Curso Online Sistema Financeiro do Mercado de Capitais Banco de Desenvolvimento do Estado de Minas Gerais Teoria e Exercícios Prof.

Olá pessoal!

Primeiramente irei fazer uma breve apresentação. Meu nome é César de Oliveira Frade, sou funcionário de carreira do Banco Central do Brasil aprovado no concurso de 1997. No início de 2010, retornei ao Banco Central após ficar cedido por alguns anos a outro órgão federal e de ter gozado licença interesse para dar aulas para concursos públicos.

De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais na Secretaria de Política Econômica do Ministério da Fazenda, auxiliando em todas as mudanças legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham ligação direta com o Conselho Monetário Nacional – CMN.

Sou professor de Finanças, Microeconomia, Macroeconomia, Conhecimentos Bancários, Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobiliários, Estatística e Econometria. Leciono na área de concursos públicos desde 2001, tendo dado aula em mais de uma dezena de cursinhos em várias cidades do país, desde presenciais até via satélite.

No início da carreira pública, trabalhei com a emissão de títulos da dívida pública externa no Banco Central do Brasil, assim que tomei posse.

Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG. Possuo uma Pós-graduação em Finanças e Mercado de Capitais pelo IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e Futuros – BM&F e uma especialização em Derivativos Agrícolas pela Chicago Board of Trade – CBOT1_{. Sou Mestre em Economia}2 _{com ênfase em Finanças na}

Universidade de Brasília e o Doutorado, pela mesma Universidade, está faltando apenas a defesa da Tese3_{, sendo que os créditos já foram concluídos.}

Possuo um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas escritas que elas transcorram como conversas informais. Entretanto, quando

1

A Chicago Board of Trade - CBOT é a maior bolsa de derivativos agrícolas do mundo.

2

A dissertação “Contágio Cambial no Interbancário Brasileiro: Uma Análise Empírica” defendida em 2003 foi publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Estudos Econômicos e em alguns dos mais importantes Congressos de Economia da América Latina – LAMES. Versava sobre o risco sistêmico a ser propagado via mercado de câmbio e as contribuições da Câmara de Compensação de Câmbio da BM&F para a mitigação desse risco.

3

tenho que dar aulas de Teoria, gosto de explicar não apenas a matéria, mas também a forma como vocês devem raciocinar para acertar a questão. Acredito que todos aqui estão muito mais interessados em passar no concurso do que aprender toda a matéria.

Desta forma, estarei fazendo uma mescla entre um papo informal (papo que ocorrerá sempre que for possível) e a teoria formal. Mas nunca deixarei de ensinar qual o raciocínio que vocês devem utilizar para acertar as questões. Acredito que a matéria sendo exposta de forma informal torna a leitura mais tranqüila e isso pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral. Exatamente por isso, utilizo com freqüência o Português de uma forma coloquial.

Assim, a “Aula Demonstrativa” mostrará para vocês um pouco do que será esse curso. Será uma aula bem menor que as outras, mas é apenas para vocês sentirem o gostinho de que essa matéria não é tão complicada como a maioria pensa. Não há a necessidade de nenhum conhecimento prévio de do assunto.

Serão pelo menos, 320 páginas dissecando o assunto de forma clara e objetiva, mostrando a vocês como devem raciocinar para conseguir êxito na prova. Além disso, nestas aulas resolveremos mais de 100 questões acerca de todos os assuntos.

As questões serão TODAS de provas anteriores e das mais variadas Bancas. Utilizarei poucas questões do CESPE. Essas serão utilizadas quanto achar que o assunto abordado na mesma é muito importante para a aula e não conhecer questão de outra banca com o assunto.

Conteúdo Programático (uma aula a cada 10 dias4_):

Aula 0 – 10/03/2011

Teoria das Carteiras: Risco, Retorno – Parte 1 Aula 1 – 10/04/2011

Teoria das Carteiras: Risco, Retorno – Parte 2

4

Se alguma aula estiver marcada para algum sábado, domingo ou feriado, ela será liberada ATÉ o dia útil seguinte. Caso já tenha sido elaborada, será liberada no dia útil anterior.

Aula 2 – 20/04/2011

Segmentação do Mercado Financeiro: Mercado monetário, Mercado de crédito, Mercado de câmbio, Mercado de capitais – Parte 1

Aula 3 – 30/04/2011

Segmentação do Mercado Financeiro: Mercado monetário, Mercado de crédito, Mercado de câmbio, Mercado de capitais – Parte 2

Aula 4 – 10/05/2011

Abertura de Capital de Empresas: Companhia aberta, Desenvolvimento das sociedades anônimas, Abertura de capital na estratégia empresarial; Títulos do Mercado de Capitais: Ações, Debêntures, Commercial Paper. Operacionais do Mercado Acionário: Mercado à vista, Mercado futuro

Aula 5 – 20/05/2011

Operações no Mercado de Derivativos: Conceito, Mercado a termo, Mercado de opções

Aula 6 – 30/05/2011

Fundos de Investimentos em Ações: Conceito, Tipos de fundos de investimentos em ações, Gestão ativa e passiva de fundos de investimentos. Aula 7 – 10/06/2011

Análise fundamentalista: Conceito: Formação do preço justo de uma ação, Aspectos a serem observados na análise de uma empresa; Formas de Financiamento: Conceito, Venture Capital, Incubadoras de empresas, Factoring.

