Superfícies Mínimas de Riemann. Autor: Ms. Alexsandra Oliveira Andrade. Instituição: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia UESB

Superfícies Mínimas de Riemann

Autor: Ms. Alexsandra Oliveira Andrade

Instituição: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB

1.1 Como tudo começou

filosofia, com a intenção de estudar matemática, sua grande paixão Em meados de 1847, mudou-se para Berlim, onde estudou com Steiner, Jacobi, Dirichlet e Eisenstein. Em 1849, retornou para Göttingen e em 1851, obteve o grau de Ph.D, supervisionado por Gauss. Em sua tese, Riemann estudou a teoria de variáveis complexas, introduzindo métodos topológicos no estudo das funções complexas e as superfícies que conhecemos como as superfícies de Riemann.

Para obter a chamada habilitação, um tipo de certificado de pós-doutorado necessário para se tornar professor universitário na Alemanha, Riemann escreveu uma dissertação que se intitulava Sobre as hipóteses nas quais se fundamenta a geometria, onde apresentou um conjunto de conceitos e postulados que é conhecido atualmente como geometria Riemanniana. Após a morte de Dirichlet, em 1859, Riemann foi designado professor de matemática na Universidade de Göttingen. Alguns dias depois foi eleito para a Academia de Berlim de Ciências. Os trabalhos de Riemann foram baseados no raciocínio intuitivo e suas idéias brilhantes eram muito claras devido ao pouco uso de cálculos longos.

Em junho de 1862, Riemann casou-se com Elise Koch, com a qual teve uma filha. Devido à sua saúde sensível, pouco tempo depois ele contraiu tuberculose. Para tentar melhorar o seu estado de saúde, Riemann mudou-se para a Itália, onde passou o inverno de 1862 e somente retornou para Göttingen em junho de 1863. Contudo sua saúde continuava se deteriorando e por isso voltou para Itália, onde morreu no dia 16 de junho do ano de 1866 na cidade de Selasca.

Após sua morte prematura, uma grande quantidade de manuscritos não publicados foram encontrados em seu gabinete, muitos deles incompletos. Isso levou alguns de seus alunos e colegas a redigir, completar e publicá-los nas Memórias da Real Sociedade de Ciências de Göttingen, em sucessivos artigos a partir de 1867. Um deles, escritos por K. Hattendorf e M. H. Weber, a partir das notas de Riemann que datam dos anos de 1860 e 1861, estão dedicadas às superfícies mínimas do _{R , mais}3 especificamente, às superfícies mínimas limitadas por duas circunferências em planos Georg Friedrich Bernhard Riemann, mais conhecido como Bernhard Riemann, nascido em 17 de setembro de 1826 na cidade de Breselenz, Hanover atual Alemanha, cujos pais chamavam-se Friedrich Bernhard Riemann e Charlotte Ebell. Era o segundo de seis filhos, dois meninos e quatro meninas que eram educados pelo próprio pai.

Aos vinte anos, Riemann matriculou-se na Universidade de Göttingen no curso de teologia, contudo, no ano seguinte mudou para o curso de filosofia

paralelos. Riemann provou que as únicas superfícies mínimas que atendem a característica acima (salvo movimentos rígidos e homotetia) são o catenóide e os seus exemplos, que posteriormente passaram a ser conhecidos como as superfícies mínimas de Riemann ou os exemplos de Riemann.

1.2 As Superfícies Mínimas de Riemann

As superfícies mínimas de Riemann superfícies mínimas de Riemann M_λ :λ∈R constituem uma família a 1-parâmetro de superfícies geometricamente distintas, que não devem ser confundidas com a superfície de Riemann que é uma superfície onde as aplicações mudança de coordenada são bi-holomorfas.

