externo através da apresentação do conjunto de dados. Como consequência deste estímulo, o algoritmo de aprendizagem provoca mudança nos parâmetros da rede e, finalmente, a mudança nos parâmetros acarreta uma mudança no comportamento da RNA. Espera-se que a mudança gradual no comportamento da rede resulte numa melhoria gradual do seu desempenho. Segundo Kovacs (1996), a modificação do processamento ou da estrutura de conhecimento de uma rede neural envolve a alteração do seu padrão de interconexão. Em princípio, isto pode ser feito de três maneiras: desenvolvimento de novas conexões; perda de conexões existentes na rede ou modificação dos pesos das conexões já existentes. O objetivo principal da aprendizagem em redes neurais é a obtenção de modelos com boa capacidade de generalização tendo como base o conjunto de dados.
3. OBJETIVOS
• Realizar ensaios experimentais de secagem de amendoim;
• Utilizar modelos semi-empíricos (Exponencial e de Page) para simulações de secagem de diferentes tipos de produtos;
• Estimar os parâmetros ótimos de cada modelo. 4. MATERIAIS E MÉTODOS
4.1. Secagem experimental de amendoim
Sabendo da importância do processo de secagem para a qualidade final do produto, estudou-se este procedimento, visando demonstrar como o mesmo ocorre, através de experimentos de secagem com grãos de amendoim, que foram realizados no Laboratório de Materiais, da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Câmpus de Frederico Westphalen, utilizando-se uma estufa para a realização do processo.
A partir dos dados de umidade em cada instante de tempo, foi calculada a umidade adimensional do amendoim, através da equação:
Onde é a umidade do produto em determinado instante; a umidade final e é a umidade inicial do produto.
4.2. Simulações realizadas
Através de dados retirados da revisão de literatura e do experimento realizado, foi possível simular e analisar as curvas de secagem tendo como base o modelo matemático exponencial e o modelo de Page. A adequabilidade a cada processo foi verificada através de análise estatística.
Para realizar as simulações dos processos de secagem, foram utilizados diversos produtos, como feijão preto e vermelho, abacaxi, café, microalgas e quitosana, conforme Tabela 1.
Tabela 01: Produtos utilizados nas simulações
Produto Fonte
Abacaxi Rodrigues (2006)
Amendoim (Experimento próprio)
Bacalhau Boeri (2012)
Café Santos (2011)
Feijão Preto (35º) Resende et al. (2008) Feijão Preto (45º) Resende et al. (2008) Feijão Vermelho (35º) Resende et al. (2008) Feijão Vermelho (45º) Resende et al. (2008)
Microalgas Oliveira (2006)
Quitosana Batista (2004)
A secagem utilizando o modelo exponencial leva em consideração que a taxa de secagem é proporcional à diferença entre o teor atual de umidade em cada instante de tempo e o teor de água em equilíbrio, cujo modelo é dado por:
em que t é o tempo de secagem, em horas; k é a constante do modelo, que depende do processo de secagem (em h-1) e do tipo de produto; é a umidade do produto, adimensional.
Já o modelo matemático de Page é dado por:
Onde é o tempo de secagem, em horas; e são constantes que dependem do processo de secagem (em ) e do tipo de produto.
A partir dos dados experimentais de secagem de abacaxi, bacalhau, café, microalga, quitosana, feijão (preto e vermelho), amendoim retirados da literatura e experimentos, para a realização das simulações com o modelo exponencial de secagem e com o modelo de Page, foi necessário obter os valores ótimos da constante k do modelo para cada produto. Os parâmetros para o modelo foram estimados utilizando-se um algoritmo implementado através da função fminsearch das ferramentas de otimização (Coleman et al., 1999) do software Matlab
(Mathworks, 1997), utilizando-se para tanto, os dados experimentais.
4.3. Análises estatísticas
Foram utilizados como critérios o coeficiente de correlação de Pearson e o erro padrão médio. Os melhores ajustes são os que apresentam maior coeficiente de correlação (próximo à unidade) e menor erro médio (próximo a 10%).
Coeficiente de correlação de Pearson
em que Valor observado experimentalmente; Valor previsto pelo modelo; número de pontos; média aritmética dos valores observados; média aritmética dos valores previstos.
