Uma visita à Dinâmica Simplética

Uma visita à Dinâmica Simplética

Naiara Vergian de Paulo Costa

UFSC-Blumenau

Colóquio do Departamento de Matemática - UFSC 04 de novembro de 2016

Sistemas Dinâmicos

Geograa: crescimento demográco

Biologia: densidade populacional de espécies

Economia: comportamento do mercado nanceiro

Fluxos

M: variedade diferenciável X: campo vetorial suave sobre M

X : p_{7→ X (p) ∈ T}pM

M

p

Fluxos

M: variedade diferenciável X: campo vetorial suave sobre M

M

ϕ

(t) = X(ϕ(t))

ϕ(t)

Fluxos

M: variedade diferenciável X: campo vetorial suave sobre M

M

ϕ

(t) = X(ϕ(t))

ϕ(t)

Fluxos

M

p

ϕ

(t)

Órbita de X pelo ponto p: Op={ϕp(t), t∈ R}

Fluxos

M

p

ϕ

(t)

Variedades simpléticas

Denição (Variedade simplética (M, ω))

M uma variedade diferenciável ω uma 2-forma sobre M:

ωx : TxM× TxM → R bilinear e anti-simétrica

ω é umaforma simplética sobre M se: ω é não-degenerada: ker ω = {0} ω é fechada: dω = 0

Variedades simpléticas

Denição (Variedade simplética (M, ω))

M uma variedade diferenciável ω uma 2-forma sobre M:

ωx : TxM× TxM → R bilinear e anti-simétrica

ω é umaforma simplética sobre M se: ω é não-degenerada: ker ω = {0} ω é fechada: dω = 0

Exemplos de variedades simpléticas

Fibrado cotangente T∗_{W com coordenadas locais}

(x₁, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) ω_can= n X i =1 dxi ∧ dξi

Exemplos de variedades simpléticas

Fibrado cotangente T∗_{W com coordenadas locais}

(x₁, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) ω_can= n X i =1 dxi ∧ dξi

Exemplos de variedades simpléticas

Fibrado cotangente T∗_{W com coordenadas locais}

(x₁, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn)

ω_can=

n

X

Propriedades das variedades simpléticas

Seja (M, ω) uma variedade simplética. dim(M) = 2n é par

ωn é forma de volume em M

Teorema de Darboux: Quaisquer duas variedades simpléticas de mesma dimensão são localmente equivalentes no sentido simplético.

Nem toda variedade de dimensão par admite uma estrutura simplética:

Propriedades das variedades simpléticas

Seja (M, ω) uma variedade simplética. dim(M) = 2n é par

ωn é forma de volume em M

Teorema de Darboux: Quaisquer duas variedades simpléticas de mesma dimensão são localmente equivalentes no sentido simplético.

Nem toda variedade de dimensão par admite uma estrutura simplética:

Propriedades das variedades simpléticas

Seja (M, ω) uma variedade simplética. dim(M) = 2n é par

ωn é forma de volume em M

Teorema de Darboux: Quaisquer duas variedades simpléticas de mesma dimensão são localmente equivalentes no sentido simplético.

Nem toda variedade de dimensão par admite uma estrutura simplética:

Fluxos Hamiltonianos

Denição (Sistema Hamiltoniano (M, ω, H))

(M, ω) variedade simplética H : M _{→ R função suave}

XH é umcampo Hamiltoniano em M se:

iXHω = dH

Fluxo Hamiltoniano: uxo ϕH associado a XH

Função Hamiltoniana: H : M → R

Fluxos Hamiltonianos

Denição (Sistema Hamiltoniano (M, ω, H))

(M, ω) variedade simplética H : M _{→ R função suave}

XH é umcampo Hamiltoniano em M se:

iXHω = dH

Fluxo Hamiltoniano: uxo ϕH associado a XH

Função Hamiltoniana: H : M → R

Fluxos Hamiltonianos

Denição (Sistema Hamiltoniano (M, ω, H))

(M, ω) variedade simplética H : M _{→ R função suave}

XH é umcampo Hamiltoniano em M se:

iXHω = dH

Fluxo Hamiltoniano: uxo ϕH associado a XH

Função Hamiltoniana: H : M → R

Fluxos Hamiltonianos

O uxo Hamiltoniano preserva osníveis de energia H−_1(c),

c _{∈ R.}

H

_(c

₎

H

(c

)

Sistemas Hamiltonianos em (R

_{, ω}

)

Considere R2n _{com coordenadas (q1, . . . , q}

n, p1, . . . , pn) munido de ω₀= n X i =1 dqi∧ dpi

Seja H : R2n_{→ R uma função suave.}

Campo Hamiltoniano: XH = J0∇H =  0 Id −Id 0   DqH DpH  Equações de Hamilton:          ˙ qi = ∂H ∂pi ˙ pi =− ∂H ∂qi i =1, . . . , n

Exemplos em R

_{, ω}

= dq

∧ dp

Exemplos em R

_{, ω}

= dq

∧ dp

Exemplo na esfera S

Considere a esfera S2 _{⊂ R}3 _{com coordenadas}

(θ, h) : θ∈ (0, 2π) ângulo e h ∈ (−1, 1) altura , munida da forma simplética ω = dθ ∧ dh.

