Estabilidade para equações diferenciais em medida

(1)

Estabilidade para equações

diferenciais em medida

(2)

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 28/01/2008

Assinatura:

Estabilidade para equações diferenciais em

medida

1

Lucas Felipe Rodrigues dos Santos Garcia

Orientadora: Prof. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática.

USP - São Carlos Fevereiro de 2008

(3)

(4)

Agradecimentos

Inicialmente gostaria de agradecer à minha família, de maneira mais especial à minha mãe (Val) que sempre acreditou em mim, à Tia Vilma pelo apoio e carinho, ao meu padrasto Ceará, à minha mais que namorada, amiga, confidente, Renata (Mô), por sem-pre estar comigo e ter me ajudado em todos os sentidos para que este trabalho fosse realizado, pela confiança, carinho nos momentos ruins e bons, pelas broncas nas horas certas, conselhos, por dividir sua história comigo, por todo seu amor! Amo-te muito! Obrigado por fazer parte da minha vida!

Aos amigos que fiz nessa jornada até aqui e que nunca irei esquecer, Thaís Monis, pelo apoio e ajuda no início da caminhada, aos antigos da sala 4009, em especial ao Pimenta, Juliano, Wescley e Castilho, pelas horas perdidas estudando juntos. Aos novos da sala 4009, Fábio, Marcos, Thaís Jordão e Mendes. À galera da pós pela companhia no cafézinho. Ao Renan, grande camarada, pelas partidas de PS6 e BF2 (ainda devo uma revanche). Aos amigos que fiz em Rio Claro/SP, Fozzy, Pac, Simprão, à velha guarda da casa 5, Mineiro, Véio, Chorão (esse vai longe), Lélis (agregado!), Gordinho (in memorian). Nunca vou esquecer vocês. Aos amigos de infância Mica, Xande, Mila e Lu. À minha orientadora Márcia, pela orientação segura e competente de uma grande profissional, paciência e tardes perdidas me ajudando.

Valeu galera!

(5)

(6)

Resumo

Neste trabalho, nós investigamos a estabilidade da solução trivial da seguinte Equação Diferencial em Medida (EDM)

Dx=f(x, t) +g(x, t)Du, (1)

onde Bc ={x ∈Rn;kxk ≤ c}, f : Bc×[a, b]→ Rn e g : Bc×[a, b]→ Rn, u : [a, b]→ R é uma função de variação limitada em [a, b] e contínua à esquerda em (a, b], f(x,·) é

Lebesgue integrável em [a, b], g(x,·) é du-integrável em [a, b], f(0, t) = 0 = g(0, t) para

todoteDxeDudenotam as derivadas distribucionais dexeuno sentido de L. Schwartz.

Nós consideramos as funções f e g num contexto bem geral. Assim, para obtermos

nossos resultados, nós provamos a correspondência biunívoca entre as soluções da classe de EDMs (1) em tal contexto e as soluções de certa classe de equação diferencial ordinária generalizada (EDOG). Desta forma, foi possível aplicarmos as técnicas e resultados da teoria das equações diferenciais ordinárias generalizadas, como teoremas do tipo Lyapunov e do tipo Lyapunov inverso, para obtermos os resultados correspondentes para a EDM (1).

Os resultados apresentados neste trabalho sobre estabilidade da solução trivial da EDM (1) são inéditos. Parte deles foram apresentados no 660 _{Seminário Brasileiro de}

(7)

(8)

Abstract

In this work, we investigate the stability of the trivial solution of the following Measure Differential Equation (MDE)

Dx=f(x, t) +g(x, t)Du, (2)

where Bc = {x ∈ Rn;kxk ≤ c}, f : Bc ×[a, b] → Rn and g : Bc ×[a, b] → Rn, u is a function of bounded variation in [a, b] which is also left continuous on (a, b], f(x,·) is

Lebesgue integrable in [a, b] and g(x,·) is du-integrable in [a, b], f(0, t) = 0 = g(0, t) for

all t and Dx, Du denote the derivatives of x and u in the sense of distributions of L.

Schwartz.

We consider the functions f and g in a general setting. Thus, in order to obtain our

results, we prove there is a one-to-one correspondence between the solutions of the MDE (2) in this setting and the solutions of a certain class of generalized ordinary differential equation (GODE). In this manner, it was possible to apply the techniques and results from the teory of GODE’s, such as Lyapunov-type and converse Lyapunov-type theorems, to obtain the corresponding results for our MDE (2).

(9)

(10)

Sumário

Introdução 1

1 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas 7

1.1 A Integral Generalizada de Perron . . . 7 1.2 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas . . . 14 1.3 Existência e Unicidade de Solução de EDOGs . . . 19

2 Estabilidade Variacional para EDOGs 25

2.1 Conceitos de Estabilidade . . . 25 2.2 Teoremas do Tipo Lyapunov . . . 33 2.3 Teoremas do Tipo Lyapunov Inversos . . . 37

3 Equações Diferenciais em Medida 51

3.1 Representação Integral . . . 51 3.2 Correspondência entre EDOGs e EDMs . . . 52 3.3 Existência Local e Unicidade de Solução . . . 58

4 Estabilidade para EDMs 63

4.1 Teoremas do Tipo Lyapunov e do Tipo Lyapunov Inversos . . . 67

5 Um Caso Especial 71

(11)

(12)

Introdução

Na vida real, diversos processos evolutivos tais como fenômenos biológicos, modelos envolvendo batimentos em medicina, modelos de controle ótimo em economia, sistemas de freqüência modulada e movimentos de mísseis e aeronaves são caracterizados pelo fato de que, em determinados instantes, tais processos podem experimentar mudança repentina de estado ou mudanças em lapsos de tempo tão pequenos que podem ser consideradas instantâneas. Estas perturbações agem na forma de impulsos.

Um problema que surge na orientação do curso de veículos espaciais é escolher con-troles, que são em parte impulsivos e em parte não-impulsivos, para otimizar a perfor-mance relativa a uma certa função de custo. Uma formulação deste tipo de problema pode ser dada por

dx(t) =f(t, x(t), u(t))dt+g(t, x(t))µ(dt) (3)

que relaciona a trajetória x(·) com o controle convencional não-impulsivo u(·) e com a

medida µque representa um controle impulsivo. O problema de otimização dos controles

impulsivos de (3) foi estudado em [3].

Em [8], os autores estudam o seguinte sistema singular dados por uma equação dife-rencial em medida (escrevemos abreviadamente EDMs):

EiDxi =Aixi+Biui+

X

j=1, j6=i

AijxjDwj, i= 1,2, . . . , r, (4)

ondeDdenota a derivada, no sentido das distribuições de L. Schwartz,xi ∈Rni eui ∈Rmi representam, respectivamente, o estado local e a entrada de controle, sendo que ui pode ser descontínuo, Ei e Ai são matrizes constantes ni ×mi, wi : R+ → R são funções

localmente de variação limitada e contínuas à direita, i, j = 1,2, . . . , r, Pn_j₌₁nj = n e

Pn

j=1mj =n.

(13)

multisetorial entre outras. Por isto, a teoria de EDMs para o tratamento destes sistemas é mais adequada do que a teoria clássica das EDOs. Para estas, os impulsos são tratados como condições adicionais às equações, enquanto que as primeiras tratam os impulsos de forma mais apropriada integrando-os às equações. No caso de (4), se wi for uma função localmente de variação limitada, então Dwi poderá ser identificada com uma medida de Lebesgue-Stieltjes que atua alterando abruptamente o estado do sistema nos pontos de descontinuidade dewi. O fato de que as soluções de (4) são descontínuas (pois são funções

localmente de variação limitada) traz algumas complicações quando se tenta aplicar as técnicas usuais da teoria de controle, por exemplo.

Mais geralmente, o problema de modelização de controladores robustos para sistemas incertos também atrai interesse de pesquisadores. Em [2], por exemplo, a estabilidade deste tipo de sistema com incertezas e retardos foi investigada. Os autores de [2] consi-deram a seguinte EDM

Dx(t) = [(A+ ∆A)x(t) + (A1+ ∆A1)x(t−r) +Bu(t)]Dw, (5)

onde x(t)∈Rn e_u₍_t₎_∈Rm são, respectivamente, o vetor de estado e o vetor de controle, A, A1, B são matrizes conhecidas e ∆A,∆A1 são matrizes desconhecidas de dimensões

apropriadas, r denota o retardo no tempo, o qual é assumido como sendo constante,

limitado e desconhecido, Dx e Dw representam as derivadas distribucionais de x e w

respectivamente, e w:R₊ _→R é uma função localmente de variação limitada e contínua

à direita.

Em [1], o autor considera o problema populacional envolvendo uma batalha de 2 grupos de combatentes: a unidade A e a unidade B. Cada unidade escolhe uma estratégia de

ataque e contra-ataque com respeito ao inimigo de forma que a batalha dure o menor tempo possível. O controle do tempo de batalha é governado pela presença de uma

função de reforço cuja construção precisa ser feita de forma a refletir um comportamento impulsivo que naturalmente espera-se que ocorra no campo de batalha.

População não é um fenômeno contínuo. Assim, é mais adequado e natural utilizar-se uma derivada distribucional para formular o problema do que uma derivada ordinária. A escolha da teoria das EDMs é, portanto, bastante adequada para tratar este problema.

