1 Geometria, propor¸c˜oes, semelhan¸cas e Descartes
1.1 Introdu¸c˜ao
Houve uma grande mudan¸ca na teoria das propor¸c˜oes a partir das modi-fica¸c˜oes feitas por Descartes e Fermat ao criarem a Geometria Anal´ıtica. Aqui vamos nos basear no livro ”Geometria”de Ren´e Descartes.
A hist´oria dessa mudan¸ca come¸ca com a desconfian¸ca de Descartes e Fermat de que os gregos antigos tinham escondido o m´etodo de solu¸c˜ao de problemas que utilizavam. Os Elementos de Euclides apresentam uma s´erie de resultados enfileirados, cada teorema dependendo dos anteriores e dos axiomas, defini¸c˜oes e no¸c˜oes comuns, de modo que n˜ao havia como saber o m´etodo que os gregos haviam utilizado para chegar `aqueles teoremas. Em outras palavras, os gregos expunham a ordem causal, que vai dos princ´ıpios a suas consequˆencias, e ocultavam a ordem das descobertas. Vendo a hist´oria do desenvolvimento que come¸cou em Descartes e Fermat, ou at´e um pouco antes, e chegou `a elabora¸c˜ao do m´etodo axiom´atico na virada do s´eculo passado, a cr´ıtica ´e injusta, j´a que anterior ao desenvolvimento da matem´atica grega tivemos quase mil anos de desenvolvimento matem´atico n˜ao s´o na Gr´ecia, mas na Babilˆonia e no Egito.
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A resolu¸c˜ao de um problema seguindo dos princ´ıpios at´e as consequˆencia, chamamos de m´etodo sint´etico, e `a resolu¸c˜ao seguindo do problema at´e os princ´ıpios dos quais dependeria, chamamos de m´etodo anal´ıtico. Da´ı o nome de Geometria Anal´ıtica, que no tempo em que foi criada era utili-zada do seguinte modo: consideramos o problema resolvido, as magnitudes procuradas consideramos j´a encontradas, a elas damos nomes de x e y, e, sabendo a equa¸c˜ao que esses valores devem satisfazer para achar a solu¸c˜ao
exata, resolvemos a equa¸c˜ao, isto ´e, encontramos efetivamente a solu¸c˜ao. Quando Descartes criou a geometria anal´ıtica ele buscava n˜ao refundar a geometria em outras bases mas achar um m´etodo de resolu¸c˜ao de proble-mas.
Nessa apostila, veremos primeiro como os gregos tratavam as propor¸c˜oes entre magnitudes, e depois veremos como a Geometria Anal´ıtica modifica esse tratamento.
1.2 Teoria das propor¸c˜oes
O tema do livro V dos Elementos de Euclides s˜ao raz˜oes e propor¸c˜oes. No come¸co do livro, temos defini¸c˜oes e postulados acerca de raz˜oes e pro-por¸c˜oes que fundamentam os resultados do quinto e do sexto livro da obra de Euclides. Vejamos primeiro as defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao V.3. Uma raz˜ao ´e uma rela¸c˜ao entre magnitudes do mesmo tipo.
Defini¸c˜ao V.4. Dizemos que h´a uma raz˜ao entre duas magnitudes quando algum m´ultiplo de uma ´e maior do que a outra.
Essa quarta defini¸c˜ao ´e tamb´em conhecida como Axioma de Arquimedes. Axioma de Arquimedes. H´a uma raz˜ao entre duas magnitudes quando um m´ultiplo de uma excede a outra.
Em termos atuais, o axioma diz que h´a uma raz˜ao entre duas magnitudes A e B quando existem n´umeros naturais m e n tais que mA > B e nB > A. Nesse caso temos duas magnitudes do mesmo tipo. ´E uma caracter´ıstica da matem´atica grega e na posterior at´e Descartes que n˜ao h´a raz˜ao entre ´
Se pensarmos bem, ´e f´acil ver que ´areas e comprimentos s˜ao realmente magnitudes de tipos distintos: por mais que eu multiplique uma magni-tude unidimensional, que tem somente comprimento, n˜ao consigo conter a magnitude bidimensional, por menor que seja a sua ´area.