Função Hamiltoniana: função altura H(θ, h) = h

Campo Hamiltoniano: XH = ∂θ.

Daqui em diante...

Considere R4 _{com coordenadas (q1, q2, p1, p2) munido de}

ω₀= dq_{1∧ dp1}+ dq_{2∧ dp2} e H : R4_{→ R uma função Hamiltoniana.}

Sistema Hamiltoniano em R4_:                          ˙ q₁ = ∂H ∂p₁ ˙ q₂ = ∂H ∂p₂ ˙ p₁ =₋∂H ∂q₁ ˙ p₂ =₋∂H ∂q₂

Os níveis de energia regulares de H são hipersuperfícies de dimensão 3.

Seções globais

M uma variedade de dimensão 3 e X um campo vetorial em M N uma superfície compacta mergulhada em M

N é umaseção global para o uxo de X se: cada componente de bordo de N é uma órbita periódica de X

X é transversal a ˙N = N \ ∂N

toda órbita passando por x ∈ M \ ∂N intersecta ˙N em tempos positivos e negativos

N

X x

Aplicação de primeiro retorno τ : ˙N→ ˙N

Seções globais

M uma variedade de dimensão 3 e X um campo vetorial em M N uma superfície compacta mergulhada em M

N é umaseção global para o uxo de X se: cada componente de bordo de N é uma órbita periódica de X

X é transversal a ˙N = N \ ∂N

toda órbita passando por x ∈ M \ ∂N intersecta ˙N em tempos positivos e negativos

N

X x

Aplicação de primeiro retorno τ : ˙N_{→ ˙}N

Hipersuperfície estritamente convexa

R4 munido da forma simplética ω0 = dq₁∧ dp1+ dq₂∧ dp2

H : R4→ R função Hamiltoniana

S = H−1(c)nível de energia regular de H S éestritamente convexo se:

S é difeomorfo a S3 S tem curvatura positiva

S S = H−1(1) ⊂ R4 H(q₁, q₂, p₁, p₂) = q 2 1 a2₁ + q₂2 a2₂ + p2₁ b2₁ + p2₂ b2₂

Seções globais do tipo disco

Teorema (Hofer - Wysocki - Zehnder, 1998)

Se S = H−_{1(c)é umahipersuperfície estritamente convexa de R4}

então S admite uma órbita periódica P com índice de

Conley-Zehnder 3 que é bordo de umaseção global do tipo discoD.

P

D

S

P

Seções globais do tipo disco: consequências dinâmicas

Toda órbita periódica distinta de P estáenlaçada com P.

Aplicação de retorno τ : ˙D → ˙D é um difeomorsmo que preserva área

Teorema da translação de Brouwer ⇒ τ admite um ponto xo

˙ D U τ (U ) τ2_{(U )} τ3_{(U )} τn_{(U )}

Teorema de Franks ⇒ τ : ˙D \ {p} → ˙D \ {p} admite 0 ou ∞ pontos periódicos

Seções globais do tipo disco: consequências dinâmicas

Toda órbita periódica distinta de P estáenlaçada com P. Aplicação de retorno τ : ˙D → ˙D é um difeomorsmo que preserva área

Teorema da translação de Brouwer ⇒ τ admite um ponto xo

˙ D U τ (U ) τ2_{(U )} τ3_{(U )} τn_{(U )}

Teorema de Franks ⇒ τ : ˙D \ {p} → ˙D \ {p} admite 0 ou ∞ pontos periódicos

Seções globais do tipo disco: consequências dinâmicas

Toda órbita periódica distinta de P estáenlaçada com P. Aplicação de retorno τ : ˙D → ˙D é um difeomorsmo que preserva área

Teorema da translação de Brouwer ⇒ τ admite um ponto xo

˙ D U τ (U ) τ2_{(U )} τ3_{(U )} τn_{(U )}

Teorema de Franks ⇒ τ : ˙D \ {p} → ˙D \ {p} admite 0 ou ∞ pontos periódicos

Seções globais do tipo disco: consequências dinâmicas

Toda órbita periódica distinta de P estáenlaçada com P. Aplicação de retorno τ : ˙D → ˙D é um difeomorsmo que preserva área