Sejam N1(t) eN2(t)respectivamente as populações de combatentes das unidades A e

B. A taxa (no sentido das distribuições) de decrescimento da população de soldados em

(14)

Introdução 3

EDM é

DN1 =−αN1Du1+N2g1 (6)

DN2 =−βN2Du2 +N1g2 (7)

para 0< t0 < t1 < t2 < . . .,limk→∞tk = +∞, onde

g1 =g1(t, β, N1) e g2 =g2(t, α, N2)

são tais que

g1, g2 :J ×R×BV(J)→R

com J um intervalo da reta real e BV(J) o espaço das funções de variação limitada em

J. Como funções do tempo em J, g1 e g2 são funções de variação limitada e contínuas

à direita. Além disso, u é de variação limitada e D denota a derivada distribucional, no

sentido de L. Schwartz. As quantidades αN1 eβN2 em (6) e (7) são, respectivamente, as

taxas de decrescimento populacional de N1 e N2 com respeito ao tempo e no sentido das

distribuições. As populações decaem de tal modo que elas são proporcionais às relativas populações e α e β são certos multiplicadores militares. Por outro lado, as quantidades N1g1 e N2g2 são, respectivamente, as estratégias de vitória das unidades A e B e g1 e

g2 são as funções de reforço das unidades A e B respectivamente. As funções g1 e g2

dependem de ambos: as populações de soldados no campo de batalha e do equipamento bélico em tempos fixados ti, i = 1,2, . . .. Portanto é razoável considerar este modelo

como uma equação diferencial impulsiva e, a fim de envolver as derivadas no sentido das distribuições, são introduzidas as quantidades ui i = 1,2, . . ., no modelo. Assim, o uso de derivadas distribucionais é justificado pela natureza impulsiva das populações e, conseqüentemente, as técnicas da teoria de EDMs são apropriadas para a análise do modelo.

Pelo que pudemos observar nos comentários acima, uma das formas de se considerar equações que envolvem impulsos é a formulação dos problemas por EDMs. O principal objetivo do conceito de EDMs é a descrição de sistemas que possuem soluções descontínuas causadas pelo comportamento impulsivo do sistema diferencial. As soluções de uma EDM são funções descontínuas de variação limitada.

As EDMs têm sido investigadas por muitos autores. Um texto fundamental é [15]. Outras referências são, por exemplo, [6], [12], [14], [18], [5] e [20].

(15)

(esquerda). Uma EDM pode ser escrita formalmente como

Dx=f(x, t) +g(x, t)Du, (8)

onde Dx e Du denotam as derivadas distribucionais de x eu no sentido de L. Schwartz.

Em [6], os autores mostraram que o conceito de uma solução de (8) com condição inicial x(t0) = x0, t0 ∈ [a, b], x0 ∈ Bc, é equivalente ao conceito de solução da equação

integral

x(t) = x0+ Z t

t0

f(x(s), s)ds+

Z t

t0

g(x(s), s)du(s), t∈[a, b]. (9)

Em [15], a existência e unicidade de soluções de (3.1) são apresentadas. Veja, também, [12]. Em [6], [4], [14], [13], [18] e [19] os diversos autores consideram o sistema ordinário

˙

x=f(x, t), (10)

com f(0, t) = 0 para todo t de forma quex= 0 seja solução de (10) e, então, consideram

o sistema (8) como perturbação de (10). Nestes artigos, são investigados resultados en-volvendo conceitos distintos de estabilidade tais como equivalência assintótica de soluções ([18]), quase-equi-estabilidade assintótica da solução trivial ([6]) ou estabilidade assin-tótica e estabilidade uniforme de conjuntos assintoticamente auto-invariantes ([14], [19]). Os resultados de [13], por exemplo, são do tipo Lyapunov inversos, assumido-se que o con-junto assintoticamente auto-invariantex= 0seja estável, em algum sentido, relativamente

à equação perturbada (8). Em [14], o autor obtém resultados sobre estabilidade (uniforme e também assintótica exponencial) do conjunto assintoticamente auto-invariante x = 0

relativamente ao sistema ordinário (10).

O objetivo desta dissertação é considerar a EDM (8), com f(0, t) = 0 = g(0, t) para

todo t, de tal forma que x = 0 seja solução da equação, e investigar alguns tipos de

estabilidade da solução trivial. Pelo fato de considerarmos condições mais gerais do que as condições usuais de Carathéodory para as funções f e g, usaremos a correspondência

(16)

Introdução 5

EDOGs para obtermos resultados correspondentes para as EDMs. Em conseqüência da nossa escolha do espaço das EDOGs, os resultados obtidos generalizam os existentes ou são resultados novos.

Em [15], por exemplo, os autores apresentam um resultado sobre existência local e unicidade de solução assumindo que f e g satisfazem condições de Carathéodory e

Lips-chitz. Em nosso trabalho, obtemos existência local assumindo que as integrais indefinidas destas funções satisfazem condições do tipo Carathéodory e Lipschitz. Portanto, nosso resultado é mais geral.

Com respeito ao estudo da estabilidade da EDM (3.1) ou, mais precisamente, estabili-dade da solução trivial da EDM (3.1), introduzimos o conceito de estabiliestabili-dade variacional e estabilidade variacional assintótica a fim de obtermos teoremas do tipo Lyapunov e do tipo Lyapunov inversos relativamente a estes conceitos.

Podemos dizer, de maneira informal, que a solução trivial de (8) é variacionalmente estável, se a solução trivial de sua perturbada

Dx=f(x, t) +g(x, t)Du+p(t), (11)

onde a integral indefinida de p tem variação pequena, for estável no sentido usual. Este

conceito “novo” de estabilidade foi introduzido para o caso de equações funcionais com retardamento em [11] com o objetivo de obter-se teoremas do tipo Lyapunov inversos para tais equações. Note que o conceito de estabilidade variacional implica no conceito usual de estabilidade da solução x≡0de (8). Note, ainda, que a perturbação ppode ser “grande”

em algum sentido e, ainda assim, conseguimos obter a estabilidade da solução trivial de (8), contanto que a variação de sua integral indefinida seja suficientemente pequena.

Em vista dos comentários acima, os resultados que apresentamos neste trabalho sobre estabilidade são novos.

(17)

(18)

Capítulo

1

Equações Diferenciais Ordinárias

Generalizadas

Neste capítulo, iremos introduzir a teoria básica e necessária de equações diferen-ciais ordinárias generalizadas (escrevemos, abreviadamente, EDOGs), para, no capítulo seguinte, desenvolvermos os resultados de estabilidade para EDOGs.

A referência básica para a teoria das EDOGs é [16]. Quando acharmos pertinente, vamos incluir as demonstrações dos resultados apresentados.

1.1 A Integral Generalizada de Perron

Seja [a, b] ⊂ R com _−∞ _{< a < b <} ₊_∞. Um par que consiste ₍_{τ, J}₎ de um ponto τ ∈R e um intervalo compacto_J _⊂Ré chamado de intervalo marcado e _τ é a marca de J.

Uma coleção finita ∆ = {(τj, Jj), j = 1,2, . . . , k} de intervalos marcados é chamado um sistema em[a, b], se τj ∈Jj ⊆[a, b]para todoj = 1,2, . . . , k eIntJi

T

IntJj 6=∅para

j 6=i, onde IntJ denota o interior de um intervalo J.

Um sistema ∆ ={(τj, Jj), j = 1,2, . . . , k}de intervalos marcados é chamado partição de [a, b], se

k

[

j=1

Jj = [a, b]. Neste caso, utilizamos a notação D ao invés de ∆.

Dada uma função positivaδ: [a, b]→(0,+∞), chamadacalibre em[a, b], um intervalo

marcado (τ, J) com τ ∈[a, b] é dito ser δ-ﬁno, se J ⊂]τ−δ(τ), τ +δ(τ)[.

(19)

O próximo resultado pode ser encontrado em [16], Lema 1.4 e é muito importante para a definição que o segue.

Lema 1.1 (Cousin - [16], Lema 1.4). Dado uma função calibre δ em [a, b], existe uma

partição δ-ﬁna D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k} de [a, b].

Definição 1.2. Uma função U : [a, b] ×[a, b] → R é chamada integrável em _[_{a, b}_], se

existir I ∈R tal que dado _{ǫ >}₀, existe uma função calibre _δ em _[_{a, b}_] tal que

|S(U, D)−I|=

k

X

j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)]−I

< ǫ (1.1)

para toda partição δ-ﬁna

D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k}={α0, τ1, α1, τ2, . . . , αk−1, τk, αk} (1.2)

de [a, b], onde usamos a notação S(U, D) =

k

X

j=1

[U(τj, αj) −U(τj, αj−1)]. O elemento

I ∈ R é chamado a integral generalizada de Perron de _U sobre o intervalo _[_{a, b}_] e será

denotado por Z b

a

DU(τ, t).

Quando Z b a

DU(τ, t)existe, definimos

Z b

a

DU(τ, t) = −

Z a

b

DU(τ, t)e

Z b

a

DU(τ, t) =

0 se a=b.

Observação: Seja f : [a, b] → R integrável segundo Riemann e defina _U₍_{τ, t}_{) =} _f₍_τ₎_t

para τ, t∈[a, b]. Então

U(τj, αj)−U(τj, αj−1) = f(τj)(αj −αj−1)

Logo, considerando a função calibre δ em [a, b] como sendo constante,

Z b

a

DU(τ, t)

re-presenta a integral de Riemann da função f em [a, b], pois neste caso,

Z b

a

DU(τ, t) =

Z b

a

D[f(τ)t] =

Z b

a

f(s)ds. Mais do que isso, se g : [a, b] → R for dada e definirmos U(τ, t) =f(τ)g(t)tal que τ, t∈[a, b], então

U(τj, αj)−U(τj, αj−1) = f(τj)[g(αj)−g(αj−1)].

Logo Z b a

(20)

1.1 A Integral Generalizada de Perron 9

[a, b] se a integral existir e, neste caso,

Z b

a

DU(τ, t) =

Z b

a

D[f(τ)g(t)] =

Z b

a

f(s)dg(s).