Defini¸c˜ao V.5. Magnitudes est˜ao em propor¸c˜ao, isto ´e, na mesma raz˜ao, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta, quando dados equim´ultiplos da primeira e da terceira e equim´ultiplos da segunda e da quarta, os pri-meiros excedem os segundos, ou s˜ao iguais, ou s˜ao
Em termos atuais, a defini¸c˜ao acima diz o seguinte: dadas as magnitudes A e B, do mesmo tipo, e as magnitudes C e D, do mesmo tipo, A : B = C : D quando, para todos os naturais m e n, somente uma das trˆes alternativas abaixo ´e verdadeira
i. mA > nB e mC > nD; ii. mA = nB e mC = nD; iii. mA < nB e mC < nD.
Dito de outro modo, ´e imposs´ıvel achar naturais m e n tais que mA > nB e mC < nD, assim como achar m e n tais que mA < nB e mC > nD. O resto do livro V fala das opera¸c˜oes entre propor¸c˜oes e suas proprie-dades. Por exemplo, a proposi¸c˜ao 19 diz que
(A + C) : (B + D) = C : D implica A : B = C : D = (A + C) : (B + D). Ou, em linguagem moderna:
A + C B + D = C D ⇒ A B = C D.
As proposi¸c˜oes 17 e 18 dizem que duas magnitudades s˜ao proporcionais juntas se e s´o se s˜ao proporcionais separadas, isto ´e
(A + B) : B = (C + D) : D se e s´o se A : B = C : D. Ou: A + B B = C + D D ⇔ A B = C D.
O sexto livro dos Elementos nos apresenta a aplica¸c˜ao da teoria das propor¸c˜oes a magnitudes como ´areas e comprimentos.
Vamos `as defini¸c˜oes desse livro:
Defini¸c˜ao VI.1. Figuras retil´ıneas similares s˜ao aquelas que tˆem ˆangulos todos iguais e os lados adjascentes a esses ˆangulos proporcionais.
Defini¸c˜ao VI.2. Duas figuras est˜ao reciprocamente relacionadas quando os lados relativos a ˆangulos correspondentes s˜ao reciprocamente proporci-onais.
Defini¸c˜ao VI.3. Um segmento de reta ´e dita dividida em m´edia e extrema raz˜ao quando o segmento todo est´a para a maior parte assim como a maior parte est´a para a menor.
Defini¸c˜ao VI.4. A altura de uma figura ´e a perpendicular tra¸cada do v´ertice at´e a base.
A primeira proposi¸c˜ao ´e a seguinte:
Proposi¸c˜ao VI.1. Triˆangulos e paralelogramos que tˆem mesma altura est˜ao um para o outro assim como suas bases.
Prova: Sejam ABC e ACD triˆangulos de mesma altura, e AEBC e ACDF paralelogramos de mesma altura. A proposi¸c˜ao afirma que a ´area de ABC est´a para a ´area de ACD assim como BC est´a para CD, no caso dos dois triˆangulos, e que a ´area de AEBC est´a para a ´area de ACDF assim como BC est´a para CD, no caso dos dois paralelogramos.
Podemos provar s´o o caso dos triˆangulos, o dos paralelogramos ´e n˜ao s´o an´alogo, como poder´ıamos utilizar o fato de que cada paralelogramo tem o dobro da ´area de cada triˆangulo, e, portanto, a raz˜ao entre as ´areas dos paralelogramos ´e a mesma raz˜ao entre as ´areas dos triˆangulos.
Vamos simbolizar a ´area de ABC e de ACD por ABC e ACD, de modo que a raz˜ao ser´a simbolizada por ABC : ACD.
Sejam os pontos G, H, I e J tais que BC = BG = GH e CD = DI = IJ . Ent˜ao, para m = 3 e n = 3, 3BC = CH e 3CD = CJ . Para que verifiquemos que o par m e n multiplica as ´areas da mesma forma, ´e s´o ver que 3ABC ´e a ´area do triˆangulo ACH e 3ACD ´e a ´area do triˆangulo ACJ . E sabemos, pela teoria de paralelas aplicada a ´areas do primeiro livro dos Elementos, que CJ > CH se e s´o se ACJ > ACH, CJ = CH se e s´o se ACJ = ACH, CJ < CH se e s´o se ACJ < ACH.