Erro padrão médio
5. RESULTADOS
5.1. Resultados experimentais da secagem do amendoim
Os dados obtidos para a secagem de amendoim são mostrados na tabela 1: Tempo (min) Massa (g) Umidade
(%) Umidade Adimensional 0 602,57 15,59599 1 10 591,57 14,71643 0,826553138 20 582,57 13,99678 0,684642069 30 575,25 13,41148 0,569221066 40 571,77 13,13322 0,514348786 50 568,08 12,83816 0,456165248 60 565,27 12,61348 0,411857458 70 562,80 12,41 597 0,37291 0754 80 560,80 12,25605 0,341374961 90 558,79 12,09533 0,309681 488 100 556,97 11,94981 0,280983917 110 556,37 11,90183 0,271523179 120 554,48 11,75071 0,241721854 130 552,86 11,62117 0,216177862
140 551,30 11,49643 0,191579943 150 549,89 11,38369 0,169347209 160 548,68 11,28694 0,150268054 170 547,76 11,21337 0,135761589 180 546,33 11,09903 0,113213497 190 545,27 11,01427 0,096499527 200 544,24 10,93192 0,080258594 210 543,36 10,86155 0,066382845 220 542,20 10,7688 0,048092085 230 541,48 10,71123 0,036739199 240 540,76 10,65365 0,025386313 250 540,09 10,60008 0,014821823 260 539,15 10,52492 0
Tabela 1: Dados experimentais da secagem do amendoim
5.2. Resultados das simulações
5.2.1. Simulações com o modelo matemático exponencial de secagem
Foram construídos os gráficos comparativos entre as curvas de secagem experimentais e simuladas pelo modelo exponencial, conforme figuras 1 a 5:
Gráfico 1: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo exponencial para a secagem de a) Abacaxi e b) Amendoim
Gráfico 2: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo exponencial para a secagem de a) Bacalhau e b) Café
Gráfico 3: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo exponencial para a secagem de: a) Feijão preto à 35º C e b) Feijão preto à 45º C
Gráfico 4: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo exponencial para a secagem de: a) Feijão vermelho à 35º C e b) Feijão vermelho à 45º C
Gráfico 5: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo exponencial para a secagem de: a) Microalgas e b) Quitosana
5.2.2. Simulações com o modelo matemático de Page
Foram também construídos os gráficos comparativos entre as curvas de secagem experimentais e simuladas para o modelo de Page, de acordo com as figuras 6 a 10:
Gráfico 6: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo de Page para a secagem de: a) Abacaxi e b) Amendoim
Gráfico 7: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo de Page para a secagem de: a) Bacalhau e b) Café
Gráfico 8: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo de Page para a secagem de: a) Feijão preto à 35º C e b) Feijão preto à 45º C
Gráfico 9: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo de Page para a secagem de: a) Feijão vermelho à 35º C e b) Feijão vermelho à 45º C
Gráfico 10: Comparação entre dados experimentais e simulados pelo modelo de Page para a secagem de: a) Microalgas e b) Quitosana
6. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Tendo como base os estudos e simulações realizadas, foi possível analisar que o modelo exponencial é fiel até, aproximadamente, a metade do tempo analisado em todas as simulações, uma vez que, leva em conta apenas uma variável, desconsiderando totalmente a ação da umidade relativa do ar, a velocidade do vento e a temperatura ambiente.
A partir das simulações realizadas com o modelo exponencial para os diferentes produtos, obteve-se a seguinte tabela para os valores ótimos do parâmetro k bem como para as análises estatísticas da comparação entre os dados experimentais e os simulados pelo modelo.
Produto Parâmetro k Coeficiente de Correlação de Pearson Erro padrão médio Abacaxi 0,206 0,983 4,48% Amendoim 0,013 0,992 3,50% Bacalhau 0,015 0,987 2,49% Café 0,565 0,962 10,42% Feijão Preto (35°) 0,320 0,991 4,35% Feijão Preto (45°) 0,550 0,973 7,36% Feijão Vermelho (35°) 0,363 0,991 4,86% Feijão Vermelho (45°) 0,620 0,996 1,36%
Microalga Spirulina platensis 0,021 0,996 2,53% Quitosana de resíduos de camarão 2,244 0,999 1,48%
Tabela 2: Análise das simulações pelo modelo exponencial
Nas simulações de todos os produtos pelo modelo de Page, percebe-se que este se mostrou confiável do início ao fim do tempo analisado.
A partir das simulações realizadas com o modelo de Page para os diferentes produtos, obteve-se a seguinte tabela para os valores ótimos dos parâmetro e bem como para as análises estatísticas da comparação entre os dados experimentais e os simulados pelo modelo.
Produto Parâmetro k Parâmetro z
Coeficiente de Correlação de Pearson Erro padrão médio Abacaxi 0,14 1,48 0,993 3,92% Amendoim 0,00999 1,05 0,991 3,94% Bacalhau 0,04 0,66 0,998 0,60% Café 0,79 0,8794 0,951 11,53% Feijão Preto (35°) 0,45 0,60 1,000 0,71% Feijão Preto (45°) 0,43 0,68 0,955 7,52% Feijão Vermelho (35°) 0,51 0,60 1,000 0,74% Feijão Vermelho (45°) 0,63 0,87 1,000 0,47% Microalga 0,030 0,90 0,998 1,82% Quitosana 2,50 1,20 1,000 0,62%
Tabela 3: Análise das simulações pelo modelo de Page
Quando comparados ambos os modelos, o de Page apresenta, no geral, melhores resultados em relação ao modelo exponencial.
7. CONCLUSÃO
No presente artigo, são apresentadas as simulações realizadas para a secagem de diferentes produtos, tendo como base os dados constantes na literatura revisada e no experimento realizado em laboratório.
Para as simulações dos diversos processos de secagem, foram utilizados os modelos semi-empíricos exponencial e de Page e encontrados os valores ótimos para as constantes dos modelo para cada produto.
A partir dos resultados obtidos, verifica-se que os modelos apresentam bons resultados, levando-se em conta que eles contemplam em sua função apenas a variável tempo e as constantes do processo e do tipo de produto, desconsiderando totalmente a ação da umidade relativa do ar, a velocidade do vento e a temperatura do ar ambiente. Neste sentido, o modelo de Page apresenta melhor adequabilidade quando comparado ao modelo exponencial.
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