Teorema da translação de Brouwer ⇒ τ admite um ponto xo

˙ D U τ (U ) τ2_{(U )} τ3_{(U )} τn_{(U )}

Teorema de Franks ⇒ τ : ˙D \ {p} → ˙D \ {p} admite 0 ou ∞ pontos periódicos

Seções globais do tipo disco: consequências dinâmicas

Toda órbita periódica distinta de P estáenlaçada com P. Aplicação de retorno τ : ˙D → ˙D é um difeomorsmo que preserva área

Teorema da translação de Brouwer ⇒ τ admite um ponto xo

˙ D U τ (U ) τ2_{(U )} τ3_{(U )} τn_{(U )}

Teorema de Franks ⇒ τ : ˙D \ {p} → ˙D \ {p} admite 0 ou ∞ pontos periódicos

Decomposição em livro aberto

Teorema (Hofer - Wysocki - Zehnder, 1998)

S admite umadecomposição em livro aberto.

P

Conjuntos estrelados de R

Em geral, tais seções globais e tais decomposições podem não existir.

S

Mas ainda podemos encontrar um sistema global de seções transversais ao uxo.

Sistema de seções transversais

Conjunto singular: órbitas periódicas com CZ ∈ {1, 2, 3}

Possíveis folhas regulares:

3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1

Casos particulares de folhas regulares

Caso dinamicamente convexo (CZ ≥ 3)

3

Caso fracamente convexo (CZ ≥ 2)

3

3

2

2

Casos particulares de folhas regulares

Caso dinamicamente convexo (CZ ≥ 3)

3

Caso fracamente convexo (CZ ≥ 2)

3

3

2

2

Exemplos de sistemas de seções transversais

P

D

Exemplos de sistemas de seções transversais

Exemplos de sistemas de seções transversais

P

P

Sistemas de seções transversais próximos a níveis críticos

H : R4→ R função Hamiltoniana 0 ∈ R é um valor crítico de H

S₀ ⊂ H−_{1(0) é umconjunto singular estritamente convexo:}

S

S0

p

S₀ é homeomorfo a S3 S₀ admite uma única singularidade pc ∈ R4

˙

S₀ := S_0\{pc} tem

Comportamento do uxo Hamiltoniano em torno de p

Assumimos que H : R4 _{→ R é uma funçãoreal-analítica.}

q1

p1

q2

p2

Existência de folheação 2 − 3

H : R4→ R uma função Hamiltoniana real-analítica H admite umequilíbrio do tipo sela-centropc∈ H−1(0)

pc pertence a umconjunto singular estritamente convexo

S₀ ⊂ H−_1(0).

SE pc

S0 P2,E

Então, para todo E > 0 sucientemente pequeno, SE ⊂ H−1(E )

Folheação 2 − 3 em S

: consequências dinâmicas

P

U

U

V

S

P

D

W

(P

)

W

(P

)

Exemplo: Hamiltoniano de Hénon-Heiles

Seja Hb: R4 → R dada por

Hb(q1, q2, p1, p2) = p2₁+ p2₂ 2 + q2₁+ q2₂ 2 + bq21q2− q₂3 3 , 0 < b ≤ 1.

Dinâmica de H

para 0 < b < 1

Para cada ε > 0 sucientemente pequeno, H−₁ b 16 + ε

contém uma 3-bola Sb,E que admite umafolheação 2 − 3

Sb,E contéminnitas órbitas periódicas e innitas órbitas

Dinâmica de H

para 0 < b < 1

Para cada ε > 0 sucientemente pequeno, H−₁ b 16 + ε

contém uma 3-bola Sb,E que admite umafolheação 2 − 3

Sb,E contéminnitas órbitas periódicas e innitas órbitas

Exemplo: Nanobeam

Consideramos uma haste (silício, carbono) com comprimento L0

largura w espessura d

L_{0  w > d}

L0 Sob compressão longitudinal:

L

L L

Descrição Hamiltoniana e pontos de equilíbrio

α >0 e β > 0: o sistema não admite sela-centros α <0 e β > 0: três equilíbrios, um deles sela-centro

q m+ m₋

Sela de ´ındice 1 M´ınimo M´ınimo

α <0 e β < 0: cinco equilíbrios, dois deles sela-centros

q

q+ q−

m+ m₋

Caso α < 0 e β > 0

Para cada E > 0 sucientemente pequeno, H−_{1(E ) contém}

3-bolas SE e SE0 tais que WE = SE∪ SE0 admite uma

folheação 3 − 2 − 3

SE e SE0 contêm innitas órbitas periódicas e innitas órbitas

Folheação 3 − 2 − 3