Para construir as superfícies mínimas de Riemann, consideraremos um toro retangular, T_λ =C_L, onde L é o reticulado gerado por

{ }

λ,i , para algum

2 , 2 , 2 , 1 ₁ = ₂ = i ₃ = +i ≥ ω λ ω ω λ

λ e uma função elíptica P com um duplo pólo no

zero, um duplo zero em ω3 = λ+i₂ e sem outros zeros ou pólos. Definiremos a função P de Weierstrass- P como )) ( (Ρ−Ρϖ₃ =c P

tendo a propriedade que Ρ−Ρ(ϖ₃) tem exatamente os mesmos pólos e zeros da função elíptica P .

Ao analisar a função elíptica para c=1 temos que Ρ_ϖ3₂ _=i_{. Estendendo a}

análise para c real, temos que P é real nas retas Re(z)=0,Re(z)=λ₂,Im(z)=0, 2

1 ) Im(z = .

As superfícies mínimas de Riemann podem ser descritas em termos dos dados da representação de Weierstrass g=Ρe η=idz_Ρ em T_λ − λ

{

0, +i₂

}

.

Ao observar que g é uma função meromorfa,η é uma 1-forma holomorfa, as igualdades acima e a construção da função elíptica, temo que Ρ tem apenas um zero em

2 i

z= λ+ e um pólo em z=0, e daí concluímos que g é uma função holomorfa e η é uma 1-forma holomorfa.

Os dados da representação de Weierstrass em T_λ − λ

{

0, +i₂

}

dão origem à imersão mínima X(z), cujas componentes são:

∫

∫

− =

∫

−Ρ = − = z z z_{i P}− _{P dz} P idz fdz g z x 1 1 1 ) ( Re ) 1 ( Re ) 1 ( Re ) ( 2 2 1 1 ω ω ω

∫

∫

+ =

∫

−Ρ =− − = z z z _P− _{P dz} P idz i fdz g i z x 1 1 1 ) ( Re ) 1 ( Re ) 1 ( Re ) ( 2 2 1 2 ω ω ω

∫

∫

=

∫

= =− = z fgdz z idz z idz z z x 2 3( ) Re 2 Re 2 Re 2 2Im( ) 1 1 λ ω ω

1.2.1 Propriedades

1

P : Para cada m∈Ζ, M ∩

{

x₃ =2m

}

é uma reta paralela ao eixo x . Essas retas2 correspondem às retas em T dadas porλ Im(z)=0 e Im(z)=1₂.

Inicialmente faremos algumas considerações sobre o período não nulo de uma curva de domínio T . Existem três possibilidades para o período. Primeiro nos furos, os pontos_λ

0

=

z e z=z+i₂. Em segundo lugar, o período poderia ser definido em curvas do tipo, 1 0 , ) (t =ci + t ≤t ≤ c

γ , que são círculos, ou seja, curvas fechadas, que não têm período real. E por último, as curvas do tipo µ =λ₄+ti,0≤t≤1 , que é justamente onde o período está definido. De acordo com a expressão da coordenada x em o3 período tem a terceira coordenada igual a 2− e o vetor período é T₀ =(α,β,−2).

A métrica conforme em T induzida pela imersão _λ X(z) é dada por dz

g ) ( )

1

( ₊ 2 _{= Ρ + Ρ}−1

η

De acordo com a definição de P , a reflexão em torno da reta Re(z)=0, (respectivamente, Re(z)=λ₂) ou da reta Im(z)=0(respectivamente, Im(z)=1₂) induz uma isometria na superfície.

Estas quatro retas permanecem fixas em T por uma destas reflexões e elas são_λ geodésicas pelo fato de serem invariantes por reflexão no reticulado e invariantes por isometria na superfície.