Aula 8 – 20/06/2011

Agentes e Instituições Normativas: Conselho monetário nacional, Banco central, Comissão de valores mobiliários, BNDES. Sistema Financeiro Nacional: Formação de poupança, Alocação da poupança e investimento, Importância econômica do Sistema Financeiro Nacional

Espero que este curso seja bastante útil a você e que possa, efetivamente, auxiliá-lo na preparação para o concurso do Banco de Desenvolvimento do Estado de Minas Gerais - BDMG e na conseqüente conquista da tão sonhada

vaga. Saliento que as aulas aqui postadas estão sendo preparadas para o curso on-line do Ponto dos Concursos. Lembro que é sempre importante se preparar com antecedência para concursos dessa magnitude. As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, a que todos os matriculados terão acesso.

As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para:

cesar.frade@pontodosconcursos.com.br

Finalmente, gostaria de dizer a vocês que muito mais do que saber toda a matéria, é importante que você saiba fazer uma prova e esteja tranqüilo neste momento! Portanto, tente aprender a matéria mas certifique-se que você entendeu como deve proceder para marcar o “X” no lugar certo. Não interessa saber a matéria, interessa marcar o “X” no lugar certo e ver o nome na lista.

Prof. César Frade Março/2011

1. Noções de Risco e Retorno

Qualquer criança, por menor que seja, sabe que para se obter um retorno além daquele normalmente conseguido com qualquer atividade, deverá correr um risco adicional. Na verdade, o que devemos mensurar é se o retorno adicional alcançado compensa o risco adicional que está sendo corrido.

Observe que nunca tratamos as coisas de forma absoluta, mas sim de forma relativa. Eu, em geral, não quero saber se vale a pena correr o risco X para se obter o retorno Y. Eu possuo um “status quo”, uma situação inicial, e o que me interessa é o diferencial para essa posição inicial, ou seja, o interessante é sempre a situação marginal.

Observe. Você já pode ter pedido demissão do seu trabalho para estudar. A sua decisão de estudar ou não para um concurso X não leva em consideração o trabalho que você tinha, não considera o risco que você poderia correr ao pedir a demissão para estudar para concurso. O que você poderá levar em consideração são as opções que você tem dada aquela situação original. E não ache que esse conceito de risco serve apenas para mercado financeiro ou avaliação de investimentos. Não é assim, em tudo na sua vida você leva em consideração os riscos que estará incorrendo e os benefícios que estará recebendo por ter corrido aquele risco.

Entretanto, a forma de “sentir” aquele risco adicional não é a mesma nas mais diversas pessoas. Algumas possuem uma maior quantidade de “coragem”, outras não possuem praticamente nenhuma. Esse diferente modo de perceber o retorno adicional que está sendo gerado, faz com que a decisão seja diferente para cada um dos agentes envolvidos.

Em muitos dos exemplos abaixo estarei utilizando exemplos de mercado financeiro, bolsas de valores pois são situações clássicas em que a relação risco e retorno é diferente para as mais diversas pessoas.

Por exemplo. Talvez nós dois, eu e você, tenhamos opiniões bastante diferentes a respeito de risco em aplicações. Eu acredito (e isso é verdade), como já deve ter notado, que aplicar na Bolsa é uma operação que não envolve muitos riscos de longo prazo, enquanto que comprar uma padaria envolve um risco muito maior. Isso não é novidade para vocês. No entanto,

também acho que aplicar o dinheiro em imóvel me gera um risco e uma rentabilidade de longo prazo menor do que aplicar na ação da VALE, por exemplo.

Tenho certeza que muitos de vocês começaram a pensar, agora, no momento em que o Collor confiscou a poupança dos brasileiros com o objetivo de tirar a minha razão. A solução encontrada por você pode ser a de colocar o dinheiro em um imóvel ao invés de deixá-lo nos Bancos ou mesmo nas Bolsas que sofreriam bastante com uma medida como essa.

Entretanto, se você comprasse um apartamento com o objetivo de proteger o seu recurso de um possível confisco, a única coisa que você não estaria fazendo seria protegendo o seu dinheiro. Não o protegeria porque você teria ao invés de um recurso confiscado, um apartamento. Mas para ter os recursos novamente, teria que vender esse apartamento. Como praticamente todas as pessoas tiveram seus recursos confiscados, você não conseguiria vender seu apartamento e se vendesse, o preço seria muito abaixo daquele conseguido dias antes do confisco. Teria solução para não perder dinheiro? Sim, colocar ele debaixo do colchão e torcer para ninguém te roubar.

Observe como as pessoas possuem uma avaliação diferente do grau de risco. Escrevi tudo isso de propósito, pois é exatamente o que penso e sei que é muito diferente do que muitos pensam. Eu não estou errado e nem você está errado, apenas temos uma percepção diferente de risco, apenas isso.