Analogamente à Definição 1.2, definimos a intergral de Perron generalizada de U a

valores em Rn.

Definição 1.3. Dizemos que uma função U : [a, b]×[a, b] → Rn é chamada integrável

sobre [a, b], se existir um I ∈Rn tal que dado _{ǫ >}₀, existe uma função calibre _δ em _[_{a, b}_]

tal que

kS(U, D)−Ik=

k

X

j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)]−I

< ǫ (1.3)

para toda partição δ-ﬁna D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k} de [a, b]. Aqui k · k denota

a norma euclidiana em Rn_.

Denotaremos por K([a, b]) o conjunto de todas as funções U o qual são integráveis

sobre [a, b].

Teorema 1.4 ([16] - Teor. 1.6). Uma funçãoU : [a, b]×[a, b]→Rn,_U _{= (}_U₁_{, U}₂_{, . . . , U}_n₎

é integrável se, e somente se, cada componente Um, m = 1,2, . . . , mfor integrável no

sen-tido da Deﬁnição 1.2.

Prova: Suponha que a integral

Z b

a

DU(τ, t) = I = (I1, I2, . . . , In) existe. Sendo

S(U, D) =

k

X

j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)] e S(Um, D) = k

X

j=1

[Um(τj, αj)−Um(τj, αj−1)],

es-crevemos (S(U, D))m =S(Um, D). Assim

Portanto obtemos a existência de

Z b

a

DUm(τ, t).

Reciprocamente, suponhamos que a integral Z b a

DUm(τ, t) = Im existe para todo

m = 1,2, . . . , n. Então para qualquerǫ >0, existe uma função calibreδm em [a, b]tal que para toda partição δm-fina Dm de [a, b], temos |S(U, D))m−Im|< ǫ. Seja

δ(τ)≤min{δ1(τ), δ2(τ), . . . , δn(τ)}

(21)

1,2, . . . , n. Logo

kS(U, D)−Ik=

n

X

m=1

(S(Um, D)−Im)2

!1 2

≤(nǫ2)12

para toda partição δ-fina D de[a, b].

Consequentemente a integral Z b a

DU(τ, t) existe.

Teorema 1.5 ([16] - Teor. 1.10). Se U ∈ K([a, b]), então para todo [c, d] ⊂ [a, b],

U ∈ K([c, d]).

O próximo resultado é conhecido como Lema de Saks-Henstocks e será utilizado para demonstrarmos diversos resultados adiante.

Lema 1.6 (Saks-Henstocks - [16] - Lema 1.13). SejaU : [a, b]×[a, b]→Rnintegrável

sobre [a, b]. Dado ǫ >0, seja δ uma função calibre em [a, b] tal que

k

X

j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)]− Z b

a

DU(τ, t)

< ǫ (1.4)

para toda partição δ-ﬁna D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k} de [a, b]. Se

a≤β1 ≤ξ1 ≤γ1 ≤β2 ≤ξ2 ≤γ2 ≤. . .≤βm ≤ξm ≤γm ≤b

representa um sistema δ-ﬁno {(ξj,[βj, γj]), j = 1,2, . . . , m}, isto é,

ξj ∈[βj, γj]⊂]ξj−δ(ξj), ξj+δ(ξj)[, j = 1,2, . . . , m

então

m

X

j=1 "

U(ξj, βj)−U(ξj, γj)−

Z γj

βj

DU(τ, t)#

< ǫ. (1.5)

Prova: Temos βj ≤ γj, j = 1,2, . . . , m, mas sem perda de generalidade, podemos supor que βj < γj para todo j = 1,2, . . . , m. Denote γ0 =a e βm+1.

Também temos γj ≤ βj+1, j = 1,2, . . . , m. Mas se γj < βj+1 para algum j =

0,1, . . . , m, como

Z b

a

DU(τ, t) existe, então pelo Teorema 1.5 a integral

Z βj+1

γj

DU(τ, t)

(22)

δj(τ)< δ(τ), τ ∈[γj, βj+1] e para toda partição δj-fina Dj de[γj, βj+1], temos

S(U, D

j₎₋

Z βj+1

γj

DU(τ, t)

< η

m+ 1 (1.6)

Seγj =βj+1, então teremos S(U, Dj) = 0.

Consequentemente, de (1.4), temos

m X j=1

[U(ξj, γj)−U(ξj, βj)] + m

X

j=1

S(U, Dj)−

Z b

a

DU(τ, t)

< ǫ, já que m [ j=0

Dj ∪ {(ξj,[βj, γj]), j = 1,2, . . . , m} é uma partição δ-fina de [a, b].

Observe que

Z b

a

DU(τ, t) =

m

X

j=1 Z γj

βj

DU(τ, t) +

m

X

j=0 Z βj+1

γj

DU(τ, t).

Logo m X j=1

[U(ξj, βj)−U(ξj, γj)−

Z γj

βj

DU(τ, t)]

= m X j=1

[U(ξj, βj)−U(ξj, γj)] + m

X

j=0 Z βj+1

γj

DU(τ, t)−

Z b

a

DU(τ, t)

≤ m X j=1

[U(ξj, βj)−U(ξj, γj)]−

Z b

a

DU(τ, t) +

m

X

j=0

S(U, Dj)

+ m X j=0

S(U, D

j

)−

Z βj+1

γj

DU(τ, t)

< ǫ+ (m+ 1)

η

m+ 1 =ǫ+η.

Como esta desigualdade vale para todoη >0, obtemos (1.5).

O próximo teorema trata da extensão de Cauchy para a integral generalizada de Per-ron.

Teorema 1.7 ([16] - Teor. 1.14). Seja U : [a, b]×[a, b] → Rn uma função integrável

em [a, c] tal que para todo c∈[a, b), o limite

lim

c→b− Z c

a

DU(τ, t)−U(b, c) +U(b, b)

(23)

existe. Então a função U é integrável em [a, b] e

Z b

a

DU(τ, t) = I.

Observação: Analogamente, suponhamos que U : [a, b]×[a, b] → Rn é integrável em

[c, b] e que, para todo c∈(a, b], o limite

lim

c→a+ Z b

c

DU(τ, t) +U(a, c)−U(a, a)

=I

existe. Então a função U é integrável em [a, b] e

Z b

a

DU(τ, t) = I.

O Teorema 1.7 e a observação que o seguem implicam que a integral de Perron gener-alizada contém suas integrais "impróprias".

Teorema 1.8 ([16] - Teor. 1.16). Seja U : [a, b]×[a, b]→Rn _{tal que} _U _{seja integrável}

em [a, b] e considere c∈[a, b]. Então

lim

s→c

Z s

a

DU(τ, t)−U(c, s) +U(c, c)

=

Z c

a

DU(τ, t).

Prova: Seja ǫ > 0 dado. Como U é integrável em [a, b], existe uma função calibre δ

em [a, b] tal que vale

kS(U, D)−Ik=

k X j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)]−I < ǫ

para toda partição δ-fina D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k}de [a, b].

Seja c ∈ [a, b] qualquer. Se s ∈ ]c−δ(c), c+δ(c)[ ∩[a, b], então pelo Lema de

Saks-Henstock (Lema 1.6), temos

U(c, s)−U(c, c)− Z s

c

DU(τ, t)

< ǫ. Logo Z s a

DU(τ, t)−U(c, s) +U(c, c)−

Z s

c

DU(τ, t)

= Z s c

DU(τ, t)−U(c, s) +U(c, c)

(24)

e assim segue o resultado.

Teorema 1.9 ([16] - Teor. 1.35). Seja U : [a, b]×[a, b] →Rn _{uma função integrável.}

Se V : [a, b]×[a, b]→R for integrável e se existir uma função calibre _θ em _[_{a, b}_] tal que

|t−τ|kU(τ, t)−U(τ, τ)k ≤(t−τ)(V(τ, t)−V(τ, τ))

para todo t ∈]τ−θ(τ), τ +θ(τ)[, então vale a desigualdade

Z b

a

DU(τ, t)

≤

Z b

a

DV(τ, t).

Prova: Assuma ǫ > 0 dado. Como as integrais

Z b

a

DU(τ, t) e

Z b

a

DV(τ, t) existem,

então existe uma função calibre δ em [a, b] com δ(s) ≤ θ(s) para s ∈ [a, b] tal que para

toda partição δ-fina

D={(τj,[αj−1, αj]), j = 1,2, . . . , k} de [a, b], temos

k

X

j=1

a

DU(τ, t)k< ǫ (1.7)

e

|

k

X

j=1

[V(τj, αj)−V(τj, αj−1)]− Z b

a

DV(τ, t)|< ǫ. (1.8)

Por hipótese, para cadai= 1,2, . . . , k, temos

|αi−τi|kU(τi, αi)−U(τi, τi)k ≤(αi−τ)(V(τi, αi)−V(τi, τi)).

Logo

kU(τi, αi)−U(τi, τi)k ≤V(τi, αi)−V(τi, τi), τi < αi, e

kU(τi, αi)−U(τi, τi)k ≤V(τi, τi)−V(τi, αi), αi < τi. Consequentemente, para cadai= 1,2, . . . , k, temos

kU(τi, αi)−U(τi, αi−1)k ≤ kU(τi, αi)−U(τi, τi)k+kU(τi, τi)−U(τi, αi−1)k

(25)

Assim por (1.7) e (1.8), obtemos Z b a

DU(τ, t)

≤ k X j=1

a

DU(τ, t)

+k k X j=1

[U(τj, αj)−U(τj, αj−1)]k< ǫ+

k

X

j=1

[V(τj, αj)−V(τj, αj−1)]

−

Z b

a

DV(τ, t) +

Z b

a

DV(τ, t)<2ǫ+

Z b

a

DV(τ, t).