Sabemos que, ao longo das quatro retas geodésicas Re(z)=0, Re(z)=λ₂, 0

)

Im(z = e Im(z)= 1₂, a função P e _{dz são reais por definição e que a segunda}2 forma fundamental da imersão X(z) é dada por

{

}

          = 2 ' 2 ' _Re Re dz P P i dz fg . Consideremos P(z)=u(x,y)+iv(x,y) e y v i x u z P ∂ ∂ + ∂ ∂ = ) ( ' . Analisando o comportamento da retas Im(z)=0e Im(z)= 1₂ na expressão de _P'(_z) _{temos que}

x u z P ∂ ∂ = ) ( '

com v=0 e para as retas Re(z)=0 e Re(z)=λ₂, temos que

y v i z P ∂ ∂ = ) ( '

com u=0. Concluímos que _P'(_z) _{é real ao longo do par de retas horizontais Im(z)=0} e Im(z)= 1₂ e puramente imaginário ao longo do par de retas verticais Re(z)=0 e

2 ) Re(z =λ .

Podemos concluir, com base nessas considerações, que _Re

{

_fg'_dz2

}

_{é imaginário} ao longo das retas Im(z)=0 e Im(z)=1₂ e real ao longo das retasRe(z)=0 e

2 ) Re(z =λ .

E para concluir nosso raciocínio, as retasRe(z)=0 e Re(z)=λ₂ são aplicadas por X em linhas de curvatura que são geodésicas planas, enquanto Im(z)=0 e

2 1 )

Im(z = são aplicadas em retas.

2

P : M é fibrada por círculos em planos horizontais x₃ =c≠2m,m∈Z correspondem às curvas fechadas em T dadas por λ Im(z)=c≠0e Im(z)=c≠ 1₂.

Usando o Princípio de Reflexão de Schwarz, M é invariante por rotação em torno das retas Im(z)=0 e Im(z)=1₂.

Lembremos que, dado um ponto e um vetor velocidade, existe uma única geodésica passando por este ponto com a velocidade inicial dada. Se refletirmos esta geodésica, obteremos uma reta cujo vetor velocidade é ortogonal ao plano tangente da superfície e está contido no plano da geodésica, e para estas condições serem satisfeitas, este vetor tem de ser nulo. Com isso concluímos que M é invariante por reflexão em relação aos planos das geodésicas.

É evidente, a partir de x₃(z) na parametrização X , que a reta horizontal c

z)=

Im( é aplicada no plano horizontal x₃ =2c.

Para visualizarmos melhor necessitamos do resultado que as curvas de nível x₃ =c≠m na superfície mínima de Riemann são círculos.

3

P : M é completa, simplesmente periódica e invariante por uma translação T . Já sabemos que M é fibrada por círculos em planos horizontais x3 =c, podemos concluir que a superfície não tem período, exceto nos furos 0 e 1₂(λ +i). Mas por cada um destes furos passa uma reta e um plano ortogonal à geodésica. O período de X é ortogonal ao plano e à reta, o que torna o período nulo, isto é, a superfície não tem período no furo.

Por esta razão, M é simplesmente periódica. Observamos que o vetor período T pode0 ser refletido sobre si mesmo em torno do planox₂ =0, isto é, T₀ = α( ,0,−2). Concluímos que M é completa já que P + P−1$ tem um duplo pólo em cada furo e o comprimento da curva divergente nos pontos 0 e λ+i₂ é infinito.

4

P : M é Mergulhada.

Notemos que, de acordo com as propriedades, a interseção de M com qualquer plano horizontal é uma reta ou um círculo, ou seja, curvas mergulhadas. Logo, M é mergulhada.

5

P : M tem um número infinito de fins planos, cada um deles assintótico a um plano de altura x₃ =2m,m∈Z..

A superfície M foi construída utilizando uma função elíptica P , cujo domínio consideramos o reticulado gerado por

{ }

λ,i , excluindo os pontos dados por 0 e λ +i₂ , os quais estamos chamando de furos. Lembremos que o fim é definido num disco

perfurado. No nosso caso, temos duas possibilidades de fim, nos furos 0 e λ+i₂ . Como os pontos do reticulado podem ser identificados pela relação de equivalência, z ~

Z m m w z

w⇔ − = λ, ∈ _{, faremos o quociente de ~}C e com isso, o domínio herda a

topologia do cilindro menos um número infinito de pontos. Com base nesta equivalência podemos identificar os furo com outros pontos do domínio, ou seja, podemos identificar os fins, com isso temos que o fim correspondente ao ponto 0 são identificados com

{

mi,m∈C

}

e ao correspondente ao ponto λ+i₂ são identificados com

{

λ +i₂+mi,m∈Z

}

. Com isso concluímos que a superfície possui infinitos fins.