Pela figura acima podemos fazer o mesmo para pares de naturais m e n para valores entre 1 e 3. Assim, intu´ımos que as ´areas aumentam seguindo o aumento das bases. Logo, podemos concluir que vale, para todos os pares m e n, o que diz o crit´erio de igualdade para raz˜oes, enunciado na defini¸c˜ao de propor¸c˜ao. Isso basta para podermos afirmar que
ABC : ACD = BC : CD.
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Proposi¸c˜ao VI.2. Se uma reta paralela `a base corta um triˆangulo, ela divide os lados do triˆangulo proporcionalmente. Do mesmo modo, se dois lados de um triˆangulo s˜ao divididos de modo proporcional, o segmento que liga os pontos de divis˜ao ´e paralelo ao terceiro lado (base) do triˆangulo.
Prova: Seja DE paralelo a AB. Devemos mostrar que BD : AD = CE : AE.
Primeiros, vamos construir BE e CD. Os triˆangulos BDE e CDE tˆem a mesma ´area, j´a que tˆem a mesma base e os v´ertices opostos s˜ao paralelos
a essa base. Mas, pela primeira proposi¸c˜ao do livro V: BDE : ADE = BD : AD CDE : ADE = CE : AE BDE = CDE ⇒ BD : AD = CE : AE. ♦
Proposi¸c˜ao VI.3. Se, dado um triˆangulo, um de seus ˆangulos ´e bissectado por um segmento de reta que corta a base, ent˜ao os segmentos da base tˆem a mesma raz˜ao que os lados restantes. Reciprocamente, se a base de um triˆangulo ´e seccionada na mesma raz˜ao que os outros dois lados do triˆangulo, se unimos o v´ertice oposto `a base ao ponto de sec¸c˜ao por um segmento de reta, ent˜ao este segmento divide o ˆangulo ao meio.
Prova: Fica como exerc´ıcio. ♦
As pr´oximas duas proposi¸c˜oes tratam de semelhan¸cas de triˆangulos: Proposi¸c˜ao VI.4. Dados dois triˆangulos equiˆangulos, as raz˜oes dos lados opostos a ˆangulos iguais s˜ao a mesma.
Prova: Podemos supor que duas bases dos triˆangulos estejam na mesma reta, e tenham um v´ertice comum C: assim temos os triˆangulos equiˆangulos ABC e CDE, com os ˆangulos iguais ∠BAC = ∠CDE, ∠ABC = ∠DCE e ∠BCA = ∠DEC. Como ∠CED = ∠ACB e ∠ACB +∠ABC < 180o, ent˜ao ∠CDE + ∠ABC < 180o, o que implica, pelo postulado das paralelas, que se estendermos AB e ED, eles se cruzar˜ao no ponto F . Constru´ımos AF e EF . Agora, ∠DCE = ∠ABC implica DC k F B. Do mesmo modo, ∠ACB = ∠DEC implica AC k EF . Portanto, AF DC ´e um paralelogramo, o que implica AF = CD e F D = AC. Agora, pela segunda proposi¸c˜ao do sexto livro dos Elementos, AC k EF implica AB : AF = BC : CE, e como AF = CD, temos AB : CD = BC : CE. Do mesmo modo, CD k F B implica BC : CE = F D : DE, mas como F D = AC, temos BC : CE = F D : DE = AC : DE. Comparando as igualdades entre as raz˜oes, conclu´ımos que
AB : CD = BC : CE = AC : DE.
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Proposi¸c˜ao VI.5. Se dois triˆangulos tˆem lados proporcionais, ent˜ao eles s˜ao equiˆangulos, e os ˆangulos iguais s˜ao opostos aos lados correspondentes.
Prova: Sejam dois triˆangulos ABC e DEF de lados proporcionais: AB : DE = BC : EF = AC : DF.
Constru´ımos sobre AC dois ˆangulos: em A um ˆangulo igual a ∠EDF e em C um ˆangulo igual a DF E. Ambos somam menos que dois retos, ent˜ao as retas se encontram em G. Portanto, ∠GAC = ∠EDF e ∠ACG = ∠DF E, e da´ı podemos dizer que ∠AGC = ∠DEF . Assim, DEF e ACG s˜ao equiˆangulos, o que, pela proposi¸c˜ao anterior, implica
AG : DE = GC : EF = AC : DF. Mas as duas igualdades entre as raz˜oes implicam
GC : EF = BC : EF e AG : DE = AB : DE.