Como ǫé arbitrário, segue o resultado.

1.2 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas

Seja G ⊂ Rn+1 um aberto dado e seja _F _: _G _→ Rn+1 uma função definida em cada

par (x, t)∈G, onde x∈Rn e _t_∈R.

Definição 1.10. Uma função x : [a, b] → Rn é chamada uma solução da equação

dife-rencial ordinária generalizada (escrevemos EDOG)

dx

dτ =DF(x, t) (1.9)

no intervalo [α, β]⊂R, se ₍_x₍_t₎_{, t}₎_∈_G para todo_t _∈_[_{α, β}_] e se

x(s2)−x(s1) = Z s2

s1

DF(x(τ), t) (1.10)

para quaisquer s1, s2 ∈[α, β].

Proposição 1.11 ([16] - Prop. 3.6). Se x : [α, β] → Rn for uma solução da EDOG

(1.9) em [α, β], então

lim

s→σ[x(s)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ)] =x(σ) (1.11)

para todo σ ∈[α, β].

Prova: Seja σ∈[α, β] fixo. Logo, como x é solução da equação (1.9), então

x(s) = x(σ) +

Z s

σ

(26)

1.2 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas 15

e, portanto,

x(s)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ) =

Z s

σ

DF(x(τ), t)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ) +x(σ),

para todo s∈[α, β].

Pelo Teorema 1.8, temos

lim

s→σ

Z s

σ

DF(x(τ), t)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ)

=

Z σ

σ

DF(x(τ), t) = 0.

Logo

lim

s→σ[x(s)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ)]

= lim

s→σ

Z s

σ

DF(x(τ), t)−F(x(σ), s) +F(x(σ), σ) +x(σ)

=x(σ).

Agora vamos introduzir uma classe de funções F : G → Rn para a qual é possível

obtermos informações mais específicas sobre a solução da EDOG dx

dτ =DF(x, t).

Dado c > 0, seja Bc = {x ∈ Rn;kxk < c}. Sejam [a, b] ⊂ R, −∞ < a < b < +∞ e

G=Bc ×[a, b]. Assuma, também, queh: [a, b]→R é uma função não-decrescente.

Definição 1.12. Uma função F :G→Rn pertence à classe _F₍_{G, h}₎, se

kF(x, t2)−F(x, t1)k ≤ |h(t2)−h(t1)| (1.12)

para quaisquer (x, t1),(x, t2)∈G e

kF(x, t2)−F(x, t1)−F(y, t2)−F(y, t1)k ≤ kx−yk|h(t2)−h(t1)| (1.13)

para quaisquer (x, t1),(x, t2),(y, t1),(y, t2)∈G.

Lema 1.13 ([16] - Lema 3.9). Assuma que F :G→Rn satisfaz a condição (1.12). Se

[α, β]⊂[a, b] e x: [α, β]→Rn _{for tal que} ₍_x₍_t₎_{, t}₎_∈_G _{para todo} _t_∈_[_{α, β}_] _{e se a integral}

Z β

α

DF(x(τ), t) existir, então para quaisquer s1, s2 ∈[α, β], vale a desigualdade

Z s2

s1

DF(x(τ), t)

(27)

Prova: Usando (1.12) e o fato de h ser não-decrescente, temos

|s2−s1|kF(x, s2)−F(x, s1)k ≤(s2−s1)(h(s2)−h(s1))

Observe agora que, tomando-se V(τ, t) = h(t), a integral

Z β

α

DV(τ, t) =

Z β

α

dh(t)

existe e _Z _s

2

s1

dh(t) = h(s2)−h(s1)

Pelo Teorema 1.9, temos

Z s2

s1

DF(x(τ), t)

≤

Z s2

s1

DV(τ, t)

e, portanto,

Z s2

s1

DF(x(τ), t)

≤ |h(s2)−h(s1)|

O próximo resultado segue diretamente do Lema 1.13.

Lema 1.14 ([16] - Lema 3.10). Assuma que F : G → Rn satisfaz a condição (1.12).

Se [α, β]⊂[a, b] e x: [α, β]→Rn for uma solução de (1.9), então vale

kx(s1)−x(s2)k ≤ |h(s2)−h(s1)| (1.15)

Assim, sendo h uma função de variação limitada, segue que uma solução da EDOG

(1.9) comF satisfazendo a condição (1.12), também é de variação limitada. Outra

conse-quência do Lema 1.14 é que se tivermos h contínua à esquerda (direita), então a solução

da EDOG (1.9) será contínua à esquerda (direita), sendo sua descontinuidade de primeira espécie dada pelo próximo lema.

Lema 1.15 ([16] - Lema 3.12). Sex: [α, β]→Rn _{for uma solução de (1.9) e}_F _:_G_→

Rn satisﬁzer a condição (1.12), então teremos x(s+)−x(s) = lim

(28)

1.2 Equações Diferenciais Ordinárias Generalizadas 17

para s ∈[α, β) e

x(s)−x(s−) =x(s)− lim

σ→s−x(σ) =F(x(s), s)−F(x(s), s−) (1.17)

para s∈ (α, β], onde F(x, s+) = lim

σ→s+F(x, σ) para s ∈ [α, β) e F(x, s−) = limσ→s−F(x, σ)

para s ∈(α, β].

Os resultados que seguem tratam da existência da integral

Z β

α

DF(x(τ), t), onde F ∈ F(G, h)e x: [α, β]→Rn_, _[_{α, β}_]_⊂₍_{a, b}₎_.

Teorema 1.16 ([16] - Teor. 3.14). Assuma que F ∈ F(G, h)é dada e que x: [α, β]→

Rn_,_[_{α, β}_]_⊂₍_{a, b}₎_{, é o limite pontual de uma sequência}₍_x

k)k∈Nde funçõesx_k : [α, β]→Rn

com (x(s), s) ∈ G, (xk(s), s) ∈ G para todo k ∈ N e todo s ∈ [α, β]. Assuma, também,

que

Z β

α

DF(xk(τ), t) existe para todo k ∈N. Então a integral

Z β

α

DF(x(τ), t) existe e

Z β

α

DF(x(τ), t) = lim

k→∞ Z β

α

DF(xk(τ), t).

Definição 1.17. Uma funçãof : [a, b]→Rn é chamada de função escada, se existir uma

divisão ﬁnita a = β0 < β1 < . . . < βm = b tal que em todo intervalo aberto (βi−1, βi),

i= 1,2, . . . , ma função f é constante.

Corolário 1.18 ([16] - Cor. 3.15). Assuma que F ∈ F(G, h)é dada e que x: [α, β]→

Rn_,_[_{α, β}_]_⊂₍_{a, b}₎_{, é o limite pontual de uma sequência de funções escada}_ϕ

k: [α, β]→Rn,

k ∈ N, com ₍_ϕ_k₍_s₎_{, s}₎ _∈ _G e ₍_x₍_s₎_{, s}₎ _∈ _G para todo _s _∈ _[_{α, β}_] e todo _k _∈ N. Então a

integral

Z β

α

DF(x(τ), t) existe.

Prova: Seja ϕk : [α, β] → Rn, k ∈ N, uma sequência de funções escadas tal que ϕk(s) → x(s), para qualquer s ∈ [α, β]. Então, para cada k ∈ N, a integral

Z β

α

DF(ϕk(τ), t) existe. De fato, como cada ϕk é uma função escada, existe uma di-visão

α=s0 < s1 < s2 < . . . < sn =β

de[α, β]tal queϕk(s) =cj ∈Rnparas∈(sj−1, sj),j = 1,2, . . . , n, ondecj são constantes. Assuma que (ϕk(s), s)∈G para todo s∈[α, β].

Para sj−1 < σ1 < σ2 < sj, temos

m

X

i=1

[F(ϕk(τi), αi)−F(ϕk(τi), αi−1)] =

m

X

i=1

(29)

=F(cj, α0)−F(cj, αk) = F(cj, σ2)−F(cj, σ1),

para qualquer partição δ-fina {(τi,[αi−1, αi]), i= 1,2, . . . , m} de [σ1, σ2].

Logo, para sj−1 < σ1 < σ2 < sj, a integral

Z σ2

σ1

DF(ϕk(τ), t)existe e vale

Z σ2

σ1

DF(ϕk(τ), t) = F(cj, σ2)−F(cj, σ1).

Sejaσ0 ∈(sj−1, sj) dado. Então temos

lim

s→sj−1+

Z σ0

s

DF(ϕk(τ), t) +F(ϕk(sj−1), s)−F(ϕk(sj−1), sj−1)

= lim

s→sj−1+

[F(cj, σ0)−F(cj, s) +F(ϕk(sj−1), s)−F(ϕk(sj−1), sj−1)]

=F(cj, σ0)−F(cj, sj−1+) +F(ϕk(sj−1), sj−1+)−F(ϕk(sj−1), sj−1).

Consequentemente, pelo Teorema 1.7, a integral

Z σ0

sj−1

DF(ϕk(τ), t)existe e tem valor igual ao limite calculado acima.

Analogamente, podemos mostrar que a integral

Z sj

σ0

DF(ϕk(τ), t) existe e vale

Z sj

σ0

DF(ϕk(τ), t) = −F(cj, σ0) +F(cj, sj−)−F(ϕk(sj), sj−) +F(ϕk(sj), sj).

Portanto,

Z sj

sj−1

DF(ϕk(τ), t) =

Z σ0

sj−1

DF(ϕk(τ), t) +

Z sj

σ0

DF(ϕk(τ), t)

=F(cj, σ0)−F(cj, sj−1+) +F(ϕk(sj−1), sj−1+)−F(ϕk(sj−1), sj−1)

−F(cj, σ0) +F(cj, sj−)−F(ϕk(sj), sj−) +F(ϕk(sj), sj) =−F(cj, sj−1+)

+F(ϕk(sj−1), sj−1+)−F(ϕk(sj−1), sj−1) +F(cj, sj−)−F(ϕk(sj), sj−) +F(ϕk(sj), sj). Logo, para j = 1,2, . . . , n, a integral

Z sj

sj−1

DF(ϕk(τ), t) existe.

