UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ MA71J – Fundamentos de Matemática
ProfaAna Cristina Corrêa Munaretto
Segunda lista de exercícios
1. Construa a tabela verdade para cada uma das seguintes proposições:
(a)
∼ p ∧ q
(b) (p
∧ q) → (p ∨ q)
(c)
∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p)
(d) (p → q)
∨ ∼ (p ↔∼ q)
(e) [p → (
∼ q ∨ r)]∧ ∼ [q ∨ (p ↔∼ r)]
(f) p
∨ ∼ r → q∧ ∼ r
(g)
∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p)
(h) (p
∧ q → r) ∨ (∼ p ↔ q∨ ∼ r)
2. Determine P(VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:
(a) P(p, q) =
∼ (∼ p ↔ q)
(b) P(p, q) =
∼ p ∨ q → p
(c) P(p, q) = (p
∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
3. Determine P(VFV) em cada um dos seguintes casos:
(a) P(p, q, r) = p
∧ ∼ r →∼ q
(b) P(p, q, r) =
∼ p ∧ (q∨ ∼ r)
(c) P(p, q, r) =
∼ (p ∧ q) ↔∼ (p∨ ∼ r)
4. Sabendo que o valor lógico das proposições p, q, r e s são respectivamente V, V, F e F, determine
o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) p → q ↔ q → p
(b) (p → r) → (
∼ p →∼ r)
(c)
∼ ((p ∨ s) ∧ (s ∨ r))
5. Sabendo que as proposições "x = 0" e "x = y" são verdadeiras e que as proposições "y = z" e
"y = t" são falsas, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) x = 0
∧ x = y → y 6= z
(b) x 6= y
∨ y 6= z → y = t
(c) x = 0 → (x 6= y
∨ y 6= t)
6. Suprima o maior número possível de parênteses nas seguintes proposições:
(a) ((q ↔ (r
∨ q)) ↔ (p ∧ (∼ (∼ q))))
(b) ((p
∧ (∼ (∼ q))) ↔ (q ↔ (r ∨ q)))
(c) (((p
∨ q) → (∼ r)) ∨ ((((∼ q) ∧ r) ∧ q)))
7. Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas (contradição), ou
con-tingentes:
(a) p → (
∼ p → q)
(b)
∼ p ∨ q → (p → q)
(c) p → (q → (q → p))
(d) ((p → q) ↔ q) → p
(e) p
∨ ∼ q → (p →∼ q)
(f) p
∨ q → p ∧ q
(g) p → (p → q
∧ ∼ q)
(h) (q → p) → (p → q)
(i)
∼ p∧ ∼ (p → q)
(j) p
∧ q → (p ↔ q ∨ r)
8. Mostre que a proposição p implica a proposição q, (p ⇒ q), em cada um dos seguintes casos:
(a) p : π > 3; q : tan 45
o= 1
(b) p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo.
(c) p : O número inteiro x termina por 0; q: O número inteiro x é divisível por 5.
9. Mostre que:
(a) q ⇒ p → q
(b) q ⇒ p
∧ q ↔ p
10. Mostre que p não implica p
∧ q e que p ∨ q não implica p.
11. Mostre que:
(a) (x = y
∨ x < 4) ∧ x 6< 4 ⇒ x = y.
(b) (x 6= 0 → x = y)
∧ x 6= y ⇒ x = 0.
RESPOSTAS: 1. (a) p q ∼ p ∼ p ∧ q V V F F V F F F F V V V F F V F (b) p q p∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V v V V V F F V V F V F V V F F F F V (c) p q p∧ q ∼ (p ∧ q) q ↔ p ∼ (q ↔ p) ∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p) V V V F V F F V F F V F V V F V F V F V V F F F V V F V (d) p q p→ q ∼ q p ↔∼ q ∼ (p ↔∼ q) (p → q)∨ ∼ (p ↔∼ q V V V F F V V V F F V V F F F V V F V F V F F V V F V V (e) p q r ∼ q ∼ q ∨ r A: p→ (∼ q ∨ r) ∼ r p ↔∼ r q ∨ (p ↔∼ r) B:∼ q ∨ (p ↔∼ r) A∧B V V V F V V F F V F F V V F F F F V V V F F V F V V V V F F F V V V F F V V V V V V F F F V V F V V F V V F F F V F F F V V F V F F F F V V V V F V V F F F F F V V V V F F V V (f) p q r ∼ r p∨ ∼ r q∧ ∼ r p∨ ∼ r → q∧ ∼ r V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F (g) p q p∧ q ∼ (p ∧ q) q ↔ p ∼ (q ↔ p) ∼ (p ∧ q)∨ ∼ (q ↔ p) V V V F V F F V F F V F V V
(h) p q r p∧ q A: p∧ q → r ∼ p ∼ r q∨ ∼ r B:∼ p ↔ q∨ ∼ r A∨B V V V V V F F V F V V V F V F F V V F F V F V F V F F F V V V F F F V F V V F V F V V F V V F V V V F V F F V V V V V V F F V F V V F F F V F F F F V V V V V V 2. (a) VFFV (b) VVFF (c) FVVF 3. (a) V (b) F (c) F 4. (a) V (b) V (c) V 5. (a) V (b) F (c) V 6. (a) (q ↔ r∨ q) ↔ (p∧ ∼ ∼ q) (b) p∧ ∼ ∼ q ↔ (q ↔ r ∨ q) (c) (p∨ q →∼ r) ∨ (∼ q ∧ r ∧ q) 7. (a) Tautologia (b) Tautologia (c) Tautologia (d) Contingência (e) Contingência (f) Contingência (g) Contingência (h) Contingência (i) Contradição (j) Tautologia
8. Lembre que para termos a implicação p ⇒ q precisamos ter que q é verdadeira sempre que p for verdadeira.
9. (a) p q p→ q q→ (p → q) V V V V V F F V F V V V F F V V
Como a condicinal q → (p → q) é uma tautologia, segue que q ⇒ (p → q).
(b) p q p∧ q p ∧ q ↔ p q → (p ∧ q ↔ p) V V V V V V F F F V F V F V V F F F V V
Como a condicinal q → (p∧ q ↔ p) é uma tautologia, segue que q ⇒ (p ∧ q ↔ p).
10. p q p∧ q p→ (p∧ q) p∨ q (p∨ q) → p V V V V V V V F F F V V F V F V V F F F F V F V
11. (a) Consideremos as proposições: p : x = y
q : x < 4
Então, a proposição (x = y∨ x < 4) ∧ x 6< 4 pode ser escrita como (p ∨ q)∧ ∼ q. Pelo silogismo disjuntivo, temos a implicação: (p∨ q)∧ ∼ q ⇒ p. Portanto, (x = y ∨ x < 4) ∧ x 6< 4 ⇒ x = y.
(b) Consideremos as proposições: P : x6= 0
q : x = y
Então, a proposição (x 6= 0 → x = y)∧ x 6= y pode ser escrita como (P → q)∧ ∼ q. Por Modus tollens, temos a implicação: (P → q)∧ ∼ q ⇒∼ P. Portanto, (x 6= 0 → x = y) ∧ x 6= y ⇒ x = 0.