O que, por sua vez, implica AB = AG e BC = GC. Logo, ABC e ACG s˜ao triˆangulos congruentes. Assim,
∠BAC = ∠CAG = ∠EDF, ∠ACB = ∠ACG = ∠DF E,
∠ABC = ∠AGC = ∠DEF.
Assim, mostramos que ABC e DEF s˜ao equiˆangulos. ♦
1.3 A geometria de Ren´e Descartes
Agora, vejamos o m´etodo geom´etrico de Ren´e Descartes. Em seu livro ”A geometria”, Descartes n˜ao pretendia refundar a geometria, mas criar um m´etodo para resolver muitos problemas. O m´etodo consistia em atribuir inc´ognitas a alguns segmentos de reta, ver a rela¸c˜ao entre as inc´ognitas por equa¸c˜oes que elas deveriam satisfazer, de acordo com o problema em causa, resolver a equa¸c˜ao e voltar ao problema, `a situa¸c˜ao geom´etrica da qual sa´ıram equa¸c˜oes e inc´ognitas, e verificar ou construir a solu¸c˜ao.
Descartes come¸ca modificando a teoria das propor¸c˜oes de Euclides. A novidade do livro ´e basicamente essa. Euclides n˜ao atribu´ıa a comprimen-tos e ´areas valores num´ericos, somente os compara, estudava quais eram equivalentes e quais n˜ao eram. Descartes passou a atribuir n´umeros n˜ao a segmentos, mas a propor¸c˜oes entre segmentos. Como ele fazia isso? Ele partia da teoria das paralelas apresentada na se¸c˜ao anterior.
Primeiro, Descartes separava um segmento que serviria de unidade, e que vamos chamar de u. Dados dois segmentos ´e f´acil definir a soma dos dois e a subtra¸c˜ao do maior pelo menor. Devemos definir a multiplica¸c˜ao e a divis˜ao. Dados dois segmentos x e y, o segmento x · y ´e o seguinte:
Pela figura, seja o triˆangulo ABC, com AB = u e AC = y; se estende-mos AB linearmente de modo que BD = x, e se estendeestende-mos AC de modo que a paralela a BC passando por D cruze a extens˜ao de AC no ponto E (mostre que ´e poss´ıvel pelo quinto postulado de Euclides), ent˜ao temos BC k DE. Logo, BC corta o triˆangulo ADE paralelamente `a base, e, portanto, temos
BD : AB = CE : AC implica x : u = CE : y. Portanto, CE := x · y, por defini¸c˜ao.
Da mesma forma, se queremos definir x2, consideramos x : u = x2 : x, isto ´e, fazemos y = x, ou CE = x. E, assim por diante, para as potˆencias maiores de x:
x : u = x2 : x = x3 : x2 = x4 : x3. . . . J´a a defini¸c˜ao de yx ´e a seguinte:
Constru´ımos na figura AB = u, AD = x, AC = y, e tra¸camos BE paralelo a CD. Assim,
AE : AC = AB : AD , isto ´e, AE : y = u : x. Portanto, AE := yx.
Se y = u, obtemos as potˆencias negativas de x: u : x = x−1 : u = x−2 : x−1. . .
Assim, Descartes expande a teoria das propor¸c˜oes de Euclides, permi-tindo que elas sejam associadas a n´umeros e a inc´ognitas em equa¸c˜oes, j´a que x, o comprimento do segmento, ´e a propor¸c˜ao entre o segmento e a unidade. Al´em disso ele rompe a dimensionalidade das opera¸c˜oes, o pro-duto de dois segmentos n˜ao ´e uma ´area, ´e outro segmento, mantendo as magnitudes no mesmo gˆenero, no mesmo tipo, independente da potˆencia. Dito de melhor maneira, n˜ao s´o a soma e a subtra¸c˜ao, mas o produto e a divis˜ao n˜ao modificam o tipo da magnitude.
Apresentaremos abaixo o primeiro problema resolvido por Descartes, o de achar a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao do segundo grau: z2 = az + b2. Constru´ımos primeiro um triˆangulo retˆangulo LN M com catetos LM = b
e LN = a2. Prolongando a base M N at´e O, de modo que N O = N L, a linha inteira OM ´e a linha procurada z que satisfaz a equa¸c˜ao.
Observe que os triˆangulos OLM e P LM s˜ao semelhantes, pois s˜ao equiˆangulos (fica como exerc´ıcio). Assim, temos
OM : LM = LM : M P ⇒ z
b = b
z − a ⇒ z
2 − az = b2.