O que você acha de combinarmos de fazer uma escalada no Monte Everest? Como você analisaria uma proposta como esta, supondo que você tenha preparo físico para fazer a caminhada. Na verdade, existem inúmeros riscos envolvidos no percurso, seja ele por causa da falta de oxigênio dada a altitude, seja pelo risco de tempestade, seja pelas fendas que podem ser encontradas no meio do caminho, entre outros. Todos esses riscos podem acabar ocasionando a morte do alpinista que, teoricamente, é o maior risco que um ser humano pode vir a correr. Eu tenho a minha resposta a essa proposta ou alguma parecida e para isso levo em consideração o risco e o benefício.

Então porque alguém toparia correr este tipo de risco? Seria pelo simples fato de escalar a maior montanha do mundo, tirar uma foto e voltar para casa? A resposta para isso está na diferente percepção de risco que as pessoas têm e,

principalmente, na diferente forma de encarar um determinado retorno. Algumas pessoas topam fazer esse tipo de caminhada porque acreditam que apesar de estarem incorrendo em um risco elevado, o retorno que terão obtido ao conseguir êxito na caminhada é tão grande que compensa esse risco. Outras pessoas, no entanto, não topariam fazer a escalada em uma parede da academia, pois acreditam que existe um risco de tomar uma queda e vir a quebrar o braço, a perna ou se machucar e a satisfação gerada (retorno) não irá compensar o “risco” ao qual foi submetido.

Imagine um casal muito bem casado, ricos e bonitos e que se dão super bem. Porque que um deles iria trair o outro? Na verdade, aqui nós temos mais uma questão de risco e retorno. Um dos dois para vir a trair, no entanto, estará ciente que está correndo um risco enorme e que fica ainda maior pelo fato de considerarem que a união entre eles é bastante satisfatória. Por outro lado, a pessoa com quem um dos dois terá uma relação terá algumas características muito especiais, pois caso isso não seja verdade, o retorno obtido não irá compensar o risco da “operação”.

Entretanto, se duas pessoas estão em um casamento ruim, eles estão muito mais propícios em trair um ao outro. Isso ocorre porque há uma redução sensível do risco, pois caso seja descoberto, haverá um prejuízo, mas que a pessoa não considera como sendo tão grande. Dessa forma, a pessoa acabará sendo menos seletiva, obterá um retorno menor, mas ainda assim estará traindo, pois o retorno, mesmo sendo baixo, compensa o risco.

Mas como podemos pensar nisto no mercado de capitais? Como podemos pensar nessa situação na administração financeira de uma empresa? Deve ser exatamente essa pergunta que você deve estar se fazendo. Vamos comparar o mercado de renda variável (mercado acionário) e o mercado de renda fixa (títulos públicos, por exemplo).

Muitas pessoas dizem que aplicar no mercado acionário é algo muito arriscado e que não têm coragem de colocar seus recursos nesse mercado. É claro que parte disto se deve ao fato de as pessoas não saberem exatamente onde estão aplicando seus recursos. No entanto, essas mesmas pessoas aplicam em fundo de investimento de renda fixa e não sabem se o seu fundo adquire títulos públicos ou Certificados de Depósitos Bancários (CDB) de um banco pequeno e

prestes a quebrar. Com certeza, comprar CDB dessa instituição financeira é muito mais arriscado do que comprar ações da Vale ou Petrobrás.

O que podemos concluir é que essas pessoas já ouviram muito falar em mercado de ações, estão sempre vendo os jornais e sabendo, diariamente, quando que o índice subiu ou caiu. Ouvem falar que isso é algo arriscado e que podem perder dinheiro. Com base nessas informações, opta por não investir em ações. Não devemos levar em consideração raciocínios como esse, pois não há uma percepção correta do risco.

No entanto, existe uma outra classe de pessoas, aquelas que sabem do risco inerente ao mercado acionário, mas que compreendem o seu grau de retorno. Algumas pessoas optam por aplicar no mercado acionário porque acreditam que, no longo prazo, o retorno será bastante satisfatório e vale a pena correr esse risco. Outras pessoas conhecem o risco e sabem da possibilidade de retorno, mas acham que o risco é alto para eles e, portanto, preferem investir no mercado de renda fixa, preferem o certo ao duvidoso.

Veja que não estou tecendo uma crítica a quem acha que o mercado de ações é arriscado. Critico aquele que diz que é arriscado sem nunca ter parado para pensar o que, na verdade, ele está comprando. Se uma pessoa conhece o mercado, sabe das vantagens mas opta por não aplicar no mercado de ações porque ele acredita que seu estômago não suportaria aquele tipo de aplicação, aí sim ele está olhando para o risco e o benefício da aplicação.