Assim obtemos a existência da integral Z β α

DF(ϕk(τ), t)com

Z β

α

DF(ϕk(τ), t) = n

X

j=1

(30)

1.3 Existência e Unicidade de Solução de EDOGs 19

+

n

X

j=1

[F(ϕk(sj−1), sj−1+)−F(ϕk(sj−1), sj−1)−F(ϕk(sj), sj−) +F(ϕk(sj), sj)].

Logo pelo Teorema 1.16, o resultado segue.

1.3 Existência e Unicidade de Solução de EDOGs

Vamos considerar a EDOG

dx

dτ =DF(x, t), (1.18)

para o caso onde F : G → Rn pertence à classe _F₍_{G, h}₎, com _{c >} ₀ dado, _B_c ₌ _{_x _∈ Rn_;_k_x_{k ≤}_c_},_G₌_B_c_×₍_{a, b}₎,₍_{a, b}₎_⊂R,_−∞_{< a < b <}₊_∞e_h_{: [}_{a, b}_]_→Ruma função

não-decrescente e contínua à esquerda.

Uma solução de (1.18) é uma função de variação limitada, a qual, no nosso caso, também é contínua à esquerda pelo Lema 1.14, e tem descontinuidade de primeira espécie dada pelo Lema 1.15. Assim, se para algum t0 ∈(a, b), o valor da solução x de (1.18) for

x(t0) =xe, então o limite à direita no ponto t0 satisfará

x(t0+) =x(t0) +F(x(t0), t0+)−F(x(t0), t0) = ex+F(x, te 0+)−F(x, te 0).

Pela possibilidade de ocorrer descontinuidade de uma solução, pode acontecer que para algum x_e∈Bc, isto é, para algum (ex, t0)∈G, o valor

e

x+ =ex+F(x, te 0+)−F(ex, t0)

não pertença a Bc.

Portanto, para provar o teorema de existência local de uma solução de (1.18), satis-fazendo a condição inicial x(t0) = ex, fazemos a seguinte hipótese natural

e

x+ = ex+F(ex, t0+)−F(x, te 0)∈Bc.

Usaremos, para o espaço de funções de variação limitada no intervalo[α, β]⊆[a, b], a

usual norma dada por

kxkBV =kx(α)k+ varβαx,

onde varβαx= sup π

( _n X

i=1

kx(ti)−x(ti−1)k )

para qualquer partiçãoπ :α=t0 < t1 < . . . <

(31)

Apresentamos, então, o teorema sobre existência local e unicidade de solução de (1.18).

Teorema 1.19 ([10] -Teor. 2.15). Seja F :G→Rn, onde _G₌_B_c_×₍_{a, b}₎, _B_c ₌_{_x_∈ Rn_,_k_x_k _{< c}_}, _{c >} ₀, ₍_{a, b}₎ _⊂ R, _−∞ _{< a < b <} ₊_∞, tal que _F _{∈ F}₍_{G, h}₎, onde _h é

contínua à esquerda e não-decrescente em [a, b]. Seja (x, te 0)∈G tal que

e

x−=_ex+F(_ex, t0−)−F(ex, t0)∈Bc.

Então existe ∆ > 0, tal que no intervalo [t0 −∆, t0 + ∆] existe uma única solução x :

[t0−∆, t0+ ∆]→Rn da EDOG

dx

dτ =DF(x, t).

Prova: Seja t0 um ponto de continuidade da função h. Como xe ∈ Bc, existe ǫ > 0

tal que B(ex, ǫ)⊂Bc. Sendo h contínua em t0, para qualquer ǫ >0, existe ∆>0 tal que

então x∈ Bc.

Assuma ∆ > 0 tal que [t0 − ∆, t0 + ∆] ⊂ (a, b), h(t0 + ∆) − h(t0 − ∆) <

1 2 e

kx−x_ek ≤ |h(t)−h(t0)| implica que x∈Bc.

Seja A o conjunto das funções z : [t0−∆, t0+ ∆] →Rn tais que z ∈BV[t0−∆,t0+∆] e

kz(t)−x_ek ≤ |h(t)−h(t0)| para t ∈[t0−∆, t0+ ∆].

Observe que A é fechado. De fato, seja {zn}n∈N⊂ A, uma sequência tal que z_n →z.

Como

kzn−zkBV[t0−∆,t0+∆] =kzn(t0)−z(t0)k+ var

t0+∆

t0−∆(zn−z),

então para qualquer t∈[t0−∆, t0+ ∆], temos kzn(t)−z(t)k ≤ kzn−zkBV, o que implica que zn →z uniformemente.

Logo, para qualquer ǫ >0, existe n∈N, tal que

kz(t)−x_ek ≤ kz(t)−zn(t)k+kzn(t)−xek ≤ǫ+|h(t)−h(t0)|.

Assimkz(t)−_exk ≤ |h(t)−h(t0)|para qualquert∈[t0−∆, t0+ ∆]e, portanto, z ∈ A,

o que implica que A é fechado.

Para s∈[t0−∆, t0+ ∆] e z∈ A, defina

T z(s) = ex+

Z s

t0

DF(z(τ), t).

Observe que

Z s

t0

(32)

o Corolário 1.18). Então pelo Lema 1.13,

kT z(s)−_exk=k

Z s

t0

DF(z(τ), t)k ≤ |h(s)−h(t0)|.

Logo T z ∈ A, ou seja, T aplica A em A. Tomemos t0 −∆ ≤ s1 < s2 ≤ t0 + ∆ e

z1, z2 ∈ A. Então,

kT z2(s2)−T z1(s2)−[T z2(s1)−T z1(s1)]k=k Z s2

t0

D[F(z2(τ), t)−F(z1(τ), t)]

−

Z s1

t0

D[F(z2(τ), t)−F(z1(τ), t)]k=k Z s2

s1

D[F(z2(τ), t)−F(z1(τ), t)]k

≤ k

Z s2

s1

D[F(z2(τ), t)−F(z1(τ), t)]−

n

X

i=1

[F(z2(τi), αi)−F(z1(τi), αi)−F(z2(τi), αi−1)

+F(z1(τi), αi−1)] +

n

X

i=1

[F(z2(τi), αi)−F(z1(τi), αi)−F(z2(τi), αi−1) +F(z1(τi), αi−1)]k

≤ k

n

X

i=1

[F(z2(τi), αi)−F(z1(τi), αi)−F(z2(τi), αi−1) +F(z1(τi), αi−1)]k+ǫ

≤

n

X

i=1

k[F(z2(τi), αi)−F(z1(τi), αi)−F(z2(τi), αi−1) +F(z1(τi), αi−1)]k+ǫ

Def1.12

≤

n

X

i=1

kz2(τi)−z1(τi)k|h(αi)−h(αi−1)|+ǫ

≤ sup

τ∈[s1,s2]

kz2(τ)−z1(τ)k

n

X

i=1

(h(αi)−h(αi−1)) !

+ǫ

≤ sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

kz2(τ)−z1(τ)k

n

X

i=1

(h(αi)−h(αi−1)) !

+ǫ,

para qualquer partição δ-fina {(τi,[αi−1, αi]), i= 1,2, . . . , m} de [s1, s2].

Mas

sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

kz2(τ)−z1(τ)k

n

X

i=1

(h(αi)−h(αi−1)) !

= sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

(33)

Logo

kT z2(s2)−T z1(s2)−[T z2(s1)−T z1(s1)]k ≤ sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

kz2(τ)−z1(τ)k(h(s2)−h(s1)).

Assim

vart0+∆

t0−∆(T z2−T z1)≤ sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

kz2(τ)−z1(τ)k(h(s2)−h(s1)).

Observe que

sup

τ∈[t0−∆,t0+∆]

kz2(τ)−z1(τ)k ≤vartt00+∆−∆(z2−z1).

Consequentemente

vart0+∆

t0−∆(T z2−T z1)≤var

t0+∆

t0−∆(z2−z1)(h(s2)−h(s1))

≤vart0+∆

t0−∆(z2−z1)[(h(t0+ ∆)−h(s2)) + (h(s2)−h(s1)) + (h(s1)−h(t0−∆))] = vart0+∆

t0−∆(z2−z1)(h(t0+ ∆)−h(t0−∆)),

pois como h é não-decrescente, então para t0 −∆ ≤ s1 < s2 ≤ t0 + ∆, teremos h(t0 +

∆)−h(s2)≥0 eh(s1)−h(t0−∆)≥0.

É fácil ver que se zi ∈ A, i = 1,2, então zi(t0) = ex, em virtude da desigualdade na

definição de A. Também vale T(zi(t0)) = ex.

Logo

vart0+∆

t0−∆(T z2−T z1)≤var

t0+∆

t0−∆(z2 −z1)(h(t0+ ∆)−h(t0−∆)),

o que implica que

kT z2−T z1kBV[t0−∆,t0+∆] ≤ kz2−z1kBV[t0−∆,t0+∆](h(t0+ ∆)−h(t0−∆))

< 1

2kz2−z1kBV[t0−∆,t0+∆].

Portanto T é uma contração e o resultado segue pelo Teorema do Ponto Fixo de

Banach.

Agora, consideremost0 um ponto de descontínuidade deh. Defina

eh(t) =

  

h(t), set < t0;

(34)

Então a função eh é contínua em t0, não-decrescente e contínua à esquerda.