A geometria anal´ıtica plana de Descartes, apesar de num primeiro mo-mento pressupor v´arios teoremas de Geometria Euclideana demonstrados nos Elementos, modifica o foco: em vez de os objetos principais serem pol´ıgonos, agora o foco s˜ao as curvas. Descartes come¸ca a estudar uma s´erie de curvas que n˜ao eram estudadas pela geometria antiga.
1.4 O problema de Pappus
O problema de Pappus ´e um problema cuja solu¸c˜ao foi iniciada por Eu-clides, levada adiante por Apolˆonio, mas n˜ao havia sido conclu´ıdo at´e o tempo de Descartes. Veremos em que a cria¸c˜ao do m´etodo cartesiano aju-dou a solucionar o problema. Ele consiste em, havendo ”trˆes ou quatro ou mais linhas retas dadas em determinadas posi¸c˜oes, tomarmos um ponto a partir do qual possamos tra¸car outras linhas retas de modo que o retˆangulo contido em duas delas tenha propor¸c˜ao dada com o quadrado da terceira
linha, se houver trˆes, ou com o retˆangulo das outras duas linhas, se houver quatro”.
Por exemplo, sejam trˆes retas, r1 e r2 paralelas, a distˆancia b uma da
outra, e uma terceira reta r3, ortogonal `as duas, todas as trˆes no plano
euclideano, devemos encontrar P tal que o quadrado da distˆancia de P a r3 ´e igual ao produto das distˆancias de P a r1 e a r2.
Se a distˆancia de P a r1 ´e y e a de P a r3 ´e x, ent˜ao, a distˆancia de P
a r2 ´e b − y, e o problema ´e achar P , ou x e y tais que
x2 = y · (b − y) ⇒ x2 + (y − b 2)
2
= b2.
A solu¸c˜ao nesse caso ´e: a elipse cuja equa¸c˜ao apresentamos acima. Observe que x e y na ´epoca de Descartes n˜ao precisavam ser ortogo-nais. Imagine a mesma rela¸c˜ao entre as distˆancias, que v˜ao gerar a mesma equa¸c˜ao, mas com r3 concorrente a r1 e r2 mas formando com ambas um
ˆ
angulo distinto de 90o.
Novas curvas aparecem na solu¸c˜ao desse problema, pois se tivermos mais retas, a situa¸c˜ao se complica, os graus das potˆencias de x e y podem aumentar. Por exemplo, se temos trˆes retas paralelas r1, r2 e r3, e duas
tais que o produto das distˆancias de P a r1, r2 e r3 ´e o produto entre uma
constante c e as distˆancias de P a r4 e r5.
Se definirmos y como a distˆancia de P a r1 x como a de P a r4, e se as
distˆancias entre as paralelas ri e rj for bij, ent˜ao a equa¸c˜ao ´e:
x · (b12 − x) · (b13 − x) = c · x · (b45 − x).
Nesse caso j´a encontramos uma equa¸c˜ao de curva diferente da que encon-tramos na geometria de Euclides, Apolˆonio e Arquimedes.
1.5 Problemas a resolver
Problema 1. Demonstre o teorema das bissetrizes (proposi¸c˜ao VI.3) usando a teoria das propor¸c˜oes de Euclides.
Problema 2. Mostre que os triˆangulos OLM e P LM do exemplo da equa¸c˜ao de segundo grau s˜ao equiˆangulos.
Problema 3. Dadas r1 e r2 paralelas `a distˆancia b uma da outra e r3
concorrente `a duas, formando ˆangulo de 45o com r1 e r2, seja y a distˆancia
de P a r1, x a distˆancia a r3 e z a distˆancia entre a proje¸c˜ao de P em r1 e
o ponto de interse¸c˜ao de r1 e r3. Sejam os pontos P tais que a distˆancia de
P a r3 ao quadrado ´e o produto das distˆancias de P a r1 e a r2; encontre
a equa¸c˜ao dos pontos P em fun¸c˜ao de x e y e em fun¸c˜ao de y e z.
1.6 Referˆencias
1. Elementos de Euclides, Unesp.
2. A Geometria de Ren´e Descartes, Raquel Anna Sapunaru, Sociedade Brasileira de Hist´oria da Matem´atica.