Tenho um caso curioso aqui. Conheço uma pessoa que é dona de um curso presencial para concurso público. É notório que esse tipo de empreendimento dá um bom retorno. No entanto, os alunos acreditam que o risco é baixo. Não, o risco inerente a um projeto como esse é alto pois existe um custo fixo enorme embutido naquilo. Em geral, quanto maior o custo fixo maior o risco do negócio. Essa pessoa tem um curso mas não coloca um centavo de seus recursos no mercado acionário, exatamente pelo fato de achar muito perigoso o mercado acionário.

Sendo assim, temos sempre que levar em consideração em nossas decisões uma análise mínima de risco e retorno. Somente devemos fazer alguma coisa se o retorno a ser obtido com aquela ação superar, na sua análise, o risco que estamos incorrendo. Ou seja, nunca podemos ou devemos correr um risco

demasiado mesmo que o retorno que venhamos a ter seja gigante, pois o prejuízo que podemos adquirir pode nos causar algum tipo de dificuldade e transtorno.

Um exemplo prático. Recentemente, um fundo de investimento em ações vinha, ano após ano, batendo recordes de rentabilidade. Várias pessoas estavam colocando seus recursos nesse fundo, mas não estavam lendo seu regulamento e prospecto. Esse fundo era alavancado e se fizesse a aposta na direção correta poderia ter uma rentabilidade 3 a 4 vezes maior que a rentabilidade obtida no mercado acionário. Isso é fantástico, mas desde que o administrador do fundo acerte o que vai acontecer. Se ele apostar errado, pode ser um desastre.

De repente, em meados de 2008, o mercado começou a mudar, despencar e o fundo gerou um prejuízo de 95% do capital em 3 meses. Ou seja, um fundo com rentabilidade campeã e que existia há 10 anos, viu toda a riqueza de seus cotistas desaparecerem em 3 meses. Porque isso?? Porque incorreram em um grande risco e que daria um enorme retorno se a aposta fosse correta. Infelizmente para os cotistas, a aposta foi errada com a crise.

Fato semelhante podemos falar sobre o Avestruz Master. É ou foi um bom negócio? Quer saber se eu aplicaria? Claro que foi um bom negócio para quem conseguiu tirar o dinheiro antes. Eu, talvez, topasse aplicar mas pouco e por um prazo muito curto mas desde que tivesse alguma informação adicional daquela que era dada. Era notório que uma hora iria estourar.

Existem dois tipos possíveis de questões para o tópico de risco x retorno: a qualitativo e o quantitativo. A análise qualitativa foi a efetuada acima e vocês terão que fazer uma análise do possível “caso” que o examinador está contando. Por outro lado, para fazermos a análise quantitativa do risco e retorno é necessário um conhecimento básico de Estatística Descritiva. É exatamente isso que tentarei passar para vocês no tópico seguinte.

É importante esclarecer que estaremos usando a estatística como uma ferramenta para chegarmos naquilo que procuramos. Portanto, estarei suprimindo explicações importantes e algumas vezes colocando de forma superficial a matéria, mas o intuito é te mostrar de forma rápida quais são as ferramentas, como utilizá-las e quando sem tecer maiores comentários.

2. Estatística Descritiva – Medidas de Tendência Central e Medidas Dispersão

2.1. Medidas de Tendência Central

Uma medida de tendência central ou de posição de um conjunto de dados mostra o valor em torno do qual se agrupam as observações. As principais medidas de tendência central são a média aritmética, a mediana e a moda. Também são bastante utilizadas a média ponderada, que é uma variação da média aritmética, a média geométrica e a média harmônica.

Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de tendência central juntamente com as medidas de dispersão, de assimetria e de concentração, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatória e concisa o conjunto de que dispomos.

Os diversos tipos de média são as medidas de tendência central mais usadas para descrever resumidamente uma distribuição de freqüência. Veremos, a média aritmética simples e a ponderada, que nada mais é do que uma variação da simples, a média geométrica e a média harmônica.

Entretanto, é necessário esclarecer que uma média não é melhor que a outra, ou seja, apesar da média mais comum ser a média aritmética, isto não a deixa melhor do que a média geométrica, por exemplo. Uma média será mais conveniente para a situação apresentada do que a outra. Isso dependerá apenas das características dos dados apresentados. É importante frisarmos que não há nenhum tipo de hierarquia entre as médias.

Se os dados apresentados forem de inflação, a média mais conveniente é a geométrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de uma classe, a média mais conveniente seria a aritmética. E, às vezes, a média também não é a melhor medida de tendência central. Imagine se quisermos representar o salário dos brasileiros por um único número. Será que seria interessante calcularmos a média aritmética dos salários dos brasileiros e dizer que este número representaria bem? A resposta é não, na verdade, a mediana

representaria de forma bem mais satisfatória o salário dos brasileiros. Quando há alguns dados que são muito dispersos, talvez seja um bom momento para se usar uma mediana.

Entretanto, no nosso curso de Finanças usaremos, praticamente, apenas a média aritmética, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma revisão das medidas de tendência central.

i. Média Aritmética

A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em “média”.

A média aritmética simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos valores de um conjunto e o número total de elementos.

Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o número de questões acertadas por um candidato nas últimas cinco provas de português, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um número que poderia representar bem esse conjunto?