Definindo-se

e

F(x, t) =

 



F(x, t), set < t0;

F(x, t)−(F(x, te 0+)−F(ex, t0)), se t≥t0.

temos Fe ∈ F(G,eh) e, assim, analogamente ao que fizemos acima, existe uma solução z

de dz

dτ =DFe(z(τ), t) com z(t0) =xe+. Agora, tomando-se

x(t) =

  

x0, se t=t0;

z(t), se t > t0,

então x é solução de dx

(35)

(36)

Capítulo

2

Estabilidade Variacional para EDOGs

Neste capítulo, apresentaremos a teoria básica sobre estabilidade para EDOGs. Os resultados que discutiremos foram extraídos de [16] (veja também [17]).

2.1 Conceitos de Estabilidade

Novamente, assuma c > 0 dado e Bc = {x ∈ Rn;kxk < c}. Assuma, também, que h : [0,∞) → R é uma função não-decrescente e contínua à esquerda e que _F _: Bc×[0,∞)→Rn pertence à classe F(Bc×[0,∞), h).

Além dessas hipóteses, assuma que

F(0, t2)−F(0, t1) = 0, para todo t1, t2 ≥0. (2.1)

Esta última hipótese implica que

Z s2

s1

DF(0, t) = F(0, s2)−F(0, s1) = 0, s1, s2 ∈[0,∞)

e, portanto, a função x dada porx(s) = 0 para s ≥0é uma solução da EDOG

dx

dτ =DF(x, t) (2.2)

no semi-eixo positivo [0,∞).

Nas condições acima, vamos apresentar, agora, alguns conceitos de estabilidade da solução trivial x(s) = 0, s ∈ [0,∞), da equação dx

dτ = DF(x, t). Estes conceitos foram

(37)

da EDOG dx

dτ = DF(x, t) são de variação limitada e, por isto, é natural "medirmos" a

distância entre duas soluções pela norma da variação.

Definição 2.1. A solução x ≡ 0 de (2.2) é chamada variacionalmente estável, se para

qualquer ǫ > 0, existir um δ= δ(ǫ)>0 tal que se y : [t0, t1]→ Bc, 0 ≤t0 < t1 <∞, for

uma função de variação limitada em [t0, t1], contínua à esquerda em(t0, t1] com

ky(t0)k< δ

e

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< δ,

então teremos

ky(t)k< ǫ, para t∈[t0, t1].

Definição 2.2. A solução x≡0de (2.2) é chamada variacionalmente atratora, se existir

δ0 >0 e para qualquer ǫ > 0, existirem T =T(ǫ)≥0 e γ =γ(ǫ) tais que se y: [t0, t1]→

Bc, 0≤t0 < t1 <∞, for uma função de variação limitada em[t0, t1], contínua à esquerda

em (t0, t1], com

ky(t0)k< δ0

e

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< γ,

então teremos

ky(t)k< ǫ, para t∈[t0, t1]∩[t0+T(ǫ),∞).

Definição 2.3. A solução x ≡0 de (2.2) é chamada variacionalmente-assintoticamente

estável, se ela for variacionalmente estável e variacionalmente atratora.

Agora, vamos considerar a equação perturbada

dx

dτ =D[F(x, t) +P(t)], (2.3)

onde P : [0,∞) → Rn é uma aplicação contínua à esquerda e localmente de variação

limitada em [0,∞). Informalmente falando, vamos caminhar no sentido de mostrar que

os conceitos estabilidade variacional e estabilidade variacionalmente assintótica da solução trivial dados acima, são "invariantes" por perturbações cuja variação é pequena.

Observe que

(38)

2.1 Conceitos de Estabilidade 27

≤ |h(t2)−h(t2)|+ vartt21P =|h(t2)−h(t2) + var

t2

t1P| =|h(t2)−h(t2) + vart02P −var

t1

0 P|=|h(t2) + vart02P −(h(t1) + vart01P)|

para x∈Bc et1, t2 ∈[0,∞). Logo,

kF(x, t2) +P(t2)−F(x, t1)−P(t1)−F(y, t2)−P(t2)−F(y, t1) +P(t1)k

=kF(x, t2)−F(x, t1)−F(y, t2)−F(y, t1)k ≤ kx−yk|h(t2)−h(t1)|

=kx−yk|h(t2)−h(t1) + vartt21P| =kx−yk|h(t2) + vart02P −(h(t1) + vart01P)|.

Assim, provamos que F(x, t) +P(t) pertence à classe F(Bc×[0,∞),eh), onde eh(t) =

h(t) + vart

0P.

Observe que todos os resultados obtidos anteriormente, como por exemplo a existência local de solução, valem para a equação (2.3).

A seguir, definimos estabilidade da solução trivial de (2.2) por perturbação e, na sequência, estabilidade assintótico por perturbação.

Definição 2.4. A solução x ≡0 de (2.2) é chamada estável em relação a perturbações,

se para qualquer ǫ >0, existir δ=δ(ǫ)>0, tal que se

ky(t0)k< δ

e

vart1

t0P < δ

então teremos

ky(t, t0, y0)k< ǫ, para t ∈[t0, t1],

onde y(t, t0, y0) é uma solução de (2.3) com y(t, t0, y0) =y0.

Definição 2.5. A solução x≡0 de (2.2) é chamada atratora em relação a perturbações,

se existir δ0 >0 e para qualquer ǫ >0, existirem T =T(ǫ)>0 e γ =γ(ǫ) tais que

ky(t0, t0, y0)k< δ0

e

vart1

(39)

então teremos

ky(t, t0, y0)k< ǫ, para t ∈[t0, t1]∩[t0+T(ǫ),∞),

onde y(t, t0, y0) é uma solução de (2.3) com y(t, t0, y0) =y0.

Definição 2.6. A soluçãox≡0 de (2.2) é chamada assintoticamente estável em relação

a perturbações, se ela for estável e atratora em relação a perturbações.

Teorema 2.7 ([16] - Teor. 10.8). A solução x ≡ 0 de (2.2) será variacionalmente

estável se, e somente se, ela for estável em relação a perturbações.

A solução x ≡ 0 de (2.2) será variacionalmente atratora se, e somente se, ela for

atratora em relação a perturbações.

Prova: Assuma que x ≡ 0 é variacionalmente estável. Dado ǫ > 0, seja δ > 0 dado

pela Definição 2.1.

Assuma que y0 ∈Rn, comky0k< δ,vartt10P < δ e quey(t) =y(t, t0, y0)é uma solução

de (2.3) em [t0, t1].

Para quaisquer s1, s2 ∈[t0, t1], temos

y(s2)−y(s1) = Z s2

s1

D[F(y(τ), t) +P(t)] =

Z s2

s1

DF(y(τ), t) + [P(s2)−P(s1)],

ou seja,

y(s2)− Z s2

t0

DF(y(τ), t)−y(s1) + Z s1

t0

DF(y(τ), t) = P(s2)−P(s1)

para s1, s2 ∈[t0, t1]. Logo

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

= vart1

t0P(s)< δ.

Então, como x≡0 é variacionalmente estável, temos

ky(t, t0, y0)k=ky(t)k< ǫ, para t∈[t0, t1],

e, portanto, x≡0 é estável em relação a perturbações.

Suponha, agora, que x ≡ 0 é estável em relação a perturbações. Dado ǫ > 0, seja

δ > 0dado pela Definição 2.4.

(40)

contínua à esquerda em (t0, t1] com

ky(t0)k< δ

e

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< δ.

Para s1, s2 ∈ [t0, t1], como Z s2

s1

DF(x(τ), t) =

Z s2

t0

DF(x(τ), t) −

Z s1

t0

DF(x(τ), t),

temos

y(s2)−y(s1) = Z s2

s1

DF(x(τ), t) +y(s2)− Z s2

t0

DF(x(τ), t)−y(s1) + Z s1

t0

DF(x(τ), t).

Fazendo P(s) = y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t) para s ∈ [t0, t1], observamos pelo Lema 1.13

que a função P é de variação limitada em [t0, t1], contínua à esquerda e vale

y(s2)−y(s1) = Z s2

s1

DF(x(τ), t) +P(s2)−P(s1),

ou seja, y é solução da equação perturbada dx

dτ =D[F(x, t) +P(t)].

Como, por hipótese, x≡0é estável em relação a perturbações, temos

ky(t)k=ky(t, t0, y0)k< ǫ, para t∈[t0, t1].

Logo x≡0é variacionalmente estável.

A segunda equivalência segue analogamente.

Como consequência deste teorema podemos enunciar o seguinte resultado.

Teorema 2.8 ([16] - Teor. 10.9). A solução trivial x ≡ 0 de dx

dτ = DF(x, t) será

va-riacionalmente-assintoticamente estável se, e somente se, ela for assintoticamente estável em relação a perturbações.

A proposição seguinte será utilizada como resultado auxiliar mais adiante.

Proposição 2.9 ([16] - Prop. 10.11). Assuma que −∞ < a < b < ∞ e que f, g : [a, b]→ R são funções contínuas à esquerda em ₍_{a, b}_]. Se para qualquer _σ _∈ _[_{a, b}_] existir δ(σ)>0 tal que para todo η∈(0, δ(σ)) a desigualdade

(41)

vale, então teremos

f(s)−f(a)≤g(s)−g(a)

para todo s ∈[a, b].

Prova: Seja

M ={s ∈[a, b];f(σ)−f(a)≤g(σ)−g(a), σ∈[a, s]}

e S = supM. Como

f(a+η)−f(a)≤g(a+η) +g(a)

para qualquer η∈(0, δ(a)), ondeδ(a)>0, o conjuntoM é não vazio, S > a e

f(s)−f(a)≤g(s)−g(a)

para qualquer s < S. Como f e g são contínuas à esquerda, temos

lim

s→S−(f(s)−f(a))≤slim→S−(g(s)−g(a)),

ou seja,

f(S)−f(a)≤g(S)−g(a).