Estes fins são mergulhados pelo fato da superfície ser mergulhada e livres de período decorrente dos furos não terem período. Além disso, cada fim contém uma reta e a aplicação normal de Gauss tem ordem 2 . Pelo fato de terem todas estas características citadas podemos dizer que os fins são planos. Como g=π N _onde

C S2 →

:

π , é a projeção estereográfica, verificamos que g(0)=∞ e com isso obtemos que N =(0,0,1). Analogamente, verificamos que g

(

1₂(λ+i)

)

=0 e obtemos

) 1 , 0 , 0 ( − =

N , o que nos faz concluir que a aplicação normal de Gauss é vertical em cada fim e este contém uma reta horizontal de altura x₃ =2m.

6

P : M é invariante por reflexão em torno do plano x1x3. A interseção deste plano com M consiste em geodésicas planas, que correspondem às retas em T dadas porλ

0 )

Re(z = e Re(z)=λ₂.

Pelo fato das curvas planas X(γ_C(t)),γ_C(t)=ci+t,0≤t≤1 serem círculos fechados, o plano que contém as imagens de µ~(t)=λ₂+ti e µˆ t( ) coincidem. Visto que g=P é real em µ=λ₄+ti o plano de simetria de M é vertical e paralelo ao plano

{

x₂ =0

}

. Escolhendoϖ =₁ µ(0) como ponto inicial da integração, o plano vertical de simetria é exatamente o plano coordenado

{

x₂ =0

}

.

7

P : M é invariante por rotação em torno de retas horizontais que são paralelas à reta M ∩

{

x₃ =λm

}

a uma altura x3 =

(

m+ 1₂

)

λ e encontram a superfície

ortogonalmente.

Consideremos Q(z)=P(I(z)), onde I é a inversão no ponto 1₄(λ+i) e possui as seguintes propriedades:

(

i

)

i Q e Q Q(0)=0, (ϖ₃)=∞ λ + ₄ =

Verificamos que Q=−1_P resolve um problema de aplicação conforme num retângulo com os vértices 0,ϖ1,ϖ2,ϖ3. Por esta razão

(

)

1

1 −

− _{= +}

+ P I P P

P  . Visto

que I∗dz = dz _{$| temos que I é uma isometria na métrica induzida em}

λ

T . De fato, I é induzido por uma simetria de _{R consistindo de uma rotação de} 3 π _{$ sobre uma reta} horizontal ortogonal ao plano x1x3 e bissecta o segmento entre X(ϖ2) e X(ϖ1). Esta reta horizontal encontra M ortogonalmente nos pontos X

( )

λ4+i e X

(

4λ + 34i

)

. Para verificar esse fato, simplesmente observe queI∗dz=dz e

          + − − − =           = − − idz dz P P i dz P P i 2 ) ( ) ( 1 1 3 2 1 φ φ φ φ Segue que           − − = ∗ 3 2 1 φ φ φ φ I

e observamos que _{I atua no integrando}∗ φ _{pela rotação sobre o eixo}

2

x . Visto que I fixaλ4+i eλ4 +34i segue que I é induzido pela rotação sobre a reta paralela ao eixo x ,2 que passa por _X

( )

ϖ₂3 _{= X}

( )

λ₄+i _e

(

)

(

)

4 3 4 2 2 3 _X i X ϖ +_ϖ = λ + _.

Plano

1.2.2 Caracterização

Teorema: Uma superfície mínima que é folheada por arcos de círculo é um subconjunto do catenóide ou de uma superfície mínima de Riemann.

Catenóide