Devemos representar essas notas pelo resultado da média aritmética simples conforme abaixo:

9

5

45

5

11

11

9

8

6

+

+

+

+

₌

₌

=

x

Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma média de acertos igual a 9 e que ela pode considerar esse número para a próxima prova. No entanto, isso serve apenas para fazer uma previsão de quantas questões ela acertará na próxima para saber se ela precisa ou não estudar mais.

Genericamente, podemos representar a média aritmética com a seguinte fórmula:

N

x

x

N i i

∑

=

=

1

A média possui algumas propriedades úteis que explicam porque ela é a medida de tendência central mais usada:

a) a média pode sempre ser calculada;

b) a média de um dado conjunto é sempre única;

c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os valores do conjunto um valor y qualquer, a nova média desse mesmo conjunto será a média anterior somada (subtraída, multiplicada ou dividida) de y;

d) a média é uma medida sensível que é afetada por todos os valores do conjunto.

Se ao invés de utilizarmos a média aritmética para calcular um número que representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a média aritmética ponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.

Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto tiverem pesos ou freqüências diferentes. No exemplo acima, podemos usar a média ponderada desde que façamos a seguinte análise:

Notas 6 8 9 11

Frequência5 _{1 1 1 2}

Dessa forma, a média aritmética se calculada da forma ponderada seria:

9

5

45

5

2

11

1

9

1

8

1

6

×

+

×

+

×

+

×

₌

₌

=

x

Portanto, a fórmula a ser usada na média aritmética ponderada é a seguinte:

5

N

f

f

f

x

x

k i i k i i k i i i

=

⋅

=

∑

∑

∑

= = = 1 1 1

sendo

,

ii. Média Geométrica

A média geométrica de n valores é definida como a raiz n-ésima do produto de todos eles. É uma medida mais central quando as observações apresentam uma taxa constante de crescimento em função do tempo, ou seja, é a medida mais adequada quando as taxas crescem com capitalização composta (exponencial).

No entanto, é importante ressaltar que esse tipo de média não aceita observações menores ou iguais a zero. Uma aplicação freqüente da média geométrica é no cálculo da taxa equivalente de uma operação financeira.

Podemos representar a média geométrica simples da seguinte forma:

n n n n i i g x x x x x =

∏

= ⋅ ⋅ ⋅ = L 2 1 1

Se calcularmos a média geométrica desse conjunto de dados, apesar de não fazer nenhum sentido, dada a natureza dos números, teríamos:

78

,

8

11

11

9

8

6

5

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

g

x

iii. Média Harmônica

A média harmônica de um conjunto é o inverso da média aritmética dos inversos, ou seja:

∑

=

=

+

+

+

=

_n i i n h

x

n

n

x

x

x

x

1 2 1

1

1

1

1

1

L

Com números iguais àqueles que foram dados no conjunto acima, a média harmônica seria igual a 8,55.

Apesar de não fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as médias geométrica e harmônica de um conjunto de notas, fizemos os cálculos apenas para mostrar que:

x

x

x

h

≤

g

≤

2.2. Medidas de Dispersão

Quando comparamos vários conjuntos de números, além da informação com relação ao “centro” do conjunto, devemos também avaliar o grau de dispersão dos dados. Essa dispersão nos indicará se os valores estão relativamente próximos uns dos outros ou não.

Antigamente, quando íamos aos bancos, deveríamos formar filas separadas para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila é formada normalmente. Apesar desse fato não ter alterado o tempo médio de espera, fez com que a variação de tempo que passamos na fila tenha diminuído consideravelmente, pois a partir daí o tempo de espera não mais dependia da eficiência da pessoa que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam na minha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os clientes ficam muito mais satisfeitos.

Nos interessam, em princípio, a variância e o desvio-padrão de um conjunto de dados. Além deles, a correlação e a covariância.

i. Variância

A variância nos mostra a média do quadrado da distância em relação à média que é representada pela seguinte fórmula:

(

)

n x x n i i

∑

= − = 1 2 2 σ ou

( )

n n x x n i n i i i

∑

∑

= = − = 1 1 2 2 2 σ ii. Desvio-Padrão

O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância e nos mostra a raiz quadrada da média do quadrado da distância em relação à média que é representada pela seguinte fórmula:

(

)

n x x n i i

∑

= − = 1 2 σ ou

( )

n n x x n i n i i i

∑

∑

= = − = 1 1 2 2 σ iii. Covariância

Temos ainda que considerar as fórmulas tanto da covariância quanto da correlação para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteiras em Finanças. Dessa forma, seguem abaixo as duas fórmulas6_:

(

) (

)

n x x x x n i B B i A A i B A

∑

= − ⋅ − = 1 , σ 6

Devido ao fato de que esta matéria (finanças) apenas utiliza ferramentas da Estatística, caso você tenha alguma dúvida em relação aos conceitos estatísticos sugiro dar uma olhada em algum material específico do assunto.

iv. Correlação

A correlação é a razão entre a covariância existente entre duas grandezas e o produto dos seus desvios.

