Notas de Aula Capítulo 2 - Tensor

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Notas de Aula

Capítulo 2 - Tensor

Professor Dr. Luiz Antonio Farani de Souza

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Prof. Dr. Luiz Antonio Farani de Souza

Conteúdo

2. Tensor ... 2

2.1 Tensor - uma transformação linear ... 2

2.2 Componentes de um tensor ... 3 2.3 Soma de tensores ... 4 2.4 Produto de tensores ... 5 2.5 Transposta de um tensor ... 5 2.6 Traço de um Tensor ... 6 2.7 Tensor Identidade ... 7 2.7 Inversa do Tensor ... 7 2.8 Tensor Ortogonal ... 8

2.9 Produto diático de vetores ... 8

2.10 Tensores simétricos e antissimétricos ... 9

Referência ... 10

2. Tensor

2.1 Tensor - uma transformação linear

Vamos assumir que T transforma qualquer vetor em um outro vetor:

e

em que a e b são vetores arbitrários e  é um escalar arbitrário. T é uma transformação linear, sendo conhecido como tensor de segunda ordem ou simplesmente tensor. Uma definição alternativa de uma transformação linear é dada por:

Se para qualquer vetor a, então . No entanto, dois tensores diferentes podem transformar um vetor específico da mesma forma.

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.1: Seja T uma transformação que transforma todo vetor em um vetor fixo n. É uma transformação linear?

Solução: Seja

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Como T(a+b) = n e Ta + Tb = 2n, logo T(a+b)  Ta + Tb, então T não é uma transformação linear ou um tensor.

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.2: Seja T uma transformação que transforma todo vetor em um vetor originário vezes k. É uma transformação linear?

Solução: Seja

Como T(a + b) = k(a + b) e Ta + Tb = ka + kb = k(a + b), logo T(a + b) = Ta + Tb, então T é uma transformação linear ou um tensor.

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.3: Seja T um tensor que transforma os vetores específicos a e b de acordo com

Dado o vetor c = 2a+b, encontre Tc.

Solução:

_____________________________________________________________________ 2.2 Componentes de um tensor

As componentes de um vetor dependem da base adotada para definir o sistema de coordenadas. O mesmo acontece para os tensores. Para o sistema de coordenadas retangular Cartesiano definido pelos versores , e , temos:

ou Tij

e desde que , uma vez que = [1 0 0]T, = [0 1 0]T e = [0 0 1]T, temos: ou

Podemos reescrever o sistema acima por:

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ou

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.4: Obtenha a matriz do tensor T em que transforma os vetores como segue:

Solução: Podemos reescrever o sistema acima como:

Assim, _____________________________________________________________________ Assim como os vetores, os tensores são independentes do sistema de coordenadas adotado. No entanto, as suas componentes dependem do sistema de coordenadas adotado:

são as componentes dos tensor T na base .

2.3 Soma de tensores

Definição: (T + S) a = Ta + Sa para um vetor arbitrário a.

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.5: (T + S) é um tensor?

Solução: Considere (T + S) a = c e (T + S) b = d. Como

e

(T + S) é uma transformação linear ou um tensor.

_____________________________________________________________________ As componentes de um tensor soma são:

Em notação matricial,

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2.4 Produto de tensores

Definição: (TS)a = T(Sa) e (ST)a = S(Ta) para um vetor arbitrário a. TS e ST são também tensores?

Lembrete

As componentes do tensor TS são:

Portanto,

Similarmente, as componentes de ST são obtidas como segue:

Portanto,

Em geral, TS  ST (não é comutativo). Por outro lado,

(T(SV))a  T((SV)a)  T(S(Va)) e (TS)(Va)  T(S(Va)) Logo, T(SV) = (TS)V = TSV (propriedade associativa).

Assim, pode-se definir da seguinte forma a potência de tensores:

T2 = TT T3 = TTT 

2.5 Transposta de um tensor

A transposta de um tensor T, denotado por TT, é definido por: aTb = bTTa. Da definição anterior, temos que:

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Então,

Em notação matricial, [T]T = [TT].

Então, para quaisquer vetores a e b temos:

tal que T = (TT)T.

A transposta de um produto de tensores é igual ao produto da transposta dos tensores em sentido inverso:

2.6 Traço de um Tensor

O traço de um tensor obedece a seguinte regra: para algum tensor T e S e algum vetor a e b: Em termos de componentes,

onde ij é o Delta de Kröenecker definido como:

O traço de um tensor T é a soma dos elementos da diagonal principal:

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.6: Mostre que para algum tensor A e B tr(AB) = tr(BA).

Solução: Considere C = AB e D = BA.

tr(AB) = tr(C) = Cii = AimBmi e tr(BA) = tr(D) = Dii = BimAmi

Como AimBmi = BimAmi, então tr(AB) = tr(BA).

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2.7 Tensor Identidade

Uma transformação linear que transforma todo vetor nele mesmo é chamado de Tensor Identidade (I). Nós temos para algum vetor a que:

Então as componentes do Tensor Identidade são:

que em notação matricial fica:

_____________________________________________________________________

Exemplo 2.7: Escreva o tensor T, definido pela equação Ta = a, onde  é um escalar e a é um vetor arbitrário, em termos do tensor identidade I, e encontre as suas componentes.

Solução: Como Ta = a = Ia, então T = I. As componentes do tensor T são:

   

_____________________________________________________________________ 2.7 Inversa do Tensor

Dado um tensor T, se um tensor S existe tal que

então S é a inversa de T:

Para encontrar as componentes da inversa de um tensor T é preciso encontrar a inversa da matriz de T. Do estudo de matrizes, a inversa existe se e somente se det(T)  0 (ou seja, T é não singular) e nesse caso:

Então, as seguintes relações são válidas para o tensor inverso:

_e

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Prof. Dr. Luiz Antonio Farani de Souza 2.8 Tensor Ortogonal

Um tensor ortogonal é uma transformação linear em que os vetores transformados preservam seus comprimentos e ângulos. Seja Q um tensor ortogonal; e por definição, ||Qa|| = ||a||, ||Qb|| = ||b||, e cos(a,b) = cos(Qa,Qb)1. Então,

para algum vetor a e b. Pela definição de transposta,

ou

Desde que os vetores a e b sejam arbitrários, segue que:

Para um tensor ortogonal, a inversa é simplesmente a transposta:

Então,

Em notação indicial, nós temos:

2.9 Produto diático de vetores

O produto diático de vetores a e b, denotado por ab, é definido ser a transformação que transforma qualquer vetor c de acordo com a regra:

Seja W = ab, então as componentes de W são:

1

O cosseno do ângulo  entre os vetores a e b é dado por:

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Prof. Dr. Luiz Antonio Farani de Souza Que é ou na forma matricial, Note que: e

2.10 Tensores simétricos e antissimétricos Um tensor T é dito simétrico se:

Então as componentes de um tensor simétrico tem a propriedade

Um tensor é dito antissimétrico se

Então as componentes de um tensor antissimétrico tem a propriedade

Qualquer tensor pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico e um tensor antissimétrico por:

na qual

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Referência

LAI, W. M.; RUBIN, D. H.; KREMPL, E.; RUBIN, D. Introduction to continuum mechanics. Burlington: Butterworth-Heinemann, 2010