Suponha, por absurdo, que S < b. Então por hipótese, temos

f(S+η)−f(S)≤g(S+η)−g(S),

para η ∈(0, δ(S)) eδ(S)>0.

Assim

f(S+η)−f(a) = f(S+η)−f(S) +f(S)−f(a)

≤g(S+η)−g(S) +g(S)−g(a) = g(S+η)−g(a).

Isto implica que S +η ∈ M para η ∈ (0, δ(S)), ou seja, supM > S, o que é uma

contradição. Logo S=b e M = [a, b].

Lema 2.10 ([16] - Lema 10.12, [9] - Lema 3.1). Suponha queV : [0,∞)×Rn_→R é

tal que para todo x∈Rn, a função _V₍_·_{, x}_{) : [0}_,_∞₎_→R é contínua à esquerda em₍₀_,_∞₎.

Assuma que

|V(t, x)−V(t, y)| ≤Kkx−yk (2.4)

(42)

φ : Rn _→ R tal que para toda solução _x _{: [}_{α, β}_] _→ Rn da EDOG dx

dτ = DF(x, t) em

[α, β]⊂[0,∞), temos lim sup

η→0+

V(t+η, x(t+η))−V(t, x(t))

η ≤φ(x(t)) (2.5)

para t∈ [α, β]. Se y : [t0, t1]→Rn, 0≤t0 < t1 <∞, for contínua à esquerda em (t0, t1]

e de variação limitada em [t0, t1], então vale a desigualdade

V(t1, y(t1))−V(t0, y(t0))≤K vartt10

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

+M(t1−t0), (2.6)

onde M = sup

t∈[t0,t1]

φ(y(t)).

Prova: Seja y : [t0, t1] → Rn tal que y é de variação limitada em [t0, t1] e contínua

à esquerda em (t0, t1]. Suponha que (y(t), t) ∈ G, para qualquer s ∈ [t0, t1]. Como

F ∈ F(G, h), pelo Corolário 1.18, a integral

Z t1

t0

DF(y(τ), t) existe.

Seja σ ∈ [t0, t1]. Pelo Teorema de Existência e Unicidade (Teorema 1.19), a EDOG

dx

dτ =DF(x, t)admite uma solução local, digamosx: [σ, σ+η1(σ)]→R

n_em_[_{σ, σ}₊_η

1(σ)],

η1(σ)>0.

Portanto a integral Z σ+η1(σ) σ

DF(x(τ), t) existe para qualquerσ ∈[t0, t1].

Assim, dado σ ∈ [t0, t1], seja [σ, σ +β(σ)] o intervalo máximo da existência de x

começando em σ. Então β(σ) ≥ η1(σ) > 0 e, para qualquer η2(σ) ∈ [η1(σ), β(σ)],

a integral Z σ+η2(σ) σ

DF(x(τ), t) existe. Logo

Z σ+η2(σ)

σ

D[F(y(τ), t)−F(x(τ), t)] existe.

Portanto para qualquerǫ >0, existe uma função calibreδde[σ, σ+η2(σ)]correspondente

ao ǫ da definição da última integral.

Suponha que a soluçãox: [σ, σ+η1(σ)]→Rn satisfaz a condição inicial x(σ) =y(σ).

Por hipótese,|V(t, x)−V(t, y)| ≤Kkx−yk. Então

V(σ+η, y(σ+η))−V(σ+η, x(σ+η))≤Kky(σ+η)−x(σ+η)k

=Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(x(τ), t)k

para 0≤η≤η1(σ).

Assim,

(43)

+V(σ+η, x(σ+η))−V(σ, x(σ))≤Kky(σ+η)−y(σ)−

+

σ

DF(x(τ), t)k

+V(σ+η, x(σ+η))−V(σ, x(σ))≤Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(x(τ), t)k+ηφ(x(t))

≤Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(x(τ), t)k+ηM.

Portanto,

V(σ+η, y(σ+η))−V(σ, y(σ))≤Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)

+

Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)−

Z σ+η

σ

DF(x(τ), t)k+ηM

≤Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)k

+Kk

Z σ+η

σ

D[F(y(τ), t)−F(x(τ), t)]k+ηM.

(2.7)

Utilizando o Lema de Saks-Henstock (Lema 1.5) e os fatos de que F ∈ F(G, h) e h é

contínua à esquerda, então para ǫ >0 dado, temos

Z σ+η

σ

D[F(y(τ), t)−F(x(τ), t)]

≤

Z σ+η

σ

D[F(y(τ), t)−F(x(τ), t)]

−(F(y(σ), σ+η)−F(y(σ), σ)−F(x(σ), σ+η) +F(x(σ), σ))k

+kF(y(σ), σ+η)−F(y(σ), σ)−F(x(σ), σ+η) +F(x(σ), σ)k ≤ ηǫ

K +ky(σ)−x(σ)k(h(σ+η)−h(σ)) = ηǫ K,

pois y(σ) =x(σ). Assim,

V(σ+η, y(σ+η))−V(σ, y(σ))≤Kky(σ+η)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)k+ηǫ+ηM.

Para s∈[t0, t1], defina

P(s) = y(s) +

Z s

t0

DF(y(s), t).

(44)

2.2 Teoremas do Tipo Lyapunov 33

Z t1

t0

DF(y(τ), t) existe e

Z t1

t0

DF(y(τ), t)

≤ |h(s2)− h(s1)|. Logo P é de variação

limitada em [t0, t1].

Observe que

y(σ+η)−y(σ)− Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)

=

y(σ+η)− Z σ+η

t0

DF(y(τ), t)−y(σ)−

Z σ+η

σ

DF(y(τ), t)

=kP(σ+η)−P(σ)k ≤varσ+η σ (P). Logo, de (2.7), temos

V(σ+η, y(σ+η))−V(σ, y(σ))≤Kvarσσ+η(P) +ηM +ηǫ

=K(varσt0+η(P)−var

σ

t0(P)) +ηM +ηǫ,

para 0≤η≤η1(σ)< δ(σ).

Observe, também, que a função V(t, x(t)) : [t0, t1] → R é contínua à esquerda em

(t0, t1]. Logo, pela Proposição 2.9, temos

V(t1, y(t1))−V(t0, y(t0))≤K(vartt10(P)−var

t0

t0(P)) + (t1−t0)M + (t1−t0)ǫ.

E, como ǫ >0é arbitrário, o resultado segue.

2.2 Teoremas do Tipo Lyapunov

Teorema 2.11 ([16] - Teor. 10.13). Assuma que V : [0,∞)×Ba → R, 0 < a < c,

Ba = {y ∈ Rn,kyk ≤ a} é tal que para todo x ∈ Ba, a função V(·, x) é contínua à

esquerda. Assuma ainda que existe uma função real contínua e crescente b : [0,∞)→ R

tal que b(ρ) = 0 se, e somente se, ρ = 0, e além disso, para quaisquer t ∈ [0,∞) e

x, y ∈Ba valem

V(t, x)≥b(kxk); (2.8)

V(t,0) = 0; (2.9)

|V(t, x)−V(t, y)| ≤Kkx−yk, K >0 constante. (2.10)

Se a função V(t, x(t)) for não-crescente ao longo de toda solução x(t) da EDOG dx

dτ =

(45)

Prova: Como V(t, x(t)) é não-crescente sempre que x : [α, β] →Rn for uma solução

de dx

dτ =DF(x, t) em [α, β]⊂[0,∞), então

lim sup

η→0+

η ≤0, para t∈[α, β].

Seja y : [t0, t1] → R de variação limitada em [t0, t1] e contínua à esquerda em (t0, t1].

Tomando-se φ≡0, pelo Lema 2.10, temos

V(t, y(t))≤V(t0, y(t0)) +Kvartt0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

para t∈[t0, t1].

Como b é crescente e b(ρ) = 0 se, e somente se, ρ= 0, então para ǫ > 0 dado, temos

b(ǫ)>0.

Sejaδ(ǫ)>0 tal que 2Kδ(ǫ)< b(ǫ) e suponhamos que

ky(t0)k< δ(ǫ)

e que

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< δ(ǫ).

Então temos

vartt0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< δ(ǫ), para t∈[t0, t1].

Logo

V(t, y(t))≤V(t0, y(t0)) +Kδ(ǫ).

Observe que, comoV(t,0) = 0e|V(t, x)−V(t, y)| ≤Kkx−ykparax, y ∈Ba eK >0 é uma constante, então temos

V(t0, y(t0))≤ kV(t0, y(t0))k=kV(t0, y(t0))−V(t0,0)k

≤Kky(t0)−0k=Kky(t0)k ≤Kδ(ǫ).

Logo

V(t, y(t))≤2Kδ(ǫ)< b(ǫ), para t∈[t0, t1].

(46)

2.2 Teoremas do Tipo Lyapunov 35

usando (2.8) e o fato de b ser crescente, temos

V(et, y(et))≥b(ky(et)k)≥b(ǫ),

o que é absurdo.

Logo ky(t)k < ǫ para t ∈ [t0, t1] e, portanto, a solução trivial x ≡ 0 da EDOG

dx

dτ =DF(x, t)é variacionalmente estável.