B A B A B A _{σ σ} σ ρ ⋅ = , ,

3. Retorno Esperado e Retorno Médio de um Ativo

Inicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja, qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade, esperamos que o retorno médio de uma carteira seja dado pela média aritmética dos retornos dos ativos que compõem essa carteira.

Há uma diferença entre esses dois conceitos, mas não vejo necessidade em me aprofundar nisso nessa matéria. Talvez fosse algo a ser estudado de forma mais profunda em Estatística. Aqui, acredito que devo apenas salientar que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador Esperança utilizado em Estatística. Dessa forma, estaríamos informando o quanto esperamos para o retorno futuro de um portfólio.

Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Médio estamos calculando a média do retorno de uma carteira, de um portfólio. Nesse caso, estaríamos nos referindo a uma média aritmética mesmo.

Imagine a situação em que podem ocorrer 3 cenários possíveis, sendo cada um deles com uma probabilidade específica de ocorrência e um dado retorno conforme descrito abaixo:

Cenário Probabilidade Retorno

Crescimento 0,30 20%

Estabilidade 0,20 10%

Recessão 0,50 5%

Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperança de Retorno de um ativo dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenários e as respectivas probabilidades de ocorrência desse cenário, conforme colocado acima?

Observe que existem três cenários possíveis para a economia de um país. No caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrerá, dada a situação atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ação em questão (ou portfólio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliação feita, o crescimento da economia dará ao ativo a possibilidade de ter seu preço majorado em 30%.

Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no período. Ou seja, as avaliações feitas por analistas estão prevendo que mesmo que não ocorra crescimento na economia, essas ações podem ter seus preços majorados em 10%.

Ocorrendo uma recessão e a probabilidade de ocorrência deste fato é de 50%, analistas esperam um retorno de 5% para as ações dessa empresa.

Dessa forma, devemos utilizar a seguinte fórmula para determinarmos a Esperança de Retorno desta carteira:

[ ]

_∑

[ ]

= ⋅ = N i i i p p E R R E 1

Essa fórmula prevê que a Esperança de Retorno de um ativo p (pode ser de um portfólio ou carteira também) é dada pela média ponderada dos retornos quando da ocorrência de cada evento i.

Portanto, a Esperança do Retorno será:

[ ]

[ ]

[ ]

10,5% % 5 , 2 % 2 % 6 % 5 50 , 0 % 10 20 , 0 % 20 30 , 0 = + + = × + × + × = p p p R E R E R E

Observe que esse cálculo é do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrências futuras da ocorrência de um evento e, daí, retirando uma base para a valorização do ativo.

Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno médio de uma ação, devemos utilizar dados históricos para efetuarmos o cálculo. Essa estimativa será dada pela média aritmética dos retornos. Observe que a partir do momento em que estamos interessados no retorno médio do ativo como uma

proxy para um provável retorno futuro estamos partindo do pressuposto de

que o mercado, em um futuro próximo, se comportará de forma similar ao seu comportamento passado.

O preço das ações, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No entanto, um dos problemas existentes é qual seria o prazo ideal para se fazer o estudo. Deveríamos retirar os dados de fechamento diário de pregão do último mês, dos últimos três meses, doze meses. Ou os dados seriam do fechamento do pregão apenas do último dia do mês. Enfim, essas são decisões que após serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioria passe a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado. Veja na tabela abaixo o preço de fechamento do último pregão do mês das ações da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.

Data Preço de Fechamento Retorno Mensal 30/07/2010 42,67 31/08/2010 41,43 -2,91% 30/09/2010 46,30 11,75% 29/10/2010 47,75 3,13% 30/11/2010 48,00 0,52%

O retorno mensal das ações é calculado da seguinte forma7_:

% 52 , 0 0052 , 0 1 75 , 47 00 , 48 % 13 , 3 0313 , 0 1 30 , 46 75 , 47 % 75 , 11 1175 , 0 1 43 , 41 30 , 46 % 91 , 2 0291 , 0 1 67 , 42 43 , 41 = = − = = = − = = = − = − = − = − = NOV OUT SET AGO x x x x

Portanto, o retorno médio das ações da VALE5 negociadas no IBOVESPA nos quatro primeiros meses desse ano foi de8_:

% 12 , 3 4 % 52 , 0 % 13 , 3 % 75 , 11 % 91 , 2 1 = + + + − = =

∑

= VALE N i i x x x

A média de 3,12% mostra que o retorno médio mensal da VALE entre os meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao mês.

7

Essa forma mostrada é como você deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma forma com logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso não vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto.

8

Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhável utilizar uma média geométrica, utilizamos com freqüência a média aritmética, pois os dados são muito próximos.

É muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparação do preço de fechamento do último pregão de Novembro de 2010 com o preço de fechamento do último pregão de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que o preço da ação ficou praticamente estável, tendo um pequeno recuo.

Em novembro de 2007, a ação da VALE chegou ao preço R$ 52,15, enquanto que três anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, é possível mostrar a vocês que nos últimos 13 anos as ações da companhia deram uma rentabilidade enorme. Nas aulas de matemática financeira voltarei a abordar esse tópico de forma aplicada.