Teorema 2.12 ([16] - Teor. 10.14). Seja V : [0,∞)×Ba→R, 0< a < c, Ba ={y∈

Rn_,_k_y_{k ≤}_a_} tal que para todo _x _∈_B_a, a função _V₍_·_{, x}₎ é contínua à esquerda. Assuma,

ainda, que existe uma função real contínua e crescente b : [0,∞)→R tal que_b₍_ρ_{) = 0} se,

e somente se, ρ= 0, e além disso, para quaisquer t∈[0,∞) e x, y ∈Ba valem

V(t, x)≥b(kxk); (2.11)

V(t,0) = 0; (2.12)

|V(t, x)−V(t, y)| ≤Kkx−yk, K >0 constante. (2.13)

Se para toda solução x: [t0, t1]→Ba, [t0, t1]⊂[0,∞) de (2.2) valer a desigualdade

˙

V(t, x(t)) = lim sup

η→0+

η ≤ −Φ(x(t)), t∈[t0, t1] (2.14)

onde Φ : Rn _→ _R _{é contínua, com} _{Φ(0) = 0} _e _Φ(_x₎ _> ₀ _para _x ₆_{= 0}_{, então a solução}

trivial x≡0 de (2.2) será variacionalmente-assintoticamente estável.

Prova: De (4.12), observamos que a funçãoV(t, x(t))é não-crescente ao longo de toda

solução de (2.2). Portanto pelo Teorema (2.11), a solução trivial x≡0é variacionalmente

estável. Logo, basta mostrarmos que x≡0é variacionalmente atratora.

Da estabilidade variacional da solução solução x≡0 de (2.2), temos

(I) para qualquer a > 0, existe δ0 = δ0(a), δ0 ∈ (0, a) tal que se y : [t0, t1] → Rn for

de variação limitada em [t0, t1], contínua à esquerda em (t0, t1], 0≤ t0 < t1 <∞, e

ainda ky(t0)k< δ0 e

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< δ0,

então ky(t)k< a para qualquer t∈[t0, t1].

(47)

de variação limitada em [t2, t3], contínua à esquerda em (t2, t3], 0 ≤ t0 < t1 < ∞,

ky(t0)k< δ e

vart3

t2

y(s)−

Z s

t2

DF(y(τ), t)

< δ,

então ky(t)k< ǫpara qualquer t∈[t2, t3].

Defina γ(ǫ) = min{δ0, δ}< ǫ e também

T(ǫ) = min

t1−t0,−K

δ0+γ(ǫ)

N

>0,

onde N = sup{−Φ(x), γ(x)≤ kxk< ǫ}=−inf{Φ(x), γ(x)≤ kxk< ǫ}<0.

Assuma que y : [t0, t1]→ Rn é de variação limitada em [t0, t1] e contínua à esquerda

em (t0, t1] tal que ky(t0)k< δ0 e

vart1

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

< γ(ǫ)≤δ0.

Queremos provar que ky(t)k< ǫ, onde t∈[t0, t1]∩[t0+T(ǫ),∞)e t0 ≥0.

Mostremos que existe um t∗ _∈ _[_t

0, t0 +T(ǫ)] tal que ky(t∗)k < γ(ǫ) ≤ δ. Para isso,

suponhamos que

ky(s)k ≥γ(ǫ), para qualquer s∈[t0, t0 +T(ǫ)].

Pelo Lema 2.10, temos

V(t0+T(ǫ), y(t0+T(ǫ)))≤V(t0, y(t0))

+Kvart0+T(ǫ)

t0

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

+N(t0+T(ǫ)−t0)

=V(t0, y(t0)) +Kvartt00+T(ǫ)

y(s)−

Z s

t0

DF(y(τ), t)

+N(T(ǫ)).

Assim como no Teorema 2.11, temos

V(t0, y(t0))≤ kV(t0, y(t0))k=kV(t0, y(t0))−V(t0,0)k

≤Kky(t0)−0k=Kky(t0)k ≤Kδ0.

Logo

V(t0+T(ǫ), y(t0+T(ǫ)))< Kδ0+Kγ(ǫ) +N

−Kδ0+γ(ǫ) N

(48)

2.3 Teoremas do Tipo Lyapunov Inversos 37

Por outro lado, comoV(t, x)≥b(kxk) para todo (t, x)∈[0,∞)×Ba, temos

V(t0+T(ǫ), y(t0+T(ǫ)))≥b(ky(t0+T(ǫ)k)≥b(kγ(ǫ)k)>0,

o que contradiz (2.15).

Logo existe um t∗ ∈ [t0, t0 +T(ǫ)] tal que ky(t∗)k < γ(ǫ) ≤ δ, donde segue que

ky(t)k < ǫ para t ∈ [t∗, t1], pois (II) vale para t∗ = t2 e t1 = t3. Consequentemente

ky(t)k< ǫpara t > t0 +T(ǫ), poist∗ ∈[t0, t0+T(ǫ)].

Portanto a solução trivialx≡0de (2.2) também é variacionalmente atratora e, assim,

variacionalmente-assimptoticamente estável.

2.3 Teoremas do Tipo Lyapunov Inversos

O objetivo desta seção é mostrar que a estabilidade variacional e a estabilidade varia-cionalmente assintótica implicam, respectivamente, a existência de funcionais de Lya-punov com as propriedades descritas nos Teoremas 2.11 e 2.12.

Definição 2.13. Assuma que −∞ < a < b < ∞ e G : [a, b] → Rn. Para uma divisão

dada

D:a=α0 < α1 < . . . < αk =b

do intervalo [a, b] e para qualquer λ≥0, deﬁna

vλ(G, D) = k

X

j=1

e−λ(b−αj−1)|G(α

j)−G(αj−1)|

e

eλvarbaG= sup D

vλ(G, D),

onde o supremo é tomado sobre toda divisão ﬁnita D do intervalo [a, b]. O número

eλvarbaG é chamado de eλ-variação da função G sobre o intervalo [a, b].

Lema 2.14 ([16] - Lema 10.16). Sejam −∞ < a < b < ∞ e G : [a, b] → Rn. Então

dado λ≥0, vale

e−λ(b−a)varb

aG≤eλvarbaG≤var b

aG. (2.16)

Para a≤c≤b, temos a identidade eλvarbaG=e−

λ(b−c)_e

(49)

Prova: Para λ≥0 e qualquer divisão Dde [a, b], temos

0≤λ(b−αj−1)≤λ(b−a),

o que implica que

e−λ(b−a) ≤e−λ(b−αj−1)≤e0 = 1,

para j = 1,2, . . . , k.

e−λ(b−a) ≤e−λ(b−αj−1)≤e0 = 1,

Assim

e−λ(b−a)|G(αj)−G(αj−1)| ≤e−λ(b−αj−1)|G(α

j)−G(αj−1)| ≤ |G(αj)−G(αj−1)|

e, consequentemente,

k

X

j=1

e−λ(b−a)|G(αj)−G(αj−1)| ≤

k

X

j=1

j)−G(αj−1)|

≤

k

X

j=1

|G(αj)−G(αj−1)|.

Portanto

e−λ(b−a)varb

aG≤eλvarbaG≤var b aG.

Para provarmos a identidade (2.17), consideremos a seguinte divisão D de[a, b]:

D:a=α0 < α1 < . . . < αl−1 < αl =c < αl+1 < . . . < αk =b.

Então

vλ(G, D) = k

X

j=1

j)−G(αj−1)|

=

l

X

j=1

j)−G(αj−1)|+

k

X

j=l+1

j)−G(αj−1)|.

Como e−λ(b−αj−1) =e−λ(b−c)+e−λ(c−αj−1), temos

vλ(G, D) = e−λ(b−c) l

X

j=1

e−λ(c−αj−1)|G(α

(50)

2.3 Teoremas do Tipo Lyapunov Inversos 39

+

k

X

j=l+1

j)−G(αj−1)|=e−λ(b−c)vλ(G, D1) +vλ(G, D2),

onde D1 :a =α0 < α1 < . . . < αl−1 < αl = c e D2 : c =αl < αl+1 < . . . < αk = b são, respectivamente, divisões de [a, c] e [c, b].

Portanto

eλvarbaG=e− λ(b−c)_e

λvarcaG+eλvarbcG e a prova está completa.

Dados a > 0, t > 0 e x ∈ Ba, seja Aa(t, x) o conjunto de todas as funções ϕ :

[0,∞)→ Rn que são localmente de variação limitada e contínuas à esquerda em ₍₀_,_∞₎,

com ϕ(0) = 0, ϕ(t) = x e sup

s∈[0,t]

kϕ(s)k< a.

Mais que isso, paraλ≥0, s≥0 ex∈Ba, defina

Vλ(s, x) =

    

inf

ϕ∈Aa(s,x)

eλvars0

ϕ(σ)−

Z σ

0

DF(ϕ(τ), t)

, se s >0;

kxk, se s= 0.

(2.18)

Como ϕ ∈Aa(s, x), observe que a integral

Z σ

0

DF(ϕ(τ), t) é uma função de variação

limitada na variávelσe, consequentemente, a funçãoϕ(σ)−

Z σ

0

DF(ϕ(τ), t)é de variação

limitada em [0, s]. Assim aeλ-variação desta função é finita.

Observe, também, que a funçãoϕ ≡0pertence à classeAa(s,0)e, portanto,Vλ(s,0) =

0 para quaisquer s≥0 e λ≥0.

Como eλvars₀

ϕ(σ)−

Z σ

0

DF(ϕ(τ), t)

≥ 0 para todo ϕ ∈ Aa(s, x), então pela definição de Vλ(s, x), temos Vλ(s, x)≥0para quaisquer s≥0e x∈Rn.

Lema 2.15 ([16] - Lema 10.18). Parax, y ∈Ba, s∈[0,∞)eλ≥0, vale a desigualdade

|Vλ(s, x)−Vλ(s, y)| ≤ kx−yk. (2.19)

Prova: Primeiramente suponhamos s= 0. Então

|Vλ(0, x)−Vλ(0, y)|=|kxk − kyk| ≤ kx−yk.