4. Retornos das Carteiras de Ativos

Uma carteira de ações é composta por um conjunto de ações que são ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cada um dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno médio de uma carteira devemos calcular a média ponderada dos retornos dos ativos que compõem a carteira.

Dessa forma, a fórmula a ser utilizada no cálculo do retorno médio da carteira é:

∑

= ⋅ = N i i i p X R R 1

Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das ações A e B conforme descrito abaixo:

Retorno de A Retorno de B 5% 4% 10% -3% 8% 8% -3% 3% Assim, temos: % 3 4 % 3 % 8 % 3 % 4 % 5 4 % 3 % 8 % 10 % 5 = + + − = = − + + = B A R R

Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no ativo B, teremos que o retorno médio dessa carteira será:

% 20 , 4 % 2 , 1 % 0 , 3 % 3 40 , 0 % 5 60 , 0 = + = × + × = p p p R R R

Por outro lado, vamos imaginar um situação em que tenhamos dois ativos e os possíveis retornos desses ativos para cada uma das situações hipotéticas possíveis para o futuro. Veja abaixo:

Cenário Probabilidade Retorno A Retorno

B

Crescimento 0,30 20% -10%

Estabilidade 0,20 10% 8%

Devemos utilizar o operador esperança para poder encontrar o retorno esperado de cada ativo. Dessa forma, a fórmula a ser utilizada é:

[ ]

_∑

[ ]

= ⋅ = N i i i p p E R R E 1

O Retorno esperado do ativo A é:

[ ]

[ ]

[ ]

10,5% % 5 , 2 % 2 % 6 % 5 50 , 0 % 10 20 , 0 % 20 30 , 0 = + + = × + × + × = p p p R E R E R E

O Retorno esperado do ativo B é:

[ ]

(

)

[ ]

(

)

[ ]

8,1% % 5 , 10 % 6 , 1 % 3 % 21 50 , 0 % 8 20 , 0 % 10 30 , 0 = + + − = × + × + − × = p p p R E R E R E

Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40% aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:

% 54 , 9 % 24 , 3 % 30 , 6 % 1 , 8 4 , 0 % 5 , 10 6 , 0 1 = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ =

∑

= p p p N i i i p R R R R X R

Isso significa que com uma aplicação de 60% dos recursos no ativo A e 40% no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no período em questão.

Questão 1

(ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de retorno de uma certa ação.

Cenário Probabilidade Retorno

1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86% b) 5,5% e 8,66% c) 4,0% e 25% d) 4,0% e 10,86% e) 4,0% e 8,66%

QUESTÕES RESOLVIDAS

Questão 1

(ESAF – BACEN – 2001) – Um analista acredita que a tabela apresentada a seguir é uma descrição satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de retorno de uma certa ação.

Cenário Probabilidade Retorno

1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86% b) 5,5% e 8,66% c) 4,0% e 25% d) 4,0% e 10,86% e) 4,0% e 8,66% Resolução:

Observem que nesse caso temos os cenários, as probabilidades de ocorrência de cada um dos cenários e retorno esperado neles. Devemos calcular, em primeiro lugar, a esperança de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos a seguinte fórmula:

[ ]

_∑

[ ]

= ⋅ = N i i i p p E R R E 1

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

(

)

[ ]

[ ]

4,0% % 5 , 4 % 5 , 1 % 5 , 0 % 5 , 1 % 15 30 , 0 % 5 30 , 0 % 2 25 , 0 % 10 15 , 0 1 = + + − − = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = ⋅ =

∑

= p p p N i i i p R E R E R E R E p R E

Com isso, vemos que a esperança de retorno do ativo é de 4,0%.

Uma dica: Sempre que estiver fazendo as questões, não vá simplesmente resolvendo-as. Resolva as questões, voltando sempre às possíveis respostas, e eliminando aquelas que não mais podem ser contempladas.

Com isso, temos que as únicas respostas possíveis são as letras c, d e e. Passemos agora ao cálculo do desvio-padrão esperado.

( )

( )

[

]

∑

= − ⋅ = N i p i i E R E R p 1 2 2 σ

Com o objetivo de simplificar a notação, a partir deste momento estarei colocando essa fórmula apenas como:

(

)

2 1 2

∑

= − ⋅ = N i p i i R R p σ

Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas, ao invés de usar o número correto (15%=0,15), utilize os números multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E lembre-se daquelas propriedades estatísticas que dizem que:

• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo número, a média fica multiplicada por esse número.

• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo número, a variância fica multiplicada pelo quadrado desse número.

• Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo número, o desvio-padrão fica multiplicado por esse número.

Portanto, ao invés de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%, utilizaremos um conjunto que será igual ao produto desses retornos pelo número 100, ou seja, -109_{, 2, 5 e 15.}

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 11 30 , 0 1 30 , 0 6 25 , 0 14 15 , 0 4 15 30 , 0 4 5 30 , 0 4 2 25 , 0 4 10 15 , 0 ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅ = − ⋅ =

∑

= σ σ σ N i p i i R R p

Sou obrigado a abrir mais um parênteses nessa Resolução. A primeira pergunta que você tem que responder é a seguinte: Você deseja fazer a questão corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?

Eu, César, não quero fazer a questão corretamente e, portanto, não preciso ensinar vocês a fazerem corretamente. Minha intenção é ensinar vocês a ganharem o ponto, ensinar vocês a criarem atalhos importantes para minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questão.

Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno que fala assim: “Professor, eu quero aprender”. E acho que a melhor resposta é: “você vai aprender mas o melhor agora é passar e depois que estiver com esse ótimo salário, você acaba de aprender tudo, ok?”

Então...Antes de continuar vocês têm duas opções. Ou aprendem a fazer raiz quadrada pois estamos calculando a variância e a resposta é o desvio-padrão ou, então, aprender a acertar a questão sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda, mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler a questão, basta acabar de efetuar os cálculos.

Vocês concordam que se a resposta é o desvio-padrão, o examinador está nos perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta pegarmos as respostas possíveis e elevá-las ao quadrado que acharemos o valor daquilo que foi calculado, e aí é só marcar a resposta.

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Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e. Certo?

A letra c informa que o desvio-padrão seria 25%. Como multiplicamos todos os elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos também ficará multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveríamos encontrar o desvio-padrão igual a 25. Se o desvio é 25, logo a variância é igual a 252 = 625.

De forma análoga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso cálculo seria de 10,86. A variância seria igual a 10,862 = ESQUECE (não faça a conta). Sabemos que 10,86 está entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 está entre 10010 _{e 121 e mais próximo de 121 pois 10,86 está mais próximo de 11 do que} de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. Tá bom assim para vocês? Para mim, está ótimo.

Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso cálculo seria de 8,66. Como 8,66 está entre 8 e 9, os cálculos deverão mostrar algum número entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 é igual a uns 75.

Vocês entenderam o espírito da coisa? Queremos acertar a questão e não fazê-la corretamente. Observe que temos três resultados possíveis e nossos cálculos nos levarão a um valor próximo dos três números citados, ou seja, 625, 115 ou 75. Veja que esses três números são muito distantes, logo, não precisamos calcular corretamente o valor da variância. Podemos arredondar tudo.... Veja.

(

)

( )

121 30 , 0 1 30 , 0 36 25 , 0 196 15 , 0 11 30 , 0 1 30 , 0 6 25 , 0 14 15 , 0 2 2 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = σ σ

Se você fizer as operações indicadas acima, acertará as questões mas gastará muito tempo. Você de cabeça não consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo? Mas como temos uma boa folga nas possíveis respostas, podemos transformar essa operação em 0,15 x 200, assumindo que 196≅200_{. Assim fica muito mais} rápido e sabemos que esse valor é igual a 30.

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No segundo termo, não precisamos alterar, pois seus resultado é simples, igual a 9. O terceiro termo é igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo, 0,30 é igual a zero. No último termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30 x 120 = 36.

Entenderam a lógica?? Não?? Se não entenderam, façam seus cálculos normalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo de questão que será bem mais fácil. Terminando a questão (fazendo as contas com os arredondamentos): 75 36 0 9 30 120 30 , 0 0 30 , 0 36 25 , 0 200 15 , 0 2 2 ≅ + + + ≅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅ σ σ

Sendo assim, encontramos que o gabarito é a letra E pois o desvio-padrão é igual a 8,66%.

Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, não teriam chutado tão bem, não é mesmo?

Eu não tenho e nem quero ensinar vocês apenas a matéria. O importante é que vocês tenham condições de minimizar o tempo com que fazem a prova e acho que isso é meu papel também. Sei que alguns não gostam, por isso, sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questão, após ter desenvolvido ela de tal forma que só faltaria acabar os cálculos.

Então pessoal, é isso. Essa foi a primeira aula, um esboço daquilo que vocês verão ao longo do curso. É claro que, como já foi dito, teremos muito mais questões resolvidas para ajudar vocês a fazerem a prova.

Escolhi um tema, na primeira aula, que poucos de vocês conhecem ou estudaram. Isso foi de propósito e se deve ao fato de que assim, poderiam avaliar melhor a minha didática ao transmitir assuntos ainda não vistos.

Irei fazer uma resolução completa das questões. Não me limitarei apenas a resolvê-las. Irei também dar várias dicas de como resolver, como utilizar os atalhos, e qual a forma que vocês devem raciocinar para que possam conseguir ter tranquilidade para acertar a questão sem demorar muito tempo. Como vocês viram, tento fazer uma conversa, algo informal para que o aprendizado seja um pouco mais simples e fácil. Acho que esta forma tem dado bons resultados. Espero com isso, ajudar vocês a conquistarem uma vaga.

Vamos tentar fazer dessas aulas artigos com leitura agradável, apesar do tema desagradar muitos.

Um grande abraço e encontro vocês na primeira aula, em Abril. César Frade